Examkin

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

55 questions

All types55Multiple choice30Ordering25
Question 1Question →
12x=π12x = \pi

olmak üzere,

sin⁡(17x)+cos⁡(5x)cos⁡(x)−sin⁡(x)−tan⁡(8x)⋅cos⁡(7x)cot⁡(2x)⋅cos⁡(5x)\frac{\sin(17x) + \cos(5x)}{\cos(x) - \sin(x)} - \frac{\tan(8x) \cdot \cos(7x)}{\cot(2x) \cdot \cos(5x)}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

-2
İfadedeki açılar 12x=π12x = \pi eşitliği kullanılarak π2\frac{\pi}{2}, π\pi ve 3π2\frac{3\pi}{2} cinsinden yazılır. sin⁡(17x)=sin⁡(3π2−x)=−cos⁡(x)\sin(17x) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x) ve cos⁡(5x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos(5x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) olarak indirgendiğinde birinci kesrin değeri −1-1 olur. Benzer şekilde, tan⁡(8x)=tan⁡(π2+2x)=−cot⁡(2x)\tan(8x) = \tan\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = -\cot(2x) ve cos⁡(7x)=cos⁡(π−5x)=−cos⁡(5x)\cos(7x) = \cos(\pi - 5x) = -\cos(5x) olarak indirgendiğinde ikinci kesrin değeri 11 olur. Bu değerler yerine yazıldığında −1−1=−2-1 - 1 = -2 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen 12x=π12x = \pi eşitliğini kullanarak π2\frac{\pi}{2}, π\pi ve 3π2\frac{3\pi}{2} açılarına karşılık gelen xx değerlerini belirleriz.
6x=π26x = \frac{\pi}{2}, 12x=π12x = \pi ve 18x=3π218x = \frac{3\pi}{2} elde edilir.
Trigonometrik ifadelerdeki açıları indirgeme formüllerine uygun biçimde yazabilmek için bu referans açıları kullanılmalıdır.
2
Birinci kesrin payındaki sin⁡(17x)\sin(17x) ve cos⁡(5x)\cos(5x) ifadelerini indirgeme formülleriyle sadeleştiririz.
sin⁡(17x)=sin⁡(18x−x)=sin⁡(3π2−x)=−cos⁡(x)\sin(17x) = \sin(18x - x) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x) ve cos⁡(5x)=cos⁡(6x−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos(5x) = \cos(6x - x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) bulunur.
Açıları xx cinsinden ifade ederek sadeleştirme yapabilmek için bölgelerine göre işaret belirleme ve isim değiştirme kuralları uygulanır.
3
İkinci kesrin payındaki tan⁡(8x)\tan(8x) ve cos⁡(7x)\cos(7x) ifadelerini indirgeme formülleriyle sadeleştiririz.
tan⁡(8x)=tan⁡(6x+2x)=tan⁡(π2+2x)=−cot⁡(2x)\tan(8x) = \tan(6x + 2x) = \tan\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = -\cot(2x) ve cos⁡(7x)=cos⁡(12x−5x)=cos⁡(π−5x)=−cos⁡(5x)\cos(7x) = \cos(12x - 5x) = \cos(\pi - 5x) = -\cos(5x) bulunur.
İkinci kesri sadeleştirmek için açıları uygun bölgelere indirgemek gerekir.
4
Elde edilen indirgenmiş ifadeleri orijinal denklemde yerine yazarak sonucu hesaplarız.
Birinci kesir −cos⁡(x)+sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=−1\frac{-\cos(x) + \sin(x)}{\cos(x) - \sin(x)} = -1 ve ikinci kesir (−cot⁡(2x))⋅(−cos⁡(5x))cot⁡(2x)⋅cos⁡(5x)=1\frac{(-\cot(2x)) \cdot (-\cos(5x))}{\cot(2x) \cdot \cos(5x)} = 1 olur. İfadenin tamamı ise −1−1=−2-1 - 1 = -2 olarak bulunur.
Tüm sadeleştirmeleri birleştirip nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Trigonometrik oranların referans açılarına göre indirgenirken isim ve işaret değiştirme kuralları.
Question 2Question →

Aşağıda verilen xx, yy, zz ve ww trigonometrik değerlerini en kü��ükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Trigonometrik değerlerin doğru sıralaması en küçükten en büyüğe y<z<x<wy < z < x < w şeklindedir.
Verilen ifadelerin esas ölçüleri bulunup değerleri hesaplandığında y=−22≈−0.707y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707, z=−33≈−0.577z = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577, x=0.5x = 0.5 ve w=33≈0.577w = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 değerleri elde edilir. Negatif sayıların kendi arasındaki sıralamasından y<zy < z, pozitif sayıların kendi arasındaki sıralamasından ise x<wx < w elde edilir. Bu durumları birleştiren sıralama doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
x=cos⁡(31π3)x = \cos\left(\frac{31\pi}{3}\right) ifadesinin değerini bulmak.
31π3\frac{31\pi}{3} açısının esas ölçüsü, 3131'in 66'ya (paydanın iki katına) bölümünden kalan 11 olduğundan π3\frac{\pi}{3} radyandır. Dolayısıyla x=cos⁡(π3)=12=0.5x = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} = 0.5 olur.
Açının 2π2\pi'den büyük olan kısmı elenerek esas ölçüsü bulunur.
2
y=sin⁡(−41π4)y = \sin\left(-\frac{41\pi}{4}\right) ifadesinin değerini bulmak.
−41π4=−10π−π4-\frac{41\pi}{4} = -10\pi - \frac{\pi}{4} olup esas ölçü için üzerine 12π12\pi eklendiğinde 7π4\frac{7\pi}{4} elde edilir. Dördüncü bölgedeki bu açının sinüsü y=sin⁡(7π4)=−sin⁡(π4)=−22≈−0.707y = \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707 olur.
Negatif açılarda esas ölçü bulunup dördüncü bölgedeki sinüs değerinin işareti negatif olarak belirlenir.
3
z=tan⁡(23π6)z = \tan\left(\frac{23\pi}{6}\right) ifadesinin değerini bulmak.
23π6=4π−π6\frac{23\pi}{6} = 4\pi - \frac{\pi}{6} olup esas ölçüsü 11π6\frac{11\pi}{6} radyandır. Dördüncü bölgedeki bu açının tanjantı z=tan⁡(11π6)=−tan⁡(π6)=−33≈−0.577z = \tan\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577 olur.
Dördüncü bölgedeki tanjant fonksiyonunun işareti negatiftir.
4
w=cot⁡(−17π3)w = \cot\left(-\frac{17\pi}{3}\right) ifadesinin değerini bulmak.
−17π3=−6π+π3-\frac{17\pi}{3} = -6\pi + \frac{\pi}{3} olup esas ölçüsü π3\frac{\pi}{3} radyandır. Birinci bölgedeki bu açının kotanjantı w=cot⁡(π3)=33≈0.577w = \cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 olur.
Esas ölçü ekleme yoluyla bulunmuş olup birinci bölgedeki kotanjant değeri pozitiftir.
5
Hesaplanan değerleri sayı doğrusunda karşılaştırmak.
Negatif sayılarda mutlak değerce büyük olan daha küçük olduğundan −22<−33-\frac{\sqrt{2}}{2} < -\frac{\sqrt{3}}{3} yani y<zy < z olur. Pozitif sayılarda ise 12<33\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{3} yani x<wx < w olur. Tüm değerler birleştirildiğinde y<z<x<wy < z < x < w sıralaması elde edilir.
Elde edilen rasyonel ve köklü sayıların yaklaşık değerleri karşılaştırılarak doğru sıralama yapılır.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre indirgenerek değer sıralaması yapılması.
Question 3Question →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı b<a<cb < a < c şeklindedir.
Verilen ifadelerin esas ölçüleri sırasıyla 230∘230^\circ, 7π6\frac{7\pi}{6} ve 5π4\frac{5\pi}{4} olarak bulunur. Her üç açı da koordinat düzleminin üçüncü bölgesindedir. Üçüncü bölgede sinüs ve kosinüs negatif, tanjant ise pozitif değerler alır. Bu durumda pozitif olan tanjant değeri en büyüktür. Negatif değerler karşılaştırıldığında ise −sin⁡(50∘)-\sin(50^\circ) değeri −sin⁡(60∘)-\sin(60^\circ) değerinden büyük olduğundan, sıralama küçükten büyüğe b<a<cb < a < c şeklinde gerçekleşir.

Step-by-Step Solution

1
a=sin⁡(1670∘)a = \sin(1670^\circ) ifadesinin esas ölçüsünü bulunuz ve bölgeye göre indirgeyiniz.
1670∘1670^\circ açısının 360∘360^\circ'ye bölümünden kalan 230∘230^\circ olur. Üçüncü bölgede sinüs negatif olduğundan a=sin⁡(230∘)=sin⁡(180∘+50∘)=−sin⁡(50∘)≈−0,766a = \sin(230^\circ) = \sin(180^\circ + 50^\circ) = -\sin(50^\circ) \approx -0,766 elde edilir.
Büyük dereceli a��ıların trigonometrik oranlarını karşılaştırabilmek için öncelikle esas ölçüleri bulunmalıdır.
2
b=cos⁡(31π6)b = \cos\left(\frac{31\pi}{6}\right) ifadesinin esas ölçüsünü bulunuz ve bölgeye göre indirgeyiniz.
31π6\frac{31\pi}{6} açısının esas ölçüsü 7π6\frac{7\pi}{6} radyandır. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğundan b=cos⁡(7π6)=cos⁡(π+π6)=−cos⁡(π6)=−32≈−0,866b = \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0,866 elde edilir.
Radyan cinsinden verilen açıların esas ölçüsü payın paydanın iki katına bölünmesiyle elde edilen kalan yardımıyla hesaplanır.
3
c=tan⁡(−11π4)c = \tan\left(-\frac{11\pi}{4}\right) ifadesinin esas ölçüsünü bulunuz ve bölgeye göre indirgeyiniz.
−11π4-\frac{11\pi}{4} açısına 4π4\pi eklenerek esas ölçüsü 5π4\frac{5\pi}{4} radyan olarak bulunur. Üçüncü bölgede tanjant pozitif olduğundan c=tan⁡(5π4)=tan⁡(π+π4)=tan⁡(π4)=1c = \tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \tan\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 elde edilir.
Negatif yönlü açıların esas ölçüsü, açı pozitif olana kadar üzerine 2π2\pi katları eklenerek bulunur.
4
Elde edilen a≈−0,766a \approx -0,766, b≈−0,866b \approx -0,866 ve c=1c = 1 değerlerini karşılaştırarak sıralayınız.
−0,866<−0,766<1-0,866 < -0,766 < 1 olduğundan sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Bulunan sayısal değerlerin büyüklük sıralaması nihai sıralamayı belirler.

Key Concept

Açıların esas ölçülerini bulma, bölgelere göre indirgeme formülleriyle trigonometrik değerlerin işaretlerini belirleme ve birinci bölgedeki değerlerine göre sıralama yapma.
Estimated Time:2m 0s
Question 4Question →
xx bir dar açı olmak üzere,
cos⁡(3π2+x)+sin⁡(π−x)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \sin(\pi - x)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 2sin⁡x2\sin x

Answer

İfadenin en sade hali 2sin⁡x2\sin x olarak bulunur.
Trigonometrik indirgeme kurallarına göre cos⁡(3π2+x)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) ifadesi 4. bölgede kosinüsün işareti pozitif olduğu ve düşey eksen kullanıldığı için sin⁡x\sin x değerine eşittir. sin⁡(π−x)\sin(\pi - x) ifadesi ise 2. bölgede sinüsün işareti pozitif olduğu ve yatay eksen kullanıldığı için sin⁡x\sin x değerine eşittir. Bu iki ifadenin toplamı sin⁡x+sin⁡x=2sin⁡x\sin x + \sin x = 2\sin x sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
İlk terim olan cos⁡(3π2+x)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) ifadesini indirgeyelim.
cos⁡(3π2+x)=sin⁡x\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x
3π2+x\frac{3\pi}{2} + x açısı 4. bölgededir. 4. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti (+) pozitiftir. Düşey eksen (3π2\frac{3\pi}{2}) kullanıldığı için fonksiyonun ismi kosinüsten sinüse dönüşür.
2
İkinci terim olan sin⁡(π−x)\sin(\pi - x) ifadesini indirgeyelim.
sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x
π−x\pi - x açısı 2. bölgededir. 2. bölgede sinüs fonksiyonunun işareti (+) pozitiftir. Yatay eksen (π\pi) kullanıldığı için fonksiyonun ismi değişmez.
3
Bulunan değerleri toplayarak ifadenin sonucunu elde edelim.
sin⁡x+sin⁡x=2sin⁡x\sin x + \sin x = 2\sin x
Her iki terimin indirgenmiş halleri toplandığında ifadenin en sade haline ulaşılır.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesinde bölge işareti tespiti ve kullanılan eksene göre isim değiştirme kuralları.
Estimated Time:45s
Question 5Question →

Tanımlı olduğu xx değerleri için,

sin⁡(17π2−x)−cos⁡(11π+x)tan⁡(7π2+x)\frac{\sin\left(\frac{17\pi}{2} - x\right) - \cos(11\pi + x)}{\tan\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: −2sin⁡x-2\sin x

Answer

−2sin⁡x-2\sin x
İfadedeki tüm terimlerin esas ölçüleri belirlenip bölgelerine göre indirgemeleri yapıldığında pay kısmı 2cos⁡x2\cos x ve payda kısmı −cot⁡x-\cot x olarak bulunur. Bu iki değerin birbirine oranı olan 2cos⁡x−cot⁡x\frac{2\cos x}{-\cot x} işlemi sadeleştirildiğinde −2sin⁡x-2\sin x ifadesine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
sin⁡(17π2−x)\sin\left(\frac{17\pi}{2} - x\right) ifadesinin esas ölçüsü bulunarak indirgeme formülü uygulanır.
sin⁡(17π2−x)=sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\frac{17\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x
17π2\frac{17\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2} radyandır. Birinci bölgede sinüs pozitif olup, açı π2\frac{\pi}{2} cinsinden yazıldığı için fonksiyon kosinüse dönüşür.
2
cos⁡(11π+x)\cos(11\pi + x) ifadesinin esas ölçüsü bulunarak indirgeme formülü uygulanır.
cos⁡(11π+x)=cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(11\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos x
11π11\pi açısının esas ölçüsü π\pi radyandır. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olup, açı π\pi cinsinden yazıldığı için fonksiyon ismi değişmez.
3
Pay kısmındaki çıkarma işlemi yapılarak payın sade hali elde edilir.
cos⁡x−(−cos⁡x)=2cos⁡x\cos x - (-\cos x) = 2\cos x
İlk iki adımda elde edilen indirgenmiş ifadeler pay kısmındaki yerlerine yazılarak işlem yürütülür.
4
tan⁡(7π2+x)\tan\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) ifadesinin esas ölçüsü bulunarak indirgeme formülü uygulanır.
tan⁡(7π2+x)=tan⁡(3π2+x)=−cot⁡x\tan\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cot x
7π2\frac{7\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. Dördüncü bölgede tanjant negatif olup, açı 3π2\frac{3\pi}{2} cinsinden yazıldığı için fonksiyon kotanjanta dönüşür.
5
Pay ve payda ifadeleri oranlanarak en sade biçim elde edilir.
2cos⁡x−cot⁡x=2cos⁡x−cos⁡xsin⁡x=2cos⁡x⋅(−sin⁡xcos⁡x)=−2sin⁡x\frac{2\cos x}{-\cot x} = \frac{2\cos x}{-\frac{\cos x}{\sin x}} = 2\cos x \cdot \left(-\frac{\sin x}{\cos x}\right) = -2\sin x
Kotanjant fonksiyonu cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x} şeklinde yazılıp payda ters çevrilerek pay ile çarpılır ve ortak olan kosinüs terimleri sadeleştirilir.

Key Concept

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Question 6Question →

5π4<x<3π2\frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} olmak üzere,

A=1+sin⁡(π+2x)sin⁡(7π2+x)+cos⁡(5π2−x)−1−sin⁡(π+2x)cos⁡(7π2−x)−sin⁡(5π2+x)A = \frac{\sqrt{1 + \sin(\pi + 2x)}}{\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)} - \frac{\sqrt{1 - \sin(\pi + 2x)}}{\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{2} + x\right)}

ifadesi tanımlanıyor.

Buna göre, AA ifadesinin eşiti aşa��ıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: −2-2

Answer

−2-2 değeri doğrudur.
Doğru cevap −2-2 değeridir. İfadeler indirgendiğinde birinci kesir cos⁡x−sin⁡xsin⁡x−cos⁡x=−1\frac{\cos x - \sin x}{\sin x - \cos x} = -1 ve ikinci kesir −(sin⁡x+cos⁡x)−(sin⁡x+cos⁡x)=1\frac{-(\sin x + \cos x)}{-(\sin x + \cos x)} = 1 eşitliklerini sağlar. Bu iki değerin farkı alındığında sonuç −2-2 olur.

Step-by-Step Solution

1
Köklü ifadelerin içindeki trigonometrik ifadeleri indirgeme ve tam kare biçiminde yazma
sin⁡(π+2x)=−sin⁡(2x)\sin(\pi + 2x) = -\sin(2x) olduğundan,
1+sin⁡(π+2x)=1−sin⁡(2x)=(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{1 + \sin(\pi + 2x)} = \sqrt{1 - \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|
ve benzer şekilde
1−sin⁡(π+2x)=1+sin⁡(2x)=(sin⁡x+cos⁡x)2=∣sin⁡x+cos⁡x∣\sqrt{1 - \sin(\pi + 2x)} = \sqrt{1 + \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x| elde edilir.
Köklü ifadeleri mutlak değer dışına çıkarabilmek için tam kare özdeşliğini kullanmak gerekir.
2
Verilen bölgeye göre mutlak değerlerin işaretini belirleme
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı III. bölgenin ikinci yarısıdır. Bu aralıkta sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 olduğundan:
1) sin⁡x−cos⁡x<0\sin x - \cos x < 0 olur ve ∣sin⁡x−cos⁡x∣=cos⁡x−sin⁡x|\sin x - \cos x| = \cos x - \sin x olarak çıkar.
2) Hem sin⁡x\sin x hem de cos⁡x\cos x negatif olduğundan sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olur ve ∣sin⁡x+cos⁡x∣=−(sin⁡x+cos⁡x)|\sin x + \cos x| = -(\sin x + \cos x) olarak çıkar.
Mutlak değer dışına çıkarma işleminde ifadenin pozitif veya negatif olma durumu incelenmelidir.
3
Paydadaki ifadelerin indirgeme formüllerini uygulama
1) sin⁡(7π2+x)=sin⁡(3π2+x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x
2) cos⁡(5π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x
Böylece birinci payda: sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x olur.

3) cos⁡(7π2−x)=cos⁡(3π2−x)=−sin⁡x\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x
4) sin⁡(5π2+x)=sin⁡(π2+x)=cos⁡x\sin\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x
Böylece ikinci payda: −sin⁡x−cos⁡x=−(sin⁡x+cos⁡x)-\sin x - \cos x = -(\sin x + \cos x) olur.
Payda kısmındaki yüksek açılı ifadeleri indirgeme formülleriyle sadeleştirmek gerekir.
4
Pay ve payda oranlarını hesaplayarak ana işlemi tamamlama
Birinci terim:
cos⁡x−sin⁡xsin⁡x−cos⁡x=−1\frac{\cos x - \sin x}{\sin x - \cos x} = -1
İkinci terim:
−(sin⁡x+cos⁡x)−(sin⁡x+cos⁡x)=1\frac{-(\sin x + \cos x)}{-(\sin x + \cos x)} = 1
Ana ifade:
A=−1−(1)=−2A = -1 - (1) = -2 olarak bulunur.
Sadeleştirilmiş parçaları ana denklemde yerine koyup çıkarma işlemini tamamlamak için.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi, birim çemberde işaret analizi ve mutlak değer dışına çıkarma
Question 7Question →

x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,

cos⁡(π+x)sin⁡(π2+x)\frac{\cos(\pi + x)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: −1-1

Answer

İfadenin sadeleştirilmiş hali −1-1 değerine eşittir.
Doğru cevap −1-1 değeridir. Pay kısmındaki cos⁡(π+x)\cos(\pi + x) ifadesi 3. bölgede kosinüs negatif olduğundan −cos⁡x-\cos x değerine eşittir. Payda kısmındaki sin⁡(π2+x)\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) ifadesi ise 2. bölgede sinüs pozitif olduğundan ve π2\frac{\pi}{2} açısı nedeniyle isim değiştiğinden cos⁡x\cos x değerine eşittir. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise −1-1 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmında yer alan cos⁡(π+x)\cos(\pi + x) ifadesinin indirgeme formülünü uygulayalım.
cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi + x) = -\cos x
π+x\pi + x açısı koordinat düzleminde 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif (−-) olduğundan ve π\pi açısına göre yapılan indirgemelerde fonksiyonun adı değişmediğinden sonuç −cos⁡x-\cos x olur.
2
Payda kısmında yer alan sin⁡(π2+x)\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) ifadesinin indirgeme formülünü uygulayalım.
sin⁡(π2+x)=cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x
π2+x\frac{\pi}{2} + x açısı koordinat düzleminde 2. bölgededir. 2. bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitif (++) olduğundan ve π2\frac{\pi}{2} açısına göre yapılan indirgemelerde fonksiyonun adı değişerek kosinüs (cos⁡\cos) olduğundan sonuç cos⁡x\cos x olur.
3
Bulunan değerleri orijinal kesir ifadesinde yerine yazarak sadeleştirme işlemini gerçekleştirelim.
−cos⁡xcos⁡x=−1\frac{-\cos x}{\cos x} = -1
Pay ve paydadaki ortak cos⁡x\cos x terimleri sadeleştiğinde kesrin değeri −1-1 olarak bulunur.

Key Concept

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi
Question 8Question →

θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,

cos⁡(θ−3π2)=35\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3}{5}

eşitliği veriliyor.

Buna göre,

sin⁡(9π−θ)⋅cos⁡(7π2+θ)−cot⁡(11π2−θ)⋅tan⁡(5π+θ)\sin(9\pi - \theta) \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right) - \cot\left(\frac{11\pi}{2} - \theta\right) \cdot \tan(5\pi + \theta)

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: −81400-\frac{81}{400}

Answer

İndirgeme formülleri uygulandıktan sonra elde edilen sin⁡2θ−tan⁡2θ\sin^2\theta - \tan^2\theta ifadesinin sayısal değeri −81400-\frac{81}{400} olur.
Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle verilen cos⁡(θ−3π2)=35\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3}{5} eşitliği cos⁡(3π2−θ)=−sin⁡θ=35\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta = \frac{3}{5} şeklinde indirgenir. Buradan sin⁡θ=−35\sin\theta = -\frac{3}{5} elde edilir. θ\theta açısı üçüncü bölgede olduğundan cos⁡θ=−45\cos\theta = -\frac{4}{5} ve tan⁡θ=34\tan\theta = \frac{3}{4} bulunur. İkinci adımda sorulan ifadedeki terimlerin esas ölçüleri alınarak indirgendiğinde ifade sin⁡2θ−tan⁡2θ\sin^2\theta - \tan^2\theta şeklini alır. Bu ifadede bulunan değerler yerine yazıldığında 925−916=−81400\frac{9}{25} - \frac{9}{16} = -\frac{81}{400} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen cos⁡(θ−3π2)=35\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3}{5} eşitliğindeki açıyı indirgeme formülü yard��mıyla sadeleştirmek.
cos⁡(θ−3π2)=cos⁡(3π2−θ)=−sin⁡θ\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta olduğundan −sin⁡θ=35  ⟹  sin⁡θ=−35-\sin\theta = \frac{3}{5} \implies \sin\theta = -\frac{3}{5} bulunur.
Kosinüs çift fonksiyon olduğundan içindeki ifadenin işareti değiştirilebilir. Üçüncü bölgedeki 3π2−θ\frac{3\pi}{2} - \theta açısının kosinüsü −sin⁡θ-\sin\theta değerine eşittir.
2
θ\theta açısının üçüncü bölgede (θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)) yer almasını dikkate alarak cos⁡θ\cos\theta ve tan⁡θ\tan\theta değerlerini bulmak.
cos⁡θ=−1−sin⁡2θ=−1−925=−45\cos\theta = -\sqrt{1 - \sin^2\theta} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac{4}{5} ve tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−3/5−4/5=34\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4} elde edilir.
Üçüncü bölgede kosinüs değeri negatif, tanjant değeri ise pozitiftir.
3
Sorulan ifadedeki dört ayrı trigonometrik terimi indirgeme kuralları ile sadeleştirmek.
sin⁡(9π−θ)=sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(9\pi - \theta) = \sin(\pi - \theta) = \sin\theta
cos⁡(7π2+θ)=cos⁡(3π2+θ)=sin⁡θ\cos\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = \sin\theta
cot⁡(11π2−θ)=cot⁡(3π2−θ)=tan⁡θ\cot\left(\frac{11\pi}{2} - \theta\right) = \cot\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta
tan⁡(5π+θ)=tan⁡θ\tan(5\pi + \theta) = \tan\theta
Esas ölçüler alınarak ve bölgelere göre fonksiyonların işaretleri ile isim değişimleri (düşey eksende isim değişir, yatay eksende değişmez) kontrol edilerek terimler indirgenir.
4
İndirgenen terimleri yerlerine yazıp sayısal hesaplamayı tamamlamak.
İfade (sin⁡θ)⋅(sin⁡θ)−(tan⁡θ)⋅(tan⁡θ)=sin⁡2θ−tan⁡2θ(\sin\theta) \cdot (\sin\theta) - (\tan\theta) \cdot (\tan\theta) = \sin^2\theta - \tan^2\theta haline gelir. Değerler yerine yazıldığında:
(−35)2−(34)2=925−916=144−225400=−81400\left(-\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{9}{16} = \frac{144 - 225}{400} = -\frac{81}{400} elde edilir.
Elde edilen temel trigonometrik değerler sadeleştirilmiş cebirsel ifadede yerine konularak rasyonel sayılarda çıkarma işlemi gerçekleştirilir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre indirgeme formüllerinde işaret analizi ile isim değiştirme kurallarının doğru uygulanması.
Estimated Time:2m 30s
Question 9Question →

Aşağıda verilen xx, yy, zz ve ww trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Doğru sıralama w<x<y<zw < x < y < z şeklindedir.
Verilen ifadeler indirgendiğinde w=−tan⁡(40∘)w = -\tan(40^\circ), x=−sin⁡(10∘)x = -\sin(10^\circ), y=sin⁡(20∘)y = \sin(20^\circ) ve z=tan⁡(40∘)z = \tan(40^\circ) elde edilir. Negatif değerler kendi arasında kıyaslandığında w<xw < x, pozitif değerler kendi arasında kıyaslandığında ise y<zy < z olduğu görülür. Bu iki durum birleştirildiğinde doğru sıralama elde edilmiş olur.

Step-by-Step Solution

1
Açıların bölgelerini belirleyip işaret tespiti yapınız.
190∘190^\circ III. bölgededir (sinüs negatif), 220∘220^\circ III. bölgededir (tanjant pozitif), 290∘290^\circ IV. bölgededir (kosinüs pozitif), 310∘310^\circ IV. bölgededir (kotanjant negatif). Bu durumda w<0w < 0, x<0x < 0 ve y>0y > 0, z>0z > 0 olur.
Sıralama yaparken ilk adım sayıların işaretlerini belirleyerek pozitif ve negatif gruplara ayırmaktır.
2
Açıları indirgeme formüllerini kullanarak I. bölgedeki dar açılara dönüştürünüz.
x=−sin⁡(10∘)x = -\sin(10^\circ), y=cos⁡(70∘)=sin⁡(20∘)y = \cos(70^\circ) = \sin(20^\circ), z=tan⁡(40∘)z = \tan(40^\circ), w=−cot⁡(50∘)=−tan⁡(40∘)w = -\cot(50^\circ) = -\tan(40^\circ) elde edilir.
Farklı bölgelerdeki trigonometrik değerleri kıyaslayabilmek için hepsini I. bölgedeki eşdeğer ifadelerine dönüştürmek gerekir.
3
Eşdeğer ifadeleri büyüklüklerine göre karşılaştırıp nihai sıralamayı oluşturunuz.
10∘<40∘10^\circ < 40^\circ olduğundan sin⁡(10∘)<tan⁡(40∘)\sin(10^\circ) < \tan(40^\circ) olur. Buradan negatif değerler için −tan⁡(40∘)<−sin⁡(10∘)-\tan(40^\circ) < -\sin(10^\circ) yani w<xw < x elde edilir. Pozitif değerler için ise sin⁡(20∘)<sin⁡(40∘)<tan⁡(40∘)\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ) < \tan(40^\circ) olduğundan y<zy < z olur. Sonuç olarak w<x<y<zw < x < y < z sıralaması bulunur.
Birinci bölgede açılar büyüdükçe sinüs ve tanjant fonksiyonlarının değerleri artar; ayrıca aynı açı için tanjant değeri her zaman sinüs değerinden büyüktür.

Key Concept

Trigonometrik Değerlerin Bölgelere Göre İndirgenmesi ve İşaret Analizi
Estimated Time:2m 0s
Question 10Question →

π<x<7π6\pi < x < \frac{7\pi}{6} olmak üzere, aşağıda verilen AA, BB ve CC değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama B < C < A şeklindedir.
Verilen x açısı üçüncü bölgede yer almaktadır. İndirgeme bağıntıları uygulandığında A = -\cos x, B = -\sin x ve C = \tan x elde edilir. Bu aralıkta A, B ve C değerlerinin tümü pozitif olup sayısal sınırları sırasıyla A > 0.866, B < 0.5 ve C < 0.577 şeklindedir. C = B/A bağıntısında A < 1 olduğundan C > B elde edilir. Aynı zamanda C < A olduğundan doğru sıralama B < C < A olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
A, B ve C ifadelerindeki açıları esas ölçülerini ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirin.
A = -\cos x, B = -\sin x ve C = \tan x elde edilir.
Trigonometrik değerleri karşılaştırabilmek için öncelikle ifadeleri en sade ve bilinen formlarına dönüştürmek gerekir.
2
x açısının yer aldığı (\pi, 7\pi/6) aralığına göre sin x ve cos x değerlerinin sınırlarını belirleyin.
-1 < \cos x < -\sqrt{3}/2 ve -1/2 < \sin x < 0 sınırları elde edilir.
Üçüncü bölgedeki bu özel dar aralıkta trigonometrik fonksiyonların alabileceği değerlerin sınırlarını bilmek büyüklük karşılaştırması yapabilmemizi sağlar.
3
Elde edilen sınır değerleri kullanarak A, B ve C ifadelerinin pozitiflik durumlarını ve sayısal aralıklarını analiz edin.
A > 0.866, B < 0.5 ve C < 0.577 (tüm terimler pozitif) olduğu tespit edilir.
Her bir terimin pozitif olduğunu belirledikten sonra sayısal aralıklarını kıyaslayarak sıralamayı gerçekleştirmek gerekir.
4
A, B ve C arasındaki ilişkileri (özellikle C = B/A bağıntısını) kullanarak sıralamayı kesinleştirin.
B < C < A sıralaması elde edilir.
A < 1 olduğundan C = B/A > B olur. A > 0.866 ve C < 0.577 olduğundan da C < A olur. Bu iki durum birleştirildiğinde B < C < A sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi, birim çemberde işaret analizi ve trigonometrik değerlerin sıralanması.
Question 11Question →

x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,

a=sin⁡(π+x)a = \sin(\pi + x)
b=cos⁡(π−x)b = \cos(\pi - x)
c=tan⁡(3π2+x)c = \tan\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)

olarak veriliyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

c < b < a
Verilen açılar dar açı cinsine indirgendiğinde a=−sin⁡xa = -\sin x, b=−cos⁡xb = -\cos x ve c=−cot⁡xc = -\cot x değerleri elde edilir. x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡x<cos⁡x<1<cot⁡x\sin x < \cos x < 1 < \cot x olduğundan, negatif işaretli halleri sıralandığında c<b<ac < b < a sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Trigonometrik ifadeleri indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirmek.
a=−sin⁡xa = -\sin x, b=−cos⁡xb = -\cos x ve c=−cot⁡xc = -\cot x
π+x\pi + x açısı 3. bölgede olduğundan sinüs negatiftir. π−x\pi - x açısı 2. bölgede olduğundan kosinüs negatiftir. 3π2+x\frac{3\pi}{2} + x açısı 4. bölgede olduğundan tanjant negatiftir ve 3π2\frac{3\pi}{2} açısı kullanıldığından fonksiyon eş fonksiyonu olan kotanjanta dönüşür.
2
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x ve cot⁡x\cot x fonksiyonlarının değer aralıklarını kıyaslamak.
0<sin⁡x<cos⁡x<1<cot⁡x0 < \sin x < \cos x < 1 < \cot x
00 ile π4\frac{\pi}{4} (45∘45^\circ) arasındaki açılar için sinüs değeri kosinüs değerinden küçüktür ve her ikisi de 00 ile 11 arasındadır. Kotanjant ise bu aralıkta 11'den büyüktür.
3
Elde edilen eşitsizliği negatif işaretlerle çarparak sıralamayı belirlemek.
c<b<ac < b < a
0<sin⁡x<cos⁡x<cot⁡x0 < \sin x < \cos x < \cot x eşitsizliği −1-1 ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve −cot⁡x<−cos⁡x<−sin⁡x-\cot x < -\cos x < -\sin x olur.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve dar açılı bölgelerde kıyaslanması.
Question 12Question →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Verilen ifadelerin değerleri sırasıyla a=12a = \frac{1}{2}, b=−12b = -\frac{1}{2} ve c=−1c = -1 olduğundan, doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen trigonometrik oranlar bölgelerine göre indirgendiğinde elde edilen değerler a=12a = \frac{1}{2}, b=−12b = -\frac{1}{2} ve c=−1c = -1 şeklindedir. Bu sayısal değerler karşılaştırıldığında −1<−12<12-1 < -\frac{1}{2} < \frac{1}{2} sıralaması elde edilir. Dolayısıyla doğru sıralama c<b<ac < b < a olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
a=sin⁡(150∘)a = \sin(150^\circ) ifadesinin değerini bulunuz.
a=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡(30∘)=12a = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
150∘150^\circ açısı 2. bölgededir ve 2. bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir.
2
b=cos⁡(240∘)b = \cos(240^\circ) ifadesinin değerini bulunuz.
b=cos⁡(180∘+60∘)=−cos⁡(60∘)=−12b = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}
240∘240^\circ açısı 3. bölgededir ve 3. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatiftir.
3
c=tan⁡(315∘)c = \tan(315^\circ) ifadesinin değerini bulunuz.
c=tan⁡(360∘−45∘)=−tan⁡(45∘)=−1c = \tan(360^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1
315∘315^\circ açısı 4. bölgededir ve 4. bölgede tanjant fonksiyonunun işareti negatiftir.
4
Bulunan değerleri karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayınız.
−1<−12<12-1 < -\frac{1}{2} < \frac{1}{2} olduğundan c<b<ac < b < a sıralaması elde edilir.
Sayı doğrusundaki konumlarına göre en soldaki (en küçük) sayı −1-1, ardından −12-\frac{1}{2} ve en sağdaki (en büyük) sayı ise 12\frac{1}{2}'dir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret tayini ve indirgeme kuralları yardımıyla değerlerinin hesaplanması.
Question 13Question →

Tanımlı olduğu xx ve yy gerçel sayıları için,

x−y=9π2x - y = \frac{9\pi}{2}

olduğuna göre,

3cos⁡(x−3π)⋅tan⁡(y−5π2)+3sin⁡(7π2+x)sin⁡(5π−y)−cos⁡(5π2−x)\frac{3\cos(x - 3\pi) \cdot \tan\left(y - \frac{5\pi}{2}\right) + 3\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)}{\sin(5\pi - y) - \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)}

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

İfadeler doğru şekilde indirgendiğinde pay paydanın 3 katı olmakta ve oran 3 olarak bulunmaktadır.
Verilen x−y=9π2x - y = \frac{9\pi}{2} bağıntısı kullanılarak tüm trigonometrik terimler yy açısı cinsinden indirgendiğinde, pay ifadesi 3(sin⁡y−cos⁡y)3(\sin y - \cos y) ve payda ifadesi sin⁡y−cos⁡y\sin y - \cos y olarak elde edilir. Bu iki ifade birbirine oranlandığında sadeleşerek 3 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen iki değişken arasındaki ilişkiyi esas ölçü cinsinden yazmak.
x=y+4π+π2x = y + 4\pi + \frac{\pi}{2} olduğundan, xx açısının esas ölçüsü y+π2y + \frac{\pi}{2} olur. Buradan sin⁡x=sin⁡(y+π2)=cos⁡y\sin x = \sin\left(y + \frac{\pi}{2}\right) = \cos y ve cos⁡x=cos⁡(y+π2)=−sin⁡y\cos x = \cos\left(y + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin y eşitlikleri elde edilir.
İfadedeki farkl�� değişkenleri tek bir değişken cinsinden ifade edebilmek için.
2
Pay kısmındaki trigonometrik ifadeleri yy cinsinden indirgemek.
cos⁡(x−3π)=−cos⁡x=−(−sin⁡y)=sin⁡y\cos(x - 3\pi) = -\cos x = -(-\sin y) = \sin y olur. tan⁡(y−5π2)=tan⁡(y−π2)=−cot⁡y\tan\left(y - \frac{5\pi}{2}\right) = \tan\left(y - \frac{\pi}{2}\right) = -\cot y olur. Bu iki ifadenin çarpımı 3⋅sin⁡y⋅(−cot⁡y)=−3cos⁡y3 \cdot \sin y \cdot (-\cot y) = -3\cos y olarak bulunur. Diğer terim ise sin⁡(7π2+x)=sin⁡(3π2+x)=−cos⁡x=−(−sin⁡y)=sin⁡y\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x = -(-\sin y) = \sin y olur. Böylece pay kısmı −3cos⁡y+3sin⁡y=3(sin⁡y−cos⁡y)-3\cos y + 3\sin y = 3(\sin y - \cos y) halini alır.
Pay kısmındaki karmaşık ifadeleri sadeleştirip ortak bir çarpan parantezine alabilmek için.
3
Payda kısmındaki trigonometrik ifadeleri yy cinsinden indirgemek.
sin⁡(5π−y)=sin⁡(π−y)=sin⁡y\sin(5\pi - y) = \sin(\pi - y) = \sin y olur. cos⁡(5π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x olur. Birinci adımda elde ettiğimiz sin⁡x=cos⁡y\sin x = \cos y eşitliği yerine yazıldığında bu ifade cos⁡y\cos y değerine eşit olur. Dolayısıyla payda kısmı sin⁡y−cos⁡y\sin y - \cos y haline gelir.
Payda kısmını pay kısmı ile sadeleşebilir hale getirmek için.
4
Elde edilen pay ve payda ifadelerini oranlamak.
A=3(sin⁡y−cos⁡y)sin⁡y−cos⁡y=3A = \frac{3(\sin y - \cos y)}{\sin y - \cos y} = 3 bulunur.
Sadeleşen terimleri eleyerek nihai sayısal değere ulaşmak için.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi ve iki değişken arasındaki doğrusal ilişki yardımıyla dönüşüm yapılması.
Estimated Time:2m 30s
Question 14Question →

Dar açılı bir ABCABC üçgeninin iç açılarının ölçüleri AA, BB ve CC radyandır.

Buna göre, tanımlı olduğu değerler için

sin⁡(A+B)−cos⁡(3π2−C)sin⁡(5π2+C)−cos⁡(π−C) \frac{\sin(A+B) - \cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right)}{\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) - \cos(\pi - C)}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: tan⁡C\tan C

Answer

Verilen ifadenin en sade hali tanjant C olarak bulunur.
Dar açılı bir üçgende A+B+C=πA + B + C = \pi olduğundan A+B=π−CA + B = \pi - C olur ve sin⁡(A+B)=sin⁡(π−C)=sin⁡C\sin(A + B) = \sin(\pi - C) = \sin C elde edilir. Diğer ifadeler indirgendiğinde, cos⁡(3π2−C)=−sin⁡C\cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right) = -\sin C, sin⁡(5π2+C)=sin⁡(π2+C)=cos⁡C\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + C\right) = \cos C ve cos⁡(π−C)=−cos⁡C\cos(\pi - C) = -\cos C bulunur. Bu değerler verilen kesirde yerine yazıldığında pay 2sin⁡C2\sin C, payda 2cos⁡C2\cos C olur. Bölümün sonucu ise tanjant C olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Üçgenin iç açılarının toplamı ilişkisini kullanarak A+BA+B açısını CC cinsinden yazıp sin⁡(A+B)\sin(A+B) ifadesini indirgeyin.
A+B+C=π  ⟹  A+B=π−CA+B+C = \pi \implies A+B = \pi - C olur. Buradan sin⁡(A+B)=sin⁡(π−C)=sin⁡C\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C elde edilir.
ABCABC üçgeninin iç açıları toplamı π\pi radyandır. İkinci bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitif olduğundan sin⁡(π−C)=sin⁡C\sin(\pi-C) = \sin C olur.
2
Paydaki cos⁡(3π2−C)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right) ifadesini indirgeyip payı düzenleyin.
cos⁡(3π2−C)=−sin⁡C\cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right) = -\sin C olur. Pay kısmı ise sin⁡C−(−sin⁡C)=2sin⁡C\sin C - (-\sin C) = 2\sin C haline gelir.
Açı üçüncü bölgededir. Üçüncü b��lgede kosinüs fonksiyonu negatif işaretlidir ve düşey eksende (270∘270^\circ) isim değiştirerek sinüse dönüşür.
3
Paydadaki sin⁡(5π2+C)\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) ve cos⁡(π−C)\cos(\pi - C) ifadelerini indirgeyin.
sin⁡(5π2+C)=sin⁡(π2+C)=cos⁡C\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + C\right) = \cos C ve cos⁡(π−C)=−cos⁡C\cos(\pi - C) = -\cos C olur. Payda kısmı ise cos⁡C−(−cos⁡C)=2cos⁡C\cos C - (-\cos C) = 2\cos C haline gelir.
5π2\frac{5\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2} radyandır. İkinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir ve isim değiştirerek kosinüse dönüşür. π−C\pi - C açısı ikinci bölgededir, bu bölgede kosinüs negatif işaretlidir ve isim değiştirmez.
4
Bulunan pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçime ulaşın.
2sin⁡C2cos⁡C=sin⁡Ccos⁡C=tan⁡C\frac{2\sin C}{2\cos C} = \frac{\sin C}{\cos C} = \tan C elde edilir.
Aynı açının sinüs değerinin kosinüs değerine oranı tanjant fonksiyonunu verir.

Key Concept

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Estimated Time:2m 0s
Question 15Question →

θ=20∘\theta = 20^\circ olmak üzere,

A=cos⁡(1240∘)⋅sin⁡(−430∘)sin⁡(200∘)⋅cos⁡(340∘)A = \frac{\cos(1240^\circ) \cdot \sin(-430^\circ)}{\sin(200^\circ) \cdot \cos(340^\circ)}
B=cos⁡(13π2−θ)sin⁡(5π+θ)⋅cot⁡(12π−θ)tan⁡(7π2+θ)B = \frac{\cos\left(\frac{13\pi}{2} - \theta\right)}{\sin(5\pi + \theta)} \cdot \frac{\cot(12\pi - \theta)}{\tan\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right)}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre, A⋅BA \cdot B çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Show answer & explanation

Answer: cot⁡(20∘)\cot(20^\circ)

Answer

İfadelerin doğru şekilde sadeleştirilmesiyle elde edilen A⋅BA \cdot B çarpımı cot⁡(20∘)\cot(20^\circ) değerine eşittir.
İndirgemeler doğru yapıldığında, birinci ifadeden eksi işaretli kotanjant yirmi derece, ikinci ifadeden ise eksi bir değeri elde edilir. Bu iki ifadenin çarpımı pozitif işaretli kotanjant yirmi dereceye eşit olur.

Step-by-Step Solution

1
AA ifadesindeki her bir trigonometrik fonksiyonu 20∘20^\circ cinsinden dar açıya indirgeyiniz.
A=(−cos⁡(20∘))⋅(−cos⁡(20∘))(−sin⁡(20∘))⋅cos⁡(20∘)=−cot⁡(20∘)A = \frac{(-\cos(20^\circ)) \cdot (-\cos(20^\circ))}{(-\sin(20^\circ)) \cdot \cos(20^\circ)} = -\cot(20^\circ) elde edilir.
1240∘=3⋅360∘+160∘1240^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 160^\circ olup 2. bölgededir. cos⁡(160∘)=−cos⁡(20∘)\cos(160^\circ) = -\cos(20^\circ) olur. −430∘=−430∘+720∘=290∘-430^\circ = -430^\circ + 720^\circ = 290^\circ olup 4. bölgededir. sin⁡(290∘)=sin⁡(270∘+20∘)=−cos⁡(20∘)\sin(290^\circ) = \sin(270^\circ + 20^\circ) = -\cos(20^\circ) olur. 200∘200^\circ açısı 3. bölgededir. sin⁡(200∘)=sin⁡(180∘+20∘)=−sin⁡(20∘)\sin(200^\circ) = \sin(180^\circ + 20^\circ) = -\sin(20^\circ) olur. 340∘340^\circ açısı 4. bölgededir. cos⁡(340∘)=cos⁡(360∘−20∘)=cos⁡(20∘)\cos(340^\circ) = \cos(360^\circ - 20^\circ) = \cos(20^\circ) olur.
2
BB ifadesindeki radyan cinsinden verilen açıları θ=20∘\theta = 20^\circ için indirgeyiniz.
B=sin⁡(20∘)−sin⁡(20∘)⋅−cot⁡(20∘)−cot⁡(20∘)=(−1)⋅1=−1B = \frac{\sin(20^\circ)}{-\sin(20^\circ)} \cdot \frac{-\cot(20^\circ)}{-\cot(20^\circ)} = (-1) \cdot 1 = -1 elde edilir.
cos⁡(13π2−θ)=cos⁡(6π+π2−θ)=cos⁡(π2−θ)=sin⁡(θ)\cos\left(\frac{13\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(6\pi + \frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin(\theta) (1. bölge). sin⁡(5π+θ)=sin⁡(π+θ)=−sin⁡(θ)\sin(5\pi + \theta) = \sin(\pi + \theta) = -\sin(\theta) (3. bölge). cot⁡(12π−θ)=cot⁡(−θ)=−cot⁡(θ)\cot(12\pi - \theta) = \cot(-\theta) = -\cot(\theta). tan⁡(7π2+θ)=tan⁡(2π+3π2+θ)=tan⁡(3π2+θ)=−cot⁡(θ)\tan\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right) = \tan\left(2\pi + \frac{3\pi}{2} + \theta\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = -\cot(\theta) (4. bölge).
3
Elde edilen AA ve BB değerlerini çarparak sonuca ulaşınız.
A⋅B=(−cot⁡(20∘))⋅(−1)=cot⁡(20∘)A \cdot B = (-\cot(20^\circ)) \cdot (-1) = \cot(20^\circ) bulunur.
AA ifadesinin sadeleşmiş hali olan −cot⁡(20∘)-\cot(20^\circ) ile BB ifadesinin sadeleşmiş hali olan −1-1 çarpılır.

Key Concept

Birim çember üzerindeki yönlü açılarda, 90∘90^\circ (π/2\pi/2) ve 270∘270^\circ (3π/23\pi/2) katları kullanıldığında fonksiyon isim değiştirirken (sin ↔\leftrightarrow cos, tan ↔\leftrightarrow cot), 180∘180^\circ (π\pi) ve 360∘360^\circ (2π2\pi) katlarında isim değişmez. İşaret belirlemede her zaman orijinal fonksiyonun o bölgedeki işareti dikkate alınmalıdır.

Alternative Method

İfadelerin her birinde yer alan büyük veya negatif açıları, birim çember üzerinde esas ölçülerini bularak pozitif yönlü dar açılara dönüştürmek işlem karmaşasını azaltır.
Estimated Time:2m 30s
Question 16Question →

α∈(π,5π4)\alpha \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,

a=sin⁡(7π−α)a = \sin(7\pi - \alpha)
b=cos⁡(5π−α)b = \cos(5\pi - \alpha)
c=tan⁡(7π2−α)c = \tan \left(\frac{7\pi}{2} - \alpha\right)
d=cot⁡(α−13π2)d = \cot\left(\alpha - \frac{13\pi}{2} \right)

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama d < a < b < c şeklindedir.
Verilen açının üçüncü bölgedeki konumu dikkate alınarak tüm ifadeler birinci bölgedeki dar açı cinsinden yazıldığında, negatif olanlar kendi aralarında (tanjantın sinüsten büyük olması nedeniyle -tan < -sin), pozitif olanlar kendi aralarında (kosinüsün 1'den küçük, kotanjantın ise 1'den büyük olması nedeniyle cos < cot) sıralanır.

Step-by-Step Solution

1
Açının aralığını belirleme ve kolaylık sağlamak için yardımcı bir dar açı tanımlama.
α=π+θ\alpha = \pi + \theta tanımlanır, burada θ∈(0,π4)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığ��nda bir dar açıdır.
Bölgelere göre indirgeme yaparken dar açılar üzerinden kıyaslama yapmak kolaylık sağlar.
2
Verilen dört trigonometrik ifadeyi indirgeme formülleriyle θ\theta cinsinden yazma.
a=−sin⁡θa = -\sin\theta, b=cos⁡θb = \cos\theta, c=cot⁡θc = \cot\theta, d=−tan⁡θd = -\tan\theta elde edilir.
Her ifadenin esas ölçü ve bölge dönüşümlerini yaparak karşılaştırılabilir ortak bir değişken elde etmek için.
3
Elde edilen ifadelerin işaretlerini ve değer aralıklarını analiz etme.
dd ve aa negatif; bb ve cc pozitif değerlerdir. 0<sin⁡θ<tan⁡θ<10 < \sin\theta < \tan\theta < 1 olduğundan −tan⁡θ<−sin⁡θ-\tan\theta < -\sin\theta, yani d<ad < a olur. Ayrıca cos⁡θ<1<cot⁡θ\cos\theta < 1 < \cot\theta olduğundan b<cb < c olur.
Trigonometrik fonksiyonların birinci bölgedeki büyüklük ilişkilerini kullanarak kesin sıralamayı oluşturmak için.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi ve dar açı dönüşümleri kullanılarak sıralanması.

Alternative Method

Aralığa uygun olacak şekilde α=210∘\alpha = 210^\circ değeri seçilebilir. Bu durumda a=sin⁡(150∘)=0.5a = \sin(150^\circ) = 0.5 gibi görünse de esas formüllerden indirgeme yapıldığında değerler doğrudan hesaplanıp kıyaslanabilir.
Estimated Time:3m 0s
Question 17Question →

θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere, aşağıda verilen xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

İfadelerin doğru sıralanışı x<y<zx < y < z şeklindedir.
Verilen açı aralığında indirgenmiş ifadelerin değer aralıkları hesaplandığında x∈(0,22)x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), y∈(22,1)y \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) ve z∈(1,∞)z \in (1, \infty) olarak bulunur. Bu aralıkların kesişimi olmadığı için kesin bir şekilde x<y<zx < y < z sıralaması geçerlidir.

Step-by-Step Solution

1
xx ifadesini indirgeyiniz.
x=−cos⁡θx = -\cos\theta
3π2\frac{3\pi}{2} açısına göre dönüşüm yapıldığından fonksiyon isim değiştirir. 3π2−θ\frac{3\pi}{2} - \theta açısı üçüncü bölgeye karşılık gelir ve bu bölgede sinüsün işareti negatiftir.
2
yy ifadesini indirgeyiniz.
y=sin⁡θy = \sin\theta
3π2\frac{3\pi}{2} açısına göre dönüşüm yapıldığından fonksiyon isim değiştirir. 3π2+θ\frac{3\pi}{2} + \theta açısı dördüncü bölgeye karşılık gelir ve bu bölgede kosinüsün işareti pozitiftir.
3
zz ifadesini indirgeyiniz.
z=−tan⁡θz = -\tan\theta
π\pi açısına göre dönüşüm yapıldığından fonksiyon isim değiştirmez. π−θ\pi - \theta açısı ikinci bölgeye karşılık gelir ve bu bölgede tanjantın işareti negatiftir.
4
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığına göre elde edilen değerlerin büyüklük sıralamasını yapınız.
x<y<zx < y < z
Verilen aralıkta cos⁡θ∈(−22,0)\cos\theta \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) olduğundan x∈(0,22)x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) olur. Aynı aralıkta sin⁡θ∈(22,1)\sin\theta \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) olduğundan y∈(22,1)y \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) olur. tan⁡θ∈(−∞,−1)\tan\theta \in (-\infty, -1) olduğundan z∈(1,∞)z \in (1, \infty) olur. Bu durumda sıralama x<y<zx < y < z olarak elde edilir.

Key Concept

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi ve indirgeme formüllerinin uygulanması.
Question 18Question →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(π−x)cos⁡(π2+x)\frac{\sin(\pi - x)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: −1-1

Answer

Doğru cevap −1-1 değerine sahip seçenektir.
Verilen ifade sadeleştirildiğinde pay sin⁡x\sin x değerine, payda ise −sin⁡x-\sin x değerine eşit olur. Bu iki değerin birbirine oranı ise −1-1 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki sin⁡(π−x)\sin(\pi - x) ifadesinin indirgemesini yapın.
sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x
π−x\pi - x açısı ikinci bölgededir. İkinci bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitif (+) olup, yatay eksen (π\pi) kullanıldığı için fonksiyonun adı değişmez.
2
Payda kısmındaki cos⁡(π2+x)\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) ifadesinin indirgemesini yapın.
cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x
π2+x\frac{\pi}{2} + x açısı ikinci bölgededir. İkinci bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif (-) olup, düşey eksen (π2\frac{\pi}{2}) kullanıldığı için fonksiyon adı sinüse dönüşür.
3
Elde edilen değerleri kesirde yerine koyarak ifadeyi sadeleştirin.
sin⁡x−sin⁡x=−1\frac{\sin x}{-\sin x} = -1
Bulunan indirgenmiş ifadeler oranlandığında ortak sin⁡x\sin x çarpanları sadeleşir ve sonuç −1-1 olur.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların dar açı cinsinden bölgelere göre indirgenmesi
Estimated Time:45s
Question 19Question →

π<x<5π4\pi < x < \frac{5\pi}{4} olmak üzere;

a=sin⁡(3π2+x)a = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)
b=cos⁡(π2−x)b = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
c=tan⁡(3π2−x)c = \tan\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)
d=cot⁡(π−x)d = \cot\left(\pi - x\right)

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Trigonometrik ifadelerin küçükten büyüğe doğru sıralaması d < b < a < c şeklindedir.
İndirgenen değerler sırasıyla incelendiğinde; dd ifadesi −1-1'den küçük, bb ifadesi −1-1 ile 00 arasında (negatif), aa ifadesi 00 ile 11 arasında (pozitif) ve cc ifadesi 11'den büyüktür. Bu aralıklar birbirini kesmediğinden sıralama kesin olarak en küçükten en büyüğe doğru d<b<a<cd < b < a < c biçimindedir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen trigonometrik ifadeleri indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirin.
a=−cos⁡(x)a = -\cos(x), b=sin⁡(x)b = \sin(x), c=cot⁡(x)c = \cot(x) ve d=−cot⁡(x)d = -\cot(x) olarak bulunur.
Değerlerin karşılaştırılabilmesi için tüm ifadelerin aynı açı (xx) cinsinden yazılması gerekir.
2
Açının bulunduğu (π,5π4)\left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre temel trigonometrik fonksiyonların alabileceği değer sınırlarını belirleyin.
Üçüncü bölgedeki bu aralıkta sin⁡(x)∈(−22,0)\sin(x) \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right), cos⁡(x)∈(−1,−22)\cos(x) \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ve cot⁡(x)∈(1,∞)\cot(x) \in (1, \infty) olur.
Bölgelere göre fonksiyonların işaretleri ve birim çember üzerindeki sınır değerleri sıralamanın temelini oluşturur.
3
Elde edilen sınırları indirgenmiş ifadelere uygulayarak a,b,c,da, b, c, d değerlerini kıyaslayın.
d<−1d < -1, −0.707<b<0-0.707 < b < 0, 0.707<a<10.707 < a < 1 ve c>1c > 1 eşitsizlikleri elde edilir. Buradan d<b<a<cd < b < a < c sıralamasına ulaşılır.
Aralıkların hiçbir ortak elemanı olmadığı için sıralama kesin ve benzersizdir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve birim çember üzerinde değer aralıklarının belirlenerek sıralanması
Question 20Question →

Tanımlı olduğu aralıktaki xx gerçel sayıları için,

cos⁡(5π2−x)−sin⁡(3π+x)sin⁡(11π2−x)+cos⁡(7π+x)\frac{\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \sin(3\pi + x)}{\sin\left(\frac{11\pi}{2} - x\right) + \cos(7\pi + x)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: −tan⁡(x)-\tan(x)

Answer

−tan⁡(x)-\tan(x)
İfadedeki tüm trigonometrik terimlerin esas ölçüleri ve bulundukları bölgeler tespit edildikten sonra indirgeme formülleri uygulanmıştır. Pay kısmından 2sin⁡(x)2\sin(x), payda kısmından ise −2cos⁡(x)-2\cos(x) elde edilmiştir. Bu iki değerin birbirine oranı −tan⁡(x)-\tan(x) sonucunu vermektedir.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki terimlerin esas ölçüleri bulunarak bölgelere göre indirgenmesi gerçekleştirilir.
cos⁡(5π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)
sin⁡(3π+x)=sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin(3\pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin(x)

Buradan pay ifadesi:
sin⁡(x)−(−sin⁡(x))=2sin⁡(x)\sin(x) - (-\sin(x)) = 2\sin(x) olarak bulunur.
Payı oluşturan ifadeleri en sade biçime getirmek için.
2
Payda kısmındaki terimlerin esas ölçüleri bulunarak bölgelere göre indirgenmesi gerçekleştirilir.
sin⁡(11π2−x)=sin⁡(3π2−x)=−cos⁡(x)\sin\left(\frac{11\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x)
cos⁡(7π+x)=cos⁡(π+x)=−cos⁡(x)\cos(7\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos(x)

Buradan payda ifadesi:
(−cos⁡(x))+(−cos⁡(x))=−2cos⁡(x)(-\cos(x)) + (-\cos(x)) = -2\cos(x) olarak bulunur.
Paydayı oluşturan ifadeleri en sade biçime getirmek için.
3
Bulunan pay ve payda değerleri birbirine oranlanarak ifade sadeleştirilir.
2sin⁡(x)−2cos⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡(x)=−tan⁡(x)\frac{2\sin(x)}{-2\cos(x)} = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)
İfadenin en sade şeklini elde etmek için.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve açıların bölgelerine göre işaret/fonksiyon değişimi kurallarının uygulanması.
Estimated Time:1m 30s
Page 1 / 3Next
Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin