All practice questions

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^2 - ax + 2

parabolünün

x = 3

apsisli noktasındaki teğet doğrusunun eğimi, tepe noktası

T(r, k)

olan

g(x) = x^2 - 4x + 1

parabolünün tepe noktasının apsisi

r

'ye eşittir.

Buna göre, $a$ değeri kaçtır?

2

3

4

8

-2

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Doğru cevap 4 değeridir.

Verilen

g(x) = x^2 - 4x + 1

parabolünün tepe noktasının apsisi

r = -\frac{-4}{2} = 2

olur.

f(x) = x^2 - ax + 2

parabolünün

x=3

noktasındaki teğetinin eğimi ise türevin bu noktadaki değeridir.

f'(x) = 2x - a

olduğundan

f'(3) = 6 - a

elde edilir. Bu iki değer birbirine eşit olduğundan

6 - a = 2 \implies a = 4

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

İkinci parabolün tepe noktasının apsisi olan

r

değerini hesaplayalım.

g(x) = x^2 - 4x + 1

parabolü için tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2

olarak bulunur.

Teğet doğrusunun eğiminin eşit olduğu referans değeri belirlemek için.

2

İlk parabolün

x = 3

apsisli noktasındaki teğet doğrusunun eğimini türev yardımıyla bulalım.

f(x) = x^2 - ax + 2 \implies f'(x) = 2x - a

olur.

x = 3

noktasındaki teğet eğimi

m_t = f'(3) = 6 - a

olarak elde edilir.

Bir fonksiyonun bir noktadaki teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.

3

Teğet doğrusunun eğimini

r

değerine eşitleyerek

a

parametresini çözelim.

m_t = r \implies 6 - a = 2 \implies a = 4

bulunur.

Soruda verilen eğimlerin eşitliği koşulunu sağlamak için.

Key Concept

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir. Parabollerin tepe noktasının apsisi ise

r = -\frac{b}{2a}

formülüyle hesaplanır.

Question 2482Question →

Hava sürtünmesinin ihmal edildiği bir ortamda, yerden $20\text{ m}$ yükseklikteki bir uçurumun kenarından yatay doğrultuda $15\text{ m/s}$ büyüklüğündeki hızla fırlatılan bir cisim yere çarpana kadar yatayda kaç metre yol alır? (Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Cismin yere çarpana kadar yatayda aldığı yol

30\text{ m}

olarak bulunur.

Cismin düşeydeki hareketi serbest düşme olduğundan

h = \frac{1}{2}gt^2

bağıntısından

20 = 5t^2 \Rightarrow t = 2\text{ s}

bulunur. Yatayda ise cisim sabit hızlı hareket yapmaktadır. Buradan yatay menzil

x = v_0 \cdot t = 15 \cdot 2 = 30\text{ m}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Havada kalma süresinin hesaplanması

Cismin havada kalma süresi

t = 2\text{ s}

olarak bulunur.

Sürtünmesiz ortamda yatay olarak fırlatılan cisimlerin düşeydeki hareketi serbest düşmedir. Bu nedenle düşeydeki yükseklik kullanılarak havada kalma süresi hesaplanır.

2

Yatayda alınan yolun hesaplanması

Yatayda alınan yol

x = 30\text{ m}

olarak bulunur.

Yatay doğrultuda cisme etki eden net bir kuvvet olmadığından, cisim yatayda sabit hızlı hareket yapar. Yatay hız bileşeni ile uçuş süresi çarpılarak menzil mesafesi elde edilir.

Key Concept

Yatay atış hareketinde yatay ve düşey hareket bileşenlerinin bağımsızlığı

Estimated Time:1m 30s

Question 2483Question →

Katsayıları $A = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}$ k��mesinden rastgele ve birbirinden farklı olarak seçilen $a$ , $b$ ve $c$ sayıları ile $P(x) = ax^2 + bx + c$ parabolü oluşturuluyor. Buna göre, bu parabolün tepe noktasının koordinat sisteminin ikinci bölgesinde olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{6}

\frac{1}{5}

\frac{1}{4}

\frac{11}{30}

\frac{37}{120}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{5}$

Answer

Parabolün tepe noktasının ikinci bölgede olma olasılığı

\frac{1}{5}

'tir.

Parabolün tepe noktasının ikinci bölgede bulunması için tepe noktasının apsisinin negatif (

r < 0

) ve ordinatının pozitif (

k > 0

) olması şarttır. Bu şartlar incelendiğinde,

a

ve

b

katsayılarının aynı işaretli olması gerektiği ve

c > \frac{b^2}{4a}

eşitsizliğinin sağlanması gerektiği görülür. Kümenin elemanları arasından bu koşula uyan tüm durumlar sayıldığında toplam 24 uygun katsayı üçlüsü elde edilir. Tüm olası üçlülerin sayısı 120 olduğundan, istenen olasılık değeri

\frac{24}{120} = \frac{1}{5}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Tüm olası durumların sayısını (örnek uzayın eleman sayısını) belirlemek.

Örnek uzayın eleman sayısı

s(E) = P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120

olarak bulunur.

A

kümesinin 6 elemanı arasından sırasıyla ve birbirinden farklı 3 eleman seçilerek oluşturulabilecek

(a, b, c)

sıralı üçlülerinin toplam sayısını bulmak gerekir.

2

Parabolün tepe noktasının koordinat sisteminin ikinci bölgesinde olması için gereken koşulları tespit etmek.

Tepe noktası

T(r, k)

için

r < 0

ve

k > 0

olmalıdır.

r = -\frac{b}{2a} < 0 \implies \frac{b}{2a} > 0

olduğundan

a

ve

b

aynı işaretli olmalıdır.

k = c - \frac{b^2}{4a} > 0 \implies c > \frac{b^2}{4a}

koşulu sağlanmalıdır.

İkinci bölgedeki noktaların apsisleri negatif, ordinatları pozitiftir.

3

a

ve

b

katsayılarının her ikisinin de pozitif olduğu durumu (Durum 1) incelemek.

a, b \in \{1, 2, 3\}

için

(a, b)

ikilileri ve bunlara uygun

c \in A \setminus \{a, b\}

değerleri şunlardır:

(1, 2) \implies c > 1 \implies c = 3

(1 durum);

(1, 3) \implies c > 2.25 \implies

uygun

c

yok (0 durum);

(2, 1) \implies c > 0.125 \implies c = 3

(1 durum);

(2, 3) \implies c > 1.125 \implies

uygun

c

yok (0 durum);

(3, 1) \implies c > \frac{1}{12} \implies c = 2

(1 durum);

(3, 2) \implies c > \frac{1}{3} \implies c = 1

(1 durum). Toplam 4 durum vardır.

Pozitif katsayı ikilileri için

c > \frac{b^2}{4a}

eşitsizliğini sağlayan

c

sayılarını belirlemek için.

4

a

ve

b

katsayılarının her ikisinin de negatif olduğu durumu (Durum 2) incelemek.

a, b \in \{-3, -2, -1\}

için

(a, b)

ikilileri ve bunlara uygun

c \in A \setminus \{a, b\}

değerleri şunlardır:

(-1, -2) \implies c > -1 \implies c \in \{1, 2, 3\}

(3 durum);

(-1, -3) \implies c > -2.25 \implies c \in \{-2, 1, 2, 3\}

(4 durum);

(-2, -1) \implies c > -0.125 \implies c \in \{1, 2, 3\}

(3 durum);

(-2, -3) \implies c > -1.125 \implies c \in \{-1, 1, 2, 3\}

(4 durum);

(-3, -1) \implies c > -0.083 \implies c \in \{1, 2, 3\}

(3 durum);

(-3, -2) \implies c > -0.333 \implies c \in \{1, 2, 3\}

(3 durum). Toplam

3+4+3+4+3+3 = 20

durum vardır.

Negatif katsayı ikilileri için

c > \frac{b^2}{4a}

eşitsizliğini sağlayan

c

sayılarını belirlemek için.

5

İstenen olayın gerçekleşme olasılığını hesaplamak.

Olasılık değeri

P = \frac{4 + 20}{120} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}

olarak bulunur.

Olasılık tanımı gereği, istenen durumların sayısının tüm durumların sayısına bölünmesi gerekir.

Key Concept

Basit Olayların Olasılığı

Estimated Time:2m 30s

Question 2484Question →

Sürtünmesiz yatay bir düzlemde durmakta olan bir cisme, yatay doğrultuda ve aralarında $90^\circ$ açı bulunan $3\text{ N}$ ve $4\text{ N}$ büyüklüğünde iki kuvvet uygulanmaktadır. Cisim bu iki kuvvetin etkisinde $10\text{ m}$ yer değiştirmektedir. Buna göre, cismin üzerine etki eden net kuvvetin yaptığı iş kaç joule olur?

0\text{ J}

10\text{ J}

4\text{ N}

büyüklüğündeki kuvvetin yaptığı iş olan

40\text{ J}

50\text{ J}

70\text{ J}

Show answer & explanation

Answer: $50\text{ J}$

Answer

Net kuvvetin yaptığı iş

50\text{ J}

değerine eşittir.

Cisme etki eden net kuvvetin büyüklüğü Pisagor teoremi ile

5\text{ N}

olarak bulunur. Cisim durgun halden harekete başladığı için yer değiştirmesi net kuvvet doğrultusundadır. Yapılan net iş, net kuvvet ile yer değiştirmenin çarpımı olan

50\text{ J}

değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1

Cisme etki eden kuvvetler birbirine dik olduğu için net kuvvetin büyüklüğünü Pisagor bağıntısı kullanarak hesaplayalım.

F_{\text{net}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ N}

Birbirine dik iki vektörün bileşkesi, bu vektörlerin karelerinin toplamının kareköküne eşittir.

2

Net kuvvetin yaptığı işi (

W_{\text{net}}

) hesaplamak için iş formülünü kullanalım.

W_{\text{net}} = F_{\text{net}} \cdot x = 5\text{ N} \cdot 10\text{ m} = 50\text{ J}

Cisim başlangıçta durmakta olduğu için net kuvvet yönünde hareket eder. Net kuvvetin yaptığı iş, net kuvvetin büyüklüğü ile yer değiştirme miktarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Net kuvvetin yaptığı iş ve vektörel kuvvet bileşkesi

Question 2485Question →

Türevlenebilir bir $g$ fonksiyonu için $g(1) = 6$ ve $g'(1) = 2$ eşitlikleri verilmiştir.

f(x) = \frac{x \cdot g(x)}{x^2 + 1}

biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevi olan $f'(1)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

f fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevinin değeri 1'dir.

Bölüm ve çarpım türevi kuralları doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerlerine yazıldığında fonksiyonun türevi 1 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Bölüm türevi formül��nün oluşturulması

f'(x) = \frac{[x \cdot g(x)]' \cdot (x^2 + 1) - (x^2 + 1)' \cdot x \cdot g(x)}{(x^2 + 1)^2}

Bölüm biçimindeki bir fonksiyonun türevi alınırken bölüm türevi kuralı uygulanmalıdır.

2

Çarpım türevi kuralının paya uygulanması

[x \cdot g(x)]' = g(x) + x \cdot g'(x)

Pay kısmındaki ifade iki fonksiyonun çarpımından oluştuğu için çarpım türevi kuralı uygulanmalıdır.

3

Türev değerlerinin yerine yazılması ve hesaplanması

f'(1) = 1

x = 1

değeri için bilinen

g(1) = 6

ve

g'(1) = 2

değerleri yerlerine konularak sonuca gidilir.

Key Concept

Bölüm ve çarpım türevi kuralları

Question 2486Question →

Bir veri tabanı için 7 haneli bir güvenlik kodu oluşturulacaktır. Bu kodda $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ rakamlarının her biri tam olarak birer kez kullanılacaktır.

Güvenlik kodu oluşturulurken şu kurallara uyulacaktır:
- Tek rakamlar ( $1, 3, 5, 7$ ), kendi aralarında soldan sağa doğru artan sırada olmalıdır.
- Çift rakamların ( $2, 4, 6$ ) herhangi ikisi yan yana gelmemelidir.

Buna göre, bu kurallara uygun kaç farklı güvenlik kodu oluşturulabilir?

60

120

210

240

1440

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Kurallara uygun oluşturulabilecek güvenlik kodu sayısı 60'tır.

Doğru cevap olan 60 seçeneği; tek rakamların kendi aralarındaki sıralanışının tek türlü (1 durum) olması, çift rakamların yan yana gelmemesi için 4 tek rakamın oluşturduğu 5 boşluktan 3 tanesinin seçilmesi (10 durum) ve seçilen bu boşluklara çift rakamların yerleştirilmesi (6 durum) işlemlerinin çarpılmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Tek rakamların dizilimini sembolik olarak yerleştirme

Tek rakamlar kendi aralarında soldan sağa doğru artan sırada (

1, 3, 5, 7

) olmak zorunda olduğundan, dizilimdeki yerleri belirlendiğinde bu sayıların kendi içindeki sırası tektir (1 durum).

Soruda tek rakamların kendi aralarında artan sırada olması istendiği için sıralama sabittir ve ekstra bir permütasyon işlemi gerektirmez.

2

Çift rakamların yerleştirilebileceği boşlukları belirleme

4 tek rakam yan yana dizildiğinde aralarında ve uçlarında toplam 5 adet boşluk oluşur:

\_ \text{T} \_ \text{T} \_ \text{T} \_ \text{T} \_

Çift rakamların herhangi ikisinin yan yana gelmemesi için bu boşluklardan seçilecek farklı yerlere yerleştirilmeleri gerekir.

3

Boşluk seçimi ve çift rakamların sıralanması

5 boşluktan çift rakamlar için 3 tanesi

\binom{5}{3} = 10

farklı şekilde seçilir. Seçilen bu 3 yere 3 farklı çift rakam (

2, 4, 6

) kendi aralarında

3! = 6

farklı şekilde sıralanabilir.

Çift rakamlar birbirinden farklı olduğu için seçilen boşluklara farklı sıralamalarla yerleşebilirler.

4

Toplam durum sayısını hesaplama

Toplam durum sayısı:

\binom{5}{3} \times 3! \times 1 = 10 \times 6 \times 1 = 60

olarak bulunur.

Bağımsız seçim ve sıralama adımlarının çarpım kuralı ile birleştirilmesi gerekir.

Key Concept

Koşullu permütasyon problemlerinde belirli elemanların yan yana gelmemesi durumunda, diğer elemanların oluşturduğu boşluklara yerleştirme yöntemi kullanılır. Belirli elemanların kendi aralarında sıralanışının sabit olması durumunda ise sıralama sayısı 1 olarak alınır.

Question 2487Question →

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

\int \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} \, dx = 3x^2 - 4x + C

eşitliği verilmiştir.

f(1) = 2

olduğuna göre,

f(2)

değeri kaçtır?

12

14

16

24

28

Show answer & explanation

Answer: 28

Answer

28

İntegral içindeki rasyonel ifade, bölümün türevi kuralından

\frac{f(x)}{x^2}

ifadesinin türevine eşittir. Eşitliğin her iki tarafının integrali alındığında veya türev-integral ilişkisi kurulduğunda

\frac{f(x)}{x^2} = 3x^2 - 4x + K

elde edilir. Verilen

f(1) = 2

değeri yerine yazılarak integral sabiti

K = 3

olarak bulunur. Buradan fonksiyon

f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 3x^2

şeklinde elde edilir. Bu fonksiyonda

x = 2

yazıldığında

f(2) = 28

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

İntegral içindeki ifadenin türev kuralları açısından karşılığı belirlenir.

\frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} = \left( \frac{f(x)}{x^2} \right)'

olduğu fark edilir.

Bölümün türevi kuralına göre

\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

ifadesinde

u = f(x)

ve

v = x^2

seçilip sadeleştirme yapıldığında bu ifade elde edilir.

2

Belirsiz integral alma işlemi uygulanarak iki taraf arasındaki eşitlik yazılır.

\frac{f(x)}{x^2} = 3x^2 - 4x + K

(burada

K

bir integral sabitidir) eşitliği elde edilir.

Türevi alınan bir ifadenin belirsiz integrali, o ifadenin kendisine bir sabit eklenmesiyle bulunur.

3

Verilen

f(1) = 2

başlangıç koşulu kullanılarak

K

sabiti hesaplanır.

x = 1 \implies \frac{f(1)}{1^2} = 3(1)^2 - 4(1) + K \implies 2 = -1 + K \implies K = 3

bulunur.

Fonksiyonun kuralını tam olarak belirlemek için verilen özel nokta değeri denklemde yerine yazılır.

4

f(x)

fonksiyonunun kuralı çekilir ve istenen

f(2)

değeri hesaplanır.

f(x) = x^2(3x^2 - 4x + 3) \implies f(2) = 2^2 \cdot (3(2)^2 - 4(2) + 3) = 4 \cdot (12 - 8 + 3) = 28

bulunur.

Bulunan genel fonksiyon kuralında bağımsız değişken yerine iki yazılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Belirsiz integralin türevle ilişkisi ve bölümün türevi kuralı yardımıyla fonksiyonun yeniden oluşturulması

Question 2488Question →

Düşey kesiti verilen sürtünmesiz eğik düzlemin K noktasından serbest bırakılan $m$ kütleli bir blok, yerçekimi ivmesinin $g$ olduğu ortamda eğik düzlemin alt ucu olan L noktasından yatay yola geçiş yapıyor. Yatay yolun L noktasından itibaren sürtünme katsayısı ( $k$ ), L noktasından olan uzaklık ( $x$ ) ile doğru orantılı olacak şekilde $k = c \cdot x$ denklemiyle değişmektedir (burada $c$ pozitif bir sabittir). Blok, yatay yolda L noktasından itibaren $x_0$ kadar yol alarak M noktasında duruyor.

Buna göre;

I. Bloğun kütlesi ( $m$ ) artırılırsa durma mesafesi ( $x_0$ ) değişmez.
II. Bloğun serbest bırakıldığı yükseklik ( $h$ ) artırılırsa durma mesafesi ( $x_0$ ) artar.
III. Yolun $c$ sabiti artırılırsa bloğun duruncaya kadar geçen sürede sürtünme kuvvetinin yaptığı iş ( $W_s$ ) değişmez.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I, II ve III

Answer

Her üç öncülün de doğru olduğunu belirten seçenektir.

Cismin başlangıçtaki mekanik enerjisi

mgh

kadardır. Eğik düzlem sürtünmesiz olduğu için yatay yola

mgh

büyüklüğünde kinetik enerjiyle girer. Yatay yoldaki sürtünme katsayısı konumla doğrusal olarak değiştiğinden (

k = c \cdot x

), sürtünme kuvveti de

f_s(x) = c \cdot m \cdot g \cdot x

şeklinde konumla doğrusal olarak artar. Bu kuvvetin konuma bağlı grafiğinin altında kalan alan, sürtünme kuvvetinin yaptığı işin büyüklüğünü verir:

W_s = \frac{1}{2} \cdot c \cdot m \cdot g \cdot x_0^2

. İş-enerji teoremine göre, cismin durması için sürtünme kuvvetinin yaptığı işin büyüklüğü başlangıçtaki kinetik enerjiye eşit olmalıdır:

\frac{1}{2} \cdot c \cdot m \cdot g \cdot x_0^2 = m \cdot g \cdot h

. Buradan kütle (

m

) ve yerçekimi ivmesi (

g

) sadeleşir ve durma mesafesi

x_0 = \sqrt{\frac{2h}{c}}

olarak bulunur. Bu formüle göre durma mesafesi kütleye (

m

) bağlı değildir (I. öncül doğru), bırakılma yüksekliği (

h

) ile doğru orantılıdır (II. öncül doğru). Sürtünme kuvvetinin yaptığı toplam iş ise cismin ilk ve son mekanik enerjileri arasındaki farka eşit olup

W_s = -mgh

kadardır ve

c

sabitine bağlı değildir (III. öncül doğru).

Step-by-Step Solution

1

Cismin eğik düzlemin tepesindeki ilk mekanik enerjisini yazarak yatay yola giriş anındaki kinetik enerjisini belirlemek.

Cismin yatay yola giriş anındaki kinetik enerjisi

E_k = mgh

olur.

Eğik düzlem sürtünmesiz olduğu için mekanik enerji korunur ve başlangıçtaki potansiyel enerji tamamen kinetik enerjiye dönüşür.

2

Yatay yoldaki sürtünme kuvvetinin konuma bağlı fonksiyonunu yazıp, bu kuvvetin yaptığı işi kuvvet-konum grafiğinin alanı yardımıyla ifade etmek.

Sürtünme kuvveti

f_s(x) = c \cdot m \cdot g \cdot x

ve yaptığı işin büyüklüğü

|W_s| = \frac{1}{2} c \cdot m \cdot g \cdot x_0^2

olur.

Sürtünme katsayısı yolla doğrusal olarak arttığı için sürtünme kuvveti de konumla doğrusal artar. Değişken kuvvetlerin yaptığı iş, kuvvet-konum grafiğinin altında kalan alandan bulunur.

3

İş-enerji teoremini uygulayarak durma mesafesi olan

x_0

ifadesini ��ekmek ve öncülleri değerlendirmek.

x_0 = \sqrt{\frac{2h}{c}}

bağıntısı elde edilir. Bu bağıntıya göre durma mesafesi kütleye bağlı değildir (I. öncül doğru), yükseklik artarsa artar (II. öncül doğru). Sürtünme kuvvetinin yaptığı toplam iş ise sadece

-mgh

olup

c

sabitinden bağımsızdır (III. öncül doğru).

Cismin durması için kinetik enerjisinin tamamının sürtünme tarafından ısı enerjisine dönüştürülmesi gerekir.

Key Concept

Değişken sürtünme kuvvetinin yaptığı işin kuvvet-konum grafiğinin alanı ile hesaplanması ve iş-enerji teoremi uygulanarak enerji dönüşümünün incelenmesi.

Question 2489Question →

\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^6

ifadesinin $x$ 'in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki terimlerden katsayısı en küçük olan terimin katsayısı kaçtır?

-160

-192

-96

-12

240

Show answer & explanation

Answer: $-192$

Answer

En küçük katsayıya sahip terimin katsayısı

-192

değeridir.

Genel terim formülü düzenlendiğinde katsayı ifadesi

\binom{6}{r} (-2)^r

olur. Negatif terimler arasında en küçük değere ulaşmak için

r

'nin tek sayı değerleri (

r=1, 3, 5

) yerine yazılır. Bu değerler arasında en küçük sonuç

r=5

için

-192

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Binom açılımının genel terim formülü kurulur.

\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^6

ifadesinin açılımındaki genel terim:

T_{r+1} = \binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \left(-\frac{2}{x}\right)^r

şeklinde yazılır.

Açılımdaki herhangi bir terimin katsayısını

r

parametresine bağlı olarak ifade edebilmek için.

2

Genel terim düzenlenerek katsayı ve değişken kısımları ayrıştırılır.

T_{r+1} = \binom{6}{r} (-2)^r x^{12-3r}

elde edilir. Buradan katsayıyı veren ifade

C(r) = \binom{6}{r} (-2)^r

olarak bulunur.

Katsayının değerini belirleyen cebirsel ifadeyi netleştirmek için.

3

Katsayının en küçük değerini bulmak için negatif değerler üreten tek

r

değerleri (

r = 1, 3, 5

) tek tek hesaplanır.

r = 1

için:

\binom{6}{1} (-2)^1 = 6 \cdot (-2) = -12

r = 3

için:

\binom{6}{3} (-2)^3 = 20 \cdot (-8) = -160

r = 5

için:

\binom{6}{5} (-2)^5 = 6 \cdot (-32) = -192

Tabandaki negatif işaret nedeniyle tek kuvvetlerin negatif sonuç vereceğini bilip bu seçenekleri karşılaştırmak için.

4

Hesaplanan katsayılar arasından en küçük olanı belirlenir.

-192 < -160 < -12

olduğundan en küçük katsayı

-192

olarak bulunur.

Negatif sayılarda mutlak değerce büyük olan sayının daha küçük olduğunu dikkate alarak sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Binom açılımında genel terim katsayısı hesabı ve katsayıların karşılaştırılması

Estimated Time:2m 0s

Question 2490Question →

Düşey doğrultuda yukarıya doğru $15\text{ m/s}$ sabit hızla yükselmekte olan bir sıcak hava balonundaki g��zlemci, yatay düzlemdeki düz bir yolda hareket eden bir otomobilin hızını kendisine göre $25\text{ m/s}$ büyüklüğünde ölçmektedir.

Buna göre, otomobilin yere göre hızının büyüklüğü kaç $\text{m/s}$ 'dir?

10

20

30

5\sqrt{34}

40

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Otomobilin yere göre hızının büyüklüğü 20 m/s'dir.

Otomobil yatay düzlemde, balon ise düşey doğrultuda hareket ettiğinden, otomobil ile balonun yere göre hız vektörleri birbirine diktir. Bağıl hız vektörünün büyüklüğü, bu iki dik vektörün oluşturduğu dik üçgenin hipotenüs uzunluğuna karşılık gelir. Buradan Pisagor teoremi uygulandığında otomobilin hızı 20 m/s olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Hız vektörlerinin doğrultularını belirleme.

Balonun hız vektörü düşey doğrultuda, otomobilin hız vektörü ise yatay düzlemde olduğundan bu iki hız vektörü birbirine diktir.

Fiziksel durumun geometriye dökülmesi için hız vektörlerinin arasındaki açısal ilişkiyi tespit etmek gerekir.

2

Bağıl hız bağıntısını yazma.

Balondaki gözlemciye göre otomobilin bağıl hızı

\vec{v}_{bağıl} = \vec{v}_O - \vec{v}_B

şeklindedir.

Bağıl hız, gözlenenin hızından gözlemcinin hızının vektörel olarak çıkarılmasıyla bulunur.

3

Vektörel çıkarma işleminin büyüklüğünü ilişkilendirme.

Yatay ve düşey vektörler birbirine dik olduğundan, bağıl hız vektörünün büyüklüğü ile bileşenler arasında Pisagor bağıntısı kurulur:

v_{bağıl}^2 = v_O^2 + v_B^2

.

Birbirine dik iki vektörün farkının büyüklüğü, bu vektörlerin büyüklüklerinin karelerinin toplamının kareköküne eşittir.

4

Otomobilin hızını hesaplama.

25^2 = v_O^2 + 15^2 \implies 625 = v_O^2 + 225 \implies v_O^2 = 400 \implies v_O = 20\text{ m/s}

bulunur.

Bilinen değerler Pisagor bağıntısında yerine yazılarak otomobilin yere göre hız büyüklüğü çekilir.

Key Concept

Birbirine dik doğrultularda hareket eden cisimler arasındaki bağıl hız vektörünün hesaplanması.

Estimated Time:2m 0s

Question 2491Question →

Doğu yönünde sabit hızla gitmekte olan $K$ aracındaki bir gözlemci, aynı yatay düzlemde sabit hızla hareket eden $L$ aracını kuzey yönünde gidiyormuş gibi görmektedir. Buna göre, $L$ aracının yere göre hız vektörünün batı yönünde bir bileşeni olamayacağı ifadesisinin doğru (True) ya da yanlış (False) olduğunu belirleyiniz.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

İfade doğrudur. L aracının yere göre hız vektörü doğu ve kuzey bileşenlerine sahip olup, batı yönünde bir bileşeni bulunamaz.

Bağıl hız bağıntısına göre gözlenen L aracının hızı, bağıl hız vektörü ile gözlemci K aracının hız vektörünün toplamıdır. Doğuya yönelmiş bir vektör ile kuzeye yönelmiş bir vektörün toplamının yatay bileşeni daima doğu yönünde olmak zorundadır. Bu nedenle L aracının batı yönünde bir hız bileşeni olamaz ve ifade doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Bağıl hareket formülünün yazılması

\vec{v}_{bağıl} = \vec{v}_{gözlenen} - \vec{v}_{gözlemci}

formülü kurulur. Burada gözlemci K aracı, gözlenen ise L aracıdır. Buna göre

\vec{v}_{bağıl} = \vec{v}_L - \vec{v}_K

olur.

Bağıl hız, gözlenen cismin yere göre hızından gözlemcinin yere göre hızının vektörel olarak çıkarılmasıyla bulunur.

2

Hız vektörlerinin yönlerinin tanımlanması ve L'nin hızının çekilmesi

Doğu yönü

+x

(

\hat{i}

), kuzey yönü

+y

(

\hat{j}

) olarak seçilirse;

\vec{v}_K = v_K\hat{i}

(

v_K > 0

) ve

\vec{v}_{bağıl} = v_b\hat{j}

(

v_b > 0

) olur. Formül düzenlendiğinde

\vec{v}_L = \vec{v}_{bağıl} + \vec{v}_K = v_K\hat{i} + v_b\hat{j}

bulunur.

L aracının yere göre hız vektörünün bileşenlerini ve yönünü belirlemek için.

3

Bileşenlerin analiz edilmesi

L aracının hız vektörü

\vec{v}_L = (v_K, v_b)

şeklindedir. Yatay bileşen (

v_K

) pozitif değerli olup doğu yönündedir. Bu durumda L aracının batı yönünde (

-x

) bir hız bileşenine sahip olması imkansızdır.

İfadenin doğruluğunu test etmek için yatay eksendeki hız bileşeninin işaretini kontrol etmek gerekir.

Key Concept

İki Boyutta Bağıl Hareket ve Vektörel İşlemler

Question 2492Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6

\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 18

e��itlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{2}^{3} f(2x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

İstenen belirli integrallerin toplam değeri 9'dur.

Verilen ilk integralde

2x = u

değişken değiştirmesi yapıldığında sınırların

[0, 4]

aralığına güncellendiği ve integralin değerinin 12 olduğu görülür. Toplam integral tanım aralığı

[0, 6]

olduğundan, aralık bölme özelliğiyle

[4, 6]

aralığındaki integral değeri 6 olarak bulunur. Sorulan ifadedeki

2x = t

değişken değiştirmesiyle ilk terimin

[4, 6]

aralığındaki integralin yarısı (yani 3) olduğu elde edilir. Bu değer ile

[4, 6]

aralığındaki integralin kendisinin (yani 6) toplamı 9 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6

integralinde

u = 2x

değişken değiştirmesi yapılması

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12

u = 2x \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}

olur. Sınırlar ise

x = 0

için

u = 0

ve

x = 2

için

u = 4

olarak güncellenir. Buradan

\frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \, du = 6

eşitliğinden

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12

elde edilir.

2

\int_{0}^{6} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx

özelli��inin kullanılması

\int_{4}^{6} f(x) \, dx = 6

[0, 6]

aralığındaki integral, bilinen

[0, 4]

aralığı ve bilinmeyen

[4, 6]

aralığı olarak ikiye bölünür.

18 = 12 + \int_{4}^{6} f(x) \, dx

eşitliğinden aranan kısım

6

bulunur.

3

\int_{2}^{3} f(2x) \, dx

integralinde

t = 2x

dönüşümü yapılarak ifadenin hesaplanması

\int_{2}^{3} f(2x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx = 9

t = 2x \implies dx = \frac{dt}{2}

olur. Sınırlar

x = 2

için

t = 4

ve

x = 3

için

t = 6

olur. İntegral

\frac{1}{2} \int_{4}^{6} f(t) \, dt = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3

değerini alır. Toplam ise

3 + 6 = 9

olur.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme ve aralık bölme özellikleri

Question 2493Question →

Düşey bir duvara dayalı $4\text{ kg}$ kütleli bir cisme, yatayla $53^\circ$ lik açı yapacak şekilde yukarı ve duvara doğru $100\text{ N}$ büyüklüğünde sabit bir $F$ kuvveti şekildeki gibi uygulanmaktadır. Cisim ile duvar arasındaki statik sürtünme katsayısı $\mu_s = 0,5$ , kinetik sürtünme katsayısı ise $\mu_k = 0,4$ tür.

Buna göre, cismin ivmesi kaç $\text{m/s}^2$ büyüklüğündedir?

$(\sin(53^\circ) = 0,8;\; \cos(53^\circ) = 0,6;\; g = 10\text{ m/s}^2)$

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Cismin ivmesi

4\text{ m/s}^2

büyüklüğündedir.

Cisme uygulanan kuvvetin yatay bileşeni (

60\text{ N}

) normal kuvveti belirler. Yukarı yönlü düşey bileşen (

80\text{ N}

) ile cismin ağırlığı (

40\text{ N}

) arasındaki fark (

40\text{ N}

), maksimum statik sürtünme kuvveti olan

30\text{ N}

değerini aştığı için cisim yukarı doğru harekete geçer. Hareket esnasında etki eden kinetik sürtünme kuvveti

24\text{ N}

olup net kuvvet

16\text{ N}

'dur. Buradan ivme

4\text{ m/s}^2

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kuvvet bileşenlerinin belirlenmesi

F_x = 60\text{ N}

(duvara dik tepki kuvvetini oluşturan bileşen) ve

F_y = 80\text{ N}

(yukarı yönlü hareket ettirici bileşen).

Kuvvetin cismi duvara sıkıştıran ve düşey doğrultuda hareket ettirmek isteyen etkilerini ayrı ayrı analiz etmek için.

2

Cismin ağırlığının ve sürtünmesiz durumdaki net düşey eğilim kuvvetinin hesaplanması

G = m \cdot g = 40\text{ N}

(aşağı yönlü). Düşey doğrultudaki net kuvvet eğilimi:

F_y - G = 40\text{ N}

(yukarı yönlü).

Cismin düşey doğrultuda hangi yöne hareket etme eğiliminde olduğunu ve bu eğilimin büyüklüğünü bulmak için.

3

Maksimum statik sürtünme kuvvetinin bulunması ve hareket kontrolünün yapılması

f_{s,\text{max}} = \mu_s \cdot N = 0,5 \cdot 60 = 30\text{ N}

. Harekete zorlayıcı kuvvet olan

40\text{ N}

, maksimum statik sürtünme değerinden büyük olduğundan cisim yukarı yönlü ivmeli hareket yapar.

Cismin statik sürtünmeyi aşarak harekete geçip geçmeyeceğini belirlemek için.

4

Kinetik sürtünme kuvvetinin ve düşey doğrultudaki net kuvvetin hesaplanması

f_k = \mu_k \cdot N = 24\text{ N}

. Düşey net kuvvet:

F_{\text{net}} = F_y - G - f_k = 80 - 40 - 24 = 16\text{ N}

.

Hareket başladıktan sonra cismin ivmesini belirleyecek net kuvveti bulmak için.

5

Newton'ın İkinci Hareket Yasası ile ivmenin bulunması

a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{16\text{ N}}{4\text{ kg}} = 4\text{ m/s}^2

.

Net kuvvet ve kütle bilindiği için ivmeyi temel hareket bağıntısından çekmek için.

Key Concept

Düşey duvarda hareket eden cisimler için normal kuvvetin uygulanan kuvvetin yatay bileşeni tarafından belirlenmesi, statik ve kinetik sürtünme durumlarının ayırt edilmesi ve Newton'ın ikinci yasası.

Question 2494Question →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^3 - 3x^2 - 5x + 2

eğrisinin teğet doğrularından biri

y = 4x - 1

doğrusuna paraleldir.

Buna göre, bu teğet doğrusunun $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Teğet doğrusunun y eksenini kestiği noktanın ordinatının alabileceği pozitif değer 7'dir.

Teğet doğrusu

y = 4x - 1

doğrusuna paralel olduğundan eğimi

m = 4

'tür.

f'(x) = 3x^2 - 6x - 5 = 4 \implies 3x^2 - 6x - 9 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0

denkleminin kökleri

x = 3

ve

x = -1

'dir. Bu noktalardaki teğet doğruları sırasıyla

y = 4x - 25

ve

y = 4x + 7

olup,

y

eksenini kestikleri noktaların ordinatları

-25

ve

7

'dir. Pozitif ordinat değeri sorulduğu için doğru cevap 7'dir.

Step-by-Step Solution

1

Teğet doğrusunun eğimini belirleme

m = 4

Teğet doğrusu

y = 4x - 1

doğrusuna paralel olduğundan eğimleri birbirine eşittir.

2

Fonksiyonun türevini alma

f'(x) = 3x^2 - 6x - 5

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.

3

Teğet noktalarının apsislerini bulma

x_1 = 3

ve

x_2 = -1

Türev ifadesi teğet eğimi olan 4 değerine eşitlenerek oluşan ikinci dereceden denklem çözülür.

4

Teğet noktalarının koordinatlarını hesaplama

(3, -13)

ve

(-1, 3)

Bulunan apsis değerleri orijinal

f(x)

fonksiyonunda yerine yazılarak teğet noktalarının koordinatları belirlenir.

5

Teğet doğrularının denklemlerini elde edip y eksenini kestikleri noktaları bulma

y = 4x - 25

doğrusu için ordinat

-25

;

y = 4x + 7

doğrusu için ordinat

7

bulunur. Pozitif değer

7

olarak seçilir.

Teğet doğrularının denklemleri yazıldıktan sonra

x = 0

verilerek doğruların

y

eksenini kestikleri noktaların ordinatları bulunur.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu, teğet doğrusunun eğimi ve denklemi

Question 2495Question →

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3}, & x < 3 \\ a, & x = 3 \\ x^2 - bx + 3, & x > 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanan

f

fonksiyonu her

x

gerçel sayısı için süreklidir. Buna göre,

a + b

toplamı kaçtır?

4

6

7

8

10

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Doğru cevap 8'dir.

Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik nokta olan

x=3

noktasında sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyon değeri eşit olmalıdır. Soldan limit

\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} (x+3) = 6

olarak bulunur. Dolayısıyla

f(3) = a = 6

olmalıdır. Sağdan limit

\lim_{x \to 3^+} (x^2 - bx + 3) = 12 - 3b

olur. Bu değerlerin eşitliğinden

12 - 3b = 6 \implies b = 2

elde edilir. Buradan

a+b = 6+2 = 8

bulunur. Bu nedenle doğru cevap 8 seçeneğidir.

Step-by-Step Solution

1

x < 3

için limit değerini hesaplamak amacıyla soldan limit alınır ve

\frac{0}{0}

belirsizliği sadeleştirme yoluyla giderilir.

\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3^-} (x+3) = 6

.

Fonksiyonun

x=3

noktasında sürekli olması için bu noktadaki soldan limitinin var ve tanımlı olması gerekir.

2

Süreklilik tanımı gereği, fonksiyonun

x=3

noktasındaki değeri soldan limite eşitlenerek

a

parametresi bulunur.

f(3) = a \implies a = 6

.

Sürekli bir fonksiyonun bir noktadaki değeri, o noktadaki limit değerine eşit olmalıdır.

3

x > 3

için sağdan limit alınır ve bu limit değeri de

6

olarak bulunan limit değerine eşitlenerek

b

parametresi hesaplanır.

\lim_{x \to 3^+} (x^2 - bx + 3) = 9 - 3b + 3 = 12 - 3b

.

12 - 3b = 6 \implies 3b = 6 \implies b = 2

.

Sürekliliğin sağlanması için sağdan limitin de soldan limit ve fonksiyon değerine eşit olması şarttır.

4

Bulunan

a

ve

b

değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

a + b = 6 + 2 = 8

.

Soruda bizden istenen toplamın değerini bulmak.

Key Concept

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır.

Estimated Time:1m 30s

Question 2496Question →

Hava sürtünmelerinin önemsiz olduğu bir ortamda, yerden eğik olarak fırlatılan bir cismin ilk hızının yatay bileşeni $12\text{ m/s}$ , düşey bileşeni ise $15\text{ m/s}$ 'dir.

Buna göre, cismin fırlatıldıktan $1\text{ s}$ sonraki hızının büyüklüğ�� kaç $\text{m/s}$ 'dir? ( $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

5

7

13

17

27

Show answer & explanation

Answer: $13$

Answer

13\text{ m/s}

Sürtünmesiz ortamda yatay doğrultudaki hız değişmez ve

12\text{ m/s}

olarak kalır. Düşey doğrultudaki hız ise yer çekimi nedeniyle saniyede

10\text{ m/s}

azalır ve

1\text{ s}

sonra

5\text{ m/s}

olur. Bu iki dik hız bileşeninin bileşkesi Pisagor bağıntısıyla hesaplandığında

13\text{ m/s}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Yatay hız bileşeninin belirlenmesi

v_x = 12\text{ m/s}

Hava sürtünmesi önemsiz olduğundan yatay doğrultuda cisim üzerine etki eden net bir kuvvet yoktur. Bu nedenle yatay hız bileşeni hareket boyunca sabit kalır.

2

1\text{ s}

sonraki düşey hız bileşeninin hesaplanması

v_y = 5\text{ m/s}

Düşey doğrultuda cisim yer çekimi ivmesinin etkisi altındadır. Yukarı yönde hareket eden cismin hızı her saniye

10\text{ m/s}

azalır.

1\text{ s}

sonra düşey hız

v_y = v_{0y} - g \cdot t = 15 - 10 \cdot 1 = 5\text{ m/s}

olur.

3

Toplam hız büyüklüğünün bulunması

v = 13\text{ m/s}

Birbirine dik olan yatay ve düşey hız bileşenlerinin bileşkesi Pisagor bağıntısı ile hesaplanır:

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = 13\text{ m/s}

.

Key Concept

İki boyutta harekette yatay ve düşey hız bileşenlerinin bağımsızlığı ve anlık hızın vektörel toplamı

Estimated Time:45s

Question 2497Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{2} f(2x - 1) \, dx = 3

\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 6

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 15

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,

\int_{2}^{3} f(2x - 1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

\frac{9}{2}

\frac{3}{2}

6

3

\frac{21}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{9}{2}$

Answer

Dokuz bölü iki

Dokuz bölü iki değeri doğrudur. İlk integralde

u = 2x - 1

dönüşümü yapılarak

\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6

ve ikinci integralde

t = x^2 + 1

dönüşümü yapılarak

\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12

elde edilir.

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 15

olduğundan, aralık parçalama özelliğiyle

\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 15 - 6 = 9

bulunur. Son olarak, istenen integralde

v = 2x - 1

dönüşümü uygulandığında

\frac{1}{2} \int_{3}^{5} f(v) \, dv = \frac{9}{2}

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İlk integral olan

\int_{1}^{2} f(2x - 1) \, dx = 3

ifadesinde

u = 2x - 1

dönüşümü yapılır.

du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}

olur. Sınırlar için;

x = 1 \implies u = 1

ve

x = 2 \implies u = 3

elde edilir. Böylece

\int_{1}^{3} f(u) \frac{du}{2} = 3 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6

bulunur.

Verilen integral ifadesini daha basit bir formda yazmak ve integral sınırlarını değişken cinsinden belirlemek için.

2

İkinci integral olan

\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 6

ifadesinde

t = x^2 + 1

dönüşümü yapılır.

dt = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dt}{2}

olur. Sınırlar için;

x = 1 \implies t = 2

ve

x = 2 \implies t = 5

elde edilir. Böylece

\int_{2}^{5} f(t) \frac{dt}{2} = 6 \implies \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12

bulunur.

x \cdot dx

ifadesini

dt

cinsinden yazıp integral sınırlarını güncellemek için.

3

Elde edilen integral değerleri ve belirli integralin parçalama özelliği kullanılarak

\int_{3}^{5} f(x) \, dx

hesaplanır.

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx

yazılır. Buradan

15 = 6 + \int_{3}^{5} f(x) \, dx \implies \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 9

bulunur.

Sınırları

[3, 5]

olan integralin değerini bulmak için aralık toplamsal özelliğinden yararlanılır.

4

Bizden istenen

\int_{2}^{3} f(2x - 1) \, dx

integralinde

v = 2x - 1

dönüşümü uygulanır.

dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2}

olur. Sınırlar için;

x = 2 \implies v = 3

ve

x = 3 \implies v = 5

elde edilir. Bu durumda istenen integral

\frac{1}{2} \int_{3}^{5} f(v) \, dv = \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2}

olarak hesaplanır.

İstenen integrali, değeri bilinen integral cinsine dönüştürmek için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi

Question 2498Question →

Yandaki dik koordinat düzleminde $y = 9 - x^2$ ve $y = x^2 - 2x - 3$ parabolleri ile bu parabollerin sınırladığı boyalı bölge gösterilmi��tir.

Buna göre, boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

\frac{125}{3}

\frac{112}{3}

\frac{44}{3}

\frac{32}{3}

36

Show answer & explanation

Answer: $\frac{125}{3}$

Answer

Boyalı bölgenin alanı

\frac{125}{3}

birimkaredir.

Kesişim noktaları

x = -2

ve

x = 3

olarak belirlendikten sonra,

[-2, 3]

aralığında üstte yer alan

y = 9 - x^2

parabolünden altta yer alan

y = x^2 - 2x - 3

parabolü çıkarılarak oluşturulan belirli integralin değeri

\frac{125}{3}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Parabollerin kesişim noktalarının apsislerini bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.

9 - x^2 = x^2 - 2x - 3 \Rightarrow 2x^2 - 2x - 12 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 2) = 0

. Buradan kesişim noktaları

x = -2

ve

x = 3

olarak bulunur.

Sınırlı bölgenin sınırlarını belirlemek için kesişim noktalarının apsisleri gereklidir.

2

Kesişim sınırları arasında üstte kalan eğriden altta kalan eğriyi çıkararak alan integralini kurun.

Boyalı bölgede

y = 9 - x^2

parabolü üstte,

y = x^2 - 2x - 3

parabolü ise alttadır. Dolayısıyla alan integrali:

A = \int_{-2}^{3} \left( (9 - x^2) - (x^2 - 2x - 3) \right) dx = \int_{-2}^{3} (-2x^2 + 2x + 12) dx

şeklinde kurulur.

İki eğri arasında kalan alan, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemimi çıkararak hesaplanır.

3

Elde edilen integralin ters türevini (antiderivatif) bulun.

\int (-2x^2 + 2x + 12) dx = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12x

Belirli integrali hesaplamak için temel integral alma kuralları uygulanır.

4

Sınır değerlerini yerine yazarak belirli integralin değerini hesaplayın.

F(3) = -\frac{2}{3}(3)^3 + 3^2 + 12(3) = -18 + 9 + 36 = 27

F(-2) = -\frac{2}{3}(-2)^3 + (-2)^2 + 12(-2) = \frac{16}{3} + 4 - 24 = -\frac{44}{3}

A = F(3) - F(-2) = 27 - \left( -\frac{44}{3} \right) = 27 + \frac{44}{3} = \frac{125}{3}

birimkare.

İntegral sınırları yerine yazılarak net alan değeri bulunur.

Key Concept

İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.

Question 2499Question →

Bir düzgün zar art arda 3 kez havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların çarpımının 12 ile tam bölünebilme olasılığı en sade biçimde $\frac{a}{b}$ rasyonel sayısı olarak ifade edilmektedir.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 307

Answer

307

Soruda istenen olasılık, zarların çarpımının 12'ye tam bölünmesidir. Bu olasılığı tümleyen yöntemiyle 12'ye bölünemeyen durumları tüm durumlardan çıkararak

\frac{91}{216}

olarak buluruz. 91 ve 216 sayıları aralarında asal olduğundan pay ve payda toplamı

91 + 216 = 307

olmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Örnek uzayın eleman sayısını belirlemek.

Örnek uzayın eleman sayısı:

6^3 = 216

Bir zarın 6 yüzü vardır ve zar 3 kez atıldığında toplam

6 \times 6 \times 6 = 216

farklı sonuç oluşur.

2

Çarpımın 12 ile bölünebilme şartlarını analiz etmek.

Çarpımın 12 ile tam bölünebilmesi için asal çarpanlarında en az bir adet 3 ve en az iki adet 2 bulunmalıdır.

12 sayısı

2^2 \times 3

olarak asal çarpanlarına ayrılır.

3

Koşulu sağlamayan durumları tümleyen yöntemiyle belirlemek.

Çarpımın 3'e bölünmediği durum sayısı 64'tür. Çarpımın 4'e bölünmediği durum sayısı 81'dir. Hem 3'e hem 4'e bölünmeyen durum sayısı ise 20'dir.

Kümelerin birleşimi ilkesini (inclusion-exclusion) uygulayarak istenmeyen durumları daha kolay sayabiliriz.

4

İstenmeyen durumların toplam sayısını ve istenen durum sayısını hesaplamak.

İstenmeyen durum sayısı:

64 + 81 - 20 = 125

. İstenen durum sayısı:

216 - 125 = 91

.

İstenmeyen durum sayısı

n(A' \cup B') = n(A') + n(B') - n(A' \cap B')

formülüyle bulunur. İstenen durum sayısı ise tüm durumlardan istenmeyenin çıkarılmasıyla elde edilir.

5

Olasılığı bulup pay ve payda toplamını hesaplamak.

Olasılık

\frac{91}{216}

olup

a+b = 91 + 216 = 307

olur.

91 ile 216 sayıları aralarında asaldır, dolayısıyla kesir en sade haldedir.

Key Concept

Tümleyen Olayların Olasılığı ve Kümelerde Birleşim İlkesi

Question 2500Question →

Sürtünmesiz yatay düzlemde $10\text{ m/s}$ hızla hareket etmekte olan $0{}5\text{ kg}$ kütleli bir top, düşey duvara dik olarak çarpmış ve duvardan aynı doğrultuda, ters yönde $8\text{ m/s}$ hızla geri dönmüştür.

Buna göre, duvarın topa uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç $\text{N}\cdot\text{s}$ 'dir?

1

2

5

9

18

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Duvarın topa uyguladığı itmenin büyüklüğü

9\text{ N}\cdot\text{s}

'dir.

İtme, çizgisel momentumdaki değişime eşittir (

\vec{I} = \Delta\vec{P}

). Topun duvara çarpmadan önceki momentumu duvara doğru

5\text{ kg}\cdot\text{m/s}

, çarptıktan sonraki momentumu ise duvardan zıt yönde

4\text{ kg}\cdot\text{m/s}

'dir. Vektörel çıkarma işlemi yapıldığında momentum değişimi ve dolayısıyla itmenin büyüklüğü

9\text{ N}\cdot\text{s}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İlk ve son çizgisel momentum vektörlerini tanımlamak için yön seçimi yapılır.

Sağa doğru (duvara doğru) hareket yönü pozitif (

+

) kabul edilirse; ilk hız

v_1 = +10\text{ m/s}

ve geri dönen topun son hızı

v_2 = -8\text{ m/s}

olur.

Çizgisel momentum ve itme vektörel büyüklükler olduğundan yön tayini zorunludur.

2

Topun ilk ve son momentum değerleri hesaplanır.

P_1 = m \cdot v_1 = 0{}5\text{ kg} \times (+10\text{ m/s}) = +5\text{ kg}\cdot\text{m/s}

ve

P_2 = m \cdot v_2 = 0{}5\text{ kg} \times (-8\text{ m/s}) = -4\text{ kg}\cdot\text{m/s}

olarak bulunur.

Momentum değişimi

\Delta\vec{P} = \vec{P}_2 - \vec{P}_1

bağıntısını uygulamak i��in bileşenler belirlenmelidir.

3

Momentum değişimi hesaplanarak itmenin büyüklüğü bulunur.

I = \Delta P = P_2 - P_1 = -4 - (+5) = -9\text{ N}\cdot\text{s}

olur. İtmenin büyüklüğü ise

|I| = 9\text{ N}\cdot\text{s}

olarak elde edilir.

İtme, çizgisel momentumdaki değişime eşittir (

\vec{I} = \Delta\vec{P}

).

Key Concept

İtme ve Çizgisel Momentum Değişimi Arasındaki İlişki (

\vec{I} = \Delta\vec{P}

)

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept