Temel Bileşenler Analizi

108 questions

Bir üretim tesisinde, üretilen parçaların kalite kontrolü amacıyla iki farklı sensörden ölçüm alınmaktadır. Sensör ölçümlerine ( $X_1$ ve $X_2$ ) ait ortalama vektörü $\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 10 \\ 20 \end{bmatrix}$ olarak hesaplanmıştır.

Değişkenlerin kovaryans matrisi üzerinden yapılan Temel Bileşenler Analizi (TBA) sonucunda, en büyük özdeğer $\lambda_1 = 4$ ve bu özdeğere karşılık gelen birinci temel bileşen katsayı (özvektör) matrisi $\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 0.6 \\ -0.8 \end{bmatrix}$ olarak bulunmuştur.

Üretim hattından rastgele seçilen bir parçanın sensör ölçümleri $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 15 \\ 15 \end{bmatrix}$ olarak kaydedilmiştir.

Buna göre, bu parça için hesaplanacak birinci temel bileşen skoru ( $Y_1$ ) ve birinci temel bileşen skorlarının genel varyansı ( $Var(Y_1)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

7 ve 4

-3 ve 4

7 ve 1

-3 ve 1

-7 ve 4

Show answer & explanation

Answer: 7 ve 4

Answer

İlgili gözlemin birinci temel bileşen skoru 7 ve birinci temel bileşen skorlarının varyansı 4'tür.

Doğru yanıt olan seçenekte temel bileşen skoru; ortalamadan arındırılmış değerler (5 ve -5) ile özvektör katsayılarının (0.6 ve -0.8) çarpımlarının toplamı olan 7'yi ve varyansın matematiksel özelliği gereği doğrudan özdeğere (4) eşit olduğunu doğru bir şekilde yansıtmaktadır.

Step-by-Step Solution

Merkezcilleştirilmiş gözlem vektörünü bulmak

\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 15 \\ 15 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 10 \\ 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -5 \end{bmatrix}

Temel bileşen skorları hesaplanırken orijin kaymasını önlemek için gözlem verilerinin ortalamadan arındırılması gerekir.

Birinci temel bileşen skorunu hesaplamak

Y_1 = \mathbf{e}_1^T (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) = 0.6 \times 5 + (-0.8) \times (-5) = 3 + 4 = 7

Temel bileşen skoru, özvektör (katsayılar) ile merkezcilleştirilmiş verinin iç çarpımı (doğrusal kombinasyonu) yoluyla elde edilir.

Birinci temel bileşen skorunun genel varyansını belirlemek

Var(Y_1) = \lambda_1 = 4

Kovaryans matrisine dayalı temel bileşenler analizinde, her bir temel bileşenin açıkladığı varyans ilgili özdeğere (

\lambda

) eşittir.

Key Concept

Temel Bileşen Skorlarının Doğrusal Kombinasyonla Hesaplanması ve Özdeğer-Varyans İlişkisi

Question 82Question →

Bir e-ticaret platformunun veri analitiği ekibi, müşteri profillerini belirlemek amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Analizde müşterilere ait aşağıdaki değişkenler kullanılmıştır:

- $X_1$ : Müşterinin siteyi ziyaret sıklığı (aylık adet)
- $X_2$ : Son bir yılda yapılan toplam harcama tutarı (TL)
- $X_3$ : Sepette bırakılan ürünlerin toplam değeri (TL)
- $X_4$ : Müşterinin platforma kayıtlı olduğu süre (yıl)

Analiz doğrudan örneklem kovaryans matrisi kullanılarak yapıldığında, birinci temel bileşenin (varyansın büyük bir kısmını açıklayan bileşen) neredeyse tamamen $X_2$ ve $X_3$ değişkenlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğu, $X_1$ ve $X_4$ değişkenlerinin ise birinci bileşene katkısının yok denecek kadar az olduğu görülmüştür.

Bu durumun ortaya çıkmasının temel istatistiksel nedeni ve araştırmacıların bu sorunu gidermek için izlemesi gereken en uygun yaklaşım aşağıdakilerden hangisidir?

Değişkenlerin ölçüm birimlerinin ve varyanslarının birbirinden çok farklı olmasıdır; bu nedenle değişkenler standartlaştırılarak analiz korelasyon matrisi üzerinden gerçekleştirilmelidir.

TBA'nın değişkenlerdeki ortak varyans ile ölçüm hatalarını birbirinden ayıramamasıdır; bu nedenle araştırmacılar Temel Bileşenler Analizi yerine Faktör Analizi uygulamalıdır.

Temel bileşen eksenlerinin verinin varyansını maksimize edecek şekilde döndürülmemiş olmasıdır; değişkenlerin birinci bileşene olan yüklerini daha dengeli dağıtmak için Varimax döndürme yöntemi uygulanmalıdır.

Birinci bileşene ait özdeğerin (eigenvalue) toplam varyansa bölünmeden doğrudan yorumlanmasıdır; özdeğerler varyans açıklama oranlarına dönüştürüldüğünde değişkenlerin katkılarının eşitlendiği görülecektir.

Temel Bileşenler Analizi sonuçlarının kullanılan matristen (kovaryans veya korelasyon) bağımsız olarak daima aynı sonuçları üretmesidir; matris seçimi sonuçları değiştirmeyeceği için mevcut yapı üzerinden değerlendirme yapılmalıdır.

Show answer & explanation

Answer: Değişkenlerin ölçüm birimlerinin ve varyanslarının birbirinden çok farklı olmasıdır; bu nedenle değişkenler standartlaştırılarak analiz korelasyon matrisi üzerinden gerçekleştirilmelidir.

Answer

Değişkenlerin ölçüm birimlerinin ve varyanslarının birbirinden çok farklı olması durumudur. Bu etkiyi ortadan kaldırmak için analiz korelasyon matrisi kullanılarak gerçekleştirilmelidir.

Temel Bileşenler Analizi (TBA) ölçek bağımlı (scale-dependent) bir yöntemdir. Değişkenlerin ölçüm birimleri ve dolayısıyla varyansları birbirinden çok farklı olduğunda (örneğin binlerce TL değerindeki harcama tutarları ile 1-10 arasındaki yıl süreleri), analiz doğrudan örneklem kovaryans matrisi üzerinden yapılırsa büyük varyanslı değişkenler oluşturulan ilk temel bileşenleri tamamen domine eder. Bu istenmeyen durumu önlemek ve her değişkenin analize kendi oransal yapısı içinde eşit katkı vermesini sağlamak için, tüm değişkenler standartlaştırılarak (ortalama 0, varyans 1 varsayılarak) analizin korelasyon matrisi üzerinden yapılması gerekir.

Step-by-Step Solution

Verilen değişkenlerin ölçüm birimlerini ve olası varyans aralıklarını karşılaştırın.

X_2

X_3

değişkenleri TL cinsinden (on binler mertebesinde) yüksek varyanslara sahipken,

X_1

(aylık adet) ve

X_4

(yıl) değişkenleri tek haneli veya çok küçük varyanslara sahiptir.

Değişkenler arasındaki varyans uçurumunun tespiti, matris seçimi probleminin temelini oluşturur.

Kovaryans matrisinin temel bileşenler analizi üzerindeki teorik etkisini değerlendirin.

Kovaryans matrisi kullanıldığında, özdeğerler ve özvektörler doğrudan orijinal verinin varyansından etkilenir. Sonuç olarak birinci temel bileşen, sistemdeki varyansı maksimize etme prensibinden dolayı büyük varyanslı değişkenlerin egemenliği altına girer.

TBA'nın ölçek bağımlı (scale-dependent) doğası bu matematiksel davranışı zorunlu kılar.

Sorunu giderecek doğru matris yöntemini belirleyin.

Tüm değişkenlerin standartlaştırılarak (ortalama 0, varyans 1 olacak şekilde dönüştürülmesi) analizin örneklem korelasyon matrisi üzerinden yapılması gerektiği sonucuna varılır.

Korelasyon matrisi kullanılması, her değişkenin temel bileşen inşasına eşit ağırlıkla katılma fırsatı bulmasını sağlar ve birim etkisini elimine eder.

Key Concept

TBA'da Kovaryans ve Korelasyon Matrisi Seçimi ile Ölçek Bağımlılığı (Scale Dependency)

Estimated Time:1m 30s

Question 83Question →

Büyük ölçekli bir meteorolojik çalışmada, 10 farklı iklim parametresi (sıcaklık, nem, rüzgâr hızı vb.) arasındaki doğrusal ilişkileri özetlemek ve veri boyutunu indirgemek amacıyla korelasyon matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) gerçekleştirilmiştir. Yazılım çıktısında yer alan ilk beş özdeğer sırasıyla $\lambda_1 = 4.0$ , $\lambda_2 = 2.5$ , $\lambda_3 = 1.5$ , $\lambda_4 = 0.8$ ve $\lambda_5 = 0.5$ olarak raporlanmıştır. Sistemin ürettiği yamaç grafiği (scree plot) incelendiğinde ise grafikteki ilk yataylaşma eğiliminin (kırılma noktasının) dördüncü bileşende başladığı görülmüştür.

Bu bilgilere göre, analizde Kaiser kriteri ve yamaç grafiği kuralları eşzamanlı olarak uygulandığında seçilmesi gereken optimum bileşen sayısı ile bu bileşenlerin verideki toplam varyansı açıklama oranı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

2 bileşen, %65

3 bileşen, %80

4 bileşen, %88

5 bileşen, %93

Show answer & explanation

Answer: 3 bileşen, %80

Answer

Optimum bileşen sayısı 3 ve açıklanan varyans oranı %80'dir.

Verilen problemde hem Kaiser kriteri (

\lambda > 1

) hem de yamaç grafiğindeki kırılma kuralı (4. noktada kırılma varsa 3 bileşen alınır) 3 bileşenin tutulması gerektiğine işaret etmektedir. Toplam varyans oranının hesaplanmasında payda olarak korelasyon matrisindeki toplam değişken sayısı (10) kullanılır. İlk üç bileşenin özdeğerleri toplamı (4.0 + 2.5 + 1.5) 8'dir. 8/10 işleminden açıklanan varyans oranı %80 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Korelasyon matrisi kullanıldığı için toplam değişken sayısını (p) ve toplam varyansı belirle.

Toplam değişken sayısı

p = 10

'dur. Korelasyon matrisinde her değişkenin varyansı 1 kabul edildiğinden toplam varyans (matrisin izi) 10'dur.

Açıklanan varyans oranını bulabilmek için özdeğerlerin toplamının bölüneceği paydanın (toplam varyans) bilinmesi gerekir.

Kaiser kriterini uygula.

Kaiser kriteri özdeğeri (

\lambda

) 1'den büyük olan bileşenlerin tutulmasını söyler.

\lambda_1=4.0

\lambda_2=2.5

\lambda_3=1.5

değerleri 1'den büyüktür. Ancak

\lambda_4=0.8

değeri 1'den küçüktür. Bu kritere göre 3 bileşen seçilmelidir.

1'den küçük özdeğere sahip bileşenler, tek bir orijinal değişkenin içerdiği bilgiden daha azını açıkladığı için elenmelidir.

Yamaç grafiği (scree plot) bilgisini kontrol et.

Grafikteki kırılma (dirsek) noktasının 4. bileşende olduğu belirtilmiştir. Kural gereği kırılma noktasından hemen önceki bileşen sayısında durulur (

4 - 1 = 3

). Bu durum Kaiser kriterini doğrulamaktadır.

Yamaç grafiği, bileşenlerin marjinal katkılarının görselleştirilerek anlamlı katkı sağlayan son bileşenin tespitini sağlar.

Seçilen 3 bileşenin toplam varyansı açıklama oranını hesapla.

İlk 3 bileşenin özdeğer toplamı:

4.0 + 2.5 + 1.5 = 8.0

. Açıklanan varyans oranı =

8.0 / 10 = 0.80

yani %80 olarak bulunur.

Seçilen bileşenlerin veriyi ne ölçüde temsil ettiğini nicel olarak raporlamak için birikimli varyans oranı hesaplanmalıdır.

Key Concept

Temel Bileşenler Analizinde (TBA) bileşen sayısını belirlemek için kullanılan Kaiser kriteri (

\lambda > 1

) ve Yamaç Grafiği (Scree Plot) dirsek noktası yorumlaması.

Question 84Question →

Bir makine öğrenmesi mühendisi, geliştireceği modelde aşırı öğrenme (overfitting) riskini azaltmak ve çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) sorununu gidermek amacıyla veri setine boyut indirgeme işlemi uygulayacaktır. Veri setinde yer alan bağımsız değişkenler farklı ölçek ve birimlerde (sıcaklık, basınç, miktar vb.) ölçülmüştür. Mühendis, veri setinin varyans-kovaryans yapısını özetleyerek toplam varyansı en yüksek oranda açıklayacak ve kendi aralarında dik (ortogonal) olacak yeni bileşenler türetmeyi hedeflemektedir. Ayrıca, veri setindeki değişkenler arası korelasyonların istatistiksel olarak anlamlı olduğu Bartlett Küresellik Testi ile doğrulanmıştır.

Bu bilgilere göre, mühendisin izlemesi gereken analiz yöntemi ve kullanması gereken matris türü ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Veri setindeki orijinal değişkenlik yapısını bozmamak adına analizin kovaryans matrisi üzerinden yapılması ve Temel Bileşenler Analizi ile boyut indirgenmesi daha uygundur.

Değişkenler arasındaki ilişkinin temelinde yatan gözlemlenemeyen gizil değişkenleri modellemek amacıyla, toplam varyans yerine ortak varyansı temel alan Faktör Analizi uygulanmalıdır.

Değişkenlerin farklı ölçüm birimlerine sahip olması nedeniyle analizin korelasyon matrisi üzerinden yürütülmesi ve toplam varyansın açıklanmasına odaklanan Temel Bileşenler Analizi kullanılması gerekir.

Bartlett Küresellik Testi'nin anlamlı çıkması korelasyon matrisinin birim matris olduğunu kanıtladığından, değişkenlerin birbirine dik olduğu varsayımıyla dönüştürme yapılmadan analize başlanmalıdır.

Temel Bileşenler Analizinin temel varsayımı gereği, analize dahil edilen orijinal değişkenlerin kendi aralarında hiçbir doğrusal ilişki (korelasyon) bulunmaması gerektiğinden bu veri seti boyut indirgemeye uygun değildir.

Show answer & explanation

Answer: Değişkenlerin farklı ölçüm birimlerine sahip olması nedeniyle analizin korelasyon matrisi üzerinden yürütülmesi ve toplam varyansın açıklanmasına odaklanan Temel Bileşenler Analizi kullanılması gerekir.

Answer

Temel Bileşenler Analizi (TBA), birbiriyle ilişkili değişkenlerin boyutunu küçültürken veri setindeki toplam varyansı maksimum düzeyde açıklamayı ve dik (ortogonal) yeni bileşenler türetmeyi amaçlar. Değişkenlerin ölçüm birimleri farklı olduğunda varyansı sayısal olarak büyük olan değişkenin ilk bileşenleri domine etmesini engellemek için kovaryans matrisi yerine mutlaka korelasyon matrisi (veya standartlaştırılmış veri) kullanılmalıdır. Bu nedenle amaca ve veri yapısına en uygun istatistiksel adım korelasyon matrisi üzerinden TBA uygulamaktır.

Step-by-Step Solution

Araştırmanın istatistiksel amacının belirlenmesi

Araştırmacı gizil (latent) değişkenler bulmak yerine toplam varyansı açıklayan ve birbirine dik olan yeni bileşenler türetmeyi hedeflemektedir.

Toplam varyansın maksimizasyonu ve ortogonal bileşen üretimi, Faktör Analizi'nin değil doğrudan Temel Bileşenler Analizi'nin (TBA) temel işlevidir.

Değişken ölçeklerine göre uygun matris tipinin seçilmesi

Değişkenler farklı ölçüm birimlerine (sıcaklık, basınç vb.) sahip olduğundan, birim farklılıklarının analizi bozmaması için korelasyon matrisi seçilmelidir.

Farklı birimlere sahip verilerde kovaryans matrisi kullanılırsa, yalnızca ölçeğinden dolayı varyansı büyük görünen değişkenler elde edilecek bileşenleri haksız biçimde domine eder.

Analiz varsayımlarının test sonuçlarıyla yorumlanması

Bartlett Küresellik Testi'nin anlamlı çıkması, değişkenler arasında TBA yapabilmek için gerekli olan minimum doğrusallık ve korelasyonun var olduğunu doğrulamıştır.

TBA'nın uygulanabilmesi için değişkenler arası korelasyon matrisinin birim matristen farklı olması şarttır.

Key Concept

Temel Bileşenler Analizinde Amaca Uygun Matris Seçimi ve Veri Varsayımları

Question 85Question →

Çok değişkenli istatistiksel analiz tekniklerinden biri olan Temel Bileşenler Analizi'nin (TBA) uygulanmasındaki birincil amaç aşağıdakilerden hangisidir?

Değişkenlerin altında yatan gizil (latent) faktör yapısını ortaya çıkarmak ve hata terimlerini modellemek

Birbiriyle ilişkili değişkenleri, toplam varyansın büyük kısmını açıklayan ve birbirleriyle korelasyonsuz olan daha az sayıda yeni değişkene dönüştürmek

Değişkenler arasında korelasyon bulunmadığı (birim matris durumu) veri setlerinde değişkenleri gruplandırmak

Farklı birimlerle ölçülen değişkenler söz konusu olduğunda, veriyi ölçeklendirmeden doğrudan kovaryans matrisini kullanmak

Gözlemleri aralarındaki benzerlik veya uzaklık ölçülerine göre homojen alt gruplara ayırmak

Show answer & explanation

Answer: Birbiriyle ilişkili değişkenleri, toplam varyansın büyük kısmını açıklayan ve birbirleriyle korelasyonsuz olan daha az sayıda yeni değişkene dönüştürmek

Answer

Temel Bileşenler Analizi'nin amacı, birbiriyle ilişkili orijinal değişkenleri, toplam varyansın büyük kısmını temsil eden ve birbirleriyle korelasyonsuz olan daha az sayıda yeni değişkene (bileşenlere) dönüştürerek boyut indirgemektir.

Temel Bileşenler Analizi'nin (TBA) birincil fonksiyonu, çok sayıda birbiriyle ilişkili değişkenin içerdiği bilgiyi, veri kaybını minimize ederek daha az sayıda ve birbiriyle korelasyonsuz (dik) bileşenle ifade etmektir. Bu süreç, varyansın maksimize edildiği yeni eksenlerin bulunması esasına dayanır.

Step-by-Step Solution

Değişkenler arası korelasyon yapısının kontrol edilmesi

Analizin anlamlı olabilmesi için orijinal değişkenler arasında belirli bir düzeyde korelasyon olmalıdır.

TBA, değişkenler arasındaki ortak varyasyonu kullanarak bilgiyi özetler.

Varyansın maksimum olduğu yeni yönlerin (bileşenlerin) belirlenmesi

Birinci temel bileşen toplam varyansın en büyük kısmını açıklar, diğerleri azalarak devam eder.

Eksen döndürmesi yapılarak değişkenler arası korelasyon sıfırlanır (dikleştirme).

Boyut indirgeme kararının verilmesi

Toplam varyansın %70-80 gibi büyük bir kısmını açıklayan ilk birkaç bileşen seçilir.

Orijinal

p

adet değişken yerine daha az sayıda bileşenle veri seti temsil edilir.

Key Concept

Boyut İndirgeme ve Dekorelasyon

Question 86Question →

Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamasında, birbiriyle ilişkili orijinal değişkenlerden elde edilen yeni temel bileşenlerin geometrik konumu ve bu bileşenlerin istatistiksel ilişkisi hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Temel bileşenler birbirine geometrik olarak diktir (ortogonaldir) ve aralarındaki korelasyon sıfırdır.

Temel bileşenler orijinal değişkenlere her zaman paraleldir ve toplam varyansı eşit şekilde paylaşırlar.

Temel bileşenler eğik (oblik) bir açıyla oluşturulur ve bu sayede faktörler arasındaki ilişkinin devam etmesi sağlanır.

Temel bileşenler sadece değişkenler standartlaştırıldığında diklik özelliği gösterir; ham verilerde bu özellik kaybolur.

Temel bileşenler arasındaki diklik özelliği, analizde kullanılan gözlem sayısı değişken sayısından az olduğunda bozulur.

Show answer & explanation

Answer: Temel bileşenler birbirine geometrik olarak diktir (ortogonaldir) ve aralarındaki korelasyon sıfırdır.

Answer

Temel bileşenler geometrik olarak birbirine diktir ve aralarındaki korelasyon sıfırdır.

Temel Bileşenler Analizi'nde, özvektörler matrisi ortogonal olduğu için yeni oluşturulan eksenler (bileşenler) birbirine

90^{\circ}

'lik açıyla (dik) konumlanır. Bu geometrik diklik, istatistiksel olarak bileşenler arasındaki korelasyonun tam olarak sıfır olması (ilişkisizlik) anlamına gelir.

Step-by-Step Solution

TBA'nın matematiksel altyapısını incele.

TBA,

\mathbf{\Sigma}

kovaryans matrisinin

\mathbf{\Sigma} = \mathbf{E\Lambda E'}

spektral ayrışımını kullanır. Burada

\mathbf{E}

matrisi özvektörlerden oluşur.

Bileşenlerin nasıl oluşturulduğunu anlamak için temel matris dönüşümünü bilmek gerekir.

Dönüşüm matrisinin özelliğini belirle.

\mathbf{E}

matrisi ortogonal bir matristir, yani

\mathbf{E'E} = \mathbf{I}

'dır. Bu, geometrik olarak bir katı döndürme (rigid rotation) anlamına gelir.

Diklik özelliğinin kaynağı, özvektörler matrisinin ortogonal olmasıdır.

Yeni değişkenlerin (bileşenlerin) istatistiksel ilişkisini değerlendir.

Y = E'X

dönüşümü ile elde edilen

Y

bileşenlerinin varyans-kovaryans matrisi köşegen bir matristir (özdeğerler matrisi

\mathbf{\Lambda}

Köşegen dışı elemanların sıfır olması, bileşenler arasındaki kovaryansın ve dolayısıyla korelasyonun sıfır olduğunu kanıtlar.

Key Concept

Temel Bileşenler Analizi'nde bileşenler, orijinal değişkenlerin varyans elipsoidinin ana eksenleri boyunca yapılan bir dik döndürme sonucu elde edilir ve birbirleriyle ilişkisizdir.

Practice More

Bileşenlerin varyanslarını temsil eden özdeğerlerin toplamı ile orijinal değişkenlerin varyansları toplamı (İz) arasındaki ilişkiyi inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 87Question →

Bir kalite kontrol mühendisi, bir üretim hattındaki makinelerin verimliliğini değerlendirmek amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamayı planlamaktadır. Analize dahil edilen değişkenler şunlardır:

Değişken	Ölçüm Birimi
Günlük Çalışma Süresi	$Saat$
Üretilen Parça Sayısı	$Adet$
Hata Oranı	$Yüzde\ (\%)$

Değişkenlerin farklı ölçüm birimlerine sahip olması nedeniyle, sayısal değerleri büyük olan değişkenlerin analizi domine etmesini önlemek ve tüm değişkenlerin analize eşit ağırlıkla katılmasını sağlamak için hangi matrisin kullanılması en uygundur?

Korelasyon Matrisi

Kovaryans Matrisi

Birim Matris

Özdeğer Matrisi

Ters Kovaryans Matrisi

Show answer & explanation

Answer: Korelasyon Matrisi

Answer

Değişkenlerin farklı birimlerde ölçüldüğü senaryolarda, ölçek etkisini ortadan kaldırmak için Korelasyon Matrisi kullanılmalıdır.

Doğru seçenek olan matris türü, değişkenlerin standartlaştırılmış halleri arasındaki ilişkileri temel alır. Soruda belirtilen 'saat', 'adet' ve 'yüzde' gibi farklı birimlerin birbirini baskılamaması için verilerin standartlaştırılması şarttır. Korelasyon matrisi üzerinden yapılan analiz, her değişkenin varyansını eşit (1) kabul ederek ölçek sorununu ortadan kaldırır.

Step-by-Step Solution

Veri setindeki değişkenlerin birimlerini kontrol et.

Değişkenlerin saat, adet ve yüzde (%) gibi farklı birimlerde olduğu görülmektedir.

Farklı birimler, değişkenlerin varyanslarının birbirleriyle kıyaslanamaz hale gelmesine neden olur.

Birim farkının analize etkisini değerlendir.

Doğrudan ham veriler (kovaryans) kullanılırsa, sayısal olarak büyük değerlere sahip değişken (örneğin adet), toplam varyansı domine eder.

TBA, toplam varyansı maksimize etmeye çalıştığı için büyük varyanslı değişkeni otomatik olarak en önemli bileşen olarak algılar.

Uygun standartlaştırma yöntemini seç.

Tüm değişkenlerin varyansını 1'e eşitleyen standartlaştırma işlemi uygulanmalı ve analiz Korelasyon Matrisi ile yapılmalıdır.

Korelasyon matrisi kullanmak, her değişkenin analize eşit ağırlıkta girmesini sağlar.

Key Concept

TBA'da matris seçimi, değişkenlerin ölçüm ölçeklerine ve birimlerine bağlıdır. Standartlaştırma yapılmış veri seti üzerinde çalışmak, korelasyon matrisini kullanmak demektir.

Practice More

Korelasyon matrisi kullanıldığında elde edilen özdeğerlerin toplamının, analize giren toplam değişken sayısına eşit olması gerektiğini hatırlayınız.

Estimated Time:45s

Question 88Question →

Bir eğitim bilimci, öğrencilerin akademik başarılarını etkileyen faktörleri incelemek üzere $p=5$ farklı sınav skorundan oluşan bir veri setine boyut indirgeme amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) yapmıştır. Değişkenlerin korelasyon matrisi kullanılarak gerçekleştirilen analiz sonucunda ilk beş temel bileşene ait özdeğerler ( $\lambda$ ) sırasıyla şu şekilde elde edilmiştir:

$\lambda_1 = 2,4$
$\lambda_2 = 1,2$
$\lambda_3 = 0,8$
$\lambda_4 = 0,4$
$\lambda_5 = 0,2$

Buna göre, Kaiser kriteri dikkate alındığında eğitim bilimcinin analizde tutması gereken bileşen sayısı ve bu bileşenlerin veri setindeki toplam varyansı açıklama oranı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

2 bileşen, %72

3 bileşen, %88

1 bileşen, %48

2 bileşen, %3,6

Show answer & explanation

Answer: 2 bileşen, %72

Answer

Doğru yanıt, 2 bileşen tutulması ve bu bileşenlerin toplam varyansın %72'sini açıklamasıdır.

Kaiser kriteri, korelasyon matrisi kullanılarak yapılan analizlerde yalnızca özdeğeri (

\lambda

) 1'den büyük olan bileşenlerin tutulmasını gerektirir. Verilen özdeğerlere bakıldığında

\lambda_1 = 2,4

\lambda_2 = 1,2

değerleri 1'den büyüktür, dolayısıyla 2 bileşen tutulmalıdır. Korelasyon matrisinde toplam varyans değişken sayısına (

p=5

) eşittir. Bu 2 bileşenin açıkladığı varyans oranı ise tutulan özdeğerler toplamının toplam varyansa bölünmesiyle

(2,4 + 1,2) / 5 = %72

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Kaiser kriterine göre tutulacak bileşen sayısını belirleme.

\lambda_1 = 2,4 > 1

\lambda_2 = 1,2 > 1

olduğundan ilk 2 bileşen tutulur.

Kaiser kriteri (Özdeğer > 1 kuralı), korelasyon matrisi üzerinden yapılan TBA'da bir bileşenin en az bir orijinal değişken kadar varyans açıklaması gerektiğini belirtir.

Korelasyon matrisinin toplam varyansını (izini) bulma.

Toplam varyans =

p = 5

'tir (tüm özdeğerlerin toplamı:

2,4 + 1,2 + 0,8 + 0,4 + 0,2 = 5,0

Korelasyon matrisinin köşegen elemanları 1 olduğu için matrisin izi (toplam varyans) değişken sayısına eşittir.

Tutulan bileşenlerin açıklanan varyans oranını hesaplama.

(2,4 + 1,2) / 5 = 3,6 / 5 = 0,72

(yani %72) bulunur.

Açıklanan varyans oranı, tutulan bileşenlerin özdeğerleri toplamının toplam varyansa oranlanmasıyla elde edilir.

Key Concept

Kaiser Kriteri ve Açıklanan Varyans Oranı

Question 89Question →

Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanan bir araştırmada, üç değişkene ait varyans-kovaryans matrisinin ana köşegen elemanları (değişken varyansları) sırasıyla $14, 10$ ve $6$ olarak hesaplanmıştır. Bu matris üzerinden elde edilecek tüm özdeğerlerin ( $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ ) toplamı kaçtır?

840

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Özdeğerlerin toplamı 30'dur.

Çok değişkenli analizde ve lineer cebirde, bir kare matrisin özdeğerlerinin toplamı, o matrisin ana köşegeni üzerindeki elemanların toplamı olan izine (trace) eşittir. Temel Bileşenler Analizi'nde varyans-kovaryans matrisinin izi toplam varyansı temsil eder. Soruda verilen

14, 10

6

değerlerinin toplamı

30

olduğu için, bu matristen elde edilecek özdeğerlerin toplamı da

30

olacaktır.

Step-by-Step Solution

Matrisin izini (trace) belirle.

İz(\mathbf{\Sigma}) = 14 + 10 + 6 = 30

Varyans-kovaryans matrisinin ana köşegen elemanlarının toplamı matrisin izini verir.

Özdeğerler ve iz arasındaki ilişkiyi kullan.

\sum_{i=1}^{p} \lambda_i = İz(\mathbf{\Sigma})

Lineer cebir ve çok değişkenli analiz özelliklerine göre, bir matrisin özdeğerlerinin toplamı, o matrisin izine (ana köşegen elemanlarının toplamına) eşittir.

Sonucu doğrula.

14 + 10 + 6 = 30

Verilen varyans değerlerinin toplamı, toplam varyansı ve dolayısıyla özdeğerlerin toplamını ifade eder.

Key Concept

Özdeğerlerin toplamı matrisin izine (trace) eşittir.

Practice More

Özdeğerlerin çarpımı ile matrisin determinantı arasındaki ilişkiyi inceleyen benzer bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Toplam varyans kavramından yola çıkarak, her bir değişkenin varyansının toplam veri seti varyansına katkısı düşünüldüğünde, tüm bileşenlerin (özdeğerlerin) bu toplam varyansı tam olarak paylaştığı hatırlanabilir.

Estimated Time:45s

Question 90Question →

Bir araştırmacı, üç değişkenli ( $X_1, X_2, X_3$ ) bir veri setine ait varyans-kovaryans matrisini kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) gerçekleştirmiştir. Analiz sonucunda elde edilen birinci temel bileşen ( $Y_1$ ) şu doğrusal kombinasyon ile ifade edilmektedir:

Y_1 = \frac{2}{3}X_1 + kX_2 + \frac{1}{3}X_3

Temel bileşen katsayılarının normalize edildiği (katsayıların kareleri toplamının 1'e eşit olduğu) bilindiğine göre, $k$ katsayısının pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{4}{9}

\frac{5}{9}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2}{3}$

Answer

Birinci temel bileşenin normalize edilmiş katsayılar kümesinde yer alan k katsayısının pozitif değeri 2/3'tür.

Temel Bileşenler Analizi'nde her bir temel bileşeni oluşturan katsayılar (özvektör bileşenleri), katsayıların kareleri toplamı 1 olacak şekilde normalize edilir. Soruda verilen katsayılar için

(\frac{2}{3})^2 + k^2 + (1/3)^2 = 1

eşitliği kurulduğunda,

\frac{4}{9} + k^2 + \frac{1}{9} = 1

elde edilir. Buradan

k^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}

olur ve pozitif değer olarak 2/3 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Normalizasyon kuralını (katsayı kareleri toplamının 1 olması) belirle.

a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2 = 1

Temel bileşen analizinde katsayılar vektörünün birim uzunlukta (normalize) olması zorunludur.

Verilen katsayı değerlerini formülde yerine koy.

(\frac{2}{3})^2 + k^2 + (1/3)^2 = 1

Doğrusal kombinasyonda verilen katsayıların karesi alınarak işleme dahil edilir.

Bilinmeyen katsayının karesini hesapla.

\frac{4}{9} + k^2 + \frac{1}{9} = 1 \Rightarrow \frac{5}{9} + k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{4}{9}

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılarak bilinmeyen yalnız bırakılır.

Katsayının pozitif değerini bulmak için karekök al.

k = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}

Soruda katsayının pozitif değeri istendiği için karekökün pozitif sonucu alınır.

Key Concept

Temel Bileşen Katsayılarının Normalizasyonu

Estimated Time:45s

Question 91Question →

Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamasında, orijinal değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak elde edilen temel bileşenlerin katsayı vektörlerinin normalleştirilmiş (birim uzunlukta) olması gerekmektedir. İki değişkenli bir analizde birinci temel bileşen $Y_1 = a_1 X_1 + 0,6 X_2$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, normalizasyon kısıtını sağlamak üzere $a_1$ katsayısının alabileceği pozitif değer aşağıdakilerden hangisidir?

0,4

0,64

0,8

0,16

0,36

Show answer & explanation

Answer: 0,8

Answer

Normalizasyon kısıtını sağlayan pozitif katsayı değeri 0,8 olmalıdır.

Temel Bileşenler Analizi'nde temel bileşeni oluşturan katsayıların kareleri toplamı 1'e eşit olmalıdır.

0,8

değeri bu kısıtı sağlayan değerdir çünkü

0,8^2 + 0,6^2 = 0,64 + 0,36 = 1

eşitliğini tam olarak karşılar.

Step-by-Step Solution

Normalizasyon kısıtının tanımlanması

a_1^2 + a_2^2 = 1

Temel Bileşenler Analizi'nde katsayı vektörlerinin (özvektörlerin) birim uzunlukta olması şarttır.

Verilen değerin yerine yerleştirilmesi

a_1^2 + 0,6^2 = 1

İkinci katsayı 0,6 olarak verildiği için denklemde yerine yazılır.

Denklemin çözülmesi

a_1^2 = 0,64 \Rightarrow a_1 = 0,8

1 - 0,36 = 0,64

işleminin ardından karekök alınarak katsayı bulunur.

Key Concept

Temel Bileşen Katsayılarında Normalizasyon Kısıtı

Practice More

Üç değişkenli bir analizde katsayıların normalizasyonunu hesaplayarak kavramı pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 92Question →

Bir kamu kurumunda yürütülen verimlilik çalışması kapsamında, $3$ farklı performans göstergesine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmıştır. Analiz sonucunda varyans-kovaryans matrisine ait özdeğerler $(\lambda_i)$ aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Özdeğer	Değer
$\lambda_1$	$6$
$\lambda_2$	$4$
$\lambda_3$	$2$

Buna göre, bu gösterge setine ait toplam varyans değeri aşağıdakilerden hangisidir?

12

48

6

4

2

Show answer & explanation

Answer: $12$

Answer

Toplam varyans değeri

12

olarak hesaplanır.

Temel Bileşenler Analizi'nde (TBA), değişkenler arasındaki toplam varyans, varyans-kovaryans matrisinin ana köşegen elemanlarının toplamı olan 'iz' (trace) değerine karşılık gelir. Matris cebiri özelliklerine göre bir matrisin izi, o matrisin özdeğerlerinin toplamına eşittir. Dolayısıyla toplam varyans

6 + 4 + 2 = 12

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Toplam varyans ile özdeğerler arasındaki ilişkinin belirlenmesi

Toplam Varyans

= \sum_{i=1}^{p} \lambda_i = \text{İz}(\mathbf{\Sigma})

Temel Bileşenler Analizi'nde, orijinal değişkenlerin toplam varyansı, varyans-kovaryans matrisinin özdeğerlerinin toplamına eşittir.

Verilen özdeğerlerin toplanması

6 + 4 + 2 = 12

Analiz sonucunda elde edilen üç özdeğerin toplamı hesaplanmalıdır.

Key Concept

Özdeğerlerin toplamı (matris izi) toplam varyansı temsil eder.

Hints

TBA'da toplam varyans ile özdeğerler

(\lambda)

arasında doğrusal bir ilişki vardır.

Bir matrisin izi (trace), o matrisin özdeğerlerinin toplamına eşittir.

Practice More

Özdeğerleri kullanarak birinci temel bileşenin toplam varyansı açıklama oranını hesaplamayı deneyin.

Estimated Time:45s

Question 93Question →

Bir araştırmacı, iki değişkenli bir veri seti üzerinde varyans-kovaryans matrisini kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) gerçekleştirmiştir. Elde edilen birinci temel bileşenin ( $Y_1$ ) varyansı, ilgili özdeğer olan $\lambda_1$ değerine eşittir. Bu temel bileşene ait doğrusal kombinasyon şu şekildedir:

Y_1 = 0,6X_1 + kX_2

Katsayılar vektörünün normalize edildiği (birim uzunlukta olduğu) bilindiğine göre, $k$ katsayısının pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,8

0,4

0,64

0,16

0,36

Show answer & explanation

Answer: 0,8

Answer

Temel bileşen katsayılarının normalize edilmesi kuralına göre k katsayısının pozitif değeri 0,8'dir.

Temel Bileşenler Analizi'nde temel bileşenleri temsil eden özvektörler birim uzunluğa (normalize) sahip olacak şekilde seçilir. Bu durumda katsayıların kareleri toplamı (

0,6^2 + k^2

) 1'e eşit olmalıdır.

0,36 + k^2 = 1

işleminden

k^2 = 0,64

ve buradan

k = 0,8

bulunur.

Step-by-Step Solution

Normalizasyon kuralını hatırla

Temel bileşen katsayı vektörünün (

a

) birim uzunlukta olması için

a'a = 1

veya

\sum a_i^2 = 1

olmalıdır.

TBA'da katsayıların tekilliğini sağlamak ve varyansı özdeğere eşitlemek için bu kısıt uygulanır.

Verilen katsayılar ile denklem kur

0,6^2 + k^2 = 1

Orijinal değişkenlerin katsayılarının kareleri toplamı 1'e eşitlenmelidir.

Kare alma ve çıkarma işlemini yap

0,36 + k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = 0,64

Denklemdeki bilinmeyeni yalnız bırakmak için sabit terim karşı tarafa atılır.

Karekök alarak k değerini bul

\sqrt{0,64} = 0,8

Pozitif katsayı değeri istendiği için karekökün pozitif sonucu alınır.

Key Concept

Temel Bileşen Katsayılarının Normalizasyonu

Practice More

Üç değişkenli bir modelde iki katsayı verilip üçüncüsünün istenmesi durumunu inceleyiniz.

Estimated Time:45s

Question 94Question →

Bir beslenme uzmanı, danışanlarının 8 farklı metabolik ölçümü (insülin direnci, trigliserid, HDL, kan şekeri vb.) arasındaki değişkenliği özetlemek amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Değişkenlerin standartlaştırılmasıyla elde edilen korelasyon matrisine ait özdeğerler (eigenvalues) büyükten küçüğe doğru şu şekildedir:

$2.92, 1.34, 0.98, 0.81, 0.72, 0.54, 0.41, 0.28$

Buna göre, Kaiser kriteri (özdeğer > 1) esas alındığında, analizde kaç temel bileşen seçilmelidir?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Verilen özdeğerler listesinde 1'den büyük olan iki değer (2.92 ve 1.34) bulunduğu için 2 temel bileşen seçilmelidir.

Doğru cevap, Kaiser kriterinin temel kuralı olan 'özdeğeri 1'den büyük olan bileşenlerin seçilmesi' ilkesine dayanmaktadır. Veri setinde sunulan özdeğerler incelendiğinde, yalnızca ilk iki bileşenin özdeğerleri (2.92 ve 1.34) bu eşiğin üzerindedir. Üçüncü bileşen 0.98 ile eşiğin altında kaldığından analize dahil edilmez.

Step-by-Step Solution

Değişkenlerin standartlaştırılıp standartlaştırılmadığını kontrol etme

Değişkenler standartlaştırıldığı için analiz korelasyon matrisi üzerinden yapılmıştır ve Kaiser eşik değeri 1 olarak alınır.

Kaiser kriteri, korelasyon matrisi kullanıldığında her bir orijinal değişkenin varyansının 1 olmasına dayanır.

Özdeğerlerin (eigenvalues) eşik değer ile karşılaştırılması

2.92 > 1

1.34 > 1

0.98 < 1

... şeklinde devam eder.

Yalnızca özdeğeri 1'den büyük olan bileşenler, orijinal bir değişkenden daha fazla varyans açıkladıkları için modele dahil edilir.

Koşulu sağlayan bileşen sayısının belirlenmesi

İki adet özdeğer (2.92 ve 1.34) 1'den büyüktür.

Seçilecek bileşen sayısı, kriteri sağlayan özdeğer sayısına eşittir.

Key Concept

Kaiser Kriteri (Özdeğer > 1 Kuralı)

Hints

Kaiser kriterinin temel eşik değerini hatırlayın.

Özdeğerler listesinde kaç tane değerin tam olarak 1 sayısından büyük olduğunu sayın.

Practice More

Yamaç grafiği (Scree Plot) üzerindeki 'kırılma noktası' veya 'dirsek' yöntemini inceleyerek bu sorudaki verilerle karşılaştırın.

Estimated Time:45s

Question 95Question →

Temel Bileşenler Analizi (TBA) sonucunda elde edilen yeni değişkenler (temel bileşenler) arasındaki geometrik ilişki ve bu bileşenlerin korelasyon yapısı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Temel bileşenler birbirine diktir (ortogonaldir) ve aralarındaki korelasyon sıfırdır.

Temel bileşenler birbirine paraleldir ve aralarındaki korelasyon katsayısı her zaman +1 değerindedir.

Temel bileşenler geometrik olarak eğik (oblik) bir yapıdadır ve aralarında her zaman yüksek korelasyon bulunur.

Temel bileşenlerin birbirine dik olması için veri setinin mutlaka standartlaştırılmış (z-puanları) olması gerekir.

Temel bileşenler sadece iki boyutlu uzayda diklik özelliği gösterir, değişken sayısı arttıkça bu özellik kaybolur.

Show answer & explanation

Answer: Temel bileşenler birbirine diktir (ortogonaldir) ve aralarındaki korelasyon sıfırdır.

Answer

Temel bileşenler geometrik olarak birbirine dik (ortogonal) bir konumdadır ve istatistiksel olarak aralarındaki korelasyon sıfırdır.

Temel Bileşenler Analizi, değişkenler arası bağımlılığı ortadan kaldırmak için veriyi birbirine dik eksenler üzerine iz düşürür. Cebirsel olarak bu, varyans-kovaryans matrisinin özvektörlerinin birbirine dik olmasından kaynaklanır. Bu diklik geometrik olarak 90 derecelik açıyı, istatistiksel olarak ise bileşenlerin korelasyonsuz (ilişkisiz) olmasını ifade eder.

Step-by-Step Solution

TBA'nın dönüşüm matrisini (özvektör matrisini) incelemek.

Dönüşüm matrisi

\mathbf{P}

bir ortogonal matristir (

P'P = I

Varyans-kovaryans matrisi simetrik olduğu için özvektörleri birbirine diktir.

Yeni bileşenlerin (

Y

) varyans-kovaryans yapısını belirlemek.

Cov(Y)

matrisi köşegen bir matristir ve köşegen dışı elemanlar (kovaryanslar) sıfırdır.

Kovaryansın sıfır olması, temel bileşenlerin birbiriyle doğrusal ilişkisinin (korelasyonunun) olmadığını gösterir.

Geometrik yorumu yapmak.

Orijinal eksen sisteminin, verideki maksimum varyansı yakalayacak şekilde dikliğini koruyarak döndürülmesi.

Ortogonal dönüşüm, bir 'katı döndürme' (rigid rotation) işlemidir ve eksenler arası 90 derecelik açıyı korur.

Key Concept

TBA'da ortogonal dönüşüm ve bileşenlerin bağımsızlığı

Hints

TBA'da elde edilen yeni eksenlerin birbirine göre açısını ve bu açının istatistiksel korelasyonla ilişkisini düşünün.

Practice More

Faktör analizinde 'Varimax' ve 'Promax' döndürmeleri arasındaki farkı, diklik (ortogonallik) prensibi üzerinden inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 96Question →

Bir kurumdaki 6 farklı performans göstergesi arasındaki ilişkileri özetlemek amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmıştır. Analiz sonucunda elde edilen özdeğerler (eigenvalues) sırasıyla $2,45$ ; $1,32$ ; $0,85$ ; $0,64$ ; $0,42$ ve $0,32$ olarak hesaplanmıştır. Buna göre, Kaiser (Kaiser-Guttman) kriteri dikkate alındığında analizde kaç temel bileşen muhafaza edilmelidir?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Kaiser kriterine göre özdeğeri 1'den büyük olan 2 temel bileşen muhafaza edilmelidir.

Kaiser kriteri (Kaiser-Guttman kuralı), Temel Bileşenler Analizi'nde sadece özdeğeri (eigenvalue) 1'den büyük olan bileşenlerin muhafaza edilmesini önerir. Verilen veri setinde özdeğerler incelendiğinde

2,45

1,32

değerleri 1'den büyükken, üçüncü özdeğer olan

0,85

ve sonrakiler 1'den küçüktür. Bu nedenle 2 bileşen seçilmelidir.

Step-by-Step Solution

Elde edilen özdeğerleri listeleyin ve Kaiser eşik değerini belirleyin.

Özdeğerler:

2,45

;

1,32

;

0,85

;

0,64

;

0,42

;

0,32

. Eşik değer =

1,00

Kaiser kriteri, özdeğeri 1'den büyük olan bileşenlerin anlamlı miktarda varyans açıkladığını varsayar.

Listedeki her bir özdeğeri eşik değer ile kıyaslayın.

2,45 > 1

(Uygun),

1,32 > 1

(Uygun),

0,85 < 1

(Uygun değil).

Hangi bileşenlerin kriteri sağladığını belirlemek için karşılaştırma yapılır.

Kriteri sağlayan toplam bileşen sayısını hesaplayın.

Toplam 2 adet bileşen kriteri sağlamaktadır.

Analizde tutulacak boyut sayısına karar vermek.

Key Concept

Kaiser Kriteri (Özdeğer > 1 kuralı)

Estimated Time:45s

Question 97Question →

Üç adet standartlaştırılmış değişken ( $Z_1, Z_2, Z_3$ ) üzerinde gerçekleştirilen Temel Bileşenler Analizi (TBA) sonucunda, birinci temel bileşene ( $PC_1$ ) ait bileşen yükleri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Değişken	Birinci Temel Bileşen Yükü ( $a_{1j}$ )
$Z_1$	$-0,60$
$Z_2$	$0,00$
$Z_3$	$0,80$

Buna göre, birinci temel bileşenin temsil ettiği toplam varyans miktarı (birinci özdeğer, $\lambda_1$ ) kaçtır?

1,00

0,20

1,40

0,33

0,64

Show answer & explanation

Answer: 1,00

Answer

Birinci temel bileşenin temsil ettiği toplam varyans (özdeğer) 1,00 olarak hesaplanır.

Temel Bileşenler Analizi'nde, bir temel bileşen tarafından açıklanan toplam varyans miktarı (özdeğer), o bileşene ait yüklerin karelerinin toplamına eşittir. Verilen yüklerin kareleri

(-0,60)^2 = 0,36

(0,00)^2 = 0,00

(0,80)^2 = 0,64

olup, bu değerlerin toplamı

0,36 + 0,00 + 0,64 = 1,00

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

Bileşen yükleri ile özdeğer arasındaki matematiksel ilişkiyi tanımla.

Bir temel bileşene ait yüklerin kareleri toplamı, o bileşenin açıkladığı toplam varyansa (özdeğere) eşittir:

\sum_{j=1}^{p} a_{1j}^2 = \lambda_1

Temel Bileşenler Analizi'nde özdeğerler, bileşenlerin veri setindeki değişkenliği temsil etme gücünü gösterir.

Verilen her bir yükün karesini hesapla.

(-0,60)^2 = 0,36

(0,00)^2 = 0,00

(0,80)^2 = 0,64

Varyans kareli bir ölçü olduğu için yüklerin büyüklüklerinin kareleri alınmalıdır; bu işlem negatif işaretlerin etkisini de ortadan kaldırır.

Elde edilen kareleri toplayarak toplam varyansı bul.

0,36 + 0,00 + 0,64 = 1,00

Tüm değişkenlerin ilgili bileşene olan katkılarının toplamı, bileşenin toplam varyansını verir.

Key Concept

Bileşen yüklerinin kareleri toplamı ilgili özdeğere eşittir.

Alternative Method

Özvektör elemanları ve özdeğer verildiğinde yükler

a_{ij} = e_{ij} \sqrt{\lambda_i}

formülüyle de bulunabilir, ancak bu soruda doğrudan yükler verildiği için kareler toplamı en kestirme yoldur.

Estimated Time:45s

Question 98Question →

Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanırken, analize dahil edilen değişkenlerin ölçüm birimlerinin birbirinden farklı olması (örneğin; gelir değişkeninin 'TL', yaş değişkeninin 'yıl' cinsinden olması) durumunda, değişkenlerin ölçek farklılıklarından kaynaklanan baskınlığını önlemek ve her bir değişkenin analize eşit ağırlıkla katılmasını sağlamak amacıyla aşağıdaki matrislerden hangisinin kullanılması en uygundur?

Korelasyon matrisi

Kovaryans matrisi

Birim matris

Özdeğer matrisi

Ters matris

Show answer & explanation

Answer: Korelasyon matrisi

Answer

Farklı ölçeklerdeki değişkenlerin analize eşit ağırlıkta katılması için korelasyon matrisi kullanılmalıdır.

Doğru cevap olan korelasyon matrisi, tüm değişkenlerin varyansını 1'e eşitleyerek (standartlaştırma) analize dahil eder. Bu sayede 'TL' gibi büyük değerli birimlerin, 'yıl' gibi küçük değerli birimlere karşı üstünlük kurması önlenmiş olur.

Step-by-Step Solution

Değişkenlerin birimlerini kontrol etme

Değişkenlerin TL ve yıl gibi farklı birimlere sahip olduğu tespit edilir.

Farklı birimler, varyansların yapay olarak farklı büyüklüklerde görünmesine neden olur.

Uygun analiz matrisini seçme

Korelasyon matrisi seçilir.

Korelasyon matrisi, değişkenleri standartlaştırarak (z-skorları üzerinden) ölçek etkisini sıfırlar.

Key Concept

TBA'da ölçek bağımlılığı ve matris seçimi

Question 99Question →

Temel Bileşenler Analizi'nde (TBA) temel bileşenler, orijinal değişkenlerin doğrusal kombinasyonları olarak ifade edilir ve bu kombinasyonu oluşturan katsayılar vektörünün birim uzunlukta (normalize edilmiş) olması istenir. Dört değişkenli ( $X_1, X_2, X_3, X_4$ ) bir veri setinde birinci temel bileşen ( $Y_1$ ) şu şekilde tanımlanmıştır:

Y_1 = 0,5X_1 + 0,5X_2 + 0,5X_3 + kX_4

Buna göre, katsayıların normalize edildiği (kareleri toplamının 1 olduğu) bilindiğine göre, $k$ katsayısının pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,25

0,5

0,75

1,0

0,125

Show answer & explanation

Answer: 0,5

Answer

Katsayılar vektörünün birim uzunlukta olması kuralı gereği, katsayıların kareleri toplamı 1'e eşitlenir ve buradan k katsayısı 0,5 olarak bulunur.

Temel bileşenleri tanımlayan katsayılar vektörü birim uzunlukta (normalize edilmiş) kabul edilir. Bu, katsayıların kareleri toplamının 1 olması anlamına gelir. Verilen katsayılar toplandığında

0,5^2 + 0,5^2 + 0,5^2 = 0,75

elde edilir. Toplamın 1 olması için

k^2 = 0,25

olmalı, bu durumda pozitif

k

değeri 0,5 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Normalizasyon kuralını belirle.

a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 = 1

Temel Bileşenler Analizi'nde katsayı vektörlerinin (özvektörlerin) normalize edilmiş olması gerekir.

Verilen katsayıları denklemde yerine koy.

0,5^2 + 0,5^2 + 0,5^2 + k^2 = 1

Soru kökünde verilen değerler kullanılarak bilinmeyen k katsayısı izole edilir.

Kareleri hesapla ve k değerini bul.

0,25 + 0,25 + 0,25 + k^2 = 1 \Rightarrow 0,75 + k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = 0,25 \Rightarrow k = 0,5

İstatistiksel katsayı hesaplaması tamamlanır.

Key Concept

Normalize edilmiş katsayı vektörlerinde katsayıların kareleri toplamı daima 1'e eşittir.

Alternative Method

Katsayıların karelerinin toplamının (0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 = 1) tam olarak 1'e ulaştığı kontrol edilerek seçeneklerden gidilebilir.

Estimated Time:45s

Question 100Question →

Bir kamu kurumunun Strateji Geliştirme Başkanlığı tarafından yürütülen bir veri analizi çalışmasında, 4 farklı performans göstergesine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmıştır. Elde edilen varyans-kovaryans matrisinin ( $\mathbf{\Sigma}$ ) özdeğerleri ( $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$ ) ve özvektörleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Tüm özdeğerlerin toplamı (

\sum_{i=1}^{4} \lambda_i

), matrisin izine (trace) eşittir.

Özdeğerlerin çarpımı (

\prod_{i=1}^{4} \lambda_i

), varyans-kovaryans matrisinin determinantına (

|\mathbf{\Sigma}|

) eşittir.

Özvektörler birbirine dik (ortogonal) ve birim uzunluktadır.

Her bir özdeğer, ilgili temel bileşen tarafından açıklanan varyans miktarını temsil eder.

Özdeğerlerin toplamı, varyans-kovaryans matrisinin determinantına eşittir.

Show answer & explanation

Answer: Özdeğerlerin toplamı, varyans-kovaryans matrisinin determinantına eşittir.

Answer

Özdeğerlerin toplamının matrisin determinantına eşit olduğunu belirten ifade yanlıştır.

Doğru cevap olan ifade yanlıştır çünkü lineer cebir prensiplerine ve Temel Bileşenler Analizi varsayımlarına göre, özdeğerlerin toplamı matrisin determinantına değil, matrisin izine (trace) eşittir. Determinant ise tüm özdeğerlerin çarpımı yoluyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

Özdeğerlerin toplamı ile ilgili kuralı hatırla.

\sum \lambda_i = \text{tr}(\mathbf{\Sigma})

(İz)

Varyans-kovaryans matrisinin izi, değişkenlerin toplam varyansına ve dolayısıyla özdeğerlerin toplamına eşittir.

Özdeğerlerin çarpımı ile ilgili kuralı hatırla.

\prod \lambda_i = |\mathbf{\Sigma}|

(Determinant)

Bir matrisin determinantı, o matrisin özdeğerlerinin geometrik çarpımını temsil eder.

Seçenekleri bu kurallara göre değerlendir.

Toplamın determinant olduğu ifadesi yanlıştır.

Toplam determinantı değil, iz değerini vermelidir.

Key Concept

Özdeğerler ve Özvektörlerin Matris Özellikleri (İz ve Determinant İlişkisi)

Estimated Time:45s

PreviousPage 5 / 6Next

Temel Bileşenler Analizi

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept