Tek Yönlü Varyans Analizi Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 2

Question 21Question →

Bir siber güvenlik araştırmacısı, 4 farklı güvenlik duvarı (firewall) mimarisinin siber saldırıları tespit etme sürelerini (milisaniye) karşılaştırmak amacıyla tamamen rastgele tasarıma dayalı bir deney yürütmüştür. Elde edilen veriler üzerinde yapılan ön analizler sonucunda, tespit sürelerinin aşırı sağa çarpık bir dağılım sergilediği ve grup varyanslarının istatistiksel olarak birbirinden farklı olduğu (heterojenlik) tespit edilmiştir.

Bu varsayım ihlalleri nedeniyle araştırmacı, Tek Yönlü Varyans Analizi'nin (ANOVA) nonparametrik karşılığı olan Kruskal-Wallis testini uygulamaya karar vermiştir. Toplamda $N=45$ gözlemin bulunduğu bu analiz süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Kullanılacak testin sıfır hipotezi (

H_0

), "Dört güvenlik duvarı mimarisinin tespit sürelerine ait medyanları (veya dağılımları) eşittir" şeklinde kurulur ve hesaplanan

H

test istatistiği, yeterli örneklem hacminde 3 serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına yakınsar.

Kruskal-Wallis testinde sıfır hipotezi reddedildiğinde kabul edilen alternatif hipotez (

H_1

), "Tüm güvenlik duvarı mimarilerinin tespit süresi ortalamaları birbirinden farklıdır" şeklinde ifade edilir.

Normallik varsayımı ihlal edilmiş olsa dahi, parametrik testlerin istatistiksel gücü daha yüksek olduğundan veriler üzerinde Kruskal-Wallis yerine doğrudan Tek Yönlü ANOVA uygulanmalıdır.

Test istatistiğinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını değerlendirmek için kullanılacak teorik tablo değeri belirlenirken,

N-k = 41

hata serbestlik derecesi dikkate alınmalıdır.

Eğer araştırmacı nonparametrik test yerine parametrik ANOVA uygulasaydı, varyansların heterojen olması durumunda gruplar arası farklılıkların kaynağını bulmak için Tukey HSD testini kullanması gerekirdi.

Show answer & explanation

Answer: Kullanılacak testin sıfır hipotezi ( $H_0$ ), "Dört güvenlik duvarı mimarisinin tespit sürelerine ait medyanları (veya dağılımları) eşittir" şeklinde kurulur ve hesaplanan $H$ test istatistiği, yeterli örneklem hacminde 3 serbestlik dereceli Ki-kare ( $\chi^2$ ) dağılımına yakınsar.

Answer

Doğru seçenek, Kruskal-Wallis testinin sıfır hipotezinin medyanların eşitliğine dayandığını ve test istatistiğinin 3 serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına yakınsadığını belirten ifadedir.

Kruskal-Wallis testi, Tek Yönlü ANOVA'nın parametrik olmayan karşılığıdır. Verilerdeki aşırı çarpıklık ve varyans heterojenliği gibi durumlarda tercih edilir. Bu test, grup ortalamaları yerine medyanları (veya daha genel anlamda sıra ortalamalarını) baz alarak işlem yapar. Sıfır hipotezi (

H_0

), popülasyon medyanlarının eşit olduğunu belirtir. Test istatistiği olan

H

değeri ise, örneklem çapları çok küçük olmadığı sürece,

k

grup sayısını temsil etmek üzere

k-1

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına uyar. Bu senaryoda 4 farklı mimari (k=4) bulunduğu için serbestlik derecesi 3'tür.

Step-by-Step Solution

1

Kruskal-Wallis testinin hipotez yapısını incele.

Parametrik ANOVA ortalamaları karşılaştırırken, Kruskal-Wallis testi sıralı veriler üzerinden işlem yaparak grupların medyanlarının (veya dağılımlarının) eşitliğini test eder.

Sıfır hipotezinin ve test edilen parametrenin doğru tanımlanması gerekir.

2

Kruskal-Wallis test istatistiğinin (H) referans dağılımını ve serbestlik derecesini hesapla.

Grup sayısı k=4'tür. H istatistiği büyük örneklemlerde k-1 serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına yakınsar. Buradan serbestlik derecesi 4 - 1 = 3 olarak bulunur.

İstatistiksel kararın verileceği doğru tablo ve parametrenin belirlenmesi zorunludur.

3

Çeldiricilerdeki mantıksal ve istatistiksel hataları tespit et.

Hatalı serbestlik derecesi (N-k), yanlış alternatif hipotez ('hepsi farklıdır'), varsayım ihlallerinin görmezden gelinmesi ve varyans heterojenliğinde yanlış post-hoc (Tukey) seçimi içeren seçenekler elenir.

Kavramsal ve işlemsel yanlışlıkları ayıklayarak doğru ifadeyi kesinleştirmek.

Key Concept

Kruskal-Wallis Testi Varsayımları ve Teorik Altyapısı

Estimated Time:2m 0s

Question 22Question →

Endüstriyel bir fırının farklı sıcaklık ayarlarının, üretilen seramiklerin sertlik derecesine etkisi tek yönlü varyans analizi (ANOVA) ile test edilmektedir. Bu kapsamda $5$ farklı sıcaklık seviyesi belirlenmiş ve toplam $25$ adet seramik örneği tamamen şansa bağlı olarak bu seviyelere eşit olarak atanmıştır.

Oluşturulan ANOVA tablosunda gruplar arası (işlem) kareler ortalaması ( $KO_{Gruplar}$ ) $30$ ve genel kareler toplamı ( $KT_{Genel}$ ) $320$ olarak raporlanmıştır.

Verilen bu bilgilere göre, modelin anlamlılığını test etmek için kullanılacak olan hesaplanmış F test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,33

0,60

1,88

3,00

3,75

Show answer & explanation

Answer: 3,00

Answer

Doğru yanıt 3,00 değeridir.

Varyans analizi tablosunda eksik değerleri bulmak için toplanabilirlik ilkesi uygulanmalıdır. Grup sayısı (

k

) 5 olduğundan, gruplar arası serbestlik derecesi (

k-1

) 4'tür. Kareler ortalaması (

KO=30

) verildiği için gruplar arası kareler toplamı

30 \times 4 = 120

olur. Toplam 25 gözlem olduğu için genel serbestlik derecesi (

N-1

) 24, hata serbestlik derecesi (

N-k

) 20'dir. Hata kareler toplamı, genel toplamdan gruplar arasının çıkarılmasıyla (

320 - 120 = 200

) bulunur. Hata kareler ortalaması

200 / 20 = 10

olarak hesaplanır. F istatistiği ise gruplar arası kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranıdır (

30 / 10 = 3,00

).

Step-by-Step Solution

1

Gruplar arası (işlem) serbestlik derecesini (

sd_{G}

) ve kareler toplamını (

KT_{G}

) hesaplayın.

k = 5

olduğu için

sd_{G} = 5 - 1 = 4

'tür.

KT_{G} = KO_{G} \times sd_{G}

formülünden

KT_{G} = 30 \times 4 = 120

olarak bulunur.

Genel kareler toplamı içerisinden hata payını ayrıştırabilmek için öncelikle gruplar arası kareler toplamının bilinmesi gerekir.

2

Kareler toplamının toplanabilirliği ilkesini kullanarak hata kareler toplamını (

KT_{Hata}

) bulun.

KT_{Genel} = KT_{G} + KT_{Hata}

eşitliğinden yola çıkarak

KT_{Hata} = 320 - 120 = 200

elde edilir.

F test istatistiğinin paydasında yer alan hata kareler ortalamasını bulmak için hata kareler toplamına ihtiyaç vardır.

3

Hata serbestlik derecesini (

sd_{Hata}

) ve hata kareler ortalamasını (

KO_{Hata}

) hesaplayın.

Toplam gözlem sayısı

N = 25

ve grup sayısı

k = 5

olduğundan

sd_{Hata} = N - k = 25 - 5 = 20

'dir. Buradan

KO_{Hata} = KT_{Hata} / sd_{Hata} = 200 / 20 = 10

hesaplanır.

Varyans analizinde anlamlılık testi, işlem varyansının hata varyansına oranlanması ile yapılır.

4

F test istatistiğini elde etmek için kareler ortalamalarını oranlayın.

F = KO_{G} / KO_{Hata} = 30 / 10 = 3,00

olarak bulunur.

F istatistiğinin formülü, gruplar arası değişimin rastgele (hata) değişime oranıdır.

Key Concept

Tek Yönlü ANOVA'da Kareler Toplamlarının Ayrıştırılması ve F Testi İstatistiği

Estimated Time:1m 30s

Question 23Question →

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde, buğday verimini artırmak amacıyla yeni geliştirilen $3$ farklı biyolojik gübre ile halihazırda bölgede yaygın olarak kullanılan standart bir kimyasal gübrenin (kontrol grubu) etkileri tamamen rastgele tasarım planı ile karşılaştırılmaktadır.

Yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, grupların ortalamaları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık saptanmıştır ( $p < 0,05$ ). Verilerin normal dağılım gösterdiği ve varyansların homojen olduğu Levene testi ile doğrulanmıştır ( $p > 0,05$ ).

Araştırmacının temel amacı gruplar arası tüm olası ikili karşılaştırmaları incelemek değil, **yalnızca yeni geliştirilen $3$ biyolojik gübrenin her birini standart kimyasal gübre (kontrol) ile karşılaştırmaktır.**

Buna göre, araştırmacının Tip I hata oranını (family-wise error rate) kontrol altında tutarak bu spesifik karşılaştırmaları yapabilmesi için aşağıdaki çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerinden hangisini kullanması en uygundur?

Tukey HSD testi

Games-Howell testi

Dunnett testi

Scheffe testi

Fisher'ın LSD testi

Show answer & explanation

Answer: Dunnett testi

Answer

Araştırmanın amacı yalnızca deney gruplarını kontrol grubu ile karşılaştırmak olduğundan, bu amaç için özel olarak geliştirilmiş olan Dunnett testi en uygun yöntemdir.

Araştırmacının amacı deney gruplarını (yeni gübreler) kendi aralarında değil, sadece önceden belirlenmiş bir kontrol grubuyla (standart kimyasal gübre) karşılaştırmaktır. Ayrıca varyansların homojenliği varsayımı sağlanmıştır. Tip I hata oranını (family-wise error rate) korurken, yalnızca kontrol grubu ile yapılan ikili karşılaştırmalar için özel olarak tasarlanmış ve istatistiksel gücü (power) diğer çoklu karşılaştırma testlerine (örneğin Tukey veya Scheffe) göre daha yüksek olan test Dunnett testidir.

Step-by-Step Solution

1

Araştırmanın istatistiksel varsayımlarının incelenmesi.

Levene testi sonucuna göre (

p > 0,05

) varyansların homojen olduğu ve normal dağılım varsayımının sağlandığı belirlenir.

Varyansların homojenliği, seçilecek post-hoc testin parametrik özelliklerini belirler (örneğin Games-Howell elenir).

2

Araştırmacının temel karşılaştırma hipotezinin analizi.

Tüm grupların birbiriyle (ör. Biyolojik Gübre 1 vs Biyolojik Gübre 2) değil, yalnızca deney gruplarının kontrol grubuyla (Standart Gübre) karşılaştırılacağı tespit edilir.

Karşılaştırma stratejisi (tüm ikililer mi, yoksa sadece kontrole karşı mı) post-hoc testin gücünü doğrudan etkiler.

3

Hipoteze ve varsayımlara en uygun testin belirlenmesi.

Varyansların homojen olduğu ve yalnızca kontrol grubu karşılaştırmalarının hedeflendiği durumlar için Tip I hata oranını koruyan en güçlü testin Dunnett testi olduğuna karar verilir.

Tukey veya Scheffe gibi testler gereksiz karşılaştırmaları da modele kattığı için kontrol grubuna odaklı çalışmalarda daha düşük istatistiksel güce sahiptir.

Key Concept

Çoklu Karşılaştırma Testi Seçimi ve Dunnett Testi

Question 24Question →

Bir il sağlık müdürlüğü, şehirdeki dört farklı devlet hastanesinin (K, L, M ve N) acil servislerindeki ortalama hasta bekleme süreleri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık olup olmadığını incelemektedir. Bu amaçla her hastaneden rastgele seçilen hastaların bekleme süreleri kaydedilmiş ve tek yönlü varyans analizi (ANOVA) kullanılmasına karar verilmiştir.

Bu araştırmada test edilecek sıfır ( $H_0$ ) ve alternatif ( $H_1$ ) hipotezlerin doğru ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? (Burada $\mu_i$ , $i$ . hastanedeki kitle ortalama bekleme süresini ifade etmektedir.)

H_0: \mu_K = \mu_L = \mu_M = \mu_N

H_1

: En az iki hastanenin kitle ortalama bekleme süresi birbirinden farklıdır.

H_0: \mu_K = \mu_L = \mu_M = \mu_N

H_1

: Tüm hastanelerin kitle ortalama bekleme süreleri birbirinden farklıdır.

H_0

: Hastane etkisine ait varyans bileşeni sıfırdır (

\sigma_{\tau}^2 = 0

).

H_1

: Hastane etkisine ait varyans bileşeni sıfırdan büyüktür (

\sigma_{\tau}^2 > 0

).

H_0

: En az iki hastanenin kitle ortalama bekleme süresi birbirinden farklıdır.

H_1: \mu_K = \mu_L = \mu_M = \mu_N

H_0

: Dört farklı hastane faktörünün kitle ortalama bekleme süreleri eşittir.

H_1

: En az iki hastane faktörünün kitle ortalaması birbirinden farklıdır.

Show answer & explanation

Answer: $H_0: \mu_K = \mu_L = \mu_M = \mu_N$
$H_1$ : En az iki hastanenin kitle ortalama bekleme süresi birbirinden farklıdır.

Answer

H_0

hipotezinin tüm kitle ortalamalarının eşit olduğunu (

\mu_K = \mu_L = \mu_M = \mu_N

) ve

H_1

hipotezinin en az iki ortalamanın farklı olduğunu belirttiği seçenek doğru cevaptır.

Doğru seçenekte sıfır hipotezi (

H_0

) standart ANOVA varsayımına uygun olarak tüm kitle ortalamalarının eşitliği (

\mu_K = \mu_L = \mu_M = \mu_N

) üzerinden kurulmuş, alternatif hipotez (

H_1

) ise tüm ortalamaların değil, eşitliği bozmaya yetecek olan 'en az iki ortalamanın farklı olduğu' durumu üzerinden doğru bir şekilde ifade edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Araştırmanın yapısını ve model tipini belirle.

Araştırmacı şehirdeki belirli 4 devlet hastanesini seçmiştir. Bu durum, faktör düzeylerinin araştırmacı tarafından özel olarak belirlendiği 'Sabit Etkili Model'dir (Fixed Model).

Model tipinin bilinmesi, hipotezlerin varyans bileşenleri (

\sigma^2

) üzerinden mi yoksa kitle ortalamaları (

\mu

) üzerinden mi kurulacağını belirler.

2

Sıfır hipotezini (

H_0

) oluştur.

H_0: \mu_K = \mu_L = \mu_M = \mu_N

olarak yazılır.

Sabit etkili tek yönlü ANOVA'da sıfır hipotezi her zaman gruplar (düzeyler) arasında fark olmadığını, yani tüm kitle ortalamalarının birbirine eşit olduğunu savunur.

3

Alternatif hipotezi (

H_1

) oluştur.

H_1

: En az bir

i \neq j

için

\mu_i \neq \mu_j

(veya 'En az iki hastanenin ortalaması birbirinden farklıdır') olarak yazılır.

Alternatif hipotez,

H_0

'ın tam tersi veya mantıksal tamamlayıcısıdır. Eşitliğin bozulması için tüm ortalamaların farklı olması gerekmez; sadece bir farklılık bile yeterlidir.

Key Concept

ANOVA'da Hipotez Kurulumu ve Sabit/Tesadüfi Model Ayrımı

Question 25Question →

Bir kamu kurumu, personelin mesleki gelişimini artırmak amacıyla $4$ farklı eğitim programının etkinlik düzeyini karşılaştırmak istemektedir. Bu amaçla tamamen rastgele deney tasarımına uygun olarak toplam $24$ personel rassal olarak bu eğitim programlarına eşit sayıda atanmıştır.

Eğitimler sonrasında personelin performans puanları üzerinden tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulanmıştır. Analiz sonucunda, gruplar arası (muamele) kareler ortalaması $40$ ve genel (toplam) kareler toplamı $320$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, eğitim programlarının etkinlikleri arasında anlamlı bir fark olup olmadığını test etmek için hesaplanan F test istatistiği değeri kaçtır?

0,25

2,50

2,86

4,00

5,00

Show answer & explanation

Answer: $4,00$

Answer

Doğru F test istatistiği değeri

4,00

'dır.

ANOVA tablosunun yapısı gereği F test istatistiği, Muamele Kareler Ortalamasının (

MSTr

) Hata Kareler Ortalamasına (

MSE

) bölünmesiyle elde edilir. Soruda

MSTr = 40

ve Toplam Kareler Toplamı

SST = 320

olarak verilmiştir.

Öncelikle serbestlik dereceleri bulunur: Muamele serbestlik derecesi

k-1 = 4-1 = 3

'tür. Buradan Muamele Kareler Toplamı

SSTr = 40 \times 3 = 120

olarak bulunur.
Toplanabilirlik özelliğinden Hata Kareler Toplamı

SSE = SST - SSTr = 320 - 120 = 200

'dür.
Hata serbestlik derecesi

N-k = 24-4 = 20

'dir. Dolayısıyla

MSE = 200 / 20 = 10

olur.
Son olarak

F = 40 / 10 = 4,00

olarak hesaplanır.

İlgili değerlerin ANOVA tablosundaki gösterimi şöyledir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (SS)	Kareler Ortalaması (MS)	F İstatistiği
Muamele (Gruplar Arası)	$3$	$120$	$40$	$40 / 10 = 4,00$
Hata (Gruplar İçi)	$20$	$200$	$10$
Genel (Toplam)	$23$	$320$

Step-by-Step Solution

1

Serbestlik derecelerinin (sd) hesaplanması.

Grup sayısı

k=4

olduğundan muamele serbestlik derecesi

df_{Muamele} = 4 - 1 = 3

olur. Toplam gözlem sayısı

N=24

olduğundan hata serbestlik derecesi

df_{Hata} = 24 - 4 = 20

olarak bulunur.

ANOVA tablosundaki diğer değerleri bulabilmek için gruplar arası ve gruplar içi serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.

2

Muamele Kareler Toplamının (

SSTr

) hesaplanması.

SSTr = MSTr \times df_{Muamele} = 40 \times 3 = 120

olarak hesaplanır.

Kareler ortalaması formülünden (

MSTr = SSTr / df_{Muamele}

) yola çıkarak eksik olan kareler toplamı bileşeni elde edilir.

3

Hata Kareler Toplamının (

SSE

) hesaplanması.

SSE = SST - SSTr = 320 - 120 = 200

olarak bulunur.

Kareler toplamlarının toplanabilirliği ilkesine (

SST = SSTr + SSE

) göre genel kareler toplamından muamele kareler toplamı çıkarılır.

4

Hata Kareler Ortalamasının (

MSE

) hesaplanması.

MSE = SSE / df_{Hata} = 200 / 20 = 10

olarak hesaplanır.

F test istatistiğinin paydasını oluşturan hata varyansını tahmin etmek için bu işleme gerek duyulur.

5

F test istatistiğinin hesaplanması.

F = MSTr / MSE = 40 / 10 = 4,00

sonucuna ulaşılır.

Gruplar arası varyansın gruplar içi varyansa oranı F istatistiğini verir.

Key Concept

ANOVA Tablosunda Kareler Toplamı ve Ortalamaları Arasındaki İlişkiler

Question 26Question →

Bir eğitim araştırmacısı, öğrencilerin okuduğunu anlama becerileri üzerinde üç farklı öğretim yönteminin etkisini incelemektedir. Araştırmacı, müfredatta yer alan ve özellikle ilgilendiği $3$ öğretim yöntemini (sabit faktör) belirlemiş ve tamamen rastgele bir deney tasarımıyla öğrencilere uygulamıştır. Sınıf mevcutlarındaki farklılıklardan dolayı, birinci yöntem $4$ öğrenciye, ikinci yöntem $6$ öğrenciye ve üçüncü yöntem $6$ öğrenciye uygulanmıştır.

Tek yönlü sabit etkili (Model I) varyans analizi varsayımlarının sağlandığı dikkate alındığında, bu deney tasarımı için yöntem (muamele) kareler ortalamasının beklenen değeri olan $E(MS_{\text{Yöntem}})$ aşağıdakilerden hangisidir?

(Burada $\sigma^2$ hata varyansını, $\tau_i$ ilgili yöntemin sabit etkisini ve $\sigma_{\tau}^2$ şansa bağlı yöntem varyans bileşenini göstermektedir.)

\sigma^2 + \frac{4\tau_1^2 + 6\tau_2^2 + 6\tau_3^2}{2}

\sigma^2 + \frac{16(\tau_1^2 + \tau_2^2 + \tau_3^2)}{2}

\sigma^2 + 5{}25\sigma_{\tau}^2

\sigma^2 + \frac{4\tau_1^2 + 6\tau_2^2 + 6\tau_3^2}{13}

\sigma^2 + \frac{\tau_1^2 + \tau_2^2 + \tau_3^2}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\sigma^2 + \frac{4\tau_1^2 + 6\tau_2^2 + 6\tau_3^2}{2}$

Answer

Doğru yanıt, sabit etkili ve dengesiz tasarımlar için geçerli olan E(MS) formülünü tam olarak yansıtan

\sigma^2 + \frac{4\tau_1^2 + 6\tau_2^2 + 6\tau_3^2}{2}

ifadesidir.

Verilen senaryoda deney sabit etkili bir modeldir (özel olarak seçilmiş 3 öğretim yöntemi) ve gözlem sayıları eşit değildir (dengesiz tasarım). Bu durumda muamele (yöntem) kareler ortalamasının beklenen değeri

E(MS_{Tr}) = \sigma^2 + \frac{\sum_{i=1}^a n_i \tau_i^2}{a-1}

matematiksel kuralıyla hesaplanır. Formülde

a=3

yerine konduğunda payda

(3-1) = 2

olur. Pay kısmına ise her yöntemin kendi gözlem sayısıyla (

4, 6, 6

) çarpılmış etkilerinin kareleri toplamı (

4\tau_1^2 + 6\tau_2^2 + 6\tau_3^2

) gelir. Doğru seçenek bu özellikleri birebir karşılamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Deney tasarımı ve model tipinin belirlenmesi.

Modelin sabit etkili (Model I) tek yönlü varyans analizi olduğu ve gözlem sayılarının dengesiz (

n_1=4, n_2=6, n_3=6

) olduğu saptanır.

Araştırmacının özellikle 3 yöntemi seçmesi faktörün sabit olduğunu gösterir. Gruplardaki öğrenci sayılarının farklı olması da tasarımın dengesiz olduğunu ifade eder.

2

Sabit etkili ve dengesiz tasarım için

E(MS_{Tr})

formülünün hatırlanması.

Genel formül:

E(MS_{Tr}) = \sigma^2 + \frac{\sum_{i=1}^a n_i \tau_i^2}{a-1}

olarak belirlenir.

Dengesiz sabit etkili modellerde, her muamele etkisinin karesi (

\tau_i^2

), sadece kendi grubundaki gözlem sayısı (

n_i

) ile çarpılarak ağırlıklandırılır.

3

Örneklem büyüklükleri ve düzey sayısının formülde yerine konulması.

Düzey sayısı

a=3

olduğundan payda

3-1 = 2

olur. Pay kısmı ise gözlem sayılarıyla ağırlıklandırılarak

4\tau_1^2 + 6\tau_2^2 + 6\tau_3^2

şeklinde yazılır.

Varyans analizi Beklenen Kareler Ortalaması kuralları gereği (Sabit Model kuralları),

\tau_i

etkileri kareleri ile örneklendikleri miktar kadar toplama katkı sağlarlar.

Key Concept

Sabit Etkili Dengesiz Modellerde Beklenen Kareler Ortalaması (E(MS))

Estimated Time:2m 0s

Question 27Question →

Bir kamu kurumunda, personelin mesleki gelişimine katkı sağlamak amacıyla $5$ farklı eğitim programı düzenlenmiştir. Programlara katılan personel sayıları birbirinden farklıdır. Eğitimler tamamlandıktan sonra personelin performans değerlendirme puanları üzerinden programlar arası farkın incelenmesi istenmektedir. Analiz öncesinde yapılan varsayım kontrollerinde, performans puanlarına ait grup varyanslarının homojen olmadığı ( $\alpha = 0,05$ düzeyinde) tespit edilmiştir. Buna rağmen Welch ANOVA testi kullanılarak eğitim programları arasında genel anlamda istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık bulunmuştur.

Buna göre, hangi eğitim programlarının birbirinden farklılık gösterdiğini belirlemek için araştırmacının aşağıdaki çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerinden hangisini kullanması en uygundur?

Tukey HSD testi

Dunnett testi

Games-Howell testi

Fisher'ın LSD testi

Student-Newman-Keuls (SNK) testi

Show answer & explanation

Answer: Games-Howell testi

Answer

Araştırmacının kullanması gereken en uygun test Games-Howell testidir.

Doğru cevap, varyansların homojen olmadığı durumlarda çoklu karşılaştırma yapmaya imkân tanıyan post-hoc testini belirtmektedir. Soruda grup varyanslarının heterojen olduğu ve örneklem büyüklüklerinin farklı olduğu açıkça ifade edilmiştir. Games-Howell testi, bu iki ihlalin bir arada bulunduğu durumlarda (heterojen varyans ve farklı örneklem çapı) kullanılabilecek en güvenilir çoklu karşılaştırma testidir.

Step-by-Step Solution

1

Senaryodaki veri yapısını ve varsayım sonuçlarını analiz etmek.

Araştırmada

5

farklı grubun bulunduğu, örneklem büyüklüklerinin eşit olmadığı ve grup varyanslarının homojen olmadığı (heterojen olduğu) belirlenmiştir.

Doğru post-hoc testinin seçimi, örneklem büyüklüklerinin eşitliği ve varyansların homojenliği varsayımlarının sağlanıp sağlanmadığına doğrudan bağlıdır.

2

Varsayım ihlallerine uygun çoklu karşılaştırma testini belirlemek.

Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinde, Tukey, LSD veya SNK gibi standart testler yerine varyans eşitsizliğine karşı dirençli olan Games-Howell veya Tamhane testleri tercih edilmelidir.

Games-Howell testi, varyansların heterojen ve örneklem büyüklüklerinin farklı olduğu durumlarda Tip I hata oranını en iyi kontrol eden istatistiksel testtir.

Key Concept

Varyansların heterojen olduğu koşullarda çoklu karşılaştırma (post-hoc) testi seçimi

Estimated Time:1m 0s

Question 28Question →

Bir kamu sağlığı araştırmacısı, üç farklı tedavi protokolünün hastaların iyileşme süreleri üzerindeki etkisini karşılaştırmak amacıyla tek yönlü varyans analizi (ANOVA) planlamıştır. Araştırma gruplarına atanan hasta sayıları birbirinden farklıdır ( $n_1 = 15$ , $n_2 = 25$ , $n_3 = 50$ ). Analiz öncesi yapılan varsayım kontrollerinde; Shapiro-Wilk testi sonucunda hataların normal dağılım gösterdiği tespit edilmiş, ancak Levene testi sonucunda grup varyanslarının homojen olmadığı ( $p < 0,05$ ) görülmüştür. Verilerin yapısal analizi incelendiğinde, en küçük örneklem hacmine sahip olan birinci grubun varyansının diğer grupların varyanslarından belirgin şekilde daha büyük olduğu anlaşılmıştır.

Buna göre, araştırmacının bu veri setine doğrudan standart tek yönlü ANOVA uygulaması ve varyans heterojenliğini dikkate almaması durumunda, testin istatistiksel yapısı ve hata oranları hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

En küçük örneklemin en büyük varyansa sahip olması, testin Tip I hata oranını belirlenen düzeyden çok daha düşük (muhafazakar) hale getirir.

Varyansların heterojenliği yalnızca testin istatistiksel gücünü düşürür, Tip I hata oranı etkilenmez; gruplar arası farklar bulunursa Tukey HSD testi ile karşılaştırmalara devam edilmelidir.

Testin gerçek Tip I hata oranı, belirlenen nominal anlamlılık düzeyinden (

\alpha

) daha yüksek olur ve gruplar arasında gerçekte olmayan bir farkın anlamlı bulunma riski (sahte pozitiflik) artar.

Grupların birimlere şansa bağlı atanması ilkesi tam olarak sağlandığı sürece, varyans heterojenliği ANOVA sonuçlarında Tip I veya Tip II hata oranları üzerinde anlamlı bir yanlılık oluşturmaz.

Standart ANOVA işleminde hesaplanan genel hata kareler ortalaması (MSE) aşırı büyüyeceği için test tamamen duyarsızlaşır ve Tip II hata yapma olasılığı kesinleşir.

Show answer & explanation

Answer: Testin gerçek Tip I hata oranı, belirlenen nominal anlamlılık düzeyinden ( $\alpha$ ) daha yüksek olur ve gruplar arasında gerçekte olmayan bir farkın anlamlı bulunma riski (sahte pozitiflik) artar.

Answer

En küçük örneklemin en büyük varyansa sahip olması, testin Tip I hata oranını nominal anlamlılık düzeyinin üzerine çıkarır ve sahte pozitif riskini artırır.

Tek yönlü ANOVA'da grup varyanslarının heterojen olduğu durumda, testin bu duruma vereceği tepki örneklem büyüklüklerinin dengesine bağlıdır. Eğer küçük örneklem hacmine sahip olan grup en büyük varyansa sahipse, birleştirilmiş varyans (Hata Kareler Ortalaması - MSE) ağırlıklı ortalama mantığından dolayı daha küçük varyanslı büyük örneklemlerin etkisi altında kalır ve gerçekte olması gerekenden daha küçük hesaplanır. Paydanın küçülmesi, hesaplanan F istatistiğinin daha büyük çıkmasına sebep olur. Bu durum, araştırmacının

H_0

hipotezini yanlışlıkla reddetme ihtimalini (Tip I hata oranını) önceden belirlediği

\alpha

(örneğin 0,05) seviyesinin çok üzerine çıkarır. Test gereğinden fazla liberal (sahte anlamlılık bulmaya yatkın) hale gelir.

Step-by-Step Solution

1

ANOVA'nın varsayım ihlallerine karşı dayanıklılığının (robustness) koşullarını analiz etme.

Tek yönlü ANOVA, örneklem büyüklükleri (

n_i

) eşit olduğunda varyans heterojenliğine karşı oldukça dayanıklıdır. Ancak örneklem sayıları eşit olmadığında test bu ihlalden ciddi şekilde etkilenir.

Soruda örneklem büyüklüklerinin eşit olmadığı (15, 25, 50) açıkça belirtilmiştir.

2

Örneklem büyüklükleri ve grup varyansları arasındaki ilişkinin yönünü belirleme.

Araştırmada 'en küçük örneklem hacmine sahip grubun (n=15) varyansının en büyük olduğu' tespiti yapılmıştır. Yani örneklem hacmi ile varyans büyüklüğü arasında ters yönlü bir ilişki vardır.

Tip I ve Tip II hata oranlarındaki sapmanın yönünü tespit edebilmek için bu ilişkiye ihtiyaç vardır.

3

Bu negatif yöndeki ilişkinin test istatistiği (F) ve Tip I hata (

{\alpha}

) üzerindeki teorik etkisini çıkarma.

Büyük varyansa sahip grup küçük bir örneklemle temsil edildiğinde, ANOVA'daki Grup İçi Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanırken büyük örneklemlerin (daha küçük varyanslı) ağırlığı daha fazla olur. Bu durum, MSE'nin (paydanın) olduğundan daha küçük tahmin edilmesine, dolayısıyla F istatistiğinin suni olarak büyümesine yol açar. F değerinin büyümesi,

{\alpha}

hata payını nominal düzeyinin (örn. %5) çok daha üzerine çıkararak sahte pozitif bulgu riskini artırır (liberal test).

İstatistiksel çıkarımın doğrudan sonucudur.

Key Concept

ANOVA'da Varyans Homojenliği İhlalinin Tip I Hataya Etkisi

Question 29Question →

Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı uzmanları, kentsel dönüşümde kullanılan dört farklı yapı yalıtım malzemesinin (A, B, C ve D) enerji tasarruf miktarları üzerindeki etkisini incelemek üzere bir deney tasarlamıştır. Bu analizde kullanılacak yalıtım malzemeleri piyasadaki tüm malzemeler içinden rastgele seçilmemiş; bizzat teknik kurul tarafından, özellikleri bilinen bu dört spesifik malzeme özel olarak belirlenmiştir.

Araştırmacılar, gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olup olmadığını tek yönlü varyans analizi (ANOVA) ile test edecektir.

Buna göre, araştırma kurgusu dikkate alındığında kurulması gereken sıfır ( $H_0$ ) ve alternatif ( $H_1$ ) hipotezlerinin doğru istatistiksel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

H_1: \text{En az bir } i \neq j \text{ için } \mu_i \neq \mu_j

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \neq \mu_3 \neq \mu_4

H_0: \sigma_{\tau}^2 = 0

H_1: \sigma_{\tau}^2 > 0

H_0: \bar{X}_1 = \bar{X}_2 = \bar{X}_3 = \bar{X}_4

H_1: \text{En az bir } i \neq j \text{ için } \bar{X}_i \neq \bar{X}_j

H_0: \text{Dört farklı faktörün kitle ortalamaları birbirine eşittir.}

H_1: \text{En az iki faktörün kitle ortalaması birbirinden farklıdır.}

Show answer & explanation

Answer: $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4$
$H_1: \text{En az bir } i \neq j \text{ için } \mu_i \neq \mu_j$

Answer

Doğru seçenek, sıfır hipotezinin tüm kitle ortalamalarının eşit olduğunu, alternatif hipotezin ise en az iki kitle ortalamasının farklı olduğunu gösteren (ve örneklem istatistikleri veya varyans unsurlarını içermeyen) seçenektir.

Doğru seçenek, Sabit (Model I) etkili tek yönlü ANOVA'nın standart hipotez gösterimidir. Hipotezler her zaman evren parametreleri (\mu) üzerinden kurulur. Sıfır hipotezi (H0) tüm popülasyon ortalamalarının eşit olduğunu belirtirken, alternatif hipotez (H1) istatistiksel farklılık için asgari koşul olan 'en az iki grubun farklı olması' (en az bir

i \neq j

için

\mu_i \neq \mu_j

) durumunu ifade eder.

Step-by-Step Solution

1

Metinden model türünü (Sabit veya Şansa Bağlı) belirleme.

Araştırmacılar düzeyleri 'özel olarak belirlediği' için Sabit Etkili Model (Model I) kullanılmaktadır.

Model türü, hipotezlerin kitle ortalamaları (\mu) üzerinden mi yoksa varyans unsurları (\sigma^2) üzerinden mi kurulacağını belirler.

2

Kavramsal terminolojiyi doğrulama.

Çalışmada 1 faktör (yalıtım malzemesi türü) ve 4 düzey (A, B, C, D) vardır.

Hipotez ifadelerinde '4 faktör' gibi terminolojik hatalara düşmemek için analiz yapısının netleşmesi gerekir.

3

Sıfır hipotezini (H0) formüle etme.

H0, grupların kitle ortalamalarının birbirine eşit olduğunu (etkinin olmadığını) varsayar:

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

.

Varyans analizi popülasyon parametreleri (\mu) üzerinden yürütülür, örneklem değerleri (\bar{X}) üzerinden değil.

4

Alternatif hipotezi (H1) formüle etme.

H1, H0'ın tam tersi olarak 'tüm ortalamaların farklı olmasını' DEĞİL, 'en azından bir çiftin farklı olmasını' arar:

H_1: \text{En az bir } i \neq j \text{ için } \mu_i \neq \mu_j

.

F testinin mantığı, gruplar arasındaki genel değişimin şansla açıklanamayacak kadar büyük olduğunu kanıtlamaktır; bu, sadece tek bir grubun diğerlerinden ayrışmasıyla bile gerçekleşebilir.

Key Concept

ANOVA'da Sabit Etkili Model Hipotezleri ve Faktör-Düzey Ayrımı

Estimated Time:1m 30s

Question 30Question →

Bir araştırmacı, 3 farklı üretim yönteminin (A, B ve C) üretilen parçaların dayanıklılığı (Newton) üzerindeki etkisini incelemek için tamamen rastgele tasarım planına göre bir deney yürütmüştür. Elde edilen verilere ait grup gözlem sayıları, örneklem ortalamaları ve örneklem varyansları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Üretim Yöntemi	Gözlem Sayısı ( $n_i$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{X}_{i.}$ )	Örneklem Varyansı ( $S_i^2$ )
A	3	10	4,5
B	5	14	2,5
C	2	20	6,0

Buna göre, bu deney tasarımı için Genel Kareler Toplamı (SST) değeri kaçtır?

77

120

133

145

158

Show answer & explanation

Answer: 145

Answer

Doğru değer 145'tir. Genel kareler toplamı (SST), işlem kareler toplamı (SSTr) ile hata kareler toplamının (SSE) toplanmasıyla elde edilir.

Genel Kareler Toplamı (SST), İşlem (SSTr) ve Hata (SSE) kareler toplamlarının toplamıdır. İlk olarak genel ortalama

\bar{X}_{..} = 14

bulunur. SSTr değeri, her grubun gözlem sayısının, grup ortalamasının genel ortalamadan farkının karesiyle çarpılıp toplanmasıyla

3(-4)^2 + 5(0)^2 + 2(6)^2 = 120

olarak hesaplanır. SSE değeri ise verilen örneklem varyanslarının serbestlik dereceleriyle (

n_i-1

) çarpılıp toplanmasıyla elde edilir:

2(4,5) + 4(2,5) + 1(6) = 25

. Son aşamada SST = 120 + 25 = 145 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Genel ortalamanın (

\bar{X}_{..}

) hesaplanması.

\bar{X}_{..} = \frac{3 \times 10 + 5 \times 14 + 2 \times 20}{10} = \frac{30 + 70 + 40}{10} = \frac{140}{10} = 14

İşlem kareler toplamını (SSTr) bulabilmek için grupların genel ortalamadan sapmalarını ağırlıklı olarak hesaplamak gerekir.

2

İşlem Kareler Toplamının (SSTr) hesaplanması.

SSTr = 3(10 - 14)^2 + 5(14 - 14)^2 + 2(20 - 14)^2 = 3(16) + 5(0) + 2(36) = 48 + 0 + 72 = 120

Grup ortalamalarının genel ortalamadan farklarının kareleri, ilgili grubun gözlem sayısı ile çarpılarak toplanır.

3

Hata Kareler Toplamının (SSE) hesaplanması.

SSE = (3-1)4,5 + (5-1)2,5 + (2-1)6,0 = 2(4,5) + 4(2,5) + 1(6,0) = 9 + 10 + 6 = 25

Örneklem varyansı formülü

S^2 = \frac{SS}{n-1}

olduğundan, her grubun kendi içindeki kareler toplamını (SS) bulmak için varyans değeri serbestlik derecesi (

n_i-1

) ile çarpılır.

4

Genel Kareler Toplamının (SST) hesaplanması.

SST = SSTr + SSE = 120 + 25 = 145

Varyans analizi (ANOVA) toplanabilirlik ilkesine göre genel kareler toplamı, işlem ve hata kareler toplamlarının toplamına eşittir.

Key Concept

ANOVA'da Kareler Toplamlarının Ayrıştırılması (Toplanabilirlik İlkesi)

Question 31Question →

Bir tekstil fabrikasında, iplik kopma mukavemetinin makine operatörlerine göre değişip değişmediği incelenmek istenmektedir. Fabrikada çalışan çok sayıdaki operatör arasından rastgele $4$ operatör seçilmiş ve her bir operatörün ürettiği ipliklerden $5$ 'er adet numune alınarak kopma mukavemetleri ölçülmüştür.

Yapılan tek yönlü varyans analizi sonucunda; Genel Kareler Toplamı ( $SST$ ) $340$ ve Hata Kareler Toplamı ( $SSE$ ) $160$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, iplik kopma mukavemetindeki değişkenliğe neden olan operatör etkisine ait varyans unsurunun tahmini ( $\hat{\sigma}^2_\tau$ ) kaçtır?

4

7

10

12.5

60

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Operatör etkisine ait varyans unsurunun tahmini 10'dur.

Soru tesadüfi etkili (Model II) bir tek yönlü varyans analizi problemidir. Toplam 20 gözlem (

N=20

) ve 4 grup (

k=4

) vardır. İşlem kareler toplamı

SSTr = SST - SSE = 340 - 160 = 180

olarak bulunur. Serbestlik dereceleri

df_{tr} = 4 - 1 = 3

ve

df_{error} = 20 - 4 = 16

'dır. Buradan

MSR = 180/3 = 60

ve

MSE = 160/16 = 10

elde edilir. Tesadüfi modelde faktör etkisine ait varyans unsurunun tahmin edicisi

\hat{\sigma}^2_\tau = \frac{MSR - MSE}{n}

formülüyle hesaplanır. Grup başına düşen gözlem sayısı

n=5

olduğundan,

\frac{60 - 10}{5} = 10

sonucuna ulaşılır. Doğru yanıt 10 değerini gösteren seçenektir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen değerlerden Operatörler Arası (İşlem) Kareler Toplamını (

SSTr

) hesaplamak.

SSTr = SST - SSE = 340 - 160 = 180

Varyans analizinde genel kareler toplamı, işlem ve hata kareler toplamlarının toplamına eşittir.

2

Serbestlik derecelerini bularak İşlem ve Hata Kareler Ortalamalarını (

MSR

ve

MSE

) elde etmek.

Grup sayısı

k=4

, her gruptaki gözlem sayısı

n=5

, toplam gözlem sayısı

N=20

'dir.

df_{tr} = k - 1 = 4 - 1 = 3 \Rightarrow MSR = 180 / 3 = 60

df_{error} = N - k = 20 - 4 = 16 \Rightarrow MSE = 160 / 16 = 10

Beklenen kareler ortalaması (EMS) eşitliklerini çözebilmek için

MSR

ve

MSE

değerlerinin bilinmesi zorunludur.

3

Şansa bağlı (tesadüfi) model için Beklenen Kareler Ortalaması kurallarını uygulayarak varyans unsurunu tahmin etmek.

E(MSR) = \sigma^2 + n\sigma^2_\tau

ve

E(MSE) = \sigma^2

eşitliklerinden;

\hat{\sigma}^2_\tau = \frac{MSR - MSE}{n} = \frac{60 - 10}{5} = \frac{50}{5} = 10

Operatörler, var olan çok sayıdaki operatör arasından rastgele seçildiği için bu bir tesadüfi etkili model (Model II) tasarımıdır ve ilgili formül kullanılmalıdır.

Key Concept

Tek Yönlü Varyans Analizinde Tesadüfi (Şansa Bağlı) Model ve Varyans Unsurlarının Tahmini

Question 32Question →

Bir tekstil mühendisi, $6$ farklı iplik eğirme yönteminin üretilen ipliklerin kopma mukavemetine etkisini incelemek amacıyla toplam $48$ gözlem (her yöntem için eşit sayıda numune) üzerinden tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamıştır. Yapılan analiz sonucunda Hata Kareler Toplamı ( $SSE$ ) $840$ , Gruplar Arası Kareler Ortalaması ( $MS_{Tr}$ ) ise $80$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, bu analiz için hesaplanan $F$ test istatistiği ve Genel Kareler Toplamı ( $SST$ ) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

4

ve

1320

0,25

ve

1240

20

ve

1240

4

ve

1240

4

ve

920

Show answer & explanation

Answer: $4$ ve $1240$

Answer

Doğru yanıt

4

ve

1240

değerlerini veren seçenektir.

Tek yönlü ANOVA tablosunun ilişkilerine göre ilk olarak serbestlik dereceleri bulunur:

sd_{Tr} = 6 - 1 = 5

ve

sd_E = 48 - 6 = 42

. Hata Kareler Ortalaması (

MS_E

)

840 / 42 = 20

olarak hesaplanır. Bu durumda

F

istatistiği,

MS_{Tr} / MS_E = 80 / 20 = 4

olur. Genel Kareler Toplamı (

SST

) için ise öncelikle Gruplar Arası Kareler Toplamı bulunmalıdır:

SSTr = 80 \times 5 = 400

. Son olarak

SST = SSTr + SSE = 400 + 840 = 1240

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Serbestlik derecelerinin hesaplanması

sd_{Tr} = 5

ve

sd_{E} = 42

ANOVA formüllerinde kullanılacak bölenleri belirlemek için toplam gözlem (

N=48

) ve grup (

k=6

) sayısından yararlanılır (

k-1 = 5

ve

N-k = 42

).

2

Hata Kareler Ortalamasının (

MS_E

) bulunması

MS_E = 20

Verilen Hata Kareler Toplamı (

SSE=840

) kendi serbestlik derecesine (

sd_E=42

) bölünerek test paydası elde edilir (

840 / 42 = 20

).

3

F

test istatistiğinin hesaplanması

F = 4

Gruplar Arası Kareler Ortalaması (

MS_{Tr}=80

), hesaplanan Hata Kareler Ortalamasına (

MS_E=20

) bölünür (

80 / 20 = 4

).

4

Gruplar Arası Kareler Toplamının (

SSTr

) hesaplanması

SSTr = 400

Genel kareler toplamını bulabilmek için öncelikle Gruplar Arası Kareler Ortalaması, kendi serbestlik derecesiyle çarpılarak geri kazanılır (

80 \times 5 = 400

).

5

Genel Kareler Toplamının (

SST

) hesaplanması

SST = 1240

Kareler toplamlarının toplanabilirliği kuralı (

SST = SSTr + SSE

) gereği iki değer birleştirilir (

400 + 840 = 1240

).

Key Concept

ANOVA tablosunun yapısal unsurları ve kareler toplamı bileşenleri arasındaki matematiksel ilişkiler

Estimated Time:2m 0s

Question 33Question →

Bir istatistikçi, tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulayacağı bir çalışmada kullanacağı faktör düzeylerini, ilgilendiği çok daha büyük bir evrenden rastgele seçmiştir. İstatistikçinin bu tasarımdaki temel amacı, sadece deneye dâhil edilen spesifik düzeylerin etkilerini karşılaştırmak değil, kitleye genelleme yaparak bu faktörün genel değişkenliğe katkısını (varyans bileşenleri) tahmin etmektir.

Buna göre, bu araştırmada kullanılması gereken varyans analizi modeli ve test edilecek temel sıfır hipotezi ( $H_0$ ) aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

*(Not: $\tau_i$ , $i$ . faktör düzeyinin etkisini; $\sigma^2_{\tau}$ ise faktör düzeylerinin evrendeki varyansını göstermektedir.)*

Şansa Bağlı Etkili Model (Model II) /

H_0: \sigma^2_{\tau} = 0

Sabit Etkili Model (Model I) /

H_0: \tau_1 = \tau_2 = \dots = \tau_k = 0

Şansa Bağlı Etkili Model (Model II) /

H_0: \tau_1 = \tau_2 = \dots = \tau_k = 0

Sabit Etkili Model (Model I) /

H_0: \sigma^2_{\tau} = 0

Şansa Bağlı Etkili Model (Model II) /

H_0: \sigma^2_{\tau} > 0

Show answer & explanation

Answer: Şansa Bağlı Etkili Model (Model II) / $H_0: \sigma^2_{\tau} = 0$

Answer

Modelin Şansa Bağlı Etkili Model (Model II) olduğu ve test edilecek hipotezin

H_0: \sigma^2_{\tau} = 0

olduğu seçenek

Soru metninde faktör düzeylerinin rastgele seçildiği, kitleye genelleme yapılacağı ve varyans bileşenlerinin tahmin edileceği belirtilmiştir. Bu durum, araştırmanın Şansa Bağlı Etkili Model (Model II) olduğunu kesinleştirir. Şansa bağlı etkili modellerde test edilen sıfır hipotezi (

H_0

), evrendeki faktör düzeylerinin varyansının sıfıra eşit olduğu (

H_0: \sigma^2_{\tau} = 0

) varsayımıdır.

Step-by-Step Solution

1

Soru metnindeki 'rastgele seçilmiş', 'kitleye genelleme' ve 'varyans bileşenleri' ifadelerini analiz et.

Bu ifadeler, tasarımın Şansa Bağlı Etkili Model (Model II) olduğunu açıkça göstermektedir.

Sabit etkili modellerde belirli düzeyler özellikle seçilip sadece onlara yönelik çıkarım yapılırken; şansa bağlı modellerde evrenden rastgele seçim yapılarak genel varyans tahmin edilmeye çalışılır.

2

Şansa Bağlı Etkili Model (Model II) için geçerli olan sıfır hipotezini (

H_0

) belirle.

Sıfır hipotezi

H_0: \sigma^2_{\tau} = 0

olarak bulunur.

Model II'de amaç spesifik düzeylerin etkilerinin (

\tau_i

) ayrı ayrı sıfır olup olmadığını test etmek değil, faktörün evrendeki varyansının (

\sigma^2_{\tau}

) sıfır olup olmadığını test etmektir.

Key Concept

Sabit ve Şansa Bağlı Modellerde Varsayım ve Hipotez Farklılıkları

Question 34Question →

Bir kamu kurumunda, personelin hizmet içi eğitimlerinde kullanılan 3 farklı öğretim yönteminin eğitim sonu başarı puanları üzerindeki etkisi araştırılmaktadır. Bu amaçla tamamen rastgele tasarım planına göre her bir yöntem için şansa bağlı seçilen 5'er personel eğitime alınmış ve sınav sonucunda aşağıdaki özet istatistikler elde edilmiştir:

Öğretim Yöntemi	Gözlem Sayısı ( $n_i$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_{i.}$ )	Örneklem Varyansı ( $s_i^2$ )
Yöntem A	5	12	4
Yöntem B	5	18	6
Yöntem C	5	15	5

Buna göre, gerçekleştirilecek tek yönlü varyans analizinde (ANOVA) Genel Kareler Toplamı (SST) değeri kaçtır?

60

78

90

150

165

Show answer & explanation

Answer: 150

Answer

Genel Kareler Toplamı (SST), İşlem ve Hata Kareler Toplamlarının toplanmasıyla elde edilen 150 değeridir.

Verilen özet istatistiklerden Genel Kareler Toplamına (SST) ulaşmak için öncelikle İşlem Kareler Toplamı (SSTr) ve Hata Kareler Toplamı (SSE) ayrı ayrı hesaplanmalı ve toplanmalıdır. Genel ortalama

\bar{y}_{..} = 15

'tir. SSTr, grup sapmalarının karelerinin

n_i

ile çarpılıp toplanmasıyla

90

olarak bulunur. SSE ise grup varyanslarının kendi serbestlik dereceleri

(n_i - 1)

ile çarpılmasıyla

60

olarak bulunur. Toplanabilirlik ilkesi (SST = SSTr + SSE) gereğince genel kareler toplamı

90 + 60 = 150

olur.

Step-by-Step Solution

1

Genel ortalamanın (

\bar{y}_{..}

) ağırlıklı ortalama formülüyle hesaplanması.

\bar{y}_{..} = \frac{5(12) + 5(18) + 5(15)}{15} = \frac{60 + 90 + 75}{15} = 15

İşlem kareler toplamını bulmak için grup ortalamalarının genel ortalamadan sapmaları gereklidir.

2

İşlem (Muamele) Kareler Toplamının (

SSTr

) hesaplanması.

SSTr = \sum n_i (\bar{y}_{i.} - \bar{y}_{..})^2 = 5(12-15)^2 + 5(18-15)^2 + 5(15-15)^2 = 5(-3)^2 + 5(3)^2 + 0 = 45 + 45 = 90

Farklı yöntemlerin yarattığı varyasyonu ölçmek için grup sapmalarının kareleri grup hacimleriyle çarpılarak toplanır.

3

Hata Kareler Toplamının (

SSE

) hesaplanması.

SSE = \sum (n_i - 1)s_i^2 = (5-1)4 + (5-1)6 + (5-1)5 = 4(4) + 4(6) + 4(5) = 16 + 24 + 20 = 60

Grup içi varyasyonları bulmak için her grubun varyansı kendi serbestlik derecesi ile çarpılıp birleştirilir.

4

Genel Kareler Toplamının (

SST

) toplanabilirlik kuralı kullanılarak bulunması.

SST = SSTr + SSE = 90 + 60 = 150

Varyans analizi modelinde toplam varyasyon, gruplar arası ve grup içi varyasyonların toplamına eşittir.

Key Concept

Özet İstatistiklerden Kareler Toplamlarının Ayrıştırılması

Question 35Question →

Bir kamu kurumu, ülke genelindeki yüzlerce hizmet içi eğitim merkezi arasından rastgele $5$ tanesini seçmiş ve her bir merkezden rastgele $8$ memurun performans puanlarını incelemiştir. Yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, merkezler arası (işlem) kareler ortalaması $140$ ve hata kareler ortalaması $20$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, araştırmanın şansa bağlı (tesadüfi) etkili bir model (Model II) olduğu dikkate alındığında, eğitim merkezlerinden kaynaklanan varyans unsurunun ( $\hat{\sigma}_\tau^2$ ) tahmini değeri aşağıdakilerden hangisidir?

15

20

24

35

120

Show answer & explanation

Answer: $15$

Answer

Eğitim merkezlerinden kaynaklanan varyans unsurunun tahmini değeri 15'tir.

Şansa bağlı (tesadüfi) etkili tek yönlü ANOVA modelinde (Model II), işlem kareler ortalamasının beklenen değeri

E(MSTr) = \sigma^2 + n\sigma_\tau^2

ve hata kareler ortalamasının beklenen değeri

E(MSE) = \sigma^2

şeklindedir. İşlem (eğitim merkezi) varyans unsuru

\hat{\sigma}_\tau^2

, bu iki denklemden türetilen

(MSTr - MSE) / n

formülü ile tahmin edilir. Soruda verilen değerler (

MSTr = 140

,

MSE = 20

,

n = 8

) formülde yerine konulduğunda

(140 - 20) / 8 = 15

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Şansa bağlı etkili tek yönlü ANOVA modeli (Model II) için beklenen kareler ortalaması (E(MS)) denklemlerini belirle.

E(MSE) = \sigma^2

ve

E(MSTr) = \sigma^2 + n\sigma_\tau^2

Varyans unsurlarını bulabilmek için MS istatistiklerinin teorik karşılıklarının bilinmesi gerekir.

2

Eğitim merkezlerinden kaynaklanan varyans unsurunu (

\hat{\sigma}_\tau^2

) tahmin etmek için denklemi düzenle.

\hat{\sigma}_\tau^2 = \frac{MSTr - MSE}{n}

İşlem etkisine ait varyans unsurunu yalnız bırakarak hesaplama formülüne ulaşılır.

3

Soruda verilen değerleri formülde yerine koy.

MSTr = 140

,

MSE = 20

ve her bir gruptaki (merkezdeki) gözlem sayısı

n = 8

.

Formüldeki 'n' değeri toplam gözlem sayısı veya grup sayısı değil, her bir merkezden alınan örneklem hacmidir.

4

Matematiksel işlemi tamamla.

\frac{140 - 20}{8} = \frac{120}{8} = 15

Merkezlerden kaynaklanan tahmini varyans unsuru bulunur.

Key Concept

Şansa Bağlı Etkili Modelde (Model II) Varyans Unsurlarının Tahmini

Question 36Question →

Bir kamu kurumu, yeni atanan memurların hizmet içi eğitim sürelerini optimize etmek amacıyla 4 farklı eğitim yönteminin (çevrim içi, yüz yüze, karma ve simülasyon destekli) performans sınavı puanları üzerindeki etkisini incelemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen toplam 40 memur, her grupta eşit sayıda katılımcı olacak şekilde bu yöntemlere atanmıştır.

Elde edilen veriler kullanılarak yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda Genel Kareler Toplamı ( $KT_{\text{Genel}}$ ) 1500 ve Hata Kareler Toplamı ( $KT_{\text{Hata}}$ ) 720 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, araştırmanın İşlem (Gruplar Arası) Kareler Ortalaması ( $KO_{\text{İşlem}}$ ) ve Hata Serbestlik Derecesi ( $sd_{\text{Hata}}$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

260 ve 36

195 ve 39

260 ve 39

500 ve 36

20 ve 36

Show answer & explanation

Answer: 260 ve 36

Answer

İşlem Kareler Ortalaması 260 ve Hata Serbestlik Derecesi 36 olmalıdır.

Doğru yanıt olan seçenekteki değerler elde edilirken ANOVA'nın toplanabilirlik ilkesi uygulanmıştır. Öncelikle

KT_{\text{İşlem}} = KT_{\text{Genel}} - KT_{\text{Hata}} = 1500 - 720 = 780

olarak bulunmuştur. Ardından işlem serbestlik derecesi

k-1 = 4-1 = 3

olarak belirlenmiş ve

KO_{\text{İşlem}} = 780 / 3 = 260

hesaplanmıştır. Hata serbestlik derecesi ise toplam gözlem sayısından grup sayısının çıkarılmasıyla (

N-k = 40-4 = 36

) doğru şekilde bulunmuştur.

Step-by-Step Solution

1

Grup sayısını (

k

) ve toplam gözlem sayısını (

N

) belirleme.

k = 4

(eğitim yöntemi) ve

N = 40

(toplam memur).

Varyans analizi modelinde serbestlik derecelerini hesaplayabilmek için deney tasarımındaki faktör düzeyi ve toplam örneklem hacmine ihtiyaç vardır.

2

İşlem (Gruplar Arası) Kareler Toplamını (

KT_{\text{İşlem}}

) hesaplama.

KT_{\text{İşlem}} = KT_{\text{Genel}} - KT_{\text{Hata}} = 1500 - 720 = 780

Varyans analizinde toplanabilirlik ilkesi gereği genel kareler toplamı, işlem (gruplar arası) ve hata (gruplar içi) kareler toplamlarının toplamına eşittir.

3

İşlem ve Hata serbestlik derecelerini (

sd

) formüller yardımıyla bulma.

sd_{\text{İşlem}} = k - 1 = 4 - 1 = 3

ve

sd_{\text{Hata}} = N - k = 40 - 4 = 36

Kareler ortalamalarını bulmak için kareler toplamlarının kendi serbestlik derecelerine bölünmesi yansız bir tahmin edici elde etmek için zorunludur.

4

İşlem Kareler Ortalamasını (

KO_{\text{İşlem}}

) hesaplama.

KO_{\text{İşlem}} = \frac{KT_{\text{İşlem}}}{sd_{\text{İşlem}}} = \frac{780}{3} = 260

Araştırmanın temel test istatistiği olan F değerinin pay kısmını oluşturacak işlem kareler ortalaması bu şekilde elde edilir.

Key Concept

Tek Yönlü ANOVA'da Kareler Toplamlarının Ayrıştırılması ve Serbestlik Dereceleri

Question 37Question →

Bir tekstil fabrikasında, aynı tür ipliğin üretiminde kullanılan $5$ spesifik makinenin (M1, M2, M3, M4 ve M5) performansları karşılaştırılmak istenmektedir. Bu amaçla her bir makineden rastgele seçilen eşit sayıdaki iplik numunelerinin kopma mukavemetleri ölçülmüş ve elde edilen verilere tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulanmasına karar verilmiştir.

Araştırmacının amacı, bu $5$ makinenin ürettiği ipliklerin kitle ortalama kopma mukavemetleri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık olup olmadığını belirlemektir.

Buna göre, araştırmanın amacına uygun olarak kurulması gereken sıfır ( $H_0$ ) ve alternatif ( $H_1$ ) hipotezleri aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4 = \mu_5

H_1:

En az bir makinenin kitle ortalama kopma mukavemeti diğerlerinden farklıdır.

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4 = \mu_5

H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \neq \mu_3 \neq \mu_4 \neq \mu_5

(Tüm makinelerin kitle ortalamaları birbirinden farklıdır.)

H_0: \sigma_{\tau}^2 = 0

H_1: \sigma_{\tau}^2 > 0

H_0:

Kopma mukavemeti düzeylerinin kitle ortalamaları birbirine eşittir.

H_1:

En az bir kopma mukavemeti düzeyinin kitle ortalaması diğerlerinden farklıdır.

H_0: \bar{X}_1 = \bar{X}_2 = \bar{X}_3 = \bar{X}_4 = \bar{X}_5

H_1:

En az bir makinenin örneklem ortalaması diğerlerinden farklıdır.

Show answer & explanation

Answer: $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4 = \mu_5$
$H_1:$ En az bir makinenin kitle ortalama kopma mukavemeti diğerlerinden farklıdır.

Answer

Sıfır hipotezi tüm kitle ortalamalarının eşit olduğunu (

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4 = \mu_5

), alternatif hipotez ise en az bir makinenin kitle ortalamasının diğerlerinden farklı olduğunu ifade eden seçenektir.

Varyans analizinde (ANOVA) sıfır hipotezi (

H_0

), karşılaştırılan tüm grupların (faktör düzeylerinin) kitle ortalamalarının birbirine eşit olduğunu ileri sürer (

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k

). Alternatif hipotez (

H_1

) ise bu eşitliğin bozulduğu durumu ifade eder; yani tüm ortalamaların eşit olmadığı, en az iki ortalamanın birbirinden farklı olduğu (en az bir makinenin kitle ortalamasının diğerlerinden farklı olduğu) durumdur.

Step-by-Step Solution

1

Araştırmanın yapısal modelini belirle.

5 spesifik makinenin incelenmesi, modelin Sabit Etkili Model (Model I) olduğunu gösterir.

Sadece belirli makineler karşılaştırılmakta, sonuçlar daha geniş bir makine evrenine genellenmemektedir.

2

Sabit etkili modelde sıfır hipotezini (

H_0

) formüle et.

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4 = \mu_5

olarak belirlenir.

ANOVA'da sıfır hipotezi her zaman faktörün tüm düzeylerinin (grupların) kitle ortalamalarının birbirine eşit olduğu varsayımıdır.

3

Alternatif hipotezi (

H_1

) formüle et.

H_1:

En az bir makinenin kitle ortalama kopma mukavemeti diğerlerinden farklıdır (veya en az bir

(i,j)

çifti için

\mu_i \neq \mu_j

).

Eğer tüm ortalamalar birbirine eşit değilse, mantıksal olarak en az ikisi birbirinden farklı olmak zorundadır. Tümünün birbirinden farklı olması zorunlu değildir.

Key Concept

Sabit etkili tek yönlü varyans analizi modelinde istatistiksel hipotezlerin ana kütle parametreleri kullanılarak kurulması.

Question 38Question →

Bir insan kaynakları uzmanı, yeni işe alınan personelin şirket kültürüne adaptasyon düzeylerini incelemek istemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen 30 personele ait adaptasyon puanlarını; oryantasyon eğitiminin bittiği gün, 3. ayın sonu ve 6. ayın sonunda olmak üzere üç farklı dönemde kaydetmiştir. Uzman, elde ettiği bu verileri sanki üç bağımsız gruptan (sanki toplam 90 farklı kişi varmış gibi) toplanmış gibi doğrudan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) ile karşılaştırmıştır. Analiz öncesi yapılan kontrollerde verilerin normal dağıldığı (Shapiro-Wilk testi, $p > 0,05$ ) ve varyansların homojen olduğu (Bartlett testi, $p > 0,05$ ) tespit edilmiştir.

Buna göre, uzmanın kurduğu tek yönlü ANOVA modelinde hangi temel varsayım kesin olarak ihlal edilmiştir ve bu ihlal görmezden gelindiğinde istatistiksel sonuçlar üzerinde oluşacak en temel etki aşağıdakilerden hangisidir?

Tekrarlı ölçümler nedeniyle gruplar içi serbestlik derecesi hatalı belirlenecek ve F testinde kullanılacak kritik tablo değeri yanlış okunarak gruplar arası farklılıkların her zaman anlamsız çıkmasına neden olunacaktır.

Rastgelelik ilkesi ihlal edilmiş olsa da, aynı bireyler üzerinde ölçüm alınarak tekrarlama (replikasyon) sayısı artırıldığından, bu durum deneysel hatayı küçülterek analiz gücünü artıran avantajlı bir yaklaşımdır.

Gözlemlerin bağımsızlığı varsayımı ihlal edilmiştir; aynı deneklerden elde edilen ölçümlerin bağımsız gibi analize katılması hata terimleri arasındaki korelasyonu artırır ve testin gerçek I. Tip hata oranını ciddi ölçüde şişirir.

Zaman içindeki değişim varyansları farklılaştıracağı için varyansların homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir; bu nedenle post-hoc aşamasında Tukey HSD yerine varyans heterojenliği durumunda kullanılan Games-Howell testi seçilmelidir.

Herhangi bir varsayım ihlal edilmemiştir; ancak ANOVA sonucunda elde edilecek olası bir anlamlılık durumunda, alternatif hipotez zorunlu olarak "tüm eğitim zamanlarındaki performans ortalamaları birbirinden tamamen farklıdır" şeklinde yorumlanmalıdır.

Show answer & explanation

Answer: Gözlemlerin bağımsızlığı varsayımı ihlal edilmiştir; aynı deneklerden elde edilen ölçümlerin bağımsız gibi analize katılması hata terimleri arasındaki korelasyonu artırır ve testin gerçek I. Tip hata oranını ciddi ölçüde şişirir.

Answer

Gözlemlerin bağımsızlığı varsayımı ihlal edilmiştir; aynı deneklerden elde edilen ölçümlerin bağımsız gibi analize katılması hata terimleri arasındaki korelasyonu artırır ve testin gerçek I. Tip hata oranını ciddi ölçüde şişirir.

Tek yönlü varyans analizinin en önemli ve test edilmesi deney tasarımına bağlı olan varsayımı, gözlemlerin birbirinden tamamen bağımsız olmasıdır. Soru kökündeki insan kaynakları uzmanı, aynı çalışanlardan üç farklı zamanda ölçüm almıştır. Bu durum verilerin 'tekrarlı ölçümler' yapısında olduğunu gösterir. Bağımlı ölçümlerin sanki farklı bireylerden alınmış bağımsız örneklemlermiş gibi tek yönlü ANOVA'ya dahil edilmesi, hata terimlerinin birbiriyle ilişkili olmasına neden olur. Bu temel ihlalin istatistiksel sonucu, gruplar içi hata varyansının yanlış tahmin edilmesi ve hesaplanan F istatistiğinin yapay olarak büyümesidir. Dolayısıyla testin gerçek I. Tip hata oranı, önceden belirlenen nominal anlamlılık düzeyinden (

\alpha

) çok daha yüksek çıkar ve yanlış pozitif sonuçlar (gerçekte fark yokken fark var deme hatası) elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Soruda verilen araştırma tasarımını ve uygulanan analizi inceleme

Aynı çalışanlardan üç farklı zamanda (eğitim sonu, 3. ay, 6. ay) ölçüm alınmış ve bu veriler üç bağımsız grupmuş gibi standart Tek Yönlü ANOVA ile analiz edilmiştir.

Uygulanan analizin istatistiksel yapısı ile toplanan verinin uyumluluğunu belirlemek.

2

Tek yönlü ANOVA'nın varsayımlarını değerlendirme

Soruda normallik (Shapiro-Wilk) ve varyansların homojenliği (Bartlett) varsayımlarının matematiksel olarak sağlandığı belirtilmiştir. Ancak aynı deneklerden birden çok kez veri alınması, gözlemlerin birbirinden tamamen bağımsız olma şartını yapısal olarak ortadan kaldırır.

İhlal edilen asıl varsayımı kesin olarak tespit etmek.

3

Bağımsızlık varsayımı ihlalinin istatistiksel sonuçlarını belirleme

Bağımlı (tekrarlı) verilerin bağımsızmış gibi analiz edilmesi durumunda hata terimleri ilişkili (korelasyonlu) hale gelir. Bu durum bağımsız gruplar modelinin hatayı olduğundan farklı tahmin etmesine ve test istatistiğinin (F) yapay olarak büyümesiyle I. Tip hata oranının (alfa) ciddi şekilde şişmesine yol açar.

Bulunan ihlalin analiz üzerindeki teorik ve pratik etkisini ortaya koymak.

Key Concept

Tek Yönlü ANOVA Varsayımları ve Gözlemlerin Bağımsızlığı İhlalinin Sonuçları

Question 39Question →

Bir tarım araştırma enstitüsü, yeni geliştirilen bir buğday türünün verimi üzerindeki "tarla" etkisini incelemek istemektedir. Bölgedeki çok sayıda tarla arasından rastgele $6$ tarla seçilmiş ve her tarlada $4$ farklı deneme parseline bu buğday türü ekilerek hektar başına verim değerleri (ton) ölçülmüştür.

Yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, Genel Kareler Toplamı $186$ ve Hata Kareler Toplamı $72$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, şansa bağlı (tesadüfi) etkili bu modelde tarla etkisine ait varyans unsurunun (bileşeninin) tahmini değeri ( $\hat{\sigma}_\tau^2$ ) kaçtır?

3.75

4.7

5.7

8.3

22.8

Show answer & explanation

Answer: $4.7$

Answer

Şansa bağlı (tesadüfi) modelde tarla etkisine ait varyans unsurunun tahmini değeri

4.7

'dir.

Şansa bağlı (Model II) tek yönlü varyans analizinde, gruplar arası kareler ortalamasının beklenen değeri

E(MSTr) = \sigma^2 + n\sigma_\tau^2

şeklindedir. Hata kareler ortalamasının beklenen değeri ise

E(MSE) = \sigma^2

olur. Verilen değerlerle eksik bilgiler tamamlandığında;

SSTr = 186 - 72 = 114

bulunur. Serbestlik dereceleri

df_{Tr} = 6 - 1 = 5

ve

df_E = 24 - 6 = 18

'dir. Buradan

MSTr = 114 / 5 = 22.8

ve

MSE = 72 / 18 = 4

elde edilir. Tarla etkisine ait varyans unsurunun yansız tahmin edicisi

\hat{\sigma}_\tau^2 = \frac{MSTr - MSE}{n}

denkleminden

\frac{22.8 - 4}{4} = 4.7

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kareler toplamlarının toplanabilirliği kuralını kullanarak İşlem (Tarla) Kareler Toplamını (

SSTr

) hesaplayın.

SSTr = SST - SSE = 186 - 72 = 114

Varyans analizinde Genel Kareler Toplamı (

SST

), İşlem ve Hata Kareler Toplamlarının toplamına eşittir.

2

İşlem (Tarla) ve Hata için serbestlik derecelerini (

sd

) belirleyin.

df_{Tr} = a - 1 = 6 - 1 = 5

ve

df_E = N - a = 24 - 6 = 18

a=6

tarla ve her tarlada

n=4

parsel olduğundan toplam gözlem sayısı

N = 24

'tür.

3

İşlem ve Hata Kareler Ortalamalarını (

KO

) hesaplayın.

MSTr = \frac{114}{5} = 22.8

ve

MSE = \frac{72}{18} = 4

Her bir kareler ortalaması, ilgili kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

4

Şansa bağlı model (Model II) Beklenen Kareler Ortalaması kuralını kullanarak varyans unsurunu (

\hat{\sigma}_\tau^2

) hesaplayın.

\hat{\sigma}_\tau^2 = \frac{MSTr - MSE}{n} = \frac{22.8 - 4}{4} = \frac{18.8}{4} = 4.7

Model II'de

E(MSTr) = \sigma^2 + n\sigma_\tau^2

ve

E(MSE) = \sigma^2

beklentileri geçerlidir.

Key Concept

Şansa Bağlı Modellerde (Model II) Varyans Unsurlarının Tahmini

Question 40Question →

Bir e-ticaret platformunda, kullanıcıların ödeme adımında geçirdikleri süreyi (saniye) minimize etmek amacıyla 4 farklı arayüz tasarımı ( $T_1, T_2, T_3, T_4$ ) test edilmiştir. Tamamen rastgele tasarım ilkesine göre kullanıcılara sunulan bu tasarımlara ilişkin elde edilen özet istatistikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tasarım	Kullanıcı Sayısı ( $n_i$ )	Ortalama Süre ( $\bar{y}_i$ )	Varyans ( $s_i^2$ )
$T_1$	5	12	4
$T_2$	4	15	5
$T_3$	6	10	3
$T_4$	5	14	6

Buna göre, bu deney verilerine ait Genel Kareler Toplamı ( $SST$ ) değeri kaçtır?

70

75

85

145

163

Show answer & explanation

Answer: 145

Answer

Doğru yanıt 145'tir. Bu değer, İşlem Kareler Toplamı ile Hata Kareler Toplamının formüle uygun şekilde hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir.

Varyans analizinde, ham veriler yerine grup büyüklüğü (

n_i

), grup ortalaması (

\bar{y}_i

) ve grup varyansı (

s_i^2

) verildiğinde Genel Kareler Toplamı iki aşamada bulunur. İlk olarak grupların ağırlıklı sapmalarından İşlem Kareler Toplamı (

SSTr = 75

), ardından varyansların serbestlik dereceleri ile çarpımından Hata Kareler Toplamı (

SSE = 70

) hesaplanır. Genel Kareler Toplamı (

SST

) bu iki değerin toplamına eşittir (

75 + 70 = 145

).

Step-by-Step Solution

1

Tüm veriler için genel ortalamayı (

\bar{y}_{..}

) hesaplayın.

Toplam gözlem sayısı

N = 5 + 4 + 6 + 5 = 20

'dir. Genel toplam

\sum y = (5 \times 12) + (4 \times 15) + (6 \times 10) + (5 \times 14) = 60 + 60 + 60 + 70 = 250

'dir. Genel ortalama

\bar{y}_{..} = 250 / 20 = 12,5

olarak bulunur.

İşlem Kareler Toplamını (SSTr) bulabilmek için grup ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarının hesaplanması gerekir.

2

İşlem (Tasarım) Kareler Toplamını (

SSTr

) hesaplayın.

SSTr = \sum n_i(\bar{y}_{i.} - \bar{y}_{..})^2 = 5(12-12,5)^2 + 4(15-12,5)^2 + 6(10-12,5)^2 + 5(14-12,5)^2 = 5(0,25) + 4(6,25) + 6(6,25) + 5(2,25) = 1,25 + 25 + 37,5 + 11,25 = 75

.

Tasarımlar arası değişkenliğin boyutunu belirlemek için İşlem Kareler Toplamı hesaplanmalıdır.

3

Hata Kareler Toplamını (

SSE

) örneklem varyansları üzerinden hesaplayın.

SSE = \sum (n_i - 1)s_i^2 = (5-1)4 + (4-1)5 + (6-1)3 + (5-1)6 = 16 + 15 + 15 + 24 = 70

.

Örneklem varyansları, her grubun kendi içindeki serbestlik derecesiyle çarpılarak toplanıp grup içi hata (SSE) elde edilir.

4

Genel Kareler Toplamını (

SST

) elde etmek için toplanabilirlik kuralını uygulayın.

SST = SSTr + SSE = 75 + 70 = 145

.

Varyans analizinde temel kural olan Kareler Toplamının Ayrıştırılması (

SST = SSTr + SSE

) prensibinden yararlanılır.

Key Concept

Özet istatistikler kullanılarak Tek Yönlü ANOVA'da Kareler Toplamlarının (SST = SSTr + SSE) parçalanması ve serbestlik dereceleriyle ilişkisi

Alternative Method

Genel Kareler Toplamını hesaplamak için grupların ham değerlerinin kareleri toplamını (

\sum \sum y_{ij}^2

) örneklem varyansları ve ortalamalarından türeterek hesaplayıp, en son genel düzeltme faktörünü (

\frac{Y_{..}^2}{N}

) çıkararak da aynı sonuca ulaşabilirsiniz.

Estimated Time:3m 0s

Tek Yönlü Varyans Analizi

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept