Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 2

Question 21Question →

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak üzere, aşağıda verilen

a

,

b

ve

c

trigonometrik ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Trigonometrik özdeşlikler ve aralık analizi yapıldığında ifadeler

a < c < b

şeklinde sıralanır.

Verilen aralıkta ifadeler sadeleştirildiğinde

a = \sin(x) - \cos(x)

değeri sıfır ile bir arasında pozitif bir değer alır,

c

ifadesi sadeleşerek doğrudan bir değerine eşit olur,

b

ifadesi ise mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkarak birden büyük bir değer alır. Bu durum en küçük değerin ilk ifadeye, en büyük değerin ise ikinci ifadeye ait olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1

a

ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirelim.

a = \frac{(\sin^2(x) - \cos^2(x))(\sin^2(x) + \cos^2(x))}{\sin(x) + \cos(x)}

elde edilir.

\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1

olduğu için ifade

a = \frac{(\sin(x) - \cos(x))(\sin(x) + \cos(x))}{\sin(x) + \cos(x)} = \sin(x) - \cos(x)

halini alır.

Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapmak, sıralama kıyaslamasını kolaylaştırır.

2

b

ifadesini tam kare özdeşliği yardımıyla kök dışına çıkaralım.

1 = \sin^2(x) + \cos^2(x)

yazıldığında kök içi

(\sin(x) + \cos(x))^2

olur. Buradan

b = \sqrt{(\sin(x) + \cos(x))^2} = |\sin(x) + \cos(x)|

elde edilir.

Derecesi çift olan köklü ifadeler dışarıya mutlak değer içinde çıkarılmalıdır.

3

c

ifadesini sinüs ve kosinüs fonksiyonları türünden yazıp sadeleştirelim.

Pay kısmı:

\tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}

olur. Payda kısmı:

\sec(x)\csc(x) = \frac{1}{\cos(x)\sin(x)}

olur. İkisinin oranı

c = 1

sonucunu verir.

Temel trigonometrik kimlikler kullanılarak karmaşık rasyonel ifadeler sadeleştirilir.

4

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığına göre ifadelerin işaret ve büyüklük analizini yapalım.

Bu aralıkta (üçüncü bölgede)

\cos(x) < \sin(x) < 0

eşitsizliği geçerlidir. Dolayısıyla:
-

a = \sin(x) - \cos(x) > 0

olup

0 < a < 1

aralığındadır.
-

\sin(x) + \cos(x) < 0

olduğundan

b = |\sin(x) + \cos(x)| = -\sin(x) - \cos(x)

olur. Bu değer

1 < b < \sqrt{2}

aralığındadır.
-

c = 1

sabittir.

Fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri ve birbirlerine göre büyüklükleri sıralamayı belirler.

5

Elde edilen değer aralıklarını birleştirerek nihai sıralamayı oluşturalım.

0 < a < 1

,

c = 1

ve

1 < b < \sqrt{2}

olduğundan sıralama

a < c < b

şeklindedir.

Bulunan sayısal aralıklar sıralamayı tek bir şekilde belirlememizi sağlar.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Estimated Time:2m 30s

Question 22Question →

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere,

a = \sin x \cdot \cos x

b = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x} + \sin x

c = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x} + \cos x

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanış�� aşağıdakilerden hangisidir?

c < b < a

c < a < b

b < c < a

b < a < c

a < b < c

Show answer & explanation

Answer: $c < b < a$

Answer

c < b < a sıralaması doğrudur.

Sıralamada a değeri iki negatif değerin çarpımı olduğu için kesinlikle pozitif olup en büyüktür. b değeri sadeleştirildiğinde kosinüs değerine eşit olup negatiftir. c değeri ise sinüs ile kosinüsün iki katının toplamına eşit olup yine negatiftir. İki negatif değer karşılaştırıldığında, sinüs ve kosinüsün toplamı negatif olduğundan c değeri b değerinden daha küçüktür. Dolayısıyla doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Açının bölgesini ve bu bölgedeki temel trigonometrik işaretleri belirleme

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığı analitik düzlemde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede hem sinüs hem de kosinüs fonksiyonlarının değerleri negatiftir:

\sin x < 0

ve

\cos x < 0

. Ayrıca bu aralıkta açının büyüklüğünden dolayı

\sin x < \cos x < 0

eşitsizliği geçerlidir.

İfadelerin sadeleştirilmesinde mutlak değerlerin dışarıya nasıl çıkacağını ve işaretlerini belirlemek için bölge analizi şarttır.

2

a ifadesinin işaretini belirleme

a = \sin x \cdot \cos x

ifadesinde iki negatif değerin çarpımı pozitif bir sonuç verir. Dolayısıyla

a > 0

olur.

Çarpım durumundaki ifadelerin işaret kuralını uygulayarak a değerinin pozitif olduğunu buluruz.

3

b ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme

1 - 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2

özdeşliği kullanılır.
Kök dışına çıkarma işlemi yapılırsa:

\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = | \sin x - \cos x |

Üçüncü bölgedeki bu aralıkta

\sin x < \cos x

olduğundan, mutlak değerin içi negatiftir. Dışarıya işaret değiştirerek çıkar:

| \sin x - \cos x | = -(\sin x - \cos x) = \cos x - \sin x

İfade yerine yazıldığında:

b = (\cos x - \sin x) + \sin x = \cos x

elde edilir.
Kosinüs üçüncü bölgede negatif olduğundan

b < 0

olur.

Karekök içerisindeki tam kare ifadeyi mutlak değer dışına bölge kurallarına uygun olarak çıkarıp b değerini sadeleştirmek gerekir.

4

c ifadesini iki küp toplamı açılımı ile sadeleştirme

\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)

özdeşliği pay kısmına uygulanır.
Buna göre c ifadesi:

c = \frac{(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)}{1 - \sin x \cos x} + \cos x

Pay ve paydadaki ortak terimler sadeleştirilirse:

c = \sin x + \cos x + \cos x = \sin x + 2\cos x

elde edilir.
Her iki terim de negatif olduğundan

c < 0

olur.

Küp açılımını kullanarak c ifadesini rasyonel formdan kurtarıp en sade haline getirmek gerekir.

5

Elde edilen a, b ve c değerlerini karşılaştırarak sıralama

a > 0

,

b < 0

ve

c < 0

olduğundan a en büyük değerdir.
Negatif olan b ve c değerlerini kıyaslamak için farklarına bakalım:

c - b = (\sin x + 2\cos x) - \cos x = \sin x + \cos x

Her iki değer de negatif olduğundan toplamları da negatiftir:

c - b < 0 \implies c < b

olur.
Bu durumda sıralama

c < b < a

şeklinde gerçekleşir.

Pozitif ve negatif olan değerleri kendi aralarında kıyaslayarak kesin sıralamayı elde ederiz.

Key Concept

Üçüncü bölgede trigonometrik fonksiyonların işaret ve büyüklük sıralaması ile temel özdeşliklerin (tam kare ve iki küp toplamı) uygulanması.

Estimated Time:2m 30s

Question 23Question →

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

olmak üzere,

a = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x + \cos x}

b = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} - \sin x

c = \frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

İfadelerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı

c, b, a

şeklindedir.

Verilen aralıkta fonksiyonların işaretleri analiz edildiğinde

a

ifadesinin pozitif,

b

ve

c

ifadelerinin ise negatif olduğu görülür. Negatif olan

b

ve

c

değerleri karşılaştırıldığında

b > c

olduğu saptanır. Bu sayede doğru sıralama en küçükten en büyüğe sırasıyla

c

,

b

ve

a

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

a

ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştiriniz.

a = \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} = \sin x - \cos x

Pay kısmında iki kare farkı özdeşliği uygulanmış ve

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

eşitliği kullanılmıştır.

2

b

ifadesini mutlak değer ve bölge özelliklerini dikkate alarak sadeleştiriniz.

b = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} - \sin x = |\sin x + \cos x| - \sin x

İkinci bölgenin ikinci yarısında yani

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığında

\sin x < -\cos x

olduğundan

\sin x + \cos x < 0

olur. Bu nedenle ifade kök dışına işaret değiştirerek çıkar:

b = -(\sin x + \cos x) - \sin x = -2\sin x - \cos x

Kareköklü bir ifadenin dışarıya mutlak değerle çıkması ve ikinci bölgede kosinüsün mutlak değerce sinüsten büyük olmasından dolayı toplamın negatif olması esastır.

3

c

ifadesini sadeleştirerek tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazınız.

1 + \tan^2 x = \sec^2 x

olduğundan

c = \frac{\tan x}{\sqrt{\sec^2 x}} = \frac{\tan x}{|\sec x|}

olur. İkinci bölgede

\cos x < 0

olduğundan

\sec x < 0

dır. Dolayısıyla

|\sec x| = -\sec x

olur:

c = \frac{\tan x}{-\sec x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{-\frac{1}{\cos x}} = -\sin x

Sekant fonksiyonunun ikinci bölgede negatif işaretli olması nedeniyle mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkarılması gerekir.

4

Elde edilen sadeleşmiş

a, b

ve

c

ifadelerini verilen aralıkta karşılaştırarak sıralayınız.

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığında:
-

\sin x > 0

ve

\cos x < 0

olduğundan

a = \sin x - \cos x > 0

dır. Hatta

a \in (1, \sqrt{2})

aralığındadır.
-

b

ve

c

ifadeleri ise negatif değerler alır. Bu iki ifadeyi karşılaştırmak için farklarına bakılır:

b - c = (-2\sin x - \cos x) - (-\sin x) = -\sin x - \cos x

Bu aralıkta

\sin x + \cos x < 0

olduğundan,

-\sin x - \cos x > 0

olur. Dolayısıyla

b - c > 0 \implies b > c

elde edilir.
Bu bilgiler ışığında sıralama

c < b < a

şeklindedir.

İfadelerin işaretleri ve birbirleriyle olan farklarının pozitiflik/negatiflik durumları sıralamayı belirler.

Key Concept

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin ve mutlak değerce büyüklüklerinin analizi

Question 24Question →

x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right)

olmak üzere,

a = \sqrt{1 + \sin(2x)} - \cos x

b = \sqrt{1 - \sin(2x)} + \sin x

c = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

a < c < b

a < b < c

b < a < c

c < a < b

b < c < a

Show answer & explanation

Answer: $a < c < b$

Answer

En küçük değer

a

, ortanca değer

c

ve en büyük değer

b

olacak şekilde

a < c < b

sıralamas�� doğrudur.

Verilen aralıkta trigonometrik özdeşlikler kullanılarak ifadeler sadeleştirildiğinde

a = \sin x

,

b = \cos x

ve

c = \sin x + \cos x

elde edilir. Dördüncü bölgenin son çeyreğinde

\sin x

negatif,

\cos x

pozitif değerler alır ve kosinüsün mutlak değeri sinüsün mutlak değerinden büyüktür. Bu durumda

a

negatif,

b

ve

c

pozitif olur.

c

ifadesi pozitif olan kosinüs değerine negatif bir sinüs değeri eklendiği için

b

değerinden küçük, negatif olan sinüs değerine pozitif bir kosinüs eklendiği için de

a

değerinden büyüktür. Bu gerekçelerle en küçük değer

a

, ortanca değer

c

ve en büyük değer

b

olur.

Step-by-Step Solution

1

a

ifadesini sadeleştirmek için karekök içerisindeki ifadeyi tam kare biçiminde yazalım.

1 + \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2

olduğundan,

\sqrt{1 + \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|

elde edilir.

Kareköklü bir ifadenin dışarıya mutlak değerli olarak çıkarılması gerektiğini uygulamak.

2

x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right)

aralığına göre mutlak değerin işaretini belirleyelim ve

a

değerini bulalım.

Dördüncü bölgenin son çeyreğinde

\cos x > 0

ve

\sin x < 0

olup, bu aralıktaki açılar için

\cos x > |\sin x|

şartı sağlanır. Dolayısıyla,

\sin x + \cos x > 0

olur. Bu durumda mutlak değer içi pozitif olduğundan dışarıya aynen çıkar:

a = (\sin x + \cos x) - \cos x = \sin x

bulunur.

Belirtilen bölgedeki trigonometrik değerlerin büyüklük ilişkisini analiz etmek.

3

b

ifadesini sadeleştirmek için karekök içerisindeki ifadeyi tam kare şeklinde yazarak mutlak değer işaretini belirleyelim.

1 - \sin(2x) = (\sin x - \cos x)^2

olduğundan,

\sqrt{1 - \sin(2x)} = |\sin x - \cos x|

olur.

\sin x < 0

ve

\cos x > 0

olduğundan

\sin x - \cos x < 0

olur. Mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar:

b = -(\sin x - \cos x) + \sin x = \cos x - \sin x + \sin x = \cos x

bulunur.

Negatif olan mutlak değer içinin dışarıya işaret değiştirerek çıkarılmasını sağlamak.

4

c

ifadesinin pay kısmındaki iki küp toplamını çarpanlarına ayırarak sadeleştirelim.

\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)

yazılır. Paydadaki terimle sadeleştiğinde:

c = \sin x + \cos x

elde edilir.

Cebirsel özdeşlikler yardımıyla rasyonel trigonometrik ifadeyi en yalın haline getirmek.

5

Elde edilen

a = \sin x

,

b = \cos x

ve

c = \sin x + \cos x

değerlerini dördüncü bölge özelliklerine göre sıralayalım.

\sin x < 0

olduğundan

a

negatiftir.

\cos x > 0

olduğundan

b

pozitiftir.

\cos x > |\sin x|

olduğundan

c = \sin x + \cos x > 0

olup pozitiftir.

\sin x

negatif bir değer olduğundan,

\sin x + \cos x < \cos x

yani

c < b

olur. Benzer şekilde

\cos x > 0

olduğundan,

\sin x + \cos x > \sin x

yani

c > a

olur. Bu durumda doğru sıralama

a < c < b

şeklindedir.

Elde edilen sadeleşmiş trigonometrik ifadeleri bölge işaretleri ve büyüklüklerine göre nihai olarak sıralamak.

Key Concept

Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirme yapılması ve dördüncü bölgedeki açıların trigonometrik değerlerinin işaret ve büyüklük analiziyle sıralanması.

Question 25Question →

$x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ olmak üzere, aşağıda verilen $a$ , $b$ ve $c$ trigonometrik ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Verilen

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

aralığı için ifadeler sadeleştirildiğinde

a = \sec x

,

b = \cos x

ve

c = \cos(2x)

elde edilir. Bu aralıkta

\sec x > 1

olduğundan en büyük değerdir. Kosinüs fonksiyonu birinci bölgede azalan olduğundan açısı daha büyük olan

\cos(2x)

ifadesi,

\cos x

ifadesinden daha küçüktür. Bu durumda sıralama

c < b < a

şeklinde gerçekleşir.

Step-by-Step Solution

1

İlk ifadenin özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilmesi

a = \tan x \cdot \sqrt{\csc^2 x} = \tan x \cdot |\csc x|

elde edilir.

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

aralığında

\csc x > 0

olduğundan ifade aynen çıkar:

a = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x} = \sec x

.

Karekök içindeki ifadenin sadeleştirilmesi ve mutlak değer dışına işaret kontrolü yapılarak çıkarılması gerekir.

2

İkinci ifadenin sadeleştirilmesi

b = \sqrt{(\cos x - \sin x)^2} + \sin x = |\cos x - \sin x| + \sin x

elde edilir.

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

aralığında

\cos x > \sin x

olduğundan ifade pozitif olarak dışarı çıkar:

b = \cos x - \sin x + \sin x = \cos x

.

Karekök dışına çıkarma işlemi yapılırken terimlerin büyüklük sıralamasına göre mutlak değer içi kontrol edilmelidir.

3

Üçüncü ifadenin sadeleştirilmesi

c = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos(2x) \cdot 1 = \cos(2x)

elde edilir.

İki kare farkı özdeşliği ve kosinüs yarım açı formülü kullanılarak ifade daha yalın hale getirilir.

4

Sadeleştirilmiş ifadelerin verilen aralıkta karşılaştırılması

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

için

\sec x > 1

,

\cos x < 1

ve

\cos(2x) < 1

olur. Ayrıca birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan

x < 2x \implies \cos(2x) < \cos x

yazılır. Buradan

c < b < a

sıralamasına ulaşılır.

Açıların bölgelerine göre fonksiyonların monotonluk (artanlık/azalanlık) özellikleri ve değer aralıkları karşılaştırılır.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Estimated Time:2m 30s

Question 26Question →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

a = \frac{\sec x \cdot \csc x}{\sec x + \csc x}

b = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} - 2\sin x

c = \frac{\tan x - \sin x}{\sin x \cdot \tan x}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < c < a

b < a < c

a < b < c

c < b < a

c < a < b

Show answer & explanation

Answer: $b < c < a$

Answer

b < c < a

sıralaması doğrudur.

b < c < a

sıralamasını içeren seçenek doğrudur. Çünkü verilen aralıkta

b

ifadesi negatif bir değer alırken,

a

ve

c

ifadeleri

1

'den büyüktür.

a

ve

c

ifadelerinin farkı incelendiğinde

a > c

olduğu kanıtlanmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Tanım aralığını incelemek ve temel işaretleri belirlemek.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığı analitik düzlemde ikinci bölgededir. Bu bölgede

\sin x > 0

,

\cos x < 0

ve

\tan x < 0

olur. Ayrıca

x < \frac{3\pi}{4}

olduğundan

|\sin x| > |\cos x|

olup

\sin x + \cos x > 0

ve

\sin x + \cos x < 1

eşitsizlikleri geçerlidir.

İfadelerin işaretlerini belirlemek ve sadeleştirme adımlarında mutlak değerden çıkarma işlemlerini doğru yapabilmek için bölge analizi şarttır.

2

a

ifadesini sadeleştirmek.

a = \frac{\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x}} = \frac{1}{\sin x + \cos x}

olarak bulunur.

0 < \sin x + \cos x < 1

olduğundan

a > 1

olur.

Sekant ve kosekant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak ifadeyi basitleştirmek gerekir.

3

b

ifadesini sadeleştirmek.

b = \sqrt{\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x} - 2\sin x = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} - 2\sin x = |\sin x + \cos x| - 2\sin x

olur. İkinci adımda bulduğumuz üzere

\sin x + \cos x > 0

olduğundan mutlak değer dışına aynen çıkar:

b = \sin x + \cos x - 2\sin x = \cos x - \sin x

. Bu aralıkta

\cos x < 0

ve

\sin x > 0

olduğundan

b < 0

olur.

Karekök içindeki ifadeyi tam kare biçiminde yazarak mutlak değer yardımıyla sadeleştirmek gerekir.

4

c

ifadesini sadeleştirmek.

c = \frac{\tan x}{\sin x \cdot \tan x} - \frac{\sin x}{\sin x \cdot \tan x} = \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x} = \csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x}

elde edilir.

\cos x < 0

olduğundan

1 - \cos x > 1

ve

0 < \sin x < 1

olduğundan

c > 1

olur.

Rasyonel ifadeyi paydalarına ayırıp sadeleştirerek karşılaştırılabilir bir biçime getirmek gerekir.

5

a

ve

c

değerlerini karşılaştırmak.

a - c = \frac{1}{\sin x + \cos x} - \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{-\cos x(1 - \sin x - \cos x)}{\sin x(\sin x + \cos x)}

elde edilir. Paydadaki tüm terimler pozitiftir. Pay kısmında ise

-\cos x > 0

ve

\sin x + \cos x < 1 \implies 1 - \sin x - \cos x > 0

olduğundan pay da pozitiftir. Dolayısıyla

a - c > 0 \implies a > c

olur. Sonuç olarak

b < 0

ve

a, c > 1

olduğundan sıralama

b < c < a

şeklindedir.

İki pozitif değer arasındaki büyüklük ilişkisini fark yöntemiyle belirlemek sıralamayı tamamlar.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Question 27Question →

$\theta$ gerçel sayısı için $\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{4}$ eşitsizliği verilmiştir. Buna göre, aşağıda tanımlanan $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama

c < a < b

şeklindedir.

Doğru sıralama

c < a < b

şeklindedir. İkinci bölgede yer alan açı için sinüs pozitif, kosinüs negatiftir. Dolayısıyla çarpımları olan

c

ifadesi kesinlikle negatiftir.

a = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -\cos(2\theta)

yarım açı dönüşümüyle pozitif bir değer alır ve en fazla

0.5

olabilir.

b

ifadesi sadeleştirildiğinde

-\tan \theta

değerine eşit olup, bu aralıkta

1

'den büyük bir değer alır. Bu durum sıralamayı doğrular.

Step-by-Step Solution

1

A��ının bölgesini belirleyip temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini incelemek.

\theta \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4})

aralığı derece cinsinden

(120^\circ, 135^\circ)

aralığına denk gelir ve II. bölgededir. Bu bölgede

\sin \theta > 0

,

\cos \theta < 0

,

\tan \theta < 0

ve

\cot \theta < 0

olur.

Sıralama yapabilmek için öncelikle fonksiyonların bölgelerdeki işaret kurallarını uygulamak gerekir.

2

c

ifadesinin işaretini ve değer aralığını bulmak.

c = \sin \theta \cos \theta

ifadesinde

\sin \theta > 0

ve

\cos \theta < 0

olduğundan çarpım negatiftir. Yarım açı formülüyle

c = \frac{\sin(2\theta)}{2}

yazılır.

2\theta \in (\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})

yani

(240^\circ, 270^\circ)

aralığındadır. Bu aralıkta

\sin(2\theta) \in (-1, -\frac{\sqrt{3}}{2})

olduğundan,

c \in (-0.5, -\frac{\sqrt{3}}{4})

olur.

c

teriminin sıfırdan küçük olduğunu ve değer sınırlarını netleştirmek sıralamada kesinlik sağlar.

3

a

ifadesini yarım açı formülüyle analiz etmek.

a = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = -\cos(2\theta)

olur.

2\theta \in (240^\circ, 270^\circ)

aralığında kosinüs negatiftir ve

\cos(2\theta) \in (-0.5, 0)

aralığındadır. Önündeki eksi işaretiyle birlikte

a = -\cos(2\theta) \in (0, 0.5)

olur.

a

ifadesinin pozitif olduğunu ve üst sınırının

0.5

olduğunu saptayarak diğer terimlerle karşılaştırma altyapısını kurmak.

4

b

ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirip aralığını bulmak.

b = \frac{1 - \tan \theta}{1 - \frac{1}{\tan \theta}} = \frac{1 - \tan \theta}{\frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta}} = -\tan \theta

elde edilir.

\theta \in (120^\circ, 135^\circ)

aralığında

\tan \theta \in (-\sqrt{3}, -1)

olduğundan,

b = -\tan \theta \in (1, \sqrt{3})

aralığındadır.

b

ifadesinin sadeleşmiş halini bulup sayısal değer sınırlarını diğer ifadelerle kıyaslanabilir hale getirmek.

5

Elde edilen değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı oluşturmak.

c < 0

,

0 < a < 0.5

ve

b > 1

aralıkları birleştirildiğinde

c < a < b

sıralaması elde edilir.

Bulunan alt ve üst sınırları sayı doğrusu mantığıyla dizerek nihai sonuca ulaşmak.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Question 28Question →

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere, aşağıda verilen

a

,

b

ve

c

trigonometrik ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

b

ifadesisinin değeri negatif,

c

ifadesinin değeri

1

ve

a

ifadesinin değeri

2

'den büyüktür. Bu durumda küçükten büyüğe doğru doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

a

ifadesinin kareköklü terimlerini ortak paydaya getirerek veya eşlenik kullanarak sadeleştirme.

a = 2\tan x

elde edilir.

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığında

\tan x > 1

olduğundan

a > 2

bulunur.

Üçüncü bölgede

\sin x \in (-1, 0)

olduğundan

1 - \sin x > 0

ve

1 + \sin x > 0

olur. Ayrıca

\cos x < 0

olduğundan kök dışına çıkarılırken işaretlere dikkat edilmelidir.

2

b

ifadesinin payındaki iki kare farkını uygulayarak sadeleştirme yapma.

b = \sin x + \cos x

elde edilir.

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığında hem

\sin x

hem de

\cos x

negatif olduğundan

b < 0

bulunur.

Pay kısmındaki

\sin^4 x - \cos^4 x

ifadesi

(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

olduğu için pay

(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)

halini alır ve paydadaki terimle sadeleşir.

3

c

ifadesindeki fonksiyonları temel

\sin x

ve

\cos x

cinsinden yazarak sadeleştirme.

c = 1

elde edilir.

Paydaki

\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x}

ve paydadaki

\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x}

ifadeleri birbirini sadeleştirerek sabit

1

değerini verir.

4

Elde edilen

a > 2

,

b < 0

ve

c = 1

değerlerini karşılaştırarak sıralama.

b < c < a

sıralaması bulunur.

Negatif bir değer (

b

) her zaman

1

'den (

c

) ve

2

'den büyük bir değerden (

a

) küçüktür.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Question 29Question →

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak üzere,

a = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x} + \sin x

b = \frac{\tan x - \cot x}{\sec x - \csc x}

c = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x \cdot \cot x}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < c < a

b < a < c

a < b < c

c < b < a

a < c < b

Show answer & explanation

Answer: $b < c < a$

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama b < c < a şeklindedir.

Sadeleştirmeler sonucunda

a = 2\sin x - \cos x

,

b = \sin x + \cos x

ve

c = \sin x

ifadelerine ulaşılır. Tanımlanan bölgede

\cos x < \sin x < 0

olduğundan, iki negatif sayının toplamı olan

b

ifadesi en küçük negatif değerdir.

a

ise en büyük değere (sıfıra en yakın) sahiptir. Bu durumda doğru sıralama küçükten büyüğe

b < c < a

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

a

ifadesindeki köklü kısmı tam kare özdeşliği kullanarak mutlak değer dışına çıkarırız.

1 - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2

olduğundan

\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|

olur.

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığında

\cos x < \sin x < 0

olduğundan

\sin x - \cos x > 0

olur. Dolayısıyla

|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x

olarak çıkar. Buradan

a = \sin x - \cos x + \sin x = 2\sin x - \cos x

elde edilir.

Köklü ifadeleri sadeleştirmek ve bölge analizine göre mutlak değerden kurtulmak için.

2

b

ifadesini sinüs ve kosinüs fonksiyonları türünden yazarak sadeleştiririz.

b = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x - \cos x} = \sin x + \cos x

bulunur.

Rasyonel trigonometrik ifadeyi en sade biçimine getirmek için.

3

c

ifadesini temel trigonometrik özdeşliklerle sadeleştiririz.

1 - \sin^2 x = \cos^2 x

ve

\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

yazılırsa,

c = \frac{\cos^2 x}{\cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{\cos^2 x}{\frac{\cos^2 x}{\sin x}} = \sin x

elde edilir.

Pay ve paydadaki sadeleşebilir terimleri belirleyerek tek bir fonksiyon elde etmek için.

4

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığına göre elde edilen

a

,

b

ve

c

değerlerini sıralarız.

Bu aralıkta

\cos x < \sin x < 0

ilişkisi vardır.

b - c = (\sin x + \cos x) - \sin x = \cos x < 0 \implies b < c

olur.

a - c = (2\sin x - \cos x) - \sin x = \sin x - \cos x > 0 \implies c < a

olur. Buradan

b < c < a

sıralaması bulunur.

Sadeleşmiş ifadeleri üçüncü bölgedeki açı değerlerinin büyüklük ilişkilerine göre karşılaştırmak için.

Key Concept

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadeleri sadeleştirme ve belirli bölgelerdeki açıların trigonometrik değerlerini sıralama.

Estimated Time:2m 30s

Question 30Question →

x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right)

olmak üzere,

a = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} + \sin x

b = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x + \cos x}

c = \tan x + \cot x

ifadeleri veriliyor. Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

c < b < a

b < c < a

b < a < c

c < a < b

a < b < c

Show answer & explanation

Answer: $c < b < a$

Answer

c < b < a

sıralaması doğrudur.

Verilen aralıkta

\sin x + \cos x < 0

olduğundan

a

ifadesi mutlak değer dışına

-(\sin x + \cos x)

olarak çıkar ve

-\cos x

değerine sadeleşir.

b

ifadesi iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde

\sin x - \cos x

olur.

c = \tan x + \cot x

ifadesinin değeri ise dördüncü bölgede

-2

değerinden küçüktür. Bu durumda elde edilen aralıklar sırasıyla

c < -2

,

-1.414 < b < -1

ve

-0.707 < a < 0

şeklinde olduğundan, doğru sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right)

aralığına göre

\sin x

ve

\cos x

fonksiyonlarının işaretlerini belirleme ve

a

ifadesini sadeleştirme.

Bu aralıkta

\sin x < 0

,

\cos x > 0

ve

|\sin x| > \cos x

olduğundan

\sin x + \cos x < 0

olur.

a = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} + \sin x = |\sin x + \cos x| + \sin x = -(\sin x + \cos x) + \sin x = -\cos x

elde edilir.

\cos x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

olduğundan

a \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)

aralığındadır.

Kareköklü ifadenin mutlak değer dışına doğru işaretle çıkarılması ve ifadenin sınırlarının belirlenmesi için gereklidir.

2

b

ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirme ve sınırlarını belirleme.

b = \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) \cdot 1}{\sin x + \cos x} = \sin x - \cos x

elde edilir. Verilen aralıkta

\sin x \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

ve

-\cos x \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)

olduğundan, bu iki değer toplandığında

b = \sin x - \cos x \in (-\sqrt{2}, -1)

aralığında yer alır.

İfadenin sade hali üzerinden büyüklük karşılaştırması yapabilmek için gereklidir.

3

c

ifadesini tanjant ve kotanjantın özelliklerini kullanarak analiz etme.

c = \tan x + \cot x

ifadesinde,

x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right)

için

\tan x < -1

ve

\cot x \in (-1, 0)

olur.

u = |\tan x| > 1

dersek,

c = -\left(u + \frac{1}{u}\right)

yazılabilir. Her

u > 1

için

u + \frac{1}{u} > 2

olduğundan,

c < -2

elde edilir.

c

ifadesinin alabileceği değerlerin üst sınırını belirlemek için gereklidir.

4

Elde edilen

a

,

b

ve

c

aralıklarını karşılaştırarak nihai sıralamayı bulma.

c < -2

,

b \in (-\sqrt{2}, -1)

ve

a \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)

olduğundan, aralıklar kesişmez ve doğrudan

c < b < a

sıralaması elde edilir.

Her üç ifadenin de sayı doğrusundaki konumlarını netleştirip sıralamayı tamamlamak için gereklidir.

Key Concept

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi, bölgelere göre işaret tespiti ve trigonometrik değerlerin sıralanması.

Alternative Method

Sıralamayı daha rahat görebilmek için verilen aralıktan özel bir açı seçilebilir. Örneğin

x = 300^\circ

(

x = \frac{5\pi}{3}

) için değerler hesaplanırsa:

a = \sqrt{1 + 2\sin 300^\circ \cos 300^\circ} + \sin 300^\circ = |\sin 300^\circ + \cos 300^\circ| + \sin 300^\circ = |-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}| - \frac{\sqrt{3}}{2} = -(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5

.

b = \sin 300^\circ - \cos 300^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \approx -0.866 - 0.5 = -1.366

.

c = \tan 300^\circ + \cot 300^\circ = -\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \approx -1.732 - 0.577 = -2.309

. Bu değerler karşılaştırıldığında

-2.309 < -1.366 < -0.5

olduğu için

c < b < a

sıralaması kolayca doğrulanabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 31Question →

$\frac{3\pi}{4} < x < \pi$ koşulunu sağlayan bir $x$ gerçel sayısı için aşağıdaki ifadeler tanımlanıyor:

a = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x}

b = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}

c = \frac{\tan x + \cot x}{\sec x \cdot \csc x}

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

İfadelerin doğru sıralaması küçükten büyüğe b < c < a şeklindedir.

Yapılan cebirsel sadeleştirmeler sonucunda

a = \sin x - \cos x

,

b = \sin x + \cos x

ve

c = 1

elde edilir. Verilen aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsten daha büyük ve işareti negatif olduğundan, bu iki değerin toplamı olan

b

ifadesi negatiftir (

b < 0

).

a

ifadesinde ise pozitif bir değerden negatif bir değer çıkarıldığı için sonuç

1

'den büyüktür (

a > 1

).

c

değeri ise her durumda

1

'e eşit olduğundan doğru sıralama en küçükten en büyüğe sırasıyla

b

,

c

ve

a

şeklinde olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Açının bulunduğu bölgeyi belirleyip sinüs ve kosinüs de��erlerinin işaret ve büyüklük ilişkilerini analiz edin.

\frac{3\pi}{4} < x < \pi

aralığı birim çemberde ikinci bölgenin ikinci yarısına denk gelir. Bu aralıkta

\sin x > 0

(pozitif) ve

\cos x < 0

(negatif) olup, mutlak değerce

|\cos x| > \sin x

(yani

-\cos x > \sin x

) ilişkisi vardır.

Açının sinüs değeri

0

ile

\frac{\sqrt{2}}{2}

arasında değerler alırken, kosinüs değeri

-1

ile

-\frac{\sqrt{2}}{2}

arasında değerler alır.

2

a

ifadesini sadeleştirip değer aralığını bulun.

a = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|

olur.

\sin x > 0

ve

\cos x < 0

olduğundan, mutlak değerin içi pozitiftir:

a = \sin x - \cos x

.

\sin x > 0

ve

-\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}

olduğundan

a > 1

bulunur.

Tam kare özdeşliği ve kareköklü ifadelerin mutlak değer dışına çıkarılması kuralı uygulanmıştır.

3

b

ifadesini sadeleştirip işaretini belirleyin.

İki küp toplamı özdeşliğinden pay

\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)

olarak yazılır. Paydadaki

1 - \sin x \cos x

terimi ile sadeleştirme yapıldığında

b = \sin x + \cos x

elde edilir. Bu aralıkta

|\cos x| > \sin x

ve

\cos x < 0

olduğu için

b < 0

olur.

Çarpanlara ayırma kuralları ve

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

özdeşliği kullanılmıştır.

4

c

ifadesini sadeleştirip değerini bulun.

c = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = 1

bulunur.

Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarının temel tanımları yerine yazılarak rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapılmıştır.

5

Elde edilen sonuçları büyüklüklerine göre sıralayın.

b < 0

,

c = 1

ve

a > 1

olduğundan, küçükten büyüğe doğru sıralama

b < c < a

olur.

Negatif sayılar daima pozitif sayılardan küçüktür ve

a

değeri

c

sabitinden büyüktür.

Key Concept

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi ve birim çember yardımıyla değerlerin bölgelere göre sıralanması.

Estimated Time:2m 30s

Question 32Question →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right)

olmak üzere,

a = \frac{1}{\csc x - \cot x} - \frac{1}{\csc x + \cot x}

b = \frac{\sin x}{1 + \cos x} + \cot x

c = \frac{\cos x}{1 - \sin x} - \tan x

olarak tanımlanıyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

c < a < b

c < b < a

a < c < b

a < b < c

b < a < c

Show answer & explanation

Answer: $c < a < b$

Answer

Doğru sıralama

c < a < b

şeklindedir.

Verilen aralıkta her bir ifade özdeşlikler yardımıyla en sade haline getirildiğinde

a = 2\cot x

,

b = \csc x

ve

c = \sec x

olarak bulunur.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right)

aralığında

b

pozitif değer alırken,

a

ve

c

negatif değerler alır. Negatif değerlerden

c = \sec x \le -2

aralığında yer alırken,

a = 2\cot x

değeri

-2

ile

0

arasında (yaklaşık olarak

-1.15

ile

0

arasında) yer alır. Bu durumda

c < a < b

sıralaması elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

a

ifadesinin paydalarını eşitleyerek ortak paydada yazınız.

a = 2\cot x

\csc^2 x - \cot^2 x = 1

temel özdeşliği kullanılarak ifadenin paydası

1

yapılır ve sadeleşme sağlanır.

2

b

ifadesinde

\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

yazarak paydaları eşitleyiniz.

b = \csc x

Pay kısmındaki

\sin^2 x + \cos^2 x + \cos x = 1 + \cos x

ifadesi paydadaki çarpanla sadeleşir ve tek bir fonksiyon elde edilir.

3

c

ifadesinde

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

yazarak paydaları eşitleyiniz.

c = \sec x

Pay kısmındaki

\cos^2 x + \sin^2 x - \sin x = 1 - \sin x

ifadesi paydadaki çarpanla sadeleşir.

4

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right)

aralığı için sadeleştirilen fonksiyonların değer aralıklarını ve işaretlerini belirleyerek karşılaştırınız.

c < a < b

İkinci bölgede

2\cot x

negatif ve

-1.15

ile

0

arasında,

\csc x

pozitif ve

1

ile

1.155

arasında,

\sec x

ise negatif ve

-2

veya daha küçüktür.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler Yardımıyla Sadeleştirme ve Bölgelere Göre Sıralama

Estimated Time:2m 0s

Question 33Question →

$x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ olmak üzere,

a = \sin x + \cos x

b = \tan x + \cot x

c = \sec x + \csc x

ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

a < b < c

Verilen aralıkta

a < 2

,

b > 2

ve

c = a \cdot b > b

olduğundan doğru sıralama

a < b < c

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Tanım aralığına göre temel trigonometrik fonksiyonların sınırlarını belirlemek.

x \in (\pi/4, \pi/2)

aralığı için

\sin x > \cos x > 0

ve

\tan x > 1 > \cot x > 0

eşitsizlikleri geçerlidir. Ayrıca,

2x \in (\pi/2, \pi)

olduğundan

0 < \sin 2x < 1

olur.

Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını tespit ederek sıralama kriterlerini oluşturmak.

2

a

ve

b

değerlerinin sınırlarını analiz etmek.

a = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \pi/4)

yazılır.

x + \pi/4 \in (\pi/2, 3\pi/4)

olduğundan

\sin(x+\pi/4) \in (\sqrt{2}/2, 1)

ve buradan

a \in (1, \sqrt{2}]

elde edilir.

b = \tan x + \cot x = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}

olur.

\sin 2x < 1

olduğundan

b > 2

'dir. Buradan

a < b

sonucu çıkar.

İfadeleri sadeleştirerek net sayısal aralıklara ulaşmak.

3

c

değerini

a

ve

b

cinsinden yazıp karşılaştırmak.

c = \sec x + \csc x = \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x} = a \cdot b

olur.

a > 1

ve

b > 2

olduğundan,

c = a \cdot b > b

elde edilir.

Çarpımsal ilişkiyi kullanarak en büyük değeri belirlemek.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların belirli bölgelerde aldığı değer aralıklarının karşılaştırılması ve özdeşlikler yardımıyla sadeleştirilmesi.

Question 34Question →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

a = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} - \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}

b = \frac{\sin x}{1 - \cos x} - \frac{1 - \cos x}{\sin x}

c = \frac{\cos x}{1 - \sin x} - \frac{1 - \sin x}{\cos x}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Verilen aralıkta trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilen ifadelerin işaretleri ve değer aralıkları belirlendiğinde c < b < a sıralaması elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

a ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştiriniz.

a = -2\cot x

Kök içindeki ifadeler eşlenikleriyle çarpılarak kareleri elde edilir. İkinci bölgede

\sin x > 0

ve

\cos x < 0

olduğundan, mutlak değer dışına çıkarma kuralları uygulanarak sadeleştirme tamamlanır.

2

b ifadesini payda eşitleyerek sadeleştiriniz.

b = 2\cot x

Paydalar eşitlenip ortak çarpan parantezine alındığında pay kısmında

2\cos x(1 - \cos x)

ve paydada

\sin x(1 - \cos x)

ifadeleri elde edilir. Sadeleştirme sonucu ifade

\frac{2\cos x}{\sin x}

olur.

3

c ifadesini payda eşitleyerek sadeleştiriniz.

c = 2\tan x

Paydalar eşitlenip

\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x

özdeşliği kullanıldığında pay kısmında

2\sin x(1 - \sin x)

ve paydada

\cos x(1 - \sin x)

ifadeleri elde edilir. Sadeleştirme sonucu ifade

\frac{2\sin x}{\cos x}

olur.

4

Tanımlı

x

açısının bulunduğu aralığa göre değerlerin işaret ve büyüklüklerini karşılaştırınız.

c < b < a

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığında

\tan x < -1

ve

-1 < \cot x < 0

dır. Buna göre

c = 2\tan x < -2

,

b = 2\cot x \in (-2, 0)

ve

a = -2\cot x \in (0, 2)

elde edilerek sıralama bulunur.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama

Question 35Question →

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak üzere,

a = \sin x \cdot \cos x

b = \tan x + \cot x

c = \cos x - \sin x

ifadelerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

c < a < b

a < c < b

c < b < a

b < c < a

a < b < c

Show answer & explanation

Answer: $c < a < b$

Answer

c < a < b

sıralaması doğrudur.

Verilen aralıkta kosinüs ve sinüs negatif olduğundan, çarpımları olan

a

pozitif ve

a \in (0, 0.5)

aralığındadır.

b

ifadesi

\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{a}

özdeşliğine eşit olduğundan

b > 2

olur. Son olarak, bu aralıkta kosinüs değeri sinüs değerinden daha küçük olduğundan

c = \cos x - \sin x

farkı negatif çıkacaktır. Bu durumda en küçük ifade negatif olan

c

, en büyük ifade ise

2

'den büyük olan

b

olur. Doğru sıralama

c < a < b

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin işaretlerini ve bölgelerini belirleme

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığı analitik düzlemde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Üçüncü bölgede

\sin x < 0

,

\cos x < 0

,

\tan x > 0

ve

\cot x > 0

değerlerini alır.

Trigonometrik ifadelerin işaretlerini doğru belirlemek sıralama yapmanın ilk adımıdır.

2

a

ve

b

ifadelerinin analizi ve karşılaştırılması

a = \sin x \cdot \cos x

çarpımı, iki negatif değerin çarpımı olduğu için pozitiftir (

a > 0

).

b = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{a}

olur.

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

için

2x \in \left(2\pi, \frac{5\pi}{2}\right)

olup birinci bölgededir. Burada

a = \frac{1}{2}\sin(2x)

değeri

\left(0, \frac{1}{2}\right)

aralığındadır. Dolayısıyla

b = \frac{1}{a} > 2

bulunur. Buradan

0 < a < 0.5

ve

b > 2

olduğu için

a < b

elde edilir.

b

ifadesini özdeşlikler yardımıyla

a

cinsinden yazarak iki pozitif değeri karşılaştırmak kolaylaşır.

3

c

ifadesinin işaretini belirleme ve son sıralamayı yapma

Üçüncü bölgenin ilk yarısında, yani

\left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığında,

\cos x

değeri

\sin x

değerinden daha küçüktür (örneğin

x = 210^\circ

için

\cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866

ve

\sin 210^\circ = -0.5

olup

-0.866 < -0.5

tir). Bu nedenle

\cos x < \sin x \implies \cos x - \sin x < 0

yani

c < 0

bulunur. Sonuç olarak

c < 0 < a < b

olduğundan doğru sıralama

c < a < b

şeklindedir.

Negatif olan

c

değerinin pozitif olan

a

ve

b

değerlerinden küçük olduğunu belirterek sıralama tamamlanır.

Key Concept

Üçüncü bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri,

\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x}

özdeşliği ve değer sıralaması.

Estimated Time:1m 30s

Question 36Question →

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere,

K = \sin x + \cos x

L = \sin x \cdot \cos x

M = \tan x + \cot x

olarak tanımlanıyor. Buna göre; $K$ , $L$ ve $M$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayın��z.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Verilen aralıkta bulunan değerlerin do��ru sıralaması K < L < M şeklindedir.

Verilen açı aralığında sinüs ve kosinüs negatif değerler alırken, tanjant ve kotanjant pozitif değerler alır. İki negatif değerin toplamı olan ilk ifade negatif, çarpımları olan ikinci ifade pozitif fakat yarım değerden küçük, tanjant ile kotanjantın toplamı olan üçüncü ifade ise 2'den büyüktür. Bu durum en küçük değerin negatif olan ifade, en büyük değerin ise 2'den büyük olan ifade olmasını gerektirir.

Step-by-Step Solution

1

Aç��nın bulunduğu bölgeyi belirleme ve trigonometrik fonksiyonların işaretlerini analiz etme

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığı birim çemberde üçüncü bölgenin ikinci yarısına denk gelir. Bu bölgede:

\sin x < 0

,

\cos x < 0

,

\tan x > 0

ve

\cot x > 0

olur.

Sıralama yapabilmek için öncelikle fonksiyonların bu bölgedeki işaretlerini ve sınır değerlerini belirlememiz gerekir.

2

K ifadesinin değer aralığını bulma

K = \sin x + \cos x

ifadesinde her iki terim de negatif olduğundan

K < 0

olur. Hatta bu aralıkta

K \in (-\sqrt{2}, -1)

aralığındadır.

Negatif iki sayının toplamının daima negatif olmasından yararlanılır.

3

L ifadesinin değer aralığını bulma

L = \sin x \cdot \cos x

ifadesinde negatif iki sayının çarpımı pozitif olacağından

L > 0

olur. Yarım açı formülünden

L = \frac{\sin(2x)}{2}

yazılabilir.

2x \in \left(\frac{5\pi}{2}, 3\pi\right)

yani ikinci bölgeye düştüğü için

\sin(2x) \in (0, 1]

olur. Buradan

L \in (0, 0{}5]

elde edilir.

Çarpım durumundaki sinüs ve kosinüs değerlerinin sınırlarını yarım açı formülüyle belirlemek kolaylık sağlar.

4

M ifadesinin değer aralığını bulma

M = \tan x + \cot x

ifadesinde, üçüncü bölgenin bu kısmında

\tan x > 1

ve

\cot x < 1

'dir. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği (AM-GM) veya özdeşlikler kullanıldığında, pozitif bir sayı ile çarpmaya göre tersinin toplamı en az 2 olur (

a + \frac{1}{a} \ge 2

). Dolayısıyla

M \ge 2

'dir.

Pozitif reel sayıların kendisi ile tersinin toplamının sınır değer özelliğini kullanarak M değerinin alt sınırını buluruz.

5

Elde edilen aralıkları karşılaştırma

K < 0

,

0 < L \le 0{}5

ve

M \ge 2

olduğundan

K < L < M

sıralaması elde edilir.

Bulunan alt ve üst sınır değerleri birbiriyle çakışmadığı için kesin sıralama yapılabilir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerindeki bölgelere göre işaret ve değer aralıklarının belirlenmesi.

Alternative Method

Açıya uygun bir değer seçilerek (örneğin

x = 240^\circ

) yaklaşık değerler hesaplanabilir:

\sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{}86

,

\cos(240^\circ) = -0{}5

. Buradan

K \approx -1{}36

,

L = 0{}43

,

M = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 2{}3

bulunur ve

K < L < M

şeklinde sıralanır.

Estimated Time:1m 30s

Question 37Question →

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right)

olmak üzere,

a = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}

b = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x}

c = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

c < a < b

a = b < c

a < c < b

b < a < c

c < b < a

Show answer & explanation

Answer: $a < c < b$

Answer

a < c < b sıralaması doğrudur.

Sadeleştirmeler yapıldığında

a = \sin x + \cos x

,

b = -(\sin x + \cos x)

ve

c = \tan x - \cot x

elde edilir. Verilen aralıkta

a < 0

,

c > 0

ve

b > 0

olduğu belirlenir.

b

ve

c

arasındaki fark incelendiğinde

b > c

olduğu görülür. Dolayısıyla en küçük negatif olan

a

, ardından

c

ve en büyük pozitif olan

b

şeklinde

a < c < b

sıralaması bulunur.

Step-by-Step Solution

1

a ifadesini sadeleştirme ve işaretini belirleme

a = \sin x + \cos x

ve

a < 0

Pay kısmındaki

\sin^3 x + \cos^3 x

ifadesi, küp toplamı formülüyle

(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)

olarak çarpanlarına ayrılır. Paydadaki

1 - \sin x \cos x

ile sadeleştiğinde

a = \sin x + \cos x

kalır. Üçüncü bölgede

\sin x < 0

ve

\cos x < 0

olduğundan toplamları da negatiftir.

2

b ifadesini karekök dışına çıkarma ve işaretini belirleme

b = -(\sin x + \cos x)

ve

b > 0

1 + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2

özdeşliğinden faydalanarak

b = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|

elde edilir. Üçüncü bölgede

\sin x + \cos x < 0

olduğundan, ifade mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkar.

3

c ifadesini sadeleştirme ve işaretini belirleme

c = \tan x - \cot x

ve

c > 0

c = \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x \cos x} = \tan x - \cot x

olur.

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right)

aralığında

x > \frac{5\pi}{4}

olduğundan

\tan x > \tan\frac{5\pi}{4} = 1

ve

\cot x = \frac{1}{\tan x} < 1

olur. Pozitif iki değerin farkından

c = \tan x - \cot x > 0

bulunur.

4

b ve c ifadelerini karşılaştırma

b > c

b - c = -(\sin x + \cos x) - \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = -(\sin x + \cos x)\left(1 + \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}\right)

olur. Bu aralıkta

\sin x < \cos x < 0

olduğundan

\sin x \cos x > \cos x - \sin x > 0

eşitsizliği sağlanır. Buradan

b - c > 0

yani

b > c

elde edilir.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre işaret analizi ve özdeşlikler yardımıyla sadeleştirilmesi

Alternative Method

Sıralamayı doğrulamak için aralıktan temsilî bir açı seçilebilir. Örneğin

x = 230^\circ

seçilerek fonksiyonların yaklaşık değerleri hesaplanabilir:

a \approx -0.77 - 0.64 = -1.41

,

b \approx 1.41

,

c = \tan 230^\circ - \cot 230^\circ \approx 1.19 - 0.84 = 0.35

. Buradan

a < c < b

sıralaması kolayca görülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 38Question →

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

olmak üzere,

a = \frac{\sin x}{1 + \cos x}

b = \frac{\sin x}{1 - \cos x}

c = \tan x

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

c < b < a

c < a < b

b < a < c

a < b < c

b < c < a

Show answer & explanation

Answer: $c < b < a$

Answer

c < b < a

sıralaması doğrudur.

Verilen aralık ikinci bölgede olduğu için sinüs pozitif, kosinüs ve tanjant negatiftir. Bu nedenle tanjantı temsil eden değer negatif olup en küçüktür. Diğer iki ifade ise pozitif terimlerden oluşur. Kosinüs negatif olduğu için çıkartma işlemi paydayı büyütür, toplama işlemi ise küçültür. Paydası büyük olan kesrin değeri daha küçük olacağından, çıkarma işlemi içeren kesirli ifade toplama işlemi içeren kesirli ifadeden daha küçüktür. Bu da aranan doğru sıralamayı verir.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin işaretlerini belirleme

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığı birim çemberde ikinci bölgeye karşılık gelir. İkinci bölgede:

\sin x > 0

,

\cos x < 0

ve

\tan x < 0

'dır.

Sıralama yaparken pozitif ve negatif değerleri birbirinden ayırmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.

2

c

değerinin işaretini ve diğerleriyle ilişkisini inceleme

c = \tan x < 0

'dır. Diğer taraftan

a = \frac{\sin x}{1 + \cos x}

ifadesinde pay (

\sin x > 0

) ve payda (

\cos x > -1

olduğundan

1 + \cos x > 0

) pozitiftir. Benzer şekilde

b = \frac{\sin x}{1 - \cos x}

ifadesinde de pay ve payda (

\cos x < 0

olduğundan

1 - \cos x > 0

) pozitiftir. Buradan

a > 0

ve

b > 0

olduğu görülür. Dolayısıyla, negatif olan

c

değeri en küçüktür:

c < a

ve

c < b

.

Hangi değişkenlerin pozitif hangi değişkenlerin negatif olduğunu saptayarak en küçük terimi belirlemek için.

3

a

ve

b

pozitif değerlerini karşılaştırma

\cos x < 0

olduğundan,

-\cos x > \cos x

yazılabilir. Her iki tarafa

1

eklersek

1 - \cos x > 1 + \cos x

elde edilir. Paydalar pozitif olduğundan, çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirir:

\frac{1}{1 - \cos x} < \frac{1}{1 + \cos x}

. Her iki tarafı pozitif olan

\sin x

ile çarparsak:

\frac{\sin x}{1 - \cos x} < \frac{\sin x}{1 + \cos x}

yani

b < a

bulunur.

Pozitif iki kesirli ifadenin paydalarını karşılaştırarak büyüklük ilişkisini kurmak için.

4

Elde edilen tüm eşitsizlikleri birleştirme

c < 0

,

b > 0

,

a > 0

ve

b < a

olduğundan, nihai sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Tüm adımlardan gelen sonuçları tek bir sıralama altında bir araya getirmek için.

Key Concept

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve basit eşitsizlik kuralları yardımıyla sıralama yapılması

Hints

1

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

açısının birim çemberde hangi bölgede olduğunu ve bu bölgede sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının işaretlerini belirleyin.

2

Belirlediğiniz işaretlere göre

a

,

b

ve

c

sayılarının işaretlerini bulun. Negatif olan sayının en küçük olacağını unutmayın.

3

\cos x

değeri negatif bir sayı olduğundan,

1 + \cos x

ile

1 - \cos x

ifadelerinden hangisinin daha büyük olduğunu karşılaştırın.

Practice More

Benzer bir sıralama sorusunu üçüncü bölge olan

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığı için tasarlayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternative Method

Açıya uygun bir değer vererek de sıralama yapılabilir. Örneğin, bu aralıkta bulunan

x = 150^\circ

(

\frac{5\pi}{6}

radyan) değerini seçelim.

\sin(150^\circ) = 0.5

,

\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866

ve

\tan(150^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.577

olur. Bu değerler yerine yazıldığında;

a = \frac{0.5}{1 - 0.866} = \frac{0.5}{0.134} \approx 3.73

,

b = \frac{0.5}{1 - (-0.866)} = \frac{0.5}{1.866} \approx 0.27

ve

c \approx -0.58

elde edilir. Buradan

c < b < a

sıralaması doğrudan görülebilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 39Question →

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

olmak üzere, aşağıda verilen

a

,

b

ve

c

değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

İfadelerin doğru sıralanışı c < b < a şeklindedir.

Negatif olan tek ifade c olduğu için en küçüktür. Pozitif olan a ve b ifadeleri karşılaştırıldığında, a ifadesinin b ifadesinden farkı iki kat sinüs değeri olup bu değer de ikinci bölgede pozitif olduğundan a, b'den büyüktür. Bu durumda doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

a

ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.

a = \sin x - \cos x > 0

İki kare farkı özdeşliği kullanılarak pay kısmı

\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)

şeklinde yazılır.

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

olduğundan ifade

\sin^2 x - \cos^2 x

haline gelir. Bu da

(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)

olarak çarpanlarına ayrılır ve paydadaki ifadeyle sadeleştiğinde geriye

a = \sin x - \cos x

kalır. İkinci bölgede

\sin x > 0

ve

\cos x < 0

olduğundan, bu fark pozitif bir değer alır.

2

b

ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.

b = -\sin x - \cos x > 0

1 + 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2

özdeşliği kullanılır. İfade kök dışına mutlak değer içinde

|\sin x + \cos x|

olarak çıkar.

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığında kosinüsün mutlak değeri sinüsten büyük ve kosinüs negatif olduğu için toplamları negatiftir. Bu nedenle ifade kök dışına işaret değiştirerek

b = -\sin x - \cos x

olarak çıkar.

3

c

ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.

c = \sin^2 x - \cos^2 x < 0

\tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}

ve

\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x}

ifadeleri yerine yazılarak oranlandığında paydadaki

\sin x \cos x

terimleri sadeleşir ve

c = \sin^2 x - \cos^2 x

kalır. Verilen aralıkta

\cos^2 x > \sin^2 x

olduğundan fark negatiftir.

4

Elde edilen sonuçları karşılaştırarak sıralamayı yapınız.

c < b < a

c

negatif olduğundan en küçüktür. Pozitif olan

a

ve

b

değerleri kıyaslandığında ise,

a - b = (\sin x - \cos x) - (-\sin x - \cos x) = 2\sin x

elde edilir. Verilen aralıkta

\sin x > 0

olduğundan

a - b > 0 \implies a > b

olur. Buradan doğru sıralama

c < b < a

olarak bulunur.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama

Question 40Question →

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak üzere,

a = \frac{\cos x}{\cot x}

b = \sqrt{\sec^2 x - 1}

c = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}

olarak veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama a < c < b şeklindedir.

Üçüncü bölgede sinüs negatif, tanjant ise pozitiftir. Bu nedenle pozitif olan b en büyük değerdir. Negatif olan a'yı basit kesir olan tanjant ile çarptığımızda sıfıra yaklaşacağından c değeri a'dan büyük olur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeleri temel trigonometrik özdeşlikleri kullanarak sadeleştiriniz.

a = \sin x

,

b = \tan x

ve

c = \sin x \cdot \tan x

olarak bulunur.

İfadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini karşılaştırabilmek için en sade hallerine ulaşmak gerekir.

2

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığına göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını belirleyiniz.

Bu aralıkta (üçüncü bölge)

\sin x < 0

,

\cos x < 0

ve

0 < \tan x < 1

olur.

Açının bulunduğu bölge, trigonometrik değerlerin işaretini ve büyüklük ilişkisini belirler.

3

Bulunan değerleri ve işaretleri karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayınız.

a < c < b

sıralaması elde edilir.

b > 0

olduğundan en büyüktür.

a

ve

c

negatif olup,

0 < \tan x < 1

olduğundan

a \cdot \tan x > a

yani

c > a

olur.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama

Estimated Time:2m 0s

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer