Examkin

All practice questions

8734 questions

All types8,734Multiple choice4,865Multiple select1True / False289Numeric852Matching1,797Ordering842Fill in the blank63Short answer25
Question 1081Question →
x−2x2−4≥0\frac{x - 2}{x^2 - 4} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

En küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı 4'tür.
Doğru seçenekte sunulan çözümde, ifadenin paydasını sıfır yapan x = 2 değeri çözüm kümesinden doğru bir şekilde çıkarılmış ve en küçük iki pozitif tam sayı 1 ile 3 olarak seçilip doğru toplam olan 4 elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayırın ve tanımsızlık koşullarını belirleyin.
x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) olup, paydanın sıfır olmaması için x≠2x \neq 2 ve x≠−2x \neq -2 olmalıdır.
Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydayı sıfır yapan değerler çözüm kümesine dahil edilemez.
2
Eşitsizlikteki ortak çarpanları sadeleştirin.
x−2(x−2)(x+2)≥0⇒1x+2≥0\frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)} \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{x + 2} \geq 0 (burada x≠2x \neq 2 koşulu saklı tutulur).
Ortak çarpanların sadeleştirilmesi işlemi kolaylaştırır ancak sadeleşen terimin kökünün tanımsızlık yarattığı unutulmamalıdır.
3
Sadeleşmiş eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
1x+2≥0⇒x+2>0⇒x>−2\frac{1}{x + 2} \geq 0 \Rightarrow x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2. Dolayısıyla çözüm kümesi (−2,∞)∖{2}(-2, \infty) \setminus \{2\} olur.
Pay pozitif bir sabit olduğundan, kesrin sonucunun sıfırdan büyük veya eşit olması için paydanın pozitif olması gerekir.
4
Çözüm kümesindeki en küçük iki farklı pozitif tam sayıyı belirleyin ve toplayın.
Pozitif tam sayılar kümesi {1,2,3,4,… }\{1, 2, 3, 4, \dots\} şeklindedir. x≠2x \neq 2 olduğundan bu kümedeki en küçük iki değer 11 ve 33 olur. Toplamları ise 1+3=41 + 3 = 4 olarak bulunur.
İstenen koşula uygun en küçük değerleri bulup toplamı hesaplamak için tanımsızlık noktası olan 2 elenmelidir.

Key Concept

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydanın kökleri çözüm kümesine dahil edilmez ve sadeleştirme yapılırken bu köklerin tanımsızlık oluşturduğu unutulmamalıdır.
Question 1082Question →

Bir çiftçi, düz bir nehir kıyısında bulunan arazisine, nehir tarafında çit kullanmamak şartıyla dikdörtgen şeklinde bir kümes yapacaktır. Kümesin nehirden uzak olan üç kenarını çevirmek için toplam 4040 metre çit kullanacaktır.

Belediye imar kuralları gereği, kümesin nehre dik olan yan kenar uzunluğu en az 1212 metre, en fazla 1818 metre olmalıdır.

Buna göre, bu kümesin alanının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaç metrekaredir?

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

Kümesin alanının alabileceği en büyük değer ile en küç��k değer arasındaki fark 120 metrekaredir.
Doğru cevap 120 metrekaredir. Kümesin alanını temsil eden A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x fonksiyonu, kolları aşağı doğru olan bir paraboldür ve tepe noktası x=10x = 10 apsisli noktadadır. Tanım kümesi olan [12,18][12, 18] aralığı tepe noktasının sağında kaldığı için fonksiyon bu aralıkta tamamen azalandır. Bu sebeple en büyük değer aralığın sol ucunda (x=12x = 12 için 192), en küçük değer ise aralığın sağ ucunda (x=18x = 18 için 72) gerçekleşir. Aralarındaki fark 192−72=120192 - 72 = 120 metrekaredir.

Step-by-Step Solution

1
Kümesin nehre dik olan yan kenar uzunluğu xx metre olarak belirlenir. Bu durumda nehre paralel olan diğer kenar 40−2x40 - 2x metre olur.
Kenar uzunlukları xx ve 40−2x40 - 2x olarak ifade edilir.
Alanı tek bir değişken cinsinden yazabilmek için.
2
Kümesin alan fonksiyonu A(x)=x⋅(40−2x)=−2x2+40xA(x) = x \cdot (40 - 2x) = -2x^2 + 40x olarak kurulur.
A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x fonksiyonu elde edilir.
Alanın değişimini incelemek ve en büyük/en küçük değerleri bulmak için.
3
Elde edilen parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülüyle hesaplanır.
r=−402(−2)=10r = -\frac{40}{2(-2)} = 10 olarak bulunur.
Parabolün maksimum değerini aldığı noktayı belirlemek için.
4
İmar kuralı gereği xx değişkeninin tanım kümesi [12,18][12, 18] olarak belirlenmiştir. Tepe noktasının apsisi (r=10r = 10) bu aralığın solunda kalır. Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan (a=−2<0a = -2 < 0), fonksiyon [10,∞)[10, \infty) aralığında azalandır. Dolayısıyla [12,18][12, 18] aralığında da azalan bir fonksiyondur.
Fonksiyon [12,18][12, 18] aralığında azalandır.
En büyük ve en küçük değerlerin hangi sınırlarda oluşacağını belirlemek için.
5
En büyük alan değeri aralığın sol sınırında (x=12x = 12), en küçük alan değeri ise sağ sınırında (x=18x = 18) oluşur. Bu değerler hesaplanır.
En büyük alan: A(12)=192 m2A(12) = 192\text{ m}^2, en küçük alan: A(18)=72 m2A(18) = 72\text{ m}^2 olarak bulunur.
Sınır değerlerindeki alan büyüklüklerini elde etmek için.
6
Bulunan en büyük ve en küçük alan değerleri arasındaki fark hesaplanır.
192−72=120 m2192 - 72 = 120\text{ m}^2 olarak bulunur.
Soruda istenen farkı bulmak için.

Key Concept

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri bulunurken tepe noktasının bu aralıkta olup olmadığı kontrol edilir. Tepe noktası aralık dışındaysa uç değerler incelenir.
Question 1083Question →
Her mm gerçel sayısı için,
f(x)=x2−2mx+m2+4m+5f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + 4m + 5
fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki en küçük değeri g(m)g(m) olarak tanımlanıyor.

Buna göre, g(m)g(m) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

g(m) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer 1'dir.
Doğru yanıt olan değer, m<0m < 0 durumu incelendiğinde elde edilir. Bu durumda f(x)f(x) fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki en küçük değeri x=0x = 0 noktasında gerçekleşir ve g(m)=m2+4m+5g(m) = m^2 + 4m + 5 olur. Bu ifadenin de en küçük değeri tepe noktası olan m=−2m = -2 değerinde 11 olarak hesaplanır. Diğer bölgelerdeki en küçük değerler sırasıyla 55 ve 1313 olduğundan genel en küçük değer 11'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen f(x)f(x) fonksiyonunu tam kareye tamamlayarak tepe noktasını belirleyin.
f(x)=(x−m)2+4m+5f(x) = (x - m)^2 + 4m + 5 elde edilir. Parabolün kolları yukarı doğrudur ve tepe noktasının apsisi r=mr = m'dir.
Kolları yukarı doğru olan bir parabolün artan ve azalan olduğu aralıklar tepe noktasının apsisine (rr) göre belirlenir.
2
Tepe noktası apsisi olan mm'nin [0,2][0, 2] aralığına göre konumunu üç farklı durumda inceleyerek g(m)g(m) parçalı fonksiyonunu oluşturun.
g(m)g(m) fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:
- m<0m < 0 ise, parabol [0,2][0, 2] aralığındaki en küçük değerini x=0x = 0 noktasında alır: g(m)=f(0)=m2+4m+5g(m) = f(0) = m^2 + 4m + 5
- 0≤m≤20 \le m \le 2 ise, tepe noktası aralık içindedir. Minimum değer tepe noktasında oluşur: g(m)=f(m)=4m+5g(m) = f(m) = 4m + 5
- m>2m > 2 ise, parabol [0,2][0, 2] aralığındaki en küçük değerini x=2x = 2 noktasında alır: g(m)=f(2)=m2+9g(m) = f(2) = m^2 + 9
Parabolün kapalı bir aralıktaki en küçük değeri, tepe noktası aralığın içindeyse tepe noktasında, dışındaysa aralığın uç noktalarında gerçekleşir.
3
Elde edilen g(m)g(m) parçalı fonksiyonunun her bir bölgedeki en küçük değerlerini hesaplayın.
- m<0m < 0 bölgesi için: g(m)=m2+4m+5g(m) = m^2 + 4m + 5 parabolünün tepe noktası m=−2m = -2 noktasındadır ve bu bölgeye dahildir. Minimum değer g(−2)=1g(-2) = 1 olur.
- 0≤m≤20 \le m \le 2 bölgesi için: g(m)=4m+5g(m) = 4m + 5 doğrusal fonksiyonunun minimum değeri m=0m = 0 için 55 olur.
- m>2m > 2 bölgesi için: g(m)=m2+9g(m) = m^2 + 9 parabolünün tepe noktası m=0m = 0 olup bu bölgeye dahil değildir. m>2m > 2 için fonksiyon artandır ve en küçük değerini sınırda 1313'e yaklaşırken alır.
Parçalı tanımlı bir fonksiyonun küresel minimumunu bulmak için her bir parçanın kendi tanım aralığındaki en küçük değerleri karşılaştırılır.
4
Bölgelerden elde edilen en küçük değerleri karşılaştırarak genel minimumu bulun.
Bulunan minimum değerler sırasıyla 11, 55 ve 1313'tür. Bunlar arasındaki en küçük değer 11'dir.
g(m)g(m) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer tüm gerçel sayılar kümesindeki en küçük çıktıdır.

Key Concept

Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerinin tepe noktasının aralığa göre konumuna bağlı olarak bulunması
Question 1084Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun grafiği, xx eksenini yalnızca x=−2x = -2 ve x=4x = 4 noktalarında kesmektedir.

Buna göre,
g(x)=f(x−3)+2g(x) = f(x - 3) + 2
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu için g(x)=2g(x) = 2 eşitliğini sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

8
Doğru yanıt olan 8 değeri, g(x) = 2 denklemini sağlayan f(x - 3) = 0 eşitliğinden elde edilen x = 1 ve x = 7 köklerinin toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
g(x) fonksiyonunun tanımında g(x) yerine 2 yazılır.
2 = f(x - 3) + 2 denklemi elde edilir.
g(x) = 2 eşitliğini sağlayan x değerlerini belirlemek için bu e��itlik kurulmalıdır.
2
Elde edilen denklemde f(x - 3) ifadesi yalnız bırakılır.
f(x - 3) = 0 olur.
Fonksiyonun sıfır olduğu değerleri (x eksenini kestiği noktaları) kullanabilmek için.
3
f(x) = 0 eşitliğini sağlayan değerler yerine yazılır.
x - 3 = -2 veya x - 3 = 4 denklemleri elde edilir.
Soruda f fonksiyonunun x eksenini yalnızca x = -2 ve x = 4 noktalarında kestiği belirtilmiştir.
4
Elde edilen basit denklemler çözülür.
x = 1 ve x = 7 bulunur.
g(x) = 2 eşitliğini sağlayan x değerlerini bulmak için.
5
Bulunan x değerleri toplanır.
1 + 7 = 8 elde edilir.
Soruda bu değerlerin toplamı istendiği için.

Key Concept

Bir fonksiyonun yatay ve dikey ötelenmesi altında grafik üzerindeki noktaların koordinatlarının nasıl değiştiğinin belirlenmesi.
Estimated Time:1m 40s
Question 1085Question →

Bir oyuncak üreticisi, ürettiği bir oyuncağın adet satış fiyatını xx TL olarak belirlediğinde, haftalık satış miktarının 180−3x180 - 3x adet olacağını öngörmektedir. Bu oyunca��ın bir adedinin üretim maliyeti 2020 TL'dir. Üretici, yaptığı bir anlaşma gereği haftada en az 7575 adet oyuncak satmak zorundadır. Buna göre, üreticinin bu oyuncak satışından elde edebileceği haftalık maksimum kâr kaç TL'dir?

Show answer & explanation

Answer: 1125

Answer

Üreticinin elde edebileceği haftalık maksimum kâr 1125 TL'dir.
Satış miktarının en az 75 adet olması şartı, satış fiyatı olan xx değerinin en fazla 35 TL olabileceğini gösterir (x≤35x \leq 35). Kâr fonksiyonu olan K(x)=(x−20)(180−3x)K(x) = (x - 20)(180 - 3x) parabolünün tepe noktası x=40x = 40 olup bu değer izin verilen x≤35x \leq 35 aralığının dışındadır. Kolları aşağıya doğru olan parabol, tepe noktasına kadar sürekli artan bir grafik çizer. Bu nedenle xx değeri 35'e yaklaştıkça kâr artar ve maksimum kâr x=35x = 35 değerinde 1125 TL olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Satış miktarı kısıtlamasına göre satış fiyatının alabileceği değerler aralığını belirlemek.
Tanım kümesi [20,35][20, 35] aralığı olarak bulunur.
Haftalık satış miktarının en az 75 olması gerektiği (180−3x≥75180 - 3x \geq 75) belirtilmiştir ve kâr elde etmek için satış fiyatı birim maliyet olan 20 TL'den az olamaz.
2
Haftalık kârı veren ikinci dereceden fonksiyonu (parabolü) oluşturmak.
K(x)=−3x2+240x−3600K(x) = -3x^2 + 240x - 3600
Kâr, birim kâr (x−20x - 20) ile satış miktarının (180−3x180 - 3x) çarpımına eşittir.
3
Oluşan parabolün tepe noktasının apsisini (rr) bulmak.
r=40r = 40
İkinci dereceden fonksiyonların en büyük/en küçük değer analizi tepe noktası koordinatları yardımıyla yapılır.
4
Tepe noktasının tanım kümesi ile olan ilişkisini incelemek ve maksimum kârı verecek xx değerini belirlemek.
Maksimum kâr x=35x = 35 noktasında oluşur.
r=40r = 40 değeri [20,35][20, 35] tanım aralığının dışındadır. Kolları aşağı doğru olan bu parabol, tepe noktasına kadar (x<40x < 40 için) artan olduğundan, [20,35][20, 35] aralığındaki en büyük değerini aralığın en sağındaki sınır değeri olan 3535 noktasında alır.
5
Belirlenen satış fiyatı değerini kâr fonksiyonunda yerine yazıp hesaplama yapmak.
11251125 TL
K(35)=(35−20)×(180−3×35)=15×75=1125K(35) = (35 - 20) \times (180 - 3 \times 35) = 15 \times 75 = 1125 işleminin sonucudur.

Key Concept

Sınırlı bir aralıkta tanımlı ikinci dereceden bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulurken, tepe noktasının bu aralıkta olup olmadığı kontrol edilmelidir. Eğer tepe noktası aralığın dışındaysa, maksimum veya minimum değerler aralığın uç noktalarında gerçekleşir.
Question 1086Question →

Analitik düzlemde y≤−x2+4x−1y \leq -x^2 + 4x - 1 ve y>x−1y > x - 1 eşitsizlik sisteminin ortak çözüm bölgesinde bulunan, koordinatları tam sayı olan tüm noktalar koordinat düzleminin birinci bölgesindedir.

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen eşitsizlik sisteminin sağlandığı bölgedeki tam sayı koordinatlı tüm noktalar birinci bölgededir.
Verilen eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesindeki tam sayı koordinatlı noktaların tamamı birinci bölgede yer alır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlik sınırlarını belirleyen parabol ve doğrunun kesim noktalarını bulunuz.
−x2+4x−1=x−1  ⟹  x2−3x=0  ⟹  x=0-x^2 + 4x - 1 = x - 1 \implies x^2 - 3x = 0 \implies x = 0 ve x=3x = 3 apsisli noktalarda kesişirler.
Ortak çözüm bölgesinin hangi xx aralığında yer aldığını belirlemek için sınırların kesim noktaları bulunmalıdır.
2
Ortak çözüm bölgesini tanımlayan eşitsizlik şartlarını analiz ederek xx aralığını belirleyiniz.
y≤−x2+4x−1y \leq -x^2 + 4x - 1 (parabolün alt bölgesi) ve y>x−1y > x - 1 (doğrunun üst bölgesi, doğrunun kendisi hariç) olduğundan, bu şartların ikisini de sağlayan bölge x∈(0,3)x \in (0, 3) aralığındadır.
Parabolün kollarının aşağı doğru olması ve x∈(0,3)x \in (0, 3) aralığında parabolün doğrudan daha büyük değerler alması nedeniyle ortak bölge bu aralıkta sınırlanır.
3
Bu aralıktaki tam sayı xx değerlerine karşılık gelen tam sayı yy değerlerini bulunuz.
x=1x = 1 için 0<y≤2  ⟹  y∈{1,2}0 < y \leq 2 \implies y \in \{1, 2\} olup noktalar (1,1)(1,1) ve (1,2)(1,2)'dir. x=2x = 2 için 1<y≤3  ⟹  y∈{2,3}1 < y \leq 3 \implies y \in \{2, 3\} olup noktalar (2,2)(2,2) ve (2,3)(2,3)'tür.
xx bir tam sayı iken eşitsizlik sistemini sağlayan ve ordinatı (yy) de tam sayı olan tüm noktaları listelemek gerekir.
4
Bulunan noktaların koordinat düzlemindeki bölgelerini kontrol ediniz.
Bulunan tüm noktaların ((1,1),(1,2),(2,2),(2,3)(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)) hem apsisleri hem de ordinatları pozitif olduğu için tamamı birinci bölgededir.
Koordinat düzleminde her iki bileşeni de pozitif olan noktalar 1. bölgede yer alır.

Key Concept

Eşitsizlik sistemlerinin analitik düzlemde ortak çözüm bölgesinin bulunması ve bu bölgedeki noktaların analizi.
Question 1087Question →

π<x<7π6\pi < x < \frac{7\pi}{6} olmak üzere, aşağıda verilen AA, BB ve CC değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama B < C < A şeklindedir.
Verilen x açısı üçüncü bölgede yer almaktadır. İndirgeme bağıntıları uygulandığında A = -\cos x, B = -\sin x ve C = \tan x elde edilir. Bu aralıkta A, B ve C değerlerinin tümü pozitif olup sayısal sınırları sırasıyla A > 0.866, B < 0.5 ve C < 0.577 şeklindedir. C = B/A bağıntısında A < 1 olduğundan C > B elde edilir. Aynı zamanda C < A olduğundan doğru sıralama B < C < A olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
A, B ve C ifadelerindeki açıları esas ölçülerini ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirin.
A = -\cos x, B = -\sin x ve C = \tan x elde edilir.
Trigonometrik değerleri karşılaştırabilmek için öncelikle ifadeleri en sade ve bilinen formlarına dönüştürmek gerekir.
2
x açısının yer aldığı (\pi, 7\pi/6) aralığına göre sin x ve cos x değerlerinin sınırlarını belirleyin.
-1 < \cos x < -\sqrt{3}/2 ve -1/2 < \sin x < 0 sınırları elde edilir.
Üçüncü bölgedeki bu özel dar aralıkta trigonometrik fonksiyonların alabileceği değerlerin sınırlarını bilmek büyüklük karşılaştırması yapabilmemizi sağlar.
3
Elde edilen sınır değerleri kullanarak A, B ve C ifadelerinin pozitiflik durumlarını ve sayısal aralıklarını analiz edin.
A > 0.866, B < 0.5 ve C < 0.577 (tüm terimler pozitif) olduğu tespit edilir.
Her bir terimin pozitif olduğunu belirledikten sonra sayısal aralıklarını kıyaslayarak sıralamayı gerçekleştirmek gerekir.
4
A, B ve C arasındaki ilişkileri (özellikle C = B/A bağıntısını) kullanarak sıralamayı kesinleştirin.
B < C < A sıralaması elde edilir.
A < 1 olduğundan C = B/A > B olur. A > 0.866 ve C < 0.577 olduğundan da C < A olur. Bu iki durum birleştirildiğinde B < C < A sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi, birim çemberde işaret analizi ve trigonometrik değerlerin sıralanması.
Question 1088Question →
(x2−x−6)⋅(x−4)2x2−1≤0 \frac{(x^2 - x - 6) \cdot (x - 4)^2}{x^2 - 1} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 7'dir.
İşaret tablosu incelendiğinde ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeler [−2,−1)[-2, -1), (1,3](1, 3] aralıkları ve ifadenin sıfıra eşit olduğu x=4x = 4 noktasıdır. Bu kümedeki tam sayılar −2,2,3-2, 2, 3 ve 44 olup toplamları 77'dir.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadelerin köklerini bulalım.
Payın kökleri: x2−x−6=(x−3)(x+2)=0  ⟹  x=3x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \implies x = 3 ve x=−2x = -2. (x−4)2=0  ⟹  x=4(x - 4)^2 = 0 \implies x = 4 (çift katlı kök). Paydanın kökleri: x2−1=0  ⟹  x=1x^2 - 1 = 0 \implies x = 1 ve x=−1x = -1.
Eşitsizlik işaret tablosunun sınırlarını belirlemek için tüm çarpanların kökleri hesaplanmalıdır.
2
Bulunan kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu hazırlayalım.
Köklerin sıralaması: −2<−1<1<3<4-2 < -1 < 1 < 3 < 4. Burada x=4x = 4 çift katlı köktür. x=−1x = -1 ve x=1x = 1 paydanın kökleri olduğundan tanımsızlık noktalarıdır ve çözüm kümesine dahil edilemezler.
İşaret değişimlerini doğru takip edebilmek için kökleri sayı doğrusundaki sırasına göre yerleştirmeliyiz.
3
Tablonun en sağındaki bölgenin işaretini belirleyelim ve sola doğru dolduralım.
x>4x > 4 için ifadedeki tüm çarpanların başkatsayıları pozitif olduğundan tablonun en sağı ++ ile başlar. x=4x = 4 çift katlı kök olduğundan işaret değişmez (++). Sırasıyla diğer tek katlı köklerden geçerken işaret değiştirilir: (3,4)(3, 4) aralığı ++, (1,3](1, 3] aralığı −-, (−1,1)(-1, 1) aralığı ++, [−2,−1)[-2, -1) aralığı −-, (−∞,−2)(-\infty, -2) aralığı ++. Payda kökleri tanımsız olduğundan açık aralık, payın kökleri ise küçük eşitlik durumundan dolayı kapalı aralık olarak alınır.
Fonksiyonun farklı aralıklardaki işaretini belirleyerek eşitsizliğin yönünü sağlayan bölgeleri buluruz.
4
Eşitsizliği sağlayan (sıfırdan küçük veya eşit) aralıkları yazalım ve buradaki tam sayıları bulalım.
Çözüm kümesi: [−2,−1)∪(1,3]∪{4}[-2, -1) \cup (1, 3] \cup \{4\}. Bu kümedeki tam sayılar: −2,2,3,4-2, 2, 3, 4.
Eşitsizliğin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu bölgelerdeki tam sayı çözümlerini listelemeliyiz.
5
Tam sayıların toplamını hesaplayalım.
(−2)+2+3+4=7(-2) + 2 + 3 + 4 = 7
Soru bizden eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını istemektedir.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve İşaret Tablosu
Question 1089Question →
Bir gözlem balonunun yerden yüksekliği (metre cinsinden), zamana (dakika cinsinden) bağlı olarak
f(t)=−t2+6t+16f(t) = -t^2 + 6t + 16
fonksiyonuyla modellenmektedir.

Buna göre, bu balonun [4,7][4, 7] zaman aralığında (4. ve 7. dakikalar dahil) ulaştığı en büyük yükseklik ile en küçük yükseklik değerleri aras��ndaki fark kaç metredir?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

En büyük ve en küçük yükseklik değerleri arasındaki fark 15 metredir.
Balonun [4,7][4, 7] zaman aralığında ulaştığı en büyük değer sol sınır olan t=4t=4 anında 24 metre, en küçük değer ise sağ sınır olan t=7t=7 anında 9 metredir. Bu iki değer arasındaki fark 15 metredir.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün tepe noktasının apsisini bulmak için r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü uygulanır.
r=3r = 3 elde edilir.
Parabolün artanlık ve azalanlık seyrinin değiştiği tepe noktasını tespit etmek.
2
Tepe noktasının verilen [4,7][4, 7] kapalı aralığına göre konumu değerlendirilir.
r=3r = 3 değeri [4,7][4, 7] aralığının dışındadır ve solundadır.
Maksimum ve minimum değerlerin aralıkta nerede oluşacağını belirlemek.
3
Fonksiyonun [4,7][4, 7] aralığındaki uç noktalarındaki değerleri hesaplanır.
f(4)=24f(4) = 24 ve f(7)=9f(7) = 9 olarak bulunur.
Fonksiyon bu aralıkta azalan olduğundan, en büyük değer sol sınırda, en küçük değer sağ sınırda elde edilir.
4
Uç değerler arasındaki fark alınır.
24−9=1524 - 9 = 15 bulunur.
En büyük ve en küçük değerler arasındaki farkı hesaplamak.

Key Concept

Bir parabolün kapalı bir aral��ktaki en büyük ve en küçük değerleri bulunurken, tepe noktasının bu aralıkta olup olmadığı kontrol edilir. Tepe noktası aralığın dışındaysa, en büyük ve en küçük değerler aralığın uç noktalarında oluşur.
Question 1090Question →
x2−2xy+y2−3x+3y=4x+2y=5\begin{aligned} x^2 - 2xy + y^2 - 3x + 3y &= 4 \\ x + 2y &= 5 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği tam sayı değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği tam sayı değeri 3'tür.
Sistemdeki birinci denklem (x−y−4)(x−y+1)=0(x-y-4)(x-y+1)=0 olarak çarpanlarına ayrılır. Bu doğrusal çarpanlar ikinci denklem olan x+2y=5x+2y=5 ile ayrı ayrı ortak çözüldüğünde koordinatları tam sayı olan tek çözüm (1,2)(1, 2) ikilisi olur ve bu ikilinin koordinatları toplamı 3'tür.

Step-by-Step Solution

1
Birinci denklemi (x−y)(x-y) ifadesine bağlı olarak düzenleyelim.
(x−y)2−3(x−y)−4=0(x-y)^2 - 3(x-y) - 4 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemde u=x−yu = x-y dönüşümü yapılırsa u2−3u−4=0u^2 - 3u - 4 = 0 olur. Çarpanlarına ayırdığımızda (u−4)(u+1)=0(u-4)(u+1) = 0 elde edilir. Buradan x−y=4x-y = 4 veya x−y=−1x-y = -1 bulunur.
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak xx ve yy arasındaki doğrusal ilişkileri tespit etmek için.
2
Elde edilen doğrusal ilişkileri x+2y=5x + 2y = 5 denklemi ile ortak çözelim.
Birinci durum: x−y=4⇒x=y+4x - y = 4 \Rightarrow x = y + 4. İkinci denklemde yerine yazarsak (y+4)+2y=5⇒3y=1⇒y=1/3(y+4) + 2y = 5 \Rightarrow 3y = 1 \Rightarrow y = 1/3 ve x=13/3x = 13/3 olur.
İkinci durum: x−y=−1⇒x=y−1x - y = -1 \Rightarrow x = y - 1. İkinci denklemde yerine yazarsak (y−1)+2y=5⇒3y=6⇒y=2(y-1) + 2y = 5 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2 ve x=1x = 1 olur.
Sistemin gerçel sayı çözümlerini (x,y)(x, y) ikilileri olarak elde etmek için.
3
Her iki durum için x+yx + y toplamlarını hesaplayalım ve tam sayı olan değeri belirleyelim.
Birinci durumdan: x+y=13/3+1/3=14/3x + y = 13/3 + 1/3 = 14/3
İkinci durumdan: x+y=1+2=3x + y = 1 + 2 = 3 elde edilir. Bu değerlerden tam sayı olanı 3'tür.
Soruda istenen koşulu sağlayan tam sayı değerini belirlemek için.

Key Concept

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Question 1091Question →

x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,

a=sin⁡(π+x)a = \sin(\pi + x)
b=cos⁡(π−x)b = \cos(\pi - x)
c=tan⁡(3π2+x)c = \tan\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)

olarak veriliyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

c < b < a
Verilen açılar dar açı cinsine indirgendiğinde a=−sin⁡xa = -\sin x, b=−cos⁡xb = -\cos x ve c=−cot⁡xc = -\cot x değerleri elde edilir. x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡x<cos⁡x<1<cot⁡x\sin x < \cos x < 1 < \cot x olduğundan, negatif işaretli halleri sıralandığında c<b<ac < b < a sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Trigonometrik ifadeleri indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirmek.
a=−sin⁡xa = -\sin x, b=−cos⁡xb = -\cos x ve c=−cot⁡xc = -\cot x
π+x\pi + x açısı 3. bölgede olduğundan sinüs negatiftir. π−x\pi - x açısı 2. bölgede olduğundan kosinüs negatiftir. 3π2+x\frac{3\pi}{2} + x açısı 4. bölgede olduğundan tanjant negatiftir ve 3π2\frac{3\pi}{2} açısı kullanıldığından fonksiyon eş fonksiyonu olan kotanjanta dönüşür.
2
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x ve cot⁡x\cot x fonksiyonlarının değer aralıklarını kıyaslamak.
0<sin⁡x<cos⁡x<1<cot⁡x0 < \sin x < \cos x < 1 < \cot x
00 ile π4\frac{\pi}{4} (45∘45^\circ) arasındaki açılar için sinüs değeri kosinüs değerinden küçüktür ve her ikisi de 00 ile 11 arasındadır. Kotanjant ise bu aralıkta 11'den büyüktür.
3
Elde edilen eşitsizliği negatif işaretlerle çarparak sıralamayı belirlemek.
c<b<ac < b < a
0<sin⁡x<cos⁡x<cot⁡x0 < \sin x < \cos x < \cot x eşitsizliği −1-1 ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve −cot⁡x<−cos⁡x<−sin⁡x-\cot x < -\cos x < -\sin x olur.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve dar açılı bölgelerde kıyaslanması.
Question 1092Question →

Analitik düzlemde, y≥x2−4y \geq x^2 - 4 ve y<−x+2y < -x + 2 eşitsizlik sisteminin belirttiği ortak bölgede koordinatlarının her ikisi de tam sayı olan tam 2020 farklı nokta bulunur.

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Eşitsizlik sisteminin belirttiği ortak bölgede koordinatları tam sayı olan tam 20 farklı nokta bulunduğundan bu önerme doğrudur.
Eşitsizlik sisteminin ortak bölgesinde kalan tam sayı koordinatlı noktaların sayısı, sınırların kesişim noktaları ve dahil olma durumları dikkate alınarak tek tek hesaplandığında tam olarak 20 adet olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Sınır eğrilerinin kesişim noktalarını belirleme
x2−4=−x+2  ⟹  x2+x−6=0  ⟹  (x+3)(x−2)=0x^2 - 4 = -x + 2 \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies (x+3)(x-2) = 0 denkleminden kesişim noktalarının apsisleri x=−3x = -3 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
Eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgenin hangi xx aralığında yer aldığını bulmak için sınırların kesişim noktalarını tespit etmemiz gerekir.
2
Eşitsizlik sınırlarının dahil olma durumlarını analiz etme
y≥x2−4y \geq x^2 - 4 eşitsizliğinde sınır parabolü bölgeye dahildir. y<−x+2y < -x + 2 eşitsizliğinde ise sınır doğrusu bölgeye dahil değildir.
Tam sayı koordinatlı noktaları sayarken sınır çizgileri üzerindeki noktaların dahil olup olmadığını doğru belirlemek gerekir.
3
Apsis değerlerine göre tam sayı olan ordinat değerlerini hesaplama
xx değişkeninin alabileceği tam sayı değerleri için x2−4≤y<−x+2x^2 - 4 \leq y < -x + 2 aralığındaki tam sayı yy değerleri şu şekildedir:
- x=−2x = -2 için 0≤y<4  ⟹  y∈{0,1,2,3}0 \leq y < 4 \implies y \in \{0, 1, 2, 3\} (44 nokta)
- x=−1x = -1 için −3≤y<3  ⟹  y∈{−3,−2,−1,0,1,2}-3 \leq y < 3 \implies y \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\} (66 nokta)
- x=0x = 0 için −4≤y<2  ⟹  y∈{−4,−3,−2,−1,0,1}-4 \leq y < 2 \implies y \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1\} (66 nokta)
- x=1x = 1 için −3≤y<1  ⟹  y∈{−3,−2,−1,0}-3 \leq y < 1 \implies y \in \{-3, -2, -1, 0\} (44 nokta)
Her bir xx tam sayı değeri için sınır koşullarını sağlayan yy tam sayılarının adedini bulmak gerekir.
4
Toplam nokta sayısını hesaplama
Toplam nokta sayısı 4+6+6+4=204 + 6 + 6 + 4 = 20 olarak bulunur.
Bulunan tüm durumların toplamını alarak bölgedeki toplam tam sayı nokta sayısına ulaşırız.

Key Concept

Eşitsizlik sistemlerinin analitik düzlemde gösterimi ve sınır çizgilerinin dahil olma kuralları
Estimated Time:2m 0s
Question 1093Question →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Verilen ifadelerin değerleri sırasıyla a=12a = \frac{1}{2}, b=−12b = -\frac{1}{2} ve c=−1c = -1 olduğundan, doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen trigonometrik oranlar bölgelerine göre indirgendiğinde elde edilen değerler a=12a = \frac{1}{2}, b=−12b = -\frac{1}{2} ve c=−1c = -1 şeklindedir. Bu sayısal değerler karşılaştırıldığında −1<−12<12-1 < -\frac{1}{2} < \frac{1}{2} sıralaması elde edilir. Dolayısıyla doğru sıralama c<b<ac < b < a olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
a=sin⁡(150∘)a = \sin(150^\circ) ifadesinin değerini bulunuz.
a=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡(30∘)=12a = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
150∘150^\circ açısı 2. bölgededir ve 2. bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir.
2
b=cos⁡(240∘)b = \cos(240^\circ) ifadesinin değerini bulunuz.
b=cos⁡(180∘+60∘)=−cos⁡(60∘)=−12b = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}
240∘240^\circ açısı 3. bölgededir ve 3. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatiftir.
3
c=tan⁡(315∘)c = \tan(315^\circ) ifadesinin değerini bulunuz.
c=tan⁡(360∘−45∘)=−tan⁡(45∘)=−1c = \tan(360^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1
315∘315^\circ açısı 4. bölgededir ve 4. bölgede tanjant fonksiyonunun işareti negatiftir.
4
Bulunan değerleri karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayınız.
−1<−12<12-1 < -\frac{1}{2} < \frac{1}{2} olduğundan c<b<ac < b < a sıralaması elde edilir.
Sayı doğrusundaki konumlarına göre en soldaki (en küçük) sayı −1-1, ardından −12-\frac{1}{2} ve en sağdaki (en büyük) sayı ise 12\frac{1}{2}'dir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret tayini ve indirgeme kuralları yardımıyla değerlerinin hesaplanması.
Question 1094Question →
f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 fonksiyonunun [0,5][0, 5] kapalı aralığındaki en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

En büyük ve en küçük değerlerin toplamı 15'tir.
Fonksiyonun [0,5][0, 5] aralığındaki en küçük değeri tepe noktasında (x=2x = 2 için 33), en büyük değeri ise tepe noktasından en uzak olan uç noktada (x=5x = 5 için 1212) elde edilir. Bu değerlerin toplamı 3+12=153 + 12 = 15 olur.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün tepe noktasının apsisi (rr) bulunur.
r=−b2a=−−42⋅1=2r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2
Tepe noktasının verilen aralık içerisinde olup olmadığını belirlemek için apsis değeri hesaplanmalıdır.
2
Bulunan r=2r = 2 değerinin [0,5][0, 5] aralığında olup olmadığı kontrol edilir ve bu noktadaki fonksiyon değeri hesaplanır.
f(2)=22−4(2)+7=3f(2) = 2^2 - 4(2) + 7 = 3
r=2r = 2 değeri [0,5][0, 5] aralığındadır. Parabolün başkatsayısı pozitif (a=1>0a = 1 > 0) olduğundan, bu aralıktaki en küçük değer tepe noktasında alınır. Dolayısıyla en küçük değer 33'tür.
3
Aralığın uç noktaları olan x=0x = 0 ve x=5x = 5 için fonksiyon de��erleri hesaplanır.
f(0)=7f(0) = 7 ve f(5)=12f(5) = 12
Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük değeri, sınır noktalarından birinde bulunur. Simetri ekseni olan x=2x = 2 doğrusuna daha uzak olan uç noktada (x=5x = 5) en büyük değer elde edilir. Bu değer 1212'dir.
4
Elde edilen en büyük ve en küçük değerler toplanır.
3+12=153 + 12 = 15
Soruda bizden en büyük ve en küçük değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktası (eğer aralığa dahilse) ve aralığın uç noktalarındaki değerler incelenir.
Question 1095Question →

Analitik düzlemde, y≤−x2+4x+5y \le -x^2 + 4x + 5 ve y−x>1y - x > 1 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesindeki tam sayı koordinatlı (x,y)(x, y) noktalarından, koordinatları toplamı asal sayı olanların sayısı 8'dir.

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen eşitsizlik sistemini sağlayan ve koordinatları toplamı asal sayı olan tam sayı koordinatlı nokta sayısı 8 olduğundan bu önerme doğrudur.
Eşitsizlik sisteminin sağlandığı bölgedeki tam sayı koordinatlı noktalar listelenip koordinatları toplamı kontrol edildiğinde, asal sayı toplamı veren tam olarak 8 farklı nokta elde edilmektedir. Bu nedenle önerme doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Sınır eğrilerinin kesim noktalarını bularak xx değişkeninin alabileceği tam sayı aralığını belirleyin.
−x2+4x+5=x+1  ⟹  x2−3x−4=0  ⟹  (x−4)(x+1)=0-x^2 + 4x + 5 = x + 1 \implies x^2 - 3x - 4 = 0 \implies (x-4)(x+1) = 0 denkleminden kesim noktalarının apsisleri x=−1x = -1 ve x=4x = 4 olarak bulunur. Dolayısıyla ortak bölgedeki noktalar için apsis değerleri −1≤x≤4-1 \le x \le 4 aralığında olmalıdır.
Eşitsizlik sisteminin sağlandığı bölgenin s��nırlarını belirlemek ve bu bölgedeki tam sayıları sınırlandırmak için kesim noktaları tespit edilir.
2
Sınırların dahil olma durumlarını analiz edin.
y≤−x2+4x+5y \le -x^2 + 4x + 5 eşitsizliğinde eşitlik sembolü (≤\le) olduğundan parabol üzerindeki noktalar bölgeye dahildir. y>x+1y > x + 1 eşitsizliğinde ise büyüktür (>>) sembolü olduğundan doğru üzerindeki noktalar bölgeye dahil değildir.
Hangi sınır noktalarının çözüm kümesine dahil edileceğini doğru şekilde ayırt etmek için sınırların dahil olma durumları belirlenir.
3
Belirlenen xx tam sayı değerleri için eşitsizlik sistemini sağlayan yy tam sayı değerlerini tek tek bulun.
x=−1x = -1 için: 0<y≤00 < y \le 0 (Çözüm yok)
x=0x = 0 için: 1<y≤5  ⟹  y∈{2,3,4,5}1 < y \le 5 \implies y \in \{2, 3, 4, 5\}
x=1x = 1 için: 2<y≤8  ⟹  y∈{3,4,5,6,7,8}2 < y \le 8 \implies y \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}
x=2x = 2 için: 3<y≤9  ⟹  y∈{4,5,6,7,8,9}3 < y \le 9 \implies y \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}
x=3x = 3 için: 4<y≤8  ⟹  y∈{5,6,7,8}4 < y \le 8 \implies y \in \{5, 6, 7, 8\}
x=4x = 4 için: 5<y≤55 < y \le 5 (Çözüm yok)
Bölge içindeki tüm tam sayı koordinatlı aday noktaları listelemek için apsis değerlerine göre ordinat aralıkları incelenir.
4
Bulunan noktaların koordinatları toplamını (x+yx+y) hesaplayıp asal sayı olanları seçin.
x=0x = 0 için: 0+2=20+2=2 (asal), 0+3=30+3=3 (asal), 0+4=40+4=4, 0+5=50+5=5 (asal)   ⟹  \implies (0,2),(0,3),(0,5)(0,2), (0,3), (0,5) (3 nokta)
x=1x = 1 için: 1+3=41+3=4, 1+4=51+4=5 (asal), 1+5=61+5=6, 1+6=71+6=7 (asal), 1+7=81+7=8, 1+8=91+8=9   ⟹  \implies (1,4),(1,6)(1,4), (1,6) (2 nokta)
x=2x = 2 için: 2+4=62+4=6, 2+5=72+5=7 (asal), 2+6=82+6=8, 2+7=92+7=9, 2+8=102+8=10, 2+9=112+9=11 (asal)   ⟹  \implies (2,5),(2,9)(2,5), (2,9) (2 nokta)
x=3x = 3 için: 3+5=83+5=8, 3+6=93+6=9, 3+7=103+7=10, 3+8=113+8=11 (asal)   ⟹  \implies (3,8)(3,8) (1 nokta)
Toplamda 8 adet nokta elde edilir.
Önermede belirtilen koordinatları toplamının asal sayı olması koşulunu sağlayan noktaların sayısını bulmak için tüm aday noktalar test edilir.

Key Concept

Eşitsizlik sistemlerinin analitik düzlemde gösterimi, sınır eğrilerinin (parabol ve doğru) dahil olma durumları ve bölge içindeki tam sayı koordinatlı noktaların analizi.
Question 1096Question →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası TT olan y=f(x)y = f(x) parabolü xx-eksenini A(1,0)A(1, 0) ve B(5,0)B(5, 0) noktalarında kesmektedir.

Bu parabolün grafiği;
* xx-ekseni boyunca sola aa birim,
* yy-ekseni boyunca yukarı bb birim

ötelenerek tepe noktası T′(0,7)T'(0, 7) olan y=g(x)y = g(x) parabolü elde ediliyor.

f(0)=−5f(0) = -5 olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Öteleme miktarlarının toplamı 6'dır.
Parabolün tepe noktası olan T(3,4)T(3, 4) noktası, sola 33 birim ötelenerek apsisi 00 yapılır (a=3a=3), yukarı 33 birim ötelenerek ordinatı 77 yapılır (b=3b=3). Bu durumda a+ba+b toplamı 66 olur.

Step-by-Step Solution

1
Eksenleri kestiği noktaları bilinen parabolün genel denklemini yazalım.
f(x)=k(x−1)(x−5)f(x) = k(x - 1)(x - 5)
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar 1 ve 5 olarak verilmiştir.
2
y-eksenini kestiği nokta olan (0,−5)(0, -5) değerini kullanarak başkatsayı kk'yi bulalım.
f(0)=k(0−1)(0−5)=−5  ⟹  5k=−5  ⟹  k=−1f(0) = k(0 - 1)(0 - 5) = -5 \implies 5k = -5 \implies k = -1 bulunur. Buradan parabol denklemi f(x)=−(x−1)(x−5)f(x) = -(x - 1)(x - 5) olur.
Parabolün y-intercept değeri başkatsayının değerini belirlememizi sağlar.
3
Parabolün tepe noktası T(r,s)T(r, s) koordinatlarını hesaplayalım.
r=1+52=3r = \frac{1 + 5}{2} = 3 ve s=f(3)=−(3−1)(3−5)=4s = f(3) = -(3 - 1)(3 - 5) = 4 olduğundan T(3,4)T(3, 4) elde edilir.
Grafik ötelemelerinde tepe noktasının hareketini takip etmek en pratik yöntemdir.
4
Sola aa birim ve yukarı bb birim öteleme kurallarını tepe noktasına uygulayarak yeni tepe noktası T′(0,7)T'(0, 7) ile eşitleyelim.
Sola aa birim öteleme apsisi 3−a3 - a, yukarı bb birim öteleme ordinatı 4+b4 + b yapar. Buradan 3−a=0  ⟹  a=33 - a = 0 \implies a = 3 ve 4+b=7  ⟹  b=34 + b = 7 \implies b = 3 bulunur.
Sola öteleme apsisi azaltırken, yukarı öteleme ordinatı artırır.
5
Bulunan öteleme miktarlarını toplayalım.
a+b=3+3=6a + b = 3 + 3 = 6 elde edilir.
Soruda istenen toplam değere ulaşmak için.

Key Concept

Parabol Grafiklerinde Dikey ve Yatay Öteleme
Question 1097Question →

Tanımlı olduğu xx ve yy gerçel sayıları için,

x−y=9π2x - y = \frac{9\pi}{2}

olduğuna göre,

3cos⁡(x−3π)⋅tan⁡(y−5π2)+3sin⁡(7π2+x)sin⁡(5π−y)−cos⁡(5π2−x)\frac{3\cos(x - 3\pi) \cdot \tan\left(y - \frac{5\pi}{2}\right) + 3\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)}{\sin(5\pi - y) - \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)}

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

İfadeler doğru şekilde indirgendiğinde pay paydanın 3 katı olmakta ve oran 3 olarak bulunmaktadır.
Verilen x−y=9π2x - y = \frac{9\pi}{2} bağıntısı kullanılarak tüm trigonometrik terimler yy açısı cinsinden indirgendiğinde, pay ifadesi 3(sin⁡y−cos⁡y)3(\sin y - \cos y) ve payda ifadesi sin⁡y−cos⁡y\sin y - \cos y olarak elde edilir. Bu iki ifade birbirine oranlandığında sadeleşerek 3 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen iki değişken arasındaki ilişkiyi esas ölçü cinsinden yazmak.
x=y+4π+π2x = y + 4\pi + \frac{\pi}{2} olduğundan, xx açısının esas ölçüsü y+π2y + \frac{\pi}{2} olur. Buradan sin⁡x=sin⁡(y+π2)=cos⁡y\sin x = \sin\left(y + \frac{\pi}{2}\right) = \cos y ve cos⁡x=cos⁡(y+π2)=−sin⁡y\cos x = \cos\left(y + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin y eşitlikleri elde edilir.
İfadedeki farkl�� değişkenleri tek bir değişken cinsinden ifade edebilmek için.
2
Pay kısmındaki trigonometrik ifadeleri yy cinsinden indirgemek.
cos⁡(x−3π)=−cos⁡x=−(−sin⁡y)=sin⁡y\cos(x - 3\pi) = -\cos x = -(-\sin y) = \sin y olur. tan⁡(y−5π2)=tan⁡(y−π2)=−cot⁡y\tan\left(y - \frac{5\pi}{2}\right) = \tan\left(y - \frac{\pi}{2}\right) = -\cot y olur. Bu iki ifadenin çarpımı 3⋅sin⁡y⋅(−cot⁡y)=−3cos⁡y3 \cdot \sin y \cdot (-\cot y) = -3\cos y olarak bulunur. Diğer terim ise sin⁡(7π2+x)=sin⁡(3π2+x)=−cos⁡x=−(−sin⁡y)=sin⁡y\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x = -(-\sin y) = \sin y olur. Böylece pay kısmı −3cos⁡y+3sin⁡y=3(sin⁡y−cos⁡y)-3\cos y + 3\sin y = 3(\sin y - \cos y) halini alır.
Pay kısmındaki karmaşık ifadeleri sadeleştirip ortak bir çarpan parantezine alabilmek için.
3
Payda kısmındaki trigonometrik ifadeleri yy cinsinden indirgemek.
sin⁡(5π−y)=sin⁡(π−y)=sin⁡y\sin(5\pi - y) = \sin(\pi - y) = \sin y olur. cos⁡(5π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x olur. Birinci adımda elde ettiğimiz sin⁡x=cos⁡y\sin x = \cos y eşitliği yerine yazıldığında bu ifade cos⁡y\cos y değerine eşit olur. Dolayısıyla payda kısmı sin⁡y−cos⁡y\sin y - \cos y haline gelir.
Payda kısmını pay kısmı ile sadeleşebilir hale getirmek için.
4
Elde edilen pay ve payda ifadelerini oranlamak.
A=3(sin⁡y−cos⁡y)sin⁡y−cos⁡y=3A = \frac{3(\sin y - \cos y)}{\sin y - \cos y} = 3 bulunur.
Sadeleşen terimleri eleyerek nihai sayısal değere ulaşmak için.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi ve iki değişken arasındaki doğrusal ilişki yardımıyla dönüşüm yapılması.
Estimated Time:2m 30s
Question 1098Question →
(x2−16)(x−3)(x2−9)(x−1)≤0 \frac{(x^2 - 16)(x - 3)}{(x^2 - 9)(x - 1)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 2'dir.
Eşitsizlikteki çarpanlar sadeleştirilip paydanın kökleri (x≠−3,1,3x \neq -3, 1, 3) dışarıda bırakıldığında, eşitsizliği sağlayan tam sayılar −4-4, 22 ve 44 olarak bulunur. Bu sayıların toplamı 22 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
İfadeyi çarpanlarına ayırma
Pay kısmında (x−4)(x+4)(x−3)(x-4)(x+4)(x-3) ve payda kısmında (x−3)(x+3)(x−1)(x-3)(x+3)(x-1) elde edilir.
Kökleri belirlemek ve sadeleştirme yapılabilecek çarpanları görmek için ifade çarpanlarına ayrılır.
2
Tanım kümesini belirleme
Paydayı sıfır yapan x=−3x = -3, x=1x = 1 ve x=3x = 3 değerleri çözüm kümesinden hariç tutulmalıdır.
Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydanın kökleri ifadeyi tanımsız yapar.
3
Sadeleştirme yapma ve yeni ifadeyi oluşturma
x≠3x \neq 3 için ifade (x−4)(x+4)(x+3)(x−1)≤0\frac{(x-4)(x+4)}{(x+3)(x-1)} \leq 0 halini alır.
Ortak olan (x−3)(x-3) çarpanı, x≠3x \neq 3 koşulu altında sadeleştirilir.
4
İşaret tablosu oluşturma
Kökler: −4,−3,1,4-4, -3, 1, 4. İşaret dağılımı sağdan sola sırasıyla ++, −-, ++, −-, ++ şeklindedir. Ayrıca x=3x = 3 noktasında ifadenin tanımsız olduğu unutulmamalıdır.
Eşitsizliğin yönünü belirlemek için köklere göre işaret tablosu oluşturulur.
5
Çözüm kümesini ve tam sayıları belirleme
Çözüm kümesi: [−4,−3)∪(1,3)∪(3,4][-4, -3) \cup (1, 3) \cup (3, 4]. Bu aralıktaki tam sayılar: −4,2-4, 2 ve 44'tür.
Eşitsizliği sağlayan aralıklar ve bu aralıklardaki tam sayılar tespit edilir.
6
Tam sayıların toplamını bulma
(−4)+2+4=2(-4) + 2 + 4 = 2
Soru kökünde istenen tam sayıların toplamı hesaplanır.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
Estimated Time:2m 0s
Question 1099Question →
(9−x2)(x2−2x−8)x2−6x+9≥0 \frac{(9 - x^2)(x^2 - 2x - 8)}{x^2 - 6x + 9} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı -1'dir.
Verilen eşitsizlik çarpanlarına ayrıldığında ifadenin kritik noktaları −3-3, −2-2, 33 ve 44 olarak bulunur. Paydadaki (x−3)2(x-3)^2 teriminin kökü olan 33 değeri, paydaki (3−x)(3-x) çarpanı ile sadeleştiğinde paydada tek katlı kök olarak kalır ve işareti değiştirir. Yapılan işaret tablosuna göre ifadenin sıfıra eşit veya büyük olduğu bölgeler [−3,−2][-3, -2] ile (3,4](3, 4] aralıklarıdır. Bu aralıklardaki tam sayılar sırasıyla −3-3, −2-2 ve 44 olup toplamları −1-1 değerine ulaşır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlikte yer alan tüm polinom ifadelerini çarpanlarına ayırın.
Pay: −(x−3)(x+3)(x−4)(x+2)-(x - 3)(x + 3)(x - 4)(x + 2), Payda: (x−3)2(x - 3)^2
Eşitsizliğin köklerini ve kritik noktalarını belirlemek amacıyla tüm çarpanları görünür hale getiririz.
2
Pay ve paydanın köklerini bularak bunların katlılık durumlarını analiz edin.
Kökler: x=−3x = -3 (tek katlı), x=−2x = -2 (tek katlı), x=3x = 3 (pay ve paydada ortak, sadeleşme sonrası tek katlı tanımsızlık noktası), x=4x = 4 (tek katlı).
Sadeleşen çarpanların kök karakterini (tek/çift katlı) değiştirebileceğini dikkate alarak doğru kök analizini gerçekleştirmek gerekir.
3
İşaret tablosu hazırlayarak eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıkları belirleyin.
Tabloda sağdan sola sırasıyla (−)(-), (+)(+), (−)(-), (+)(+), (−)(-) işaretleri yer alır. Çözüm kümesi: [−3,−2]∪(3,4][-3, -2] \cup (3, 4]
İfadenin pozitif veya sıfır olduğu bölgeleri saptamak için işaret incelemesi tablosu kullanılır.
4
Çözüm kümesinde yer alan tam sayıları belirleyip toplayın.
Çözüm kümesindeki tam sayılar: −3-3, −2-2 ve 44. Toplamları: −3−2+4=−1-3 - 2 + 4 = -1
Soruda bizden istenen, eşitsizliği sa��layan tam sayıların toplam değeridir.

Key Concept

Rasyonel eşitsizliklerde sadeleşen köklerin katlılık durumunun doğru belirlenmesi ve payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi.
Question 1100Question →

Bir dijital yayın platformunun aylık abonelik ücreti 8080 TL olarak belirlendiğinde platformun aylık toplam abone sayısı 200 000200\,000 kişi olmaktadır. Platform yönetimi, aylık abonelik ücretinde yapılan her 22 TL'lik indirim için abone sayısının 10 00010\,000 kişi artacağını öngörmektedir. Buna göre, bu platformun aylık toplam abonelik gelirinin en fazla olması için aylık abonelik ücreti kaç TL olmalıdır?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Platformun aylık toplam abonelik gelirini en fazla yapmak için belirlenmesi gereken aylık abonelik ücreti 60 TL'dir.
Toplam abonelik geliri fonksiyonu G(x)=10 000(−2x2+40x+1600)G(x) = 10\,000(-2x^2 + 40x + 1600) şeklinde ikinci dereceden bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun baş katsayısı negatif olduğundan grafiği kolları aşağı doğru olan bir paraboldür ve en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi r=−402⋅(−2)=10r = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = 10 olarak bulunur. Maksimum geliri sağlayan aylık abonelik ücreti ise 80−2(10)=6080 - 2(10) = 60 TL'dir.

Step-by-Step Solution

1
Abonelik ücretinde yapılacak indirim sayısını bir değişkenle ifade etme.
Yapılacak indirim sayısı xx olsun. Her indirim 22 TL olduğuna göre, yeni abonelik ücreti 80−2x80 - 2x TL olur.
Ücret ile indirim sayısı arasındaki doğrusal ilişkiyi kurmak için.
2
İndirim sayısına bağlı olarak yeni abone sayısını veren ifadeyi yazma.
Her indirim için abone sayısı 10 00010\,000 kişi arttığına göre, xx indirim sonrası yeni abone sayısı 200 000+10 000x=10 000(20+x)200\,000 + 10\,000x = 10\,000(20 + x) kişi olur.
Abone sayısı ile indirim sayısı arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek için.
3
Aylık toplam gelir fonksiyonunu oluşturma.
Aylık gelir fonksiyonu G(x)=(80−2x)⋅10 000(20+x)=10 000⋅(−2x2+40x+1600)G(x) = (80 - 2x) \cdot 10\,000(20 + x) = 10\,000 \cdot (-2x^2 + 40x + 1600) olarak elde edilir.
Toplam geliri, birim ücret ile toplam abone sayısının çarpımı şeklinde modellemek için.
4
Oluşan parabolün maksimum değerini aldığı tepe noktasının apsisini (rr) hesaplama.
G(x)G(x) fonksiyonunu maksimum yapan xx değeri, parabolün tepe noktasının apsisidir: r=−b2a=−402⋅(−2)=10r = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = 10 olur.
Kolları aşağı doğru olan parabolün en büyük değerini tepe noktasında aldığını bilerek en uygun indirim sayısını bulmak için.
5
Maksimum gelir için belirlenmesi gereken abonelik ücretini hesaplama.
x=10x = 10 için yeni abonelik ücreti 80−2(10)=6080 - 2(10) = 60 TL olarak hesaplanır.
Bulunan en uygun indirim sayısını abonelik ücreti denkleminde yerine yazmak için.

Key Concept

İkinci dereceden fonksiyonların (parabollerin) en büyük veya en küçük değer uygulamalarında tepe noktasının koordinatları kullanılır. Kollar aşağı doğru olan bir parabolde en büyük değer, tepe noktasının apsisi olan r=−b/(2a)r = -b/(2a) değeri fonksiyon yerine yazılarak elde edilir.
PreviousPage 55 / 437Next
All practice questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin