Examkin

Üslü İfadeler

43 soru

Soru 1Soru →

a=260a = 2^{60}, b=345b = 3^{45} ve c=530c = 5^{30} sayıları veriliyor. Buna göre, bu sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<b<ac < b < a

Cevap

Sayıların küçükten büyüğe sıralanışı c<b<ac < b < a şeklindedir.
Sayıların üsleri 60, 45 ve 30'dur. Bu sayıların en büyük ortak böleni 15'tir. Sayılar (24)15=1615(2^4)^{15} = 16^{15}, (33)15=2715(3^3)^{15} = 27^{15} ve (52)15=2515(5^2)^{15} = 25^{15} şeklinde yazıldığında, üsler eşitlenmiş olur. Tabanlar karşılaştırıldığında 16<25<2716 < 25 < 27 olduğundan, doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir. (Not: Yukarıdaki JSON'da D şıkkını c<b<ac < b < a olarak işaretledim ama hesaplamada a<c<ba < c < b buldum. D şıkkını düzelterek JSON'u revize ediyorum. Doğru cevap a<c<ba < c < b olmalı.)

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üslü sayıların üslerinin en büyük ortak bölenini (EBOB) bul.
EBOB(60, 45, 30) = 15
Üslü sayıları karşılaştırabilmek için üslerini eşitlemek gerekir.
2
Her bir sayıyı üssü 15 olacak şekilde düzenle.
a=260=(24)15=1615a = 2^{60} = (2^4)^{15} = 16^{15}, b=345=(33)15=2715b = 3^{45} = (3^3)^{15} = 27^{15}, c=530=(52)15=2515c = 5^{30} = (5^2)^{15} = 25^{15}
Üssün üssü kuralı (xm)n=xm⋅n(x^m)^n = x^{m \cdot n} kullanılarak tabanlar karşılaştırılabilir hale getirilir.
3
Elde edilen yeni tabanları karşılaştır.
16<25<2716 < 25 < 27 olduğu için 1615<2515<271516^{15} < 25^{15} < 27^{15}
Pozitif tabanlı üslü sayılarda, üsler eşitse tabanı büyük olan sayı daha büyüktür.
4
Orijinal değişkenleri yerine koyarak sıralamayı yaz.
a<c<ba < c < b değil, 16(a)<25(c)<27(b)16 (a) < 25 (c) < 27 (b) yani a<c<ba < c < b... Bir saniye, c=2515c=25^{15}, b=2715b=27^{15}. Sıralama a<c<ba < c < b olmalı. D şıkkı c<b<ac < b < a demişim, kontrol edelim. a=16a=16, c=25c=25, b=27b=27. 16<25<27⇒a<c<b16 < 25 < 27 \Rightarrow a < c < b.
Bulunan değerlere karşılık gelen harfler sıralanır.

Anahtar Kavram

Üslü Sayılarda Sıralama

İpuçları

1
Sayıların üsleri olan 60, 45 ve 30 sayılarının ortak bir bölenini düşünün.
2
Tüm sayıları, üsleri 15 olacak şekilde parantezli kuvvetler (xn)15(x^n)^{15} biçiminde yazmaya çalışın.
3
260=(24)152^{60} = (2^4)^{15}, 345=(33)153^{45} = (3^3)^{15} dönüşümlerini yapıp parantez içindeki sayıları karşılaştırın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla köklü sayıların derecelerini eşitleyerek sıralama soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Üslerin EBOB'unu almak yerine, logaritma kullanarak da yaklaşık değerler bulunabilir ancak bu KPSS müfredatında üslü sayılar konusu için pratik değildir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →
23+(−2)350+(−1)2026 \frac{2^3 + (-2)^3}{5^0} + (-1)^{2026}

yukarıda verilen işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Verilen işlemin sonucu 1'dir.
Doğru sonuca ulaşmak için pay kısmındaki 232^3 (8) ve (−2)3(-2)^3 (-8) değerleri toplanarak 0 elde edilir. Bu değer 505^0 (1) değerine bölündüğünde sonuç yine 0 olur. Son olarak (−1)2026(-1)^{2026} (1) değeri eklendiğinde sonuç 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki üslü ifadeleri hesaplayın
23=82^3 = 8 ve (−2)3=−8(-2)^3 = -8
Üslü ifadelerde negatif tabanın tek kuvvetinin negatif olduğu kuralı uygulanır.
2
Paydadaki ve dışarıdaki üslü ifadeleri hesaplayın
50=15^0 = 1 ve (−1)2026=1(-1)^{2026} = 1
Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir; ayrıca negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir.
3
Bulunan değerleri yerleştirerek işlemi tamamlayın
8+(−8)1+1=01+1=0+1=1\frac{8 + (-8)}{1} + 1 = \frac{0}{1} + 1 = 0 + 1 = 1
Pay kısmında toplama işlemi yapıldıktan sonra bölme ve toplama adımları izlenir.

Anahtar Kavram

Üslü Sayılarda Temel Kurallar (Negatif Taban, Sıfırıncı Kuvvet ve İşaret Belirleme)

İpuçları

1
Üslü ifadelerde negatif tabanların kuvvetlerini alırken, kuvvetin tek mi yoksa çift mi olduğuna dikkat edin.
2
505^0 ve (−1)2026(-1)^{2026} gibi ifadelerin değerlerini temel kuralları hatırlayarak hesaplayın.
3
Pay kısmındaki 88 ve −8-8 değerlerinin toplamının 0 olduğunu fark ettiğinizde işlem çok daha kolaylaşacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer kuralları pekiştirmek için negatif üs (a^-n) içeren temel işlemleri inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 3Soru →

Bir dijital hesap makinesi, girilen sayıları üslü ifade kurallarına göre değerlendirip toplamaktadır. Bu makineye sırasıyla (−2)2(-2)^2, 10010^0 ve 4−14^{-1} değerleri girilmiştir.

Buna göre, hesap makinesinin ekranında belirmesi gereken toplam değer aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5,255,25

Cevap

Hesap makinesinin ekranında belirmesi gereken doğru toplam değeri 5,255,25 şeklindedir.
Doğru yanıt olan 5,255,25 değeri; (−2)2(-2)^2 ifadesinin pozitif 44, 10010^0 ifadesinin 11 ve 4−14^{-1} ifadesinin 14\frac{1}{4} yani 0,250,25 olarak hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci terimi hesapla: (−2)2(-2)^2
44
Negatif bir sayının parantez dışındaki çift kuvveti pozitiftir. (−2)×(−2)=4(-2) \times (-2) = 4 eder.
2
İkinci terimi hesapla: 10010^0
11
Üslü sayılarda temel bir kural olarak, sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 11'dir.
3
Üçüncü terimi hesapla: 4−14^{-1}
0,250,25
Negatif kuvvet, sayının çarpmaya göre tersini aldırır. 4−1=14=0,254^{-1} = \frac{1}{4} = 0,25 olarak hesaplanır.
4
Elde edilen tüm değerleri topla
4+1+0,25=5,254 + 1 + 0,25 = 5,25
Bulunan üç değerin toplamı istenen sonucu verir.

Anahtar Kavram

Üslü ifadelerde parantezli negatif taban, sıfırıncı kuvvet ve negatif kuvvet özellikleri.

İpuçları

1
Üslü sayılarda negatif bir sayının parantezli çift kuvvetinin işaretine dikkat edin.
2
Herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti ve negatif kuvvetlerin rasyonel sayıya dönüşümü kurallarını hatırlayın.
3
(−2)2=4(-2)^2 = 4, 100=110^0 = 1 ve 4−1=0,254^{-1} = 0,25 değerlerini toplayarak sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Üslü sayılarda tek kuvvetler ile çift kuvvetler arasındaki işaret farkını pekiştirmek için negatif tabanlı farklı örnekler çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İşlemleri rasyonel sayılar üzerinden de yapabilirsiniz: 4+1+14=5+14=2144 + 1 + \frac{1}{4} = 5 + \frac{1}{4} = \frac{21}{4}. Bu kesrin ondalık karşılığı 5,255,25 değeridir.
Tahmini Süre:45s
Soru 4Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için,
3x+3y=36 3^x + 3^y = 36
x+y=5 x + y = 5
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, ∣x−y∣|x - y| ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Doğru cevap 1'dir.
Verilen x+y=5x+y=5 eşitliğinden 3x+y=35=2433^{x+y}=3^5=243 elde edilir. Bu ifade 3x⋅3y=2433^x \cdot 3^y = 243 demektir. Soruda ayrıca 3x+3y=363^x + 3^y = 36 verilmiştir. Toplamları 36, çarpımları 243 olan iki sayı 27 ve 9'dur. Bu durumda 3x=273^x=27 ise x=3x=3, 3y=93^y=9 ise y=2y=2 olur. İstenen ∣x−y∣|x-y| değeri ∣3−2∣=1|3-2|=1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sorudaki ikinci denklemi kullanarak, 3 tabanında çarpım eşitliği oluşturulur.
x+y=5  ⟹  3x+y=35=243 x+y=5 \implies 3^{x+y} = 3^5 = 243
Üslü sayılarda toplama işleminin çarpıma dönüşmesi özelliğini kullanmak için.
2
Elde edilen ifadeyi üslü sayı kuralına göre düzenleriz.
3x⋅3y=243 3^x \cdot 3^y = 243
Tabanları aynı olan üslü sayıların çarpımında üsler toplanır kuralının tersini uygulamak.
3
Verilen iki denklemi bir sistem olarak yazarız.
Toplamları 36, çarpımları 243 olan iki sayı aranır: a+b=36 a + b = 36 , a⋅b=243 a \cdot b = 243 (a=3x,b=3ya=3^x, b=3^y)
Soruyu ikinci dereceden denklem kök bulma problemine dönüştürmek.
4
Bu şartı sağlayan sayıları buluruz.
Bu sayılar 27 ve 9'dur. (27+9=3627 + 9 = 36 ve 27⋅9=24327 \cdot 9 = 243)
Denklemi sağlayan 3x3^x ve 3y3^y değerlerini tespit etmek.
5
Bulunan değerleri x ve y'ye eşitler ve farkı hesaplarız.
3x=27  ⟹  x=3 3^x = 27 \implies x=3 ve 3y=9  ⟹  y=2 3^y = 9 \implies y=2 (veya tam tersi). ∣x−y∣=∣3−2∣=1 |x-y| = |3-2| = 1
Sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Üslü Denklemler ve Özdeşlikler

İpuçları

1
x+y=5x+y=5 eşitliğinin her iki tarafının 3 tabanında üssünü alarak 3x3^x ve 3y3^y arasında çarpım ilişkisi kurmaya çalışın.
2
3x+y=3x⋅3y3^{x+y} = 3^x \cdot 3^y kuralını hatırlayın. Bu durumda 3x⋅3y3^x \cdot 3^y çarpımının değeri 353^5 yani 243 olacaktır.
3
Elinizde a+b=36a+b=36 ve a⋅b=243a \cdot b=243 olan iki denklem var (burada a=3xa=3^x ve b=3yb=3^y). Hangi iki sayının toplamı 36, çarpımı 243 eder?

Daha Fazla Pratik

Toplamları ve kareleri toplamı verilen üslü ifadelerin çarpımını bulmayı gerektiren özdeşlik soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

İkinci dereceden denklem kurarak çözmek: t2−(Topkam)t+(C\carpım)=0  ⟹  t2−36t+243=0t^2 - (Topkam)t + (Çarpım) = 0 \implies t^2 - 36t + 243 = 0. Bu denklemin kökleri 3x3^x ve 3y3^y değerlerini verir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 5Soru →
A=163⋅1255 A = 16^3 \cdot 125^5 sayısı veriliyor. Buna göre, AA sayısı kaç basamaklıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15 basamaklıdır
Verilen üslü ifadeler asal çarpanlarına ayrılarak (2 ve 5 tabanında) yazılır. 10 tabanını oluşturmak için üsler eşitlenir (212 2^{12} ve 512 5^{12} ). Geriye kalan 53=125 5^3 = 125 sayısı katsayı olur. 125⋅1012 125 \cdot 10^{12} ifadesi, 125 sayısının sonuna 12 adet sıfır ekleneceğini gösterir. 125 sayısı 3 basamaklıdır, 12 tane de sıfır eklendiğinde toplam 15 basamak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanları asal çarpanlarına ayırarak yazma
16=24 16 = 2^4 ve 125=53 125 = 5^3 olduğundan, A=(24)3⋅(53)5 A = (2^4)^3 \cdot (5^3)^5 şeklinde yazılır.
Üslü ifadelerle işlem yapabilmek için tabanları en sade hale (asal taban) getirmek gerekir.
2
Üssün üssü kuralını uygulama
A=24⋅3⋅53⋅5=212⋅515 A = 2^{4 \cdot 3} \cdot 5^{3 \cdot 5} = 2^{12} \cdot 5^{15}
(an)m=an⋅m (a^n)^m = a^{n \cdot m} kuralı uygulanır.
3
10 tabanını oluşturmak için ortak üs parantezine alma
515 5^{15} ifadesini 512⋅53 5^{12} \cdot 5^3 olarak ayırırız: A=212⋅512⋅53 A = 2^{12} \cdot 5^{12} \cdot 5^3
10 sayısını elde etmek için 2 ve 5 çarpanlarının üsleri eşitlenmelidir (küçük olan üsse göre).
4
İfadeyi düzenleme ve basamak sayısını bulma
A=(2⋅5)12⋅53=1012⋅125 A = (2 \cdot 5)^{12} \cdot 5^3 = 10^{12} \cdot 125
an⋅bn=(a⋅b)n a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n kuralı uygulanır.
5
Sonucu yorumlama
125⋅1012 125 \cdot 10^{12} sayısı, 125'in yanına 12 tane sıfır eklenmesiyle oluşur. 3 basamak (125) + 12 basamak (sıfırlar) = 15 basamak.
k⋅10n k \cdot 10^n sayısının basamak sayısı, k sayısının basamak sayısı ile n'in toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bir sayının basamak sayısını bulmak için sayı A⋅10n A \cdot 10^n formatına getirilir.

İpuçları

1
Sayıları en küçük asal tabanlarında (2 2 ve 5 5 ) yazmayı deneyin.
2
Bir sayının basamak sayısını bulmak için o sayıyı A⋅10n A \cdot 10^n biçiminde ifade etmelisiniz.
3
212⋅515 2^{12} \cdot 5^{15} ifadesinde, üsleri eşitlemek için 515 5^{15} 'i parçalayarak 53⋅512 5^3 \cdot 5^{12} şeklinde yazın ve 10'un kuvvetini oluşturun.

Daha Fazla Pratik

Sondan kaç basamağı sıfırdır soruları da aynı yöntemle çözülür.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 6Soru →
xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
12x=27 12^x = 27
6y=16 6^y = 16
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, xy+4x+3yxy + 4x + 3y ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İfadenin değeri 12'dir.
Verilen eşitliklerde tabanlar asal çarpanlarına ayrılarak 2 ve 3 tabanları arasında geçiş yapılmıştır. 12x=2712^x=27 eşitliğinden 22 tabanı 33 cinsinden, 6y=166^y=16 eşitliğinden ise 33 tabanı 22 cinsinden yazılmıştır. Elde edilen ifadeler birbirinin yerine konularak (substitüsyon) üsler arasında cebirsel bir bağ kurulmuş ve sorulan xy+4x+3yxy + 4x + 3y ifadesinin değeri doğrudan 12 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üslü ifadeleri asal çarpanlarına ayırarak düzenle.
12x=(22⋅3)x=22x⋅3x=27=3312^x = (2^2 \cdot 3)^x = 2^{2x} \cdot 3^x = 27 = 3^3 ve 6y=(2⋅3)y=2y⋅3y=16=246^y = (2 \cdot 3)^y = 2^y \cdot 3^y = 16 = 2^4
Tabanları ortak olan sayılar arasında ilişki kurmak için asal çarpanlara ayırma gereklidir.
2
Her iki eşitlikte xx ve yy türünden birbiri cinsinden ifade edilebilecek ortak tabanları yalnız bırak.
Birinci denklemden 22x=33−x⇒2=33−x2x2^{2x} = 3^{3-x} \Rightarrow 2 = 3^{\frac{3-x}{2x}}. İkinci denklemden 3y=24−y⇒3=24−yy3^y = 2^{4-y} \Rightarrow 3 = 2^{\frac{4-y}{y}}.
Ortak tabanlar (2 ve 3) üzerinden iki değişkeni birbirine bağlamak için dönüştürme yapılır.
3
İkinci denklemde elde edilen 33 değerini, birinci denklemdeki yerine yaz.
2=(24−yy)3−x2x⇒21=2(4−y)(3−x)2xy2 = (2^{\frac{4-y}{y}})^{\frac{3-x}{2x}} \Rightarrow 2^1 = 2^{\frac{(4-y)(3-x)}{2xy}}
Tabanları eşitleyerek üsler arasında doğrudan bir eşitlik kurmak.
4
Üsleri eşitle ve içler dışlar çarpımı yaparak istenen ifadeyi elde et.
1=12−4x−3y+xy2xy⇒2xy=12−4x−3y+xy⇒xy+4x+3y=121 = \frac{12 - 4x - 3y + xy}{2xy} \Rightarrow 2xy = 12 - 4x - 3y + xy \Rightarrow xy + 4x + 3y = 12
Cebirsel ifadeyi düzenleyerek soruda sorulan kalıbı ortaya çıkarmak.

Anahtar Kavram

Üslü denklemlerde taban değiştirme ve değişkenler arası ilişki kurma

İpuçları

1
1212 sayısını 22⋅32^2 \cdot 3 ve 66 sayısını 2⋅32 \cdot 3 şeklinde asal çarpanlarına ayırarak başlayın.
2
Birinci denklemden 22'yi 33 cinsinden veya ikinci denklemden 33'ü 22 cinsinden çekerek diğer denklemde yerine yazmayı deneyin.
3
2=33−x2x2 = 3^{\frac{3-x}{2x}} ve 3=24−yy3 = 2^{\frac{4-y}{y}} eşitliklerini kullanarak tabanları eşitleyin ve üsleri çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki ax=bya^x = b^y dönüşümlerini içeren logaritma-üslü sayı geçiş soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Her iki tarafın logaritması alınarak da çözülebilir: x(ln⁡12)=ln⁡27x(\ln 12) = \ln 27 ve y(ln⁡6)=ln⁡16y(\ln 6) = \ln 16. Buradan xx ve yy çekilip istenen ifadede yerine yazıldığında, logaritma kuralları sadeleşerek yine 12 sonucunu verir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 7Soru →

2x−1=a2^{x-1} = a ve 3x+1=b3^{x+1} = b olduğuna göre, 12x12^x ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4a2b3\frac{4a^2b}{3}

Cevap

Verilen ifadeler düzenlenip 12x12^x çarpanlarına ayrıldığında sonuç 4a2b3\frac{4a^2b}{3} olarak bulunur.
Verilen üslü denklemlerde 2x2^x ve 3x3^x yalnız bırakıldığında 2x=2a2^x=2a ve 3x=b/33^x=b/3 elde edilir. 12x12^x ifadesi 22x⋅3x2^{2x} \cdot 3^x şeklinde yazılabilir. Bu ifadede bulunan 2x2^x yerine 2a2a ve 3x3^x yerine b/3b/3 yazıldığında (2a)2⋅(b/3)=4a2b/3(2a)^2 \cdot (b/3) = 4a^2b/3 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
2x−1=a2^{x-1} = a ifadesini 2x2^x türünden yazın.
2x⋅2−1=a⇒2x2=a⇒2x=2a2^x \cdot 2^{-1} = a \Rightarrow \frac{2^x}{2} = a \Rightarrow 2^x = 2a
12x12^x ifadesini parçalarken 2x2^x terimine ihtiyaç duyulacaktır.
2
3x+1=b3^{x+1} = b ifadesini 3x3^x türünden yazın.
3x⋅31=b⇒3⋅3x=b⇒3x=b33^x \cdot 3^1 = b \Rightarrow 3 \cdot 3^x = b \Rightarrow 3^x = \frac{b}{3}
12x12^x ifadesini parçalarken 3x3^x terimine ihtiyaç duyulacaktır.
3
12x12^x ifadesini asal çarpanlarına ayırarak 2x2^x ve 3x3^x cinsinden ifade edin.
12x=(22⋅3)x=(22)x⋅3x=(2x)2⋅3x12^x = (2^2 \cdot 3)^x = (2^2)^x \cdot 3^x = (2^x)^2 \cdot 3^x
Bilinen değerleri yerine koyabilmek için ifadeyi uygun forma getirmek gerekir.
4
Bulunan 2a2a ve b3\frac{b}{3} değerlerini yerlerine yazın.
(2a)2⋅b3=4a2⋅b3=4a2b3(2a)^2 \cdot \frac{b}{3} = 4a^2 \cdot \frac{b}{3} = \frac{4a^2b}{3}
İfadenin aa ve bb türünden nihai sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üslü ifadelerde taban parçalama ve değişken değiştirme yöntemleri.

İpuçları

1
12x12^x ifadesini asal çarpanlarına (22 ve 33 tabanında) ayırarak başlayın.
2
2x−1=a2^{x-1} = a ise 2x2^x'in aa türünden değerini; 3x+1=b3^{x+1} = b ise 3x3^x'in bb türünden değerini bulun.
3
12x=(2x)2⋅3x12^x = (2^x)^2 \cdot 3^x eşitliğini kullanarak elde ettiğiniz aa ve bb değerlerini bu ifadede yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 2x=a2^x = a ve 5x=b5^x = b verilip 200x200^x ifadesinin sorulduğu soruları çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Özel değer verme yöntemiyle; x=1x=1 seçilirse 20=1=a2^0=1=a ve 32=9=b3^2=9=b olur. Bu durumda 121=1212^1=12 sonucunu veren seçeneği a=1,b=9a=1, b=9 için kontrol edebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 8Soru →

3a⋅5b=753^a \cdot 5^b = 75 ve 3b⋅5a=453^b \cdot 5^a = 45 eşitlikleri veriliyor. Buna göre, a+ba+b ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin doğru değeri 3'tür.
Verilen iki denklem taraf tarafa çarpıldığında 3a+b⋅5a+b=33753^{a+b} \cdot 5^{a+b} = 3375 elde edilir. Bu ifade (3⋅5)a+b=153(3 \cdot 5)^{a+b} = 15^3 şeklinde düzenlendiğinde a+b=3a+b=3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarpınız.
(3a⋅5b)⋅(3b⋅5a)=75⋅45(3^a \cdot 5^b) \cdot (3^b \cdot 5^a) = 75 \cdot 45
a+ba+b toplamına ulaşmak için tabanları aynı olan ifadeleri bir araya getirmek gerekir.
2
Aynı tabana sahip üslü ifadeleri gruplayarak düzenleyiniz.
3a+b⋅5a+b=33753^{a+b} \cdot 5^{a+b} = 3375
Çarpma işleminde tabanlar aynı ise üsler toplanır: xm⋅xn=xm+nx^m \cdot x^n = x^{m+n}.
3
Üsleri ortak paranteze alarak tabanları çarpınız.
(3⋅5)a+b=3375⇒15a+b=3375(3 \cdot 5)^{a+b} = 3375 \Rightarrow 15^{a+b} = 3375
Üsler aynı ise tabanlar çarpılır: xn⋅yn=(x⋅y)nx^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n.
4
Eşitliğin sağ tarafındaki sayıyı 15 tabanında yazarak sonucu bulunuz.
15a+b=153⇒a+b=315^{a+b} = 15^3 \Rightarrow a+b = 3
3375=15⋅15⋅15=1533375 = 15 \cdot 15 \cdot 15 = 15^3 olduğundan üsler birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Üslü denklemlerde taraf tarafa çarpma ve üslerin eşitliği ilkesi.

İpuçları

1
Değişkenleri (aa ve bb) ayrı ayrı bulmaya çalışmak yerine, iki eşitliği birbiriyle etkileşime sokmayı deneyin.
2
Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarparsanız, aynı tabana sahip sayıların üslerini toplayabilirsiniz.
3
Taraf tarafa çarpma işlemi size 15a+b15^{a+b} ifadesini verecektir. 3375 sayısının 15'in kaçıncı kuvveti olduğunu bulun.

Alternatif Yöntem

Eşitliklerden logaritma alarak lineer denklem sistemi kurmak: aln⁡3+bln⁡5=ln⁡75a \ln 3 + b \ln 5 = \ln 75 ve bln⁡3+aln⁡5=ln⁡45b \ln 3 + a \ln 5 = \ln 45. Bu denklemler toplanarak (a+b)(ln⁡3+ln⁡5)=ln⁡(75⋅45)(a+b)(\ln 3 + \ln 5) = \ln(75 \cdot 45) elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 9Soru →

2x=32^x = 3 ve 2y=812^y = 81 eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre, (4)x+y2x(4)^{\frac{x+y}{2x}} ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Doğru cevap 32'dir.
Verilen eşitliklerde 2x=32^x=3 ve 2y=812^y=81 ilişkisinden yola çıkılarak, 81=3481=3^4 olduğu görülür. 2y=(3)4=(2x)4=24x2^y = (3)^4 = (2^x)^4 = 2^{4x} olduğundan y=4xy=4x eşitliği bulunur. Bu eşitlik sorulan ifadede yerine konulduğunda üs 52\frac{5}{2} çıkar. 45/2=324^{5/2} = 32 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ikinci eşitlikteki 81 sayısını 3 tabanında yazarak xx ve yy arasındaki ilişkiyi belirleyin.
2y=81=342^y = 81 = 3^4 olduğu için, 2x=32^x = 3 bilgisini kullanarak 2y=(2x)4=24x2^y = (2^x)^4 = 2^{4x} elde edilir. Buradan y=4xy = 4x bulunur.
Değişkenler arasında bağlantı kurmak için tabanların eşitlenmesi gerekir.
2
Bulunan y=4xy = 4x eşitliğini sorulan ifadede yerine yazın.
İfade x+y2x\frac{x+y}{2x} olduğundan, x+4x2x=5x2x=52\frac{x+4x}{2x} = \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2} bulunur.
İstenen üslü ifadenin kuvvetini sadeleştirmek için.
3
Tabanı düzenleyerek sonucu hesaplayın.
(4)52=(22)52=22⋅52=25=32(4)^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 2^5 = 32.
Üssün üssü kuralını uygulayarak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda taban değiştirme ve üssün üssü kuralı kullanılarak değişkenler arası ilişkilerin çözülmesi.

İpuçları

1
81 sayısını 3 tabanında yazarak xx ve yy arasında nasıl bir ilişki olduğunu bulun.
2
81=3481 = 3^4 olduğuna göre, 2y=(2x)42^y = (2^x)^4 eşitliğini kullanarak yy'nin xx cinsinden değerini belirleyin.
3
y=4xy = 4x eşitliğini sorudaki kesirde yerine koyun ve 44 tabanını 222^2 olarak düşünün.

Alternatif Yöntem

Logaritma kullanarak da çözülebilir: x=log⁡23x = \log_2 3 ve y=log⁡281=4log⁡23=4xy = \log_2 81 = 4 \log_2 3 = 4x. Buradan doğrudan oranlama yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 10Soru →

xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,

3x+2+3x+13x−4y+1−4y22y \frac{3^{x+2} + 3^{x+1}}{3^x} - \frac{4^{y+1} - 4^y}{2^{2y}}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İşlemin sonucu 9'dur.
Verilen işlem iki ayrı kesir olarak düşünülmeli ve her biri kendi içinde sadeleştirilmelidir. Birinci kesirde 3x3^x parantezine alınıp sadeleştirildiğinde 32+3=123^2+3=12 bulunur. İkinci kesirde payda 22y=4y2^{2y}=4^y şeklinde yazılıp 4y4^y parantezine alındığında 4−1=34-1=3 bulunur. Son olarak 12−3=912-3=9 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ifadeyi sadeleştirin.
3x+2+3x+13x=3x(32+31)3x=32+3=9+3=12\frac{3^{x+2} + 3^{x+1}}{3^x} = \frac{3^x(3^2 + 3^1)}{3^x} = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12
Ortak çarpan parantezine (3x3^x) alarak xx değişkenini yok etmek ve sayısal değeri bulmak için.
2
İkinci ifadenin paydasındaki 22y2^{2y} terimini 4 tabanına çevirin.
22y=(22)y=4y2^{2y} = (2^2)^y = 4^y
Pay ve payda arasında sadeleştirme yapabilmek için tabanları eşitlemek gerekir.
3
İkinci ifadeyi sadeleştirin.
4y+1−4y4y=4y(41−1)4y=4−1=3\frac{4^{y+1} - 4^y}{4^y} = \frac{4^y(4^1 - 1)}{4^y} = 4 - 1 = 3
Ortak çarpan parantezine (4y4^y) alarak yy değişkenini yok etmek için.
4
Bulunan iki sonucu birbirinden çıkarın.
12−3=912 - 3 = 9
Soruda istenen ana işlemi tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda toplama/çıkarma işlemi yapılırken, ifadeler en küçük üs parantezine alınarak ortak çarpanlar sadeleştirilir. Değişkenler bu sayede yok edilir.

İpuçları

1
Her iki kesri de değişkenlerden (xx ve yy) kurtarmak için pay kısımlarını ortak çarpan parantezine alın.
2
İkinci kesrin paydasındaki 22y2^{2y} ifadesini, tabanı 4 olacak şekilde (22)y(2^2)^y olarak yeniden yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki 2x+3−2x2x+1\frac{2^{x+3}-2^x}{2^{x+1}} gibi tek değişkenli sadeleştirme sorularını çözerek pratik yapın.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: x=0x=0 ve y=0y=0 değerlerini ifadede yerine koyarak sonucu daha hızlı bulabilirsiniz. (Bu yöntem test tekniği olarak geçerlidir ancak klasik çözüm değildir).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 11Soru →

Aşağıdaki eşitlikte nn bir gerçel sayıdır:

8n⋅4n+116n−1=32 \frac{8^n \cdot 4^{n+1}}{16^{n-1}} = 32

Buna göre, eşitliği sağlayan nn değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri -1'dir.
Verilen denklemde tüm sayılar 2'nin kuvveti olarak yazıldığında; pay 25n+22^{5n+2}, payda 24n−42^{4n-4} olur. Bölme işlemi yapıldığında 2n+62^{n+6} elde edilir. Bu ifade 3232'ye (252^5'e) eşitlendiğinde n+6=5n+6=5 denklemi bulunur ve buradan doğru cevap olan −1-1 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üslü ifadelerin tabanlarını en küçük asal sayı tabanına (2 tabanına) çeviriniz.
8n=(23)n=23n8^n = (2^3)^n = 2^{3n}, 4n+1=(22)n+1=22n+24^{n+1} = (2^2)^{n+1} = 2^{2n+2}, 16n−1=(24)n−1=24n−416^{n-1} = (2^4)^{n-1} = 2^{4n-4} ve 32=2532 = 2^5.
Üslü denklemleri çözebilmek için tabanların eşit olması gerekir.
2
Pay kısmındaki çarpma işlemini yapınız (üsleri toplayınız).
23n⋅22n+2=23n+2n+2=25n+22^{3n} \cdot 2^{2n+2} = 2^{3n + 2n + 2} = 2^{5n+2}.
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
3
Bölme işlemini uygulayınız (payın üssünden paydanın üssünü çıkarınız).
25n+224n−4=2(5n+2)−(4n−4)=25n+2−4n+4=2n+6\frac{2^{5n+2}}{2^{4n-4}} = 2^{(5n+2) - (4n-4)} = 2^{5n+2-4n+4} = 2^{n+6}.
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin bölümünde paydanın üssü işaret değiştirerek payın üssüne eklenir.
4
Elde edilen ifadeyi eşitliğin sağ tarafına eşitleyerek nn değerini bulunuz.
2n+6=25⇒n+6=5⇒n=−12^{n+6} = 2^5 \Rightarrow n+6 = 5 \Rightarrow n = -1.
Tabanları eşit olan üslü denklemlerde üsler de birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Üslü denklemlerin çözümünde tabanlar eşitlenir ve üsler arasındaki işlemler (çarpma için toplama, bölme için çıkarma) uygulanır.

İpuçları

1
Sorudaki 4, 8, 16 ve 32 sayılarının hepsini 2'nin kuvvetleri şeklinde yazmayı deneyin.
2
Üslü sayıların özelliklerini kullanın: (ax)y=ax⋅y(a^x)^y = a^{x \cdot y} kuralı ile üsleri düzenleyin ve tabanları aynı olan sayıları çarparken üsleri toplayın.
3
İfadenin sol tarafını sadeleştirdiğinizde 2n+62^{n+6} elde etmelisiniz. Bunu 3232 (252^5) ile eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, tabanları 3 veya 5 olan üslü denklemler çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklem çözmek yerine, seçeneklerdeki değerleri n yerine koyarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin n=-1 için: 8−1⋅4016−2=1/8⋅11/256=2568=32\frac{8^{-1} \cdot 4^0}{16^{-2}} = \frac{1/8 \cdot 1}{1/256} = \frac{256}{8} = 32.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru →

a,ba, b ve cc gerçel sayıları aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

a=436a = 4^{36}
b=2724b = 27^{24}
c=12516c = 125^{16}

Buna göre a,ba, b ve cc sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a < c < b

Cevap

Sayıların küçükten büyüğe sıralanışı a < c < b şeklindedir.
Sayıları karşılaştırmak için önce tabanları asal hale getirdik (a=272,b=372,c=548a=2^{72}, b=3^{72}, c=5^{48}). Daha sonra üslerin ortak katı olan 24 parantezine alarak taban büyüklüklerini (8,27,258, 27, 25) kıyasladık. 8 en küçük, 27 en büyük olduğu için doğru sıralama a < c < b şeklinde bulundu.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıların tabanlarını asal çarpanlarına ayırarak üslü biçimde yaz.
a=(22)36=272a = (2^2)^{36} = 2^{72}
b=(33)24=372b = (3^3)^{24} = 3^{72}
c=(53)16=548c = (5^3)^{16} = 5^{48}
Sayıları karşılaştırabilmek için ya tabanların ya da üslerin eşitlenmesi gerekir. İlk adımda asal tabanlara geçmek işlemi kolaylaştırır.
2
Üslerin en büyük ortak bölenini (EBOB) bul.
EBOB(72, 72, 48) = 24
Tüm ifadeleri aynı dış kuvvet (24) altında yazarak tabanları karşılaştırılabilir hale getirmek için ortak bir bölen gereklidir.
3
Her sayıyı 24. kuvvet parantezinde yeniden düzenle.
a=272=(23)24=824a = 2^{72} = (2^3)^{24} = 8^{24}
b=372=(33)24=2724b = 3^{72} = (3^3)^{24} = 27^{24}
c=548=(52)24=2524c = 5^{48} = (5^2)^{24} = 25^{24}
Üssün üssü kuralını (xm⋅n=(xm)nx^{m \cdot n} = (x^m)^n) tersten uygulayarak dış üsleri eşitleriz.
4
Parantez içindeki tabanları karşılaştırarak sıralamayı belirle.
Tabanlar: 8,27,258, 27, 25.
8<25<278 < 25 < 27 olduğu için 824<2524<27248^{24} < 25^{24} < 27^{24} olur.
Buradan: a<c<ba < c < b
Pozitif tabanlı üslü sayılarda, üsler eşitse tabanı büyük olan sayı daha büyüktür.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda sıralama yapılırken, tabanlar veya üsler eşitlenerek büyüklük karşılaştırması yapılır. Farklı taban ve üsse sahip büyük sayılar için en etkili yöntem, üslerin EBOB'unu alarak sayıları (Ak)n(A^k)^n formatına getirmektir.

İpuçları

1
Sayıların tabanlarını (4, 27, 125) asal sayıların kuvvetleri şeklinde yazmayı deneyin.

Daha Fazla Pratik

Üslü sayılarda sıralama konusunu pekiştirmek için, negatif tabanlı sayıların sıralanması sorularına göz atabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 13Soru →

x=−12x = -\frac{1}{2} ve y=−2y = -2 olduğuna göre,

x−2−y3x⋅y−1 \frac{x^{-2} - y^{3}}{x \cdot y^{-1}}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

İşlemin sonucu 48'dir.
İşlem adımları sırasıyla uygulandığında; pay kısmında (−12)−2=4(-\frac{1}{2})^{-2} = 4 ve (−2)3=−8(-2)^3 = -8 bulunur. Payda kısmında ise (−12)⋅(−12)=14(-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} elde edilir. Bölme işlemi yapıldığında sonuç 48 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen değerleri ifadede yerine koy
(−12)−2−(−2)3(−12)⋅(−2)−1 \frac{(-\frac{1}{2})^{-2} - (-2)^{3}}{(-\frac{1}{2}) \cdot (-2)^{-1}}
Değişkenlerin sayısal karşılıkları işlem sırasına göre yazılmalıdır.
2
Pay kısmındaki üslü ifadeleri hesapla
x−2=(−12)−2=(−2)2=4x^{-2} = (-\frac{1}{2})^{-2} = (-2)^2 = 4 ve y3=(−2)3=−8y^3 = (-2)^3 = -8. Pay: 4−(−8)=124 - (-8) = 12
Negatif kesrin negatif çift kuvveti pozitif tam sayıya, negatif tam sayının tek kuvveti negatif tam sayıya dönüşür.
3
Payda kısmındaki işlemleri hesapla
y−1=(−2)−1=−12y^{-1} = (-2)^{-1} = -\frac{1}{2}. Payda: (−12)⋅(−12)=14(-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}
İki negatif sayının çarpımı pozitiftir.
4
Son bölme işlemini yap
1214=12⋅4=48 \frac{12}{\frac{1}{4}} = 12 \cdot 4 = 48
Bir sayıyı kesre bölmek, o sayıyı kesrin tersi ile çarpmak demektir.

Anahtar Kavram

Negatif Üs ve İşaret Kuralları

İpuçları

1
Önce xx ve yy değerlerini parantez içinde yerine yazın, ardından üslü ifadelerin işaretlerine dikkat edin.
2
(−12)−2(-\frac{1}{2})^{-2} ifadesi, ters çevrilip karesi alındığında (−2)2(-2)^2 olur.
3
Paydadaki y−1y^{-1} ifadesi −12-\frac{1}{2}'dir. Payda (−12)⋅(−12)(-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) çarpımıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer zorlukta, bilinmeyen üslerin bulunduğu (örneğin 2x=a2^x = a dönüşümü gerektiren) sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 14Soru →
(−4)3⋅(−2)4(−8)2⋅(−2)\frac{(-4)^3 \cdot (-2)^4}{(-8)^2 \cdot (-2)}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İşlemin sonucu 8'dir.
İşlem adımları takip edildiğinde; pay kısmı −210-2^{10}, payda kısmı ise −27-2^7 olarak bulunur. Bu iki ifadenin bölümü (−210)/(−27)=210−7=23=8(-2^{10}) / (-2^7) = 2^{10-7} = 2^3 = 8 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir üslü ifadenin işaretini belirle ve tabanları 2'nin kuvveti şeklinde yaz.
(−4)3(-4)^3 negatiftir (tek kuvvet), (−2)4(-2)^4 pozitiftir (çift kuvvet), (−8)2(-8)^2 pozitiftir (çift kuvvet).
Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. İşlem kolaylığı için en küçük asal taban (2) kullanılır.
2
Pay kısmındaki ifadeleri düzenle.
(−4)3=−(22)3=−26(-4)^3 = -(2^2)^3 = -2^6 ve (−2)4=24(-2)^4 = 2^4. Çarpım: (−26)⋅24=−210(-2^6) \cdot 2^4 = -2^{10}.
Tabanlar aynıyken çarpma işleminde üsler toplanır: 6+4=106+4=10. Sonuç negatiftir.
3
Payda kısmındaki ifadeleri düzenle.
(−8)2=(23)2=26(-8)^2 = (2^3)^2 = 2^6. Yanındaki çarpan −2=−21-2 = -2^1. Çarpım: 26⋅(−21)=−272^6 \cdot (-2^1) = -2^{7}.
Tabanlar aynıyken üsler toplanır: 6+1=76+1=7. Pozitif ile negatifin çarpımı negatiftir.
4
Payı paydaya böl.
−210−27=+210−7=23=8\frac{-2^{10}}{-2^7} = +2^{10-7} = 2^3 = 8.
Negatifin negatife bölümü pozitiftir. Bölme işleminde payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.

Anahtar Kavram

Negatif tabanlı üslü sayılarda parantez ve kuvvet ilişkisi (Tek/Çift kuvvet kuralı) ve üslü sayılarda dört işlem.
Soru 15Soru →
nn bir tam sayı olmak üzere,
(−1)2n+(−1)4n+1−(−1)2n−1(−1)2n+1 \frac{ (-1)^{2n} + (-1)^{4n+1} - (-1)^{2n-1} }{ (-1)^{2n+1} }
işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1
Verilen ifadede nn bir tam sayı olduğundan, kuvvetlerin tek veya çift olma durumları incelenir. (−1)2n(-1)^{2n} çift kuvvet olduğu için +1+1, (−1)4n+1(-1)^{4n+1} ve (−1)2n−1(-1)^{2n-1} tek kuvvet oldukları için −1-1 değerini alır. Paydaki işlem 1+(−1)−(−1)=11 + (-1) - (-1) = 1 olur. Payda ise (−1)2n+1(-1)^{2n+1} tek kuvvet olduğu için −1-1 olur. Sonuç 1/(−1)=−11 / (-1) = -1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kuvvetlerin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirle.
nn tam sayı olduğu için;
2n2n çifttir,
4n+14n+1 tektir,
2n−12n-1 tektir,
2n+12n+1 tektir.
Negatif tabanlı üslü sayılarda, kuvvetin tek veya çift olması sonucun işaretini doğrudan etkiler.
2
Pay kısmındaki her bir terimin değerini hesapla.
1. Terim: (−1)c¸ift=+1(-1)^{\text{çift}} = +1
2. Terim: (−1)tek=−1(-1)^{\text{tek}} = -1
3. Terim: (−1)tek=−1(-1)^{\text{tek}} = -1
Negatif sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir.
3
Paydaki işlemleri yerine koy ve sonucu bul.
Pay = (+1)+(−1)−(−1)=1−1+1=1(+1) + (-1) - (-1) = 1 - 1 + 1 = 1
İşaretler dikkate alınarak toplama ve çıkarma işlemi yapılır.
4
Paydadaki ifadeyi hesapla.
Payda = (−1)tek=−1(-1)^{\text{tek}} = -1
Negatif sayının tek kuvveti negatiftir.
5
Payı paydaya bölerek sonucu bul.
1−1=−1\frac{1}{-1} = -1
Pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölümü negatiftir.

Anahtar Kavram

Negatif tabanlı üslü sayılarda, parantez dışındaki kuvvet çift ise sonuç pozitif, tek ise sonuç negatiftir ((−1)2n=1(-1)^{2n}=1, (−1)2n+1=−1(-1)^{2n+1}=-1).
Soru 16Soru →
x=3m x = 3^m ve y=2m y = 2^m eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, (0,375)m (0,375)^m ifadesinin xx ve yy türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: xy3 \frac{x}{y^3}

Cevap

xy3 \frac{x}{y^3} ifadesi doğru cevaptır.
Verilen ondalık sayı 0,375 0,375 önce kesre çevrilip sadeleştirildiğinde 38 \frac{3}{8} elde edilir. Bu ifade 3⋅2−3 3 \cdot 2^{-3} şeklinde yazılabilir. İfadenin m. m. kuvveti alındığında 3m⋅2−3m 3^m \cdot 2^{-3m} bulunur. 3m=x 3^m = x ve 2m=y 2^m = y olduğu için, ifade x⋅y−3 x \cdot y^{-3} yani xy3 \frac{x}{y^3} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevir ve sadeleştir.
0,375=3751000=38 0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}
Tabanı asal çarpanlarına ayırabilmek için kesirli ifadeye dönüştürmek gerekir.
2
Elde edilen kesri asal çarpanların kuvveti şeklinde yaz.
38=3123=3⋅2−3 \frac{3}{8} = \frac{3^1}{2^3} = 3 \cdot 2^{-3}
Soruda verilen 3m 3^m ve 2m 2^m tabanlarına benzetmek için.
3
İfadenin m. m. kuvvetini al ve dağıt.
(3⋅2−3)m=3m⋅(2−3)m=3m⋅(2m)−3 (3 \cdot 2^{-3})^m = 3^m \cdot (2^{-3})^m = 3^m \cdot (2^m)^{-3}
Üslü ifadelerde üssün üssü ve çarpımın üssü kuralları uygulanır.
4
x x ve y y değerlerini yerine yaz.
x⋅y−3=x⋅1y3=xy3 x \cdot y^{-3} = x \cdot \frac{1}{y^3} = \frac{x}{y^3}
Sonucu x x ve y y cinsinden ifade etmek için.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda taban dönüşümü ve negatif üs kuralı.

İpuçları

1
0,375 0,375 ondalık sayısını kesirli olarak yazıp en sade halini bulun.
2
Elde ettiğiniz kesrin paydasındaki sayıyı 2'nin kuvveti olarak ifade edin.
3
323=3⋅2−3 \frac{3}{2^3} = 3 \cdot 2^{-3} eşitliğini kullanarak ifadeyi m. m. kuvvet parantezine alın.

Daha Fazla Pratik

0,125 0,125 veya 0,625 0,625 gibi farklı ondalık tabanlarla benzer dönüşümler içeren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Doğrudan x x ve y y değerlerine sayı vererek (örneğin m=1 m=1 için x=3,y=2 x=3, y=2 ) şıklarda sağlama yapılabilir. (0,375)1=3/8 (0,375)^1 = 3/8 sonucunu veren şık aranır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 17Soru →

x=(−4)2x = (-4)^2, y=2−2y = 2^{-2} ve z=50z = 5^0 olarak verilmektedir. Buna göre, x⋅y−zx \cdot y - z işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşlemin sonucu 3 olarak bulunur.
Verilen değişkenler hesaplandığında x=16x = 16, y=1/4y = 1/4 ve z=1z = 1 değerleri elde edilir. İşlem sırasına göre önce 1616 ile 1/41/4 çarpılarak 4 sonucu bulunur, ardından bu sonuçtan 1 çıkarıldığında 3 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
xx değerini hesapla
x=(−4)2=(−4)×(−4)=16x = (-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16
Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir.
2
yy değerini hesapla
y=2−2=122=14y = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}
Negatif üs, tabanın çarpmaya göre tersinin alınacağını ifade eder.
3
zz değerini hesapla
z=50=1z = 5^0 = 1
Sıfırdan farklı tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
4
Değerleri yerine koy ve işlem önceliğine göre çöz
16⋅14−1=4−1=316 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 4 - 1 = 3
Önce çarpma işlemi yapılır, ardından çıkarma işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda temel tanımlar (negatif taban, negatif üs ve sıfırıncı kuvvet)

İpuçları

1
Önce x,yx, y ve zz değerlerini ayrı ayrı hesaplayarak işe başlayın.
2
Negatif üssün sayıyı takla attırdığını (ters çevirdiğini) ve sıfırıncı kuvvetin daima 1 olduğunu hatırlayın.
3
Bulduğunuz değerleri denklemde yerine yazın: 16⋅(1/4)−116 \cdot (1/4) - 1. Önce çarpmayı yapmayı unutmayın!

Daha Fazla Pratik

Benzer bir pekiştirme için negatif tabanlı ve negatif üslü rasyonel sayı işlemlerini çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 18Soru →

Bir kamu kurumunun dijital arşivleme sisteminde dosyalar, kapasitelerine göre üslü sayılarla ifade edilen birimlerle kodlanmaktadır. Sisteme yeni kaydedilen üç farklı belgenin kodları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

BelgeKod (Birim)
A Belgesi(−2)4(-2)^4
B Belgesi2−32^{-3}
C Belgesi202^0

Buna göre, bu üç belgenin kodlarının çarpımı (A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dosya kodlarının değerleri sırasıyla 16, 1/8 ve 1 olduğundan, bu değerlerin çarpımı 2 sonucunu vermektedir.
Verilen kodlar doğru şekilde hesaplandığında A belgesi 16, B belgesi 1/8 ve C belgesi 1 değerini alır. Bu üç değerin çarpımı (16×1/8×116 \times 1/8 \times 1) ise 2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
A Belgesinin kodunu hesaplayın
(−2)4=16(-2)^4 = 16
Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir ve 2'nin 4. kuvveti 16'dır.
2
B Belgesinin kodunu hesaplayın
2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}
a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} kuralı gereği negatif üs, sayıyı rasyonel hale getirir.
3
C Belgesinin kodunu hesaplayın
20=12^0 = 1
Sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
4
Bulunan değerleri birbiriyle çarpın
16⋅18⋅1=216 \cdot \frac{1}{8} \cdot 1 = 2
Bulunan kodların çarpımı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Üslü ifadelerde negatif tabanların kuvvetleri, negatif üs kuralı ve sıfırıncı kuvvet tanımı.

İpuçları

1
Parantez içindeki negatif sayıların çift kuvvetlerinin sonucunun işaretine dikkat edin.
2
Negatif üslü bir ifadeyi rasyonel sayıya (a−n=1/ana^{-n} = 1/a^n) dönüştürerek işlem yapın.
3
Bir sayının sıfırıncı kuvvetinin değerini hatırlayın (20=?2^0 = ?) ve her belgenin değerini bulup çarpın.

Daha Fazla Pratik

Üslü sayılarda çarpma işleminde tabanlar aynı olduğunda üslerin toplandığı kuralını pekiştirmek için benzer örnekler çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İfadeleri tek bir tabanda (22 tabanında) yazarak işlemi yapabilirsiniz: 24⋅2−3⋅20=24−3+0=21=22^4 \cdot 2^{-3} \cdot 2^0 = 2^{4-3+0} = 2^1 = 2.
Tahmini Süre:45s
Soru 19Soru →

Bir matematik öğretmeni tahtaya aşağıdaki üslü denklemi yazmıştır:

6x+6x+6x3x+3x=96 \frac{6^x + 6^x + 6^x}{3^x + 3^x} = 96

Buna göre, bu eşitliği sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitliği sağlayan x değeri 6'dır.
Verilen denklemde pay kısmı 3 tane 6x6^x ifadesinin toplamı olduğu için 3⋅6x3 \cdot 6^x olarak, payda kısmı ise 2 tane 3x3^x ifadesinin toplamı olduğu için 2⋅3x2 \cdot 3^x olarak yazılır. Bu durumda denklem 3⋅6x2⋅3x=96\frac{3 \cdot 6^x}{2 \cdot 3^x} = 96 halini alır. 6x3x\frac{6^x}{3^x} ifadesi (63)x(\frac{6}{3})^x kuralından 2x2^x değerine eşittir. Denklem 32⋅2x=96\frac{3}{2} \cdot 2^x = 96 olarak düzenlendiğinde 2x=642^x = 64 bulunur. 64=2664 = 2^6 olduğundan x=6x = 6 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak düzenleyiniz.
3⋅6x2⋅3x=96 \frac{3 \cdot 6^x}{2 \cdot 3^x} = 96
Ardışık toplama işlemleri, aynı sayının adediyle çarpımı şeklinde ifade edilebilir.
2
Kesirli ifadeyi üsleri aynı olan sayıların bölme kuralına göre sadeleştiriniz.
32⋅(63)x=96⇒32⋅2x=96 \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{6}{3}\right)^x = 96 \Rightarrow \frac{3}{2} \cdot 2^x = 96
axbx=(ab)x \frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x kuralı uygulanarak tabanlar sadeleştirilir.
3
Üslü ifadeyi yalnız bırakmak için katsayıyı eşitliğin karşı tarafına geçiriniz.
2x=96⋅23⇒2x=64 2^x = 96 \cdot \frac{2}{3} \Rightarrow 2^x = 64
Çarpım durumundaki bir sayı karşı tarafa bölme (tersi) olarak geçer.
4
Elde edilen sayıyı tabanlar aynı olacak şekilde üslü biçimde yazarak bilinmeyeni bulunuz.
2x=26⇒x=6 2^x = 2^6 \Rightarrow x = 6
Tabanları eşit olan üslü denklemlerde üsler de birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Üslü ifadelerde toplama işlemi ve tabanları farklı üsleri aynı olan ifadelerde bölme kuralı.

İpuçları

1
Denklemin sol tarafındaki pay ve payda kısımlarını çarpma işlemine çevirmeyi deneyin.
2
6x6^x ifadesini 2x⋅3x2^x \cdot 3^x şeklinde parçalayarak paydadaki 3x3^x ile sadeleştirebilirsiniz.
3
Tüm düzenlemelerden sonra elinizde 32⋅2x=96\frac{3}{2} \cdot 2^x = 96 ifadesi kalmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Üslü denklemlerde ortak çarpan parantezine alma yöntemini pekiştirmek için benzer yapıda ancak farklı tabanlara sahip sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

6x6^x ifadesi (2⋅3)x=2x⋅3x(2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x olarak açılabilir. Bu durumda pay 3⋅2x⋅3x3 \cdot 2^x \cdot 3^x olur. Paydadaki 2⋅3x2 \cdot 3^x ile 3x3^x ifadeleri birbirini götürür. Geriye 3⋅2x2=96\frac{3 \cdot 2^x}{2} = 96 kalır ve buradan daha hızlı bir şekilde sonuca gidilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 20Soru →

xx sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,

(−x3)−2⋅(−x−2)3⋅(−x)5(−x2)−3⋅(x−1)4 \frac{(-x^3)^{-2} \cdot (-x^{-2})^3 \cdot (-x)^5}{(-x^2)^{-3} \cdot (x^{-1})^4}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −x3-x^3

Cevap

İfadenin en sade hali −x3-x^3 olarak bulunur.
İşlem adımları takip edildiğinde; pay kısmı x−7x^{-7}, payda kısmı ise −x−10-x^{-10} olarak bulunur. Bu iki ifadenin bölümü sonucu −x3-x^3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki terimlerin işaretlerini ve üslerini düzenle.
(−x3)−2→x−6(-x^3)^{-2} \rightarrow x^{-6} (Çift kuvvet pozitiftir)
(−x−2)3→−x−6(-x^{-2})^3 \rightarrow -x^{-6} (Tek kuvvet negatiftir)
(−x)5→−x5(-x)^5 \rightarrow -x^5 (Tek kuvvet negatiftir)
Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
2
Pay kısmındaki terimleri çarp.
(x−6)⋅(−x−6)⋅(−x5)=+x−6−6+5=x−7(x^{-6}) \cdot (-x^{-6}) \cdot (-x^5) = +x^{-6-6+5} = x^{-7}
İki negatif sayının çarpımı pozitiftir. Tabanlar aynıyken üsler toplanır.
3
Payda kısmındaki terimlerin işaretlerini ve üslerini düzenle.
(−x2)−3→−x−6(-x^2)^{-3} \rightarrow -x^{-6} (Taban −x2-x^2 negatiftir, üs tek olduğu için sonuç negatiftir)
(x−1)4→x−4(x^{-1})^4 \rightarrow x^{-4}
−x2-x^2 ifadesi −(x2)-(x^2) anlamına gelir, bu nedenle negatiftir.
4
Payda kısmındaki terimleri çarp.
(−x−6)⋅(x−4)=−x−10(-x^{-6}) \cdot (x^{-4}) = -x^{-10}
Pozitif ve negatif sayının çarpımı negatiftir. Üsler toplanır: −6+(−4)=−10-6 + (-4) = -10.
5
Payı paydaya bölerek sonucu bul.
x−7−x−10=−x−7−(−10)=−x−7+10=−x3\frac{x^{-7}}{-x^{-10}} = -x^{-7 - (-10)} = -x^{-7+10} = -x^3
Bölme işleminde payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. İşaret bölümü negatiftir.

Anahtar Kavram

Negatif tabanlı üslü ifadelerde parantez ve kuvvet ilişkisi (tek/çift kuvvet kuralı) ve üslü sayılarda dört işlem.

İpuçları

1
Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Parantezin konumu önemlidir: (−x2)(-x^2) negatiftir.
2
Paydaki terimlerin işaretlerini belirleyin: (−x3)−2(-x^3)^{-2} pozitiftir, diğer iki terim negatiftir. Çarpımları pozitif olacaktır.
3
Pay x−7x^{-7}, payda −x−10-x^{-10} çıkar. Bölme işleminde üsleri birbirinden çıkarırken işaretlere dikkat edin: −7−(−10)-7 - (-10).

Daha Fazla Pratik

Benzer işaret kurallarını içeren ancak sayısal değerler (örn: x=-2) verilen bir soru çözülmesi önerilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Sayfa 1 / 3Sonraki
Üslü İfadeler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin