Examkin

Çokgenler

39 soru

Soru 21Soru →

Aşağıdaki şekilde bir dışbükey altıgen verilmiştir.

Buna göre, bu altıgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 720∘720^{\circ}

Cevap

Dışbükey bir altıgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 720∘720^{\circ}'dir.
Dışbükey bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ} formülü ile bulunur. Altıgen için n=6n=6 olduğundan (6−2)×180∘=4×180∘=720∘(6-2) \times 180^{\circ} = 4 \times 180^{\circ} = 720^{\circ} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgenin kenar sayısını (nn) belirleyelim.
n=6n = 6 (Altıgen)
Soruda verilen şekil bir altıgendir.
2
İç açılar toplamı formülünü uygulayalım.
Toplam = (n−2)×180∘(n - 2) \times 180^{\circ}
Herhangi bir dışbükey nn kenarlı çokgenin iç açılar toplamı (n−2)(n-2) tane üçgenin iç açılar toplamına eşittir.
3
nn yerine 6 yazarak işlemi tamamlayalım.
(6−2)×180∘=4×180∘=720∘(6 - 2) \times 180^{\circ} = 4 \times 180^{\circ} = 720^{\circ}
Altıgen 4 adet üçgene bölünebildiği için iç açılar toplamı 720∘720^{\circ} olur.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerin iç açılar toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ} formülü ile hesaplanır.

İpuçları

1
Şeklin kaç kenarlı olduğunu (n sayısını) belirleyerek başlayın.
2
Çokgenin bir köşesinden diğer köşelerine doğrular çizerek kaç tane üçgen oluştuğunu görebilirsiniz.
3
İç açılar toplamı için (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ} formülünü kullanın; burada n=6n=6 olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Farklı kenar sayılarına sahip (beşgen, yedigen gibi) çokgenlerin iç açılar toplamını hesaplayarak pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Çokgenin içindeki bir noktadan tüm köşelere doğrular çizerek 6 tane üçgen oluşturabilirsiniz. Bu üçgenlerin açılar toplamından (6×180∘6 \times 180^{\circ}) merkezde oluşan tam açıyı (360∘360^{\circ}) çıkararak sonucu bulabilirsiniz: 1080∘−360∘=720∘1080^{\circ} - 360^{\circ} = 720^{\circ}.
Tahmini Süre:45s
Soru 22Soru →

Bir düzgün çokgenin kenar sayısı 55 artırıldığında, bir dış açısının ölçüsü 6∘6^{\circ} azalmaktadır.

Buna göre, ilk durumdaki bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

İlk durumdaki düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 90'dır.
Düzgün çokgenin dış açısı 360/n360/n formülüyle bulunur. Kenar sayısı 5 arttığında dış açı 6 derece azalıyorsa, kurulan 360n−360n+5=6\frac{360}{n} - \frac{360}{n+5} = 6 denkleminin çözümü n=15n=15 verir. 15 kenarlı bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 15(15−3)2=90\frac{15(15-3)}{2} = 90 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sorudaki ilişkiyi matematiksel denkleme dökün.
İlk kenar sayısına nn diyelim. Dış açı formülü 360n\frac{360}{n}'dir. Kenar sayısı n+5n+5 olduğunda dış açı 360n+5\frac{360}{n+5} olur. Denklem: 360n−360n+5=6\frac{360}{n} - \frac{360}{n+5} = 6
Dış açının 6 derece azaldığı bilgisini kullanmak için.
2
Denklemi sadeleştirerek nn değerini bulun.
Her terimi 6'ya bölelim: 60n−60n+5=1\frac{60}{n} - \frac{60}{n+5} = 1. Payda eşitleyelim: 60(n+5)−60nn(n+5)=1→300=n2+5n\frac{60(n+5) - 60n}{n(n+5)} = 1 \rightarrow 300 = n^2 + 5n. Buradan n2+5n−300=0n^2 + 5n - 300 = 0 elde edilir. Çarpanlarına ayıralım: (n+20)(n−15)=0(n+20)(n-15)=0. nn pozitif olmalı, bu yüzden n=15n=15.
Başlangıçtaki kenar sayısını belirlemek için.
3
Bulunan kenar sayısı ile toplam köşegen sayısını hesaplayın.
Köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}'dir. n=15n=15 için: 15×(15−3)2=15×122=15×6=90\frac{15 \times (15-3)}{2} = \frac{15 \times 12}{2} = 15 \times 6 = 90.
Sorunun istediği nihai değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde dış açı ve köşegen sayısı ilişkisi

İpuçları

1
Bir düzgün çokgenin dış açısının ölçüsü 360n\frac{360}{n} formülü ile bulunur.
2
Kenar sayısı nn olan çokgenin dış açısı ile n+5n+5 olanın dış açısı arasındaki fark 6 derecedir. Bu ilişkiyi bir denkleme dökün.
3
360n−360n+5=6\frac{360}{n} - \frac{360}{n+5} = 6 denklemini çözerek nn değerini bulun, sonra n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülünü kullanın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 23Soru →

Kenar sayıları birbirinden farklı olan iki düzgün çokgen tanımlanmıştır. Birinci düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, ikinci düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsünün 7 katıdır. İkinci düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü ise birinci düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsünün 4 katıdır.

Buna göre, kenar sayısı daha fazla olan çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 135

Cevap

135
Soruda verilen açı ilişkileri kullanılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurulur. Birinci çokgenin dış açısı xx, ikincisinin yy alındığında; 180−x=7y180-x=7y ve 180−y=4x180-y=4x eşitlikleri elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde x=40∘x=40^{\circ} ve y=20∘y=20^{\circ} bulunur. Dış açısı küçük olanın kenar sayısı daha fazladır (360/20=18360/20=18 kenarlı). 18 kenarlı bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 18⋅152=135\frac{18 \cdot 15}{2} = 135 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımla ve denklemleri kur.
Birinci çokgenin dış açısı xx, ikinci çokgenin dış açısı yy olsun. İç açılar sırasıyla 180−x180-x ve 180−y180-y olur. Verilenlerden: 1) 180−x=7y180-x = 7y ve 2) 180−y=4x180-y = 4x denklemleri elde edilir.
Düzgün çokgenlerde bir iç açı ile bir dış açının toplamı 180 derecedir.
2
Denklem sistemini çöz.
İkinci denklemden y=180−4xy = 180 - 4x bulunur. Birinci denklemde yerine yazılırsa: 180−x=7(180−4x)⇒180−x=1260−28x⇒27x=1080⇒x=40∘180 - x = 7(180 - 4x) \Rightarrow 180 - x = 1260 - 28x \Rightarrow 27x = 1080 \Rightarrow x = 40^{\circ}. Buradan y=180−4(40)=20∘y = 180 - 4(40) = 20^{\circ} bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek dış açıları bulmak gerekir.
3
Kenar sayılarını bul.
Birinci çokgenin kenar sayısı n1=360/40=9n_1 = 360/40 = 9. İkinci çokgenin kenar sayısı n2=360/20=18n_2 = 360/20 = 18.
Düzgün çokgenin kenar sayısı n=360/dıs¸ ac¸ın = 360 / \text{dış açı} formülü ile bulunur.
4
Kenar sayısı fazla olanın (18) köşegen sayısını hesapla.
Köşegen sayısı = n(n−3)2=18(18−3)2=18×152=9×15=135\frac{n(n-3)}{2} = \frac{18(18-3)}{2} = \frac{18 \times 15}{2} = 9 \times 15 = 135.
Bir çokgenin toplam köşegen sayısı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde Açı ve Köşegen İlişkileri

İpuçları

1
Düzgün çokgenin bir dış açısına değişken vererek (örneğin x), iç açısını bu değişken cinsinden (180-x) ifade etmeyi deneyin.
2
İki farklı çokgen olduğu için iki farklı değişken kullanın: Birinin dış açısı x, diğerinin y olsun. Verilen kat ilişkilerini kullanarak iki denklem oluşturun.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmakta zorlanıyorsanız, dış açıların tam sayı olması gerektiğini düşünerek şıklardan gitmek yerine; 180'in bölenleri olan ve birbirinin 4 veya 7 katı ilişkisine uyan açıları tahmin etmeye çalışabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 24Soru →

Bir konveks düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı ile kenar sayısının toplamı, bu çokgenin bir dış açısının ölçüsünün (derece cinsinden) 14\frac{1}{4} katına eşittir. Buna göre, bu düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120∘120^{\circ}

Cevap

Düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü 120∘120^{\circ}'dir.
Verilen matematiksel koşullar denkleme döküldüğünde n2(n−1)=180n^2(n-1) = 180 eşitliği elde edilir. Bu eşitliği sağlayan tek pozitif tam sayı n=6n=6 değeridir. Kenar sayısı 66 olan düzgün bir çokgenin (altıgen) bir dış açısı 60∘60^{\circ}, dolayısıyla bir iç açısı 180−60=120∘180 - 60 = 120^{\circ} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken tanımlama ve formüllerin yazılması
Kenar sayısı nn olsun. Toplam köşegen sayısı: n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}, Dış açı ölçüsü: 360n\frac{360}{n}
Soruda verilen sözel ifadeleri cebirsel sembollerle ifade etmek gerekir.
2
Verilen şartlara göre denklemin kurulması
n(n−3)2+n=14⋅360n\frac{n(n-3)}{2} + n = \frac{1}{4} \cdot \frac{360}{n}
Köşegen sayısı ve kenar sayısı toplamının dış açının dörtte birine eşit olduğu bilgisi kullanılmıştır.
3
Denklemin sadeleştirilmesi ve çözülmesi
n2−3n+2n2=90n⇒n2−n2=90n⇒n(n2−n)=180⇒n2(n−1)=180\frac{n^2 - 3n + 2n}{2} = \frac{90}{n} \Rightarrow \frac{n^2 - n}{2} = \frac{90}{n} \Rightarrow n(n^2 - n) = 180 \Rightarrow n^2(n-1) = 180
Payda eşitleyerek ve içler dışlar çarpımı yaparak nn değerini bulacak denkleme ulaşılır.
4
Kenar sayısının bulunması
n=6n=6 için 62(6−1)=36⋅5=1806^2(6-1) = 36 \cdot 5 = 180 olur. Dolayısıyla n=6n=6 (Altıgen).
Denklemi sağlayan tam sayı değeri tespit edilir.
5
Bir iç açının hesaplanması
I˙c¸ Ac¸ı=(6−2)⋅1806=4⋅1806=120∘\text{İç Açı} = \frac{(6-2) \cdot 180}{6} = \frac{4 \cdot 180}{6} = 120^{\circ}
Düzgün çokgenin iç açı formülü kullanılarak sonuca gidilir.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde kenar sayısı (nn), köşegen sayısı ve açı ölçüleri arasındaki cebirsel ilişkiler.
Soru 25Soru →

Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün 5 katıdır.

Buna göre, bu çokgenin herhangi bir köşesinden çizilen en kısa köşegen ile en uzun köşegen arasında kalan açının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

En kısa ve en uzun köşegen arasındaki açı 60 derecedir.
İç açısı dış açısının 5 katı olan düzgün çokgen 12 kenarlıdır (dış açı 30∘30^{\circ}). Bir köşeden çizilen en kısa köşegen, yanındaki kenar ile 15∘15^{\circ}'lik açı yapar (180−150=30180-150=30, ikizkenar üçgen taban açısı 15). En uzun köşegen ise iç açıyı (150∘150^{\circ}) ortalar ve kenar ile 75∘75^{\circ}'lik açı yapar. Bu iki köşegen arasındaki açı farkı 75−15=60∘75 - 15 = 60^{\circ} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dış açıya xx diyerek iç ve dış açı bağıntısını kur.
Dış açı =x= x, İç açı =5x= 5x. Toplamları 6x=180∘6x = 180^{\circ} olduğundan x=30∘x = 30^{\circ}.
Bir çokgenin aynı köşesindeki iç ve dış açının toplamı 180 derecedir.
2
Çokgenin kenar sayısını (nn) hesapla.
n=36030=12n = \frac{360}{30} = 12. Çokgen bir düzgün onikigendir.
Düzgün çokgenin kenar sayısı n=360Dıs¸ Ac¸ın = \frac{360}{\text{Dış Açı}} formülü ile bulunur.
3
Bir köşeden çıkan köşegenlerin ayırdığı birim açı miktarını bul.
Birim açı (çevrel çemberde bir kenarı gören çevre açı) =18012=15∘= \frac{180}{12} = 15^{\circ}.
Düzgün çokgenin bir köşesinden çizilen tüm köşegenler, o köşedeki iç açıyı n−2n-2 eşit parçaya böler. Her parça 180n\frac{180}{n} derecedir.
4
Köşegenleri tanımla ve aradaki açıyı hesapla.
En kısa köşegen 1 kenar atlar (1 birim açı = 15∘15^{\circ}). En uzun köşegen (merkezden geçen) 5 kenar atlar (5 birim açı = 5×15=75∘5 \times 15 = 75^{\circ}). Aradaki açı: 75∘−15∘=60∘75^{\circ} - 15^{\circ} = 60^{\circ}.
İstenen açı, iki köşegenin kenar ile yaptığı açıların farkıdır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde bir köşeden çizilen köşegenlerin, o köşedeki iç açıyı eşit parçalara bölmesi ve bu parçaların her birinin 180n\frac{180}{n} derece olması.

İpuçları

1
Önce dış açıyı xx, iç açıyı 5x5x olarak kabul edip çokgenin kaç kenarlı olduğunu bulunuz.
2
Çokgen 12 kenarlıdır. Bir köşeden çıkan en kısa köşegen, kendisine komşu iki kenar ile bir ikizkenar üçgen oluşturur.
3
En uzun köşegen, 12 kenarlı düzgün çokgenin iç açısını (150∘150^{\circ}) tam ortadan böler. En kısa köşegen ise bu açının ucundan 15∘15^{\circ}'lik bir parça ayırır.

Alternatif Yöntem

Çevrel çember mantığı ile çözüm: Her bir kenar, merkezde 30∘30^{\circ}'lik yay görür. En kısa köşegen 1 kenarı geride bırakır, en uzun köşegen (çap) 6 kenarı geride bırakır. Aralarındaki yay farkı 4 kenardır. Çevre açı, gördüğü yayların (4 kenar ×30∘=120∘\times 30^{\circ} = 120^{\circ}) yarısına eşittir: 120/2=60∘120/2 = 60^{\circ}.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 26Soru →

A, B, C, D... noktaları bir düzgün çokgenin ardışık köşeleridir. Bu çokgenin iç bölgesinde bir K noktası alınarak, [AB] kenarı üzerinde ABK eşkenar üçgeni oluşturuluyor.

m(KCB^)=40∘m(\widehat{KCB}) = 40^{\circ} olduğuna göre, bu düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Çokgenin 18 kenarı vardır
Soruda verilen ABK eşkenar üçgeni sayesinde ∣BK∣|BK| uzunluğunun düzgün çokgenin bir kenarı olan ∣AB∣|AB|'ye eşit olduğu bulunur. Düzgün çokgenin tüm kenarları eşit olduğundan ∣AB∣=∣BC∣|AB|=|BC|'dir. Bu iki bilgi birleştirildiğinde ∣BK∣=∣BC∣|BK|=|BC| olduğu, dolayısıyla KBC üçgeninin ikizkenar olduğu ortaya çıkar. Taban açıları 40 derece olan bu ikizkenar üçgenin tepe açısı 100 derecedir. Düzgün çokgenin bir iç açısı, eşkenar üçgenin 60 derecelik açısı ile bu 100 derecenin toplamı olan 160 derecedir. İç açısı 160 derece olan düzgün çokgenin dış açısı 20 derecedir ve kenar sayısı 360/20=18360/20=18 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABK üçgeni eşkenar olduğundan kenar uzunluklarını ve açılarını belirle.
∣AB∣=∣BK∣=∣AK∣|AB| = |BK| = |AK| ve m(ABK^)=60∘m(\widehat{ABK}) = 60^{\circ}
Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit ve iç açıları 60 derecedir.
2
Düzgün çokgenin kenar eşitliğini kullanarak KBC üçgeninin türünü belirle.
∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC| (düzgün çokgen) ve ∣AB∣=∣BK∣|AB| = |BK| olduğu için ∣BK∣=∣BC∣|BK| = |BC| olur. KBC ikizkenar üçgendir.
Düzgün çokgenin tüm kenar uzunlukları eşittir; geçişme özelliği ile üçgenin ikizkenar olduğu görülür.
3
KBC üçgeninin iç açılarını hesapla.
Taban açıları m(KCB^)=m(BKC^)=40∘m(\widehat{KCB}) = m(\widehat{BKC}) = 40^{\circ}. Tepe açısı m(KBC^)=180∘−(40∘+40∘)=100∘m(\widehat{KBC}) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 100^{\circ}.
İkizkenar üçgenin taban açıları eşittir ve üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
4
Düzgün çokgenin bir iç açısını (m(ABC^)m(\widehat{ABC})) bul.
m(ABC^)=m(ABK^)+m(KBC^)=60∘+100∘=160∘m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ABK}) + m(\widehat{KBC}) = 60^{\circ} + 100^{\circ} = 160^{\circ}
B köşesindeki tam iç açı, eşkenar üçgenin açısı ile yanındaki açının toplamıdır.
5
Dış açıdan yola çıkarak kenar sayısını hesapla.
Dış açı = 180∘−160∘=20∘180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ}. Kenar sayısı n=36020=18n = \frac{360}{20} = 18.
Düzgün çokgenin kenar sayısı, 360 derecenin bir dış açıya bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde kenar eşitliği ve yardımcı üçgenler (eşkenar/ikizkenar) kullanılarak açı takibi yapılması.

İpuçları

1
Eşkenar üçgenin kenar uzunlukları ile düzgün çokgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiye dikkat edin.
2
∣BK∣|BK| uzunluğu ile ∣BC∣|BC| uzunluğu birbirine eşittir. Bu durum KBC üçgeninin nasıl bir üçgen olduğunu gösterir?
3
KBC ikizkenar üçgendir. Tepe açısını (m(KBC^)m(\widehat{KBC})) bulup, eşkenar üçgenin açısıyla toplayarak düzgün çokgenin bir iç açısını elde edebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

İçine kare yerleştirilen düzgün çokgen sorularını inceleyiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 27Soru →

İç açılarının ölçüleri toplamı 1080∘1080^{\circ} olan bir dışbükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 8'dir (Sekizgen).
Dışbükey bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ} formülü ile hesaplanır. Bu formülde nn kenar sayısıdır. Verilen 1080∘1080^{\circ} değeri formüle eşitlendiğinde (n−2)×180=1080(n-2) \times 180 = 1080 denklemi elde edilir. Her iki taraf 180'e bölündüğünde n−2=6n-2 = 6 bulunur. Buradan n=8n = 8 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dışbükey bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamını veren formülü hatırla.
Formül: (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ}
Burada nn kenar sayısını temsil eder.
2
Verilen açı toplamını formüle eşitleyerek denklemi kur.
(n−2)×180=1080(n-2) \times 180 = 1080
Soruda iç açılar toplamının 1080∘1080^{\circ} olduğu verilmiştir.
3
Eşitliğin her iki tarafını 180'e bölerek (n−2)(n-2) değerini bul.
1080180=6⇒n−2=6\frac{1080}{180} = 6 \Rightarrow n-2 = 6
Sadeleştirme işlemi.
4
Kenar sayısı nn'i bulmak için 2'yi karşı tarafa at.
n=6+2=8n = 6 + 2 = 8
Bilinmeyeni yalnız bırakma.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde İç Açılar Toplamı Formülü
Soru 28Soru →

Bir düzgün çokgenin herhangi bir köşesinden çizilen tüm köşegenler, o köşeye ait iç açıyı ölçüleri birbirine eşit olan parçalara ayırmaktadır. Bu parçalardan her birinin ölçüsü 12∘12^{\circ} olduğuna göre, bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Toplam köşegen sayısı 90'dır.
Bir düzgün çokgenin çevrel çemberi düşünüldüğünde, kenarlar eşit uzunlukta kirişlerdir. Bir köşeden diğer köşelere çizilen köşegenler, bu kirişleri gören çevre açıları oluşturur. Eşit kirişleri gören çevre açılar eşit olduğundan, iç açı n−2n-2 tane eş parçaya bölünür. Her bir parçanın ölçüsü α=180∘n\alpha = \frac{180^{\circ}}{n} dir. Verilen α=12∘\alpha=12^{\circ} değeri yerine konulduğunda n=15n=15 bulunur. 15 kenarlı bir çokgenin toplam köşegen sayısı ise 15×122=90\frac{15 \times 12}{2} = 90 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bir köşeden çıkan köşegenlerin iç açıyı böldüğü parça açısının formülünü belirle.
Bu açı, çokgenin çevrel çemberinde bir kenarı gören çevre açıdır ve ölçüsü 180∘n\frac{180^{\circ}}{n} formülüyle bulunur.
Düzgün çokgenin köşeleri çevrel çember üzerindedir ve eşit kenarlar eşit yayları, dolayısıyla eşit çevre açıları görür.
2
Verilen açı ölçüsünü kullanarak kenar sayısını (n) bul.
180n=12  ⟹  n=15\frac{180}{n} = 12 \implies n = 15. Çokgen 15 kenarlıdır.
Parça açısı 12 derece olarak verilmiştir.
3
Toplam köşegen sayısını hesapla.
n(n−3)2=15(15−3)2=15×122=90\frac{n(n-3)}{2} = \frac{15(15-3)}{2} = \frac{15 \times 12}{2} = 90.
Bir n-genin toplam köşegen sayısı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde bir köşeden çıkan köşegenler, iç açıyı 180∘n\frac{180^{\circ}}{n} ölçüsünde eş açılara böler.

İpuçları

1
Bir köşeden çizilen köşegenlerin, çokgenin iç açısını kaç tane üçgene ve dolayısıyla kaç parçaya ayırdığını düşünün.
2
Düzgün çokgenin çevrel çemberini hatırlayın. Bir köşeden çıkan ışınlar, eşit uzunluktaki kenarları (kirişleri) görmektedir.
3
Bir kenarı gören çevre açının ölçüsü 180∘n\frac{180^{\circ}}{n} formülüyle bulunur. Buradan n sayısını bulup köşegen formülünde yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Bir iç açısı 144 derece olan düzgün çokgenin kenar sayısını bulunuz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 29Soru →

Bir dışbükey çokgenin kenar sayısı, bir köşesinden çizilen köşegen sayısı ve bu köşegenlerin çokgeni ayırdığı üçgen sayısının toplamı 2222 olarak verilmiştir. Buna göre, bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1260∘1260^{\circ}

Cevap

Söz konusu dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 1260∘1260^{\circ} olarak hesaplanır.
Çokgenin kenar sayısı nn ise, bir köşesinden çizilen köşegen sayısı n−3n-3 ve bu köşegenlerin ayırdığı üçgen sayısı n−2n-2 olur. Verilen toplam n+n−3+n−2=22n + n-3 + n-2 = 22 eşitliğinden 3n−5=223n-5=22 ve buradan n=9n=9 bulunur. Dokuzgenin iç açılar toplamı ise (9−2)×180∘=1260∘(9-2) \times 180^{\circ} = 1260^{\circ} şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgenin temel özelliklerini temsil eden değişkenlerin belirlenmesi.
Kenar sayısı: nn, bir köşeden çizilen köşegen sayısı: n−3n-3, oluşan üçgen sayısı: n−2n-2.
Dışbükey bir çokgende bir köşeden n−3n-3 tane köşegen çizilir ve bu köşegenler çokgeni n−2n-2 tane üçgene ayırır.
2
Soruda verilen toplam bilgisinin denkleme dökülmesi.
n+(n−3)+(n−2)=22n + (n-3) + (n-2) = 22
Kenar sayısı, köşegen sayısı ve üçgen sayısının toplamının 2222 olduğu ifade edilmiştir.
3
Kurulan denklemin çözülerek kenar sayısının (nn) bulunması.
3n−5=22⇒3n=27⇒n=93n - 5 = 22 \Rightarrow 3n = 27 \Rightarrow n = 9.
Değişkenlerin birleştirilmesi ve sabit terimlerin karşıya atılmasıyla kenar sayısı elde edilir.
4
İç açılar toplamı formülünün uygulanması.
(9−2)×180∘=7×180∘=1260∘(9-2) \times 180^{\circ} = 7 \times 180^{\circ} = 1260^{\circ}.
nn kenarlı bir dışbükey çokgenin iç açılar toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ} formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerde kenar sayısı ile köşegen ve oluşan üçgen sayıları arasındaki bağıntılar.

İpuçları

1
Bir dışbükey çokgende bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısının kenar sayısından 33 eksik olduğunu hatırlayın.
2
Bu köşegenler çokgeni kaç adet üçgene ayırır? Kenar sayısı nn ise bu sayı n−2n-2 olur.
3
n+(n−3)+(n−2)=22n + (n-3) + (n-2) = 22 denklemini çözerek kenar sayısını bulun, ardından iç açılar toplamı formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Düzgün çokgenlerde bir iç açının nasıl bulunduğuna dair sorularla pratik yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 30Soru →

İç açıları, ortak farkı 4∘4^{\circ} olan aritmetik bir dizi oluşturan ve en küçük iç açısının ölçüsü 124∘124^{\circ} olan bir dışbükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 9'dur.
Çokgenin iç açılar toplamı (n−2)180(n-2)180 formülü ile hesaplanır. Aynı zamanda iç açılar aritmetik bir dizi oluşturduğundan, toplam n2(a1+an)\frac{n}{2}(a_1 + a_n) formülü ile de ifade edilebilir. Bu iki ifade eşitlendiğinde n2−29n+180=0n^2 - 29n + 180 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri 9 ve 20'dir. Ancak dışbükeylik şartı gereği en büyük iç açı 180 dereceden küçük olmalıdır. n=20n=20 alındığında en büyük açı 200∘200^{\circ} çıkar ki bu dışbükeylik tanımına aykırıdır. Bu nedenle tek geçerli cevap 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Dışbükey bir çokgenin iç açılar toplamı formülünü ve aritmetik dizi toplam formülünü yaz.
İç açılar toplamı: (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ}. Aritmetik dizi toplamı: n2[2a1+(n−1)d]\frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d].
Çokgenin kenar sayısını (nn) bulmak için geometrik özellik ile sayısal dizi özelliğini eşitlememiz gerekir.
2
Verilen değerleri (a1=124a_1=124, d=4d=4) formüllerde yerine koyarak denklemi kur.
(n−2)×180=n2[2×124+(n−1)×4](n-2) \times 180 = \frac{n}{2} [2 \times 124 + (n-1) \times 4]
İç açılar toplamı her iki yöntemde de eşit olmalıdır.
3
Denklemi sadeleştir ve ikinci dereceden denklemi çöz.
360(n−2)=n[248+4n−4]⇒360n−720=4n2+244n⇒4n2−116n+720=0⇒n2−29n+180=0360(n-2) = n[248 + 4n - 4] \Rightarrow 360n - 720 = 4n^2 + 244n \Rightarrow 4n^2 - 116n + 720 = 0 \Rightarrow n^2 - 29n + 180 = 0. Kökler: n=9n=9 ve n=20n=20.
n değerini bulmak için gerekli cebirsel işlemler.
4
Bulunan köklerin dışbükeylik şartını (her bir iç açı < 180°) sağlayıp sağlamadığını kontrol et.
n=9n=9 için en büyük açı: 124+8×4=156∘<180∘124 + 8 \times 4 = 156^{\circ} < 180^{\circ} (Uygun). n=20n=20 için en büyük açı: 124+19×4=200∘>180∘124 + 19 \times 4 = 200^{\circ} > 180^{\circ} (Uygun değil).
Dışbükey çokgenlerde hiçbir iç açı 180 derece veya daha büyük olamaz.

Anahtar Kavram

Çokgenlerin iç açıları toplamı ile aritmetik dizilerin birleştirilmesi ve dışbükeylik kısıtlaması.

İpuçları

1
Bir dışbükey çokgenin iç açılar toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ} formülüyle bulunur.
2
İç açılar toplamını aynı zamanda aritmetik dizi toplam formülü n2[2a1+(n−1)d]\frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] ile de ifade edip bu iki denklemi eşitlemelisiniz.
3
Elde edeceğiniz ikinci dereceden denklemin iki pozitif kökü olabilir. Hangisinin 'dışbükey' (iç açı < 180°) tanımına uyduğunu kontrol etmeyi unutmayın.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 31Soru →

Bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı, kenar sayısının 33 katına eşittir. Buna göre, bu düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140∘140^\circ

Cevap

Düzgün çokgenin bir iç açısı 140∘140^\circ olarak bulunur.
Verilen ilişkiye göre n(n−3)2=3n\frac{n(n-3)}{2} = 3n denklemi kurulur. Buradan n=9n=9 bulunur. 9 kenarlı bir düzgün çokgenin (dokuzgen) bir dış açısı 40∘40^\circ, bir iç açısı ise 140∘140^\circ'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kenar sayısı nn olan bir çokgenin toplam köşegen sayısı formülünü yaz.
Köşegen Sayısı = n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}
Bir çokgenin her köşesinden (n−3)(n-3) köşegen çizilir ve her köşegen iki ucu birleştirdiği için 2'ye bölünür.
2
Verilen ilişkiyi matematiksel denkleme dök.
n(n−3)2=3n\frac{n(n-3)}{2} = 3n
Soruda köşegen sayısının kenar sayısının (nn) 3 katı olduğu belirtilmiştir.
3
Denklemi çözerek kenar sayısını (nn) bul.
n(n−3)=6n  ⟹  n−3=6  ⟹  n=9n(n-3) = 6n \implies n-3 = 6 \implies n = 9
Her iki taraf nn ile sadeleştirilebilir (çünkü n≠0n \neq 0).
4
Bulunan nn değeri (düzgün dokuzgen) için bir dış açıyı hesapla.
Dış Açı = 360∘9=40∘\frac{360^\circ}{9} = 40^\circ
Düzgün çokgenlerde bir dış açı 360n\frac{360}{n} formülüyle bulunur.
5
Dış açı yardımıyla bir iç açıyı hesapla.
İç Açı = 180∘−40∘=140∘180^\circ - 40^\circ = 140^\circ
Bir köşedeki iç ve dış açının toplamı 180∘180^\circ'dir.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde Köşegen ve Açı İlişkisi

İpuçları

1
Kenar sayısı nn olan bir çokgenin toplam köşegen sayısı formülünü hatırla: n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}.
2
Bu formülü, soruda verilen bilgiye dayanarak 3n3n'e eşitle ve nn değerini bul.
3
Denklemden n=9n=9 çıkar. Şimdi 9 kenarlı düzgün çokgenin bir iç açısını bulmak için önce 3609\frac{360}{9} formülüyle dış açıyı bulabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Toplam köşegen sayısı 54 olan bir düzgün çokgenin bir dış açısını soran bir soru çözerek pratiğini artır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 32Soru →

Bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı ile bir dış açısının ölçüsünün (derece cinsinden) çarpımı 1260'tır.

Buna göre, bu düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Düzgün çokgenin bir iç açısı 144 derecedir.
Verilen problemde köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} ile dış açı formülü 360n\frac{360}{n} çarpıldığında nn çarpanları sadeleşir ve geriye sadece n−3n-3 bilinmeyeni kalır. Denklem 180(n−3)=1260180(n-3)=1260 şeklinde çözüldüğünde n=10n=10 bulunur. 10 kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısı 144∘144^{\circ} dir.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün çokgenin kenar sayısına nn diyelim. Köşegen sayısı ve bir dış açı formüllerini yazalım.
Köşegen Sayısı =n(n−3)2= \frac{n(n-3)}{2} ve Dış Açı =360n= \frac{360}{n}
Soruda verilen ilişkiyi matematiksel denkleme dökmek için temel formüller gereklidir.
2
Verilen çarpım bilgisini kullanarak denklemi kuralım ve sadeleştirelim.
n(n−3)2⋅360n=1260\frac{n(n-3)}{2} \cdot \frac{360}{n} = 1260
nn'ler birbirini sadeleştirir ve denklem kolaylaşır: 180(n−3)=1260180(n-3) = 1260.
3
Denklemi çözerek kenar sayısını (nn) bulalım.
n−3=1260180⇒n−3=7⇒n=10n-3 = \frac{1260}{180} \Rightarrow n-3 = 7 \Rightarrow n = 10
Çokgenin bir ongen (10 kenarlı) olduğu belirlenir.
4
Bulunan nn değerini kullanarak bir iç açının ölçüsünü hesaplayalım.
İç Açı =180∘−360∘10=180∘−36∘=144∘= 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{10} = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ}
Bir iç açı, 180 dereceden bir dış açının çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde köşegen sayısı ve açı bağıntılarının cebirsel olarak çözülmesi.

İpuçları

1
Köşegen sayısı formülünü (n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}) ve düzgün çokgenin bir dış açısı formülünü (360n\frac{360}{n}) yan yana yazarak çarpma işlemini kurunuz.
2
Çarpma işleminde paydadaki nn ile paydaki nn'in birbirini götürdüğünü fark ediniz. Geriye birinci dereceden basit bir denklem kalacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'İç açılar toplamı ile bir dış açısının çarpımı sabit bir sayı olan...' şeklinde sorular üretilebilir.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine şıklardan gidilebilir. Örneğin C şıkkı (144) doğru ise, iç açı 144, dış açı 36 olur. 360/36 = 10 kenar vardır. 10 kenarlı çokgenin köşegen sayısı 10(7)/2=3510(7)/2 = 35'tir. Çarpımları 35×36=126035 \times 36 = 1260 eder. Eşitlik sağlandığı için doğru cevap bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 33Soru →

Toplam köşegen sayısı 54 olan bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü 150 derecedir.
Toplam köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} kullanılarak kenar sayısı n=12n=12 bulunur. 12 kenarlı bir düzgün çokgenin (düzgün onikigen) bir dış açısı 36012=30∘\frac{360}{12}=30^{\circ}'dir. İç açısı ise 180−30=150∘180 - 30 = 150^{\circ} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Köşegen sayısı formülünü kullanarak kenar sayısını (n) bulmak için denklemi kur.
n(n−3)2=54⇒n(n−3)=108\frac{n(n-3)}{2} = 54 \Rightarrow n(n-3) = 108
Bir çokgenin toplam köşegen sayısı n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülü ile bulunur.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözerek n değerini bul.
Çarpımları 108, farkları 3 olan iki sayı 12 ve 9'dur. 12×9=10812 \times 9 = 108 olduğu için n=12n = 12 bulunur.
Kenar sayısı pozitif bir tam sayı olmalıdır.
3
Bulunan kenar sayısını kullanarak düzgün çokgenin bir dış açısını hesapla.
Dış Açı = 36012=30∘\frac{360}{12} = 30^{\circ}
Bir düzgün çokgenin bir dış açısı 360n\frac{360}{n} formülü ile bulunur.
4
Dış açı yardımıyla iç açıyı hesapla.
İç Açı = 180∘−30∘=150∘180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}
Bir iç açı ile bir dış açının toplamı her zaman 180∘180^{\circ}'dir.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde köşegen sayısı ile kenar sayısı arasındaki ilişki ve açı hesaplamaları.
Soru 34Soru →

Aşağıdaki şekilde bir dışbükey (konveks) altıgen verilmiştir. Bu altıgenin beş iç açısının ölçüleri toplamı 600∘600^\circ olduğuna göre, verilmeyen altıncı iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120120

Cevap

Verilmeyen altıncı iç açının ölçüsü 120∘120^\circ olarak bulunur.
Dışbükey bir altıgenin iç açılarının toplamı (6−2)×180∘=720∘(6-2) \times 180^\circ = 720^\circ formülüyle hesaplanır. Soruda bu altıgenin beş açısının toplamının 600∘600^\circ olduğu verilmiştir. Toplamdan bu değeri çıkardığımızda (720∘−600∘720^\circ - 600^\circ), verilmeyen son açının ölçüsü 120∘120^\circ olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgenin kenar sayısını belirleyiniz.
n=6n = 6 (Altıgen)
Soruda şeklin bir altıgen olduğu belirtilmiştir.
2
Altıgenin iç açılarının toplamını hesaplayınız.
S=(6−2)×180∘=4×180∘=720∘S = (6 - 2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ
nn kenarlı bir dışbükey çokgenin iç açılar toplamı (n−2)×180∘(n - 2) \times 180^\circ formülü ile bulunur.
3
Verilmeyen açıyı bulmak için bilinen toplamı genel toplamdan çıkarınız.
x=720∘−600∘=120∘x = 720^\circ - 600^\circ = 120^\circ
Tüm iç açıların toplamı, verilen beş açının toplamı ile verilmeyen altıncı açının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerde iç açılar toplamı formülü: (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ

İpuçları

1
Bir çokgenin iç açılarının toplamını bulmak için kenar sayısını (nn) kullanmalısın.
2
Altıgenin iç açılar toplamı (6−2)×180∘(6-2) \times 180^\circ formülü ile hesaplanır.
3
Hesapladığın 720∘720^\circ toplamından, verilen 600∘600^\circ değerini çıkararak sonuca ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Düzgün bir altıgenin bir iç açısının kaç derece olduğunu hesaplayarak bu kavramı pekiştirebilirsin.

Alternatif Yöntem

Altıgenin içini bir köşeden çizilen köşegenlerle üçgenlere ayırabilirsin. Bir altıgenin içinde 4 tane üçgen oluşur ve her birinin iç açıları toplamı 180∘180^\circ olduğu için toplam 4×180=720∘4 \times 180 = 720^\circ olur.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 35Soru →

İç açıları, ortak farkı 10∘10^{\circ} olan bir aritmetik dizi oluşturan konveks bir çokgenin en küçük iç açısı 100∘100^{\circ} dir. Buna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 8'dir.
n kenarlı bir konveks çokgenin iç açılar toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ} formülü ile hesaplanır. Aynı zamanda açılar aritmetik dizi oluşturduğundan, toplam aritmetik dizi formülüyle de yazılabilir. Bu iki ifade eşitlendiğinde n2−17n+72=0n^2 - 17n + 72 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri n=8n=8 ve n=9n=9'dur. Ancak soruda çokgenin 'konveks' olduğu belirtilmiştir. Konveks bir çokgenin tüm iç açıları 180∘180^{\circ} den küçük olmalıdır. n=9n=9 için en büyük açı 100∘+(9−1)10∘=180∘100^{\circ} + (9-1)10^{\circ} = 180^{\circ} olur ki bu konvekslik tanımına uymaz. n=8n=8 için en büyük açı 170∘170^{\circ} olduğundan tek geçerli cevap 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgenin iç açılar toplamı formülünü yaz.
S=(n−2)×180S = (n-2) \times 180
n kenarlı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı her zaman (n-2).180 derecedir.
2
Aritmetik dizi toplam formülünü kullanarak iç açılar toplamını ifade et.
S = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2} [2(100) + (n-1)10]
Açılar aritmetik dizi oluşturduğu için, ilk terim a1=100 ve ortak fark d=10 kullanılarak toplam bulunur.
3
İki toplam ifadesini eşitle ve denklemi düzenle.
(n-2)180 = \frac{n}{2} (200 + 10n - 10) \Rightarrow 360(n-2) = n(190 + 10n)
Aynı çokgenin iç açılar toplamı iki farklı yöntemle hesaplansa da birbirine eşit olmalıdır.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çöz.
360n - 720 = 190n + 10n^2 \Rightarrow 10n^2 - 170n + 720 = 0 \Rightarrow n^2 - 17n + 72 = 0
Denklem sadeleştirilerek kökleri bulunabilir hale getirilir.
5
Denklemin köklerini bul ve konvekslik şartını kontrol et.
(n-8)(n-9) = 0 ise n=8 veya n=9. n=9 için en büyük açı 180° olur (konveks olmaz), bu yüzden n=8.
Konveks bir çokgenin hiçbir iç açısı 180° veya daha büyük olamaz. n=9 durumunda a9 = 100 + 8(10) = 180° olduğundan çözüm geçersizdir.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde Açı Özellikleri ve Konvekslik Şartı

İpuçları

1
Bir çokgenin iç açılar toplamı formülü (n−2)⋅180∘(n-2) \cdot 180^{\circ} dir.
2
İç açılar toplamını aynı zamanda aritmetik dizi toplam formülü n2[2a1+(n−1)d]\frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] ile ifade edip, diğer formüle eşitleyin.
3
Elde edeceğiniz ikinci dereceden denklemin iki kökü olacaktır (8 ve 9). Konveks çokgenlerde bir iç açının 180∘180^{\circ} olamayacağını hatırlayarak doğru kökü seçin.

Daha Fazla Pratik

İç açıları toplamı yerine dış açıları aritmetik dizi oluşturan çokgenlerle ilgili sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Dış açılardan gidilebilir: İç açılar 10∘10^{\circ} artıyorsa, dış açılar 10∘10^{\circ} azalan bir aritmetik dizi oluşturur. En büyük dış açı 180−100=80∘180-100=80^{\circ} olur. Dış açılar toplamı 360∘360^{\circ} dir. 360=n2[2(80)+(n−1)(−10)]360 = \frac{n}{2}[2(80) + (n-1)(-10)] denklemi çözülerek de nn bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 36Soru →

Bir düzgün çokgenin ardışık A,B,C,D,E,F,G,...A, B, C, D, E, F, G, ... köşeleri veriliyor. ABAB ve FGFG ışınlarının kesişim noktası KK olup, bu iki ışın birbirine diktir.

Buna göre, bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 170

Cevap

Çokgenin 170 adet köşegeni vardır.
Düzgün çokgende ABAB (1. kenar) ile FGFG (6. kenar) arasındaki yön farkı, aradaki 5 köşedeki (B,C,D,E,FB, C, D, E, F) dış açıların toplamıdır. Işınların kesişim açısı 90∘90^\circ olduğuna göre, toplam sapma 180−90=90∘180-90=90^\circ olmalıdır. 5×dıs¸ ac¸ı=90∘5 \times \text{dış açı} = 90^\circ olduğundan bir dış açı 18∘18^\circ bulunur. 360/18=20360/18 = 20 kenarlı bir çokgendir. Köşegen sayısı formülü 20(20−3)2=170\frac{20(20-3)}{2} = 170 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB kenarından FGFG kenarına kadar olan dış açı değişimini belirle.
B,C,D,E,FB, C, D, E, F köşelerinde olmak üzere toplam 5 kez dış açı (alpha\\alpha) kadar yön değişimi olmuştur.
Düzgün çokgenin kenar uzantıları arasındaki açı, aradaki dış açıların toplamı ile ilişkilidir.
2
Kesişim açısı ile dış açı arasındaki denklemi kur ve kenar sayısını (nn) bul.
∣180∘−5alpha∣=90∘|180^\circ - 5\\alpha| = 90^\circ denkleminden 5alpha=90∘5\\alpha = 90^\circ, buradan alpha=18∘\\alpha = 18^\circ bulunur. Kenar sayısı n=360/18=20n = 360 / 18 = 20 olur.
Uzantıların oluşturduğu açı, toplam sapma miktarının 180 derece ile farkına eşittir.
3
Toplam köşegen sayısını hesapla.
Köşegen sayısı = fracn(n−3)2=frac20times172=170\\frac{n(n-3)}{2} = \\frac{20 \\times 17}{2} = 170.
n kenarlı bir çokgenin toplam köşegen sayısı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde ardışık olmayan kenarların uzantıları arasındaki açı, aradaki dış açıların toplamına bağlıdır.

İpuçları

1
ABAB ışınından FGFG ışınına gelene kadar çokgenin kaç köşesini döndüğünü sayın (B,C,D,E,FB, C, D, E, F).
2
Her köşedeki dönüş miktarı bir dış açı (α\alpha) kadardır. Toplam dönüş miktarı ile kesişim açısı (90∘90^\circ) arasındaki ilişkiyi kurun (5α5\alpha ile 180180 bağıntısı).

Alternatif Yöntem

Düzgün çokgenin çevrel çemberi düşünülebilir. ABAB ve FGFG kirişlerini taşıyan doğruların kesişim açısı, gördüğü yayların farkının yarısıdır. Ancak dış açı yöntemi genellikle daha hızlıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 37Soru →

Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsüne bölündüğünde sonucun bir pozitif tam sayının karesine eşit olduğu görülmektedir.

Buna göre, bu düzgün çokgenin kenar sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Düzgün çokgenin kenar sayısı 10 olabilir.
Düzgün çokgenin kenar sayısı n=10n=10 olduğunda, bir dış açısı 360/10=36∘360/10 = 36^\circ ve bir iç açısı 180−36=144∘180 - 36 = 144^\circ olur. Bu değerlerin oranı 144/36=4144/36 = 4 tür. 44 sayısı 22 nin karesi (222^2) olduğundan, sorudaki 'bir tam sayının karesine eşittir' şartını sağlayan tek seçenek budur.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün çokgenin bir dış açısına α\alpha diyelim. Bu durumda bir iç açısı 180∘−α180^\circ - \alpha olur.
İç Açı = 180−α180 - \alpha, Dış Açı = α\alpha
Bir düzgün çokgende iç ve dış açıların toplamı 180∘180^\circ dir.
2
Soruda verilen ilişkiyi denkleme dökelim. Oran bir tam sayının (kk) karesine eşittir.
180−αα=k2\frac{180 - \alpha}{\alpha} = k^2
Problem metnindeki matematiksel ilişkiyi formüle etmek için.
3
Denklemi sadeleştirip kenar sayısı (nn) formülüne uyarlayalım. n=360αn = \frac{360}{\alpha} olduğunu hatırlayalım.
180α−1=k2⇒180α=k2+1\frac{180}{\alpha} - 1 = k^2 \Rightarrow \frac{180}{\alpha} = k^2 + 1. İki tarafı 2 ile çarparsak: 360α=2(k2+1)⇒n=2k2+2\frac{360}{\alpha} = 2(k^2 + 1) \Rightarrow n = 2k^2 + 2
Kenar sayısını doğrudan kk tam sayısına bağlamak için.
4
Seçenekleri deneyerek hangisinin n=2k2+2n = 2k^2 + 2 formuna uyduğunu kontrol edelim.
n=10n=10 için: 10=2k2+2⇒8=2k2⇒k2=4⇒k=210 = 2k^2 + 2 \Rightarrow 8 = 2k^2 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k=2. (Uygun)
Doğru kenar sayısını tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Düzgün Çokgenlerde Açı Bağıntıları

İpuçları

1
Düzgün çokgenin bir dış açısına xx diyerek, iç açısını 180−x180-x cinsinden yazmayı deneyin.
2
İç açının dış açıya oranı (180−x)/x=k2(180-x)/x = k^2 denklemini kurun. Burada kk bir tam sayıdır.
3
Kenar sayısının n=360/xn = 360/x olduğunu hatırlayın. Kurduğunuz denklemde 360/x360/x ifadesini elde etmeye çalışın. n=2(k2+1)n = 2(k^2 + 1) bağıntısını bulacaksınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, iç açısının dış açısına oranı tam sayı olan düzgün çokgenlerin kenar sayılarının toplamını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek çözüm: Her bir şık için dış açıyı (360/n360/n) ve iç açıyı (180−dıs¸180 - \text{dış}) bulup birbirine bölün. Sonucun hangi şıkta bir tam sayının karesi (4, 9, 16...) olduğunu kontrol edin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 38Soru →

Bir dışbükey çokgenin kenar sayısı 22 artırıldığında, toplam köşegen sayısı 1515 artmaktadır. Buna göre, bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1080∘1080^{\circ}

Cevap

Sekiz kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 1080∘1080^{\circ}'dir.
Verilen bilgiler ışığında kurulan köşegen sayısı değişim denklemi çözüldüğünde çokgenin 88 kenarlı olduğu tespit edilir. Kenar sayısı 88 olan bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı (8−2)×180∘(8-2) \times 180^{\circ} işleminden 1080∘1080^{\circ} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kenar sayısı nn olan bir çokgenin köşegen sayısı formülünün yazılması ve değişim denkleminin kurulması.
Dn=n(n−3)2D_n = \frac{n(n-3)}{2} ve Dn+2=(n+2)(n+2−3)2=(n+2)(n−1)2D_{n+2} = \frac{(n+2)(n+2-3)}{2} = \frac{(n+2)(n-1)}{2}
Köşegen sayısındaki artışı hesaplamak için başlangıç ve son durumdaki formüller gereklidir.
2
Köşegen sayısındaki 1515 artışı veren denklemin çözülmesi.
(n+2)(n−1)2−n(n−3)2=15⇒n2+n−2−(n2−3n)2=15⇒4n−22=15⇒2n−1=15⇒n=8\frac{(n+2)(n-1)}{2} - \frac{n(n-3)}{2} = 15 \Rightarrow \frac{n^2+n-2 - (n^2-3n)}{2} = 15 \Rightarrow \frac{4n-2}{2} = 15 \Rightarrow 2n-1 = 15 \Rightarrow n=8
Çokgenin kaç kenarlı olduğunu bulmak için verilen artış miktarı denklemde yerine konur.
3
88 kenarlı çokgenin (sekizgen) iç açılar toplamı formülünün uygulanması.
İç açılar toplamı =(n−2)×180∘⇒(8−2)×180∘=6×180∘=1080∘= (n-2) \times 180^{\circ} \Rightarrow (8-2) \times 180^{\circ} = 6 \times 180^{\circ} = 1080^{\circ}
Herhangi bir dışbükey çokgenin iç açılar toplamı kenar sayısına bağlı olan (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ} formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde kenar sayısı, köşegen sayısı ve iç açılar toplamı arasındaki ilişkiler.

İpuçları

1
Kenar sayısı nn olan bir çokgenin köşegen sayısı formülünü hatırlayın: D=n(n−3)2D = \frac{n(n-3)}{2}.
2
Kenar sayısı n+2n+2 olduğunda köşegen sayısı (n+2)(n−1)2\frac{(n+2)(n-1)}{2} olur. Bu iki değer arasındaki farkın 1515 olduğunu kullanarak nn değerini bulun.
3
2n−1=152n-1 = 15 denkleminden kenar sayısını 88 bulduktan sonra (n−2)×180(n-2) \times 180 formülü ile iç açılar toplamına ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Aynı çokgenin bir dış açısının ölçüsünü bulmaya yönelik düzgün çokgen sorularını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 39Soru →

İç açılarından üçü dik açı olan bir dışbükey çokgenin diğer tüm iç açılarının ölçüleri 150∘150^{\circ}'dir. Buna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 6'dır.
Dışbükey çokgenlerin dış açılar toplamı her zaman 360∘360^{\circ}'dir. Soruda 3 iç açının 90∘90^{\circ} olduğu verilmiştir, bu açıların dış açıları da 90∘90^{\circ}'dir. Diğer n−3n-3 adet iç açının 150∘150^{\circ} olması, bunların dış açılarının 30∘30^{\circ} olması demektir. 3×90+(n−3)×30=3603 \times 90 + (n-3) \times 30 = 360 denklemi çözüldüğünde kenar sayısı 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iç açılardan hareketle bu açılara karşılık gelen dış açıları hesaplayalım.
3 adet dik iç açı (90∘90^{\circ}) için dış açılar 180−90=90∘180 - 90 = 90^{\circ} olur. Diğer iç açılar 150∘150^{\circ} olduğu için bunlara karşılık gelen dış açılar 180−150=30∘180 - 150 = 30^{\circ} olur.
Çokgenlerde bir iç açı ile bir dış açının toplamı 180∘180^{\circ}'dir.
2
Çokgenin toplam kenar sayısına nn diyelim ve dış açılar toplamı formülünü (360∘360^{\circ}) uygulayalım.
3×90+(n−3)×30=3603 \times 90 + (n - 3) \times 30 = 360
Tüm dışbükey çokgenlerin dış açılar toplamı kenar sayısından bağımsız olarak daima 360∘360^{\circ}'dir.
3
Oluşturulan denklemi çözerek nn değerini bulalım.
270+30n−90=360⇒180+30n=360⇒30n=180⇒n=6270 + 30n - 90 = 360 \Rightarrow 180 + 30n = 360 \Rightarrow 30n = 180 \Rightarrow n = 6
Matematiksel sadeleştirme ve denklem çözme adımları kenar sayısını verir.

Anahtar Kavram

Dışbükey Çokgenlerde Dış Açılar Toplamı

İpuçları

1
Çokgen sorularında iç açılar karmaşıksa, dış açılar üzerinden işlem yapmak genellikle daha kolaydır.
2
Tüm dışbükey çokgenlerin dış açılarının toplamı her zaman 360∘360^{\circ}'dir. Önce her bir açının dış açısını bulun.
3
Kenar sayısına nn derseniz, 3×(180−90)+(n−3)×(180−150)=3603 \times (180-90) + (n-3) \times (180-150) = 360 denklemini kurmalısınız.

Daha Fazla Pratik

İç açılarının ölçüleri toplamı dış açılarının ölçüleri toplamının 4 katı olan bir çokgenin kenar sayısını bulmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

İç açılar toplamı formülü (n−2)×180(n-2) \times 180 kullanılarak da çözülebilir. Denklem: 3×90+(n−3)×150=(n−2)×1803 \times 90 + (n-3) \times 150 = (n-2) \times 180 şeklinde kurulur. Bu denklem çözüldüğünde 270+150n−450=180n−360270 + 150n - 450 = 180n - 360 elde edilir, buradan 30n=18030n = 180 ve n=6n=6 bulunur.
Tahmini Süre:1m 15s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Çokgenler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin