Doğrusal Programlama

Bir doğrusal programlama maksimizasyon problemine ait başlangıç simpleks tablosu aşağıda verilmiştir:

Bu tabloya göre, yapılacak ilk iterasyon sonucunda temele giren $x_1$ değişkeninin yeni tablodaki değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Bir Orman Bölge Müdürlüğü, tahsis edilen bir sahada Çam ($x_1$) ve Meşe ($x_2$) fidanları dikerek bir ağaçlandırma projesi yürütmektedir. Her bir Çam fidanının yıllık ortalama karbon tutma kapasitesi 5 birim, her bir Meşe fidanının ise 8 birimdir. Müdürlük, bu projeyle toplam karbon tutma kapasitesini en üst düzeye çıkarmayı hedeflemektedir. Bir Çam fidanının dikim maliyeti 10 TL, bir Meşe fidanının dikim maliyeti ise 15 TL'dir ve bu iş için ayrılan toplam bütçe 300.000 TL'dir. Dikim yapılacak toplam alan en fazla 50.000 $m^2$ olup; bir Çam fidanı 2 $m^2$, bir Meşe fidanı ise 3 $m^2$ alan kaplamaktadır. Ayrıca, ekosistem çeşitliliğini korumak amacıyla sahaya en az 2.000 adet Meşe fidanı dikilmesi zorunluluğu bulunmaktadır.

Buna göre, bu problemin matematiksel modeli aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumunda hizmet birim maliyetlerini en küçüklemek (minimizasyon) amacıyla oluşturulan doğrusal programlama modelinin Simpleks yöntemi ile çözümünde elde edilen optimal tablo aşağıda sunulmuştur:

Tabloda $x_1, x_2$ karar değişkenlerini; $s_1, s_2$ ise dolgu veya artık değişkenleri ifade etmektedir.

Buna göre, bu tabloya dayalı olarak modelin çözümü hakkında yapılabilecek en doğru değerlendirme aşağıdakilerden hangisidir?

Bir büyükşehir belediyesi, sürdürülebilir enerji projesi kapsamında iki farklı türde yenilenebilir enerji ünitesi ($x_1$: Güneş Enerji Ünitesi, $x_2$: Rüzgâr Enerji Ünitesi) kurmayı planlamaktadır. Her bir güneş ünitesi 4 birim depolama alanı ve 2 birim periyodik bakım işgücü gerektirirken; her bir rüzgâr ünitesi 3 birim depolama alanı ve 5 birim periyodik bakım işgücü gerektirmektedir. Belediyenin toplam depolama alanı en fazla 120 birim, toplam periyodik bakım işgücü ise en fazla 100 birim ile sınırlandırılmıştır. Ayrıca, projenin verimliliği için güneş ünitesi sayısının ($x_1$) en az 10 adet olması zorunluluğu bulunmaktadır. Güneş ünitesi başına karbon salınımı tasarrufu 10 birim, rüzgâr ünitesi başına ise 15 birimdir. Belediyenin toplam karbon salınımı tasarrufunu en üst düzeye çıkarmayı amaçlayan doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

Doğrusal programlama modellerinde amaç fonksiyonu katsayıları ($c_j$), teknolojik katsayılar ($a_{ij}$) ve kısıtlayıcıların sağ yan değerleri ($b_i$) gibi tüm model parametrelerinin kesin olarak bilindiği ve planlama dönemi boyunca herhangi bir değişikliğe uğramayacağı kabul edilmektedir. Bu kabul, modelin deterministik bir yapıda olduğunu ve rassal değişkenler içermediğini ifade eder.

Buna göre, söz konusu durum doğrusal programlamanın aşağıdaki temel varsayımlarından hangisi ile tanımlanır?

Bir maksimizasyon (en büyükleme) problemi için Simpleks algoritması uygulanırken elde edilen bir ara tablo aşağıda verilmiştir:

Bu tabloya göre, modelin çözüm süreci ve sonucuyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Doğrusal programlama modellerinde karar değişkenleri, amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı koşullar arasındaki ilişkiler belirli aksiyomlar üzerine inşa edilir. Bir modelde, bir faaliyetin düzeyi (karar değişkeninin değeri) arttığında veya azaldığında, bu faaliyetin gerek toplam amaç fonksiyonu değerine katkısının gerekse kısıtlayıcı kaynakları tüketim miktarının bu değişimle tam olarak aynı oranda değiştiği kabul edilir. Bu durum, modelde ölçeğe göre sabit getirinin (constant returns to scale) geçerli olduğunu ve birim katkıların değişken düzeyinden bağımsız olarak sabit kaldığını ifade eder. Buna göre, yukarıda açıklanan ve modelin doğrusallığını sağlayan temel varsayım aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu araştırma merkezi, stratejik planlama kapsamında 'Sektörel Analiz Raporu' ($x_1$) ve 'Politika Değerlendirme Raporu' ($x_2$) hazırlamaktadır. Her bir sektörel analiz raporu 40 birim, her bir politika değerlendirme raporu ise 50 birim toplumsal fayda sağlamaktadır. Merkezin faaliyetlerine ilişkin kısıtlar şöyledir:

- Bir sektörel analiz raporu için 4 uzman-saat, bir politika değerlendirme raporu için 6 uzman-saat çalışma gerekmektedir. Toplam uzman-saat kapasitesi 120 saati aşmamalıdır.
- Stratejik hedef doğrultusunda, hazırlanan toplam rapor sayısı en az 15 olmalıdır.
- Ayrıca, hazırlanan sektörel analiz raporu sayısı ($x_1$), politika değerlendirme raporu sayısının ($x_2$) en az yarısı kadar olmalıdır.

Buna göre, toplam toplumsal faydayı en büyüklemek (maksimize etmek) için kurulması gereken doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

Bir karar verici, aşağıdaki doğrusal programlama modelini Büyük-M (Çok Büyük Katsayılar) yöntemini kullanarak çözmek amacıyla standart forma dönüştürmek istemektedir:

$M$ çok büyük bir pozitif sayıyı temsil ettiğine göre; bu yönteme uygun olarak modele dahil edilmesi gereken ek değişkenler ve oluşturulacak yeni amaç fonksiyonu ($Z_{yeni}$) aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Bir karar verici, aşağıdaki doğrusal programlama modelini İki Evreli (Two-Phase) yöntemini kullanarak çözmek istemektedir:

Minimize $Z = 4x_1 + x_2$

Kısıtlar:
$3x_1 + x_2 \geq 6$
$4x_1 + 3x_2 \leq 12$
$x_1, x_2 \geq 0$

Bu model standart forma dönüştürüldüğünde ($s_i$ dolgu/artık değişkenleri, $a_i$ yapay değişkenleri temsil etmektedir), İki Evreli yöntemin 1. Evre (Phase 1) amaç fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıda bir doğrusal programlama probleminin primal modeli verilmiştir:

Bu primal modelin dual modeli aşağıdakilerden hangisidir?

Doğrusal programlama modellerinde, toplam amaç fonksiyonu değerinin ve toplam kaynak kullanım miktarının, modele dahil edilen her bir faaliyetin tek başına oluşturduğu etkilerin aritmetik toplamına eşit olduğu kabul edilmektedir. Faaliyetler arasında herhangi bir çapraz etkileşimin (sinerji veya negatif etkileşim) bulunmadığını simgeleyen bu temel varsayım aşağıdakilerden hangisidir?

Bir Tarım İl Müdürlüğü, çiftçilere hibe edilmek üzere 'Buğday' ($x_1$) ve 'Arpa' ($x_2$) tohumları tedarik edecektir. Projenin parametreleri şu şekildedir:
- Her bir ton buğday ($x_1$) 40 birim, her bir ton arpa ($x_2$) ise 30 birim stratejik öncelik puanı sağlamaktadır.
- Bir ton buğdayın maliyeti 5.000 TL, bir ton arpanın maliyeti 3.000 TL'dir.
- Toplam bütçe en fazla 150.000 TL ile sınırlandırılmıştır.
- Depolama kapasitesi nedeniyle toplamda en çok 40 ton tohum alınabilmektedir.

Buna göre, toplam stratejik öncelik puanını en üst düzeye çıkarmayı amaçlayan doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?