All practice questions

Question 2141Question →

a

bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = |x^2 - 4x| - ax

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı

1

olduğuna göre,

a

gerçel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(-\infty, -2] \cup [2, \infty)

[-4, 4]

(-\infty, -4] \cup [4, \infty)

[-2, 2]

(-\infty, -4) \cup (4, \infty)

Show answer & explanation

Answer: $(-\infty, -4] \cup [4, \infty)$

Answer

En geniş değer aralığı

(-\infty, -4] \cup [4, \infty)

aralığıdır.

Fonksiyonun parçalı tanımından elde edilen parabollerin tepe noktaları incelendiğinde,

a \ge 4

veya

a \le -4

koşulu sağlandığında iç bölgedeki parabolün tepe noktası

(0,4)

aralığının dışına taşar. Bu durumda sınır noktalarında yön değişimi gerçekleşmez ve fonksiyon tüm gerçel sayılar kümesinde yalnızca tek bir yerel minimum noktasına sahip olur. Dolayısıyla doğru aralık bu iki kümenin birleşimidir.

Step-by-Step Solution

1

Mutlak değer ifadesinin kritik noktaları olan

x=0

ve

x=4

değerlerine göre fonksiyon parçalı tanımlı olarak yazılır.

f(x) = \begin{cases} x^2 - (4+a)x, & x < 0 \text{ veya } x > 4 \\ -x^2 + (4-a)x, & 0 \le x \le 4 \end{cases}

Fonksiyonun farklı bölgelerdeki davranışını ve türevlenebilen parçalarını ayrı ayrı analiz etmek amacıyla parçalı biçime dönüştürülmüştür.

2

Parçalı fonksiyonun tanımlı olduğu aralıklardaki türev fonksiyonları ve ekstremum adayı olan tepe noktaları belirlenir.

x < 0

ve

x > 4

bölgeleri için

f'(x) = 2x - (4+a)

olup tepe noktası

x_1 = \frac{4+a}{2}

'dir.

0 < x < 4

bölgesi için

f'(x) = -2x + (4-a)

olup tepe noktası

x_2 = \frac{4-a}{2}

'dir.

Her bir parabolik parçanın tepe noktasının kendi tanımlı olduğu aralığa düşüp düşmediğini kontrol ederek ekstremum noktalarının varlığını incelemek gerekir.

3

a \ge 4

koşulu altında fonksiyonun ekstremum noktaları incelenir.

a \ge 4

için

x_2 = \frac{4-a}{2} \le 0

olur, dolayısıyla

(0,4)

aralığında tepe noktası bulunmaz. Bu aralıkta

f'(x) < 0

olup fonksiyon azalandır.

x > 4

bölgesinde ise

x_1 = \frac{4+a}{2} \ge 4

olduğundan bu noktada azalandan artana geçiş olur. Sonuç olarak yalnızca

x_1

apsisli nokta tek yerel minimum noktasıdır.

Belirlenen parametre sınırında fonksiyonun yalnızca bir yerel ekstremuma sahip olduğunu doğrulamak için bu analiz yapılır.

4

a \le -4

koşulu altında fonksiyonun ekstremum noktaları incelenir.

a \le -4

için

x_2 = \frac{4-a}{2} \ge 4

olur, yani

(0,4)

aralığında tepe noktası yoktur ve bu aralıkta fonksiyon artandır.

x < 0

bölgesinde ise

x_1 = \frac{4+a}{2} \le 0

olup fonksiyon bu noktada azalandan artana geçer. Böylece yalnızca

x_1

noktası tek yerel minimum noktası olur.

Negatif yöndeki parametre sınırında da tek ekstremum koşulunun sağlandığını göstermek için bu analiz yapılır.

5

Elde edilen iki durum birleştirilerek

a

parametresinin en geniş aralığı yazılır.

a \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)

Her iki bölgede de tek yerel ekstremum noktası şartı sağlandığından bu iki kümenin birleşimi en geniş çözüm kümesini oluşturur.

Key Concept

Mutlak değerli ve parçalı tanımlı fonksiyonlarda türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi

Question 2142Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir $f$ fonksiyonunun bir $x = a$ noktasında sürekli olması, bu noktada türevlenebilir olması için yeterli bir koşuldur.

True

False

Show answer & explanation

Answer: False

Answer

Süreklilik, türevlenebilirlik için yeterli bir koşul değildir; dolayısıyla bu ifade yanlıştır.

Süreklilik, türevlenebilirlik için gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur. Bu nedenle sürekli olan her fonksiyonun o noktada türevlenebilir olması gerekmez.

Step-by-Step Solution

1

Türevlenebilirlik ile süreklilik arasındaki mantıksal gerektirmeyi incelemek.

Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir (

T \implies S

), fakat bu önermenin karşıtı (

S \implies T

) her zaman doğru değildir.

İki kavram arasındaki mantıksal yönü belirlemek için.

2

Sürekli olup türevlenemeyen bir fonksiyon örneği (karşıt örnek) ele almak.

f(x) = |x|

fonksiyonunun

x = 0

noktasında sürekli olduğu (

\lim_{x \to 0} |x| = f(0) = 0

) fakat sağdan ve soldan türevlerinin farklı olması sebebiyle türevsiz olduğu görülür.

Sürekliliğin türevlenebilirlik için yeterli bir koşul olmadığını doğrulamak için.

Key Concept

Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir, ancak süreklilik türevlenebilirliği garanti etmez.

Question 2143Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir $f$ fonksiyonu için,

\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 6

\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8

\int_{3}^{6} f(x) \, dx = 10

eşitlikleri veriliyor. Buna göre,

\int_{2}^{5} f(x - 1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

6

8

10

-6

-8

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Doğru yanıt olan integral değeri 6'dır.

İntegral değişkeni

u = x - 1

olarak seçildiğinde diferansiyel

du = dx

olur. Sınırlar güncellendiğinde alt sınır

2 - 1 = 1

, üst sınır ise

5 - 1 = 4

olur. Böylece integral

\int_{1}^{4} f(u) \, du

şekline dönüşür. Bu integralin değeri soruda verilen ilk eşitlikte 6 olarak tanımlanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Değişken değiştirme tanımlama

u = x - 1

dönüşümü yapılır. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alınırsa

du = dx

elde edilir.

İntegral içindeki ifadeyi bilinen fonksiyon biçimine getirmek için bu dönüşüm gereklidir.

2

İntegral sınırlarını güncelleme

Alt sınır için:

x = 2 \implies u = 2 - 1 = 1

. Üst sınır için:

x = 5 \implies u = 5 - 1 = 4

.

Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişken cinsinden hesaplanması gerekir.

3

Yeni integrali hesaplama

\int_{2}^{5} f(x - 1) \, dx = \int_{1}^{4} f(u) \, du

olur. Soruda verilen bilgiye göre bu integralin değeri 6 olarak bulunur.

Belirli integralde değişken adının değişmesi integralin değerini değiştirmez.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi

Question 2144Question →

Tanım kümesi pozitif gerçel sayılar olan türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

\int \frac{f'(x)}{x} \, dx = 3x^2 - 4x + C

eşitliği sağlanmaktadır.

f(1) = 2

olduğuna göre,

f(2)

değeri kaçtır?

6

7

8

10

12

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10

Verilen integral eşitliğinin her iki tarafının türevi alındığında

\frac{f'(x)}{x} = 6x - 4

elde edilir. Buradan

f'(x) = 6x^2 - 4x

olur. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında

f(x) = 2x^3 - 2x^2 + C_1

bulunur.

f(1) = 2

koşulu kullanıldığında

2(1)^3 - 2(1)^2 + C_1 = 2 \implies C_1 = 2

elde edilir. Sonuç olarak,

f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 2

fonksiyonunda

x = 2

yazıldığında

f(2) = 2(8) - 2(4) + 2 = 16 - 8 + 2 = 10

değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin her iki tarafının

x

değişkenine göre türevi alınır.

\frac{f'(x)}{x} = 6x - 4

İntegral işaretini kaldırmak ve içerideki ifadeyi elde etmek için türev alma kuralı uygulanır.

2

f'(x)

ifadesi yalnız bırakılarak fonksiyonun türevi bulunur.

f'(x) = 6x^2 - 4x

Paydadaki

x

değişkeni karşı tarafa çarpım olarak gönderilir.

3

f(x)

fonksiyonuna ulaşmak için elde edilen türevin belirsiz integrali alınır.

f(x) = 2x^3 - 2x^2 + C_1

Polinom fonksiyonların integral alma kuralları uygulanır ve integral sabiti eklenir.

4

f(1) = 2

başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti bulunur ve

f(2)

değeri hesaplanır.

C_1 = 2

ve buradan

f(2) = 10

bulunur.

Başlangıç değeriyle fonksiyonun tek bir fonksiyon olarak belirlenmesi sağlanır ve istenen değer hesaplanır.

Key Concept

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve polinom fonksiyonların integral alma kuralları

Question 2145Question →

\int_{e}^{e^2} \frac{\ln(x) \cdot \ln(\ln(x)) + 1}{x \ln(x)} \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

e^2 + 1

\ln(8) - 1

\ln(8)

\ln(8) - 2

e^2 - e + 1

Show answer & explanation

Answer: $\ln(8) - 1$

Answer

\ln(8) - 1

Doğru yanıt olan değer,

u = \ln(x)

dönüşümüyle elde edilen

\int_{1}^{2} (\ln(u) + 1/u) \, du

integralinin adım adım çözülmesi ve sınırların

1

ve

2

olarak doğru uygulanması sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İntegrali sadeleştirmek için

u = \ln(x)

değişken değiştirmesini uygulayın.

u = \ln(x)

ise diferansiyel alırsak

du = \frac{1}{x} \, dx

olur.

İntegral içindeki

\ln(x)

ve

\frac{1}{x}

ifadeleri arasındaki türev ilişkisini kullanarak integrali daha basit bir forma dönüştürmek.

2

Belirli integralin sınırlarını yeni değişken

u

'ya göre güncelleyin.

Alt sınır:

x = e \Rightarrow u = \ln(e) = 1

. Üst sınır:

x = e^2 \Rightarrow u = \ln(e^2) = 2

.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

3

Elde edilen yeni integrali

u

cinsinden yazın ve sadeleştirin.

\int_{1}^{2} \frac{u \cdot \ln(u) + 1}{u} \, du = \int_{1}^{2} \left(\ln(u) + \frac{1}{u}\right) \, du

Payı paydaya bölerek integrali alınabilir iki basit terimin toplamı şeklinde yazmak.

4

Her bir terimin integralini alarak antiderivatifini bulun.

\int \ln(u) \, du = u \ln(u) - u

ve

\int \frac{1}{u} \, du = \ln(u)

. Birleştirildiğinde:

F(u) = u \ln(u) - u + \ln(u)

olur.

Temel integral alma kurallarını uygulayarak integralin belirsiz formunu bulmak.

5

Sınır değerlerini yerine yazarak belirli integralin sonucunu hesaplayın.

F(2) - F(1) = (2 \ln(2) - 2 + \ln(2)) - (1 \ln(1) - 1 + \ln(1)) = (3 \ln(2) - 2) - (-1) = 3 \ln(2) - 1 = \ln(8) - 1

Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integralin sayısal değerini bulmak.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir. Ayrıca

\int \ln(u) \, du = u \ln(u) - u + C

temel integral formülü kullanılır.

Question 2146Question →

a

ve

b

birer gerçel sayı olmak üzere,

\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+a} - 3}{x^2 - 9} = b

olduğuna göre,

a + 36b

toplamı ka��tır?

5

8

7

9

12

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

İstenen toplamın değeri 7'dir.

Limit değerinin gerçel sayı çıkması için paydanın sıfır olduğu durumda payın de sıfır olması gerekir. Buradan

a = 6

elde edilir. Limit ifadesinde payın eşleniği ile çarpma işlemi yapılıp belirsizlik giderildiğinde limit değeri

b = \frac{1}{36}

bulunur. Buradan istenen

a + 36b

değeri

6 + 36 \cdot \frac{1}{36} = 7

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Pay ve paydanın limit durumunu incelemek

Paydanın limiti 0'dır, limitin var olması için payın limiti de 0 olmalıdır. Buradan

a = 6

bulunur.

x \to 3

için payda sıfır olduğuna göre limitin gerçel sayı çıkması ancak

\frac{0}{0}

belirsizliğiyle mümkündür.

2

Payı eşleniğiyle çarparak belirsizliği gidermek

İfade

\frac{x-3}{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+6}+3)}

şekline gelir ve

x-3

terimleri sadeleşerek

\frac{1}{(x+3)(\sqrt{x+6}+3)}

elde edilir.

\frac{0}{0}

belirsizliğini oluşturan

x-3

çarpanını sadeleştirmek gerekir.

3

Limit değerini hesaplamak ve

b

değerini bulmak

b = \frac{1}{(3+3)(\sqrt{3+6}+3)} = \frac{1}{36}

bulunur.

Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine koyma yöntemiyle hesaplanır.

4

a + 36b

değerini hesaplamak

6 + 36 \cdot \frac{1}{36} = 7

bulunur.

Soru kökündeki istenen cebirsel ifadeyi bulmak.

Key Concept

0/0 belirsizliği içeren rasyonel ifadelerde eşlenik çarpımı yardımıyla limit hesaplama.

Alternative Method

Belirsizlik durumlarında L'Hôpital kuralı uygulanabilir. Pay ve paydanın ayrı ayrı türevleri alınırsa:

\lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+6}}}{2x} = \frac{\frac{1}{6}}{6} = \frac{1}{36}

elde edilir. Buradan

b = \frac{1}{36}

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 2147Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu, her

x \in \mathbb{R}

için

f(2-x) = f(x)

f(x) + f(x+2) = 4

eşitliklerini sağlamaktadır.

\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3

olduğuna göre,

\int_{0}^{7} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

12

13

15

16

21

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

15

Verilen fonksiyonun simetri özelliğinden dolayı

[0,2]

aralığındaki integral değeri 6'dır.

f(x) + f(x+2) = 4

ilişkisi entegre edilerek

[2,4]

aralığındaki integral değeri 2 olarak bulunur. Fonksiyonun 4 periyotlu olduğu belirlendikten sonra

[0,7]

aralığındaki integral,

[0,4]

ve

[4,7]

(yani

[0,3]

) aralıklarına bölünür.

[2,3]

aralığındaki integral değeri öteleme ve fonksiyon ilişkisi kullanılarak 1 olarak hesaplanır. Tüm bu değerlerin toplamından doğru sonuca (15) ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Simetri özelliğini kullanarak

[0, 2]

aralığındaki integral değerini bulma

\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6

f(2-x) = f(x)

eşitliği, fonksiyon grafiğinin

x = 1

doğrusuna göre simetrik olduğunu gösterir. Buradan,

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3

olur. Dolayısıyla,

\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 3 + 3 = 6

elde edilir.

2

Öteleme özelliğini kullanarak

[2, 4]

aralığındaki integral değerini bulma

\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 2

f(x) + f(x+2) = 4

eşitliğini

[0, 2]

aralığında entegre edersek:

\int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x+2) \, dx = \int_{0}^{2} 4 \, dx = 8

olur. İkinci integralde

u = x+2

dönüşümü yapılırsa, s��nırların

2

ve

4

olduğu görülür ve

\int_{2}^{4} f(u) \, du

elde edilir. Buradan

6 + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 8 \implies \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 2

bulunur.

3

Fonksiyonun periyodunu belirleme ve

[0, 4]

aralığındaki toplam integral değerini bulma

f

fonksiyonu

4

periyotludur ve

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 8

f(x+2) = 4 - f(x)

olduğundan,

f(x+4) = 4 - f(x+2) = 4 - (4 - f(x)) = f(x)

olur. Bu durumda fonksiyon

4

periyotludur.

[0, 4]

aralığındaki integral ise

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 6 + 2 = 8

olur.

4

[0, 7]

aralığındaki integrali periyoda göre parçalama

\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 8 + \int_{0}^{3} f(x) \, dx

Periyodiklikten dolayı

\int_{0}^{7} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{7} f(x) \, dx

şeklinde yazılabilir.

f(x)

fonksiyonu

4

periyotlu olduğundan

\int_{4}^{7} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} f(x) \, dx

olur. Buradan

\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 8 + \int_{0}^{3} f(x) \, dx

elde edilir.

5

[2, 3]

aralığındaki integral değerini bulma

\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 1

\int_{2}^{3} f(x) \, dx

integralinde

u = x-2

dönüşümü yapılırsa, integral

\int_{0}^{1} f(u+2) \, du

şekline dönüşür.

f(u+2) = 4 - f(u)

eşitliği kullanılarak,

\int_{0}^{1} (4 - f(u)) \, du = \int_{0}^{1} 4 \, du - \int_{0}^{1} f(u) \, du = 4 - 3 = 1

bulunur.

6

Sonucu hesaplama

\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 15

\int_{0}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx = 6 + 1 = 7

olur. Bu değer yerine yazıldığında, istenen integral

\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 8 + 7 = 15

olarak bulunur.

Key Concept

Belirli integralde simetri, periyodiklik ve değişken değiştirme (öteleme) özelliklerinin birlikte kullanılması.

Question 2148Question →

Analitik düzlemde, $f(x) = 6x - x^2$ ve $g(x) = x^2$ fonksiyonlarının grafikleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

İki eğri arasında kalan sınırlı b��lgenin alanı 9 birimkaredir.

Kesişim sınırları olan

x = 0

ve

x = 3

noktaları arasında, üstteki

f(x) = 6x - x^2

parabolünden alttaki

g(x) = x^2

parabolünün çıkarılmasıyla oluşturulan belirli integralin hesaplanması sonucu alan 9 birimkare bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kesişim noktalarını bulma

x = 0

ve

x = 3

Sınırları belirlemek için parabollerin kesiştikleri noktaların apsisleri hesaplanır.

2

İntegrali kurma

A = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx

Üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak alan integrali kurulur.

3

İntegrali hesaplama

9

Belirli integral sınır değerleri yerine yazılarak alan hesaplanır.

Key Concept

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral ile hesabı

Alternative Method

İki parabolün sınırladığı bölgenin alanı için

S = \frac{|a_1 - a_2|}{6} (x_2 - x_1)^3

pratik formülü kullanılabilir. Burada

a_1 = -1

,

a_2 = 1

ve kesişim noktaları

x_1 = 0

,

x_2 = 3

olduğundan

S = \frac{|-1 - 1|}{6} (3 - 0)^3 = \frac{2}{6} \cdot 27 = 9

elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 2149Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax + 3}{x - 3}, & x < 3 \\ b, & x = 3 \\ \frac{c\sqrt{2x + 3} - 3c}{x^2 - 5x + 6}, & x > 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

12

Fonksiyonun tüm gerçek sayılarda sürekli olması, kritik nokta olan x = 3 noktasında da sürekli olmasını gerektirir. Süreklilik tanımına göre soldan limit, sağdan limit ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır. Sol limitin varlığından a = 4 ve limit değeri 2 bulunur. Buradan f(3) = b = 2 olur. Sağ limitin hesaplanmasında 0/0 belirsizliği giderilerek limit c/3 bulunur. c/3 = 2 eşitliğinden c = 6 elde edilir. Sonuç olarak a + b + c = 4 + 2 + 6 = 12 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasındaki soldan limitini inceleyerek a parametresini ve limit değerini belirlemek.

a = 4 ve soldan limit değeri 2 olarak bulunur.

Fonksiyonun x = 3 noktasında limitinin olması için sol limitin tanımlı olması gerekir. Payda x = 3 için sıfır olduğundan, limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için payın da sıfır olması gerekir. 3^2 - 3a + 3 = 0 denkleminden a = 4 elde edilir. Bu durumda limit lim_{x -> 3^-} (x^2 - 4x + 3)/(x - 3) = lim_{x -> 3^-} (x - 1) = 2 olur.

2

Bulunan soldan limit değerini f(3) değerine eşitleyerek b parametresini belirlemek.

b = 2 olarak bulunur.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki limitinin fonksiyonun o noktadaki görüntüsüne eşit olması şarttır. Soldan limit değeri 2 olduğundan ve f(3) = b olarak tanımlandığından b = 2 olmalıdır.

3

f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasındaki sağdan limitini hesaplayarak c parametresini belirlemek.

c = 6 olarak bulunur.

x -> 3^+ için sağdan limit hesaplandığında 0/0 belirsizliği ortaya çıkar. Belirsizliği gidermek amacıyla pay ve payda (sqrt(2x + 3) + 3) ile çarpılarak sadeleştirme yapılır. limit değeri c/3 olarak elde edilir. Süreklilik şartı gereği sağdan limit de f(3) = 2 değerine eşit olmalıdır. Buradan c/3 = 2 denklemi ile c = 6 bulunur.

4

Elde edilen a, b ve c parametre değerlerinin toplamını hesaplamak.

a + b + c = 12 olarak bulunur.

a = 4, b = 2 ve c = 6 değerlerinin toplamı istenen sonucu verir.

Key Concept

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit ve bu ortak limit değerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir. Limit hesaplarında karşılaşılan 0/0 belirsizlikleri çarpanlara ayırma ve köklü ifadelerde eşlenik kullanımıyla çözülür.

Question 2150Question →

Bir $f$ fonksiyonu için

\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx

belirli integrali veriliyor. Bu integralde $u = x^2 + 1$ değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

\int_{2}^{5} f(u) \, du

\frac{1}{2} \int_{1}^{2} f(u) \, du

\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du

\int_{1}^{2} f(u) \, du

\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du$

Answer

\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du

Doğrulanan dönüşümde,

u = x^2 + 1

değişken değiştirmesi yapıldığında sınırlar

x = 1

için

u = 2

ve

x = 2

için

u = 5

olur. Ayrıca

x \, dx

ifadesi

\frac{1}{2} \, du

haline gelir. Bu iki durum birleştirildiğinde integral

\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Dönüşüm değişkenini belirleme ve diferansiyel alma

u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}

İntegral içindeki

x \, dx

terimini yeni değişken cinsinden yazabilmek için her iki tarafın diferansiyeli hesaplanır.

2

Belirli integral sınırlarını yeni değişkene göre güncelleme

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2

; üst sınır için

x = 2 \implies u = 2^2 + 1 = 5

Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.

3

Dönüşümleri integralde yerine yazıp yeni integral ifadesini elde etme

\int_{1}^{2} f(x^2 + 1) \cdot (x \, dx) = \int_{2}^{5} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du

Elde edilen yeni sınırlar ve diferansiyel ifadesi integralde yerine yerleştirilerek sadeleştirilir.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel (

du

) katsayısının doğru hesaplanması.

Question 2151Question →

Tanımlı oldukları kümelerde türevlenebilir $y$ , $u$ ve $v$ fonksiyonları

y = u^3 - 2u^2 + 1

u = \\sqrt{v+1}

v = 2x^2 - x - 3

eşitlikleriyle verilmektedir.

Buna göre, $x = 2$ noktasında $\\frac{dy}{dx}$ türevinin değeri kaçtır?

1

4

7

14

28

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Zincir kuralı doğru bir şekilde uygulanarak elde edilen türev değeri 7'dir.

Zincir kuralı uygulanarak değişkenlerin türevleri

\\frac{dy}{du} = 4

,

\\frac{du}{dv} = \\frac{1}{4}

ve

\\frac{dv}{dx} = 7

olarak bulunmuş ve çarpımları sonucunda 7 değeri elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

x = 2

değeri için sırasıyla

v

ve

u

değişkenlerinin değerlerini hesaplayın.

x = 2

için:

v = 2(2)^2 - 2 - 3 = 8 - 5 = 3

v = 3

için:

u = \\sqrt{3+1} = \\sqrt{4} = 2

Türevlerin hesaplanacağı noktaları belirlemek için her değişkenin değerini bulmamız gerekir.

2

Her bir fonksiyonun kendi bağımsız değişkenine göre türevini alın ve ilgili noktadaki değerini hesaplayın.

-

\\frac{dy}{du} = 3u^2 - 4u \\implies u = 2

için

\\frac{dy}{du} = 3(2)^2 - 4(2) = 12 - 8 = 4

-

\\frac{du}{dv} = \\frac{1}{2\\sqrt{v+1}} \\implies v = 3

için

\\frac{du}{dv} = \\frac{1}{2\\sqrt{4}} = \\frac{1}{4}

-

\\frac{dv}{dx} = 4x - 1 \\implies x = 2

için

\\frac{dv}{dx} = 4(2) - 1 = 7

Zincir kuralı formülünü uygulayabilmek için her bir bileşenin türev değerine ihtiyaç vardır.

3

Zincir kuralını uygulayarak

\\frac{dy}{dx}

değerini bulun.

\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dv} \\cdot \\frac{dv}{dx} = 4 \\cdot \\frac{1}{4} \\cdot 7 = 7

Zincir kuralına göre bağımlı değişkenin en içteki bağımsız değişkene göre türevi, ara türevlerin çarpımına eşittir.

Key Concept

Bileşke fonksiyonların türevi hesaplanırken zincir kuralı uygulanır. Birden fazla bağımlı değişken içeren ifadelerde türev, her adımın türevinin birbiriyle çarpılmasıyla bulunur.

Alternative Method

Alternatif olarak, tüm değişkenler

x

cinsinden tek bir fonksiyon olarak yazılabilir:

y = (\\sqrt{2x^2-x-2})^3 - 2(2x^2-x-2) + 1

. Bu ifadenin türevi doğrudan

x

'e göre alındığında da aynı sonuç elde edilir ancak işlemler daha karmaşık olacaktır.

Estimated Time:2m 0s

Question 2152Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

h

fonksiyonu için

h(2) = 5

h'(2) = 4

eşitlikleri sağlanmaktadır.

f(x) = x^2 \cdot h(x)

g(x) = \frac{f(x)}{x^2+1}

olduğuna göre, $g'(2)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

İstenen türev değeri 4 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

f(x) = x^2 \cdot h(x)

fonksiyonunun türevi çarpım kuralı yardımıyla hesaplanır.

f'(x) = 2x \cdot h(x) + x^2 \cdot h'(x)

Çarpımın türevi kuralını uygulamak.

2

x = 2

için

f(2)

ve

f'(2)

değerleri hesaplanır.

f(2) = 20

ve

f'(2) = 36

Bir sonraki adımda bölüm türevinde kullanılacak olan fonksiyon ve türev değerlerini elde etmek.

3

g(x) = \frac{f(x)}{x^2+1}

fonksiyonunun türevi bölüm kuralı yardımıyla hesaplanır.

g'(x) = \frac{f'(x) \cdot (x^2+1) - f(x) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}

Bölümün türevi kuralını uygulamak.

4

g'(x)

ifadesinde

x = 2

yazılır ve elde edilen değerler yerine konur.

g'(2) = \frac{36 \cdot 5 - 20 \cdot 4}{25} = 4

g'(2)

değerini hesaplamak.

Key Concept

Temel türev alma kurallarından çarpım ve bölüm kurallarının uygulanması.

Question 2153Question →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^3 - 3x$ eğrisine $x = a$ ve $x = b$ ( $a \neq b$ ) apsisli noktalarından çizilen teğet doğruları birbirine paraleldir. Bu paralel doğrular arasındaki uzaklık $2\sqrt{5}$ birim olduğuna göre, $4 \cdot a \cdot b$ ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -5

Answer

Doğru cevap -5'tir.

Türev fonksiyonu yardımıyla teğetlerin paralel olma koşulu kullanılarak teğet noktalarının apsisleri arasında b = -a ilişkisi bulunmuştur. Bu noktalar üzerinden çizilen teğet doğrularının genel denklemleri oluşturulmuş ve paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü uygulanarak a^2 = 5/4 değerine ulaşılmıştır. Buradan, a * b = -5/4 ve 4 * a * b = -5 sonucu elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Teğet doğrularının paralel olmasından yararlanarak a ve b arasındaki bağıntıyı bulun.

f'(x) = 3x^2 - 3

e��rinin türev fonksiyonudur.

x = a

ve

x = b

noktalarındaki teğet doğruları paralel olduğundan eğimleri eşittir:

f'(a) = f'(b) \Rightarrow 3a^2 - 3 = 3b^2 - 3 \Rightarrow a^2 = b^2

. Soruda

a \neq b

verildiği için

b = -a

olmalıdır.

Paralel teğet doğrularının eğimleri birbirine eşittir.

2

Teğet doğrularının denklemlerini genel formda yazın.

x = a

noktasındaki teğet doğrusunun eğimi

m = 3a^2 - 3

ve geçtiği nokta

(a, a^3 - 3a)

'dır. Doğru denklemi:

y - (a^3 - 3a) = (3a^2 - 3)(x - a) \Rightarrow (3a^2 - 3)x - y - 2a^3 = 0

olarak elde edilir. Benzer şekilde,

x = -a

noktasındaki teğet doğrusunun denklemi de

(3a^2 - 3)x - y + 2a^3 = 0

olur.

Doğrular arasındaki uzaklık formülünü uygulayabilmek için doğru denklemlerinin genel formda yazılması gerekir.

3

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanarak a değerini hesaplayın.

İki paralel doğru arasındaki uzaklık

d = \frac{|2a^3 - (-2a^3)|}{\sqrt{(3a^2 - 3)^2 + (-1)^2}} = \frac{4|a|^3}{\sqrt{9a^4 - 18a^2 + 10}}

formülü ile bulunur. Bu uzaklık

2\sqrt{5}

birim olarak verilmiştir. Her iki tarafın karesi alınarak düzenleme yapıldığında:

\frac{16a^6}{9a^4 - 18a^2 + 10} = 20 \Rightarrow 4a^6 - 45a^4 + 90a^2 - 50 = 0

denklemi elde edilir.

u = a^2

dönüşümü ile

4u^3 - 45u^2 + 90u - 50 = 0

kübik denklemi yazılır. Denklemin köklerinden biri

u = \frac{5}{4}

olarak bulunur.

Teğet noktalarının apsislerinin karesini belirlemek.

4

İstenen 4 * a * b ifadesini hesaplayın.

a^2 = \frac{5}{4}

ve

b = -a

olduğundan,

a \cdot b = -a^2 = -\frac{5}{4}

bulunur. Buradan

4 \cdot a \cdot b = 4 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) = -5

elde edilir.

Soru kökündeki ifadenin sayısal değerine ulaşmak.

Key Concept

Türevin geometrik yorumunda teğet doğrusunun denkleminin yazılması, paralel teğetlerin eğim eşitliği ve analitik düzlemde paralel doğrular arasındaki uzaklık bağıntısı.

Question 2154Question →

Bir

f

çift fonksiyonu için

\int_{-4}^{4} f(x) \, dx = 16

olduğuna göre,

\int_{0}^{4} 5f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

40

Verilen

f

fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan,

[-4, 4]

aralığındaki integralin değeri

[0, 4]

aralığındaki integralin iki katıdır. Buradan

[0, 4]

aralığındaki integralin değeri 8 olarak elde edilir. İstenen ifadede katsayı olan 5 integralin dışına çıkarıldığında

5 \cdot 8

çarpımından doğru cevap 40 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

f

fonksiyonunun çift fonksiyon olmasından kaynaklanan simetri özelliğini kullanmak.

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 8

Çift fonksiyonlar y-eksenine göre simetrik olduğundan, simetrik sın��rlar altındaki integralin değeri pozitif bölgedeki integralin değerinin iki katına eşittir:

\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx

2

Belirli integralin lineerlik özelliğini uygulayarak kat sayıyı integral dışına çıkarmak.

\int_{0}^{4} 5f(x) \, dx = 5 \cdot 8 = 40

Belirli integralde içerideki sabit sayı integral dışına çarpım olarak alınabilir:

\int_{a}^{b} c \cdot f(x) \, dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x) \, dx

Key Concept

Belirli integralde çift fonksiyon simetrisi ve lineerlik özellikleri

Question 2155Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + 5

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsislerinin çarpımı

-2

'dir.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin toplamı kaçtır?

1

-6

-3

-15

27

Show answer & explanation

Answer: -3

Answer

Yerel ekstremum değerlerinin toplamı -3'tür.

Doğru cevap olan

-3

değeri, türev fonksiyonunun kökler çarpımı özelliğinden

a = -12

parametresinin bulunması, ardından elde edilen türev denkleminin çözülerek yerel maksimum apsisi

x = -1

ve yerel minimum apsisi

x = 2

olarak bulunmasıyla elde edilir. Bu apsislerin fonksiyondaki değerleri sırasıyla

12

ve

-15

olup toplamları

-3

yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun türevini alarak ekstremum noktalarını belirleyen denklemi oluşturun.

f'(x) = 6x^2 - 6x + a

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türev fonksiyonunu sıfır yapan ve işaret değiştiren köklerdir.

2

Türev denkleminin kökler çarpımı formülünü kullanarak

a

parametresini hesaplayın.

x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{6} = -2 \implies a = -12

Soruda yerel ekstremum noktalarının apsisler çarpımının

-2

olduğu verilmiştir. İkinci dereceden denklemlerde kökler çarpımı

\frac{c}{a}

formülü ile hesaplanır.

3

a = -12

değerini türev denkleminde yerine yazarak ekstremum noktalarının apsislerini bulun.

6x^2 - 6x - 12 = 0 \implies 6(x^2 - x - 2) = 0 \implies 6(x-2)(x+1) = 0 \implies x_1 = -1

ve

x_2 = 2

Türevin sıfıra eşit olduğu noktaları bulmak için denklem çarpanlarına ayrılır.

4

Bulunan apsis değerlerini orijinal fonksiyonda yerine yazarak yerel ekstremum değerlerini hesaplayın.

f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 12

(yerel maksimum değeri)

f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = -15

(yerel minimum değeri)

Bir noktanın ekstremum değeri, o noktanın apsis değerinin fonksiyon altındaki görüntüsüdür.

5

Hesaplanan yerel ekstremum değerlerini toplayın.

12 + (-15) = -3

Soruda yerel ekstremum değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Key Concept

Türevin sıfıra eşit olduğu ve işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bu noktaların fonksiyon altındaki görüntüleri ise yerel ekstremum değerleridir.

Estimated Time:2m 0s

Question 2156Question →

\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{2\cos(x) - 1}{4\cos^2(x) - 1}

limitinin değeri kaçtır?

-\frac{1}{2}

1

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{3}-1}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{2}$

Answer

Sadeleştirilmiş ifadede limit değeri yerine yazıldığında elde edilen 1/2 değeri doğru cevaptır.

Limit ifadesinde

x = \frac{\pi}{3}

yazıldığında

\frac{0}{0}

belirsizliği oluşmaktadır. Paydadaki

4\cos^2(x) - 1

ifadesi iki kare farkı özdeşliği kullanılarak

(2\cos(x) - 1)(2\cos(x) + 1)

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki

2\cos(x) - 1

terimleri sadeleştirilerek belirsizlik giderilir. Kalan

\frac{1}{2\cos(x) + 1}

ifadesinde

x = \frac{\pi}{3}

değeri yerine yazıldığında sonuç

1/2

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Limitteki değişkenin yaklaştığı değeri (

x = \frac{\pi}{3}

) fonksiyonda yerine yazarak belirsizlik durumunu kontrol edin.

2\cos(\frac{\pi}{3}) - 1 = 2(\frac{1}{2}) - 1 = 0

ve

4\cos^2(\frac{\pi}{3}) - 1 = 4(\frac{1}{4}) - 1 = 0

olduğu için

\frac{0}{0}

belirsizliği elde edilir.

Limit değerini doğrudan hesaplayıp hesaplayamayacağımızı veya bir belirsizlik olup olmadığını belirlemek için bu işlem yapılır.

2

Paydadaki ifadeyi iki kare farkı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırın ve pay ile sadeleştirin.

4\cos^2(x) - 1 = (2\cos(x) - 1)(2\cos(x) + 1)

olduğundan limit ifadesi

\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{2\cos(x) - 1}{(2\cos(x) - 1)(2\cos(x) + 1)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{1}{2\cos(x) + 1}

haline gelir.

\frac{0}{0}

belirsizliğine neden olan

2\cos(x) - 1

çarpanını sadeleştirerek belirsizliği ortadan kaldırmak gerekir.

3

Sadeleştirilmiş ifadede

x = \frac{\pi}{3}

yazarak limit değerini hesaplayın.

\frac{1}{2\cos(\frac{\pi}{3}) + 1} = \frac{1}{2(\frac{1}{2}) + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}

bulunur.

Belirsizlik giderildikten sonra fonksiyon o noktada tanımlı hale geldiğinden limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemiyle bulunur.

Key Concept

Trigonometrik ifadeler içeren limitlerde iki kare farkı yardımıyla sadeleştirme yaparak 0/0 belirsizliğini giderme.

Alternative Method

L'Hopital kuralı müfredat dışı olsa da kontrol amaçlı kullanılabilir: Payın türevi

-2\sin(x)

, paydanın türevi

-8\cos(x)\sin(x) = -4\sin(2x)

olur. Türevlerin oranında

x = \frac{\pi}{3}

yazıldığında da aynı sonuç elde edilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 2157Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6

\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 10

olduğuna göre,

\int_{2}^{4} f(x-1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

4

6

8

10

16

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Değeri 6 olan seçenek doğrudur.

İntegral içindeki ifadeye

u = x-1

dönüşümü uygulandığında

du = dx

olur. Sınırlar ise

x=2

için

u=1

ve

x=4

için

u=3

olarak güncellenir. Böylece integral

\int_{1}^{3} f(u) \, du

haline gelir. Bu integral soruda verilen

\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6

ifadesine eşit olduğundan cevap 6'dır.

Step-by-Step Solution

1

u = x - 1

değişken değiştirmesi yapılır.

du = dx

elde edilir.

İntegral içindeki

f(x-1)

ifadesini

f(u)

biçimine getirip sadeleştirmek amacıyla değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

2

Belirli integralin sınırları yeni

u

değişkenine göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 2 \Rightarrow u = 2 - 1 = 1

olur. Üst sınır için

x = 4 \Rightarrow u = 4 - 1 = 3

olur.

Belirli integralde değişken değiştiğinde, integral sınırlarının da yeni değişkene göre hesaplanması zorunludur.

3

İntegral yeni sınırlar ve değişken cinsinden tekrar yazılarak hesaplanır.

\int_{2}^{4} f(x-1) \, dx = \int_{1}^{3} f(u) \, du

elde edilir. Soruda

\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6

olarak verildiğinden, bu integralin değeri 6'dır.

Belirli integralde değişkenin adının değiştirilmesi (

u

yerine

x

yazılması) integralin değerini değiştirmez.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi.

Estimated Time:50s

Question 2158Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu yardımıyla $g(x) = f(x \cdot f(x))$ fonksiyonu tanımlanıyor.

f(3) = 1

f'(3) = 2

olduğuna göre, $g'(3)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

İstenen

g'(3)

türev değeri

14

olarak bulunur.

Zincir kuralı ve çarpım kuralı doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında

g'(3) = 14

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

g(x) = f(x \cdot f(x))

fonksiyonunun türevi için zincir kuralını uygulayın.

g'(x) = f'(x \cdot f(x)) \cdot \frac{d}{dx}(x \cdot f(x))

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.

2

x \cdot f(x)

ifadesinin türevi için çarpım kuralını uygulayın.

\frac{d}{dx}(x \cdot f(x)) = f(x) + x \cdot f'(x)

Çarpım durumundaki iki ifadenin türevi

(u \cdot v)' = u'v + uv'

kuralına göre hesaplanır.

3

Türev ifadelerini birleştirerek

g'(x)

fonksiyonunu elde edin.

g'(x) = f'(x \cdot f(x)) \cdot (f(x) + x \cdot f'(x))

Zincir ve çarpım kurallarından gelen sonuçlar birleştirilerek genel türev kuralı oluşturulur.

4

Elde edilen türev fonksiyonunda

x = 3

yazarak verilen değerleri yerine koyun.

g'(3) = f'(3) \cdot (1 + 3 \cdot 2) = 2 \cdot 7 = 14

Türevlenebilir fonksiyonların verilen noktalardaki değerleri yerine yazılarak sayısal sonuca ulaşılır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı ve çarpım kuralının birlikte uygulanması

Question 2159Question →

Aşağıdaki sol sütunda dik koordinat düzleminde sınırları belirtilen kapalı bölgelerin alanları, sağ sütunda ise bu alanları hesaplamak için kullanılabilecek belirli integral ifadeleri verilmiştir. Sol sütundaki her bir alanı sağ sütundaki uygun integral ifadesiyle eşleştiriniz.

Click a left item, then click its matching right item

Show answer & explanation

Answer

Her iki sütundaki sınır tanımları ve integral alma yönleri eşleştirilerek; birinci alan birinci integral ifadesiyle, ikinci alan ikinci integral ifadesiyle, üçüncü alan üçüncü integral ifadesiyle ve dördüncü alan dördüncü integral ifadesiyle eşleşmektedir.

Verilen her kapalı bölgenin sınırları geometrik olarak incelendiğinde ve kesişim noktaları cebirsel olarak çözüldüğünde; integral sınırlarının ve integrali alınan fonksiyonların farklarının eşleşen integral ifadeleri ile tam olarak örtüştüğü görülür.

Step-by-Step Solution

1

Birinci bölgenin sınırlarını belirlemek ve kesişim noktalarını hesaplamak.

y = \sqrt{x}

ile

y = x - 2

eğrilerinin kesişim noktası

x = 4

(

y = 2

) olarak bulunur.

y

-ekseni ile olan sınırlar göz önüne alındığında, bölge

y

-eksenine göre integre edilerek

\int_{-2}^{0} (y + 2) \, dy + \int_{0}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy

olarak ifade edilir.

Bölgeyi

x

-eksenine göre integre etmek yerine

y

-eksenine göre integre etmek iki ayrı fonksiyonun sınırlarını daha kolay tanımlamayı sağlar.

2

İkinci bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.

y = 2x

ve

y = 3 - 2x

doğrularının kesişim noktası

x = 3/4

olarak bulunur. Parabol ile bu doğruların kesişimleri ise

[0, 1]

aralığındadır. Bölge

[0, 3/4]

ve

[3/4, 1]

aralıklarında ikiye bölünerek

\int_{0}^{3/4} (2x - x^2) \, dx + \int_{3/4}^{1} (3 - 2x - x^2) \, dx

şeklinde ifade edilir.

Kesişim noktasında üstteki fonksiyon değiştiği için integralin sınırlarını iki parçaya ayırmak gerekir.

3

Üçüncü bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.

y = x^3 - x

eğrisi ile

y = 3x

doğrusunun kesişim noktaları

x = 0

ve

x = 2

(pozitif tarafta) olarak bulunur. Birinci bölgede

x

-ekseni de sınır olduğundan

[0, 1]

aralığında

y = 3x

ile

y=0

arası,

[1, 2]

aralığında ise

y=3x

ile

y=x^3-x

arası taranır. Bu durum

\int_{0}^{1} 3x \, dx + \int_{1}^{2} (4x - x^3) \, dx

toplamı ile gösterilir.

Eğrinin negatif değer aldığı aralıkta alanın birinci bölgede kalması için alt sınır olarak

x

-ekseni (

y=0

) kullanılmalıdır.

4

Dördüncü bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.

y = x^2

parabolü ile

y = 6 - x

doğrusunun kesişim noktası

x = 2

olarak bulunur. Doğrunun

x

-eksenini kestiği nokta ise

x = 6

'dır.

[0, 2]

aralığında üst sınır

y = x^2

,

[2, 6]

aralığında ise üst sınır

y = 6-x

olup alan

\int_{0}^{2} x^2 \, dx + \int_{2}^{6} (6 - x) \, dx

integraline karşılık gelir.

Alan

x

-eksenine göre iki ayrı geometrik/eğrisel bölgenin toplamı olarak yazılır.

Key Concept

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Estimated Time:4m 0s

Question 2160Question →

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2

fonksiyonunun

[0, 4]

kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu aralık, her birinin uzunluğu

1

birim olan

4

eş alt aralığa bölünüyor.

Buna göre, bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark 12'dir.

Fonksiyonun türevi incelendiğinde

[0, 1]

ve

[3, 4]

aralıklarında artan,

[1, 3]

aralığında ise azalan olduğu görülür. Her bir alt aralıktaki en büyük ve en küçük değerler bulunarak hesaplanan Riemann üst toplamı 22 ve Riemann alt toplamı 10 olur. Bu iki değer arasındaki fark 12'dir.

Step-by-Step Solution

1

Türev analizi ile artan/azalan aralıkları belirleme

f'(x) = 3(x-1)(x-3)

elde edilir.

[0, 1]

aralığında

f' > 0

(artan),

[1, 3]

aralığında

f' < 0

(azalan),

[3, 4]

aralığında

f' > 0

(artan) olur.

Her bir alt aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerin hangi uç noktalarda gerçekleştiğini doğru tespit etmek.

2

Kritik noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama

f(0) = 2

,

f(1) = 6

,

f(2) = 4

,

f(3) = 2

,

f(4) = 6

olarak bulunur.

Riemann alt ve üst toplamlarında kullanılacak yükseklikleri elde etmek.

3

Riemann alt toplamını hesaplama

L = 1 \cdot [\min(f([0,1])) + \min(f([1,2])) + \min(f([2,3])) + \min(f([3,4]))] = 1 \cdot (2 + 4 + 2 + 2) = 10

Alt toplam�� oluşturan dikdörtgenlerin alanları toplamını bulmak.

4

Riemann üst toplamını hesaplama

U = 1 \cdot [\max(f([0,1])) + \max(f([1,2])) + \max(f([2,3])) + \max(f([3,4]))] = 1 \cdot (6 + 6 + 4 + 6) = 22

Üst toplamı oluşturan dikdörtgenlerin alanları toplamını bulmak.

5

İki toplam arasındaki farkı bulma

U - L = 22 - 10 = 12

Soruda istenen fark değerine ulaşmak.

Key Concept

Monoton olmayan fonksiyonlarda Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept