Examkin

Fonksiyonlarda Değer Bulma

28 soru

Soru 21Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x+2)+f(x−1)=3xf(x + 2) + f(x - 1) = 3x
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=4f(1) = 4 olduğuna göre, f(7)f(7) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

13
Verilen fonksiyon kuralında sırasıyla x=2x = 2 ve x=5x = 5 değerleri yazılarak zincirleme biçimde f(4)f(4) ve f(7)f(7) değerlerine ulaşılır. Bu adımlar sırasıyla uygulandığında 13 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde f(1)=4f(1) = 4 bilgisini kullanmak amacıyla x−1=1x - 1 = 1 eşitliğinden yola çıkılarak x=2x = 2 değeri denklemde yerine yazılır.
f(4)+f(1)=3⋅2  ⟹  f(4)+4=6f(4) + f(1) = 3 \cdot 2 \implies f(4) + 4 = 6
f(1)f(1) değerini kullanarak bir sonraki adım için gerekli olan f(4)f(4) değerini bulmak.
2
Elde edilen denklem çözülerek f(4)f(4) değeri yalnız bırakılır.
f(4)=2f(4) = 2
f(7)f(7) değerini hesaplarken kullanılacak ara değeri elde etmek.
3
İstenen f(7)f(7) değerine ulaşmak amacıyla denklemde x+2=7x + 2 = 7 eşitliğinden yola çıkılarak x=5x = 5 değeri yerine yazılır.
f(7)+f(4)=3⋅5  ⟹  f(7)+f(4)=15f(7) + f(4) = 3 \cdot 5 \implies f(7) + f(4) = 15
Soruda sorulan f(7)f(7) değerini içeren denklemi oluşturmak.
4
İkinci adımda bulunan f(4)=2f(4) = 2 değeri denklemde yerine yazılır ve f(7)f(7) değeri hesaplanır.
f(7)+2=15  ⟹  f(7)=13f(7) + 2 = 15 \implies f(7) = 13
Denklemi çözerek nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda verilen kurallar yardımıyla zincirleme değer bulma işlemleri
Soru 22Soru →
Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,
f(x)={2x+14,x<−24−x,x≥−2f(x) = \begin{cases} 2x + 14, & x < -2 \\ 4 - x, & x \ge -2 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(f(a))=6f(f(a)) = 6 eşitliğini sağlayan aa gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Eşitliği sağlayan aa değerlerinin toplamı −3-3'tür.
Doğru seçenekte verilen −3-3 değeri, f(f(a))=6f(f(a)) = 6 denklemini sağlayan tüm geçerli aa gerçel sayılarının (−9-9, −8-8, 66, 88) toplamıdır. Bu değerlerin her biri fonksiyonun ilgili tanım aralığı koşullarına tam olarak uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(f(a))=6f(f(a)) = 6 eşitliğinde f(a)=yf(a) = y dönüşümü yapılarak f(y)=6f(y) = 6 denklemi kurulur.
f(y)=6f(y) = 6 denklemi elde edilir.
Bileşke fonksiyonu dıştan içe doğru çözebilmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
f(y)=6f(y) = 6 denklemi, parçalı fonksiyonun tanım aralıklarına göre incelenir:
1) y<−2y < -2 ise: 2y+14=6  ⟹  2y=−8  ⟹  y=−42y + 14 = 6 \implies 2y = -8 \implies y = -4. Bulunan −4-4 değeri −4<−2-4 < -2 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
2) y≥−2y \ge -2 ise: 4−y=6  ⟹  y=−24 - y = 6 \implies y = -2. Bulunan −2-2 değeri −2≥−2-2 \ge -2 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
yy değeri −4-4 veya −2-2 olabilir.
Parçalı fonksiyonun her iki dalından gelebilecek olası çözümler belirlenir ve aralık kısıtlarına uygunlukları test edilir.
3
f(a)=−4f(a) = -4 ve f(a)=−2f(a) = -2 denklemleri ayrı ayrı çözülür.

f(a)=−4f(a) = -4 durumu için:
- a<−2  ⟹  2a+14=−4  ⟹  a=−9a < -2 \implies 2a + 14 = -4 \implies a = -9 (geçerli).
- a≥−2  ⟹  4−a=−4  ⟹  a=8a \ge -2 \implies 4 - a = -4 \implies a = 8 (geçerli).

f(a)=−2f(a) = -2 durumu için:
- a<−2  ⟹  2a+14=−2  ⟹  a=−8a < -2 \implies 2a + 14 = -2 \implies a = -8 (geçerli).
- a≥−2  ⟹  4−a=−2  ⟹  a=6a \ge -2 \implies 4 - a = -2 \implies a = 6 (geçerli).
aa değerleri kümesi {−9,−8,6,8}\{-9, -8, 6, 8\} olarak bulunur.
Her bir yy değeri için fonksiyonun kuralları tekrar işletilerek asıl girdi olan aa değerlerine ulaşılır.
4
Elde edilen tüm geçerli aa değerleri toplanır: (−9)+(−8)+6+8(-9) + (-8) + 6 + 8.
−3-3
Bulunan çözümlerin toplamı hesaplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma ve bileşke fonksiyon denklemlerinin çözümü.
Soru 23Soru →

İki basamaklı abab doğal sayıları için tanımlı bir ff fonksiyonu,

f(ab)={ab,−2a≥−8a2−b2,−2a<−8f(ab) = \begin{cases} \frac{a}{b}, & -2a \ge -8 \\ a^2 - b^2, & -2a < -8 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(34)+f(52)f(34) + f(52) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 874\frac{87}{4}

Cevap

Toplama işleminin doğru sonucu seksen yedi bölü dört değeridir.
Doğru cevabın değeri seksen yedi bölü dört ifadesidir. Fonksiyonun dallarını belirleyen −2a≥−8-2a \ge -8 eşitsizliği sadeleştirildiğinde a≤4a \le 4 elde edilir. 3434 sayısı için a=3≤4a=3 \le 4 olduğundan birinci dal kullanılarak 34\frac{3}{4} değerine ulaşılır. 5252 sayısı için a=5>4a=5 > 4 olduğundan ikinci dal kullanılarak 52−22=215^2 - 2^2 = 21 değerine ulaşılır. Bu iki değer toplandığında 34+21=874\frac{3}{4} + 21 = \frac{87}{4} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlik koşullarını sadeleştirmek.
a≤4a \le 4 ise birinci dal, a>4a > 4 ise ikinci dal kullanılacaktır.
−2a≥−8-2a \ge -8 eşitsizliğinde her iki taraf −2-2'ye bölündüğünde eşitsizlik yön de��iştirir ve a≤4a \le 4 elde edilir.
2
f(34)f(34) değerini hesaplamak.
f(34)=34f(34) = \frac{3}{4}
3434 sayısında onlar basamağı a=3a = 3 olup 3≤43 \le 4 koşulunu sağladığından birinci dal (a/ba/b) kullanılır.
3
f(52)f(52) değerini hesaplamak.
f(52)=21f(52) = 21
5252 sayısında onlar basamağı a=5a = 5 olup 5>45 > 4 koşulunu sağladığından ikinci dal (a2−b2a^2 - b^2) kullanılır. Buradan 52−22=25−4=215^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21 bulunur.
4
Bulunan değerleri toplamak.
34+21=874\frac{3}{4} + 21 = \frac{87}{4}
Elde edilen f(34)f(34) ve f(52)f(52) değerleri toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda kuralları doğru analiz ederek değer bulma
Soru 24Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,

f(x)={x2−2,−2x<43x+1,−2x≥4f(x) = \begin{cases} x^2 - 2, & -2x < 4 \\ 3x + 1, & -2x \ge 4 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna g��re, f(−2)+f(−1)f(-2) + f(-1) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

İşlemler doğru yapıldığında toplamın değeri −6-6 olarak bulunur.
Fonksiyon kurallarının geçerli olduğu aralıklar doğru tespit edildiğinde f(−2)f(-2) değeri ikinci daldan −5-5, f(−1)f(-1) değeri ise birinci daldan −1-1 olarak bulunur. Toplamları −6-6 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun dallarının geçerli olduğu aralıkları sadeleştirin.
−2x<4  ⟺  x>−2-2x < 4 \iff x > -2 aralığında f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2 kullanılır. −2x≥4  ⟺  x≤−2-2x \ge 4 \iff x \le -2 aralığında f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1 kullanılır.
Negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştireceğini göz önünde bulundurarak hangi girdinin hangi kurala tabi olduğunu belirlemek gerekir.
2
f(−2)f(-2) değerini hesaplayın.
x=−2x = -2 değeri x≤−2x \le -2 koşulunu sağladığı için ikinci dal kullanılır: f(−2)=3(−2)+1=−5f(-2) = 3(-2) + 1 = -5.
Tanım kümesindeki sınır noktasının dahil olduğu aralığa göre doğru fonksiyon kuralı seçilmelidir.
3
f(−1)f(-1) değerini hesaplayın.
x=−1x = -1 değeri x>−2x > -2 koşulunu sağladığı için birinci dal kullanılır: f(−1)=(−1)2−2=1−2=−1f(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1.
−1-1 değeri −2-2'den büyük olduğu için üstteki fonksiyon kuralı uygulanmalıdır.
4
Bulunan değerleri toplayın.
f(−2)+f(−1)=−5+(−1)=−6f(-2) + f(-1) = -5 + (-1) = -6.
Soru bizden bu iki değerin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulurken, girdinin ait olduğu aralığı eşitsizlik kurallarına göre doğru tespit etmek ve ilgili dalda yerine yazmaktır.
Soru 25Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={2x+5,x<311−3x,x≥3f(x) = \begin{cases} 2x + 5, & x < 3 \\ 11 - 3x, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(f(x))=1f(f(x)) = 1 eşitliğini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 00

Cevap

Eşitliği sağlayan gerçel sayıların toplamı sıfırdır.
Denklem f(x)=uf(x) = u dönüşümüyle dıştan içe doğru çözüldüğünde uu için iki geçerli değer bulunur. Bu değerlerin her biri için f(x)=uf(x) = u eşitliğini sağlayan xx değerleri arandığında tanım aralığı koşullarına uyan üç farklı kök (−72-\frac{7}{2}, 133\frac{13}{3} ve −56-\frac{5}{6}) elde edilir. Bunların toplamı ise sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon denkleminde değişken dönüşümü yapılması
f(x)=uf(x) = u dönüşümü yapıldığında f(f(x))=1f(f(x)) = 1 denklemi f(u)=1f(u) = 1 şekline dönüşür.
İç içe geçmiş fonksiyon ifadelerini adım adım ve sistemli bir şekilde çözebilmek için.
2
Parçalı fonksiyon kurallarına göre f(u)=1f(u) = 1 denkleminin çözülmesi
Birinci durum (u<3u < 3): 2u+5=1  ⟹  2u=−4  ⟹  u=−22u + 5 = 1 \implies 2u = -4 \implies u = -2 elde edilir. Bu değer u<3u < 3 koşulunu sağladığı için geçerlidir. İkinci durum (u≥3u \ge 3): 11−3u=1  ⟹  3u=10  ⟹  u=10311 - 3u = 1 \implies 3u = 10 \implies u = \frac{10}{3} elde edilir. Bu değer de u≥3u \ge 3 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
uu değerinin hangi aralıkta bulunduğuna göre fonksiyonun ilgili parçalarını eşitlemek için.
3
f(x)=−2f(x) = -2 denkleminin çözülmesi
x<3x < 3 için: 2x+5=−2  ⟹  x=−722x + 5 = -2 \implies x = -\frac{7}{2} (koşulu sağlar). x≥3x \ge 3 için: 11−3x=−2  ⟹  3x=13  ⟹  x=13311 - 3x = -2 \implies 3x = 13 \implies x = \frac{13}{3} (koşulu sağlar).
İlk uu değeri üzerinden olası xx gerçel sayılarını bulmak için.
4
f(x)=103f(x) = \frac{10}{3} denkleminin çözülmesi
x<3x < 3 için: 2x+5=103  ⟹  2x=−53  ⟹  x=−562x + 5 = \frac{10}{3} \implies 2x = -\frac{5}{3} \implies x = -\frac{5}{6} (koşulu sağlar). x≥3x \ge 3 için: 11−3x=103  ⟹  3x=233  ⟹  x=23911 - 3x = \frac{10}{3} \implies 3x = \frac{23}{3} \implies x = \frac{23}{9} elde edilir. Ancak x=239≈256x = \frac{23}{9} \approx 2{}56 olup x≥3x \ge 3 koşulunu sağlamaz. Bu yüzden bu değer çözüm kümesine alınmaz.
İkinci uu değeri üzerinden olası xx gerçel sayılarını bulmak ve tanım aralığı testini yapmak için.
5
Geçerli xx değerlerinin toplanması
Toplam =−72+133−56=−21+26−56=06=0= -\frac{7}{2} + \frac{13}{3} - \frac{5}{6} = \frac{-21 + 26 - 5}{6} = \frac{0}{6} = 0 bulunur.
Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda değer bulma ve tanım kümesi aralık kontrolü
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 26Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,
f(x)={2x+5,x<2x2−2x,x≥2f(x) = \begin{cases} 2x + 5, & x < 2 \\ x^2 - 2x, & x \ge 2 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(f(a))=3f(f(a)) = 3 eşitliğini sağlayan aa gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitliği sağlayan gerçel sayıların toplamı -1'dir.
Bileşke fonksiyonun tanımından yola çıkarak f(a)=yf(a) = y dönüşümü yapıldığında f(y)=3f(y) = 3 elde edilir. Bu eşitliği sağlayan geçerli değerler parçalı fonksiyonun dalları kontrol edilerek y=−1y = -1 ve y=3y = 3 olarak bulunur. Daha sonra f(a)=−1f(a) = -1 ve f(a)=3f(a) = 3 denklemleri yine parçalı tanımların sınırları kontrol edilerek çözüldüğünde geçerli aa değerlerinin −3-3, −1-1 ve 33 olduğu görülür. Bu değerlerin toplamı −1-1 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
f(f(a))=3f(f(a)) = 3 eşitliğinde f(a)=yf(a) = y değişken değiştirmesi yapılır.
f(y)=3f(y) = 3 denklemi elde edilir.
Bileşke fonksiyon sorularında dıştaki fonksiyondan başlayarak adım adım ilerlemek çözümü kolaylaştırır.
2
f(y)=3f(y) = 3 eşitliğini sağlayan yy değerleri parçalı fonksiyonun kurallarına göre bulunur. y<2y < 2 için 2y+5=32y + 5 = 3 ve y≥2y \ge 2 için y2−2y=3y^2 - 2y = 3 denklemleri çözülür.
y<2y < 2 için y=−1y = -1 (bu değer 22'den küç��k olduğu için geçerlidir). y≥2y \ge 2 için y2−2y−3=0  ⟹  (y−3)(y+1)=0y^2 - 2y - 3 = 0 \implies (y - 3)(y + 1) = 0 denkleminin köklerinden y=3y = 3 geçerlidir (y=−1y = -1 bu aralıkta olmadığı için elenir). Böylece yy değeri −1-1 veya 33 olmalıdır.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda bulunan her değerin, o kuralın geçerli olduğu tanım aralığında olup olmadığı denetlenmelidir.
3
f(a)=−1f(a) = -1 ve f(a)=3f(a) = 3 denklemleri ayrı ayrı çözülerek aa değerleri bulunur.
f(a)=−1f(a) = -1 için: a<2  ⟹  2a+5=−1  ⟹  a=−3a < 2 \implies 2a + 5 = -1 \implies a = -3 (geçerli); a≥2  ⟹  a2−2a=−1  ⟹  (a−1)2=0  ⟹  a=1a \ge 2 \implies a^2 - 2a = -1 \implies (a - 1)^2 = 0 \implies a = 1 (geçersiz, çünkü 1<21 < 2). f(a)=3f(a) = 3 için: a<2  ⟹  2a+5=3  ⟹  a=−1a < 2 \implies 2a + 5 = 3 \implies a = -1 (geçerli); a≥2  ⟹  a2−2a=3  ⟹  (a−3)(a+1)=0  ⟹  a=3a \ge 2 \implies a^2 - 2a = 3 \implies (a - 3)(a + 1) = 0 \implies a = 3 (geçerli) ve a=−1a = -1 (geçersiz, çünkü −1<2-1 < 2).
Elde edilen yy değerleri içteki f(a)f(a) fonksiyonuna eşitlenerek asıl bilinmeyen olan aa değerleri elde edilir.
4
Bulunan geçerli aa değerleri toplanır.
−3+(−1)+3=−1-3 + (-1) + 3 = -1 bulunur.
Soru bizden denklemi sağlayan tüm aa gerçel sayılarının toplamını talep etmektedir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda bileşke işlemi ve değer bulma
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 27Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+2f(2−x)=x2−3x+7f(x) + 2f(2-x) = x^2 - 3x + 7
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Doğru cevap 1'dir.
Verilen fonksiyonda sırasıyla sıfır ve iki yazıldığında elde edilen iki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi çözüldüğünde aranan değer 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonda xx yerine 00 yazarak birinci denklemi elde edin.
f(0)+2f(2)=02−3(0)+7  ⟹  f(0)+2f(2)=7f(0) + 2f(2) = 0^2 - 3(0) + 7 \implies f(0) + 2f(2) = 7 olur.
Aranan değer ile diğer bilinmeyen arasında bir ilişki kurmak.
2
Verilen fonksiyonda xx yerine 22 yazarak ikinci denklemi elde edin.
f(2)+2f(0)=22−3(2)+7  ⟹  2f(0)+f(2)=5f(2) + 2f(0) = 2^2 - 3(2) + 7 \implies 2f(0) + f(2) = 5 olur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini tamamlamak için ikinci bir bağımsız eşitlik elde etmek.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek aranan değeri bulun.
İkinci denklem −2-2 ile çarpılıp birinci denklemle taraf tarafa toplanırsa:
(f(0)+2f(2))−2(2f(0)+f(2))=7−2(5)(f(0) + 2f(2)) - 2(2f(0) + f(2)) = 7 - 2(5)
−3f(0)=−3  ⟹  f(0)=1-3f(0) = -3 \implies f(0) = 1 bulunur.
Diğer değişkeni yok ederek doğrudan hedeflenen fonksiyona ulaşmak.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 28Soru →
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her nn pozitif tam sayısı için
f(n)={n+3,n tek isen2,n c¸ift isef(n) = \begin{cases} n + 3, & n \text{ tek ise} \\ \frac{n}{2}, & n \text{ çift ise} \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(f(f(a)))=5f(f(f(a))) = 5 eşitliğini sağlayan iki basamaklı aa doğal sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 71

Cevap

Eşitliği sağlayan iki basamaklı a doğal sayılarının toplamı 71'dir.
Eşitliği sağlayan iki basamaklı a değerleri sırasıyla 14, 17 ve 40 olup bu sayıların toplamı 71'dir. Bu değerler fonksiyonun tanımındaki tek ve çift olma koşullarını tam olarak sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(f(f(a)))=5f(f(f(a))) = 5 eşitliğinde en dıştaki fonksiyonu çözmek için f(x)=5f(x) = 5 denklemi kurulur.
x=10x = 10 bulunur.
xx tek ise x+3=5  ⟹  x=2x+3=5 \implies x=2 (çelişki, çünkü 2 çifttir). xx çift ise x/2=5  ⟹  x=10x/2=5 \implies x=10 (çiftlik koşuluna uygundur).
2
f(f(a))=10f(f(a)) = 10 eşitliğinden f(y)=10f(y) = 10 denklemi çözülür.
y=7y = 7 veya y=20y = 20 bulunur.
yy tek ise y+3=10  ⟹  y=7y+3=10 \implies y=7 (teklik koşuluna uygundur). yy çift ise y/2=10  ⟹  y=20y/2=10 \implies y=20 (çiftlik koşuluna uygundur).
3
f(a)=7f(a) = 7 ve f(a)=20f(a) = 20 durumları için a değerleri belirlenir.
aa değerleri 14, 17 ve 40 olarak elde edilir.
f(a)=7f(a)=7 için a çift olmalıdır ve a/2=7  ⟹  a=14a/2=7 \implies a=14. f(a)=20f(a)=20 için a tek ise a+3=20  ⟹  a=17a+3=20 \implies a=17, çift ise a/2=20  ⟹  a=40a/2=20 \implies a=40 olur.
4
Elde edilen iki basamaklı a değerlerinin toplamı hesaplanır.
14+17+40=7114 + 17 + 40 = 71 bulunur.
Eşitliği sağlayan iki basamaklı tüm a doğal sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda değer bulma ve fonksiyonel denklemleri tersten çözme
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Fonksiyonlarda Değer Bulma Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin