All practice questions

Question 521Question →

Bir düzgün zar art arda 3 kez havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların çarpımının 12 ile tam bölünebilme olasılığı en sade biçimde $\frac{a}{b}$ rasyonel sayısı olarak ifade edilmektedir.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 307

Answer

307

Soruda istenen olasılık, zarların çarpımının 12'ye tam bölünmesidir. Bu olasılığı tümleyen yöntemiyle 12'ye bölünemeyen durumları tüm durumlardan çıkararak

\frac{91}{216}

olarak buluruz. 91 ve 216 sayıları aralarında asal olduğundan pay ve payda toplamı

91 + 216 = 307

olmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Örnek uzayın eleman sayısını belirlemek.

Örnek uzayın eleman sayısı:

6^3 = 216

Bir zarın 6 yüzü vardır ve zar 3 kez atıldığında toplam

6 \times 6 \times 6 = 216

farklı sonuç oluşur.

2

Çarpımın 12 ile bölünebilme şartlarını analiz etmek.

Çarpımın 12 ile tam bölünebilmesi için asal çarpanlarında en az bir adet 3 ve en az iki adet 2 bulunmalıdır.

12 sayısı

2^2 \times 3

olarak asal çarpanlarına ayrılır.

3

Koşulu sağlamayan durumları tümleyen yöntemiyle belirlemek.

Çarpımın 3'e bölünmediği durum sayısı 64'tür. Çarpımın 4'e bölünmediği durum sayısı 81'dir. Hem 3'e hem 4'e bölünmeyen durum sayısı ise 20'dir.

Kümelerin birleşimi ilkesini (inclusion-exclusion) uygulayarak istenmeyen durumları daha kolay sayabiliriz.

4

İstenmeyen durumların toplam sayısını ve istenen durum sayısını hesaplamak.

İstenmeyen durum sayısı:

64 + 81 - 20 = 125

. İstenen durum sayısı:

216 - 125 = 91

.

İstenmeyen durum sayısı

n(A' \cup B') = n(A') + n(B') - n(A' \cap B')

formülüyle bulunur. İstenen durum sayısı ise tüm durumlardan istenmeyenin çıkarılmasıyla elde edilir.

5

Olasılığı bulup pay ve payda toplamını hesaplamak.

Olasılık

\frac{91}{216}

olup

a+b = 91 + 216 = 307

olur.

91 ile 216 sayıları aralarında asaldır, dolayısıyla kesir en sade haldedir.

Key Concept

Tümleyen Olayların Olasılığı ve Kümelerde Birleşim İlkesi

Question 522Question →

Yer çekimi ivmesinin $g = 10\text{ m/s}^2$ kabul edildiği ve hava direncinin önemsenmediği bir ortamda, bir kulenin tepesinden yatay doğrultuda $v_0 = 30\text{ m/s}$ büyüklüğünde hızla fırlatılan bir cisim $80\text{ m}$ düşey düşüş yaparak yere ulaşıyor. Buna göre, cismin fırlatıldığı düşey doğrultudan yatayda kaç metre uzakta yere çarptığını bulunuz.

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

Cismin fırlatıldığı düşey doğrultudan yatayda aldığı yol

120\text{ m}

'dir.

Cismin düşeydeki hareketi serbest düşme olup

h = 5t^2

bağıntısı ile

80 = 5t^2

eşitliğinden uçuş süresi

t = 4\text{ s}

olarak elde edilir. Cismin yatayda aldığı yol ise sabit hızlı hareket prensibine göre

x = v_0 \cdot t

formülüyle

x = 30 \cdot 4 = 120\text{ m}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Düşey doğrultudaki hareket analiz edilerek uçuş süresi (

t

) hesaplanır.

t = 4\text{ s}

Yatay atış hareketinde düşey doğrultudaki hareket, ilk hızı sıfır olan serbest düşme hareketidir.

h = \frac{1}{2}gt^2

formülü kullanılarak süre bulunur.

2

Yatay doğrultudaki sabit hızlı hareket formülü kullanılarak yatayda alınan yol (

x

) hesaplanır.

x = 120\text{ m}

Yatay doğrultuda cisme etki eden net bir kuvvet olmadığından cisim yatayda sabit hızlı hareket yapar. Yatay yol

x = v_0 \times t

formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Yatay atış hareketinde cisim düşey doğrultuda serbest düşme, yatay doğrultuda ise sabit hızlı hareket yapar.

Estimated Time:1m 30s

Question 523Question →

Analitik düzlemde $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$ ve $g(x) = -x^2 + 2x + 10$ parabollerinin sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 32 birimkaredir.

Üstteki parabol olan

g(x) = -x^2 + 2x + 10

fonksiyonundan alttaki parabol olan

f(x) = 2x^2 - 4x + 1

fonksiyonu çıkarılarak elde edilen

(-3x^2 + 6x + 9)

ifadesinin kesim noktaları olan

[-1, 3]

aralığındaki belirli integrali alındığında sonuç 32 birimkare bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Parabollerin kesim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyelim.

x_1 = -1

ve

x_2 = 3

İntegral sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesiştiği apsis değerlerini bulmamız gerekir.

2

Belirtilen aralıkta hangi parabolün daha üstte yer aldığını belirleyelim.

[-1, 3]

aralığında

g(x) \ge f(x)

İntegrali kurarken üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonu çıkarmak için.

3

İki eğri arasında kalan alanı veren belirli integrali yazalım.

\int_{-1}^{3} (-3x^2 + 6x + 9) dx

Alan, üstteki eğri ile alttaki eğrinin farkının kesim noktaları arasındaki belirli integraline eşittir.

4

İntegrali hesaplayıp sınır değerlerini yerine koyalım.

32

Belirli integralin değerini bularak alanı hesaplamak için.

Key Concept

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla hesaplama

Estimated Time:2m 0s

Question 524Question →

Bir

f

fonksiyonu her

x

gerçel sayısı için

f(x) = (x^2 - a)(x^2 + 2x + 3)

biçiminde tanımlanıyor.

$f'(1) = 24$ olduğuna göre, $a$ gerçel sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

Çarpımın türevi kuralı uygulanarak elde edilen

f'(1) = 16 - 4a

ifadesi

24

'e eşitlendiğinde

a

değeri

-2

olarak hesaplanır.

Verilen fonksiyonun türevi çarpım kuralına göre alınır:

f'(x) = 2x(x^2 + 2x + 3) + (x^2 - a)(2x + 2)

. Bu türev fonksiyonunda

x=1

yazıldığında

f'(1) = 16 - 4a

elde edilir. Bu değer

24

'e eşitlendiğinde

16 - 4a = 24 \implies a = -2

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Çarpımın türevi kuralını fonksiyon üzerinde uygulayarak genel türev ifadesini bulunuz.

f'(x) = 2x(x^2 + 2x + 3) + (x^2 - a)(2x + 2)

İki fonksiyonun çarpımı durumundaki ifadelerin türevini almak için çarpım kuralının doğru uygulanması gerekir.

2

Türev ifadesinde

x = 1

değerini yerine koyarak

f'(1)

değerini

a

parametresine bağlı olarak hesaplayınız.

f'(1) = 16 - 4a

Soruda verilen

f'(1) = 24

bilgisini kullanabilmek için fonksiyonun türevinin

x=1

noktasındaki cebirsel karşılığı bulunur.

3

Elde edilen

16 - 4a = 24

denklemini çözerek

a

değerini bulunuz.

a = -2

Türev değerini sağlayan

a

bilinmeyenini belirlemek için doğrusal denklem çözülür.

Key Concept

Çarpımın Türevi Kuralı

Estimated Time:2m 0s

Question 525Question →

Bir ses yalıtım malzemesinin kalınlığı ile bu malzemeden geçen sesin şiddet düzeyi arasındaki ilişkiyi inceleyen bir mühendis,

x\text{ cm}

kalınlığındaki bir yalıtım duvarından geçen sesin şiddet düzeyini

\beta(x)

desibel (

\text{dB}

) cinsinden

\beta(x) = \beta_0 - 10 \log_{10}(1 + ax)

modeli ile hesaplamaktadır. Bu modelde

\beta_0

sesin malzemeye çarpmadan önceki ilk şiddet düzeyini,

a

ise malzemeye bağlı pozitif bir sabiti göstermektedir.
Aynı malzemeden yapılmış

3\text{ cm}

kalınlığındaki bir duvar,

80\text{ dB}

şiddetindeki bir sesi

70\text{ dB}

düzeyine düşürmektedir.
Buna göre, aynı malzemeden yapılmış bir duvarın

80\text{ dB}

şiddetindeki bir sesi

50\text{ dB}

düzeyine düşürebilmesi için kalınlığı kaç

\text{cm}

olmalıdır?

Show answer & explanation

Answer: 333

Answer

Duvarın kalınlığı 333 cm olmalıdır.

Ses yalıtım modeli kullanılarak ilk verilerden malzemenin a sabiti 3 olarak bulunur. Ardından, sesin 80 dB'den 50 dB'e düşmesi için gereken kalınlık x değeri modelde yerine yazıldığında log10(1 + 3x) = 3 denklemi elde edilir. Logaritma tanımı gereği 1 + 3x = 1000 olup buradan x = 333 cm olarak doğru şekilde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İlk durumdaki verileri (x = 3, ilk ses şiddeti 80 dB ve geçiş sonrası ses şiddeti 70 dB) denklemde yerine yazarak malzeme sabiti olan a değerini bulmak.

70 = 80 - 10 * log10(1 + 3a) denklemi elde edilir.

Malzemenin ses yutma katsayısını (a sabiti) belirlemek, ikinci durumdaki kalınlığı hesaplamak için gereklidir.

2

Elde edilen logaritmik denklemi çözerek a değerini hesaplamak.

log10(1 + 3a) = 1 => 1 + 3a = 10 => a = 3 bulunur.

Logaritma tanımı gereği log10(y) = 1 ise y = 10'dur.

3

Hesaplanan a = 3 değerini ve ikinci durumdaki verileri (ilk ses şiddeti 80 dB ve hedef ses şiddeti 50 dB) modelde yerine koymak.

50 = 80 - 10 * log10(1 + 3x) denklemi kurulur.

İstenen yalıtım düzeyini sağlayacak kalınlık (x) değerini belirlemek için yeni bir denklem oluşturulur.

4

Oluşturulan denklemi x için çözmek.

log10(1 + 3x) = 3 => 1 + 3x = 1000 => 3x = 999 => x = 333 bulunur.

Logaritma tanımı kullanılarak logaritmik ifade üstel ifadeye dönüştürülür ve x yalnız bırakılır.

Key Concept

Logaritmik fonksiyonların gerçek hayat durumlarını modellemede kullanımı ve logaritma özelliklerini uygulayarak denklem çözme.

Question 526Question →

x

bir gerçel sayı ve

a

bir tam sayı olmak üzere,

\frac{x^2 - (a-2)x + 16}{x^2 + 4x + 8} > 0

eşitsizliği her

x

gerçel sayısı için sağlanmaktadır.
Buna göre,

a

'nın alabilece��i farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

a tam sayıs��nın alabileceği değerlerin toplamı 30'dur.

Paydadaki ifadenin diskriminantı negatif ve başkatsayısı pozitif olduğundan daima pozitiftir. Eşitsizliğin daima sağlanması için payın da daima pozitif olması gerekir, bu da payın diskriminantının negatif olmasını gerektirir. Buradan elde edilen

-6 < a < 10

aralığındaki tam sayıların toplamı 30'dur.

Step-by-Step Solution

1

Paydadaki ifadenin işaretini belirlemek için diskriminant analizi yapılması.

\Delta = -16 < 0

ve başkatsayı pozitif olduğundan payda daima pozitiftir.

Paydanın kökünün olup olmadığını ve işaretinin her yerde aynı olup olmadığını anlamak için.

2

Pay kısmındaki ifadenin daima pozitif olması gerektiği şartının kurulması.

x^2 - (a-2)x + 16 > 0

ifadesinin diskriminantı sıfırdan küçük olmalıdır (

\Delta < 0

).

Daima pozitif bir ifadenin paydası pozitifse payı da pozitif olmalıdır ve gerçel kökü bulunmamalıdır.

3

Payın diskriminant eşitsizliğinin çözülmesi.

|a-2| < 8 \Rightarrow -6 < a < 10

aralığı elde edilir.

a

parametresinin alabileceği değer aralığını bulmak için.

4

Bulunan aralıktaki tam sayıların toplanması.

-5

ile

9

arasındaki tam sayıların toplamı

30

olarak hesaplanır.

Soruda istenen

a

değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Key Concept

Bir rasyonel ifadenin daima pozitif olması için pay ve paydanın işaretlerinin analizi ve ikinci dereceden bir ifadenin daima pozitif olma şartı (

\Delta < 0

ve

a > 0

).

Question 527Question →

1'den büyük ve

x < y < z

şartını sağlayan

x, y

ve

z

gerçel sayıları için,

\log_2(x \cdot y \cdot z) = 7

\log_x 2 + \log_y 2 + \log_z 2 = \frac{7}{4}

\log_x 2 \cdot \log_y 2 \cdot \log_z 2 = \frac{1}{8}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $4(\log_x y + \log_y z + \log_z x)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

İstenen ifadenin değeri 17'dir.

Soruda verilen logaritmik ifadeler

\log_2

tabanına dönüştürülüp değişken değiştirme uygulandığında, köklerinin toplamı, ikişerli çarpımlarının toplamı ve çarpımları bilinen bir üçüncü derece denklem elde edilir. Bu denklemin kökleri bulunup büyüklük sıralamasına göre değişkenlere atandıktan sonra taban değiştirme kuralı yardımıyla hedeflenen toplam tam olarak 17 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Değişken dönüşümü yapılması ve sıralama şartının belirlenmesi

u = \log_2 x

,

v = \log_2 y

,

w = \log_2 z

olmak üzere

0 < u < v < w

bağıntısı elde edilir.

Logaritmik ifadeleri daha kolay çözebilmek ve cebirsel denklemler elde etmek için.

2

Verilen logaritma denklemlerinin

u, v, w

cinsinden ifade edilmesi

u + v + w = 7

,

\frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w} = \frac{7}{4}

ve

uvw = 8

denklemleri elde edilir.

Çarpım kuralı (

\log_2(xyz) = \log_2 x + \log_2 y + \log_2 z

) ve taban değiştirme kuralının sonucu olan çarpmaya göre tersi özelliğinin (

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

) uygulanması amacıyla.

3

Payda eşitleyerek ikişerli çarpımların toplamının hesaplanması

uv + vw + wu = 14

bulunur.

İkinci denklemde payda eşitlendiğinde elde edilen

\frac{uv+vw+wu}{uvw} = \frac{7}{4}

ifadesinde

uvw = 8

değerini yerine koymak için.

4

Kökleri

u, v, w

olan üçüncü dereceden denklemin yazılması ve çözülmesi

t^3 - 7t^2 + 14t - 8 = 0

denkleminin kökleri

t = 1, 2, 4

olarak bulunur. Sıralamadan dolayı

u=1, v=2, w=4

olur.

Toplamları, ikişerli çarpımlarının toplamları ve çarpımları bilinen üç sayıyı belirlemek için Vieta formüllerinden yararlanılır.

5

İstenen ifadenin değerinin taban değiştirme kuralı yardımıyla hesaplanması

4(\log_x y + \log_y z + \log_z x) = 17

elde edilir.

Taban değiştirme kuralı kullanılarak

\log_x y = \frac{\log_2 y}{\log_2 x} = \frac{v}{u}

vb. dönüşümleri yapıp bulunan değerleri yerine yazarak sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Logaritma özelliklerinin (çarpım kuralı, taban değiştirme ve çarpmaya göre tersi özellikleri) cebirsel denklem sistemleriyle birleştirilerek uygulanması.

Question 528Question →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = 3x^2 - 12x + 7

parabolünün tepe noktası

T(r, k)

'dir.

Buna göre, $r + k$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -3

Answer

Parabolün tepe noktasının bileşenleri toplamı

-3

'tür.

Parabolün tepe noktasının apsisi

r = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = 2

ve ordinatı

k = f(2) = -5

olup bu iki değerin toplamı

2 + (-5) = -3

yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Tepe noktasının apsisi olan

r

değerini bulmak.

r = 2

Tepe noktasının apsisi parabolün simetri eksenidir ve

r = -\frac{b}{2a}

formülü ile bulunur. Değerler yerine yazıldığında

r = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = 2

elde edilir.

2

Tepe noktasının ordinatı olan

k

değerini bulmak.

k = -5

Tepe noktasının ordinatını bulmak için elde edilen

r

değeri fonksiyonda yerine yazılır.

k = f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 7 = -5

olur.

3

r + k

toplamını hesaplamak.

-3

Bulunan

r = 2

ve

k = -5

değerleri toplanarak

2 + (-5) = -3

sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Parabolün tepe noktası

T(r, k)

koordinatlarının tepe noktası formülleriyle bulunması.

Question 529Question →

Bir

(a_n)

gerçel sayı dizisinde,

a_1 = 6

ve her

n \geq 1

tam sayısı için

a_{n+1} = \frac{n}{n+2} \cdot a_n

indirgeme bağıntısı tanımlanıyor.

Buna göre, $\frac{1}{a_{15}}$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

İstenen değer 20 olarak bulunur.

İndirgemeli dizide ardışık terimlerin oranı teleskopik çarpım yöntemiyle sadeleştirildiğinde,

a_1 = 6

başlangıç koşulu yardımıyla

a_{15} = \frac{1}{20}

olarak elde edilir. Bu değerin çarpmaya göre tersi alındığında doğru sonuç 20 olur.

Step-by-Step Solution

1

İndirgeme bağıntısında

n

yerine sırasıyla

1, 2, 3, \dots, 14

yazarak terimler arasındaki ilişkileri belirleyin.

n=1

için

a_2 = \frac{1}{3} a_1

,

n=2

için

a_3 = \frac{2}{4} a_2

,

n=3

için

a_4 = \frac{3}{5} a_3

,

\dots

,

n=14

için

a_{15} = \frac{14}{16} a_{14}

elde edilir.

Dizinin terimlerini birbirine bağlayan eşitlikleri taraf tarafa çarparak teleskopik sadeleştirme yapabilmek için.

2

Elde edilen 14 adet eşitliği taraf tarafa çarpın.

a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \dots a_{15} = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \dots \frac{14}{16}\right) a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_{14}

eşitliğinden

a_2, a_3, \dots, a_{14}

terimleri sadeleşerek

a_{15} = \left(\frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 16}\right) a_1

elde edilir.

Ardışık terimlerin çarpım durumunda sadeleşmesini (teleskopik çarpım) sağlamak için.

3

Sadeleşme sonucunu düzenleyin ve

a_1 = 6

başlangıç değerini yerine yazarak

a_{15}

değerini hesaplayın.

a_{15} = \frac{2}{240} \cdot 6 = \frac{1}{120} \cdot 6 = \frac{1}{20}

bulunur.

a_{15}

teriminin sayısal değerine ulaşmak için.

4

Bizden istenen

\frac{1}{a_{15}}

ifadesinin değerini bulun.

\frac{1}{a_{15}} = \frac{1}{1/20} = 20

bulunur.

Soruda

a_{15}

yerine

\frac{1}{a_{15}}

değeri sorulduğu için.

Key Concept

İndirgemeli dizilerde teleskopik çarpım yöntemi kullanılarak genel veya belirli bir terimin başlangıç terimi cinsinden bulunması.

Estimated Time:2m 0s

Question 530Question →

Pozitif terimli ve artan bir $(a_n)$ geometrik dizisinde ilk terim $a_1 = \log_3 x$ ve ortak çarpan $r = \log_x 27$ olarak tanımlanıyor.

Bu dizinin ilk üç teriminin toplamı $13$ olduğuna göre, ilk beş teriminin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 121

Answer

İlk beş terimin toplamı 121'dir.

Logaritma özellikleri kullanılarak dizinin terimleri

a_1 = \log_3 x

,

a_2 = 3

ve

a_3 = \frac{9}{\log_3 x}

şeklinde elde edilir. Bu terimlerin toplamı

13

'e eşitlendiğinde

\log_3 x = 1

ve

\log_3 x = 9

olmak üzere iki kök bulunur. Dizinin artan olması için ortak çarpanın

r > 1

olması gerektiğinden

a_1 = 1

ve

r = 3

durumunu sağlayan

\log_3 x = 1

kökü kabul edilir. İlk

5

terimin toplamı ise

S_5 = 1 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 121

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Dizinin genel terim tanımını kullanarak ikinci ve üçüncü terimleri

x

cinsinden ifade etmek.

a_2 = a_1 \cdot r = \log_3 x \cdot \log_x 27 = \log_3 27 = 3

ve

a_3 = a_2 \cdot r = 3 \cdot \log_x 27 = 3 \cdot \frac{\log_3 27}{\log_3 x} = \frac{9}{\log_3 x}

Dizinin tüm terimlerini ortak bir logaritmik tabanda yazarak denklemi basitleştirmek.

2

İlk üç terimin toplamı olan

S_3 = 13

eşitliğini kurmak.

a_1 + a_2 + a_3 = \log_3 x + 3 + \frac{9}{\log_3 x} = 13 \implies \log_3 x + \frac{9}{\log_3 x} = 10

Bilinmeyen logaritmik ifadeyi belirlemek üzere bir denklem elde etmek.

3

\log_3 x = u

dönüşümü yaparak oluşan rasyonel denklemi çözmek.

u + \frac{9}{u} = 10 \implies u^2 - 10u + 9 = 0 \implies (u-1)(u-9) = 0 \implies u = 1

veya

u = 9

İkinci dereceden denklemin köklerini bularak

a_1

teriminin alabileceği değerleri tespit etmek.

4

Dizinin 'artan' olma koşulunu kullanarak uygun olan

u

değerini seçmek.

u = 9 \implies a_1 = 9

ve

r = \log_x 27 = \frac{3}{\log_3 x} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

olur. Ortak çarpan

r < 1

olduğundan bu dizi azalandır.

u = 1 \implies a_1 = 1

ve

r = \frac{3}{1} = 3

olur. Ortak çarpan

r > 1

olduğundan bu dizi artandır. Dolayısıyla

a_1 = 1

ve

r = 3

değerleri seçilir.

Soruda verilen 'artan geometrik dizi' şartını sağlayan tek durumu belirlemek.

5

Geometrik dizide ilk

n

terim toplamı formülü olan

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

ifadesini

n = 5

için uygulamak.

S_5 = 1 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = \frac{243 - 1}{2} = 121

Dizinin ilk beş teriminin toplam değerini hesaplamak.

Key Concept

Geometrik dizinin ilk n terim toplamı ve logaritmik ifadelerde taban değiştirme kuralı.

Estimated Time:3m 0s

Question 531Question →

Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir

(a_n)

aritmetik dizisinde ortak fark pozitif bir gerçel sayıdır. Bu dizinin terimleri arasında,

a_5 + a_9 = 34

a_3^2 + a_{11}^2 = 706

e��itlikleri sağlandığına göre, bu dizinin ilk terimi olan

a_1

kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Dizinin ilk terimi olan

a_1

değeri

5

olarak bulunur.

Aritmetik dizilerde simetrik indislerin aritmetik ortalaması ortadaki terimi verir (

a_5 + a_9 = 2a_7

). Buradan

a_7 = 17

bulunur.

a_3

ve

a_{11}

terimleri sırasıyla

a_7 - 4r

ve

a_7 + 4r

şeklinde yazılıp kareleri toplandığında çapraz terimler birbirini götürür ve

2(17^2 + 16r^2) = 706

denklemi elde edilir. Buradan

r^2 = 4

ve pozitiflik şartından

r = 2

bulunur. Son olarak

a_1 = a_7 - 6r = 17 - 12 = 5

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İndis simetrisini kullanarak

a_7

terimini belirleme

a_7 = 17

a_5 + a_9 = 2a_7

bağıntısı aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki simetriden kaynaklanır.

2

a_3

ve

a_{11}

terimlerini

a_7

ve ortak fark

r

türünden yazma

a_3 = 17 - 4r

ve

a_{11} = 17 + 4r

Bilinmeyen sayısını azaltmak için terimleri

a_7

referans alınarak ifade etmek kolaylık sağlar.

3

Kareler toplamı eşitliğinde yerine yazarak ortak fark

r

'yi bulma

r = 2

(17-4r)^2 + (17+4r)^2 = 2(289 + 16r^2) = 706

denkleminden

r^2 = 4

ve pozitif ortak fark şartından

r=2

elde edilir.

4

a_1

ilk terimini hesaplama

a_1 = 5

a_7 = a_1 + 6r

genel terim formülünden yararlanılır.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamlarının eşit olması ve genel terim özellikleri.

Question 532Question →

Bir biyoloji laboratuvarında A ve B tüplerindeki bakteri popülasyonları gözlemlenmektedir. A tüpündeki bakteri sayısının her saatin sonundaki değerleri bir geometrik dizi oluşturmaktadır. Bu dizinin 3. terimi $12 \cdot 10^4$ ve 6. terimi $96 \cdot 10^4$ olarak ölçülmüştür. B tüpündeki bakteri sayısının her saatin sonundaki değerleri ise bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu dizinin ilk 8 teriminin toplamı $88 \cdot 10^4$ ve 4. terimi $10 \cdot 10^4$ olarak belirlenmiştir. Buna göre, A tüpündeki bakteri sayısının B tüpündeki bakteri sayısının 4 katı olduğu saatin sonunda, B tüpündeki bakteri sayısı kaç adet $10^4$ 'tür?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

A tüpündeki bakteri sayısının B tüpündeki bakteri sayısının 4 katı olduğu saatin sonunda, B tüpündeki bakteri sayısı 12 adet

10^4

'tür.

A tüpündeki bakteri sayısı geometrik dizi (

a_n = 3 \cdot 10^4 \cdot 2^{n-1}

) ve B tüpündeki bakteri sayısı aritmetik dizi (

b_n = (2n + 2) \cdot 10^4

) kurallarına uyar.

a_n = 4 \cdot b_n

eşitliğinden

n = 5

saati elde edilir. 5. saatin sonunda B tüpünde

12 \cdot 10^4

bakteri bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A tüpünün geometrik dizisi

(a_n)

için ortak çarpanı ve ilk terimi belirlemek.

a_3 = a_1 \cdot r^2 = 12 \cdot 10^4

ve

a_6 = a_1 \cdot r^5 = 96 \cdot 10^4

eşitliklerinden

r^3 = 8 \implies r = 2

bulunur. Buradan

a_1 = 3 \cdot 10^4

elde edilir. Genel terim

a_n = 3 \cdot 10^4 \cdot 2^{n-1}

olur.

Geometrik dizinin her bir saatin sonundaki değerlerini bulmak için genel terim formülünü oluşturmamız gerekir.

2

B tüpünün aritmetik dizisi

(b_n)

için ortak farkı ve ilk terimi belirlemek.

b_4 = b_1 + 3d = 10 \cdot 10^4

ve

S_8 = 4(2b_1 + 7d) = 88 \cdot 10^4 \implies 2b_1 + 7d = 22 \cdot 10^4

denklem sistemi çözüldüğünde

d = 2 \cdot 10^4

ve

b_1 = 4 \cdot 10^4

bulunur. Genel terim

b_n = (2n + 2) \cdot 10^4

olur.

Aritmetik dizinin her saatin sonundaki değerlerini hesaplayabilmek için ortak farkı ve ilk terimi bulmamız gerekir.

3

a_n = 4 \cdot b_n

denklemini çözerek

n

değerini bulmak.

3 \cdot 10^4 \cdot 2^{n-1} = 4 \cdot (2n + 2) \cdot 10^4 \implies 3 \cdot 2^{n-1} = 8(n + 1) \implies 3 \cdot 2^{n-4} = n + 1

denklemini sağlayan pozitif tam sayı

n = 5

olarak bulunur.

İki popülasyon arasındaki oran şartını sağlayan saati belirlemek.

4

n = 5

için B tüpündeki bakteri sayısını hesaplamak.

b_5 = (2 \cdot 5 + 2) \cdot 10^4 = 12 \cdot 10^4

bulunur.

İstenen saatin sonundaki bakteri miktarını bulmak.

Key Concept

Aritmetik ve geometrik dizilerin genel terim formülleri, toplam formülleri ve gerçek hayat problemlerine uygulanması.

Question 533Question →

Bir gölün suyunun berraklığını ve ışık geçirgenliğini inceleyen bir grup araştırmacı, göl yüzeyindeki ışık şiddeti $I_0$ lüks (lux) iken, yüzeyden $d$ metre derinlikteki ışık şiddetini $I(d)$ lüks olarak ölçmektedir. Bu göl için derinliğe bağlı ışık şiddeti

I(d) = I_0 \cdot e^{-0.08 \cdot d}

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, göldeki ışık ��iddetinin yüzeydeki ışık şiddetinin %20'sine düştüğü derinlik kaç metredir? ( $\ln 5 \approx 1.6$ alınız. )

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Göldeki ışık şiddetinin yüzeydeki ışık şiddetinin %20'sine düştüğü derinlik 20 metredir.

Işık şiddetinin yüzeydeki değerin %20'si olan

0.20 \cdot I_0

değerine ulaştığı derinliği bulmak amacıyla

I_0 \cdot e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 \cdot I_0

denklemi kurulur. Buradan

e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 = 5^{-1}

elde edilir. Her iki tarafın doğal logaritması alındığında

-0.08 \cdot d = \ln(5^{-1}) = -\ln 5

olur. Buradan

0.08 \cdot d = \ln 5

elde edilir. Soruda verilen

\ln 5 \approx 1.6

değeri yerine yazıldığında

0.08 \cdot d = 1.6 \implies d = 20

metre bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Işık şiddetinin yüzeydeki değerin %20'si olması koşulunu matematiksel olarak ifade etme.

I(d) = 0.20 \cdot I_0

elde edilir.

Yüzeydeki ışık şiddeti

I_0

olarak tanımlandığı için, bu değerin %20'si

0.20 \cdot I_0

değerine karşılık gelir.

2

Elde edilen bu koşulu verilen model fonksiyonunda yerine yazma.

I_0 \cdot e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 \cdot I_0

denklemi kurulur.

Belirli bir

d

derinliğindeki ışık şiddeti formülü ile hedeflenen ışık şiddeti değeri eşitlenir.

3

Denklemdeki ortak terimleri sadeleştirerek üstel ifadeyi yalnız bırakma.

e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 = \frac{1}{5}

bulunur.

Her iki taraftaki

I_0

çarpanları sadeleştirilerek bilinmeyen derinlik

d

değişkeninin çözümü kolayla��tırılır.

4

Her iki tarafın doğal logaritmasını alarak üstel denklemi logaritmik denkleme dönüştürme.

-0.08 \cdot d = \ln(5^{-1}) \implies 0.08 \cdot d = \ln 5

elde edilir.

e

tabanındaki üstel ifadenin üssünü aşağı indirmek amacıyla doğal logaritma tanımı ve

\ln(x^{-1}) = -\ln x

özelliği kullanılır.

5

Soruda verilen yaklaşık logaritma değerini kullanarak derinliği hesaplama.

d = 20

bulunur.

\ln 5 \approx 1.6

değeri denklemde yerine yerleştirilerek

0.08 \cdot d = 1.6 \implies d = 20

sonucu elde edilir.

Key Concept

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar içeren gerçek hayat modellerinde denklem kurma, logaritma özelliklerini kullanarak üstel denklemleri çözme.

Question 534Question →

Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ birim, bu kenarların karşılarındaki açılar sırasıyla $A$ ve $B$ , üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı ise $R$ birimdir.

Bu üçgende,

a^2 - b^2 = 12

\sin^2 A - \sin^2 B = \frac{3}{16}

olduğuna göre, çevrel çemberin yarıçapı $R$ kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

çevrel çemberin yarıçapı 4 birimdir.

Çevrel çemberin yarıçapı 4 birimdir. Çünkü Sinüs Teoremi kullanılarak elde edilen karesel ilişkide kenarların kareleri farkı ile sinüslerin kareleri farkı oranlandığında yarıçapın karesi elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Sinüs teoremini kullanarak kenar uzunlukları ile açıların sinüs değerleri arasındaki ilişkiyi yazalım.

a = 2R \sin A

ve

b = 2R \sin B

Sinüs teoremine göre bir üçgende her kenar uzunluğu, karşı açısının sinüs değeri ve çevrel çemberin çapı (

2R

) ile orantılıdir.

2

Elde ettiğimiz eşitlikleri

\sin A

ve

\sin B

ifadelerini yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim.

\sin A = \frac{a}{2R}

ve

\sin B = \frac{b}{2R}

Soruda verilen sinüslü ifadelerin yerine kenar uzunluklarını yazabilmek için.

3

Bulduğumuz ifadelerin karesini alarak

\sin^2 A - \sin^2 B

denkleminde yerine yazalım.

\sin^2 A - \sin^2 B = \frac{a^2}{4R^2} - \frac{b^2}{4R^2} = \frac{a^2 - b^2}{4R^2} = \frac{3}{16}

Verilen iki denklem arasında ilişki kurarak

R

değerini bulabilmek için.

4

a^2 - b^2 = 12

bilgisini denklemde yerine koyup

R

değerini hesaplayalım.

\frac{12}{4R^2} = \frac{3}{16} \implies \frac{3}{R^2} = \frac{3}{16} \implies R^2 = 16 \implies R = 4

Bilinmeyen

R

değerini yalnız bırakıp çözüme ulaşmak için.

Key Concept

Sinüs teoremi gereğince, bir üçgenin kenar uzunluklarının karşılarındaki açıların sinüslerine oranı sabittir ve bu oran çevrel çemberin çapına (

2R

) eşittir.

Estimated Time:2m 0s

Question 535Question →

1'den büyük $a$ ve $b$ gerçel sayıları için $\log_a b$ bir tam sayıdır.

\log_a(a^2 \cdot b^3) \cdot \log_b(a^4 \cdot b) = 24

olduğuna göre,

\log_{\sqrt{a}}(b) + \log_b(a^3 \cdot \sqrt{b})

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İfadenin doğru değeri 6'dır.

Verilen denklemde logaritma özellikleri kullanılarak

\log_a b = 2

elde edilir. Bu değer istenen ifadede yerine konulduğunda

\log_{\sqrt{a}}(b) = 4

ve

\log_b(a^3 \cdot \sqrt{b}) = 2

değerleri bulunur ve bu iki değerin toplamı 6 olur.

Step-by-Step Solution

1

Değişken değiştirme yapılması

\log_a b = x

denilerek ifadeler basitleştirilir.

Çoklu terim içeren logaritmik denklemi çözülebilir bir cebirsel denkleme dönüştürmek için.

2

Denklem terimlerinin

x

cinsinden yazılması

\log_a(a^2 b^3) = 2 + 3x

ve

\log_b(a^4 b) = \frac{4}{x} + 1

ifadeleri bulunur.

Logaritmanın çarpım ve üs özelliklerini kullanarak tabanları ve argümanları ayrıştırmak için.

3

Denklemin çözülmesi

3x^2 - 10x + 8 = 0

denkleminin kökleri

x = 2

ve

x = \frac{4}{3}

olarak elde edilir.

İkinci dereceden denklemin kök bulma yöntemlerini uygulamak için.

4

Kökün elenmesi

x = 2

seçilir.

x

'in bir tam sayı olması gerektiği soruda belirtildiği için.

5

İstenen ifadenin hesaplanması

Değer 6 olarak bulunur.

x = 2

değerini hedef ifadede yerine yazıp logaritma özelliklerini uygulamak için.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunda çarpım, üs ve taban değiştirme özelliklerinin bir arada kullanılarak denklemlerin çözülmesi.

Question 536Question →

Yüksekliği $5\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir metal bloğun hacmi, taban yarıçapına bağlı bir fonksiyon olarak tanımlanmaktadır. Bu bloğun taban yarıçapı $2\text{ cm}$ 'den $r\text{ cm}$ 'ye ( $r > 2$ ) çıkarıldığında, hacminin taban yarıçapına göre ortalama değişim hızı $45\pi\text{ cm}^3/\text{cm}$ olmaktadır. Buna göre, son durumdaki taban yarıçapı ( $r$ ) kaç $\text{cm}$ 'dir?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Son durumdaki taban yarıçapı

7\text{ cm}

olarak bulunur.

Silindirin hacmi yarıçapına bağlı olarak

V(r) = 5\pi r^2

fonksiyonuyla ifade edilir. Bu fonksiyonun

[2, r]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{V(r) - V(2)}{r - 2} = \frac{5\pi(r^2 - 4)}{r - 2} = 5\pi(r + 2)

olur. Bu ifadenin

45\pi

değerine eşitlenmesiyle

5\pi(r + 2) = 45\pi \implies r + 2 = 9 \implies r = 7

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Hacim fonksiyonunu taban yarıçapına bağlı olarak yazma

V(r) = 5\pi r^2

Silindirin hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır (

V = \pi r^2 h

).

2

Ortalama değişim hızı denklemini kurma

\frac{V(r) - V(2)}{r - 2} = 45\pi

[2, r]

aralığındaki ortalama değişim hızı, bağımlı değişkendeki değişimin bağımsız değişkendeki değişime oranı ile bulunur.

3

Fonksiyon değerlerini formülde yerine yazıp cebirsel sadeleştirme yapma

5\pi(r + 2) = 45\pi

V(r) = 5\pi r^2

ve

V(2) = 20\pi

değerleri formüle yerleştirildiğinde pay kısmında iki kare farkı yardımıyla

(r-2)

ifadeleri birbirini sadeleştirir.

4

Elde edilen birinci dereceden denklemi

r

için çözme

r = 7

Denklemin her iki tarafı

5\pi

ile sadeleştirilerek

r + 2 = 9

eşitliği elde edilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun

[a, b]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

oranı ile hesaplanır.

Question 537Question →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir

(a_n)

geometrik dizisi için

\begin{aligned} a_2 \cdot a_6 &= 36 \\ a_1 + a_7 &= 15 \end{aligned}

eşitlikleri veriliyor. Buna göre,

a_{10}

teriminin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Artan geometrik dizinin özellikleri kullanılarak yapılan hesaplamalar sonucunda onuncu terim olan

a_{10}

değeri 24 olarak bulunur.

Dizinin artan özelliğinden yola çıkılarak birinci terim 3, yedinci terim 12 olarak bulunur. Ortak çarpanın küpü

r^3 = 2

elde edilir ve buradan onuncu terim

a_7 \cdot r^3 = 12 \cdot 2 = 24

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

a_2 \cdot a_6 = 36

eşitliğini kullanarak

a_4

terimini bulma.

a_4 = 6

Bir geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları eşittir:

a_2 \cdot a_6 = a_4 \cdot a_4 = a_4^2

.

2

a_1 \cdot a_7

çarpımını bulma.

a_1 \cdot a_7 = 36

Aynı indis özelliği gereği

a_1 \cdot a_7 = a_4^2

eşitliği geçerlidir.

3

a_1 + a_7 = 15

ve

a_1 \cdot a_7 = 36

denklem sistemini çözme.

\{a_1, a_7\} = \{3, 12\}

Toplamları 15 ve çarpımları 36 olan sayılar kök bulma yöntemi veya çarpanlara ayırma ile 3 ve 12 olarak elde edilir.

4

Artan dizi şartına göre

a_1

ve

a_7

değerlerini atama.

a_1 = 3

ve

a_7 = 12

Dizi artan olduğundan ilk terim yedinci terimden küçük olmalıdır.

5

Dizinin ortak çarpanının küpünü (

r^3

) hesaplama.

r^3 = 2

a_7 = a_1 \cdot r^6 \implies 12 = 3 \cdot r^6 \implies r^6 = 4 \implies r^3 = 2

olur.

6

a_{10}

teriminin değerini hesaplama.

a_{10} = 24

a_{10} = a_7 \cdot r^3

eşitliği kullanılarak

12 \cdot 2 = 24

elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizide terimlerin indis özellikleri (

a_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s

burada

p+q = r+s

) ve genel terim formülü.

Question 538Question →

Bir $(a_n)$ dizisinde, $a_1 = 5$ ve her $n \geq 1$ tam sayısı için

a_{n+1} - a_n = n \cdot n!

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi olan $a_6$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 724

Answer

İndirgemeli dizinin ardışık farkları toplanarak elde edilen teleskopik toplam sonucunda dizinin 6. terimi 724 olarak bulunur.

Ardışık terimlerin farkları olan

a_{n+1} - a_n = n \cdot n!

bağıntısı

n = 1, 2, 3, 4, 5

için taraf tarafa toplandığında

a_6 - a_1 = 719

elde edilir. Buradan

a_1 = 5

değeri eklenerek

a_6 = 724

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

İndirgeme bağıntısını

n = 1

ile

n = 5

arasındaki tam sayılar için tek tek yazın.

a_2 - a_1 = 1 \cdot 1!

,

a_3 - a_2 = 2 \cdot 2!

,

a_4 - a_3 = 3 \cdot 3!

,

a_5 - a_4 = 4 \cdot 4!

,

a_6 - a_5 = 5 \cdot 5!

a_6

değerini elde edebilmek için son indirgeme adımında sol tarafta

a_6

teriminin oluşması gerekir.

2

Elde edilen 5 adet denklemi taraf tarafa toplayın.

a_6 - a_1 = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + 4 \cdot 4! + 5 \cdot 5!

Taraf tarafa toplama yapıldığında

a_2, a_3, a_4, a_5

terimleri birbirini sadeleştirir.

3

Sağ taraftaki faktöriyelli çarpımların değerlerini hesaplayıp toplayın.

1 \cdot 1 = 1

,

2 \cdot 2 = 4

,

3 \cdot 6 = 18

,

4 \cdot 24 = 96

,

5 \cdot 120 = 600

olup toplam

1 + 4 + 18 + 96 + 600 = 719

bulunur.

Her bir terimin sayısal değerini bulup toplayarak ardışık terimlerin farklarının toplamını belirleriz.

4

a_1 = 5

başlangıç koşulunu kullanarak

a_6

değerini hesaplayın.

a_6 - 5 = 719 \implies a_6 = 724

Teleskopik toplam denkleminde bilinen

a_1

değerini yerine yazarak bilinmeyen

a_6

terimini yalnız bırakırız.

Key Concept

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam ve faktöriyel içeren terimlerin sadeleştirilmesi

Question 539Question →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan ve artan bir $(a_n)$ aritmetik dizisinde,

a_1 \cdot a_7 - a_4^2 = -36

a_2 \cdot a_4 = 45

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin sekizinci terimi ( $a_8$ ) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Dizinin sekizinci terimi 17'dir.

Dizinin genel terim formülü kullanılarak birinci denklemden ortak fark

r = 2

olarak bulunur. İkinci denklemde yerine yazıldığında ilk terim

a_1 = 3

elde edilir. Bu değerlerle dizinin sekizinci terimi

a_8 = a_1 + 7r = 17

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci denklemdeki terimleri ilk terim (

a_1

) ve ortak fark (

r

) cinsinden ifade etmek.

-9r^2 = -36

eşitliği elde edilir.

Değişken sayısını azaltmak ve ortak farkı doğrudan bulabilmek için.

2

Elde edilen denklemden ortak farkı (

r

) bulmak.

r = 2

bulunur.

Dizinin artan olduğu belirtildiğinden

r > 0

olmalıdır (

r = -2

elenir).

3

İkinci denklemde terimleri

a_1

ve

r

cinsinden yazıp

r = 2

değerini yerine koymak.

(a_1 + 2)(a_1 + 6) = 45

denklemi elde edilir.

İlk terim olan

a_1

değerini belirlemek için.

4

İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözmek.

a_1 = 3

bulunur.

Terimler pozitif gerçel sayılar olduğundan negatif kök olan

a_1 = -11

elenir.

5

Bulunan

a_1

ve

r

değerleriyle sekizinci terimi (

a_8

) hesaplamak.

a_8 = 3 + 7 \cdot 2 = 17

bulunur.

Aritmetik dizinin genel terim formülü olan

a_8 = a_1 + 7r

bağıntısını uygulamak için.

Key Concept

Aritmetik dizide terimlerin genel terim formülü kullanılarak ilk terim ve ortak fark cinsinden ifade edilmesi ve elde edilen denklemlerin çözülmesi.

Alternative Method

Birinci denklemde

a_1 = a_4 - 3r

ve

a_7 = a_4 + 3r

yazılarak

(a_4 - 3r)(a_4 + 3r) - a_4^2 = -36 \implies a_4^2 - 9r^2 - a_4^2 = -36 \implies 9r^2 = 36 \implies r = 2

şeklinde daha hızlı bir sadeleştirme yapılabilir. Benzer şekilde ikinci denklemde

a_2 = a_3 - 2

ve

a_4 = a_3 + 2

yazılarak

a_3^2 - 4 = 45 \implies a_3 = 7

bulunur. Buradan da

a_8 = a_3 + 5r = 7 + 10 = 17

elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 540Question →

Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ birim, bu kenarların karşılarındaki açılarının ölçüleri ise sırasıyla $A$ , $B$ ve $C$ 'dir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı $R$ birim olmak üzere,

\frac{a + b}{\sin A + \sin B} = R^2 - 3

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin alanı kaç $\pi$ birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Çevrel çemberin alanı

9\pi

birimkaredir, dolayısıyla aranan değer 9'dur.

Sinüs Teoremi gereği

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R

eşitliği mevcuttur. Orantı özelliklerine göre payların toplamının paydaların toplamına oranı da bu sabit orana (

2R

) eşit olacaktır. Buradan denklem

2R = R^2 - 3

biçimine dönüşür. İkinci dereceden denklemin pozitif kökü

R = 3

olarak elde edilir. Çevrel çemberin alanı

\pi R^2

formülünden

9\pi

bulunur, bu nedenle cevap 9'dur.

Step-by-Step Solution

1

Sinüs Teoremi bağıntılarını ifade etmek

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R

Üçgenin kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüsleri ve çevrel çemberin yarıçapı arasındaki temel ilişkiyi kurmak.

2

Orantı toplama özelliğini uygulamak

\frac{a + b}{\sin A + \sin B} = 2R

Verilen denklemdeki pay ve payda toplamını içeren kesirli ifadeyi tek bir terime indirgemek.

3

Elde edilen terimi denklemde yerine yazarak çözmek

2R = R^2 - 3 \implies R^2 - 2R - 3 = 0 \implies (R - 3)(R + 1) = 0 \implies R = 3

Çevrel çemberin yarıçapını bulmak (yarıçap uzunluğu negatif olamayacağı için pozitif kök olan 3 alınır).

4

Dairenin alan formülünü uygulamak

Alan =

\pi R^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi

Çevrel ��emberin alanını hesaplayarak soruda istenen katsayıyı bulmak.

Key Concept

Sinüs Teoremi oranının çevrel çemberin çapına eşit olması ve orantı özelliklerinin uygulanması.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution