Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 3

Question 41Question →

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

a = \cos x - \sin x

b = \tan x - \cot x

c = \sec x - \csc x

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

a < b < c

c < a < b

a < c < b

b < c < a

c < b < a

Show answer & explanation

Answer: $a < c < b$

Answer

Doğru sıralama

a < c < b

şeklindedir.

Verilen aralıkta sinüs kosinüsten büyük olduğu için

a = \cos x - \sin x

negatif bir değer alır. Sekant ve kosekant farkı olan

c = \sec x - \csc x

ile tanjant ve kotanjant farkı olan

b = \tan x - \cot x

ifadeleri ise pozitif değerler üretir. Bu iki pozitif değer rasyonel biçimde yazılıp birbirine oranlandığında,

b = c(\sin x + \cos x)

eşitliği elde edilir. Bu aralıkta

\sin x + \cos x > 1

olduğundan, pozitif bir sayı olan

c

değeri, 1'den büyük bir katsayı ile çarpılarak daha büyük olan

b

değerine ulaşır. Dolayısıyla en doğru sıralama

a < c < b

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Aralıktaki temel trigonometrik fonksiyonların ilişkilerini belirleme

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

aralığında sinüs değeri kosinüs değerinden büyüktür:

\sin x > \cos x > 0

. Benzer şekilde tanjant değeri 1'den büyük, kotanjant değeri ise 1'den küçüktür:

\tan x > 1 > \cot x > 0

.

Değişkenlerin işaretlerini ve bağıl büyüklüklerini analiz etmek için referans noktaları oluşturulur.

2

a

,

b

ve

c

değerlerinin işaretlerini tespit etme

\sin x > \cos x \implies a = \cos x - \sin x < 0

(negatif)

\tan x > \cot x \implies b = \tan x - \cot x > 0

(pozitif)

\sec x = \frac{1}{\cos x}

ve

\csc x = \frac{1}{\sin x}

ifadelerinde

\sin x > \cos x > 0 \implies \frac{1}{\cos x} > \frac{1}{\sin x} \implies \sec x > \csc x \implies c = \sec x - \csc x > 0

(pozitif)

Negatif olan terimi belirleyerek sıralamanın en küçük elemanını saptamak amaçlanır.

3

Pozitif olan

b

ve

c

ifadelerini cebirsel özdeşlikler yardımıyla karşılaştırma

b = \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}

c = \sec x - \csc x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}

b

ifadesinin payındaki iki kare farkı açılırsa:

b = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} = c \cdot (\sin x + \cos x)

elde edilir.

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

aralığında

\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}

ve

\cos x > 0

olduğundan

\sin x + \cos x > 1

olur.

c > 0

olduğuna göre,

b = c \cdot (\text{1'den büyük bir sayı}) \implies b > c

bulunur.

Ortak paydalı rasyonel ifadeleri sadeleştirip karşılaştırmak için özdeşliklerden faydalanılır.

4

Bulunan tüm eşitsizlikleri birleştirerek sıralamayı tamamlama

a < 0

,

c > 0

,

b > 0

ve

b > c

olduğundan

a < c < b

sıralaması elde edilir.

Elde edilen tüm bölgesel ve cebirsel sonuçlar birleştirilerek nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre sıralanması ve temel trigonometrik özdeşliklerin cebirsel analizde kullanılması

Alternative Method

Alternatif bir yöntem olarak, verilen aralıkta bulunan özel bir açı seçilerek sıralama yapılabilir. Örneğin,

x = 60^\circ

(

\frac{\pi}{3}

radyan) seçilsin:

\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87

\cos 60^\circ = 0.5

\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.73

\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58

\sec 60^\circ = 2

\csc 60^\circ = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.15

Bu değerler yerine yazıldığında:

a = 0.5 - 0.87 = -0.37

b = 1.73 - 0.58 = 1.15

c = 2 - 1.15 = 0.85

Değerler kıyaslandığında

-0.37 < 0.85 < 1.15 \implies a < c < b

sıralamasına doğrudan ulaşılır.

Estimated Time:2m 30s

Question 42Question →

a = \cos(190^\circ)

b = \sin(290^\circ)

c = \tan(200^\circ)

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

a < b < c

b < a < c

a < c < b

b < c < a

c < a < b

Show answer & explanation

Answer: $a < b < c$

Answer

Doğru sıralama

a < b < c

şeklindedir.

Üçüncü bölgede yer alan

c = \tan(200^\circ)

ifadesinin değeri pozitiftir (

c > 0

). Negatif olan

a

ve

b

ifadeleri dar açıya indirgendiğinde

a = -\cos(10^\circ)

ve

b = -\cos(20^\circ)

olur. Birinci bölgede

\cos(10^\circ) > \cos(20^\circ)

olduğundan, negatif işaretler eklendiğinde

-\cos(10^\circ) < -\cos(20^\circ)

olur. Bu durumda

a < b

elde edilir. Pozitif olan

c

değeri en büyük olduğundan doğru sıralama

a < b < c

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Açıların bulundukları bölgeleri ve fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleyelim.

190^\circ

açısı III. bölgede olduğundan

a = \cos(190^\circ) < 0

(negatif) olur.

290^\circ

açısı IV. bölgede olduğundan

b = \sin(290^\circ) < 0

(negatif) olur.

200^\circ

açısı III. bölgede olduğundan

c = \tan(200^\circ) > 0

(pozitif) olur.

Sıralama yaparken ilk olarak değerlerin işaretlerini belirlemek, pozitif ve negatif grupları ayırmamızı sağlar.

2

Negatif olan

a

ve

b

değerlerini kıyaslayabilmek için birinci bölgeye indirgeyelim.

a = \cos(190^\circ) = \cos(180^\circ + 10^\circ) = -\cos(10^\circ)

b = \sin(290^\circ) = \sin(270^\circ + 20^\circ) = -\cos(20^\circ)

olur.

Farklı bölgelerdeki negatif değerleri karşılaştırmak için onları aynı türden dar açıların negatifleri olarak ifade etmemiz gerekir.

3

Birinci bölgede kosinüs fonksiyonunun azalan olduğunu kullanarak

a

ve

b

değerlerini karşılaştıralım.

0^\circ < 10^\circ < 20^\circ < 90^\circ

olduğundan

\cos(10^\circ) > \cos(20^\circ) > 0

olur.
Eşitsizliği

-1

ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir:

-\cos(10^\circ) < -\cos(20^\circ)

yani

a < b

elde edilir.

Kosinüs fonksiyonu birinci bölgede açı büyüdükçe küçülen (azalan) bir fonksiyondur. Negatif sayılarda ise mutlak değerce büyük olan sayı daha küçüktür.

4

Elde edilen tüm karşılaştırmaları birleştirerek nihai sıralamayı yazalım.

a < b < 0

ve

c > 0

olduğundan, doğru sıralama

a < b < c

olur.

Negatif sayılar her zaman pozitif sayılardan küçüktür.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açıya indirgenerek sıralanması.

Estimated Time:2m 0s

Question 43Question →

Aşağıda verilen $a$ , $b$ , $c$ ve $d$ trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Doğru sıralama d < b < c < a şeklindedir.

Kotanjantın negatif olması

d

değerini en küçük yapar. Diğer pozitif terimlerin birinci bölgeye indirgenmiş halleri

b = \sin(20^\circ)

,

c = \tan(40^\circ)

ve

a = \sin(80^\circ)

şeklindedir. Birinci bölgede sinüsün tanjanttan küçük olması ve yarım açı analizinden

\sin(80^\circ) > \tan(40^\circ)

gelmesi nedeniyle doğru sıralama

d < b < c < a

olur.

Step-by-Step Solution

1

Trigonometrik ifadelerin bölgelerini belirleyip işaret analizi yapma.

d = \cot(310^\circ) < 0

(IV. bölge),

b = \cos(290^\circ) > 0

(IV. bölge),

c = \tan(220^\circ) > 0

(III. bölge) ve

a = \sin(100^\circ) > 0

(II. bölge) bulunur.

Negatif olan

d

değerinin en küçük terim olduğunu saptamak için.

2

Pozitif değerleri I. bölgedeki dar açılara indirgeme.

b = \sin(20^\circ)

,

c = \tan(40^\circ)

ve

a = \sin(80^\circ)

değerleri elde edilir.

Birinci bölgede bilinen sıralama kurallarını ve trigonometrik özdeşlikleri uygulayabilmek için.

3

b = \sin(20^\circ)

ile

c = \tan(40^\circ)

değerlerini karşılaştırma.

0 < x < 90^\circ

için

\sin x < \tan x

olduğundan

\sin(20^\circ) < \tan(20^\circ)

'dir. Tanjant fonksiyonu birinci bölgede artan olduğundan

\tan(20^\circ) < \tan(40^\circ)

olur. Buradan

b < c

elde edilir.

Sinüs ve tanjant fonksiyonlarının birinci bölgedeki davranışlarını kıyaslamak için.

4

c = \tan(40^\circ)

ile

a = \sin(80^\circ)

değerlerini karşılaştırma.

\sin(80^\circ) = 2 \sin(40^\circ) \cos(40^\circ)

yarım açı açılımı ile

\tan(40^\circ) = \frac{\sin(40^\circ)}{\cos(40^\circ)}

kıyaslanır. İki ifade oranlandığında

\frac{\sin(80^\circ)}{\tan(40^\circ)} = 2 \cos^2(40^\circ)

elde edilir.

40^\circ < 45^\circ

olduğundan

\cos(40^\circ) > \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}

ve dolayısıyla

\cos^2(40^\circ) > \frac{1}{2}

olur. Buradan

2\cos^2(40^\circ) > 1

yani

a > c

elde edilir.

Yarım açı formülü yardımıyla iki pozitif değer arasındaki kesin büyüklük ilişkisini kurmak için.

Key Concept

Trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretleri, indirgeme formülleri ve birinci bölgedeki büyüklük ilişkileri.

Estimated Time:2m 0s

Question 44Question →

x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \cos x \\ b &= \frac{\sin x}{\tan x} \\ c &= \frac{\cos x}{\cot x} \end{aligned}

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

c < a < b

a < c < b

c < b < a

b < a < c

b < c < a

Show answer & explanation

Answer: $c < a < b$

Answer

c < a < b

sıralaması doğrudur.

Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde

b = \cos x

ve

c = \sin x

elde edilir. Dördüncü bölgede

\cos x

pozitif,

\sin x

ise negatif değer alır. Bu nedenle

b > 0

olup en büyük değerdir. Negatif olan

a = \sin x \cos x

ve

c = \sin x

değerlerini karşılaştırmak için,

0 < \cos x < 1

eşitsizliğinin her iki tarafı negatif bir sayı olan

\sin x

ile çarpılır. Bu işlem eşitsizliği yön değiştirerek

\sin x \cos x > \sin x

yani

a > c

haline getirir. Sonuç olarak doğru sıralama en küçükten büyüğe

c < a < b

olur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen trigonometrik ifadeleri temel kimlikleri kullanarak sadeleştirin.

b = \frac{\sin x}{\tan x} = \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \cos x

ve

c = \frac{\cos x}{\cot x} = \frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \sin x

olarak bulunur.

a = \sin x \cdot \cos x

ifadesi ise aynı kalır.

İfadeleri birbiriyle kıyaslayabilmek adına en sade biçimlerine dönüştürmek gerekir.

2

Değişkenin tanımlı olduğu bölgeye göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını analiz edin.

x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)

aralığı koordinat düzleminde 4. bölgeye aittir. Bu bölgede:

\sin x < 0

(negatif) ve

0 < \cos x < 1

(pozitif) olur.

İfadelerin işaret ve büyüklüklerini belirlemek için bölge analizi şarttır.

3

Bulunan işaret ve değer aralıklarını kullanarak değerleri sıralayın.

b = \cos x > 0

olduğundan en büyük değer

b

olur.

\sin x

ile

\cos x

zıt işaretli olduğundan çarpımları

a = \sin x \cdot \cos x < 0

olur. Negatif olan

a

ve

c

değerlerini kıyaslamak için

0 < \cos x < 1

eşitsizliğinin her iki tarafı negatif olan

\sin x

ile çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirir:

\sin x \cdot \cos x > \sin x \Rightarrow a > c

olur. Buradan

c < a < b

sıralamasına ulaşılır.

Kosinüsün pozitif basit kesir olması ve sinüsün negatif olması özelliklerinden yararlanarak sıralamayı tamamlamak için.

Key Concept

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme ve birim çember üzerindeki bölgelere göre trigonometrik değerlerin sıralanması.

Question 45Question →

x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} + \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

2\sec x

-2\sec x

-2\csc x

2\csc x

-2\cot x

Show answer & explanation

Answer: $-2\csc x$

Answer

-2\csc x

ifadesini içeren seçenek doğrudur.

Verilen ifadeyi rasyonel hale getirmek için eşleniklerle çarptığımızda paydada

\sin^2 x

elde ederiz. Bu ifade kök dışına

|\sin x|

olarak çıkar.

x

açısı üçüncü bölgede yer aldığı için

\sin x

negatif değer alır ve mutlak değerden

-\sin x

olarak kurtulur. Pay kısmındaki mutlak değerli ifadeler ise pozitif olduklarından aynen çıkarlar. Toplama işlemi yapıldığında

\cos x

terimleri birbirini götürür ve pay kısmında

2

kalır. Paydada

-\sin x

olduğu için sonuç

-2\csc x

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Köklü ifadelerin paydalarını rasyonel yapmak için pay ve paydayı eşlenikleriyle genişletelim.

\sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{1 - \cos^2 x}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{1 - \cos^2 x}}

Paydaları ortak bir paydaya (yani

\sin^2 x

ifadesine) dönü��türerek tek paydada yazabilmek için.

2

1 - \cos^2 x = \sin^2 x

özdeşliğini kullanalım ve ifadeleri kök dışına mutlak değerli olarak çıkaralım.

\sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{\sin^2 x}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{\sin^2 x}} = \frac{|1 - \cos x|}{|\sin x|} + \frac{|1 + \cos x|}{|\sin x|}

Çift dereceli kök dışına çıkan ifadelerin mutlak değerli olarak yazılması gerektiği kuralını uygulamak için.

3

x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığına (3. bölge) göre mutlak değerlerin işaretlerini belirleyelim.

3. bölgede

\cos x < 0

olduğundan

1 - \cos x > 0

ve

1 + \cos x > 0

olur. Dolayısıyla

|1 - \cos x| = 1 - \cos x

ve

|1 + \cos x| = 1 + \cos x

olarak çıkar. Yine 3. bölgede

\sin x < 0

olduğundan

|\sin x| = -\sin x

olarak çıkar.

Mutlak değerli ifadeleri aralığın işaret özelliklerine göre mutlak değer dışına çıkarmak için.

4

Belirlediğimiz işaretlerle ifadeleri yerlerine yazıp toplayalım.

\frac{1 - \cos x}{-\sin x} + \frac{1 + \cos x}{-\sin x} = \frac{1 - \cos x + 1 + \cos x}{-\sin x} = \frac{2}{-\sin x} = -2\csc x

İfadeyi en sade biçime getirmek için.

Key Concept

Trigonometrik özdeşlikler, bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve köklü ifadelerin mutlak değer ile dışarı çıkarılması.

Estimated Time:2m 0s

Question 46Question →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}

olarak veriliyor. Buna göre;

a

,

b

ve

c

değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

Verilen aralıkta

b

ifadesi iki negatif sayının toplamı olup en küçük değeri alır (

b \le -2

).

c

ifadesi biri pozitif diğeri negatif iki sayının çarpımı olup negatif bir değerdir fakat

-0.5

ile

0

arasındadır.

a

ifadesinde ise sinüs mutlak değerce kosinüsten büyük olduğu için toplam pozitiftir (

a > 0

). Bu nedenle en küçük değer

b

, ardından

c

ve en büyük değer

a

olup doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Açının bulunduğu aralığa göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleme

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığı 2. bölgenin ilk yarısına (

90^\circ < x < 135^\circ

) karşılık gelir. Bu aralıkta

\sin x > 0

,

\cos x < 0

,

\tan x < 0

ve

\cot x < 0

olur.

Trigonometrik ifadelerin işaretlerini ve birbirlerine kıyasla mutlak değer büyüklüklerini belirlemek sıralamanın ilk adımıdır.

2

Verilen ifadelerin değer aralıklarını analiz etme

a = \sin x + \cos x

ifadesinde

\sin x > |\cos x|

olduğundan toplam pozitif olur (

a > 0

).

b = \tan x + \cot x

ifadesinde her iki terim de negatif olduğundan toplam negatiftir; ayrıca

|\tan x| + |\cot x| \ge 2

olduğundan

b \le -2

elde edilir.

c = \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)

ifadesinde

2x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})

olduğundan üçüncü bölgedeki sinüs değerine bağlı olarak

-0.5 < c < 0

bulunur.

Her bir ifadenin sayı doğrusundaki yerini belirlemek için trigonometrik özdeşlikler ve eşitsizlikler kullanılır.

3

Değerleri karşılaştırarak nihai sıralamaya ulaşma

b \le -2 < c < 0 < a

aralıkları birleştirildiğinde küçükten büyüğe sıralama

b < c < a

olur.

Elde edilen değer aralıkları kesişmediği için kesin bir sıralama yapılmasına olanak tanır.

Key Concept

Trigonometrik Değerlerin İşaretleri ve Bölgeye Göre Sıralanması

Alternative Method

Verilen aralıktan özel bir değer seçilerek (örneğin

x = 120^\circ

) değerler doğrudan hesaplanabilir:

a = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \approx 0.366

,

b = -\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \approx -2.31

,

c = -\frac{\sqrt{3}}{4} \approx -0.433

bulunur ve buradan

b < c < a

sıralaması kolaylıkla görülebilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 47Question →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \cos x - \sin x \\ b &= \cot x - \csc x \\ c &= \tan x - \sec x \end{aligned}

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < a < c

b < c < a

a < b < c

c < a < b

c < b < a

Show answer & explanation

Answer: b < a < c

Answer

Doğru sıralama b < a < c şeklindedir.

Doğru sıralama b < a < c şeklindedir. İkinci bölgede kosinüs negatif ve sinüs pozitif olduğundan, a = cos x - sin x farkı negatiftir. c = tan x - sec x ifadesi sadeleştirildiğinde (sin x - 1) / cos x elde edilir; pay ve payda negatif olduğundan c pozitiftir. b = cot x - csc x ifadesi ise (cos x - 1) / sin x olup negatiftir ve a ile kıyaslandığında a'dan daha küçük olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1

İkinci bölgedeki açıların trigonometrik fonksiyonlarının işaretlerini belirleme.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

aralığında sinüs pozitif (

\sin x > 0

), kosinüs negatif (

\cos x < 0

), tanjant negatif (

\tan x < 0

), kotanjant negatif (

\cot x < 0

), sekant negatif (

\sec x < 0

) ve kosekant pozitiftir (

\csc x > 0

).

İfadelerin işaretlerini ve değer aralıklarını doğru analiz edebilmek için açı bölgesine göre işaret tayini yapılması gerekir.

2

a, b ve c ifadelerinin işaretlerini ve sadeleşmiş biçimlerini inceleme.

a = \cos x - \sin x

ifadesinde;

\cos x < 0

ve

\sin x > 0

olduğundan, negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarılmaktadır. Bu yüzden

a < 0

olur.

b = \cot x - \csc x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x - 1}{\sin x}

ifadesinde;

\cos x < 0

olduğundan

\cos x - 1 < 0

'dır. Payda olan

\sin x > 0

olduğundan, pay negatif ve payda pozitif olup

b < 0

olur.

c = \tan x - \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x - 1}{\cos x}

ifadesinde;

\sin x < 1

olduğundan

\sin x - 1 < 0

'dır. Payda olan

\cos x < 0

olduğundan, negatifin negatife bölümünden

c > 0

olur.

İfadelerin pozitiflik-negatiflik durumlarını belirleyerek genel bir sıralama çerçevesi çizmek.

3

Negatif olan a ve b değerlerini karşılaştırarak sıralamayı tamamlama.

c > 0

olduğundan en büyük değer c'dir. Negatif olan a ve b değerlerini kıyaslamak için farklarına bakarız:

a - b = (\cos x - \sin x) - \frac{\cos x - 1}{\sin x} = \frac{\sin x \cos x - \sin^2 x - \cos x + 1}{\sin x}

Pay kısmını düzenlersek:

\sin x \cos x + (1 - \sin^2 x) - \cos x = \sin x \cos x + \cos^2 x - \cos x = \cos x (\sin x + \cos x - 1)

İkinci bölgede

\cos x < 0

'dır. Ayrıca

\sin x < 1

olduğundan

\sin x - 1 < 0

ve

\cos x < 0

olduğundan bunların toplamı olan

\sin x + \cos x - 1 < 0

olur. İki negatif ifadenin çarpımı pozitif olduğundan pay kısmı pozitiftir. Payda olan

\sin x > 0

olduğundan

a - b > 0

yani

a > b

elde edilir.
Buna göre doğru sıralama

b < a < c

şeklindedir.

Her iki ifadenin de negatif olduğu durumda hangisinin sıfıra daha yakın (daha büyük) olduğunu kesinleştirmek.

Key Concept

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve özdeşlikler yardımıyla değer sıralaması.

Estimated Time:2m 0s

Question 48Question →

x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x - \tan x \\ b &= \cos x - \cot x \\ c &= \sin x - \cos x \end{aligned}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

c < a < b

Verilen aralık IV. bölgeyi temsil eder. Bu bölgede

c = \sin x - \cos x

ifadesi negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için kesinlikle negatiftir (

c < 0

).

a = \sin x - \tan x

ifadesinde

\tan x < \sin x < 0

olduğundan sonuç pozitiftir (

a > 0

).

b = \cos x - \cot x

ifadesinde ise

\cot x < -1 \implies -\cot x > 1

ve

\cos x > 0

olduğundan

b > 1

olur. Bu durumda doğru sıralama

c < a < b

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

x

açısının bölgesine göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını analiz etmek.

x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right)

aralığı birim çemberde IV. bölgededir. Bu bölgede

\sin x < 0

,

\cos x > 0

,

\tan x < 0

ve

\cot x < 0

değerlerini alır. Daha spesifik olarak

-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin x < 0

,

\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 1

,

-1 < \tan x < 0

ve

\cot x < -1

aralıklarındadır.

Toplama ve çıkarma içeren ifadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini belirleyebilmek.

2

c = \sin x - \cos x

ifadesinin işaretini incelemek.

Negatif bir değer olan

\sin x

ifadesinden pozitif bir değer olan

\cos x

çıkarıldığında sonuç negatif olur. Yani

c < 0

elde edilir.

c

değerinin negatif olduğunu bularak sıralamadaki en küçük eleman olduğunu belirlemek.

3

a = \sin x - \tan x

ifadesinin işaretini incelemek.

IV. bölgede

0 < \cos x < 1

olduğundan

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

ifadesi

\sin x

değerinden daha küçük (daha negatif) bir sayıdır. Dolayısıyla

\sin x - \tan x > 0

olur. Yani

a

pozitiftir (

a > 0

).

a

değerinin pozitif olduğunu bularak negatif olan

c

değerinden büyük olduğunu belirlemek.

4

b = \cos x - \cot x

ifadesinin değer aralığını incelemek.

IV. bölgede

\cos x > 0

ve

\cot x < -1

dir. Buradan

-\cot x > 1

olur. Pozitif olan

\cos x

ile

1

'den büyük olan

-\cot x

toplandığında

b > 1

elde edilir.

b

değerinin

1

'den büyük olduğunu göstererek

0 < a < 1

aralığında kalan

a

değerinden büyük olduğunu doğrulamak.

5

Elde edilen tüm işaret ve aralık bilgilerini birleştirerek sıralamayı tamamlamak.

c < 0

,

0 < a < 1

ve

b > 1

olduğundan küçükten büyüğe sıralama

c < a < b

şeklindedir.

Nihai sıralamayı oluşturmak.

Key Concept

IV. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve büyüklük ilişkilerini kullanarak sıralama yapma.

Question 49Question →

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin^2 x - \cos^2 x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sec x - \csc x \end{aligned}

sayıları veriliyor.

Buna göre;

a

,

b

ve

c

sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

a < c < b

a < b < c

c < a < b

b < c < a

c < b < a

Show answer & explanation

Answer: a < c < b

Answer

a < c < b sıralaması doğrudur.

Verilen aralıkta sinüs değeri kosinüs değerinden, tanjant değeri ise kotanjant değerinden büyüktür. Bu durum

a > 0

ve

b > 0

olmasını sağlar. İfadeler sadeleştirildiğinde

b = c(\sin x + \cos x)

ilişkisi elde edilir. Açı

45^\circ

ile

90^\circ

arasında olduğundan sinüs ile kosinüsün toplamı

1

'den büyüktür ve bu nedenle

b > c

olur. Benzer şekilde,

c = \frac{a}{(\sin x + \cos x)\sin x \cos x}

bağıntısında payda

1

'den küçük pozitif bir değer olduğu için

c > a

sonucu çıkar. Bu iki durum birleştirildiğinde

a < c < b

sıralaması bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Açının bulunduğu aralığa göre fonksiyonların temel büyüklük ilişkilerini belirleme.

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

olduğundan

45^\circ < x < 90^\circ

aralığındadır. Bu bölgede

\sin x > \cos x > 0

ve

\tan x > 1 > \cot x > 0

eşitsizlikleri geçerlidir.

Sıralama yapabilmek için öncelikle sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin birbirlerine göre durumlarını tespit etmeliyiz.

2

Verilen ifadeleri birbirleri cinsinden yazarak karşılaştırma yapma.

a = \sin^2 x - \cos^2 x > 0

ve

b = \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{a}{\sin x \cos x}

olur. Bu aralıkta

\sin x \cos x < \frac{1}{2}

olduğundan

\frac{1}{\sin x \cos x} > 2

'dir. Dolayısıyla

b > 2a > a

elde edilir.

Değişkenleri ortak paydada birleştirerek sadeleştirmek ve aralarındaki katsayı ilişkisini bulmak sıralamayı kolaylaştırır.

3

Sekant ve kosekant farkı olan c değerini diğer ifadelerle ilişkilendirme.

c = \sec x - \csc x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}

olur. Buradan

b = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} = c(\sin x + \cos x)

bağıntısı kurulur. Bu aralıkta

\sin x + \cos x > 1

ve

c > 0

olduğundan

b > c

olmalıdır. Ayrıca

c = \frac{a}{(\sin x + \cos x)\sin x \cos x}

ifadesinde payda

1

'den küçük olduğundan

c > a

bulunur. Sonuç olarak

a < c < b

sıralamasına ulaşılır.

Cebirsel özdeşlikler kullanılarak tüm ifadelerin birbirine bağlı oranları incelenir ve kesin sıralama bulunur.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki değer aralıklarının belirlenmesi ve temel özdeşliklerin sadeleştirilerek sıralanması.

Alternative Method

Sıralamayı doğrulamak veya sınavda pratik çözüme ulaşmak için aralıkta bulunan özel bir açı değeri seçilebilir. Örneğin,

x = 60^\circ

(

\frac{\pi}{3}

radyan) seçilirse;

\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

,

\cos 60^\circ = \frac{1}{2}

,

\tan 60^\circ = \sqrt{3}

,

\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}

,

\sec 60^\circ = 2

ve

\csc 60^\circ = \frac{2\sqrt{3}}{3}

değerleri elde edilir. Buradan

a = 0,75 - 0,25 = 0,5

,

b = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1,15

ve

c = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 0,85

bulunur. Bu değerlerin sıralaması doğrudan

a < c < b

sonucunu verir.

Estimated Time:2m 0s

Question 50Question →

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \tan x \\ b &= \cos x \cdot \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama

a < b < c

şeklindedir.

Verilen aralıkta

\sin x

ve

\cos x

negatif iken

\tan x > 1

ve

0 < \cot x < 1

olmaktadır. Bu durumda

c

ifadesi iki negatifin çarpımından pozitif olur ve en büyüktür.

a

ve

b

değerleri negatif olup,

a - b

farkının negatif çıkmasından ötürü

a < b

sıralaması elde edilir. Dolayısıyla doğru sıralama en küçükten en büyüğe

a < b < c

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığına göre trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaret ve büyüklüklerini belirlemek.

Bu aralıkta açı koordinat düzleminin 3. bölgesindedir. Dolayısıyla

\sin x < 0

,

\cos x < 0

,

\tan x > 0

ve

\cot x > 0

olur. Ayrıca bu alt aralıkta

\sin x < \cos x < 0

ve

0 < \cot x < 1 < \tan x

koşulları sağlanır.

Trigonometrik ifadelerin çarpımlarının yönünü ve işaretlerini tayin edebilmek için temel aralık özelliklerini belirlemek gerekir.

2

a

,

b

ve

c

değerlerinin işaretlerini incelemek.

a = \sin x \cdot \tan x

ifadesi negatif bir say�� ile 1'den büyük pozitif bir sayının çarpımı olduğundan negatiftir (

a < 0

).

b = \cos x \cdot \cot x

ifadesi negatif bir sayı ile 0 ile 1 arasındaki pozitif bir sayının çarpımı oldu��undan negatiftir (

b < 0

).

c = \sin x \cdot \cos x

ifadesi iki negatif sayının çarpımı olduğundan pozitiftir (

c > 0

).

Pozitif olan

c

değerinin en büyük olduğunu doğrudan görebilmek ve negatif olan

a

ile

b

değerlerini kendi arasında karşılaştırmak üzere gruplamak.

3

a

ve

b

negatif sayılarının büyüklüklerini karşılaştırmak için

a - b

farkını incelemek.

a - b = \frac{\sin^2 x}{\cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x} = \frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{\sin x \cos x}

ifadesinde,

\sin x < \cos x < 0

olduğundan pay kısmı

\sin^3 x - \cos^3 x < 0

olur. Payda ise

\sin x \cos x > 0

olur. Dolayısıyla

a - b < 0

yani

a < b

elde edilir.

Matematiksel olarak iki negatif ifadenin hangisinin daha küçük olduğunu fark yöntemiyle kesinleştirmek.

Key Concept

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve değer aralıklarının karşılaştırılması

Estimated Time:2m 0s

Question 51Question →

x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\frac{\cos^2 x}{1 - \sin x} - \frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} = -\frac{6}{5}

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $\cot x - \csc x$ ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{31}{12}

3

\frac{1}{3}

-\frac{1}{3}

-3

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

İfadenin değeri 3'tür.

Verilen rasyonel ifade sadeleştirildiğinde

2\sin x = -\frac{6}{5}

elde edilir. Buradan

\sin x = -\frac{3}{5}

bulunur.

x

açısı üçüncü bölgede yer aldığı için

\cos x = -\frac{4}{5}

olur. Bu değerler yardımıyla üçüncü bölgede

\cot x = \frac{4}{3}

ve

\csc x = -\frac{5}{3}

olarak hesaplanır. Farkları alındığında ise doğru değer olan

3

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen rasyonel ifadeleri ortak paydada buluşturarak çıkarma işlemini uygulayalım.

\frac{\cos^2 x(1 + \sin x) - \cos^2 x(1 - \sin x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} = -\frac{6}{5}

Rasyonel ifadelerde çıkarma işlemi yapabilmek için paydaları eşitlemek gerekir.

2

Payı dağıtıp düzenleyelim ve paydadaki

1 - \sin^2 x

yerine temel kimlik olan

\cos^2 x

yazarak ifadeyi sadeleştirelim.

\frac{2\cos^2 x \sin x}{\cos^2 x} = 2\sin x = -\frac{6}{5} \implies \sin x = -\frac{3}{5}

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla bilinmeyen fonksiyon değerini yalnız bırakmak hedeflenmiştir.

3

x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

tanım aralığına göre açının üçüncü bölgede olduğunu belirleyip

\cos x

,

\cot x

ve

\csc x

değerlerini bulalım.

\cos x = -\frac{4}{5}, \quad \cot x = \frac{4}{3}, \quad \csc x = -\frac{5}{3}

Üçüncü bölgede sinüs, kosinüs ve kosekant fonksiyonları negatif, kotanjant fonksiyonu ise pozitif değerler alır.

4

Bulduğumuz değerleri soruda istenen

\cot x - \csc x

ifadesinde yerine yazarak hesaplayalım.

\cot x - \csc x = \frac{4}{3} - \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3

İstenen cebirsel ifadenin nihai sonucuna ulaşmak amaçlanmıştır.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret Analizi

Estimated Time:2m 0s

Question 52Question →

x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \cos^4 x - \sin^4 x \\ b &= \tan^2 x - \cot^2 x \\ c &= \frac{\tan x}{1 + \tan^2 x} \end{aligned}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

b < c < a sıralaması doğrudur.

Verilen aralıkta

b

ifadesi negatif bir değer alırken,

a

ve

c

ifadeleri pozitif değerler alır.

a = \cos(2x)

değeri bu aralıkta

0.5

ile

1

arasında,

c = \frac{1}{2}\sin(2x)

değeri ise

0

ile yaklaşık

0.433

arasında olduğundan doğru sıralama en küçükten büyüğe doğru

b < c < a

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

a ifadesini çarpanlarına ayırarak sadeleştiriniz.

a = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)

özdeşliği yazılır.

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

olduğundan

a = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)

elde edilir.

Dördüncü dereceden terimleri iki kare farkı özdeşliğiyle daha kolay analiz edilebilir yarım açı formülüne dönüştürmek için.

2

b ifadesinin değer aralığını belirleyiniz.

x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right)

aralığında

\tan x

artan bir fonksiyondur ve

0 < \tan x < \frac{1}{\sqrt{3}}

aralığındadır. Bu durumda

\tan^2 x < \frac{1}{3}

olur. Benzer şekilde

\cot x > \sqrt{3}

olduğundan

\cot^2 x > 3

elde edilir. Buradan

b = \tan^2 x - \cot^2 x < \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3}

bulunur.

Terimin negatif bir değer aldığını ve sayısal sınırını belirlemek için.

3

c ifadesini temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla en sade haline getirip aralığını bulunuz.

1 + \tan^2 x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}

özdeşliği kullanıldığında;

c = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)

elde edilir.

2x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right)

aralığında sinüs fonksiyonu pozitif değerler alır ve

\sin(2x) \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

olduğundan

c \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)

aralığındadır.

Rasyonel trigonometrik ifadeyi sadeleştirip değer kümesini netleştirmek için.

4

Sadeleşen ifadelerin değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı yapınız.

b < -2.67

,

0 < c < 0.433

ve

0.5 < a < 1

aralıkları elde edilmiştir. Bu aralıklar birbirleriyle kesişmediği için

b < c < a

sıralaması bulunur.

Her bir değişken için bulunan kesin eşitsizlik aralıklarını birleştirmek için.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama

Question 53Question →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \sin x \cdot \cos x \\ c &= \tan x + \cot x \end{aligned}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

c < b < a

b < c < a

b < a < c

c < a < b

a < b < c

Show answer & explanation

Answer: c < b < a

Answer

c < b < a sıralaması doğrudur.

İkinci bölgenin belirtilen aralığında

\sin x

pozitif,

\cos x

negatiftir.

\sin x

değeri mutlak değerce

\cos x

değerinden büyük olduğu için toplamları olan

a

pozitif bir değer alır. Sinüs ve kosinüsün çarpımı olan

b

negatif olup

[-1/2, 0)

aralığındadır.

c = \tan x + \cot x

ifadesi

\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{b}

olarak yazıldığında, negatif basit kesir olan

b

değerinin çarpmaya göre tersi

-2

veya daha küçük olur. Bu durumda negatif olan değerlerden

c

,

b

'den daha küçüktür; pozitif olan

a

ise en büyüktür. Dolayısıyla doğru sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Açının bulunduğu bölgeyi belirleyip, trigonometrik fonksiyonların işaretlerini analiz edelim.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığı ikinci bölgededir. Bu aralıkta

\sin x > 0

ve

\cos x < 0

olur. Ayrıca

x

açısı

90^\circ

ile

135^\circ

arasında olduğundan, birim çemberde sinüs eksenine daha yakındır ve

\sin x > |\cos x|

eşitsizliği sağlanır. Buradan

a = \sin x + \cos x > 0

elde edilir.

Değişkenlerin işaretlerini ve büyüklük ilişkilerini belirlemek için.

2

b değerinin işaretini ve aralığını bulalım.

b = \sin x \cdot \cos x

ifadesi pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı olduğundan negatiftir (

b < 0

). Yarım açı formülünü kullanarak

b = \frac{\sin(2x)}{2}

yazabiliriz.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

ise

2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

olur. Bu üçüncü bölgede sinüs fonksiyonu

[-1, 0)

aralığında değer aldığından,

b \in \left[-\frac{1}{2}, 0\right)

aralığındadır.

Çarpımın değer sınırlarını belirlemek için.

3

c değerini özdeşlikler yardımıyla düzenleyelim ve b değeri ile ilişkilendirelim.

c = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{b}

olur.

b \in \left[-\frac{1}{2}, 0\right)

olduğundan, çarpmaya göre tersi olan

c = \frac{1}{b} \le -2

olur.

c ve b arasındaki büyüklük ilişkisini kurmak için.

4

Elde edilen tüm değer aralıklarını birleştirerek doğru sıralamayı bulalım.

c \le -2

,

-\frac{1}{2} \le b < 0

ve

a > 0

olduğundan, doğru sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Sıralamayı nihayete erdirmek için.

Key Concept

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri,

\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x}

özdeşliği ve basit kesirlerin çarpmaya göre tersinin sıralamadaki etkisi.

Estimated Time:2m 0s

Question 54Question →

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \cos x - \sin x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sin x + \cos x \end{aligned}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büy��ğe doğru sıralama

a < c < b

şeklindedir.

İkinci bölgenin

\left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

kısmında kosinüs negatif, sinüs ise pozitif değerler alır. Bu aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsten büyük olduğundan sinüs ile kosinüsün toplamı negatif olur. Kosinüs ile sinüsün farkı ise negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için daha da küçük bir negatif sayı verir. Tanjant ve kotanjant değerleri negatif olmakla birlikte, bu aralıkta kotanjant

-1

'den küçük, tanjant ise

-1

'den büyüktür. Dolayısıyla tanjant ile kotanjantın farkı pozitif bir değer üretir. Bu durum, kosinüs ile sinüsün farkını en küçük, tanjant ile kotanjantın farkını ise en büyük yapar. Sonuç olarak sıralama en küçükten en büyüğe doğru sırasıyla kosinüs ve sinüsün farkı, sinüs ve kosinüsün toplamı, tanjant ve kotanjantın farkı şeklinde gerçekleşir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen aralıktaki trigonometrik değerlerin işaretlerini ve sınırlarını belirlemek.

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığı ikinci bölgenin ikinci yarısını temsil eder. Bu aralıkta;
-

\sin x > 0

ve

\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}

-

\cos x < 0

ve

\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}

-

\tan x \in (-1, 0)

-

\cot x < -1

olur.

Birim çember üzerindeki ikinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir. Açı

\frac{3\pi}{4}

değerini aştığında kosinüsün mutlak değeri büyürken sinüsün mutlak de��eri küçülür.

2

a

,

b

ve

c

ifadelerinin işaretlerini ve büyüklüklerini analiz etmek.

-

a = \cos x - \sin x \rightarrow

(Negatif) - (Pozitif) = Negatif bir değer alır.
-

b = \tan x - \cot x \rightarrow

\tan x > -1

ve

-\cot x > 1

olduğundan toplamları pozitif bir değer alır (

b > 0

).
-

c = \sin x + \cos x \rightarrow

Bu aralıkta

|\cos x| > \sin x

olduğundan, toplamları negatif bir değer alır (

c < 0

).

İfadelerin genel işaret yapıları sıralamanın ana hatlarını belirler. Pozitif olan

b

ifadesi en büyük değere sahiptir.

3

Negatif olan

a

ve

c

değerlerini kıyaslayarak tam sıralamayı oluşturmak.

c - a = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) = 2\sin x

elde edilir. Bu aralıkta

\sin x > 0

olduğundan

2\sin x > 0

olur, yani

c > a

bağıntısı bulunur.

İki negatif değer arasındaki farkın işareti incelenerek hangisinin daha büyük olduğu belirlenir.

c > a

ve

b > 0

olduğundan, nihai sıralama

a < c < b

olarak kesinleşir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların ikinci bölgedeki işaretleri, değer aralıkları ve mutlak değerce büyüklük kıyaslamaları.

Question 55Question →

x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)

olmak üzere,

\frac{\sin x}{\sqrt{1 - \sin^2 x}} + \frac{\cos x}{\sqrt{1 - \cos^2 x}}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\tan x - \cot x

\tan x + \cot x

\cot x - \tan x

-\tan x - \cot x

0

Show answer & explanation

Answer: $\tan x - \cot x$

Answer

tan x - cot x

Dördüncü bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitif, sinüs fonksiyonunun işareti negatiftir. Karekök içindeki tam kare ifadeler dışarıya mutlak değer ile çıkarılır. Buna göre,

\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x| = \cos x

ve

\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| = -\sin x

olur. Bu değerler yerlerine yazıldığında ifade

\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}

haline gelir. Tanjant ve kotanjant tanımlarından faydalanılarak bu ifade

\tan x - \cot x

şeklinde sadeleşir.

Step-by-Step Solution

1

Kök içerisindeki ifadeleri temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla düzenleme.

1 - \sin^2 x = \cos^2 x

ve

1 - \cos^2 x = \sin^2 x

özdeşlikleri kullanılarak ifade

\frac{\sin x}{\sqrt{\cos^2 x}} + \frac{\cos x}{\sqrt{\sin^2 x}}

şeklinde yazılır.

Kök dışına çıkarma işlemini gerçekleştirmek için temel özdeşliklerden yararlanılır.

2

Kareköklü ifadeleri mutlak değer kullanarak kök dışına çıkarma.

\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|

ve

\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|

olduğundan ifade

\frac{\sin x}{|\cos x|} + \frac{\cos x}{|\sin x|}

haline gelir.

Çift dereceli köklerin dışına çıkan ifadelerin işaretini doğru belirlemek için mutlak değer kullanılır.

3

Verilen aralığa göre mutlak değerlerin işaretini belirleyip sadeleştirme yapma.

x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)

aralığı 4. bölgede olduğundan bu bölgede

\cos x > 0

ve

\sin x < 0

olur. Dolayısıyla

|\cos x| = \cos x

ve

|\sin x| = -\sin x

olarak çıkar. İfade

\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{-\sin x} = \tan x - \cot x

şeklinde sadeleşir.

4. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaret kuralları uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret Belirleme

Estimated Time:1m 30s

Question 56Question →

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere, aşağıda verilen ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama a < b < c şeklindedir.

Verilen üçüncü bölge aralığında sinüs ve kosinüs fonksiyonları negatif, tanjant ve kotanjant fonksiyonları ise pozitiftir. Bu doğrultuda iki negatif değerin çarpımı olan üçüncü ifade pozitif; negatif ve pozitif değerlerin çarpımları olan birinci ve ikinci ifadeler ise negatif olur. Negatif ifadelerin mutlak değerleri karşılaştırıldığında, sinüsün mutlak değerinin kosinüsün mutlak değerinden büyük olmasından ötürü birinci ifade mutlak değerce daha büyük ve dolayısıyla daha küçüktür. Bu durum sıralamayı birinci ifade < ikinci ifade < üçüncü ifade biçiminde belirler.

Step-by-Step Solution

1

Aralığa göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleme.

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığı birim çemberde ��çüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede

\sin x < 0

,

\cos x < 0

,

\tan x > 0

ve

\cot x > 0

değerlerini alır.

Birim çember üzerinde üçüncü bölgedeki noktaların apsisleri (kosinüs) ve ordinatları (sinüs) negatif; bu değerlerin oranları olan tanjant ve kotanjant ise pozitiftir.

2

Tanımlanan a, b ve c ifadelerinin işaretlerini analiz etme.

a = \sin x \cdot \tan x < 0

(negatif ile pozitifin çarpımı),

b = \cos x \cdot \cot x < 0

(negatif ile pozitifin çarpımı),

c = \sin x \cdot \cos x > 0

(iki negatifin çarpımı) olarak bulunur.

İşaret kurallarına göre zıt işaretli sayıların çarpımı negatif, aynı işaretli sayıların çarpımı ise pozitiftir.

3

Negatif olan a ve b ifadelerini mutlak değerce karşılaştırma.

\frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2}

aralığında

|\sin x| > |\cos x|

olduğundan,

|a| = \frac{\sin^2 x}{|\cos x|}

ifadesinin payı daha büyük, paydası daha küçüktür. Dolayısıyla

|a| > |b|

elde edilir. Sayılar negatif olduğundan

a < b

olur.

Negatif iki sayıdan mutlak değerce büyük olan sayı sayı doğrusunda daha solda yer alacağı için daha küçüktür.

Key Concept

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin ve büyüklüklerinin karşılaştırılması.

Estimated Time:2m 0s

Question 57Question →

\pi < x < \frac{5\pi}{4}

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \cos x - \cot x \\ c &= \sin x - \tan x \end{aligned}

sayılarının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

c < b < a

b < a < c

b < c < a

a < c < b

c < a < b

Show answer & explanation

Answer: $b < c < a$

Answer

b < c < a sıralaması doğrudur.

Doğru sıralama olan b < c < a ilişkisi, üçüncü bölgede kosinüsün sinüsten daha küçük negatif değer alması, kotanjantın tanjanttan büyük pozitif değer alması ve pozitif-negatif değerlerin kendi aralarında kıyaslanmasıyla kesin olarak saptanır.

Step-by-Step Solution

1

Açının bölgesini belirleyip fonksiyonların işaret ve büyüklüklerini analiz etme

\pi < x < \frac{5\pi}{4}

aralığı birim çemberde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede:
-

\sin x < 0

ve

\cos x < 0

-

\tan x > 0

ve

\cot x > 0

- Açı

\frac{5\pi}{4}

değerinden küçük oldu��undan, bu aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsün mutlak değerinden büyüktür. Dolayısıyla

\cos x < \sin x < 0

ilişkisi vardır.
- Yine bu aralıkta tanjant değeri

1

'den küçük, kotanjant değeri ise

1

'den büyüktür:

0 < \tan x < 1 < \cot x

.

Sıralama yapılacak ifadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini belirlemek için bölge analizine ihtiyaç duyulur.

2

a, b ve c sayılarının işaretlerini belirleme

-

a = \sin x - \cos x

:

\sin x > \cos x

olduğundan (örneğin

-0.5 > -0.866

), bu fark pozitif bir değer üretir (

a > 0

).
-

b = \cos x - \cot x

: Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için sonuç kesinlikle negatiftir (

b < 0

).
-

c = \sin x - \tan x

: Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için sonuç kesinlikle negatiftir (

c < 0

).

İfadelerin pozitiflik ve negatiflik durumları belirlenerek sıralamada genel bir taslak oluşturulur.

3

Negatif olan b ve c değerlerini kendi aralarında kıyaslama

b

ve

c

değerlerinin farkına bakalım:

b - c = (\cos x - \cot x) - (\sin x - \tan x) = (\cos x - \sin x) + (\tan x - \cot x)

-

\cos x < \sin x \implies \cos x - \sin x < 0

(negatif)
-

\tan x < \cot x \implies \tan x - \cot x < 0

(negatif)
İki negatif değerin toplamı da negatif olacağından

b - c < 0

yani

b < c

elde edilir.

Her ikisi de negatif olan iki değerin hangisinin daha küçük olduğunu bulmak için farkları analiz edilir.

4

Genel sıralamayı birleştirme

b < c < 0 < a

olduğundan doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

Elde edilen tüm büyüklük ilişkileri bir araya getirilerek nihai sıralama oluşturulur.

Key Concept

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İşaretleri ve Sıralaması

Estimated Time:2m 0s

Question 58Question →

\begin{aligned} a &= \sin 160^\circ \\ b &= \cos 250^\circ \\ c &= \tan 310^\circ \\ d &= \cot 70^\circ \end{aligned}

olduğuna göre; $a$ , $b$ , $c$ ve $d$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

c < b < a < d

b < a < d < c

c < a < b < d

c < b < d < a

b < c < a < d

Show answer & explanation

Answer: $c < b < a < d$

Answer

c < b < a < d

Verilen ifadeler dar açıya indirgendiğinde

a = \sin 20^\circ

,

b = -\sin 20^\circ

,

c = -\tan 50^\circ

ve

d = \tan 20^\circ

değerleri elde edilir. Negatif değerlerden

-\tan 50^\circ

değeri

-1

'den küçükken,

-\sin 20^\circ

değeri

-1

ile

0

arasındadır; bu nedenle en küçük değer

-\tan 50^\circ

(

c

), ardından

-\sin 20^\circ

(

b

) gelir. Pozitif değerlerden ise birinci bölgede aynı açının tanjantı sinüsünden büyük olduğu için

\sin 20^\circ

(

a

) değeri

\tan 20^\circ

(

d

) değerinden küçüktür. Bu analiz birleştirildiğinde doğru sıralamanın

c < b < a < d

olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1

Trigonometrik ifadeleri dar açılar cinsinden ve uygun işaretlerle ifade etmek.

a = \sin 20^\circ

,

b = -\sin 20^\circ

,

c = -\tan 50^\circ

ve

d = \tan 20^\circ

İfadeleri kolayca karşılaştırabilmek amacıyla hepsini birinci bölgedeki dar açılar cinsinden yazmak gerekir.

2

Elde edilen değerleri pozitif ve negatif olarak gruplandırıp kendi aralarında sıralamak.

Pozitifler:

d > a > 0

, Negatifler:

c < b < 0

Birinci bölgede

0 < \alpha < 90^\circ

için

\tan \alpha > \sin \alpha

olduğundan

\tan 20^\circ > \sin 20^\circ

olur. Ayrıca

\tan 50^\circ > 1

olduğundan

-\tan 50^\circ < -1

ve

-1 < -\sin 20^\circ < 0

olur.

3

Grupları birleştirerek nihai sıralamayı yazmak.

c < b < a < d

Negatif değerler pozitif değerlerden her zaman küçük olduğundan iki grubun sıralaması birleştirilir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açıya indirgenerek sıralanması.

Estimated Time:1m 30s

Question 59Question →

\begin{aligned} a &= \sin\left(\frac{19\pi}{12}\right) \\ b &= \cos\left(\frac{11\pi}{10}\right) \\ c &= \tan\left(\frac{13\pi}{9}\right) \\ d &= \cot\left(\frac{23\pi}{18}\right) \end{aligned}

olduğuna göre; $a$ , $b$ , $c$ ve $d$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Verilen sayıların küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı

a < b < d < c

şeklindedir.

Verilen ifadeler birinci bölgeye indirgendiğinde negatif olanlar

a = -\cos(15^\circ)

ve

b = -\cos(18^\circ)

olarak elde edilir. Birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan

\cos(15^\circ) > \cos(18^\circ)

olur. Buradan negatif halleri kıyaslandığında

a < b

sonucu çıkar. Pozitif olan ifadeler ise

d = \tan(40^\circ)

ve

c = \tan(80^\circ)

şeklindedir. Birinci bölgede tanjant fonksiyonu artan olduğundan ve

\tan(45^\circ) = 1

referans alındığında

d < 1 < c

bulunur. Negatif değerler pozitiflerden daima küçük olduğundan sıralama

a < b < d < c

olarak netleşir.

Step-by-Step Solution

1

Açıların birim çember üzerindeki bölgelerini ve fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleyiniz.

\frac{19\pi}{12}

açısı 4. bölgededir, sinüs değeri negatiftir (

a < 0

).

\frac{11\pi}{10}

açısı 3. bölgededir, kosinüs değeri negatiftir (

b < 0

).

\frac{13\pi}{9}

açısı 3. bölgededir, tanjant değeri pozitiftir (

c > 0

).

\frac{23\pi}{18}

açısı 3. bölgededir, kotanjant değeri pozitiftir (

d > 0

).

Sıralama yaparken negatif ve pozitif değerleri kendi aralarında gruplandırmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.

2

Verilen trigonometrik ifadeleri indirgeme formülleri yardımıyla birinci bölgedeki dar açılar cinsinden yazınız.

a = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\cos(15^\circ)

,

b = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{10}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{10}\right) = -\cos(18^\circ)

,

c = \tan\left(\pi + \frac{4\pi}{9}\right) = \tan\left(\frac{4\pi}{9}\right) = \tan(80^\circ)

,

d = \cot\left(\pi + \frac{5\pi}{18}\right) = \cot\left(\frac{5\pi}{18}\right) = \cot(50^\circ) = \tan(40^\circ)

.

Tüm ifadeleri birinci bölgeye taşımak, büyüklük kıyaslaması yapmayı standartlaştırır.

3

Elde edilen dar açılı değerleri negatif ve pozitif gruplar halinde kendi aralarında sıralayınız.

Birinci bölgede açılar büyüdükçe kosinüs azaldığından

\cos(15^\circ) > \cos(18^\circ)

olur. Eksi ile çarptığımızda

-\cos(15^\circ) < -\cos(18^\circ)

elde edilir, yani

a < b

'dir.
Pozitif değerler için, birinci bölgede açılar büyüdükçe tanjant değeri artar.

\tan(40^\circ) < \tan(45^\circ) = 1 < \tan(80^\circ)

olduğundan

d < 1 < c

elde edilir.

Negatif sayıların mutlak değerce büyük olanının daha küçük olduğu gerçeği ile birinci bölgedeki artan/azalan fonksiyon özelliklerini birleştirerek nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve açıların indirgenerek birinci bölgede sıralanması

Question 60Question →

\frac{\pi}{2} < x < \pi

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \cos x \\ b &= \cot x \\ c &= \csc x \end{aligned}

olarak veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < a < c

a < b < c

c < b < a

b < c < a

a < c < b

Show answer & explanation

Answer: $b < a < c$

Answer

Doğru sıralama b < a < c şeklindedir.

İkinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs ve kotanjant negatiftir.

0 < \sin x < 1

aralığında olduğundan, kosekant değeri olan

1/\sin x

daima 1'den büyüktür ve pozitiftir, yani en büyük terimdir. Kosinüs ve kotanjant negatif değerlerdir. Negatif olan kosinüs değeri, 0 ile 1 arasındaki pozitif sinüs değerine bölündüğünde daha da negatifleşerek küçülür ve kotanjant değerini verir. Bu nedenle kotanjant kosinüsten daha küçüktür. Sıralama küçükten büyüğe doğru kotanjant, kosinüs, kosekant şeklinde olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Açının bölgesini belirleme ve temel trigonometrik oranların işaretlerini analiz etme.

x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)

olduğundan, açı koordinat sisteminin ikinci bölgesindedir. İkinci bölgede

\sin x > 0

,

\cos x < 0

ve

\cot x < 0

değerlerini alır.

Sıralama işlemine başlamadan önce değerlerin pozitiflik-negatiflik durumunu belirlemek sıralamayı kolaylaştırır.

2

Kosekant (

c

) değerinin işaretini ve değer aralığ��nı belirleme.

c = \csc x = \frac{1}{\sin x}

olarak tanımlıdır. İkinci bölgede

0 < \sin x < 1

aralığında değer aldığından, bu değerin çarpmaya göre tersi olan kosekant değeri

c > 1

olur. Pozitif olan tek terim

c

olduğundan en büyük değerdir.

Kosekantın ikinci bölgedeki değer aralığını bularak en büyük elemanı tespit etmek için.

3

Kosinüs (

a

) ve kotanjant (

b

) değerlerini karşılaştırma.

b = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

şeklindedir. İkinci bölgede

0 < \sin x < 1

olduğundan,

\frac{1}{\sin x} > 1

eşitsizliği geçerlidir. Negatif bir sayı olan

\cos x

ile bu eşitsizliğin her iki tarafı çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir:

\frac{\cos x}{\sin x} < \cos x \implies b < a

elde edilir. Sonuç olarak

b < a < c

sıralaması bulunur.

Negatif iki değerin mutlak değerce büyüklükleri ile negatif sıralama kurallarını birleştirerek nihai sıralamayı elde etmek için.

Key Concept

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaret ve değer aralıkları kullanılarak sıralanması.

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes