İki Bağımlı Örneklem Testleri Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

Bir araştırmacı, aynı katılımcı grubuna uygulanan iki farklı reklam afişinin beğenilme düzeylerini karşılaştırmak amacıyla bir çalışma yürütmektedir. Verilerin normal dağılım göstermediği saptanmış ve araştırmacı, puanlar arasındaki farkın sadece yönüne (artış veya azalış) odaklanan İşaret Testi'ni (Sign Test) kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, İşaret Testi'nin varsayımları ve hipotezlerinin kurulması ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Sıfır hipotezi, farkların pozitif olma olasılığı ile negatif olma olasılığının eşit (

P = 0,5

) olduğunu ifade eder ve verilerin en az sıralama ölçeğinde olması yeterlidir.

Ön test ve son test değerleri arasında farkın bulunmadığı (farkın sıfır olduğu) gözlemler, test istatistiği hesaplanırken örneklem hacmine (

n

) dahil edilmelidir.

Testin uygulanabilmesi için iki bağımlı örneklemden elde edilen fark puanlarının dağılımının medyan etrafında simetrik olması şarttır.

İşaret testi, birbirinden bağımsız iki farklı grubun medyan değerlerini karşılaştırmak amacıyla kullanılan bir teknik varsayımı üzerine kuruludur.

Hipotez testi sırasında farkların sadece yönü değil, aynı zamanda mutlak büyüklükleri de sıralamaya tabi tutularak test istatistiğine yansıtılmalıdır.

Show answer & explanation

Answer: Sıfır hipotezi, farkların pozitif olma olasılığı ile negatif olma olasılığının eşit ( $P = 0,5$ ) olduğunu ifade eder ve verilerin en az sıralama ölçeğinde olması yeterlidir.

Answer

Sıfır hipotezinin farkların pozitif veya negatif olma olasılığının eşitliği üzerine kurulması ve verilerin en az sıralama ölçeğinde olması gerektiği ifadesi doğrudur.

İşaret Testi, bağımlı (eşleştirilmiş) verilerde farkların büyüklüğünü (şiddetini) dikkate almayan, sadece '+' ve '-' işaretlerinin sayısal dağılımına odaklanan bir testtir. Bu nedenle verilerin sıralama ölçeğinde olması yeterlidir ve sıfır hipotezi, farkların rastgele dağıldığı varsayımı altında pozitif ve negatif fark olasılıklarının eşitliği (

0,5

) üzerine kurulur.

Step-by-Step Solution

1

Veri yapısının ve ölçüm düzeyinin belirlenmesi

Bağımlı iki ölçüm mevcut ve veriler normal dağılmıyor; en az sıralama ölçeği gereklidir.

İşaret testi, parametrik test varsayımları karşılanmadığında ve veri en az sıralanabilir olduğunda tercih edilir.

2

Sıfır hipotezinin (

H_0

) formüle edilmesi

H_0: P(+) = P(-) = 0,5

veya farkların medyanı

= 0

Eğer iki ölçüm arasında fark yoksa, bir ölçümün diğerinden büyük olma olasılığı ile küçük olma olasılığı şans eseri birbirine eşit olmalıdır.

3

Sıfır farkların değerlendirilmesi

Farkı sıfır olan çiftler analizden çıkarılır.

Sıfır farklar herhangi bir değişim yönü göstermediği için testin doğası gereği işleme alınmaz.

Key Concept

İşaret Testi, bağımlı iki örneklem arasındaki farkın yönüne odaklanan ve farkların medyanının sıfır olduğunu test eden parametrik olmayan bir tekniktir.

Hints

1

İşaret testi, adından da anlaşılacağı üzere farkların sadece '+' veya '-' olmasına bakar.

2

Eğer iki durum arasında fark yoksa, bir tarafın diğerinden fazla olma ihtimali yazı-tura atmak gibidir.

Practice More

İşaret testi ile Wilcoxon işaretli sıralar testi arasındaki varsayım farklarını (özellikle simetri ve büyüklük kullanımı) karşılaştıran bir tablo hazırlayabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 2Question →

Bir kamu kurumunda 8 personelin verimliliğini artırmak amacıyla düzenlenen bir eğitim programının etkinliği ölçülmek istenmektedir. Personelin eğitim öncesi ( $X$ ) ve sonrası ( $Y$ ) performans puanları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Personel	Ön-test ( $X$ )	Son-test ( $Y$ )
1	12	15
2	18	18
3	10	14
4	20	17
5	15	19
6	22	22
7	14	18
8	25	31

Bu verilere göre Wilcoxon işaretli sıralar testi uygulandığında, pozitif farkların sıra numaraları toplamı ( $W^+$ ) kaçtır?

19,5

21,0

19,0

1,5

29,5

Show answer & explanation

Answer: 19,5

Answer

Wilcoxon işaretli sıralar testinde, sıfır farklar elenip bağlı gözlemlere ortalama sıra numarası verildiğinde pozitif farkların toplamı 19,5'tir.

Pozitif farkların toplamı hesaplanırken, öncelikle farkı sıfır olan 2 personel elenir (

n=6

). Kalan mutlak farklar içinde iki adet '3' değeri (sıra 1 ve 2) ve üç adet '4' değeri (sıra 3, 4 ve 5) bulunmaktadır. Bunlara sırasıyla 1,5 ve 4,0 ortalama sıraları atanır. Pozitif işaretli farklara karşılık gelen sıralar (1,5 + 4 + 4 + 4 + 6) toplandığında 19,5 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Her personel için farkları (

D = Y - X

) hesaplayın ve sıfır olanları eleyin.

Farklar: +3, 0, +4, -3, +4, 0, +4, +6. Sıfırlar (2. ve 6. personel) elendiğinde kalan farklar: +3, +4, -3, +4, +4, +6 (

n = 6

).

Wilcoxon testinde değişim göstermeyen gözlemler analize dahil edilmez.

2

Kalan farkların mutlak değerlerini (

|D|

) küçükten büyüğe sıralayın.

Mutlak farklar: 3, 3, 4, 4, 4, 6.

Sıralama işlemi mutlak değerler üzerinden yapılır.

3

Bağlı gözlemler (aynı değerler) için ortalama sıra numaralarını atayın.

3'ler için: (1+2)/2 = 1,5. 4'ler için: (3+4+5)/3 = 4,0. 6 için: 6.

Aynı değere sahip gözlemlere, alacakları sıra numaralarının aritmetik ortalaması verilir.

4

Sıra numaralarına orijinal farkların işaretlerini verin ve pozitif olanları toplayın.

Pozitif farklar: +3 (sıra 1,5), +4 (sıra 4,0), +4 (sıra 4,0), +4 (sıra 4,0), +6 (sıra 6,0). Toplam (

W^+

) = 1,5 + 4 + 4 + 4 + 6 = 19,5.

Soru bizden pozitif farkların sıra toplamını istemektedir.

Key Concept

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testinde Bağlı Gözlemler (Ties)

Question 3Question →

Bir kamu kurumunda uygulanan yeni bir veri analiz sisteminin personel verimliliği üzerindeki etkisini ölçmek amacıyla 12 çalışanın sistem öncesi ve sonrası günlük işlem sayıları kaydedilmiştir. İşaret testi (Sign Test) kullanılarak verimlilikte anlamlı bir değişim olup olmadığı test edilmek istenmektedir.

Personellerin sistem öncesi ve sonrası işlem sayıları şu şekildedir:

Personel	Sistem Öncesi	Sistem Sonrası
1	70	75
2	65	65
3	80	88
4	90	85
5	72	72
6	60	68
7	85	92
8	77	80
9	55	50
10	88	95
11	62	70
12	80	80

Bu bilgilere göre, ilgili veri seti için hesaplanacak olan işaret testi istatistiğinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

2

7

12

5

3

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İşaret testi istatistiği, sıfır farkları dışlandıktan sonra elde edilen pozitif ve negatif işaret sayılarından küçük olanıdır ve bu veri seti için değeri 2'dir.

Verilen veri setinde 12 gözlemden 3 tanesinde fark sıfırdır (Personel 2, 5 ve 12). Kalan 9 gözlemden 7 tanesi pozitif (+), 2 tanesi negatif (-) yöndedir. İşaret testi kuralına göre test istatistiği bu iki değerden küçük olanıdır, yani 2'dir.

Step-by-Step Solution

1

Her personel için (Sonrası - Öncesi) farklarının işaretlerini belirlemek.

İşaretler sırasıyla: (+, 0, +, -, 0, +, +, +, -, +, +, 0)

İşaret testi, farkların büyüklüğünden ziyade yönüyle (işaretiyle) ilgilenir.

2

Sıfır farkı olan gözlemleri analizden çıkarmak ve kalan gözlemler üzerinden işaret sayılarını bulmak.

Pozitif işaret sayısı (

n_+

) = 7, Negatif işaret sayısı (

n_-

) = 2. Toplam geçerli gözlem sayısı (

n

) = 9.

Farkın sıfır olması, değişim olmadığını gösterir ve bu gözlemler işaret testinde örneklem hacmine dahil edilmez.

3

Test istatistiği

S

değerini hesaplamak.

S = \min(n_+, n_-) = \min(7, 2) = 2

.

İşaret testinde test istatistiği, daha az gözlenen işaretin sayısıdır.

Key Concept

İşaret testinde (Sign Test) test istatistiği, iki bağımlı örneklem arasındaki farkların yönüne dayanır ve sıfır farkları elendikten sonra en az tekrarlanan işaretin frekansıdır.

Estimated Time:1m 30s

Question 4Question →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin hizmet içi eğitim programı kapsamındaki gelişimlerini ölçmek amacıyla bir sınav uygulanmıştır. Rastgele seçilen $7$ personelin eğitim öncesi (Ön Test) ve eğitim sonrası (Son Test) puanları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Personel	Ön Test	Son Test
1	15	12
2	10	10
3	12	14
4	18	15
5	20	25
6	14	10
7	16	18

Bu verilere Wilcoxon işaretli sıralar testi uygulandığında hesaplanan test istatistiği ( $T$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

9

12

21

10

15

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Hesaplanan test istatistiği değeri 9'dur.

Verilen verilerde farkı sıfır olan bir çift elendikten sonra kalan 6 çiftin mutlak farkları sıralanıp, bağlı gözlemlere ortalama sıralar verilerek hesaplanan pozitif ve negatif sıra toplamları 12 ve 9 olarak bulunur. Bu iki değerden küçük olan 9, test istatistiğidir.

Step-by-Step Solution

1

Farkların (

D_i = \text{Son Test} - \text{Ön Test}

) hesaplanması ve sıfır farkların elenmesi

Farklar:

-3, 0, 2, -3, 5, -4, 2

. Sıfır farkı (Personel 2) elendiğinde yeni örneklem hacmi

n' = 6

olur.

Wilcoxon testinde farkı sıfır olan çiftler analize dahil edilmez.

2

Mutlak farkların (

|D_i|

) bulunması ve küçükten büyüğe sıralanması

Mutlak farklar:

3, 2, 3, 5, 4, 2

. Sıralı liste:

2, 2, 3, 3, 4, 5

.

Sıra numaraları mutlak değerler üzerinden verilir.

3

Aynı değere sahip (bağlı) farklara sıra ortalamalarının atanması

2

değerleri için:

(1+2)/2 = 1,5

;

3

değerleri için:

(3+4)/2 = 3,5

;

4

değeri için:

5

;

5

değeri için:

6

.

Aynı mutlak değere sahip gözlemlere, karşılık gelen sıra numaralarının ortalaması verilir.

4

Pozitif ve negatif farkların sıra toplamlarının (

T^+, T^-

) hesaplanması

Pozitif farklar (

2, 2

):

1,5 + 1,5 = 3

. Negatif farklar (

-3, -3, -4, -5

):

3,5 + 3,5 + 5 + 6 = 18

. (Not: Fark yönü Son-Ön seçildiğinde; Ön-Son seçilse de sonuç değişmez)

İstatistik için işaretli sıraların toplamı gereklidir.

5

Test istatistiği

T = \min(T^+, T^-)

değerinin belirlenmesi

T = \min(12, 9) = 9

.

Wilcoxon işaretli sıralar testinde küçük olan toplam test istatistiği olarak kabul edilir.

Key Concept

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testi İstatistiği

Practice More

Bağlı gözlemlerin (aynı mutlak farkların) çok olduğu durumlarda normal yaklaşım formülündeki düzeltme faktörünü inceleyiniz.

Alternative Method

Hesaplama kontrolü için

T^+ + T^- = \frac{n'(n'+1)}{2}

eşitliği kullanılabilir. Burada

n'=6

için

12+9 = 21

ve

6(7)/2 = 21

olduğu görülerek işlem teyit edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 5Question →

Bir kamu kurumunda, personelin yeni bir yazılım eğitiminden önceki ve sonraki hata sayıları karşılaştırılarak eğitimin etkinliği İşaret Testi (Sign Test) ile incelenmek istenmektedir. Bu testin varsayımları ve hipotez yapısı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Verilerin en az sıralama (ordinal) ölçeğinde ölçülmüş olması yeterlidir ve sıfır hipotezi (

H_0

), farkların pozitif olma olasılığının negatif olma olasılığına eşit olduğunu (

P = 0,5

) varsayar.

Gözlemlerin birbirinden bağımsız gruplardan (örneklemlerden) elde edilmiş olması ve her iki grubun varyanslarının homojen olması temel varsayımdır.

Farkların dağılımının medyan değerine göre simetrik olması zorunludur ve test süreci farkların mutlak değerlerinin sıralanmasına dayanır.

Hesaplama aşamasında, eğitim öncesi ve sonrası değerleri birbirine eşit olan (farkı sıfır olan) personel kayıtları da örneklem hacmine (

n

) dahil edilir.

Sıfır hipotezi (

H_0

), iki ölçüm arasındaki farkların aritmetik ortalamasının sıfıra eşit olduğunu savunur ve test istatistiği olarak her zaman sadece pozitif işaretler kullanılır.

Show answer & explanation

Answer: Verilerin en az sıralama (ordinal) ölçeğinde ölçülmüş olması yeterlidir ve sıfır hipotezi ( $H_0$ ), farkların pozitif olma olasılığının negatif olma olasılığına eşit olduğunu ( $P = 0,5$ ) varsayar.

Answer

Verilerin en az sıralama (ordinal) ölçeğinde olması yeterlidir ve sıfır hipotezi, farkların pozitif olma olasılığının

0,5

olduğunu varsayar.

İşaret Testi'nin temel varsayımı, verilerin en az sıralama ölçeğinde olması ve gözlem çiftlerinin birbirinden bağımsız olmasıdır. Hipotez ise farkların dağılımında pozitif ve negatif işaretlerin ortaya çıkma olasılığının eşit (

P = 0,5

) olduğu esasına dayanır. Bu durum, farkların medyanının sıfır olmasıyla eş anlamlıdır.

Step-by-Step Solution

1

Testin niteliğini belirle

İşaret Testi, bağımlı iki örneklem arasındaki farkların sadece yönüne (+ veya -) odaklanan bir parametrik olmayan testtir.

Soruda eğitim öncesi ve sonrası ölçümler (bağımlı yapı) belirtildiği için uygun testin özelliklerini saptamak gerekir.

2

Ölçek ve varsayımları kontrol et

İşaret testi için verilerin en az sıralama (ordinal) ölçeğinde olması, farkların yönünün belirlenebilmesi için yeterlidir. Simetri veya normallik gibi katı varsayımlar gerekmez.

Testin uygulanabilirlik sınırlarını belirlemek için ölçüm seviyesi kritiktir.

3

Hipotez yapısını analiz et

Sıfır hipotezi (

H_0

), iki grup arasında fark olmadığını, yani pozitif fark gelme olasılığının negatif fark gelme olasılığına eşit ve

0,5

olduğunu ifade eder (

P = 0,5

veya

Medyan_{fark} = 0

).

İstatistiksel kararın verileceği temel iddiayı doğrulamak gerekir.

Key Concept

İşaret Testi Varsayımları ve Hipotezleri

Question 6Question →

Bir araştırmacı, $n = 20$ çift bağımlı gözlem üzerinden Wilcoxon işaretli sıralar testi uygulamaktadır. Örneklem hacminin büyük örneklem yaklaşımı (normal dağılım yaklaşımı) için yeterli olduğu varsayıldığında, sıfır hipotezi ( $H_0$ ) altında test istatistiğinin beklenen değeri ( $E(T)$ ) ve varyansı ( $Var(T)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

105

ve

717,5

10

ve

5

210

ve

717,5

105

ve

1435

95

ve

617,5

Show answer & explanation

Answer: $105$ ve $717,5$

Answer

Wilcoxon işaretli sıralar testinde

n=20

için beklenen değer

105

, varyans ise

717,5

olarak hesaplanır.

Beklenen değer

E(T) = \frac{n(n+1)}{4}

ve varyans

Var(T) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{24}

formülleri

n=20

için uygulandığında sırasıyla

105

ve

717,5

değerlerine ulaşılır. Bu değerler büyük örneklem yaklaşımında

Z

istatistiğinin hesaplanması için temel oluşturur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem hacminin (

n

) belirlenmesi

n = 20

Soruda verilen bağımlı gözlem çifti sayısı

20

olarak belirtilmiştir.

2

Beklenen değerin (

E(T)

) hesaplanması

E(T) = \frac{20(21)}{4} = 105

Wilcoxon işaretli sıralar testinde sıfır hipotezi altında beklenen değer

E(T) = \frac{n(n+1)}{4}

formülü ile bulunur.

3

Varyansın (

Var(T)

) hesaplanması

Var(T) = \frac{20(21)(41)}{24} = 717,5

Wilcoxon işaretli sıralar testinde sıfır hipotezi altında varyans

Var(T) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{24}

formülü ile bulunur.

Key Concept

Wilcoxon işaretli sıralar testinde büyük örneklem durumunda test istatistiğinin (T) dağılımı, parametreleri

E(T)

ve

Var(T)

olan normal dağılıma yaklaşır.

Hints

1

Wilcoxon testinde beklenen değer ve varyans formülleri

n

(gözlem çifti sayısı) değişkenine bağlıdır.

2

Sıralar toplamının beklenen değeri için

n(n+1)/4

formülünü kullanın.

3

Varyans hesaplamasında paydadaki değer

24

olmalıdır.

n=20

değerini formülde yerine koyun.

Practice More

Bağlı gözlemler (eşleşmeler) olması durumunda varyans formülünde yapılacak düzeltmeyi inceleyiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 7Question →

Bir araştırmacı, aynı denek grubuna uygulanan iki farklı ölçüm arasındaki farkı analiz etmek amacıyla Wilcoxon işaretli sıralar testini kullanmayı planlamaktadır. Bu testin, sadece farkların yönünü dikkate alan İşaret testine göre daha güçlü (powerful) bir test olmasını sağlayan ve fark puanlarının mutlak büyüklüklerinin de analize dahil edilmesine imkan tanıyan temel varsayım aşağıdakilerden hangisidir?

Fark puanlarının dağılımının medyana göre simetrik olması

Fark puanlarının sadece yönlerinin (+ veya -) hesaplamaya katılması

Örneklemlerin birbirinden bağımsız ve rastgele seçilmiş olması

Fark puanlarının normal dağılım gösteren bir ana kütleden gelmesi

Gözlemlerin sadece kategorik (nominal) ölçek düzeyinde ölçülmüş olması

Show answer & explanation

Answer: Fark puanlarının dağılımının medyana göre simetrik olması

Answer

Fark puanlarının dağılımının medyana göre simetrik olması varsayımı, Wilcoxon testini İşaret testinden ayıran ve farkların büyüklüğünün kullanılmasına izin veren temel koşuldur.

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testi, İşaret testinden farklı olarak fark puanlarının mutlak değerlerine sıra numarası verir. Bu işlemin matematiksel olarak anlamlı olabilmesi ve testin İşaret testinden daha yüksek bir istatistiksel güce sahip olabilmesi için fark puanlarının dağılımının simetrik olması varsayımı aranır. Bu varsayım, farkların sadece yönünü değil, sırasını (büyüklüğünü) da işleme katmamıza olanak sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Bağımlı örneklem testleri arasındaki farkı belirle.

İşaret testi sadece yönü (+/-) dikkate alırken, Wilcoxon işaretli sıralar testi hem yönü hem de farkın büyüklüğünü (sıra numarası vererek) dikkate alır.

İstatistiksel gücün artması, verideki daha fazla bilginin (büyüklük gibi) analize dahil edilmesiyle sağlanır.

2

Wilcoxon testinin büyüklük bilgisini kullanabilmesi için gereken teorik varsayımı hatırla.

Fark puanlarının (

D_i = X_{1i} - X_{2i}

) medyana göre simetrik bir dağılım sergilemesi gerekir.

Simetri varsayımı, pozitif ve negatif farkların sıralarının karşılaştırılabilirliğini ve test istatistiğinin geçerliliğini sağlar.

Key Concept

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testinde Simetri Varsayımı

Practice More

Wilcoxon testinde farkı sıfır olan gözlemlerin (ties) analiz dışı bırakılması kuralını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 15s

Question 8Question →

İki bağımlı örneklem arasındaki farkı analiz etmek için kullanılan Wilcoxon işaretli sıralar testi, sadece farkların yönünü dikkate alan işaret testine (sign test) göre daha güçlü (powerful) bir istatistiksel yöntemdir.

Buna göre, Wilcoxon işaretli sıralar testinin geçerli sonuçlar verebilmesi için fark puanları ( $D_i$ ) üzerinde gerektirdiği temel varsayım ve testin yokluk hipotezi ( $H_0$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

Fark puanlarının dağılımının medyana göre simetrik olması;

H_0: \text{Medyan}_D = 0

Örneklemlerin birbirinden bağımsız birimlerden oluşması;

H_0: \mu_1 = \mu_2

Farkların mutlak değerleri yerine doğrudan işaretli değerlerinin sıralanması;

H_0: \text{Medyan}_D \neq 0

Sadece farkların yönünün (+ veya -) dikkate alınması;

H_0: P(+) = P(-)

Verilerin normal dağılım göstermesi ve varyansların homojen olması;

H_0: \sigma^2_1 = \sigma^2_2

Show answer & explanation

Answer: Fark puanlarının dağılımının medyana göre simetrik olması; $H_0: \text{Medyan}_D = 0$

Answer

Fark puanlarının dağılımının medyana göre simetrik olması ve yokluk hipotezinin farkların medyanının sıfır olduğunu (

H_0: \text{Medyan}_D = 0

) belirtmesidir.

Doğru yanıt olan seçenek, Wilcoxon işaretli sıralar testinin en kritik varsayımı olan fark puanlarının medyana göre simetrik dağılması gerektiğini ve standart yokluk hipotezini (

H_0: \text{Medyan}_D = 0

) tam olarak ifade etmektedir. Simetri varsayımı, farkların sadece yönünü değil, büyüklük sıralarını da kullanabilmeye olanak tanıyarak testin gücünü artırır.

Step-by-Step Solution

1

Veri yapısının tanımlanması

İki bağımlı örneklem (önce-sonra veya eşleştirilmiş çiftler) olduğu belirlenir.

Testin uygunluğunu kontrol etmek için ilk adım veri yapısını anlamaktır.

2

Varsayımların kontrol edilmesi

Ölçme düzeyinin en az sıralama ölçeğinde olması ve fark puanlarının (

D = X_1 - X_2

) medyana göre simetrik bir dağılım sergilemesi gerektiği saptanır.

Simetri varsayımı, Wilcoxon testini işaret testinden ayıran ve ona güç kazandıran temel unsurdur.

3

Hipotezlerin kurulması

H_0: \text{Medyan}_D = 0

(Farkların medyanı sıfırdır, yani değişim yoktur).

Yokluk hipotezi her zaman 'fark yoktur' veya 'etki yoktur' üzerine kurulur.

Key Concept

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testi Varsayımları

Question 9Question →

Bir klinik psikolog, uyguladığı yeni bir terapi yönteminin kaygı düzeyleri üzerindeki etkisini incelemek amacıyla 24 danışandan oluşan bir gruptan terapi öncesi ve sonrası ölçümler almıştır. Elde edilen fark puanları üzerinden Wilcoxon işaretli sıralar testi uygulanmasına karar verilmiştir. Örneklem hacminin büyük örneklem yaklaşımı (normal dağılım yaklaşımı) için yeterli olduğu varsayıldığında, bu test için hesaplanacak test istatistiğinin ( $T$ ) beklenen değeri ( $E(T)$ ) ve standart sapması ( $\sigma_T$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

150

ve

35

150

ve

1225

300

ve

35

12

ve

2,45

144

ve

35

Show answer & explanation

Answer: $150$ ve $35$

Answer

Hesaplanan beklenen değer

150

ve standart sapma

35

değerlerini içeren seçenek doğrudur.

Beklenen değer formülü

n(n+1)/4

ve standart sapma formülü varyansın (n(n+1)(2n+1)/24) karekökü olduğundan,

n=24

için yapılan hesaplamalar

150

ve

35

değerlerini verir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem hacmini (

n

) belirle.

n = 24

Soruda 24 danışandan ölçüm alındığı belirtilmiştir.

2

Wilcoxon test istatistiği için beklenen değer (

E(T)

) formülünü uygula.

E(T) = \frac{n(n+1)}{4} = \frac{24(24+1)}{4} = \frac{24 \times 25}{4} = 6 \times 25 = 150

Büyük örneklem yaklaşımında test istatistiğinin ortalaması bu formülle bulunur.

3

Varyans (

Var(T)

) değerini hesapla.

Var(T) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{24} = \frac{24(25)(49)}{24} = 25 \times 49 = 1225

Standart sapmaya ulaşmak için önce varyansın hesaplanması gerekir.

4

Standart sapma (

\sigma_T

) değerini bul.

\sigma_T = \sqrt{Var(T)} = \sqrt{1225} = 35

Varyansın karekökü standart sapmayı verir.

Key Concept

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testinde test istatistiği

T

, büyük örneklemlerde (

n > 20

) ortalaması

\frac{n(n+1)}{4}

ve varyansı

\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}

olan bir normal dağılıma yaklaşır.

Practice More

Bağlı gözlemlerin (aynı fark puanları) bulunması durumunda varyans formülünde yapılacak düzeltmeyi inceleyiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 10Question →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin motivasyon düzeyini artırmak amacıyla düzenlenen bir eğitim programının etkisini ölçmek için rastgele seçilen 6 personelin eğitim öncesi ve sonrası motivasyon puanları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Verilerin parametrik varsayımları karşılamadığı belirlenmiş ve analiz için Wilcoxon işaretli sıralar testi seçilmiştir.

Personel	Eğitim Öncesi	Eğitim Sonrası
1	$70$	$75$
2	$82$	$82$
3	$65$	$72$
4	$90$	$85$
5	$78$	$88$
6	$85$	$80$

Buna göre, bu veri seti için hesaplanacak Wilcoxon işaretli sıralar testi istatistiği ( $W$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

4

11

15

6

5

Show answer & explanation

Answer: $4$

Answer

Hesaplanan test istatistiği değeri

4

olarak bulunmuştur.

Verilen veri setinde farklar hesaplandığında Personel 2'nin farkı

0

olduğu için elenmiş, kalan

5

veri noktası mutlak değerlerine göre sıralanmış ve bağlı gözlemler için ortalama sıra numarası (

2

) kullanılmıştır. Pozitif farkların sıra toplamı

11

, negatif farkların sıra toplamı ise

4

olarak bulunmuştur. İstatistiki kural gereği küçük olan değer (

4

) test istatistiği olarak belirlenmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Farkların hesaplanması ve sıfır farkların elenmesi

Farklar (

Sonra - Önce

):

5, 0, 7, -5, 10, -5

. Sıfır olan Personel 2 elenir. Kalan örneklem hacmi

n=5

.

Wilcoxon testinde farkı sıfır olan gözlem çiftleri analize dahil edilmez.

2

Mutlak farkların sıralanması

Mutlak farklar:

|5|, |7|, |5|, |10|, |5|

. Sıralanmış liste:

5, 5, 5, 7, 10

.

Test istatistiği için farkların mutlak değerleri üzerinden sıra numarası verilir.

3

Bağlı gözlemler için ortalama sıra numarası atanması

Üç adet

5

değeri

1, 2

ve

3.

sıraları işgal eder. Ortalama sıra:

(1+2+3)/3 = 2

. Sıra numaraları:

2, 2, 2, 4, 5

.

Aynı mutlak değere sahip gözlemlere, girmeleri gereken sıra numaralarının aritmetik ortalaması verilir.

4

İşaretli sıra toplamlarının (

T^+

ve

T^-

) hesaplanması

T^+ (+5, +7, +10) = 2 + 4 + 5 = 11

.

T^- (-5, -5) = 2 + 2 = 4

.

Pozitif ve negatif farkların sıra numaraları kendi içlerinde toplanır.

5

Test istatistiğinin belirlenmesi

W = min(T^+, T^-) = min(11, 4) = 4

.

Wilcoxon işaretli sıralar testinde

T^+

ve

T^-

değerlerinden küçük olanı test istatistiği olarak kabul edilir.

Key Concept

Wilcoxon işaretli sıralar testinde sıfır farkların elenmesi, mutlak değerce sıralama, bağlı gözlemlerde ortalama sıra kullanımı ve küçük toplamın istatistik olarak seçilmesi.

Practice More

Büyük örneklemler için (

n > 20

) Wilcoxon testinin normal dağılım yaklaşımı (Z istatistiği) hesaplamalarını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 11Question →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin iş tatmin düzeylerini ölçmek amacıyla uygulanan yeni bir yönetim modelinin etkisini belirlemek için 40 çalışan üzerinde bir araştırma yapılmıştır. Uygulama öncesi ve sonrası yapılan ölçümlerde; 26 çalışanın iş tatmin puanında artış ( $+$ ), 10 çalışanın puanında azalış ( $-$ ) gözlenmiş; 4 çalışanın puanında ise bir değişim ( $0$ ) meydana gelmemiştir.

İşaret testi (Sign Test) kullanılarak büyük örneklem yaklaşımıyla yapılan analizde, süreklilik düzeltmesi (continuity correction) faktörü de dikkate alındığında hesaplanan $Z$ test istatistiği değeri kaçtır?

(Not: $\alpha = 0,05$ için $Z_{0,025} = 1,96$ ve $Z_{0,05} = 1,645$ değerlerini alınız.)

2,50

2,67

1,74

1,90

3,12

Show answer & explanation

Answer: 2,50

Answer

İşaret testi için süreklilik düzeltmeli büyük örneklem yaklaşımıyla hesaplanan Z değeri 2,50'dir.

Verilen problemde 4 personelde değişim olmadığı için etkin örneklem sayısı

36

olarak alınmalıdır (

40-4

). Beklenen değer

n/2 = 18

ve standart hata

\sqrt{36}/2 = 3

olarak bulunur. Artış gösterenlerin sayısı (

X=26

) beklenen değerden büyük olduğu için pay kısmında

26 - 18 - 0,5 = 7,5

işlemi yapılır. Sonuç olarak

7,5 / 3 = 2,50

değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Etkin örneklem hacminin (

n

) belirlenmesi

n = 40 - 4 = 36

İşaret testinde farkın sıfır olduğu (değişim olmayan) gözlemler analiz dışı bırakılır.

2

Test istatistiği için beklenen değer ve standart hatanın hesaplanması

E(X) = \frac{n}{2} = \frac{36}{2} = 18

ve

\sigma = \frac{\sqrt{n}}{2} = \frac{\sqrt{36}}{2} = 3

Büyük örneklem yaklaşımında binomial dağılım,

p=0,5

parametresiyle normal dağılıma yakınsar.

3

Süreklilik düzeltmesi uygulanarak

Z

değerinin hesaplanması

Z = \frac{|X - n/2| - 0,5}{\sigma} = \frac{|26 - 18| - 0,5}{3} = \frac{7,5}{3} = 2,50

Kesikli dağılımdan sürekli dağılıma geçişte hata payını azaltmak için

0,5

birimlik süreklilik düzeltmesi yapılır.

Key Concept

İşaret testinde örneklem hacmi 25'ten büyük olduğunda, sıfır farklar dışlanarak normal dağılım yaklaşımı ve süreklilik düzeltmesi uygulanır.

Practice More

Elde edilen 2,50 değeri, tablo kritik değeri olan 1,96'dan büyük olduğu için %5 anlamlılık düzeyinde yeni yönetim modelinin etkili olduğu sonucuna varılır.

Estimated Time:1m 30s

Question 12Question →

Bir araştırmacı, yeni bir beslenme düzeninin kolesterol seviyeleri üzerindeki etkisini incelemek amacıyla $23$ hastadan oluşan bir grup üzerinde uygulama öncesi ve sonrası ölçümler yapmıştır. Ölçümler arasındaki fark puanları normal dağılım varsayımını karşılamadığı için Wilcoxon işaretli sıralar testi uygulanmasına karar verilmiştir. Örneklem hacmi büyük örneklem yaklaşımı için yeterli kabul edildiğine göre, bu test istatistiğinin beklenen değeri ( $E(T)$ ) ve varyansı ( $Var(T)$ ) aşağıdakilerden hangisidir? (Bağlı gözlemlerin olmadığı varsayılacaktır.)

E(T) = 138

ve

Var(T) = 1081

E(T) = 11,5

ve

Var(T) = 5,75

E(T) = 276

ve

Var(T) = 1081

E(T) = 138

ve

Var(T) = 4324

E(T) = 276

ve

Var(T) = 2162

Show answer & explanation

Answer: $E(T) = 138$ ve $Var(T) = 1081$

Answer

Beklenen değer

138

ve varyans

1081

olarak hesaplanan seçenek doğrudur.

Doğru cevap, Wilcoxon işaretli sıralar testinin büyük örneklem parametrelerini doğru formüllerle hesaplayan seçenektir.

n=23

için beklenen değer

\frac{23 \times 24}{4} = 138

ve varyans

\frac{23 \times 24 \times 47}{24} = 1081

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen örneklem hacmini (

n

) belirleyiniz.

n = 23

Hesaplamalar örneklemdeki bağımsız çift sayısı olan

n

üzerinden yapılır.

2

Wilcoxon test istatistiği için beklenen değeri (

E(T)

) hesaplayınız.

E(T) = \frac{n(n+1)}{4} = \frac{23 \times 24}{4} = 23 \times 6 = 138

Büyük örneklem yaklaşımında

T

istatistiğinin ortalaması bu formülle bulunur.

3

Wilcoxon test istatistiği için varyansı (

Var(T)

) hesaplayınız.

Var(T) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{24} = \frac{23 \times 24 \times (2 \times 23 + 1)}{24} = 23 \times 47 = 1081

Büyük örneklem yaklaşımında

T

istatistiğinin yayılımını ölçmek için varyans bu formülle bulunur.

Key Concept

Wilcoxon işaretli sıralar testinde örneklem hacmi büyüdüğünde (

n > 20

), test istatistiği

T

, ortalaması

\mu_T = \frac{n(n+1)}{4}

ve varyansı

\sigma^2_T = \frac{n(n+1)(2n+1)}{24}

olan bir normal dağılıma yaklaşır.

Practice More

Bağlı gözlemler (ties) olması durumunda varyans formülünün nasıl güncellendiğini ve düzeltme faktörünün etkisini inceleyiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 13Question →

Bir eğitim uzmanı, geliştirilen yeni bir öğretim tekniğinin öğrencilerin okuma hızları üzerindeki etkisini araştırmak amacıyla $27$ öğrenciden oluşan bir grup üzerinde uygulama yapmıştır. Okuma hızları arasındaki farkların normal dağılmadığı belirlendiği için Wilcoxon işaretli sıralar testi uygulanmasına karar verilmiştir. Örneklem hacmi yeterince büyük olduğu için test istatistiği olarak normal dağılım yaklaşımı ( $Z$ istatistiği) kullanılacaktır. Buna göre, bu test için hesaplanacak Wilcoxon test istatistiğinin ( $T$ ) beklenen değeri ( $E(T)$ ) ve varyansı ( $Var(T)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

E(T) = 189

ve

Var(T) = 1732,5

E(T) = 13,5

ve

Var(T) = 6,75

E(T) = 189

ve

Var(T) = 6930

E(T) = 378

ve

Var(T) = 1732,5

E(T) = 189

ve

Var(T) = 3465

Show answer & explanation

Answer: $E(T) = 189$ ve $Var(T) = 1732,5$

Answer

Beklenen değer

189

ve varyans

1732,5

olarak hesaplanan seçenek doğrudur.

Doğru seçenek,

n=27

için Wilcoxon test istatistiğinin beklenen değerini

\frac{27 \times 28}{4} = 189

ve varyansını

\frac{27 \times 28 \times 55}{24} = 1732,5

olarak doğru hesaplamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem hacminin belirlenmesi

n = 27

Problemde

27

öğrenciden veri toplandığı belirtilmiştir.

2

Beklenen değerin (

E(T)

) hesaplanması

E(T) = \frac{27(27+1)}{4} = \frac{27 \times 28}{4} = 189

Wilcoxon test istatistiğinin teorik ortalaması bu formül ile bulunur.

3

Varyansın (

Var(T)

) hesaplanması

Var(T) = \frac{27(27+1)(2 \times 27 + 1)}{24} = \frac{27 \times 28 \times 55}{24} = 1732,5

Büyük örneklem yaklaşımında

Z

puanı hesaplamak için gerekli olan varyans parametresi bu formül ile elde edilir.

Key Concept

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testinde Normal Yaklaşım Parametreleri

Question 14Question →

Bir kamu kurumunda çalışan 8 personelin yeni bir veri giriş sistemini kullanma süreleri (dakika), eğitim öncesi ve sonrası ölçülerek kaydedilmiştir. Elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Personel No	Eğitim Öncesi	Eğitim Sonrası
1	70	75
2	82	80
3	65	65
4	90	95
5	78	74
6	85	92
7	60	56
8	72	78

Bu verilere göre, ilgili personelin süreleri arasındaki farkın anlamlılığını test etmek amacıyla kullanılacak Wilcoxon işaretli sıralar test istatistiği ( $W$ ) değeri kaçtır?

6

22

8

4,5

28

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Wilcoxon işaretli sıralar test istatistiği (

W

), pozitif ve negatif farkların sıra toplamlarından küçük olanı ifade eder ve bu veriler için değeri 6'dır.

Verilen ölçümlerden farklar hesaplandığında (+5, -2, 0, +5, -4, +7, -4, +6) elde edilir. Sıfır olan fark çıkarıldıktan sonra mutlak farklar (2, 4, 4, 5, 5, 6, 7) olarak sıralanır. Bağlı gözlemler için ortalama sıra numaraları atandığında negatif farkların (-2, -4, -4) sıra numaraları toplamı

1 + 2,5 + 2,5 = 6

bulunur. Pozitif farkların toplamı ise 22'dir. Test istatistiği bu iki değerin küçüğü olan 6'dır.

Step-by-Step Solution

1

Eğitim öncesi ve sonrası ölçümler arasındaki farkları (

d_i

) hesaplayın.

d_i = \{+5, -2, 0, +5, -4, +7, -4, +6\}

Test, eşleştirilmiş farklar üzerinden gerçekleştirilir.

2

Farkı sıfır olan gözlemleri analizden çıkarın.

3. personel (fark=0) elenir. Yeni örneklem hacmi

n = 7

olur.

Wilcoxon testinde sıfır farklar sıralamaya dahil edilmez.

3

Kalan farkların mutlak değerlerini (

|d_i|

) belirleyin ve küçükten büyüğe sıralayarak sıra numarası verin.

|d_i| = \{5, 2, 5, 4, 7, 4, 6\}

; Sıralı:

2, 4, 4, 5, 5, 6, 7

.

İşaretli sıralar testi için mutlak büyüklüklerin hiyerarşisi gereklidir.

4

Bağlı gözlemler (aynı mutlak farklar) için sıra numaralarının ortalamasını atayın.

Mutlak farkı 4 olanlar (2. ve 3. sıra):

(2+3)/2 = 2,5

. Mutlak farkı 5 olanlar (4. ve 5. sıra):

(4+5)/2 = 4,5

.

Eşit değerlere sahip gözlemlere tarafsızlık adına ortalama sıra numarası verilir.

5

İşaretlerine göre sıra toplamlarını (

T^+

ve

T^-

) hesaplayın.

T^-

(Negatif farkların sıraları):

1 (|-2|) + 2,5 (|-4|) + 2,5 (|-4|) = 6

.

T^+

(Pozitif farkların sıraları):

4,5 (|+5|) + 4,5 (|+5|) + 6 (|+6|) + 7 (|+7|) = 22

.

Test istatistiği bu iki toplamın karşılaştırılmasına dayanır.

6

Test istatistiği (

W

) olarak küçük olan toplamı seçin.

W = \min(22, 6) = 6

.

Standart Wilcoxon tablosu küçük olan toplam üzerinden karar vermeyi gerektirir.

Key Concept

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testi: Sıfır farkların elenmesi, mutlak değer sıralaması ve minimum toplamın seçilmesi.

Practice More

Büyük örneklemler için (

n > 20

) normal yaklaşım formülünü (

Z

istatistiği) kullanarak anlamlılık testi yapmayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 15Question →

Bir biyolog, yeni geliştirilen bir vitamin takviyesinin farelerin vücut ağırlığı üzerindeki etkisini incelemektedir. $n = 25$ fare üzerinde yapılan "önce-sonra" ölçümleri sonucunda, tüm farelerin ağırlıklarında bir değişim olduğu (farkı sıfır olan gözlem bulunmadığı) tespit edilmiştir. Bu verilerle Wilcoxon işaretli sıralar testi için büyük örneklem yaklaşımı (normal dağılım yaklaşımı) uygulandığında, test istatistiğinin beklenen değeri ( $E(T)$ ) ve varyansı ( $Var(T)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

E(T) = 162,5

ve

Var(T) = 1381,25

E(T) = 12,5

ve

Var(T) = 6,25

E(T) = 162,5

ve

Var(T) = 2762,5

E(T) = 325,0

ve

Var(T) = 1381,25

E(T) = 175,5

ve

Var(T) = 1550,25

Show answer & explanation

Answer: $E(T) = 162,5$ ve $Var(T) = 1381,25$

Answer

Beklenen değer

162,5

ve varyans

1381,25

olarak hesaplanmıştır.

Doğru seçenekte, Wilcoxon işaretli sıralar testi için büyük örneklem formülleri olan

E(T) = n(n+1)/4

ve

Var(T) = n(n+1)(2n+1)/24

ifadeleri

n=25

değeri için doğru şekilde uygulanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem hacmini belirleme

n = 25

Sıfır fark içermeyen gözlem sayısı test için temel alınır.

2

Beklenen değerin (

E(T)

) hesaplanması

E(T) = \frac{25 \times 26}{4} = \frac{650}{4} = 162,5

Büyük örneklem yaklaşımında

T

istatistiğinin ortalamasıdır.

3

Varyansın (

Var(T)

) hesaplanması

Var(T) = \frac{25 \times 26 \times (2 \times 25 + 1)}{24} = \frac{650 \times 51}{24} = \frac{33150}{24} = 1381,25

Test istatistiğinin yayılımını belirlemek için varyans formülü uygulanır.

Key Concept

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testinde Normal Yaklaşım

Practice More

Bağlı gözlemler (ties) olması durumunda varyans formülünde yapılması gereken düzeltmeyi inceleyiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 16Question →

Parametrik olmayan istatistiksel yöntemlerden biri olan Wilcoxon işaretli sıralar testi, iki bağımlı örneklem arasındaki farkı analiz ederken işaret testine (sign test) göre daha güçlü (powerful) bir alternatif olarak kabul edilir. Ancak bu testin, fark puanlarının medyanına dair geçerli bir çıkarım yapabilmesi için veri yapısına dair ek bir varsayımın sağlanması gerekmektedir.

Buna göre, Wilcoxon işaretli sıralar testinin uygulanabilmesi için fark puanlarının ( $D_i$ ) dağılımı hakkında karşılanması gereken temel varsayım aşağıdakilerden hangisidir?

Fark puanlarının dağılımının medyana göre simetrik olması

İki örneklemin birbirinden bağımsız birimlerden oluşması

Verilerin sadece sınıflama (nominal) ölçeğinde ölçülmüş olması

Grupların varyanslarının birbirine eşit (homojen) olması

Analiz için fark puanlarının sadece yönlerinin bilinmesinin yeterli olması

Show answer & explanation

Answer: Fark puanlarının dağılımının medyana göre simetrik olması

Answer

Fark puanlarının dağılımının medyana göre simetrik olması

Wilcoxon işaretli sıralar testinin temel varsayımı, fark puanlarının dağılımının medyan etrafında simetrik olmasıdır. Bu varsayım, farkların mutlak değerlerine verilen sıra numaralarının anlamlı bir şekilde karşılaştırılabilmesini sağlar. Eğer simetri varsayımı sağlanmazsa, testin medyana dair hipotezi test etme yeteneği zayıflar veya geçersiz hale gelebilir.

Step-by-Step Solution

1

Bağımlı örneklem veri yapısını analiz etme

Wilcoxon testinin, aynı deneklerin farklı zamanlardaki veya eşleştirilmiş çiftlerin ölçümleri arasındaki fark puanları (

D = X_1 - X_2

) üzerinde çalıştığını belirleme.

Testin hangi veri tipi için tasarlandığını anlamak temel adımdır.

2

İşaret testi ile Wilcoxon arasındaki farkı değerlendirme

İşaret testinin sadece farkların yönüne odaklandığını, Wilcoxon'un ise farkların mutlak değerlerini de sıralamaya dahil ederek daha fazla bilgi kullandığını saptama.

Testin gücünü (power) artıran faktörün veri kullanımıyla ilişkisini kurmak.

3

Simetri varsayımını tanımlama

Fark puanlarının dağılımının simetrik olması durumunda, pozitif ve negatif sıraların beklenen değerlerinin birbirine yakın olacağı mantığının doğrulanması.

Wilcoxon testinin matematiksel geçerliliği, farkların medyan etrafında benzer dağılması (simetri) varsayımına dayanır.

Key Concept

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testi Varsayımları

Question 17Question →

İki bağımlı örneklemden elde edilen fark puanlarının analizinde kullanılan Wilcoxon işaretli sıralar testi, farkların sadece yönünü (pozitif/negatif) değil, aynı zamanda büyüklüklerini (sıralarını) de dikkate aldığı için işaret testine göre daha güçlü (powerful) bir testtir. Ancak bu güç artışının geçerli olabilmesi için fark puanlarının dağılımına yönelik ek bir varsayımın sağlanması gerekmektedir. Buna göre, Wilcoxon işaretli sıralar testinin uygulanabilmesi için fark puanlarının dağılımı hakkında aşağıdakilerden hangisi varsayılmalıdır?

Fark puanlarının dağılımının medyana göre simetrik bir yapı sergilemesi

Gözlemlerin birbirinden bağımsız iki farklı örneklemden elde edilmiş olması

Fark puanlarının evrende normal dağılım sergilemesi

Verilerin sadece sınıflama (nominal) düzeyinde ölçülmüş olması

Her iki ölçüm grubunun varyanslarının birbirine eşit (homojen) olması

Show answer & explanation

Answer: Fark puanlarının dağılımının medyana göre simetrik bir yapı sergilemesi

Answer

Fark puanlarının dağılımının medyana göre simetrik bir yapı sergilemesi

Wilcoxon işaretli sıralar testi, fark puanlarının medyana göre simetrik bir dağılım sergilediği varsayımına dayanır. Bu varsayım, farkların mutlak değerlerine verilen sıraların, pozitif ve negatif yönde benzer bir yoğunluk dağılımına sahip olmasını sağlayarak testin istatistiksel gücünü artırır. İşaret testinde sadece yön önemliyken, Wilcoxon'da bu simetri sayesinde büyüklük bilgisi de analize dahil edilir.

Step-by-Step Solution

1

Test tipini ve veri yapısını belirleme

İki bağımlı örneklem (önce-sonra veya eşleştirilmiş çiftler) durumu.

Wilcoxon işaretli sıralar testi, bağımlı iki ölçüm arasındaki farkları (

D_i = X_{1i} - X_{2i}

) analiz eder.

2

İşaret testi ile Wilcoxon testi arasındaki farkı analiz etme

İşaret testi sadece farkın yönüne (+ veya -) bakarken, Wilcoxon farkların mutlak büyüklüklerini de sıralar.

Sıralama (ranking) işleminin anlamlı olabilmesi için fark puanlarının dağılımının simetrik olması gerekir.

3

Temel varsayımı saptama

Simetri varsayımı Wilcoxon'u işaret testinden ayıran ve ona güç katan unsurdur.

Eğer farklar simetrik değilse, sıraların ortalaması üzerinden yapılan çıkarımlar yanıltıcı olabilir; bu durumda daha kısıtlı olan işaret testi tercih edilir.

Key Concept

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testi Varsayımları

Alternative Method

Varsayımları karşılaştırırken şu hiyerarşi izlenebilir: Eğer veriler normal dağılıyorsa 'Bağımlı t-testi', normal dağılmıyor ama farklar simetrikse 'Wilcoxon testi', simetri de sağlanamıyorsa 'İşaret testi' kullanılır.

Estimated Time:1m 15s

Question 18Question →

Bir kamu kurumunda çalışan $12$ personelin yeni bir yazılım sistemine geçiş öncesi ve sonrası işlem hızları (dakika başına işlem sayısı) aşağıda verilmiştir:

Personel No	Sistem Öncesi	Sistem Sonrası
1	70	75
2	82	80
3	65	65
4	90	95
5	78	85
6	60	60
7	85	90
8	72	70
9	68	74
10	80	80
11	75	82
12	88	92

Buna göre, yeni sistemin işlem hızlarını değiştirdiğine dair kurulan çift yönlü bir hipotezin test edilmesinde kullanılan İşaret Testi (Sign Test) için hesaplanan test istatistiği değeri kaçtır?

2

3

7

9

12

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İşaret Testi istatistiği, sıfır farkları hariç tutulduktan sonra elde edilen pozitif ve negatif işaret sayılarından küçük olanına eşittir ve bu değer 2'dir.

Veriler analiz edildiğinde

7

pozitif,

2

negatif ve

3

sıfır farkı tespit edilmiştir. İşaret testinde sıfır farkları çıkarıldıktan sonra elde edilen pozitif ve negatif frekanslardan küçük olanı (

2

) test istatistiği olarak kabul edilir.

Step-by-Step Solution

1

Her personel için (Sistem Sonrası - Sistem Öncesi) farklarının işaretini belirleyin.

Pozitif (+) işaretler: 1, 4, 5, 7, 9, 11, 12 nolu personeller (toplam 7 adet). Negatif (-) işaretler: 2 ve 8 nolu personeller (toplam 2 adet). Sıfır (0) farklar: 3, 6 ve 10 nolu personeller (toplam 3 adet).

İşaret testi, farkların yönüne dayalı bir analizdir.

2

Sıfır farkı olan gözlemleri analiz dışı bırakarak etkin örneklem hacmini (

n'

) belirleyin.

n' = 12 - 3 = 9

İşaret testinde farkın sıfır olduğu durumlar bilgi sağlamadığı için testten çıkarılır.

3

Pozitif ve negatif işaretlerin sayısını karşılaştırarak küçük olanı test istatistiği (

S

) olarak seçin.

S = \min(7, 2) = 2

Küçük örneklemlerde (

n \leq 25

) işaret testi istatistiği, daha az görülen işaretin sayısıdır.

Key Concept

İşaret Testi (Sign Test) İstatistiği

Practice More

İşaret testinde büyük örneklem durumunda (

n > 25

) kullanılan Z istatistiği yaklaşımını çalışabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 19Question →

Bir kamu kurumunda çalışan 6 personelin hizmet içi eğitim programı öncesi ve sonrası 'Hizmet Kalitesi' puanları ( $100$ üzerinden) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Personel	Eğitim Öncesi ( $X_1$ )	Eğitim Sonrası ( $X_2$ )
1	$72$	$75$
2	$60$	$60$
3	$85$	$82$
4	$68$	$74$
5	$74$	$80$
6	$70$	$75$

Bu verilere göre, eğitim sonrası puanların anlamlı düzeyde değişip değişmediğini test etmek için kullanılacak Wilcoxon işaretli sıralar test istatistiği ( $W$ ) değeri kaçtır?

1,5

2,5

13,5

1,0

3,0

Show answer & explanation

Answer: $1,5$

Answer

Wilcoxon işaretli sıralar test istatistiği (

W

) değeri

1,5

olarak bulunur.

Verilen verilerde sıfır olan fark (2. personel) çıkarıldıktan sonra kalan 5 fark değeri mutlak değerce sıralanmıştır. Bağlı gözlemler (iki tane 3 ve iki tane 6) için sıra ortalamaları (1,5 ve 4,5) kullanılmış, negatif olan tek farka (-3) karşılık gelen 1,5 değeri toplam negatif sıraları oluşturmuştur. Bu değer pozitif sıralar toplamından (13,5) küçük olduğu için test istatistiği olarak kabul edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Eğitim öncesi ve sonrası puanlar arasındaki farkları (

D = X_2 - X_1

) hesaplayın.

Farklar:

+3, 0, -3, +6, +6, +5

Wilcoxon testi, bağımlı iki örneklem arasındaki farkların büyüklüğü ve yönü üzerine kuruludur.

2

Farkı sıfır olan gözlemi (

2. personel

) analizden çıkarın ve kalan mutlak farkları (

|D|

) küçükten büyüğe sıralayarak sıra numaraları atayın.

Mutlak farklar:

3, 3, 5, 6, 6

. Sıra numaraları:

3

ve

3

için

\frac{1+2}{2} = 1,5

;

5

için

3

;

6

ve

6

için

\frac{4+5}{2} = 4,5

.

Sıfır farklar testi etkilemez; aynı değere sahip (bağlı) farklara sıra numaralarının ortalaması verilir.

3

Orijinal farkların işaretlerini sıra numaralarına atayarak pozitif (

T^+

) ve negatif (

T^-

) sıralar toplamını bulun.

T^+ = 1,5 (+3) + 3 (+5) + 4,5 (+6) + 4,5 (+6) = 13,5

;

T^- = 1,5 (-3)

.

Test istatistiği için yönlerine göre sıraların toplamı gereklidir.

4

Hesaplanan toplamlar arasından küçük olanı test istatistiği (

W

) olarak belirleyin.

W = \min(13,5, 1,5) = 1,5

Wilcoxon işaretli sıralar testinde kural gereği küçük olan toplam istatistik değerini verir.

Key Concept

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testinde bağlı gözlemlerin sıra ortalaması ve sıfır farkların dışlanması kuralları.

Alternative Method

Hesaplamanın sağlaması için toplam sıraların

\frac{n(n+1)}{2}

formülüne eşitliği kontrol edilebilir. Kalan

n=5

gözlem için

\frac{5 \times 6}{2} = 15

olmalıdır.

T^+ + T^- = 13,5 + 1,5 = 15

olduğu için hesaplama doğrudur.

Estimated Time:2m 0s

Question 20Question →

Bir kamu kurumunda görev yapan $12$ personelin, yeni uygulamaya konulan dijital veri giriş sistemine yönelik eğitim öncesi ve sonrası hata sayıları aşağıda verilmiştir. İşaret testi (sign test) kullanılarak personelin hata sayılarında anlamlı bir değişim olup olmadığı incelenmek istenmektedir.

Personel	Eğitim Öncesi	Eğitim Sonrası
1	$45$	$40$
2	$38$	$38$
3	$52$	$44$
4	$30$	$35$
5	$44$	$44$
6	$50$	$42$
7	$55$	$48$
8	$48$	$48$
9	$40$	$45$
10	$60$	$52$
11	$42$	$36$
12	$58$	$45$

Buna göre, bu veri seti için hesaplanacak olan işaret testi istatistiği ( $S$ ) değeri kaçtır?

2

3

7

9

12

Show answer & explanation

Answer: $2$

Answer

Hesaplanacak olan işaret testi istatistiği değeri

2

olarak bulunur.

Veriler analiz edildiğinde hata sayısının azaldığı (pozitif fark)

7

durum, hata sayısının arttığı (negatif fark)

2

durum gözlemlenmiştir.

3

personelin hata sayısı ise değişmemiştir. İşaret testinde, sıfır farkları dışlandığında elde edilen pozitif ve negatif işaret sayılarından küçük olan değer (

2

) test istatistiği olarak kabul edilir.

Step-by-Step Solution

1

Eğitim öncesi ve sonrası değerler arasındaki farkların yönünü (işaretini) belirleyin.

Azalan değerler (

+

), artan değerler (

-

) ve değişmeyenler (

0

) olarak işaretlenir.

İşaret testi, farkların büyüklüğüyle değil, yönüyle ilgilenir.

2

Değişmeyen (farkı sıfır olan) personelleri analiz dışı bırakın.

2., 5. ve 8. personellerin hata sayıları değişmediği için (toplam

3

kişi) analizden çıkarılır.

İşaret testinde farkın sıfır olduğu durumlar (ties) örneklem hacminden düşülür.

3

Pozitif (

+

) ve negatif (

-

) işaretlerin sayılarını hesaplayın.

+

işaretli personel sayısı (hata sayısı azalanlar):

7

;

-

işaretli personel sayısı (hata sayısı artanlar):

2

.

Efektif örneklem hacmi

12 - 3 = 9

olup, işaret sayıları belirlenmelidir.

4

İşaret testi istatistiği (

S

) değerini seçin.

S = \min(7, 2) = 2

.

İşaret testi istatistiği, daha az frekansa sahip olan işaretin toplam sayısıdır.

Key Concept

İşaret Testi İstatistiği

Estimated Time:1m 30s

Personel	Sistem Öncesi	Sistem Sonrası
1	70	75
2	65	65
3	80	88
4	90	85
5	72	72
6	60	68
7	85	92
8	77	80
9	55	50
10	88	95
11	62	70
12	80	80

Personel No	Sistem Öncesi	Sistem Sonrası
1	70	75
2	82	80
3	65	65
4	90	95
5	78	85
6	60	60
7	85	90
8	72	70
9	68	74
10	80	80
11	75	82
12	88	92

Personel	Sistem Öncesi	Sistem Sonrası
1	70	75
2	65	65
3	80	88
4	90	85
5	72	72
6	60	68
7	85	92
8	77	80
9	55	50
10	88	95
11	62	70
12	80	80

Personel No	Sistem Öncesi	Sistem Sonrası
1	70	75
2	82	80
3	65	65
4	90	95
5	78	85
6	60	60
7	85	90
8	72	70
9	68	74
10	80	80
11	75	82
12	88	92

İki Bağımlı Örneklem Testleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Personel	Sistem Öncesi	Sistem Sonrası
1	70	75
2	65	65
3	80	88
4	90	85
5	72	72
6	60	68
7	85	92
8	77	80
9	55	50
10	88	95
11	62	70
12	80	80

Personel No	Sistem Öncesi	Sistem Sonrası
1	70	75
2	82	80
3	65	65
4	90	95
5	78	85
6	60	60
7	85	90
8	72	70
9	68	74
10	80	80
11	75	82
12	88	92