All practice questions

Question 681Question →

\log_3 (x-2) + \frac{1}{\log_{x+4} 3} = 3

eşitliğini sağlayan

x

gerçel sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Denklemi sağlayan

x

gerçel sayısı 5'tir.

Taban değiştirme kuralı yardımıyla

\frac{1}{\log_{x+4} 3}

ifadesi

\log_3 (x+4)

şeklinde yazılır. Denklemin sol tarafı

\log_3 [(x-2)(x+4)]

haline getirilir. Logaritma tanımı gereği

(x-2)(x+4) = 27

olur. Bu denklemin kökleri

5

ve

-7

olarak bulunur. Ancak logaritma fonksiyonunun tanım kümesinden dolayı logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır (

x > 2

). Bu nedenle yalnızca

5

değeri denklemi sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Taban değiştirme özelliğini uygulayın.

\frac{1}{\log_{x+4} 3} = \log_3 (x+4)

elde edilir.

Logaritmik ifadeleri ortak 3 tabanında birleştirmek amacıyla

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

özelliği kullanılır.

2

Logaritma toplam özelliğini kullanarak ifadeleri birleştirin.

\log_3 (x-2) + \log_3 (x+4) = \log_3 ((x-2)(x+4)) = 3

olur.

Aynı tabana sahip logaritmaların toplamı, argümanlarının çarpımına eşittir:

\log_a y + \log_a z = \log_a (y \cdot z)

.

3

Logaritma tanımını kullanarak ifadeyi üstel denkleme dönüştürün.

(x-2)(x+4) = 3^3 \Rightarrow (x-2)(x+4) = 27

olur.

\log_a f(x) = b \Rightarrow f(x) = a^b

logaritma tanımı uygulanır.

4

Denklemi düzenleyip çarpanlarına ayırarak kökleri bulun.

x^2 + 2x - 8 = 27 \Rightarrow x^2 + 2x - 35 = 0 \Rightarrow (x-5)(x+7) = 0

elde edilir. Buradan kökler

x = 5

ve

x = -7

bulunur.

İkinci dereceden denklemin çözüm kümesini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.

5

Bulunan köklerin logaritmanın tanım kümesine uygunluğunu denetleyin.

x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2

ve

x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4

olmalıdır. Dolayısıyla

x = -7

değeri elenir ve geriye sadece

x = 5

kalır.

Logaritmanın argümanı her zaman sıfırdan büyük olmak zorundadır.

Key Concept

Logaritma Taban Değiştirme ve Özellikleri

Question 682Question →

Tepe noktası

T(r, k)

olan

f(x) = 2x^2 - (a + 3)x + a - 1

parabolünün simetri ekseni

x = 2

doğrusudur.
Buna göre, bu parabolün tepe noktasının ordinatı olan

k

değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -4

Answer

Parabolün tepe noktasının ordinatı olan

k

değeri

-4

olarak bulunur.

Simetri ekseni

x = 2

doğrusu olduğundan tepe noktasının apsisi

r = 2

'dir. Parabolün katsayıları kullanılarak

r = -b/(2a_{coeff}) \implies 2 = (a+3)/4

denklemi kurulur. Buradan

a = 5

elde edilir. Parabol denklemi

f(x) = 2x^2 - 8x + 4

olur. Tepe noktasının ordinatı ise

k = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 4 = -4

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Simetri ekseni denkleminden

r

değerini belirleme

r = 2

Bir parabolün simetri ekseni tepe noktasının apsisinden geçen

x = r

doğrusudur.

2

r = -b/(2a)

formülünü uygulayarak

a

parametresini hesaplama

a = 5

Tepe noktasının apsisi olan

r

ile parabolün katsayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için

2 = -(-(a+3)) / (2 \cdot 2)

eşitliği çözülür.

3

Bulunan

a

değerini fonksiyonda yerine yazarak parabol denklemini oluşturma

f(x) = 2x^2 - 8x + 4

Tepe noktasının ordinatını hesaplayabilmek amacıyla fonksiyonun kuralın�� tam olarak elde etmek gerekir.

4

Tepe noktasının ordinatı olan

k

değerini hesaplama

k = -4

Tepe noktasının ordinatı, tepe noktasının apsisinin fonksiyondaki görüntüsüne (

f(r)

) eşittir.

Key Concept

Parabolün simetri ekseni

x = r = -b/(2a)

doğrusudur ve tepe noktasının ordinatı

k = f(r)

değeri ile bulunur.

Alternative Method

Parabol tepe noktası formunda

f(x) = 2(x - 2)^2 + k

olarak yazılabilir. Bu ifade açıldığında

f(x) = 2(x^2 - 4x + 4) + k = 2x^2 - 8x + 8 + k

elde edilir. Verilen

f(x) = 2x^2 - (a + 3)x + a - 1

ifadesiyle terim katsayıları karşılaştırıldığında,

a + 3 = 8 \implies a = 5

bulunur. Sabit terimlerin eşitliğinden ise

a - 1 = 8 + k \implies 5 - 1 = 8 + k \implies k = -4

sonucuna ulaşılır.

Estimated Time:1m 30s

Question 683Question →

Bir teknoloji şirketi, ofis girişindeki tabela için yan yana dizilmiş $7$ adet ampul yuvasından oluşan bir aydınlatma sistemi tasarlamıştır. Bu sistemde kullanılmak üzere renkleri dışında özdeş olan;
* $3$ adet kırmızı,
* $2$ adet mavi,
* $2$ adet sarı
ampul bulunmaktadır.
Bu ampullerin tamamı tabeladaki yuvalara yerleştirilecektir.
Sistemin estetik görünmesi için tabelanın en başında ve en sonunda yer alan ampullerin farklı renklerde olması istenmektedir.
Buna göre, bu ampuller tabeladaki yuvalara kaç farklı şekilde dizilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 160

Answer

Ampuller tabeladaki yuvalara 160 farklı şekilde dizilebilir.

Tüm olası sıralamaların sayısı tekrarlı permütasyon formülüyle 210 olarak bulunur. En başta ve en sonda aynı renk ampul bulunan durumlar (iki ucu da kırmızı, iki ucu da mavi veya iki ucu da sarı olanlar) hesaplanıp toplandığında 50 elde edilir. Tüm durumlardan bu istenmeyen durumlar çıkarıldığında uçlarında farklı renk ampuller bulunan sıralama sayısı 160 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Tüm ampullerin herhangi bir koşul olmadan yan yana kaç farklı şekilde sıralanabileceğini (tüm durumları) hesaplayın.

210

farklı durum vardır.

3 adet k��rmızı, 2 adet mavi ve 2 adet sarı olmak üzere toplam 7 özdeş ampulün sıralanışı tekrarlı permütasyon formülü

\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = 210

ile hesaplanır.

2

Tabelanın en başında ve en sonunda aynı renk ampul bulunan (istenmeyen) durumları hesaplayın.

Toplam

50

istenmeyen durum vardır.

Uçlardaki ampuller aynı renk olacak şekilde üç durum incelenir:
1) Uçlarda kırmızı ampul olması: Kalan 5 yuvaya 1 kırmızı, 2 mavi, 2 sarı dizilir.

\frac{5!}{1! \cdot 2! \cdot 2!} = 30

durum.
2) Uçlarda mavi ampul olması: Kalan 5 yuvaya 3 kırmızı, 2 sarı dizilir.

\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10

durum.
3) Uçlarda sarı ampul olması: Kalan 5 yuvaya 3 kırmızı, 2 mavi dizilir.

\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10

durum.
Toplam istenmeyen durum sayısı:

30 + 10 + 10 = 50

olur.

3

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak en başta ve en sonda farklı renkte ampullerin olduğu durum sayısını bulun.

160

farklı durum vardır.

Tüm durumlardan (210) uçlarda aynı renk olan durumları (50) çıkardığımızda, uçlarda farklı renk olan durumların sayısı

210 - 50 = 160

olarak bulunur.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon problemlerinde koşullu sıralamalar hesaplanırken tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılması (tümleme yöntemi) kolaylık sağlar.

Alternative Method

Uçlarda farklı renk olma durumlarını doğrudan hesaplayabiliriz. Uçlardaki renk ikilileri (Kırmızı, Mavi), (Kırmızı, Sarı), (Mavi, Sarı) ve bunların yer değiştirmiş halleri olabilir. Bu ikililer için kalan 5 elemanın tekrarlı permütasyonları hesaplanıp toplanarak da 160 sonucuna ulaşılır.

Estimated Time:2m 0s

Question 684Question →

Bir yazılım ��irketinde geliştirilen projelerin $\%80$ 'ini kıdemli yazılımcılar, geri kalanını ise stajyer yazılımcılar kodlamaktadır. Kıdemli yazılımcıların yazdığı projelerin $\%5$ 'inde, stajyer yazılımcıların yazdığı projelerin ise $\%30$ 'unda kod hatası tespit edilmektedir.

Bu şirkette geliştirilen projelerden rastgele seçilen birinde kod hatası tespit edildiğine göre, bu projenin stajyer yazılımcı tarafından yazılmış olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.6

Answer

Seçilen projenin stajyer yazılımcı tarafından yazılmış olma olasılığ�� 0,6'dır.

Seçilen projenin hatalı olduğu bilindiği için örnek uzayımız hatalı projelerle kısıtlanır. Toplam hata olasılığı

0{}80 \cdot 0{}05 + 0{}20 \cdot 0{}30 = 0{}10

'dur. Bu hatalı projelerden stajyerin yazdığı kısmın olasılığı ise

0{}20 \cdot 0{}30 = 0{}06

'dır. Koşullu olasılık tanımına göre stajyerin hatalı proje yazma olasılığının toplam hata olasılığına oranı

0{}06 / 0{}10 = 0{}6

olur.

Step-by-Step Solution

1

Stajyer yazılımcıların proje yazma oranını belirleme

P(\text{Stajyer}) = 0{}20

Toplam proje oranının

\%100

olmasından dolayı, kıdemlilerin

\%80

yazması durumunda stajyerlere

\%20

kalır.

2

Projelerdeki toplam hata oranını bulma

P(\text{Hata}) = 0{}10

Hatalı projeler kıdemli yazılımcılardan (

\%4

) veya stajyer yazılımcılardan (

\%6

) gelebilir; toplam hata oranı bu iki olasılığ��n toplamıdır.

3

Hatalı projeler içinden stajyer yazılımcıya ait olanların oranını hesaplama

P(\text{Stajyer}|\text{Hata}) = 0{}6

Koşul örnek uzayı hatalı projelerle (

0{}10

) sınırlandırdığı için, stajyerin hem yazıp hem hata yaptığı oran (

0{}06

), toplam hata oranına bölünür.

Key Concept

Koşullu Olasılık

Question 685Question →

Bir

A

gerçel sayısı

A = (\sqrt{2})^{\log_3 5} - 5^{\log_9 2} + \log_{\sqrt{3}} 6 - \log_3 4

olarak tanımlanıyor.
Buna göre,

A

sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İfadenin sadeleştirilmesi sonucunda elde edilen sayısal değer 2'dir.

Verilen matematiksel ifadede yer alan üslü logaritmik terimler düzenlendiğinde birbirine eşit oldukları ve çıkarma işlemi nedeniyle birbirlerini sadeleştirerek sıfır sonucunu verdikleri görülür. Geriye kalan logaritmalı ifadeler ise ortak 3 tabanına getirilip çıkarma-bölme kuralı uygulandığında 2 değerine ulaşılır. Bu iki kısmın toplamı olan doğru cevap 2'dir.

Step-by-Step Solution

1

(\sqrt{2})^{\log_3 5}

ve

5^{\log_9 2}

üslü logaritmik ifadelerini aynı tabana indirgeyerek karşılaştırmak.

(\sqrt{2})^{\log_3 5} = 5^{\log_9 2} = \sqrt{5}^{\log_3 2}

a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

özelliği ile taban üslerinin başa katsayı olarak atılması kurallarını uygulamak.

2

\log_{\sqrt{3}} 6

ifadesinin taban��nı 3 yapmak.

\log_{\sqrt{3}} 6 = \log_3 36

Logaritma tabanındaki köklü sayıyı üslü biçimde yazıp

\log_{b^n} a = \frac{1}{n}\log_b a

kuralını uygulamak.

3

Tabanları eşitlenen logaritmik ifadeler arasındaki çıkarma işlemini bölme özelliğini kullanarak hesaplamak.

\log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 9 = 2

\log_b x - \log_b y = \log_b (x/y)

özelliğini uygulamak ve elde edilen sayının logaritmasını almak.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Question 686Question →

Bir kargo dağıtım merkezinde, açılışın yapıldığı birinci gün $120$ adet paket dağıtılmıştır. Bu merkezde dağıtılan günlük paket sayısı, her gün bir önceki güne göre sabit bir sayıda artarak bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu dağıtım merkezinde ilk $10$ günde dağıtılan toplam paket sayısı, ilk $6$ günde dağıtılan toplam paket sayısının $2$ katından $60$ fazladır. Buna göre, bu dağıtım merkezinde açılışın $15$ . gününde kaç adet paket dağıtılmıştır?

Show answer & explanation

Answer: 400

Answer

Açılışın 15. gününde dağıtılan paket sayısı 400 adettir.

Aritmetik dizi toplam formülü

S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]

kullanılarak ilk 10 ve ilk 6 günün toplamları ortak fark olan

d

cinsinden yazılır. Elde edilen ifadeler

S_{10} = 2 \cdot S_6 + 60

denkleminde yerine konulduğunda

d = 20

olarak bulunur. 15. gündeki paket sayısı olan

a_{15}

ise genel terim formülü

a_{15} = a_1 + 14d

yardımıyla

120 + 14 \cdot 20 = 400

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Aritmetik dizinin genel terim ve toplam formüllerini tanımlama

a_1 = 120

olup ilk

n

terim toplamı

S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]

ve genel terim

a_n = a_1 + (n-1)d

şeklindedir.

Günlük artış miktarı sabit olduğundan süreç bir aritmetik dizi belirtir.

2

İlk 10 gün ve ilk 6 gün dağıtılan toplam paket sayılarını ortak fark cinsinden ifade etme

S_{10} = 1200 + 45d

ve

S_6 = 720 + 15d

Soruda verilen toplam ilişkisini çözmek için bu ifadeleri ortak fark olan

d

cinsinden yazmamız gerekir.

3

Verilen denklem yardımıyla ortak farkı hesaplama

1200 + 45d = 2(720 + 15d) + 60 \Rightarrow 15d = 300 \Rightarrow d = 20

İlk 10 günde dağıtılan paket sayısının, ilk 6 gündekinin 2 katından 60 fazla olduğu bilgisi kullanılarak denklem çözülür.

4

Ortak fark ve ilk terim yardımıyla 15. gün değerini bulma

a_{15} = 120 + 14(20) = 400

Aritmetik dizinin 15. terimi olan

a_{15}

değerini bulmak için genel terim formülü uygulanır.

Key Concept

Aritmetik dizilerde genel terim ve ilk n terim toplamı formüllerinin gerçek hayat problemlerine uygulanması.

Question 687Question →

MARMARA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler yazılacaktır. Buna göre, yazılan kelimelerin kaç tanesinde her M harfinin hemen sağında bir A harfi bulunur?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Her M harfinin hemen sağında bir A harfinin bulunduğu 30 farklı kelime yazılabilir.

M ve A harfleri 'MA' şeklinde gruplanarak tek bir eleman gibi düşünülür. 2 adet M harfi olduğundan 2 adet 'MA' bloğu elde edilir. Geriye kalan 1 adet A ve 2 adet R harfi ile birlikte toplam 5 eleman (2 adet 'MA', 2 adet R ve 1 adet A) tekrarlı permütasyon kurallarına göre sıralandığında 30 farklı kelime elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Harfleri ve tekrarlarını belirleme

2 adet M, 3 adet A ve 2 adet R harfi

Kelimenin orijinal harf dağılımını tespit etmek için.

2

Koşula göre gruplama yapma

2 adet 'MA' grubu, 2 adet R harfi ve 1 adet A harfi

Her M harfinin sağında A olması gerektiğinden M ve A harflerini 'MA' olarak paketlemek gerekir.

3

Tekrarlı permütasyon formülünü uygulama

5! / (2! * 2!) = 30

Elde edilen 5 elemanın (ikisi 'MA', ikisi R, biri A) farklı sıralanışlarının sayısını bulmak için.

Key Concept

Koşullu Tekrarlı Permütasyon

Question 688Question →

Bir kütüphanedeki kitapların $\%70$ 'i Türkçe, $\%30$ 'u ise yabancı dildedir. Bu kütüphanedeki Türkçe kitapların $\%30$ 'u, yabancı dildeki kitapların ise $\%70$ 'i romandır.

Kütüphaneden rastgele seçilen bir kitabın roman olduğu bilindiğine göre, bu kitabın Türkçe olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.5

Answer

Seçilen kitab��n roman olduğu bilindiğine göre, Türkçe olma olasılığı 0,5'tir.

Seçilen kitabın roman olduğu bilindiği için yeni örnek uzayımız kütüphanedeki tüm romanlardan oluşmaktadır. Türkçe romanların oranı %21, yabancı dildeki romanların oranı ise %21'dir. Toplam roman oranı %42 olduğundan, seçilen bir romanın Türkçe olma olasılığı 21/42 = 0,5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kitapların dillerine göre seçilme olasılıklarını belirleyelim.

Türkçe kitap seçilme olasılığı

P(T) = 0,70

ve yabancı dilde kitap seçilme olasılığı

P(Y) = 0,30

olur.

Kütüphanedeki kitapların %70'inin Türkçe, %30'unun yabancı dilde olduğu belirtilmiştir.

2

Dillerine göre roman olma olasılıklarını yazalım ve kesişim olasılıklarını hesaplayalım.

Türkçe kitaplar içindeki roman oranı

P(R|T) = 0,30

ve yabancı dildeki kitaplar içindeki roman oranı

P(R|Y) = 0,70

olarak verilmiştir. Buradan, Türkçe roman olan kitapların genel oranı

P(T \cap R) = P(T) \cdot P(R|T) = 0,70 \cdot 0,30 = 0,21

olur. Yabancı dildeki roman olan kitapların genel oranı ise

P(Y \cap R) = P(Y) \cdot P(R|Y) = 0,30 \cdot 0,70 = 0,21

olur.

Bir kitabın hem belirli bir dilde hem de roman olma olasılığı, o dilin seçilme olasılığı ile o dildeki kitabın roman olma koşullu olasılığının çarpımına eşittir.

3

Kütüphanedeki toplam roman oranını hesaplayalım.

Kütüphanedeki toplam roman oranı

P(R) = P(T \cap R) + P(Y \cap R) = 0,21 + 0,21 = 0,42

olur.

Kütüphanedeki bir roman ya Türkçe ya da yabancı dildedir. Toplam olasılık formülü gereği bu iki ayrık durumun olasılıkları toplanır.

4

Seçilen kitabın roman olduğu bilindiğine göre Türkçe olma olasılığını koşullu olasılık formülüyle bulalım.

P(T|R) = \frac{P(T \cap R)}{P(R)} = \frac{0,21}{0,42} = 0,5

olur.

Koşullu olasılık tanımına göre

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

formülü uygulanır.

Key Concept

Koşullu Olasılık ve Toplam Olasılık Formülü

Alternative Method

Kitap sayısını somutlaştırarak çözebiliriz. Kütüphanede toplam 100 kitap olsun. Bu durumda 70 Türkçe, 30 yabancı kitap bulunur. Türkçe kitapların %30'u roman olduğuna göre

70 \times 0,30 = 21

Türkçe roman vardır. Yabancı kitapların %70'i roman olduğuna göre

30 \times 0,70 = 21

yabancı roman vardır. Toplam roman sayısı

21 + 21 = 42

'dir. Seçilen kitabın roman olduğu bilindiğine göre, bu kitabın Türkçe olma olasılığı

\frac{21}{42} = \frac{1}{2} = 0,5

olur.

Estimated Time:1m 30s

Question 689Question →

Analitik düzlemde sadece sağa (pozitif $x$ yönünde) ve yukarı (pozitif $y$ yönünde) birer birimlik adımlarla hareket edebilen bir robot, $A(0,0)$ noktasından yola çıkıp $C(2,2)$ noktasına uğrayarak $B(5,4)$ noktasına ulaşacaktır. Buna göre, bu robot $A$ noktasından $B$ noktasına kaç farklı rota izleyerek gidebilir?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Robot, A noktasından B noktasına 60 farklı rota izleyerek gidebilir.

Robotun A'dan C'ye gitmesi için 2 sağ, 2 yukarı hareketi sıralanmalıdır. Bu durum

\frac{4!}{2!2!} = 6

farklı yolla yapılabilir. C'den B'ye gitmesi için ise 3 sağ, 2 yukarı hareketi sıralanmalıdır. Bu durum da

\frac{5!}{3!2!} = 10

farklı yolla yapılabilir. Çarpma kuralı gereğince toplam yol sayısı

6 \times 10 = 60

olur.

Step-by-Step Solution

1

A(0,0) noktasından C(2,2) noktasına giden yolların sayısını hesaplama

6 farklı yol

A'dan C'ye gitmek için 2 birim sağa ve 2 birim yukarı olmak üzere toplam 4 adım atılmalıdır. Bu adımların farklı sıralanışları tekrarlı permütasyonla

\frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6

olur.

2

C(2,2) noktasından B(5,4) noktasına giden yolların sayısını hesaplama

10 farklı yol

C'den B'ye gitmek için 3 birim sağa (5-2=3) ve 2 birim yukarı (4-2=2) olmak üzere toplam 5 adım atılmalıdır. Bu adımların farklı sıralanışları tekrarlı permütasyonla

\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10

olur.

3

Toplam farklı rota sayısını bulmak için çarpım kuralını uygulama

60 farklı rota

A'dan C'ye ve C'den B'ye yapılan hareketler ardışık ve bağımlı eylemler olduğundan, bu iki durumun yol sayıları çarpılır:

6 \times 10 = 60

.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon yardımıyla ızgara üzerindeki en kısa yol problemlerinin çözümü.

Estimated Time:1m 30s

Question 690Question →

Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan $4\text{ kg}$ kütleli bir oyuncak arabanın üzerinde $1\text{ kg}$ kütleli bir blok bulunmaktadır. Blok, arabaya göre yatay doğrultuda $5\text{ m/s}$ hızla fırlatılıyor.

Buna göre, fırlatılma sonrasında arabanın yere göre hızının büyüklüğü kaç $\text{m/s}$ olur?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

Arabanın fırlatılma sonrasında yere göre hızının büyüklüğü 1 m/s olur.

Sürtünmesiz yatay düzlemde sisteme etki eden net yatay dış kuvvet sıfır olduğu için çizgisel momentum korunur. Başlangıçta durgun olan sistemin toplam momentumu sıfırdır. Blok araca göre sağa doğru

5\text{ m/s}

hızla fırlatıldığında araba sola doğru

V

hızıyla hareket eder. Bu durumda bloğun yere göre hızı sağa doğru

(5-V)\text{ m/s}

olur. Momentumun korunumundan

4(-V) + 1(5-V) = 0

yazılır ve buradan arabanın yere göre hızının büyüklüğü

1\text{ m/s}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıç momentumunu belirleme

P_{ilk} = 0

Sistem başlangıçta durgun haldedir ve sürtünmesiz yatay düzlemde net dış yatay kuvvet sıfır olduğundan çizgisel momentum korunur.

2

Bileşenlerin yere göre hızlarını bağıl hız formülüyle tanımlama

Araba için

\vec{V}_A = -V \hat{i}

ve blok için

\vec{v}_B = (5 - V) \hat{i}

Momentumun korunumu denklemini yazarken tüm hız vektörlerinin aynı referans sisteminde (yere göre) tanımlanması zorunludur.

3

Momentumun korunumu denklemini çözme

V = 1\text{ m/s}

4(-V) + 1(5 - V) = 0

denklemi çözülerek arabanın yere göre hız büyüklüğü elde edilir.

Key Concept

Çizgisel Momentumun Korunumu ve Bağıl Hareket

Estimated Time:1m 30s

Question 691Question →

1'den farklı bir

x

pozitif gerçel sayısı için,

\log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3 x \cdot \log_5 x + \log_5 x \cdot \log_2 x = \log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $x$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Verilen logaritmik denklemin çözümü sonucunda elde edilen

x

değeri 30'dur.

Verilen denklemin her iki tarafı

\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x

ifadesine bölündüğünde

\frac{1}{\log_5 x} + \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} = 1

eşitliği elde edilir. Taban değiştirme kuralı uygulandığında bu ifade

\log_x 5 + \log_x 2 + \log_x 3 = 1

şekline dönüşür. Logaritma özellikleri gereği sol taraf

\log_x(5 \cdot 2 \cdot 3) = \log_x 30

olur. Buradan

\log_x 30 = 1

eşitliği elde edilir ki bu da

x = 30

anlamına gelir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin her iki tarafını

\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x

ifadesine bölün.

\frac{1}{\log_5 x} + \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} = 1

Logaritmik çarpımları daha basit ifadelere dönüştürmek için her iki taraf sıfırdan farklı olan ortak çarpıma b��lünür.

2

Taban değiştirme özelliğini uygulayın.

\log_x 5 + \log_x 2 + \log_x 3 = 1

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

kuralı kullanılarak tüm terimler aynı tabanda (

x

tabanında) yazılır.

3

Logaritma toplama kuralını uygulayın ve logaritma tan��mından

x

'i bulun.

\log_x (5 \cdot 2 \cdot 3) = 1 \Rightarrow \log_x 30 = 1 \Rightarrow x^1 = 30 \Rightarrow x = 30

Aynı tabandaki logaritmaların toplamı, argümanların çarpımına eşittir. Buradan elde edilen

\log_x 30 = 1

ifadesi

x = 30

sonucunu verir.

Key Concept

Logaritma taban değiştirme kuralı ve logaritma toplam-çarpım özelliği

Question 692Question →

x

ve

y

birden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,

\log_3 x \cdot \log_y 3 = 2

x \cdot y^3 = 243

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $\log_x(y^4) + \log_y(x^3)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

İstenen logaritmik ifadenin değeri 8'dir.

Taban değiştirme kuralına göre

\log_3 x \cdot \log_y 3 = \log_y x = 2

elde edilir. Bu durumda

x = y^2

olur. İkinci denklemde yerine yazıldığında

y^2 \cdot y^3 = y^5 = 243

bağıntısından

y = 3

ve

x = 9

bulunur. İstenen ifadede değerler yerine yazıldığında

\log_9(3^4) + \log_3(9^3) = \log_{3^2}(3^4) + \log_3(3^6) = 2 + 6 = 8

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci denklemde taban değiştirme özelliğini kullanarak

x

ile

y

arasındaki ilişkiyi belirleyin.

\log_y x = 2 \implies x = y^2

elde edilir.

\log_a b \cdot \log_c a = \log_c b

özelliğinden yararlanarak çarpım durumundaki ifadeleri sadeleştirmek için.

2

x = y^2

eşitliğini ikinci denklemde yerine yazarak

y

ve

x

değerlerini bulun.

y^5 = 243 \implies y = 3

ve buradan

x = 9

bulunur.

İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli üslü denkleme dönüştürüp çözmek için.

3

Bulunan değerleri

\log_x(y^4) + \log_y(x^3)

ifadesinde yerine yazarak sonucu hesaplayın.

\log_9(81) + \log_3(729) = 2 + 6 = 8

bulunur.

Logaritmanın üs özelliklerini kullanarak terimleri sayısal değerlere dönüştürmek için.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Question 693Question →

$T_1$ ve $T_2$ transformatörleri şekildeki gibi ardışık olarak bağlanmıştır. K-L bobinlerinden oluşan $T_1$ transformatörü ideal olmayıp verimi $\%80$ iken, M-P bobinlerinden oluşan $T_2$ transformatörü idealdir.

$T_1$ transformatörünün girişindeki K bobinine etkin gerilimi $V_1 = 40\text{ V}$ olan bir alternatif akım kaynağı uygulanmakta, $T_2$ transformatörünün çıkışındaki P bobinine ise $R = 80\ \Omega$ 'luk bir direnç bağlanmaktadır.

Bobinlerin sarım sayıları sırasıyla $N_K = 100$ , $N_L = 200$ , $N_M = 150$ ve $N_P = 300$ olduğuna göre, alternatif akım kaynağından çekilen (primer devredeki) etkin akım şiddeti kaç amperdir?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Alternatif akım kaynağından çekilen etkin akım şiddeti 10 Amperdir.

Transformatörlerde gerilimler oranı sarım sayıları oranına bağlı olarak belirlenir. Bu ilişkiden yola çıkılarak sırasıyla sekonder gerilimler V_L = 80 V ve V_P = 160 V olarak bulunur. Direnç üzerindeki çıkış gücü 320 W olur. T1 transformatörünün verimi %80 olduğundan, giriş gücünün 400 W olması gerekir. Bu durumda 40 V giriş gerilimiyle primer akımı 10 A olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

T1 transformatörünün sekonder geriliminin (V_L) hesaplanması

V_L = 80 V

Gerilimler oranı sarım sayıları oranına eşittir: V_L = V_K * (N_L / N_K)

2

T2 transformatörünün sekonder geriliminin (V_P) hesaplanması

V_P = 160 V

L ve M bobinleri birbirine bağlı olduğundan V_M = V_L = 80 V olur. T2 için gerilim ilişkisi: V_P = V_M * (N_P / N_M)

3

Sekonder devredeki akım (I_P) ve çıkış gücünün (P_çıkış) hesaplanması

I_P = 2 A ve P_çıkış = 320 W

Ohm Yasası uyarınca I_P = V_P / R ve çıkış gücü P_çıkış = V_P * I_P formülleri kullanılır.

4

T1 transformatörünün giriş gücünün (P_giriş) bulunması

P_giriş = 400 W

T2 ideal olduğundan giriş gücü çıkış gücüne eşittir. T1'in verimi %80 olduğundan, Verim = P_çıkış / P_giriş bağıntısından giriş gücü hesaplanır.

5

Primer devreden çekilen etkin akımın (I_etkin) bulunması

I_etkin = 10 A

Giriş gücü P_giriş = V_K * I_etkin bağıntısından etkin akım çekilir.

Key Concept

Ardışık bağlı ve ideal olmayan transformatörlerde güç ve verim ilişkisi

Question 694Question →

Bir torbada $4$ mavi ve $5$ kırmızı bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilye mavi ise bu bilye torbaya geri konulmuyor ve torbaya $2$ kırmızı bilye ekleniyor. Çekilen bilye kırmızı ise bu bilye torbaya geri konuluyor ve torbaya $1$ mavi bilye ekleniyor.

Buna göre, torbadan art arda yapılan iki çekilişte ikinci çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı en sade haliyle $\frac{a}{b}$ olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 143

Answer

İkinci çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı en sade haliyle

\frac{53}{90}

olup, pay ve payda toplamı 143'tür.

İkinci çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı, ilk çekilen bilyenin mavi veya kırmızı olma durumlarına göre iki ayrı bağımlı olayın toplam olasılığıdır. İlk bilye mavi ise ikinci çekimde kırmızı olasılığı

\frac{28}{90}

, ilk bilye kırmızı ise ikinci çekimde kırmızı olasılığı

\frac{25}{90}

'dır. Toplam olasılık

\frac{53}{90}

olup, en sade biçimde pay ve payda toplamı

53+90=143

olur.

Step-by-Step Solution

1

İlk çekimde mavi bilye gelme durumunu hesaplamak

Olasılık

\frac{28}{90}

İlk bilyenin mavi gelme olasılığı

\frac{4}{9}

'dur. Bu durumda çekilen mavi bilye geri konulmayıp

2

kırmızı bilye eklendiği için torbada

3

mavi ve

7

kırmızı olmak üzere toplam

10

bilye kalır. İkinci çekimde kırmızı gelme olasılığı

\frac{7}{10}

olur. Bu iki bağımlı adımın çarpımı

\frac{28}{90}

'dır.

2

İlk çekimde kırmızı bilye gelme durumunu hesaplamak

Olasılık

\frac{25}{90}

İlk bilyenin kırmızı gelme olasılığı

\frac{5}{9}

'dur. Bu durumda kırmız�� bilye geri konulup

1

mavi bilye eklendiği için torbada

5

mavi ve

5

kırmızı olmak üzere toplam

10

bilye olur. İkinci çekimde kırmızı gelme olasılığı

\frac{5}{10}

olur. Bu iki adımın çarpımı

\frac{25}{90}

'dır.

3

İki durumu toplayarak en sade kesri ve pay-payda toplamını bulmak

Olasılık

\frac{53}{90}

ve

a+b = 143

İki farklı durumun olasılıkları toplanır:

\frac{28}{90} + \frac{25}{90} = \frac{53}{90}

.

53

sayısı asal olduğundan kesir en sade halindedir. Buradan

a=53

,

b=90

alınarak toplam

143

bulunur.

Key Concept

Birbirini izleyen bağımlı olayların olasılıklarının koşullara göre hesaplanıp toplanması.

Question 695Question →

Yalıtkan yatay düzlem üzerindeki iki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde, orijinde $(0,0)$ noktasına $+4q$ noktasal yükü, $(3d,0)$ noktasına ise $-3q$ noktasal yükü sabitlenmiştir.

Buna göre, $(0,4d)$ koordinatlarındaki K noktasında bulunan $+q$ yüklü noktasal bir cisim sabit hızla $(3d,4d)$ koordinatlarındaki L noktasına götürüldüğünde elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş kaç $\frac{kq^2}{d}$ olur?

Show answer & explanation

Answer: 0.35

Answer

Elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş

0.35 \frac{kq^2}{d}

'dir.

Elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş, taşınan yük ile ilk ve son noktalar arasındaki potansiyel farkının çarpımına eşittir (

W = q(V_{\text{ilk}} - V_{\text{son}})

). K ve L noktalarındaki potansiyeller bulunup bu formülde yerine yazıldığında sonuç

0.35

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

K noktasının toplam elektriksel potansiyelini (

V_K

) hesaplayın.

V_K = k \frac{4q}{4d} + k \frac{-3q}{5d} = \frac{kq}{d} - 0.6 \frac{kq}{d} = 0.4 \frac{kq}{d}

Bir noktanın potansiyeli, o noktada her bir yükün oluşturduğu potansiyellerin skaler toplamıdır. Sabit

+4q

yükünün K

(0,4d)

noktasına uzaklığı

4d

,

-3q

yükünün uzaklığı ise 3-4-5 özel üçgeninden

5d

olur.

2

L noktasının toplam elektriksel potansiyelini (

V_L

) hesaplayın.

V_L = k \frac{4q}{5d} + k \frac{-3q}{4d} = 0.8 \frac{kq}{d} - 0.75 \frac{kq}{d} = 0.05 \frac{kq}{d}

L

(3d,4d)

noktasının

+4q

yüküne uzaklığı 3-4-5 üçgeninden

5d

,

-3q

yüküne uzaklığı ise

4d

olur.

3

Elektriksel kuvvetlerin yaptığı işi (

W_{\text{elek}}

) hesaplayın.

W_{\text{elek}} = q(V_K - V_L) = q(0.4 - 0.05) \frac{kq}{d} = 0.35 \frac{kq^2}{d}

Elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş, taşınan yük ile ilk ve son konumlar arasındaki potansiyel farkının çarpımı ile bulunur:

W_{\text{elek}} = q(V_{\text{ilk}} - V_{\text{son}})

.

Key Concept

Elektriksel potansiyel farkı ve elektriksel iş ilişkisi

Question 696Question →

Tepe noktası $T$ olan $f(x) = x^2 - 6x + a$ parabolü, $y = 2x - 3$ doğrusu ile farklı iki noktada kesişmektedir. Parabolün tepe noktasının, bu kesişim noktalarının orta noktasına olan uzaklığı $\sqrt{17}$ birim olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Parabolün tepe noktası ile kesişim noktalarının orta noktası arasındaki uzaklık formülü ve parabol ile doğrunun kesişme şartı olan diskriminant kontrolü birlikte uygulandığında

a

değeri 10 olarak bulunur.

Parabolün tepe noktası

T(3, a-9)

ve ortak çözüm denkleminin kökleri yardımıyla bulunan orta nokta

M(4, 5)

arasındaki uzaklık denklemi çözüldüğünde

a = 10

veya

a = 18

bulunur. Parabol ile doğrunun iki farklı noktada kesişmesi için

\Delta = 52 - 4a > 0 \implies a < 13

olmalıdır. Bu koşulu sağlayan tek değer 10'dur.

Step-by-Step Solution

1

f(x) = x^2 - 6x + a

parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulalım.

r = -\frac{-6}{2} = 3

ve

k = f(3) = 3^2 - 6(3) + a = a - 9

olup tepe noktası

T(3, a - 9)

olarak elde edilir.

Parabolün tepe noktası

T(r, k)

olup burada

r = -\frac{b}{2a}

simetri eksenidir ve ordinat

k = f(r)

ile hesaplanır.

2

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının orta noktası olan

M(x_0, y_0)

noktasını bulalım.

Kesişim denklemi

x^2 - 6x + a = 2x - 3 \implies x^2 - 8x + a + 3 = 0

olur. Kökler toplamı

x_1 + x_2 = -\frac{-8}{1} = 8

olduğundan, orta noktanın apsisi

x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = 4

olur. Bu nokta doğru üzerinde bulunduğundan ordinatı

y_0 = 2(4) - 3 = 5

olup orta nokta

M(4, 5)

olarak bulunur.

Kesişim noktalarının orta noktasının apsisi ortak çözüm denkleminin köklerinin aritmetik ortalamasıdır ve bu nokta doğru denklemini sağlamak zorundadır.

3

T(3, a - 9)

ve

M(4, 5)

noktaları arasındaki uzaklığı

\sqrt{17}

birime eşitleyip

a

değerlerini çözelim.

|TM| = \sqrt{(4-3)^2 + (5-(a-9))^2} = \sqrt{17} \implies 1 + (14-a)^2 = 17 \implies (14-a)^2 = 16

denkleminden

14 - a = 4 \implies a = 10

veya

14 - a = -4 \implies a = 18

bulunur.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü

|TM| = \sqrt{(x_M - x_T)^2 + (y_M - y_T)^2}

bağıntısı ile hesaplanır.

4

Parabol ile doğrunun iki farklı noktada kesişme koşulunu kullanarak bulunan

a

değerlerinin doğruluğunu kontrol edelim.

Ortak denklemin iki farklı gerçel kökü olması için diskriminant

\Delta = (-8)^2 - 4(1)(a+3) = 52 - 4a > 0 \implies a < 13

olmalıdır. Bu koşula göre

a = 18

elenir ve doğru değer

a = 10

olarak bulunur.

Bir parabol ile bir doğrunun iki farklı noktada kesişmesi, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfırdan büyük olmasıyla mümkündür.

Key Concept

Parabolün tepe noktasının ve simetri ekseninin koordinatlarının bulunması, parabol ile doğrunun kesişim koşulları ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü.

Question 697Question →

Hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda, yerden $80\text{ m}$ yükseklikten yatay doğrultuda $15\text{ m/s}$ büyüklüğündeki hızla fırlatılan $2\text{ kg}$ kütleli bir cisme, fırlatıldığı andan yere çarpıncaya kadar geçen sürede yer çekimi kuvvetinin uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç $\text{N}\cdot\text{s}$ 'dir? ( $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

Yer çekimi kuvvetinin uyguladığı itmenin büyüklüğü 80 N.s'dir.

Yer çekimi kuvvetinin uyguladığı itme, cisme etki eden yer çekimi kuvveti (ağırlık) ile hareket süresinin çarpımıyla bulunur.

80\text{ m}

yükseklikten serbest düşüş yapan cisim

4\text{ s}

'de yere ulaşır. Ağırlığı

20\text{ N}

olan cisme uygulanan itme

20 \times 4 = 80\text{ N}\cdot\text{s}

olur.

Step-by-Step Solution

1

Düşey doğrultudaki hareket denkleminden cismin uçuş süresini hesaplamak.

t = 4\text{ s}

Yatay atılan bir cisim düşeyde serbest düşme hareketi yapar.

h = 80\text{ m}

yüksekliği

h = \frac{1}{2}gt^2

bağıntısına göre

4\text{ s}

sürede alır.

2

Cisme hareket süresince etki eden yer çekimi kuvvetini hesaplamak.

F = 20\text{ N}

Hava sürtünmesi ihmal edildiği için cismin havada kaldığı sürece üzerine etki eden tek net kuvvet cismin ağırlığıdır (

G = m \cdot g

).

3

İtme formülünü uygulayarak yer çekimi kuvvetinin uyguladığı itmeyi bulmak.

I = 80\text{ N}\cdot\text{s}

Bir kuvvetin uyguladığı itme, kuvvet ile etki etme süresinin vektörel çarpımıd��r (

I = F \cdot \Delta t

).

Key Concept

İtme, net kuvvet ile etkileşim süresinin çarpımına eşittir (

I = F_{net} \cdot \Delta t

) ve bu değer cismin momentumundaki değişime (

\Delta p

) denktir.

Question 698Question →

Primer (giriş) bobininin sarım sayısı $200$ , sekonder (çıkış) bobininin sarım sayısı $600$ olan ideal olmayan bir transformatörün primer ucuna etkin gerilimi $120\text{ V}$ olan alternatif akım kaynağı bağlanmıştır. Transformatörün verimi $\%80$ olup, sekonder ucuna bağlı olan direncin değeri $90\ \Omega$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, transformatörün primer (giriş) devresinden çekilen etkin akım şiddeti kaç amperdir?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Primer devreden çekilen etkin akım

15\text{ A}

'dir.

Transformatörün çıkış gerilimi sarım sayıları oranıyla doğru orantılıdır. Buna göre çıkış gerilimi

360\text{ V}

olur. Sekonder devredeki

90\ \Omega

'luk dirençten geçen akım Ohm kanunundan

4\text{ A}

ve sekonder devrenin gücü

1440\text{ W}

olarak bulunur. Transformatörün verimi

\%80

olduğundan, primer devreden çekilen güç

1800\text{ W}

olmalıdır. Bu güç değerine karşılık gelen primer akımı ise

15\text{ A}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Çıkış (sekonder) gerilimini hesaplamak.

V_S = 360\text{ V}

Transformatörlerde sarım sayısı oranı ile gerilim oranı doğru orantılıdır (

V_P/V_S = N_P/N_S

).

2

Sekonder devreden geçen akımı bulmak.

I_S = 4\text{ A}

Ohm Kanunu (

V = I \cdot R

) kullanılarak direnç üzerindeki gerilim ve direnç değerinden akım hesaplanır.

3

Çıkış (sekonder) gücünü hesaplamak.

P_S = 1440\text{ W}

Sekonder devrede harcanan elektriksel güç

P_S = V_S \cdot I_S

formülüyle bulunur.

4

Giriş (primer) gücünü verim bağıntısından bulmak.

P_P = 1800\text{ W}

Verim, çıkış gücünün giriş gücüne oranıdır (

\%80 = P_S / P_P

).

5

Primer devreden çekilen akımı hesaplamak.

I_P = 15\text{ A}

Giriş gücü

P_P = V_P \cdot I_P

bağıntısı kullanılarak primer akımı çekilir.

Key Concept

İdeal olmayan transformatörlerde güç ve verim ilişkisi

Question 699Question →

Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan $3\text{ kg}$ kütleli bir cisim, iç patlama sonucu $1\text{ kg}$ , $1\text{ kg}$ ve $1\text{ kg}$ kütleli üç parçaya ayrılıyor. $1\text{ kg}$ kütleli parçalardan ikisi birbirine dik doğrultularda sırasıyla $12\text{ m/s}$ ve $16\text{ m/s}$ büyüklüğündeki hızlarla hareket ettiğine göre, üçüncü parçanın patlamadan hemen sonraki hızının b��yüklüğü kaç $\text{m/s}$ olur?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Üçüncü parçanın patlamadan hemen sonraki hızının büyüklüğü 20 m/s'dir.

Dış kuvvetlerin etkisinde olmayan sistemde çizgisel momentum korunur. Başlangıçta durmakta olan cismin çizgisel momentumu sıfırdır. Patlama sonucunda oluşan parçalardan ikisinin birbirine dik çizgisel momentumlarının bileşkesi

20\text{ kg}\cdot\text{m/s}

olduğundan, toplam momentumun sıfır kalabilmesi için üçüncü parçanın momentum büyüklüğü de

20\text{ kg}\cdot\text{m/s}

olmalıdır. Üçüncü parçanın kütlesi

1\text{ kg}

olduğundan patlama sonrası hızı

20\text{ m/s}

olur.

Step-by-Step Solution

1

Patlamadan önceki toplam çizgisel momentumun belirlenmesi.

P_{ilk} = 0

Cisim patlamadan önce durduğu için başlangıç çizgisel momentumu sıfırdır.

2

İlk iki parçanın çizgisel momentumlarının büyüklüklerinin hesaplanması.

p_1 = 12\text{ kg}\cdot\text{m/s}

ve

p_2 = 16\text{ kg}\cdot\text{m/s}

Her bir parçanın çizgisel momentumu

p = m \cdot v

bağıntısı kullanılarak ayrı ayrı hesaplanır.

3

Birbirine dik iki momentum vektörünün bileşkesinin bulunması.

p_{1+2} = 20\text{ kg}\cdot\text{m/s}

Aralarında

90^\circ

açı bulunan vektörlerin toplamı Pisagor bağıntısı yardımıyla hesaplanır.

4

Momentum korunumu ilkesi uygulanarak üçüncü parçanın momentumunun belirlenmesi.

p_3 = 20\text{ kg}\cdot\text{m/s}

Dış kuvvetlerin yokluğunda sistemin toplam çizgisel momentumunun korunması ve sıfır kalabilmesi için üçüncü parçanın momentumunun, diğer iki parçanın momentum bileşkesini dengelemesi gerekir.

5

Üçüncü parçanın hız büyüklüğünün hesaplanması.

v_3 = 20\text{ m/s}

p_3 = m_3 \cdot v_3

bağıntısında bilinen değerler yerine yazılarak hız bulunur.

Key Concept

Patlamalarda çizgisel momentumun vektörel korunumu

Question 700Question →

Yatay ve sürtünmeli bir düzlemde kaymadan dönerek öteleme hareketi yapan $2\text{ kg}$ kütleli homojen bir silindirin kütle merkezinin çizgisel hızı $4\text{ m/s}$ 'dir. Silindirin eylemsizlik momenti $I = \frac{1}{2}MR^2$ olduğuna göre, silindirin toplam kinetik enerjisi kaç $\text{J}$ 'dür?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Silindirin toplam kinetik enerjisi

24\text{ J}

'dür.

Toplam kinetik enerji, öteleme kinetik enerjisi (

16\text{ J}

) ile dönme kinetik enerjisinin (

8\text{ J}

) toplamı olan

24\text{ J}

'dür.

Step-by-Step Solution

1

Öteleme kinetik enerjisini hesaplamak.

E_{\text{öt}} = 16\text{ J}

Öteleme hareketi yapan bir cismin sahip olduğu kinetik enerji çizgisel hızına bağlıdır ve

E = \frac{1}{2}mv^2

ile hesaplanır.

2

Dönme kinetik enerjisini eylemsizlik momenti ve açısal hız cinsinden yazıp hesaplamak.

E_{\text{dön}} = 8\text{ J}

Dönme kinetik enerjisi

E_{\text{dön}} = \frac{1}{2}I\omega^2

formülüyle hesaplanır. Kaymadan dönme durumunda

\omega = \frac{v}{R}

ve

I = \frac{1}{2}MR^2

kullanıldığında bu enerji öteleme enerjisinin yarısına eşit olur.

3

Öteleme ve dönme kinetik enerjilerini toplayarak toplam kinetik enerjiyi bulmak.

E_{\text{top}} = 24\text{ J}

Dönerek öteleyen bir cismin toplam kinetik enerjisi, öteleme kinetik enerjisi ile dönme kinetik enerjisinin toplamına eşittir.

Key Concept

Dönerek öteleme yapan cisimlerin toplam kinetik enerjisi, öteleme kinetik enerjisi ile dönme kinetik enerjisinin toplamıdır.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes