Denklem ve Eşitsizlikler Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 16

Question 301Question →

Bir marangoz, boyu $180$ cm olan tahta bir bloğu iki parçaya ayıracaktır. Bu parçalardan birinin boyu $x$ cm'dir. Marangozun elde etmek istediği ideal parça boyu $y$ cm olup, $x$ ile $y$ arasındaki ilişki

|x - y| = 15

denklemi ile modellenmiştir.

Elde edilen parçalardan birinin boyu $75$ cm olduğuna göre, ideal parça boyu olan $y$ 'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaç cm'dir?

150

210

270

300

360

Show answer & explanation

Answer: 270

Answer

İdeal parça boyu olan y'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı 270 cm'dir.

Doğru cevap, 180 cm boyundaki tahtanın 75 cm ve 105 cm olmak üzere iki parçaya ayrılacağı bilgisini kullanarak, x değişkeninin bu parçalardan herhangi biri olabileceğini göz önünde bulundurur. x = 75 ve x = 105 durumlarının her ikisi için de |x - y| = 15 denklemi çözüldüğünde elde edilen farklı y değerleri 60, 90 ve 120 olur. Bu değerlerin toplamı 270'tir.

Step-by-Step Solution

1

Tahta bloğun toplam boyundan yararlanarak diğer parçanın boyunu hesaplamak.

Diğer parçanın boyu

180 - 75 = 105

cm olarak bulunur.

Elde edilen iki parçanın toplam boyu tahta bloğun ilk boyuna (

180

cm) eşit olmalıdır.

2

Parçalardan birinin boyunun

x

cm olduğu bilgisine göre

x

için olası durumları belirlemek.

x = 75

veya

x = 105

olabilir.

75

cm'lik parça veya

105

cm'lik parça

x

değişkeni ile ifade edilmiş olabilir.

3

x = 75

için

|x - y| = 15

denklemini çözmek.

|75 - y| = 15 \implies 75 - y = 15

veya

75 - y = -15

olup

y = 60

veya

y = 90

elde edilir.

Mutlak değerli bir denklem, içindeki ifadenin pozitif veya negatif değerine eşitlenerek çözülür.

4

x = 105

için

|x - y| = 15

denklemini çözmek.

|105 - y| = 15 \implies 105 - y = 15

veya

105 - y = -15

olup

y = 90

veya

y = 120

elde edilir.

İkinci durumdaki

x

değeri için de mutlak değerli denklem çözülmelidir.

5

Bulunan

y

değerlerinin farklı olanlarını belirleyip toplamak.

Farklı

y

değerleri

60

,

90

ve

120

olup, toplamları

60 + 90 + 120 = 270

olur.

Soruda ideal parça boyu

y

'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerin çözüm kümesini bulma ve gerçek hayat durumlarında değişkenlerin alabileceği tüm durumları analiz etme.

Question 302Question →

Bir barajdaki su seviyesinin kontrol altında tutulması amacıyla kurulan otomatik bir sistemde; anlık su seviyesi $x$ metre olmak üzere, su seviyesinin hedeflenen $50$ metreye olan uzaklığının $3$ katı ile kritik sınır olan $38$ metreye olan uzaklığının toplamı tam olarak $24$ metre olduğunda tahliye kapakları devreye girmektedir.

Buna göre, tahliye kapaklarının devreye girdiği su seviyesi değerlerinin toplamı kaç metredir?

85

94

121

97

138

Show answer & explanation

Answer: 97

Answer

Tahliye kapaklarının devreye girdiği su seviyesi değerlerinin toplamı 97 metredir.

Denklemin çözümünde mutlak değerli ifadelerin kritik noktaları olan 38 ve 50 değerlerine göre yapılan aralık incelemesinde, geçerli kökler 44 ve 53 olarak bulunur. Bu iki kökün toplamı olan 97 değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Soruda verilen sözel durum matematiksel denkleme dönüştürülür.

3|x - 50| + |x - 38| = 24

denklemi elde edilir.

Uzaklık kavramı mutlak değer ile ifade edilir. Hedeflenen 50 metreye uzaklığın 3 katı

3|x-50|

ve kritik 38 metreye uzaklık

|x-38|

biçimindedir.

2

Kritik noktalar olan

x = 38

ve

x = 50

değerlerine göre reel sayılar kümesi üç farklı aralıkta incelenir ve birinci aralık olarak

x \geq 50

durumu çözülür.

x \geq 50

için:

3(x - 50) + (x - 38) = 24 \Rightarrow 4x - 188 = 24 \Rightarrow 4x = 212 \Rightarrow x = 53

bulunur.

x \geq 50

olduğunda her iki mutlak değerin içi de pozitif veya sıfır olduğundan ifadeler dışarıya aynen çıkar. Bulunan

53

değeri

x \geq 50

koşulunu sağladığından geçerli bir köktür.

3

İkinci aralık olan

38 \leq x < 50

durumu çözülür.

38 \leq x < 50

için:

3(50 - x) + (x - 38) = 24 \Rightarrow 150 - 3x + x - 38 = 24 \Rightarrow 112 - 2x = 24 \Rightarrow 2x = 88 \Rightarrow x = 44

bulunur.

Bu aralıkta

|x - 50|

ifadesinin içi negatif olduğundan eksi ile çarpılarak

50 - x

olarak çıkar;

|x - 38|

ifadesinin içi pozitif veya sıfır olduğundan aynen çıkar. Bulunan

44

değeri

38 \leq x < 50

koşulunu sağladığından geçerli bir köktür.

4

Üçüncü aralık olan

x < 38

durumu çözülür.

x < 38

için:

3(50 - x) + (38 - x) = 24 \Rightarrow 150 - 3x + 38 - x = 24 \Rightarrow 188 - 4x = 24 \Rightarrow 4x = 164 \Rightarrow x = 41

bulunur.

Bu aralıkta her iki mutlak değerin içi de negatif olduğundan eksi ile çarpılarak çıkarılır. Ancak bulunan

41

değeri

x < 38

koşulunu sağlamadığı (

41 > 38

olduğu) için kök olarak kabul edilemez.

5

Bulunan geçerli kökler toplanır.

53 + 44 = 97

elde edilir.

Denklemi sağlayan geçerli su seviyesi değerleri

53

ve

44

metredir.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerin çözümünde, mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktalara göre aralık incelemesi yapılması ve bulunan köklerin incelenen aralık koşulunu sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi gerekir.

Estimated Time:2m 0s

Question 303Question →

Bir mağazada satılan A marka tişörtün birim fiyatı iki basamaklı $ab$ TL, B marka tişörtün birim fiyatı ise iki basamaklı $ba$ TL'dir. Bu mağazadan A marka tişörtlerden $x$ tane, B marka tişörtlerden $y$ tane alan bir müşteri toplam 220 TL ödemiştir. Eğer bu müşteri A marka tişörtlerden $y$ tane, B marka tişörtlerden $x$ tane alsaydı yine toplam 220 TL ödeyecekti. Müşterinin aldığı toplam tişört sayısı $x+y=4$ olduğuna göre, A marka tişörtün birim fiyatının alabileceği en büyük değer için $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

18

9

55

0

4

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

En büyük iki basamaklı ab sayısının rakamları çarpımı olan 9 değeri doğru cevaptır.

Denklem sistemini taraf tarafa topladığımızda (11a + 11b)(x+y) = 440 elde edilir. x+y = 4 değeri yerine yazıldığında 44(a+b) = 440 buradan da a+b = 10 bulunur. ab sayısının en büyük değeri alabilmesi için onlar basamağındaki a rakamı en büyük seçilmelidir. a ve b sıfırdan farklı rakamlar olduğundan a = 9 ve b = 1 olur. Buradan en büyük ab sayısı 91 olarak bulunur ve rakamları çarpımı 9 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen sözel ifadeleri denklem sistemine dönüştürelim.

A marka tişörtün birim fiyatı

ab

ve B marka tişörtün birim fiyatı

ba

olmak ��zere iki denklem elde edilir:

(ab)x + (ba)y = 220

(ba)x + (ab)y = 220

Soruda belirtilen alışveriş tutarlarını matematiksel olarak ifade etmek için.

2

Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım ve ortak çarpan parantezine alalım.

(ab + ba)x + (ab + ba)y = 440 \implies (ab + ba)(x + y) = 440

Denklem sistemini sadeleştirip x+y toplamını kullanabilmek için.

3

x+y = 4 değerini yerine yazarak iki basamaklı sayıların çözümlenmesini yapalım.

(ab + ba) \cdot 4 = 440 \implies ab + ba = 110

(10a + b) + (10b + a) = 110 \implies 11(a + b) = 110 \implies a + b = 10

Basamak çözümlemesiyle a ve b rakamları arasındaki ilişkiyi bulmak için.

4

ab ve ba iki basamaklı sayılar olduğundan a ve b sıfırdan farklı birer rakamdır. Bu koşullar altında ab iki basamaklı sayısının alabileceği en büyük değeri bulalım ve rakamları çarpımını hesaplayalım.

ab sayısının en büyük olması için onlar basamağındaki a rakamı en büyük seçilmelidir. a = 9 için b = 1 olur (

ab = 91

). Bu durumda

a \cdot b = 9 \cdot 1 = 9

bulunur.

İki basamaklı en büyük ab sayısını belirleyip istenen çarpımı elde etmek için.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin kurulması ve basamak çözümlemesi ile çözülmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question 304Question →

Sıfırdan farklı ve birbirinden farklı $a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayıları için
* $a \cdot b < 0$
* $|a| < |b|$
* $|a - c| + |b - c| = |a - b|$

olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. $a \cdot c > 0$
II. $|b| > |c|$
III. $a \cdot (a + b) < 0$

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız II

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: II ve III

Answer

İkinci ve üçüncü ifadeler her zaman doğrudur.

Doğru seçenekte belirtilen ikinci ve üçüncü ifadeler, her iki durum için de mutlak değer özellikleri ve sayı doğrusu üzerindeki sıralama kuralları kullanılarak doğrulanmaktadır. c sayısı a ile b arasında yer aldığı için mutlak değeri her zaman mutlak değerce daha büyük olan b sayısından küçük olacaktır. Ayrıca a ile a ve b toplamı zıt işaretli olduğundan çarpımları her zaman negatiftir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin geometrik yorumunu yapmak.

|a - c| + |b - c| = |a - b|

eşitliği, sayı doğrusunda

c

sayısının

a

ile

b

arasında bulunduğunu (

a < c < b

veya

b < c < a

) gösterir.

Mutlak değerler farkı toplamı, iki uç nokta arasındaki mesafeye eşit olduğunda aradaki nokta bu iki noktanın oluşturduğu kapalı aralığın içinde yer almalıdır.

2

a ve b sayılarının işaret ve mutlak değerce büyüklük ilişkilerini incelemek.

a \cdot b < 0

olduğundan sayılar zıt işaretlidir.

|a| < |b|

olduğundan

b

sayısı sıfıra daha uzaktır. İki durum mevcuttur:
Durum 1:

a < 0 < b

ise

-a < b \implies a + b > 0

olur ve

c

sayısı

a < c < b

aralığındadır.
Durum 2:

b < 0 < a

ise

a < -b \implies a + b < 0

olur ve

c

sayısı

b < c < a

aralığındadır.

Sayıların zıt işaretli olması ve mutlak değerce büyüklük sıralaması, toplamlarının işaretini belirlemeyi sağlar.

3

Öncüllerin doğruluğunu her iki durum için ayrı ayrı test etmek.

I. öncül: Durum 1'de

a < 0

iken

a < c < b

aralığındaki

c

sayısı pozitif veya negatif olabilir. Örneğin

a = -2

,

b = 5

,

c = 1

için

a \cdot c < 0

olur. Her zaman doğru değildir.
II. öncül: Durum 1'de

-b < a < c < b \implies |c| < |b|

olur. Durum 2'de

b < c < a < -b \implies |c| < |b|

olur. Her zaman doğrudur.
III. öncül: Durum 1'de

a < 0

ve

a + b > 0 \implies a \cdot (a+b) < 0

olur. Durum 2'de

a > 0

ve

a + b < 0 \implies a \cdot (a+b) < 0

olur. Her zaman doğrudur.

Olası tüm durumları inceleyerek hangi öncüllerin kesinlikle sağlandığını tespit etmek gerekir.

Key Concept

Mutlak değerin sayı doğrusu üzerindeki uzaklık yorumu ve mutlak değerli eşitsizliklerin işaret analizinde kullanılması.

Estimated Time:2m 0s

Question 305Question →

Bir havaalanındaki iki farklı yürüyen bantta hareket eden bir yolcuyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yolcunun kendi yürüme hızı ile yürüyen bantların hızları sabittir.
* Yolcu, 1. yürüyen bant üzerinde bantla aynı yönde yürüdüğünde hızı saniyede $3{}2$ metre; banda göre ters yönde ve aynı yürüme hızıyla yürüdüğünde ise hızı saniyede $0{}8$ metre olmaktadır.
* 2. yürüyen bandın hızı, 1. yürüyen bandın hızının $1{}5$ katıdır.
* Yolcu, 2. yürüyen bant üzerinde kendi yürüme hızını $\%25$ artırarak bantla aynı yönde yürümüştür.

Buna göre, yolcunun 2. yürüyen bant üzerindeki bu hareketinde hızı saniyede kaç metre olur?

Show answer & explanation

Answer: 4.3

Answer

Yolcunun 2. yürüyen bant üzerindeki toplam hızı saniyede

4{}3

metredir.

Yolcunun hızı ile 1. bandın hızının toplamı 3.2 m/s ve farkları 0.8 m/s olarak verilmiştir. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında yolcunun yürüme hızı 2 m/s, 1. bandın hızı ise 1.2 m/s bulunur. Buradan 2. bandın hızı 1.8 m/s ve yolcunun %25 artırılmış hızı 2.5 m/s olarak elde edilir. Aynı yönde hareket ettikleri için bu iki hız toplanarak saniyede 4.3 metre sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Yolcunun kendi yürüme hızını

v_y

ve 1. yürüyen bandın hızını

v_{b1}

olarak belirleyip hareket yönlerine göre hız denklemlerini yazma.

v_y + v_{b1} = 3{}2

ve

v_y - v_{b1} = 0{}8

denklemleri elde edilir.

Yolcu bantla aynı yönde yürüdüğünde hızlar toplanır, ters yönde yürüdüğünde ise yolcunun hızından bandın hızı çıkarılır.

2

Denklem sistemini taraf tarafa toplama yöntemiyle çözerek bilinmeyen hız değerlerini bulma.

2v_y = 4{}0 \Rightarrow v_y = 2

m/s ve

2 + v_{b1} = 3{}2 \Rightarrow v_{b1} = 1{}2

m/s bulunur.

İki bilinmeyenli denklem sisteminde değişkenlerden birini yok ederek sonuca ulaşılır.

3

2. yürüyen bandın hızını (

v_{b2}

) ve yolcunun %25 artırılmış yeni yürüme hızını (

v_{y2}

) hesaplama.

v_{b2} = 1{}2 \times 1{}5 = 1{}8

m/s ve

v_{y2} = 2 \times 1{}25 = 2{}5

m/s bulunur.

Verilen oranlar ve yüzde artış miktarı kullanılarak yeni durumdaki hız bileşenleri elde edilir.

4

Yolcunun 2. bant üzerindeki toplam hızını hesaplama.

v_{toplam} = v_{y2} + v_{b2} = 2{}5 + 1{}8 = 4{}3

m/s bulunur.

Yolcu 2. bant üzerinde de bantla aynı yönde hareket ettiği için hızlar toplanır.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin kurulması ve yok etme metoduyla çözülmesi.

Question 306Question →

Bir $a$ gerçel sayısı için $||x - 3| - a| = 2$ denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi $3$ elemanlı olduğuna göre, bu denklemin köklerinin toplamı $9$ 'dur. Bu iddia doğru mudur?

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Bir

a

gerçel sayısı için

||x - 3| - a| = 2

denkleminin çözüm kümesi

3

elemanlı ise

a = 2

olmalıdır. Bu durumda denklemin kökleri

x = -1

,

x = 3

ve

x = 7

olup toplamları

9

'dur. Dolayısıyla iddia doğrudur.

Verilen denklemde

3

farklı gerçel kök bulunabilmesi için mutlak değerli ifadelerden birinin sonucunun sıfır, diğerinin ise pozitif olması gerekir. Bu durum ancak

a = 2

için geçerlidir. Bu durumda denklemin kökleri sırasıyla

-1

,

3

ve

7

olarak bulunur ve bu köklerin toplamı

9

olduğundan verilen iddia doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Mutlak değerli denklemi iki ayrı durum olarak inceleme

|x - 3| = a + 2

veya

|x - 3| = a - 2

Dıştaki mutlak değer tanımı gereği, ifadenin içi

2

veya

-2

değerlerini alabilir.

2

Kök sayısının

3

olması koşulunu değerlendirme

a - 2 = 0 \implies a = 2

|x - c| = k

denkleminin tek kökünün olması için

k = 0

olmalıdır.

a + 2 = 0

durumu diğer denklemin kökünün olmamasına (

|x-3| = -4

) yol açarak toplamda sadece

1

kök üretir. Bu nedenle

a - 2 = 0 \implies a = 2

olmalıdır, bu durumda

|x-3| = 4

denklemi

2

kök,

|x-3| = 0

denklemi ise

1

kök üreterek toplam kök sayısını

3

yapar.

3

Bulunan

a = 2

değeri için kökleri bulma ve toplama

x_1 = 7

,

x_2 = -1

,

x_3 = 3

ve Kökler toplamı

= 7 + (-1) + 3 = 9

a = 2

için oluşan

|x-3|=4

denkleminin kökleri

7

ve

-1

;

|x-3|=0

denkleminin kökü ise

3

'tür.

Key Concept

İç içe mutlak değerli denklemlerde kök sayısının analizi ve köklerin bulunması

Question 307Question →

|2x - 6| + |y + 4| \leq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

ve

y

gerçel sayıları için

x + y

toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

Eşitsizliği sağlayan değerler için

x + y

toplamı

-1

olur.

Mutlak değerler negatif değer alamayacağından, toplamlarının sıfırdan küçük veya eşit olabilmesi için her iki mutlak değerin de aynı anda sıfır olması gerekir. Buradan

x = 3

ve

y = -4

bulunur. Bu değerlerin toplamı

-1

yapar.

Step-by-Step Solution

1

Mutlak değerlerin negatif olamama özelliğini kullanarak eşitsizlik analizini yapma

|2x - 6| = 0

ve

|y + 4| = 0

Herhangi bir gerçel sayı için mutlak değer daima sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olduğundan, iki mutlak değerli ifadenin toplamının sıfırdan küçük veya eşit olabilmesi ancak ikisinin de sıfır olmasıyla mümkündür.

2

İlk ifadeden

x

değerini bulma

x = 3

2x - 6 = 0

denkleminden

x

yalnız bırakılır.

3

İkinci ifadeden

y

değerini bulma

y = -4

y + 4 = 0

denkleminden

y

yalnız bırakılır.

4

x

ve

y

değerlerini toplama

x + y = -1

Bulunan

x = 3

ve

y = -4

değerleri toplanarak istenen sonuç elde edilir.

Key Concept

Mutlak değerli ifadelerin negatif olamama özelliği ve eşitsizlik çözümlerine uygulanması.

Question 308Question →

Her $a$ gerçel sayısı için $||x - a| - 2| = 3$ denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi 4 elemanlıdır.

True

False

Show answer & explanation

Answer: False

Answer

Verilen önerme yanlıştır. Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesi 4 elemanlı değil, her a gerçel sayısı için 2 elemanlıdır.

Verilen önerme yanlıştır, çünkü mutlak değerli bir ifade negatif bir sayıya eşit olamaz ve bu durum denklemin kök sayısını azaltarak toplamda sadece 2 kök oluşturur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen denklemi dıştaki mutlak değerden kurtararak iki ayrı eşitlik şeklinde yazın.

|x - a| - 2 = 3

veya

|x - a| - 2 = -3

elde edilir.

|u| = c

(burada

c \ge 0

) ise

u = c

veya

u = -c

özelliğini uygulamaktır.

2

Elde edilen eşitliklerdeki sabit terimleri sağ tarafa geçirerek mutlak değerli terimleri yalnız bırak��n.

|x - a| = 5

veya

|x - a| = -1

denklemlerine ulaşılır.

İçteki mutlak değerli ifadelerin eşit olduğu değerleri belirlemektir.

3

Bulunan denklemlerin gerçel sayılardaki çözüm kümelerini ve eleman sayılarını analiz edin.

|x - a| = 5

denkleminin kökleri

x = a + 5

ve

x = a - 5

olup 2 elemanlıdır.

|x - a| = -1

denkleminin ise mutlak değerin negatif olamayacağı kuralı gereği gerçel sayılarda çözümü yoktur (boş kümedir).

Her bir alt denklemin köklerini bulup toplam gerçel kök sayısının 2 olduğunu saptamaktır.

Key Concept

İç içe mutlak değerli denklemlerin çözümünde mutlak değerin tanımı gereği negatif sayılara eşit olamayacağı gerçeği.

Question 309Question →

Bir çiftlikteki koyunların sayısı $x$ ve keçilerin sayıs�� $y$ birer pozitif tam sayıdır. Bu çiftlikteki hayvan sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

- Koyunların sayısı, keçilerin sayısının 2 katından fazladır.
- Çiftlikteki toplam koyun ve keçi sayısı en fazla 60'tır.

Buna göre, bu çiftlikteki keçi sayısının ( $y$ ) alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Keçi sayısının (

y

) alabileceği en büyük değer 19'dur.

Koyun sayısı

x

ve keçi sayısı

y

birer pozitif tam sayı olduğundan,

x > 2y

eşitsizliği en az

x = 2y + 1

olabileceğini gösterir. Bu değeri toplamı belirten

x + y \le 60

eşitsizliğinde yerine yazdığımızda

2y + 1 + y \le 60 \implies 3y + 1 \le 60 \implies 3y \le 59

elde edilir. Bu koşulu sağlayan en büyük

y

tam sayısı 19'dur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen sözel ifadeleri matematiksel eşitsizlik sistemine dönüştürmek.

x > 2y

ve

x + y \le 60

(burada

x, y \in \mathbb{Z}^+

)

Problemde verilen sınır koşullarını belirlemek amacıyla eşitsizlik sistemi kurulur.

2

x

ve

y

değişkenlerinin pozitif tam sayı olma özelliğini kullanarak birinci eşitsizliği düzenlemek.

x \ge 2y + 1

Tam sayılarda büyüktür (

>

) ifadesi, en az 1 fazlasına eşit veya büyük olmak (

\ge

) anlamına gelir.

3

Birinci eşitsizlikteki sınır değerini ikinci eşitsizlikte yerine yazarak

y

için üst sınırı bulmak.

3y + 1 \le 60 \implies 3y \le 59 \implies y \le 19

y

'nin alabileceği en büyük pozitif tam sayı değerini belirlemek için.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin tam sayılarda çözümü ve sınır değerlerin analizi.

Estimated Time:1m 30s

Question 310Question →

Sıfırdan farklı $x$ , $y$ ve $z$ gerçel sayıları için
- $|x - y| = |x| - |y|$
- $|y - z| = |y| + |z|$
- $|x + z| = |x| - |z|$
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

x + y + z > 0

x \cdot y \cdot z > 0

x \cdot (y - z) > 0

x + z > 0

|y| > |z|

Show answer & explanation

Answer: $x \cdot (y - z) > 0$

Answer

x \cdot (y - z) > 0

ifadesinin yer aldığı seçenek

Verilen mutlak değer özelliklerinden

x

ile

y

sayılarının aynı işaretli,

y

ile

z

sayılarının zıt işaretli ve

x

ile

z

sayılarının zıt işaretli olduğu anlaşılır. Ayrıca

|x| > |y|

ve

|x| > |z|

koşulları sağlanır. Bu verilere göre ortaya çıkan iki farklı işaret durumunun her birinde

x

ile

y - z

ifadeleri her zaman aynı işaretli olduğundan, çarpımları (

x \cdot (y - z)

) her zaman sıfırdan büyük olur.

Step-by-Step Solution

1

Mutlak değer özelliklerini kullanarak değişkenlerin işaret durumlarını ve mutlak değerce büyüklük ilişkilerini belirlemek.

|x - y| = |x| - |y| \implies x

ve

y

aynı işaretlidir (

x \cdot y > 0

) ve

|x| > |y|

olur.

|y - z| = |y| + |z| \implies y

ve

z

zıt işaretlidir (

y \cdot z < 0

) olur.

|x + z| = |x| - |z| \implies x

ve

z

zıt işaretlidir (

x \cdot z < 0

) ve

|x| > |z|

olur.

Her bir mutlak değer eşitliği, ifadelerin işaret ve mutlak değer büyüklük ilişkileri hakkında kesin bilgiler sunar.

2

Değişkenlerin olası işaret kombinasyonlarını tespit etmek.

x

ile

y

aynı işaretli,

y

ile

z

zıt işaretli,

x

ile

z

ise zıt işaretlidir. Buna göre iki durum mevcuttur:
Durum 1:

x > 0

,

y > 0

ve

z < 0

Durum 2:

x < 0

,

y < 0

ve

z > 0

Seçeneklerin her durumda doğruluğunu denetleyebilmek için tüm olası işaret gruplarını belirlemeliyiz.

3

x \cdot (y - z)

ifadesini bu iki durum altında incelemek.

Durum 1 için:

x > 0

ve

y > 0, z < 0

olduğundan

y - z > 0

olur. Çarpım:

(+) \cdot (+) > 0

bulunur.
Durum 2 için:

x < 0

ve

y < 0, z > 0

olduğundan

y - z < 0

olur. Çarpım: (-) \cdot (-) > 0$ bulunur.
Her iki durumda da sonuç sıfırdan büyüktür.

x \cdot (y - z) > 0

eşitsizliğinin her iki durum için de sağlandığını teyit etmek.

Key Concept

Mutlak değer dışına çıkarma ve zıt/aynı işaretli ifadelerin mutlak değer özellikleri

Question 311Question →

|2x - 5| \leq 3

eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

(1, 4)

[-4, -1]

[2, 8]

[1, 4]

[1, 5]

Show answer & explanation

Answer: $[1, 4]$

Answer

Kapalı aralık

[1, 4]

Mutlak değerli eşitsizlik özelliğine göre,

|2x - 5| \leq 3

ifadesi

-3 \leq 2x - 5 \leq 3

şeklinde yazılır. Eşitsizliğin her tarafına 5 eklendiğinde

2 \leq 2x \leq 8

elde edilir. Her taraf 2'ye bölündüğünde ise

1 \leq x \leq 4

bulunur. Eşitsizlikte küçük eşit sembolü olduğu için sınırlar dahildir ve çözüm kümesi

[1, 4]

kapalı aralığıdır.

Step-by-Step Solution

1

Mutlak değerli eşitsizlik özelliğini kullanarak mutlak değer ifadesini aralık biçiminde yazın.

-3 \leq 2x - 5 \leq 3

|f(x)| \leq a

biçimindeki eşitsizlikler

-a \leq f(x) \leq a

şeklinde açılır.

2

Eşitsizliğin her tarafına 5 ekleyerek ortadaki

2x

terimini yalnız bırakın.

2 \leq 2x \leq 8

Değişkeni yalnız bırakmak için sabit terimi yok etmek gerekir.

3

Eşitsizliğin her tarafını 2'ye bölerek

x

değişkeninin aralığını bulun.

1 \leq x \leq 4

x

değişkeninin katsayısını 1 yapmak için eşitsizlik pozitif bir sayıya bölünür.

4

Sınır değerlerinin dahil olup olmadığını belirleyerek çözüm kümesini aralık olarak yazın.

[1, 4]

Eşitsizlikte 'küçük veya eşit' (

\leq

) sembolü kullanıldığı için sınır değerleri dahil edilir ve kapalı aralık kullanılır.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin özellikleri ve sınır değerlerin aralığa dahil edilmesi

Estimated Time:1m 0s

Question 312Question →

Bir sayı doğrusu üzerinde işaretlenen $a$ ve $b$ tam sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* $a$ sayısının $3$ noktasına olan uzaklığı ile $b$ sayısının $-2$ noktasına olan uzaklığının toplamı $5$ birimdir.
* $a$ sayısının $b$ sayısına oranı bir tam sayıdır.

Buna göre, $a$ sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

15

23

27

30

33

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

27

Doğru cevap olan 27 değeri, mutlak değerli denklemin tam sayılardaki tüm çözümleri çıkarıldıktan sonra oranlama kısıtlamasını sağlayan

a \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8\}

kümesinin elemanlarının toplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Sayı doğrusu üzerindeki uzaklık tanımını kullanarak verilen ifadeyi mutlak değerli bir denkleme dönüştürün.

|a - 3| + |b - (-2)| = 5 \Rightarrow |a - 3| + |b + 2| = 5

denklemi elde edilir.

Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlarının farkının mutlak değerine eşittir.

2

a

ve

b

tam sayı olduğundan, mutlak değerli ifadelerin alabileceği negatif olmayan tam sayı değerlerini belirleyin.

(|a-3|, |b+2|)

ikilisinin alabileceği değerler:

(0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0)

olmalıdır.

İki mutlak değerli ifadenin toplamı 5 ise ve içleri tam sayıysa, bu mutlak değerlerin sonuçları da negatif olmayan tam sayılar olmak zorundadır.

3

Her bir durum için

a

ve

b

tam sayılarını hesaplayıp

\frac{a}{b}

oranının bir tam sayı olma durumunu inceleyin.

Durum analizi:
*

|a-3|=0, |b+2|=5 \Rightarrow a=3

ve

b \in \{3, -7\}

.

b=3

için

a/b=1

tam sayıdır (uygun).
*

|a-3|=1, |b+2|=4 \Rightarrow a \in \{2, 4\}

,

b \in \{2, -6\}

.

b=2

için

a/b

oranları tam sayıdır

\Rightarrow a=2

ve

a=4

(uygun).
*

|a-3|=2, |b+2|=3 \Rightarrow a \in \{1, 5\}

,

b \in \{1, -5\}

.

b=1

için oranlar tam sayıdır

\Rightarrow a=1, 5

(uygun).

b=-5

için

a=5 \Rightarrow a/b=-1

tam sayıdır.
*

|a-3|=3, |b+2|=2 \Rightarrow a \in \{0, 6\}

,

b \in \{0, -4\}

.

b=0

için oran tanımsızdır.

b=-4

için

a=0 \Rightarrow a/b=0

tam sayıdır

\Rightarrow a=0

(uygun). (

a=6

için

6/-4

tam sayı değildir, elenir).
*

|a-3|=4, |b+2|=1 \Rightarrow a \in \{-1, 7\}

,

b \in \{-1, -3\}

.

b=-1

için oranlar tam sayıdır

\Rightarrow a=-1

ve

a=7

(uygun).
*

|a-3|=5, |b+2|=0 \Rightarrow a \in \{-2, 8\}

,

b=-2

.

b=-2

için

a/b

oranları tam sayıdır

\Rightarrow a=-2

ve

a=8

(uygun).

Tanımsızlık oluşturan paydanın sıfır olması durumu ve oranın tam sayı çıkmadığı durumlar elenmelidir.

4

Koşulları sağlayan benzersiz

a

değerlerini toplayın.

a \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8\}

değerlerinin toplamı:

(-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 = 27

bulunur.

Bulunan tüm geçerli

a

değerlerinin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerin sayı doğrusu üzerindeki uzaklık kavramıyla ilişkilendirilerek tam sayı kısıtlamaları altında çözülmesi.

Question 313Question →

Bir düz yol üzerindeki $A$ ve $B$ duraklarının konumlar�� sırasıyla sayı doğrusunda $2$ ve $8$ sayıları ile modellenmiştir.

Bu yol üzerinde bulunan bir mobil temizlik robotunun $A$ durağına olan uzaklığının, $B$ durağına olan uzaklığına oranı $2$ 'dir.

Buna göre, robotun sayı doğrusu üzerindeki konumunun alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

6

10

14

20

0

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Robotun alabileceği konumların toplamı olan 20 sayısıdır.

Robotun

A(2)

ve

B(8)

noktalarına olan uzaklıkları oranı

2

olduğundan

|x - 2| = 2|x - 8|

denklemini yazarız. Bu denklem çözüldüğünde

x = 14

ve

x = 6

değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı

20

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Robotun sayı doğrusu üzerindeki konumunu

x

olarak tanımlayıp duraklara olan uzaklıklarını mutlak değerle ifade etmek.

A(2)

durağına uzaklık

|x - 2|

ve

B(8)

durağına uzaklık

|x - 8|

olup, verilen oranla

|x - 2| = 2|x - 8|

denklemi kurulur.

Uzaklık kavramı mutlak değerle ifade edilir ve oran ilişkisi denkleme dönüştürülür.

2

Mutlak değerli ifadelerin aynı işaretli olduğu ilk durumu (

x - 2 = 2(x - 8)

) çözmek.

x - 2 = 2x - 16 \implies x = 14

bulunur.

Mutlak değer dışına pozitif veya aynı işaretle çıkarma durumunu incelemek için.

3

Mutlak değerli ifadelerin zıt işaretli olduğu ikinci durumu (

x - 2 = -2(x - 8)

) çözmek.

x - 2 = -2x + 16 \implies 3x = 18 \implies x = 6

bulunur.

Mutlak değer dışına zıt işaretle çıkarma durumunu incelemek için.

4

Bulunan

x

değerlerini toplamak.

14 + 6 = 20

elde edilir.

Soruda robotun alabileceği farklı konum değerlerinin toplamı istendiği için.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerde uzaklık tanımı ve iki ucu açık denklemlerin çözümü.

Question 314Question →

Bir araştırma gemisine bağlı denizaltının deniz seviyesine göre konumlandığı güvenli derinlik $h$ metredir (deniz seviyesinin altı pozitif yön olarak kabul edilmektedir). Denizaltı araştırma yapmak üzere dikey doğrultuda hareket ettiğinde bulunduğu $y$ derinliğinin, güvenli derinliğe olan uzaklığının $2$ katı ile $15$ metre arasındaki farkının mutlak değeri $9$ metredir. Bu koşulu sağlayan en derin konum $120$ metre olduğuna göre, güvenli derinlik olan $h$ kaç metredir?

Show answer & explanation

Answer: 108

Answer

Güvenli derinlik 108 metredir.

Denklemin çözümü sonucunda elde edilen olası derinlik değerleri incelendiğinde, en derin konumun

h + 12

olduğu görülür. En derin konumun 120 metreye eşitlenmesiyle güvenli derinlik 108 metre olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Sözel olarak verilen ilişkileri mutlak değerli denklem biçiminde modelleme

||2|y - h| - 15| = 9

denklemi elde edilir.

Derinlikler arasındaki uzaklık mutlak değerle ifade edilir ve iki aşamalı uzaklık ilişkisi iç içe mutlak değer yapısı gerektirir.

2

Dış mutlak değeri kaldırarak iki farklı durumu inceleme

|y - h| = 12

ve

|y - h| = 3

denklemleri elde edilir.

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu pozitif bir sayıya eşit olduğunda, mutlak değerin içi bu sayının kendisine veya negatifine eşit olabilir.

3

İçteki mutlak değerli denklemleri çözerek olası

y

değerlerini belirleme

y \in \{h-12, h-3, h+3, h+12\}

kümesi elde edilir.

Her bir mutlak değerli denklem ikişer kök üretir.

4

En derin konumu veren ifadeyi 120'ye eşitleyerek

h

değerini hesaplama

h = 108

elde edilir.

Kümedeki en büyük değer

h+12

olup, bu değer en derin konumu temsil eder.

Key Concept

Mutlak Değerli Denklemler ve Uzaklık Kavramı

Question 315Question →

Bir lojistik firmasının deposunda bulunan A ve B tipi kolilerin kütleleri kg cinsinden sırasıyla iki basamaklı $xy$ ve $yx$ doğal sayılarıdır. Bu kolilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* 3 tane A tipi koli ile 2 tane B tipi kolinin toplam kütlesi $229$ kg'dır.
* 1 tane A tipi kolinin kütlesi, 1 tane B tipi kolinin kütlesinden $18$ kg fazladır.

Buna göre, $3x - 2y$ ifadesinin değeri kaçtır?

9

-1

12

10

15

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

9

A tipi koli kütlesi olan

A

ve B tipi koli kütlesi olan

B

için

3A + 2B = 229

ve

A - B = 18

denklemleri kurulur. Bu denklem sistemi çözüldüğünde

A = 53

ve

B = 35

değerleri elde edilir.

A = xy

ve

B = yx

iki basamaklı sayılar olduğundan

x = 5

ve

y = 3

bulunur. Buradan

3x - 2y = 3(5) - 2(3) = 9

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kolilerin kütleleri olan A ve B için verilen bilgileri kullanarak birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurun.

3A + 2B = 229

ve

A - B = 18

denklem sistemi elde edilir.

Soruda verilen koli adetleri ve kütle ilişkilerini matematiksel olarak ifade etmek için.

2

İkinci denklemden

A = B + 18

ifadesini birinci denklemde yerine yazarak B değerini bulun.

3(B + 18) + 2B = 229 \Rightarrow 5B + 54 = 229 \Rightarrow 5B = 175 \Rightarrow B = 35

bulunur.

Tek bilinmeyenli denklem elde edip çözüme ulaşmak için.

3

Bulunan B değerini kullanarak A değerini hesaplayın.

A = 35 + 18 = 53

bulunur.

Diğer kolinin kütlesini belirlemek için.

4

Bulunan

A = 53

ve

B = 35

değerlerini

xy

ve

yx

iki basamaklı sayıları ile eşleştirerek x ve y rakamlarını belirleyin.

x = 5

ve

y = 3

bulunur.

İstenen ifadeyi hesaplayabilmek için değişkenlerin rakam değerlerini bulmak gerekir.

5

Bulunan x ve y değerlerini

3x - 2y

ifadesinde yerine yazarak sonucu hesaplayın.

3(5) - 2(3) = 15 - 6 = 9

elde edilir.

Soruda sorulan ifadenin nihai sonucuna ulaşmak için.

Key Concept

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Estimated Time:2m 0s

Question 316Question →

a

ve

b

pozitif tam sayılar olmak üzere,

(a - 1)x + 3y = b

4x + (a + 3)y = 8

denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

Buna göre,

ax + 2y = 10

6x + by = c

denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre,

c

gerçel sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

5

10

15

20

40

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

İkinci denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olabilmesi için değişkenlerin katsayıları oranı birbirine eşit olmalı, ancak bu oran sabit terimlerin oranından farklı olmalıdır. Bu koşulu bozan ve sistemi sonsuz çözümlü hale getiren c değeri 20 olduğundan, c sayısı 20 olamaz.

Birinci denklem sisteminin sonsuz elemanlı çözüm kümesine sahip olması için katsayılar oranı birbirine eşit olmalıdır. Buradan

a = 3

ve

b = 4

pozitif tam sayı değerleri bulunur. İkinci denklem sisteminde bu değerler yerine yazıldığında, sistemin çözüm kümesinin boş küme olabilmesi için değişkenlerin katsayıları oranı eşit olmalı (

3/6 = 2/4 = 1/2

), ancak sabit terimlerin oranı bu orandan farklı olmalıdır (

10/c \neq 1/2

). Bu durum

c \neq 20

olmasını gerektirir. Dolayısıyla,

c

gerçel sayısı

20

değerini alamaz.

Step-by-Step Solution

1

Birinci denklem sisteminin sonsuz elemanlı çözüm kümesine sahip olması için katsayılar oranını kurun.

\frac{a-1}{4} = \frac{3}{a+3} = \frac{b}{8}

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sisteminin sonsuz çözümlü olması, iki doğrunun çakışık olması demektir. Bu durumda x ve y değişkenlerinin katsayıları oranı, sabit terimlerin oranına eşit olmalıdır.

2

\frac{a-1}{4} = \frac{3}{a+3}

eşitliğini kullanarak

a

değerini bulun.

(a-1)(a+3) = 12 \implies a^2 + 2a - 3 = 12 \implies a^2 + 2a - 15 = 0 \implies (a+5)(a-3) = 0

.

a

pozitif tam sayı olduğundan

a = 3

bulunur.

a

değerini belirlemek için içler dışlar çarpımı yaparak ikinci dereceden denklemi çözeriz ve pozitif tam sayı koşulunu uygularız.

3

\frac{a-1}{4} = \frac{b}{8}

eşitliğini kullanarak

b

değerini bulun.

a = 3

için

\frac{3-1}{4} = \frac{b}{8} \implies \frac{2}{4} = \frac{b}{8} \implies b = 4

bulunur.

b

değerini elde etmek için değişkenlerin katsayıları arasındaki bilinen oranı sabit terimlerin oranına eşitleriz.

4

Bulunan

a = 3

ve

b = 4

değerlerini ikinci denklem sisteminde yerine yazarak çözüm kümesinin boş küme olma koşulunu uygulayın.

İkinci sistem:

3x + 2y = 10

6x + 4y = c

olur. Sistemin çözüm kümesinin boş küme olması için doğruların paralel olması gerekir:

\frac{3}{6} = \frac{2}{4} \neq \frac{10}{c} \implies \frac{1}{2} \neq \frac{10}{c} \implies c \neq 20

elde edilir.

Doğruların paralel olup kesişmemesi (çözüm kümesinin boş küme olması) için katsayılar oranı eşit olmalı, fakat sabitlerin oranı bu orandan farklı olmalıdır.

c = 20

durumunda doğrular çakışır ve çözüm kümesi sonsuz elemanlı olur.

Key Concept

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Kümesi Durumları

Estimated Time:2m 0s

Question 317Question →

|2x + 1| < 9

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

-5

-4

0

4

9

Show answer & explanation

Answer: -4

Answer

Eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı -4'tür.

Eşitsizlik çözüldüğünde elde edilen değer aralığı

-5 < x < 4

olur. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı,

-4

ile

3

arasındaki tüm tam sayıların toplanmasıyla

-4

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Mutlak değerli eşitsizlik kuralını uygulayarak mutlak değeri kaldırın.

-9 < 2x + 1 < 9

|f(x)| < a

(burada

a > 0

) biçimindeki eşitsizlikler

-a < f(x) < a

şeklinde açılır.

2

Eşitsizlikte x ifadesini yalnız bırakmak için sırasıyla işlemleri uygulayın.

-5 < x < 4

Eşitsizkin her üç tarafından da 1 çıkarılırsa

-10 < 2x < 8

elde edilir. Ardından her taraf 2'ye bölünürse

-5 < x < 4

bulunur.

3

Bulunan aralıktaki tam sayıları belirleyin ve bu sayıları toplayın.

Tam sayılar:

-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

; Toplam:

-4

Sınır değerleri olan

-5

ve

4

açık aralık sınırları olduğundan tam sayı olarak dahil edilmezler.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin açılması ve sınır değerlerin kontrolü

Estimated Time:1m 0s

Question 318Question →

Bir sayı doğrusu üzerinde $A$ ve $B$ noktaları sırasıyla $-4$ ve $8$ sayılarına karşılık gelmektedir.

Bu sayı doğrusu üzerinde bulunan bir $P(x)$ noktasının $A$ ve $B$ noktalarına olan uzaklıklarının farkının mutlak değeri $6$ birimdir.

Buna göre, $x$ gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

2

4

6

8

12

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Farklı değerlerin toplamı 4'tür.

Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık tanımından hareketle denklem

||x + 4| - |x - 8|| = 6

şeklinde kurulur. Bu denklem çözüldüğünde elde edilen kökler

x = 5

ve

x = -1

olup toplamları 4 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1

Uzaklıkların mutlak değer olarak ifadesi

P(x)

noktasının

A(-4)

noktasına uzaklığı

|x - (-4)| = |x + 4|

,

B(8)

noktasına uzaklığı

|x - 8|

olarak yazılır.

Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık koordinatlar farkının mutlak değeridir.

2

Uzaklıklar farkının mutlak değer denkleminin kurulması

||x + 4| - |x - 8|| = 6

denklemi elde edilir.

Uzaklıkların farkının mutlak değerinin 6 birim olduğu belirtilmiştir.

3

Denklemin aralık analizi ile çözülmesi

Kritik noktalar olan

-4

ve

8

için aralık incelemesi yapılır. Kökler sadece

-4 \leq x < 8

aralığındaki

|2x - 4| = 6

denkleminden

x = 5

ve

x = -1

olarak bulunur.

Mutlak değerlerin işareti kritik noktalara göre değiştiği için sayı doğrusu bölgelere ayrılır.

4

Bulunan değerlerin toplanması

5 + (-1) = 4

elde edilir.

Bulunan farklı köklerin toplamı istenmektedir.

Key Concept

İki nokta arasındaki uzaklığın mutlak değerle ifadesi ve mutlak değerli denklemlerin aralık analizi ile çözümü.

Question 319Question →

Sayı doğrusu üzerinde bir $x$ gerçel sayısının $2$ noktasına olan uzaklığı, $-1$ noktasına olan uzaklığının yarısından fazla değildir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan $x$ gerçel sayılarının alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

[1, 5]

[-5, -1]

(1, 5)

(-\infty, 1] \cup [5, \infty)

[-5, 1]

Show answer & explanation

Answer: $[1, 5]$

Answer

[1, 5]

aralığı

Verilen sözel ifade

2|x - 2| \leq |x + 1|

şeklinde kurulur. Bu eşitsizliğin her iki tarafının karesi alınıp düzenlendiğinde

3x^2 - 18x + 15 \leq 0

eşitsizliğine ulaşılır. Her iki taraf 3'e bölünerek elde edilen

x^2 - 6x + 5 \leq 0

ifadesinin kökleri 1 ve 5 olup, işaret tablosuna göre bu ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu en geniş aralık kapalı

[1, 5]

aralığıdır.

Step-by-Step Solution

1

Sayı doğrusu üzerindeki uzaklık ilişkisini mutlak değerli eşitsizlik olarak kurma

|x - 2| \leq \frac{1}{2}|x - (-1)|

yani

2|x - 2| \leq |x + 1|

Bir

a

sayısının

b

sayısına uzaklığı

|a - b|

ile ifade edilir. 'Fazla değildir' ifadesi ise küçük veya eşit (\leq) anlamına gelir.

2

Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alarak mutlak değerden kurtulma

(2|x - 2|)^2 \leq (|x + 1|)^2 \Rightarrow 4(x^2 - 4x + 4) \leq x^2 + 2x + 1

Her iki taraf da negatif olmadığından karesi alındığında eşitsizlik yönü korunur ve mutlak değer sembolleri ortadan kalkar.

3

Elde edilen ikinci dereceden eşitsizliği düzenleme

4x^2 - 16x + 16 \leq x^2 + 2x + 1 \Rightarrow 3x^2 - 18x + 15 \leq 0

Tüm terimleri sol tarafa toplayarak standart ikinci dereceden eşitsizlik formuna ulaşıyoruz.

4

Eşitsizliği sadeleştirme ve kökleri bulma

x^2 - 6x + 5 \leq 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 5) \leq 0

olup kökler

x = 1

ve

x = 5

olarak bulunur.

İfadeyi 3 ile bölüp çarpanlarına ayırarak sınır değerleri (kökleri) belirliyoruz.

5

İşaret tablosu yaparak çözüm kümesini belirleme

x^2 - 6x + 5

ifadesi

[1, 5]

aralığında negatif veya sıfır değerler alır. Dolayısıyla en geniş çözüm aralığı

[1, 5]

olur.

Köklerin dışında ifadenin işareti pozitif, köklerin arasında ise negatiftir. Bizden küçük veya eşit sıfır olan bölge istendiği için kapalı aralık alınır.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve uzaklık kavramının cebirsel olarak ifade edilmesi

Alternative Method

Eşitsizlik karesini almak yerine kritik noktalar olan

x = -1

ve

x = 2

değerlerine göre sayı doğrusunu üç bölgeye ayırarak da çözülebilir.

x < -1

için çözüm kümesi boş kümedir.

-1 \leq x \leq 2

için eşitsizlik

1 \leq x \leq 2

aralığını verir.

x > 2

için ise

2 < x \leq 5

aralığı elde edilir. Bu üç bölgedeki çözümler birleştirildiğinde

[1, 5]

aralığına ulaşılır.

Estimated Time:2m 30s

Question 320Question →

Sayı doğrusu üzerinde sıfırdan farklı $a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* $a$ sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığı, $b$ sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığından büyüktür.
* $a$ ve $b$ sayıları arasındaki uzaklık, bu iki sayının başlangıç noktasına olan uzaklıklarının toplamına eşittir.
* $b$ ve $c$ sayıları arasındaki uzaklık, $b$ sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığından $c$ sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığı çıkarılarak elde edilen değere eşittir.
* $a + b > 0$

Buna göre,

|b - a| + |c - b| - |a - c|

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

2(c - b)

0

2(b - c)

2(c - a)

2(a - b)

Show answer & explanation

Answer: 2(c - b)

Answer

İki katı kadar olan c ve b farkı

Doğru olan iki katı kadar olan c ve b farkı seçeneği,

b < c < 0 < a

sıralaması baz alınarak her bir mutlak değerli ifadenin içinin işaretinin doğru belirlenmesiyle elde edilir. Bu sıralamaya göre

b - a

negatif olduğundan önüne eksi alarak

a - b

olarak çıkar.

c - b

pozitif olduğundan aynen

c - b

olarak çıkar.

a - c

pozitif olduğundan aynen

a - c

olarak çıkar. İfadeler cebirsel olarak birleştirildiğinde doğru sadeleşme sağlanır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen sözel ifadeleri mutlak değerli eşitliklere dönüştürmek ve ilk çıkarımları yapmak.

a sayısının başlangıç noktasına uzaklığı b'den büyük olduğundan

|a| > |b|

olur. a ve b sayıları arasındaki uzaklık

|a - b|

olup, bu uzaklık

|a| + |b|

değerine eşit olduğundan a ve b zıt işaretlidir (

a \cdot b < 0

). b ve c sayıları arasındaki uzaklık

|b - c|

olup, bu uzaklık

|b| - |c|

değerine eşit olduğundan b ile c aynı işaretlidir (

b \cdot c > 0

) ve

|b| > |c|

olmalıdır.

Sayı doğrusu üzerindeki geometrik uzaklık tanımlarını cebirsel mutlak değer özelliklerine dökerek değişkenlerin işaret ve büyüklük analizini gerçekleştirmek için.

2

Değişkenlerin işaret durumlarını ve sayı doğrusundaki kesin konumlarını belirlemek.

a ve b zıt işaretli olduğundan iki olasılık vardır. Eğer

a < 0

ve

b > 0

olsaydı,

|a| > |b| \implies -a > b \implies a + b < 0

çelişkisi doğardı. Dolayısıyla

a > 0

ve

b < 0

olmalıdır. Buradan

a + b > 0

koşulu da sağlanır. b ile c aynı işaretli olduğundan

c < 0

olur.

|b| > |c|

ve her ikisi de negatif olduğundan, sayı doğrusu üzerindeki sıralama

b < c < 0 < a

şeklinde gerçekleşir.

Mutlak değer sembollerini kaldırabilmek için her bir mutlak değerin içinin pozitif veya negatif olduğunu kesin olarak tayin etmek amacıyla.

3

Mutlak değerli ifadeleri dışarı çıkararak sadeleştirme işlemini yapmak.

b < a \implies b - a < 0 \implies |b - a| = -(b - a) = a - b

olur.

b < c \implies c - b > 0 \implies |c - b| = c - b

olur.

c < a \implies a - c > 0 \implies |a - c| = a - c

olur. Bu ifadeler soruda yerine yazılırsa:

(a - b) + (c - b) - (a - c) = a - b + c - b - a + c = 2c - 2b = 2(c - b)

elde edilir.

Belirlenen işaret kuralları çerçevesinde cebirsel sadeleştirmeyi tamamlayıp doğru seçeneğe ulaşmak için.

Key Concept

Mutlak değerin geometrik anlamı, iki sayı arasındaki uzaklık ve zıt/aynı işaretli olma durumlarında mutlak değer dışına çıkarma kuralları.

Alternative Method

Sayıların kesin değerleri bilinmediği için bulunan

b < c < 0 < a

ve

|a| > |b| > |c|

koşullarına uygun temsili değerler seçilebilir. Örneğin;

a = 5

,

b = -3

,

c = -2

değerleri seçildiğinde tüm öncüller ve eşitsizlikler sağlanır. Bu değerler

|b - a| + |c - b| - |a - c|

ifadesinde yerine yazılırsa:

|-3 - 5| + |-2 - (-3)| - |5 - (-2)| = |-8| + |1| - |7| = 8 + 1 - 7 = 2

bulunur. Seçeneklerde bu değerler yerine konduğunda sadece doğru olan ifade

2(c - b) = 2(-2 - (-3)) = 2(1) = 2

sonucunu vermektedir.

Estimated Time:2m 30s

Denklem ve Eşitsizlikler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution