Examkin

Ardışık Sayılar ve Toplamları

54 questions

All types54Multiple choice28Numeric13Ordering13
Question 1Question →

Bir bilgisayar programı, ekrana sırasıyla 11'den başlayarak ardışık sayma sayılarını yazmaktadır. Program, 1. satıra 1 tane sayı, 2. satıra 2 tane sayı, 3. sat��ra 3 tane sayı yazarak bu düzeni devam ettirmektedir.

Örneğin;
1. satır: 11
2. satır: 2,32, 3
3. satır: 4,5,64, 5, 6

şeklindedir.

Buna göre, bu programın 15. satırına yazdığı en büyük sayı ile 10. satırına yazdığı en küçük sayının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 166

Answer

15. satıra yazılan en büyük sayı ile 10. satıra yazılan en küçük sayının toplamı 166'dır.
Satırlardaki sayıların dizilim düzenine göre, nn. satırın son elemanı (en büyük elemanı) ilk nn satırdaki toplam eleman sayısını verir. Bu da 11 ile nn arasındaki sayıların toplamı olan n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} ifadesine eşittir. Dolayısıyla, 15. satırın en büyük elemanı 15×162=120\frac{15 \times 16}{2} = 120 olur. 10. satırın en küçük elemanı ise 9. satırın son elemanından bir sonraki sayı olup 9×102+1=46\frac{9 \times 10}{2} + 1 = 46 olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı 120+46=166120 + 46 = 166 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Satırlardaki sayıların diziliş kuralını ve satır sonlarındaki sayıların genel formülünü belirleme
nn. satırın en büyük elemanı Sn=n(n+1)2S_n = \frac{n(n+1)}{2} formülü ile bulunur.
Her satırda satır numarası kadar eleman bulunduğundan, ilk nn satırdaki toplam eleman sayısı 1+2+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} olur ve bu toplam son elemanın değerini verir.
2
15. satırın en büyük elemanını hesaplama
S15=15×162=120S_{15} = \frac{15 \times 16}{2} = 120
15. satırın son elemanı, ilk 15 satırın toplam eleman sayısına eşittir.
3
10. satırın en küçük elemanını hesaplama
S9+1=9×102+1=46S_9 + 1 = \frac{9 \times 10}{2} + 1 = 46
10. satırın en küçük elemanı, 9. satır bittikten sonra başlayan ilk elemandır.
4
Elde edilen değerleri toplama
120+46=166120 + 46 = 166
Soruda istenen iki değerin toplamını bulmak için.

Key Concept

Ardışık doğal sayıların toplamı formülü: 1+2+3+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} ve terim sayısı ilişkisi.
Question 2Question →

Bir torbada 11'den nn'ye kadar ardışık sayma sayılarıyla numaralandırılmış nn tane top bulunmaktadır. Bu torbadan, üzerindeki numaralar ardışık tam sayılar olan 55 top çekildiğinde torbada kalan topların numaralarının toplamı 303303 olmaktadır.

Buna göre, nn kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

Torbadaki toplam top sayısı 27'dir.
Torbada kalan topların toplamının 303 olması, tüm topların toplamı ile çekilen 5 topun toplamının farkının 303 olduğunu gösterir. Çekilen en küçük top x olmak üzere bu ilişkiyi veren denklem n(n+1)/2 - (5x+10) = 303 şeklindedir. Değişkenlerin sınır koşulları (1 <= x ve x+4 <= n) analiz edildiğinde n sayısının 25 ile 29 arasında olması gerektiği belirlenir. Bu aralıkta x değerini pozitif tam sayı yapan tek değer 27 olduğundan doğru yanıt yirmi yedi olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Çekilen ardışık 5 topun ve torbadaki tüm topların toplamı için cebirsel ifadeleri yazalım.
Çekilen topların numaraları x,x+1,x+2,x+3,x+4x, x+1, x+2, x+3, x+4 olsun. Bu topların toplamı: S=5x+10S = 5x + 10 olur. Torbadaki tüm topların toplamı ise: T=n(n+1)2T = \frac{n(n+1)}{2} şeklindedir.
Kalan topların toplamını bulabilmek için tüm topların toplamından çekilen topların toplamını çıkarmamız gerekir.
2
Kalan topların toplamı olan 303 değerini kullanarak denklem kuralım ve düzenleyelim.
T−S=303⇒n(n+1)2−(5x+10)=303⇒n(n+1)2=313+5xT - S = 303 \Rightarrow \frac{n(n+1)}{2} - (5x + 10) = 303 \Rightarrow \frac{n(n+1)}{2} = 313 + 5x elde edilir.
n ve x değişkenleri arasındaki matematiksel ilişkiyi kurmak için denklem düzenlenmiştir.
3
Değişkenlerin sınır koşullarını belirleyelim.
Çekilen toplar torbadaki toplar arasından seçildiğinden en küçük numara x≥1x \ge 1 olmalıdır. Buradan, n(n+1)2=313+5x≥318⇒n(n+1)≥636\frac{n(n+1)}{2} = 313 + 5x \ge 318 \Rightarrow n(n+1) \ge 636 bulunur. 24×25=60024 \times 25 = 600 ve 25×26=65025 \times 26 = 650 olduğundan n≥25n \ge 25 olmalıdır.
Ayrıca çekilen en büyük topun numarası x+4≤nx+4 \le n olmalıdır. x=n(n+1)−62610x = \frac{n(n+1) - 626}{10} ifadesini yerine yazarsak: n(n+1)−62610+4≤n⇒n2−9n−586≤0\frac{n(n+1) - 626}{10} + 4 \le n \Rightarrow n^2 - 9n - 586 \le 0 elde edilir. Bu eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı değeri n≤29n \le 29 dur.
n parametresinin alabileceği değer aralığını daraltarak deneme adımlarını azaltmak amacıyla sınır koşulları incelenmiştir.
4
Belirlenen aralıktaki (25≤n≤2925 \le n \le 29) tam sayı değerleri için x'in bir pozitif tam sayı olup olmadığını kontrol edelim.
Denklemden 5x=n(n+1)2−3135x = \frac{n(n+1)}{2} - 313 olduğu görülür. Dolayısıyla n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} ifadesinin birler basamağı 3 veya 8 olmalıdır (böylece 313 çıkarıldığında sonuç 5'in katı olur):
- n=25n = 25 için: T=325T = 325 (birler basamağı 5, uygun değil)
- n=26n = 26 için: T=351T = 351 (birler basamağı 1, uygun değil)
- n=27n = 27 için: T=378T = 378 (birler basamağı 8, uygun). Buradan 5x=378−313=65⇒x=135x = 378 - 313 = 65 \Rightarrow x = 13 bulunur. Çekilen toplar: 13, 14, 15, 16, 17 olur. Bu toplar 1≤131 \le 13 ve 17≤2717 \le 27 koşullarını sağlar.
- n=28n = 28 için: T=406T = 406 (birler basamağı 6, uygun değil)
- n=29n = 29 için: T=435T = 435 (birler basamağı 5, uygun değil)
Hem ardışıklık hem de torba sınırları koşulunu tam sayı olarak sağlayan tek değeri tespit etmek için tüm adaylar elenmiştir.

Key Concept

Ardışık Sayılar ve Toplamları
Question 3Question →

Bir depodaki kutular; en üst sırada 11 kutu, onun altındaki sırada 22 kutu, onun altındaki sırada 33 kutu olacak ve her sırada bir önceki sıradakinden 11 fazla kutu bulunacak biçimde üst üste dizilerek üçgensel bir yapı oluşturulmuştur.

Bu yapıdaki toplam kutu sayısı, en alttaki sırada bulunan kutu sayısının 1010 katından 2424 eksiktir.

En alttaki sırada bulunan kutu sayısı iki basamaklı bir sayı olduğuna göre, bu yapının oluşturulmasında toplam kaç kutu kullanılmıştır?

Show answer & explanation

Answer: 136

Answer

Toplam kutu sayısı 136'dır.
Toplam kutu sayısını veren formül Sn=n(n+1)2S_n = \frac{n(n+1)}{2} şeklindedir. Sorudaki verilere göre n(n+1)2=10n−24\frac{n(n+1)}{2} = 10n - 24 denklemi kurulur. Bu denklem düzenlendiğinde n2−19n+48=0n^2 - 19n + 48 = 0 elde edilir. Çarpanlara ayırma yöntemiyle kökler n=16n=16 ve n=3n=3 bulunur. En alttaki sıradaki kutu sayısının iki basamaklı olduğu belirtildiğinden n=16n=16 seçilmelidir. Buradan toplam kutu sayısı S16=16×172=136S_{16} = \frac{16 \times 17}{2} = 136 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
En alttaki sırada bulunan kutu sayısını nn olarak belirleyip toplam kutu sayısını veren ardışık sayılar formülünü yazmak.
Sn=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}
Kutular her sırada birer artarak dizildiği için toplam kutu sayısı ilk nn pozitif tam sayının toplamına eşittir.
2
Soruda verilen ilişkiyi kullanarak denklem kurmak.
n(n+1)2=10n−24\frac{n(n+1)}{2} = 10n - 24
Toplam kutu sayısının, en alttaki sıradaki kutu sayısının (nn değerinin) 1010 katından 2424 eksik olduğu belirtilmiştir.
3
Kurulan denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem haline getirmek.
n(n+1)=20n−48⇒n2+n=20n−48⇒n2−19n+48=0n(n+1) = 20n - 48 \Rightarrow n^2 + n = 20n - 48 \Rightarrow n^2 - 19n + 48 = 0
Eşitliğin her iki tarafı 2 ile çarpılarak payda eşitlenmiş ve tüm terimler sol tarafta toplanmıştır.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak kökleri bulmak.
(n−16)(n−3)=0⇒n=16(n-16)(n-3) = 0 \Rightarrow n = 16 veya n=3n = 3
Çarpımları 4848, toplamları −19-19 olan sayılar −16-16 ve −3-3'tür.
5
Verilen iki basamaklı sayı koşulunu uygulamak ve toplam kutu sayısını hesaplamak.
nn sayısı iki basamaklı olduğundan n=16n = 16 alınır. Toplam kutu sayısı: S16=16×172=136S_{16} = \frac{16 \times 17}{2} = 136
n=3n = 3 değeri tek basamaklı olduğu için elenir. n=16n = 16 değeri için toplam kutu sayısı hesaplanır.

Key Concept

Ardışık sayılar toplamı formülü ve ikinci dereceden denklem çözümü yardımıyla modelleme yapılması.
Question 4Question →

Bir depodaki kutular, en üstteki 1. sıradan başlayarak aşağıya doğru her sırada bir önceki sıradakinden 2 kutu fazla olacak şekilde üst üste dizilmiştir. Bu dizilimdeki en alt sırada 23 kutu bulunmaktadır. Dizilimdeki tüm sıralarda toplam 140 kutu kullanıldığına göre, bu dizilimde toplam kaç sıra kutu vardır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Dizilimde toplam 10 sıra kutu bulunmaktadır.
Ardışık terimler toplamı ve son terim formülleri birleştirilerek elde edilen ikinci dereceden denklemin köklerinden, kutu sayısını pozitif yapan 10 değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Terimler arasındaki ilişkiyi kurma ve ilk terimi belirleme
a1=25−2na_1 = 25 - 2n
Toplam nn sıra olsun. En üstteki sıra 1. sıra ve en alttaki sıra nn. sıra olmak üzere, her sıradaki kutu sayısı ikişer artmaktadır. En alt sırada (nn. sırada) 23 kutu olduğu verilmiştir. Ardışık terim ilişkisinden an=a1+2(n−1)  ⟹  23=a1+2n−2  ⟹  a1=25−2na_n = a_1 + 2(n - 1) \implies 23 = a_1 + 2n - 2 \implies a_1 = 25 - 2n elde edilir.
2
Ardışık toplam formülünü kullanarak denklemi oluşturma
n(24−n)=140n(24 - n) = 140
Ardışık sayıların toplamı Sn=n(a1+an)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} formülü ile bulunur. Toplam kutu sayısı 140 olarak verildiğinden, değerleri yerine yazarsak: n(25−2n+23)2=140  ⟹  n(48−2n)2=140  ⟹  n(24−n)=140\frac{n(25 - 2n + 23)}{2} = 140 \implies \frac{n(48 - 2n)}{2} = 140 \implies n(24 - n) = 140 elde edilir.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözme
n=10n = 10 veya n=14n = 14
Denklemi düzenlersek: 24n−n2=140  ⟹  n2−24n+140=0  ⟹  (n−10)(n−14)=024n - n^2 = 140 \implies n^2 - 24n + 140 = 0 \implies (n - 10)(n - 14) = 0 olur. Buradan kökler n=10n = 10 ve n=14n = 14 olarak bulunur.
4
Gerçekçi sınır koşulunu (sayı kümesi uygunluğunu) kontrol etme
n=10n = 10
n=14n = 14 için en üst sıradaki kutu sayısı a1=25−2(14)=−3a_1 = 25 - 2(14) = -3 olur. Kutu sayısı negatif bir sayı olamayacağından (sayma sayısı olmalıdır), n=14n = 14 çözümü elenir. n=10n = 10 için a1=25−2(10)=5a_1 = 25 - 2(10) = 5 olup pozitif bir sayma sayısıdır. Dolayısıyla doğru sıra sayısı 10'dur.

Key Concept

Ardışık terimlerin toplamı formülü ve terimlerin sayma sayısı olması zorunluluğunun sınır koşulu olarak kullanılması.
Estimated Time:2m 0s
Question 5Question →

Bir spor salonunda antrenman yapan Arda, Berk ve Can'ın attıkları toplam tur sayıları sırasıyla AA, BB ve CC ile gösterilmektedir. xx bir pozitif tam sayı olmak üzere sporcuların antrenman programı şu şekildedir:

* Arda: İlk gün xx tur atmış ve takip eden her gün tur sayısını bir önceki güne göre 11 artırarak antrenmanını 66 günde tamamlamıştır.
* Berk: İlk gün x+1x+1 tur atmış ve takip eden her gün tur sayısını bir önceki güne göre 22 artırarak antrenmanını 44 günde tamamlamıştır.
* Can: İlk gün x+2x+2 tur atmış ve takip eden her gün tur sayısını bir önceki güne göre 33 artırarak antrenmanını 33 günde tamamlamıştır.

Buna göre, sporcuların antrenman boyunca attıkları toplam tur sayılarını en az olandan en çok olana doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

En az tur atandan en çok tur atana doğru sıralama Can (CC), Berk (BB) ve Arda (AA) şeklindedir.
Sporcuların her gün attıkları tur sayıları ardışık diziler oluşturur. Bu dizilerin terimleri toplandığında Arda için A=6x+15A = 6x + 15, Berk için B=4x+16B = 4x + 16 ve Can için C=3x+15C = 3x + 15 ifadeleri elde edilir. xx sayısının en az 11 olabilen bir pozitif tam sayı olduğu bilgisi kullanılarak bu ifadeler karşılaştırıldığında en küçük toplamın Can'ın (CC), en büyük toplamın ise Arda'nın (AA) attığı tur sayısı olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Arda'nın toplam tur sayısı olan AA değerini xx cinsinden hesaplayalım.
A=6x+15A = 6x + 15
Arda'nın günlük tur sayıları sırasıyla xx, x+1x+1, x+2x+2, x+3x+3, x+4x+4 ve x+5x+5 şeklindedir. Bunların toplamı x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)=6x+15x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) + (x+5) = 6x + 15 olur.
2
Berk'in toplam tur sayısı olan BB değerini xx cinsinden hesaplayalım.
B=4x+16B = 4x + 16
Berk'in günlük tur sayıları sırasıyla x+1x+1, x+3x+3, x+5x+5 ve x+7x+7 şeklindedir. Bunların toplamı (x+1)+(x+3)+(x+5)+(x+7)=4x+16(x+1) + (x+3) + (x+5) + (x+7) = 4x + 16 olur.
3
Can'ın toplam tur sayısı olan CC değerini xx cinsinden hesaplayalım.
C=3x+15C = 3x + 15
Can'ın günlük tur sayıları sırasıyla x+2x+2, x+5x+5 ve x+8x+8 şeklindedir. Bunların toplamı (x+2)+(x+5)+(x+8)=3x+15(x+2) + (x+5) + (x+8) = 3x + 15 olur.
4
x≥1x \geq 1 (pozitif tam sayı) koşulu altında elde edilen AA, BB ve CC değerlerini karşılaştıralım.
C<B<AC < B < A
BB ile CC arasındaki fark: B−C=(4x+16)−(3x+15)=x+1B - C = (4x + 16) - (3x + 15) = x + 1'dir. x≥1x \geq 1 olduğundan x+1>0x + 1 > 0 olur ve B>CB > C elde edilir. AA ile BB arasındaki fark: A−B=(6x+15)−(4x+16)=2x−1A - B = (6x + 15) - (4x + 16) = 2x - 1'dir. x≥1x \geq 1 olduğundan 2x−1≥1>02x - 1 \geq 1 > 0 olur ve A>BA > B elde edilir. Dolayısıyla doğru sıralama C<B<AC < B < A şeklindedir.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terimlerin aritmetik toplamı ve değişkenli eşitsizliklerin karşılaştırılması.

Alternative Method

xx bir pozitif tam sayı olduğundan ve sıralama her pozitif tam sayı değeri için aynı kalacağından, pratik bir yol olarak x=1x = 1 seçilebilir. Bu durumda; A=1+2+3+4+5+6=21A = 1+2+3+4+5+6 = 21, B=2+4+6+8=20B = 2+4+6+8 = 20 ve C=3+6+9=18C = 3+6+9 = 18 değerleri bulunur. Buradan da C<B<AC < B < A sıralamasına hızlıca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 6Question →

Bir kütüphanedeki kitaplar, en üstteki 1. raftan başlayarak aşağıya doğru sıralanmıştır. Bu kütüphanedeki kitap düzeniyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her raftaki kitap sayısı, bir üstündeki raftaki kitap sayısından 2 fazladır.
* Raflarda bulunan kitap sayıları birer ardışık tek sayıdır.
* En alt rafta bulunan kitap sayısı, en üst rafta bulunan kitap sayısının 3 katıdır.

Kütüphanede toplam 264 kitap olduğuna göre, bu kütüphanedeki toplam raf sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Toplam raf sayısı 12'dir.
Soruda verilen bilgilere göre kitap sayıları ardışık tek sayılardır ve aralarındaki fark 2'dir. İlk raftaki kitap sayısına aa, toplam raf sayısına nn dersek, son raftaki kitap sayısı a+2n−2a + 2n - 2 olur. Son raftaki kitap sayısı ilk raftakinin 3 katı olduğu için a+2n−2=3a  ⟹  a=n−1a + 2n - 2 = 3a \implies a = n - 1 eşitliği bulunur. Tüm raflardaki toplam kitap sayısı ise n×a+3a2=2ann \times \frac{a + 3a}{2} = 2an formülüyle hesaplanır. Burada a=n−1a = n - 1 yazıldığında 2n(n−1)=264  ⟹  n(n−1)=1322n(n - 1) = 264 \implies n(n - 1) = 132 denklemi elde edilir. Bu denklemi sağlayan nn değeri 12'dir. n=12n = 12 olduğunda a=11a = 11 (tek sayı) olup tüm koşullar sağlanmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Terimleri tanımlama
Raf sayısı nn ve 1. raftaki kitap sayısı aa (tek sayı) olsun. Kitap say��ları ardışık tek sayılar olduğundan, kk. raftaki kitap sayısı a+2(k−1)a + 2(k-1) olur. Bu durumda en alt raftaki (nn. raf) kitap sayısı l=a+2(n−1)l = a + 2(n-1) olarak ifade edilir.
Soruda verilen ardışık tek sayılar kuralına göre her raftaki kitap sayısını cebirsel olarak ifade etmek gerekir.
2
İlk ve son raf ilişkisini kurma
Son raftaki kitap sayısı en üst raftakinin 3 katı olduğuna göre:
a+2(n−1)=3aa + 2(n-1) = 3a
2(n−1)=2a2(n-1) = 2a
a=n−1a = n-1 elde edilir.
İlk terim ile terim sayısı arasındaki matematiksel ilişkiyi bulmak için verilen kat ilişkisi kullanılır.
3
Toplam formülünü uygulama ve denklem çözme
Toplam kitap sayısı (SS):
S=n×a+l2=n×a+3a2=2anS = n \times \frac{a+l}{2} = n \times \frac{a+3a}{2} = 2an
a=n−1a = n-1 ifadesini yerine yazarsak:
2n(n−1)=2642n(n-1) = 264
n(n−1)=132n(n-1) = 132 elde edilir.
Bu denklemi sağlayan pozitif tam sayı değeri 12×11=13212 \times 11 = 132 olduğundan n=12n = 12 bulunur.
Toplam kitap sayısı verisini kullanarak raf sayısını veren ikinci dereceden denklemi kurmak ve çözmek gerekir.
4
Koşulları kontrol etme
n=12n = 12 için a=12−1=11a = 12 - 1 = 11 olur. 11 bir tek sayı olduğu için kitap sayılarının ardışık tek sayılar olması koşulu sağlanır.
Bulunan değerlerin soruda belirtilen sayı kümesi özelliklerine (tek sayı olma koşuluna) uygunluğunu doğrulamak gerekir.

Key Concept

Ardışık sayıların genel terimi ve terimler toplamı formülü
Question 7Question →

Aşağıda tanımlanan KK, LL ve MM değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama L < M < K şeklindedir.
Ortanca terim formülü ve ardışık sayılar arasındaki artış miktarları kullanılarak elde edilen değerler L = 9, M = 15 ve K = 22 şeklindedir. Bu değerlerin küçükten büyüğe sıralanışı L < M < K sırasını verir.

Step-by-Step Solution

1
K değerini belirlemek için ilgili ardışık sayıların ortanca terimini ve en büyük terimini bulalım.
K=22K = 22
Ardışık 5 çift sayının toplamı 90 ise, ortanca terim 90 / 5 = 18 olur. Çift sayılar ikişer ikişer arttığı için en büyük terim ortanca terimden 2 adım ileridedir: 18 + (2 * 2) = 22.
2
L değerini belirlemek için ilgili ardışık sayıların ortanca terimini ve en küçük terimini bulalım.
L=9L = 9
Ardışık 7 tek sayının toplamı 105 ise, ortanca terim 105 / 7 = 15 olur. Tek sayılar ikişer ikişer azaldığı için en küçük terim ortanca terimden 3 adım geridedir: 15 - (3 * 2) = 9.
3
M değerini belirlemek için ilgili ardışık sayıların ortanca terimini ve en büyük terimini bulalım.
M=15M = 15
Ardışık 15 tam sayının toplamı 120 ise, ortanca terim 120 / 15 = 8 olur. Tam sayılar birer birer arttığı için en büyük terim ortanca terimden 7 adım ileridedir: 8 + (7 * 1) = 15.
4
Elde edilen K, L ve M değerlerini sayı doğrusu üzerindeki büyüklüklerine göre küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
9<15<229 < 15 < 22 olduğundan sıralama L<M<KL < M < K şeklindedir.
Değerlerin sayısal büyüklükleri karşılaştırıldığında en küçük değerin L, ortanca değerin M ve en büyük değerin K olduğu görülür.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde toplamın terim sayısına bölünmesiyle ortanca terimin bulunması ve ardışık terimler arası fark kuralları kullanılarak diğer terimlere ulaşılması.
Question 8Question →

Bir tahtada ardışık 5 çift tam sayı yazılıdır. Bu sayılardan en küçüğü silinip yerine tahtada kalan diğer sayıların toplamı yazıldığında, tahtadaki sayıların yeni toplamı ilk toplamdan 50 fazla olmaktadır.

Buna göre, başlangıçta tahtada yazılı olan en büyük sayı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Başlangıçtaki en büyük sayı 18'dir.
En küçük terim aa olmak üzere, ardışık 5 çift sayı a,a+2,a+4,a+6,a+8a, a+2, a+4, a+6, a+8 şeklinde yazılır. Bu sayıların toplamı 5a+205a+20 olur. En küçük sayı olan aa silinip yerine kalan 4 sayının toplamı olan 4a+204a+20 yazıld��ğında, tahtadaki sayıların yeni toplamı 2(4a+20)=8a+402(4a+20) = 8a+40 olur. İki toplam arasındaki fark (8a+40)−(5a+20)=3a+20(8a+40) - (5a+20) = 3a+20 olup bu değer 50'ye eşitlendiğinde a=10a=10 bulunur. Başlangıçtaki en büyük sayı a+8=18a+8 = 18 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Ardışık 5 çift tam sayıyı cebirsel olarak ifade edip ilk durumdaki toplamı bulalım.
En küçük sayı aa olsun. Sayılar sırasıyla aa, a+2a+2, a+4a+4, a+6a+6 ve a+8a+8 olur. İlk durumdaki toplam S1=a+(a+2)+(a+4)+(a+6)+(a+8)=5a+20S_1 = a + (a+2) + (a+4) + (a+6) + (a+8) = 5a + 20 olarak elde edilir.
Ardışık çift sayılar ikişer ikişer artar. Bu sayede sayıları tek bir değişken cinsinden yazıp ilk toplamı hesaplayabiliriz.
2
En küçük sayı silindikten sonra kalan sayıların toplamını ve tahtadaki yeni toplamı bulalım.
En küçük sayı olan aa silindiğinde kalan sayılar a+2a+2, a+4a+4, a+6a+6 ve a+8a+8 olur. Bu sayıların toplamı Se=(a+2)+(a+4)+(a+6)+(a+8)=4a+20S_e = (a+2) + (a+4) + (a+6) + (a+8) = 4a + 20 olur. Tahtaya aa yerine bu toplam yazıldığı için, yeni durumdaki sayıların toplamı S2=Se+Se=2⋅(4a+20)=8a+40S_2 = S_e + S_e = 2 \cdot (4a + 20) = 8a + 40 olur.
Yeni durumda tahtadaki sayılar, kalan 4 sayı ile bu 4 say��nın toplamından oluşmaktadır.
3
İki toplam arasındaki farkı 50'ye eşitleyerek en küçük sayı olan aa'yı bulalım ve ardından en büyük sayıyı hesaplayalım.
Yeni toplam ile ilk toplam arasındaki fark: S2−S1=(8a+40)−(5a+20)=3a+20S_2 - S_1 = (8a + 40) - (5a + 20) = 3a + 20 olur. Bu fark 50'ye eşit olduğuna göre: 3a+20=50  ⟹  3a=30  ⟹  a=103a + 20 = 50 \implies 3a = 30 \implies a = 10 bulunur. Başlangıçtaki en büyük sayı a+8=10+8=18a+8 = 10+8 = 18 olarak hesaplanır.
Sayıların toplamındaki artış miktarı verilmiştir. Bu bilgiyi kullanarak bilinmeyeni çözebiliriz.

Key Concept

Ardışık çift sayıların cebirsel olarak ifade edilmesi ve terimler toplamı formülleri.

Alternative Method

Sayıların ortanca terimi üzerinden de çözüm yapılabilir. Ortanca terim xx olsun. Sayılar x−4,x−2,x,x+2,x+4x-4, x-2, x, x+2, x+4 olur. Bu durumda ilk toplam 5x5x olur. En küçük sayı x−4x-4 silinip yerine kalanların toplamı olan 4x+44x+4 yazıldığında yeni toplam 2(4x+4)=8x+82(4x+4) = 8x+8 olur. Aradaki fark (8x+8)−5x=3x+8=50  ⟹  3x=42  ⟹  x=14(8x+8) - 5x = 3x+8 = 50 \implies 3x = 42 \implies x = 14 bulunur. En büyük sayı x+4=14+4=18x+4 = 14+4 = 18 elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 9Question →

Bir metro hattındaki duraklar, başlangıç durağından itibaren sırasıyla 1,2,3,…1, 2, 3, \dots şeklinde ardışık pozitif tam sayılarla numaralandırılmıştır. Bu metro hattındaki ardışık bir grup durağ��n numaraları toplamı 135135 olduğuna göre, bu gruptaki durak sayısı en fazla kaç olabilir?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Ardışık sayıların toplamı ve terim sayısı arasındaki ilişkiden elde edilen en büyük geçerli terim sayısı 15'tir.
Ardışık sayıların toplam formülü düzenlendiğinde n(2x+n−1)=270n(2x+n-1)=270 elde edilir. Başlangıç terimi olan xx sayısı en az 1 olmalıdır, bu da 2x+n−1>n2x+n-1 > n eşitsizliğini gerektirir. Bu koşula uyan en büyük nn değeri 15'tir. Bu durumda ilk terim x=2x=2 olur ve pozitif tam sayı şartını sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Ardışık sayı grubunun ilk terimini xx, terim sayısını ise nn olarak tanımlayıp toplam formülünü yazalım.
n⋅x+n(n−1)2=135n \cdot x + \frac{n(n-1)}{2} = 135 denklemi elde edilir.
Ardışık terimlerin toplamını cebirsel olarak ifade etmek için.
2
Elde edilen denklemi düzenleyerek çarpanlarına ayıralım.
2n⋅x+n(n−1)=270  ⟹  n(2x+n−1)=2702n \cdot x + n(n-1) = 270 \implies n(2x + n - 1) = 270 eşitliği bulunur.
Terim sayısı ile başlangıç terimi arasındaki ilişkiyi çarpanlar üzerinden incelemek için.
3
Durak numaralarının pozitif tam sayı olduğunu (x≥1x \geq 1) kullanarak nn değerinin sınırlarını belirleyelim ve 270'in çarpanlarını inceleyelim.
x≥1x \geq 1 olduğundan 2x+n−1≥n+12x + n - 1 \geq n + 1 olur. Bu durumda n(2x+n−1)=270n(2x + n - 1) = 270 eşitliğinde küçük olan çarpan nn, büyük olan çarpan 2x+n−12x + n - 1 olmalıdır. Buradan n2<270  ⟹  n<16,43n^2 < 270 \implies n < 16,43 elde edilir. 270'in 16,43'ten küçük en büyük böleni 15'tir. n=15n = 15 için 2x+14=18  ⟹  x=22x + 14 = 18 \implies x = 2 bulunur.
Pozitif tam sayılar kümesindeki sınırları göz önünde bulundurarak en büyük terim sayısını bulmak için.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı formülü ve terim sayısı analizi
Question 10Question →

Bir otoparktaki park yerleri soldan sağa doğru 1,3,5,…1, 3, 5, \dots şeklinde ardışık pozitif tek tam sayılarla numaralandırılmıştır. Bu otoparkta yan yana bulunan tüm park yerleri doludur.

Otoparka park eden bir aracın solunda kalan tüm park yerlerinin numaralarının toplamı, sağında kalan ilk 88 park yerinin numaralarının toplamına eşittir.

Buna göre, bu aracın park ettiği yerin numarası kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 41

Answer

Aracın park ettiği yerin numarası 41'dir.
Araç soldan 21. sırada bulunduğunda, park numarası 41 olur. Bu durumda aracın solundaki 20 yerin numaraları toplamı 202=40020^2 = 400 olur. Sağındaki ilk 8 yerin numaraları 43,45,…,5743, 45, \dots, 57 olup toplamları 8×50=4008 \times 50 = 400 yapar. İki tarafın toplamı birbirine eşit olduğundan doğru yanıt 41'dir.

Step-by-Step Solution

1
Aracın park ettiği konumu tanımlayarak solundaki sayıların toplamını ifade etmek.
Araç soldan kk. sırada park etmiş olsun. Bu durumda aracın solunda kalan park yerlerinin sayısı k−1k-1 olur. Bu yerlerin numaraları toplamı ardışık tek sayıların toplamı formülüyle 1+3+5+⋯+(2k−3)=(k−1)21 + 3 + 5 + \dots + (2k-3) = (k-1)^2 olarak bulunur.
Sol taraftaki park yerlerinin numaraları toplamını veren genel cebirsel ifadeyi oluşturmak amacıyla.
2
Aracın sağındaki ilk 8 yerin numaraları toplamını belirlemek.
Aracın park ettiği yer 2k−12k-1 numaralı yerdir. Bu yerin sağındaki ilk 8 yerin numaralar�� sırasıyla 2k+1,2k+3,…,2k+152k+1, 2k+3, \dots, 2k+15 olacaktır. Bu 8 sayının toplamı: 8×2k+(1+3+5+⋯+15)=16k+648 \times 2k + (1 + 3 + 5 + \dots + 15) = 16k + 64 olur.
Sağ taraftaki park yerlerinin numaraları toplamını veren genel cebirsel ifadeyi oluşturmak amacıyla.
3
Elde edilen toplamları eşitleyerek denklemi çözmek ve park yerini bulmak.
(k−1)2=16k+64⇒k2−2k+1=16k+64⇒k2−18k−63=0⇒(k−21)(k+3)=0(k-1)^2 = 16k + 64 \Rightarrow k^2 - 2k + 1 = 16k + 64 \Rightarrow k^2 - 18k - 63 = 0 \Rightarrow (k-21)(k+3) = 0 elde edilir. kk bir pozitif tam sayı olması gerektiğinden k=21k = 21 bulunur. Aracın park ettiği yerin numarası 2k−1=2(21)−1=412k - 1 = 2(21) - 1 = 41 olur.
Kurulan denklemi çözerek aracın otoparktaki sırasını ve park yeri numarasını hesaplamak amacıyla.

Key Concept

Ardışık tek tam sayıların toplamı formülü
Estimated Time:2m 0s
Question 11Question →

Kaan, elindeki kartları her gün bir önceki günden 1 kart fazla olacak şekilde belirli sayıda gün boyunca gruplandırmıştır. Kaan 1. gün aa tane, 2. gün a+1a+1 tane ve bu şekilde devam ederek son gün a+n−1a+n-1 tane kart gruplandırmış ve toplamda 180 kart elde etmiştir. Eğer Kaan her gün bir önceki günden 2 kart fazla olacak şekilde kartları gruplandırsaydı (yani 1. gün aa tane, 2. gün a+2a+2 tane, ..., son gün a+2n−2a+2n-2 tane), yine aynı sürede (yani nn günde) toplamda 216 kart elde edecekti. Buna göre, Kaan kartları toplam kaç gün boyunca gruplandırm��ştır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Kaan kartları toplam 9 gün boyunca gruplandırmıştır.
İkinci durumda her gün bir önceki güne göre fazladan yapılan artışların toplamı, birinci durumdaki toplam artışların tam iki katıdır. Bu iki durum arasındaki fark alındığında, n(n−1)2=36\frac{n(n-1)}{2} = 36 denklemi elde edilir. Buradan n(n−1)=72n(n-1) = 72 olur ve ardışık iki sayının çarpımı şeklinde yazıldığında 9⋅8=729 \cdot 8 = 72 olduğundan toplam gün sayısı 9 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci durumdaki kartların toplam sayısını veren cebirsel ifadeyi kurmak
n⋅a+n(n−1)2=180n \cdot a + \frac{n(n-1)}{2} = 180
1'den n−1n-1'e kadar olan ardışık tam sayıların toplamı n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2} formülü ile hesaplanır.
2
İkinci durumdaki kartların toplam sayısını veren cebirsel ifadeyi kurmak
n⋅a+n(n−1)=216n \cdot a + n(n-1) = 216
2'den 2n−22n-2'ye kadar olan çift ardışık tam sayıların toplamı 2⋅n(n−1)2=n(n−1)2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1) formülü ile hesaplanır.
3
İki durumu taraf tarafa çıkararak ortak terimleri yok etmek ve nn değerini hesaplamak
n=9n = 9
Elde edilen denklemlerin farkı n(n−1)2=36\frac{n(n-1)}{2} = 36 sonucunu verir. Pozitif tam sayılarda bu eşitliği sağlayan değer 9'dur.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı ve aritmetik dizi toplam formülleri

Alternative Method

Birinci durumda her gün eklenen fazlalıklar 0,1,2,…,n−10, 1, 2, \dots, n-1 iken ikinci durumda 0,2,4,…,2n−20, 2, 4, \dots, 2n-2'dir. Gün gün farkları aldığımızda farklar sırasıyla 0,1,2,…,n−10, 1, 2, \dots, n-1 olur. Bu farkların toplamı doğrudan iki toplamın farkına eşit olmalıdır: 0+1+2+⋯+(n−1)=216−180⇒n(n−1)2=36⇒n=90 + 1 + 2 + \dots + (n-1) = 216 - 180 \Rightarrow \frac{n(n-1)}{2} = 36 \Rightarrow n = 9 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 12Question →

Bir kitabın sayfaları 1'den başlanarak ardışık doğal sayılarla numaralandırılmıştır. Bu kitaptan ardışık birkaç yaprak yırtılmıştır. Yırtılan yapraklardaki sayfa numaralarının toplamı 196, geriye kalan sayfaların numaralarının toplamı ise 3044'tür.

Buna göre, yırtılan sayfalardan numarası en büyük olan sayfa ile yırtılan yaprak sayısının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Yırtılan sayfalardan numarası en büyük olan sayfa 28, yırtılan yaprak sayısı ise 4'tür. Bu iki değerin toplamı 32'dir.
Kitabın toplam sayfa sayısı 80 olarak hesaplanır. Yırtılan xx yaprak için sayfa numaralarının toplamı x(4m+2x−3)=196x(4m + 2x - 3) = 196 denklemini verir. Bu denklemin pozitif tam sayılardaki tek çözümü x=4x = 4 ve m=11m = 11 şeklindedir. Dolayısıyla yırtılan sayfalar 21 ile 28 arasındadır. En büyük yırtılan sayfa numarası 28, yırtılan yaprak sayısı 4 olup toplamları 32'dir.

Step-by-Step Solution

1
Kitabın toplam sayfa sayısının bulunması
Kitabın başlangıçtaki tüm sayfalarının numaraları toplamı Stoplam=3044+196=3240S_{toplam} = 3044 + 196 = 3240 olur. NN sayfa sayısı olmak üzere N(N+1)2=3240  ⟹  N(N+1)=6480\frac{N(N+1)}{2} = 3240 \implies N(N+1) = 6480 denkleminden N=80N = 80 bulunur.
Yırtılan sayfalar ile kalan sayfaların toplamı kitabın orijinal sayfa sayısının toplamını verir.
2
Yaprak yırtılma kuralının modellenmesi
Bir kitaptan yaprak yırtıldığında, her yaprakta önlü arkalı iki sayfa bulunur ve bu sayfalar daima sırasıyla bir tek ve bir çift sayıdan oluşur (2m−12m-1 ve 2m2m). Ardışık xx tane yaprak yırtıldığında yırtılan sayfa sayısı 2x2x olur ve bu sayfalar 2m−12m-1 ile başlar, 2m+2x−22m + 2x - 2 ile biter.
Kitap yapraklarının sayfa numaralandırma yapısı ardışık sayıların başlangıç karakterini belirler.
3
Yırtılan sayfa numaraları toplamı denkleminin kurulması ve çözülmesi
Yırtılan sayfaların toplamı: x(4m+2x−3)=196x(4m + 2x - 3) = 196 olur. Burada xx ve mm pozitif tam sayılardır. 196'nın çarpanları incelendiğinde sadece x=4x = 4 değeri için 4m+5=49  ⟹  4m=44  ⟹  m=114m + 5 = 49 \implies 4m = 44 \implies m = 11 tam sayı çözümü elde edilir.
Yırtılan yaprakların sayfa numaraları toplamı verilmiştir, bu bağıntıdan tekil tam sayı çözümü elde edilir.
4
İstenen toplamın hesaplanması
Yırtılan yaprak sayısı x=4x = 4'tür. Yırtılan sayfalar m=11m=11 için 21. sayfadan başlayıp 28. sayfada biter. En büyük sayfa numarası 28'dir. İstenen toplam: 28+4=3228 + 4 = 32 olarak hesaplanır.
En büyük sayfa numarası ile yırtılan yaprak sayısının toplamı istenmiştir.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı ve kitap sayfası-yaprak ilişkisinin modellenmesi

Alternative Method

Yırtılan sayfaların aritmetik ortalaması 1962x=98x\frac{196}{2x} = \frac{98}{x} olur. Ardışık 2x2x tane tam sayının ortalaması bir buçuklu (yani .5.5 ile biten) bir sayı olmalıdır. Dolayısıyla xx sayısı 9898'i bölen ama ortalamayı buçuklu yapan bir sayı olmalıdır. Buradan x=4x = 4 için ortalama 24.524.5 olur. Ortalaması 24.524.5 olan 8 ardışık sayı 21,22,23,24,25,26,27,2821, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28'dir. En büyük sayfa 28, yaprak sayısı 4 olduğundan toplamları 28+4=3228 + 4 = 32 bulunur.
Estimated Time:3m 0s
Question 13Question →

Ardışık pozitif tam sayıların toplamları üzerine araştırma yapan bir matematikçi, bazı sayıların birden fazla şekilde ardışık sayıların toplamı olarak yazılabildiğini fark etmiştir. Bu doğrultuda aşağıdaki üç sayıyı incelemeye alıyor:

* I. Sayı: 24⋅32⋅512^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1
* II. Sayı: 33⋅523^3 \cdot 5^2
* III. Sayı: 28⋅712^8 \cdot 7^1

Bu sayıların her birinin, en az iki ardışık pozitif tam sayının toplamı şeklinde kaç farklı biçimde yazılacağını hesaplıyor. I. sayı için bulduğu değer xx, II. sayı için yy ve III. sayı için zz'dir.

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

z < x < y
Doğru sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir. Çünkü bir SS pozitif tam sayısının en az iki ardışık pozitif tam sayının toplamı olarak yazılma sayısı, SS'nin kendisinden büyük olmayan tek bölenlerinin sayısının 1 eksiğine (yani dtek(S)−1d_{\text{tek}}(S) - 1) eşittir. Bu kurala göre hesaplandığında z=1z = 1, x=5x = 5 ve y=11y = 11 değerleri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Bir pozitif tam sayının ardışık sayıların toplamı olarak yazılabilme kuralını belirleme.
Bir SS sayısının kk terimli ardışık pozitif tam sayıların toplamı şeklinde yazılması S=k(2a+k−1)2  ⟹  2S=k(2a+k−1)S = \frac{k(2a + k - 1)}{2} \implies 2S = k(2a + k - 1) denklemini verir. Burada kk ve 2a+k−12a + k - 1 çarpanlarından biri tek, diğeri çifttir. Dolayısıyla, her farklı yazım biçimi SS sayısının 1'den büyük bir tek bölenine karşılık gelir. Yani yazım sayısı dtek(S)−1d_{\text{tek}}(S) - 1 formülü ile bulunur.
Ardışık toplam problemlerinde terim sayısı ve başlangıç terimi ilişkisini çarpanlara ayırma prensibiyle analiz etmek gerekir.
2
I. sayı (24⋅32⋅512^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1) için xx değerini hesaplama.
I. sayının tek asal çarpanları 3 ve 5'tir. Tek bölenlerinin sayısı (2+1)(1+1)=6(2+1)(1+1) = 6'dır. En az iki terimli olma şartı nedeniyle 1'den büyük tek bölenleri almalıyız. Buradan x=6−1=5x = 6 - 1 = 5 bulunur.
Çift çarpan olan 2'nin kuvveti tek bölen sayısını etkilemez.
3
II. sayı (33⋅523^3 \cdot 5^2) için yy değerini hesaplama.
II. sayı zaten tektir. Tüm bölenleri tektir ve sayısı (3+1)(2+1)=12(3+1)(2+1) = 12'dir. Buradan y=12−1=11y = 12 - 1 = 11 bulunur.
Tamamı tek çarpanlardan oluşan sayıların tüm pozitif bölenleri tek bölendir.
4
III. sayı (28⋅712^8 \cdot 7^1) için zz değerini hesaplama.
III. sayının tek asal çarpanı sadece 7'dir. Tek bölenlerinin sayısı (1+1)=2(1+1) = 2'dir (bunlar 1 ve 7'dir). Buradan z=2−1=1z = 2 - 1 = 1 bulunur.
Sadece 7'ye bağlı tek bölenler hesaplanır.
5
Elde edilen xx, yy ve zz değerlerini karşılaştırma ve sıralama.
z=1z = 1, x=5x = 5 ve y=11y = 11 olduğundan küçükten büyüğe sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir.
Bulunan değerlerin sayısal büyüklükleri karşılaştırılarak nihai sıralama oluşturulur.

Key Concept

Bir pozitif tam sayının ardışık sayıların toplamı olarak yazılabilme sayısı ile o sayının tek bölenlerinin sayısı arasındaki ilişki.
Question 14Question →

Bir kitabın sayfaları 11'den başlanarak ardışık pozitif tam sayılarla numaralandırılacaktır. Ancak basım hatası nedeniyle numarası 33'ün katı olan sayfalar basılmamış ve bu sayfa numaraları atlanmıştır.

Örneğin; kitabın basılan ilk sayfa numaraları sırasıyla 1,2,4,5,7,8,…1, 2, 4, 5, 7, 8, \dots şeklindedir.

Kitapta basılan tüm sayfa numaralarının toplamı 12001200 olduğuna göre, kitapta basılan en büyük sayfa numarası kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 59

Answer

Kitapta basılan en büyük sayfa numarası 59'dur.
Basılan sayılar 33'ün katı olmayan sayılardır. Bu sayılar (1,2),(4,5),…(1, 2), (4, 5), \dots şeklinde ikili gruplandığında her bir grubun toplamı 3,9,15,…3, 9, 15, \dots aritmetik dizisini oluşturur. İlk kk grubun toplamı 3k23k^2 formülü ile bulunur. 3k2=12003k^2 = 1200 eşitliğinden grup sayısı k=20k = 20 olarak elde edilir. En son grup olan 2020. grubun elemanları 5858 ve 5959 olduğundan, basılan en büyük sayfa numarası 5959 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Sayfa numaralarını gruplandırma
Basılan sayfa numaraları 33'ün katı olmayan sayılardır. Bu sayıları ikili gruplar halinde yazarsak: (1,2),(4,5),(7,8),…,(3k−2,3k−1)(1, 2), (4, 5), (7, 8), \dots, (3k-2, 3k-1) şeklinde kk tane grup elde ederiz.
Ardışık terimlerin toplamını sistematik olarak hesaplamak için terimleri ikili gruplara ayırmak çözümü kolaylaştırır.
2
Grup toplamlarını ve genel toplamı bulma
Her bir grubun toplamı sırasıyla şöyledir:
- 1. grup: 1+2=31 + 2 = 3
- 2. grup: 4+5=94 + 5 = 9
- 3. grup: 7+8=157 + 8 = 15
- kk. grup: (3k−2)+(3k−1)=6k−3(3k-2) + (3k-1) = 6k-3

Bu toplamların oluşturduğu dizinin ilk kk teriminin toplamı:
Sk=∑r=1k(6r−3)=6⋅k(k+1)2−3k=3k2+3k−3k=3k2S_k = \sum_{r=1}^{k} (6r - 3) = 6 \cdot \frac{k(k+1)}{2} - 3k = 3k^2 + 3k - 3k = 3k^2 olarak bulunur.
İlk kk grubun toplamını veren cebirsel ifadeyi elde etmek için aritmetik dizi toplam formülü uygulanır.
3
Grup sayısını (kk) belirleme
3k2=1200  ⟹  k2=400  ⟹  k=203k^2 = 1200 \implies k^2 = 400 \implies k = 20 bulunur. Demek ki kitapta toplam 2020 tane grup (yani 4040 sayfa) basılmıştır.
Verilen toplam değerini formüle eşitleyerek basılan toplam grup sayısını buluruz.
4
En büyük sayfa numarasını hesaplama
Son grup olan 2020. grubun elemanları:
- İlk eleman: 3(20)−2=583(20) - 2 = 58
- İkinci eleman: 3(20)−1=593(20) - 1 = 59

Bu durumda basılan en büyük sayfa numarası 5959'dur.
En son basılan grubun en büyük elemanı, kitapta basılan en büyük sayfa numarasına eşittir.

Key Concept

Ardışık Sayı Gruplarının Toplamı ve Aritmetik Diziler
Question 15Question →

Bir torbada, üzerinde 1'den nn'ye kadar olan ardışık pozitif tam sayıların yazılı oldu��u nn tane kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele seçilen iki kartın üzerinde yazan sayıların toplamı AA, torbada kalan diğer kartların üzerinde yazan sayıların toplamı ise 220'dir.

Buna göre, AA sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 44

Answer

A sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 44'tür.
Doğru cevap, matematiksel sınırları sağlayan kart sayılarını tespit ederek alabilecekleri değerlerin toplamı olan 44'tür.

Step-by-Step Solution

1
Tüm kartların üzerindeki sayıların toplamı için ardışık sayılar toplam formülünü yazıp torbada kalan kartların toplamı ile ilişkilendirelim.
S=n(n+1)2S = \frac{n(n+1)}{2} ve seçilen iki kartın toplamı AA olmak üzere, S−A=220  ⟹  A=n(n+1)2−220S - A = 220 \implies A = \frac{n(n+1)}{2} - 220 elde edilir.
Çekilen kartlar çıkarıldıktan sonra kalan toplam 220 olarak verilmiştir.
2
Seçilen iki kartın alabileceği minimum ve maksimum değerler üzerinden AA için sınır koşullarını belirleyelim.
Kartlar 1 ile nn arasında olduğundan, seçilen iki farklı kartın toplamı en az 1+2=31 + 2 = 3, en çok (n−1)+n=2n−1(n-1) + n = 2n-1 olabilir. Dolayısıyla, 3≤A≤2n−13 \leq A \leq 2n-1 eşitsizliği sağlanmalıd��r.
AA değeri seçilen iki farklı kartın toplamını temsil etmektedir.
3
AA ifadesini sınır eşitsizliğinde yerine yazarak nn tamsayısının alabileceği değer aralığını bulalım.
Eşitsizlikleri çözersek: 1) n(n+1)2−220≥3  ⟹  n(n+1)≥446  ⟹  n≥21\frac{n(n+1)}{2} - 220 \geq 3 \implies n(n+1) \geq 446 \implies n \geq 21 (çünkü 20×21=420<44620 \times 21 = 420 < 446 ve 21×22=462≥44621 \times 22 = 462 \geq 446). 2) n(n+1)2−220≤2n−1  ⟹  n2−3n−438≤0  ⟹  n≤22\frac{n(n+1)}{2} - 220 \leq 2n-1 \implies n^2 - 3n - 438 \leq 0 \implies n \leq 22 (çünkü 222−3(22)−438=−20≤022^2 - 3(22) - 438 = -20 \leq 0 iken 232−3(23)−438=22>023^2 - 3(23) - 438 = 22 > 0 olur). Bu durumda nn tam sayısı sadece 21 veya 22 değerlerini alabilir.
nn sayısının sınırlarını belirleyerek hangi tamsayı değerlerini alabileceğini bulmak gerekir.
4
Bulunan geçerli nn değerleri için AA değerlerini hesaplayıp toplayalım.
n=21n = 21 için A=21×222−220=231−220=11A = \frac{21 \times 22}{2} - 220 = 231 - 220 = 11 olur. n=22n = 22 için A=22×232−220=253−220=33A = \frac{22 \times 23}{2} - 220 = 253 - 220 = 33 olur. Bu değerlerin toplamı 11+33=4411 + 33 = 44 olarak bulunur.
AA'nın alabileceği tüm farklı değerlerin toplamı sorulmaktadır.

Key Concept

Ardışık pozitif tam sayıların toplam formülü ve iki elemanın toplamının alabileceği sınır değerleri üzerinden eşitsizlik analizi.
Question 16Question →

Ardışık üç pozitif tam sayının toplamı TT olduğuna göre, bu sayıların en büyüğünün TT türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: T+33\frac{T+3}{3}

Answer

T+33\frac{T+3}{3}
Ardışık üç pozitif tam sayının toplamı TT ise ortanca terim T3\frac{T}{3} olur. En büyük sayı ortanca sayıdan 11 fazla olduğundan, bu değer T3+1=T+33\frac{T}{3} + 1 = \frac{T+3}{3} şeklinde ifade edilir.

Step-by-Step Solution

1
Ardışık üç sayıyı temsil eden bilinmeyenleri belirleyin.
Sayılar sırasıyla x−1x-1, xx ve x+1x+1 olsun (burada xx ortanca sayıdır).
Hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla ortanca sayıyı merkez alan bir gösterim seçilmiştir.
2
Sayıların toplamını TT cinsinden yazıp ortanca sayıyı yalnız bırakın.
(x−1)+x+(x+1)=T⇒3x=T⇒x=T3(x-1) + x + (x+1) = T \Rightarrow 3x = T \Rightarrow x = \frac{T}{3}
Ortanca sayıyı bulmak, diğer sayıları TT cinsinden ifade etmemizi sağlar.
3
En büyük sayının TT cinsinden değerini hesaplayın.
En büyük sayı x+1x+1 olduğundan, xx yerine T3\frac{T}{3} yazılırsa: x+1=T3+1=T+33x+1 = \frac{T}{3} + 1 = \frac{T+3}{3} elde edilir.
Soru bizden en büyük sayının TT türünden değerini istemektedir.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı, terim sayısına bölündüğünde ortanca terimi (veya ortanca iki terimin ortalamasını) verir. Bu özellik kullanılarak ardışık sayı soruları daha hızlı çözülebilir.
Question 17Question →

Bir matematik öğretmeni tahtaya ardışık sayılar içeren aşağıdaki üç kümeyi tanımlamıştır:

* AA kümesi, en küçük elemanı 1919 olan ardışık xx tane pozitif tam sayıdan oluşmaktadır ve bu kümenin elemanlarının toplamı 180180'dir.
* BB kümesi, en büyük elemanı 3232 olan ardışık yy tane pozitif çift tam sayıdan oluşmaktadır ve bu kümenin elemanlarının toplamı 162162'dir.
* CC kümesi, en büyük elemanı 2929 olan ardışık zz tane pozitif tek tam sayıdan oluşmaktadır ve bu kümenin elemanlarının toplamı 125125'dir.

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayacak şekilde aşağıdaki ögeleri doğru sıraya göre düzenleyiniz.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Doğru s��ralama C kümesinin eleman sayısı (z), B kümesinin eleman sayısı (y) ve A kümesinin eleman sayısı (x) şeklinde küçükten büyüğe doğrudur (z < y < x).
Ardışık sayılar, ardışık çift sayılar ve ardışık tek sayıların toplam formülleri ve elemanlarının pozitif olma kısıtlamaları kullanılarak kümelerin eleman sayıları sırasıyla z=5z = 5, y=6y = 6 ve x=8x = 8 olarak bulunur. Bu değerlerin küçükten büyüğe sıralanışı z<y<xz < y < x biçimindedir.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesinin eleman sayısını (xx) hesaplama
x=8x = 8
AA kümesinin elemanları 19,20,…,19+x−119, 20, \dots, 19 + x - 1 şeklindedir. Toplam formülünden: x2⋅[19+(18+x)]=180  ⟹  x(37+x)=360  ⟹  x2+37x−360=0\frac{x}{2} \cdot [19 + (18 + x)] = 180 \implies x(37 + x) = 360 \implies x^2 + 37x - 360 = 0. Bu denklem (x−8)(x+45)=0(x - 8)(x + 45) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. xx pozitif tam sayı olduğundan x=8x = 8 bulunur.
2
BB kümesinin eleman sayısını (yy) hesaplama
y=6y = 6
BB kümesinin elemanları en büyüğü 3232 olan ardışık çift sayılardır: 32,30,…,32−2(y−1)32, 30, \dots, 32 - 2(y-1). Toplam formülünden: y2⋅[32+(34−2y)]=162  ⟹  y(33−y)=162  ⟹  y2−33y+162=0\frac{y}{2} \cdot [32 + (34 - 2y)] = 162 \implies y(33 - y) = 162 \implies y^2 - 33y + 162 = 0. Bu denklem (y−6)(y−27)=0(y - 6)(y - 27) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Eğer y=27y = 27 alınırsa en küçük eleman 32−2(26)=−2032 - 2(26) = -20 olur ki bu pozitif olma şartıyla çelişir. Dolayısıyla y=6y = 6 olmalıdır.
3
CC kümesinin eleman sayısını (zz) hesaplama
z=5z = 5
CC kümesinin elemanları en büyüğü 2929 olan ardışık tek sayılardır: 29,27,…,29−2(z−1)29, 27, \dots, 29 - 2(z-1). Toplam formülünden: z2⋅[29+(31−2z)]=125  ⟹  z(30−z)=125  ⟹  z2−30z+125=0\frac{z}{2} \cdot [29 + (31 - 2z)] = 125 \implies z(30 - z) = 125 \implies z^2 - 30z + 125 = 0. Bu denklem (z−5)(z−25)=0(z - 5)(z - 25) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Eğer z=25z = 25 alınırsa en küçük eleman 29−2(24)=−1929 - 2(24) = -19 olur ki bu pozitif olma şartıyla çelişir. Dolayısıyla z=5z = 5 olmalıdır.
4
Elde edilen eleman sayılarını küçükten büyüğe sıralama
z<y<xz < y < x
Bulunan eleman sayıları z=5z = 5, y=6y = 6 ve x=8x = 8 olduğundan, küçükten büyüğe sıralama 5<6<85 < 6 < 8 yani z<y<xz < y < x şeklindedir.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve terimler toplamı formüllerinin pozitiflik kısıtlamaları altında uygulanması.
Question 18Question →

Bir sinema salonunda yan yana bulunan koltuklar soldan sağa doğru 2,4,6,…2, 4, 6, \dots şeklinde ardışık çift sayılarla numaralandırılmıştır. Bu salonda yan yana bulunan ardışık üç koltuğun numaraları toplamı 5454 olduğuna göre, bu koltuklardan numarası en büyük olan koltuğun numarası kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

En büyük koltuk numarası 20'dir.
Ardışık üç çift sayının toplamı 54 ise, ortadaki sayı 543=18\frac{54}{3} = 18 olur. Sayılar ikişer ikişer arttığı için en büyük sayı 18+2=2018 + 2 = 20 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Toplamı terim sayısına bölerek ortanca terimi bulma.
Ortanca terim 1818 olarak bulunur.
Ardışık tek sayıda terimi olan aritmetik serilerde, terimler toplamı terim sayısına bölündüğünde ortadaki terim elde edilir.
2
Ortanca terimi kullanarak ardışık çift sayıları belirleme.
Sayılar 1616, 1818 ve 2020 olarak bulunur.
Ardı��ık çift sayılar arasındaki fark 22 olduğundan, ortanca terimin 22 eksiği en küçük terimi, 22 fazlası ise en büyük terimi verir.
3
İstenen en büyük değeri belirleme.
En büyük koltuk numarası 2020 olarak belirlenir.
Soruda yan yana bulunan koltuklardan en büyük numaralı olanı sorulmaktadır.

Key Concept

Ardışık çift sayıların toplamı ve ortanca terim ilişkisi
Estimated Time:1m 0s
Question 19Question →

Bir depodaki nn adet kutu, soldan sağa doğru 1,2,3,…,n1, 2, 3, \dots, n şeklinde ardışık pozitif tam sayılarla numaralandırılmıştır. Bu kutuların her birine, kutu numarasının 2 katının 3 fazlası kadar bilye konuluyor.

Kutulardaki toplam bilye sayısı, kutuların üzerindeki numaraların toplamından 120 fazla olduğuna göre; numarası tek sayı olan kutulardaki toplam bilye sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 152

Answer

Numarası tek sayı olan kutulardaki toplam bilye sayısı 152'dir.
Doğru cevap 152 bilyedir. Kutulardaki toplam bilye sayısı ile kutu numaraları toplamının farkından yararlanarak kutu sayısı (nn) 16 olarak bulunur. 16 kutudan numarası tek sayı olan 8 kutudaki bilye sayıları sırasıyla 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 ve 33'tür. Bu sayıların toplamı 152 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Kutulardaki toplam bilye sayısını veren ifadeyi yazmak.
ii. kutudaki bilye sayısı 2i+32i + 3 olduğundan, toplam bilye sayısı ∑i=1n(2i+3)\sum_{i=1}^n (2i+3) olur.
Toplam bilye sayısı ile kutu numaraları toplamı arasındaki ilişkiyi kurmak için genel toplam ifadesini bulmamız gerekir.
2
Toplam bilye sayısı ile kutu numaraları toplamı arasındaki farkı denklem haline getirmek.
∑i=1n(2i+3)−∑i=1ni=120  ⟹  ∑i=1n(i+3)=120  ⟹  n(n+1)2+3n=120\sum_{i=1}^n (2i+3) - \sum_{i=1}^n i = 120 \implies \sum_{i=1}^n (i+3) = 120 \implies \frac{n(n+1)}{2} + 3n = 120 denklemi elde edilir.
Soruda verilen bilye sayısının kutu numaraları toplamından 120 fazla olduğu bilgisi bu denklemi kurmamızı sağlar.
3
Elde edilen denklemi düzenleyip kutu sayısı olan nn değerini bulmak.
n2+7n2=120  ⟹  n2+7n−240=0  ⟹  (n−16)(n+15)=0\frac{n^2 + 7n}{2} = 120 \implies n^2 + 7n - 240 = 0 \implies (n-16)(n+15) = 0 olur. nn pozitif tam sayı olduğundan n=16n = 16 bulunur.
Kutuların toplam sayısını bularak hangi kutuların tek numaralı olduğunu belirlemek için bu denklemin çözülmesi gerekir.
4
Numarası tek sayı olan kutuları belirlemek ve bu kutulardaki bilye sayılarını bulmak.
Kutular 1,3,5,…,151, 3, 5, \dots, 15 olmak üzere 8 adettir. Bu kutulardaki bilye sayıları sırasıyla 2(1)+3=52(1)+3=5, 2(3)+3=92(3)+3=9, …\dots, 2(15)+3=332(15)+3=33 şeklindedir.
Tek numaralı kutuların bilye sayıları toplamını bulmak için her bir tek numaralı kutuda kaç bilye olduğunu belirlemeliyiz.
5
Belirlenen bilye sayılarının ardışık toplamını hesaplamak.
Terim sayısı 8, ilk terim 5 ve son terim 33 olan ardışık toplam: 5+332×8=19×8=152\frac{5+33}{2} \times 8 = 19 \times 8 = 152 bulunur.
Sonuca ulaşmak için tek numaralı kutulardaki tüm bilyeleri toplamamız gerekir.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı formülleri ve aritmetik dizilerde terim toplamı bulma.
Estimated Time:2m 0s
Question 20Question →

Toplamları 120120 olan ardışık pozitif tam sayılar veya ardışık pozitif çift tam sayılardan oluşan gruplar aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

* I. Grup: Elemanları ardışık pozitif tam sayılardan oluşan, eleman sayısı birden büyük ve en az eleman içeren grup.
* II. Grup: Elemanları ardışık pozitif çift tam sayılardan oluşan ve en çok eleman içeren grup.
* III. Grup: Elemanları ardışık pozitif tam sayılardan oluşan ve en çok eleman içeren grup.

Buna göre; I, II ve III. grupların terim sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

I. Grup'un terim sayısı (3) < II. Grup'un terim sayısı (8) < III. Grup'un terim sayısı (15)
I. Grup'un terim sayısı 33, II. Grup'un terim sayısı 88 ve III. Grup'un terim sayısı 1515 olarak hesaplanır. Bu değerlerin küçükten büyüğe sıralaması sırasıyla I. Grup, II. Grup ve III. Grup şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
I. Grup için terim sayısının belirlenmesi.
Terim sayısı 33 olarak bulunur.
Ardışık pozitif tam sayıların toplamı a+(a+1)+⋯+(a+n−1)=120  ⟹  n(2a+n−1)=240a + (a+1) + \dots + (a+n-1) = 120 \implies n(2a+n-1) = 240 denklemini verir. Pozitif tam sayılar için n>1n > 1 şartını sağlayan en küçük nn değeri n=3n = 3 olur (bu durumda ilk terim a=39a=39 olur).
2
II. Grup için terim sayısının belirlenmesi.
Terim sayısı 88 olarak bulunur.
Ardışık pozitif çift tam sayıların toplamı 2a+(2a+2)+⋯+(2a+2m−2)=120  ⟹  m(2a+m−1)=1202a + (2a+2) + \dots + (2a+2m-2) = 120 \implies m(2a+m-1) = 120 denklemini verir. En büyük terim sayısını bulmak için mm'in en büyük pozitif tam sayı değeri aranır. m=8m = 8 için 2a+7=15  ⟹  a=42a+7 = 15 \implies a=4 pozitif tam sayı çözümü elde edilir. m=15m = 15 için 2a+14=8  ⟹  a=−32a+14=8 \implies a=-3 olur ki bu pozitif olma şartını bozar. Dolayısıyla maksimum terim sayısı 88'dir.
3
III. Grup için terim sayısının belirlenmesi.
Terim sayısı 1515 olarak bulunur.
Toplamları 120120 olan ardışık pozitif tam sayı dizisinin en çok terim içermesi için dizinin en küçük pozitif tam sayı olan 11 ile başlaması gerekir. 1+2+⋯+n=n(n+1)2=120  ⟹  n(n+1)=240  ⟹  n=151 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} = 120 \implies n(n+1) = 240 \implies n = 15 olur.
4
Terim sayılarının karşılaştırılması.
3<8<153 < 8 < 15 şeklinde sıralanır.
Bulunan terim sayıları sırasıyla 33, 88 ve 1515 olduğundan, küçükten büyüğe sıralama I < II < III şeklindedir.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve toplam formülleri arasındaki ilişkilerin çözümlenmesi.
Page 1 / 3Next