Examkin

Cebir

424 soru

Soru 221Soru →
Her xx gerçel sayısı için
f(x)=3x−10f(x) = 3x - 10

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, f(6)+f(1)f(6) + f(1) işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

f(6) ve f(1) değerlerinin toplamı 1'dir.
Verilen fonksiyon kuralında x yerine sırasıyla 6 ve 1 değerleri yazıldığında f(6) = 8 ve f(1) = -7 sonuçları elde edilir. Bu iki sonucun toplamı olan 8 + (-7) işlemi bizi 1 sonucuna ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
f(6) değerini hesapla
f(6)=3(6)−10=18−10=8f(6) = 3(6) - 10 = 18 - 10 = 8
Fonksiyon kuralında x yerine 6 yazılarak o noktadaki değer bulunur.
2
f(1) değerini hesapla
f(1)=3(1)−10=3−10=−7f(1) = 3(1) - 10 = 3 - 10 = -7
Fonksiyon kuralında x yerine 1 yazılarak o noktadaki değer bulunur.
3
Bulunan değerleri topla
8+(−7)=18 + (-7) = 1
Soruda istenen toplam ifadesi elde edilir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma (Substitution)

İpuçları

1
Fonksiyonlarda f(a)f(a) değerini bulmak için fonksiyondaki xx değişkeni yerine aa sayısını yazmalısın.
2
Önce f(6)f(6) ve f(1)f(1) değerlerini ayrı ayrı hesaplayıp bir kenara not etmeyi dene.
3
f(6)=8f(6) = 8 ve f(1)=−7f(1) = -7 olarak bulunur. Şimdi bu iki sayıyı toplamalısın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde f(x) = 2x + 5 için f(-2) + f(3) toplamını hesaplayarak pratiğini artırabilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 222Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z∣40<x<340, x=4k, k∈Z}A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 40 < x < 340, \: x = 4k, \: k \in \mathbb{Z} \}

B={x∈Z∣40<x<340, x=6m+4, m∈Z}B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 40 < x < 340, \: x = 6m + 4, \: m \in \mathbb{Z} \}

Buna göre, A∖BA \setminus B fark kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

A \setminus B kümesinin eleman sayısı 50'dir.
Doğru cevap 50'dir çünkü s(A)=74s(A)=74 ve s(A∩B)=24s(A \cap B)=24 olarak hesaplanır. s(A∖B)=74−24=50s(A \setminus B) = 74 - 24 = 50 sonucuna ulaşılır. Kesişim kümesi belirlenirken x=4kx = 4k ve x=6m+4x = 6m+4 koşullarının ortak çözümü olan x=12n+4x = 12n+4 dizisi kullanılır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin eleman sayısını bulmak için aralıktaki 4'ün katı olan sayıları belirle.
40 < 4k < 340 eşitsizliğinden 10 < k < 85 elde edilir. k değeri 11'den 84'e kadar değer alır. Terim sayısı: 84 - 11 + 1 = 74.
Terim sayısı formülü: (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1.
2
A ve B kümelerinin kesişim kümesinin (A ∩ B) kuralını belirle.
x hem 4'ün katı (x=4k) hem de 6'ya bölündüğünde 4 kalanını veren (x=6m+4) bir sayı olmalıdır. Bu koşulu sağlayan sayılar 12'nin katının 4 fazlasıdır: x = 12n + 4.
4k = 6m + 4 denklemi sadeleştirildiğinde 2k = 3m + 2 olur. Buradan k sayısının 3n+1 formunda olması gerektiği bulunur. Yerine yazılırsa x = 4(3n+1) = 12n + 4 çıkar.
3
Kesişim kümesinin (A ∩ B) eleman sayısını hesapla.
40 < 12n + 4 < 340 eşitsizliğinden 36 < 12n < 336 ve 3 < n < 28 elde edilir. n değeri 4'ten 27'ye kadar değer alır. Terim sayısı: 27 - 4 + 1 = 24.
Sadece ortak elemanlar fark kümesinden çıkarılmalıdır.
4
Fark kümesinin eleman sayısını s(A \ B) = s(A) - s(A ∩ B) formülüyle hesapla.
74 - 24 = 50.
A kümesindeki elemanlardan, B kümesinde de olan (kesişim) elemanlar çıkarılır.

Anahtar Kavram

Fark kümesinin eleman sayısı s(A \ B) = s(A) - s(A ∩ B) formülü ile bulunur. Kesişim kümesi bulunurken, iki farklı modüler aritmetik koşulunun (bölünebilme kuralının) ortak çözümü alınmalıdır.

İpuçları

1
Fark kümesinin eleman sayısını bulmak için s(A∖B)=s(A)−s(A∩B)s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B) formülünü kullanmalısın.
2
Önce AA kümesinin eleman sayısını bul. Ardından A∩BA \cap B kümesini bulmak için hem 4'ün katı olan hem de 6'ya bölündüğünde 4 kalanını veren sayıların genel kuralını (örüntüsünü) tespit et.
3
A∩BA \cap B kümesi için: Bir sayı hem 4'ün katı (4k4k) hem de 6'nın katının 4 fazlası (6m+46m+4) ise, bu sayı 12'ye bölündüğünde 4 kalanını vermelidir (12n+412n+4). Kesişim kümesini bu kurala göre say.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, x=3k+1x = 3k+1 ve x=5m+2x = 5m+2 koşullarını sağlayan sayıların kesişimini Çin Kalan Teoremi mantığıyla bulmayı deneyin.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 223Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
(a+2b)2−(a−2b)2(a + 2b)^2 - (a - 2b)^2

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8ab8ab

Cevap

Verilen ifadenin en sade hali 8ab8ab olarak bulunur.
Doğru cevap olan ifade, (a+2b)2(a+2b)^2 ve (a−2b)2(a-2b)^2 açılımlarının farkı alındığında a2a^2 ve 4b24b^2 terimlerinin birbirini yok etmesi, ortadaki 4ab4ab terimlerinin ise eksi ile eksinin çarpımından dolayı artıya dönüşerek toplanması (4ab+4ab=8ab4ab + 4ab = 8ab) sonucunda elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk parantezin karesini açın.
(a+2b)2=a2+2(a)(2b)+(2b)2=a2+4ab+4b2 (a + 2b)^2 = a^2 + 2(a)(2b) + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2
Tam kare toplam özdeşliği: (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
2
İkinci parantezin karesini açın.
(a−2b)2=a2−2(a)(2b)+(2b)2=a2−4ab+4b2 (a - 2b)^2 = a^2 - 2(a)(2b) + (2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2
Tam kare fark özdeşliği: (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
3
İki ifadeyi birbirinden çıkarın ve eksi işaretini dağıtın.
(a2+4ab+4b2)−(a2−4ab+4b2)=a2+4ab+4b2−a2+4ab−4b2 (a^2 + 4ab + 4b^2) - (a^2 - 4ab + 4b^2) = a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2
Parantez önündeki eksi işareti içerideki tüm terimlerin işaretini değiştirir.
4
Benzer terimleri sadeleştirin.
(a2−a2)+(4b2−4b2)+(4ab+4ab)=8ab (a^2 - a^2) + (4b^2 - 4b^2) + (4ab + 4ab) = 8ab
Aynı dereceli ve aynı değişkenli terimler toplanır veya çıkarılır.

Anahtar Kavram

Tam kare özdeşliklerinin açılımı ve polinomlarda çıkarma işlemi.

İpuçları

1
İki terimin toplamının ve farkının karesi özdeşliklerini ayrı ayrı yazmayı deneyin.
2
(x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 ve (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 formüllerini her iki parantez için uygulayın.
3
İkinci parantezi açtıktan sonra önündeki eksi işaretini içeriye dağıtırken −(−4ab)-(-4ab) ifadesinin +4ab+4ab olacağına dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir yöntemle (3x+y)2−(3x−y)2(3x+y)^2 - (3x-y)^2 ifadesini sadeleştirmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Bu soruyu iki kare farkı özdeşliğini (X2−Y2=(X−Y)(X+Y)X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)) kullanarak da çözebilirsiniz. Burada X=(a+2b)X = (a+2b) ve Y=(a−2b)Y = (a-2b) olarak alınırsa: [(a+2b)−(a−2b)]⋅[(a+2b)+(a−2b)]=(4b)⋅(2a)=8ab[(a+2b) - (a-2b)] \cdot [(a+2b) + (a-2b)] = (4b) \cdot (2a) = 8ab sonucuna daha hızlı ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 224Soru →
5x+1+2⋅5x−5x−1=170 5^{x+1} + 2 \cdot 5^x - 5^{x-1} = 170
olduğuna göre, xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen denklemi sağlayan x değeri 2'dir.
Verilen denklemde tüm terimler 5x−15^{x-1} çarpanını içermektedir. İfade bu paranteze alındığında 5x−1(25+10−1)=1705^{x-1}(25 + 10 - 1) = 170 elde edilir. Parantez içi 34 çıktığından, 34⋅5x−1=17034 \cdot 5^{x-1} = 170 denklemi kurulur. Buradan 5x−1=55^{x-1} = 5 olduğu görülür. 5 sayısı 515^1 olduğundan x−1=1x-1 = 1 eşitliği ile x=2x = 2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi en küçük üslü terim olan 5x−15^{x-1} parantezine alın.
5x−1(52+2⋅51−50)=1705^{x-1} (5^2 + 2 \cdot 5^1 - 5^0) = 170
Üslü denklemlerde ortak çarpan parantezine almak ifadeyi sadeleştirmenin en etkin yoludur.
2
Parantez içindeki üslü sayıların değerlerini hesaplayın ve toplayın.
5x−1(25+10−1)=170⇒5x−1⋅34=1705^{x-1} (25 + 10 - 1) = 170 \Rightarrow 5^{x-1} \cdot 34 = 170
İşlem önceliğine göre parantez içi düzenlenmelidir.
3
Eşitliğin her iki tarafını 34'e bölün.
5x−1=17034⇒5x−1=55^{x-1} = \frac{170}{34} \Rightarrow 5^{x-1} = 5
Üslü ifadeyi yalnız bırakarak tabanları eşitlemek hedeflenir.
4
Tabanlar eşit olduğu için üsleri birbirine eşitleyin.
x−1=1⇒x=2x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2
Üslü denklemlerde tabanlar aynı ve 1, 0, -1'den farklı ise üsler birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Üslü denklemlerde toplama-çıkarma işlemlerinde ortak çarpan parantezine alma yöntemi kullanılır.

İpuçları

1
Denklemdeki terimleri en küçük üsse sahip olan 5x−15^{x-1} ortak parantezine almayı deneyin.
2
Parantez içine aldığınızda katsayıların 525^2, 2⋅512 \cdot 5^1 ve −1-1 olduğunu fark edin.
3
5x−1⋅34=1705^{x-1} \cdot 34 = 170 eşitliğini çözerek üssün kaça eşit olması gerektiğini bulun.

Daha Fazla Pratik

Üslü sayılarda toplama ve çıkarma içeren benzer denklemler çözerek katsayı hesaplama pratiği yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 225Soru →

xx ve yy sayıları birbiriyle doğru orantılıdır.

x=4x = 4 iken y=10y = 10 olduğuna göre, x=14x = 14 iken yy kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Değişkenler arasındaki oran sabit olduğu için doğru cevap 35 olarak bulunur.
Verilen sayılar doğru orantılı olduğu için 410=14y\frac{4}{10} = \frac{14}{y} eşitliği kurulur. Buradan içler dışlar çarpımı yapıldığında 4y=1404y = 140 ve y=35y = 35 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru orantı denklemini kurun.
x1y1=x2y2\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} formülünden 410=14y\frac{4}{10} = \frac{14}{y} eşitliği elde edilir.
Doğru orantılı çoklukların birbirine oranı her zaman sabittir.
2
İçler dışlar çarpımı yaparak bilinmeyeni yalnız bırakın.
4×y=10×14⇒4y=1404 \times y = 10 \times 14 \Rightarrow 4y = 140
Orantıdaki bilinmeyeni bulmak için çapraz çarpım kuralı uygulanır.
3
Denklemi çözün.
y=1404=35y = \frac{140}{4} = 35
Eşitliğin her iki tarafı 4'e bölünerek y değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Doğru orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artar; bu çoklukların birbirine bölümü sabittir (y/x=ky/x = k).

İpuçları

1
Doğru orantılı çoklukların birbirine oranının sabit olduğunu hatırlayın.
2
Verilen değerleri xy\frac{x}{y} şeklinde bir kesir olarak yazıp birbirine eşitleyin.
3
410=14y\frac{4}{10} = \frac{14}{y} denkleminde içler dışlar çarpımı yaparak yy değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin ters orantılı olduğu benzer bir problem çözerek aradaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Orantı sabitini (kk) bularak da çözebilirsiniz: k=410=0,4k = \frac{4}{10} = 0,4. Buradan y=xk⇒y=140,4=35y = \frac{x}{k} \Rightarrow y = \frac{14}{0,4} = 35 bulunur.
Tahmini Süre:45s
Soru 226Soru →
Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları için,
1x−1y=4 \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 4

x⋅y=3 x \cdot y = 3

eĢitlikleri veriliyor.

Buna göre, x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

İfadenin değeri 150'dir.
Verilen kesirli ifade düzenlendiğinde y−xy-x farkının değeri bulunur. Bu farkın karesi alındığında ortaya çıkan özdeşlikte, çarpım değeri yerine yazılarak kareler toplamına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen birinci eşitlikte payda eşitlemesi yapılır.
y−xx⋅y=4\frac{y-x}{x \cdot y} = 4
Kesirli ifadeleri işleyebilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir.
2
İkinci eşitlikte verilen x⋅y=3x \cdot y = 3 değeri yerine yazılır ve y−xy-x bulunur.
y−x3=4  ⟹  y−x=12\frac{y-x}{3} = 4 \implies y-x = 12
Bilinmeyenlerden birinin değerini bulmak için verilen çarpım değeri kullanılır.
3
Elde edilen y−x=12y-x=12 eşitliğinin her iki tarafının karesi alınır.
(y−x)2=122  ⟹  y2−2xy+x2=144(y-x)^2 = 12^2 \implies y^2 - 2xy + x^2 = 144
İstenen x2+y2x^2 + y^2 terimine ulaşmak için tam kare özdeşliğinden yararlanılır.
4
Özdeşlikte x⋅y=3x \cdot y = 3 değeri tekrar yerine yazılır ve x2+y2x^2 + y^2 yalnız bırakılır.
x2+y2−2(3)=144  ⟹  x2+y2−6=144  ⟹  x2+y2=150x^2 + y^2 - 2(3) = 144 \implies x^2 + y^2 - 6 = 144 \implies x^2 + y^2 = 150
Sonuca ulaşmak için bilinen değerler yerine konur ve denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşlikleri

İpuçları

1
Birinci denklemde payda eşitlemesi yaparak xx ve yy arasındaki farkı bulmaya çalışın.
2
Payda eşitlemesinden sonra y−xxy=4\frac{y-x}{xy} = 4 elde edeceksiniz. Buradan y−xy-x değerini bulun.
3
Bulduğunuz y−xy-x ifadesinin karesini alın: (y−x)2=y2−2xy+x2(y-x)^2 = y^2 - 2xy + x^2. xyxy değerini zaten biliyorsunuz.

Daha Fazla Pratik

İki sayının toplamı ve çarpımı verildiğinde kareleri toplamını soran soruları inceleyin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 227Soru →
Reel sayılar kümesinde, her aa ve bb gerçel sayısı için
aΔb=2a+2b−ab−2a \Delta b = 2a + 2b - ab - 2

işlemi tanımlanıyor.

Bu işleme göre, tersi kendisine eşit olan ve etkisiz (birim) elemandan farklı olan sayının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşlemin etkisiz elemanı 1 olarak bulunur; tersi kendisine eşit olan sayılar için kurulan denklemden 1 ve 3 kökleri elde edilir, şartı sağlayan değer 3'tür.
Öncelikle işlemin birim elemanı (ee) bulunur: aΔe=aa \Delta e = a denkleminden e=1e=1 elde edilir. Tersi kendisine eşit olan bir sayı (xx) için xΔx=ex \Delta x = e şartı sağlanmalıdır. Bu denklem x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0 sonucunu verir ve kökleri x=1x=1 ve x=3x=3 olur. Soruda birim elemandan (1'den) farklı olan değer istendiği için doğru cevap 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Etkisiz (birim) elemanı (ee) bulmak için aΔe=aa \Delta e = a eşitliğini kur.
2a+2e−ae−2=a2a + 2e - ae - 2 = a
Birim elemanın tanımı gereği, işleme giren sayıyı değiştirmemesi gerekir.
2
Eşitliği ee parantezine alarak çöz.
e(2−a)=a−2a+2⇒e(2−a)=2−a⇒e=1e(2 - a) = a - 2a + 2 \Rightarrow e(2 - a) = 2 - a \Rightarrow e = 1
Her aa değeri için eşitliğin sağlanması ancak e=1e=1 olmasıyla mümkündür.
3
Bir xx sayısının tersi kendisine eşitse (x−1=xx^{-1} = x), xΔx=ex \Delta x = e eşitliğini kur ve e=1e=1 değerini yerine yaz.
2x+2x−x2−2=12x + 2x - x^2 - 2 = 1
Bir sayının tersi ile işleme girmesi sonucu daima birim elemanı verir.
4
Oluşan ikinci dereceden denklemi düzenle ve köklerini bul.
−x2+4x−2=1⇒x2−4x+3=0⇒(x−3)(x−1)=0-x^2 + 4x - 2 = 1 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x-1) = 0
Denklemin kökleri x=3x=3 ve x=1x=1 olarak bulunur.
5
Sorudaki 'birim elemandan farklı' şartına uygun kökü seç.
Kökler 1 ve 3'tür. e=1e=1 olduğundan, birim elemandan farklı olan değer 3'tür.
Bulunan 1 değeri birim elemanın kendisi olduğu için elenir.

Anahtar Kavram

İşlem Özellikleri (Birim Eleman ve Ters Eleman)

İpuçları

1
Önce işlemin etkisiz (birim) elemanını (ee) bulmalısın. Etkisiz eleman aΔe=aa \Delta e = a eşitliğini sağlar.
2
Bulduğun ee değerini kullanarak, tersi kendisine eşit olan sayılar için xΔx=ex \Delta x = e denklemini kurmalısın.
3
xΔx=ex \Delta x = e denklemi sana ikinci dereceden bir ifade verecektir (x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0). Bu denklemin köklerinden biri birim elemanın kendisidir, diğerini seçmelisin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir işlemde tersi olmayan elemanı (yutan eleman) bulmayı deneyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 228Soru →
xx pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
3x+27x−12x=6 \sqrt{3x} + \sqrt{27x} - \sqrt{12x} = 6

eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitliği sağlayan x değeri 3'tür.
Verilen denklemdeki köklü ifadeler, kök içleri aynı olacak şekilde düzenlendiğinde (xx'li terimler 3x\sqrt{3x} parantezine alındığında) denklem basit bir hale gelir ve doğru sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök içindeki ifadeleri benzer terim haline getirmek için çarpanlarına ayıralım.
27x=9⋅3x=33x\sqrt{27x} = \sqrt{9 \cdot 3x} = 3\sqrt{3x}
ve
12x=4⋅3x=23x\sqrt{12x} = \sqrt{4 \cdot 3x} = 2\sqrt{3x}
Köklü ifadelerde toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir.
2
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine yazıp ortak paranteze alalım.
3x+33x−23x=6\sqrt{3x} + 3\sqrt{3x} - 2\sqrt{3x} = 6
(1+3−2)3x=6(1 + 3 - 2)\sqrt{3x} = 6
Benzer köklü ifadelerin katsayıları toplanıp çıkarılabilir.
3
Denklemi düzenleyip x değerini bulalım.
23x=6⇒3x=3⇒3x=9⇒x=32\sqrt{3x} = 6 \Rightarrow \sqrt{3x} = 3 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3
Her iki tarafın karesi alınarak kökten kurtulunur.

Anahtar Kavram

Köklü İfadelerde Dört İşlem

İpuçları

1
Kök içindeki sayıları (12 ve 27), tam kare çarpanları olacak şekilde (4⋅34 \cdot 3 ve 9⋅39 \cdot 3) yazmayı deneyin.
2
12x=23x\sqrt{12x} = 2\sqrt{3x} ve 27x=33x\sqrt{27x} = 3\sqrt{3x} dönüşümlerini yaparak tüm terimleri 3x\sqrt{3x} cinsinden ifade edin.
3
İfadeleri düzenledikten sonra elinizde 23x=62\sqrt{3x} = 6 denklemi kalacaktır. Her iki tarafı 2'ye bölüp karesini alın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 8x+18x=10\sqrt{8x} + \sqrt{18x} = 10 denklemini çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 229Soru →

A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.

Kümelerin eleman sayıları arasında,
s(A∖B)3=s(A∩B)2=s(B∖A)4 \frac{s(A \setminus B)}{3} = \frac{s(A \cap B)}{2} = \frac{s(B \setminus A)}{4}

orantısı bulunmaktadır.
s(A∪B)<60 s(A \cup B) < 60


eşitsizliği sağlandığına göre, s(A)s(A) değerinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

A kümesinin alabileceği en büyük değer 30'dur.
Verilen oranlara göre küme parçaları 3k3k, 2k2k ve 4k4k olarak belirlenir. Toplam birleşim 9k9k olur ve 9k<609k < 60 şartını sağlayan en büyük tam sayı k=6k=6'dır. A kümesi 3k+2k=5k3k + 2k = 5k olduğundan, en büyük değeri 5×6=305 \times 6 = 30 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen orantıyı kullanarak her bir bölgenin eleman sayısını ortak bir k sabiti cinsinden ifade et.
s(A∖B)=3ks(A \setminus B) = 3k, s(A∩B)=2ks(A \cap B) = 2k, s(B∖A)=4ks(B \setminus A) = 4k
Orantı sabiti kullanarak bilinmeyenleri tek değişkene indirmek çözümü kolaylaştırır.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısını k cinsinden hesapla.
s(A∪B)=3k+2k+4k=9ks(A \cup B) = 3k + 2k + 4k = 9k
Birleşim kümesi, fark kümeleri ve kesişim kümesinin toplamına eşittir.
3
Verilen eşitsizliği kullanarak k'nin alabileceği en büyük tam sayı değerini bul.
9k<609k < 60 ise k en çok 6 olabilir (9×6=54<609 \times 6 = 54 < 60).
Küme eleman sayıları tam sayı olmak zorundadır, bu nedenle k tam sayı seçilmelidir.
4
Bulunan k değeri için A kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=3k+2k=5ks(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 3k + 2k = 5k. k=6k=6 için s(A)=5×6=30s(A) = 5 \times 6 = 30.
A kümesi, 'A fark B' ve 'A kesişim B' kümelerinin birleşimidir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman Sayısı Hesaplama ve Oran Orantı

İpuçları

1
Orantıdaki paydaları (3, 2, 4) kullanarak her bir bölgeye 'k' cinsinden bir değer verin.
2
s(A U B) ifadesini k cinsinden yazıp 60'tan küçük en büyük katını bulun.
3
s(A U B) = 3k + 2k + 4k = 9k eder. 9k < 60 ise k en çok 6 olabilir. Şimdi s(A)'yı hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, kesişim kümesinin boş olmadığı ve birleşimin en az kaç olabileceği sorularını inceleyin.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek de çözülebilir. Şıklardaki değerler s(A) yani 5k'dır. Bu durumda şık 5'e tam bölünmelidir. A, B, C şıkları 5'in katı değildir (C şıkkı 36). Pardon, şıklarda 5'in katı olan A(25), B(30), D(45). Her biri için k değerini bulup 9k < 60 şartını sağlayıp sağlamadığına bakabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 230Soru →
x=3−1x = \sqrt{3} - 1 olmak üzere,
26+1533−2x \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} - \frac{2}{x}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İşlemin sonucu 1'dir.
Soru iki aşamalı bir sadeleştirme gerektirir. İlk kısımda, küp kök içindeki ifadenin (2+3)(2+\sqrt{3})'ün küpü olduğu görülmelidir. İkinci kısımda ise verilen xx değeri yerine yazılarak payda eşleniği ile çarpılmalıdır. (2+3)−(3+1)(2+\sqrt{3}) - (\sqrt{3}+1) işlemi sonucunda köklü sayılar birbirini götürür ve geriye 1 kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Küp kök içindeki 26+15326 + 15\sqrt{3} ifadesinin, (a+b3)3(a + b\sqrt{3})^3 biçiminde bir tam küp olup olmadığını kontrol et.
İfade (2+3)3(2 + \sqrt{3})^3 açılımına eşittir. Çünkü (2+3)3=23+3⋅22⋅3+3⋅2⋅(3)2+(3)3=8+123+18+33=26+153(2+\sqrt{3})^3 = 2^3 + 3\cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3\cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} = 26 + 15\sqrt{3}.
Köklü ifadenin dışarı çıkabilmesi için içerisinin bir tam kuvvet olması gerekir.
2
Küp kökü sadeleştir.
(2+3)33=2+3\sqrt[3]{(2 + \sqrt{3})^3} = 2 + \sqrt{3}
Küp kök ve küp kuvveti birbirini götürür.
3
İkinci terimdeki 2x\frac{2}{x} ifadesinde xx yerine 3−1\sqrt{3}-1 yaz ve paydayı rasyonel yap.
23−1=2(3+1)(3−1)(3+1)=2(3+1)3−1=2(3+1)2=3+1\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3} + 1
Paydada köklü ifade bırakılmaz, eşleniği ile çarpılır.
4
Bulunan değerleri yerine yazarak çıkarma işlemini yap.
(2+3)−(3+1)=2+3−3−1=1(2 + \sqrt{3}) - (\sqrt{3} + 1) = 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1 = 1
Sonuç için terimler birbirinden çıkarılır.

Anahtar Kavram

Tam Küp Açılımı ve Eşlenik

İpuçları

1
Küp kök içindeki 26+15326 + 15\sqrt{3} ifadesini, (a+3)3(a + \sqrt{3})^3 şeklinde bir tam kuvvet olarak yazmayı deneyin.
2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 özdeşliğini kullanarak aa sayısını bulmaya çalışın. Ayrıca 2x\frac{2}{x} ifadesinde paydayı rasyonel yapmayı unutmayın.
3
İfade (2+3)3(2+\sqrt{3})^3'tür. 23−1\frac{2}{\sqrt{3}-1} ifadesinin eşleniği ile çarpılmış hali ise 3+1\sqrt{3}+1'dir. Bu iki değeri birbirinden çıkarın.

Daha Fazla Pratik

İç içe köklerde a±2b\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} kuralı ile ilgili sorular çözerek kök dışına çıkarma pratiği yapılabilir.

Alternatif Yöntem

Yaklaşık değer hesabı yapılabilir: 3≈1,73\sqrt{3} \approx 1,73 alınırsa, x≈0,73x \approx 0,73 olur. 26+15(1,73)3≈51,953≈3,73\sqrt[3]{26 + 15(1,73)} \approx \sqrt[3]{51,95} \approx 3,73. İkinci kısım 2/0,73≈2,732/0,73 \approx 2,73. Sonuç 3,73−2,73=13,73 - 2,73 = 1. Ancak bu yöntem risklidir ve kesin sonuç vermez.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 231Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için x−y=6x - y = 6 olduğuna göre,
x2−8x+16−y2x+y−4 \frac{x^2 - 8x + 16 - y^2}{x + y - 4}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin en sade hali ve verilen değerin yerine yazılmasıyla sonuç 2 bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin pay kısmı, önce tam kare (x2−8x+16=(x−4)2x^2-8x+16=(x-4)^2) sonra da iki kare farkı özdeşlikleri kullanılarak çarpanlarına ayrılır. Paydadaki ifade ile ortak olan çarpan sadeleştirildiğinde geriye x−y−4x-y-4 ifadesi kalır. Soruda verilen x−y=6x-y=6 değeri yerine yazıldığında doğru sonuç 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi gruplandırarak tam kare özdeşliğini tespit et.
x2−8x+16−y2=(x−4)2−y2x^2 - 8x + 16 - y^2 = (x-4)^2 - y^2
İlk üç terim (x−4)2(x-4)^2 açılımıdır.
2
Elde edilen ifadede iki kare farkı özdeşliğini uygula.
(x−4)2−y2=((x−4)−y)((x−4)+y)=(x−y−4)(x+y−4)(x-4)^2 - y^2 = ((x-4) - y)((x-4) + y) = (x - y - 4)(x + y - 4)
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliği kullanılır.
3
Pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştir.
(x−y−4)(x+y−4)x+y−4=x−y−4\frac{(x - y - 4)(x + y - 4)}{x + y - 4} = x - y - 4
Paydadaki x+y−4x + y - 4 terimi ile paydaki çarpan birbirini götürür.
4
Verilen x−y=6x - y = 6 değerini sonuç ifadesinde yerine yaz.
6−4=26 - 4 = 2
Sadeleşmiş ifadede değişkenler yerine bilinen değer konulur.

Anahtar Kavram

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma ve İki Kare Farkı

İpuçları

1
Pay kısmındaki ilk üç terime (x2−8x+16x^2 - 8x + 16) dikkat edin; bu bir tam kare açılımıdır.
2
İfadeyi (x−4)2−y2(x-4)^2 - y^2 şeklinde yazdıktan sonra iki kare farkı özdeşliğini kullanın.
3
Çarpanlara ayırma işleminden sonra (x+y−4)(x+y-4) çarpanlarını sadeleştirin ve x−yx-y yerine 6 yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla a2−b2−6a+9a^2 - b^2 - 6a + 9 ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyin.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 232Soru →

Sayı doğrusu üzerindeki −8-8 sayısının başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığı aa birim, 55 sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığı ise bb birimdir.

Buna göre, a−ba - b farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Sayıların başlangıç noktasına olan uzaklıkları sırasıyla 8 ve 5 birim olduğundan, aralarındaki fark 3'tür.
Mutlak değer tanımı gereği, bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığı o sayının işaretinden bağımsız olarak pozitif değeridir. −8-8 sayısının uzaklığı ∣−8∣=8|-8| = 8 birim ve 55 sayısının uzaklığı ∣5∣=5|5| = 5 birimdir. Bu iki değerin farkı olan 8−5=38 - 5 = 3 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
aa değerini belirlemek için −8-8 sayısının mutlak değerini hesapla.
a=∣−8∣=8a = |-8| = 8
Bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığı o sayının mutlak değeridir ve ∣−x∣=x|-x| = x kuralı gereği pozitif çıkar.
2
bb değerini belirlemek için 55 sayısının mutlak değerini hesapla.
b=∣5∣=5b = |5| = 5
Pozitif bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığı kendisine eşittir.
3
a−ba - b işlemini gerçekleştir.
8−5=38 - 5 = 3
Soruda iki uzaklık arasındaki farkın bulunması istenmiştir.

Anahtar Kavram

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerinde başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığıdır ve asla negatif değer alamaz.

İpuçları

1
Bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığı, o sayının mutlak değeri demektir.
2
−8-8 sayısının sıfıra olan mesafesi kaç birimdir? Bu değer aa olacaktır.
3
Mutlak değer sonucu hiçbir zaman negatif çıkmaz. a=8a = 8 ve b=5b = 5 değerlerini yerine koyarak farkı hesapla.

Daha Fazla Pratik

İki negatif sayının mutlak değerlerinin toplamını içeren benzer bir işlem sorusu çözerek kavramı pekiştirebilirsin.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu çizip -8 ve 5 noktalarını işaretleyerek, her bir noktanın 0'a kaç adım uzaklıkta olduğunu manuel olarak sayabilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 233Soru →

Aşağıda xx, yy ve zz sayıları üslü ifadelerle tanımlanmıştır:

x=(−2)4 x = (-2)^4

y=−24 y = -2^4

z=(−1)0 z = (-1)^0

Buna göre, x+y+zx + y + z işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İşlemlerin doğru sırayla ve kurallarla yapılması sonucunda toplam 1 bulunur.
Verilen ifadelerde xx değeri çift kuvvet ve parantez nedeniyle pozitif 16, yy değeri parantez olmadığı için negatif 16 ve zz değeri sıfırıncı kuvvet kuralı gereği 1'dir. Bu üç değerin toplamı (16−16+116 - 16 + 1) bizi 1 sonucuna götürür.

Adım Adım Çözüm

1
x=(−2)4x = (-2)^4 ifadesini hesapla.
x=16x = 16
Negatif bir sayının parantez dışındaki çift kuvveti pozitiftir: (−2)⋅(−2)⋅(−2)⋅(−2)=16(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16.
2
y=−24y = -2^4 ifadesini hesapla.
y=−16y = -16
Parantez olmadığı için kuvvet sadece 2 sayısına aittir, baştaki eksi işareti etkilenmez: −(2⋅2⋅2⋅2)=−16-(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16.
3
z=(−1)0z = (-1)^0 ifadesini hesapla.
z=1z = 1
Sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti kural gereği 1'dir.
4
x+y+zx + y + z toplamını bul.
16+(−16)+1=116 + (-16) + 1 = 1
Bulunan değerler toplandığında 16 ve -16 birbirini sıfırlar, geriye 1 kalır.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda parantezin önemi ve sıfırıncı kuvvet kuralı

İpuçları

1
Üslü sayılarda parantez olup olmaması, sonucun işaretini (özellikle çift kuvvetlerde) etkileyebilir.
2
−24-2^4 ifadesinde eksi işareti en son işleme dahil edilirken, (−2)4(-2)^4 ifadesinde taban -2'dir.
3
Her sayının sıfırıncı kuvvetinin 1 olduğunu ve zıt işaretli aynı sayıların toplamının 0 olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Negatif kuvvetlerin (a−na^{-n}) rasyonel sayılara nasıl dönüştüğünü inceleyerek bilginizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce xx ve yy arasındaki ilişkiyi fark edebilirsiniz. (−2)4(-2)^4 ile −24-2^4 birbirinin toplama işlemine göre tersidir, bu yüzden toplamları 0 olur. Geriye sadece zz değerini hesaplamak kalır.
Tahmini Süre:45s
Soru 234Soru →

Bir ilçe nüfus müdürlüğünde bir iş günü içerisinde işleme alınan pasaport, kimlik kartı ve sürücü belgesi başvurularının sayıları sırasıyla 33, 44 ve 55 ile ters orantılıdır. Bu müdürlükte bir günde toplam 940940 başvuru işleme alındığına göre, düzenlenen kimlik kartı başvurusu sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

Düzenlenen kimlik kartı başvurusu sayısı 300'dür.
Ters orantı mantığına göre, her bir başvuru türünün sayısı ile orantılı olduğu sayının çarpımı sabit bir kk değerine eşittir. Bu durumda pasaport sayısı k/3k/3, kimlik sayısı k/4k/4 ve sürücü belgesi sayısı k/5k/5 olur. Bu değerlerin toplamı 940940'a eşitlendiğinde orantı sabiti 12001200 bulunur. İstenen kimlik kartı sayısı ise 1200/4=3001200/4 = 300 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Başvuru sayılarını orantı sabiti cinsinden tanımlama
3⋅P=4⋅K=5⋅S=k3 \cdot P = 4 \cdot K = 5 \cdot S = k (Burada PP: Pasaport, KK: Kimlik, SS: Sürücü Belgesi)
Ters orantılı çoklukların çarpımları sabittir.
2
Değişkenleri kk cinsinden ifade etme
P=k3P = \frac{k}{3}, K=k4K = \frac{k}{4}, S=k5S = \frac{k}{5}
Denklemi tek bilinmeyene indirgemek için her bir terim orantı sabitine bölünür.
3
Toplam başvuru sayısı denklemini kurma
k3+k4+k5=940\frac{k}{3} + \frac{k}{4} + \frac{k}{5} = 940
Soruda verilen toplam başvuru sayısı 940 olarak belirtilmiştir.
4
Payda eşitleyip orantı sabitini (kk) bulma
LCM(3,4,5)=60  ⟹  20k+15k+12k60=940  ⟹  47k60=940  ⟹  k=1200LCM(3, 4, 5) = 60 \implies \frac{20k + 15k + 12k}{60} = 940 \implies \frac{47k}{60} = 940 \implies k = 1200
Rasyonel ifadelerde toplama yapmak için ortak payda kullanılır.
5
Kimlik kartı başvuru sayısını hesaplama
K=12004=300K = \frac{1200}{4} = 300
İstenen değer olan kimlik kartı sayısı orantı sabitinin 4'e bölümüdür.

Anahtar Kavram

Ters orantılı çoklukların toplamı problemleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 235Soru →

Doğrusal bir zemin üzerindeki A, B ve C noktaları için B noktasının A ile C arasında olduğu bilinmektedir.

Bu noktalar arasındaki uzaklıklar;
∣AB∣=3x−2 birim |AB| = 3x - 2 \text{ birim}

∣BC∣=2x+1 birim |BC| = 2x + 1 \text{ birim}

∣AC∣=6x−7 birim |AC| = 6x - 7 \text{ birim}

şeklinde tanımlanmıştır.

Buna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Doğrusal noktalarda parça uzunlukları toplamı bütüne eşittir mantığıyla kurulan denklemden elde edilen 13 birim
B noktası A ve C arasında olduğu için ∣AB∣+∣BC∣=∣AC∣|AB| + |BC| = |AC| eşitliği sağlanmalıdır. Verilen cebirsel ifadeler bu eşitlikte yerine konulduğunda 3x−2+2x+1=6x−73x - 2 + 2x + 1 = 6x - 7 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde x=6x=6 bulunur. Soruda ∣BC∣|BC| uzunluğu istendiği için 2x+12x+1 ifadesinde x yerine 6 yazılarak 2(6)+1=132(6)+1=13 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen geometrik ilişkiyi matematiksel denkleme dök
∣AC∣=∣AB∣+∣BC∣⇒6x−7=(3x−2)+(2x+1)|AC| = |AB| + |BC| \Rightarrow 6x - 7 = (3x - 2) + (2x + 1)
B noktası A ile C arasında olduğundan, parçaların toplamı bütün uzunluğa eşittir.
2
Denklemin sağ tarafını düzenle
6x−7=5x−16x - 7 = 5x - 1
Benzer terimler (3x+2x3x+2x ve −2+1-2+1) toplanır.
3
Birinci dereceden denklemi çözerek x değerini bul
6x−5x=−1+7⇒x=66x - 5x = -1 + 7 \Rightarrow x = 6
Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa toplanır.
4
Bulunan x değerini istenen |BC| ifadesinde yerine yaz
∣BC∣=2(6)+1=12+1=13|BC| = 2(6) + 1 = 12 + 1 = 13 birim
Soru kökünde x değeri değil, |BC| uzunluğu sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Geometrik ilişkilerin cebirsel denklemlere dönüştürülmesi ve çözüm kümesi

İpuçları

1
B noktası A ile C arasında olduğuna göre, AB ve BC uzunluklarının toplamı AC uzunluğuna eşit olmalıdır.
2
Verilen cebirsel ifadeleri (3x−2)+(2x+1)=6x−7(3x - 2) + (2x + 1) = 6x - 7 şeklinde bir denkleme dönüştürün.
3
Denklemi çözüp x değerini 6 olarak bulduktan sonra, bu değeri |BC| = 2x + 1 ifadesinde yerine yazmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, orta nokta kavramının kullanıldığı ve rasyonel denklem içeren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Şıklardan gidilerek de çözüm yapılabilir ancak x tam sayı olduğu için denklem çözümü daha garantidir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 236Soru →

Bir Bakanlık, performans değerlendirmesi sonucunda üç farklı il müdürlüğüne (A, B ve C), denetim raporlarında tespit edilen 'kritik bulgu sayısı' ile ters orantılı olacak şekilde toplam 1550 adet ek personel kadrosu tahsis etmiştir. A, B ve C müdürlüklerinin raporlarındaki kritik bulgu sayıları sırasıyla 2, 3 ve 5 olarak belirlenmiştir.

Buna göre, en fazla kadro tahsisi yapılan müdürlük ile en az kadro tahsisi yapılan müdürlük arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 450

Cevap

En fazla ve en az kadro alan müdürlükler arasındaki fark 450'dir.
Bulgu sayıları (2, 3, 5) ile ters orantılı dağıtım yapıldığında; A birimi 12\frac{1}{2}, B birimi 13\frac{1}{3}, C birimi 15\frac{1}{5} ile orantılı pay alır. Bu kesirleri tam sayıya çevirmek için 2, 3 ve 5'in ortak katı olan 30 ile genişletirsek paylar sırasıyla 15k, 10k ve 6k olur. Toplam 31k = 1550 olduğundan k = 50 bulunur. En yüksek pay 15k = 750, en düşük pay 6k = 300'dür. Aralarındaki fark 450 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Orantı türünü belirle ve matematiksel ifadeye dök.
Ters orantı olduğu için paylar: k2\frac{k}{2}, k3\frac{k}{3}, k5\frac{k}{5} şeklindedir.
Ters orantıda çoklukların çarpımı sabittir (2⋅A=3⋅B=5⋅C=K2 \cdot A = 3 \cdot B = 5 \cdot C = K).
2
Kesirli ifadelerden kurtulmak için paydaların en küçük ortak katını (EKOK) bul ve payları tam sayı cinsinden ifade et.
EKOK(2, 3, 5) = 30. Paylar: A = 15x, B = 10x, C = 6x.
İşlem kolaylığı sağlamak için KK orantı sabiti yerine 30x30x kullanmak kesirlerle uğraşmayı engeller.
3
Toplam kadro sayısı üzerinden orantı birimini (x) hesapla.
15x+10x+6x=31x15x + 10x + 6x = 31x. 31x=155031x = 1550 ise x=50x = 50.
Tüm payların toplamı verilen toplam kadro sayısına eşittir.
4
En fazla ve en az alan birimlerin paylarını hesapla ve farkı bul.
En fazla (A): 15⋅50=75015 \cdot 50 = 750. En az (C): 6⋅50=3006 \cdot 50 = 300. Fark: 750−300=450750 - 300 = 450.
Soru kökünde bu iki değerin farkı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Ters Orantı Problemleri

İpuçları

1
Ters orantı problemlerinde A⋅2=B⋅3=C⋅5=KA \cdot 2 = B \cdot 3 = C \cdot 5 = K eşitliğini kurarak başlayın.
2
Kesirlerle uğraşmamak için 2, 3 ve 5 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulun ve her bir birimin payını bu kat üzerinden ifade edin. (EKOK(2,3,5) = 30).
3
Birimin paylarını 15k, 10k ve 6k olarak belirleyin. Bunların toplamı (31k) 1550'ye eşittir. Buradan k değerini bulup farkı hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, sayıları değiştirip 'doğru orantılı' olarak sorarak iki kavram arasındaki farkı pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Toplam pay sayısı üzerinden gitmek yerine birim pay hesabı: 12+13+15=15+10+630=3130\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5} = \frac{15+10+6}{30} = \frac{31}{30}. Toplam miktar 1550=31 birim1550 = 31 \text{ birim}. 1 birim = 50. Fark (15-6)=9 birim. 9×50=4509 \times 50 = 450.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 237Soru →

A={k,l,m,4,5}A = \{k, l, m, 4, 5\}
B={m,n,p,5,6}B = \{m, n, p, 5, 6\}

kümeleri veriliyor. Buna göre, A∩BA \cap B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {m,5}\{m, 5\}

Cevap

Kesişim kümesi, her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanlardan oluşan {m,5}\{m, 5\} kümesidir.
Kesişim işlemi (cap\\cap), verilen kümelerin her ikisinde de bulunan ortak elemanları bulmamızı sağlar. A={k,l,m,4,5}A = \{k, l, m, 4, 5\} ve B={m,n,p,5,6}B = \{m, n, p, 5, 6\} kümeleri karşılaştırıldığında, 'm' harfi ve '5' sayısının her iki listede de yer aldığı açıkça görülmektedir. Dolayısıyla ortak elemanlardan oluşan küme doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB kümelerinin elemanlarını listeleyin.
A={k,l,m,4,5}A = \{k, l, m, 4, 5\} ve B={m,n,p,5,6}B = \{m, n, p, 5, 6\}
İşlem yapılacak kümelerin içeriğini netleştirmek için.
2
cap\\cap (kesişim) sembolünün anlamını hatırlayın.
Kesişim işlemi, iki kümede de aynı anda bulunan ortak elemanları seçmeyi gerektirir.
Doğru kümeler arası işlemi uygulamak için.
3
Her iki kümede de ortak olan elemanları tespit edin.
mm harfi ve 55 sayısı her iki kümede de mevcuttur.
Kesişim kümesinin elemanlarını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Kesişim İşlemi

İpuçları

1
Kesişim sembolü (cap\\cap) 've' bağlacı gibi çalışır; elemanın hem birinci kümede hem de ikinci kümede olması gerekir.
2
Bir kağıda her iki kümenin elemanlarını alt alta yazın ve aynı olanların üzerini çizin.
3
'm' harfi AA kümesinde var mı? Peki BB kümesinde de var mı? Aynı soruyu '5' sayısı için de sorun.

Daha Fazla Pratik

Birleşim (cup\\cup) işlemini pekiştirmek için aynı kümelerle birleşim kümesini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek elemanları yerleştirmek, ortak bölgede kalanları görmeyi kolaylaştırır.
Tahmini Süre:45s
Soru 238Soru →
25x+25−x+25x+5−x=7 \frac{25^x + 25^{-x} + 2}{5^x + 5^{-x}} = 7


eşitliği veriliyor.
Buna göre,
5x−5−x 5^x - 5^{-x}
ifadesinin pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 353\sqrt{5}

Cevap

Doğru cevap \( 3\sqrt{5} \) değeridir.
Verilen kesirli ifadenin payı, paydanın tam karesidir. Bu sadeleştirme sonucunda \( 5^x + 5^{-x} = 7 \) bulunur. Bizden istenen \( 5^x - 5^{-x} \) ifadesine ulaşmak için iki tam kare arasındaki \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \) bağıntısı kullanılır. Buradan \( A^2 = 7^2 - 4 = 45 \) elde edilir ve sonuç \( 3\sqrt{5} \) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin pay kısmını düzenle.
25x+25−x+2=(5x)2+(5−x)2+2⋅5x⋅5−x=(5x+5−x)2 25^x + 25^{-x} + 2 = (5^x)^2 + (5^{-x})^2 + 2 \cdot 5^x \cdot 5^{-x} = (5^x + 5^{-x})^2
Tam kare özdeşliği: \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \). Burada \( a=5^x, b=5^{-x} \) ve \( ab=1 \) olduğu görülmelidir.
2
Bulunan tam kare ifadeyi denklemde yerine yaz ve \( 5^x + 5^{-x} \) toplamını bul.
(5x+5−x)25x+5−x=7  ⟹  5x+5−x=7 \frac{(5^x + 5^{-x})^2}{5^x + 5^{-x}} = 7 \implies 5^x + 5^{-x} = 7
Paydaki ifade paydanın karesi olduğu için sadeleştirme işlemi yapılır.
3
Toplam değerinden fark değerine geçiş yap.
(5x−5−x)2=(5x+5−x)2−4 (5^x - 5^{-x})^2 = (5^x + 5^{-x})^2 - 4
formülünü kullan:
A2=72−4=49−4=45 A^2 = 7^2 - 4 = 49 - 4 = 45
Legendre özdeşliği veya tam kare açılımları arasındaki ilişki: \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \).
4
Sonucun karekökünü al.
A=45=9⋅5=35 A = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}
Soruda ifadenin pozitif değeri istendiği için pozitif kök alınır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşlikleri ve Üslü İfadelerde Değişken Dönüşümü

İpuçları

1
Paydaki \( 25^x + 25^{-x} + 2 \) ifadesini, \( (5^x + 5^{-x}) \) terimine benzetmeye çalışın. Bu ifade bir tam kare açılımı olabilir mi?
2
Paydaki ifade aslında \( (5^x + 5^{-x})^2 \)'dir. Bunu kullanarak önce \( 5^x + 5^{-x} \) değerini bulun.
3
\( (a+b)^2 \) değerini biliyorsanız, \( (a-b)^2 \) değerini bulmak için \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \) özdeşliğini kullanın. Burada \( a=5^x \) ve \( b=5^{-x} \) olduğu için \( ab=1 \)'dir.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki küp açılımı sorularını (\( a^3 - b^3 \)) inceleyin.

Alternatif Yöntem

Değişken değiştirme yöntemi kullanılabilir: \( u = 5^x \) diyerek denklem \( u \) cinsinden yazılıp çözülebilir, ancak bu yol daha uzun ve karmaşıktır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 239Soru →

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler konusunu pekiştirmek isteyen bir aday, aşağıdaki denklemin çözümünü yaparken belirli adımlar izlemiştir:

Verilen Denklem:
2(3x−1)−3(2x−4)=4−x 2(3x - 1) - 3(2x - 4) = 4 - x

İzlenen Adımlar:

I. Adım:
6x−2−6x+12=4−x 6x - 2 - 6x + 12 = 4 - x

II. Adım:
(6x−6x)+(−2+12)=4−x (6x - 6x) + (-2 + 12) = 4 - x

III. Adım:
10=4−x 10 = 4 - x

IV. Adım:
x=10−4 x = 10 - 4

V. Adım:
x=6 x = 6

Buna göre, aday ilk hatayı hangi adımda yapmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: IV. Adım

Cevap

Hata IV. Adım'da yapılmıştır.
IV. Adım'da eşitlik prensibi ihlal edilmiştir. 10=4−x10 = 4 - x denkleminde bilinmeyeni (xx) bulmak için −x-x eşitliğin diğer tarafına +x+x olarak, 1010 sayısı ise diğer tarafa −10-10 olarak geçmelidir. Bu durumda doğru işlem x=4−10x = 4 - 10 olmalı ve sonuç −6-6 çıkmalıdır. Aday ise x=10−4x = 10 - 4 yazarak terimlerin işaret veya yer değişiminde hata yapmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
I. Adımı kontrol et
Doğru
Parantez önündeki katsayılar içeriye doğru dağıtılmıştır: 2(3x)=6x2(3x)=6x, 2(−1)=−22(-1)=-2, −3(2x)=−6x-3(2x)=-6x, −3(−4)=+12-3(-4)=+12.
2
II. Adımı kontrol et
Doğru
Benzer terimler (6x6x ile −6x-6x ve −2-2 ile 1212) kendi aralarında gruplandırılmıştır.
3
III. Adımı kontrol et
Doğru
6x−6x=06x - 6x = 0 ve −2+12=10-2 + 12 = 10 işlemleri yapılarak sol taraf 1010 bulunmuştur. Denklem 10=4−x10 = 4 - x halini almıştır.
4
IV. Adımı kontrol et
Hatalı
Elde edilen 10=4−x10 = 4 - x denkleminde xx yalnız bırakılmak istendiğinde; −x-x sol tarafa +x+x olarak geçer, 1010 ise sağ tarafa −10-10 olarak geçer. Doğru işlem x=4−10x = 4 - 10 olmalıydı. Aday burada xx'i pozitif yaparken sayıların yerini veya işaretini yanlış düzenlemiştir.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden Denklemler ve Eşitlik Özellikleri

İpuçları

1
Eşitliğin her iki tarafındaki terimler yer değiştirdiğinde işaretlerinin nasıl değiştiğini kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Bilinmeyenin negatif katsayıya sahip olduğu basit denklemler (5=2−x5 = 2 - x gibi) üzerinde pratik yapın.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 240Soru →
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi, her aa ve bb tam sayısı için
a⋆b=a+b−2aba \star b = a + b - 2ab

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (2⋆3)⋆4(2 \star 3) \star 4 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 53

Cevap

İşlemin sonucu 53 olarak bulunur.
Verilen kuralda önce parantez içindeki 2⋆32 \star 3 işlemi yapıldığında −7-7 sonucuna ulaşılır. Ardından bu değer ile 4 sayısı tekrar işleme sokulduğunda −3+56-3 + 56 üzerinden doğru sonuç olan 53 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
2⋆32 \star 3 işlemini tanıma göre hesaplayınız.
2⋆3=2+3−2(2⋅3)=5−12=−72 \star 3 = 2 + 3 - 2(2 \cdot 3) = 5 - 12 = -7
Parantez içindeki işlem önceliği nedeniyle ilk olarak bu değer hesaplanmalıdır.
2
Bulunan −7-7 değerini 4 ile işleme sokunuz.
(−7)⋆4=(−7)+4−2((−7)⋅4)(-7) \star 4 = (-7) + 4 - 2((-7) \cdot 4)
Parantez içi sonuç ana işlemde yerine konulmalıdır.
3
Son hesaplamayı tamamlayınız.
−3−2(−28)=−3+56=53-3 - 2(-28) = -3 + 56 = 53
Negatif sayıların çarpımı pozitiftir, bu kurala dikkat edilerek toplama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde değişkenlerin kurala uygun şekilde yerlerine yazılması ve işlem önceliğine dikkat edilmesi.

İpuçları

1
Önce parantez içindeki 2⋆32 \star 3 işlemini yapın.
2
2⋆32 \star 3 işlemini yaparken a=2a=2 ve b=3b=3 yazarak sonucu −7-7 bulun.
3
İkinci adımda −7-7 ile 4'ü işleme sokarken negatif sayıların çarpımının pozitif olacağını unutmayın.

Daha Fazla Pratik

İşlemde yutan eleman veya birim eleman kavramlarını içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
ÖncekiSayfa 12 / 22Sonraki
Cebir — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 12 | Examkin