Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

131 questions

All types131Multiple choice115Numeric16
Question 121Question →

Her bir terimi bir öncekinden 33 fazla olan bir sayı dizisinin ilk nn teriminin toplamı 122122, son nn teriminin toplamı ise 218218'dir.

Bu dizideki tüm terimlerin toplam�� 510510 olduğuna göre, bu dizinin toplam terim sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Bu dizinin toplam terim sayısı 12'dir.
Doğru yanıt, terim sayısı 12 olan seçenektir. İlk ve son n terim toplamlarının simetrisinden N = 3n oranı kurulur. İki toplamın farkından n = 4 hesaplanır. Buradan toplam terim sayısı N = 12 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İlk nn terim ile son nn terimin toplamını toplayarak ardışık sayı dizisinin simetri özelliğini kullanın.
İlk nn terim ve son nn terimin toplamı 122+218=340122 + 218 = 340 olarak bulunur. Bu toplam, n⋅(a1+aN)=340n \cdot (a_1 + a_N) = 340 eşitliğine karşılık gelir.
Dizinin başından ve sonundan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı sabittir ve ilk terim ile son terimin toplamına (a1+aNa_1 + a_N) eşittir.
2
Tüm terimlerin toplamı formülü ile elde edilen eşitliği oranlayarak toplam terim sayısı NN ile nn arasındaki ilişkiyi belirleyin.
Tüm terimlerin toplamı Sall=N2(a1+aN)=510  ⟹  N(a1+aN)=1020S_{all} = \frac{N}{2}(a_1 + a_N) = 510 \implies N(a_1 + a_N) = 1020 olur. Bu eşitlik ile n(a1+aN)=340n(a_1 + a_N) = 340 eşitliği oranlandığında Nn=1020340=3  ⟹  N=3n\frac{N}{n} = \frac{1020}{340} = 3 \implies N = 3n bulunur.
İlk ve son terimin toplamı ortak olduğu için iki toplamı oranlayarak terim sayıları arasında doğrudan bir oran kurabiliriz.
3
İlk nn terimin toplamı ile son nn terimin toplamının farkından yararlanarak ortak fark yardımıyla nn değerini hesaplayın.
Son nn terimin toplamı ile ilk nn terimin toplamı arasındaki fark 218−122=96218 - 122 = 96'dır. Bu fark, terimlerin indis farklarından kaynaklanır ve 3⋅n(N−n)=96  ⟹  n(N−n)=323 \cdot n(N - n) = 96 \implies n(N - n) = 32 eşitliğini verir. N=3nN = 3n yazıldığında n(3n−n)=32  ⟹  2n2=32  ⟹  n2=16  ⟹  n=4n(3n - n) = 32 \implies 2n^2 = 32 \implies n^2 = 16 \implies n = 4 bulunur.
Terimlerin artış miktarı 33 olduğundan, son nn terim ile ilk nn terim arasındaki her bir eşleşen terim farkı (N−n)⋅3(N-n) \cdot 3 kadardır.
4
Bulunan nn değerini terim sayısı bağıntısında yerine yazarak toplam terim sayısını bulun.
N=3n  ⟹  N=3×4=12N = 3n \implies N = 3 \times 4 = 12 olarak elde edilir.
Toplam terim sayısı N=3nN = 3n olarak tanımlandığı için n=4n = 4 değeri doğrudan sonucu verir.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim toplamı, terim sayısı ve simetri özelliği kullanılarak bilinmeyen terim sayısının bulunması.
Estimated Time:1m 30s
Question 122Question →

Ardışık 30 tek tam sayıdan oluşan bir kümenin elemanları küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Bu kümenin ilk nn elemanının toplamı AA, geriye kalan elemanlarının toplamı ise BB olarak hesaplanıyor. B−A=800B - A = 800 ve bu kümedeki en küçük eleman 11 olduğuna göre, nn kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İlk n elemanın sayısını veren değer 10'dur.
Ardışık 30 tek sayının toplamı olan 1200 değeri ile verilen B - A = 800 denklemi birlikte çözüldüğünde ilk n terimin toplamı A = 200 olarak bulunur. İlk terimi 11 ve ortak farkı 2 olan n terimin toplam formülü n(n+10) = 200 şeklinde kurulur. Bu denklemin pozitif kökü n = 10 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Kümenin tüm elemanlarının toplamını bulmak için ilk terim, son terim ve terim sayısı belirlenir.
İlk terim 11, terim sayısı 30'dur. Ardışık tek sayılar ikişer ikişer arttığından son terim 11+29×2=6911 + 29 \times 2 = 69 olur.
Ardışık sayıların toplamını bulabilmek için sınır değerleri ve terim sayısı gereklidir.
2
Kümenin tüm elemanlarının toplamı (T) hesaplanır.
T=30×11+692=1200T = 30 \times \frac{11 + 69}{2} = 1200
Ardışık sayıların toplam formülü uygulanarak toplam değer bulunur.
3
A + B = 1200 ve B - A = 800 denklemlerinden ilk n terimin toplamı olan A değeri çözülür.
İki denklem taraf tarafa çıkarıldığında 2A=400⇒A=2002A = 400 \Rightarrow A = 200 bulunur.
İlk n terimin toplamının kaç olduğunu belirlemek için bu sistem çözülmelidir.
4
İlk terimi 11 ve ortak farkı 2 olan n terimin toplam formülü kurulur ve çözülür.
A=n×11+2×n(n−1)2=n2+10nA = n \times 11 + 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n^2 + 10n elde edilir. Buradan n2+10n=200⇒n2+10n−200=0n^2 + 10n = 200 \Rightarrow n^2 + 10n - 200 = 0 denkleminden (n+20)(n−10)=0(n+20)(n-10)=0 ve n=10n=10 bulunur.
Toplamı veren cebirsel ifadeyi n değerine eşitleyerek terim sayısını bulmak amaçlanır.

Key Concept

Ardışık Sayılar ve Terim Sayısı Toplam Formülleri

Hints

1
Kümenin tüm elemanlarının toplamını bulmak için terim sayısı ve ortalama terim değerini kullanın.
2
Tüm elemanların toplamı A + B olduğuna göre, B - A = 800 bilgisiyle A değerini elde edin.
3
İlk terimi 11 ve ortak farkı 2 olan n terimin toplamını 200'e eşitleyerek n(n+10) = 200 denklemini çözün.

Practice More

Benzer mantıkla çalışan fakat ardışık çift sayılar içeren ve en büyük elemanı verilen bir başka terim sayısı problemi çözülebilir.

Alternative Method

Ardışık tek sayılarda ilk n terimin toplamını bulurken, sayıları 1'den başlatıp terim ekleyip çıkarma yöntemi de kullanılabilir. 1'den 11'e kadar olan tek sayılar (1, 3, 5, 7, 9) eklenip çıkarılarak toplam ifadesi sadeleştirilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 123Question →
xx, yy ve zz asal sayılardır.
x⋅y−z=31x \cdot y - z = 31
x+y+z=16x + y + z = 16
olduğuna göre, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z çarpımının değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 66

Answer

66
Verilen toplamın çift sayı olması, asal sayılardan birinin kesinlikle çift asal sayı olan 2 olmasını gerektirir. z = 2 kabul edildiğinde x * y = 33 elde edilir ve buradan {3, 11} asal sayılarına ulaşılır. Bu sayılar toplam koşulunu da sağladığından çarpımları 2 * 3 * 11 = 66 olur.

Step-by-Step Solution

1
Toplam denkleminden hareketle tek-çift analizi yapmak
Değişkenlerden en az biri 2 olmalıdır.
x + y + z = 16 toplamı çift bir sayıdır. 2 hariç tüm asal sayılar tek sayı olduğundan, üç tek sayının toplamı tek sayı olmalıdır. Toplamın çift olması için asal sayılardan en az birinin ��ift (yani 2) olması gerekir.
2
z = 2 durumunu incelemek
x * y = 33 elde edilir. Buradan x = 3 ve y = 11 (veya tersi) bulunur. Toplamları 3 + 11 + 2 = 16 koşulunu sağlar.
z = 2 ise ilk denklem x * y - 2 = 31 => x * y = 33 olur. 33 sayısının asal çarpanları sadece 3 ve 11'dir.
3
x = 2 durumunu incelemek
2y - z = 31 ve y + z = 14 denklem sistemi elde edilir. Buradan y = 15 bulunur ki bu bir asal sayı değildir.
x = 2 ise ikinci denklemden z = 14 - y olur. İlk denklemde yerine yazıldığında 2y - (14 - y) = 31 => 3y = 45 => y = 15 olur. 15 asal sayı olmadığından bu durumdan çözüm gelmez. y = 2 durumu da simetriktir.
4
Bulunan geçerli köklerin çarpımını hesaplamak
x * y * z = 2 * 3 * 11 = 66 bulunur.
Geçerli tek çözüm kümesi {2, 3, 11} asal sayılarıdır.

Key Concept

Asal sayıların tek-çiftlik özellikleri ve en küçük çift asal sayı olan 2'nin kullanımı
Question 124Question →
nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
60!12n\frac{60!}{12^n}
ifadesi bir tek tam sayı olduğuna göre, nn kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 28

Answer

İfadenin tek tam sayı olmasını sağlayan n değeri 28'dir.
İfadenin tek bir tam sayı olması için sadeleşme sonucunda elde edilen sayıda hiç 2 çarpanı kalmamalıdır. 12n=22n⋅3n12^n = 2^{2n} \cdot 3^n yazıldığında, 60!60! içindeki 2 çarpanlarının sayısı olan 56, paydadaki 2 çarpanlarının sayısı olan 2n2n değerine eşitlenir. Buradan n=28n = 28 bulunur. Ayrıca 60!60! içindeki 3 çarpanlarının sayısı da tam olarak 28 olduğundan, paydadaki 3283^{28} ile paydaki 3283^{28} tam sadeleşir ve sonuç tam sayı olur.

Step-by-Step Solution

1
İfadenin tek sayı olma koşulunu belirleme ve paydayı asal çarpanlarına ayırma.
Paydadaki 2 çarpanlarının sayısı paydaki 2 çarpanlarının sayısına eşit olmalıdır. Payda 22n⋅3n2^{2n} \cdot 3^n olarak ayrıştırılır.
Bir tam sayının tek olması için çarpanları arasında 2 asal sayısının bulunmaması gerekir.
2
60!60! sayısı içindeki 2 asal çarpanının sayısını Legendre formülü ile hesaplama.
60!60! içinde 56 adet 2 çarpanı vardır.
Faktöriyel içindeki bir asal çarpanın sayısını bulmak için sayı sürekli o asala bölünür ve bölümler toplanır.
3
Pay ve paydadaki 2 ��arpanlarının sayısını eşitleyerek n değerini bulma.
2n=56⇒n=282n = 56 \Rightarrow n = 28 bulunur.
Tek sayı elde etmek için paydadaki tüm 2'lerin paydaki tüm 2'leri tam olarak sadeleştirmesi gerekir.
4
n=28n = 28 için paydadaki 3 çarpanlarının sayısını kontrol etme.
60!60! içindeki 3 çarpanı sayısı da 28'dir. Bu durumda paydadaki 3283^{28} ifadesi paydaki 3283^{28} ifadesi ile tam sadeleşir ve sonuç tam sayı kalır.
Elde edilen n değerinin ifadeyi tam sayı yapma koşulunu (paydadaki 3'lerin paydaki 3'lerden fazla olmaması) sağladığından emin olunmalıdır.

Key Concept

Faktöriyel kavramı içerisinde asal çarpan sayısının bulunması ve bölünebilme ilişkileri.
Question 125Question →

Terimleri 3'er 3'er artan ardışık pozitif tam sayılardan oluşan bir dizinin terim sayısı çifttir. Bu dizinin ilk yarısındaki terimlerin toplamı AA, ikinci yarısındaki terimlerin toplamı BB'dir.

B−A=108B - A = 108

Bu dizinin en büyük terimi ile en küçük teriminin toplamı 119119 olduğuna göre, dizinin en küçük terimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 43

Answer

Dizinin en küçük terimi 43'tür.
Dizinin ilk yarısındaki terimler ile ikinci yarısındaki karşılık gelen terimlerin birebir farklarının toplamı 3n23n^2 formülünü verir. Buradan 3n2=108  ⟹  n=63n^2 = 108 \implies n = 6 bulunur ve toplam terim sayısı 1212'dir. En küçük terim a1a_1, en büyük terim ise a12=a1+33a_{12} = a_1 + 33 olup, toplamları 2a1+33=119  ⟹  a1=432a_1 + 33 = 119 \implies a_1 = 43 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin terim sayısını 2n2n olarak tanımlayıp iki yarıya ayırmak.
İlk yarı a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n ve ikinci yarı an+1,an+2,…,a2na_{n+1}, a_{n+2}, \dots, a_{2n} şeklinde nn elemanlı iki gruba ayrılır.
Terim sayısının çift olduğu belirtildiği için iki eşit gruba ayırarak toplam farkını analiz etmek gerekir.
2
Terimler arasındaki fark ilişkisinden yararlanarak grup toplamları arasındaki farkı veren denklemi kurmak.
Her ii için an+i−ai=3na_{n+i} - a_i = 3n olup, toplam farkı B−A=3n2B - A = 3n^2 olarak elde edilir.
Ardışık terimlerin artış miktarı 3 olduğundan, ikinci yarıdaki her terim ilk yarıdaki simetriğinden tam olarak nn terim sonrasıdır ve aradaki fark 3n3n'dir.
3
3n2=1083n^2 = 108 denklemini çözerek terim sayısını bulmak.
n = 6, toplam terim sayısı 2n=122n = 12 olarak bulunur.
Dizinin en büyük terimine ulaşmak için toplam terim sayısının bulunması şarttır.
4
En büyük terimi en küçük terim cinsinden ifade etmek.
a12=a1+33a_{12} = a_1 + 33 olur.
12 terimli ve artış miktarı 3 olan bir dizide son terim ile ilk terim arasında 11 adet artış adımı (11×3=3311 \times 3 = 33) vardır.
5
Verilen toplam değerini kullanarak en küçük terimi hesaplamak.
a1+(a1+33)=119  ⟹  2a1=86  ⟹  a1=43a_1 + (a_1 + 33) = 119 \implies 2a_1 = 86 \implies a_1 = 43 bulunur.
En büyük ve en küçük terimlerin toplamı 119 olarak verilmiştir.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve terimlerin toplamı arasındaki ilişkiler.
Question 126Question →

xx ve yy aralarında asal pozitif tam sayılardır.

EBOB(x,y)=1\text{EBOB}(x, y) = 1 olduğu bilindiğine göre, ardışık iki tek sayı olan xx ve yy için
3x+2y=693x + 2y = 69
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu sayıların en küçük ortak katı olan EKOK(x,y)\text{EKOK}(x, y) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 195

Answer

195
Verilen denklem çözüldüğünde elde edilen ardışık tek sayılar 13 ve 15'tir. Bu sayılar ortak bir asal bölene sahip olmadıkları için aralarında asaldır ve en büyük ortak bölenleri (EBOB) 1'dir. Aralarında asal olan iki sayının en küçük ortak katı (EKOK), bu sayıların çarpımına eşit olduğundan, aranan değer 13 ile 15'in çarpımı olan 195 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Ardışık iki tek sayı olan xx ve yy arasındaki ilişkiyi yazma
y=x+2y = x + 2 veya x=y+2x = y + 2
Ardışık tek sayılar arasındaki fark her zaman 2'dir.
2
y=x+2y = x + 2 durumunu verilen denklemde yerine yazıp çözme
3x+2(x+2)=69  ⟹  5x+4=69  ⟹  5x=65  ⟹  x=133x + 2(x + 2) = 69 \implies 5x + 4 = 69 \implies 5x = 65 \implies x = 13. Buradan y=15y = 15 bulunur.
xx ve yy pozitif tam sayı değerlerini bulmak için denklem çözülür.
3
x=y+2x = y + 2 durumunu kontrol etme
3(y+2)+2y=69  ⟹  5y+6=69  ⟹  5y=633(y + 2) + 2y = 69 \implies 5y + 6 = 69 \implies 5y = 63. Bu denklemin tam sayı çözümü yoktur.
Olası diğer ardışıklık durumunun geçerliliği test edilir.
4
Bulunan x=13x = 13 ve y=15y = 15 sayılarının aralarında asal olup olmadığını denetleme
13 ve 15 sayılarının 1 dışında ortak böleni yoktur, yani EBOB(13,15)=1\text{EBOB}(13, 15) = 1 şartı sağlanır.
Soruda verilen aralarında asal olma ve EBOB koşullarının doğrulanması gerekir.
5
Sayıların en küçük ortak katını (EKOK) hesaplama
EKOK(13,15)=13×15=195\text{EKOK}(13, 15) = 13 \times 15 = 195
Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir.

Key Concept

Aralarında asal iki sayının en büyük ortak böleni 1'e, en küçük ortak katı ise bu sayıların çarpımına eşittir. Kendileri asal olmayan sayılar da aralarında asal olabilir.
Question 127Question →
Birbirinden farklı aa, bb ve cc negatif tam sayıları için
a+b⋅c=24a + b \cdot c = 24
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -19

Answer

Toplamın alabileceği en büyük değer -19'dur.
Doğru cevaba ulaşmak için b⋅c=24−ab \cdot c = 24 - a eşitliğinde a,b,ca, b, c negatif tam sayıları seçilirken toplamı en büyük yapmak amacıyla mutlak değerce en küçük sayılar seçilmelidir. a=−6a = -6 seçildiğinde b⋅c=30b \cdot c = 30 olur ve buradan birbirinden farklı negatif tam sayılar olarak b=−3b = -3, c=−10c = -10 elde edilir. Bu durumda a+b+c=−6+(−3)+(−10)=−19a + b + c = -6 + (-3) + (-10) = -19 bulunur ve bu koşulları sağlayan en büyük toplam değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği düzenleyerek çarpım durumundaki ifadeleri yalnız bırakın.
b⋅c=24−ab \cdot c = 24 - a elde edilir.
Değişkenlerin alabileceği değerleri analiz etmeyi kolaylaştırmak amacıyla b⋅cb \cdot c ifadesi yalnız bırakılır.
2
a,ba, b ve cc negatif tam sayılar olduğu için b⋅cb \cdot c çarpımının işaretini belirleyin.
b<0b < 0 ve c<0c < 0 olduğundan b⋅c>0b \cdot c > 0 olmalıdır. Buradan 24−a>024 - a > 0 ve dolayısıyla 24+∣a∣>2424 + |a| > 24 elde edilir.
Negatif iki sayının çarpımı pozitif olduğu için b⋅cb \cdot c çarpımı 24'ten büyük bir sayı olmalıdır.
3
a+b+ca + b + c toplamının en büyük (yani mutlak değerce en küçük) değerini bulmak için uygun tam sayı değerlerini deneyin.
a=−6a = -6 seçildiğinde b⋅c=30b \cdot c = 30 olur. Çarpımları 30 olan ve birbirinden farklı negatif tam sayılar b=−3b = -3 ve c=−10c = -10 olarak seçilebilir. Bu durumda toplam a+b+c=−6+(−3)+(−10)=−19a + b + c = -6 + (-3) + (-10) = -19 olur. Daha küçük mutlak değerli diğer seçenekler (örneğin a=−2a = -2 için b⋅c=26  ⟹  b=−1,c=−26  ⟹  b \cdot c = 26 \implies b=-1, c=-26 \implies toplam −29-29 veya a=−4a = -4 i��in b⋅c=28  ⟹  b=−2,c=−14  ⟹  b \cdot c = 28 \implies b=-2, c=-14 \implies toplam −20-20) incelendiğinde en büyük değerin −19-19 olduğu görülür.
Tanım kümesindeki 'birbirinden farklı negatif tam sayılar' koşulunu sağlayan en büyük toplamı bulmak için.

Key Concept

Negatif tam sayılarda dört işlem kuralları ve değer verme yöntemleri

Hints

1
Negatif iki sayının çarpımının pozitif bir sayı olacağını unutmayın.
2
b⋅c=24−ab \cdot c = 24 - a eşitliğini elde ettikten sonra, aa negatif olduğu için b⋅c>24b \cdot c > 24 olmalıdır.
3
b⋅cb \cdot c çarpımı 24'ten büyük bir sayı olmalıdır. Toplamı en büyük yapmak için a,b,ca, b, c sayılarını mutlak değerce olabildiğince küçük seçmeye çalışın.

Practice More

Benzer şekilde, pozitif tam sayılar için çarpımın en küçük değerini veya rasyonel sayı kümelerini içeren dört işlem sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

Eşitliği sağlayan değerleri denerken, b⋅cb \cdot c çarpımının 24'ten büyük değerlerini (25, 26, 27, 28, 29, 30...) sırayla çarpanlarına ayırarak a,b,ca, b, c tam sayılarının birbirinden farklı olup olmadığını kontrol edebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 128Question →

Ardışık tek pozitif tam sayılardan oluşan bir sayı dizisinin terim sayısı, bu dizinin en büyük terimi ile en küçük teriminin toplamının yarısından 1212 eksiktir. Bu dizideki terimlerin toplamı 220220 olduğuna göre, bu dizinin en büyük terimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 31

Answer

En büyük terim 3131'dir.
Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile bu terimlerin ortalamasının çarpımına eşittir. Verilen N=A−12N = A - 12 ilişkisi toplam formülünde yerine konulduğunda terim sayısı 1010 ve ortalama 2222 olarak hesaplanır. Ardışık tek sayılarda en büyük terim Ortalama+Terim Sayısı−1\text{Ortalama} + \text{Terim Sayısı} - 1 formülünden 22+10−1=3122 + 10 - 1 = 31 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Terimlerin en büyüğü ile en küçüğünün toplamının yarısının, bu ardışık sayı dizisinin ortalaması (AA) olduğunu belirleme.
A=En Bu¨yu¨k+En Ku¨c¸u¨k2A = \frac{\text{En Büyük} + \text{En Küçük}}{2}
Ardışık sayı dizilerinde ilk ve son terimin toplamının yarısı dizinin aritmetik ortalamasını verir.
2
Terim sayısı (NN) ile ortalama (AA) arasındaki ilişkiyi yazma ve toplam formülünü oluşturma.
N=A−12  ⟹  A=N+12N = A - 12 \implies A = N + 12 ve Toplam =A×N=220= A \times N = 220
Soruda terim sayısının ortalamadan 1212 eksik olduğu verilmiştir. Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile ortalamanın çarpımına eşittir.
3
Denklemi çözerek terim sayısını (NN) bulma.
(N+12)×N=220  ⟹  N2+12N−220=0  ⟹  (N+22)(N−10)=0  ⟹  N=10(N + 12) \times N = 220 \implies N^2 + 12N - 220 = 0 \implies (N+22)(N-10)=0 \implies N=10
Terim sayısı pozitif bir tam sayı olmak zorunda olduğundan negatif kök (N=−22N = -22) elenir ve N=10N = 10 bulunur.
4
Bulunan terim sayısı değerini kullanarak ortalamayı (AA) bulma.
A=10+12=22A = 10 + 12 = 22
A=N+12A = N + 12 bağıntısında N=10N = 10 yazılır.
5
Ortalama ve terim sayısını kullanarak en büyük terimi (xNx_N) hesaplama.
xN=A+N−1=22+10−1=31x_N = A + N - 1 = 22 + 10 - 1 = 31
Ardışık tek sayılar 22'şer 22'şer arttığı için en büyük terim ortalamanın terim sayısının 11 eksiği kadar fazlasına eşittir.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ve ortalama ilişkisi

Hints

1
Herhangi bir ardışık sayı dizisinde en büyük terim ile en küçük terimin toplamının yarısı, dizinin aritmetik ortalamasını verir.
2
Dizinin toplamı, terim sayısı ile bu ortalamanın çarpımına eşittir. Terim sayısına NN ve ortalamaya AA dersek, N=A−12N = A - 12 ve N×A=220N \times A = 220 denklemlerini elde ederiz.
3
N×(N+12)=220N \times (N + 12) = 220 denklemini sağlayan pozitif NN tam sayısını bulduktan sonra, en büyük terimi bulmak için ortalamadan itibaren ardışık tek sayıların nasıl dağıldığını (en büyük terim A+N−1A + N - 1 formülüyle bulunur) düşünün.

Practice More

Benzer mantıkla, terim sayısı ile ortalaması arasında farklı bir ilişki tanımlanmış olan ardışık çift sayı dizilerinde en küçük terimi bulma soruları çözülebilir.

Alternative Method

Denklem kurmak yerine 220220 sayısının çarpanlarını inceleyebiliriz. Aralarındaki fark 1212 olan iki sayının çarpımı 220220 olmalıdır. Bu sayılar 1010 ve 2222 dir. Terim sayısı ortalamadan küçük olduğundan terim sayısı 1010, ortalama ise 2222 olur. Ardışık tek sayıları ortalama olan 2222'nin etrafına simetrik olarak yerleştirirsek, ortadaki iki terim 2121 ve 2323 olur. Toplam 1010 terim olduğu için 2323'ten sonra 44 terim daha ekleyerek en büyük terimi 23+4×2=3123 + 4 \times 2 = 31 olarak bulabiliriz.
Estimated Time:1m 30s
Question 129Question →
x,yx, y ve zz pozitif tam sayıları için
(x+y)⋅(y+z)(x + y) \cdot (y + z)
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. x⋅zx \cdot z
II. xy+zx^y + z
III. x+y+zx + y + z

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: Yalnız II

Answer

Yalnız II ifadesi her zaman çift sayıdır.
Çarpımın tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan x + y ve y + z ifadelerinin tek olduğu anlaşılır. y tek ise x ve z çift; y çift ise x ve z tek olur. Her iki durumda da x ve z aynı teklik-çiftlik durumundadır. y pozitif tam sayı olduğu için x^y ile x aynı teklik-çiftlik karakterindedir. Aynı karaktere sahip iki sayının toplamı her zaman çift olacağından x^y + z toplamı daima çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
(x + y) * (y + z) çarpımının tek sayı olabilmesi için çarpanların teklik-çiftlik durumları belirlenir.
x + y tek sayıdır ve y + z tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için bu sayıların her ikisinin de tek sayı olması gerekir.
2
y sayısının tek veya çift olma durumlarına göre x ve z sayılarının teklik-çiftlik durumları analiz edilir.
Durum 1: y tek ise x çift ve z çift olur. Durum 2: y çift ise x tek ve z tek olur. Her iki durumda da x ve z sayıları aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir.
Toplamları tek olan iki sayıdan biri tek ise diğeri çift olmak zorundadır.
3
Öncüller elde edilen durumlara göre tek tek değerlendirilir.
I. öncülde x * z çarpımı x ve z tek olduğunda tek olur. II. öncülde y pozitif tam sayı olduğundan x^y ile x aynı karakterdedir ve x ile z her zaman aynı karakterde olduğundan x^y + z toplamı daima çifttir. III. öncülde x + y + z toplamı y tek olduğunda çift + tek + çift = tek olur.
Teklik ve çiftlik kuralları öncüllere uygulanarak her zaman çift sayı veren ifade belirlenir.

Key Concept

Tek ve çift sayıların toplama, çarpma ve üs alma işlemlerindeki özellikleri.
Question 130Question →

Bir xx pozitif tam sayısından başlayıp 3'er 3'er artan ardışık 2020 tam sayının toplamı AA, bir yy pozitif tam sayısından başlayıp 4'er 4'er artan ardışık 1515 tam sayının toplamı BB'dir.

A=BA = B ve x+y=52x + y = 52 olduğuna göre, xx kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Doğru cevap 18'dir.
İlk dizinin terimleri toplamı A=20x+570A = 20x + 570 ve ikinci dizinin terimleri toplamı B=15y+420B = 15y + 420 olarak ifade edilir. A=BA = B eşitliğinden 4x−3y=−304x - 3y = -30 elde edilir. x+y=52x + y = 52 denkleminden y=52−xy = 52 - x yazılarak birinci denklemde yerine konduğunda 7x=1267x = 126 ve buradan x=18x = 18 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci dizinin terimleri toplamı olan AA ifadesini xx cinsinden yazalım.
A=20x+570A = 20x + 570
xx ile başlayan, 3'er 3'er artan 20 terimli dizinin son terimi x+19×3=x+57x + 19 \times 3 = x + 57 olur. Terimler toplamı formülüyle A=x+(x+57)2×20=(2x+57)×10=20x+570A = \frac{x + (x + 57)}{2} \times 20 = (2x + 57) \times 10 = 20x + 570 elde edilir.
2
İkinci dizinin terimleri toplamı olan BB ifadesini yy cinsinden yazalım.
B=15y+420B = 15y + 420
yy ile başlayan, 4'er 4'er artan 15 terimli dizinin son terimi y+14×4=y+56y + 14 \times 4 = y + 56 olur. Terimler toplamı formülüyle B=y+(y+56)2×15=2y+562×15=(y+28)×15=15y+420B = \frac{y + (y + 56)}{2} \times 15 = \frac{2y + 56}{2} \times 15 = (y + 28) \times 15 = 15y + 420 elde edilir.
3
A=BA = B eşitliğini kullanarak xx ve yy arasındaki ilişkiyi bulalım.
4x−3y=−304x - 3y = -30
20x+570=15y+420  ⟹  20x−15y=−15020x + 570 = 15y + 420 \implies 20x - 15y = -150 olur. Eşitliğin her iki tarafını 5 ile böldüğümüzde 4x−3y=−304x - 3y = -30 denklemine ulaşırız.
4
x+y=52x + y = 52 denklemini kullanarak yy yerine 52−x52 - x yazalım ve xx değerini bulalım.
x=18x = 18
4x−3(52−x)=−30  ⟹  4x−156+3x=−30  ⟹  7x=126  ⟹  x=184x - 3(52 - x) = -30 \implies 4x - 156 + 3x = -30 \implies 7x = 126 \implies x = 18 bulunur.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve terimler toplamı formüllerinin doğrusal denklem sistemleri ile birlikte uygulanması.

Hints

1
Her iki ardışık sayı dizisinin ilk ve son terimlerini belirleyerek terimler toplamı formülünü uygulayın.
2
Dizilerin toplamları olan AA ve BB ifadelerini xx ve yy cinsinden bulduktan sonra bunları birbirine eşitleyip xx ile yy arasında birinci dereceden bir denklem elde edin.
3
Elde ettiğiniz 4x−3y=−304x - 3y = -30 denklemi ile soruda verilen x+y=52x + y = 52 denklemini ortak çözerek xx değerini çekin.

Practice More

Benzer mantıkla çalışan fakat artış miktarları farklı olan üç dizinin toplam eşitliği sorusunu çözerek denklem kurma becerinizi geliştirebilirsiniz.

Alternative Method

Ardışık sayı dizilerinin toplamı, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir. İlk dizinin ortanca terimi x+(x+57)2=x+28,5\frac{x + (x+57)}{2} = x + 28,5 ve terim sayısı 20 olduğundan A=20(x+28,5)=20x+570A = 20(x + 28,5) = 20x + 570 olur. İkinci dizinin ortanca terimi y+(y+56)2=y+28\frac{y + (y+56)}{2} = y + 28 ve terim sayısı 15 olduğundan B=15(y+28)=15y+420B = 15(y + 28) = 15y + 420 olur. Buradan A=BA = B eşitliği kurulabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 131Question →

Ardışık nn tane tek tam sayının toplamı TT'dir. Bu sayıların her birinden 4 çıkarıldığında elde edilen yeni sayıların toplamı T−72T - 72 olmaktad��r.

Bu sayıların en büyüğü ile en küçüğünün toplamı 44 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 39

Answer

En büyük sayı 39'dur.
Terim sayısı, toplam azalış miktarı olan 72'nin tek bir terimdeki azalış miktarı olan 4'e bölünmesiyle 18 olarak bulunur. Ardışık tek sayılar arasındaki fark 2 olduğundan, 18 terimli bu dizinin en büyük terimi, en küçük teriminden 2×17=342 \times 17 = 34 fazladır. En küçük terime xx dersek, en büyük terim x+34x+34 olur. Bu iki terimin toplamı 2x+34=442x+34 = 44 olduğundan en küçük terim x=5x=5 ve en büyük terim 5+34=395+34 = 39 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Terim sayısını (nn) bulmak için toplamdaki azalış miktarını terim başına yapılan azalış miktarına böleriz.
n=724=18n = \frac{72}{4} = 18 bulunur.
Her bir terimden 4 çıkarıldığında, nn tane terimin toplamı 4n4n kadar azalır. Bu azalış 72'ye eşit olduğundan terim sayısı 18'dir.
2
En küçük terime xx diyerek en büyük terimi xx cinsinden ifade ederiz.
En büyük terim x+2(18−1)=x+34x + 2(18 - 1) = x + 34 olur.
Ardışık tek sayılar ikişer ikişer artar. nn tane terim olduğunda en büyük terim en küçük terimden 2(n−1)2(n-1) kadar fazla olur.
3
En büyük ve en küçük terimlerin toplamının 44 olmasını kullanarak denklem kurup xx'i buluruz.
x+(x+34)=44⇒2x+34=44⇒2x=10⇒x=5x + (x + 34) = 44 \Rightarrow 2x + 34 = 44 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5 bulunur.
Soruda en büyük ve en küçük terimlerin toplamının 44 olduğu belirtilmiştir.
4
Bulduğumuz en küçük terim değerini kullanarak en büyük terimin değerini hesaplarız.
En büyük terim 5+34=395 + 34 = 39 olur.
En büyük terim x+34x + 34 olarak tanımlanmıştı ve x=5x = 5 olarak bulunmuştur.

Key Concept

Ardışık Sayılarda Terim Sayısı ve Terimler Arasındaki Artış İlişkisi

Hints

1
Her bir sayıdan 4 çıkarıldığında toplamın ne kadar azaldığına bakarak terim sayısını (nn) bulun.
2
Ardışık tek sayılar arasındaki artış miktarının 2 olduğunu unutmayın. En küçük terim ile en büyük terim arasındaki farkı terim sayısı cinsinden yazın.

Practice More

Benzer şekilde, ardışık çift sayılar için de aynı kuralların nasıl uygulanacağını pekiştirmek adına artış miktarının 2 olduğunu göz önünde bulundurarak farklı bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

En küçük terim xx ve en büyük terim yy olsun. Terim sayısı formülünden y−x2+1=18⇒y−x=34\frac{y - x}{2} + 1 = 18 \Rightarrow y - x = 34 elde edilir. Soruda verilen y+x=44y + x = 44 denklemi ile bu eşitliği taraf tarafa toplarsak 2y=78⇒y=392y = 78 \Rightarrow y = 39 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
PreviousPage 7 / 7
Temel Kavramlar ve Sayılar Practice Questions — ALES — Page 7 | Examkin