Mantık Problemleri Alıştırma Soruları — ALES

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $\blacktriangle$ işlemi,

a \blacktriangle b = (a + 1) \cdot (b - 1)

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

x \blacktriangle 4 = 24

eşitliğini sağlayan

x

değeri kaçtır?

5

8

9

21

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7

Tanımlanan kurala göre birinci bileşenin 1 fazlası ile ikinci bileşenin 1 eksiği çarpılmalıdır.

x \blacktriangle 4 = 24

eşitliğinde bu kural uygulandığında

(x + 1) \cdot (4 - 1) = 24

elde edilir. Buradan

(x + 1) \cdot 3 = 24

ve

x + 1 = 8

bulunarak

x = 7

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Tanımlanan

\blacktriangle

işlemini

x

ve

4

değerleri için uygulamak üzere eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi düzenleyin.

x \blacktriangle 4 = (x + 1) \cdot (4 - 1) = (x + 1) \cdot 3

İşlem tanımında birinci bileşenin (

a

) yerine

x

, ikinci bileşenin (

b

) yerine

4

yazılması gerektiği için.

2

Elde edilen ifadeyi verilen eşitliğe eşitleyerek bir bilinmeyenli denklemi çözün.

(x + 1) \cdot 3 = 24 \Rightarrow x + 1 = 8

Eşitliğin her iki tarafını da 3'e bölerek parantez dışındaki çarpanı sadeleştirmek için.

3

x

değerini yalnız bırakın.

x = 7

x + 1 = 8

denkleminde eşitliğin her iki tarafından 1 çıkararak

x

'i bulmak için.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı operatörlerde değişkenlerin yerlerine doğru sırayla yerleştirilmesi ve işlem önceliğine dikkat edilerek denklemin çözülmesi

Tahmini Süre:45s

Soru 2Soru →

Bir okulda düzenlenen koşu yarışına Ahmet, Burak, Ceren, Doruk, Emre ve Fuat katılmıştır. Sporcuların yarışı tamamlama sıralarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Ceren yarışı Burak'tan hemen sonra tamamlamıştır.
* Ahmet yarışı sonuncu ( $6.$ ) sırada tamamlamamıştır.
* Doruk yarışı sonuncu ( $6.$ ) sırada tamamlamamıştır.
* Doruk ile Emre arasında yarışı tamamlayan tam $2$ kişi vardır.
* Eğer Doruk yarışı Emre'den daha önce tamamladıysa, Burak yarışı $5.$ sırada tamamlamıştır.

Buna göre, Doruk'un yarışı Ceren'den hemen sonra tamamladığı biliniyorsa, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Emre yarışı ilk sırada tamamlamıştır.

Ahmet yarışı ilk sırada tamamlamıştır.

Burak yarışı ikinci sırada tamamlamıştır.

Fuat yarışı sonuncu sırada tamamlamıştır.

Doruk yarışı dördüncü sırada tamamlamıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Fuat yarışı sonuncu sırada tamamlamıştır.

Cevap

Fuat yarışı sonuncu sırada tamamlamıştır.

Doruk'un Ceren'den hemen sonra yarışı tamamladığı bilindiğinde, (Emre, Burak, Ceren, Doruk) şeklinde 4'lü bir blok oluşur. Bu bloğun kalan boşluklara ve diğer kurallara göre yerleşimi incelendiğinde sadece iki geçerli sıralama elde edilir: 'Emre, Burak, Ceren, Doruk, Ahmet, Fuat' ve 'Ahmet, Emre, Burak, Ceren, Doruk, Fuat'. Her iki durumda da yarışı sonuncu sırada tamamlayan kişi kesinlikle Fuat'tır.

Adım Adım Çözüm

1

Öncüllerden elde edilen temel blokları oluşturun.

Ceren yarışı Burak'tan hemen sonra tamamladığı için

(Burak, Ceren)

yan yana olmalıdır. Ayrıca soruda Doruk'un Ceren'den hemen sonra yarışı tamamladığı belirtilmiştir. Bu durumda

(Burak, Ceren, Doruk)

şeklinde üçlü bir blok elde edilir.

Kişilerin birbirlerine göre konumlarını sabitlemek için bu bloklar gereklidir.

2

Doruk ve Emre arasındaki ilişkiyi inceleyin.

Doruk ile Emre arasında tam

2

kişi bulunmal��dır. Elde ettiğimiz

(Burak, Ceren, Doruk)

bloğuna göre Doruk'un solunda iki kişi (Burak ve Ceren) vardır. Dolayısıyla Emre bu bloğun hemen solunda olmalıdır ve

(Emre, Burak, Ceren, Doruk)

şeklinde

4

'lü bir blok oluşur. Diğer ihtimalde Doruk'un sağındaki iki kişiden sonra Emre yer alır:

(Burak, Ceren, Doruk, \_, \_, Emre)

şeklinde

6

'lı bir yerleşim oluşur.

Doruk ve Emre arasındaki mesafe kuralını uygulamak için.

3

Koşullu öncülü test ederek ihtimalleri eleyin.

Eğer Doruk yarışı Emre'den önce bitirdiyse (

D < E

), Burak

5.

sırada olmalıdır. Ancak

(Burak, Ceren, Doruk, \_, \_, Emre)

durumunda

D < E

'dir ve Burak

1.

sıradadır. Bu durum koşulla çeliştiği için elenir. Dolayısıyla Emre yarışı Doruk'tan önce bitirmelidir (

E < D

) ve oluşan blok kesinlikle

(Emre, Burak, Ceren, Doruk)

şeklindedir.

Hatalı olasılıkları elemek ve geçerli sıralama düzenini belirlemek için.

4

Kalan kişileri (Ahmet ve Fuat) yerleştirin ve sınır koşullarını uygulayın.

(Emre, Burak, Ceren, Doruk)

bloğu

6

kişilik sıralamada iki farklı şekilde yer alabilir: 1. Durum:

E(1), B(2), C(3), D(4)

, Ahmet ve Fuat (

5

ve

6

). Ahmet

6.

olamayacağından Ahmet

5.

, Fuat

6.

olur. 2. Durum: Ahmet(

1

),

E(2), B(3), C(4), D(5)

, Fuat(

6

). Ahmet

1.

, Fuat

6.

olur. Üçüncü durum olan

D(6)

elendiği için sadece bu iki durum geçerlidir. Her iki durumda da Fuat yarışı sonuncu (

6.

) sırada tamamlar.

Tüm olasılıkları belirleyip kesin doğru sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Sıralama Problemleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3Soru →

Dört sporcunun katıldığı bir tenis turnuvasında her sporcu diğer sporcularla birer kez karşılaşmıştır. Bu turnuvada galip gelen sporcu $3$ puan kazanmakta, mağlup olan sporcu ise puan alamamaktadır (teniste beraberlik yoktur).

Buna göre, turnuva sonunda tüm sporcuların aldığı puanların toplamı kaçtır?

9

12

18

24

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Turnuva sonunda tüm sporcuların aldığı toplam puan 18'dir.

Turnuvada 4 sporcu yer almaktadır ve her biri diğeriyle birer kez karşılaşmaktadır. Bu durumda toplam maç sayısı kombinasyon formülüyle

\binom{4}{2} = 6

olarak hesaplanır. Teniste beraberlik olmadığı için her maçta bir kazanan ve bir kaybeden olacaktır. Kazanana

3

, kaybedene

0

puan verildiğine göre, her maçta oyunculara toplamda

3

puan dağıtılmaktadır. Toplam 6 maç yapıldığı için turnuva genelinde dağıtılan toplam puan

6 \times 3 = 18

olacaktır. Dolayısıyla 18 puanı belirten seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Turnuvadaki toplam maç sayısını hesaplama

Toplam maç say��sı

\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6

olarak bulunur.

4 sporcunun her biri diğeriyle birer kez karşılaştığı için kombine maç sayısını bulmamız gerekir.

2

Bir maçta dağıtılan toplam puanı belirleme

Her bir maçta

3 + 0 = 3

puan dağıtılır.

Her maçın bir kazananı (

3

puan) ve bir kaybedeni (

0

puan) vardır.

3

Turnuva sonundaki toplam puanı hesaplama

6 \times 3 = 18

puan elde edilir.

Yapılan 6 maçın her birinden sporculara toplam 3 puan dağıtılacağı için toplam puan maç sayısı ile maç başına puanın çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Tek devreli lig usulü turnuvalarda toplam maç sayısı ve toplam puan hesabı

Soru 4Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlanan $\ast$ işlemi, her $x$ ve $y$ sayısı için

x \ast y = \begin{cases} 3x - y, & x \geq y \\ x + 2y, & x < y \end{cases}

eşitliğiyle belirlenmiştir.

Buna göre, $(2 \ast 3) \ast 4$ ifadesinin değeri kaçtır?

11

16

18

20

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

20

Doğru cevap 20'dir.

(2 \ast 3) \ast 4

işleminde öncelikle parantez içindeki

2 \ast 3

hesaplanır.

2 < 3

olduğu için ikinci kural uygulanarak

2 + 2 \times 3 = 8

bulunur. Daha sonra elde edilen bu değerle

8 \ast 4

işlemi gerçekleştirilir.

8 \geq 4

olduğu için birinci kural uygulanarak

3 \times 8 - 4 = 20

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Parantez içindeki

2 \ast 3

işlemini hesaplayın.

2 \ast 3 = 8

Burada

x = 2

ve

y = 3

olup,

2 < 3

koşulu sağlandığı için ikinci satırdaki

x + 2y

kuralı uygulanır:

2 + 2 \times 3 = 8

olur.

2

Elde edilen sonuçla dıştaki sayıyı işleme sokarak

8 \ast 4

işlemini hesaplayın.

8 \ast 4 = 20

Burada

x = 8

ve

y = 4

olup,

8 \geq 4

koşulu sağlandığı için birinci satırdaki

3x - y

kuralı uygulanır:

3 \times 8 - 4 = 24 - 4 = 20

olur.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler

İpuçları

1

Öncelikle parantez içindeki işlemi yaparak başlayın.

2

Her adımda işleme giren sayıların büyüklük ilişkisini kontrol ederek hangi satırdaki kuralı uygulayacağınızı belirleyin.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 5Soru →

Bir sinema salonuna sırayla giren Aslı, Bora, Cenk, Defne ve Elif isimli beş kişinin giriş sıralarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Bora, Aslı'dan hemen sonra girmiştir.
* Defne, ilk veya son sırada girmemiştir.
* Cenk, Elif'ten daha önce girmiştir.
* Eğer Elif üçüncü sırada girmişse, Cenk birinci sırada girmiştir.

Buna göre, Aslı dördüncü sırada girmişse, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cenk birinci sırada girmiştir.

Defne ikinci sırada girmiştir.

Elif üçüncü sırada girmiştir.

Elif ikinci sırada girmiştir.

Defne üçüncü sırada girmiştir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Cenk birinci sırada girmiştir.

Cevap

Cenk'in birinci sırada girdiği ifadesi kesinlikle doğrudur.

Aslı dördüncü sırada girdiğinde, hemen ardındaki Bora beşinci sırada girmek zorundadır. İlk ve son sırada giremeyen Defne bu durumda yalnızca ikinci veya üçüncü sırada yer alabilir. Cenk'in Elif'ten önce girdiği bilindiğine göre, kalan boş yerlerden en erken olanına Cenk yerleşmelidir. Defne ikinci sırada da olsa üçüncü sırada da olsa Cenk her iki ihtimalde de birinci sırada girer.

Adım Adım Çözüm

1

Aslı'nın dördüncü sırada girdiği varsayımını kullanarak Bora'nın sırasını bulma.

Bora beşinci sırada girmiştir.

Bora'nın Aslı'dan hemen sonra girdiği bilinmektedir. Aslı dördüncü sırada ise Bora beşinci sıradadır.

2

Defne'nin girebileceği sıraları belirleme.

Defne ikinci veya üçüncü sırada girmiştir.

Defne birinci veya sonuncu (beşinci) sırada giremez. Dördüncü ve beşinci sıralar dolu olduğundan Defne için sadece ikinci ve üçüncü sıralar kalır.

3

Kalan iki sıraya Cenk ve Elif'i yerleştirerek olası durumları inceleme.

Her iki durumda da Cenk birinci sırada yer alır.

Cenk, Elif'ten önce girmelidir. Defne ikinci sıradaysa boşta kalan birinci ve üçüncü sıralara sırasıyla Cenk ve Elif yerleşir (Elif üçüncü sırada olduğundan 'Elif üçüncü sıradaysa Cenk birinci sıradadır' koşulu da sağlanır). Defne üçüncü sıradaysa boşta kalan birinci ve ikinci sıralara sırasıyla Cenk ve Elif yerleşir. Dolayısıyla Cenk her halükarda birinci sırada girer.

Anahtar Kavram

Sıralama problemlerinde belirli ve değişken durumları ayrıştırarak olasılık tablosu oluşturma.

Soru 6Soru →

Bir $f$ fonksiyonu, her $n$ pozitif tam sayısı için

f(1) = 1

f(2n) = f(n) + 1

f(2n+1) = f(n)

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(x) = 5$ eşitliğini sağlayan en küçük $x$ pozitif tam sayısı kaçtır?

20

24

16

31

32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

En küçük pozitif tam sayı 16'dır.

Soruda verilen fonksiyon kuralları incelendiğinde, fonksiyonun her adımda sayıyı 2'ye böldüğü (ikilik tabanda bir basamak sola kaydırdığı) görülür. Eğer sayı çift ise (

2n

formundaysa) fonksiyon değeri 1 artmakta, tek ise (

2n+1

formundaysa) değişmemektedir. Bu durum, fonksiyonun girdi olarak aldığı sayının ikilik tabandaki yazımındaki '0' rakamlarının sayısının 1 fazlasını verdiğini gösterir.

f(x) = 5

olması için sayının ikilik gösteriminde 4 adet sıfır olmalıdır. Bu şartı sağlayan en küçük sayı

10000_2 = 16

değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Küçük değerler için fonksiyonun sonuçlarını hesaplayarak davranışı gözlemleyelim.

f(1) = 1

,

f(2) = f(1) + 1 = 2

,

f(3) = f(1) = 1

,

f(4) = f(2) + 1 = 3

,

f(5) = f(2) = 2

,

f(6) = f(3) + 1 = 2

,

f(7) = f(3) = 1

,

f(8) = f(4) + 1 = 4

olarak bulunur.

Fonksiyonun kurallarındaki örüntüyü tespit etmek.

2

Elde edilen sonuçları, sayıların ikilik tabandaki (2'lik taban) yazımlarıyla karşılaştıralım.

1 sayısı

1_2 \implies f(1) = 1

, 2 sayısı

10_2 \implies f(2) = 2

, 3 sayısı

11_2 \implies f(3) = 1

, 4 sayısı

100_2 \implies f(4) = 3

, 8 sayısı

1000_2 \implies f(8) = 4

olur.

İkilik tabandaki yazım ile fonksiyon çıktısı arasındaki ilişkiyi kurmak.

3

Fonksiyonun genel kuralını formüle edelim.

f(x)

fonksiyonunun sonucu,

x

sayısının ikilik tabandaki yazımında yer alan '0' rakamlarının sayısının 1 fazlasıdır. Dolayısıyla,

f(x) = 5

olması için

x

sayısının ikilik yazımında tam olarak

5 - 1 = 4

tane sıfır bulunmalıdır.

f(x) = 5

denklemini sağlayan koşulu belirlemek.

4

İkilik tabanda 4 adet sıfır içeren en küçük pozitif tam sayıyı bulalım.

En küçük değeri elde etmek için basamak sayısını en az tutmalıyız. İkilik tabanda en sol basamak 1 olmak zorundadır. Bu basamağın yanına 4 adet sıfır koyarak en küçük sayıyı

10000_2

olarak elde ederiz. Bu sayının onluk tabandaki karşılığı

2^4 = 16

'dır.

Koşulu sağlayan en küçük sayının onluk tabandaki karşılığını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Özyinelemeli kurallarla tanımlanmış fonksiyonların ikilik taban (binary) analiziyle çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun kuralları tersten gidilerek de analiz edilebilir.

f(x) = 5

değerine ulaşmak için bir önceki adımda

f(y) = 4

olmalıdır. En küçük sayı hedeflendiği için her adımda sayının 2 katı alınarak (yani çift sayı kuralı işletilerek) ilerlenir.

f(1)=1 \rightarrow f(2)=2 \rightarrow f(4)=3 \rightarrow f(8)=4 \rightarrow f(16)=5

adımlarıyla en küçük sayı 16 olarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 7Soru →

Bir okulda pazartesi, salı, çarşamba, perşembe ve cuma günlerinde yapılacak olan seminerlerin konuları Matematik, Türkçe, Fizik, Kimya ve Tarih olarak belirlenmiştir. Her gün yalnızca bir seminer yapılacaktır. Seminer programıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Fizik semineri çarşamba günü yapılacaktır.
* Matematik semineri, Türkçe seminerinden hemen sonraki gün yapılacaktır.
* Tarih semineri cuma günü yapılacaktır.

Buna göre, Kimya semineri hangi gün yapılacaktır?

Pazartesi

Salı

Çarşamba

Perşembe

Cuma

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Perşembe

Cevap

Kimya semineri Perşembe günü yapılacaktır.

Fizik semineri Çarşamba, Tarih semineri ise Cuma günü yapılacaktır. Geriye boş olarak Pazartesi, Salı ve Perşembe günleri kalır. Matematik seminerinin Türkçe seminerinden hemen sonraki gün yapılabilmesi için bu iki seminerin peş peşe gelmesi gerekir. Boş günler arasında ardışık olanlar yalnızca Pazartesi ve Salı günleri olduğundan Türkçe Pazartesi, Matematik ise Salı gününe yerleştirilir. Böylece boşta kalan Perşembe gününe Kimya semineri kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Öncüllerde verilen kesin bilgileri günlere yerleştirin.

Çarşamba gününe Fizik, Cuma gününe ise Tarih semineri yerleştirilir.

Öncüllerde Fizik seminerinin çarşamba, Tarih seminerinin cuma günü yapılacağı doğrudan belirtilmiştir.

2

Kalan boş günleri ve ardışık olma koşulunu analiz edin.

Boş kalan günler Pazartesi, Salı ve Perşembe'dir. Matematik seminerinin Türkçe seminerinden hemen sonraki gün yapılabilmesi için ardışık iki boş gün bulunmalıdır.

Türkçe ve Matematik seminerleri peş peşe (Türkçe - Matematik sırasıyla) yapılmalıdır.

3

Ardışık gün kısıtlamasına göre dersleri yerleştirin ve kalan dersi bulun.

Ardışık olan tek boş gün çifti Pazartesi ve Salı olduğundan, Türkçe semineri Pazartesi, Matematik semineri Salı günü yapılır. Geriye kalan tek boş gün olan Perşembe gününe ise Kimya semineri kalır.

Tüm koşulları sağlayan tek dağılım budur.

Anahtar Kavram

Kısıtlayıcı öncüllere dayalı mantıksal eşleştirme ve ardışık sıralama analizi.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 8Soru →

Bir okulun bilim şenliğinde Fizik, Kimya, Biyoloji, Robotik ve Yazılım olmak üzere toplam $5$ farklı alanda hazırlanan projeler ardışık olarak sunulacaktır. Projelerin sunum sıralarına ilişkin bazı bilgiler şu şekildedir:

* Fizik projesi $1.$ s��rada sunulacaktır.
* Robotik projesi, Kimya projesinin hemen öncesinde sunulacaktır.
* Biyoloji projesi, Yazılım projesinin hemen sonrasında sunulacaktır.

Buna göre, Yazılım projesinin $2.$ sırada sunulduğu biliniyorsa Kimya projesinin sunum sırası aşağıdakilerden hangisidir?

Birinci

İkinci

Üçüncü

Dördünc��

Beşinci

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Beşinci

Cevap

Kimya projesi beşinci sırada sunulur.

Doğru cevap beşinci sırada sunulacağını belirten seçenektir. Fizik projesi

1.

sıraya ve Yazılım projesi soruda verilen koşul gereği

2.

sıraya yerleştirildiğinde, Biyoloji projesi Yazılım'ın hemen arkasında olacağı için

3.

sıraya gelir. Kalan

4.

ve

5.

sıralara ise, Robotik projesinin Kimya projesinden hemen önce gelmesi kuralı gereği sırasıyla Robotik (

4.

) ve Kimya (

5.

) yerleşir. Bu durumda Kimya projesi beşinci sırada sunulur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk sıradaki projeyi yerleştirme.

Fizik projesi

1.

sıraya yerleştirilir.

Öncüllerde Fizik projesinin ilk sırada sunulacağı doğrudan belirtilmiştir.

2

Yazılım ve Biyoloji projelerini yerleştirme.

Yazılım projesi

2.

sıraya, Biyoloji projesi de

3.

sıraya yerleştirilir.

Yazılım projesinin

2.

sırada sunulduğu varsayıldığından ve Biyoloji projesi Yazılım'dan hemen sonra sunulacağından Biyoloji

3.

sıraya gelmelidir.

3

Kalan boşluklara Robotik ve Kimya projelerini yerleştirme.

Robotik projesi

4.

sıraya, Kimya projesi ise

5.

sıraya yerleştirilir.

Geriye kalan

4.

ve

5.

sıralar için, Robotik projesinin Kimya'dan hemen önce sunulması koşulu uygulandığında Robotik

4.

, Kimya ise

5.

sırada yer almalıdır.

Anahtar Kavram

Doğrusal Sıralama ve Yerleştirme Mantığı

İpuçları

1

Fizik projesini birinci sıraya, Yazılım projesini de ikinci sıraya yerleştirerek başlayın.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 9Soru →

Bir otoparktaki yan yana yer alan ve $1$ 'den $6$ 'ya kadar numaralandırılmış ardışık park yerlerine $K$ , $L$ , $M$ , $N$ , $P$ ve $R$ marka araçlar park etmiştir. Bu araçların park yerlerine ilişkin bilgiler şu şekildedir:

* $P$ aracı $1.$ veya $6.$ park yerindedir.
* $M$ aracı, $N$ aracından hemen sonraki (hemen sağındaki) park yerindedir.
* $K$ ile $L$ araçları arasında tam olarak iki araç bulunmaktadır.

Buna göre, $L$ aracının $5.$ park yerinde olduğu biliniyorsa, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

R

aracı

6.

park yerindedir.

P

aracı

1.

park yerindedir.

N

aracı

3.

park yerindedir.

M

aracı

3.

park yerindedir.

R

aracı

2.

park yerindedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $N$ aracı $3.$ park yerindedir.

Cevap

N

aracının

3.

park yerinde olması

L

aracı

5.

sıradayken,

K

ile

L

arasında iki araç bulunması kuralından ötürü

K

aracı kesinlikle

2.

sıradadır.

M

ve

N

araçları yan yana (

N-M

şeklinde) olmalıdır ve boş kalan yerlerde yan yana olan tek yerler

3.

ve

4.

park yerleridir. Bu durumda

N

aracı kesinlikle

3.

sıraya yerleşmek zorundadır. Bu yüzden

N

aracının

3.

park yerinde olduğu bilgisi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

L

aracının

5.

park yerinde olduğu bilgisine dayanarak

K

aracının yerini saptamak.

K

aracı kesinlikle

2.

park yerindedir. Bu durumda taslak sıralama şu şekildedir:

\_ - K - \_ - \_ - L - \_

K

ile

L

araçları arasında tam olarak iki araç bulunması gerektiğinden,

5.

sıradaki

L

aracından sola doğru iki boşluk (

4

ve

3.

sıralar) bırakıldığında

K

aracı ancak

2.

sıraya yerleşebilir.

2

P

aracının olası konumlarına göre durumları belirlemek.

P

aracı

1.

veya

6.

park yerinde olabilir. Bu da iki farklı senaryo oluşturur.

Öncüllerde

P

aracının yalnızca bu iki konumdan birinde bulunabileceği verilmiştir.

3

Yan yana durması gereken

M

ve

N

araçlarını kalan boşluklara yerleştirmek.

Geriye kalan

1.

,

3.

,

4.

ve

6.

sıralar arasında yan yana olan tek yerler

3.

ve

4.

park yerleridir. Dolayısıyla

N

aracı

3.

sıraya,

M

aracı ise

4.

sıraya yerleşir.

M

aracı

N

aracından hemen sonra geldiği için yan yana (

N-M

) durmalıdırlar.

4

Kalan

R

aracını yerleştirerek iki olası sıralamayı tamamlamak.

Sıralama

P-K-N-M-L-R

veya

R-K-N-M-L-P

şeklinde olur. Her iki durumda da

N

aracı

3.

sıradadır.

P

aracının

1.

veya

6.

sıraya yerleşmesine göre

R

aracı da kalan son boşluğa yerleşir.

Anahtar Kavram

Sıralama Problemlerinde Olasılık Tablosu Oluşturma

Soru 10Soru →

Bir otoparkta yan yana bulunan ve $1$ 'den $5$ 'e kadar numaralandırılmış beş park yerine; kırmızı, mavi, yeşil, sarı ve beyaz renkli beş araba park edilmiştir. Arabaların park yerleriyle ilgili şunlar bilinmektedir:

* Sarı araba $1$ numaralı park yerindedir.
* Yeşil araba $4$ numaralı park yerindedir.
* Mavi araba, kırmızı arabanın hemen sağındaki park yerindedir.

Buna göre, beyaz araba kaç numaralı park yerindedir?

2

3

4

5

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Beyaz araba 5 numaralı park yerindedir.

Verilen bilgilere göre otoparktaki park yerleri

1

'den

5

'e kadar sıralandığında;

1

numaralı yerde sarı araba,

4

numaralı yerde yeşil araba bulunur. Kırmızı ve mavi arabaların yan yana (kırmızı solda, mavi sağda olacak şekilde) park edebileceği tek ardışık boşluk

2

ve

3

numaralı park yerleridir. Dolayısıyla kırmızı araba

2

, mavi araba

3

numaralı yerdedir. Geriye kalan tek boş yer olan

5

numaralı park yerine ise beyaz araba yerleşir.

Adım Adım Çözüm

1

Kesin olan bilgileri tabloya yerleştirelim.

1

numaralı park yerinde sarı,

4

numaralı park yerinde yeşil araba bulunur. Boşta kalan park yerleri

2

,

3

ve

5

'tir.

Soruda doğrudan verilen konumları sabitlemek otopark düzenini görmeyi kolaylaştırır.

2

Ardışık yerleşim koşulunu uygulayalım.

Mavi araba, kırmızı arabanın hemen sağında olduğuna göre bu iki araba yan yana durmalıdır. Boşta kalan

2

,

3

ve

5

numaralı yerler arasından yan yana olan tek ikili

2

ve

3

numaralı park yerleridir. Dolayısıyla kırmızı araba

2

numaralı, mavi araba ise

3

numaralı park yerine yerleşir.

Mavi ve kırmızı arabaların yan yana olabilmesi için otoparkta ardışık iki boş yerin bulunması gerekir.

3

Kalan son arabayı boş yere yerleştirelim.

Otoparkta boşta kalan tek yer

5

numaralı park yeridir. Henüz yerleştirilmeyen tek araba ise beyaz arabadır. Bu durumda beyaz araba

5

numaralı park yerine yerleşir.

Tüm arabalar yerleştirildikten sonra kalan son öge son boşluğa yerleştirilmelidir.

Anahtar Kavram

Sıralama problemlerinde kesin bilgileri yerleştirdikten sonra, yan yana durması gereken grupları ardışık boşluklara yerleştirerek kalan elemanları belirleme.

İpuçları

1

Öncelikle kesin olarak bilinen park yerlerini (1 ve 4 numaralı parkları) yerleştirerek başlayın.

2

Geriye kalan boş park yerleri 2, 3 ve 5'tir. Mavi arabanın kırmızı arabanın hemen sağında olması bilgisini kullanarak bu iki araba için yan yana olan iki boş yeri bulun.

Tahmini Süre:45s

Soru 11Soru →

Bir kelime kodlama sisteminde, kelimenin harfleri soldan sağa doğru sırayla kodlanmaktadır. Her harf için uygulanacak kural, o harfin alfabedeki sırasına ve kendisinden hemen sonra gelen harfin türüne göre belirlenmektedir.

Kurallar:
* Kodlanacak harften hemen sonra gelen harf ünlü (sesli) ise, o harfin alfabedeki sırası $2$ ile çarpılır.
* Kodlanacak harften hemen sonra gelen harf ünsüz (sessiz) ise veya kodlanacak harf kelimenin son harfi ise, o harfin alfabedeki sırasına $3$ eklenir.

Türk alfabesindeki harflerin sayısal değerleri sırasıyla şöyledir:
$A=1, B=2, C=3, Ç=4, D=5, E=6, F=7, G=8, Ğ=9, H=10, I=11, İ=12, J=13, K=14, L=15, M=16, N=17, O=18, Ö=19, P=20, R=21, S=22, Ş=23, T=24, U=25, Ü=26, V=27, Y=28, Z=29$

*Örnek olarak, bu sistemde 'KOD' kelimesinin kodunu bulalım:*
* $K$ harfinden sonra $O$ (ünlü) geldiği için $K$ 'nin alfabedeki sırası ( $14$ ) $2$ ile çarpılır: $14 \times 2 = 28$
* $O$ harfinden sonra $D$ (ünsüz) geldiği için $O$ 'nun alfabedeki sırasına ( $18$ ) $3$ eklenir: $18 + 3 = 21$
* $D$ harfi kelimenin son harfi olduğu için $D$ 'nin alfabedeki sırasına ( $5$ ) $3$ eklenir: $5 + 3 = 8$
Elde edilen kodların yan yana yazılmasıyla 'KOD' kelimesinin kodu $28218$ olarak bulunur.

Buna göre, bu kodlama sisteminde 'SARI' kelimesinin kodu aşağıdakilerden hangisidir?

2522414

4444222

4444214

4244013

2522422

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4444214

Cevap

SARI kelimesinin bu sistemdeki doğru kodu 4444214 sayısıdır.

SARI kelimesinin harfleri sırayla kurallara göre kodlandığında; S harfinden sonra ünlü A geldiği için 22 x 2 = 44, A harfinden sonra ünsüz R geldiği için 1 + 3 = 4, R harfinden sonra ünlü I geldiği için 21 x 2 = 42 ve son harf olan I için 11 + 3 = 14 değerleri elde edilir. Bu değerler yan yana yazıldığında 4444214 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

'SARI' kelimesinin ilk harfi olan 'S' harfinin alfabedeki sırası tespit edilir ve kendisinden sonraki harf incelenir.

'S' harfi alfabede

22

. sıradadır. Kendisinden sonra gelen 'A' harfi bir ünlüdür.

Kural gereği, kendisinden sonra ünl�� harf gelen harflerin sırası

2

ile çarpılır. Dolayısıyla

22 \times 2 = 44

elde edilir.

2

'SARI' kelimesinin ikinci harfi olan 'A' harfinin alfabedeki sırası tespit edilir ve kendisinden sonraki harf incelenir.

'A' harfi alfabede

1

. sıradadır. Kendisinden sonra gelen 'R' harfi bir ünsüzdür.

Kural gereği, kendisinden sonra ünsüz harf gelen harflerin sırasına

3

eklenir. Dolayısıyla

1 + 3 = 4

elde edilir.

3

'SARI' kelimesinin üçüncü harfi olan 'R' harfinin alfabedeki sırası tespit edilir ve kendisinden sonraki harf incelenir.

'R' harfi alfabede

21

. sıradadır. Kendisinden sonra gelen 'I' harfi bir ünlüdür.

Kural gereği, kendisinden sonra ünlü harf gelen harflerin sırası

2

ile çarpılır. Dolayısıyla

21 \times 2 = 42

elde edilir.

4

'SARI' kelimesinin son harfi olan 'I' harfinin alfabedeki sırası tespit edilir ve konumu incelenir.

'I' harfi alfabede

11

. sıradadır ve kelimenin son harfidir.

Kural gereği, kelimenin son harfinin sırasına

3

eklenir. Dolayısıyla

11 + 3 = 14

elde edilir.

5

Elde edilen tüm sayısal kodlar sırasıyla soldan sağa doğru yan yana getirilerek birleştirilir.

'S' için

44

, 'A' için

4

, 'R' için

42

ve 'I' için

14

kodları birleştirilir.

Kelimenin tamamının şifresini oluşturmak için harf kodları sırasıyla yan yana yazılır. Buradan

4444214

kodu elde edilir.

Anahtar Kavram

Harf konumuna ve ardışık harfin türüne (ünlü/ünsüz) bağlı sayısal şifreleme.

Soru 12Soru →

Bir apartmanın $1$ 'den $7$ 'ye kadar numaralandırılmış ardışık yedi katında $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ ve $G$ adlı kişiler oturmaktadır. Bu kişilerin oturduğu katlarla ilgili şunlar bilinmektedir:

* $D$ ve $G$ kat numaraları ardışık olan katlarda oturmaktadır ve $D$ , $G$ 'nin üstündeki bir katta oturmaktadır.
* $B$ , $E$ 'nin hemen altındaki katta oturmaktadır.
* $A$ ve $C$ arasında tam olarak iki kişi oturmaktadır ve $A$ , $C$ 'den daha üstteki bir katta oturmaktadır.
* $F$ , $5$ . katta oturmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

B

kişisi

2

. katta oturmaktadır.

D

kişisi

7

. katta oturmaktadır.

A

kişisi

4

. katta oturmaktad��r.

E

kişisi

3

. katta oturmaktadır.

G

kişisi

6

. katta oturmaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A$ kişisi $4$ . katta oturmaktad��r.

Cevap

A kişisinin 4. katta oturduğu ifadesi kesinlikle doğrudur.

Her iki olası yerleşim planında da (Durum 1 ve Durum 2) A kişisinin oturduğu kat değişmeyerek 4. kat olarak kalmaktadır. Bu nedenle A kişisinin 4. katta oturduğu ifadesi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

F kişisinin oturduğu katı yerleştirmek ve A ile C arasındaki ilişkiyi analiz etmek.

F kişisi 5. kattadır. A ve C arasında 2 kişi olup A üstte olduğundan A - C = 3 olmalıdır.

Sabit bilgiyi yerleştirip diğer değişkenlerin sınırlarını belirlemek için.

2

A ve C çifti için olası kat kombinasyonlarını belirlemek.

C=1 için A=4 (mümkün), C=2 için A=5 (F 5. katta olduğundan imkansız), C=3 için A=6 (mümkün), C=4 için A=7 (mümkün görünüyor) olasılıkları listelenir.

A ve C çiftinin yerleşebileceği katları sınırlandırmak için.

3

Kalan boşluklara ardışık çiftleri (D = G + 1 ve E = B + 1) yerleştirmeyi denemek.

C=3 ve A=6 seçilirse boş kalan katlar 1, 2, 4, 7 olur. Bu katlarda iki adet ardışık ikili grup (D-G ve E-B) oluşturulamaz. C=4 ve A=7 seçilirse boş katlar 1, 2, 3, 6 olur; yine iki ardışık çift sığmaz. Ancak C=1 ve A=4 seçilirse boş katlar 2, 3 ve 6, 7 olur. Bu durumda iki ardışık çift tam olarak yerleşebilir.

Ardışık yerleşim kuralları ile boş kalan katların uyumunu kontrol etmek için.

4

Oluşan iki durumu belirlemek ve kesin doğruyu bulmak.

Durum 1: C(1), G(2), D(3), A(4), F(5), B(6), E(7) ve Durum 2: C(1), B(2), E(3), A(4), F(5), G(6), D(7). Her iki durumda da A kişisi kesinlikle 4. kattadır.

Seçenekleri doğrulamak için nihai olasılık tablosunu karşılaştırmak.

Anahtar Kavram

Mantıksal öncüller ve kısıtlamalar doğrultusunda olasılık tablosu oluşturarak sıralama yapma.

İpuçları

1

F'nin katını yerleştirdikten sonra, A ve C arasındaki 2 kişilik mesafeyi sağlayan boş katları arayın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 13Soru →

Ahmet, Berk ve Ceyda isimli üç arkadaş; Ankara, İzmir ve Bursa şehirlerinden farklı birinde yaşamaktadır. Bu ki��ilerin yaşadıkları şehirlerle ilgili şunlar bilinmektedir:

* Ahmet, Bursa'da yaşamamaktadır.
* Berk, Ankara'da yaşamaktadır.

Buna göre, Ceyda hangi şehirde yaşamaktadır?

İzmir

Ankara

İstanbul

Bursa

Antalya

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bursa

Cevap

Ceyda, Bursa ��ehrinde yaşamaktadır.

Berk kesin olarak Ankara'da yaşamaktadır. Geriye kalan şehirler İzmir ve Bursa'dır. Ahmet Bursa'da yaşamadığı için zorunlu olarak İzmir'de yaşamaktadır. Bu durumda geriye kalan tek kişi olan Ceyda, geriye kalan tek şehir olan Bursa'da yaşamak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1

Berk'in konumunu kesinleştirmek.

Berk'in Ankara'da yaşadığı belirlenir.

Berk'in Ankara'da yaşadığı bilgisi öncülde doğrudan verilmiştir.

2

Kalan kişi ve şehirleri listelemek.

Kalan kişiler: Ahmet ve Ceyda. Kalan şehirler: İzmir ve Bursa.

Berk Ankara'da yaşadığı için Ankara elenir ve geriye diğer iki şehir kalır.

3

Ahmet için verilen olumsuz bilgiyi kullanmak.

Ahmet'in İzmir'de yaşadığı belirlenir.

Ahmet Bursa'da yaşamadığına göre, kalan iki şehir arasından yalnızca İzmir'de yaşayabilir.

4

Ceyda'ya kalan şehri belirlemek.

Ceyda'nın Bursa'da yaşadığı belirlenir.

Tüm kişiler yerleştirildikten sonra geriye kalan tek kişi olan Ceyda, geriye kalan tek şehir olan Bursa'ya yerleşir.

Anahtar Kavram

Olumlu ve olumsuz öncülleri kullanarak birebir eşleştirme tablosu oluşturma ve eleme yöntemi.

Soru 14Soru →

Ahmet, Burak, Cem, Deniz ve Emre'nin katıldığı bir satranç turnuvasında her oyuncu diğer tüm oyuncularla birer kez karşılaşmıştır. Turnuvadaki puanlama sistemi şu şekildedir:
- Her galibiyet için $3$ puan,
- Her beraberlik için $1$ puan,
- Her mağlubiyet için $0$ puan verilmektedir.

Turnuva sonunda oluşan durumla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Turnuvadaki tüm maçların tamamlanmasıyla oyuncuların aldığı toplam puan $26$ 'dır.
- Ahmet turnuvayı $10$ puanla birinci, Emre ise $1$ puanla sonuncu sırada tamamlamıştır.
- Burak, Cem ve Deniz turnuvayı aynı puanla tamamlamışlardır.
- Ahmet, Emre ile yaptığı maçı kazanmıştır.
- Cem, Burak ile yaptığı maçı kazanmıştır.

Buna göre, turnuvadaki maçlarla ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cem ile Deniz arasındaki maç berabere bitmiştir.

Ahmet, Burak ile yaptığı maçı kazanmıştır.

Burak, Deniz ile yaptığı maçı kazanmıştır.

Cem, Emre ile yaptığı maçı kazanmıştır.

Ahmet, Cem ile yaptığı maçta berabere kalmıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Cem ile Deniz arasındaki maç berabere bitmiştir.

Cevap

Cem ile Deniz arasındaki maçın berabere bittiğini belirten seçenek doğrudur.

Cem ile Deniz arasındaki maçın berabere bittiğini belirten seçenek doğrudur. Turnuvadaki puan dağılımları ve kısıtlar (toplam beraberlik maçı sayısının

4

olması, Ahmet'in Emre'yi, Cem'in Burak'ı yenmesi) analiz edildiğinde beraberlik eşleşmelerinin Ahmet-Burak, Burak-Deniz, Deniz-Cem ve Cem-Emre şeklinde olması zorunludur. Bu durum Cem ile Deniz arasındaki maçın beraberlikle sonuçlandığını gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam maç sayısını ve beraberlikle sonuçlanan maç sayısını hesaplama.

Turnuvada toplam maç sayısı

\frac{5 \times 4}{2} = 10

'dur. Beraberlikle biten maç sayısı

30 - 26 = 4

'tür.

Her galibiyet maçı toplam puana

3

puan (kazanana

3

, kaybedene

0

), her beraberlik maçı ise

2

puan (her iki oyuncuya

1

'er) kazandırır. Toplam puan

26

olduğuna göre, her beraberlik maçı toplam puan havuzunu

1

azaltmıştır (

30 - 26 = 4

beraberlik maçı).

2

Oyuncuların aldıkları puanlara göre galibiyet, beraberlik ve mağlubiyet sayılarını (karnelerini) belirleme.

Ahmet:

3

Galibiyet,

1

Beraberlik,

0

Mağlubiyet. Emre:

0

Galibiyet,

1

Beraberlik,

3

Mağlubiyet. Burak, Cem ve Deniz: Her biri

1

Galibiyet,

2

Beraberlik,

1

Mağlubiyet.

Ahmet'in

4

maçta

10

puan alması için tek yol

3

galibiyet ve

1

beraberliktir. Emre'nin

1

puan alması için tek yol

1

beraberlik ve

3

mağlubiyettir. Diğer üç oyuncunun puanları toplamı

26 - (10 + 1) = 15

olup, her biri

5

'er puan almıştır.

4

maçta

5

puan almanın tek yolu ise

1

galibiyet,

2

beraberlik ve

1

mağlubiyettir.

3

Beraberlik eşleşmelerinin ve win/loss yapısının çözümlenmesi.

Ahmet'in tek beraberliği Burak ile, Emre'nin tek beraberliği ise Cem ile olmuştur. Burak, Cem ve Deniz'in ikişer beraberliği olduğundan, diğer beraberlikler Burak-Deniz ve Deniz-Cem arasında gerçekleşmiştir.

Ahmet, Emre'yi yendiği için aralarında beraberlik yoktur. Ahmet'in tek beraberliği Burak ile olmalıdır (Cem veya Deniz ile olsaydı çelişki doğardı). Emre'nin tek beraberliği ise Cem ile olmuştur. Buradan beraberlik zinciri Ahmet-Burak-Deniz-Cem-Emre olarak kurulur.

4

Tüm maç sonuçlarının matris üzerinde doğrulanması.

Cem ile Deniz arasındaki maçın beraberlikle bittiği kesinleşir.

Belirlenen beraberlik zincirinde Cem ile Deniz arasında bir beraberlik maçı mevcuttur.

Anahtar Kavram

Oyun ve turnuva problemlerinde puan kısıtlarından yola çıkarak beraberlik ve galibiyet grafiklerinin oluşturulması.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 15Soru →

Bir mağazada çalışan Can, Mert ve Seda isimli üç satış temsilcisinin bir günde sattıkları A, B ve C ürünlerinin sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablodaki bazı hücreler boş bırakılmış ve I, II, III olarak adlandırılmıştır.

Temsilci	A Ürünü	B Ürünü	C Ürünü
Can	4	2	I
Mert	1	II	4
Seda	III	5	2

Bu satış temsilcilerinin satış sayılarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Toplamda satılan B ürünü sayısı, A ürünü sayısından $2$ fazladır.
* Toplamda satılan C ürünü say��sı, A ürünü sayısından $1$ fazladır.
* Seda'nın gün boyunca sattığı toplam ürün sayısı $10$ 'dur.

Buna göre, tabloda II ile gösterilen hücredeki değer kaçtır?

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

II ile gösterilen hücredeki değer 3'tür.

Seda'nın toplam ürün satışı

10

'dur. B ve C ürünlerinin toplamı

7

olduğundan, A ürünü (III) için

3

kalır. Bu durumda toplam A ürünü sayısı

8

olur. Toplam B ürünü sayısı A'dan

2

fazla olduğuna göre

10

olmalıdır. Can (

2

) ve Seda'nın (

5

) sattığı B ürünü toplamı

7

olduğundan, Mert'in sattığı B ürününe (II)

3

kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Seda'nın toplam satış miktarından yararlanarak III numaralı hücrenin değerini hesaplayın.

III = 3

Seda'nın sattığı toplam ürün sayısı

10

olarak verilmiştir. Tablodan Seda'nın B ve C ürünlerinden sırasıyla

5

ve

2

adet sattığı görülmektedir. Buradan denklem kurulursa:

III + 5 + 2 = 10 \implies III + 7 = 10 \implies III = 3

bulunur.

2

Tüm temsilcilerin sattığı toplam A ürünü sayısını bulun.

Toplam A ürünü = 8

Can'ın satışı

4

, Mert'in satışı

1

ve Seda'nın satışı

3

(

III

) olduğundan, toplam A ürünü miktarı

4 + 1 + 3 = 8

olur.

3

Toplam B ürünü sayısını bulmak için birinci öncülü uygulayın.

Toplam B ürünü = 10

Birinci öncüle göre toplam B ürünü sayısı, A ürünü sayısından

2

fazladır. Buradan toplam B ürünü sayısı

8 + 2 = 10

olarak bulunur.

4

B ürünü toplamından yararlanarak II numaralı hücrenin değerini bulun.

II = 3

B ürünü toplam satışı Can'ın (

2

), Mert'in (

II

) ve Seda'nın (

5

) satışlarının toplamıdır. Buradan denklem kurulursa:

2 + II + 5 = 10 \implies 7 + II = 10 \implies II = 3

elde edilir.

Anahtar Kavram

Tablo verilerini mantıksal öncüllerle birleştirerek bilinmeyen hücreleri çözümleme

Soru 16Soru →

Bir şirketteki $X$ , $Y$ , $Z$ ve $T$ proje takımları; Ocak, Şubat, Mart ve Nisan aylarında $A$ , $B$ , $C$ ve $D$ projeleri üzerinde çalışmışlardır. Bu takımların projelere dağılımıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Her ay, her proje üzerinde yalnızca bir takım çalışmıştır.
* Her takım, her ay farklı bir proje üzerinde çalışmıştır (hiçbir takım aynı projede birden fazla ay çalışmamıştır).
* Ocak ayında $X$ takımı $A$ projesinde, $Y$ takımı $B$ projesinde çalışmıştır.
* Mart ayında $Z$ takımı $A$ projesinde çalışmıştır.
* Nisan ayında $Y$ takımı $A$ projesinde, $X$ takımı $D$ projesinde ve $Z$ takımı $B$ projesinde çalışmıştır.
* Şubat ayında $T$ takımı $A$ projesinde çalışmıştır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

X

takımı Şubat ayında

C

projesinde çalışmıştır.

Y

takımı Mart ayında

C

projesinde çalışmıştır.

T

takımı Ocak ayında

C

projesinde çalışmıştır.

Z

takımı Şubat ayında

D

projesinde çalışmıştır.

T

takım�� Mart ayında

A

projesinde çalışmıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Z$ takımı Şubat ayında $D$ projesinde çalışmıştır.

Cevap

Z takımı Şubat ayında D projesinde çalışmıştır.

Z takımının Şubat ayında D projesinde çalıştığı çıkarımı kesinlikle doğrudur. Adım adım mantıksal çıkarım yapıldığında, T takımının Ocak ayında D projesinde çalışması gerektiği, buradan hareketle Z takımının Ocak ayında C projesinde ve dolayısıyla Şubat ayında D projesinde çalıştığı belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1

Nisan ayı sütunundaki eksik projeyi belirleme

Nisan ayında Y takımı A, X takımı D ve Z takımı B projesinde çalıştığına göre, Nisan ayının kalan tek projesi olan C projesinde T takımı çalışmıştır.

Her ay her projede yalnızca bir takım çalışabilir kuralı gereğidir.

2

T takımının Ocak ayındaki projesini belirleme

T takımı Şubat'ta A, Nisan'da C projesinde çalışmıştır. Ocak ve Mart ayları için geriye B ve D projeleri kalır. Ocak ayında Y takımı zaten B projesinde çalıştığından, T takımı Ocak ayında B projesinde çalışamaz; dolayısıyla Ocak ayında D projesinde çalışmıştır. Mart ayında ise B projesinde çalışmıştır.

Bir takımın çalıştığı projelerin ve her ayın projelerinin benzersiz olması kuralı uygulanmıştır.

3

Z takımının Ocak ve Şubat aylarındaki projelerini belirleme

Ocak ayında X (A), Y (B) ve T (D) projeleri belirlendiği için Z takımı Ocak ayında kalan tek proje olan C projesinde çalışmıştır. Z takımı için kalan tek ay olan Şubat'ta ise geriye kalan D projesinde çalışmıştır.

Z takımının diğer aylardaki projelerini eleyerek Şubat ayını kesinleştirmek.

4

Tablonun geri kalanını doldurarak doğrulamayı tamamlama

Mart ayında Z (A) ve T (B) bellidir. Kalan X ve Y için projeler C ve D'dir. X takımı Nisan'da D projesinde çalıştığından Mart'ta C projesinde çalışmalıdır. Y ise Mart'ta D projesinde çalışır. Buradan Şubat ayında X'in B, Y'nin ise C projelerinde çalıştığı bulunur. Tablo tutarlı şekilde tamamlanmıştır.

Tüm hücrelerin doğruluğunu teyit etmek.

Anahtar Kavram

Tablo yerleştirme ve mantıksal çıkarım

Soru 17Soru →

Bir şirkette çalışan Alp, Banu, Can ve Deniz adlı dört yazılımcı; P1, P2, P3 ve P4 projelerini en ��ok istediklerine 1, en az istediklerine ise 4 puan vererek 1'den 4'e kadar öncelik sırasına göre puanlamışlardır.

Yazılımcıların tercihlerine ilişkin aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Her bir yazılımcı projelerin her birine farklı bir puan vermiştir.
- Her bir projeye verilen puanlar tüm yazılımcılar için birbirinden farklıdır.
- Bu yazılımcıların projelere verdiği bazı puanlar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Yazılımcı	P1	P2	P3
Alp	1	4
Banu	3	1
Can	3	1
Deniz	1	2	3

Buna göre; Alp'in P2, Banu'nun P3 ve Can'ın P4 projelerine verdikleri öncelik puanlarının toplamı kaçtır?

6

7

8

9

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Alp'in P2, Banu'nun P3 ve Can'ın P4 projelerine verdikleri öncelik puanlarının toplamı 8'dir.

Verilen kurallara göre her satır ve sütundaki sayılar 1, 2, 3, 4 kümesinin elemanlarından oluşmalı ve benzersiz olmalıdır. Adım adım yerleştirme yapıldığında Alp'in P2 puanı 2, Banu'nun P3 puanı 4 ve Can'ın P4 puanı 2 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Deniz'in satırını inceleyerek eksik olan P1 puanını bulunuz.

Deniz'in P2=1, P3=2 ve P4=3 puanları bilindiğine göre, satırda kullanılmayan tek puan olan 4, Deniz'in P1 puanı olmalıdır.

Her satırda 1, 2, 3 ve 4 puanları birer kez kullanılmalıdır.

2

P1 sütununu inceleyerek Banu'nun P1 puanını bulunuz.

P1 sütununda Alp=1, Can=3 ve Deniz=4 puanları bulunduğundan, sütunda eksik olan tek puan olan 2, Banu'nun P1 puanı olur.

Her sütunda 1, 2, 3 ve 4 puanları birer kez kullanılmalıdır.

3

Banu'nun satırını inceleyerek Banu'nun P3 puanını bulunuz.

Banu'nun P1=2, P2=3 ve P4=1 puanları bilindiğine göre, satırda eksik olan tek puan olan 4, Banu'nun P3 puanı olur.

Banu'nun satırındaki tüm hücreleri tamamlamak için.

4

P3 sütununu inceleyerek Alp'in P3 puanını bulunuz, ardından Alp'in P2 puanını elde ediniz.

P3 sütununda Banu=4, Can=1 ve Deniz=2 bulunduğundan, Alp'in P3 puanı 3 olur. Bu durumda Alp'in satırında (P1=1, P3=3, P4=4) eksik kalan P2 puanı 2 olur.

Alp'in P2 puanını belirlemek için öncelikle P3 sütununu tamamlamak gerekir.

5

P2 sütununu tamamlayarak Can'ın P2 puanını bulunuz, ardından Can'ın satırından P4 puanını elde ediniz.

P2 sütununda Alp=2, Banu=3 ve Deniz=1 olduğundan Can'ın P2 puanı 4 olur. Can'ın satırında (P1=3, P2=4, P3=1) eksik olan P4 puanı ise 2 olur.

Can'ın P4 puanını belirlemek için satır ve sütun kurallarını uygulamak gerekir.

6

İstenen puanların toplamını hesaplayınız.

Alp'in P2 puanı (2) + Banu'nun P3 puanı (4) + Can'ın P4 puanı (2) = 8 bulunur.

Soruda bizden bu üç değerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Latin Karesi Özelliği gösteren Tablo Yorumlama ve Mantıksal Çıkarım

Soru 18Soru →

Alp, Berk, Can ve Davut'un katıldığı bir masa oyunu turnuvasında her oyuncu diğer tüm oyuncularla tam olarak birer kez karşılaşmıştır. Turnuvadaki puanlama sistemine göre; kazanan oyuncu $3$ puan almakta, kaybeden oyuncu $0$ puan almakta ve beraberlik durumunda her iki oyuncu da $1$ 'er puan almaktadır. Turnuva sonunda oyuncuların puanları şu şekildedir:

* Alp: $7$ puan
* Berk: $5$ puan
* Can: $3$ puan

Buna göre, Davut turnuva sonunda kaç puan almıştır?

0

1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Davut turnuva sonunda 1 puan almıştır.

Turnuvadaki 4 oyuncudan her biri 3 maç yapmıştır. Alp'in 7 puanı (2 galibiyet, 1 beraberlik), Berk'in 5 puanı (1 galibiyet, 2 beraberlik) vardır. Berk yenilmediği için Alp ile Berk arasındaki maç beraberlikle sonuçlanmıştır. Alp kalan maçlarında Can ve Davut'u yenmiştir. Can'ın 3 puanı olduğundan ve Alp'e yenildiğinden, kalan iki maçında beraberlik alamaz (çünkü tek maçtan 3 puan alması gerekir, yani Davut'u yenip Berk'e yenilmelidir). Bu durumda Berk, Davut ile berabere kalmıştır. Davut'un sonuçları 1 beraberlik (Berk) ve 2 mağlubiyet (Alp ve Can) olup toplamda 1 puan elde etmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Oyuncuların yaptıkları maç sayılarını ve toplam maç sayısını belirleme.

Turnuvada 4 oyuncu olduğundan ve her oyuncu diğeriyle birer kez karşılaştığından, her oyuncu toplamda 3 maç yapmıştır. Toplam maç sayısı ise

\frac{4 \times 3}{2} = 6

maçtır.

Puan dağılımını analiz etmek için her oyuncunun yaptığı maç sayısını bilmemiz gerekir.

2

Alp ve Berk'in puanlarına göre maç sonuçlarını analiz etme.

Alp'in 7 puanı vardır. 3 maçta 7 puan alabilmesi için sadece 2 galibiyet ve 1 beraberlik (

3 + 3 + 1 = 7

) almış olması gerekir. Berk'in ise 5 puanı vardır. 3 maçta 5 puan alabilmesi için 1 galibiyet ve 2 beraberlik (

3 + 1 + 1 = 5

) almış olması gerekir. Berk hiç mağlup olmamıştır.

Oyuncuların galibiyet, mağlubiyet ve beraberlik sayılarını netleştirmek için puan kombinasyonlarını inceleriz.

3

Alp ve Berk arasındaki maçın sonucunu belirleme.

Alp'in 1, Berk'in ise 2 beraberliği vardır. Berk hiç mağlup olmadığı için Alp'in Berk'i yenmesi mümkün değildir. Bu durumda Alp ile Berk arasındaki maç beraberlikle sonuçlanmış olmalıdır.

Alp'in tek beraberliğinin hangi maçta olduğunu bulmak turnuva ağacını çözer.

4

Alp ve Berk'in diğer maçlarını analiz etme.

Alp ile Berk berabere kaldığına göre, Alp kalan maçlarında (Can ve Davut) galip gelmiştir. Berk ise kalan maçlarında 1 galibiyet ve 1 beraberlik almıştır. Berk hiç yenilmediği için Berk-Can ve Berk-Davut maçlarından biri beraberlik, diğeri Berk'in galibiyeti ile bitmiştir.

Alp'in tüm maç sonuçları kesinleştiğinden, Berk'in kalan maç olasılıklarını değerlendiririz.

5

Can'��n 3 puanlık durumunu inceleyerek Berk'in kalan maçlarını netleştirme.

Can'ın 3 puanı vardır. Can, Alp'e yenildiği için (0 puan), kalan iki maçından (Berk ve Davut) toplam 3 puan almalıdır. Eğer Berk ile Can berabere kalsaydı, Can Berk'ten 1 puan alırdı ve Davut'u yenerek 3 puan daha alıp toplam 4 puana ulaşırdı, bu da 3 puanı sağlamazdı. Dolayıs��yla Berk, Can'ı yenmiştir (Can 0 puan alır). Can'ın 3 puana ulaşması için Davut'u yenmesi gerekir (3 puan). Bu durumda Berk ile Davut arasındaki maç beraberlikle bitmiştir.

Can'ın puan durumunun tutarlılığını kontrol ederek Davut'un maç sonuçlarını buluruz.

6

Davut'un maç sonuçlarını ve toplam puanını hesaplama.

Davut'un maçları: Alp'e yenildi (0 puan), Berk ile berabere kaldı (1 puan) ve Can'a yenildi (0 puan). Toplam puanı:

0 + 1 + 0 = 1

puan olur.

Tüm maçlar netleştiğinde Davut'un aldığı puanı toplarız.

Anahtar Kavram

Turnuva ve oyun problemlerinde puan kombinasyonları ve mantıksal eşleştirme analizi.

İpuçları

1

Her oyuncunun toplamda kaç maç yapacağını ve galibiyet, mağlubiyet ile beraberlik durumlarında alınacak puanları listeleyin.

2

Alp'in 7, Berk'in 5 puan alabilmesi için hangi maç sonuçlarına (galibiyet/beraberlik/mağlubiyet) sahip olması gerektiğini bulun.

3

Berk'in hiç yenilmediğini kullanarak Alp ile Berk arasındaki maçın sonucunu ve ardından Can'ın 3 puan alma durumunu inceleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 5 oyuncunun katıldığı ve her galibiyete 2, beraberliğe 1 puan verilen bir turnuva senaryosu çözerek mantığı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm maçların toplam puanı üzerinden gidebiliriz. Galibiyetle biten her maç toplamda 3 puan (3 + 0), beraberlikle biten her maç ise toplamda 2 puan (1 + 1) kazandırır. Alp (7), Berk (5) ve Can (3) puanlarının toplamı 15'tir. Davut'un puanı

D

olsun. Toplam puan

15 + D

olur. Alp ve Berk'in toplam 3 beraberliği olduğu için turnuvadaki 6 maçtan en az 2'si (Alp-Berk ve Berk-Davut) berabere bitmiştir. Buradan da denklemlerle sonuca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 19Soru →

KALE, LALE, ELMA ve KASA kelimelerinin her biri birer sayıyla eşleştirilmiştir. Bu sayılar karışık olarak;

3125, 2125, 5271, 3161

şeklinde verilmiştir.

Buna göre, MASAL kelimesine karşılık gelen sayı aşağıdakilerden hangisidir?

31612

71612

21617

71615

72621

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $71612$

Cevap

MASAL kelimesine karşılık gelen sayı

71612

sayısıdır.

LALE kelimesindeki harf tekrarlarından yola çıkarak LALE =

2125

olduğu tespit edilir. Buradan

L=2

,

A=1

,

E=5

değerleri elde edilir. Sonu A (

1

) ile biten ve E (

5

), L (

2

) ile başlayan ELMA kelimesinin kodu

5271

olarak bulunur, böylece

M=7

belirlenir. KASA kelimesinin kodu

3161

olduğundan

S=6

değerine ulaşılır. MASAL kelimesinin harfleri sırasıyla yerleştirildiğinde doğru kod

71612

olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Harf tekrarı olan kelimeyi belirleyerek ilk harfleri eşleştirme

LALE kelimesinde birinci ve üçüncü harfler aynı (L), ikinci ve dördüncü harfler farklıdır. Verilen sayılar arasından bu örüntüye uyan tek sayı

2125

sayısıdır. Buradan

L = 2

,

A = 1

ve

E = 5

olduğu bulunur.

Kelime yapısındaki tekrarlayan harfler, sayı şablonundaki tekrarlayan rakamlarla doğrudan eşleşir.

2

KALE kelimesini kodunu belirleme

KALE kelimesi L ve E harfleriyle bittiği için kodunun son iki hanesi LALE ile aynı olmalı, yani

25

ile bitmelidir. Kalan sayılardan sonu

25

ile biten tek sayı

3125

sayısıdır. Buradan KALE =

3125

ve dolayısıyla

K = 3

bulunur.

L ve E harflerinin değerleri bilindiğinden, sonu bu harflerle biten kelimenin kodu kolayca tespit edilir.

3

ELMA kelimesinin kodunu belirleme

ELMA kelimesi E (5) ile başlayıp A (1) ile bittiği için kodu

52\_1

formatında olmalıdır. Verilen sayılardan bu formata uyan tek sayı

5271

'dir. Buradan ELMA =

5271

ve dolayısıyla

M = 7

bulunur.

Başlangıç ve bitiş harflerinin sayı değerleri kullanılarak eşleşen kod tespit edilir.

4

KASA kelimesinin kodunu belirleme

Kalan son kod olan

3161

, KASA kelimesine aittir. K (3) ve A (1) harfleri yerine yazıldığında

3161

kodunun KASA kelimesiyle uyumlu olduğu görülür ve buradan

S = 6

bulunur.

Kelimelerin tamamının çözümlenmesiyle tüm harflerin sayısal değerleri netleştirilir.

5

MASAL kelimesinin kodunu oluşturma

Elde edilen harf değerleri (

M = 7

,

A = 1

,

S = 6

,

L = 2

) MASAL kelimesinin harf sırasına göre yan yana yazılır:

7-1-6-1-2 \rightarrow 71612

elde edilir.

Tüm harflerin sayı karşılıkları bulunduktan sonra hedef kelimenin kodu bir araya getirilir.

Anahtar Kavram

Kelime ve sayı kodlamalarında harf tekrarları ile rakam tekrarlarının eşleştirilmesi

Soru 20Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde $\oplus$ ve $\otimes$ işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

x \oplus y = |x^2 - y|

x \otimes y = \text{EBOB}(x, y) \cdot \text{EKOK}(x, y) - (x + y)

Buna göre,

(a \oplus 17) \otimes 6 = 34

eşitliğini sağlayan

a

pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

5

8

10

15

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eşitliği sağlayan

a

pozitif tam sayılarının toplamı 8'dir.

Verilen

\otimes

işlemindeki EBOB ve EKOK terimlerinin çarpımı, sayıların kendi çarpımı olan

x \cdot y

ifadesine eşittir. Bu sadeleştirme yapıldığında işlem

x \otimes y = x \cdot y - x - y

halini alır. Eşitlikte

y = 6

ve sonuç

34

olarak yerine yazıldığında,

a \oplus 17

ifadesinin değeri

8

olarak bulunur.

\oplus

işleminin tanımından

|a^2 - 17| = 8

elde edilir. Bu mutlak değerli eşitliği sağlayan pozitif tam sayılar

3

ve

5

olup toplamları

8

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

EBOB ve EKOK çarpım özelliğini kullanarak

\otimes

işlemini sadeleştirmek

x \otimes y = x \cdot y - (x + y)

Herhangi iki pozitif tam sayı için

\text{EBOB}(x, y) \cdot \text{EKOK}(x, y) = x \cdot y

eşitliği geçerlidir. Bu özelliği yerine koyarak işlemi daha basit bir cebirsel forma getiririz.

2

Verilen denklemde

a \oplus 17

yerine

k

yazıp

k

değerini bulmak

k \otimes 6 = 34 \Rightarrow 6k - (k + 6) = 34 \Rightarrow 5k - 6 = 34 \Rightarrow 5k = 40 \Rightarrow k = 8

a \oplus 17

ifadesine geçmeden önce dıştaki işlemin sonucunu bularak içteki bilinmeyene ulaşmayı hedefleriz.

3

a \oplus 17 = 8

eşitliğini işlem tanımına göre mutlak değerli denklem olarak çözmek

|a^2 - 17| = 8

olur. Buradan iki alt durum incelenir:
1)

a^2 - 17 = 8 \Rightarrow a^2 = 25 \Rightarrow a = 5

(Pozitif tam sayı dendiği için

a = -5

elenir)
2)

a^2 - 17 = -8 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = 3

(Pozitif tam sayı dendiği için

a = -3

elenir)

Mutlak değerli bir denklemin hem pozitif hem de negatif eşitlik durumlarını inceleyerek tüm olası pozitif tam sayı köklerini bulmak gerekir.

4

Bulunan

a

değerlerini toplamak

3 + 5 = 8

Soruda bizden istenen, denklemi sağlayan tüm

a

pozitif tam sayılarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde temel aritmetik özelliklerin (EBOB-EKOK çarpımı) kullanılması ve mutlak değerli denklemlerin çözümü

Mantık Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik