Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 11

Question 201Question →

Bir fincan sıcak içeceğin sıcaklığı, bulunduğu ortamın sıcaklığına bağlı olarak zamanla azalmaktadır. $t$ geçen süreyi (dakika cinsinden) göstermek üzere, içeceğin $t$ . dakikadaki sıcaklığı $T(t)$ ( $^\circ\text{C}$ ) fonksiyonu:

T(t) = T_e + (T_0 - T_e) \cdot 2^{-c \cdot t}

formülüyle modellenmektedir. Burada $T_e$ ortam sıcaklığı, $T_0$ içeceğin başlangıç sıcaklığı ve $c$ pozitif bir soğuma sabittir.

Ortam sıcaklığının $20^\circ\text{C}$ olduğu bir odada, başlangıç sıcaklığı $84^\circ\text{C}$ olan bir fincan çayın sıcaklığ�� $10$ dakika sonra $52^\circ\text{C}$ 'ye düşmektedir.

Buna göre, bu çayın sıcaklığının $28^\circ\text{C}$ 'ye düşmesi için başlangıçtan itibaren kaç dakika geçmesi gerekir?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Çayın sıcaklığının 28°C'ye düşmesi için başlangıçtan itibaren 30 dakika geçmesi gerekir.

Verilen başlangıç ve 10. dakika sıcaklık değerleri formülde yerine koyulduğunda soğuma sabiti

c = 0,1

olarak bulunur. Çayın sıcaklığının

28^\circ\text{C}

olması istenen denklemde bu katsayı kullanıldığında, geçen süre

30

dakika olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Ortam sıcaklığı

T_e = 20^\circ\text{C}

, başlangıç sıcaklığı

T_0 = 84^\circ\text{C}

ve

10

. dakikadaki s��caklık

T(10) = 52^\circ\text{C}

değerlerini formülde yerine yazmak.

52 = 20 + (84 - 20) \cdot 2^{-c \cdot 10} \implies 32 = 64 \cdot 2^{-10c}

Soğuma sabiti

c

'yi bulmak için gerekli ilk denklemi kurmak.

2

32 = 64 \cdot 2^{-10c}

denklemini çözerek

c

katsayısını belirlemek.

2^{-10c} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2} = 2^{-1} \implies -10c = -1 \implies c = 0,1

Üstel denklemi çözerek soğuma sabitini elde etmek.

3

Hedef sıcaklık

T(t) = 28^\circ\text{C}

değerini formülde yerine koyarak

t

süresini çözmek.

28 = 20 + (84 - 20) \cdot 2^{-0,1 \cdot t} \implies 8 = 64 \cdot 2^{-0,1 \cdot t} \implies 2^{-0,1 \cdot t} = \frac{8}{64} = \frac{1}{8} = 2^{-3} \implies -0,1 \cdot t = -3 \implies t = 30

Bulunan

c

sabiti ile hedeflenen sıcaklığa ulaşma süresini hesaplamak.

Key Concept

Üstel ve logaritmik modelleme yardımıyla gerçek hayat problemlerinin (Newton'ın Soğuma Kanunu) çözülmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question 202Question →

Bir çözeltinin asitlik derecesini belirleyen

pH

değeri ile çözeltideki hidrojen iyonu derişimi

[H^+]

(mol/L cinsinden) arasındaki ilişki

pH = -\log_{10}([H^+])

formülü ile modellenmektedir.

Bir kimyager, laboratuvarda $pH$ değeri $3,2$ olan bir çözeltiye saf su ekleyerek çözeltinin hacmini $10$ katına çıkarmıştır. Çözeltinin hacmi $10$ katına çıktığında hidrojen iyonu derişimi $[H^+]$ ilk derişiminin $\frac{1}{10}$ 'una düşmektedir.

Buna göre, su eklendikten sonra elde edilen yeni çözeltinin $pH$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

2,2

3,3

4,2

0,32

32

Show answer & explanation

Answer: $4,2$

Answer

Yeni çözeltinin pH değeri

4,2

'dir.

Başlangıçtaki çözeltinin pH değeri

3,2

olduğundan

\log_{10}([H^+]_{eski}) = -3,2

olur. Hacim 10 katına çıkarıldığında derişim 10 kat azalır ve

[H^+]_{yeni} = 10^{-1} \cdot [H^+]_{eski}

elde edilir. Yeni pH değeri

pH_{yeni} = -\log_{10}(10^{-1} \cdot [H^+]_{eski}) = -(\log_{10}(10^{-1}) + \log_{10}([H^+]_{eski})) = -(-1 - 3,2) = 4,2

olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru yanıt

4,2

değeridir.

Step-by-Step Solution

1

İlk durumdaki pH değerini veren bağıntıyı kullanarak başlangıçtaki hidrojen iyonu derişiminin logaritmasını belirleyin.

\log_{10}([H^+]_{eski}) = -3,2

Başlangıçtaki pH değeri

3,2

olarak verilmiştir.

pH = -\log_{10}([H^+])

formülünden

-\log_{10}([H^+]_{eski}) = 3,2

elde edilir.

2

Su eklendikten sonraki yeni hidrojen iyonu derişimini eski derişim cinsinden ifade edin.

[H^+]_{yeni} = 10^{-1} \cdot [H^+]_{eski}

Hacim 10 katına çıktığında derişim 10 kat azalır, yani ilk derişimin onda birine eşit olur.

3

Yeni derişimi pH formülünde yerine yazıp logaritma özelliklerini kullanarak yeni pH değerini hesaplayın.

pH_{yeni} = 4,2

pH_{yeni} = -\log_{10}(10^{-1} \cdot [H^+]_{eski}) = -(\log_{10}(10^{-1}) + \log_{10}([H^+]_{eski})) = -(-1 + (-3,2)) = -(-4,2) = 4,2

bulunur.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun özelliklerini gerçek hayat durumlarında (pH hesabı ve seyreltme) uygulayabilme

Estimated Time:1m 30s

Question 203Question →

\frac{1}{1 + \log_2 75} + \frac{1}{1 + \log_3 50} + \frac{2}{2 + \log_5 6}

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

İfadenin değeri 1'dir.

İfadedeki tüm terimlerin paydaları uygun tabanlarda yazılıp birleştirildiğinde sırasıyla

\log_2 150

,

\log_3 150

ve

\log_5 150

elde edilir. Taban değiştirme kuralı kullanılarak ifadeler ters çevrildiğinde tabanları eşit olan

\log_{150} 2

,

\log_{150} 3

ve

\log_{150} 25

terimleri elde edilir. Bu terimlerin toplamı

\log_{150} (2 \cdot 3 \cdot 25) = \log_{150} 150 = 1

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Paydalardaki 1 ve 2 tam sayılarını, yanlarında bulunan logaritma tabanlarına uygun olarak logaritmik biçimde yazalım.

1 = \log_2 2

,

1 = \log_3 3

ve

2 = 2\log_5 5 = \log_5 5^2 = \log_5 25

olur.

Logaritma toplama özelliğini kullanabilmek için tabanların aynı olması gerekir.

2

Paydalarda bulunan logaritmik ifadeleri ortak tabanda toplayarak tek bir logaritma halinde birleştirelim.

1 + \log_2 75 = \log_2 2 + \log_2 75 = \log_2 (2 \cdot 75) = \log_2 150

1 + \log_3 50 = \log_3 3 + \log_3 50 = \log_3 (3 \cdot 50) = \log_3 150

2 + \log_5 6 = \log_5 25 + \log_5 6 = \log_5 (25 \cdot 6) = \log_5 150

elde edilir.

Aynı tabandaki logaritmaların toplamı, argümanların çarpımına eşittir:

\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)

.

3

Bulduğumuz birleştirilmiş ifadeleri orijinal denklemdeki paydalara yerleştirelim.

İfade şu şekle dönüşür:

\frac{1}{\log_2 150} + \frac{1}{\log_3 150} + \frac{2}{\log_5 150}

Paydalardaki ifadelerin yerine basitleştirilmiş halleri yazılmıştır.

4

Taban değiştirme kuralın�� (

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

) uygulayarak terimleri düzenleyelim.

\frac{1}{\log_2 150} = \log_{150} 2

\frac{1}{\log_3 150} = \log_{150} 3

\frac{2}{\log_5 150} = 2\log_{150} 5

olur.

Taban değiştirme kuralı yardımıyla paydadaki logaritmaları pay kısmına taban ve argüman yer değiştirerek taşıyabiliriz.

5

Son terimdeki 2 katsayısını argümanın üzerine üs olarak taşıyalım ve ardından tüm logaritmaları ortak tabanda toplayalım.

2\log_{150} 5 = \log_{150} 5^2 = \log_{150} 25

olur.
Toplam ifade:

\log_{150} 2 + \log_{150} 3 + \log_{150} 25 = \log_{150} (2 \cdot 3 \cdot 25) = \log_{150} 150 = 1

bulunur.

n\log_a b = \log_a (b^n)

özelliğinden katsayı üsse taşınır ve ortak tabandaki toplam logaritmalar çarpım kuralıyla birleştirilir.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun özellikleri ve taban değiştirme kuralı.

Estimated Time:2m 0s

Question 204Question →

x

ve

y

birden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,

\log_2(x \cdot y) = 5

\log_x 2 + \log_y 2 = \frac{5}{6}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $\log_x y + \log_y x$ ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{13}{6}

\frac{17}{4}

\frac{26}{5}

\frac{5}{2}

\frac{25}{6}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{13}{6}$

Answer

İstenen ifadenin değeri on üç bölü altı olarak bulunur.

Verilen denklemlerde çarpım özelliği ve taban değiştirme kuralları uygulandığında

\log_2 x + \log_2 y = 5

ve

\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{5}{6}

elde edilir. Buradan

\log_2 x \cdot \log_2 y = 6

bulunur. Toplamları

5

, çarpımları

6

olan sayılar

2

ve

3

olduğundan, aranılan ifade

\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{13}{6}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci denklemde çarpımın logaritması özelliğini uygulayalım.

\log_2 x + \log_2 y = 5

Çarpımın logaritması, logaritmaların toplamına eşittir:

\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c

.

2

İkinci denklemde taban değiştirme özelliğini kullanalım.

\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{5}{6}

Taban değiştirme kuralına göre

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

özelliğinden faydalanarak ifadeleri ortak tabana getiririz.

3

\log_2 x = u

ve

\log_2 y = v

değişken değiştirmesini uygulayarak denklem sistemini çözelim.

u + v = 5

\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{u+v}{uv} = \frac{5}{6} \implies \frac{5}{uv} = \frac{5}{6} \implies uv = 6

Değişken değiştirme yöntemi, denklem sistemini daha kolay çözülebilir bir hale getirir.

4

Toplamları

5

, çarpımları

6

olan

u

ve

v

değerlerini bulalım.

\{u, v\} = \{2, 3\}

t^2 - 5t + 6 = 0

denkleminin kökleri

2

ve

3

'tür.

5

İstenen ifadeyi taban değiştirme özelliği yardımıyla

u

ve

v

cinsinden yazıp hesaplayalım.

\log_x y + \log_y x = \frac{\log_2 y}{\log_2 x} + \frac{\log_2 x}{\log_2 y} = \frac{v}{u} + \frac{u}{v}

u=2

ve

v=3

değerleri için:

\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{9+4}{6} = \frac{13}{6}

Taban değiştirme kuralı yardımıyla aranılan ifadeyi bilinen değişkenler cinsinden ifade eder ve sonucu buluruz.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Question 205Question →

Deniz seviyesinden yüksekliği $h$ kilometre olan bir yerdeki açık hava basıncı $P(h)$ (mmHg cinsinden)

P(h) = P_0 \cdot e^{-k \cdot h}

formülüyle modellenmektedir. Burada $P_0$ deniz seviyesindeki açık hava basıncını, $k$ ise pozitif bir sabiti göstermektedir.

Deniz seviyesinde açık hava basıncı $760\text{ mmHg}$ olup deniz seviyesinden $4\text{ km}$ yükseklikteki bir dağın zirvesinde açık hava basıncı $380\text{ mmHg}$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, açık hava basıncının $190\text{ mmHg}$ olarak ölçüldüğü bir yüksekliğin deniz seviyesinden kaç kilometre olduğunu bulunuz.

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Açık hava basıncının

190\text{ mmHg}

olduğu yükseklik deniz seviyesinden

8\text{ km}

'dir.

Verilen modelde deniz seviyesindeki basınç

P_0 = 760

olarak yerine yazılır. Ardından

P(4) = 380

bilgisiyle

e^{-4k} = \frac{1}{2}

elde edilir. Basıncın

190\text{ mmHg}

olması durumu ise

e^{-kh} = \frac{1}{4}

eşitliğini gerektirir.

\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2

ilişkisi kurulduğunda

e^{-kh} = e^{-8k}

elde edilir ve buradan aranan yükseklik

8\text{ km}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıç değerini formülde yerine yazarak fonksiyonu sadeleştirmek

P(h) = 760 \cdot e^{-k \cdot h}

Deniz seviyesinde (

h = 0

) açık hava basıncı

760\text{ mmHg}

olarak verildiği için

P(0) = P_0 \cdot e^0 = P_0 = 760

olur.

2

4\text{ km}

yükseklikteki basınç değerini kullanarak üstel ifadenin değerini bulmak

e^{-4k} = \frac{1}{2}

P(4) = 380

olarak verildiği için

760 \cdot e^{-4k} = 380 \implies e^{-4k} = \frac{380}{760} = \frac{1}{2}

elde edilir.

3

Basıncın

190\text{ mmHg}

olduğu durum için üstel denklemi kurmak

e^{-k \cdot h} = \frac{1}{4}

P(h) = 190

olması istendiğinden

760 \cdot e^{-k \cdot h} = 190 \implies e^{-k \cdot h} = \frac{190}{760} = \frac{1}{4}

elde edilir.

4

Elde edilen iki üstel ifadeyi ilişkilendirerek bilinmeyen yüksekliği (

h

) hesaplamak

h = 8

\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2

olduğundan

e^{-k \cdot h} = \left(e^{-4k}\right)^2 = e^{-8k}

yazılır. Tabanlar aynı olduğundan üslerin eşitliğinden

-k \cdot h = -8k \implies h = 8

bulunur.

Key Concept

Üstel azalış modellerinde başlangıç koşullarının kullanılması ve üs kuralları yardımıyla bilinmeyen değişkenin bulunması.

Alternative Method

Yarılanma mantığı kullanılarak da çözülebilir. Basınç her

4\text{ km}

'de bir yarıya (

760 \rightarrow 380

) inmektedir. Basıncın

190\text{ mmHg}

'ye inmesi için başlangıç değerinin iki kez yarıya inmesi gerekir (

760 \rightarrow 380 \rightarrow 190

). Bu durum iki kez

4\text{ km}

yükselmek anlamına gelir ve toplam yükseklik

4 + 4 = 8\text{ km}

olarak doğrudan bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 206Question →

Bir göldeki alg (su yosunu) kaplı alanın büyüklüğü, göle kimyasal atık karışmaya başladıktan itibaren geçen süreye bağlı olarak üstel artış göstermektedir.

t

gün cinsinden geçen süreyi belirtmek üzere, göldeki alg kaplı alan

A(t)

(

m^2

cinsinden)

A(t) = A_0 \cdot (1{}5)^{k \cdot t}

formülüyle modellenmektedir. Bu formülde

A_0

başlangıçtaki alg kaplı alanı (

m^2

),

k

ise gölün kirlilik katsayısını temsil eden pozitif bir gerçel sayı sabitidir.

Kimyasal atık karışmaya başladığı anda alg kaplı alanı $80\text{ m}^2$ olan göldeki bu alan 4 gün sonra $180\text{ m}^2$ olduğuna göre, göldeki alg kaplı alanın $405\text{ m}^2$ olması için başlangıçtan itibaren toplam kaç gün geçmesi gerekir?

6

9

8

10

12

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Göldeki alg kaplı alanın 405 metrekare olması için başlangıçtan itibaren toplam 8 gün geçmesi gerekir.

Kimyasal atık miktarına bağlı büyüme modeli

A(t) = 80 \cdot (1{}5)^{0{}5t}

olarak elde edilir. Bu modelde alanın 405 metrekareye ulaşması için gereken süre

(1{}5)^{0{}5t} = 81/16

denkleminin çözülmesiyle bulunur.

81/16 = (1{}5)^4

olduğundan

0{}5t = 4

ve buradan

t = 8

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıç anındaki (

t=0

) alg alanını formülde yerine yazarak modeli belirleyin.

A(0) = A_0 = 80

metrekaredir.

Başlangıç değeri A0 parametresini doğrudan belirlemektedir.

2

t=4

gün sonraki alg alanının

180\text{ m}^2

olduğu bilgisini kullanarak katsayı

k

değerini bulun.

A(4) = 80 \cdot (1{}5)^{4k} = 180 \Rightarrow (1{}5)^{4k} = \frac{180}{80} = \frac{9}{4} = (1{}5)^2 \Rightarrow 4k = 2 \Rightarrow k = 0{}5

bulunur.

Gölün kirlilik katsayısı olan

k

değerinin hesaplanarak modelin tamamlanması gerekir.

3

Alg alanının

405\text{ m}^2

olmasını sağlayan

t

süresini

k=0{}5

değerini yerine yazarak bulun.

A(t) = 80 \cdot (1{}5)^{0{}5t} = 405 \Rightarrow (1{}5)^{0{}5t} = \frac{405}{80} = \frac{81}{16} = (1{}5)^4 \Rightarrow 0{}5t = 4 \Rightarrow t = 8

gün elde edilir.

Üstel denklem çözülerek hedef alana ulaşılması için gereken süre bulunur.

Key Concept

Üstel büyüme modellerinde başlangıç değeri ve büyüme katsayısı kullanılarak üstel denklemlerin çözülmesi.

Question 207Question →

1'den büyük

x

gerçel sayısı için

\log_3 x \cdot \log_9 x \cdot \log_{27} x = \frac{9}{2}

eşitliği veriliyor.
Buna göre,

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İstenen ifadenin değeri 2'dir.

Verilen denklemin tüm çarpanları taban değiştirme kuralları yardımıyla 3 tabanına çevrildiğinde

\frac{1}{6}(\log_3 x)^3 = \frac{9}{2}

elde edilir. Buradan

(\log_3 x)^3 = 27

yani

\log_3 x = 3

bulunur. Bu durumda

x = 27

olur. Soruda istenen

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesi

\log_{\sqrt{27}} 27 = \log_{27^{1/2}} 27 = 2

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen denklemdeki tüm logaritma terimlerini ortak 3 tabanına dönüştürün.

\log_9 x = \frac{1}{2}\log_3 x

ve

\log_{27} x = \frac{1}{3}\log_3 x

ifadeleri elde edilir.

Tüm çarpanları aynı tabanda yazarak çarpım işlemini basitleştirmek.

2

Elde edilen 3 tabanındaki ifadeleri çarpım denkleminde yerine yazın ve sadeleştirin.

\frac{1}{6}(\log_3 x)^3 = \frac{9}{2}

denklemi elde edilir.

Logaritmaların çarpımından tek bilinmeyenli bir üslü denklem oluşturmak.

3

Denklemi çözerek

\log_3 x

ve

x

değerlerini bulun.

(\log_3 x)^3 = 27 \implies \log_3 x = 3

ve buradan

x = 27

bulunur.

İstenen ifadeyi hesaplamak için gerekli olan temel değişken değerini elde etmek.

4

Bulunan

x

değerini istenen

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesinde yerine yazarak hesaplayın.

\log_{\sqrt{27}} 27 = 2

bulunur.

Logaritmanın taban üssü özelliğini kullanarak nihai cevaba ulaşmak.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Taban Değiştirme ve Kuvvet Özellikleri

Question 208Question →

\log_2 3 = a

\log_3 5 = b

olduğuna göre, $\log_{20} 45$ ifadesinin $a$ ve $b$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3a+b}{a+b+2}

\frac{2a^2+b}{2a+b}

\frac{a(b+2)}{ab+2}

\frac{2a^2b}{ab+2}

\frac{b+2}{2a+b}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{a(b+2)}{ab+2}$

Answer

a(b+2)/(ab+2)

Verilen logaritma ifadelerinde taban değiştirme kuralı ve logaritma özellikleri kullanılır. Öncelikle \log_2 5 ifadesinin değerini bulmak için zincir kuralı uygulanır: \log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = a \cdot b. Daha sonra \log_{20} 45 ifadesi 2 tabanında yazılır: \log_{20} 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 20}. Pay ve paydadaki sayılar asal çarpanlarına ayrılıp çarpım kuralıyla toplam şeklinde açıldığında pay 2a + ab, payda ise 2 + ab olur. Bu değerler oranlandığında ve pay kısmı a parantezine alındığında \frac{a(b+2)}{ab+2} ifadesi elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

log_2 5 ifadesini verilen a ve b cinsinden elde etmek için zincir kuralı uygulanır.

\log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = a \cdot b

Verilen logaritma tabanlarını ortak bir tabanda (2 tabanında) birleştirmek için.

2

log_{20} 45 ifadesini 2 tabanında yazarak taban değiştirme kuralı uygulanır.

\log_{20} 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 20}

Soruda verilen a ve b değişkenleri sırasıyla 2 ve 3 tabanlarına bağlı olduğu için ifadeyi 2 tabanına taşımak kolaylık sağlar.

3

Pay ve paydadaki ifadeleri asal çarpanlarına ayırıp logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak açalım.

\log_2 45 = \log_2(3^2 \cdot 5) = 2\log_2 3 + \log_2 5 = 2a + ab

ve

\log_2 20 = \log_2(2^2 \cdot 5) = 2\log_2 2 + \log_2 5 = 2 + ab

Çarpımın logaritmasını toplamın logaritmasına dönüştürerek a ve b cinsinden yazabilmek için.

4

Elde edilen ifadeleri oranlayıp ortak paranteze alarak sonucu bulalım.

\log_{20} 45 = \frac{2a + ab}{ab + 2} = \frac{a(b+2)}{ab + 2}

Sadeleştirilmiş en son cebirsel biçimi elde etmek için.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı ve çarpım/bölüm özellikleri yardımıyla değişken dönüşümü yapma.

Question 209Question →

İnsan kulağının duyarlı olduğu en düşük ses şiddeti (referans ses şiddeti)

I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2

olarak kabul edilir. Bir ses kaynağının ses şiddeti

I

(

\text{W/m}^2

cinsinden) olmak üzere, bu kaynağın oluşturduğu ses düzeyi

L

(desibel, dB cinsinden)

L = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)

formülü ile hesaplanır.

Bir iş yerinde çalışan bir makinenin tek başına çalışırken çıkardığı sesin şiddeti $I_1$ $\text{W/m}^2$ olup bu makinenin oluşturduğu ses düzeyi $75\text{ dB}$ olarak ölçülmüştür. Bu iş yerine aynı makineden 3 tane daha getirilerek toplamda 4 özdeş makine aynı anda çalıştırılmaya başlanmıştır.

Buna göre, 4 makine aynı anda çalıştırıldığında iş yerindeki toplam ses düzeyi kaç desibel (dB) olur?
(Logaritma tabanını 10 olarak alınız ve $\log 2 \approx 0.3$ kabul ediniz.)

Show answer & explanation

Answer: 81

Answer

Yeni ses düzeyi 81 dB olarak bulunur.

Tek bir makinenin ses şiddeti

I_1

iken ses düzeyi

75\text{ dB}

'dir. 4 makine aynı anda çalıştığında toplam ses şiddeti

4I_1

olur. Logaritmanın toplama özelliğini kullanarak ses düzeyi formülünü açtığımızda, yeni ses düzeyi

L_2 = 10 \log 4 + 10 \log(I_1/I_0) = 20 \log 2 + 75

halini alır. Verilen

\log 2 \approx 0.3

değeri yerine yazıldığında toplam ses düzeyi

81\text{ dB}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Tek bir makinenin ses düzeyini veren formülden yararlanarak

\log(I_1 / I_0)

değerini belirlemek.

10 \cdot \log(I_1 / I_0) = 75

olduğu için

\log(I_1 / I_0) = 7.5

olarak bulunur.

4 makinenin toplam ses şiddeti hesaplanırken bu değeri kullanmak gerekmektedir.

2

4 özdeş makinenin toplam ses şiddeti

4I_1

olacağından, yeni ses düzeyi formülünü yazmak.

L_2 = 10 \cdot \log(4I_1 / I_0)

elde edilir.

Toplam ses şiddetinin 4 katına çıkması nedeniyle yeni toplam ses düzeyini hesaplamak gerekmektedir.

3

Logaritma özelliklerini kullanarak ifadeyi açmak ve verilen

\log 2 \approx 0.3

değerini yerine koymak.

L_2 = 10 \cdot \log 4 + 10 \cdot \log(I_1 / I_0) = 20 \cdot \log 2 + 75 = 20 \cdot (0.3) + 75 = 81\text{ dB}

bulunur.

Matematiksel işlemleri tamamlayarak nihai ses düzeyine ulaşmak.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun gerçek hayat uygulamalarındaki modellenmesi ve logaritma özelliklerinin kullanılması.

Question 210Question →

Bir göldeki su derinliğine bağlı olarak ışık şiddetinin değişimi araştırılmaktadır. Göle ulaşan güneş ışığının su yüzeyindeki şiddeti $I_0$ lümen olmak üzere, su yüzeyinden itibaren $d$ metre derinlikteki ışık şiddeti $I(d)$ lümen değeri

I(d) = I_0 \cdot e^{-0,2d}

formülüyle modellenmektedir.

Buna göre, göldeki ışık şiddetinin yüzeydeki değerinin yarısına düştüğü derinlik, metre cinsinden aşağıdakilerden hangisine eşittir?

5 \ln 2

2 \ln 5

\frac{\ln 2}{5}

5 \ln(0,5)

-5 \ln 2

Show answer & explanation

Answer: $5 \ln 2$

Answer

Beş çarpı elen iki

Işık şiddetinin yüzeydeki değerinin yarısına düştüğü derinliği bulmak için

I(d) = 0,5 I_0

eşitliği kurulur. Burada

I_0

sadeleştirilerek

e^{-0,2d} = 0,5

denklemine ulaşılır. Her iki tarafın doğal logaritması alındığında

-0,2d = \ln(0,5)

olur.

\ln(0,5) = -\ln 2

eşitliği kullanılarak

-0,2d = -\ln 2

yani

0,2d = \ln 2

elde edilir. Son olarak

0,2 = \frac{1}{5}

katsayısı karşıya çarpım olarak aktarıldığında derinlik

5 \ln 2

metre olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Işık şiddeti modelini, yüzeydeki şiddetin yarısına eşit olacak şekilde denklem halinde yazın.

I_0 \cdot e^{-0,2d} = 0,5 \cdot I_0

Işık şiddetinin yüzeydeki değerinin (

I_0

) yarısına düştü��ü derinliği bulmak için

I(d) = 0,5 I_0

eşitliği kurulur.

2

Her iki taraftaki

I_0

terimlerini sadeleştirip üstel denklemi yalnız bırakın ve her iki tarafın doğal logaritmasını (

\ln

) alın.

e^{-0,2d} = 0,5 \implies -0,2d = \ln(0,5)

Üstel ifadenin tabanı

e

olduğundan,

d

değişkenini çekebilmek için doğal logaritma fonksiyonu kullanılır.

3

Logaritma özelliklerini kullanarak negatif terimleri sadeleştirin ve

d

derinlik değerini bulun.

-0,2d = -\ln 2 \implies 0,2d = \ln 2 \implies d = 5 \ln 2

\ln(0,5) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2

özelliği yardımıyla denklem sadeleştirilir.

0,2 = \frac{1}{5}

olduğundan, içler dışlar çarpımıyla

d = 5 \ln 2

elde edilir.

Key Concept

Üstel azalış modellerinde üstel denklemi logaritmaya çevirerek bilinmeyen değişkeni yalnız bırakma

Question 211Question →

$\log_3 5 = a$ ve $\log_5 2 = b$ olduğuna göre, $\log_{15} 24$ ifadesinin $a$ ve $b$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3ab + 1}{a + 1}

\frac{3b + a}{a + 1}

\frac{ab + 3}{a + 1}

3ab + 1

\frac{3ab + a}{a + 1}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3ab + 1}{a + 1}$

Answer

\frac{3ab + 1}{a + 1}

İstenen

\log_{15} 24

ifadesi 5 tabanına göre yazıldığında

\frac{\log_5 24}{\log_5 15}

elde edilir. Pay kısmındaki

\log_5 24

ifadesi

3\log_5 2 + \log_5 3

şeklinde açılıp değerler yerine yazıldığında

\frac{3ab + 1}{a}

olur. Payda kısmındaki

\log_5 15

ifadesi ise

\log_5 5 + \log_5 3

şeklinde açılıp değerler yerine yazıldığında

\frac{a+1}{a}

olur. Bu iki değerin birbirine oranlanmasıyla aranan doğru ifadeye ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen logaritma ifadelerinin tabanlarını incelemek ve uygun bir ortak taban seçmek.

Soruda verilen

\log_3 5 = a

ve

\log_5 2 = b

ifadelerinden ortak olan sayı 5'tir. Bu nedenle

\log_{15} 24

ifadesini taban değiştirme kuralı yardımıyla 5 tabanında yazmak kolaylık sağlayacaktır.

Taban değiştirme kuralı olan

\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}

özelliğini uygulamak için ortak taban belirlenir.

2

Verilen ifadeleri 5 tabanına göre düzenlemek.

\log_3 5 = a \implies \log_5 3 = \frac{1}{a}

olur. Diğer taraftan

\log_5 2 = b

olarak kalır.

\log_x y = \frac{1}{\log_y x}

özelliği kullanılarak bilinen değerler 5 tabanına dönüştürülür.

3

\log_{15} 24

ifadesine 5 tabanına göre taban değiştirme kuralı uygulamak.

\log_{15} 24 = \frac{\log_5 24}{\log_5 15}

elde edilir.

İstenen ifadeyi bilinen tabana dönüştürerek sadeleştirmek hedeflenir.

4

Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak logaritmanın özelliklerini uygulamak.

Pay için:

\log_5 24 = \log_5 (2^3 \cdot 3) = \log_5 (2^3) + \log_5 3 = 3\log_5 2 + \log_5 3 = 3b + \frac{1}{a} = \frac{3ab + 1}{a}

olur.
Payda için:

\log_5 15 = \log_5 (5 \cdot 3) = \log_5 5 + \log_5 3 = 1 + \frac{1}{a} = \frac{a + 1}{a}

olur.

Logaritmanın çarpım özelliği (

\log (xy) = \log x + \log y

) ve üs özelliği (

\log x^n = n \log x

) uygulanır.

5

Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçime getirmek.

\log_{15} 24 = \frac{\frac{3ab + 1}{a}}{\frac{a + 1}{a}} = \frac{3ab + 1}{a} \cdot \frac{a}{a + 1} = \frac{3ab + 1}{a + 1}

bulunur.

Bölme işlemi tamamlanarak ifade

a

ve

b

cinsinden en sade haline getirilir.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunda Taban Değiştirme ve Çarpım Özelliği

Estimated Time:2m 0s

Question 212Question →

1'den farklı

a

,

b

ve

c

pozitif gerçel sayıları için,

\log_a b = 4

\log_c b = 6

olduğuna göre,

\log_{a^2 \cdot c} (b^2)

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

İfadenin değeri 3'tür.

Verilen ifadeler taban değiştirme kuralı kullanılarak ortak bir taban olan

b

tabanında yazıldığında

\log_b a = 1/4

ve

\log_b c = 1/6

elde edilir. İstenen ifade de aynı tabana dönüştürülüp sadeleştirildiğinde değerinin 3 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1

Verilen logaritma ifadelerini taban değiştirme özelliğini kullanarak

b

tabanına dönüştürün.

\log_b a = \frac{1}{4}

ve

\log_b c = \frac{1}{6}

elde edilir.

İstenen ifadenin tabanındaki

a

ve

c

değişkenlerini ortak olan

b

tabanında yazarak tek bir tabanda işlem yapabilmek için.

2

İstenen

\log_{a^2 \cdot c} (b^2)

ifadesine taban değiştirme kuralını uygulayarak ifadeyi

b

tabanında yazın.

\log_{a^2 \cdot c} (b^2) = \frac{\log_b (b^2)}{\log_b (a^2 \cdot c)}

elde edilir.

Tüm terimleri aynı tabanda birleştirip sadeleştirebilmek için.

3

Pay ve paydadaki ifadeleri logaritmanın çarpım ve üs özelliklerini kullanarak düzenleyin.

Pay kısmı

\log_b (b^2) = 2

olur. Payda kısmı ise

\log_b (a^2 \cdot c) = \log_b (a^2) + \log_b c = 2\log_b a + \log_b c

şeklinde yazılır.

Çarpımın logaritması logaritmaların toplamına eşittir ve logaritması alınan sayının üssü başa katsayı olarak çarpan olarak geçer.

4

Birinci adımda elde edilen

\log_b a

ve

\log_b c

değerlerini yerlerine koyarak rasyonel işlemleri gerçekleştirin.

\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 3

bulunur.

İfadenin en sade sayısal değerini bulmak için.

Key Concept

Logaritma taban değiştirme kuralı (

\log_x y = \frac{1}{\log_y x}

ve

\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}

) ile çarpım ve üs özelliklerinin uygulanması.

Question 213Question →

Bir iletişim kanalının maksimum veri iletim kapasitesi

C

(bit/saniye) ve bu kanalın frekans genişliği

B

(Hertz) olmak üzere, sinyal gücünün gürültü gücüne oranı olan sinyal-gürültü oranı (

S/N

) ile kapasite arasındaki ilişki

C = B \cdot \log_2\left(1 + \frac{S}{N}\right)

formülüyle modellenmektedir.

Frekans genişliği $B = 3000\text{ Hz}$ olan bir iletişim kanalında, sinyal-gürültü oranı $\frac{S}{N} = 15$ iken veri iletim kapasitesi $C_1$ bit/saniyedir. Sinyal-gürültü oranı $x$ değerine çıkarıldığında veri iletim kapasitesi $C_2$ olmakta ve $C_2 - C_1 = 6000$ bit/saniye eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $x$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 63

Answer

Sinyal-gürültü oranının yeni değeri olan

x

, 63 olmalıdır.

Verilen Shannon-Hartley formülüne göre ilk durumdaki kapasite

C_1 = 3000 \cdot \log_2(1+15) = 12000

olarak hesaplanır. Kapasitedeki 6000'lik artışla

C_2 = 18000

elde edilir. Buradan

18000 = 3000 \cdot \log_2(1+x)

denklemi kurularak

\log_2(1+x) = 6

ve dolayısıyla

1+x = 64

sonucundan

x=63

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

İlk durumdaki

C_1

veri iletim kapasitesini hesaplama

C_1 = 12000

bit/saniye

Verilen

B = 3000

ve

\frac{S}{N} = 15

değerlerini formülde yerine koyarak başlangıçtaki kapasiteyi bulmak.

2

İkinci durumdaki

C_2

veri iletim kapasitesini bulma

C_2 = 18000

bit/saniye

Kapasiteler arasındaki farkın 6000 bit/saniye olduğu bilgisini kullanarak yeni kapasiteyi belirlemek.

3

Yeni sinyal-gürültü oranı olan

x

değerini çözme

x = 63

C_2

kapasitesini formüle eşitleyerek logaritma tanımı yardımıyla bilinmeyen

x

oranına ulaşmak.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun gerçek hayat problemlerine (bilgi teorisi ve veri iletim hızı) uygulanması ve logaritma özelliklerinin kullanılarak üstel denklemlerin çözülmesi.

Question 214Question →

\log_2 x - 2\log_x 8 = 5

eşitliğini sağlayan

x

gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Eşitliği sağlayan

x

gerçel sayılarının çarpımı 32'dir.

Verilen denklemde taban değiştirme kuralı uygulanıp

\log_2 x = t

dönüşümü yapıldığında

t^2 - 5t - 6 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri

t = 6

ve

t = -1

olduğundan,

x

değerleri sırasıyla

2^6 = 64

ve

2^{-1} = 1/2

olur. Bu iki değerin çarpımı bize 32 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Logaritmanın üs ve taban değiştirme özelliklerini uygulayarak denklemi tek bir değişken cinsinden ifade etmek.

\log_2 x - \frac{6}{\log_2 x} = 5

\log_x 8 = 3\log_x 2

eşitliği ve taban değiştirme kuralı olan

\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}

bağıntısı kullanılarak ortak bir

\log_2 x

terimi elde edilmiştir.

2

\log_2 x = t

dönüşümü yaparak ikinci dereceden denklemi kurmak ve çözmek.

t^2 - 5t - 6 = 0 \implies t_1 = 6, \quad t_2 = -1

Denklemi çözülebilir bir polinom formuna getirmek ve kök değerlerini saptamak amacıyla bu dönü��üm yapılmıştır.

3

Kökleri orijinal değişkene dönüştürmek, tanımlılık kontrolü yapmak ve köklerin çarpımını bulmak.

x_1 = 64, \quad x_2 = \frac{1}{2} \implies x_1 \cdot x_2 = 32

t

değerleri yerine yazılarak

x

değerleri bulunmuş ve bu değerlerin çarpımı elde edilmiştir.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Alternative Method

Denklemde taban değiştirme kuralı doğrudan uygulanmadan her iki taraf

\log_2 x

ile çarpılarak

(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x - 6 = 0

biçiminde de yazılabilir. Bu durumda doğrudan

\log_2 x

ifadesine bağlı çarpanlara ayırma yapılarak kökler bulunabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 215Question →

Sismologlar, bir depremin büyüklüğünü ölçmek için depremin odağından yayılan sismik enerjiyi kullanırlar. Bir depremin açığa çıkardığı enerji

E

(Joule cinsinden) ile depremin Richter ölçeğine göre büyüklüğü

M

arasındaki ilişki

\log E = 11,8 + 1,5M

formülüyle modellenmektedir.

Bir sismoloji istasyonunda kaydedilen X ve Y depremlerinden X depreminin açığa çıkardığı sismik enerji $10^{20,8}$ Joule, Y depreminin açığa çıkardığı sismik enerji ise $10^{17,8}$ Joule olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, X depreminin Richter ölçeğine göre büyüklüğü, Y depreminin Richter ölçeğine göre büyüklüğünden kaç fazladır?

1,5

2

3

4,5

5

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

X depreminin büyüklüğü, Y depreminin büyüklüğünden 2 fazladır.

X depreminin büyüklüğü 6, Y depreminin büyüklüğü ise 4 olarak hesaplanmıştır. İki depremin büyüklükleri arasındaki fark 6 - 4 = 2'dir.

Step-by-Step Solution

1

X depreminin enerjisi olan

E_X = 10^{20,8}

değerini formülde yerine yazarak X depreminin büyükl��ğünü (

M_X

) hesaplayalım.

\log(10^{20,8}) = 11,8 + 1,5 M_X

20,8 = 11,8 + 1,5 M_X

1,5 M_X = 9 \implies M_X = 6

bulunur.

X depreminin Richter ölçeğindeki büyüklüğünü belirlemek amacıyla bu işlem yapılır.

2

Y depreminin enerjisi olan

E_Y = 10^{17,8}

değerini formülde yerine yazarak Y depreminin büyüklüğünü (

M_Y

) hesaplayalım.

\log(10^{17,8}) = 11,8 + 1,5 M_Y

17,8 = 11,8 + 1,5 M_Y

1,5 M_Y = 6 \implies M_Y = 4

bulunur.

Y depreminin Richter ölçeğindeki büyüklüğünü belirlemek amacıyla bu işlem yapılır.

3

İki depremin büyüklükleri arasındaki farkı bulmak için

M_X - M_Y

çıkarma işlemini uygulayalım.

M_X - M_Y = 6 - 4 = 2

elde edilir.

X depreminin Y depreminden kaç birim daha büyük olduğunu bulmak amacıyla bu işlem gerçekleştirilir.

Key Concept

Gerçek hayat verilerini içeren logaritmik modellerde değişkenleri yerine yazarak denklemleri çözme ve üstel/logaritmik ifadeleri sadeleştirme.

Question 216Question →

$\log_{12} 3 = x$ olduğuna göre, $\log_{6} 8$ ifadesinin $x$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1-x}{1+x}

\frac{3+3x}{1-x}

\frac{3-3x}{1+x}

3-3x

\frac{2-2x}{1+x}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3-3x}{1+x}$

Answer

İtenen ifadenin verilen değişken cinsinden değeri olan

\frac{3-3x}{1+x}

ifadesidir.

Verilen eşitlikten taban değiştirme kuralı yardımıyla

\log_3 2 = \frac{1-x}{2x}

değeri elde edilir. İstenen

\log_6 8

ifadesi de 3 tabanına dönüştürülüp bu değer yerine yazıldığında doğru sonuç

\frac{3-3x}{1+x}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

\log_{12} 3 = x

ifadesine taban değiştirme kuralı uygulanarak 3 tabanında yazılır.

\log_3 12 = \frac{1}{x}

Değişkeni daha kolay çözümlenebilir bir tabana indirgemek amacıyla taban değiştirme yapılmıştır.

2

12 = 3 \cdot 2^2

çarpanlarına ayrılır ve logaritmanın çarpım özelliği kullanılarak ifade a��ılır.

\log_3 (3 \cdot 2^2) = \log_3 3 + \log_3 2^2 = 1 + 2\log_3 2 = \frac{1}{x}

İfadeyi

\log_3 2

cinsinden ifade edebilmek için logaritmanın ��arpım ve üs özellikleri kullanılmıştır.

3

Elde edilen denklemden

\log_3 2

ifadesi çekilir.

2\log_3 2 = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x} \implies \log_3 2 = \frac{1-x}{2x}

İstenen ifadenin hesaplanmasında kullanılmak üzere temel logaritmik değer

x

cinsinden yalnız bırakılmıştır.

4

İstenen

\log_6 8

ifadesi taban değiştirme kuralı uygulanarak 3 tabanına çevrilir.

\log_6 8 = \frac{\log_3 8}{\log_3 6} = \frac{\log_3 2^3}{\log_3 (2 \cdot 3)} = \frac{3\log_3 2}{\log_3 2 + 1}

İstenen ifadeyi, değeri bilinen

\log_3 2

cinsinden yazabilmek için uygun tabanda yeniden ifade edilmiştir.

5

Bulunan

\log_3 2 = \frac{1-x}{2x}

değeri yerine yazılarak rasyonel ifade sadeleştirilir.

\log_6 8 = \frac{3 \cdot \left(\frac{1-x}{2x}\right)}{\frac{1-x}{2x} + 1} = \frac{\frac{3(1-x)}{2x}}{\frac{1-x+2x}{2x}} = \frac{3(1-x)}{1+x} = \frac{3-3x}{1+x}

İfadenin en sade halini cebirsel işlemler yardımıyla bulmak için payda eşitleme ve sadeleştirme yapılmıştır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme özelliği ve logaritmanın çarpım/üs kurallarının uygulanması.

Question 217Question →

1'den büyük

x

ve

y

gerçel sayıları için,

\log_x (y \cdot x^2) + \log_y \left(\frac{x^9}{y^2}\right)

ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İfadenin alabileceği en küçük değer 6'dır.

Verilen ifade logaritma özellikleri yardımıyla sadeleştirildiğinde

\log_x y + 9\log_y x

ifadesine ulaşılır.

\log_x y = t

değişken değiştirmesi yapıldığında,

x > 1

ve

y > 1

koşullarından ötürü

t > 0

olur. Bu durumda ifade

t + \frac{9}{t}

biçimini alır. Pozitif sayılar için Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği (

a + b \ge 2\sqrt{ab}

) uygulandığında

t + \frac{9}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{9}{t}} = 6

elde edilir. Dolayısıyla ifadenin alabileceği en küçük değer 6'dır.

Step-by-Step Solution

1

Logaritmanın çarpım ve bölüm özelliklerini uygulayarak terimleri ayırın.

\log_x (y \cdot x^2) = \log_x y + 2

ve

\log_y \left(\frac{x^9}{y^2}\right) = 9\log_y x - 2

elde edilir.

Çarpım durumundaki argümanlar toplam, bölüm durumundakiler ise fark olarak yazılabilir.

2

Terimleri toplayarak ifadeyi sadeleştirin.

\log_x y + 9\log_y x

Sabit terimler olan

+2

ve

-2

birbirini götürür.

3

Taban değiştirme özelliğini uygulayarak değişken değiştirme yapın.

\log_x y = t

dersek,

\log_y x = \frac{1}{t}

olur. İfade

t + \frac{9}{t}

haline gelir.

x > 1

ve

y > 1

olduğu için

t > 0

'dır.

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

özelliği taban değiştirmede temel bir kuraldır.

4

Aritmetik ve Geometrik Ortalama eşitsizliğini (AGO) uygulayarak en küçük değeri bulun.

t + \frac{9}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{9}{t}} = 6

Pozitif gerçel sayılar için aritmetik ortalama her zaman geometrik ortalamadan büyük veya eşittir.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun çarpım, bölüm ve taban değiştirme özelliklerinin aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği ile birleştirilmesi.

Question 218Question →

1

'den farklı

a

ve

b

pozitif gerçel sayıları için

a \cdot b \neq 1

olmak üzere,

\log_a (a^2 \cdot b^3) = 8

olduğuna göre,

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2)

ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{8}{3}

\frac{7}{2}

\frac{7}{3}

6

7

Show answer & explanation

Answer: $\frac{7}{3}$

Answer

İfadenin değeri

\frac{7}{3}

'tür.

Doğru cevap

\frac{7}{3}

'tür. Verilen

\log_a (a^2 \cdot b^3) = 8

eşitliği

\log_a a^2 + \log_a b^3 = 8 \Rightarrow 2 + 3\log_a b = 8

şeklinde açılır ve buradan

\log_a b = 2

elde edilir. İstenen

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2)

ifadesi

a

tabanında yazıldığında

\frac{\log_a (a^3 b^2)}{\log_a (ab)} = \frac{3 + 2\log_a b}{1 + \log_a b}

olur. Burada

\log_a b = 2

yazıldığında sonuç

\frac{3+2(2)}{1+2} = \frac{7}{3}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen logaritmik eşitliği logaritmanın çarpım ve üs özellikleri yardımıyla sadeleştirmek.

\log_a (a^2 \cdot b^3) = \log_a a^2 + \log_a b^3 = 2 \cdot \log_a a + 3 \cdot \log_a b = 2 + 3\log_a b = 8

elde edilir. Buradan

3\log_a b = 6

ve nihayetinde

\log_a b = 2

bulunur.

İstenen ifadeyi

a

tabanında yazıp hesaplayabilmek için

\log_a b

değerine ulaşmak gerekir.

2

İstenen

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2)

ifadesine

a

tabanına göre taban değiştirme kuralı uygulamak.

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2) = \frac{\log_a (a^3 \cdot b^2)}{\log_a (ab)} = \frac{\log_a a^3 + \log_a b^2}{\log_a a + \log_a b} = \frac{3 \cdot \log_a a + 2 \cdot \log_a b}{\log_a a + \log_a b} = \frac{3 + 2\log_a b}{1 + \log_a b}

elde edilir.

Farklı tabandaki bir logaritmayı, değeri bilinen tabana dönüştürerek hesaplanabilir duruma getirmek.

3

Birinci adımda bulunan

\log_a b = 2

değerini ikinci adımda elde edilen rasyonel ifadede yerine yazmak.

\frac{3 + 2(2)}{1 + 2} = \frac{3 + 4}{3} = \frac{7}{3}

bulunur.

Logaritmik oranları sayısal sonuca ulaştırmak.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Question 219Question →

Bir nükleer reaktördeki güvenlik kalkanının kalınlığı $x$ santimetre olup, bu kalkandan dışarı sızan radyasyon miktarı $R(x)$ (milisievert/saat) olmak üzere,

R(x) = R_0 \cdot e^{-k \cdot x}

fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu formülde $R_0$ başlangıçtaki radyasyon miktarını, $k$ ise kalkanın yapıldığı malzemenin radyasyon soğurma katsayısını göstermektedir.

Bir güvenlik duvarı için $k = 0{}05 \text{ cm}^{-1}$ olan bir yalıtım malzemesi kullanılmıştır.

Buna göre, kalkan dışına sızan radyasyon miktarının başlangıçtaki radyasyon miktarına göre $\%80$ oranında azaltılması için kalkanın kalınlığı kaç santimetre olmalıdır?

( $\ln 5 \approx 1{}6$ alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Radyasyon miktarının başlangıçtaki değerine göre %80 oranında azaltılması için kalkanın kalınlığı 32 santimetre olmalıdır.

Kalkan dışına sızan radyasyon miktarının %80 azaltılması, geriye başlangıçtaki radyasyonun %20'sinin kalması anlamına gelir. Bu durumda

R(x) = 0{}2 \cdot R_0

olur. Formülde yerine yazıp sadeleştirdiğimizde

e^{-0{}05 x} = 0{}2

elde edilir. Her iki tarafın doğal logaritmasını aldığımızda

0{}05 x = \ln 5

olur.

\ln 5 \approx 1{}6

alındığında,

0{}05 x = 1{}6 \Rightarrow x = 32

cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kalan radyasyon oranını belirleme.

Geriye kalan radyasyon miktarı başlangıç değerinin %20'sidir (

R(x) = 0{}20 \cdot R_0

).

Soruda radyasyonun %80 oranında azaltılması istendiği için geriye kalan radyasyon miktarı %20 olmalıdır.

2

Model denkleminde verileri yerine yazma.

0{}20 \cdot R_0 = R_0 \cdot e^{-0{}05 \cdot x}

Radyasyon miktarı

R(x)

ve soğurma katsayısı

k = 0{}05

formüle yerleştirilir.

3

Denklemi sadeleştirme ve e tabanında logaritma alma.

5^{-1} = e^{-0{}05 \cdot x} \Rightarrow -\ln 5 = -0{}05 \cdot x

R_0 terimleri sadeleştirilir,

0{}20 = 5^{-1}

olarak yazılır ve her iki tarafın doğal logaritması alınır.

4

Kalınlık değerini hesaplama.

x = 32

\ln 5 \approx 1{}6

değeri yerine yazıldığında

1{}6 = 0{}05 \cdot x

elde edilir, buradan

x = 32

bulunur.

Key Concept

Üstel fonksiyonların logaritma yardımıyla çözülmesi ve gerçek hayat problemlerine uygulanması.

Alternative Method

Alternatif olarak,

0{}2 = e^{-0{}05 x}

denklemi

5 = e^{0{}05 x}

biçiminde yazılabilir. Her iki tarafın doğal logaritma tanımı kullanılarak doğrudan

0{}05 x = \ln 5

eşitliğine ulaşılır.

Estimated Time:2m 0s

Question 220Question →

Hermann Ebbinghaus’un unutma eğrisi modeline göre, yeni öğrenilen bir konunun

t

gün sonra hatırlanma yüzdesi

P(t)

olmak üzere,

P(t) = 90 + 40 \log_{\frac{1}{3}}(t + 1)

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, yeni öğrenilen bir konunun hatırlanma yüzdesinin %10 veya daha fazla olması için geçen süre ( $t$ gün) aşağıdaki aralıkların hangisinde yer almalıdır?

[8, \infty)

[0, 9]

[0, 8]

(-1, 8]

(-\infty, 8]

Show answer & explanation

Answer: $[0, 8]$

Answer

Hatırlanma yüzdesinin %10 veya daha fazla olması için geçen süre

[0, 8]

aralığında yer almalıdır.

Doğru cevap olan

[0, 8]

aralığı,

P(t) \geq 10

eşitsizliğinin doğru çözülmesiyle elde edilir. Taban basit kesir olduğundan eşitsizlik yön değiştirir ve

t \leq 8

bulunur. Zaman negatif olamayacağı için alt sınır

0

olarak belirlenir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizliği kurma ve düzenleme

\log_{\frac{1}{3}}(t + 1) \geq -2

Hatırlanma yüzdesinin %10 veya daha fazla olması istendiğinden

P(t) \geq 10

yazılır.

90 + 40 \log_{\frac{1}{3}}(t + 1) \geq 10 \implies 40 \log_{\frac{1}{3}}(t + 1) \geq -80 \implies \log_{\frac{1}{3}}(t + 1) \geq -2

elde edilir.

2

Eşitsizliği çözme ve taban özelliğini kullanma

t \leq 8

Logaritmanın tabanı olan

\frac{1}{3}

basit kesir olduğundan (

0 < \frac{1}{3} < 1

), logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir:

t + 1 \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \implies t + 1 \leq 9 \implies t \leq 8

bulunur.

3

Tanım kümesi ve gerçek hayat kısıtlarını uygulama

0 \leq t \leq 8

Logaritmanın tanımlı olması için

t + 1 > 0 \implies t > -1

olmalıdır. Ayrıca gerçek hayat kısıtı olarak geçen zaman negatif olamayacağından

t \geq 0

olmalıdır. Bu koşullarla

t \leq 8

eşitsizliğinin kesişimi alınarak

[0, 8]

aralığı bulunur.

Key Concept

Üstel ve logaritmik modellerin gerçek hayat kısıtları ve basit kesir tabanlı eşitsizliklerin çözümü

Estimated Time:2m 0s

Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method