Examkin

Sayı Kümeleri

114 questions

All types114Multiple choice57Numeric57
Question 41Question →

Bir matematik öğretmeni tahtaya aşağıdaki beş sayıyı yazmıştır:

* I. −12-12
* II. −9-\sqrt{9}
* III. 00
* IV. 185\frac{18}{5}
* V. 8\sqrt{8}

Buna göre, bu sayılarla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: Bu sayılardan 3 tanesi rasyonel sayı olduğu halde doğal sayı değildir.

Answer

Bu sayılardan 3 tanesi rasyonel sayı olduğu halde doğal sayı değildir.
Rasyonel sayılar kümesi (Q\mathbb{Q}) ile doğal sayılar kümesi (N\mathbb{N}) arasındaki fark incelendiğinde; tahtadaki sayılardan −12-12, −9=−3-\sqrt{9} = -3 ve 185\frac{18}{5} rasyonel sayıdır fakat doğal sayı değildir. Sıfır sayısı hem rasyonel hem doğal sayıdır. 8\sqrt{8} ise rasyonel sayı değildir. Dolayısıyla doğru olan ifade 'Bu sayılardan 3 tanesi rasyonel sayı olduğu halde doğal sayı değildir.' diyen seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
Tahtadaki kareköklü ifadelerin değerlerini sadeleştirerek sayı kümelerindeki karşılıklarını belirleme.
−9=−3-\sqrt{9} = -3 (Tam sayı ve rasyonel sayı), 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2} (İrrasyonel sayı).
Kareköklü gösterimlerin kafa karıştırmasını önlemek için sayıların en sade değerleri bulunur.
2
Her sayının rasyonel sayı (Q\mathbb{Q}) ve do��al sayı (N\mathbb{N}) kümelerine ait olup olmadığını kontrol etme.
−12∈Q-12 \in \mathbb{Q} ve −12∉N-12 \notin \mathbb{N}; −3∈Q-3 \in \mathbb{Q} ve −3∉N-3 \notin \mathbb{N}; 0∈Q0 \in \mathbb{Q} ve 0∈N0 \in \mathbb{N}; 185∈Q\frac{18}{5} \in \mathbb{Q} ve 185∉N\frac{18}{5} \notin \mathbb{N}; 8∉Q\sqrt{8} \notin \mathbb{Q}.
Soruda istenen 'rasyonel sayı olup doğal sayı olmama' koşulunu (Q∖N\mathbb{Q} \setminus \mathbb{N}) sağlayan elemanları tespit etmek için her sayı ayrı ayrı incelenir.
3
Belirlenen koşulu sağlayan sayıları listeleme ve adetlerini sayma.
Koşulu sağlayan sayılar {−12,−3,185}\{-12, -3, \frac{18}{5}\} kümesini oluşturur. Bu kümenin eleman sayısı 3'tür.
Rasyonel sayı olduğu halde doğal sayı olmayan elemanların sayısının 3 olduğu doğrulanır.

Key Concept

Sayı kümeleri (doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılar) arasındaki kapsama ilişkileri ve elemanların bu kümelerdeki üyelikleri.
Estimated Time:1m 30s
Question 42Question →
Bir xx irrasyonel gerçel sayısı için
x2−axx^2 - ax
ve
x3−13xx^3 - 13x
ifadelerinin değerleri birer rasyonel sayıdır.

Buna göre, aa pozitif tam sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

a pozitif tam sayısı 2'dir.
Verilen xx irrasyonel gerçel sayısı için x2−axx^2-ax ve x3−13xx^3-13x ifadelerinin rasyonel olması, ancak ve ancak x2−ax−r=0x^2-ax-r=0 denkleminin köklerinin irrasyonel ve gerçel olmasıyla mümkündür. Polinom bölmesiyle elde edilen r=13−a2r = 13 - a^2 değeri yerine yazıldığında diskriminantın Δ=52−3a2\Delta = 52 - 3a^2 olduğu görülür. Δ≥0\Delta \geq 0 şartından a∈{1,2,3,4}a \in \{1, 2, 3, 4\} bulunur. Bu değerlerden sadece a=2a=2 için diskriminant tam kare olmayan bir pozitif sayı (4040) belirtir ve irrasyonel kök üretir. Diğer değerler rasyonel kökler ürettiği için aranan aa sayısı 2 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
x2−axx^2 - ax ve x3−13xx^3 - 13x ifadelerini rasyonel sayılara eşitleyip polinom denklemlerini oluşturmak.
x2−ax=rx^2 - ax = r ve x3−13x=sx^3 - 13x = s (r,s∈Qr, s \in \mathbb{Q}). Buradan x2−ax−r=0x^2 - ax - r = 0 ve x3−13x−s=0x^3 - 13x - s = 0 elde edilir.
xx irrasyonel sayısının sağladığı rasyonel katsayılı polinom ilişkilerini analiz etmek.
2
x2−ax−rx^2 - ax - r polinomunu x3−13x−sx^3 - 13x - s polinomuna bölerek kalan şartını belirlemek.
x3−13x−s=(x+a)(x2−ax−r)+(a2+r−13)x+(ar−s)x^3 - 13x - s = (x + a)(x^2 - ax - r) + (a^2 + r - 13)x + (ar - s) ve kalanın sıfır olmasından r=13−a2r = 13 - a^2 elde edilir.
İrrasyonel xx sayısının her iki denklemi de sağlaması için ikinci derece polinomun üçüncü derece polinomu tam bölmesi gerekir.
3
xx sayısının gerçel sayı olma şartını (diskriminantın negatif olmaması) ve irrasyonel olma şartını (diskriminantın tam kare olmaması) incelemek.
Δ=a2+4r=52−3a2≥0  ⟹  a∈{1,2,3,4}\Delta = a^2 + 4r = 52 - 3a^2 \geq 0 \implies a \in \{1, 2, 3, 4\}. a=1,3,4a=1, 3, 4 için Δ\Delta sırasıyla 49,25,449, 25, 4 (tam kare) olur ve xx rasyonel çıkar. a=2a=2 için Δ=40\Delta = 40 (tam kare değil) olur ve x=1±10x = 1 \pm \sqrt{10} irrasyoneldir.
aa pozitif tam sayısının sadece irrasyonel gerçel kök üreten değerini belirlemek.

Key Concept

Sayı kümeleri tanımları, rasyonel ve irrasyonel sayıların cebirsel özellikleri ve ikinci dereceden denklem diskriminant analizi.
Question 43Question →

aa bir rasyonel sayı, bb ise bir irrasyonel sayıdır.

Buna göre,

I. a+ba + b
II. a⋅ba \cdot b
III. b2b^2

ifadelerinden hangileri her zaman bir irrasyonel sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: Yalnız I

Answer

Her zaman irrasyonel olan ifade yalnız birinci öncüldür.
Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. Bu durum rasyonel sayıların çıkarma işlemine göre kapalı olmasından kaynaklanan matematiksel bir kuraldır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci öncüldeki toplama işlemini incelemek.
a+ba + b ifadesinin her zaman irrasyonel olduğu belirlenir.
E��er a+b=ra + b = r gibi rasyonel bir sayı olsaydı, b=r−ab = r - a olurdu. Rasyonel iki sayının farkı da rasyonel olacağından bb sayısı rasyonel olmak zorunda kalırdı. Bu durum bb'nin irrasyonel olmasıyla çeliştiği için toplam her zaman irrasyoneldir.
2
İkinci öncüldeki çarpma işlemini incelemek.
a⋅ba \cdot b ifadesinin her zaman irrasyonel olmadığı belirlenir.
aa rasyonel sayısı 00 olarak seçilirse, 0⋅b=00 \cdot b = 0 olur. Sıfır rasyonel bir sayı olduğundan çarpım her zaman irrasyonel olmak zorunda değildir.
3
Üçüncü öncüldeki karesel ifadeyi incelemek.
b2b^2 ifadesinin her zaman irrasyonel olmadığı belirlenir.
b=2b = \sqrt{2} irrasyonel sayısı için b2=(2)2=2b^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 rasyonel sayısı elde edilir. Dolayısıyla irrasyonel bir sayının karesi rasyonel olabilir.

Key Concept

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin işlemsel özellikleri ve kapalılık durumları
Question 44Question →
Pozitif irrasyonel xx ve yy sayıları için,
x+y=4x + y = 4
x3+y3∈Zx^3 + y^3 \in \mathbb{Z}
x4+y4∈Zx^4 + y^4 \in \mathbb{Z}
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Doğru cevap 3'tür. x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği farklı değerlerin toplamı 3'tür.
x⋅y=px \cdot y = p ifadesinin alabileceği değerler, sayıların pozitiflik ve irrasyonellik koşullarını sağlayan p=1p=1 ve p=2p=2 tam sayılarıdır. Bu değerlerin toplamı 1+2=31+2=3 olur.

Step-by-Step Solution

1
x+y=4x + y = 4 ve x⋅y=px \cdot y = p değişken tanımlaması yapılarak gerçel köklerin varlık aralığını belirlemek.
0<p≤40 < p \le 4 aralığı elde edilir.
xx ve yy pozitif gerçel sayılar olduğundan çarpımları pozitif olmalıdır. Ayrıca köklerin gerçel sayı olması için diskriminant Δ=16−4p≥0\Delta = 16 - 4p \ge 0 olmalıdır.
2
x3+y3∈Zx^3 + y^3 \in \mathbb{Z} koşulunu pp değişkeni cinsinden ifade etmek.
64−12p∈Z  ⟹  12p=k∈Z64 - 12p \in \mathbb{Z} \implies 12p = k \in \mathbb{Z} (yani p=k/12p = k/12) elde edilir.
x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) özdeşliği kullanılarak ifadenin tam sayı olma şartı bulunur.
3
x4+y4∈Zx^4 + y^4 \in \mathbb{Z} koşulunu pp cinsinden yazarak p=k/12p = k/12 değerini yerine koymak.
256−64p+2p2∈Z  ⟹  k2−384k72∈Z256 - 64p + 2p^2 \in \mathbb{Z} \implies \frac{k^2 - 384k}{72} \in \mathbb{Z} elde edilir.
x4+y4=(x2+y2)2−2x2y2x^4 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 özdeşliği kullanılarak ifadenin tam sayı olma koşulu analiz edilir.
4
k2−384k≡0(mod72)k^2 - 384k \equiv 0 \pmod{72} denkliğini mod 8 ve mod 9 için incelemek.
kk sayısının 12'nin katı olması gerektiği ve dolayısıyla pp değerinin bir tam sayı (p∈Zp \in \mathbb{Z}) olduğu bulunur.
Mod 8 için k2≡0(mod8)  ⟹  4∣kk^2 \equiv 0 \pmod 8 \implies 4 \mid k ve mod 9 için k(k−6)≡0(mod9)  ⟹  3∣kk(k-6) \equiv 0 \pmod 9 \implies 3 \mid k koşulları birleştirilerek 12∣k12 \mid k olduğu gösterilir.
5
0<p≤40 < p \le 4 aralığındaki tam sayı değerlerini irrasyonellik koşuluna göre test etmek.
p=1p = 1 ve p=2p = 2 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 1+2=31 + 2 = 3 olur.
xx ve yy sayılarının irrasyonel olması için Δ=16−4p=4(4−p)\Delta = 16 - 4p = 4(4-p) ifadesinin tam kare olmaması gerekir. Bu durum p=3p=3 (kökler 1 ve 3) ve p=4p=4 (kökler 2 ve 2) değerlerini eler.

Key Concept

İrrasyonel ve rasyonel sayı kümelerinin özellikleri, tam sayılarla işlemler ve iki kare/küp toplamı özdeşliklerinin sayı kümeleriyle ilişkisi.
Question 45Question →

Bir meteoroloji istasyonu, ölçtüğü 8 farklı sıcaklık değerini santigrat derece (∘C^\circ\text{C}) cinsinden aşağıdaki kümede göstermiştir:

T={−5,  −2,  0,  1.75,  9,  π,  −124,  0.1}T = \left\{ -5, \; -\sqrt{2}, \; 0, \; 1.75, \; \sqrt{9}, \; \pi, \; -\frac{12}{4}, \; \sqrt{0.1} \right\}

Bu sıcaklık değerlerinden rasyonel sayı olanların sayısı RR, tam sayı olanların sayısı ZZ ve doğal sayı olanların sayısı DD olarak belirlenmiştir.

Buna göre, R−(Z+D)R - (Z + D) işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

İşlemin sonucu -1'dir.
Kümedeki rasyonel sayı adedi 5, tam sayı adedi 4 ve doğal sayı adedi 2'dir. Bu değerler formülde yerine yazıldığında 5 - (4 + 2) = -1 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kümedeki her bir elemanın sayı kümelerine (doğal sayı, tam sayı, rasyonel sayı) aitliğini tek tek incelemek.
-5: Tam sayı ve rasyonel sayı.
-\sqrt{2}: İrrasyonel sayı.
0: Doğal sayı, tam sayı ve rasyonel sayı.
1.75: Rasyonel say��.
\sqrt{9} = 3: Doğal sayı, tam sayı ve rasyonel sayı.
\pi: İrrasyonel sayı.
-\frac{12}{4} = -3: Tam sayı ve rasyonel sayı.
\sqrt{0.1} = \frac{1}{\sqrt{10}}: İrrasyonel sayı.
Sayı kümelerinin tanımlarını kullanarak her bir elemanın doğru sınıflara atanmasını sağlamak.
2
Tanımlanan kategorilere uyan sayıların adetlerini sayarak R, Z ve D değişkenlerinin değerlerini bulmak.
R = 5 (rasyonel sayılar: -5, 0, 1.75, 3, -3)
Z = 4 (tam sayılar: -5, 0, 3, -3)
D = 2 (doğal sayılar: 0, 3)
Soruda istenen matematiksel işlemi gerçekleştirmek için gerekli olan katsayıları elde etmek.
3
Elde edilen R, Z ve D değerlerini R - (Z + D) formülünde yerine koyarak işlemi hesaplamak.
5 - (4 + 2) = 5 - 6 = -1
İstenen matematiksel işlemin sonucunu bulmak.

Key Concept

Sayı kümeleri ve elemanlarının sınıflandırılması
Question 46Question →

Bir torbada üzerinde sırasıyla −16-\sqrt{16}, −3-3, 00, 73\frac{7}{3}, 5\sqrt{5} ve π\pi sayılarının yazılı olduğu 6 adet kart bulunmaktadır. Bu kartlardan üzerinde bir rasyonel sayı yazılı olanların tamamı boş bir kutuya atılıyor.

Buna göre, son durumda kutuda bulunan kart sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Son durumda kutuda bulunan kart sayısı 4'tür.
Verilen sayılardan −16=−4-\sqrt{16} = -4, −3-3, 00 ve 73\frac{7}{3} sayıları rasyonel sayı kümesinin (Q\mathbb{Q}) elemanlarıdır. Kutuya atılan kart sayısı bu sayıların adedi olan 4'tür.

Step-by-Step Solution

1
Kartların üzerindeki sayıların rasyonel olup olmadığının sınıflandırılması.
−16-\sqrt{16}, −3-3, 00 ve 73\frac{7}{3} sayıları rasyonel; 5\sqrt{5} ve π\pi sayıları irrasyoneldir.
Rasyonel sayılar kümesi (Q\mathbb{Q}), iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayıları kapsar. Köklü ifadelerden tam sayıya dönüşebilen −16=−4-\sqrt{16} = -4 rasyoneldir. Ancak 5\sqrt{5} ve π\pi bu biçimde yazılamadığından irrasyoneldir.
2
Rasyonel sayı olan kartların toplam adedinin hesaplanması.
Toplam 4 adet kart kutuya atılmıştır.
Kutuya sadece rasyonel sayı içeren kartlar atılmaktadır.

Key Concept

Rasyonel sayılar kümesinin elemanlarını tanıma ve irrasyonel sayılardan ayırt etme.
Question 47Question →

x,yx, y ve zz gerçel sayıları sırasıyla

* x∈Nx \in \mathbb{N}
* y∈Z−y \in \mathbb{Z}^-
* z∈Q∖Zz \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}

kümelerinin birer elemanıdır.

Buna göre,

I. x⋅yx \cdot y
II. y⋅zy \cdot z
III. x+y+zx + y + z

ifadelerinden hangileri bir pozitif tam sayıya eşit olabilir?

Show answer & explanation

Answer: Yalnız II

Answer

Yalnız II ifadesi bir pozitif tam sayıya eşit olabilir.
Yalnız II ifadesi pozitif bir tam sayıya eşit olabilir. Negatif bir tam sayı ile tam sayı olmayan rasyonel bir sayının çarpımı pozitif bir tam sayı üretebilir. Örneğin, −2-2 ile −12-\frac{1}{2} çarpıldığında 11 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Tanımlanan sayı kümelerinin özelliklerini belirlemek.
xx bir doğal sayı olduğu için 0,1,2,…0, 1, 2, \dots değerlerini alabilir. yy bir negatif tam sayı olduğu için −1,−2,−3,…-1, -2, -3, \dots değerlerini alabilir. zz ise tam sayı olmayan rasyonel bir sayıdır (örneğin −12-\frac{1}{2} veya 34\frac{3}{4}).
Soruda verilen ifadelerin hangi sayı kümelerine ait olduğunu netleştirmek doğru analiz yapmayı sağlar.
2
Birinci öncülü (x⋅yx \cdot y) değerlendirmek.
x⋅y≤0x \cdot y \le 0 olur.
x≥0x \ge 0 ve y<0y < 0 olduğundan, bu iki sayının çarpımı ya sıfır (eğer x=0x = 0 ise) ya da negatif bir tam sayıdır. Dolayısıyla pozitif bir tam sayı olamaz.
3
İkinci öncülü (y⋅zy \cdot z) değerlendirmek.
y⋅zy \cdot z ifadesi pozitif bir tam sayıya eşit olabilir.
Örnek olarak y=−2y = -2 (negatif tam sayı) ve z=−12z = -\frac{1}{2} (tam sayı olmayan rasyonel sayı) seçilirse, y⋅z=(−2)⋅(−12)=1y \cdot z = (-2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 elde edilir. 11 sayısı pozitif bir tam sayıdır.
4
Üçüncü öncülü (x+y+zx + y + z) değerlendirmek.
x+y+zx + y + z ifadesi tam sayı olamaz, dolayısıyla pozitif tam sayı da olamaz.
İki tam sayının toplamı her zaman bir tam sayıdır. Burada xx ve yy birer tam sayı olduğundan x+yx + y toplamı da bir tam sayıdır. Bir tam sayı ile tam sayı olmayan bir rasyonel sayının (zz) toplamı ise her zaman tam sayı olmayan bir rasyonel sayı belirtir.

Key Concept

Sayı kümelerinin tanımları, eleman özellikleri ve kapalılık ilişkileri
Question 48Question →

Bir nn pozitif tam sayısı için

xn=n2+15nx_n = \sqrt{n^2 + 15n}

sayısı tanımlanıyor.

Buna göre, xnx_n sayısının bir rasyonel sayı olmasını sağlayan ka�� farklı nn değeri vardır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

İfadenin rasyonel bir sayı olmasını sağlayan 4 farklı pozitif tam sayı değeri vardır.
Verilen kareköklü ifadenin rasyonel bir sayı belirtmesi, kök içerisindeki n2+15nn^2 + 15n ifadesinin bir tam kare olmasını gerektirir. Tam kareye tamamlama metodu ve iki kare farkı yardımıyla elde edilen (2n+15−2k)(2n+15+2k)=225(2n + 15 - 2k)(2n + 15 + 2k) = 225 denkleminde, 225'in çarpanları üzerinden n>0n > 0 koşulunu sağlayan tam olarak 4 farklı nn pozitif tam sayısı (1,5,12,491, 5, 12, 49) elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Kökün içindeki ifadenin rasyonellik şartını belirlemek.
n2+15n=k2n^2 + 15n = k^2 (burada kk bir pozitif tam sayıdır)
Pozitif bir tam sayının karekökünün rasyonel sayı olabilmesi için sayının tam kare olması gerekir.
2
Denklemi düzenleyerek iki kare farkı şeklinde çarpanlarına ayırmak.
(2n+15−2k)(2n+15+2k)=225(2n + 15 - 2k)(2n + 15 + 2k) = 225
Çarpan analizi yaparak bilinmeyenlerin alabileceği tam sayı değerlerini sınırlandırmak.
3
225'in çarpan çiftleri üzerinden nn değerlerini elde etmek.
nn değerleri 49, 12, 5 ve 1 olarak bulunur.
nn ve kk değerlerinin pozitif tam sayı olma koşulunu sağlayan tüm durumları incelemek.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayı Kümesi İlişkileri
Question 49Question →

Aşağıda altı elemanlı bir küme verilmiştir:

K={−4,0,9,83,5,−12}K = \{-4, 0, \sqrt{9}, \frac{8}{3}, \sqrt{5}, -\frac{1}{2}\}

Bu kümenin elemanlarından;

* Pozitif tam sayı olanların sayısı aa,
* Rasyonel sayı olup tam sayı olmayanların sayısı bb,
* İrrasyonel sayı olanların sayısı cc

olarak belirleniyor.

Buna göre, a+b−ca + b - c ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İfadenin doğru değeri 2'dir.
Doğru cevap olan 2 değerine ulaşmak için K kümesindeki elemanlar tek tek incelenir. Pozitif tam sayı olan tek eleman \sqrt{9} = 3 olduğundan a = 1'dir. Rasyonel olup tam sayı olmayan elemanlar \frac{8}{3} ve -\frac{1}{2} olduğundan b = 2'dir. İrrasyonel olan tek eleman ise \sqrt{5} olduğundan c = 1'dir. Bu değerler yerine yazıldığında a + b - c = 1 + 2 - 1 = 2 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
K kümesinin elemanlarını tek tek analiz ederek hangi sayı kümelerine ait olduklarını belirleyelim.
-4 sayısı bir negatif tam sayıdır.
0 sayısı işareti olmayan (nötr) bir tam sayıdır.
\sqrt{9} = 3 sayısı bir pozitif tam sayıdır.
\frac{8}{3} sayısı tam sayı olmayan bir rasyonel sayıdır.
\sqrt{5} sayısı bir irrasyonel sayıdır.
-\frac{1}{2} sayısı tam sayı olmayan bir rasyonel sayıdır.
Soruda tanımlanan a, b ve c sayılarını bulabilmek için kümedeki elemanların sayı kümelerini doğru belirlemeliyiz.
2
Tanımlanan koşullara uyan eleman sayılarını (a, b ve c) bulalım.
Pozitif tam sayı olan tek eleman \sqrt{9} = 3 olduğundan a = 1'dir.
Rasyonel sayı olup tam sayı olmayan elemanlar \frac{8}{3} ve -\frac{1}{2} olduğundan b = 2'dir.
İrrasyonel sayı olan tek eleman \sqrt{5} olduğundan c = 1'dir.
Her bir küme koşuluna uyan elemanları sayarak formüldeki değişkenlerin değerlerini buluruz.
3
Bulduğumuz a, b ve c değerlerini a + b - c ifadesinde yerine yazarak sonucu hesaplayalım.
a + b - c = 1 + 2 - 1 = 2 elde edilir.
Soruda bizden istenen matematiksel ifadenin nihai değerini bulmak için.

Key Concept

Sayı Kümeleri
Question 50Question →
SS kümesi
S={−4,−5,0,153,1.8,π,227,8⋅2}S = \left\{ -4, -\sqrt{5}, 0, \frac{15}{3}, \sqrt{1.8}, \pi, \frac{22}{7}, \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} \right\}
biçiminde tanımlanıyor. Bu kümenin;
- Rasyonel sayılardan oluşan alt kümesi AA,
- Tam sayılardan oluşan alt kümesi BB,
- Doğal sayılardan oluşan alt kümesi CC,
- İrrasyonel sayılardan oluşan alt kümesi DD
olarak belirleniyor.

Buna göre, s(A)⋅s(B)−s(C)⋅s(D)s(A) \cdot s(B) - s(C) \cdot s(D) işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

İşlemin sonucu 11'dir.
Kümedeki elemanlar doğru sınıflandırıldığında rasyonel sayılar 5 adet, tam sayılar 4 adet, doğal sayılar 3 adet ve irrasyonel say��lar 3 adettir. Yapılan çarpma ve çıkarma işlemleri sonucunda doğru sonuç olan 11 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kümedeki elemanların sayı kümelerine aidiyetini incelemek
−4∈Z-4 \in \mathbb{Z} ve Q\mathbb{Q}; −5∈Q′-\sqrt{5} \in \mathbb{Q}'; 0∈N0 \in \mathbb{N}, Z\mathbb{Z} ve Q\mathbb{Q}; 153=5∈N\frac{15}{3} = 5 \in \mathbb{N}, Z\mathbb{Z} ve Q\mathbb{Q}; 1.8=35∈Q′\sqrt{1.8} = \frac{3}{\sqrt{5}} \in \mathbb{Q}'; π∈Q′\pi \in \mathbb{Q}'; 227∈Q\frac{22}{7} \in \mathbb{Q} (ancak ∉Z\notin \mathbb{Z}); 8⋅2=4∈N\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = 4 \in \mathbb{N}, Z\mathbb{Z} ve Q\mathbb{Q}
Her bir elemanın hangi sayı kümesine ait olduğunu doğru belirleyerek alt kümeleri oluşturmak.
2
Alt kümelerin eleman sayılarını bulmak
s(A)=5s(A) = 5, s(B)=4s(B) = 4, s(C)=3s(C) = 3, s(D)=3s(D) = 3
Soruda verilen matematiksel ifadeyi hesaplayabilmek için alt kümelerin eleman sayılarını elde etmek.
3
İfadeyi hesaplamak
s(A)⋅s(B)−s(C)⋅s(D)=5⋅4−3⋅3=20−9=11s(A) \cdot s(B) - s(C) \cdot s(D) = 5 \cdot 4 - 3 \cdot 3 = 20 - 9 = 11
Elde edilen eleman sayılarını denklemde yerine yazarak sonucu bulmak.

Key Concept

Sayı kümelerinin (do��al sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar) elemanlarını belirleme ve ayırt etme.
Estimated Time:2m 0s
Question 51Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde AA ve BB kümeleri
A={x∈R:x2∈Q}A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \in \mathbb{Q}\}
B={x∈R:x3∈Q}B = \{x \in \mathbb{R} : x^3 \in \mathbb{Q}\}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre;
I. A∩B=QA \cap B = \mathbb{Q}
II. Her x,y∈Ax, y \in A için x+y∈Ax + y \in A’dır.
III. A∖BA \setminus B kümesi sonsuz elemanlıdır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III ifadeleri doğrudur.
I. ifade doğrudur, çünkü karesi ve küpü rasyonel olan bir sayı, bu iki değerin birbirine bölünmesiyle rasyonel olarak ifade edilebilir. III. ifade doğrudur, çünkü her pp asal sayısı için p\sqrt{p} sayısının karesi rasyonel (pp) iken küpü irrasyoneldir (ppp\sqrt{p}). Bu durum sonsuz elemanlı bir küme tanımlar. Bu nedenle I ve III ifadelerinin birlikte yer aldığı seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
I. ifadenin doğruluğunu kontrol etmek için kesişim kümesini inceleyelim.
A∩B=QA \cap B = \mathbb{Q} eşitliği elde edilir.
Herhangi bir x∈Qx \in \mathbb{Q} için x2∈Qx^2 \in \mathbb{Q} ve x3∈Qx^3 \in \mathbb{Q} olacağından Q⊆A∩B\mathbb{Q} \subseteq A \cap B olur. Diğer taraftan, eğer x∈A∩Bx \in A \cap B ise x2∈Qx^2 \in \mathbb{Q} ve x3∈Qx^3 \in \mathbb{Q} olur. x=0x = 0 ise zaten rasyoneldir. x≠0x \neq 0 ise x=x3x2x = \frac{x^3}{x^2} şeklinde yazılabilir. İki rasyonel sayının bölümü de rasyonel olduğundan x∈Qx \in \mathbb{Q} olur. Dolayısıyla A∩B=QA \cap B = \mathbb{Q} doğrudur.
2
II. ifadenin doğruluğunu bir karşıt örnek ile test edelim.
İfade her zaman doğru değildir.
x=2x = \sqrt{2} ve y=3y = \sqrt{3} olsun. x2=2∈Qx^2 = 2 \in \mathbb{Q} ve y2=3∈Qy^2 = 3 \in \mathbb{Q} olduğundan x,y∈Ax, y \in A olur. Ancak (x+y)2=(2+3)2=5+26(x+y)^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6} irrasyonel olduğundan x+y∉Ax+y \notin A olur. Bu nedenle II. ifade yanlıştır.
3
III. ifadenin doğruluğunu A∖BA \setminus B kümesinin elemanlarını analiz ederek belirleyelim.
A∖BA \setminus B kümesi sonsuz elemanlıdır.
A∖BA \setminus B kümesi, karesi rasyonel olup küpü rasyonel olmayan gerçel sayıları içerir. Her pp asal sayısı için x=px = \sqrt{p} sayısı seçildiğinde x2=p∈Qx^2 = p \in \mathbb{Q} olur ancak x3=ppx^3 = p\sqrt{p} sayısı p\sqrt{p} irrasyonel olduğundan rasyonel değildir. Sonsuz sayıda asal sayı olduğundan bu özelliğe uyan sonsuz sayıda xx gerçel sayısı vardır. Dolayısıyla III. ifade doğrudur.

Key Concept

Sayı kümeleri ve rasyonel/irrasyonel sayıların cebirsel işlemler altındaki kapalılık özellikleri.
Estimated Time:2m 30s
Question 52Question →

Sayı kümeleriyle ilgili;

I. Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.
II. En küçük doğal sayı 11'dir.
III. Her rasyonel sayı aynı zamanda bir gerçek (reel) sayıdır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III
Birinci ifadede belirtildiği gibi her tam sayı paydasına 1 yazılarak rasyonel sayı biçiminde gösterilebilir, yani her tam sayı bir rasyonel sayıdır. İkinci ifadede belirtilen en küçük doğal sayı 1 değil, 0'dır; bu yüzden ikinci ifade yanlıştır. Üçüncü ifadede belirtildiği gibi rasyonel sayılar kümesi gerçek sayılar kümesinin bir alt kümesidir, dolayısıyla her rasyonel sayı bir gerçek sayıdır. Bu nedenlerle doğru olan ifadeler birinci ve üçüncü ifadelerdir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci ifadeyi analiz etme.
Her aa tam sayısı için a=a1a = \frac{a}{1} yazılabildiğinden, her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Bu nedenle birinci ifade doğrudur.
Tam sayılar kümesinin rasyonel sayılar kümesinin bir alt kümesi (Z⊂Q\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}) olduğunu doğrulamak.
2
İkinci ifadeyi analiz etme.
Doğal sayılar kümesi N={0,1,2,3,… }\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} şeklindedir ve en küçük elemanı 00'dır. Bu nedenle ikinci ifade yanlıştır.
En küçük doğal sayının 00 olduğunu belirlemek.
3
Üçüncü ifadeyi analiz etme.
Rasyonel sayılar kümesi gerçek (reel) sayılar kümesinin alt kümesidir (Q⊂R\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}). Dolayısıyla her rasyonel sayı aynı zamanda bir gerçek sayıdır ve üçüncü ifade doğrudur.
Rasyonel sayılar ile gerçek sayılar arasındaki alt küme ilişkisini doğrulamak.

Key Concept

Sayı Kümeleri Tanımları ve Alt Küme İlişkileri
Question 53Question →

Sayı kümeleri arasındaki ilişkileri inceleyen bir öğrenci; doğal sayılar (N\mathbb{N}), tam sayılar (Z\mathbb{Z}), rasyonel sayılar (Q\mathbb{Q}) ve irrasyonel sayılar (Q′\mathbb{Q}') kümelerinin elemanlarını belirlemek için bir çalışma yapmaktadır.

Bu öğrenci, aşağıdaki sayıları uygun sayı kümeleriyle doğru şekilde eşleştirmek istiyor:

I. −0,4-\sqrt{0,4}

II. 2,25\sqrt{2,25}

III. π3\frac{\pi}{3}

IV. 0,6‾0,\overline{6}

V. (−3)2\sqrt{(-3)^2}

Buna göre, verilen sayılardan hangileri irrasyonel sayılar (Q′\mathbb{Q}') kümesinin birer elemanıdır?

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

Verilen sayılardan −0,4-\sqrt{0,4} ve π3\frac{\pi}{3} irrasyonel sayılar olup doğru yanıt 'I ve III' seçeneğidir.
Doğru seçenek olan 'I ve III' ifadesindeki −0,4-\sqrt{0,4} sayısı karekök dışına rasyonel olarak çıkamaz ve π3\frac{\pi}{3} sayısı π\pi irrasyonel olduğu için irrasyoneldir. Diğer tüm sayılar rasyonel sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci sayıyı (−0,4-\sqrt{0,4}) analiz etme
−0,4=−410=−210-\sqrt{0,4} = -\sqrt{\frac{4}{10}} = -\frac{2}{\sqrt{10}} elde edilir. Karekök dışına tam sayı olarak çıkamayan 10\sqrt{10} ifadesi nedeniyle bu sayı irrasyoneldir (−0,4∈Q′-\sqrt{0,4} \in \mathbb{Q}').
Ondalık kesrin karekökünün rasyonel olup olmadığını belirlemek.
2
İkinci sayıyı (2,25\sqrt{2,25}) analiz etme
2,25=225100=1510=1,5\sqrt{2,25} = \sqrt{\frac{225}{100}} = \frac{15}{10} = 1,5 elde edilir. İki tam sayının oranı şeklinde yazılabildiği için bu sayı rasyoneldir (2,25∈Q\sqrt{2,25} \in \mathbb{Q}).
Karekök içerisindeki ondalık sayının rasyonel bir sayıya eşit olup olmadığını kontrol etmek.
3
Üçüncü sayıyı (π3\frac{\pi}{3}) analiz etme
π\pi sayısı irrasyonel bir sayı olduğundan, bu sayının sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü olan π3\frac{\pi}{3} sayısı da irrasyoneldir (π3∈Q′\frac{\pi}{3} \in \mathbb{Q}').
İrrasyonel bir sayının rasyonel bir sayıya oranının irrasyonelliğini incelemek.
4
Dördüncü sayıyı (0,6‾0,\overline{6}) analiz etme
0,6‾=69=230,\overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} elde edilir. Her devirli ondalık sayı rasyonel sayı olarak yazılabildiğinden bu sayı rasyoneldir (0,6‾∈Q0,\overline{6} \in \mathbb{Q}).
Devirli ondalık sayıların rasyonel sayı tanımına uygunluğunu kontrol etmek.
5
Beşinci sayıyı ((−3)2\sqrt{(-3)^2}) analiz etme
(−3)2=∣−3∣=3\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3 elde edilir. 33 sayısı bir doğal sayı ve tam sayı olduğundan rasyoneldir ((−3)2∈Q\sqrt{(-3)^2} \in \mathbb{Q}).
Çift dereceden kök içindeki üslü ifadenin mutlak değer dışına çıkarılarak rasyonelliğinin değerlendirilmesi.

Key Concept

Rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki temel farklar ve sayı kümelerinin tanımları.
Estimated Time:2m 0s
Question 54Question →

aa, bb, cc ve dd sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

a∈Za \in \mathbb{Z}
b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}
c∈R∖Qc \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
d∈Nd \in \mathbb{N}

olduğu bilinmektedir.

Buna göre;

I. a⋅ca \cdot c
II. b+cb + c
III. c2c^2
IV. ca+b\frac{c}{a + b}
V. c⋅(a+d)c \cdot (a + d)
VI. bd+c\frac{b}{d} + c

ifadelerinden kaç tanesinin değeri kesinlikle bir irrasyonel sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Verilen ifadelerden I, II, IV ve VI olmak üzere toplam 4 tanesinin değeri kesinlikle bir irrasyonel sayıdır.
I, II, IV ve VI numaralı ifadeler rasyonel ve irrasyonel sayıların temel aritmetik kuralları gereği her zaman irrasyonel sayı belirtir. III numaralı ifade kök derecesine bağlı olarak rasyonel değer alabilir. V numaralı ifade ise değişkenlerin zıt işaretli seçilmesi durumunda sıfıra eşitlenerek rasyonel değer alabilir.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenlerin sayı kümelerini ve özelliklerini belirleme
aa s��fırdan farklı bir tam sayı (rasyonel), bb tam sayı olmayan bir rasyonel sayı, cc irrasyonel sayı ve dd sıfırdan farklı bir doğal sayı olduğundan pozitif bir tam sayıdır.
İfadelerin irrasyonel olma durumlarını doğru analiz edebilmek için her bir değişkenin ait olduğu kümeyi ve alabileceği değer sınırlarını netleştirmemiz gerekir.
2
I, II ve VI. ifadelerin analizi
I. a⋅ca \cdot c: Sıfırdan farklı rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir. II. b+cb + c: Rasyonel sayı ile irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. VI. bd+c\frac{b}{d} + c: İki rasyonel sayının bölümü olan bd\frac{b}{d} rasyoneldir; rasyonel sayı ile irrasyonel cc sayısının toplamı her zaman irrasyoneldir.
Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin kapalılık özelliklerini uygularız.
3
III ve IV. ifadelerin analizi
III. c2c^2: c=2c = \sqrt{2} (irrasyonel) için c2=2c^2 = 2 (rasyonel) olur; fakat c=24c = \sqrt[4]{2} (irrasyonel) için c2=2c^2 = \sqrt{2} (irrasyonel) olur. Kesinlik yoktur. IV. ca+b\frac{c}{a+b}: aa tam sayı ve bb tam sayı olmayan rasyonel olduğundan toplamları a+ba+b rasyoneldir ve asla tam sayı (ve dolayısıyla 0) olamaz. İrrasyonel bir sayının sıfırdan farklı rasyonel bir sayıya bölümü her zaman irrasyoneldir.
Köklü ifadelerin kuvvetlerini ve paydanın sıfır olmama güvencesini inceleriz.
4
V. ifadenin analizi
V. c⋅(a+d)c \cdot (a + d): a∈Za \in \mathbb{Z} ve d∈Z+d \in \mathbb{Z}^+ olduğundan, a=−da = -d seçilebilir (örneğin a=−2a = -2 ve d=2d = 2). Bu durumda a+d=0a+d = 0 olur ve c⋅0=0c \cdot 0 = 0 (rasyonel sayı) elde edilir. Dolayısıyla kesinlikle irrasyonel değildir.
Zıt işaretli tam sayıların toplamının sıfır olabilme uç durumunu test ederiz.

Key Concept

Sayı Kümeleri
Question 55Question →
xx bir tam sayı olmak üzere,
24x\frac{24}{x}
ifadesi bir doğal sayıya eşittir.
Buna göre, xx'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

İfadenin sonucunun bir doğal sayı olması için xx sayısının 24'ün pozitif tam sayı bölenleri olması gerekir. Bu değerler 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24 olmak üzere toplam 8 tanedir.
24x\frac{24}{x} ifadesinin bir doğal sayı olabilmesi için sonucun sıfırdan büyük veya eşit bir tam sayı olması gerekir. 24 sıfırdan farklı olduğundan sonuç pozitif bir tam sayı olmalıdır. Dolayısıyla xx sayısı 24'ün pozitif tam sayı bölenleri olan 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 değerlerini alabilir, bu da toplamda 8 farklı değer demektir.

Step-by-Step Solution

1
Doğal sayı tanımını kullanarak ifadenin alabileceği değer aralığını belirleme.
24x>0\frac{24}{x} > 0 ve 24x∈Z+\frac{24}{x} \in \mathbb{Z}^+ olmalıdır.
Doğal sayılar negatif olamaz ve 24 sıfırdan farklı olduğu için sonuç sıfır olamaz.
2
xx tam sayısının özelliklerini belirleme.
xx sayısı 24'ün pozitif bölenleri olmalıdır.
İfadenin sonucunun pozitif bir tam sayı çıkması için bölenin de pozitif olması gerekir.
3
24'ün pozitif bölenlerini yazıp sayma.
x∈{1,2,3,4,6,8,12,24}x \in \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} olup 8 farklı değer vardır.
Bu kümedeki her eleman 24'ü tam böler.

Key Concept

Sayı kümelerinin (tam sayılar ve doğal sayılar) özellikleri ve elemanlarının ayırt edilmesi
Estimated Time:1m 0s
Question 56Question →

Elemanları gerçel sayılardan oluşan AA kümesi,

A={−82,  0,  9,  154,  −5}A = \left\{ -\frac{8}{2}, \,\, 0, \,\, \sqrt{9}, \,\, \frac{15}{4}, \,\, -\sqrt{5} \right\}

olarak veriliyor.

Buna göre, AA kümesinin elemanlarından kaç tanesi birer tam sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Kümedeki tam sayılar −82=−4-\frac{8}{2} = -4, 00 ve 9=3\sqrt{9} = 3 olmak üzere 3 tanedir.
Kümedeki elemanlar tek tek incelendiğinde; −82=−4-\frac{8}{2} = -4 olup bir tam sayıdır. 00 bir tam sayıdır. 9=3\sqrt{9} = 3 olup bir tam sayıdır. Buna karşın, 154\frac{15}{4} tam bölünmediği için tam sayı değildir. −5-\sqrt{5} ise kök dışına tam çıkamadığı için irrasyonel sayıdır ve tam sayı değildir. Dolayısıyla kümede tam sayı olan 3 eleman bulunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Kümedeki her bir elemanın sayı kümelerindeki yerini belirlemek için ifadeleri sadeleştirelim.
−82=−4-\frac{8}{2} = -4, 00, 9=3\sqrt{9} = 3, 154\frac{15}{4} ve −5-\sqrt{5}.
İfadelerin tam sayı olup olmadığını belirlemek için en sade hallerini bulmamız gerekir.
2
Elde edilen sadeleşmiş değerlerden tam sayılar kümesine (Z\mathbb{Z}) ait olanları belirleyelim.
−4-4, 00 ve 33 sayıları tam sayıdır.
Tam sayılar kümesi Z={…,−2,−1,0,1,2,… }\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} şeklindedir; hem negatif hem pozitif tam sayıları ve sıfırı kapsar.
3
Geriye kalan elemanların neden tam sayı olmadığını açıklayalım.
154\frac{15}{4} rasyonel sayısı bir tam sayı değildir, −5-\sqrt{5} ise irrasyonel bir sayıdır.
Payı paydasına tam bölünmeyen kesirler ve tam kare olmayan köklü sayılar tam sayı belirtmez.

Key Concept

Bir sayının tam sayılar kümesine ait olup olmadığını belirleme
Estimated Time:1m 0s
Question 57Question →

Bir dağcılık kulübü, deniz seviyesinden yükseklikleri metre cinsinden birer tam sayı olan üç farklı kamp noktası belirlemiştir. Bu kamp noktalarının yükseklikleri olan aa, bb ve cc değerleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* aa ve bb noktalarının yükseklikleri negatif tam sayılardır.
* cc noktasının yüksekliği pozitif bir tam sayıdır.
* Kamp noktalarının yükseklikleri arasında a<b<ca < b < c sıralaması vardır.
* Bu üç yüksekliğin çarpımı a⋅b⋅c=72a \cdot b \cdot c = 72 dir.

Buna göre, bu üç kamp noktasının yükseklikleri toplamı olan a+b+ca + b + c ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 33

Answer

Kamp noktalarının yükseklikleri toplamının alabileceği en büyük değer 33 metredir.
Verilen koşullarda toplamı en büyük yapmak için pozitif olan cc sayısı olabildiğince büyük seçilmelidir. c=36c = 36 seçildiğinde, çarpımları 2 olan ve a<b<0a < b < 0 koşulunu sağlayan negatif tam sayılar a=−2a = -2 ve b=−1b = -1 olarak bulunur. Bu durumda toplam −2+(−1)+36=33-2 + (-1) + 36 = 33 olur.

Step-by-Step Solution

1
Sayı kümelerini ve işaretlerini tanımlama
a,b∈Z−a, b \in \mathbb{Z}^- ve c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+ ve a<b<ca < b < c
Soruda verilen negatif tam sayı ve pozitif tam sayı tanımlarını matematiksel sembollerle ifade etmek için.
2
Çarpım denklemini analiz etme
a⋅b⋅c=72a \cdot b \cdot c = 72 ve a⋅b>0a \cdot b > 0
İki negatif tam sayının çarpımının pozitif olduğunu belirleyerek cc sayısının çarpanlarını sınırlandırmak için.
3
cc için en büyük değeri arama ve a,ba, b değerlerini belirleme
c=36c = 36 iken a⋅b=2a \cdot b = 2 olur, buradan a=−2a = -2 ve b=−1b = -1 bulunur.
Toplamı maksimize etmek için pozitif olan cc terimini en büyük seçip, a<b<0a < b < 0 eşitsizliğine uyan farklı negatif tam sayıları bulmak için.
4
En büyük toplam değerini hesaplama
a+b+c=−2+(−1)+36=33a + b + c = -2 + (-1) + 36 = 33
Elde edilen en büyük değerler ile toplam sonucuna ulaşmak için.

Key Concept

Tam sayılar kümesinde pozitiflik, negatiflik, sıralama ve çarpan analizi
Estimated Time:1m 30s
Question 58Question →

Karesi kendisinden küçük olan bir xx gerçel sayısı veriliyor.

Buna göre, xx sayısı aşağıdaki sayı kümelerinden hangisinin kesinlikle bir elemanı olamaz?

Show answer & explanation

Answer: Tam sayılar kümesi

Answer

Tam sayılar kümesi
Karesi kendisinden küçük olan sayılar 0<x<10 < x < 1 aralığındadır. Bu açık aralıkta hiçbir tam sayı bulunmadığından, xx sayısı tam sayılar kümesinin bir elemanı olamaz.

Step-by-Step Solution

1
Karesi kendisinden küçük olan gerçel sayıların aralığı belirlenir.
x2<xx^2 < x eşitsizliğinin çözüm kümesi 0<x<10 < x < 1 açık aralığıdır.
Bir gerçel sayının karesinin kendisinden küçük olması, o sayının 0 ile 1 arasında olduğunu gösterir.
2
Elde edilen aralığın tam sayılar kümesiyle olan ilişkisi incelenir.
0 ile 1 açık aralığında hiçbir tam sayı bulunmaz.
Ardışık iki tam sayı (0 ve 1) arasında başka bir tam sayı yer alamaz. Dolayısıyla bu aralıktaki bir sayı tam sayı olamaz.

Key Concept

Sayı Kümeleri ve Aralık İlişkisi
Estimated Time:45s
Question 59Question →

Aşağıda üç farklı sayı kümesi tanımlanmıştır:

* AA: Pozitif olmayan tam sayılar kümesi
* BB: Pozitif olmayan rasyonel sayılar kümesi
* CC: İrrasyonel sayılar kümesi

Bu kümelerden sırasıyla aa, bb ve cc elemanları seçiliyor.

Buna göre;

I. a⋅ba \cdot b çarpımı her zaman pozitif bir rasyonel sayıdır.

II. b⋅cb \cdot c çarpımı sıfır olabilir.

III. a+ca + c toplamı her zaman bir irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: II ve III

Answer

İkinci ve üçüncü öncüllerin doğru, birinci öncülün ise yanlış olduğu seçenektir.
Doğru olan seçenekte II ve III numaralı öncüller yer almaktadır. Çünkü pozitif olmayan rasyonel sayılar kümesinde bulunan 0 elemanı, bir irrasyonel sayı ile çarpıldığında sonucu 0 (rasyonel sayı) yapar, bu da çarpımın sıfır olabileceğini doğrular. Ayrıca, her tam sayı aynı zamanda rasyonel olduğundan, rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı daima irrasyoneldir. Birinci öncül ise elemanlardan birinin 0 seçilmesi durumunda çarpımı 0 yapacağından ve 0 pozitif olmadığından her zaman doğru değildir.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin eleman yapılarını analiz etmek ve sınır koşullarını belirlemek.
AA kümesi {0,−1,−2,… }\{0, -1, -2, \dots\} tam sayılarından; BB kümesi negatif rasyonel sayılar ile 00 sayısından oluşur. CC kümesi ise 2,π\sqrt{2}, \pi gibi irrasyonel sayılardan oluşur.
Soruda verilen öncülleri test etmek için kümelerin hangi sayıları barındırdığını netleştirmeliyiz.
2
Birinci öncülü test etmek.
a⋅ba \cdot b ifadesinde a=0∈Aa = 0 \in A veya b=0∈Bb = 0 \in B seçilirse çarpım 00 olur. Sıfır sayısı pozitif olmadığı için öncül her zaman doğru değildir.
Çarpımın daima pozitif rasyonel sayı olup olmadığını belirlemek için nötr eleman olan sıfırın etkisini inceleriz.
3
İkinci öncülü test etmek.
b=0∈Bb = 0 \in B seçilirse, irrasyonel herhangi bir c∈Cc \in C sayısı için b⋅c=0⋅c=0b \cdot c = 0 \cdot c = 0 olur. Sıfır bir rasyonel sayıdır ve çarpım sıfır olabilir. Öncül doğrudur.
Rasyonel sayı kümesindeki sıfır elemanının irrasyonel sayıyla çarpımının sonucunu değerlendirmek.
4
Üçüncü öncülü test etmek.
aa tam sayısı bir rasyonel sayıdır (A⊂Z⊂QA \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}). Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. Öncül doğrudur.
Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin toplama işlemine göre kapalılık/ilişki özelliklerini kullanmak.

Key Concept

Sayı kümelerinin özellikleri, rasyonel ve irrasyonel sayılarda toplama ve çarpma işlemleri ile sıfırın nötr karakteri.
Question 60Question →

Bir laboratuvardaki hassas termometre, bir deney kabının sıcaklığını günün üç farklı saatinde sırasıyla aa, bb ve cc °C olarak ölçmüştür.

Sıcaklık değerleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* aa bir negatif tam sayıdır (a∈Z−a \in \mathbb{Z}^-).
* bb bir rasyonel sayı olup tam sayı değildir (b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}).
* cc bir pozitif tam sayıdır (c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+).

Bu sıcaklık değerleri arasında
a⋅b=6a \cdot b = 6
b+c=55b + c = 5{}5

bağıntıları olduğuna göre, a+ca + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -3

Answer

Sıcaklık değerlerinin toplamı olan -3
Doğru yanıt olan -3 değeri, denklem sistemini sağlayan tüm koşulların (a∈Z−a \in \mathbb{Z}^-, b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} ve c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+) doğru analiz edilmesiyle elde edilir. Bu koşullara uygun olarak bb sayısının ondalık kısmı 050{}5 olmak zorundadır. a⋅b=6a \cdot b = 6 eşitliği kullanıldığında aa negatif tam sayısının alabileceği değerler −12-12 ve −4-4 olarak bulunur. Bu değerlere karşılık gelen cc değerleri sırasıyla 66 ve 77 olup, a+ca+c toplamları −6-6 ve 33 bulunur. Bu değerlerin toplamı −3-3'tür.

Step-by-Step Solution

1
b sayısının biçimini belirleme
b+c=55b + c = 5{}5 ve c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+ olduğundan b=55−cb = 5{}5 - c olur. cc bir tam sayı olduğundan bb rasyonel sayısının ondalık kısmı mutlaka 050{}5 olmalıdır. Yani b=p2b = \frac{p}{2} formundadır (burada pp tek bir tam sayıdır).
cc tam sayı olduğu için bb sayısı yarı-tam (ondalık kısmı 0,5 olan) bir sayı olmak zorundadır.
2
a ve b bağıntısını kullanarak olası değerleri bulma
a⋅b=6  ⟹  a⋅p2=6  ⟹  a⋅p=12a \cdot b = 6 \implies a \cdot \frac{p}{2} = 6 \implies a \cdot p = 12 elde edilir. a∈Z−a \in \mathbb{Z}^- olduğundan hem aa hem de pp negatif olmalıdır. pp tek sayı olduğundan, 1212 sayısının negatif tek bölenleri p=−1p = -1 veya p=−3p = -3 olabilir.
aa tam sayısı negatif olduğu için çarpımı 1212 yapan negatif tek tam sayı bölenlerini ararız.
3
Her iki durum için a, b ve c değerlerini hesaplayıp a + c toplamını bulma
1. Durum: p=−1p = -1 ise a=−12a = -12 olur. b=−05b = -0{}5 olur. Bu durumda c=55−(−05)=6c = 5{}5 - (-0{}5) = 6 (pozitif tam sayıdır). Buradan a+c=−12+6=−6a + c = -12 + 6 = -6 elde edilir.
2. Durum: p=−3p = -3 ise a=−4a = -4 olur. b=−15b = -1{}5 olur. Bu durumda c=55−(−15)=7c = 5{}5 - (-1{}5) = 7 (pozitif tam sayıdır). Buradan a+c=−4+7=3a + c = -4 + 7 = 3 elde edilir.
Olası pp değerlerine göre denklem sisteminin tüm değişkenlerini bulmak ve istenen toplamı hesaplamak için.
4
Bulunan toplamların genel toplamını alma
a+ca + c toplamının alabileceği farklı değerler −6-6 ve 33 olup, bunların toplamı −6+3=−3-6 + 3 = -3 bulunur.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Sayı kümelerinin tanımları ve elemanlarının özelliklerinin denklem çözümlerinde sınırlandırıcı olarak kullanılması.
Estimated Time:2m 0s
PreviousPage 3 / 6Next
Sayı Kümeleri Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 3 | Examkin