Examkin

All practice questions

8734 questions

All types8,734Multiple choice4,865Multiple select1True / False289Numeric852Matching1,797Ordering842Fill in the blank63Short answer25
Question 1461Question →
(x−2)2(x+1)x−2≤0\frac{(x - 2)^2 (x + 1)}{x - 2} \le 0
x2−x−6≤0x^2 - x - 6 \le 0
yukarıda verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: [−1,2)[-1, 2)

Answer

Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi [−1,2)[-1, 2) aralığıdır.
Sistemdeki birinci eşitsizlikte x=2x = 2 değeri paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesinde yer alamaz. Eşitsizlik sadeleştirilip incelendiğinde birinci eşitsizliğin çözüm kümesi [−1,2)[-1, 2) aralığı bulunur. İkinci eşitsizlik olan x2−x−6≤0x^2 - x - 6 \le 0 ifadesinin kökleri −2-2 ve 33 olup çözüm kümesi [−2,3][-2, 3] kapalı aralığıdır. İki aralığın ortak kesişim bölgesi alındığında [−1,2)[-1, 2) yarı açık aralığı elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitsizliği analiz etme ve kökleri belirleme.
Paydayı sıfır yapan x=2x = 2 değeri tanımsızlık oluşturduğu için çözüm kümesine dahil edilemez (x≠2x \neq 2). x≠2x \neq 2 koşulu altında pay ve paydadaki ortak terimler sadeleştirildiğinde birinci eşitsizlik (x−2)(x+1)≤0(x - 2)(x + 1) \le 0 halini alır. Bu ifadenin kökleri x=−1x = -1 ve x=2x = 2 değerleridir. x=2x = 2 değeri hariç tutulduğu için bu eşitsizliğin çözüm kümesi [−1,2)[-1, 2) aralığı olur.
İlk eşitsizliğin çözüm aralığını bulmak.
2
İkinci dereceden eşitsizliği çarpanlarına ayırma ve kökleri belirleme.
x2−x−6≤0⇒(x−3)(x+2)≤0x^2 - x - 6 \le 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 2) \le 0 elde edilir. Bu eşitsizliğin kökleri x=−2x = -2 ve x=3x = 3 değerleridir. Baş katsayı pozitif olduğundan, kökler arasında ifade negatif değerler alır. Bu durumda ikinci eşitsizliğin çözüm kümesi [−2,3][-2, 3] aralığı olur.
İkinci eşitsizliğin çözüm aralığını bulmak.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alma.
Sistemin ortak çözüm kümesi [−1,2)∩[−2,3]=[−1,2)[-1, 2) \cap [-2, 3] = [-1, 2) olarak bulunur.
Her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan ortak xx değerlerinin aralığını tespit etmek.

Key Concept

Eşitsizlik sistemlerinde her bir eşitsizliğin ayrı ayrı çözüm kümeleri bulunup bu kümelerin kesişimi alınır. Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan kökler asla çözüm kümesine dahil edilemez.
Question 1462Question →
x2−xy−2y2=0x2+y2−10y=0\begin{aligned} x^2 - xy - 2y^2 &= 0 \\ x^2 + y^2 - 10y &= 0 \end{aligned}

denklem sistemi veriliyor.

Buna göre, bu denklem sistemini sağlayan tüm (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımlarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -17

Answer

-17 sayısıdır
Verilen denklem sisteminin ilk denklemi x2−xy−2y2=0x^2 - xy - 2y^2 = 0 şeklinde olup çarpanlarına (x−2y)(x+y)=0(x-2y)(x+y) = 0 olarak ayrılır. Buradan x=2yx = 2y veya x=−yx = -y ilişkileri elde edilir. Bu ilişkiler sırasıyla ikinci denklemde yerine yazıldığında (0,0)(0,0), (4,2)(4,2) ve (−5,5)(-5,5) gerçek sayı ikilileri bulunur. Bu ikililerin elemanlarının çarpımı sırasıyla 00, 88 ve −25-25 olup toplamları −17-17 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci denklemi çarpanlarına ayırın.
x2−xy−2y2=0⇒(x−2y)(x+y)=0x^2 - xy - 2y^2 = 0 \Rightarrow (x - 2y)(x + y) = 0. Buradan iki durum elde edilir: x=2yx = 2y veya x=−yx = -y.
İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için denklemlerden birini doğrusal çarpanlarına ayırarak değişkenler arası ilişkileri belirlemek gerekir.
2
x=2yx = 2y durumunu ikinci denklemde yerine yazarak yy değerlerini bulun.
(2y)2+y2−10y=0⇒5y2−10y=0⇒5y(y−2)=0(2y)^2 + y^2 - 10y = 0 \Rightarrow 5y^2 - 10y = 0 \Rightarrow 5y(y - 2) = 0. Buradan y=0y = 0 veya y=2y = 2 bulunur. x=2yx = 2y bağıntısından (x,y)(x,y) ikilileri (0,0)(0,0) ve (4,2)(4,2) olarak elde edilir.
Belirlenen doğrusal ilişkiyi ikinci denklemde yerine yazıp tek değişkenli ikinci dereceden bir denklem elde ederek çözümleri bulmak.
3
x=−yx = -y durumunu ikinci denklemde yerine yazarak yy değerlerini bulun.
(−y)2+y2−10y=0⇒2y2−10y=0⇒2y(y−5)=0(-y)^2 + y^2 - 10y = 0 \Rightarrow 2y^2 - 10y = 0 \Rightarrow 2y(y - 5) = 0. Buradan y=0y = 0 veya y=5y = 5 bulunur. x=−yx = -y bağıntısından (x,y)(x,y) ikilileri (0,0)(0,0) ve (−5,5)(-5,5) olarak elde edilir.
Değişkenler arasındaki ikinci doğrusal ilişkiyi ikinci denklemde yerine koyup diğer olası çözümleri tespit etmek.
4
Elde edilen tüm (x,y)(x, y) ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımlarını hesaplayıp toplayın.
Çözüm kümesi S={(0,0),(4,2),(−5,5)}S = \{(0,0), (4,2), (-5,5)\} elemanlarından oluşur. Çarpımlar: 0⋅0=00 \cdot 0 = 0, 4⋅2=84 \cdot 2 = 8, −5⋅5=−25-5 \cdot 5 = -25. Bu değerlerin toplamı 0+8−25=−170 + 8 - 25 = -17 olur.
Soru kökünün bizden istediği çarpımların toplamını nihai olarak hesaplamak.

Key Concept

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çarpanlara Ayırma ve Yerine Koyma Yöntemi ile Çözülmesi
Question 1463Question →

Bir ABCABC üçgeninde kenar uzunlukları ∣AB∣=10 birim|AB| = 10\text{ birim}, ∣BC∣=12 birim|BC| = 12\text{ birim} ve ∣AC∣=14 birim|AC| = 14\text{ birim} olarak verilmiştir. [BC][BC] kenarı üzerinde ∣CD∣=7 birim|CD| = 7\text{ birim} olacak şekilde bir DD noktası ve [AC][AC] kenarı üzerinde ∣CE∣=10 birim|CE| = 10\text{ birim} olacak şekilde bir EE noktası işaretleniyor. Buna göre, DD ve EE noktaları arasındaki uzaklık (∣DE∣|DE|) kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

D ve E noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.
Büyük üçgende Kosinüs Teoremi yardımıyla cos⁡C=57\cos C = \frac{5}{7} olarak elde edilir. Ardından CDECDE üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣DE∣2=72+102−2⋅7⋅10⋅57=49|DE|^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{5}{7} = 49 bulunur. Buradan karekök alınarak ∣DE∣=7 birim|DE| = 7\text{ birim} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC üçgeninde CC açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cos⁡C|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos C
102=142+122−2⋅14⋅12⋅cos⁡C10^2 = 14^2 + 12^2 - 2 \cdot 14 \cdot 12 \cdot \cos C
100=196+144−336⋅cos⁡C100 = 196 + 144 - 336 \cdot \cos C
336⋅cos⁡C=240  ⟹  cos⁡C=240336=57336 \cdot \cos C = 240 \implies \cos C = \frac{240}{336} = \frac{5}{7}
CDECDE üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni kullanabilmek için ortak olan CC açısının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.
2
CDECDE üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣DE∣|DE| hesaplanır.
∣DE∣2=∣CD∣2+∣CE∣2−2⋅∣CD∣⋅∣CE∣⋅cos⁡C|DE|^2 = |CD|^2 + |CE|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |CE| \cdot \cos C
∣DE∣2=72+102−2⋅7⋅10⋅57|DE|^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{5}{7}
∣DE∣2=49+100−100|DE|^2 = 49 + 100 - 100
∣DE∣2=49  ⟹  ∣DE∣=7 birim|DE|^2 = 49 \implies |DE| = 7\text{ birim}
CDCD ve CECE kenar uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüs değeri bilindiği için doğrudan karşılarındaki DEDE kenar uzunluğu bulunabilir.

Key Concept

İki farklı üçgende ortak açıyı kullanarak Kosinüs Teoremi yardımıyla kenar uzunluğu hesaplama
Question 1464Question →
Tanımlı olduğu xx ve yy değerleri için,
sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)\frac{\sin(x+y) + \sin(x-y)}{\cos(x+y) + \cos(x-y)}
ifadesinin en sade biçimi nedir?
Show answer & explanation

Answer: tan(x); tan x; \tan(x); \tan x; tanx

Answer

İfadenin en sade biçimi tan⁡x\tan x şeklindedir.
İfadeyi basitleştirmek için pay ve paydadaki toplam ve fark formülleri açılır. Pay kısmında sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)=2sin⁡xcos⁡y\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2\sin x\cos y elde edilir. Payda kısmında ise cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)=2cos⁡xcos⁡y\cos(x+y) + \cos(x-y) = 2\cos x\cos y elde edilir. Bu iki ifade birbirine oranlandığında, 22 ve cos⁡y\cos y terimleri sadeleşir ve geriye sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x kalır.

Step-by-Step Solution

1
Payda yer alan ifadeleri toplam ve fark formülleriyle açın.
sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y
sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y
Pay kısmındaki terimleri sadeleştirmek amacıyla toplam ve fark açılımlarını kullanmamız gerekir.
2
Paydaki ifadeleri toplayarak sadeleştirin.
sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)=2sin⁡xcos⁡y\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2\sin x \cos y
Toplama işlemi yapıldığında cos⁡xsin⁡y\cos x \sin y ve −cos⁡xsin⁡y-\cos x \sin y terimleri birbirini götürür.
3
Paydada yer alan ifadeleri toplam ve fark formülleriyle açın ve toplayın.
cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)=2cos⁡xcos⁡y\cos(x+y) + \cos(x-y) = 2\cos x \cos y
Kosinüs toplam ve fark açılımları yazılıp toplandığında, sinüslü terimler birbirini sadeleştirir.
4
Elde edilen pay ve payda sonuçlarını birbirine oranlayarak sadeleştirin.
2sin⁡xcos⁡y2cos⁡xcos⁡y=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{2\sin x \cos y}{2\cos x \cos y} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x
22 ve cos⁡y\cos y ortak çarpanları sadeleşir, geriye kalan sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} oranı ise tan⁡x\tan x ifadesine eşittir.

Key Concept

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının toplam ve fark formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.
Estimated Time:1m 0s
Question 1465Question →
cos⁡(70∘)⋅cos⁡(50∘)−sin⁡(70∘)⋅sin⁡(50∘)\cos(70^\circ) \cdot \cos(50^\circ) - \sin(70^\circ) \cdot \sin(50^\circ)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: −12-\frac{1}{2}

Answer

İfadenin doğru değeri −12-\frac{1}{2}'dir.
Verilen ifade kosinüs toplam formülünün birebir açılımıdır. Açıların toplamı 120∘120^\circ yapar. İkinci bölgede kosinüsün işareti negatif olduğundan cos⁡(120∘)\cos(120^\circ) ifadesi −cos⁡(60∘)-\cos(60^\circ) değerine, o da −12-\frac{1}{2} değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Kosinüs toplam formülünü hatırlama ve uygulama
cos⁡(a)cos⁡(b)−sin⁡(a)sin⁡(b)=cos⁡(a+b)\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a+b) formülü kullanılır. Soruda verilen ifadede a=70∘a = 70^\circ ve b=50∘b = 50^\circ alındığında ifade cos⁡(70∘+50∘)\cos(70^\circ + 50^\circ) şekline dönüşür.
Verilen ifadenin kosinüs toplam formülünün açılımı olduğunu tespit etmek.
2
Açıların toplamını hesaplama
cos⁡(70∘+50∘)=cos⁡(120∘)\cos(70^\circ + 50^\circ) = \cos(120^\circ) elde edilir.
Formüldeki açıları toplayarak tek bir trigonometrik fonksiyon altında yazmak.
3
İkinci bölgedeki açıyı dar açı cinsinden ifade etme (indirgeme)
cos⁡(120∘)=cos⁡(180∘−60∘)=−cos⁡(60∘)\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) olur.
Geniş açının değerini hesaplamak için ikinci bölgedeki kosinüsün negatif işaretini dikkate alarak indirgeme kuralını uygulamak.
4
Bilinen trigonometrik değeri yerine yazma
−cos⁡(60∘)=−12-\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} bulunur.
cos⁡(60∘)=12\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} bilgisini kullanarak nihai sonucu bulmak.

Key Concept

Kosinüs toplam formülü ve trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi

Alternative Method

İkinci bölgedeki indirgemeyi yapmak için 120∘=90∘+30∘120^\circ = 90^\circ + 30^\circ yazılabilir: cos⁡(90∘+30∘)=−sin⁡(30∘)=−12\cos(90^\circ + 30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2} şeklinde de sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:45s
Question 1466Question →
f(x)=log⁡x(16−x2)f(x) = \log_{x}(16 - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

En geniş tanım kümesinde bulunan tam sayıların toplamı 5'tir.
Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken taban koşulu olan x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 ile logaritma içi koşulu olan 16−x2>016 - x^2 > 0 eşitsizliklerinin kesişimi alınmalıdır. 16−x2>016 - x^2 > 0 eşitsizliğinden −4<x<4-4 < x < 4 aralığı elde edilir. Bu aralık ile taban koşulları kesiştirildiğinde en geniş tanım kümesi (0,4)∖{1}(0, 4) \setminus \{1\} olur. Bu kümedeki tam sayılar 2 ve 3'tür. Bu sayıların toplamı ise 5'tir.

Step-by-Step Solution

1
Tabanın tanımlı olma koşullarını belirleme
x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 olmalıdır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif bir gerçel sayı olması ve 1'e eşit olmaması gerekir.
2
Logaritmanın içinin tanımlı olma koşulunu belirleme
16−x2>016 - x^2 > 0 olmalıdır.
Logaritması alınan ifadenin daima sıfırdan büyük (pozitif) olması gerekir.
3
Eşitsizliği çözerek aralık bulma
x2<16⇒−4<x<4x^2 < 16 \Rightarrow -4 < x < 4 elde edilir.
Logaritmanın içinin pozitif olduğu x değer aralığını bulmak için eşitsizlik çözülür.
4
Koşulları kesiştirerek tanım kümesini bulma ve tam sayıları toplama
x∈(0,4)∖{1}x \in (0, 4) \setminus \{1\} aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 2 ve 3'tür. Toplamları ise 2+3=52 + 3 = 5 bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş kümeyi belirlemek için taban ve iç koşullarının ortak kesişimi alınır ve bu kümedeki tam sayılar toplanır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.
Question 1467Question →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)sin⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)=4\frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)} + \frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = 4
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: −35-\frac{3}{5}

Answer

Eksi üç bölü beş
Verilen denklem yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde iki tanjant x eşittir dört, buradan da tanjant x eşittir iki elde edilir. Tanjant değeri iki olan bir açı için kosinüs iki x değeri yarım açı formülüyle hesaplandığında eksi üç bölü beş bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Yarım açı formüllerini kullanarak rasyonel ifadelerin pay ve payda kısımlarını sadeleştirmek
1−cos⁡(2x)=2sin⁡2x1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x, 1+cos⁡(2x)=2cos⁡2x1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yazarak denklem 2sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x+2sin⁡xcos⁡x2cos⁡2x=4\frac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x} + \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = 4 hâline getirilir.
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon türünden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.
2
Elde edilen rasyonel ifadeleri sadeleştirip tan⁡x\tan x değerini bulmak
sin⁡xcos⁡x+sin⁡xcos⁡x=4⇒2tan⁡x=4⇒tan⁡x=2\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = 4 \Rightarrow 2\tan x = 4 \Rightarrow \tan x = 2 olarak bulunur.
Açının trigonometrik oranlarından birini belirleyerek diğer yarım açı değerlerine geçiş yapabilmek.
3
Tanjant yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplamak
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−221+22=−35\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 2^2}{1 + 2^2} = -\frac{3}{5} bulunur.
Tanjant değeri bilinen bir açının iki katının kosinüs değerini doğrudan hesaplamak.

Key Concept

Yarım Açı Formülleri

Alternative Method

Tanjant x değeri iki bulunduktan sonra, dik kenarları iki ve bir olan bir dik üçgen çizilerek hipotenüs kök beş bulunur. Açının üçüncü bölgede olduğu göz önüne alınarak sinüs x eşittir eksi iki bölü kök beş, kosinüs x eşittir eksi bir bölü kök beş olarak belirlenir. Kosinüs iki x eşittir iki kosinüs kare x eksi bir formülünden de sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 1468Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=sin⁡2(3x)−cos⁡(6x)f(x) = \sin^2(3x) - \cos(6x) fonksiyonunun esas periyodu π3\frac{\pi}{3}'tür.

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur, çünkü fonksiyon düzenlendiğinde esas periyodunun π3\frac{\pi}{3} olduğu görülür.
Verilen ifade doğrudur, çünkü sin⁡2(3x)−cos⁡(6x)\sin^2(3x) - \cos(6x) ifadesi kosinüsün yarım açı formülüyle sadeleştirildiğinde 12−32cos⁡(6x)\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(6x) biçimine dönüşür ve bu fonksiyonun periyodu T=2π6=π3T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İlk olarak sin⁡2(3x)\sin^2(3x) terimini yarım açı formülü (kosinüs çift kat açı formülü) yardımıyla dönüştürün.
sin⁡2(3x)=1−cos⁡(6x)2\sin^2(3x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2} eşitliği elde edilir.
Fonksiyonun periyodunu belirlemek için farklı açılara sahip trigonometrik ifadeleri ortak bir açı değerinde birleştirmek gerekir.
2
Elde edilen bu ifadeyi fonksiyonda yerine yazarak fonksiyonu sadeleştirin.
f(x)=1−cos⁡(6x)2−cos⁡(6x)=12−32cos⁡(6x)f(x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2} - \cos(6x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(6x) elde edilir.
Fonksiyonun tek bir kosinüs terimine indirgenmesi, esas periyot hesaplama kuralının doğrudan uygulanmasını sağlar.
3
g(x)=k⋅cos⁡n(ax+b)+cg(x) = k \cdot \cos^n(ax + b) + c formundaki fonksiyonlarda nn tek sayı iken periyodun T=2π∣a∣T = \frac{2\pi}{|a|} olduğunu hatırlayarak periyodu hesaplayın.
a=6a = 6 ve n=1n = 1 (tek) olduğundan, T=2π6=π3T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} bulunur.
Buradaki kosinüs teriminin üssü 11 (tek) ve xx değişkeninin katsayısı 66 olduğundan standart periyot formülü uygulanmıştır.

Key Concept

Bir fonksiyonun esas periyodunu bulmak için trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadeyi sadeleştirip standart periyot formüllerini uygulamak gerekir.
Question 1469Question →
sin⁡3(x)cos⁡(3x)+cos⁡3(x)sin⁡(3x)=38\sin^3(x)\cos(3x) + \cos^3(x)\sin(3x) = \frac{3}{8} denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki tüm gerçel köklerinin toplamı en sade biçimde aπb\frac{a\pi}{b} radyan olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Denklemin verilen aralıktaki köklerinin toplamı olan en sade rasyonel çarpanlı ifade 3π2\frac{3\pi}{2} olduğundan, pay ve paydanın toplamı olan a+ba + b değeri 5'tir.
Verilen denklem, cos⁡(3x)\cos(3x) ve sin⁡(3x)\sin(3x) açılımları yerine yazılarak düzenlendiğinde sin⁡(4x)=1/2\sin(4x) = 1/2 denklemine indirgenir. x∈[0,π]x \in [0, \pi] kısıtlaması altında 4x∈[0,4π]4x \in [0, 4\pi] aralığında bu denklemi sağlayan 4 farklı kök bulunur. Bu köklerin toplamı 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. En sade biçimde yazıldığında a=3a=3 ve b=2b=2 olup toplamları 5 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Üç kat açı formüllerini kullanarak cos⁡(3x)\cos(3x) ve sin⁡(3x)\sin(3x) terimlerini açmak
Denklemin sol tarafı: sin⁡3(x)(4cos⁡3(x)−3cos⁡(x))+cos⁡3(x)(3sin⁡(x)−4sin⁡3(x))\sin^3(x)(4\cos^3(x) - 3\cos(x)) + \cos^3(x)(3\sin(x) - 4\sin^3(x))
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyona indirgemek için temel açı ilişkilerini kurmak gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi ortak paranteze alarak sadeleştirmek
3sin⁡(x)cos⁡(x)(cos⁡2(x)−sin⁡2(x))3\sin(x)\cos(x)(\cos^2(x) - \sin^2(x))
Parantezler dağıtıldığında 4sin⁡3(x)cos⁡3(x)4\sin^3(x)\cos^3(x) terimleri birbirini götürür.
3
Yarım açı formülleriyle ifadeyi sin⁡(4x)\sin(4x) cinsinden yazmak
Sol taraf 34sin⁡(4x)\frac{3}{4}\sin(4x) ifadesine eşitlenir.
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) ve cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) bağıntıları ile ifade basitleştirilir.
4
34sin⁡(4x)=38\frac{3}{4}\sin(4x) = \frac{3}{8} temel trigonometrik denklemini çözmek
sin⁡(4x)=12\sin(4x) = \frac{1}{2}
Denklemin her iki tarafı 43\frac{4}{3} ile çarpılarak basit trigonometrik denklem elde edilir.
5
x∈[0,π]x \in [0, \pi] tanım aralığı için 4x4x açısının sınırlarını belirleyip kökleri bulmak
4x∈[0,4π]4x \in [0, 4\pi] aralığında kökler x1=π24x_1 = \frac{\pi}{24}, x2=5π24x_2 = \frac{5\pi}{24}, x3=13π24x_3 = \frac{13\pi}{24}, x4=17π24x_4 = \frac{17\pi}{24} olarak bulunur.
Tanım aralığına uygun tüm köklerin eksiksiz belirlenmesi şarttır.
6
Bulunan tüm kökleri toplayıp aπb\frac{a\pi}{b} formuna getirmek ve a+ba+b değerini hesaplamak
Kökler toplamı =3π2  ⟹  a=3,b=2  ⟹  a+b=5= \frac{3\pi}{2} \implies a=3, b=2 \implies a+b=5
Toplamın en sade rasyonel biçimi elde edilerek istenen katsayılar toplamı hesaplanır.

Key Concept

Üç kat açı, yarım açı özdeşlikleri ve değişken değiştirme yöntemleriyle trigonometrik denklemlerin belirli bir aralıktaki köklerinin analizi.
Question 1470Question →

θ\theta gerçel sayısı için 2π3<θ<3π4\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{4} eşitsizliği verilmiştir. Buna göre, aşağıda tanımlanan aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir. İkinci bölgede yer alan açı için sinüs pozitif, kosinüs negatiftir. Dolayısıyla çarpımları olan cc ifadesi kesinlikle negatiftir. a=sin⁡2θ−cos⁡2θ=−cos⁡(2θ)a = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -\cos(2\theta) yarım açı dönüşümüyle pozitif bir değer alır ve en fazla 0.50.5 olabilir. bb ifadesi sadeleştirildiğinde −tan⁡θ-\tan \theta değerine eşit olup, bu aralıkta 11'den büyük bir değer alır. Bu durum sıralamayı doğrular.

Step-by-Step Solution

1
A��ının bölgesini belirleyip temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini incelemek.
θ∈(2π3,3π4)\theta \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}) aralığı derece cinsinden (120∘,135∘)(120^\circ, 135^\circ) aralığına denk gelir ve II. bölgededir. Bu bölgede sin⁡θ>0\sin \theta > 0, cos⁡θ<0\cos \theta < 0, tan⁡θ<0\tan \theta < 0 ve cot⁡θ<0\cot \theta < 0 olur.
Sıralama yapabilmek için öncelikle fonksiyonların bölgelerdeki işaret kurallarını uygulamak gerekir.
2
cc ifadesinin işaretini ve değer aralığını bulmak.
c=sin⁡θcos⁡θc = \sin \theta \cos \theta ifadesinde sin⁡θ>0\sin \theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos \theta < 0 olduğundan çarpım negatiftir. Yarım açı formülüyle c=sin⁡(2θ)2c = \frac{\sin(2\theta)}{2} yazılır. 2θ∈(4π3,3π2)2\theta \in (\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}) yani (240∘,270∘)(240^\circ, 270^\circ) aralığındadır. Bu aralıkta sin⁡(2θ)∈(−1,−32)\sin(2\theta) \in (-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}) olduğundan, c∈(−0.5,−34)c \in (-0.5, -\frac{\sqrt{3}}{4}) olur.
cc teriminin sıfırdan küçük olduğunu ve değer sınırlarını netleştirmek sıralamada kesinlik sağlar.
3
aa ifadesini yarım açı formülüyle analiz etmek.
a=sin⁡2θ−cos⁡2θ=−(cos⁡2θ−sin⁡2θ)=−cos⁡(2θ)a = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = -\cos(2\theta) olur. 2θ∈(240∘,270∘)2\theta \in (240^\circ, 270^\circ) aralığında kosinüs negatiftir ve cos⁡(2θ)∈(−0.5,0)\cos(2\theta) \in (-0.5, 0) aralığındadır. Önündeki eksi işaretiyle birlikte a=−cos⁡(2θ)∈(0,0.5)a = -\cos(2\theta) \in (0, 0.5) olur.
aa ifadesinin pozitif olduğunu ve üst sınırının 0.50.5 olduğunu saptayarak diğer terimlerle karşılaştırma altyapısını kurmak.
4
bb ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirip aralığını bulmak.
b=1−tan⁡θ1−1tan⁡θ=1−tan⁡θtan⁡θ−1tan⁡θ=−tan⁡θb = \frac{1 - \tan \theta}{1 - \frac{1}{\tan \theta}} = \frac{1 - \tan \theta}{\frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta}} = -\tan \theta elde edilir. θ∈(120∘,135∘)\theta \in (120^\circ, 135^\circ) aralığında tan⁡θ∈(−3,−1)\tan \theta \in (-\sqrt{3}, -1) olduğundan, b=−tan⁡θ∈(1,3)b = -\tan \theta \in (1, \sqrt{3}) aralığındadır.
bb ifadesinin sadeleşmiş halini bulup sayısal değer sınırlarını diğer ifadelerle kıyaslanabilir hale getirmek.
5
Elde edilen değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı oluşturmak.
c<0c < 0, 0<a<0.50 < a < 0.5 ve b>1b > 1 aralıkları birleştirildiğinde c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.
Bulunan alt ve üst sınırları sayı doğrusu mantığıyla dizerek nihai sonuca ulaşmak.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Question 1471Question →

Koordinat düzleminde, y=x2−4x+7y = x^2 - 4x + 7 parabolü ile bu parabolü kesmeyen y=2x+ky = 2x + k doğrusu arasındaki en kısa uzaklık 5\sqrt{5} birimdir. Buna göre, kk gerçek sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -7

Answer

Parabolü kesmeyen doğrunun denklemindeki sabit terim olan k gerçek sayısı -7 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Parabole teğet ve verilen doğruya paralel olan doğrunun denklemini yazmak.
Teğet doğrusunun denklemi y=2x+my = 2x + m şeklindedir.
Parabol ile doğru arasındaki en kısa uzaklık, parabolün verilen doğruya paralel olan teğet doğrusu üzerinden hesaplanır.
2
Parabol ile teğet doğrusunun ortak çözüm denklemini oluşturmak ve teğetlik şartını (diskriminantın sıfıra eşitliğini) uygulamak.
x2−4x+7=2x+m  ⟹  x2−6x+(7−m)=0x^2 - 4x + 7 = 2x + m \implies x^2 - 6x + (7 - m) = 0 elde edilir. Bu denklemin diskriminantı Δ=36−4(7−m)=0  ⟹  8+4m=0  ⟹  m=−2\Delta = 36 - 4(7 - m) = 0 \implies 8 + 4m = 0 \implies m = -2 bulunur. Teğet doğrusu y=2x−2y = 2x - 2 yani 2x−y−2=02x - y - 2 = 0 olur.
Bir doğru ile bir parabolün teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır.
3
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanarak k parametresinin alabileceği değerleri bulmak.
d=∣k−(−2)∣22+(−1)2=∣k+2∣5=5  ⟹  ∣k+2∣=5d = \frac{|k - (-2)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k + 2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \implies |k + 2| = 5. Buradan k=3k = 3 veya k=−7k = -7 bulunur.
Paralel iki doğru ax+by+c1=0ax + by + c_1 = 0 ve ax+by+c2=0ax + by + c_2 = 0 arasındaki uzaklık d=∣c1−c2∣a2+b2d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} formülü ile hesaplanır.
4
Bulunan k değerlerinin kesişmeme şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
k=3k = 3 için doğru ile parabol kesişirken (x2−6x+4=0  ⟹  Δ=20>0x^2 - 6x + 4 = 0 \implies \Delta = 20 > 0), k=−7k = -7 için kesişmezler (x2−6x+14=0  ⟹  Δ=−20<0x^2 - 6x + 14 = 0 \implies \Delta = -20 < 0).
Soruda doğrunun parabolü kesmediği belirtilmiştir.

Key Concept

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları ve paralel doğrular arasındaki uzaklık yardımıyla en yakın noktanın analizi.
Question 1472Question →

cos⁡(x)=−12\cos(x) = -\frac{1}{2} denkleminin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki köklerinin toplamının 2π2\pi radyan olduğu ifadesi doğru mudur?

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur. Denklemin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki köklerinin toplamı 2π2\pi radyandır.
Denklemin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki kökleri 2π3\frac{2\pi}{3} ve 4π3\frac{4\pi}{3} radyandır. Bu değerlerin toplamı 2π2\pi radyan yaptığı için önerme doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Kosinüs değeri −12-\frac{1}{2} olan açıların birim çember üzerinde hangi bölgelerde yer aldığını belirleme.
Kosinüs fonksiyonunun değeri birim çember üzerindeki noktaların xx-koordinatına karşılık gelir. xx-koordinatının negatif olduğu bölgeler ikinci ve üçüncü bölgelerdir.
Kosinüsün negatif olduğu açı aralıklarını doğru tespit edebilmek için bu adım gereklidir.
2
Kosinüs değeri 12\frac{1}{2} olan birinci bölgedeki referans açıyı bulma.
Birinci bölgede cos⁡(π3)=12\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} olduğundan referans açısı θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} radyandır.
Diğer bölgelerdeki açı değerlerini referans a��ı yardımıyla hesaplamak için bu adım gereklidir.
3
İkinci ve üçüncü bölgelerdeki kökleri hesaplama.
İkinci bölgedeki kök: x1=π−π3=2π3x_1 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} radyandır. Üçüncü bölgedeki kök: x2=π+π3=4π3x_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} radyandır.
Belirtilen aralıktaki tüm gerçel kökleri bulmak için bu adım gereklidir.
4
Bulunan köklerin toplamını hesaplama.
Köklerin toplamı: x1+x2=2π3+4π3=6π3=2πx_1 + x_2 = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi radyandır. Dolayısıyla ifade doğrudur.
Soruda verilen ifadenin doğruluğunu test etmek için köklerin toplamı hesaplanmalıdır.

Key Concept

Kosinüs fonksiyonunun belirli bir aralıktaki köklerinin bulunması ve toplanması.

Alternative Method

Birim çember üzerinde x=−12x = -\frac{1}{2} dikey doğrusu çizilerek çemberi kestiği noktalar incelenebilir. İkinci ve üçüncü bölgedeki bu kesim noktalarının xx-eksenine göre simetrik olması nedeniyle, bu noktaları temsil eden açıların toplamının geometrik olarak 2π2\pi radyan olacağı doğrudan görülebilir.
Estimated Time:1m 0s
Question 1473Question →
Her xx gerçel sayısı için
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)
eşitlikleri sağlanmaktadır.
f(x)+x⋅g(x)=3x2+(a−2)x+a+bf(x) + x \cdot g(x) = 3x^2 + (a - 2)x + a + b
g(x)−x⋅f(x)=x3+(b−6)x2−4xg(x) - x \cdot f(x) = x^3 + (b - 6)x^2 - 4x

olduğuna göre, f(a)+g(b)f(a) + g(b) toplamının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 28

Answer

Doğru cevap 28'dir.
Verilen simetri kurallarına göre sol taraftaki ifadelerin teklik-çiftlik durumları belirlenir. f(x)+x⋅g(x)f(x) + x \cdot g(x) ifadesinin çift, g(x)−x⋅f(x)g(x) - x \cdot f(x) ifadesinin ise tek fonksiyon olduğu görülür. Buradan tek dereceli terimlerin ve çift dereceli terimlerin katsayıları sıfıra eşitlenerek a=2a = 2 ve b=6b = 6 bulunur. Elde edilen denklem sistemi çözüldüğünde f(x)=8−x2f(x) = 8 - x^2 ve g(x)=4xg(x) = 4x kurallarına ulaşılır. İstenen f(2)+g(6)f(2) + g(6) değeri ise 28 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
f(x)+x⋅g(x)f(x) + x \cdot g(x) ifadesinin teklik-çiftlik durumunu belirleyin.
f(−x)+(−x)⋅g(−x)=f(x)+(−x)⋅(−g(x))=f(x)+x⋅g(x)f(-x) + (-x) \cdot g(-x) = f(x) + (-x) \cdot (-g(x)) = f(x) + x \cdot g(x) olduğundan bu ifade bir çift fonksiyondur.
Eşitliğin sol tarafındaki ifadenin simetrisini belirleyerek sağ taraftaki katsayıyı bulmak.
2
Çift fonksiyon özelliğini kullanarak aa değerini bulun.
3x2+(a−2)x+a+b3x^2 + (a - 2)x + a + b ifadesinde tek dereceli terimin katsayısı sıfır olmalıdır. Buradan a−2=0  ⟹  a=2a - 2 = 0 \implies a = 2 bulunur.
Çift fonksiyonların polinomiyal gösteriminde tek dereceli terimlerin bulunmaması kuralını uygulamak.
3
g(x)−x⋅f(x)g(x) - x \cdot f(x) ifadesinin simetri durumunu inceleyip bb değerini bulun.
g(−x)−(−x)⋅f(−x)=−g(x)+x⋅f(x)=−(g(x)−x⋅f(x))g(-x) - (-x) \cdot f(-x) = -g(x) + x \cdot f(x) = -(g(x) - x \cdot f(x)) olduğundan bu ifade tek fonksiyondur. Tek fonksiyonlarda çift dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır: b−6=0  ⟹  b=6b - 6 = 0 \implies b = 6 elde edilir.
Tek fonksiyonun özelliklerini kullanarak bilinmeyen katsayıyı belirlemek.
4
a=2a = 2 ve b=6b = 6 değerlerini yerine yazarak fonksiyon kurallarını belirleyin.
f(x)+x⋅g(x)=3x2+8f(x) + x \cdot g(x) = 3x^2 + 8 ve g(x)−x⋅f(x)=x3−4xg(x) - x \cdot f(x) = x^3 - 4x denklem sistemi elde edilir. İkinci denklemden g(x)=x⋅f(x)+x3−4xg(x) = x \cdot f(x) + x^3 - 4x yazılıp birinci denklemde yerine konulursa; f(x)+x2⋅f(x)+x4−4x2=3x2+8  ⟹  (1+x2)⋅f(x)=−x4+7x2+8=−(x2+1)(x2−8)  ⟹  f(x)=8−x2f(x) + x^2 \cdot f(x) + x^4 - 4x^2 = 3x^2 + 8 \implies (1+x^2) \cdot f(x) = -x^4 + 7x^2 + 8 = -(x^2+1)(x^2-8) \implies f(x) = 8 - x^2 ve g(x)=4xg(x) = 4x bulunur.
Elde edilen katsayılarla oluşturulan denklem sistemini çözerek fonksiyonları tanımlamak.
5
f(a)+g(b)f(a) + g(b) yani f(2)+g(6)f(2) + g(6) değerini hesaplayın.
f(2)=8−22=4f(2) = 8 - 2^2 = 4 ve g(6)=4⋅6=24g(6) = 4 \cdot 6 = 24 olup, toplam 4+24=284 + 24 = 28 bulunur.
İstenen nihai sayısal değeri elde etmek.

Key Concept

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel özellikleri ve fonksiyonların simetri dönüşümleri
Estimated Time:2m 0s
Question 1474Question →

Köşeleri A(−4,0)A(-4, 0), B(0,4)B(0, 4) ve C(4,0)C(4, 0) noktaları olan bir üçgenin üst sınır çizgisi y=f(x)y = f(x) fonksiyonunun grafiğidir. Pozitif kk ve mm gerçel sayıları için g(x)=k⋅f(m⋅x)g(x) = k \cdot f(m \cdot x) fonksiyonu oluşturuluyor.

g(0)=8g(0) = 8 olduğu ve gg fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanının 88 birimkare olduğu bilindiğine göre, k+mk + m toplamı ka��tır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

k + m toplamının değeri 6'dır.
g(x)=k⋅f(m⋅x)g(x) = k \cdot f(m \cdot x) dönüşümünde, kk katsayısı fonksiyonu dikey doğrultuda esnetirken (yy-değerlerini kk ile çarpar), mm katsayısı fonksiyonu yatay doğrultuda sıkıştırır (xx-değerlerini mm'ye böler). g(0)=8g(0) = 8 bilgisiyle k=2k = 2 bulunmuş ve alanın 1616 birimkareden 88 birimkareye düşmesi kullanılarak yatayda 44 kat sıkıştırma yapıldığı belirlenmiştir (m=4m = 4). Bu iki değerin toplamı olan 2+4=62 + 4 = 6 doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplayalım.
f(x)f(x) grafiği köşeleri A(−4,0)A(-4, 0), B(0,4)B(0, 4) ve C(4,0)C(4, 0) olan bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin taban uzunluğu 88 birim ve yüksekliği 44 birimdir. Alanı ise 8×42=16\frac{8 \times 4}{2} = 16 birimkaredir.
g(x)g(x) fonksiyonunun alan dönüşümünü bulabilmek için öncelikle f(x)f(x) fonksiyonunun sınırladığı alanı bilmemiz gerekir.
2
g(0)=8g(0) = 8 eşitliğini kullanarak kk dikey esnetme katsayısını bulalım.
g(0)=k⋅f(m⋅0)=k⋅f(0)g(0) = k \cdot f(m \cdot 0) = k \cdot f(0) yazılır. f(0)=4f(0) = 4 olduğundan, g(0)=4k=8g(0) = 4k = 8 elde edilir. Buradan k=2k = 2 bulunur.
yy-ekseni üzerindeki noktaların apsisi sıfır olduğundan, yatay sıkıştırma katsayısı mm bu noktadaki değeri etkilemez ve doğrudan dikey esnetme katsayısı kk'yi bulmamızı sağlar.
3
g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan alan bilgisini kullanarak mm yatay sıkıştırma katsayısını bulalım.
Dikey esnetme katsayısı k=2k = 2 ve yatay sıkıştırma katsayısı mm (m>0m > 0) olan g(x)=k⋅f(m⋅x)g(x) = k \cdot f(m \cdot x) fonksiyonunun sınırladığı alan, f(x)f(x)'in alanının km\frac{k}{m} katıdır. Buradan Alan(g)=km⋅Alan(f)⇒8=2m⋅16⇒8=32m⇒m=4\text{Alan}(g) = \frac{k}{m} \cdot \text{Alan}(f) \Rightarrow 8 = \frac{2}{m} \cdot 16 \Rightarrow 8 = \frac{32}{m} \Rightarrow m = 4 bulunur.
Bir fonksiyon yy-doğrultusunda kk katına çıkarıldığında alan kk katına çıkar, xx-doğrultusunda mm kat sıkıştırıldığında (yani xx değerleri mm'ye bölündüğünde) alan 1m\frac{1}{m} katına iner.
4
kk ve mm değerlerini toplayarak sonucu bulalım.
k+m=2+4=6k + m = 2 + 4 = 6 bulunur.
Soruda bizden istenen k+mk + m toplamıdır.

Key Concept

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümleri altında alan ve koordinat değişimleri.
Question 1475Question →

Kartezyen koordinat sisteminde, merkezil birim çember üzerinde bulunan bir P(a,b)P(a, b) noktası dördüncü bölgededir.

Bu noktanın koordinatları arasında
3a+4b=03a + 4b = 0
bağıntısı olduğuna göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -0.6

Answer

P noktasının ordinat değeri -0,6'dır.
Birim çember üzerindeki her P(a,b)P(a, b) noktası için a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 eşitliği geçerlidir. Soruda verilen 3a+4b=03a + 4b = 0 bağıntısından a=−4b3a = -\frac{4b}{3} çekilerek çember denklemine yerleştirildiğinde 25b29=1\frac{25b^2}{9} = 1 ve buradan b2=925b^2 = \frac{9}{25} bulunur. Noktanın dördüncü bölgede olduğu belirtildiğinden ordinatı temsil eden bb değeri negatif olmalıdır. Bu sebeple doğru sonuç −0,6-0,6 olur.

Step-by-Step Solution

1
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinat ilişkisini yazma
a2+b2=1a^2 + b^2 = 1
Koordinat düzleminde birim çember üzerindeki her noktanın orijine olan uzaklığının karesi 1'e eşittir.
2
Verilen doğrusal bağıntıdan bir değişkeni diğeri cinsinden ifade etme
a=−4b3a = -\frac{4b}{3}
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli hale getirmek amacıyla a değişkeni b cinsinden yazılır.
3
İfadeyi birim çember denkleminde yerine yazarak b değerini bulma
b2=925b^2 = \frac{9}{25}
Kareler toplamı denkleminde yerine koyma yapılarak b'nin mutlak değerce büyüklüğü belirlenir.
4
Bölge bilgisine göre ordinatın işaretini belirleme
b=−0,6b = -0,6
Dördüncü bölgede apsis pozitif, ordinat negatiftir. Bu nedenle b değerinin negatif olan kökü seçilmelidir.

Key Concept

Birim çember üzerindeki noktaların koordinat denklemi ve koordinat düzlemindeki bölgelere göre işaret tayini
Estimated Time:1m 30s
Question 1476Question →
f(x)=log⁡x−1(49−x2)+log⁡2(x2−9)f(x) = \log_{x - 1}(49 - x^2) + \log_{2}(x^2 - 9)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçt��r?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 15'tir.
Verilen fonksiyonun her iki teriminin de aynı anda tanımlı olması için x>1x > 1, x≠2x \neq 2, −7<x<7-7 < x < 7 ve x2>9x^2 > 9 koşullarının hepsi sağlanmalıdır. Bu koşulların ortak kesişimi (3,7)(3, 7) açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar 4, 5 ve 6 olup toplamları 15'tir.

Step-by-Step Solution

1
İlk logaritma teriminin taban ve argüman koşullarını belirleme.
x>1x > 1, x≠2x \neq 2 ve −7<x<7-7 < x < 7 koşullarından x∈(1,7)∖{2}x \in (1, 7) \setminus \{2\} elde edilir.
Logaritma tabanı sıfırdan büyük ve 1'den farklı, argümanı ise sıfırdan büyük olmalıdır.
2
İkinci logaritma teriminin argüman koşulunu belirleme.
x>3x > 3 veya x<−3x < -3 elde edilir.
Logaritma argümanı sıfırdan büyük olmalıdır (taban olan 2 zaten pozitif ve 1'den farklıdır).
3
Elde edilen tanım aralıklarının kesişimini bulma.
En geniş tanım kümesi (3,7)(3, 7) açık aralığı olarak bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki logaritmik ifadenin de aynı anda tanımlı olması gerekir.
4
Bu aralıktaki tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşma.
4+5+6=154 + 5 + 6 = 15 bulunur.
(3,7)(3, 7) aralığındaki tam sayılar 44, 55 ve 66'dır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı, argümanı ise sıfırdan büyük olmalıdır. Birden fazla logaritma içeren fonksiyonlarda en geniş tanım kümesi, her bir terimin tanım kümelerinin kesişimidir.
Question 1477Question →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x+cos⁡x=52\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 0.875

Answer

Doğru cevap 0.8750.875 (veya 78\frac{7}{8}) olarak bulunur.
Verilen ifadenin her iki tarafının karesi alındığında 1+sin⁡(2x)=1.251 + \sin(2x) = 1.25 eşitliğinden sin⁡(2x)=0.25\sin(2x) = 0.25 elde edilir. Bu değer, cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç olan 0.8750.875 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadenin her iki tarafının karesini alınız.
(sin⁡x+cos⁡x)2=(52)2  ⟹  sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=54(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 \implies \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{5}{4}
İfadedeki sinüs ve kosinüs toplamını yarım açı formüllerine dönüştürmek için her iki tarafın karesi alınır.
2
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliğini ve 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \sin(2x) yarım açı formülünü kullanarak ifadeyi düzenleyiniz.
1+sin⁡(2x)=54  ⟹  sin⁡(2x)=141 + \sin(2x) = \frac{5}{4} \implies \sin(2x) = \frac{1}{4}
Elde edilen ifadedeki temel trigonometrik bileşenler sadeleştirilerek sin⁡(2x)\sin(2x) yalnız bırakılır.
3
cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini yarım açı formülü kullanarak sin⁡(2x)\sin(2x) cinsinden yazınız ve değeri hesaplayınız.
cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)=1−2(14)2=1−216=78=0.875\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{2}{16} = \frac{7}{8} = 0.875
Kosinüsün yarım açı formülü cos⁡(2a)=1−2sin⁡2(a)\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a) bağıntısı a=2xa = 2x için uygulanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Sinüs ve kosinüs yarım açı formüllerinin cebirsel ifadelerin çözümünde kullanılması.

Alternative Method

sin⁡(2x)=14\sin(2x) = \frac{1}{4} değeri bulunduktan sonra, 2x2x açısına ait dik üçgen çizilerek komşu kenar 15\sqrt{15} birim bulunur. Buradan cos⁡(2x)=154\cos(2x) = \frac{\sqrt{15}}{4} elde edilir. cos⁡(4x)=cos⁡2(2x)−sin⁡2(2x)\cos(4x) = \cos^2(2x) - \sin^2(2x) yarım açı formülü kullanılarak cos⁡(4x)=1516−116=1416=78=0.875\cos(4x) = \frac{15}{16} - \frac{1}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8} = 0.875 olarak hesaplanabilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 1478Question →
f(x)=cos⁡(arcsin⁡(x)+arccos⁡(x2))f(x) = \cos\left(\arcsin(x) + \arccos(x^2)\right)

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, f(x)=0f(x) = 0 denklemini sağlayan xx ger��el sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0

Answer

Denklemi sağlayan xx değerlerinin toplamı 00 olur.
Denklemin tüm gerçel kökleri −1-1, 00 ve 11 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 00 olduğundan, sıfır değerini içeren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesini belirleme ve cos⁡\cos fonksiyonunun sıfır olduğu genel şartı yazma.
xx değişkeni [−1,1][-1, 1] aralığında olmalıdır. f(x)=0f(x) = 0 olması için arccos⁡(x2)+arcsin⁡(x)\arccos(x^2) + \arcsin(x) ifadesi cos⁡\cos fonksiyonunu sıfır yapan bir açıya eşit olmalıdır.
arcsin⁡(x)\arcsin(x) ve arccos⁡(x2)\arccos(x^2) fonksiyonlarının tanımlı olması için xx ve x2x^2 değerleri [−1,1][-1, 1] aralığında yer almalıdır.
2
Açının alabileceği değer aralığını belirleme.
−π2≤arcsin⁡(x)≤π2-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(x) \le \frac{\pi}{2} ve 0≤arccos⁡(x2)≤π0 \le \arccos(x^2) \le \pi olduğundan, bu iki ifadenin toplamı olan θ\theta açısı [−π2,3π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] aralığındadır. Bu aralıkta cos⁡(θ)=0\cos(\theta) = 0 şartını sağlayan θ\theta değerleri −π2-\frac{\pi}{2}, π2\frac{\pi}{2} ve 3π2\frac{3\pi}{2} olur.
Ters trigonometrik fonksiyonların değer kümelerinin sınırları kullanılarak toplamın alabileceği tüm olası a��ılar bulunur.
3
Belirlenen açı değerleri için xx denklemlerini çözme.
θ=−π2\theta = -\frac{\pi}{2} için x=−1x = -1 bulunur (çünkü arcsin⁡(−1)=−π2\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} ve arccos⁡(1)=0\arccos(1) = 0). θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} için gerçel kök yoktur. θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} için arccos⁡(x2)+arcsin⁡(x)=π2\arccos(x^2) + \arcsin(x) = \frac{\pi}{2} denkleminden arccos⁡(x2)=arccos⁡(x)\arccos(x^2) = \arccos(x) elde edilir. Buradan x2=xx^2 = x denklemi çözülerek x=0x = 0 ve x=1x = 1 bulunur.
Ters trigonometrik fonksiyonların temel özellikleri ve özdeşlikleri (arcsin⁡(x)+arccos⁡(x)=π2\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}) kullanılarak gerçel kökler tespit edilir.
4
Bulunan tüm gerçel kökleri toplayarak sonucu bulma.
Gerçel kökler −1-1, 00 ve 11 olup, toplamları (−1)+0+1=0(-1) + 0 + 1 = 0 bulunur.
Soruda istenen xx gerçel sayılarının toplamına ulaşılır.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıkları ile trigonometrik denklemlerin çözümü.
Estimated Time:2m 30s
Question 1479Question →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡(x−30∘)−sin⁡(x−60∘)sin⁡(x−30∘)+cos⁡(x−60∘)=2−3\frac{\cos(x - 30^\circ) - \sin(x - 60^\circ)}{\sin(x - 30^\circ) + \cos(x - 60^\circ)} = 2 - \sqrt{3}

eşitliğini sağlayan xx açısının derece cinsinden ölçüsü kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 75; 75°; 75 derece

Answer

Eşitliği sağlayan x açısının derece cinsinden ölçüsü 75'tir.
Verilen karmaşık kesirli ifade, pay ve paydada bulunan terimlerin toplam ve fark formülleriyle açılıp sadeleştirilmesi sonucunda cot⁡x\cot x ifadesine eşit olmaktadır. cot⁡x=2−3\cot x = 2 - \sqrt{3} denklemini sağlayan x∈(0,90∘)x \in (0, 90^\circ) dar açısı ise x=75∘x = 75^\circ olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmında bulunan cos⁡(x−30∘)\cos(x - 30^\circ) ve sin⁡(x−60∘)\sin(x - 60^\circ) ifadelerini fark formülleri kullanarak açalım.
cos⁡(x−30∘)=cos⁡xcos⁡30∘+sin⁡xsin⁡30∘\cos(x - 30^\circ) = \cos x \cos 30^\circ + \sin x \sin 30^\circ ve sin⁡(x−60∘)=sin⁡xcos⁡60∘−cos⁡xsin⁡60∘\sin(x - 60^\circ) = \sin x \cos 60^\circ - \cos x \sin 60^\circ elde edilir.
Trigonometrik ifadeleri daha sade biçimde yazabilmek için toplam ve fark formüllerini uygulamak gerekir.
2
30∘30^\circ ve 60∘60^\circ açılarının bilinen trigonometrik değerlerini yerlerine yerleştirelim.
cos⁡(x−30∘)=32cos⁡x+12sin⁡x\cos(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x ve sin⁡(x−60∘)=12sin⁡x−32cos⁡x\sin(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x olur.
Sayısal değerleri yerleştirerek cebirsel sadeleştirme yapabilmek için.
3
Paydaki çıkarma işlemini gerçekleştirerek pay ifadesinin en sade halini bulalım.
Pay =(32cos⁡x+12sin⁡x)−(12sin⁡x−32cos⁡x)=3cos⁡x= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right) - \left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = \sqrt{3}\cos x bulunur.
Çıkarma işlemiyle benzer terimleri sadeleştirmek için.
4
Payda kısmında yer alan sin⁡(x−30∘)\sin(x - 30^\circ) ve cos⁡(x−60∘)\cos(x - 60^\circ) ifadelerini fark ve toplam formülleriyle açıp bilinen değerleri yerine yazalım.
sin⁡(x−30∘)=32sin⁡x−12cos⁡x\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x ve cos⁡(x−60∘)=12cos⁡x+32sin⁡x\cos(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x olur.
Paydadaki ifadeleri sadeleştirmek üzere fark ve toplam formüllerini uygulamak için.
5
Paydadaki toplama işlemini gerçekleştirerek payda ifadesinin en sade halini bulalım.
Payda =(32sin⁡x−12cos⁡x)+(12cos⁡x+32sin⁡x)=3sin⁡x= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x\right) + \left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = \sqrt{3}\sin x bulunur.
Toplama işlemiyle zıt işaretli terimleri sadeleştirmek için.
6
Elde ettiğimiz pay ve payda sadeleşmiş hallerini oranlayarak ana denklemi yazalım.
3cos⁡x3sin⁡x=cot⁡x\frac{\sqrt{3}\cos x}{\sqrt{3}\sin x} = \cot x elde edilir. Buradan denklemin yeni hali cot⁡x=2−3\cot x = 2 - \sqrt{3} olur.
Karmaşık kesirli ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek için.
7
cot⁡x=2−3\cot x = 2 - \sqrt{3} denklemini sağlayan xx dar açısını bulalım.
cot⁡x=2−3  ⟹  tan⁡x=12−3=2+3\cot x = 2 - \sqrt{3} \implies \tan x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} olur. tan⁡(45∘+30∘)=tan⁡45∘+tan⁡30∘1−tan⁡45∘tan⁡30∘=2+3\tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = 2 + \sqrt{3} olduğunu bildiğimizden x=75∘x = 75^\circ olarak bulunur.
Elde edilen basit trigonometrik denklemi çözerek açı değerine ulaşmak için.

Key Concept

Toplam ve fark formülleri yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve trigonometrik denklemlerin çözümü.
Question 1480Question →
f(x)=(−a2+6a−4)xf(x) = (-a^2 + 6a - 4)^x

fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir üstel fonksiyondur.

Buna göre,

I. aa parametresinin alabileceği 3 farklı tam sayı değeri vardır.
II. f(x)f(x) azalan bir fonksiyon ise aa parametresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri 5'tir.
III. aa bir tam sayı olmak üzere, f(x)f(x) fonksiyonu daima artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III
Üstel fonksiyon tanımına göre taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Bu koşullardan a∈(3−5,3+5)∖{1,5}a \in (3 - \sqrt{5}, 3 + \sqrt{5}) \setminus \{1, 5\} elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 2, 3 ve 4 olup toplamda 3 tanedir, bu yüzden birinci ifade doğrudur. Fonksiyonun azalan olması için tabanın 0 ile 1 arasında olması gerekir, bu durumda aa parametresi (3−5,1)∪(5,3+5)(3 - \sqrt{5}, 1) \cup (5, 3 + \sqrt{5}) aralığında olmalıdır. Bu aralıkta hiçbir tam sayı bulunmaz ve a=5a=5 değeri tabanı 1 yaptığından üstel fonksiyon tanımına aykırıdır, bu yüzden ikinci ifade yanlıştır. aa parametresinin alabileceği tam sayı değerleri olan 2, 3 ve 4 için taban değerleri sırasıyla 4, 5 ve 4 olup hepsi 1'den büyük olduğundan fonksiyon her durumda artandır, bu yüzden üçüncü ifade de doğrudur. Dolayısıyla birinci ve üçüncü ifadelerin doğru olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Üstel fonksiyonun taban şartlarını belirleme
Taban b(a)=−a2+6a−4b(a) = -a^2 + 6a - 4 olmak üzere, b(a)>0b(a) > 0 ve b(a)≠1b(a) \neq 1 olmalıdır.
Bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtebilmesi için tabanının pozitif bir gerçel sayı olması ve 1'e eşit olmaması gerekir.
2
Tabanın pozitif olması şartını (b(a)>0b(a) > 0) çözme
a2−6a+4<0  ⟹  a∈(3−5,3+5)a^2 - 6a + 4 < 0 \implies a \in (3 - \sqrt{5}, 3 + \sqrt{5}) aralığı elde edilir.
a2−6a+4=0a^2 - 6a + 4 = 0 denkleminin kökleri 3±53 \pm \sqrt{5}'tir. Eşitsizlik tablosu yapıldığında bu köklerin arası negatif bölgeyi verir.
3
Tabanın 1'den farklı olması şartını (b(a)≠1b(a) \neq 1) çözme
a2−6a+5≠0  ⟹  (a−1)(a−5)≠0  ⟹  a≠1a^2 - 6a + 5 \neq 0 \implies (a-1)(a-5) \neq 0 \implies a \neq 1 ve a≠5a \neq 5 olmalıdır.
Taban 1 olduğunda fonksiyon üstel fonksiyon belirtmez, sabit fonksiyon belirtir.
4
Tanım kümesini birleştirme ve tam sayı değerlerini bulma (I. öncül kontrolü)
a∈(3−5,3+5)∖{1,5}a \in (3 - \sqrt{5}, 3 + \sqrt{5}) \setminus \{1, 5\}. 5≈2.24\sqrt{5} \approx 2.24 olduğundan aralık yaklaşık (0.76,5.24)∖{1,5}(0.76, 5.24) \setminus \{1, 5\} olur. Bu aralıktaki tam sayılar {2,3,4}\{2, 3, 4\}'tür (toplam 3 adet).
Elde edilen iki şartın kesişimi alınarak aa parametresinin tanım kümesi bulunur ve bu kümedeki tam sayılar sayılır. Birinci öncül doğrudur.
5
Azalanlık şartını inceleme (II. öncül kontrolü)
Azalan olması için 0<b(a)<10 < b(a) < 1 olmalıdır. Buradan a∈(3−5,1)∪(5,3+5)a \in (3 - \sqrt{5}, 1) \cup (5, 3 + \sqrt{5}) aralığı elde edilir. Bu aralıkta hiçbir tam sayı değeri yoktur. a=5a=5 değeri tabanı 1 yaptığından tanım kümesinde değildir.
Azalan üstel fonksiyonlarda taban 0 ile 1 arasında olmalıdır. Elde edilen aralıktaki tam sayı varlığı kontrol edilir. İkinci öncül yanlıştır.
6
Tam sayı parametreleri için artanlığı inceleme (III. öncül kontrolü)
a∈{2,3,4}a \in \{2, 3, 4\} için sırasıyla tabanlar b(2)=4>1b(2)=4 > 1, b(3)=5>1b(3)=5 > 1 ve b(4)=4>1b(4)=4 > 1 olur. Tabanlar daima 1'den büyük olduğundan fonksiyon daima artandır.
Tabanın 1'den büyük olması fonksiyonun artan olmasını sağlar. Tam sayı değerlerinin tamamı için bu durum sağlandığından üçüncü öncül doğrudur.

Key Concept

Bir üstel fonksiyonun tabanı pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olmalıdır. Taban 1'den büyükse fonksiyon artan, 0 ile 1 arasında ise azalandır.
PreviousPage 74 / 437Next
All practice questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin