Examkin

Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar

235 questions

All types235Multiple choice119True / False24Numeric92
Question 121Question →
f(x)=log⁡12−x(x2−5x−14x−4)f(x) = \log_{12 - x}\left(\frac{x^2 - 5x - 14}{x - 4}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 32'dir.
Logaritma tanımı gereğince, taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır (12−x>012-x>0 ve 12−x≠1  ⟹  x<1212-x \neq 1 \implies x < 12 ve x≠11x \neq 11). Logaritması alınan ifade de pozitif olmalıdır (x2−5x−14x−4>0\frac{x^2-5x-14}{x-4} > 0). Bu rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesi işaret tablosundan (−2,4)∪(7,∞)(-2, 4) \cup (7, \infty) olarak bulunur. Bu iki koşul kümesinin kesişimi (−2,4)∪(7,12)∖{11}(-2, 4) \cup (7, 12) \setminus \{11\} aralığını verir. Bu aralıktaki tam sayılar −1,0,1,2,3,8,9,10-1, 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10 olup toplamları 3232'dir.

Step-by-Step Solution

1
Tabanın pozitiflik ve 1'den farklı olma koşullarını inceleme.
x<12x < 12 ve x≠11x \neq 11
Bir logaritma fonksiyonunda taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Logaritması alınan ifadenin köklerini bulma.
Payın kökleri x=−2x = -2 ve x=7x = 7, paydanın kökü x=4x = 4
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturabilmek için kritik noktalar belirlenmelidir.
3
Rasyonel ifadenin işaret tablosunu oluşturma ve pozitif bölgeleri belirleme.
x∈(−2,4)∪(7,∞)x \in (-2, 4) \cup (7, \infty)
Logaritması alınan ifadenin tanımlı olabilmesi için pozitif olması gerekir.
4
Tüm koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini belirleme.
x∈(−2,4)∪(7,12)∖{11}x \in (-2, 4) \cup (7, 12) \setminus \{11\}
Hem tabanın hem de logaritması alınan ifadenin aynı anda tanımlı olması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları belirleme ve toplama.
Tam sayılar: −1,0,1,2,3,8,9,10-1, 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10 ve toplamları: 3232
Soruda istenen en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamıdır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir. Bu koşullar rasyonel eşitsizliklerin işaret incelemesiyle birleştirilerek en geniş tanım kümesi bulunur.
Question 122Question →
log⁡2(x−2)+log⁡2(x+2)=log⁡2(3x+6)\log_2(x - 2) + \log_2(x + 2) = \log_2(3x + 6)

denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesinin elemanlarının toplamı 5'tir.
Denklem, logaritmanın çarpım kuralı kullanılarak düzenlendiğinde ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemin kökleri 5 ve -2 olarak bulunur. Ancak logaritma tanım kümesi gereği x > 2 olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek kök 5 olduğundan çözüm kümesinin elemanları toplamı 5 olur.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirleyin.
x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2, x+2>0  ⟹  x>−2x + 2 > 0 \implies x > -2 ve 3x+6>0  ⟹  x>−23x + 6 > 0 \implies x > -2 şartlarının kesişiminden ortak tanım kümesi x>2x > 2 olarak elde edilir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının ve içinin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmanın toplama özelliğini uygulayarak sol tarafı tek bir logaritma altında birleştirin.
log⁡2((x−2)(x+2))=log⁡2(3x+6)\log_2((x - 2)(x + 2)) = \log_2(3x + 6)
log⁡2(x2−4)=log⁡2(3x+6)\log_2(x^2 - 4) = \log_2(3x + 6)
log⁡a(u)+log⁡a(v)=log⁡a(u⋅v)\log_a(u) + \log_a(v) = \log_a(u \cdot v) kuralı uygulanarak denklem sadeleştirilir.
3
Logaritma tabanları eşit olduğu için ifadelerin içlerini birbirine eşitleyerek oluşan ikinci dereceden denklemi çözün.
x2−4=3x+6x^2 - 4 = 3x + 6
x2−3x−10=0x^2 - 3x - 10 = 0
(x−5)(x+2)=0(x - 5)(x + 2) = 0
Buradan x=5x = 5 veya x=−2x = -2 elde edilir.
log⁡a(f(x))=log⁡a(g(x))  ⟹  f(x)=g(x)\log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) \implies f(x) = g(x) kuralı gereği içler eşitlenir ve çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
4
Bulunan köklerin birinci adımda elde edilen ortak tanım kümesine uygunluğunu kontrol edin ve çözüm kümesini yazın.
x=5x = 5 değeri x>2x > 2 şartını sağladığı için çözüm kümesine dahil edilir. x=−2x = -2 değeri ise x>2x > 2 şartını sağlamadığı için (logaritmanın içini sıfır yaptığı için) çözüm kümesine alınamaz. Çözüm kümesi {5}\{5\} olup elemanlar toplamı 55 olur.
Cebirsel olarak bulunan köklerin başlangıçtaki logaritmik ifadeleri tanımlı kılması zorunludur.

Key Concept

Logaritmik Denklemlerin Çözümü ve Tanım Kümesi Kontrolü

Alternative Method

Denklemin sağ tarafında yer alan 3x+63x+6 ifadesi 3(x+2)3(x+2) şeklinde yazılabilir. Buradan çarpımın logaritması kuralı ile log⁡2(3x+6)=log⁡23+log⁡2(x+2)\log_2(3x+6) = \log_2 3 + \log_2(x+2) elde edilir. Eşitliğin her iki tarafındaki log⁡2(x+2)\log_2(x+2) terimleri sadeleştirilerek doğrudan log⁡2(x−2)=log⁡23\log_2(x-2) = \log_2 3 denklemine ve buradan da x−2=3  ⟹  x=5x - 2 = 3 \implies x = 5 sonucuna ulaşılarak tanım kümesini ihlal etmeyen kök doğrudan bulunabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 123Question →
log⁡2(x2−x)=log⁡4(9x2)\log_2(x^2 - x) = \log_4(9x^2)

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -8

Answer

Denklemi sağlayan gerçel sayıların çarpımı -8'dir.
Denklemin çözümü sonucunda elde edilen gerçel kökler olan -2 ve 4 değerlerinin çarpımı -8 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma tabanlarını eşitlemek
log⁡4(9x2)=log⁡2(3∣x∣)\log_4(9x^2) = \log_2(3|x|)
Denklemin her iki tarafındaki ifadelerin tabanlarını aynı yaparak argümanları karşılaştırabilmek.
2
Tanım kümesini belirlemek
x<0x < 0 veya x>1x > 1 (x≠0x \neq 0)
Logaritma argümanlarının sıfırdan büyük olması gerektiğinden, bulunacak köklerin bu aralıkta olduğunu doğrulamak.
3
Denklemi mutlak değerli olarak düzenlemek
x2−x=3∣x∣x^2 - x = 3|x|
Tabanları eşit olan logaritmaların argümanlarını eşitlemek.
4
x>1x > 1 için denklemi çözmek
x=4x = 4
Mutlak değer dışına xx pozitif olarak çıkacağı için denklemi çözmek ve tanım kümesine uygun kökü seçmek.
5
x<0x < 0 için denklemi çözmek
x=−2x = -2
Mutlak değer dışına xx negatif olarak çıkacağı için denklemi çözmek ve tanım kümesine uygun kökü seçmek.
6
Köklerin çarpımını bulmak
4⋅(−2)=−84 \cdot (-2) = -8
Soruda bizden istenen kökler çarpımını hesaplamak.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin çözümü ve logaritma tanım kümesi kontrolü.
Question 124Question →
log⁡13(x−2)+1log⁡2(x2−7x+12)−1≤0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 1}{\log_2(x^2 - 7x + 12) - 1} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük üç farklı xx tam sayısının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Eşitsizliği sağlayan en küçük üç farklı tam sayının toplamı 21'dir.
Doğru olan seçenekteki 21 cevabı, eşitsizliğin en geniş tanım kümesi ve paydanın sıfır olamayacağı koşulları dikkate alınarak bulunan en geniş çözüm kümesindeki en küçük üç tam sayının (6, 7 ve 8) toplamıdır. Payın kökü olan 5 değeri aynı zamanda paydayı da sıfır yaptığından tanımsızlık yaratır ve çözüm kümesine dahil edilemez.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olması için gerekli olan tanım kümelerini belirleyin.
Paydaki log⁡13(x−2)\log_{\frac{1}{3}}(x-2) için x−2>0⇒x>2x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 olmalıdır. Paydadaki log⁡2(x2−7x+12)\log_2(x^2-7x+12) için x2−7x+12>0⇒(x−3)(x−4)>0⇒x<3x^2-7x+12 > 0 \Rightarrow (x-3)(x-4) > 0 \Rightarrow x < 3 veya x>4x > 4 olmalıdır. Bu iki kümenin kesişiminden ifadenin tanımlı olduğu en geniş küme x∈(2,3)∪(4,∞)x \in (2, 3) \cup (4, \infty) olarak bulunur.
Logaritmik ifadelerin gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için logaritmanın içinin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Paydanın sıfır olamayacağı koşulunu inceleyin.
log⁡2(x2−7x+12)−1≠0⇒log⁡2(x2−7x+12)≠1⇒x2−7x+12≠2⇒x2−7x+10≠0⇒(x−2)(x−5)≠0\log_2(x^2 - 7x + 12) - 1 \neq 0 \Rightarrow \log_2(x^2 - 7x + 12) \neq 1 \Rightarrow x^2 - 7x + 12 \neq 2 \Rightarrow x^2 - 7x + 10 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x-5) \neq 0 olur. Buradan x≠2x \neq 2 ve x≠5x \neq 5 elde edilir.
Rasyonel bir ifadenin paydası sıfır olduğunda ifade tanımsız olur, bu nedenle paydanın kökleri çözüm kümesine dahil edilemez.
3
Pay ve paydanın işaretlerini belirlemek için köklerini bulun ve işaret tablosu oluşturun.
Payın kökü: log⁡13(x−2)+1=0⇒log⁡13(x−2)=−1⇒x−2=3⇒x=5\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 1 = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}}(x-2) = -1 \Rightarrow x-2 = 3 \Rightarrow x = 5 bulunur. Paydanın kökleri: x=2x = 2 ve x=5x = 5 idi. Tanım kümesi sınırları x=2x = 2, x=3x = 3, x=4x = 4 ve kök olan x=5x = 5 noktalarına göre işaret tablosu yapılır. Pay x∈(2,5)x \in (2, 5) için pozitif, x>5x > 5 için negatiftir. Payda ise x∈(2,3)∪(4,5)x \in (2, 3) \cup (4, 5) için negatif, x>5x > 5 için pozitiftir. Bu durumda rasyonel ifadenin işareti x∈(2,3)∪(4,5)∪(5,∞)x \in (2, 3) \cup (4, 5) \cup (5, \infty) aralıklarının tamamında negatif (< 0) olur.
Eşitsizliğin yönünü belirlemek ve çözüm kümesini bulmak için pay ve paydanın ortak işaret tablosu incelenmelidir.
4
Eşitsizliği sağlayan tam sayıları listeleyin ve en küçük üçünün toplamını hesaplayın.
Çözüm kümesi (2,3)∪(4,5)∪(5,∞)(2, 3) \cup (4, 5) \cup (5, \infty) aralıklarından oluşur. (2,3)(2, 3) ve (4,5)(4, 5) aralıklarında hiçbir tam sayı yoktur. (5,∞)(5, \infty) aralığındaki tam sayılar ise 6,7,8,9,…6, 7, 8, 9, \dots şeklindedir. Eşitsizliği sağlayan en küçük üç farklı tam sayı 6, 7 ve 8'dir. Bu sayıların toplamı 6+7+8=216 + 7 + 8 = 21 olarak bulunur.
Elde edilen en geniş çözüm kümesindeki tam sayılar tespit edilerek soruda istenen toplam hesaplanır.

Key Concept

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Estimated Time:3m 0s
Question 125Question →
1'den farklı aa, bb ve cc pozitif gerçel sayılar�� için
3log⁡ab+2log⁡bc=83\log_a b + 2\log_b c = 8
log⁡ba+log⁡cb=32\log_b a + \log_c b = \frac{3}{2}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡ac\log_a c ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 11827\frac{118}{27}

Answer

11827\frac{118}{27}
Verilen denklem sisteminde logaritmaların taban değiştirme özellikleri kullanılarak değişken dönüştürme yapıldığında, log⁡ac\log_a c ifadesinin alabileceği değerler 22 ve 6427\frac{64}{27} olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 11827\frac{118}{27}'dir.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma ifadeleri için değişken dönüşümü tanımlama.
log⁡ab=x\log_a b = x ve log⁡bc=y\log_b c = y olsun. Bu durumda taban değiştirme kuralı gereğince log⁡ba=1x\log_b a = \frac{1}{x} ve log⁡cb=1y\log_c b = \frac{1}{y} olur.
Denklem sistemini bilinmeyenleri xx ve yy olan cebirsel bir sisteme dönüştürmek için.
2
Verilen eşitlikleri yeni değişkenler cinsinden yazma.
3x+2y=83x + 2y = 8 ve 1x+1y=32\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} denklem sistemi elde edilir.
Çözüm adımlarına geçebilmek için cebirsel ifadeleri düzenlemek.
3
Elde edilen denklem sistemini çözme.
2y=8−3x  ⟹  y=4−32x2y = 8 - 3x \implies y = 4 - \frac{3}{2}x ifadesini ikinci denklemde yerine koyup düzenlediğimizde 9x2−26x+16=09x^2 - 26x + 16 = 0 denklemi elde edilir.
Tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem elde etmek için yerine koyma metodunu uygulamak.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bulma ve yy değerlerini hesaplama.
(x−2)(9x−8)=0(x - 2)(9x - 8) = 0 denkleminin kökleri x1=2x_1 = 2 ve x2=89x_2 = \frac{8}{9}'dur. Buradan sırasıyla y1=1y_1 = 1 ve y2=83y_2 = \frac{8}{3} bulunur.
Her iki durum için log⁡ab\log_a b ve log⁡bc\log_b c değerlerini ayrı ayrı belirlemek.
5
log⁡ac\log_a c ifadesinin değerlerini hesaplama ve toplama.
Taban değiştirme zincir kuralına göre log⁡ac=log⁡ab⋅log⁡bc=x⋅y\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c = x \cdot y olur. Birinci durumdan 2⋅1=22 \cdot 1 = 2, ikinci durumdan 89⋅83=6427\frac{8}{9} \cdot \frac{8}{3} = \frac{64}{27} bulunur. Bu değerlerin toplamı 2+6427=118272 + \frac{64}{27} = \frac{118}{27} yapar.
İstenen toplam değerine ulaşmak.

Key Concept

Logaritma taban değiştirme kuralı ve zincir kuralı uygulamaları.
Estimated Time:3m 0s
Question 126Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡12(x2−2x)≥log⁡12(x+4)\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 66'dır.
Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen önerme doğrudur.
Doğru çözüm adımları uygulandığında, logaritmanın tanım kümesi olan (−4,0)∪(2,∞)(-4, 0) \cup (2, \infty) ile yön değiştirilerek çözülen [−1,4][-1, 4] aralığının kesişimi [−1,0)∪(2,4][-1, 0) \cup (2, 4] olur. Bu kümedeki tam sayılar {−1,3,4}\{-1, 3, 4\} olup toplamları gerçekten 66'dır. Dolayısıyla önerme doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma fonksiyonlarının tanıml�� olması için gerekli koşullar (tanım kümeleri) belirlenir.
x2−2x>0  ⟹  x(x−2)>0  ⟹  x<0x^2 - 2x > 0 \implies x(x-2) > 0 \implies x < 0 veya x>2x > 2
x+4>0  ⟹  x>−4x + 4 > 0 \implies x > -4
Ortak tanım kümesi: D=(−4,0)∪(2,∞)D = (-4, 0) \cup (2, \infty) olur.
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif gerçel sayılar olması gerekir.
2
Logaritma tabanı incelenerek cebirsel eşitsizlik çözülür.
Taban 12\frac{1}{2} (0<12<10 < \frac{1}{2} < 1) olduğundan azalanlık özelliği gereği eşitsizlik yön değiştirir:
x2−2x≤x+4  ⟹  x2−3x−4≤0  ⟹  (x−4)(x+1)≤0  ⟹  −1≤x≤4x^2 - 2x \leq x + 4 \implies x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x - 4)(x + 1) \leq 0 \implies -1 \leq x \leq 4
Basit eşitsizliklerde taban 1'den küçük pozitif bir sayı olduğunda logaritma içi ifadeler karşılaştırılırken yön değiştirilir.
3
Elde edilen çözüm kümesi ile tanım kümesi kesiştirilir.
[−1,4]∩((−4,0)∪(2,∞))=[−1,0)∪(2,4][-1, 4] \cap ((-4, 0) \cup (2, \infty)) = [-1, 0) \cup (2, 4]
Eşitsizliği sağlayan değerlerin aynı zamanda fonksiyonu tanımlı kılması şarttır.
4
Kesişim kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
[−1,0)[-1, 0) aralığındaki tam sayı: −1-1
(2,4](2, 4] aralığındaki tam sayılar: 3,43, 4
Toplam: (−1)+3+4=6(-1) + 3 + 4 = 6
Sağlayan tam sayıların toplamı 66 olarak bulunur.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve logaritmanın en geniş tanım kümesi sınırlamalarının çözüme dahil edilmesi.
Question 127Question →
Sabit 20∘C20^\circ\text{C} sıcaklıktaki bir laboratuvar ortamında bulunan iki farklı kimyasal sıvının sıcaklıklarının zamana göre değişimi incelenmektedir. A sıvısının tt dakika sonraki sıcaklığı TA(t)=20+64⋅4−atT_A(t) = 20 + 64 \cdot 4^{-at} B sıvısının tt dakika sonraki sıcaklığı TB(t)=20+128⋅8−btT_B(t) = 20 + 128 \cdot 8^{-bt} fonksiyonları ile modellenmiştir (burada aa ve bb pozitif sabitlerdir). Deneyin başlangıcından 55 dakika sonra her iki sıvının sıcaklığı da 36∘C36^\circ\text{C} olarak ölçülmüştür. Buna göre, deneyin başlangıcından kaç dakika sonra B sıvısının sıcaklığı, A sıvısının sıcaklığının 14\frac{1}{4}'ünden 16∘C16^\circ\text{C} fazla olur?
Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Deneyin başlangıcından 10 dakika sonra B sıvısının sıcaklığı, A sıvısının sıcaklığının 1/4'ünden 16°C fazla olur.
Sıvıların sıcaklık modellerindeki bilinmeyen katsayılar başlangıç verileriyle a=1/5a=1/5 ve b=1/5b=1/5 olarak belirlenir. İstenen sıcaklık eşitliği kurulup y=2−t/5y = 2^{-t/5} dönüşümü yapıldığında 128y3−16y2−1=0128y^3 - 16y^2 - 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (4y−1)(32y2+4y+1)=0(4y-1)(32y^2+4y+1)=0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. İkinci çarpanın reel kökü olmadığından 4y−1=0  ⟹  y=1/44y-1=0 \implies y=1/4 tek çözümdür. Buradan 2−t/5=2−2  ⟹  t=102^{-t/5} = 2^{-2} \implies t = 10 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
A ve B sıvılarının sıcaklık modellerindeki aa ve bb katsayılarını bulunuz.
a=15a = \frac{1}{5} ve b=15b = \frac{1}{5} olarak bulunur.
t=5t=5 anında her iki sıvının sıcaklığının 36∘C36^\circ\text{C} olduğu bilgisi kullanılarak üstel denklemler çözülür.
2
B sıvısının sıcaklığının, A sıvısının sıcaklığının 14\frac{1}{4}'ünden 16∘C16^\circ\text{C} fazla olduğu anı veren denklemi kurunuz.
20+128⋅8−t/5=14(20+64⋅4−t/5)+1620 + 128 \cdot 8^{-t/5} = \frac{1}{4}(20 + 64 \cdot 4^{-t/5}) + 16 denklemi elde edilir.
Soruda verilen sözel ilişki matematiksel eşitliğe dökülür.
3
y=2−t/5y = 2^{-t/5} dönüşümü yaparak elde edilen üçüncü dereceden denklemi çarpanlarına ayırıp çözünüz.
y=14y = \frac{1}{4} tek gerçek kök olarak bulunur.
128y3−16y2−1=0  ⟹  (4y−1)(32y2+4y+1)=0128y^3 - 16y^2 - 1 = 0 \implies (4y - 1)(32y^2 + 4y + 1) = 0 eşitliğinde ikinci çarpanın gerçel kökü yoktur.
4
yy değerini kullanarak tt süresini hesaplayınız.
t=10t = 10 dakika olarak bulunur.
2−t/5=14=2−22^{-t/5} = \frac{1}{4} = 2^{-2} temel logaritmik/üstel eşitliği çözülür.

Key Concept

Üstel fonksiyon modellerinde değişken değiştirme yöntemi kullanılarak çok terimli denklemlerin çözülmesi.
Question 128Question →
log⁡2x−3log⁡x2=2\log_2 x - 3\log_x 2 = 2

denkleminin gerçel köklerinin çarpımı 44'tür.

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen logaritmik denklemde taban değiştirme özelliği kullanılıp ikinci dereceden denklem dönüşümü yapıldığında köklerin x=8x = 8 ve x=12x = \frac{1}{2} olduğu belirlenir. Bu köklerin çarpımı 44 olduğundan önerme doğrudur.
Denklemde taban değiştirme ve değişken değiştirme adımları uygulandığında köklerin x=8x = 8 ve x=12x = \frac{1}{2} olduğu saptanır. Bu köklerin her ikisi de logaritma tanım kümelerine uygundur ve çarpımları 44 değerini vermektedir. Bu nedenle önerme doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma taban değiştirme özelliğini kullanarak denklemi aynı tabanda terimler içerecek şekilde düzenleyin.
log⁡x2=1log⁡2x\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} eşitliği yazılır.
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabana indirgeyerek işlem kolaylığı sağlamak için.
2
log⁡2x=t\log_2 x = t dönüşümü yaparak denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna getirin ve çözün.
t−3t=2  ⟹  t2−2t−3=0t - \frac{3}{t} = 2 \implies t^2 - 2t - 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına (t−3)(t+1)=0(t-3)(t+1) = 0 şeklinde ayrılır ve kökler t=3t = 3 ile t=−1t = -1 olarak bulunur.
Rasyonel denklemi polinom denklemine dönüştürüp köklerini bulmak için.
3
Bulunan tt değerlerini kullanarak orijinal xx değişkenini elde edin ve tanımlılık şartlarına göre kontrol edin.
log⁡2x=3  ⟹  x=23=8\log_2 x = 3 \implies x = 2^3 = 8
log⁡2x=−1  ⟹  x=2−1=12\log_2 x = -1 \implies x = 2^{-1} = \frac{1}{2}
Logaritma tanım kuralları gereği taban olan xx ifadesi x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 şartlarını sağlamalıdır. Bulunan 88 ve 12\frac{1}{2} değerlerinin her ikisi de bu şartlara uyar. Köklerin çarpımı ise 8⋅12=48 \cdot \frac{1}{2} = 4 olarak bulunur.
Denklemin geçerli gerçel köklerini saptamak ve bunların çarpımını hesaplamak için.

Key Concept

Logaritmik denklemlerde taban değiştirme ve değişken değiştirme yöntemi
Question 129Question →
1'den farklı xx ve yy pozitif tam sayıları için,
log⁡2x+log⁡x8=log⁡3y+log⁡y27\log_2 x + \log_x 8 = \log_3 y + \log_y 27
xy=218x^y = 2^{18}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡6(x⋅y)\log_6(x \cdot y) ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İfadenin değeri 2'dir.
Denklemin çarpanlara ayrılmasıyla elde edilen u=vu=v durumundan x=4x=4 ve y=9y=9 tam sayı değerleri bulunur. Bu değerlerin çarpımı 36 olup, 6 tabanındaki logaritması log⁡6(36)=2\log_6(36) = 2 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Değişken tanımlaması ve taban değiştirme kuralının uygulanması
u=log⁡2xu = \log_2 x ve v=log⁡3yv = \log_3 y alınarak log⁡x8=3u\log_x 8 = \frac{3}{u} ve log⁡y27=3v\log_y 27 = \frac{3}{v} yazılır.
Logaritmik ifadeleri ortak değişkenler cinsinden ifade ederek sadeleştirmek.
2
İlk denklemin düzenlenmesi ve çarpanlara ayrılması
u−v+3(v−u)uv=0  ⟹  (u−v)(1−3uv)=0u - v + \frac{3(v-u)}{uv} = 0 \implies (u - v)\left(1 - \frac{3}{uv}\right) = 0 elde edilir.
Denklemin çözümlerini iki ayrı duruma indirgemek.
3
Eşitlik durumunun (u=vu = v) çözülmesi
k⋅3k=18  ⟹  k=2k \cdot 3^k = 18 \implies k = 2 bulunur. Buradan x=22=4x = 2^2 = 4 ve y=32=9y = 3^2 = 9 elde edilir.
Pozitif tam sayı kısıtlamasına uygun ilk çözüm kümesini bulmak.
4
Diğer durumun (uv=3uv = 3) tam sayı çözümlerinin kontrol edilmesi
y=6log⁡3yy = 6\log_3 y denkleminin 1'den farklı pozitif tam sayı çözümü olmadığı gösterilir.
Olası tüm durumları inceleyerek çözümün tekliğini garantilemek.
5
İstenen değerin hesaplanması
log⁡6(4⋅9)=log⁡6(36)=2\log_6(4 \cdot 9) = \log_6(36) = 2 elde edilir.
Bulunan xx ve yy değerlerini hedef ifadede yerine yazmak.

Key Concept

Logaritma fonksiyonlarında taban değiştirme, kuvveti başa alma kuralları ve logaritmik denklem sistemlerinin analitik çözümü.
Question 130Question →
f(x)=log⁡3(x2−x−12x2−9x+14)+log⁡x(10−x)f(x) = \log_{3}\left(\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9x + 14}\right) + \log_{x}(10-x)

fonksiyonunu tanımlı kılan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Fonksiyonu tanımlı kılan xx tam sayılarının toplamı 20'dir.
Logaritma tanımlılık şartlarından elde edilen x>0x > 0, x≠1x \neq 1, x<10x < 10 ve x2−x−12x2−9x+14>0\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9x + 14} > 0 koşullarının ortak çözüm kümesi (2,4)∪(7,10)(2, 4) \cup (7, 10) açık aralıklarının birleşimidir. Bu aralıklardaki tam sayılar sırasıyla 3, 8 ve 9 olup toplamları 20 değerini vermektedir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci logaritma teriminin tanımlı olması için logaritma içinin pozitif olması koşulunu yazma
x2−x−12x2−9x+14>0\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9x + 14} > 0 eşitsizliği elde edilir.
Logaritma fonksiyonunun tanımı gere��i, içindeki ifadenin daima sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Eşitsizliğin pay ve paydasındaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak kökleri bulma
Pay: x2−x−12=(x−4)(x+3)=0  ⟹  x=−3x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) = 0 \implies x = -3 ve x=4x = 4.
Payda: x2−9x+14=(x−2)(x−7)=0  ⟹  x=2x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7) = 0 \implies x = 2 ve x=7x = 7 kökleri bulunur.
İşaret tablosu oluşturabilmek için pay ve paydanın sıfır noktalarını belirlemek gerekir.
3
Elde edilen köklerle işaret tablosunu oluşturup pozitif bölgeleri belirleme
Birinci terimin en geniş tanım kümesi: x∈(−∞,−3)∪(2,4)∪(7,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (2, 4) \cup (7, \infty) olarak bulunur.
Kökler tabloda sıralanıp en sağdan ++ işaretiyle başlanarak işaret değişimi yapıldığında pozitif bölgeler bu şekilde elde edilir.
4
İkinci logaritma terimi olan log⁡x(10−x)\log_{x}(10-x) için tanımlılık koşullarını belirleme
Taban için: x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1.
İç kısım için: 10−x>0  ⟹  x<1010 - x > 0 \implies x < 10.
Buradan ikinci terimin tanım kümesi: x∈(0,10)∖{1}x \in (0, 10) \setminus \{1\} olur.
Logaritma fonksiyonunun tabanı pozitif ve 1'den farklı, içi ise pozitif olmak zorundadır.
5
Her iki terimin tanımlı olduğu aralıkların kesişimini alma
((−∞,−3)∪(2,4)∪(7,∞))∩((0,10)∖{1})=(2,4)∪(7,10)\left((-\infty, -3) \cup (2, 4) \cup (7, \infty)\right) \cap \left((0, 10) \setminus \{1\}\right) = (2, 4) \cup (7, 10) aralığı elde edilir.
Toplama işleminin tanımlı olabilmesi için her iki logaritma fonksiyonunun da eş zamanlı tanımlı olması gerekir.
6
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini belirleyip toplama
Aralıktaki tam sayılar 3,83, 8 ve 99'dur. Toplamları ise 3+8+9=203 + 8 + 9 = 20 olur.
Açık aralık uç değerleri (2,4,7,102, 4, 7, 10) tanım kümesine dahil edilmez.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aranırken tabanın pozitif ve 1'den farklı olması, logaritmanın içinin ise sıfırdan büyük olması koşulları aynı anda sağlanmalıdır.
Question 131Question →
log⁡2(2x+6)=2x−3\log_2(2^x + 6) = 2x - 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 2+log⁡232 + \log_2 3

Answer

İki artı logaritma iki tabanında üç
Verilen denklem düzenlendiğinde 2x+6=(2x)282^x + 6 = \frac{(2^x)^2}{8} ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemde 2x=t2^x = t dönüşümü yapıldığında t2−8t−48=0t^2 - 8t - 48 = 0 bulunur. Bu denklemin pozitif kökü t=12t = 12 olduğundan 2x=122^x = 12 eşitliği kurulur. Buradan x=log⁡212=2+log⁡23x = \log_2 12 = 2 + \log_2 3 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Logaritmalı denklemi, logaritma tanımını kullanarak üstel forma dönüştürün.
2x+6=22x−32^x + 6 = 2^{2x - 3}
Logaritma tanımı gereğince log⁡a(b)=c  ⟺  b=ac\log_a(b) = c \iff b = a^c eşitliği uygulanır.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki üstel ifadeyi taban özellikleri yardımıyla düzenleyin.
22x−3=22x23=(2x)282^{2x - 3} = \frac{2^{2x}}{2^3} = \frac{(2^x)^2}{8}
Tabanları aynı olan üslü ifadelerde bölme ve üssün üssü kuralları uygulanarak değişken de��iştirilmeye uygun hale getirilir.
3
2x=t2^x = t değişken değiştirmesini yapın (burada t>0t > 0 olmalıdır).
t+6=t28  ⟹  t2−8t−48=0t + 6 = \frac{t^2}{8} \implies t^2 - 8t - 48 = 0
İfadeyi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürerek ç��zümü kolaylaştırmak amaçlanır.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulun.
(t−12)(t+4)=0  ⟹  t=12 veya t=−4(t - 12)(t + 4) = 0 \implies t = 12 \text{ veya } t = -4
Çarpımları −48-48 ve toplamları −8-8 olan iki sayı belirlenerek denklem çarpanlarına ayrılır.
5
Değişken değiştirme koşuluna göre kökleri kontrol edin.
t=12  ⟹  2x=12t = 12 \implies 2^x = 12
2x2^x üstel ifadesi her xx gerçel sayısı için daima pozitif olmak zorundadır. Bu nedenle t=−4t = -4 kökü (2x=−42^x = -4) çözüm kümesine dahil edilemez.
6
2x=122^x = 12 eşitliğini logaritma yardımıyla çözün ve sadeleştirin.
x=log⁡212=log⁡2(4⋅3)=log⁡24+log⁡23=2+log⁡23x = \log_2 12 = \log_2(4 \cdot 3) = \log_2 4 + \log_2 3 = 2 + \log_2 3
Logaritmanın çarpım kuralı (log⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y) kullanılarak ifade sade bir forma dönüştürülür.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin üstel formlara dönüştürülmesi, değişken değiştirme yöntemiyle ikinci dereceden denklem analizi ve üstel ifadelerin tanım kümesi sınırlamaları.

Alternative Method

Denklemde seçenekler tek tek xx yerine yazılarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir. Doğru cevap olan x=2+log⁡23=log⁡212x = 2 + \log_2 3 = \log_2 12 değeri denklemde yerine yazıldığında, sol taraf log⁡2(12+6)=log⁡218\log_2(12 + 6) = \log_2 18 olur. Sağ taraf ise 2log⁡212−3=log⁡2144−log⁡28=log⁡2(144/8)=log⁡2182\log_2 12 - 3 = \log_2 144 - \log_2 8 = \log_2(144/8) = \log_2 18 olur. İki taraf birbirine eşit olduğundan çözüm doğrulanır.
Estimated Time:2m 0s
Question 132Question →
Bir roketin egzoz gazı çıkış hızı vev_e, roketin ilk kütlesi m0m_0 ve yakıt tüketimi sonrasındaki anlık kütlesi mm olmak üzere, roketin ulaştığı hız vv formülü ile hesaplanmaktadır:
v=ve⋅ln⁡(m0m)v = v_e \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m}\right)
Boş kütlesi (yakıtsız kütlesi) MM kg olan bir roketin başlangıçtaki yakıt kütlesi 7M7M kg'dır.
Fırlatılan bu roketin anlık hızı, egzoz gazı çıkış hızına ilk kez ulaştığı anda; tüketilen yakıt kütlesinin, kalan yakıt kütlesine oranı aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 8(e−1)8−e\frac{8(e-1)}{8-e}

Answer

8(e−1)8−e\frac{8(e-1)}{8-e}
Tüketilen yakıt kütlesinin kalan yakıt kütlesine oranı, roketin hız denkleminin çözülmesiyle 8(e−1)8−e\frac{8(e-1)}{8-e} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Roketin başlangıçtaki toplam kütlesinin (m0m_0) belirlenmesi
m0=M+7M=8Mm_0 = M + 7M = 8M
Formüldeki m0m_0 roketin boş ağırlığı ile yakıt ağırlığının toplamıdır.
2
Roketin hızı egzoz hızına ulaştığı andaki toplam kütlesinin (mm) bulunması
v=ve  ⟹  ve⋅ln⁡(8Mm)=ve  ⟹  ln⁡(8Mm)=1  ⟹  m=8Mev = v_e \implies v_e \cdot \ln\left(\frac{8M}{m}\right) = v_e \implies \ln\left(\frac{8M}{m}\right) = 1 \implies m = \frac{8M}{e}
Hızın egzoz hızına eşitlendiği durumu modellemek için v=vev = v_e eşitliği kurularak mm yalnız bırakılır.
3
Kalan yakıt kütlesinin (mkalanm_{\text{kalan}}) hesaplanması
mkalan=m−M=8Me−M=M(8−ee)m_{\text{kalan}} = m - M = \frac{8M}{e} - M = M\left(\frac{8-e}{e}\right)
Kalan yakıt kütlesi, anlık toplam kütleden roketin boş kütlesinin çıkarılmasıyla elde edilir.
4
Tüketilen yakıt kütlesinin (mtu¨ketilenm_{\text{tüketilen}}) hesaplanması
mtu¨ketilen=7M−mkalan=7M−M(8−ee)=M(8e−8e)m_{\text{tüketilen}} = 7M - m_{\text{kalan}} = 7M - M\left(\frac{8-e}{e}\right) = M\left(\frac{8e-8}{e}\right)
Tüketilen yakıt kütlesi, başlangıçtaki yakıt kütlesinden kalan yakıt kütlesinin çıkarılmasıyla bulunur.
5
Tüketilen yakıt kütlesinin kalan yakıt kütlesine oranının hesaplanması
Oran=M(8e−8e)M(8−ee)=8(e−1)8−e\text{Oran} = \frac{M\left(\frac{8e-8}{e}\right)}{M\left(\frac{8-e}{e}\right)} = \frac{8(e-1)}{8-e}
Elde edilen kütle değerleri birbirine oranlanarak sadeleştirilir.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin gerçek hayat problemlerindeki uygulamaları ve modelleme
Question 133Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡13(x2−3x)+1log⁡2(x−2)−2≥0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 3x) + 1}{\log_2(x - 2) - 2} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 9'dur.
Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı, logaritmanın tanım kümesi ve taban özelliklerine göre yapılan işaret tablosu sonucunda elde edilen [3+212,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) aralığındaki tam sayılar olan 4 ve 5'in toplamı olan 9'dur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlikte yer alan logaritmik ifadelerin tanımlı olması için gereken koşullar (tanım kümeleri) belirlenir.
x2−3x>0  ⟹  x(x−3)>0  ⟹  x<0x^2 - 3x > 0 \implies x(x-3) > 0 \implies x < 0 veya x>3x > 3 ve x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 bulunur. Bu iki koşulun kesişimi x>3x > 3 olarak elde edilir.
Logaritması alınan ifadelerin tanımlı olabilmesi için sıfırdan büyük olmaları zorunludur.
2
Payın kökünü bulmak için pay sıfıra eşitlenir.
log⁡13(x2−3x)+1=0  ⟹  log⁡13(x2−3x)=−1  ⟹  x2−3x=3  ⟹  x2−3x−3=0\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 3x) + 1 = 0 \implies \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 3x) = -1 \implies x^2 - 3x = 3 \implies x^2 - 3x - 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri x=3±212x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2} dir. Tanım kümesine (x>3x > 3) uygun olan kök x=3+212≈3,79x = \frac{3 + \sqrt{21}}{2} \approx 3,79 dur.
Eşitsizliğin işaret tablosunda kullanılacak olan payın kökünün bulunması gerekir.
3
Paydanın kökünü bulmak için payda sıfıra eşitlenir.
log⁡2(x−2)−2=0  ⟹  log⁡2(x−2)=2  ⟹  x−2=4  ⟹  x=6\log_2(x - 2) - 2 = 0 \implies \log_2(x - 2) = 2 \implies x - 2 = 4 \implies x = 6 bulunur. Bu kök tanım kümesindedir ancak paydayı sıfır yaptığ�� için çözüm kümesine dahil edilmeyecektir.
Eşitsizliğin işaret tablosunda kullanılacak olan paydanın kökünün bulunması gerekir.
4
Bulunan kökler ve tanım kümesi göz önüne alınarak bir işaret tablosu oluşturulur.
Tabloda x>3x > 3 bölgesi incelenir. [3+212,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) aralığında pay ve payda negatif olduğundan bölüm pozitif (≥0\geq 0) olur. Diğer aralıklarda ise negatif sonuç elde edilir. Dolayısıyla çözüm kümesi [3+212,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) aralığıdır.
Rasyonel ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralığı belirlemek için işaret incelemesi yapılmalıdır.
5
Elde edilen çözüm kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
[3+212,6)≈[3,79,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) \approx [3,79, 6) aralığındaki tam sayılar 4 ve 5'tir. Bu sayıların toplamı 4+5=94 + 5 = 9 olarak bulunur.
Soru kökünde istenen toplamı bulmak için çözüm kümesindeki tam sayılar toplanır.

Key Concept

Logaritmik Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve Tanım Kümesi Kısıtlamaları

Alternative Method

Eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulmak için tanım kümesi olan x>3x > 3 şartını sağlayan tam sayılar (4,5,6,7,…4, 5, 6, 7, \dots) teker teker eşitsizlikte yerine yazılarak da kontrol edilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 134Question →
log⁡12(x−2)+3log⁡3(x2−9)−3≥0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 3}{\log_3(x^2 - 9) - 3} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 34

Answer

Eşitsizliğini sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı 34'tür.
Eşitsizliği sağlayan tam sayılar 7, 8, 9 ve 10 olup toplamları 34'tür.

Step-by-Step Solution

1
Logaritmik ifadelerin tanımlı olabilmesi için gerekli olan tanım kümelerini belirlemek.
x>3x > 3 olmalıdır.
log⁡b(a)\log_b(a) ifadesinin tanımlı olması için a>0a > 0 olmalıdır. Dolayısıyla x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 ve x2−9>0  ⟹  x>3x^2 - 9 > 0 \implies x > 3 veya x<−3x < -3 koşullarının kesişimi alınarak x>3x > 3 bulunur.
2
Payın kökünü bulmak.
x=10x = 10
log⁡12(x−2)+3=0  ⟹  log⁡12(x−2)=−3  ⟹  x−2=8  ⟹  x=10\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 3 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) = -3 \implies x - 2 = 8 \implies x = 10 olur.
3
Paydanın köklerini bulmak.
x=6x = 6 (ve x=−6x = -6, ancak bu değer tanım kümesi dışındadır).
log⁡3(x2−9)−3=0  ⟹  log⁡3(x2−9)=3  ⟹  x2−9=27  ⟹  x2=36  ⟹  x=6\log_3(x^2 - 9) - 3 = 0 \implies \log_3(x^2 - 9) = 3 \implies x^2 - 9 = 27 \implies x^2 = 36 \implies x = 6 veya x=−6x = -6 olur. Tanım kümesi x>3x > 3 olduğundan sadece x=6x = 6 kökü incelenir.
4
Pay ve paydanın işaretlerini tanım kümesi olan (3,∞)(3, \infty) aralığında incelemek.
İşaret tablosu yardımıyla eşitsizliğin [6,10][6, 10] aralığında pozitif veya sıfır olduğu, ancak x=6x = 6'da payda sıfır olduğu için tanımsız olduğu belirlenir. Çözüm kümesi (6,10](6, 10] olarak elde edilir.
Payın tabanı 1/2<11/2 < 1 olduğundan azalan, paydanın tabanı 3>13 > 1 olduğundan artan fonksiyondur. Bu durum işaret tablosundaki yönleri belirler.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını bulmak.
34
(6,10](6, 10] aralığındaki tam sayılar 7,8,9,107, 8, 9, 10 olup, toplamları 7+8+9+10=347 + 8 + 9 + 10 = 34 eder.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerin çözümünde tanım kümesi sınırlamaları, tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve rasyonel ifadelerin işaret incelemesi.
Question 135Question →
1'den farklı aa ve bb pozitif gerçel sayıları için,
log⁡a(a2b3)⋅log⁡b(a4b)=24\log_a(a^2 b^3) \cdot \log_b(a^4 b) = 24
olduğuna göre, log⁡ab\log_a b ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 103\frac{10}{3}

Answer

Deg˘erlerintoplamı103′tu¨r.Değerlerin toplamı \frac{10}{3}'tür.
Denklemin doğru çözümüyle elde edilen köklerin toplamı \frac{10}{3}'tür. Logaritmanın özelliklerini ve taban değiştirme kuralını uygulayarak log⁡ab=x\log_a b = x dönüşümü yaptığımızda 3x2−10x+8=03x^2 - 10x + 8 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin kökler toplamı \frac{10}{3} olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadelerdeki logaritmaların içindeki çarpımları toplam şeklinde yazalım.
log⁡a(a2b3)=log⁡a(a2)+log⁡a(b3)=2+3log⁡ab\log_a(a^2 b^3) = \log_a(a^2) + \log_a(b^3) = 2 + 3\log_a b
log⁡b(a4b)=log⁡b(a4)+log⁡b(b)=4log⁡ba+1\log_b(a^4 b) = \log_b(a^4) + \log_b(b) = 4\log_b a + 1
Logaritmanın log⁡x(y⋅z)=log⁡xy+log⁡xz\log_x(y \cdot z) = \log_x y + \log_x z ve log⁡x(yk)=klog⁡xy\log_x(y^k) = k\log_x y özelliklerini uygulamak için.
2
Taban değiştirme kuralını uygulayarak log⁡ba\log_b a ifadesini log⁡ab\log_a b cinsinden yazalım ve değişken dönüştürmesi yapalım.
log⁡ba=1log⁡ab\log_b a = \frac{1}{\log_a b} kuralından dolayı log⁡ab=x\log_a b = x dersek, log⁡ba=1x\log_b a = \frac{1}{x} olur. Bu durumda ifadeler sırasıyla 2+3x2 + 3x ve 4x+1\frac{4}{x} + 1 halini alır.
Denklemi tek bir bilinmeyen cinsinden yazıp çözülebilir bir yapıya dönüştürmek için.
3
İfadelerin çarpımını verilen 24 sayısına eşitleyelim ve parantezleri dağıtıp düzenleyelim.
(2+3x)(4x+1)=24  ⟹  2+8x+3x+12=24  ⟹  3x+8x+14=24  ⟹  3x+8x−10=0(2 + 3x)\left(\frac{4}{x} + 1\right) = 24 \implies 2 + \frac{8}{x} + 3x + 12 = 24 \implies 3x + \frac{8}{x} + 14 = 24 \implies 3x + \frac{8}{x} - 10 = 0
Çarpım işlemini gerçekleştirerek ikinci dereceden bir rasyonel denklem elde etmek için.
4
Elde edilen denklemin paydalarını eşitleyip ikinci dereceden denklem haline getirelim ve çözelim.
3x2−10x+8=0  ⟹  (3x−4)(x−2)=0  ⟹  x1=433x^2 - 10x + 8 = 0 \implies (3x - 4)(x - 2) = 0 \implies x_1 = \frac{4}{3} ve x2=2x_2 = 2
Bilinmeyen olan x=log⁡abx = \log_a b değerlerini bulmak için.
5
Alınabilecek değerlerin toplamını bulalım.
x1+x2=43+2=103x_1 + x_2 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}
Soruda bizden istenen log⁡ab\log_a b değerlerinin toplamını elde etmek için.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Question 136Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡12(x−2)−log⁡12(10−x)x2−12x+32≥0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x-2) - \log_{\frac{1}{2}}(10-x)}{x^2 - 12x + 32} \geq 0
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

16
Eşitsizliği sağlayan tam sayılar 3, 6 ve 7 olup, bunların toplamı olan 16 doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesinin belirlenmesi
x > 2 ve x < 10, dolayısıyla tanım kümesi (2, 10) aralığıdır.
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için içlerindeki ifadelerin pozitif olması gerekir.
2
Pay ve paydanın köklerinin bulunması
Payın kökü x = 6, paydanın kökleri x = 4 ve x = 8 olarak bulunur.
Eşitsizlik tablosunu oluşturmak için pay ve paydayı sıfır yapan kritik noktalar belirlenir.
3
İşaret tablosunun oluşturulması ve incelenmesi
Çözüm kümesi (2, 4) birleşim [6, 8) aralığı olarak elde edilir.
Taban basit kesir olduğundan payın işareti x = 6 noktasında yön değiştirir. Bölümün işareti tablodaki aralıklarda incelenir.
4
Tam sayı çözümlerinin toplanması
3 + 6 + 7 = 16
Çözüm kümesindeki tam sayılar 3, 6 ve 7'dir.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerde tanım kümesi analizi, basit kesir tabanında yön değiştirme kuralı ve rasyonel eşitsizlik tablosu oluşturulması.
Estimated Time:2m 30s
Question 137Question →
xx bir tam sayı olmak üzere,
log⁡13(x−1)+2log⁡2(11−x)−3≥0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) + 2}{\log_2(11 - x) - 3} \geq 0
eşitsizliğini sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Eşitsizliği sağlayan tam sayı de��erlerinin toplamı 12'dir.
Eşitsizliğin en geniş tanım kümesi belirlenirken logaritma fonksiyonlarının içleri sıfırdan büyük olmalıdır. Buradan x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 ve 11−x>0  ⟹  x<1111 - x > 0 \implies x < 11 elde edilir. Paydanın sıfır olmama koşulundan x≠3x \neq 3 olmalıdır. Dolayısıyla tanım aralığı (1,11)∖{3}(1, 11) \setminus \{3\} olur. Payın kökü x=10x = 10'dur ve taban basit kesir olduğundan x>10x > 10 için pay negatif işaretlidir. Paydanın kökü x=3x = 3'tür ve xx'in önündeki işaret negatif olduğundan x>3x > 3 için payda negatif işaretlidir. Tanım aralığında yapılan işaret incelemesinde pozitif bölgeler (1,3)∪[10,11)(1, 3) \cup [10, 11) olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar 22 ve 1010 olup toplamları 1212'dir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin en geniş tanım kümesini belirlemek.
Logaritma tan��mı gereği logaritmanın içi sıfırdan büyük olmalıdır. Buradan x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 ve 11−x>0  ⟹  x<1111 - x > 0 \implies x < 11 eşitsizlikleri elde edilir. Ayrıca payda sıfır olamayacağından, log⁡2(11−x)−3≠0  ⟹  11−x≠8  ⟹  x≠3\log_2(11 - x) - 3 \neq 0 \implies 11 - x \neq 8 \implies x \neq 3 olmalıdır. Bu şartların kesişimi ile tanım kümesi T=(1,11)∖{3}T = (1, 11) \setminus \{3\} olarak bulunur.
Logaritmik ifadelerin tanımlı olması ve rasyonel ifadenin paydasının sıfır olmaması için bu sınırların belirlenmesi zorunludur.
2
Pay ve paydanın köklerini bularak işaret değişimlerini incelemek.
Payın kökü: log⁡13(x−1)+2=0  ⟹  log⁡13(x−1)=−2  ⟹  x−1=9  ⟹  x=10\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) + 2 = 0 \implies \log_{\frac{1}{3}}(x - 1) = -2 \implies x - 1 = 9 \implies x = 10 bulunur. Taban 13<1\frac{1}{3} < 1 (basit kesir) olduğundan, pay ifadesi x>10x > 10 için negatif, x<10x < 10 için pozitif değerler alır. Paydanın kökü: log⁡2(11−x)−3=0  ⟹  11−x=8  ⟹  x=3\log_2(11 - x) - 3 = 0 \implies 11 - x = 8 \implies x = 3 bulunur. Taban 2>12 > 1 olmakla birlikte xx değişkeninin önündeki işaret negatif olduğundan, payda ifadesi x>3x > 3 için negatif, x<3x < 3 için pozitif değerler alır.
İşaret tablosunda bölgelerin işaretlerini doğru tayin edebilmek için her bir çarpanın kökleri ve artanlık/azalanlık durumları incelenir.
3
İşaret tablosunu oluşturup çözüm kümesini belirlemek.
Kökler 33 ve 1010 işaret tablosuna yerleştirilir. Tanım kümesi olan (1,11)(1, 11) aralığında inceleme yapıldığında: (1,3)(1, 3) aralığında pay pozitif, payda pozitif olduğundan oran pozitif, (3,10](3, 10] aralığında pay pozitif, payda negatif olduğundan oran negatif, [10,11)[10, 11) aralığında pay negatif, payda negatif olduğundan oran pozitif olur. Eşitsizlik sıfırdan büyük veya eşit olmasını gerektirdiğinden çözüm kümesi S=(1,3)∪[10,11)S = (1, 3) \cup [10, 11) şeklinde bulunur.
Pay ve paydanın ortak işaret tablosu oluşturularak eşitsizlik şartını sağlayan bölgeler tespit edilir.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıları bulup toplamak.
(1,3)(1, 3) aralığındaki tek tam sayı 22'dir. [10,11)[10, 11) aralığındaki tek tam sayı ise 1010'dur. Bu tam sayıların toplamı 2+10=122 + 10 = 12 olarak elde edilir.
Soru kökündeki toplam ifadesine ulaşmak için uygun tam sayılar belirlenerek toplanır.

Key Concept

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Question 138Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡13(2x−5)log⁡2(7−x)≥0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(2x - 5)}{\log_2(7 - x)} \geq 0
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (52,3]∪(6,7)\left(\frac{5}{2}, 3\right] \cup (6, 7) kümesidir.
Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi (52,3]∪(6,7)\left(\frac{5}{2}, 3\right] \cup (6, 7) kümesidir.
Eşitsizliğin tanım kümesi ve pay ile paydanın işaret değişimleri dikkate alındığında elde edilen en geniş çözüm kümesi önermedeki küme ile birebir uyuşmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesini belirleme
x>52x > \frac{5}{2}, x<7x < 7 ve x≠6x \neq 6
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olması için logaritması alınan ifadeler pozitif olmalı, ayrıca payda sıfıra eşit olmamalıdır.
2
Pay kısmının işaretini inceleme
x≤3x \leq 3 için log⁡13(2x−5)≥0\log_{\frac{1}{3}}(2x-5) \geq 0 ve x>3x > 3 için log⁡13(2x−5)<0\log_{\frac{1}{3}}(2x-5) < 0 olur.
Taban 13<1\frac{1}{3} < 1 olduğundan azalan bir fonksiyondur; dolayısıyla 2x−5≤12x - 5 \leq 1 eşitsizliği çözülür.
3
Payda kısmının işaretini inceleme
x<6x < 6 için log⁡2(7−x)>0\log_2(7-x) > 0 ve x>6x > 6 için log⁡2(7−x)<0\log_2(7-x) < 0 olur.
Taban 2>12 > 1 olduğundan artan bir fonksiyondur; dolayısıyla 7−x>17 - x > 1 eşitsizliği çözülür.
4
İşaret tablosu yaparak ortak çözüm kümesini bulma
Çözüm kümesi (52,3]∪(6,7)\left(\frac{5}{2}, 3\right] \cup (6, 7) olarak bulunur.
Pay ve paydanın işaretlerinin aynı olduğu veya payın sıfır olduğu aralıklar eşitsizliği sağlar.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın durumuna (1'den büyük veya 0-1 arasında olması) göre eşitsizliğin yön değiştirmesi ve tanım kümelerinin kesişiminin alınması.
Question 139Question →
1'den büyük aa, bb ve cc gerçel sayıları için a<b<ca < b < c sıralaması verilmektedir.
log⁡ab+log⁡bc+log⁡ca=316\log_a b + \log_b c + \log_c a = \frac{31}{6}
log⁡ba+log⁡cb+log⁡ac=416\log_b a + \log_c b + \log_a c = \frac{41}{6}
olduğuna göre, log⁡a(b⋅c)\log_a(b \cdot c) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

İfadenin alabileceği farklı değerlerin toplamı 17'dir.
Logaritma taban değiştirme ve çarpım özellikleri kullanılarak log⁡ab=x\log_a b = x, log⁡bc=y\log_b c = y ve log⁡ca=z\log_c a = z değişkenleri tanımlanır. Bu değişkenlerin çarpımı 1'dir. Verilen denklem sisteminden bu değişkenlerin kökleri olduğu 6t3−31t2+41t−6=06t^3 - 31t^2 + 41t - 6 = 0 denklemi kurulur. Kökler 22, 33 ve 16\frac{1}{6} olarak bulunur. 1<a<b<c1 < a < b < c koşulu altında log⁡ca<1\log_c a < 1 olmalıdır, bu yüzden log⁡ca=16\log_c a = \frac{1}{6} ve dolayısıyla log⁡ac=6\log_a c = 6 olur. log⁡ab\log_a b ise 22 veya 33 olabilir. İstenen log⁡a(b⋅c)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c ifadesi, log⁡ab=2\log_a b = 2 için 88 ve log⁡ab=3\log_a b = 3 için 99 değerini alır. Bu değerlerin toplamı 17'dir.

Step-by-Step Solution

1
Değişken dönüşümü yaparak logaritma taban değiştirme kuralını uygulama
log⁡ab=x\log_a b = x, log⁡bc=y\log_b c = y ve log⁡ca=z\log_c a = z olsun. Taban değiştirme kuralı gereğince x⋅y⋅z=log⁡ab⋅log⁡bc⋅log⁡ca=1x \cdot y \cdot z = \log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = 1 olur.
Değişkenler arasındaki çarpım ilişkisini sadeleştirmek ve çözümü kolaylaştırmak için bu dönüşüm gereklidir.
2
Verilen denklemleri yeni değişkenler cinsinden ifade etme
x+y+z=316x + y + z = \frac{31}{6} ve 1x+1y+1z=416\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{41}{6} denklemleri elde edilir. İkinci denklemde payda eşitlendiğinde xy+yz+zxxyz=416\frac{xy+yz+zx}{xyz} = \frac{41}{6} olur. xyz=1xyz = 1 olduğundan xy+yz+zx=416xy+yz+zx = \frac{41}{6} bulunur.
Bilinmeyenlerin toplamını ve ikişerli çarpımlarının toplam��nı bulmak, kökleri bu bilinmeyenler olan üçüncü dereceden bir denklem oluşturmamızı sağlar.
3
Kökleri xx, yy ve zz olan üçüncü dereceden denklemi kurma ve çözme
t3−(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t−xyz=0  ⟹  t3−316t2+416t−1=0t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0 \implies t^3 - \frac{31}{6}t^2 + \frac{41}{6}t - 1 = 0 denklemi elde edilir. Denklemi 6 ile çarparsak 6t3−31t2+41t−6=06t^3 - 31t^2 + 41t - 6 = 0 olur. Bu denklemin çarpanlarına ayrılmasıyla (t−2)(t−3)(6t−1)=0(t-2)(t-3)(6t-1) = 0 elde edilir. Buradan kökler 22, 33 ve 16\frac{1}{6} olarak bulunur.
Bilinmeyenlerin değer kümesini bulabilmek için bu üçüncü dereceden denklemin köklerinin bulunması gerekir.
4
Sıralama koşulunu kullanarak kökleri değişkenlerle eşleştirme
1<a<b<c1 < a < b < c sıralaması verildiğinden, a<b  ⟹  log⁡ab>1a < b \implies \log_a b > 1, b<c  ⟹  log⁡bc>1b < c \implies \log_b c > 1 ve a<c  ⟹  log⁡ca<1a < c \implies \log_c a < 1 (ayrıca pozitif) olmalıdır. Bu durumda 11'den küçük olan tek kök z=log⁡ca=16z = \log_c a = \frac{1}{6} olmalıdır. Buradan log⁡ac=6\log_a c = 6 bulunur. Diğer kökler ise xx ve yy değerleridir: {x,y}={2,3}\{x, y\} = \{2, 3\}.
Soruda verilen büyüklük sıralaması, logaritma fonksiyonunun artan yapısı göz önüne alındığında hangi değişkenin hangi kök değerini alacağını kesinleştirir.
5
log⁡a(b⋅c)\log_a(b \cdot c) ifadesinin alabileceği değerleri hesaplayıp toplama
log⁡a(b⋅c)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c yazılır. log⁡ac=6\log_a c = 6 ve log⁡ab\log_a b değeri 22 veya 33 olabilir. Birinci durumda log⁡a(b⋅c)=2+6=8\log_a(b \cdot c) = 2 + 6 = 8, ikinci durumda log⁡a(b⋅c)=3+6=9\log_a(b \cdot c) = 3 + 6 = 9 olur. Farklı değerlerin toplamı ise 8+9=178 + 9 = 17 bulunur.
Logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak ifadeyi toplam şeklinde açtıktan sonra elde edilen iki olası durumu toplarız.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Question 140Question →
Kimyada bir sulu çözeltinin pH değeri, çözeltideki hidrojen iyonu derişimi [H+][H^+] (mol/L) olmak üzere,
pH=−log⁡10[H+]\text{pH} = -\log_{10} [H^+]
formülüyle hesaplanır.
AA, BB ve CC sulu çözeltilerinin hidrojen iyonu derişimleri sırasıyla aa, bb ve cc mol/L'dir. Bu çözeltilerin derişimleri arasında,
log⁡ba+log⁡bc=2\log_b a + \log_b c = 2
log⁡ab+log⁡cb=94\log_a b + \log_c b = \frac{9}{4}
ilişkileri bulunmaktadır.

BB çözeltisinin pH değeri 33 olduğuna göre, AA çözeltisinin pH değerinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

A çözeltisinin pH değerinin alabileceği en büyük değer 4'tür.
Logaritma özellikleri ve taban değiştirme kuralları yardımıyla çözeltilerin pH değerleri toplamı 6, çarpımı ise 8 olarak bulunur. Bu iki koşulu sağlayan pH değerleri 2 ve 4 olduğundan, alabileceği en büyük değer 4'tür.

Step-by-Step Solution

1
B çözeltisinin pH değerini kullanarak log⁡10b\log_{10} b değerini bulunuz.
log⁡10b=−3\log_{10} b = -3
pH tanımı gereği pH=−log⁡10[H+]\text{pH} = -\log_{10} [H^+] şeklindedir. BB çözeltisinin pH değeri 3 olarak verildiği için −log⁡10b=3  ⟹  log⁡10b=−3-\log_{10} b = 3 \implies \log_{10} b = -3 elde edilir.
2
İlk denklemde taban değiştirme özelliğini uygulayarak AA ve CC çözeltilerinin pH değerlerinin toplamını bulunuz.
pHA+pHC=6\text{pH}_A + \text{pH}_C = 6
log⁡ba+log⁡bc=2\log_b a + \log_b c = 2 ifadesinde 10 tabanına göre taban değiştirme uygulanırsa: log⁡10alog⁡10b+log⁡10clog⁡10b=2  ⟹  log⁡10a+log⁡10clog⁡10b=2\frac{\log_{10} a}{\log_{10} b} + \frac{\log_{10} c}{\log_{10} b} = 2 \implies \frac{\log_{10} a + \log_{10} c}{\log_{10} b} = 2 olur. log⁡10b=−3\log_{10} b = -3 yazıldığında: log⁡10a+log⁡10c=−6\log_{10} a + \log_{10} c = -6 bulunur. pH tanımları gereği (−pHA)+(−pHC)=−6  ⟹  pHA+pHC=6(-\text{pH}_A) + (-\text{pH}_C) = -6 \implies \text{pH}_A + \text{pH}_C = 6 elde edilir.
3
İkinci denklemde taban değiştirme özelliğini uygulayarak AA ve CC çözeltilerinin pH değerlerinin çarpımını bulunuz.
pHA⋅pHC=8\text{pH}_A \cdot \text{pH}_C = 8
log⁡ab+log⁡cb=94\log_a b + \log_c b = \frac{9}{4} ifadesinde taban değiştirme uygulanırsa: log⁡10blog⁡10a+log⁡10blog⁡10c=94  ⟹  −3−pHA+−3−pHC=94\frac{\log_{10} b}{\log_{10} a} + \frac{\log_{10} b}{\log_{10} c} = \frac{9}{4} \implies \frac{-3}{-\text{pH}_A} + \frac{-3}{-\text{pH}_C} = \frac{9}{4} olur. Buradan 3⋅(1pHA+1pHC)=94  ⟹  pHA+pHCpHA⋅pHC=343 \cdot \left(\frac{1}{\text{pH}_A} + \frac{1}{\text{pH}_C}\right) = \frac{9}{4} \implies \frac{\text{pH}_A + \text{pH}_C}{\text{pH}_A \cdot \text{pH}_C} = \frac{3}{4} elde edilir. pHA+pHC=6\text{pH}_A + \text{pH}_C = 6 değeri yerine yazılırsa: 6pHA⋅pHC=34  ⟹  pHA⋅pHC=8\frac{6}{\text{pH}_A \cdot \text{pH}_C} = \frac{3}{4} \implies \text{pH}_A \cdot \text{pH}_C = 8 bulunur.
4
Elde edilen toplam ve çarpım değerlerinden AA çözeltisinin pH değerinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.
4
Toplamları 6, çarpımları 8 olan sayılar t2−6t+8=0t^2 - 6t + 8 = 0 denkleminin kökleridir. Bu kökler çözüldüğünde (t−2)(t−4)=0  ⟹  t=2(t-2)(t-4) = 0 \implies t = 2 ve t=4t = 4 bulunur. Dolayısıyla pH değerleri 2 ve 4'tür. En büyük değer istendiğinden cevap 4 olur.

Key Concept

Logaritma taban değiştirme özelliği ve logaritma tanımı
PreviousPage 7 / 12Next
Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 7 | Examkin