Temel Bileşenler Analizi

Çok değişkenli istatistiksel analiz tekniklerinden biri olan Temel Bileşenler Analizi'nin (TBA) teorik altyapısı, temel amacı ve varsayımları dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Bir büyükşehir belediyesi, 'akıllı şehir' projesi kapsamında kentin farklı noktalarına yerleştirilen sensörlerden elde edilen verileri kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) ile bir kent endeksi oluşturmayı hedeflemektedir. Veri setinde; ortam sıcaklığı ($^\circ C$), havadaki partikül madde miktarı ($PM_{10}$ - $\mu g/m^3$), çevresel gürültü seviyesi ($dB$) ve caddelerden geçen saatlik araç sayısı (araç/saat) değişkenleri yer almaktadır.

Araştırmacı, değişkenleri standardize etmeden orijinal ölçü birimleriyle bırakarak doğrudan örneklem kovaryans matrisi ($\mathbf{S}$) üzerinden Temel Bileşenler Analizi uygulamıştır.

Buna göre, araştırmacının bu metodolojik tercihi sonucunda elde edilecek analiz çıktılarıyla ilgili aşağıdakilerden hangisinin gerçekleşmesi en olasıdır?

Bir araştırmacı, iki ekonomik gösterge ($X_1, X_2$) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Analiz sonucunda elde edilen birinci temel bileşen ($Y_1$) şu doğrusal kombinasyon ile ifade edilmektedir:

Bu temel bileşene ait katsayılar vektörünün normalleştirildiği (birim uzunlukta olduğu) ve birinci temel bileşenin açıkladığı varyansın ($Var(Y_1)$) 25 olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $c$ katsayısının pozitif değeri ile kovaryans matrisinin en büyük özdeğeri ($\lambda_1$) aşağıdakilerin hangisinde birlikte verilmiştir?

Bir araştırmacı, iki değişkenli bir veri setinde kovaryans matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Yapılan analiz sonucunda birinci temel bileşen $Z_1 = 0,6X_1 - 0,8X_2$ doğrusal kombinasyonu ile elde edilmiş ve bu bileşenin varyansı 32 olarak hesaplanmıştır. Analize esas alınan kovaryans matrisinin izi (trace) 40 olduğuna göre, katsayılar vektörünün normalize edildiği ($a'a = 1$) bilindiğinde, ikinci temel bileşenin ($Z_2$) varyansı kaçtır?

Bir pazar araştırması kapsamında, tüketicilerin satın alma tercihlerini etkileyen $4$ farklı faktör arasındaki ilişkiler incelenmektedir. Bu veri setine ait varyans-kovaryans matrisinin iz (trace) değeri $50$ birim olarak hesaplanmıştır.

Bu matris üzerinden uygulanan Temel Bileşenler Analizi sonucunda, elde edilen ilk üç temel bileşenin özdeğerleri sırasıyla $\lambda_1 = 20$, $\lambda_2 = 16$ ve $\lambda_3 = 9$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, ilk iki temel bileşenin veri setindeki toplam varyansı açıklama oranı ve dördüncü temel bileşene ait özdeğer ($\lambda_4$) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Bir kalkınma ajansı uzmanı, ilçelerin sosyo-ekonomik yapılarını özetlemek amacıyla bir veri seti derlemiştir. Veri setinde "toplam nüfus" (kişi sayısı), "okullaşma oranı" (yüzde) ve "kişi başına düşen sağlık harcaması" (TL) gibi ölçüm birimleri ve doğal varyansları birbirinden çok farklı olan nicel değişkenler yer almaktadır.

Uzman, boyut indirgeme amacı doğrultusunda değişkenleri standartlaştırmadan, doğrudan orijinal veriler üzerinden hesaplanan kovaryans matrisini kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır.

Buna göre, analizin varsayımları ve matematiksel yapısı dikkate alındığında bu yöntemin yol açacağı en temel istatistiksel sorun aşağıdakilerden hangisidir?

Bir istatistikçi, iki değişkenli ($X_1, X_2$) bir veri setinden elde edilen kovaryans matrisini kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) gerçekleştirmiştir. Analiz sonucunda elde edilen özdeğerler $\lambda_1 = 18$ ve $\lambda_2 = 6$ olarak belirlenmiştir. Birinci temel bileşen $Y_1 = a_1 X_1 + a_2 X_2$ şeklinde tanımlanmış olup, bu bileşene ait normalize edilmiş katsayılar vektöründe $a_1 = 0,8$ olduğu bilinmektedir. Buna göre, birinci temel bileşenin varyansı ($Var(Y_1)$) ve $a_2$ katsayısının pozitif değeri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

İstatistiksel veri bilimi uygulamalarında, yüksek boyutlu bir veri kümesindeki bilgi kaybı en aza indirilerek boyut indirgeme işlemi gerçekleştirilmektedir. Bu amaçla bir araştırmacı, veri yapısının kovaryans matrisinden elde edilen ortogonal (dik) bir matrisi ($\mathbf{P}$) kullanarak, $\mathbf{Y} = \mathbf{P}^T \mathbf{X}$ doğrusal dönüşümü ile yeni bileşenler elde etmiştir.

Kullanılan bu $\mathbf{P}$ dönüşüm matrisinin ortogonal olması ($\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{I}$), elde edilen yeni yapının geometrisi ve istatistiksel özellikleri açısından aşağıdakilerden hangisini zorunlu kılar?

Bir araştırmacı $X_1, X_2$ ve $X_3$ değişkenlerinden oluşan bir veri seti üzerinde varyans-kovaryans matrisini kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Analiz sonucunda elde edilen özdeğerler aşağıda verilmiştir:

Birinci temel bileşene ($Y_1$) ait katsayılar vektörü $e_1' = [a, 0, 0,6]$ olarak belirlendiğine göre, $Y_1$ bileşeninin varyansı ($Var(Y_1)$) ve $a$ katsayısının pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamasında, bir veri setinden elde edilen varyans-kovaryans matrisinin ($\mathbf{\Sigma}$) özdeğerleri ($\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_p$) ve bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler ($\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, ..., \mathbf{e}_p$) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Bir araştırmacı, birbirleriyle yüksek korelasyon gösteren $p=6$ değişkenden oluşan bir veri setine boyut indirgeme amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Değişkenler standartlaştırılarak korelasyon matrisi üzerinden yapılan analiz sonucunda, hesaplanan özdeğerler (eigenvalues) sırasıyla $\lambda_1 = 2.7$, $\lambda_2 = 1.4$, $\lambda_3 = 1.1$, $\lambda_4 = 0.5$, $\lambda_5 = 0.2$ ve $\lambda_6 = 0.1$ olarak bulunmuştur. Çizilen yamaç grafiğinde (scree plot) ise eğrinin belirgin kırılma (dirsek) noktasının 4. bileşende olduğu gözlemlenmiştir.

Buna göre, araştırmacının analize kaç bileşenle devam etmesi istatistiksel olarak en uygundur ve bu kararın teorik dayanağı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumunda sunulan hizmetlerin kalitesini değerlendirmek amacıyla; Bekleme Süresi ($X_1$), Personel İlgisi ($X_2$), Fiziksel İmkanlar ($X_3$) ve İşlem Hızı ($X_4$) değişkenleri üzerinden bir araştırma yapılmıştır. Değişkenler standartlaştırılarak korelasyon matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmış ve birinci temel bileşene ($TB_1$) ait yük katsayıları aşağıdaki tabloda elde edilmiştir:

Buna göre, bu dört değişkenin içerdiği toplam varyansın yüzde kaçı birinci temel bileşen tarafından açıklanmaktadır?

Bir araştırmacı, $X_1$ ve $X_2$ değişkenleri arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla varyans-kovaryans matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Analiz sonucunda elde edilen birinci temel bileşen ($Y_1$) doğrusal kombinasyonu aşağıda verilmiştir:

Çalışmada kullanılan varyans-kovaryans matrisi $S = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ olduğuna göre, bu birinci temel bileşenin açıkladığı varyans değeri kaçtır?

Bir çevre araştırmacısı, 4 farklı su kalitesi göstergesini ($X_1, X_2, X_3, X_4$) standartlaştırarak korelasyon matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Yapılan analiz sonucunda elde edilen birinci temel bileşen ($Y_1$) ile orijinal değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi gösteren temel bileşen yükleri (korelasyonlar) sırasıyla; $0,80$, $-0,60$, $0,70$ ve $0,50$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, elde edilen temel bileşen yükleri ve analizin sonuçları ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir kamu yönetimi uzmanı, illerin sosyoekonomik gelişmişlik düzeyini belirlemek amacıyla $5$ farklı değişken üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Değişkenlerin farklı ölçüm birimlerine sahip olması nedeniyle analiz korelasyon matrisi üzerinden gerçekleştirilmiştir. Analiz sonucunda elde edilen özdeğerler ($\lambda_i$) büyükten küçüğe doğru aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Buna göre, ilk iki temel bileşenin toplam varyansı açıklama oranı (birikimli varyans oranı) yüzde kaçtır?

Bir kamu kurumu, şubelerinin performansını 'Hizmet Hızı' ($X_1$) ve 'Hizmet Kalitesi' ($X_2$) değişkenleri ile ölçmektedir. Bu değişkenlerin ortalama vektörü $\mu = [70 \quad 80]^T$ olarak hesaplanmıştır. Kovaryans matrisi üzerinden yapılan Temel Bileşenler Analizi sonucunda, en büyük özdeğere karşılık gelen birinci temel bileşen özvektörü $e_1 = [0,6 \quad 0,8]^T$ olarak elde edilmiştir.

Buna göre, hizmet hızı ($X_1$) 80 ve hizmet kalitesi ($X_2$) 75 olan bir şubenin birinci temel bileşen skoru kaçtır?

Bir araştırmacı, birbiriyle yüksek derecede ilişkili $p$ adet değişkeni içeren bir veri setinde, bilgi kaybını en aza indirerek değişken sayısını azaltmak ve değişkenler arasındaki bağımlılığı ortadan kaldırmak istemektedir. Bu amaçla uygulanacak olan Temel Bileşenler Analizi (TBA) yönteminin temel amacı ve varsayımları dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir araştırmacı, farklı illerin sosyo-ekonomik yapılarını analiz etmek amacıyla aşağıdaki üç değişkeni içeren bir veri seti üzerinde Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulayacaktır:

Değişkenlerin ölçüm birimlerinin ve varyanslarının birbirinden oldukça farklı olduğu göz önüne alındığında, analizde kovaryans matrisi ($\mathbf{S}$) yerine korelasyon matrisinin ($\mathbf{R}$) kullanılmasıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir araştırmacı, bir sanayi bölgesindeki firmaların performansını analiz etmek amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaya karar vermiştir. Veri setinde yer alan üç değişkene ait bilgiler şu şekildedir:

Bu veri seti üzerinde yapılacak bir TBA çalışmasında, korelasyon matrisinin ($\mathbf{R}$) kovaryans matrisine ($\mathbf{S}$) tercih edilerek kullanılmasıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir orman endüstri mühendisi, belirli bir ağaç türünün gelişimini incelemek amacıyla iki farklı fiziksel özellik ölçmektedir: Gövde Çapı ($X_1$, cm) ve Ağaç Boyu ($X_2$, m). Bu iki değişkene ait örneklem ortalama vektörü $\bar{x} = \begin{bmatrix} 20 \\ 10 \end{bmatrix}$ olarak hesaplanmıştır.

Varyans-kovaryans matrisi üzerinden yapılan Temel Bileşenler Analizi sonucunda, en büyük özdeğer $\lambda_1 = 3$ bulunmuş ve bu özdeğere karşılık gelen birinci temel bileşenin özvektörü $a_1 = \begin{bmatrix} 0.8 \\ 0.6 \end{bmatrix}$ olarak elde edilmiştir.

Buna göre, gövde çapı $35$ cm ve ağaç boyu $20$ m olarak ölçülen yeni bir ağaç örneğinin birinci temel bileşen skoru kaçtır?