Faktöriyel Tasarımlar Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 3

Question 41Question →

Bir kamu kurumu, uyguladığı yeni performans değerlendirme sisteminin çalışan verimliliği üzerindeki etkisini incelemek amacıyla iki faktörlü bir deney tasarlamıştır. Araştırmada birinci faktör 'Çalışma Düzeni' ( $A$ , $a=2$ : Esnek, Sabit), ikinci faktör ise 'Hizmet İçi Eğitim Durumu' ( $B$ , $b=3$ : Var, Kısmi, Yok) olarak belirlenmiştir. Yapılan iki yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, Çalışma Düzeni ve Eğitim Durumu faktörleri arasındaki etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olduğu ( $p < 0,05$ ) bulunmuştur.

Buna göre, araştırmacının modeldeki ana etkileri yorumlarken izlemesi gereken en doğru istatistiksel yaklaşım aşağıdakilerden hangisidir?

Etkileşim anlamlı olduğu için ana etkiler doğrudan genelleyerek yorumlanmamalı, faktörlerin etkisi diğer faktörün düzeyleri temel alınarak (basit ana etkiler) ayrı ayrı incelenmelidir.

Etkileşim etkisinin anlamlı bulunması, her iki faktörün de marjinal ortalamalarındaki farkların istatistiksel olarak kesin anlamlı olduğunu gösterdiğinden doğrudan ana etkiler üzerinden genel yorum yapılmalıdır.

Etkileşim kavramı faktörlerin ana etkilerinin doğrusal toplamından ibaret olduğundan, analizde yalnızca modelin genel kareler toplamı yorumlanarak faktörler arası farklılıklar özetlenmelidir.

Etkileşimin ortaya çıkması, faktörlerin düzeylerinin birbiriyle karıştığını ve bu düzeylerin aslında yepyeni bir bağımsız değişken olduğunu gösterdiğinden, analiz üç faktörlü varyans analizi olarak yeniden kurulmalıdır.

Anlamlı bir etkileşim, gruplar arası varyansların homojenliği varsayımının ihlal edildiğinin kesin bir kanıtı olduğundan, faktör verileri üzerinde derhal logaritmik veya karekök dönüşümü uygulanmalıdır.

Show answer & explanation

Answer: Etkileşim anlamlı olduğu için ana etkiler doğrudan genelleyerek yorumlanmamalı, faktörlerin etkisi diğer faktörün düzeyleri temel alınarak (basit ana etkiler) ayrı ayrı incelenmelidir.

Answer

Doğru yaklaşım, ana etkilerin doğrudan genellenmemesi ve faktörlerin etkilerinin diğer faktörün düzeyleri temelinde (basit ana etkiler) incelenmesidir.

İki yönlü varyans analizinde (ANOVA) faktörler arası etkileşim anlamlı olduğunda, bir faktörün etkisi diğer faktörün düzeylerine bağlı olarak değişiyor demektir. Bu durumda, faktörlerin tüm düzeyler üzerinden hesaplanan genel ortalamalarına bakarak (yani ana etkileri doğrudan yorumlayarak) varılacak sonuçlar çoğunlukla eksik veya yanıltıcı olur. Doğru istatistiksel yaklaşım, bir faktörün etkisini diğer faktörün her bir spesifik düzeyinde ayrı ayrı test etmektir. Literatürde bu işleme 'basit ana etkilerin (simple main effects) analizi' adı verilir.

Step-by-Step Solution

1

İki yönlü ANOVA'da etkileşim etkisinin tanımını hatırlamak.

Etkileşim, bir bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin, diğer bağımsız değişkenin düzeylerine göre farklılık göstermesidir.

Etkileşim kavramının doğru bilinmesi, ana etkilerin nasıl yorumlanacağını belirler.

2

Anlamlı etkileşim durumunda ana etki yorumlama kurallarını değerlendirmek.

Etkileşim anlamlıysa faktörlerin genel (marjinal) ortalamaları durumu tam olarak yansıtmaz. Örneğin, bir faktörün etkisi bir düzeyde artış yönündeyken diğer düzeyde azalış yönünde olabilir ve bu durum marjinal ortalamada sıfırlanabilir.

Genelleme yapmak yanıltıcı olacağından, her bir düzeyin ayrı ayrı incelenmesi gerektiği kuralına ulaşılır.

3

Bu durumda izlenmesi gereken doğru istatistiksel süreci belirlemek.

Genel ana etki yerine 'basit ana etkiler' (simple main effects) testi yapılmalıdır.

Basit ana etkiler analizi, bir faktörün sadece belirli bir düzeyinde diğer faktörün etkisini gösterir.

Key Concept

Faktöriyel tasarımlarda etkileşim ve basit ana etki analizi

Estimated Time:1m 0s

Question 42Question →

Çalışma ve Sosyal Güvenlik Bakanlığı bünyesindeki bir araştırma ekibi, yeni bir istihdam teşvik programının bölgesel istihdam oranları üzerindeki etkisini değerlendirmek amacıyla $3^3$ tam faktöriyel tasarım kurgulamıştır. Araştırmadaki 3 faktör (Teşvik Süresi, Destek Miktarı ve Vergi İndirimi Oranı) nicel yapıya sahip olup üçer düzeyde ele alınmıştır. Araştırmacılar, analizlerini detaylandırarak faktörlerin ana etkilerini ve etkileşimlerini doğrusal (linear) ve kuadratik (ikinci dereceden) bileşenlerine ayırmak suretiyle ayrıntılı bir varyans analizi (ANOVA) yapmak istemektedir.

Bu deney tasarımı ve varyans analizi modeliyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Her bir faktörün ana etkisine ait serbestlik derecesi 2'dir ve bu etki, faktörün nicel düzeyleri dikkate alındığında tek serbestlik dereceli bir doğrusal ve bir kuadratik olmak üzere iki bağımsız bileşene ayrılabilir.

İki faktörlü etkileşimlerin (örneğin

AB

) her birinin serbestlik derecesi 4'tür ve bu etkileşim; doğrusal-doğrusal, doğrusal-kuadratik, kuadratik-doğrusal ve kuadratik-kuadratik olmak üzere 4 bağımsız bileşenden oluşur.

Tasarımdaki her bir ana etki ve etkileşim teriminin serbestlik derecesi 1 olarak kabul edilir; bu nedenle varyans analizinde kuadratik eğilimler hesaplanamaz, yalnızca doğrusal etkiler test edilir.

Üçlü etkileşim teriminin (

ABC

) serbestlik derecesi 8'dir ve bu varyans kaynağı, ortogonal polinomlar yardımıyla tek serbestlik dereceli 8 farklı bağımsız bileşenin toplamı olarak ifade edilir.

Deney tasarımındaki toplam muamele kombinasyon sayısı 27 olup, 26 olan muamele serbestlik derecesi; modeldeki tüm ana etkiler, ikili etkileşimler ve üçlü etkileşimin serbestlik derecelerinin toplamına eşittir.

Show answer & explanation

Answer: Tasarımdaki her bir ana etki ve etkileşim teriminin serbestlik derecesi 1 olarak kabul edilir; bu nedenle varyans analizinde kuadratik eğilimler hesaplanamaz, yalnızca doğrusal etkiler test edilir.

Answer

Tasarımdaki her bir ana etki ve etkileşim teriminin serbestlik derecesinin 1 olarak kabul edildiğini ve varyans analizinde kuadratik eğilimlerin hesaplanamayacağını belirten ifade yanlıştır.

3^k

faktöriyel tasarımlarda, modeldeki tüm faktörler 3 düzeyli olarak incelenir. Bu sebeple herhangi bir

A

,

B

veya

C

faktörünün ana etkisinin serbestlik derecesi

3-1 = 2

'dir. Faktör düzeyleri nicel ise, bu 2 serbestlik derecesi ortogonal polinomlar yardımıyla detaylandırılarak 1 serbestlik dereceli doğrusal (linear) ve 1 serbestlik dereceli kuadratik (ikinci dereceden) etki olarak iki alt bileşene ayrıştırılır. Seçenekte bahsedildiği gibi ana etki ve etkileşimlerin 1 serbestlik derecesine sahip olduğu ve dolayısıyla yalnızca doğrusal etkilerin analiz edilebildiği durumlar, faktörlerin 2 düzeyli ele alındığı

2^k

tasarımları için geçerli bir kuraldır. Bu yüzden ilgili ifade

3^k

tasarımı için yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1

3^k

faktöriyel tasarımında her bir faktörün serbestlik derecesinin belirlenmesi.

Tasarımda her faktör 3 düzeyli olduğundan, faktörlerin ana etkilerine ait serbestlik derecesi

3-1 = 2

'dir.

Varyans analizinde herhangi bir faktörün serbestlik derecesi, düzey sayısının bir eksiği olarak tanımlanır.

2

Serbestlik derecesinin ortogonal bileşenlere ayrıştırılması.

Nicel faktörlere ait bu 2 serbestlik derecesi; eğilimi gösteren 1 adet doğrusal (linear) ve eğriliği gösteren 1 adet kuadratik (ikinci dereceden) bileşene ayrılır.

Araştırmacının amacı faktörlerin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin sadece düz bir çizgi mi yoksa eğrisel bir yapıda mı olduğunu (doğrusal ve kuadratik etki) detaylı görmektir.

3

Etkileşim terimlerinin serbestlik derecelerinin ve bileşenlerinin hesaplanması.

İkili etkileşimler

2 \times 2 = 4

, üçlü etkileşimler ise

2 \times 2 \times 2 = 8

serbestlik derecesine sahiptir. Bu değerler aynı zamanda etkileşimlerin ayrıştırılabileceği alt bileşen sayısını verir.

Etkileşimlerin serbestlik derecesi, etkileşime giren faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir ve

3^k

modelinde her bir serbestlik derecesi 1 adet bağımsız bileşeni temsil eder.

4

Seçeneklerin kurallara göre değerlendirilmesi.

Ana etkilerin serbestlik derecesini 1 kabul eden ve yalnızca doğrusal etkilerin test edilebileceğini öne süren ifade yanlıştır; çünkü bu özellik

3^k

tasarımına değil,

2^k

tasarımına aittir.

2^k

tasarımında her faktör 2 düzeylidir (

2-1=1

sd) ve kuadratik etki bulunamaz.

3^k

tasarımında ise kuadratik eğilimler incelenebilir.

Key Concept

3^k

Faktöriyel Tasarımlarda Serbestlik Dereceleri ve Bileşenlere Ayırma

Question 43Question →

Bir kamu kurumu, sunduğu e-devlet hizmetlerinin kullanım sıklığını artırmak amacıyla bir optimizasyon çalışması yürütmektedir. Araştırmacılar; arayüz karmaşıklığı ( $A$ ), bilgilendirme mesajlarının sıklığı ( $B$ ) ve çağrı merkezi destek seviyesi ( $C$ ) olmak üzere üç faktörün etkisini incelemektedir. Her bir faktör nicel yapıya sahip olup üç farklı düzeyde (düşük, orta, yüksek) ele alınmış ve tam bir $3^3$ faktöriyel tasarım kurgulanmıştır.

Bu araştırmada faktörlerin ana etkileri ile iki yönlü etkileşimlerinin serbestlik dereceleri ve bu serbestlik derecelerinin bileşenlere ayrıştırılması (ortogonal polinomlar yaklaşımıyla) dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi istatistiksel açıdan doğrudur?

A

faktörünün ana etkisi 2 serbestlik derecesine sahip olup 1 serbestlik dereceli doğrusal ve 1 serbestlik dereceli kuadratik bileşenlere ayrıştırılabilirken;

A

ve

B

faktörleri arasındaki iki yönlü etkileşimin toplam serbestlik derecesi 4'tür.

Her bir faktörün ana etkisi 1 serbestlik derecesine sahiptir ve sadece doğrusal etkiyi gösterir;

A

ve

B

faktörleri arasındaki iki yönlü etkileşimin serbestlik derecesi ise 1'dir.

A

faktörünün ana etkisi 2 serbestlik derecesine sahiptir; ancak

A

ve

B

faktörleri arasındaki iki yönlü etkileşim sadece doğrusal-doğrusal ve kuadratik-kuadratik bileşenlerden ibaret olup 2 serbestlik derecesine sahiptir.

A

faktörünün ana etkisi faktör düzey sayısına eşit olarak 3 serbestlik derecesine sahiptir ve iki yönlü

A \times B

etkileşiminin serbestlik derecesi düzey sayılarının çarpımı olan 9'dur.

A

faktörünün ana etkisi 2 serbestlik derecesine sahip olup;

A

ve

B

faktörleri arasındaki iki yönlü etkileşim serbestlik derecesi ana etkilerin serbestlik dereceleri toplamına eşit olan 4'tür ve bileşenlere ayrıştırılamaz.

Show answer & explanation

Answer: $A$ faktörünün ana etkisi 2 serbestlik derecesine sahip olup 1 serbestlik dereceli doğrusal ve 1 serbestlik dereceli kuadratik bileşenlere ayrıştırılabilirken; $A$ ve $B$ faktörleri arasındaki iki yönlü etkileşimin toplam serbestlik derecesi 4'tür.

Answer

3^k

tasarımlarında ana etkilerin 2 serbestlik derecesine sahip olduğu (doğrusal ve kuadratik bileşenlere ayrıştırılabildiği) ve iki yönlü etkileşimlerin 4 serbestlik derecesine sahip olduğu ifade edilen seçenek doğrudur.

3^k

faktöriyel tasarımlarda,

k

adet faktörün her biri 3 düzeyde incelenir. Düzey sayısı 3 olduğundan, her bir ana etkinin serbestlik derecesi (

3-1

) 2'dir. Faktör düzeyleri nicel bir değişkenin artan değerlerini temsil ediyorsa, bu 2 serbestlik derecesi bağımsız iki alt bileşene ayrıştırılabilir: doğrusal bileşen (1 sd) ve kuadratik bileşen (1 sd). İki yönlü etkileşimler ise ana etkilerin serbestlik derecelerinin çarpımı ile bulunur (

2 \times 2 = 4

sd) ve kendi içinde 4 alt çapraz etkileşime (doğrusal-doğrusal, doğrusal-kuadratik, kuadratik-doğrusal, kuadratik-kuadratik) ayrıştırılabilir. Doğru seçenek bu prensibi tam ve kusursuz olarak açıklamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Araştırmanın faktör sayısını ve düzey sayısını belirleme

Araştırmada 3 faktör (

A, B, C

) ve her birinin 3 düzeyi olduğu, dolayısıyla

3^3

faktöriyel tasarım kullanıldığı tespit edilir.

Kullanılacak serbestlik derecesi formüllerini ve modelin yapısını anlamak için tasarımın tipi belirlenmelidir.

2

Ana etkilerin serbestlik derecesini ve bileşenlerini hesaplama

3^k

tasarımında her faktörün düzey sayısı 3 olduğu için serbestlik derecesi

3-1=2

'dir. Faktörler nicel olduğundan bu 2 serbestlik derecesi; ortogonal polinomlar yardımıyla 1 serbestlik dereceli doğrusal ve 1 serbestlik dereceli kuadratik bileşenlere ayrıştırılır.

Ana etkilerin yapısal özelliklerini belirlemek ve doğru serbestlik derecesini bulmak için işlem yapılır.

3

İki yönlü etkileşimlerin serbestlik derecesini ve bileşenlerini hesaplama

İki yönlü

A \times B

etkileşiminin serbestlik derecesi, ilgili ana etkilerin serbestlik derecelerinin çarpımıdır (

2 \times 2 = 4

). Bu 4 serbestlik derecesi,

A

ve

B

'nin doğrusal ve kuadratik bileşenlerinin tüm çapraz eşleşmeleri olmak üzere 4 alt bileşene ayrılabilir.

Etkileşim etkilerinin model içindeki doğru ağırlığını ve serbestlik derecelerini elde etmek için hesaplanır.

Key Concept

3^k

faktöriyel tasarımlarda serbestlik derecelerinin hesaplanması ve bileşenlere (doğrusal, kuadratik) ayrıştırılması

Question 44Question →

Bir tekstil fabrikasında kalite kontrol mühendisi, üretilen kumaşların kopma mukavemetini incelemek için iki faktörlü bir deney tasarlamıştır. Deneyde, 4 farklı kimyasal işlem türü (Faktör A, sabit etkili) ve üretim hattındaki makineler arasından rastgele seçilen 5 farklı makine (Faktör B, tesadüfi etkili) kullanılmıştır. Her bir işlem ve makine kombinasyonunda 3'er adet kumaş örneği üzerinde ölçüm yapılmıştır.

Mühendis, kimyasal işlem türlerinin (Faktör A) kumaşın kopma mukavemeti üzerindeki ana etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını, test istatistiğini Beklenen Kareler Ortalaması ( $E(KO)$ ) kurallarını kullanarak belirleyecektir.

Buna göre, Faktör A'nın ana etkisini test etmek için oluşturulması gereken doğru $F$ test istatistiği ve bu istatistiğin serbestlik dereceleri ( $sd_{pay}$ , $sd_{payda}$ ) aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

;

sd_{pay} = 3

,

sd_{payda} = 40

F = \frac{KO_A}{KO_B}

;

sd_{pay} = 3

,

sd_{payda} = 4

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

;

sd_{pay} = 4

,

sd_{payda} = 20

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

;

sd_{pay} = 3

,

sd_{payda} = 12

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

;

sd_{pay} = 3

,

sd_{payda} = 12

Show answer & explanation

Answer: $F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$ ; $sd_{pay} = 3$ , $sd_{payda} = 12$

Answer

Doğru test istatistiği

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

olup, pay serbestlik derecesi 3, payda serbestlik derecesi ise 12'dir.

Karma model tasarımında (A sabit, B tesadüfi), sabit etkili ana faktörün beklenen kareler ortalaması (

E(KO)

) içinde hata varyansına ek olarak etkileşim varyans unsuru da bulunur. Beklenen kareler ortalaması kurallarına göre, ana etkiyi izole etmek için test istatistiğinin paydasında hata kareler ortalaması (

KO_{Hata}

) değil, etkileşim kareler ortalaması (

KO_{AB}

) kullanılmalıdır. Serbestlik dereceleri ise düzey sayılarının bir eksiği alınarak

sd_A = 4 - 1 = 3

ve

sd_{AB} = (4 - 1)(5 - 1) = 12

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Deney tasarımındaki faktörlerin yapısını belirleme

Faktör A sabit etkili (

a=4

düzey), Faktör B tesadüfi etkili (

b=5

düzey), her gözenekte

n=3

tekrar vardır. Bu yapı bir iki yönlü karma modeli (mixed model) ifade eder.

Beklenen kareler ortalaması (E(KO)) kuralları, modelin sabit, tesadüfi veya karma olmasına göre farklılık gösterir.

2

Beklenen kareler ortalaması (E(KO)) kurallarını uygulama

Karma modelde sabit etkili A faktörünün beklenen kareler ortalaması

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2 + \frac{bn\sum\alpha_i^2}{a-1}

şeklindedir. Etkileşim teriminin beklenen kareler ortalaması ise

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2

şeklindedir.

A faktörünün temel etkisini test etmek için, etkileşim varyans unsurunu (

n\sigma_{AB}^2

) yalıtacak uygun paydayı belirlemek gereklidir.

3

Uygun F test istatistiğini belirleme

Sıfır hipotezi altında (sabit etkiler sıfırken),

E(KO_A) = E(KO_{AB})

olur. Bu nedenle

A

faktörünün anlamlılığı

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

istatistiği ile test edilmelidir.

Test istatistiği oluşturulurken, paydaki beklenen değerin, paydadaki beklenen değere eşit veya sadece test edilmek istenen etki kadar büyük olması kuralına uyulur.

4

Serbestlik derecelerini hesaplama

Pay için Faktör A'nın serbestlik derecesi

sd_A = a - 1 = 4 - 1 = 3

'tür. Payda için Etkileşimin serbestlik derecesi

sd_{AB} = (a - 1)(b - 1) = 3 \times 4 = 12

'dir.

F testinde kullanılacak tablo değerini bulabilmek için doğru pay ve payda serbestlik derecelerinin hesaplanması zorunludur.

Key Concept

Karma Modellerde Beklenen Kareler Ortalaması ve F Testi

Question 45Question →

Bir üretim sürecini iyileştirmek amacıyla, üç farklı presleme basıncı ( $A$ faktörü) ve belirli sayıda sıcaklık düzeyi ( $B$ faktörü) kullanılarak iki faktörlü tamamen rastgele bir deney tasarlanmıştır. Her bir basınç-sıcaklık kombinasyonunda 4 tekrar (gözlem) yapılmıştır.

İlk olarak etkileşimli (tam faktöriyel) model kullanılarak varyans analizi (ANOVA) yapılmış ve bu analizde hata serbestlik derecesi ( $df_{Hata}$ ) 36 olarak bulunmuştur. Ancak $A \times B$ etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamsız olduğu görülünce, araştırmacı etkileşim terimini modelden çıkararak yalnızca ana etkileri içeren "etkileşimsiz (toplanabilir) model" kurmaya karar vermiştir.

Buna göre, deneyde kullanılan sıcaklık düzey sayısı ( $b$ ) kaçtır ve kurulan yeni etkileşimsiz modelde hata serbestlik derecesi kaç olur?

Sıcaklık düzey sayısı: 4 | Yeni hata serbestlik derecesi: 36

Sıcaklık düzey sayısı: 3 | Yeni hata serbestlik derecesi: 35

Sıcaklık düzey sayısı: 4 | Yeni hata serbestlik derecesi: 41

Sıcaklık düzey sayısı: 4 | Yeni hata serbestlik derecesi: 42

Sıcaklık düzey sayısı: 4 | Yeni hata serbestlik derecesi: 47

Show answer & explanation

Answer: Sıcaklık düzey sayısı: 4 | Yeni hata serbestlik derecesi: 42

Answer

Sıcaklık düzey sayısı 4'tür ve yeni kurulan etkileşimsiz modelde hata serbestlik derecesi 42'dir.

Verilen iki yönlü tamamen rastgele tasarımda, tam modelin hata serbestlik derecesi

ab(n-1)

formülü ile hesaplanır.

a=3

,

n=4

ve

df_{Hata}=36

eşitliğinden

3 \times b \times 3 = 36

sonucuna varılarak

b=4

bulunur. Etkileşim etkisi anlamsız bulunup modelden çıkarıldığında, toplanabilirlik ilkesi gereği etkileşime ait serbestlik derecesi olan

(a-1)(b-1) = (3-1)(4-1) = 6

değeri hata serbestlik derecesine eklenmelidir (bu işleme istatistikte havuzlama - pooling denir). Böylece yeni etkileşimsiz modelin hata serbestlik derecesi

36 + 6 = 42

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Tam modeldeki hata serbestlik derecesi formülünü kullanarak sıcaklık düzey sayısını (

b

) hesaplamak.

df_{Hata} = a \times b \times (n-1)

formülünde

a=3

,

n=4

ve

df_{Hata}=36

yerine konulduğunda

3 \times b \times (4-1) = 36

denklemi elde edilir. Buradan

9b = 36

ve

b = 4

bulunur.

Hata serbestlik derecesi, her bir hücredeki serbestlik derecesinin (

n-1

) toplam hücre sayısıyla (

a \times b

) çarpılmasıyla elde edilir.

2

Modelden çıkarılacak olan etkileşim (

A \times B

) etkisinin serbestlik derecesini hesaplamak.

df_{A \times B} = (a - 1) \times (b - 1) = (3 - 1) \times (4 - 1) = 2 \times 3 = 6

olarak hesaplanır.

Bir faktöriyel tasarımda iki faktörün etkileşim serbestlik derecesi, bu faktörlerin kendi serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

3

Etkileşimsiz modele geçildiğinde yeni hata serbestlik derecesini belirlemek.

Etkileşim terimi modelden çıkarıldığından, ona ait olan 6 serbestlik derecesi hata terimine eklenir (havuzlanır). Yeni

df_{Hata} = 36 + 6 = 42

olur.

Model indirgendiğinde (anlamsız terimler çıkarıldığında), çıkarılan terimlerin açıkladığı varyans ve serbestlik derecesi doğrudan hata (artık) terimine katılır.

Key Concept

Faktöriyel Tasarımlarda Serbestlik Derecesi ve Model İndirgeme (Havuzlama)

Question 46Question →

Bir kamu e-devlet portalının altyapı iyileştirme çalışmalarında, sunucu yanıt süresini (milisaniye) etkileyen üç farklı faktör (A: Sunucu Tipi, B: Önbellekleme, C: Yük Dengeleme) $2^3$ tam faktöriyel tasarım ile incelenmiştir. Her bir muamele kombinasyonu için $r=2$ tekrar yapılmış ve elde edilen muamele toplamları üzerinden standart sıraya (Yates sırası) göre Yates algoritması uygulanmıştır.

Algoritmanın ikinci adımında (Sütun 2) elde edilen değerler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Muamele Kombinasyonu	Sütun 2
(1)	34
a	44
b	10
ab	0
c	6
ac	8
bc	2
abc	-4

Buna göre, $AC$ etkileşiminin etki tahmini ve $B$ faktörünün kareler toplamı ( $SS_B$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

-1,25 ve 12,25

-2,50 ve 24,50

1,25 ve 0,25

-0,625 ve 24,50

1,00 ve 6,25

Show answer & explanation

Answer: -1,25 ve 12,25

Answer

İlgili değerler doğru formüllerle hesaplandığında AC Etkisi = -1,25 ve B'nin Kareler Toplamı = 12,25 olarak bulunur.

Yates algoritmasında 3 faktörlü (k=3) bir tasarım için 3 işlem sütunu oluşturulmalıdır. Soru kökünde Sütun 2 verilmiştir. Sütun 3 (Kontrastlar) hesaplandığında B için 14, AC için -10 bulunur. Tekrar sayısı r=2 olduğundan; Etki hesabı için bölen r*2^(k-1) = 2*4 = 8, Kareler Toplamı için bölen r*2^k = 2*8 = 16'dır. Böylece AC etkisi -10/8 = -1,25; B'nin Kareler Toplamı ise (14)^2/16 = 12,25 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Yates algoritmasının son adımını (Sütun 3) elde etmek için Sütun 2 değerleri üzerinden ikili toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız.

Sütun 3'ün ilk yarısı (toplamalar): 34+44=78, 10+0=10, 6+8=14, 2+(-4)=-2. İkinci yarısı (çıkarmalar, Alt-Üst): 44-34=10, 0-10=-10, 8-6=2, -4-2=-6.

k=3 faktörlü bir tasarımda Yates algoritması 3 sütun işlem gerektirir. Sütun 3 değerleri faktörlerin kontrast (zıtlık) değerlerini verir.

2

Standart sıraya göre AC ve B etkilerine karşılık gelen kontrast değerlerini Sütun 3'ten tespit ediniz.

Standart sıra: (1), A, B, AB, C, AC, BC, ABC. Buna göre 3. sıradaki B'nin kontrastı = 14, 6. sıradaki AC'nin kontrastı = -10'dur.

İlgili etki tahminleri ve kareler toplamları doğrudan bu kontrast değerleri kullanılarak hesaplanır.

3

AC etkileşiminin etki tahminini hesaplayınız.

Etki formülü = Kontrast / (r * 2^(k-1)). AC Etkisi = -10 / (2 * 2^2) = -10 / 8 = -1,25.

Bir etkinin tahminleyicisi, kontrastın toplam gözlem sayısının yarısına (r * 2^(k-1)) bölünmesiyle elde edilir.

4

B faktörünün kareler toplamını (SS_B) hesaplayınız.

SS formülü = (Kontrast)^2 / (r * 2^k). SS_B = (14)^2 / (2 * 2^3) = 196 / 16 = 12,25.

Bir faktörün varyans analizindeki kareler toplamı, kontrast karesinin toplam gözlem sayısına (r * 2^k) bölünmesiyle bulunur.

Key Concept

Yates Algoritmasında İşlem Adımları ve Etki/SS Hesaplamaları

Estimated Time:3m 0s

Question 47Question →

TÜBİTAK tarafından desteklenen bir malzeme bilimi projesinde, yeni bir polimerin esneklik katsayısını optimize etmek için 5 farklı faktörün ( $A, B, C, D, E$ ) yer aldığı iki düzeyli bir deney planlanmaktadır. Araştırmacılar, zaman ve maliyet kısıtları nedeniyle tam faktöriyel tasarım yerine $2^{5-2}$ kesirli (fractional) faktöriyel tasarım kullanmaya karar vermişlerdir.

Tasarımın oluşturulmasında temel üretici bağıntılar (generators) $D = AB$ ve $E = BC$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu kesirli faktöriyel tasarımın çözünürlük (resolution) derecesi ve $B$ ana etkisinin karıştığı (alias) etkiler aşağıdakilerin hangisinde birlikte ve eksiksiz olarak verilmiştir?

Çözünürlük III;

B \equiv AD \equiv CE \equiv ABCDE

Çözünürlük IV;

B \equiv AD \equiv CE \equiv ABCDE

Çözünürlük III;

B \equiv AD \equiv CE

Çözünürlük III;

B \equiv ABD \equiv BCE \equiv ACDE

Çözünürlük IV;

B \equiv AD \equiv CE

Show answer & explanation

Answer: Çözünürlük III; $B \equiv AD \equiv CE \equiv ABCDE$

Answer

Çözünürlük III;

B \equiv AD \equiv CE \equiv ABCDE

Verilen

2^{5-2}

tasarımda temel üretici bağıntılar

I = ABD

ve

I = BCE

'dir. İki üretici çarpıldığında genelleştirilmiş etkileşim

I = ABD \times BCE = ACDE

olarak bulunur. Böylece tam tanımlayıcı bağıntı

I = ABD = BCE = ACDE

şeklini alır. Bu bağıntıdaki en kısa kelime uzunluğu 3 harfli olduğundan tasarım 'Çözünürlük III'tür.

B

ana etkisinin hangi etkilerle karıştığını (alias) bulmak için

B

'yi tanımlayıcı bağıntıdaki tüm kelimelerle çarparız:

B \times ABD = AD

,

B \times BCE = CE

, ve

B \times ACDE = ABCDE

. Elde edilen sonuçlar tam olarak doğru seçenekteki zinciri oluşturur.

Step-by-Step Solution

1

Üretici bağıntılardan yararlanarak tanımlayıcı bağıntının (defining relation) temel kelimelerini yazın.

D = AB \implies I = ABD

E = BC \implies I = BCE

Kesirli tasarımlarda tüm karışma zincirleri tanımlayıcı bağıntı üzerinden hesaplanır.

2

Temel kelimeleri birbiriyle çarparak genelleştirilmiş etkileşimi bulun ve tam tanımlayıcı bağıntıyı oluşturun.

ABD \times BCE = AB^2CDE = ACDE

(çünkü

B^2 = I

). Tam bağıntı:

I = ABD = BCE = ACDE

2^{k-p}

tasarımlarında tam tanımlayıcı bağıntı

2^p - 1

adet kelimeden oluşmalıdır.

2^{5-2}

için

4-1=3

kelime olmalıdır.

3

Tanımlayıcı bağıntıdaki en kısa kelime uzunluğunu bularak tasarımın çözünürlük derecesini belirleyin.

Bağıntıdaki kelimeler

ABD

(uzunluk 3),

BCE

(uzunluk 3) ve

ACDE

(uzunluk 4) şeklindedir. En kısa kelime uzunluğu 3 olduğundan, tasarım Çözünürlük III (Resolution III) yapısındadır.

Çözünürlük derecesi, tanımlayıcı bağıntıdaki minimum faktör sayısına (harf uzunluğuna) eşittir.

4

B

ana etkisinin karışıklarını (alias) bulmak için,

B

'yi tanımlayıcı bağıntıdaki her bir terimle çarpın.

B \times ABD = A(B^2)D = AD

B \times BCE = (B^2)CE = CE

B \times ACDE = ABCDE

Karışma zinciri:

B \equiv AD \equiv CE \equiv ABCDE

Bir etkinin karışığını bulmak cebirsel olarak o etkinin tanımlayıcı bağıntı ile çarpılması işlemidir.

Key Concept

Kısmi Faktöriyel Tasarımlarda Tanımlayıcı Bağıntı, Çözünürlük ve Karışma (Alias) Yapısı

Estimated Time:2m 30s

Question 48Question →

Bir tekstil mühendisi, iplik mukavemetini etkileyen iki farklı faktörü (A: Hammadde Tipi, B: Büküm Sayısı) $2^2$ tam faktöriyel deney tasarımı ile incelemektedir. Deney sonuçlarına ait veriler standart sırada dizilip Yates algoritması uygulandığında, birinci sütun (Column 1) değerleri yukarıdan aşağıya sırasıyla 42, 58, 12 ve 18 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu deneydeki AB etkileşim etkisine ait kontrast (karşılaştırma) değeri kaçtır?

6

12

16

30

100

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

AB etkileşim etkisine ait kontrast değeri 6'dır.

Yates algoritmasında

2^2

faktöriyel tasarım için birinci sütun değerleri

x_1, x_2, x_3, x_4

olarak verildiğinde; ikinci sütun (kontrast sütunu) sırasıyla

(x_1+x_2)

,

(x_3+x_4)

,

(x_2-x_1)

ve

(x_4-x_3)

şeklinde hesaplanır. Bu sıralamada son değer olan

(x_4-x_3)

değeri AB etkileşim kontrastını verir. Verilen değerlerle

18 - 12 = 6

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Yates algoritmasının

2^2

tasarımı için ikinci sütun (final sütunu) hesaplama yöntemini belirleyin.

İkinci sütun değerleri: (1+2), (3+4), (2-1), (4-3) işlemleriyle bulunur.

Yates algoritması, ardışık değerlerin toplamları ve farkları üzerinden kontrastları sistematik olarak hesaplar.

2

Birinci sütundaki değerleri [42, 58, 12, 18] çiftler halinde gruplandırın.

Çift 1: (42, 58), Çift 2: (12, 18).

Toplam ve fark işlemleri bu çiftler üzerinden gerçekleştirilir.

3

İkinci sütundaki (kontrast sütunu) AB etkileşimine karşılık gelen değeri hesaplayın.

18 - 12 = 6.

2^2

tasarımında standart Yates çıktısı sırasıyla: Toplam, A, B ve AB etkilerini verir. AB değeri son işlemdir.

Key Concept

Yates algoritması,

2^k

tasarımlarda etkileri hesaplamak için ardışık toplamlar ve farklar sütunları oluşturur.

Question 49Question →

Bir kamu hizmeti araştırmasında, iki farklı vergi ödeme yöntemi ( $A$ : Online, Mobil) ve iki farklı şehir tipi ( $B$ : Büyükşehir, Küçükşehir) kullanılarak vatandaşların hizmetten memnuniyet düzeyleri ( $0-100$ arası puan) ölçülmüştür. Araştırma sonucunda elde edilen hücre ortalamaları aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Büyükşehir ( $B_1$ )	Küçükşehir ( $B_2$ )
Online ( $A_1$ )	$85$	$65$
Mobil ( $A_2$ )	$70$	$90$

Bu tablo verilerine dayanarak, ödeme yöntemi ve şehir tipi faktörlerinin memnuniyet üzerindeki etkileri hakkında yapılabilecek en doğru yorum aşağıdakilerden hangisidir?

Faktörlerin ana etkileri istatistiksel olarak anlamlı olduğu için etkileşim etkisi analizde ihmal edilebilir.

Ödeme yöntemleri arasındaki memnuniyet farkı, şehir tipinden bağımsız olarak her iki düzeyde de sabit ve aynı yöndedir.

Faktörler arasında anlamlı bir etkileşim (

A \times B

) söz konusudur; ödeme yönteminin etkisi bulunulan şehir tipine göre farklılık göstermektedir.

Şehir tipinin memnuniyet üzerindeki ana etkisi, ödeme yönteminin ana etkisinden mutlak değerce daha büyüktür.

Online ödeme yöntemi, şehir tipinden bağımsız olarak Mobil ödeme yöntemine göre her zaman daha yüksek memnuniyet sağlamaktadır.

Show answer & explanation

Answer: Faktörler arasında anlamlı bir etkileşim ( $A \times B$ ) söz konusudur; ödeme yönteminin etkisi bulunulan şehir tipine göre farklılık göstermektedir.

Answer

Faktörler arasında anlamlı bir etkileşim vardır ve ödeme yönteminin etkisi şehir tipine göre değişmektedir.

Verilen tabloda, Büyükşehir düzeyinde Online ödeme yöntemi daha yüksek memnuniyet sağlarken (

85

puan), Küçükşehir düzeyinde Mobil ödeme yöntemi daha yüksek memnuniyet (

90

puan) sağlamaktadır. Bu durum, ödeme yönteminin etkisinin şehir tipine göre yön değiştirdiğini gösterir. İstatistiksel literatürde bu durum 'anlamlı etkileşim etkisi' olarak tanımlanır ve bir faktörün etkisinin diğerine bağımlı olduğu anlamına gelir.

Step-by-Step Solution

1

Faktör A'nın (Ödeme Yöntemi) etkisini Faktör B'nin (Şehir Tipi) her bir düzeyi için hesaplayınız.

B_1

için fark (

A_1 - A_2

) =

85 - 70 = 15

puan.

B_2

için fark (

A_1 - A_2

) =

65 - 90 = -25

puan.

Etkileşimin varlığını tespit etmek için bir faktörün etkisinin diğer faktörün düzeylerine göre değişip değişmediği kontrol edilir.

2

Hesaplanan farkların tutarlılığını analiz ediniz.

Farklar hem büyüklük hem de yön bakımından farklıdır (

+15

ve

-25

).

Eğer farklar eşit olsaydı çizgiler paralel olurdu ve etkileşim olmazdı. Farkların yön değiştirmesi 'disordinal' (sıralı olmayan) etkileşimi gösterir.

3

Verilen sonuçları istatistiksel kavramlarla yorumlayınız.

A \times B

etkileşimi anlamlıdır. Ödeme yönteminin başarısı şehirden şehre değişmektedir.

Etkileşim, bir bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin, diğer bir bağımsız değişkenin seviyelerine göre farklılaşmasıdır.

Key Concept

İki Yönlü Faktöriyel Tasarımlarda Etkileşim (Interaction) Etkisi

Practice More

Etkileşim etkisinin anlamlı çıktığı durumlarda hangi çoklu karşılaştırma (post-hoc) stratejisinin (basit ana etkiler testi gibi) izlenmesi gerektiğini inceleyiniz.

Alternative Method

Grafiksel yöntemle çözüm: X eksenine şehir tiplerini (

B_1, B_2

), Y eksenine puanları yerleştirip Online ve Mobil için iki ayrı çizgi çizdiğinizde, çizgilerin birbirini kestiğini (paralel olmadığını) göreceksiniz. Kesişen çizgiler her zaman etkileşim etkisinin varlığına işaret eder.

Estimated Time:1m 30s

Question 50Question →

Bir kamu kağıt fabrikasında kağıt mukavemetini artırmak amacıyla sıcaklık ( $A$ ) ve basınç ( $B$ ) faktörlerinin etkileri $2^2$ tam faktöriyel tasarım ile incelenmektedir. Her deneme kombinasyonu için tek bir ölçüm alınmış ( $n=1$ ) ve aşağıdaki toplam verim değerleri elde edilmiştir:

- $(1) = 12$
- $a = 22$
- $b = 18$
- $ab = 32$

Buna göre, Yates algoritması adımları takip edildiğinde hesaplanan sıcaklık ve basınç arasındaki etkileşim etkisi ( $AB$ ) değeri kaçtır?

2

4

8

12

16

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Hesaplanan etkileşim etkisi değeri 2'dir.

Veriler standart sırada (12, 22, 18, 32) işlendiğinde, Yates algoritmasının ikinci sütunu sonucunda etkileşim kontrastı 4 olarak bulunur.

2^2

tasarımında etki değeri kontrastın 2'ye bölünmesiyle elde edildiği için sonuç 2 olur.

Step-by-Step Solution

1

Verileri standart Yates sırasına göre dizin.

(1)=12, a=22, b=18, ab=32

Yates algoritmasının doğru çalışması için verilerin standart sırada olması zorunludur.

2

İlk sütunu (Sütun 1) toplamlar ve farklar şeklinde hesaplayın.

34 (12+22), 50 (18+32), 10 (22-12), 14 (32-18)

Alt ve üst seviyelerin etkilerini ayrıştırmak için ilk iterasyon yapılır.

3

İkinci sütunu (Kontrastlar) Sütun 1 üzerinden hesaplayın.

84 (34+50), 24 (10+14), 16 (50-34), 4 (14-10)

İkinci iterasyon sonucunda elde edilen değerler sırasıyla Toplam, A Kontrastı, B Kontrastı ve AB Kontrastını verir.

4

Kontrast değerini etki değerine dönüştürün.

AB_{etki} = \frac{Kontrast_{AB}}{n \cdot 2^{k-1}} = \frac{4}{1 \cdot 2^{2-1}} = \frac{4}{2} = 2

Kontrastlar toplam farkı ifade ederken, etki değeri ortalama değişimi ifade eder.

Key Concept

2^k tasarımlarda Yates algoritması ile kontrast ve etki hesabı

Estimated Time:1m 30s

Question 51Question →

Bir sanayi işletmesinde üretim bandı verimliliği üzerinde iki farklı makine ayarının ( $A$ faktörü: Düşük, Yüksek) ve iki farklı ham madde tipinin ( $B$ faktörü: Tip 1, Tip 2) etkisi araştırılmaktadır. Araştırmacı, her bir işlem kombinasyonu için $5$ tekrarlı ( $n=5$ ) bir $2^2$ faktöriyel tasarım kurgulamış ve elde edilen verilerle aşağıdaki varyans analizi (ANOVA) tablosunu oluşturmuştur:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi ( $sd$ )	Kareler Toplamı ( $KT$ )	Kareler Ortalaması ( $KO$ )	$F$
$A$ Faktörü	$1$	$40$	$40$	$8,00$
$B$ Faktörü	$1$	$25$	$25$	$5,00$
$A \times B$ Etkileşimi	$1$	$15$	?	?
Hata	?	$80$	?
Genel	$19$	$160$

Tabloda verilen değerlere göre, $A \times B$ etkileşim etkisine ait hesaplanan $F$ istatistiği değeri kaçtır?

3,00

3,75

5,00

15,00

0,75

Show answer & explanation

Answer: 3,00

Answer

Hesaplanan F istatistiği değeri 3,00'dır.

Verilen

2^2

faktöriyel tasarımda toplam serbestlik derecesi

19

olduğundan hata serbestlik derecesi

16

(

19-1-1-1

) olarak bulunur. Hata kareler ortalaması

80/16 = 5

ve etkileşim kareler ortalaması

15/1 = 15

değerlerine ulaşıldığında,

F

oranı

15/5 = 3,00

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Hata serbestlik derecesini (

sd_{Hata}

) hesaplayın.

sd_{Hata} = sd_{Genel} - sd_A - sd_B - sd_{A \times B} = 19 - 1 - 1 - 1 = 16

.

Varyans analizinde toplam serbestlik derecesi, modeldeki tüm bileşenlerin serbestlik dereceleri toplamına eşittir.

2

Hata Kareler Ortalamasını (

KO_{Hata}

) hesaplayın.

KO_{Hata} = KT_{Hata} / sd_{Hata} = 80 / 16 = 5

.

Kareler ortalaması, kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle bulunur.

3

Etkileşim Kareler Ortalamasını (

KO_{A \times B}

) hesaplayın.

KO_{A \times B} = KT_{A \times B} / sd_{A \times B} = 15 / 1 = 15

.

2^2

faktöriyel tasarımlarda etkileşim etkisinin serbestlik derecesi her zaman 1'dir.

4

Etkileşim etkisine ait

F

istatistiğini hesaplayın.

F_{A \times B} = KO_{A \times B} / KO_{Hata} = 15 / 5 = 3,00

.

F istatistiği, ilgili etkinin kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranlanmasıyla elde edilir.

Key Concept

ANOVA tablosu bileşenlerinin (

sd, KT, KO, F

) birbirleri arasındaki matematiksel ilişkiler ve

2^2

tasarımı yapısı.

Practice More

Etkileşim etkisinin anlamlı olup olmadığını test etmek için tablo değerini (

F_{tablo}

) belirleyip karşılaştırma yapmayı deneyin.

Alternative Method

Genel kareler toplamının (

160

) diğer kareler toplamlarının toplamına (

40+25+15+80

) eşit olduğunu kontrol ederek hata kareler toplamının doğruluğunu teyit edebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 52Question →

Bir kamu kurumunda personelin hizmet içi eğitim sonrasındaki başarı puanlarını incelemek amacıyla, 'Eğitim Formatı' ( $A$ : Çevrimiçi, Yüz yüze) ve 'Personel Deneyimi' ( $B$ : 5 Yıldan Az, 5 Yıl ve Üzeri) olmak üzere iki faktörlü bir deney tasarlanmıştır. Her bir hücrede eşit sayıda personel bulunmaktadır. Deney sonucunda elde edilen hücre ortalamaları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Eğitim Formatı	5 Yıldan Az Deneyim	5 Yıl ve Üzeri Deneyim
Çevrimiçi	50	80
Yüz yüze	70	60

Varyans analizi sonucunda faktörler arası etkileşimin istatistiksel olarak anlamlı olduğu bulunmuştur.

Buna göre, bu araştırmanın sonuçları ve tasarımı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak en doğru yorumdur?

Eğitim formatının başarı üzerindeki etkisi personelin deneyim düzeyine göre zıt yönlü değiştiği için, ana etkilerin tek başına yorumlanması yanıltıcıdır.

Her iki eğitim formatının marjinal başarı ortalamaları eşit hesaplandığı için, bu iki faktör arasında etkileşim etkisinin ortaya çıkması imkânsızdır.

Deneyimli personelin marjinal ortalaması daha yüksek olduğundan, etkileşim gerçeği göz ardı edilerek deneyim faktörünün her iki formatta da başarıyı artırdığı genellemesi yapılmalıdır.

Bu istatistiksel analizde bağımlı değişkeni etkileyen toplam dört farklı faktör (Çevrimiçi, Yüz yüze, 5 yıldan az, 5 yıl ve üzeri) bulunmaktadır.

Bu iki yönlü varyans analizi modelinde, Eğitim Formatı ile Personel Deneyimi etkileşiminin serbestlik derecesi

4

'tür.

Show answer & explanation

Answer: Eğitim formatının başarı üzerindeki etkisi personelin deneyim düzeyine göre zıt yönlü değiştiği için, ana etkilerin tek başına yorumlanması yanıltıcıdır.

Answer

Eğitim formatının etkisi deneyim düzeyine göre tersine döndüğünden, ana etkiler yerine etkileşim etkisinin yorumlanması gerektiğini belirten ifadedir.

Tablo verileri incelendiğinde, çevrimiçi eğitim formatında deneyimli personelin başarısı (

80

) deneyimsizlerden (

50

) yüksektir. Buna karşılık, yüz yüze eğitim formatında deneyimsizlerin başarısı (

70

) deneyimlilerden (

60

) yüksektir. Bu durum istatistiksel olarak kesişen (disordinal) bir etkileşime işaret eder. Etkileşimin bu kadar güçlü olduğu durumlarda, faktörlerin genel ortalamalarına (ana etkilere) bakarak yorum yapmak veri kümesinin içindeki zıt yönlü eğilimleri gizleyeceği için istatistiksel olarak hatalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Faktörlerin marjinal (satır ve sütun) ortalamalarını hesapla.

Çevrimiçi ortalama:

(50+80)/2 = 65

, Yüz yüze ortalama:

(70+60)/2 = 65

. Deneyimsiz ortalama:

(50+70)/2 = 60

, Deneyimli ortalama:

(80+60)/2 = 70

.

Ana etkilerin boyutunu ve etkileşimin bu etkileri nasıl maskelediğini görmek için.

2

Etkileşimin yönünü ve doğasını incele.

Çevrimiçi eğitimde deneyimliler

(80 > 50)

daha başarılıyken, yüz yüze eğitimde deneyimsizler

(70 > 60)

daha başarılıdır. Çapraz (disordinal) etkileşim vardır.

Değişkenlerin birbirlerine bağlı olarak nasıl bir tepki verdiğini tespit etmek için.

3

Anlamlı disordinal etkileşim durumunda yorumlama kuralını uygula.

Ana etkiler (marjinal ortalamalar) tek başına yanıltıcı olduğundan doğrudan etkileşim üzerinden yorum yapılmalıdır.

İstatistiksel analizde ana etkilerin etkileşim altındaki geçerliliğini değerlendirmek için.

Key Concept

Faktöriyel Tasarımlarda Etkileşim ve Ana Etki Yorumu

Question 53Question →

Bir kamu kurumu, sunduğu dijital hizmetlerin kullanım memnuniyetini (0-100 puan) iki faktöre göre incelemek amacıyla $2 \times 2$ faktöriyel bir tasarım kurgulamıştır. Araştırmadaki faktörler "Erişim Kanalı" (Mobil Uygulama, Web Sitesi) ve "Kullanıcı Yaş Grubu" (Genç, Orta Yaş ve Üzeri) olarak belirlenmiştir.

Elde edilen hücre (grup) memnuniyet puanı ortalamaları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Yaş Grubu	Mobil Uygulama	Web Sitesi
Genç	$85$	$65$
Orta Yaş ve Üzeri	$60$	$80$

Veriler üzerinden yapılan iki yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, Erişim Kanalı $\times$ Yaş Grubu etkileşiminin istatistiksel olarak anlamlı olduğu bulunmuştur.

Bu sonuçlara ve tablo değerlerine göre, ana etkiler ve etkileşim bağlamında aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi istatistiksel açıdan kesinlikle doğrudur?

Yaş grubu faktörü dikkate alınmaksızın, mobil uygulamanın web sitesine kıyasla kullanıcı memnuniyetini genel olarak daha yüksek bir seviyeye çıkardığı sonucuna varılmalıdır.

Erişim kanalının memnuniyet puanı üzerindeki etkisi yaş grubuna bağlı olarak yön değiştirdiğinden, erişim kanalı faktörünün genel bir ana etkisinden söz etmek ve bunu doğrudan yorumlamak yanıltıcı olur.

Erişim kanalı düzeyleri arasındaki memnuniyet farkı, her iki yaş grubunda da aynı yönde ve paralel bir seyir izlediğinden, araştırmada sadece ana etkilere odaklanılmalıdır.

"Erişim Kanalı" ve "Yaş Grubu" değişkenleri birbiriyle anlamlı düzeyde etkileşime girdiği için, bu iki değişken ayrı birer faktör olarak değil, tek bir faktörün dört farklı düzeyi olarak modele dahil edilmelidir.

Etkileşimin anlamlı çıkması, tasarımda deneme birimlerinin atanması aşamasında rastgelelik ilkesinin ihlal edildiğini ve modele ait deneysel hatanın hesaplanamayacağını gösterir.

Show answer & explanation

Answer: Erişim kanalının memnuniyet puanı üzerindeki etkisi yaş grubuna bağlı olarak yön değiştirdiğinden, erişim kanalı faktörünün genel bir ana etkisinden söz etmek ve bunu doğrudan yorumlamak yanıltıcı olur.

Answer

Erişim kanalının etkisinin yaş grubuna göre zıt yönlü değişim göstermesi sebebiyle genel bir ana etkiden söz etmenin yanıltıcı olacağını ifade eden seçenek doğrudur.

Verilen hücre ortalamaları incelendiğinde, genç yaş grubunda mobil uygulamanın web sitesinden 20 puan yüksek olduğu; ancak orta yaş ve üzeri grupta mobil uygulamanın web sitesinden 20 puan düşük olduğu görülmektedir. Etkinin yönü faktörün düzeyine göre tam tersine döndüğü için burada 'disordinal (çapraz) etkileşim' vardır. Disordinal etkileşim durumunda, erişim kanalının her iki yaş grubu için geçerli olacak genel bir 'ana etkisi'nden söz edilemez. Faktörlerden birinin etkisi, diğerinin düzeyine sıkı sıkıya bağlıdır ve ana etkilerin izole bir şekilde tek başına yorumlanması istatistiksel açıdan yanıltıcı sonuçlar doğurur.

Step-by-Step Solution

1

Hücre ortalamaları üzerinden etkileşimin yönünü ve büyüklüğünü belirlemek.

Genç grupta mobil uygulama web sitesinden +20 puan fazlayken, orta yaş ve üzeri grupta -20 puan düşüktür. Etki faktörün düzeyine göre yön değiştirmiştir (disordinal etkileşim).

Etkileşimin doğasını anlamak, ana etkilerin nasıl yorumlanacağına karar vermek için temel adımdır.

2

Erişim kanalı faktörü için genel (marjinal) ortalamaları hesaplayarak ana etkiyi kontrol etmek.

Mobil uygulamanın genel ortalaması

(85+60)/2 = 72,5

ve web sitesinin genel ortalaması

(65+80)/2 = 72,5

olarak bulunur. Genel fark (ana etki) tam olarak sıfırdır.

Gruplardan birindeki yüksek puanın, faktörün geneli için geçerli olup olmadığını doğrulamak gerekir.

3

Varyans analizinde (ANOVA) disordinal etkileşim durumunda ana etki yorumlama kuralını uygulamak.

Etkinin diğer faktörün düzeyine göre tamamen zıt yönlerde değişmesi nedeniyle, erişim kanalının genel bir ana etkisinden söz etmenin yanıltıcı olacağı sonucuna varılır.

İstatistiksel analiz raporlamasında etkileşim anlamlı ve çizgiler çapraz iken, izole ana etki yorumlarından kaçınılmalıdır.

Key Concept

Faktöriyel Tasarımlarda Etkileşim (Interaction) ve Ana Etki (Main Effect) Yorumu

Estimated Time:1m 30s

Question 54Question →

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde, buğday verimi (ton/hektar) üzerinde iki farklı gübre tipinin ( $A_1$ ve $A_2$ ) ve iki farklı sulama frekansının ( $B_1$ ve $B_2$ ) etkilerini incelemek amacıyla $2 \times 2$ faktöriyel bir deney yürütülmüştür. Deney sonucunda elde edilen hücre ortalamaları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Sulama Frekansı	$A_1$ Gübresi	$A_2$ Gübresi
$B_1$ Frekansı	30	70
$B_2$ Frekansı	70	30

Bu verilere göre, faktörlerin ana etkileri ve aralarındaki etkileşim ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Faktörler arasında tam bir çapraz (disordinal) etkileşim vardır ve her iki faktörün de ana etkisi sıfırdır.

Hücre ortalamaları arasındaki belirgin farklar, her iki faktörün de anlamlı ana etkilere sahip olduğunu ancak etkileşimin olmadığını gösterir.

Özellikle

B_2

frekansında

A_1

gübresi en yüksek verimi sağladığından, gübre tipinin ana etkisi sulama frekansının ana etkisinden daha büyüktür.

Bu tasarımda faktör ve düzey kavramları iç içe geçtiği için, etkileşim etkisini hesaplamak yerine sadece

A_1

ve

A_2

düzeylerinin marjinal ortalamaları yorumlanmalıdır.

Faktöriyel tasarımlarda bu tür simetrik veriler, sulama frekansının bir analiz faktörü değil, deneysel hatayı azaltan bir blok değişkeni olduğunu kanıtlar.

Show answer & explanation

Answer: Faktörler arasında tam bir çapraz (disordinal) etkileşim vardır ve her iki faktörün de ana etkisi sıfırdır.

Answer

Faktörler arasında tam bir çapraz (disordinal) etkileşim vardır ve her iki faktörün de ana etkisi sıfırdır.

Verilen tabloda

A_1

ve

A_2

sütunlarının genel ortalaması 50,

B_1

ve

B_2

satırlarının genel ortalaması 50'dir. Satır ve sütun ortalamaları (marjinal ortalamalar) kendi içlerinde eşit olduğundan ana etkiler istatistiksel olarak sıfırdır. Ancak, sulama frekansı

B_1

olduğunda

A_2

gübresi üstünken, sulama frekansı

B_2

olduğunda

A_1

gübresi üstün hale gelmiştir. Faktörlerin etkilerinin birbirine bağlı olarak yön değiştirmesi disordinal (çapraz) etkileşimin en klasik göstergesidir.

Step-by-Step Solution

1

Gübre faktörünün (

A

) ana etkisini belirlemek için sütun marjinal ortalamalarını hesapla.

A_1

sütunu ortalaması:

(30 + 70) / 2 = 50

.

A_2

sütunu ortalaması:

(70 + 30) / 2 = 50

.

Ana etki, bir faktörün diğer faktör düzeyleri üzerinden ortalaması alınarak bulunur. Ortalamalar eşit olduğu için A faktörünün ana etkisi 0'dır.

2

Sulama frekansı faktörünün (

B

) ana etkisini belirlemek için satır marjinal ortalamalarını hesapla.

B_1

satırı ortalaması:

(30 + 70) / 2 = 50

.

B_2

satırı ortalaması:

(70 + 30) / 2 = 50

.

Aynı şekilde B faktörünün de düzeyleri arasındaki genel fark (ana etki) 0'dır.

3

Etkileşim etkisinin (AxB) varlığını hücre içi değerlerin davranışına bakarak incele.

B_1

düzeyinde

A_1

'den

A_2

'ye geçişte verim artarken (+40),

B_2

düzeyinde verim azalmaktadır (-40).

Bir faktörün etkisi, diğer faktörün düzeyine göre tam tersi yönde değişiyorsa, burada disordinal (çapraz) bir etkileşim vardır. Çizgi grafiği çizildiğinde çizgiler tam ortada 'X' şeklinde kesişir.

Key Concept

Faktöriyel Tasarımlarda Etkileşim ve Ana Etki Yorumlaması

Question 55Question →

Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı tarafından yürütülen bir enerji verimliliği projesinde, kamu binalarında ısı kaybını etkileyen faktörler araştırılmaktadır. Bu kapsamda İzolasyon Kalınlığı ( $A$ ) ve Cam Tipi ( $B$ ) faktörlerinin etkileri, her bir faktör için düşük, orta ve yüksek olmak üzere 3'er düzey belirlenerek $3^2$ faktöriyel tasarım ile incelenmektedir. Bu tasarımda $A \times B$ etkileşimine ait toplam serbestlik derecesi ile bu etkileşimin "Doğrusal $A \times$ Doğrusal $B$ " ( $A_L B_L$ ) bileşenine ait serbestlik derecesi sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

4 ve 1

1 ve 1

4 ve 2

2 ve 1

8 ve 2

Show answer & explanation

Answer: 4 ve 1

Answer

Etkileşim toplam serbestlik derecesi 4, doğrusal bileşen etkileşimi ise 1'dir.

3 düzeyli bir faktörün 2 serbestlik derecesi vardır. İki faktörlü bir etkileşim (

A \times B

) bu iki değerin çarpımı olan

2 \times 2 = 4

serbestlik derecesine sahiptir. Bu 4 serbestlik derecesi, ortogonal polinomlar kullanılarak her biri 1 serbestlik dereceli olan

A_L B_L

,

A_L B_Q

,

A_Q B_L

ve

A_Q B_Q

bileşenlerine ayrıştırılabilir. Dolayısıyla

A_L B_L

(Doğrusal

\times

Doğrusal) bileşeni tam olarak 1 serbestlik derecesini temsil eder.

Step-by-Step Solution

1

Faktör düzeylerini ve faktör sayısını belirle.

Faktör

A

düzey sayısı (

a

) = 3, Faktör

B

düzey sayısı (

b

) = 3.

Serbestlik derecesi hesaplamaları düzey sayıları üzerinden yapılır.

2

Ana etkiler için serbestlik derecelerini hesapla.

sd_A = a - 1 = 3 - 1 = 2

;

sd_B = b - 1 = 3 - 1 = 2

.

Her bir faktörün ana etkisi, düzey sayısının bir eksiği kadar serbestlik derecesine sahiptir.

3

Etkileşim etkisinin toplam serbestlik derecesini hesapla.

sd_{AB} = sd_A \times sd_B = 2 \times 2 = 4

.

İki faktörlü bir etkileşimin serbestlik derecesi, o faktörlerin ana etki serbestlik derecelerinin çarpımıdır.

4

Ortogonal polinom bileşenlerine ayırma işlemini uygula.

Her faktörün 2 sd'si; Doğrusal (1 sd) ve Kuadratik (1 sd) olarak ikiye ayrılır. Dolayısıyla

A_L B_L

bileşeni

1 \times 1 = 1

sd'ye sahiptir.

3 düzeyli tasarımlarda etkiler doğrusal ve eğrisel (kuadratik) bileşenlere ayrıştırılabilir ve her bir alt bileşen 1 serbestlik derecesi temsil eder.

Key Concept

3^k tasarımlarda serbestlik derecelerinin ana etkiler ve bileşenler (doğrusal/kuadratik) bazında ayrıştırılması.

Question 56Question →

Bir farmakoloji laboratuvarında, yeni bir ilacın etken maddesinin çözünme hızını optimize etmek amacıyla üç farklı faktörün ( $A, B$ ve $C$ ) ikişer düzeyde incelendiği $2^3$ faktöriyel bir deney planlanmaktadır. Deneyin yapılacağı spektrofotometre cihazı bir günde en fazla dört ölçüm yapabilmektedir. Cihaz kalibrasyonundan kaynaklanabilecek günden güne değişimi kontrol altına almak için araştırmacı, sekiz denemeyi iki farklı güne (iki bloğa) bölerek tasarımı uygulamaya karar vermiştir. Araştırmacının temel amacı, ana etkileri ve iki yönlü etkileşimleri blok etkisinden bağımsız olarak net bir şekilde tahmin etmektir.

Buna göre, bu deney tasarımında hangi etkinin bloklarla karıştırılması (confound edilmesi) istatistiksel olarak en doğru yaklaşımdır ve bu karıştırma işleminin ilgili etki üzerindeki pratik sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

ABC

üç yönlü etkileşimi karıştırılmalıdır; bunun sonucunda

ABC

etkileşimi blok etkisi ile bütünleşir ve tek başına istatistiksel olarak test edilemez.

ABC

üç yönlü etkileşimi karıştırılmalıdır; bu işlem sonucunda

ABC

etkileşimine ait varyans modelden tamamen dışlanarak deneysel hataya (error) dönüştürülür.

Bağımlı değişken üzerinde en büyük etkiye sahip olması beklenen ana etki karıştırılmalıdır; böylece bu etkinin varyansı blok varyansı içinde tutularak deneyin genel duyarlılığı artırılır.

Ana etkilerin önemini vurgulamak için iki yönlü etkileşimlerden biri (örneğin

AB

) karıştırılmalıdır; böylece üç yönlü etkileşim ve diğer etkiler daha hassas bir şekilde test edilebilir.

Karışma işlemi yapılmadan tüm deneme kombinasyonları iki bloğa tamamen şansa bağlı dağıtılmalıdır; bu sayede rastgelelik ilkesi gereği hiçbir etki bloklarla karışmaz.

Show answer & explanation

Answer: $ABC$ üç yönlü etkileşimi karıştırılmalıdır; bunun sonucunda $ABC$ etkileşimi blok etkisi ile bütünleşir ve tek başına istatistiksel olarak test edilemez.

Answer

En yüksek dereceli etkileşim olan ABC üç yönlü etkileşiminin karıştırılmasını ve bu etkinin tek başına test edilememesini savunan ifade doğrudur.

Faktöriyel tasarımlarda bloklama yapılırken, blok kapasitesi tüm deneme kombinasyonlarını kapsayamadığında 'karışma' (confounding) stratejisi uygulanır. Temel kural, araştırma için hiyerarşik olarak en az öneme sahip olan en yüksek dereceli etkileşimin (bu durumda

ABC

üç yönlü etkileşimi) blok etkisiyle karıştırılmasıdır. Bu işlem gerçekleştirildiğinde,

ABC

etkileşimine ait serbestlik derecesi ve kareler toplamı blok etkisiyle birleşir. Sonuç olarak,

ABC

etkileşimi ile bloklar arası (günler arası) farklılık istatistiksel açıdan birbirinden ayırt edilemez hale gelir ve

ABC

tek başına hipotez testine tabi tutulamaz. Ancak bu sayede, daha önemli olan ana etkiler ve iki yönlü etkileşimler blok etkisinden tamamen bağımsız (ortogonal) olarak hesaplanabilir.

Step-by-Step Solution

1

Deney tasarımının kısıtlarını ve yapısını analiz etme.

2^3

tasarım (toplam 8 deneme), boyutu 4 olan 2 bloğa ayrılmaktadır.

Hangi etkilerin kurtarılıp hangilerinin feda edileceğini belirlemek için deneyin ve blokların kapasitesinin bilinmesi gerekir.

2

Karışma (confounding) işlemi için en uygun etkiyi belirleme.

En yüksek dereceli etkileşim olan

ABC

etkileşimi bloklarla karıştırılmak üzere seçilir.

Ana etkiler (

A, B, C

) ve iki yönlü etkileşimler (

AB, AC, BC

) araştırmanın odak noktasıdır ve yüksek öneme sahiptir. Hiyerarşik olarak anlamlı olma ihtimali en düşük olan

ABC

feda edilir.

3

Karıştırma işleminin istatistiksel sonucunu yorumlama.

ABC

etkisine ait işaret dizisi ile blok atama dizisi birebir aynı olur.

ABC

etkisi blok etkisi ile bütünleşir.

Bir etki bloklarla tam karıştığında, bu etkinin serbestlik derecesi bloklara geçer. Dolayısıyla

ABC

etkileşiminin neden olduğu varyans ile günden güne değişen blok varyansı birbirinden ayrılamaz ve

ABC

bağımsız olarak test edilemez.

Key Concept

Faktöriyel Tasarımlarda Bloklama ve Karışma (Confounding) Prensibi

Estimated Time:1m 30s

Question 57Question →

Bir halk sağlığı çalışmasında, iki farklı beslenme programının (Faktör $A$ : Sabit) vücut kitle indeksi üzerindeki etkisi araştırılmaktadır. Bu amaçla, ülke genelindeki devlet hastaneleri arasından tesadüfi olarak 6 hastane (Faktör $B$ : Tesadüfi) seçilmiş ve her hastanede her beslenme programı için rastgele belirlenen 4 gönüllü ile çalışma yürütülmüştür.

Bu karma etkili (mixed-effect) ANOVA modelinde, beslenme programlarının ana etkisinin (Faktör $A$ ) istatistiksel anlamlılığını test etmek için kullanılması gereken $F$ istatistiği aşağıdakilerden hangisidir?

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

F = \frac{KO_B}{KO_{Hata}}

F = \frac{KO_{AB}}{KO_{Hata}}

F = \frac{KO_A}{KO_B}

Show answer & explanation

Answer: $F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$

Answer

Karma etkili modelde sabit faktörün testi için paydada etkileşim teriminin yer aldığı

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

oranı kullanılmalıdır.

İki yönlü karma modellerde (kısıtlanmış model varsayımı altında), sabit bir faktörün beklenen kareler ortalaması (

E(KO)

), hem hata varyansını hem de etkileşim varyans bileşenini içerir. Bu nedenle, sabit faktörün ana etkisini test etmek için kullanılacak olan

F

oranının paydasında etkileşim kareler ortalaması (

KO_{AB}

) yer almalıdır. Bu sayede

H_0

hipotezi doğruyken pay ve payda aynı bileşenleri içermiş olur.

Step-by-Step Solution

1

Modelin yapısını belirleyin.

Beslenme programı (Faktör

A

) 'Sabit', hastane (Faktör

B

) 'Tesadüfi' olduğu için bu bir karma modeldir.

Farklı faktör tiplerinin bir arada bulunması ANOVA kurallarını değiştirir.

2

Beklenen Kareler Ortalaması (

E(KO)

) ifadelerini analiz edin.

E(KO_A) = \sigma^2 + n \sigma_{\alpha\beta}^2 + bn \phi(\alpha)

ve

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n \sigma_{\alpha\beta}^2

Hangi varyans bileşenlerinin hangi terimde yer aldığını görmek

F

oranını belirlemek için gereklidir.

3

Pay ve payda arasındaki ilişkiyi kurun.

F

istatistiğinin paydasında, paydaki ifadeden sadece test edilmek istenen etki çıkarıldığında kalan terim bulunmalıdır.

Sıfır hipotezi altında

F

oranının beklenen değerinin 1'e yakın olması sağlanmalıdır.

Key Concept

Karma Modellerde (Mixed Models) Beklenen Kareler Ortalaması Kuralları

Estimated Time:1m 30s

Question 58Question →

Bir gıda işletmesinde konserve ürünlerin raf ömrünü etkileyen 5 temel faktör ( $A, B, C, D, E$ ) belirlenmiştir. Araştırmacı, maliyeti düşürmek amacıyla 8 gözlemden oluşan $2^{5-2}$ kısmi faktöriyel bir deney tasarlamış ve tasarımın jeneratörlerini (üreteçlerini) $D = AB$ ve $E = AC$ olarak seçmiştir.

Buna göre, bu deney tasarımında $A$ faktörünün ana etkisinin karışma yapısı (alias structure) aşağıdakilerden hangisidir?

A = BD = CE = ABCDE

A = BC = DE = ABCDE

A = BD = CE

A = BCD = ADE

A = ABC = ABD

Show answer & explanation

Answer: $A = BD = CE = ABCDE$

Answer

A ana etkisinin karışma yapısı

A = BD = CE = ABCDE

şeklindedir.

Verilen jeneratörlere (

D=AB, E=AC

) göre tanımlayıcı bağıntı

I = ABD = ACE = BCDE

olarak bulunur. A ana etkisinin karışma yapısını bulmak için bu bağıntıdaki terimler A ile çarpıldığında

A = BD = CE = ABCDE

sonucuna ulaşılır. Bu tasarımda A ana etkisi iki adet iki-faktör etkileşimiyle karışmaktadır, bu da tasarımın Çözünürlük III (Resolution III) düzeyinde olduğunu doğrular.

Step-by-Step Solution

1

Jeneratörlerden yola çıkarak temel tanımlayıcı bağıntıları yazın.

D = AB \Rightarrow I = ABD

ve

E = AC \Rightarrow I = ACE

Kısmi faktöriyel tasarımlarda jeneratörler, bağımsız olmayan faktörlerin tanımlanmasını sağlar.

2

Tasarımın tam tanımlayıcı bağıntısını (defining relation) oluşturun.

I = ABD = ACE = (ABD)(ACE) = A^2BCDE = BCDE

(

A^2=I

olduğu için)

Tam tanımlayıcı bağıntı, jeneratörlerin ve onların tüm olası çarpımlarının kümesidir.

3

A ana etkisinin karışma yapısını bulmak için her terimi A ile çarpın.

A \cdot I = A(ABD) = A(ACE) = A(BCDE) \Rightarrow A = BD = CE = ABCDE

Bir etkinin karışma yapısı, o etkinin tanımlayıcı bağıntıdaki her bir terim ile çarpılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Kısmi faktöriyel tasarımlarda tanımlayıcı bağıntı ve karışma yapısı (alias structure) hesabı.

Practice More

Tasarımın çözünürlük seviyesini (Resolution) belirlemek için tanımlayıcı bağıntıdaki en kısa kelime uzunluğuna bakabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 59Question →

Bir Sağlık Bakanlığı araştırmacısı, kamu hastanelerinin acil servislerinde hastaların ortalama bekleme süresini (dakika) etkileyen faktörleri incelemek amacıyla $4 \times 3$ faktöriyel bir deney tasarlamıştır. Araştırmada $A$ faktörü 'Hastane Kategorisi' (4 farklı düzey) ve $B$ faktörü 'Vardiya Tipi' (3 farklı düzey) olarak belirlenmiştir. Her bir hastane kategorisi ve vardiya tipi kombinasyonu için rastgele seçilen $n=5$ gün boyunca gözlem yapılarak veriler toplanmıştır.

Varyans analizi (ANOVA) sonucunda aşağıdaki Kareler Toplamı (KT) değerleri elde edilmiştir:
- Genel Kareler Toplamı ( $SST$ ): 3000
- A Faktörü Kareler Toplamı ( $SSA$ ): 800
- B Faktörü Kareler Toplamı ( $SSB$ ): 340
- Hata Kareler Toplamı ( $SSE$ ): 1200

Buna göre, Hastane Kategorisi ve Vardiya Tipi arasındaki etkileşim ( $A \times B$ ) etkisinin serbestlik derecesi (sd) ve Kareler Ortalaması (KO) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Serbestlik Derecesi: 6, Kareler Ortalaması: 110

Serbestlik Derecesi: 12, Kareler Ortalaması: 55

Serbestlik Derecesi: 11, Kareler Ortalaması: 60

Serbestlik Derecesi: 5, Kareler Ortalaması: 132

Serbestlik Derecesi: 6, Kareler Ortalaması: 310

Show answer & explanation

Answer: Serbestlik Derecesi: 6, Kareler Ortalaması: 110

Answer

Serbestlik Derecesi: 6, Kareler Ortalaması: 110 değerlerini içeren seçenektir.

İki yönlü faktöriyel varyans analizinde etkileşim serbestlik derecesi

(a-1)(b-1)

kuralıyla hesaplanır.

A

faktörü 4,

B

faktörü 3 düzeyli olduğundan

df_{A \times B} = 3 \times 2 = 6

'dır. Toplanabilirlik ilkesi gereği, etkileşim kareler toplamı

SS_{A \times B} = SST - (SSA + SSB + SSE)

işlemiyle bulunur. Verilen değerler yerine konulduğunda

3000 - (800 + 340 + 1200) = 660

elde edilir. Kareler Ortalaması ise bu iki değerin birbirine bölünmesiyle

660 / 6 = 110

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

A ve B faktörleri ile hücre içi gözlem sayılarını belirleme.

a = 4

,

b = 3

,

n = 5

olarak tespit edilmiştir.

Serbestlik derecelerini hesaplamak için düzey sayılarına ihtiyaç vardır.

2

Etkileşim (

A \times B

) serbestlik derecesini hesaplama.

df_{A \times B} = (a-1)(b-1) = (4-1)(3-1) = 3 \times 2 = 6

İki yönlü faktöriyel tasarımda etkileşim serbestlik derecesi her iki faktörün serbestlik derecelerinin çarpımı ile bulunur.

3

Etkileşim kareler toplamını (

SS_{A \times B}

) hesaplama.

SS_{A \times B} = SST - SSA - SSB - SSE = 3000 - 800 - 340 - 1200 = 660

Kareler toplamlarının toplanabilirliği ilkesine göre

SST

değeri, modeldeki tüm bileşenlerin (ana etkiler, etkileşim ve hata) kareler toplamlarına eşit olmalıdır.

4

Etkileşim kareler ortalamasını (

MS_{A \times B}

) hesaplama.

MS_{A \times B} = \frac{SS_{A \times B}}{df_{A \times B}} = \frac{660}{6} = 110

Kareler ortalaması (varyans), her bir etkinin kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

Key Concept

Faktöriyel ANOVA'da Serbestlik Derecesi ve Kareler Toplamlarının Ayrıştırılması

Question 60Question →

Bir kimya tesisinde reaksiyon verimini artırmak amacıyla sıcaklık ( $A$ ), basınç ( $B$ ) ve katalizör miktarı ( $C$ ) faktörlerinin etkilerini incelemek üzere $2^3$ tam faktöriyel deney planlanmıştır. Deneylerin yürütüleceği laboratuvarın günlük kapasitesinin en fazla dört test yapmaya uygun olması nedeniyle, araştırmacı sekiz denemeyi iki farklı güne (iki bloğa) yaymak zorunda kalmıştır.

Günler arası oluşabilecek ölçüm farklılıklarının (blok etkisinin) temel sonuçları yanıltmasını önlemek isteyen araştırmacı, en yüksek dereceli etkileşim olan $ABC$ etkileşimini bloklarla karıştırma (confounding) stratejisini uygulamıştır.

Bu deney tasarımı ve uygulanan karışma işlemi dikkate alındığında, modelin tahmin yeteneği hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

ABC

etkileşimi ile blok etkisi birbirinden istatistiksel olarak ayırt edilemez hale gelir; ancak ana etkiler ve tüm ikili etkileşimler blok farklılıklarından arındırılmış biçimde tahmin edilebilir.

Karışma (confounding) işlemi sonucunda

ABC

etkileşiminin yarattığı varyans tamamen yok edilir ve bu sayede deneyin genel hata varyansı sıfıra yaklaşır.

En yüksek dereceli etkileşimin bloklarla karıştırılması,

A, B

ve

C

ana etkilerinin de blok etkisiyle kısmen karışmasına yol açtığından ana etkilerin net yorumlanmasını engeller.

Bloklamanın temel amacı ana etkileri denetim altına almak olduğundan,

ABC

etkileşimi yerine bağımlı değişkene en fazla etki eden ana faktörün bloklarla karıştırılması gerekirdi.

Deneyi iki bloğa ayırmak sistemdeki toplam hata serbestlik derecesini artırır, böylece

ABC

etkileşimi için yapılacak olan hipotez testinin istatistiksel gücü yükselir.

Show answer & explanation

Answer: $ABC$ etkileşimi ile blok etkisi birbirinden istatistiksel olarak ayırt edilemez hale gelir; ancak ana etkiler ve tüm ikili etkileşimler blok farklılıklarından arındırılmış biçimde tahmin edilebilir.

Answer

ABC

etkileşimi ile blok etkisi birbirinden istatistiksel olarak ayırt edilemez hale gelir; ancak ana etkiler ve tüm ikili etkileşimler blok farklılıklarından arındırılmış biçimde tahmin edilebilir.

Tam faktöriyel tasarımlarda tüm deneme birimleri tek bir homojen çevrede (tek blokta) yürütülemediğinde bloklama tekniği zorunlu hale gelir. Kapasite kısıtı nedeniyle deney parçalara bölündüğünde, genellikle en az öneme sahip olduğu varsayılan en yüksek dereceli etkileşim (bu örnekte

ABC

) blok etkisi ile karıştırılır (confounded). Ortogonal tasarımın doğası gereği, bloklar arası farklılıklar sadece

ABC

etkileşimini etkiler. Geriye kalan ana etkiler (

A, B, C

) ve ikili etkileşimler (

AB, AC, BC

) blok etkisine dik kalarak gün farklılıklarından arındırılmış, son derece net ve bağımsız bir biçimde tahmin edilebilir. Doğru ifade budur.

Step-by-Step Solution

1

2^3

tam faktöriyel tasarımda kısıtların ve bloklamanın belirlenmesi

8 deneylik tam tasarım, laboratuvar kısıtı nedeniyle her biri 4 deney içeren 2 bloğa (güne) ayrılmıştır.

Günlük cihaz kapasitesi aşılamayacağı için gün etkisini (blok etkisini) istatistiksel olarak kontrol altına almak gereklidir.

2

Karışma (confounding) stratejisinin mantığının uygulanması

Araştırmacı, en yüksek dereceli ve yorumlanması en zor olan

ABC

etkileşimini bloklar ile bilerek karıştırmıştır (defining contrast: I = ABC).

Ana etkiler (

A, B, C

) ve ikili etkileşimler (

AB, AC, BC

) gibi araştırma için kritik olan etkilerin gün farklılıklarından etkilenmeden, net bir şekilde izole edilebilmesini sağlamak hedeflenmiştir.

3

Sonuçların tahmin edilebilirliğinin değerlendirilmesi

ABC

etkileşimi bloklar arası farkla (gün farkıyla) aynı varyansı ve serbestlik derecesini paylaştığı için tek başına hesaplanamaz. Ancak diğer 6 etki (ana ve ikili etkiler) bloklardan tamamen arındırılmıştır.

Faktöriyel tasarımların diklik (ortogonallik) özelliği sayesinde, tanımlayıcı bağıntı dışındaki tüm faktörler kendi aralarında ve bloklara karşı bağımsız kalırlar.

Key Concept

Karışma (Confounding) ve Bloklama

Faktöriyel Tasarımlar

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution