Doğrusal Olmayan Regresyon Modelleri

Bir kalkınma iktisatçısı, gelişmekte olan ülkelerde kişi başına düşen milli gelir ($X$, bin dolar) ile tarım sektörünün Gayri Safi Yurt İçi Hasıla (GSYH) içindeki payı ($Y$, yüzde) arasındaki ilişkiyi analiz etmek için bir ters (hiperbolik) regresyon modeli kurmuştur. En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle elde edilen tahmin denklemi aşağıda verilmiştir:

Buna göre, kişi başına düşen milli gelir ($X$) süresiz olarak arttığında (sonsuza yaklaştığında) tarım sektörünün payının ($\hat{Y}$) yaklaşacağı asimptotik sınır değeri ve $X$'teki artışın $Y$ üzerindeki etkisi hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir imalat sektöründe faaliyet gösteren 63 işletmenin ($n=63$) üretim yapısını analiz etmek amacıyla; günlük üretim miktarı ($Q$, adet), kullanılan sermaye miktarı ($K$, makine-saat) ve işgücü miktarı ($L$, adam-saat) değişkenleri kullanılarak bir Cobb-Douglas üretim fonksiyonu tahmin edilmiştir.

Modelin çift logaritmik (tam logaritmik) dönüşümü yapılmış ve En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle aşağıdaki tahmini regresyon denklemi elde edilmiştir:

Bu tahmin modeline ait Hata Kareler Toplamı (HKT) 120 olarak hesaplanmıştır.

İşletmelerden birinin, makine-saat (sermaye) kullanımını %5 artırırken eş anlı olarak adam-saat (işgücü) miktarını %2 azaltmayı planladığı bir senaryo varsayılmaktadır.

Tüm katsayıların istatistiksel olarak anlamlı olduğu bilindiğine göre, bu modelin yapısal özelliklerine ve tahmin sonuçlarına dair aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir Hazine ve Maliye Bakanlığı denetmeni, büyük ölçekli firmaların yıllık kurumlar vergisi matrahları ($Y$, milyon TL) ile bu firmaların inovasyon harcamaları ($X$, milyon TL) ve AR-GE merkezi sertifikasına sahip olup olmamaları ($D$, sertifikaya sahipse 1, değilse 0) arasındaki nedensel ilişkiyi incelemek için aşağıdaki yarı logaritmik (Log-Lin) modeli tahmin etmiştir:

Denetmen, modeldeki parametrelerin kurumlar vergisi matrahı üzerindeki kesin (yaklaşık olmayan) oransal etkilerini raporlamak istemektedir. (Hesaplamalarda $e^{0,53} \approx 1,70$ ve $e^{0,08} \approx 1,083$ alınacaktır.)

Buna göre, katsayıların tam (kesin) yorumlarına ilişkin aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir sosyoekonomik araştırma projesinde, teknolojik yeniliklerin sektörel verimlilik üzerindeki etkisini inceleyen bir analist, değişkenler arasında üstel (exponential) bir ilişkinin varlığını öngörmektedir. Analist, parametrelerinde doğrusal olmayan bu teorik modeli En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edebilmek için uygun bir matematiksel dönüşüm uygulayarak 'doğrusal hale getirilebilir' (intrinsically linear) bir regresyon denklemi elde etmiştir.

Bu tür dönüşüm işlemleri ve elde edilen modellerin yapısal özellikleri bağlamında aşağıdaki ifadelerden hangisi teorik olarak doğrudur?

Bir şehir bölge plancısı, bir metropolde şehir merkezinden uzaklaştıkça nüfus yoğunluğunun nasıl değiştiğini incelemektedir. Araştırmacı, nüfus yoğunluğu ($Y$, kişi/km $^2$) ile şehir merkezine olan uzaklık ($X$, km) arasındaki ilişkiyi modellemek için hata teriminin ($u$) çarpımsal olarak yer aldığı $Y = \beta_0 e^{\beta_1 X} e^u$ üstel regresyon modelini kurmuştur.

EKK yöntemiyle tahmin yapabilmek için denklemin her iki tarafının doğal logaritması alınarak $\ln(Y) = \alpha + \beta_1 X + u$ doğrusal modeli (burada $\alpha = \ln(\beta_0)$) elde edilmiştir. Yapılan analiz sonucunda uzaklık değişkeninin katsayısı $\hat{\beta}_1 = -0,08$ olarak bulunmuştur.

Bu modelin spesifikasyonu ve tahmin edilen katsayının yorumu dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir kamu kurumunda görevli ekonometrist, ilgilendiği makroekonomik değişkenler arasındaki doğrusal olmayan ilişkileri En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edebilmek amacıyla çeşitli veri dönüşümleri ve model spesifikasyonları üzerinde çalışmaktadır.

Doğrusal hale getirilebilen modellerin kavramsal yapısı ve EKK varsayımları dikkate alındığında, bu ekonometristin yaptığı aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Bir sağlık ekonomisti, tam teşekküllü hastanelerin yatak kapasiteleri ($X$, adet) ile aylık ortalama tıbbi atık miktarları ($Y$, ton) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla 150 hastaneden oluşan bir veri seti kullanmıştır. Araştırmacı, EKK yöntemini kullanarak aşağıdaki üç farklı regresyon modelini tahmin etmiştir:

Model 1 (Doğrusal) : $\widehat{Y_i} = 12,5 + 0,45 X_i \quad (R^2 = 0,68)$
Model 2 (Log-Lin) : $\widehat{\ln(Y_i)} = 2,10 + 0,003 X_i \quad (R^2 = 0,74)$
Model 3 (Lin-Log) : $\widehat{Y_i} = -45,2 + 18,6 \ln(X_i) \quad (R^2 = 0,71)$

Bu modellerin spesifikasyonları ve elde edilen tahmin sonuçları dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir kamu sağlık kurumunda görevli veri analisti, hastaların yaşları ($X$) ile tedavi masrafları ($Y$) arasındaki fonksiyonel ilişkiyi $n=150$ kişilik bir örneklem üzerinden modellemektedir. Analist, temel doğrusal denkleme $X^2$ (karesel) ve ardından $X^3$ (üçüncü derece) bağımsız değişkenlerini dahil etmiştir. Üçüncü dereceden değişken denkleme eklendiğinde elde edilen sonuçlar şöyledir:

- Açıklama payını gösteren $R^2$ ölçütünde minimal bir artış görülürken, serbestlik derecesi kısıtını dikkate alan $\bar{R}^2$ (düzeltilmiş $R^2$) ölçütü azalmıştır.
- Üçüncü derece değişkene ($X^3$) ait parametrenin $p$-değeri, $0.05$ anlamlılık düzeyinden büyük bulunmuştur.
- Değişkenler ($X, X^2, X^3$) arası hesaplanan VIF (Varyans Şişirme Faktörü) istatistikleri kritik eşiklerin çok üzerindedir.

Bu analitik tabloya göre, analistin uygulayacağı aşağıdaki adımlardan veya yapacağı yorumlardan hangisi istatistiksel teoriye en uygundur?

Bir üretim işletmesinde maliyet analisti olarak çalışan bir uzman, birim üretim maliyeti ($Y$, TL) ile üretim hacmi ($X$, bin adet) arasındaki ilişkiyi analiz etmektedir. Uzman, maliyetlerin belirli bir üretim hacminden sonra sabit bir minimum seviyeye yaklaşacağını varsaydığı için $Y_i = \beta_0 + \beta_1\left(\frac{1}{X_i}\right) + u_i$ formundaki ters (hiperbolik) regresyon modelini tercih etmiştir.

Uzman, EKK yöntemini kullanarak eğim katsayısını $\hat{\beta}_1 = 80$ olarak tahmin etmiştir. Analize konu olan örneklemdeki değişkenlere ait bazı özet istatistikler aşağıdaki gibidir:

- $\bar{Y} = 30$
- $\bar{X} = 8$
- $\overline{\left(\frac{1}{X}\right)} = 0,25$
- $\overline{(\ln X)} = 1,8$

Buna göre, tahmin edilen modelin asimptotik sınırı ve üretim hacmi ($X$) arttıkça birim maliyetin ($Y$) değişim seyri aşağıdakilerden hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

Bir devlet üniversitesinin araştırma performansı, Cobb-Douglas üretim fonksiyonu temel alınarak aşağıdaki çift logaritmik (tam logaritmik) model ile tahmin edilmiştir:

Burada;
$Y$: Yıllık yayımlanan akademik makale sayısını,
$K$: Araştırma teçhizat bütçesini,
$L$: İstihdam edilen tam zamanlı araştırmacı sayısını temsil etmektedir.

Üniversite senatosu, araştırmacı sayısını %12 artırırken, tasarruf tedbirleri kapsamında teçhizat bütçesini %4 azaltma kararı almıştır.

Bu modele göre, istihdam edilen araştırmacı sayısı değişkeninin ($L$) katsayısı olan 0,75'in ekonomik yorumu ve makale sayısında ($\widehat{Y}$) beklenen yaklaşık yüzde değişim aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

Bir kamu kurumunda performans analisti, bir evrakın elektronik sistemde onaylanma süresi ($Y$, saat) ile o evrakla ilgilenen personel sayısı ($X$) arasındaki ilişkiyi modellemek istemektedir. Analist, ilişkinin doğrusal olmadığını fark ederek aşağıdaki ters (hiperbolik) regresyon modelini tahmin etmiştir:

Bu modele göre, evrakla ilgilenen personel sayısı ($X$) sürekli artırıldığında evrak onaylanma süresinin ($Y$) yakınsayacağı teorik sınır (asimptotik değer) ve modelin ifade ettiği marjinal etki hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir bölgesel kalkınma ajansı uzmanı, belirli bir bölgedeki sanayi arsalarının ortalama metrekare fiyatları ($Y$, bin TL) ile bu arsaların en yakın organize sanayi bölgesine (OSB) olan uzaklıkları ($X$, km) arasındaki ilişkiyi incelemek için aşağıdaki modeli EKK (En Küçük Kareler) yöntemiyle tahmin etmiştir:

Buna göre, tahmin edilen eğim katsayısının ($-0.035$) doğru yorumu aşağıdakilerden hangisidir?

Bir tarım ekonomisti, bir bölgedeki gübre kullanım miktarı ($X$, kg/dekar) ile dekar başına elde edilen buğday verimi ($Y$, ton) arasındaki ilişkiyi modellemek istemektedir. Araştırmacı başlangıçta bağımlı değişkenin doğal logaritmasını alarak $\ln(Y_i) = 1.2 + 0.05 X_i$ şeklinde yarı-logaritmik (log-lin) bir regresyon modeli tahmin etmiştir. Ancak bu fonksiyonda gübre miktarı arttıkça verimin sonsuza kadar üstel büyüyeceği varsayımının biyolojik gerçeklere aykırı olduğunu fark etmiştir.

Araştırmacı, hiperbolik modelin belirtme katsayısının ($R^2 = 0.81$), ilk kurduğu log-lin modelinkinden ($R^2 = 0.74$) daha yüksek olduğunu raporlayarak yeni modelin daha başarılı olduğunu savunmuştur.

Bu araştırma süreci ve nihai hiperbolik model dikkate alındığında, aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi istatistiksel ve ekonometrik olarak doğrudur?

Zaman serisi veya yatay kesit verilerinin analizinde, incelenen değişkenler arasındaki ilişkiler her zaman parametreleri açısından doğrusal bir yapı sergilemez. Ancak bazı fonksiyonel formlar, değişkenlere uygulanacak uygun matematiksel dönüşümler sayesinde En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilebilir (doğrusal) duruma getirilebilir.

Bir bölgenin yıllık enerji tüketiminin ($Y_i$), zaman ($X_i$) içindeki değişim eğilimini analiz etmek isteyen bir araştırmacı, $Y_i = \beta_0 e^{\beta_1 X_i} e^{u_i}$ formunda stokastik bir üstel büyüme modeli kurgulamıştır (burada $u_i$ stokastik hata terimidir). Araştırmacı bu modeli EKK ile tahmin edebilmek amacıyla modelin her iki tarafının doğal logaritmasını alarak dönüşüm uygulayacaktır.

Bu modelin doğrusal hale getirilmesi ve analiz süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi teorik olarak doğrudur?

Bir Hazine ve Maliye Bakanlığı uzmanı, Türkiye'nin aylık dış borç servis tutarının ($Y_t$) gelişimini zaman ($t$, ay) ve küresel risk iştahı endeksi ($X_t$) değişkenleriyle açıklamak için aşağıdaki asıl fonksiyonel formu önermiştir:

Uzman, hata teriminin çarpımsal olarak modele girmesi nedeniyle bu formun içsel olarak doğrusal (intrinsically linear) olduğunu tespit etmiş, denklemin doğal logaritmasını alarak $\ln(Y_t) = \beta_0 + \beta_1 t + \beta_2 X_t + u_t$ şeklinde üstel (log-lin) bir regresyon modeli kurmuştur.

EKK ile yapılan tahmin sonucunda, zaman değişkeninin katsayısı $\hat{\beta}_1 = 0.045$ bulunmuş ve istatistiksel olarak anlamlı olduğu görülmüştür. Ayrıca uzman, aynı bağımsız değişkenlerle bağımlı değişkenin doğal logaritmasının alınmadığı doğrusal bir model ($Y_t = \theta_0 + \theta_1 t + \theta_2 X_t + v_t$) de tahmin etmiş ve her iki modelin belirtme katsayılarını ($R^2$) kaydetmiştir.

Bu analiz süreci ve model sonuçlarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Bir finansal risk analisti, bir varlığın getiri oranı ($Y$) ile piyasa oynaklık endeksi ($X$) arasındaki ilişkiyi incelemek için 120 günlük bir veri seti ($n=120$) kullanmaktadır. Analist, ilişkinin doğrusal olmama ihtimalini dikkate alarak sırasıyla doğrusal, karesel ve kübik regresyon modellerini EKK yöntemiyle tahmin etmiş ve aşağıdaki bulguları elde etmiştir:

I. Doğrusal modelden karesel modele geçildiğinde, modele eklenen $X^2$ terimi istatistiksel olarak anlamlı bulunmuş ($p < 0.05$) ve düzeltilmiş $R^2$ değeri artmıştır.
II. Karesel modelden kübik modele geçildiğinde, $X^3$ teriminin katsayısı anlamsız bulunmuş ($p = 0.34$) ve $X$, $X^2$, $X^3$ terimleri arasındaki VIF (Varyans Şişme Faktörü) değerleri 30'un üzerine çıkarak şiddetli bir çoklu doğrusal bağlantıya işaret etmiştir. Buna rağmen kübik modelin genel F-istatistiği anlamlılığını korumuştur.
III. Analist, yapısal çoklu doğrusal bağlantıyı azaltmak amacıyla bağımsız değişkeni ortalamasından merkezileştirerek ($x_i = X_i - \bar{X}$) kübik modeli yeni değişkenlerle ($x_i, x_i^2, x_i^3$) tekrar tahmin etmiştir.

Bu analistin yürüttüğü süreç ve regresyon teorisi dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Tarımsal bir araştırmada, belirli bir gübre miktarının ($X$) ürün rekoltesi ($Y$) üzerindeki azalan marjinal verilerini modellemek isteyen bir uzman, teorik ilişkiyi tanımlamak için iki farklı stokastik veri üretme süreci önermiştir:

Model I: $Y_i = \beta_1 X_i^{\beta_2} e^{u_i}$
Model II: $Y_i = \alpha_1 X_i^{\alpha_2} + v_i$