Examkin

Cebir

424 soru

Soru 241Soru →
2564−512+19\sqrt{\frac{25}{64} - \frac{5}{12} + \frac{1}{9}}
işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 724\frac{7}{24}

Cevap

İşlemin sonucu 7/24'tür.
Verilen ifade, kök içinde rasyonel sayıların tam kare özdeşliğidir. Terimler incelendiğinde ifadenin (58−13)2(\frac{5}{8} - \frac{1}{3})^2 açılımı olduğu görülür. Karekök işlemi sonucunda ifade mutlak değer içinde dışarı çıkar ve kesir işlemi yapılarak doğru sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök içindeki sayıları üslü ifade olarak tanımla
2564=(58)2\frac{25}{64} = (\frac{5}{8})^2 ve 19=(13)2\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2
Tam kare özdeşliğini kullanabilmek için terimleri kare şeklinde yazarız.
2
Ortadaki terimi kontrol et
2⋅58⋅13=1024=5122 \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}
İfadenin (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 formatına uyup uymadığını doğrularız. Ortadaki terim −5/12-5/12 ile eşleşmektedir.
3
İfadeyi tam kare parantezine al ve kök dışına çıkar
(58−13)2=∣58−13∣\sqrt{(\frac{5}{8} - \frac{1}{3})^2} = |\frac{5}{8} - \frac{1}{3}|
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| kuralını uygularız.
4
Mutlak değer içindeki işlemi yap
58−13=15−824=724\frac{5}{8} - \frac{1}{3} = \frac{15 - 8}{24} = \frac{7}{24}
Paydaları eşitleyerek (24'te) çıkarma işlemini tamamlarız.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği ve Köklü İfadeler

İpuçları

1
Kök içindeki sayıların paydalarını eşitlemek yerine, sayıların tam kare olup olmadığını kontrol edin.
2
2564\frac{25}{64} ve 19\frac{1}{9} sayılarını üslü biçimde yazın ve ortadaki −512-\frac{5}{12} teriminin bu sayılarla ilişkisine bakın.
3
İfade a2−2ab+b2=∣a−b∣\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = |a-b| formundadır. a=58a=\frac{5}{8} ve b=13b=\frac{1}{3} alarak işlem yapın.

Alternatif Yöntem

Paydaları 576'da (64, 12 ve 9'un EKOK'u) eşitleyerek işlem yapmak: 225−240+64576=49576=724\sqrt{\frac{225 - 240 + 64}{576}} = \sqrt{\frac{49}{576}} = \frac{7}{24}.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 242Soru →
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
(3x−2y)2(3x - 2y)^2

ifadesinin özdeşi olan açılım aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9x2−12xy+4y29x^2 - 12xy + 4y^2

Cevap

9x2−12xy+4y29x^2 - 12xy + 4y^2 ifadesi verilen tam kare ifadenin doğru açılımıdır.
Tam kare farkı özdeşliği kuralı olan (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ifadesinde aa yerine 3x3x ve bb yerine 2y2y yazıldığında; (3x)2−2(3x)(2y)+(2y)2(3x)^2 - 2(3x)(2y) + (2y)^2 işlemleri yapılarak 9x2−12xy+4y29x^2 - 12xy + 4y^2 sonucuna ulaşılır. Bu, ifadenin matematiksel olarak tam ve doğru açılımıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Özdeşlik kuralını belirle.
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
İfadenin yapısı iki terimin farkının karesi (tam kare) şeklindedir.
2
Terimleri kuraldaki yerlerine yerleştir.
a=3xa = 3x ve b=2yb = 2y
Verilen ifadede birinci terim 3x3x, ikinci terim ise 2y2y'dir.
3
Birinci terimin karesini al.
(3x)2=9x2(3x)^2 = 9x^2
Kuraldaki a2a^2 terimini hesaplamak gerekir.
4
Terimlerin çarpımının iki katını hesapla.
2⋅(3x)⋅(2y)=12xy2 \cdot (3x) \cdot (2y) = 12xy
Kuraldaki 2ab2ab terimini hesaplamak gerekir; aradaki işaret eksi olduğu için bu terim çıkarılacaktır.
5
İkinci terimin karesini al.
(2y)2=4y2(2y)^2 = 4y^2
Kuraldaki b2b^2 terimini hesaplamak gerekir; karenin sonucu her zaman pozitiftir.
6
Tüm terimleri birleştir.
9x2−12xy+4y29x^2 - 12xy + 4y^2
Bulunan parçalar kurala uygun şekilde bir araya getirilir.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği: İki terimin toplamının veya farkının karesi alınırken birinci terimin karesi, terimlerin çarpımının iki katı ve ikinci terimin karesi toplanır.

İpuçları

1
Bu bir tam kare açılımıdır. (a−b)2(a-b)^2 formülünü hatırlamaya çalışın.
2
Açılımda üç terim olmalıdır: Birincinin karesi, ikisinin çarpımının iki katı ve ikincinin karesi.
3
(3x)2−2⋅(3x)⋅(2y)+(2y)2(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2 işlemini yaparak katsayıları ve işaretleri dikkatle kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde (4x+5)2(4x + 5)^2 ifadesinin açılımını yaparak tam kare toplam özdeşliğini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Özdeşlik formülünü hatırlayamazsanız, (3x−2y)2(3x-2y)^2 ifadesini (3x−2y)⋅(3x−2y)(3x-2y) \cdot (3x-2y) şeklinde yazıp terimleri birbiri üzerine dağıtarak (çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği) aynı sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 243Soru →

12x=2712^x = 27 ve 3y=163^y = 16 eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x⋅(y+2)x \cdot (y + 2) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İfadenin doğru değeri 6'dır.
Verilen 12x=2712^x=27 eşitliği asal çarpanlarına ayrılarak düzenlendiğinde 22x=33−x2^{2x} = 3^{3-x} elde edilir. Diğer verilen 3y=163^y=16 eşitliği ise 24=3y2^4 = 3^y şeklinde yazılır. Üslü sayılarda tabanları aynı olan iki eşitlikte üslerin oranı sabittir kuralı gereği, 2'nin üsleri ile 3'ün üsleri oranlanır: 2x4=3−xy\frac{2x}{4} = \frac{3-x}{y}. Bu orantıdan içler dışlar çarpımı yapılarak 2xy=12−4x2xy = 12 - 4x eşitliği bulunur. Terimler düzenlendiğinde 2xy+4x=122xy + 4x = 12 ve 2 parantezine alınıp sadeleştirildiğinde x(y+2)=6x(y+2)=6 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitliği asal çarpanlarına ayırarak düzenle.
12x=(22⋅3)x=22x⋅3x=27=3312^x = (2^2 \cdot 3)^x = 2^{2x} \cdot 3^x = 27 = 3^3
Tabanları en sade (asal) hale getirerek ortak tabanlar arasında ilişki kurmak gerekir.
2
22x2^{2x} ifadesini yalnız bırakarak xx'li terimleri grupla.
22x=333x=33−x2^{2x} = \frac{3^3}{3^x} = 3^{3-x}
İki denklem arasında köprü kurabilmek için eşitliğin bir tarafını sadece 2 tabanına, diğerini 3 tabanına dönüştürmek gerekir.
3
İkinci eşitliği 2 ve 3 tabanında ifade et.
3y=16=24⇒24=3y3^y = 16 = 2^4 \Rightarrow 2^4 = 3^y
Birinci denklemden elde edilen yapı (2a=3b2^a = 3^b) ile karşılaştırma yapabilmek için.
4
Aynı tabanların üslerini oranla.
2x4=3−xy\frac{2x}{4} = \frac{3-x}{y}
an=bma^n = b^m ve ak=bpa^k = b^p ise nk=mp\frac{n}{k} = \frac{m}{p} kuralı uygulanır.
5
İçler dışlar çarpımı yaparak istenen ifadeyi oluştur.
2x⋅y=4⋅(3−x)⇒2xy=12−4x⇒2xy+4x=122x \cdot y = 4 \cdot (3-x) \Rightarrow 2xy = 12 - 4x \Rightarrow 2xy + 4x = 12
Denklemi çözerek soruda sorulan formata (x(y+2)x(y+2)) yaklaşmak.
6
Sonucu sadeleştir.
2x(y+2)=12⇒x(y+2)=62x(y+2) = 12 \Rightarrow x(y+2) = 6
Soruda istenen ifadenin net değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Üslü denklemlerde taban ayrıştırma ve üs oranlama özelliği

İpuçları

1
12x=2712^x = 27 ifadesinde 12'yi asal çarpanlarına (22⋅32^2 \cdot 3) ayırıp 22x2^{2x}'i yalnız bırakınız.
2
Elde ettiğiniz 22x=33−x2^{2x} = 3^{3-x} eşitliği ile 24=3y2^4 = 3^y eşitliğini alt alta yazarak üsler arasında orantı kurunuz.
3
Tabanları aynı olan üslü denklemlerde 2x4=3−xy\frac{2x}{4} = \frac{3-x}{y} oranını kullanarak içler dışlar çarpımı yapınız.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 244Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x+1+4x−3−x+6−6x−3=2 \sqrt{x + 1 + 4\sqrt{x-3}} - \sqrt{x + 6 - 6\sqrt{x-3}} = 2

eşitliğini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 214\frac{21}{4}

Cevap

214\frac{21}{4}
Verilen ifade düzenlendiğinde mutlak değerli bir denklem elde edilir: ∣x−3+2∣−∣x−3−3∣=2|\sqrt{x-3} + 2| - |\sqrt{x-3} - 3| = 2. Bu denklemin çözümü, mutlak değerin tanımı kullanılarak yapıldığında x=21/4x = 21/4 sonucuna ulaşılır. Kök içindeki ifadelerin tam kareye tamamlanması sorunun çözümündeki kilit noktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kök içindeki ifadeleri tam kare formatına benzeterek düzenle.
x+1+4x−3=(x−3)+4+4x−3=(x−3+2)2x + 1 + 4\sqrt{x-3} = (x-3) + 4 + 4\sqrt{x-3} = (\sqrt{x-3} + 2)^2 ve x+6−6x−3=(x−3)+9−6x−3=(x−3−3)2x + 6 - 6\sqrt{x-3} = (x-3) + 9 - 6\sqrt{x-3} = (\sqrt{x-3} - 3)^2
A±2B\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} kuralını uygulamak için xx terimini (x−3)(x-3) cinsinden yazarız.
2
Kök dışına çıkarma işlemini mutlak değer kullanarak yap.
(x−3+2)2−(x−3−3)2=2  ⟹  ∣x−3+2∣−∣x−3−3∣=2\sqrt{(\sqrt{x-3} + 2)^2} - \sqrt{(\sqrt{x-3} - 3)^2} = 2 \implies |\sqrt{x-3} + 2| - |\sqrt{x-3} - 3| = 2
Çift dereceli kök dışına çıkan ifade daima mutlak değer içinde yazılmalıdır: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|.
3
Mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini incele.
x−3≥0\sqrt{x-3} \ge 0 olduğundan (x−3+2)(\sqrt{x-3} + 2) daima pozitiftir ve aynen çıkar. Denklem: (x−3+2)−∣x−3−3∣=2(\sqrt{x-3} + 2) - |\sqrt{x-3} - 3| = 2
Mutlak değer çözümlemesi için içinin işaretine bakılır.
4
Denklemi düzenleyerek mutlak değeri yalnız bırak.
x−3+2−2=∣x−3−3∣  ⟹  x−3=∣x−3−3∣\sqrt{x-3} + 2 - 2 = |\sqrt{x-3} - 3| \implies \sqrt{x-3} = |\sqrt{x-3} - 3|
Denklemi çözülebilir basit bir forma getirmek gerekir.
5
Değişken değiştirerek (t=x−3t = \sqrt{x-3}) denklemi çöz.
t=∣t−3∣t = |t-3| için iki durum vardır: t=t−3t = t-3 (çözüm yok) veya t=−(t−3)t = -(t-3). Buradan t=−t+3  ⟹  2t=3  ⟹  t=32t = -t + 3 \implies 2t = 3 \implies t = \frac{3}{2}.
∣a∣=b|a| = b ise a=ba=b veya a=−ba=-b durumları incelenir.
6
tt değerini yerine koyarak xx'i bul.
x−3=32  ⟹  x−3=94  ⟹  x=3+94=12+94=214\sqrt{x-3} = \frac{3}{2} \implies x - 3 = \frac{9}{4} \implies x = 3 + \frac{9}{4} = \frac{12+9}{4} = \frac{21}{4}
Sonuca ulaşmak için ters işlem yapılır.

Anahtar Kavram

İç içe kökler ve mutlak değer içeren denklemler

İpuçları

1
Kök içindeki ifadeleri, bir parantez karesi şeklinde yazıp yazamayacağınızı kontrol edin. xx terimini (x−3)+3(x-3) + 3 gibi düşünerek terimleri gruplandırın.
2
x+1+4x−3x + 1 + 4\sqrt{x-3} ifadesini (x−3+2)2(\sqrt{x-3} + 2)^2 şeklinde yazabilirsiniz. Diğer köklü ifadeyi de benzer şekilde düzenleyin.
3
Çift dereceli kök dışına çıkan ifadeleri mutlak değer içinde yazmayı unutmayın. ∣x−3+2∣−∣x−3−3∣=2|\sqrt{x-3} + 2| - |\sqrt{x-3} - 3| = 2 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

x−4x−4=2\sqrt{x - 4\sqrt{x-4}} = 2 denkleminin çözüm kümesini bulan bir alıştırma sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

t=x−3t = \sqrt{x-3} dönüşümü yaparak denklemi t2+3+1+4t−t2+3+6−6t=2\sqrt{t^2+3+1+4t} - \sqrt{t^2+3+6-6t} = 2 haline getirebilir, buradan (t+2)2−(t−3)2=2\sqrt{(t+2)^2} - \sqrt{(t-3)^2} = 2 elde edebilirsiniz.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 245Soru →
xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
1x+1y=32vex⋅y=4\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \quad \text{ve} \quad x \cdot y = 4

olduğuna göre, x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

İstenen ifadenin değeri 28'dir.
Soruda verilen rasyonel ifadeden x+yx+y toplamının 6 olduğu bulunur. x2+y2x^2+y^2 ifadesi, (x+y)2−2xy(x+y)^2 - 2xy özdeşliğine eşittir. Değerler yerine konulduğunda 36−8=2836 - 8 = 28 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel denklemin paydalarını eşitleyerek x+yx+y toplamını bul.
x+yx⋅y=32\frac{x+y}{x \cdot y} = \frac{3}{2}
İki bilinmeyenli denklem sistemlerinde toplam ve çarpım değerlerine ulaşmak çözümün ilk adımıdır.
2
x⋅y=4x \cdot y = 4 değerini yerine yazarak x+yx+y değerini hesapla.
x+y4=32⇒2(x+y)=12⇒x+y=6\frac{x+y}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2(x+y) = 12 \Rightarrow x+y = 6
Toplam (x+yx+y) ve çarpım (x⋅yx \cdot y) değerleri bilindiğinde kareler toplamı hesaplanabilir.
3
x2+y2x^2 + y^2 ifadesini (x+y)(x+y) ve xyxy cinsinden yazan özdeşliği kullan.
x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy
Tam kare özdeşliği (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 düzenlenerek kareler toplamı yalnız bırakılır.
4
Bulunan değerleri özdeşlikte yerine koyarak sonucu bul.
x2+y2=62−2(4)=36−8=28x^2 + y^2 = 6^2 - 2(4) = 36 - 8 = 28
İşlem hatası yapmadan sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki terimin toplamının karesi özdeşliği: (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
Soru 246Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx ve yy gerçel sayısı için
f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy f(x+y) = f(x) + f(y) + 3xy

eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=4f(1) = 4 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

İstenen değer 21'dir.
Verilen fonksiyonel eşitlikte değişkenlere uygun değerler verilerek adım adım ilerlenir. Önce x=1,y=1x=1, y=1 seçilerek f(2)=11f(2)=11 bulunur, ardından x=2,y=1x=2, y=1 seçilerek f(3)=21f(3)=21 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte f(2)f(2) değerini bulmak için x=1x=1 ve y=1y=1 değerlerini yerine yazalım.
f(1+1)=f(1)+f(1)+3⋅1⋅1⇒f(2)=4+4+3=11f(1+1) = f(1) + f(1) + 3 \cdot 1 \cdot 1 \Rightarrow f(2) = 4 + 4 + 3 = 11
f(3)f(3) değerine ulaşmak için önce ara basamak olan f(2)f(2)'nin bilinmesi gerekmektedir.
2
f(3)f(3) değerini bulmak için denklemde x=2x=2 ve y=1y=1 (veya x=1,y=2x=1, y=2) değerlerini yerine yazalım.
f(2+1)=f(2)+f(1)+3⋅2⋅1⇒f(3)=11+4+6f(2+1) = f(2) + f(1) + 3 \cdot 2 \cdot 1 \Rightarrow f(3) = 11 + 4 + 6
Bulduğumuz f(2)f(2) değeri kullanılarak bir sonraki basamak olan f(3)f(3) hesaplanır.
3
Son toplama işlemini yapalım.
f(3)=21f(3) = 21
İşlem sonucu.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel denklemlerde verilen bağıntıyı kullanarak adım adım değer bulma.

İpuçları

1
Önce f(2)f(2) değerini bulmak için xx ve yy yerine 1 yazmayı deneyin.
2
f(2)f(2)'yi bulduktan sonra, f(3)f(3)'ü elde etmek için 2+12+1 toplamını kullanacak şekilde xx ve yy değerleri seçin.
3
f(2)=f(1)+f(1)+3(1)(1)f(2) = f(1) + f(1) + 3(1)(1) işlemini çözün, çıkan sonucu f(3)=f(2)+f(1)+3(2)(1)f(3) = f(2) + f(1) + 3(2)(1) denkleminde yerine yazın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 247Soru →

Bir kentsel dönüşüm projesi kapsamında, kenar uzunluğu aa metre olan kare şeklindeki bir arsanın köşesinden, kenar uzunluğu bb metre olan kare şeklindeki bir alan trafo merkezi yapılmak üzere ayrılmıştır (a>ba > b).

Geriye kalan arsa alanının, arsanın ve ayrılan parçanın birer kenar uzunluklarının farkına ((a−b)(a-b)) oranı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+ba + b

Cevap

İstenilen oran a+ba + b ifadesine eşittir.
Soruda verilen geometrik senaryo matematiksel olarak modellendiğinde, büyük karenin alanından (a2a^2) küçük karenin alanı (b2b^2) çıkarılmaktadır. Bu işlem a2−b2a^2 - b^2 ifadesini verir. Soruda bu değerin kenar farkına (a−ba-b) bölünmesi istendiğinden, işlem a2−b2a−b\frac{a^2 - b^2}{a - b} halini alır. İki kare farkı özdeşliği gereği pay (a−b)(a+b)(a-b)(a+b) olarak çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki (a−b)(a-b) çarpanları sadeleştiğinde geriye a+ba+b kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki arsanın alanı ve ayrılan parçanın alanını belirle.
Başlangıç alanı a2a^2, ayrılan alan b2b^2 metrekaredir.
Kare şeklindeki bir bölgenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesine eşittir.
2
Geriye kalan alanı ifade et.
Geriye kalan alan = a2−b2a^2 - b^2.
Toplam alandan ayrılan parça çıkarılarak kalan alan bulunur.
3
Elde edilen alan ifadesini, verilen kenar farkına böl.
Oran = a2−b2a−b\frac{a^2 - b^2}{a - b}.
Soruda kalan alanın kenar farkına oranı sorulmuştur.
4
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak ifadeyi sadeleştir.
(a−b)(a+b)a−b=a+b\frac{(a - b)(a + b)}{a - b} = a + b.
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliği kullanılarak sadeleştirme yapılır.

Anahtar Kavram

İki Kare Farkı Özdeşliği
Soru 248Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
∣3x−12∣+3x=a |3x - 12| + 3x = a

denklemini sağlayan hiçbir xx gerçel sayısı bulunmadığına göre, aa'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Denklemde çözüm kümesinin boş olması için aa değeri 12'den küçük olmalıdır, bu şartı sağlayan en büyük tam sayı 11'dir.
İfadenin alabileceği en küçük değer 12'dir. Eşitliğin sağlanamaması (çözüm olmaması) için aa sayısının 12'den kesinlikle küçük olması gerekir. Bu durumda en büyük tam sayı değeri 11 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi bir fonksiyon olarak düşünerek mutlak değerin kritik noktasını belirle.
3x−12=0⇒x=43x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4 kritik noktadır.
Mutlak değerin içi x=4x=4 noktasında işaret değiştirir, bu nedenle inceleme x≥4x \ge 4 ve x<4x < 4 durumlarına göre yapılmalıdır.
2
x≥4x \ge 4 durumu için fonksiyonun görüntü kümesini incele.
x≥4x \ge 4 ise ∣3x−12∣=3x−12|3x-12| = 3x-12 olur. İfade: (3x−12)+3x=6x−12(3x-12) + 3x = 6x - 12. Bu aralıkta en küçük değer x=4x=4 için 6(4)−12=126(4)-12 = 12 olur.
6x−126x - 12 artan bir fonksiyondur, minimum değerini aralığın başlangıcında alır.
3
x<4x < 4 durumu için fonksiyonun görüntü kümesini incele.
x<4x < 4 ise ∣3x−12∣=−(3x−12)=−3x+12|3x-12| = -(3x-12) = -3x+12 olur. İfade: (−3x+12)+3x=12(-3x+12) + 3x = 12.
Bu aralıkta xx'li terimler birbirini götürür ve ifade sabit 12 değerine eşit olur.
4
Elde edilen sonuçlara göre fonksiyonun genel görüntü kümesini ve çözüm koşulunu belirle.
İfade her zaman 12 veya 12'den büyük değerler almaktadır (Görüntü kümesi: [12,∞)[12, \infty)). Çözüm kümesinin boş olması için sonucun (aa) bu aralığın dışında olması gerekir: a<12a < 12.
Eğer a≥12a \ge 12 olsaydı, grafik y=ay=a doğrusunu keserdi ve çözüm olurdu.
5
a<12a < 12 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayıyı bul.
11
12'den küçük en büyük tam sayı 11'dir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli fonksiyonların grafiği ve görüntü kümesi analizi

İpuçları

1
Mutlak değer içini sıfır yapan kritik noktayı (x=4x=4) bularak ifadeyi iki ayrı durumda inceleyiniz.
2
x≥4x \ge 4 ve x<4x < 4 durumları için ∣3x−12∣+3x|3x - 12| + 3x ifadesinin alabileceği değerleri (görüntü kümesini) hesaplayınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla ∣2x−6∣−2x=a|2x-6| - 2x = a denkleminin çözüm kümesini inceleyen bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Grafik Çizimi: y=∣3x−12∣+3xy = |3x-12| + 3x fonksiyonunun grafiği çizilirse, x<4x<4 için y=12y=12 yatay doğrusu, x>4x>4 için ise y=6x−12y=6x-12 yükselen doğrusu oluşur. Grafiğin en alt noktası y=12y=12'dir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 249Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir Δ\Delta işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
xΔy=xy+2x+2y+2x \Delta y = xy + 2x + 2y + 2

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, bu işlemde 33 sayısının tersi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −95-\frac{9}{5}

Cevap

İstenen değer −95-\frac{9}{5}'tir.
İşlemde bir elemanın tersini bulmak için önce birim eleman (ee) bulunur (xΔe=xx \Delta e = x). Bu işlemde e=−1e = -1 çıkar. Daha sonra 3Δ3−1=−13 \Delta 3^{-1} = -1 eşitliği çözüldüğünde sonuç −95-\frac{9}{5} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim (etkisiz) elemanı (ee) bulmak için xΔe=xx \Delta e = x eşitliğini kur.
x⋅e+2x+2e+2=xx \cdot e + 2x + 2e + 2 = x
Bir işlemde ters elemanı bulabilmek için önce o işlemin birim elemanı bilinmelidir.
2
Eşitliği düzenleyerek ee'yi yalnız bırak.
e(x+2)+2x+2=x⇒e(x+2)+(x+2)=0⇒(x+2)(e+1)=0e(x+2) + 2x + 2 = x \Rightarrow e(x+2) + (x+2) = 0 \Rightarrow (x+2)(e+1) = 0. Buradan e=−1e = -1 bulunur.
Eşitliğin her xx değeri için sağlanması, parantez içindeki ifadenin sıfırlanmasını gerektirir.
3
33 sayısının tersini (mm) bulmak için 3Δm=e3 \Delta m = e eşitliğini çöz.
3⋅m+2(3)+2m+2=−13 \cdot m + 2(3) + 2m + 2 = -1
Bir sayının tersi ile işleme girmesi sonucu birim eleman elde edilir.
4
Denklemi çözerek sonucu bul.
3m+6+2m+2=−1⇒5m+8=−1⇒5m=−9⇒m=−953m + 6 + 2m + 2 = -1 \Rightarrow 5m + 8 = -1 \Rightarrow 5m = -9 \Rightarrow m = -\frac{9}{5}
Sonuç adımı.

Anahtar Kavram

Ters Eleman

İpuçları

1
Bir elemanın tersini bulabilmek için önce o işlemin birim (etkisiz) elemanını bulmalısınız.
2
Birim eleman ee olmak üzere, her xx için xΔe=xx \Delta e = x eşitliğini sağlayan ee değerini hesaplayın.
3
Birim eleman e=−1e = -1 dir. Şimdi 33'ün tersi olan sayıya mm diyerek 3Δm=−13 \Delta m = -1 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir işlemde tersi kendisine eşit olan elemanları bulmayı deneyiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 250Soru →
x=3+173−17−33x = \sqrt[3]{3 + \sqrt{17}} - \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3} olduğuna göre,
x3+6xx^3 + 6x
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İfadenin değeri 6'dır.
Sorunun çözümü için (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b) özdeşliği kullanılır. x=a−bx = a - b olarak düşünüldüğünde, aa ve bb değerlerinin küpleri farkı 6 ve çarpımları 2 çıkar. Bu değerler yerine yazıldığında x3=6−6xx^3 = 6 - 6x eşitliği bulunur, buradan da x3+6x=6x^3 + 6x = 6 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi x=a−bx = a - b formunda tanımla.
a=17+33a = \sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} ve b=17−33b = \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3} olsun.
Küp açılımı özdeşliğini kullanabilmek için terimleri isimlendirmek işlemi kolaylaştırır.
2
Eşitliğin her iki tarafının küpünü alarak (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b) özdeşliğini uygula.
x3=(17+3)−(17−3)−3(17+33⋅17−33)⋅xx^3 = (\sqrt{17} + 3) - (\sqrt{17} - 3) - 3(\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3}) \cdot x
xx değişkenine bağlı bir denklem elde etmek için küp alma işlemi gereklidir.
3
a3−b3a^3 - b^3 farkını ve a⋅ba \cdot b çarpımını hesapla.
a3−b3=3−(−3)=6a^3 - b^3 = 3 - (-3) = 6 ve a⋅b=(17+3)(17−3)3=17−93=83=2a \cdot b = \sqrt[3]{(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} - 3)} = \sqrt[3]{17 - 9} = \sqrt[3]{8} = 2.
Denklemdeki sabit terimleri bulmak için kök içindeki işlemler yapılır. İki kare farkı (m−n)(m+n)=m2−n2(m-n)(m+n) = m^2 - n^2 kullanılır.
4
Bulunan değerleri ana denklemde yerine yaz.
x3=6−3(2)(x)⇒x3=6−6xx^3 = 6 - 3(2)(x) \Rightarrow x^3 = 6 - 6x
Bulunan sayısal değerler yerine konularak xx cinsinden basit bir eşitlik elde edilir.
5
İstenen x3+6xx^3 + 6x ifadesini elde etmek için terimleri düzenle.
x3+6x=6x^3 + 6x = 6
Soruda sorulan ifadeyi doğrudan elde etmek için −6x-6x terimi eşitliğin diğer tarafına atılır.

Anahtar Kavram

Tam Küp Özdeşliği ve Köklü İfadeler

İpuçları

1
İfadeyi x=A−Bx = A - B şeklinde düşünün ve her iki tarafın küpünü alarak (A−B)3(A-B)^3 özdeşliğini kullanmayı deneyin.
2
(A−B)3=A3−B3−3AB(A−B)(A-B)^3 = A^3 - B^3 - 3AB(A-B) özdeşliğinde, A=17+33A = \sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} ve B=17−33B = \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3} değerlerini yerine yazın.
3
Küp kök içindeki sayıların çarpımının (17+3)(17−3)=17−9=8(\sqrt{17}+3)(\sqrt{17}-3) = 17-9=8 olduğuna dikkat edin. Bu durumda AB=2AB=2 olacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki x=5+23−5−23x = \sqrt[3]{\sqrt{5}+2} - \sqrt[3]{\sqrt{5}-2} sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Polinom denklemi kurma yöntemi: xx değerini bir kök kabul eden 3. dereceden denklem oluşturularak da çözüme gidilebilir, ancak küp alma yöntemi en pratik olandır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 251Soru →

Bir kamu kurumunun arşiv dairesinde bulunan dosya klasörlerinin sayısının, evrak raflarının sayısına oranı 83\frac{8}{3} olarak belirlenmiştir. Bu arşivde toplam 1515 adet evrak rafı bulunduğuna göre, dosya klasörlerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Arşivdeki dosya klasörlerinin sayısı 40'tır.
Verilen oran 83\frac{8}{3} olduğuna göre, her 33 raf için 88 dosya klasörü bulunmaktadır. Raf sayısı 1515 olduğuna göre, bu 33 sayısının 55 katıdır (15=3×515 = 3 \times 5). Orantının bozulmaması için dosya sayısı da 88 sayısının 55 katı olmalıdır (8×5=408 \times 5 = 40).

Adım Adım Çözüm

1
Oran orantı denklemini kurunuz.
Dosya Klaso¨ru¨ SayısıEvrak Rafı Sayısı=83\frac{\text{Dosya Klasörü Sayısı}}{\text{Evrak Rafı Sayısı}} = \frac{8}{3}
Soruda verilen oran, iki çokluk arasındaki ilişkiyi gösterir.
2
Bilinen değeri (evrak rafı sayısı = 15) denklemde yerine yazınız.
x15=83\frac{x}{15} = \frac{8}{3}
Bilinmeyen dosya klasörü sayısına xx diyerek denklem oluşturulur.
3
İçler dışlar çarpımı yaparak bilinmeyeni bulunuz.
3⋅x=8⋅15⇒3x=120⇒x=403 \cdot x = 8 \cdot 15 \Rightarrow 3x = 120 \Rightarrow x = 40
Doğru orantılı çokluklarda içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Oran, iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasıdır. İki oranın eşitliğine ise orantı denir.

İpuçları

1
Dosya sayısı ile raf sayısı arasında doğru orantı olduğunu unutmayın.
2
Raf sayısı olan 1515, orandaki payda olan 33'ün kaç katıdır?
3
x15=83\frac{x}{15} = \frac{8}{3} denkleminde içler dışlar çarpımı yaparak xx değerini yalnız bırakın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, toplam personel sayısı verilip bir grubun sayısı istendiğinde 2k+7k=9k2k + 7k = 9k mantığını kullanmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Kat yöntemi: 3k=153k = 15 ise k=5k = 5 bulunur. Dosya sayısı 8k8k olduğu için 8×5=408 \times 5 = 40 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:45s
Soru 252Soru →

Bir kamu kurumunda evrak kayıt memuru olarak görev yapan bir personel, 1212 adet dilekçeyi 4040 dakikada sisteme kaydedebilmektedir. Bu personel aynı çalışma hızıyla, 100100 dakikalık çalışma süresi boyunca toplam kaç adet dilekçeyi sisteme kaydedebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Personel 100 dakikada toplam 30 adet dilekçe kaydedebilir.
Dilekçe sayısı ile süre arasında doğru orantı vardır. 1212 dilekçe 4040 dakikada yapılıyorsa, 11 dilekçe için 40/1240/12 değil, her 1010 dakikada 33 dilekçe yapıldığı görülür (12/4=312/4 = 3 ve 40/4=1040/4 = 10). Bu durumda 100100 dakika, 1010 dakikanın 1010 katı olduğu için dilekçe sayısı da 33'ün 1010 katı olan 3030 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bilgiler doğrultusunda doğru orantı denklemini kurun.
12 dilekc¸e40 dakika=x dilekc¸e100 dakika\frac{12 \text{ dilekçe}}{40 \text{ dakika}} = \frac{x \text{ dilekçe}}{100 \text{ dakika}}
Dilekçe sayısı arttıkça geçen sürenin de aynı oranda artması gerektiği için doğru orantı kullanılır.
2
Denklemdeki oranları sadeleştirerek işlemi kolaylaştırın.
310=x100\frac{3}{10} = \frac{x}{100}
12 ve 40 sayılarını 4 ile sadeleştirerek daha küçük sayılarla işlem yapmak hata payını azaltır.
3
İçler dışlar çarpımı yaparak bilinmeyen xx değerini hesaplayın.
10×x=3×100⇒10x=300⇒x=3010 \times x = 3 \times 100 \Rightarrow 10x = 300 \Rightarrow x = 30
Orantının temel özelliği gereği içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Doğru Orantı ve Orantı Kurma

İpuçları

1
İş miktarı (dilekçe sayısı) ile geçen süre arasındaki ilişkiyi düşünün. Süre arttıkça kayıt edilen dilekçe sayısı da artar mı?
2
Verilen değerlerle bir doğru orantı tablosu veya denklemi oluşturun: 1212 dilekçeye 4040 dakika geliyorsa, xx dilekçeye 100100 dakika gelir.
3
İçler dışlar çarpımı yaparak 1240=x100\frac{12}{40} = \frac{x}{100} denklemini çözün. Sadeleştirme yapmak işinizi kolaylaştıracaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, dilekçe sayısının sabit tutulup sürenin sorulduğu bir kurguyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Birim süre yöntemini kullanabilirsiniz. 1212 dilekçe 4040 dakikada kaydediliyorsa, 1010 dakikada 12÷4=312 \div 4 = 3 dilekçe kaydedilir. 100100 dakika 1010 dakikanın 1010 katı olduğu için, 3×10=303 \times 10 = 30 dilekçe kaydedilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 253Soru →
xx bir tam sayı olmak üzere,
16−∣x2−20∣x+5−3x−43 \frac{\sqrt{16 - |x^2 - 20|}}{\sqrt{x+5}} - \frac{3}{\sqrt[3]{x-4}}

ifadesi bir gerçel sayı belirttiğine göre, xx'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İfadenin tanımlı olduğu 7 farklı tam sayı değeri vardır.
İfadenin tanımlı olması için üç koşulun kesişimi alınmalıdır: 1) Çift dereceli kökün içi negatif olmamalı (4≤x2≤364 \le x^2 \le 36), 2) Paydadaki çift kök sıfırdan büyük olmalı (x>−5x > -5), 3) Paydadaki tek kök sıfır olmamalı (x≠4x \ne 4). Bu koşulları sağlayan tam sayılar {−4,−3,−2,2,3,5,6}\{-4, -3, -2, 2, 3, 5, 6\} olmak üzere toplam 7 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki kareköklü ifadenin tanımlı olma şartını incele: 16−∣x2−20∣\sqrt{16 - |x^2 - 20|}
16−∣x2−20∣≥0⇒∣x2−20∣≤1616 - |x^2 - 20| \ge 0 \Rightarrow |x^2 - 20| \le 16
Çift dereceli köklerin içi negatif olamaz.
2
Mutlak değer eşitsizliğini çöz.
−16≤x2−20≤16⇒4≤x2≤36-16 \le x^2 - 20 \le 16 \Rightarrow 4 \le x^2 \le 36
Mutlak değer ∣u∣≤a|u| \le a ise −a≤u≤a-a \le u \le a kuralı uygulanır.
3
x2x^2 eşitsizliğinden xx aralıklarını bul.
x∈[−6,−2]∪[2,6]x \in [-6, -2] \cup [2, 6]
Karesi 4 ile 36 arasında olan sayılar, pozitif tarafta [2,6][2,6], negatif tarafta [−6,−2][-6,-2] aralığındadır.
4
Birinci paydanın tanımlı olma şartını incele: x+5\sqrt{x+5}
x+5>0⇒x>−5x+5 > 0 \Rightarrow x > -5
Paydada olduğu için kök içi sıfırdan kesinlikle büyük olmalıdır.
5
İkinci paydanın tanımlı olma şartını incele: x−43\sqrt[3]{x-4}
x−4≠0⇒x≠4x-4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4
Tek dereceli köklerin içi negatif olabilir ancak paydada olduğu için sıfır olamaz.
6
Tüm şartları sağlayan ortak kümeyi (kesişimi) bul.
Kümeler: ([−6,−2]∪[2,6])∩(x>−5)∖{4}([-6, -2] \cup [2, 6]) \cap (x > -5) \setminus \{4\}
Tüm kısıtlamaların aynı anda sağlanması gerekir.
7
Kesişim kümesindeki tam sayıları listele ve say.
Negatifler: {−4,−3,−2}\{-4, -3, -2\} (3 adet). Pozitifler: {2,3,5,6}\{2, 3, 5, 6\} (44 hariç, 4 adet). Toplam: 3+4=73 + 4 = 7.
Aralık (−5,−2]∪[2,6](-5, -2] \cup [2, 6] şeklindedir ve x≠4x \ne 4 şartı vardır.

Anahtar Kavram

Köklü İfadelerin Tanım Aralığı

İpuçları

1
Köklü ifadelerin derecelerine dikkat et: Çift dereceli köklerin içi negatif olamaz (≥0≥ 0), tek dereceli köklerin içi her reel sayı olabilir.
2
Paydada bulunan ifadeler sıfıra eşit olamaz. Ayrıca mutlak değerli eşitsizlik ∣x2−20∣≤16|x^2 - 20| ≤ 16 ifadesini çözerken alt sınırı unutma.
3
∣x2−20∣≤16|x^2 - 20| ≤ 16 eşitsizliği 4≤x2≤364 ≤ x^2 ≤ 36 sonucunu verir. Bu da çözüm kümesinin ortasında bir boşluk olduğu anlamına gelir.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer içinde bilinmeyen içeren köklü ifadelerin tanım aralığı soruları.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde her bir kısıtlamayı ayrı renklerle çizerek kesişim bölgesini görsel olarak bulmak hataları önleyebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 254Soru →
205−45+−13 \frac{20}{\sqrt{5}} - \sqrt{45} + \sqrt[3]{-1}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5−1\sqrt{5} - 1

Cevap

5−1\sqrt{5} - 1
İşlem adımları takip edildiğinde; ilk terim rasyonel yapılarak 454\sqrt{5}, ikinci terim sadeleştirilerek 353\sqrt{5} ve üçüncü terim −1-1 olarak bulunur. Bu değerler arasındaki işlem 45−35−14\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 1 şeklinde olup sonuç 5−1\sqrt{5} - 1 dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kesirli ifadenin paydası rasyonel yapılır.
205=2055=45 \frac{20}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}
Paydadaki köklü ifadeden kurtulmak için kesir 5\sqrt{5} ile genişletilir.
2
Kök içindeki diğer sayı en sade hale getirilir.
45=9⋅5=35 \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}
Kök içindeki tam kare olan çarpan (9) kök dışına çıkarılır.
3
Tek dereceli kök (küp kök) hesaplanır.
−13=−1 \sqrt[3]{-1} = -1
Negatif sayıların tek kuvvetten kökleri negatiftir ((−1)3=−1(-1)^3 = -1).
4
Bulunan değerler işlemde yerine yazılır.
45−35+(−1)=5−1 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + (-1) = \sqrt{5} - 1
Benzer köklü terimlerin katsayıları çıkarılır (4−3=14-3=1) ve sabit terim eklenir.

Anahtar Kavram

Köklü İfadelerde Dört İşlem
Soru 255Soru →
25x+5x+125−x+5−x+1=15625 \frac{25^x + 5^x + 1}{25^{-x} + 5^{-x} + 1} = 15625
eşitliği veriliyor.

Buna göre, xx kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitliği sağlayan x değeri 3'tür.
Verilen kesirli ifadede payda düzenlendiğinde, payın 52x5^{2x}'e bölünmüş hali olduğu görülür. Ters çevirip çarpma işlemi yapıldığında paydaki ve paydadaki uzun terimler birbirini götürür ve geriye sadece 52x5^{2x} kalır. 1562515625 sayısı 565^6'ya eşit olduğundan, 2x=62x=6 denklemi elde edilir ve buradan x=3x=3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki 25x25^x ve 25−x25^{-x} ifadelerini 5 tabanında yazalım.
(52)x+5x+1(52)−x+5−x+1=52x+5x+15−2x+5−x+1 \frac{(5^2)^x + 5^x + 1}{(5^2)^{-x} + 5^{-x} + 1} = \frac{5^{2x} + 5^x + 1}{5^{-2x} + 5^{-x} + 1}
Tüm terimleri aynı tabanda (5) ifade etmek, sadeleştirmeyi görmeyi kolaylaştırır.
2
Paydadaki negatif üslü ifadeleri kesirli olarak yazıp payda eşitleyelim.
5−2x+5−x+1=152x+15x+1=1+5x+52x52x 5^{-2x} + 5^{-x} + 1 = \frac{1}{5^{2x}} + \frac{1}{5^x} + 1 = \frac{1 + 5^x + 5^{2x}}{5^{2x}}
Negatif üslerden kurtulup ifadeyi düzenlemek, pay ile olan ilişkiyi ortaya çıkarır.
3
Bulduğumuz ifadeyi ana denklemde yerine koyup ters çevirip çarpma işlemi yapalım.
52x+5x+11+5x+52x52x=(52x+5x+1)⋅52x1+5x+52x=52x \frac{5^{2x} + 5^x + 1}{\frac{1 + 5^x + 5^{2x}}{5^{2x}}} = (5^{2x} + 5^x + 1) \cdot \frac{5^{2x}}{1 + 5^x + 5^{2x}} = 5^{2x}
Kesirlerde bölme işlemi yapılırken ikinci kesir ters çevrilip çarpılır; bu da ortak parantezlerin sadeleşmesini sağlar.
4
Sadeleşmiş ifadeyi verilen sayıya eşitleyip x'i bulalım.
52x=15625⇒52x=56⇒2x=6⇒x=3 5^{2x} = 15625 \Rightarrow 5^{2x} = 5^6 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3
Üslü denklemlerde tabanlar eşitse üsler de eşittir kuralı uygulanır (15625=5615625 = 5^6).

Anahtar Kavram

Negatif üs içeren rasyonel ifadelerde, pay ve payda arasındaki kat ilişkisini görmek için payda eşitlenerek ortak çarpan parantezine alınır.

İpuçları

1
Paydadaki 25−x25^{-x} ve 5−x5^{-x} ifadelerini 125x\frac{1}{25^x} ve 15x\frac{1}{5^x} şeklinde yazarak payda eşitlemeyi deneyin.
2
Paydayı düzenlediğinizde 1+5x+25x25x\frac{1 + 5^x + 25^x}{25^x} ifadesini elde edeceksiniz. Şimdi bölme işlemini yapın.
3
Bölme işleminden sonra elinizde sadece 25x25^x kalacak. Bunu 15625'e eşitleyerek x'i bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir sadeleştirme sorusunu 3x3^x tabanıyla veya harfli ifadelerle (a,ba, b) çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

a=5xa = 5^x dönüşümü yaparsanız ifade a2+a+1a−2+a−1+1\frac{a^2+a+1}{a^{-2}+a^{-1}+1} haline gelir. Bu yapının değeri her zaman en büyük dereceli terime (a2a^2) eşittir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 256Soru →

A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} ve B={3,4,5,6}B = \{3, 4, 5, 6\} kümeleri veriliyor. Buna göre, bu iki kümenin ortak elemanlarından oluşan A∩BA \cap B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {3,4}\{3, 4\}

Cevap

Kesişim kümesi {3,4}\{3, 4\} olarak bulunur.
İki kümenin kesişimi, her iki kümede de bulunan ortak elemanların kümesidir. Verilen AA ve BB kümeleri incelendiğinde, hem AA kümesinde hem de BB kümesinde bulunan sayıların sadece 33 ve 44 olduğu görülür. Bu nedenle kesişim kümesi {3,4}\{3, 4\} olur.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB kümelerinin elemanlarını tek tek inceleyin.
A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} ve B={3,4,5,6}B = \{3, 4, 5, 6\} elemanlarına sahiptir.
Hangi elemanların ortak olduğunu belirlemek için liste yöntemiyle karşılaştırma yapmak en kolay yoldur.
2
Her iki kümede de aynı anda bulunan sayıları işaretleyin.
33 ve 44 sayıları her iki kümede de mevcuttur.
Kesişim işlemi (∩\cap), kümelerin 've' bağlacı ile birbirine bağlanan ortak elemanlarını bulmayı amaçlar.
3
Bu ortak elemanları yeni bir küme parantezi içinde yazın.
A∩B={3,4}A \cap B = \{3, 4\}
Kesişim kümesinin matematiksel gösterimi bu şekildedir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Kesişim İşlemi

İpuçları

1
Kesişim işlemi (∩\cap), iki kümenin 'ortak' elemanlarını bulmak demektir.
2
AA ve BB kümelerinin listelerine bakın. Hangi sayılar her iki listede de yazıyor?
3
33 ve 44 elemanlarını her iki kümede de görebiliyor musunuz? İşte bu elemanlar kesişim kümesini oluşturur.

Daha Fazla Pratik

Kesişim kümesini bulduktan sonra, aynı kümeler için birleşim (A∪BA \cup B) kümesini yazarak aradaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek, her iki dairenin üst üste bindiği (ortak olan) bölgeye elemanları yerleştirebilirsiniz. Bu bölgedeki elemanlar kesişimi verir.
Tahmini Süre:45s
Soru 257Soru →
(−3)2+23−40(-3)^2 + 2^3 - 4^0
işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İşlemin sonucu 16 olarak bulunur.
Verilen işlemdeki her bir terim üslü sayı kurallarına göre ayrı ayrı hesaplanır: (−3)2=9(-3)^2 = 9, 23=82^3 = 8 ve 40=14^0 = 1. Bu değerler işlemde yerine yazıldığında 9+8−19 + 8 - 1 ifadesi elde edilir. Bu toplama ve çıkarma işleminin sonucu 1616 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
(−3)2(-3)^2 ifadesini hesaplayın.
(−3)×(−3)=9(-3) \times (-3) = 9
Negatif bir sayının çift kuvveti her zaman pozitiftir.
2
232^3 ifadesini hesaplayın.
2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8
Üslü sayılarda kuvvet, tabanın kendisiyle kaç kez çarpılacağını belirtir.
3
404^0 ifadesini hesaplayın.
11
Matematikte sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 11 olarak tanımlanmıştır.
4
Elde edilen sonuçları ana işlemde yerlerine koyarak toplama ve çıkarma işlemlerini tamamlayın.
9+8−1=169 + 8 - 1 = 16
Bulunan değerlerin aritmetik toplamı nihai sonucu verir.

Anahtar Kavram

Üslü sayıların temel özellikleri (negatif taban, pozitif kuvvet ve sıfırıncı kuvvet kuralı).

İpuçları

1
İşlemdeki her bir üslü ifadeyi (negatif taban, küp ve sıfırıncı kuvvet) sırasıyla hesaplamaya başlayın.
2
Unutmayın: Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir ve herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti 11'dir.
3
(−3)2=9(-3)^2 = 9, 23=82^3 = 8 ve 40=14^0 = 1 değerlerini kullanarak işlemi 9+8−19 + 8 - 1 şeklinde yeniden yazın.

Daha Fazla Pratik

Negatif üs içeren benzer bir hesaplama sorusu çözerek bilgilerinizi pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 258Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonlarından; ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre, gg fonksiyonunun grafiği ise orijine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için,
f(x)+g(x)=3x2+4x+5 f(x) + g(x) = 3x^2 + 4x + 5

eşitliği sağlandığına göre, (g∘f)(−1)(g \circ f)(-1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

32
Verilen simetri özelliklerine göre ff çift (f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)), gg ise tek (g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x)) fonksiyondur. Denklemde xx yerine −x-x yazılarak f(x)−g(x)=3x2−4x+5f(x)-g(x)=3x^2-4x+5 elde edilir. Orijinal denklemle taraf tarafa işlemler yapıldığında f(x)=3x2+5f(x)=3x^2+5 ve g(x)=4xg(x)=4x bulunur. Buradan (g∘f)(−1)=g(f(−1))=g(8)=32(g \circ f)(-1) = g(f(-1)) = g(8) = 32 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri özelliklerini matematiksel olarak ifade et.
f y-eksenine göre simetrik ise f(-x) = f(x) (Çift fonksiyon); g orijine göre simetrik ise g(-x) = -g(x) (Tek fonksiyon).
Fonksiyonların grafik simetrileri, tek ve çift olma özelliklerini belirler.
2
Verilen denklemde x yerine -x yazarak ikinci bir denklem elde et.
f(-x) + g(-x) = 3(-x)^2 + 4(-x) + 5 => f(x) - g(x) = 3x^2 - 4x + 5.
İki bilinmeyenli (f ve g) bir denklem sistemi oluşturmak için simetri özelliklerini kullanmak gerekir.
3
Elde edilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak f(x) fonksiyonunu bul.
(f(x) + g(x)) + (f(x) - g(x)) = (3x^2 + 4x + 5) + (3x^2 - 4x + 5) => 2f(x) = 6x^2 + 10 => f(x) = 3x^2 + 5.
g(x) terimlerini yok ederek f(x)'i yalnız bırakmak.
4
İlk denklemden f(x)'i çıkararak g(x) fonksiyonunu bul.
g(x) = (3x^2 + 4x + 5) - (3x^2 + 5) = 4x.
f(x) bulunduktan sonra g(x)'i bulmak için yerine koyma veya çıkarma işlemi yapılır.
5
İstenen (gof)(-1) değerini hesapla.
Önce f(-1) = 3(-1)^2 + 5 = 8. Sonra g(8) = 4(8) = 32.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği önce içteki fonksiyonun değeri bulunur, sonra dıştaki fonksiyonda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Fonksiyonların Simetri Özellikleri

İpuçları

1
Grafiği y-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar 'çift', orijine göre simetrik olanlar 'tek' fonksiyondur.
2
Çift fonksiyonlarda f(−x)=f(x)f(-x) = f(x), tek fonksiyonlarda g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) eşitliğini kullanın.
3
Verilen denklemde xx yerine −x-x yazarak ikinci bir denklem elde edin ve bu iki denklemi f(x)f(x) ve g(x)g(x)'i bulmak için taraf tarafa toplayıp çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Tek ve çift fonksiyonların türevleri veya integralleri ile ilgili özellikleri inceleyin.

Alternatif Yöntem

Polinom eşitliği yöntemini kullanmak: f(x) çift olduğundan sadece çift dereceli terimler (ax2+cax^2+c), g(x) tek olduğundan sadece tek dereceli terimler (bxbx) içermelidir. f(x)+g(x)=ax2+bx+c=3x2+4x+5f(x)+g(x) = ax^2+bx+c = 3x^2+4x+5 diyerek katsayıları eşleştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 259Soru →

Bir kenar uzunluğu aa birim olan kare ile bir kenar uzunluğu bb birim olan karenin alanları farkı 6060 birimkaredir. Bu iki karenin çevre uzunlukları toplamı 4040 birim olduğuna göre, kenar uzunlukları arasındaki fark (a−ba-b) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Kenar uzunlukları farkı 6 birimdir.
Karelerin alanları farkı a2−b2=60a^2 - b^2 = 60 ve çevreleri toplamı 4a+4b=404a+4b=40 olarak verilir. Çevre denkleminden a+b=10a+b=10 bulunur. İki kare farkı özdeşliği (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2-b^2 kullanıldığında, (a−b)⋅10=60(a-b) \cdot 10 = 60 eşitliği elde edilir ve buradan a−b=6a-b=6 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeleri matematiksel eşitliklere dökün.
Alanlar farkı: a2−b2=60a^2 - b^2 = 60. Çevreler toplamı: 4a+4b=404a + 4b = 40.
Problemdeki geometrik tanımları cebirsel ifadelere çevirmek gerekir.
2
Çevre denklemini sadeleştirerek (a+b)(a+b) toplamını bulun.
4(a+b)=40  ⟹  a+b=104(a + b) = 40 \implies a + b = 10.
İki kare farkı özdeşliğini kullanabilmek için terimlerin toplamına ihtiyaç vardır.
3
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak denklemi yazın.
a2−b2=(a−b)⋅(a+b)a^2 - b^2 = (a - b) \cdot (a + b) olduğu için 60=(a−b)⋅1060 = (a - b) \cdot 10.
Özdeşlik, çarpım durumundaki ifadeleri birbirine bağlar.
4
Bilinmeyen (a−b)(a-b) değerini hesaplayın.
a−b=6010=6a - b = \frac{60}{10} = 6.
Çarpma işleminin tersi olan bölme işlemi ile sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği: x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

İpuçları

1
Karenin alanı a2a^2, çevresi ise 4a4a formülü ile bulunur.
2
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliğini hatırlayın.
3
Çevrelerin toplamından a+ba+b değerini bulup, alanlar farkı formülünde yerine koyarak a−ba-b değerini çekebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış, iki küp farkı özdeşliğini kullanan problemler çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 260Soru →
x+2x−1−x−2x−1=2 \sqrt{x + \sqrt{2x-1}} - \sqrt{x - \sqrt{2x-1}} = \sqrt{2}

denklemini sağlayan en geniş xx gerçel sayı aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [1,∞)[1, \infty)

Cevap

Denklemi sağlayan en geniş aralık [1,∞)[1, \infty) aralığıdır.
Denklem çözüldüğünde ∣x−1∣=x−1|x-1| = x-1 eşitliğine ulaşılır. Bir sayının mutlak değerinin kendisine eşit olması için o sayının sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir (x−1≥0x-1 \ge 0). Bu da x≥1x \ge 1 sonucunu verir. Ayrıca x≥1x \ge 1 koşulu, köklü ifadenin tanım aralığı olan x≥1/2x \ge 1/2 koşulunu da sağladığı için çözüm kümesi [1,∞)[1, \infty) aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak köklerden kurtulmaya çalış.
(x+2x−1−x−2x−1)2=(2)2(\sqrt{x + \sqrt{2x-1}} - \sqrt{x - \sqrt{2x-1}})^2 = (\sqrt{2})^2
Köklü ifadelerde çözüm için en yaygın yöntem kare almaktır; bu işlem denklemi basitleştirir.
2
Tam kare açılımını ((a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2) uygula.
(x+2x−1)−2(x+2x−1)(x−2x−1)+(x−2x−1)=2(x + \sqrt{2x-1}) - 2\sqrt{(x + \sqrt{2x-1})(x - \sqrt{2x-1})} + (x - \sqrt{2x-1}) = 2
Birinci ve üçüncü terimdeki kökler kare alınca kalkar, ortadaki terim ise iki kökün çarpımı olur.
3
İfadeyi düzenle ve ortadaki kök içindeki iki kare farkını hesapla.
2x−2x2−(2x−1)=2  ⟹  2x−2x2−2x+1=22x - 2\sqrt{x^2 - (2x-1)} = 2 \implies 2x - 2\sqrt{x^2 - 2x + 1} = 2
(A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B) = A^2 - B^2 özdeşliği kullanılır.
4
Kök içindeki ifadenin (x−1)2(x-1)^2 olduğunu gör ve kök dışına mutlak değerle çıkar.
2x−2(x−1)2=2  ⟹  2x−2∣x−1∣=22x - 2\sqrt{(x-1)^2} = 2 \implies 2x - 2|x-1| = 2
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| kuralı burada kritiktir. Çoğu hata bu adımda mutlak değerin unutulmasıyla yapılır.
5
Denklemi sadeleştir ve mutlak değerin tanımını uygula.
x−∣x−1∣=1  ⟹  ∣x−1∣=x−1x - |x-1| = 1 \implies |x-1| = x - 1
Bu eşitlik, ancak ve ancak mutlak değerin içi negatif değilse (x−1≥0x-1 \ge 0) sağlanır.
6
Sonuç kümesini ve tanım aralığını belirle.
x−1≥0  ⟹  x≥1x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1. Tanım aralığı (x≥1/2x \ge 1/2) ile kesişimi: [1,∞)[1, \infty).
Mutlak değer dışına aynen çıkması için x≥1x \ge 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

İç İçe Kökler ve Mutlak Değer

İpuçları

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak dıştaki köklerden kurtulmayı deneyin.
2
Kare aldıktan sonra elde edeceğiniz x2−2x+1\sqrt{x^2 - 2x + 1} ifadesini (x−1)2\sqrt{(x-1)^2} olarak yazın.
3
A2=∣A∣\sqrt{A^2} = |A| kuralını unutmayın. ∣x−1∣=x−1|x-1| = x-1 eşitliği hangi xx değerleri için sağlanır?

Daha Fazla Pratik

x2−4x+4+∣x−2∣=0\sqrt{x^2 - 4x + 4} + |x-2| = 0 denkleminin çözüm kümesini soran bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:4m 0s
ÖncekiSayfa 13 / 22Sonraki
Cebir — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 13 | Examkin