Oran ve Regresyon Tahminleyicileri Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 3

Question 41Question →

Bir üniversite kütüphanesi, öğrencilerin haftalık dijital kaynak kullanım sürelerinin ( $Y$ ) toplam çalışma sürelerine ( $X$ ) olan oranını ( $R$ ) tahmin etmek amacıyla bir araştırma yürütmektedir. Kitle büyüklüğü $N = 800$ olan bu çalışmada, iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 80$ öğrenci seçilmiştir.

Araştırma sonucunda elde edilen örneklem istatistikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Değişken / İstatistik	Değer
Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}$ )	$4$ saat
Örneklem Ortalaması ( $\bar{x}$ )	$10$ saat
Artıkların Örneklem Varyansı ( $s_d^2 = \frac{\sum (y_i - \hat{r}x_i)^2}{n-1}$ )	$16$

Buna göre kitle oranı tahmini ( $\hat{r}$ ) ve bu tahminleyicinin varyans tahmini ( $v(\hat{r})$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,4

ve

0,0018

0,4

ve

0,0020

2,5

ve

0,0018

0,4

ve

0,018

0,4

ve

0,144

Show answer & explanation

Answer: $0,4$ ve $0,0018$

Answer

Kitle oranı tahmini

0,4

ve varyans tahmini

0,0018

değerleridir.

Kitle oranı tahmini, örneklem ortalamalarının birbirine oranlanmasıyla

0,4

olarak bulunur. Varyans hesaplanırken, iadesiz seçim ve yüksek örnekleme oranı nedeniyle

0,9

olan sonlu kitle düzeltme çarpanı işleme dahil edilmelidir. Formülde gerekli değerler yerine konulduğunda

0,0018

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kitle oranı tahmininin (

\hat{r}

) hesaplanması

\hat{r} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} = \frac{4}{10} = 0,4

Oran tahminleyicisi, ilgili değişkenin örneklem ortalamasının yardımcı değişkenin örneklem ortalamasına bölünmesiyle elde edilir.

2

Örnekleme oranının (

f

) ve sonlu kitle düzeltme çarpanının (

1-f

) belirlenmesi

f = \frac{n}{N} = \frac{80}{800} = 0,1

ve

1-f = 1 - 0,1 = 0,9

İadesiz seçim yapıldığında ve örnekleme oranı

0,05

'den büyük olduğunda sonlu kitle düzeltme çarpanı kullanılmalıdır.

3

Varyans tahmininin (

v(\hat{r})

) hesaplanması

v(\hat{r}) = \frac{1-f}{n \bar{x}^2} s_d^2 = \frac{0,9}{80 \times 10^2} \times 16 = \frac{14,4}{8000} = 0,0018

Oran tahminleyicisinin varyansı, artıkların varyansı, örneklem hacmi, yardımcı değişkenin karesi ve SKD çarpanı kullanılarak tahmin edilir.

Key Concept

Oran Tahminleyicisi ve Varyans Hesabı

Practice More

Varyans tahmininden yola çıkarak kitle oranı için %95 güven aralığı hesaplaması yapabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 42Question →

Bir yerel yönetim, yetki alanındaki $N = 800$ parkın yıllık toplam bakım maliyetini ( $y$ ) tahmin etmek amacıyla $n = 80$ parktan oluşan basit rastgele bir örneklem seçmiştir. Parkların yüz ölçümleri ( $x$ ) yardımcı değişken olarak kullanılmıştır. Yapılan incelemeler sonucunda elde edilen veriler aşağıda tablo halinde sunulmuştur:

Parametre / İstatistik	Değer
Kitle yüz ölçümü ortalaması ( $\bar{X}$ )	$2500$ $m^2$
Örneklem yüz ölçümü ortalaması ( $\bar{x}$ )	$2400$ $m^2$
Örneklem bakım maliyeti ortalaması ( $\bar{y}$ )	$15.000$ TL
Regresyon katsayısı ( $b$ )	$4$

Buna göre, regresyon tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan kitle toplam bakım maliyeti tahmini kaç TL'dir?

11.680.000

12.320.000

12.500.000

15.400

1.232.000

Show answer & explanation

Answer: 12.320.000

Answer

Regresyon tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan kitle toplam bakım maliyeti tahmini 12.320.000 TL'dir.

Doğru yanıt olan 12.320.000 TL, önce kitle ortalamasının regresyon tahminleyicisi formülü (

\bar{y} + b(\bar{X} - \bar{x})

) ile 15.400 TL olarak bulunması, ardından bu değerin toplam park sayısı olan 800 ile çarpılması sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Regresyon tahminleyicisi ile kitle ortalamasını (

\bar{y}_{lr}

) hesaplayın.

\bar{y}_{lr} = \bar{y} + b(\bar{X} - \bar{x}) = 15.000 + 4(2500 - 2400) = 15.400

TL

Yardımcı değişken bilgisi kullanılarak örneklem ortalaması, kitle ortalamasına doğru regresyon katsayısı oranında düzeltilir.

2

Kitle toplam tahminini (

\hat{Y}_{lr}

) hesaplamak için ortalama tahminini kitle büyüklüğü (

N

) ile çarpın.

\hat{Y}_{lr} = N \times \bar{y}_{lr} = 800 \times 15.400 = 12.320.000

TL

Kitle ortalaması tahmini tüm birimlere genellenerek toplam parametre değerine ulaşılır.

Key Concept

Regresyon tahminleyicisi, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi kullanarak, basit rastgele örneklemeden elde edilen tahmini kitle ortalamasına doğru güncelleyen etkin bir yöntemdir.

Estimated Time:1m 30s

Question 43Question →

Bir orman bölge müdürlüğü, iki farklı ağaç türünden (Tabaka 1 ve Tabaka 2) oluşan bir bölgedeki ortalama ağaç boyunu ( $Y$ ) tahmin etmek istemektedir. Ağaçların gövde çapı ( $X$ ) yardımcı değişken olarak kullanılmış ve her iki tabaka için kitle ortalamalarının ( $\bar{X}_h$ ) bilindiği varsayılmıştır.

Araştırma sonucunda elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Parametre / İstatistik	Tabaka 1	Tabaka 2
Tabaka Ağırlığı ( $W_h$ )	$0,60$	$0,40$
Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	$20$ m	$25$ m
Yardımcı Değişken Örneklem Ortalaması ( $\bar{x}_h$ )	$15$ cm	$18$ cm
Yardımcı Değişken Kitle Ortalaması ( $\bar{X}_h$ )	$16$ cm	$17$ cm
Regresyon Katsayısı ( $b_h$ )	$1,5$	$2,0$

Bu verilere göre, ayrı regresyon tahminleyicisi ( $separate$ $regression$ $estimator$ ) kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini kaç metredir?

22,1

22,0

22,25

23,5

22,5

Show answer & explanation

Answer: $22,1$

Answer

Ayrı regresyon tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini

22,1

metredir.

Doğru cevap, her iki tabaka için ayrı ayrı hesaplanan regresyon tahminlerinin (

21,5

ve

23,0

), kitledeki tabaka ağırlıklarıyla (

0,60

ve

0,40

) çarpılıp toplanması sonucunda bulunan

22,1

değeridir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci tabaka için regresyon tahmini (

\bar{y}_{lr,1}

) hesaplanır.

\bar{y}_{lr,1} = 20 + 1,5(16 - 15) = 21,5

Tabaka içindeki yardımcı değişken bilgisini kullanarak örneklem ortalamasını kitle parametresine doğru düzeltmek gerekir.

2

İkinci tabaka için regresyon tahmini (

\bar{y}_{lr,2}

) hesaplanır.

\bar{y}_{lr,2} = 25 + 2,0(17 - 18) = 23,0

Her tabaka kendi regresyon katsayısı ve yardımcı değişken farkı ile ayrı ayrı değerlendirilir.

3

Hesaplanan tabaka tahminleri tabaka ağırlıkları (

W_h

) ile çarpılarak toplanır.

\bar{y}_{lr,s} = 0,60(21,5) + 0,40(23,0) = 12,9 + 9,2 = 22,1

Kitle geneli için tahmin yapılırken tabakaların kitle içindeki büyüklük oranları (ağırlıkları) dikkate alınmalıdır.

Key Concept

Ayrı Regresyon Tahminleyicisi (

\bar{y}_{lr,s}

), her tabaka için bağımsız regresyon düzeltmeleri yapıldıktan sonra bu değerlerin ağırlıklı ortalamasının alınmasıyla elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 44Question →

Basit rastgele örnekleme yönteminde, yardımcı değişken bilgisinden yararlanılarak kitle oranının tahmini yapıldığında, oran tahminleyicisinin ( $\hat{R}$ ) yanlılık (bias) ve Hata Karesi Ortalaması ( $HKO$ ) özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Oran tahminleyicisi asimptotik olarak yansız bir tahminleyici olduğundan, örneklem hacmi arttıkça yanlılık terimi sıfıra yaklaşır ve

HKO

değeri varyans değerine yakınsar.

Oran tahminleyicisi her örneklem hacmi için mutlak yansız bir tahminleyici olduğundan,

HKO

değeri her zaman varyansa özdeştir.

Tahminleyicinin yanlılığı örneklem hacmi (

n

) arttıkça artış gösterdiğinden, büyük örneklemlerde

HKO

değeri varyanstan uzaklaşır.

İadesiz basit rastgele örnekleme yönteminde oran tahminleyicisinin varyansı hesaplanırken sonlu kitle düzeltme çarpanı (

1-f

) hiçbir zaman formüle dahil edilmez.

Hata Karesi Ortalaması (

HKO

), varyans ile yanlılığın mutlak değerinin toplamına (

Var + |B|

) eşittir.

Show answer & explanation

Answer: Oran tahminleyicisi asimptotik olarak yansız bir tahminleyici olduğundan, örneklem hacmi arttıkça yanlılık terimi sıfıra yaklaşır ve $HKO$ değeri varyans değerine yakınsar.

Answer

Oran tahminleyicisi asimptotik olarak yansız bir tahminleyici olduğundan, örneklem hacmi arttıkça yanlılık terimi sıfıra yaklaşır ve

HKO

değeri varyans değerine yakınsar.

Oran tahminleyicisi (

\hat{R}

), pay ve paydasındaki değişkenlerin her ikisi de rassal olduğu için doğrusal değildir ve bu durum küçük örneklemlerde yanlılığa yol açar. Ancak örnekleme kuramına göre bu tahminleyici asimptotik olarak yansızdır. Örneklem hacmi (

n

) büyüdükçe yanlılık terimi sıfıra yaklaştığı için, Hata Karesi Ortalaması formülündeki (

HKO = Var + Bias^2

) yanlılık bileşeni etkisini kaybeder ve

HKO

değeri varyansa yakınsar.

Step-by-Step Solution

1

Oran tahminleyicisinin yapısını tanımlama

\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}

Tahminleyicinin iki rassal değişkenin oranı olması, onun sonlu örneklemlerde yanlı (biased) olmasına neden olur.

2

HKO

ve varyans ilişkisini kurma

HKO(\hat{R}) = Var(\hat{R}) + [Bias(\hat{R})]^2

Bir tahminleyicinin toplam hatasını ölçmek için yanlılığın karesi ile varyansın toplanması gerekir.

3

Örneklem hacminin etkisini analiz etme

n \rightarrow \infty

iken

Bias(\hat{R}) \rightarrow 0

Oran tahminleyicisi asimptotik olarak yansızdır; yani örneklem büyüdükçe yanlılık ihmal edilebilir düzeye iner.

4

Sonucu değerlendirme

HKO(\hat{R}) \approx Var(\hat{R})

Yanlılık terimi sıfıra yaklaştığında, toplam hata (HKO) büyük oranda varyans tarafından belirlenir.

Key Concept

Oran tahminleyicisinin asimptotik yansızlığı ve HKO bileşenleri.

Practice More

Regresyon tahminleyicisinin yanlılık özelliklerini oran tahminleyicisi ile karşılaştırarak çalışmanız konuyu pekiştirecektir.

Estimated Time:1m 30s

Question 45Question →

Bir tarım araştırmasında, bir bölgedeki çiftliklerin yıllık buğday üretimi ( $y$ ) ile ekili alan miktarları ( $x$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla regresyon tahminleyicisi kullanılması planlanmaktadır. Yapılan ön incelemeler sonucunda kitle ve örneklem parametrelerine ilişkin şu bilgiler elde edilmiştir:

Parametre	Değer
Kitle Birim Sayısı ( $N$ )	$10000$
Örneklem Birim Sayısı ( $n$ )	$400$
Kitle Varyansı ( $S_y^2$ )	$2500$
Korelasyon Katsayısı ( $\rho_{xy}$ )	$0,70$

Bu verilere göre, kitle ortalamasının tahmini için kullanılacak regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyansı ( $V(\bar{y}_{reg})$ ) kaçtır?

1,80

2,94

3,06

3,19

6,00

Show answer & explanation

Answer: $3,06$

Answer

Regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyansı

3,06

olarak hesaplanır.

Regresyon tahminleyicisinin varyansı hesaplanırken önce kitledeki iadesiz seçimden kaynaklanan düzeltme çarpanı (

0,96

) ile BRO varyansı (

6,00

) bulunur. Ardından, yardımcı değişkenle olan ilişkinin gücü (

\rho=0,70

) üzerinden varyansın sadece

(1-0,49)=0,51

oranında kalacağı belirlenir. Bu iki değerin çarpımı olan

3,06

doğru varyans değeridir.

Step-by-Step Solution

1

Sonlu kitle düzeltme çarpanını (

1-f

) hesapla.

1 - (400 / 10000) = 0,96

Örnekleme iadesiz yapıldığı için varyans formülünde kitle düzeltmesi kullanılmalıdır.

2

Basit Rastgele Örnekleme (BRO) altındaki ortalamanın varyansını hesapla.

V(\bar{y}_{BRO}) = (1-f) \times (S_y^2 / n) = 0,96 \times (2500 / 400) = 0,96 \times 6,25 = 6,00

Regresyon tahminleyicisinin varyansı, BRO varyansının korelasyon katsayısına bağlı olarak daraltılmış halidir.

3

Korelasyon katsayısını kullanarak regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyansını bul.

V(\bar{y}_{reg}) \approx V(\bar{y}_{BRO}) \times (1 - \rho^2) = 6,00 \times (1 - 0,70^2) = 6,00 \times 0,51 = 3,06

Regresyon tahminleyicisi,

y

ile

x

arasındaki doğrusal ilişkiyi kullanarak tahmin hatasını

(1-\rho^2)

oranında azaltır.

Key Concept

Regresyon tahminleyicisinin varyansı, BRO varyansının

(1-\rho^2)

ile çarpılmasıyla elde edilen bir yaklaşık değerdir.

Practice More

Korelasyon katsayısı

\rho = 1

veya

\rho = 0

olduğunda regresyon tahminleyicisinin varyansının BRO ve Oran tahminleyicileriyle nasıl bir ilişki içinde olacağını incelemek konuyu pekiştirir.

Estimated Time:1m 30s

Question 46Question →

Bir belediye, mahalle sakinlerinin aylık ortalama su tüketim miktarlarını ( $y$ ) tahmin etmek amacıyla hane büyüklüğü ( $x$ ) yardımcı değişkeninden yararlanmaktadır. $N = 1000$ haneden oluşan bir bölgeden iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 200$ hane seçilmiştir. Yapılan incelemeler sonucunda, kitledeki su tüketim miktarlarının varyansı $S_y^2 = 1000$ ve tüketim miktarı ile hane büyüklüğü arasındaki korelasyon katsayısı $\rho = 0,60$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, kitle ortalaması için doğrusal regresyon tahminleyicisi kullanıldığında, bu tahminleyicinin varyansı yaklaşık olarak kaçtır?

1,60

2,56

3,20

4,00

5,00

Show answer & explanation

Answer: 2,56

Answer

Doğrusal regresyon tahminleyicisinin varyansı 2,56 olarak hesaplanır.

Doğrusal regresyon tahminleyicisinin varyansı, basit rastgele örnekleme varyansının korelasyon katsayısının karesine bağlı olarak azalan bir formudur.

V(\bar{y}_{reg}) = \frac{N-n}{N} \frac{S_y^2}{n} (1-\rho^2)

formülünde

N=1000, n=200, S_y^2=1000

ve

\rho=0,60

değerleri yerine konulduğunda sonuç 2,56 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Örnekleme oranını (

f

) ve sonlu kitle düzeltme çarpanını (

1-f

) hesaplayınız.

f = \frac{n}{N} = \frac{200}{1000} = 0,20

ve

1-f = 1 - 0,20 = 0,80

İadesiz seçim yapıldığı için varyans formülünde düzeltme çarpanı kullanılmalıdır.

2

Regresyon tahminleyicisinin varyans formülünü belirleyiniz.

V(\bar{y}_{reg}) \approx \frac{1-f}{n} S_y^2 (1 - \rho^2)

Büyük örneklemlerde regresyon tahminleyicisinin varyansı, basit rastgele örnekleme varyansının

(1 - \rho^2)

katıdır.

3

Verilen değerleri formülde yerine koyarak hesaplamayı tamamlayınız.

V(\bar{y}_{reg}) = \frac{0,80}{200} \times 1000 \times (1 - 0,60^2) = 0,004 \times 1000 \times (1 - 0,36) = 4 \times 0,64 = 2,56

Parametrelerin doğru işlenmesi varyans tahmininin hassasiyetini sağlar.

Key Concept

Regresyon tahminleyicisi, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi kullanarak tahminin varyansını (hata payını)

(1 - \rho^2)

oranında azaltır.

Alternative Method

Önce basit rastgele örnekleme varyansı (

V_{BRÖ} = 4,00

) hesaplanıp, ardından bu değer regresyonun etkinlik çarpanı olan

(1 - 0,36 = 0,64)

ile çarpılarak doğrudan sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 47Question →

Örnekleme araştırmalarında, kitle karakteristiklerinin tahmininde ek bilgi sağlayan yardımcı değişkenlerin ( $X$ ) kullanım amacı ve bu değişkenlerin sahip olması gereken özelliklerle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Yardımcı değişken ile ilgilenilen ana değişken (

Y

) arasındaki korelasyonun yüksek olması, tahmin edicinin varyansını azaltarak tahminin etkinliğini artırır.

Yardımcı değişkenin sadece örneklemdeki değerlerinin bilinmesi, oran ve regresyon tahminleyicilerinin yansız bir şekilde hesaplanması için yeterlidir.

Yardımcı değişken kullanımı, kitledeki tüm birimlerin tam sayımına olan ihtiyacı ortadan kaldırarak örnekleme hatasını tamamen yok eder.

Oran tahminleyicisi kullanıldığında, yardımcı değişken ile ana değişken arasındaki ilişkinin negatif olması tahminin doğruluğunu her zaman artırır.

Yardımcı değişkenin kitle ortalaması (

\bar{X}

) ile örneklem ortalaması (

\bar{x}

) arasındaki fark arttıkça tahminin etkinliği de artar.

Show answer & explanation

Answer: Yardımcı değişken ile ilgilenilen ana değişken ( $Y$ ) arasındaki korelasyonun yüksek olması, tahmin edicinin varyansını azaltarak tahminin etkinliğini artırır.

Answer

Yardımcı değişken ile ilgilenilen ana değişken arasındaki korelasyonun yüksek olması, tahmin edicinin varyansını azaltarak tahminin etkinliğini artırır.

Doğru ifade, yardımcı değişken ile ana değişken arasındaki yüksek korelasyonun tahminin etkinliğini artıracağını belirtmektedir. Örnekleme teorisinde yardımcı değişken (

X

) kullanımının temel motivasyonu,

X

hakkında sahip olduğumuz tam bilgiyi (kitle ortalaması gibi),

Y

değişkenine ait tahminlerdeki belirsizliği (varyansı) azaltmak için kullanmaktır. Aradaki korelasyon ne kadar güçlüyse,

X

'in

Y

üzerindeki açıklayıcı gücü o kadar artar ve tahminin standart hatası o kadar düşer.

Step-by-Step Solution

1

Yardımcı değişkenin (

X

) temel tanımını hatırla.

Yardımcı değişken, kitle toplamı (

X

) veya ortalaması (

\bar{X}

) bilinen ve tahmin edilmek istenen

Y

değişkeni ile ilişkili olan değişkendir.

Yöntemin uygulanabilirliği için öncelikle bu kitle bilgisinin mevcut olması gerekir.

2

Korelasyon ve varyans arasındaki ilişkiyi analiz et.

Oran veya regresyon tahminleyicilerinde hata terimi,

X

ve

Y

arasındaki korelasyon (

\rho_{xy}

) arttıkça azalır.

Değişkenler arasındaki güçlü ilişki,

X

üzerinden

Y

değerini daha isabetli 'düzeltmemize' olanak sağlar.

3

Etkinlik (Efficiency) kavramını değerlendir.

Daha düşük varyansa sahip olan tahmin edici 'daha etkin' (more efficient) kabul edilir.

Aynı örneklem hacmiyle daha küçük güven aralıkları ve daha hassas tahminler elde edilmesini sağlar.

Key Concept

Yardımcı değişkenin temel amacı, bilinen bir

X

bilgisi yardımıyla bilinmeyen

Y

parametresine ait tahminlerin varyansını (hata payını) düşürerek etkinliği artırmaktır.

Practice More

Regresyon tahminleyicisinin hangi koşullarda (doğrunun orijinden geçip geçmemesi gibi) oran tahminleyicisinden daha etkin olduğunu inceleyen sorular çözülebilir.

Estimated Time:1m 15s

Question 48Question →

Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla yardımcı değişken ( $x$ ) bilgisi kullanıldığında; oran tahminleyicisi ( $\bar{y}_R$ ) ve doğrusal regresyon tahminleyicisinin ( $\bar{y}_{lr}$ ) etkinlikleri ve özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Doğrusal regresyon tahminleyicisi, her durumda oran tahminleyicisinden daha büyük bir varyansa (daha düşük etkinliğe) sahiptir.

y

değişkeninin

x

değişkeni üzerindeki regresyonu orijinden (

0,0

) geçen bir doğru olduğunda, oran tahminleyicisi ile doğrusal regresyon tahminleyicisi yaklaşık olarak aynı etkinliğe sahip olur.

Oran tahminleyicisi (

\bar{y}_R

), kitle büyüklüğünden bağımsız olarak her zaman yansız (unbiased) bir tahminleyicidir.

Korelasyon katsayısı

\rho < \frac{C_x}{2C_y}

koşulunu sağladığında, oran tahminleyicisi doğrusal regresyon tahminleyicisinden daha etkin hale gelir.

Regresyon tahminleyicisi sadece yardımcı değişken (

x

) ile ilgilenilen değişken (

y

) arasında negatif bir korelasyon olduğunda kullanılabilir.

Show answer & explanation

Answer: $y$ değişkeninin $x$ değişkeni üzerindeki regresyonu orijinden ( $0,0$ ) geçen bir doğru olduğunda, oran tahminleyicisi ile doğrusal regresyon tahminleyicisi yaklaşık olarak aynı etkinliğe sahip olur.

Answer

İlgilenilen değişkenin yardımcı değişken üzerindeki regresyonu orijinden geçen bir doğru olduğunda, oran ve regresyon tahminleyicileri benzer etkinliğe sahiptir.

Oran tahminleyicisi,

y

ve

x

arasındaki ilişkinin orijinden geçen bir doğru olduğu varsayımına dayanır. Eğer gerçek kitle ilişkisi bu varsayıma uyuyorsa (yani regresyon doğrusunun sabit terimi sıfıra yakınsa), oran tahminleyicisi doğrusal regresyon tahminleyicisi kadar etkin sonuç verir. Regresyon tahminleyicisi ise sabit terim sıfır olmasa bile en iyi doğruyu bulduğu için daha genel ve esnektir.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicilerin varyans formüllerini karşılaştırın.

V(\bar{y}_{lr}) \approx \frac{1-f}{n} S_y^2 (1 - \rho^2)

ve

V(\bar{y}_R) \approx \frac{1-f}{n} (S_y^2 + R^2 S_x^2 - 2R \rho S_y S_x)

Varyans, tahminleyicinin etkinliğini belirleyen temel ölçüttür.

2

Regresyon doğrusunun sabit terimini (

a

) analiz edin.

y = a + bx

denkleminde

a=0

olduğunda

b = \bar{y}/\bar{x} = R

olur.

Oran tahminleyicisi, regresyon doğrusunun orijinden geçtiği (

a=0

) kısıtı altındaki bir regresyon tahminleyicisi gibi davranır.

3

Koşulları etkinlik açısından yorumlayın.

Doğru orijinden geçtiğinde (

a \approx 0

), regresyon katsayısı oran değerine eşitlenir ve her iki yöntemin hatası (varyansı) minimize edilir.

Bu durum, oran tahminleyicisinin en etkin olduğu ve regresyon tahminleyicisi ile çakıştığı teorik noktadır.

Key Concept

Oran ve Regresyon Tahminleyicileri Arasındaki İlişki

Practice More

Regresyon tahminleyicisinin yanlılık (bias) durumunu oran tahminleyicisi ile karşılaştıran soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Eğer regresyon doğrusu

y = a + bx

formunda ise ve

a

değeri anlamlı derecede sıfırdan farklıysa, regresyon tahminleyicisi her zaman oran tahminleyicisine tercih edilmelidir. Oran tahminleyicisi sadece

a \approx 0

olduğunda tercih edilebilir bir basitlik sunar.

Estimated Time:1m 30s

Question 49Question →

Bir araştırmacı, bir bölgedeki işletmelerin yıllık toplam cirolarını ( $Y$ ) tahmin etmek amacıyla, bu işletmelerin çalışan sayılarını ( $X$ ) yardımcı değişken olarak kullanmayı planlamaktadır. Örnekleme teorisine göre, araştırmacının bu yardımcı değişkeni ( $X$ ) kullanarak oran veya regresyon tahminleyicisi yardımıyla daha etkin bir sonuç elde edebilmesi için sağlaması gereken temel ön koşul ve kullanım amacı aşağıdakilerden hangisidir?

X

ile

Y

değişkenleri arasında güçlü bir korelasyon olması ve

X

değişkenine ait kitle parametresinin (

\bar{X}

veya

X_{toplam}

) tam olarak bilinmesiyle tahmin edicinin varyansını düşürmek

Yardımcı değişkenin sadece örneklem değerlerinin (

x_i

) bilinmesi yeterlidir ve temel amaç örnekleme araştırmasında ortaya çıkabilecek çerçeve veya cevapsızlık gibi örnekleme dışı hataları sistematik olarak gidermektir

Oran tahmini yapılabilmesi için

X

ve

Y

arasında bir ilişki olması zorunlu değildir;

X

değişkenine ait örneklem ortalamasının (

\bar{x}

) kullanılması tahminin yansızlığını garanti etmek için yeterlidir

Yardımcı değişkenin temel amacı örnekleme maliyetini düşürmektir; kitle bilgisinin bilinmesi sadece örnekleme çerçevesindeki birimlerin sıralanmasını sağlar

X

ve

Y

arasındaki korelasyon katsayısı (

\rho

) sıfıra yakın olsa dahi, ek bilgi kullanıldığı için bu yöntem her zaman basit rastgele örnekleme ile yapılan ortalama tahmininden daha düşük varyans verir

Show answer & explanation

Answer: $X$ ile $Y$ değişkenleri arasında güçlü bir korelasyon olması ve $X$ değişkenine ait kitle parametresinin ( $\bar{X}$ veya $X_{toplam}$ ) tam olarak bilinmesiyle tahmin edicinin varyansını düşürmek

Answer

Yardımcı değişken kullanımındaki temel beklenti, değişkenler arasındaki güçlü korelasyon ve bilinen kitle parametreleri sayesinde tahmin edicinin varyansını düşürerek etkinliği artırmaktır.

Doğru cevap, yardımcı değişkenlerin etkinliği artırmak (varyansı düşürmek) için kullanıldığını ve bunun için hem değişkenler arası güçlü bir ilişkiye hem de kitle düzeyinde kesin bilgiye ihtiyaç duyulduğunu ifade etmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Değişken rollerini tanımlama

Y

: İlgilenilen (tahmin edilecek) değişken,

X

: Yardımcı (ek bilgi sağlayan) değişken.

Tahmin sürecinde hangi bilginin asıl, hangisinin yardımcı olduğunu belirlemek gerekir.

2

Gerekli ön bilgiyi belirleme

X

değişkenine ait kitle ortalaması (

\bar{X}

) veya kitle toplamı (

X

) tam olarak bilinmelidir.

Oran (

\hat{y}_R = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}\bar{X}

) veya regresyon tahminleyicileri bu kitle bilgisi olmadan hesaplanamaz.

3

İlişki şartını değerlendirme

X

ve

Y

arasında yüksek bir korelasyon (

\rho

) olmalıdır.

Varyansın azalması ve tahminin etkinliğinin artması, iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücüne bağlıdır.

4

Amacı sonuçlandırma

Tahmin edicinin varyansını (

V(\hat{y})

) basit rastgele örneklemeye göre minimize etmek.

İstatistikte daha düşük varyans, daha yüksek hassasiyet ve etkinlik anlamına gelir.

Key Concept

Yardımcı değişkenlerin kullanım amacı, kitle parametresi bilinen ve ilgilenilen değişkenle ilişkili bir

X

değişkeni kullanarak tahmin edicinin varyansını azaltmaktır.

Practice More

Oran tahminleyicisinin hangi korelasyon düzeyinden (

\rho > C_v(x)/2C_v(y)

) sonra basit rastgele örneklemeden daha etkin olduğunu inceleyiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 50Question →

Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle oranı ( $R = \bar{Y} / \bar{X}$ ) tahmini için kullanılan oran tahminleyicisinin ( $\hat{R} = \bar{y} / \bar{x}$ ) yanlılık (bias) ve varyans (hata karesi ortalaması) özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Oran tahminleyicisi, örneklem hacmi (

n

) ne olursa olsun her zaman kitle parametresi

R

için tam yansız bir tahminleyicidir.

Oran tahminleyicisinin varyansı, yardımcı değişken (

x

) ile ilgilenilen değişken (

y

) arasındaki korelasyon katsayısı (

\rho

) arttıkça artma eğilimi gösterir.

Oran tahminleyicisi genellikle yanlı bir tahminleyicidir ancak bu yanlılık örneklem hacmi (

n

) arttıkça azalır ve tahminleyici asimptotik olarak yansız hale gelir.

İadesiz basit rastgele örnekleme kullanıldığında, oran tahminleyicisinin varyans formülünde sonlu kitle düzeltme çarpanı (

1-f

) dikkate alınmaz.

Oran tahminleyicisinin yanlılığı, kitle varyansından (

S^2

) bağımsız olup sadece örnekleme hatasına bağlıdır.

Show answer & explanation

Answer: Oran tahminleyicisi genellikle yanlı bir tahminleyicidir ancak bu yanlılık örneklem hacmi ( $n$ ) arttıkça azalır ve tahminleyici asimptotik olarak yansız hale gelir.

Answer

Oran tahminleyicisi genellikle yanlıdır ve bu yanlılık örneklem hacmi arttıkça azalarak asimptotik yansızlığa dönüşür.

Doğru ifade, oran tahminleyicisinin doğası gereği yanlı bir tahminleyici olduğunu ve bu yanlılığın örneklem hacmi (

n

) ile ters orantılı olarak azaldığını (asimptotik yansızlık) belirtir. İstatistiksel literatürde oran tahminleyicisinin yanlılığı

O(1/n)

olarak ifade edilir, bu da örneklem büyüdükçe yanlılığın hızla sıfıra yaklaştığı anlamına gelir.

Step-by-Step Solution

1

Oran tahminleyicisinin tanımını analiz etme

\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}

Tahminleyicinin yapısı, pay ve paydadaki değişkenlerin oranı şeklinde olduğu için doğrusal değildir.

2

Yanlılık özelliğini değerlendirme

Bias(\hat{R}) \approx \frac{1-f}{n\bar{X}^2} (R S_x^2 - \rho S_x S_y)

Yanlılık terimi paydada

n

içerir, bu da yanlılığın

1/n

ile orantılı olduğunu gösterir.

3

Asimptotik durumu yorumlama

n \to \infty

iken

Bias(\hat{R}) \to 0

Örneklem hacmi büyüdükçe yanlılık terimi küçülür, bu özelliğe asimptotik yansızlık denir.

Key Concept

Oran tahminleyicisi doğrusal olmayan bir yapıda olduğu için küçük örneklemlerde yanlıdır, ancak örneklem hacmi arttıkça bu yanlılık azalır.

Practice More

Oran tahminleyicisinin regresyon tahminleyicisi ile karşılaştırıldığı durumları ve etkinlik koşullarını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 51Question →

Kitle ortalamasının tahmininde yardımcı değişken ( $x$ ) bilgisinin kullanıldığı bir araştırmada; basit rastgele örnekleme ortalaması ( $\bar{y}$ ), oran tahminleyicisi ( $\bar{y}_R$ ) ve doğrusal regresyon tahminleyicisi ( $\bar{y}_{lr}$ ) karşılaştırılmaktadır.

İlgilenilen değişken ( $y$ ) ve yardımcı değişken ( $x$ ) için hesaplanan istatistikler şu şekildedir:
- Değişim katsayıları: $C_x = 0,50$ ve $C_y = 0,50$
- Korelasyon katsayısı: $\rho = 0,40$

Bu bilgilere göre; söz konusu üç tahminleyicinin varyanslarının küçüklüğüne (etkinliklerine) dayalı olarak en etkin olandan en az etkin olana doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

\bar{y}_{lr} > \bar{y} > \bar{y}_R

\bar{y}_{lr} > \bar{y}_R > \bar{y}

\bar{y}_R > \bar{y}_{lr} > \bar{y}

\bar{y} > \bar{y}_{lr} > \bar{y}_R

\bar{y}_R > \bar{y} > \bar{y}_{lr}

Show answer & explanation

Answer: $\bar{y}_{lr} > \bar{y} > \bar{y}_R$

Answer

Verilen istatistiklere göre tahminleyicilerin etkinlik sıralaması

\bar{y}_{lr} > \bar{y} > \bar{y}_R

şeklindedir.

Doğrusal regresyon tahminleyicisi, yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasında bir korelasyon (

ρ = 0,40

) olduğu için basit ortalamadan daha etkindir. Ancak oran tahminleyicisinin basit ortalamadan daha etkin olması için gereken

ρ > C_x / 2C_y

koşulu (

0,40 > 0,50

) sağlanmadığı için oran tahminleyicisi basit ortalamadan daha az etkin kalmaktadır. Bu durum, regresyon tahminleyicisinin en etkin, oran tahminleyicisinin ise en az etkin olduğu bir sıralama doğurur.

Step-by-Step Solution

1

Oran tahminleyicisinin basit ortalamadan daha etkin olma koşulunu kontrol edin.

\rho > \frac{C_x}{2C_y} \Rightarrow 0,40 > \frac{0,50}{2(0,50)} \Rightarrow 0,40 > 0,50

(Bu koşul sağlanmaz).

Oran tahminleyicisinin varyansı, ancak korelasyon katsayısı bu kritik eşik değerini aştığında basit ortalamanın varyansından daha küçük olur.

2

Doğrusal regresyon tahminleyicisinin basit ortalamaya göre etkinliğini hesaplayın.

V(\bar{y}_{lr}) \approx V(\bar{y})(1 - \rho^2) = V(\bar{y})(1 - 0,40^2) = 0,84 V(\bar{y})

.

Regresyon tahminleyicisi, değişkenler arasında herhangi bir doğrusal ilişki (

ρ ≠ 0

) olduğu sürece basit ortalamadan daha etkin bir tahmin sunar.

3

Üç tahminleyicinin göreli varyanslarını karşılaştırarak sıralayın.

Varyanslar:

V(\bar{y}_{lr}) = 0,84 V(\bar{y})

,

V(\bar{y}) = 1,00 V(\bar{y})

,

V(\bar{y}_R) = V(\bar{y})(1 + 1^2 - 2 \cdot 0,4 \cdot 1) = 1,20 V(\bar{y})

.

Varyans ne kadar küçükse etkinlik o kadar yüksektir. Bu durumda

0,84 < 1,00 < 1,20

olduğundan en etkin olan regresyon, en az etkin olan ise oran tahminleyicisidir.

Key Concept

Tahminleyici Etkinliği ve Koşullar

Question 52Question →

Bir üretim tesisinde bulunan $N = 200$ adet makinenin günlük toplam enerji tüketimi ( $Y$ ), yardımcı değişken olarak makinelerin çalışma süresi ( $X$ ) kullanılarak oran tahminleyicisi yöntemiyle tahmin edilmek istenmektedir. Tesisteki tüm makinelerin günlük toplam çalışma süresinin $\tau_x = 1.000$ saat olduğu bilinmektedir. Rasgele seçilen $n = 25$ makinelik bir örneklemde elde edilen veriler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Parametre	Değer
Kitle Büyüklüğü ( $N$ )	200
Örneklem Büyüklüğü ( $n$ )	25
Kitle Yardımcı Değişken Toplamı ( $\tau_x$ )	1.000 saat
Örneklem Yardımcı Değişken Ortalaması ( $\bar{x}$ )	4 saat
Örneklem İlgilenilen Değişken Ortalaması ( $\bar{y}$ )	20 kWh

Buna göre, oran tahminleyicisi kullanılarak tesisin günlük toplam enerji tüketimi ( $\hat{\tau}_{y, oran}$ ) kaç kWh olarak tahmin edilir?

5.000

4.000

200

25

20

Show answer & explanation

Answer: 5.000

Answer

Oran tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan kitle toplam enerji tüketimi 5.000 kWh'tır.

Oran tahminleyicisi yönteminde, kitle toplamı

\hat{\tau}_{y, oran} = (\bar{y} / \bar{x}) \cdot \tau_x

formülü ile hesaplanır. Verilen değerler yerine konduğunda

(20 / 4) \cdot 1.000 = 5.000

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem verilerini kullanarak oran (

\hat{R}

) tahminini hesaplayınız.

\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} = \frac{20}{4} = 5

Oran tahminleyicisi, ilgilenilen değişkenin yardımcı değişkene olan oranına dayanır.

2

Hesaplanan oranı kitledeki yardımcı değişken toplamı (

\tau_x

) ile çarparak kitle toplamını tahmin ediniz.

\hat{\tau}_{y, oran} = \hat{R} \times \tau_x = 5 \times 1.000 = 5.000

Kitle toplamı tahmini, örneklemden elde edilen oranın tüm kitleye genişletilmesiyle bulunur.

Key Concept

Oran tahminleyicisi ile kitle toplamı tahmini, ilgilenilen değişken (

y

) ile yardımcı değişken (

x

) arasındaki doğrusal ve orijinden geçen ilişkiyi kullanarak daha etkin tahminler yapmayı sağlar.

Hints

1

Önce enerji tüketiminin çalışma süresine olan oranını bulmayı deneyin.

2

Hesapladığınız bu birim oranı, tüm makinelerin toplam çalışma süresi ile çarparak genel sonuca ulaşabilirsiniz.

3

Formül: Toplam Tahmini = (Örneklem Y Ortalaması / Örneklem X Ortalaması) * Kitle X Toplamı

Practice More

Eğer bu tahminin varyansını hesaplamanız istenseydi, iadesiz seçim yapıldığı için SKD çarpanını kullanmanız gerekeceğini unutmayınız.

Alternative Method

Önce kitle yardımcı değişken ortalamasını (

\mu_x = \tau_x / N = 1000 / 200 = 5

) hesaplayıp, sonra kitle ortalaması tahminini (

\hat{\mu}_{y, oran} = \hat{R} \cdot \mu_x = 5 \cdot 5 = 25

) bulabilir ve en son bu değeri

N=200

ile çarparak toplama ulaşabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 53Question →

Örnekleme çalışmalarında, kitle ortalaması veya toplamı gibi parametrelerin tahmininde hassasiyeti artırmak amacıyla ilgilenilen $Y$ değişkeni ile ilişkili bir $X$ yardımcı değişkeninden yararlanılır. Bu amaçla kullanılan oran ve regresyon tahminleyicilerinin, basit rastgele örnekleme tahminleyicilerine göre daha etkin (düşük varyanslı) sonuçlar verebilmesi için belirli koşulların sağlanması gerekir.

Buna göre, yardımcı değişken kullanımı ve tahmin etkinliği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Yardımcı değişkenin kitle ortalaması veya toplamı gibi karakteristiklerinin tam olarak bilinmesi ve ilgilenilen değişkenle aralarında güçlü bir ilişki bulunması, tahminin varyansını düşürerek etkinliği artırır.

Yardımcı değişkenin sadece seçilen örneklem birimleri için değerlerinin derlenmiş olması, oran veya regresyon tahminleyicisi ile kitle parametrelerini tahmin etmek için yeterli bir veri setidir.

Tahmin varyansının azalması ve yöntemin etkinliğinin artması için ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki korelasyon katsayısının (

r_{xy}

) sıfıra yakın olması en ideal durumdur.

Yardımcı değişken kullanımı, örnekleme çerçevesinden kaynaklanan hataları ve cevap vermeme yanlılığını (örnekleme dışı hatalar) tamamen ortadan kaldırmayı hedefler.

Regresyon tahminleyicisi, sadece yardımcı değişkenin varyansının ilgilenilen değişkenin varyansından daha büyük olduğu durumlarda basit rastgele örneklemeden daha etkin sonuç verir.

Show answer & explanation

Answer: Yardımcı değişkenin kitle ortalaması veya toplamı gibi karakteristiklerinin tam olarak bilinmesi ve ilgilenilen değişkenle aralarında güçlü bir ilişki bulunması, tahminin varyansını düşürerek etkinliği artırır.

Answer

Yardımcı değişkenin kitle karakteristiklerinin tam olarak bilinmesi ve ilgilenilen değişkenle aralarında güçlü bir ilişki (korelasyon) bulunması, tahminin etkinliğini artıran temel koşuldur.

Yardımcı değişken kullanımının temel mantığı, kitle düzeyinde tam olarak bilinen bir

X

bilgisini kullanarak

Y

tahminini iyileştirmektir. Bunun için

X

'in kitle parametrelerinin (toplam veya ortalama) önceden bilinmesi ve

Y

ile arasında (tercihen güçlü) bir ilişkinin olması gerekir. Bu şartlar altında oran veya regresyon tahminleyicileri, basit tahminleyicilere göre daha küçük varyans üretir.

Step-by-Step Solution

1

Yardımcı değişkenin (

X

) temel tanımını hatırla.

İlgilenilen

Y

değişkeni ile yüksek korelasyona sahip ve kitle karakteristikleri (

\bar{X}

veya

X

) tam olarak bilinen değişkendir.

Yardımcı değişkenin kitle bilgisi bilinmeden oran veya regresyon düzeltmesi yapılamaz.

2

Tahmin etkinliği (efficiency) kavramını analiz et.

Bir tahminleyicinin varyansının diğerinden küçük olması durumudur.

Daha düşük varyans, daha dar güven aralığı ve daha hassas tahmin demektir.

3

Korelasyonun etkisini değerlendir.

X

ve

Y

arasındaki ilişki güçlendikçe (korelasyon arttıkça), oran veya regresyon tahminleyicisinin varyansı basit rastgele örnekleme varyansının altına düşer.

Yüksek ilişki,

X

üzerinden

Y

hakkında daha fazla bilgi edinilmesini sağlar.

Key Concept

Yardımcı Değişkenin Tanımı ve Tahmin Etkinliği Şartları

Practice More

Oran tahminleyicisinin basit rastgele örneklemeden daha etkin olması için gereken

r > \frac{C_x}{2C_y}

koşulunu inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 54Question →

Bir kamu kurumu, iki farklı bölgeden (Tabaka 1 ve Tabaka 2) oluşan bir kitlede ortalama işletme giderini ( $Y$ ) tahmin etmek amacıyla tabakalı örnekleme yöntemini kullanmaktadır. Yardımcı değişken olarak çalışan sayısı ( $X$ ) seçilmiş ve her tabaka için kitle ortalaması ( $\bar{X}_h$ ) bilinmektedir. Örneklem sonuçlarına göre aşağıdaki bilgiler elde edilmiştir:

Değerler	Tabaka 1 ( $h=1$ )	Tabaka 2 ( $h=2$ )
Tabaka Ağırlığı ( $W_h$ )	$0,60$	$0,40$
Kitle Ortalaması ( $\bar{X}_h$ )	$100$	$150$
Örneklem Ortalaması ( $\bar{x}_h$ )	$95$	$155$
Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	$450$	$600$
Regresyon Katsayısı ( $b_h$ )	$4$	$3$

Bu bilgilere göre, ayrı regresyon tahminleyicisi (separate regression estimator) kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini kaçtır?

516

510

527,5

504

495

Show answer & explanation

Answer: 516

Answer

Ayrı regresyon tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini 516 birimdir.

Ayrı regresyon tahminleyicisi yönteminde, her tabaka için

\bar{y}_{lr,h} = \bar{y}_h + b_h(\bar{X}_h - \bar{x}_h)

formülü uygulanarak o tabakaya özgü düzeltilmiş değer bulunur. Tabaka 1 için bu değer

470

, Tabaka 2 için ise

585

olarak hesaplanır. Kitle ortalaması tahmini ise bu değerlerin kitle ağırlıklarıyla (

0,60

ve

0,40

) çarpılıp toplanmasıyla elde edilen

516

değeridir.

Step-by-Step Solution

1

Tabaka 1 için regresyon tahminini (

\bar{y}_{lr,1}

) hesaplayınız.

\bar{y}_{lr,1} = \bar{y}_1 + b_1(\bar{X}_1 - \bar{x}_1) = 450 + 4(100 - 95) = 450 + 20 = 470

Ayrı regresyon tahminleyicisinde her tabaka kendi regresyon katsayısı ve yardımcı değişken ortalaması kullanılarak düzeltilir.

2

Tabaka 2 için regresyon tahminini (

\bar{y}_{lr,2}

) hesaplayınız.

\bar{y}_{lr,2} = \bar{y}_2 + b_2(\bar{X}_2 - \bar{x}_2) = 600 + 3(150 - 155) = 600 - 15 = 585

İkinci tabaka için kitle ortalaması örneklem ortalamasından küçük olduğu için regresyon düzeltmesi negatif yönde gerçekleşir.

3

Elde edilen tabaka tahminlerini tabaka ağırlıklarıyla çarparak genel kitle ortalaması tahminini bulunuz.

\bar{y}_{lr,s} = W_1 \bar{y}_{lr,1} + W_2 \bar{y}_{lr,2} = 0,60(470) + 0,40(585) = 282 + 234 = 516

Tabakalı örneklemede kitle parametresinin genel tahmini, her bir tabakadan gelen tahminlerin ağırlıklı toplamına eşittir.

Key Concept

Ayrı regresyon tahminleyicisi, her tabakanın regresyon katsayısının farklı olduğu durumlarda daha etkin sonuçlar verir ve her tabaka için bağımsız olarak hesaplanan tahminlerin ağırlıklı ortalanmasıyla elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 55Question →

Bir kamu kurumu, belirli bir bölgedeki tarım işletmelerinin yıllık toplam buğday üretim miktarını ( $Y$ ) tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla, kurumun elindeki güncel kayıtlardan her bir işletmenin 'toplam ekili tarım alanı' ( $X$ ) bilgisine ulaşılabilmektedir. Üretim miktarı ile ekili alan arasında güçlü ve doğrusal bir ilişki olduğu bilindiğine göre, bu araştırmada ekili alan bilgisinin bir yardımcı değişken olarak oran veya regresyon tahminleyicilerinde kullanılmasıyla temel olarak aşağıdakilerden hangisi hedeflenmektedir?

Tahmin edicinin varyansını azaltarak örnekleme hatasını küçültmek ve tahminin etkinliğini artırmak

Örnekleme çerçevesindeki birimlerin seçim olasılıklarını eşitleyerek örnekleme dışı hataları tamamen ortadan kaldırmak

İlgilenilen üretim miktarı (

Y

) yerine sadece ekili alan (

X

) verilerini gözlemleyerek veri derleme maliyetini sıfıra indirmek

Kitledeki birim sayısını (

N

) teorik olarak artırarak örneklemin temsil yeteneğini ve güven düzeyini geliştirmek

Parametre ve istatistik arasındaki farkı sadece değişkenlerin yönüne bakarak hesaplamak ve hipotez testlerini kolaylaştırmak

Show answer & explanation

Answer: Tahmin edicinin varyansını azaltarak örnekleme hatasını küçültmek ve tahminin etkinliğini artırmak

Answer

Yardımcı değişken kullanmanın temel amacı, tahmin edicinin varyansını azaltarak tahminin etkinliğini ve hassasiyetini artırmaktır.

Doğru cevap, yardımcı değişken kullanımının en temel amacı olan tahmin edicinin varyansını azaltarak örnekleme hatasını küçültmek ve tahminin etkinliğini artırmaktır. Örnekleme teorisinde, eğer yardımcı değişken (

X

) ile ilgilenilen değişken (

Y

) arasında yüksek korelasyon varsa ve

X

'in kitle parametreleri tam olarak biliniyorsa, oran veya regresyon tahminleyicileri kullanılarak çok daha dar güven aralıkları ve daha yüksek hassasiyet elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Yardımcı değişken (

X

) ve ilgilenilen değişken (

Y

) arasındaki ilişkiyi tanımla.

Buğday üretimi (

Y

) ile ekili alan (

X

) arasında güçlü ve doğrusal bir ilişki vardır.

Yardımcı değişkenin etkin olabilmesi için ana değişkenle yüksek korelasyona sahip olması gerekir.

2

Kitle bilgisi gerekliliğini kontrol et.

İşletmelerin ekili alan bilgisi (

X

) kitle düzeyinde (geçmiş kayıtlar) bilinmektedir.

Oran ve regresyon tahminleyicileri, yardımcı değişkenin kitle toplamı (

X

) veya ortalamasının (

\bar{X}

) bilinmesini gerektirir.

3

Tahminleme yönteminin istatistiksel sonucunu belirle.

Bilinen

X

bilgisi kullanılarak

Y

tahmini yapılırsa, sadece

Y

değerlerine dayanan basit tahminleyiciye göre daha düşük varyans elde edilir.

İlişkili ek bilgi kullanımı, tahmin edicinin kitle parametresi etrafındaki yayılımını (hata payını) azaltır.

Key Concept

Örnekleme araştırmalarında yardımcı değişken kullanımı, ilgilenilen değişkenle olan korelasyonu ve kitle bilgisini kullanarak tahmin varyansını düşürmeyi (etkinliği artırmayı) hedefler.

Hints

1

Yardımcı değişkenler, ilgilenilen ana değişken ile ilişkili (korelasyonlu) olan ve kitle bilgisi önceden bilinen değişkenlerdir.

2

Bu değişkenlerin kullanılmasındaki temel motivasyon, tahminin doğruluğunu (hassasiyetini) iyileştirmektir.

3

İstatistikte tahmin hassasiyetinin artması, doğrudan tahmin edicinin varyansının küçülmesi anlamına gelir.

Practice More

Oran tahminleyicisinin hangi korelasyon düzeyinden sonra basit ortalama tahminleyicisinden daha etkin olduğunu (

\rho > C_x / 2C_y

kuralı) inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 15s

Question 56Question →

Bir kamu denetleme kurulu, iki farklı sosyo-ekonomik gelişmişlik düzeyindeki belediyelerden (Tabaka 1 ve Tabaka 2) oluşan bir kitlede ortalama yıllık hizmet maliyetini ( $Y$ ) tahmin etmek istemektedir. Yardımcı değişken olarak belediye nüfusları ( $X$ ) belirlenmiştir. Kitledeki tabaka ağırlıkları ve yapılan örnekleme sonucu elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur (Değerler bin TL ve bin kişi cinsinden ifade edilmiştir):

Belediye Grubu	Tabaka Ağırlığı ( $W_h$ )	Kitle Nüfus Ortalaması ( $\bar{X}_h$ )	Örneklem Nüfus Ortalaması ( $\bar{x}_h$ )	Örneklem Maliyet Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	Regresyon Katsayısı ( $b_h$ )
Tabaka 1	$0,4$	$500$	$480$	$1200$	$2,0$
Tabaka 2	$0,6$	$50$	$55$	$150$	$1,5$

Buna göre, ayrı regresyon tahminleyicisi (separate regression estimator) kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini (bin TL) aşağıdakilerden hangisidir?

558,5

570,0

579,0

581,5

691,25

Show answer & explanation

Answer: 581,5

Answer

Ayrı regresyon tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini 581,5 bin TL'dir.

Ayrı regresyon tahminleyicisi formülü

\bar{y}_{rs} = \sum W_h [\bar{y}_h + b_h(\bar{X}_h - \bar{x}_h)]

şeklindedir. Tabaka 1 için düzeltilmiş değer

1240

, Tabaka 2 için ise

142,5

olarak hesaplanır. Bu değerlerin

0,4

ve

0,6

ağırlıklarıyla toplamı olan

581,5

doğru sonucu verir.

Step-by-Step Solution

1

Tabaka 1 için regresyon düzeltmesi uygulanmış ortalamayı hesaplayın.

\bar{y}_{1, reg} = 1200 + 2,0 \times (500 - 480) = 1200 + 40 = 1240

Ayrı regresyon tahminleyicisinde her tabaka kendi yardımcı değişken bilgisiyle düzeltilir.

2

Tabaka 2 için regresyon düzeltmesi uygulanmış ortalamayı hesaplayın.

\bar{y}_{2, reg} = 150 + 1,5 \times (50 - 55) = 150 - 7,5 = 142,5

Tabaka 2'de örneklem ortalaması kitle ortalamasından büyük olduğu için tahmin aşağı yönlü düzeltilir.

3

Düzeltilmiş tabaka ortalamalarını tabaka ağırlıklarıyla ağırlıklandırarak genel tahmini bulun.

\bar{y}_{rs} = (0,4 \times 1240) + (0,6 \times 142,5) = 496 + 85,5 = 581,5

Kitle ortalaması tahmini, tabakalı örnekleme ilkesi gereği tabaka tahminlerinin ağırlıklı toplamıdır.

Key Concept

Ayrı Regresyon Tahminleyicisi (Separate Regression Estimator)

Hints

1

Önce her bir tabaka için ayrı ayrı regresyon düzeltmesi yapılmış ortalamaları (

\bar{y}_{h, reg}

) hesaplayarak başlayın.

2

Regresyon düzeltmesi için

\bar{y}_h + b_h(\bar{X}_h - \bar{x}_h)

formülünü kullanın. Örneklem ortalaması kitle ortalamasından küçükse (

x

için), tahminin yukarı çekileceğini unutmayın.

3

Bulduğunuz düzeltilmiş tabaka ortalamalarını

0,4

ve

0,6

katsayıları ile çarparak toplayın.

Practice More

Aynı verileri kullanarak 'Birleşik Regresyon Tahminleyicisi' (combined regression estimator) ile kitle ortalamasını hesaplamayı deneyin ve aradaki farkı yorumlayın.

Estimated Time:2m 0s

Question 57Question →

Tabakalı rastgele örnekleme tasarımında, kitle oranının tahmini için kullanılan birleşik oran tahminleyicisi ( $\hat{R}_c$ ) ve ayrı oran tahminleyicisi ( $\hat{R}_s$ ) ile ilgili olarak; her bir tabakadaki örneklem hacminin ( $n_h$ ) küçük olduğu durumlarda birleşik oran tahminleyicisinin ayrı oran tahminleyicisine tercih edilmesinin temel gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?

Ayrı oran tahminleyicisindeki toplam yanlılığın, her tabakadan gelen yanlılıkların birikmesi sonucu birleşik tahminleyiciye göre daha yüksek olma riskidir.

Tabaka oranlarının (

R_h

) birbirinden önemli ölçüde farklılık göstermesi durumunda birleşik oran tahminleyicisinin varyansının daha düşük çıkmasıdır.

Birleşik oran tahminleyicisinin, küçük örneklemlerde bile her zaman tam yansız (unbiased) bir sonuç ürettiğinin varsayılmasıdır.

Yardımcı değişkenin kitle ortalamasının (

\bar{X}

) bilinmediği durumlarda birleşik oran tahminleyicisinin matematiksel olarak daha kolay hesaplanabilmesidir.

Birleşik oran tahminleyicisinin hesaplanmasında tabaka ağırlıklarının (

W_h

) kullanılmasının varyansı her durumda minimize etmesidir.

Show answer & explanation

Answer: Ayrı oran tahminleyicisindeki toplam yanlılığın, her tabakadan gelen yanlılıkların birikmesi sonucu birleşik tahminleyiciye göre daha yüksek olma riskidir.

Answer

Ayrı oran tahminleyicisindeki toplam yanlılığın, her tabakadan gelen yanlılıkların birikmesi sonucu birleşik tahminleyiciye göre daha yüksek olma riskidir.

Ayrı oran tahminleyicisi, her bir tabaka için ayrı oranlar hesaplayıp bunları ağırlıklı topladığı için, her tabakadaki küçük örneklem hacminden kaynaklanan yanlılıklar birikir. Birleşik oran tahminleyicisinde ise oran, tabakalı ortalamaların birbirine bölünmesiyle (

\bar{y}_{st} / \bar{x}_{st}

) tek seferde hesaplanır ve yanlılığı toplam örneklem büyüklüğüne bağlıdır. Bu nedenle küçük tabaka hacimlerinde birleşik tahminleyici daha az yanlılık riski taşır.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicilerin Yanlılık Özelliklerini İnceleme

Oran tahminleyicileri (

\hat{R} = \bar{y}/\bar{x}

) genel olarak yanlı tahminleyicilerdir ve yanlılık miktarı yaklaşık olarak

1/n

ile orantılıdır.

Yanlılığın örneklem hacmiyle olan ilişkisini anlamak tercihin temelini oluşturur.

2

Ayrı Oran Tahminleyicisinin (

\hat{R}_s

) Yanlılığını Analiz Etme

Ayrı tahminleyicide toplam yanlılık, her tabaka için hesaplanan yanlılıkların toplamıdır:

Bias(\hat{R}_s) \approx \sum W_h Bias(\hat{R}_h)

.

Her tabakadaki

n_h

küçükse, her bir

\hat{R}_h

yüksek yanlılığa sahip olabilir ve bu yanlılıklar birleşerek toplamda büyük bir hata oluşturabilir.

3

Birleşik Oran Tahminleyicisinin (

\hat{R}_c

) Yanlılığını Analiz Etme

Birleşik tahminleyicide yanlılık, toplam örneklem hacmi

n

'e bağlıdır.

n = \sum n_h

değeri her bir

n_h

'den daha büyük olduğu için toplam yanlılık daha küçüktür.

Toplam örneklem hacmi yeterince büyükse (

n \geq 30

gibi), tabakalar küçük olsa bile birleşik tahminleyici daha güvenilirdir.

Key Concept

Tabakalı örneklemede ayrı ve birleşik oran tahminleyicilerinin yanlılık ve etkinlik karşılaştırması.

Estimated Time:1m 30s

Question 58Question →

Bir eğitim araştırma merkezi, bir ildeki öğrencilerin matematik sınav puanlarının ( $Y$ ) kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla tabakalı örnekleme yöntemini kullanmıştır. Yardımcı değişken olarak öğrencilerin haftalık matematik çalışma süreleri ( $X$ ) belirlenmiş ve il, okul türlerine göre iki tabakaya ayrılmıştır. Tabakalara ilişkin bilgiler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Değişken / Parametre	Tabaka 1	Tabaka 2
Kitle büyüklüğü ( $N_h$ )	100	400
Örneklem ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	80	60
Örneklem ortalaması ( $\bar{x}_h$ )	20	15
Kitle ortalaması ( $\bar{X}_h$ )	22	17
Regresyon katsayısı ( $b_h$ )	2	3

Bu verilere göre, kitle ortalaması için ayrı regresyon tahminleyicisi (separate regression estimator) değeri kaçtır?

69,6

75,0

64,0

70,0

58,4

Show answer & explanation

Answer: 69,6

Answer

Ayrı regresyon tahminleyicisi değeri 69,6 olarak hesaplanır.

69,6 değeri doğrudur; çünkü tabaka ağırlıkları (0,2 ve 0,8) ile her tabaka için ayrı ayrı hesaplanan regresyon tahminlerinin (84 ve 66) çarpımlarının toplamı bu sonucu vermektedir.

Step-by-Step Solution

1

Kitle büyüklüğünü (

N

) ve her tabaka için kitle ağırlığını (

W_h

) hesaplayınız.

N = 100 + 400 = 500

;

W_1 = 100/500 = 0,2

ve

W_2 = 400/500 = 0,8

.

Tabakalı tahminleyicilerde her tabakanın kitledeki temsil oranının belirlenmesi gerekir.

2

Her tabaka için ayrı regresyon tahminlerini (

\bar{y}_{rh}

) hesaplayınız.

Tabaka 1:

\bar{y}_{r1} = 80 + 2(22 - 20) = 84

; Tabaka 2:

\bar{y}_{r2} = 60 + 3(17 - 15) = 66

.

Ayrı regresyon tahminleyicisi, her tabaka için yardımcı değişken bilgisini kullanarak ayrı bir düzeltme yapar.

3

Tabaka tahminlerini ağırlıklandırarak kitle ortalaması tahminine (

\bar{y}_{rs}

) ulaşınız.

\bar{y}_{rs} = (0,2 \times 84) + (0,8 \times 66) = 16,8 + 52,8 = 69,6

.

Genel tahminleyici, tabaka tahminleyicilerinin ağırlıklı toplamına eşittir.

Key Concept

Tabakalı örneklemede ayrı regresyon tahminleyicisi, her tabaka için regresyon katsayısının farklı olduğu veya yardımcı değişken ortalamasının tabaka bazında bilindiği durumlarda kullanılan etkin bir yöntemdir.

Estimated Time:2m 0s

Question 59Question →

Tabakalı rastgele örnekleme tasarımında, her bir tabakadaki örneklem birim sayısının ( $n_h$ ) oldukça küçük olduğu bir kitlede çalışma yapılmaktadır. Kitle oranını ( $R$ ) tahmin etmek amacıyla "birleşik oran tahminleyicisi" ( $\hat{R}_c$ ) kullanılmasının, "ayrı oran tahminleyicisi"ne ( $\hat{R}_s$ ) göre daha uygun görülmesinin temel gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?

Her bir tabakadaki küçük örneklem hacimlerinden kaynaklanan yanlılık (bias) miktarının, birleşik tahminleyicide ayrı tahminleyiciye göre daha az olma eğiliminde olması.

Tabaka oranlarının (

R_h

) birbirinden çok farklı olduğu durumlarda birleşik tahminleyicinin varyansının daima daha küçük çıkması.

Birleşik oran tahminleyicisinin hesaplanmasında tabaka ağırlıklarına (

W_h

) ve tabaka ortalamalarına ihtiyaç duyulmaması.

Varyans tahmini yapılırken sonlu kitle düzeltme çarpanının (SKD) sadece birleşik tahminleyicide devre dışı bırakılması.

Doğrusal regresyon katsayısının (

b

) her tabaka için ayrı ayrı hesaplanmasının zorunlu olması.

Show answer & explanation

Answer: Her bir tabakadaki küçük örneklem hacimlerinden kaynaklanan yanlılık (bias) miktarının, birleşik tahminleyicide ayrı tahminleyiciye göre daha az olma eğiliminde olması.

Answer

Birleşik oran tahminleyicisinin seçilmesinin temel nedeni, özellikle küçük tabaka örneklem hacimlerinde (

n_h

) ayrı oran tahminleyicisinin toplam yanlılığının (bias) birleşik tahminleyiciye göre çok daha yüksek olma riskidir.

Oran tahminleyicileri asimptotik olarak yansızdır, yani küçük örneklemlerde yanlılık (bias) içerirler. Ayrı oran tahminleyicisinde (

\hat{R}_s

) her bir tabaka için ayrı bir oran hesaplandığından, her tabakadaki yanlılık birikir (

L

tabaka varsa toplam yanlılık yaklaşık

L

kat artar). Birleşik oran tahminleyicisi (

\hat{R}_c

) ise kitle ortalamalarının oranına dayandığı için bu birikimli yanlılık etkisinden daha az etkilenir; bu nedenle küçük tabaka hacimlerinde daha güvenilirdir.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicilerin yapılarını tanımlama

Birleşik oran tahminleyicisi:

\hat{R}_c = \frac{\bar{y}_{st}}{\bar{x}_{st}}

, Ayrı oran tahminleyicisi:

\hat{R}_s = \sum W_h \frac{\bar{y}_h}{\bar{x}_h}

Her iki tahminleyicinin matematiksel farkını anlamak.

2

Yanlılık (Bias) analizini değerlendirme

Ayrı oran tahminleyicisinin yanlılığı

L

(tabaka sayısı) ile doğru orantılıdır; birleşik tahminleyicide ise bu bağımlılık yoktur.

Küçük örneklemlerde yanlılığın nasıl biriktiğini belirlemek.

3

Koşullara göre tercih yapma

Küçük

n_h

durumunda birleşik (

\hat{R}_c

), büyük

n_h

veya farklı

R_h

durumunda ayrı (

\hat{R}_s

) tercih edilir.

Soru kökündeki 'küçük örneklem' kısıtına göre doğru gerekçeyi eşleştirmek.

Key Concept

Tabakalı örneklemede oran tahminleyicilerinin yanlılık ve etkinlik dengesi.

Hints

1

Küçük örneklemlerde (n < 30) oran tahminleyicilerinin 'yanlılık' (bias) özelliğini hatırlayın.

2

Ayrı oran tahminleyicisinde yanlılık her tabaka için ayrı hesaplandığından tabaka sayısı arttıkça toplam yanlılık da artar.

Practice More

Ayrı oran tahminleyicisinin hangi koşullarda (örneğin büyük tabaka hacimleri ve farklı oranlar) daha etkin olduğunu inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 60Question →

Bir Organize Sanayi Bölgesinde (OSB) yer alan $N=500$ fabrikanın aylık elektrik tüketimi ( $Y$ ) ile kurulu güç kapasiteleri ( $X$ ) arasındaki kitle oranını ( $R$ ) tahmin etmek amacıyla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n=50$ fabrika seçilmiştir. Örneklem verilerinden elde edilen özet istatistikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

İstatistik	Değer
Örneklem Ortalaması (Elektrik Tüketimi - $\bar{y}$ )	$150$ MWh
Örneklem Ortalaması (Kurulu Güç - $\bar{x}$ )	$20$ MW
Hata Kareleri Toplamı ( $\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{r}x_i)^2$ )	$196.000$

Verilen bilgilere göre, kitle oranı tahmini ( $\hat{r}$ ) ve bu tahminleyicinin varyans tahmini ( $v(\hat{r})$ ) değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

\hat{r} = 7,5

ve

v(\hat{r}) = 0,18

\hat{r} = 7,5

ve

v(\hat{r}) = 0,20

\hat{r} = 0,13

ve

v(\hat{r}) = 0,18

\hat{r} = 7,5

ve

v(\hat{r}) = 9,00

\hat{r} = 7,5

ve

v(\hat{r}) = 3,60

Show answer & explanation

Answer: $\hat{r} = 7,5$ ve $v(\hat{r}) = 0,18$

Answer

Kitle oranı tahmini

\hat{r} = 7,5

ve varyans tahmini

v(\hat{r}) = 0,18

şeklindedir.

Doğru yanıt olan

\hat{r} = 7,5

ve

v(\hat{r}) = 0,18

değerleri, örneklem ortalamalarının oranlanması ve varyans formülünde iadesiz seçimin bir gereği olan sonlu kitle düzeltme çarpanının (

0,9

) doğru şekilde işleme dahil edilmesiyle elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kitle oranı tahmincisinin (

\hat{r}

) hesaplanması

\hat{r} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} = \frac{150}{20} = 7,5

Oran tahminleyicisi, örneklem ortalamalarının birbirine oranıdır.

2

Örnekleme varyansı (

s_d^2

) değerinin hesaplanması

s_d^2 = \frac{\sum (y_i - \hat{r}x_i)^2}{n-1} = \frac{196.000}{50-1} = 4.000

Varyans formülünde kullanılacak olan regresyon kalıntı varyansı benzeri yapıyı bulmak için gereklidir.

3

Örnekleme kesri (

f

) ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanının (

1-f

) belirlenmesi

f = \frac{n}{N} = \frac{50}{500} = 0,1

ve

1-f = 0,9

n/N > 0,05

olduğu için iadesiz seçimde SKD kullanılması zorunludur.

4

Oran tahminleyicisinin varyansının (

v(\hat{r})

) hesaplanması

v(\hat{r}) = \frac{1-f}{n \bar{x}^2} s_d^2 = \frac{0,9}{50 \times 20^2} \times 4.000 = \frac{3600}{20000} = 0,18

Oran tahminleyicisi varyans formülü uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Oran Tahminleyicisi Varyansı ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı

Practice More

Bu tahminleyiciyi kullanarak kitle toplamı tahminini (

Y = R \times X

) ve bu tahminin varyansını hesaplayarak bilginizi pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Oran ve Regresyon Tahminleyicileri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes