Layer 1

Soru 21Soru →

Aşağıda verilen $ABCD$ ikizkenar yamuğunda $[AB] // [DC]$ ve $|AD| = |BC|$ eşitlikleri sağlanmaktadır.

$[AC] \perp [BC]$ olduğu bilinmektedir.

$|AB| = 13$ cm ve $|DC| = 5$ cm olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $cm^2$ dir?

36

45

54

60

72

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

ABCD yamuğunun alanı 54 cm²'dir.

İkizkenar yamukta köşelerden indirilen dikmeler tabanda

(a-c)/2

uzunluğunda parçalar oluşturur. Soru kökünde verilen

AC \perp BC

bilgisi, oluşan

ACB

üçgeninin bir dik üçgen olduğunu gösterir. Bu dik üçgende hipotenüse ait yükseklik Öklid bağıntısı (

h^2=p \cdot k

) ile bulunur. Taban parçaları 9 ve 4 cm olduğundan yükseklik 6 cm çıkar. Alan formülü ile sonuç 54 cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yamuğun yüksekliğini (

h

) bulmak için

C

köşesinden

[AB]

kenarına dikme indirilir. Bu noktaya

H

diyelim.

CH \perp AB

İkizkenar yamukta yükseklik indirerek taban üzerinde oluşan parçaları bulmak standart çözüm yöntemidir.

2

İkizkenar yamuk özelliğini kullanarak

|HB|

uzunluğunu hesapla.

|HB| = \frac{|AB| - |DC|}{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4

cm

İkizkenar yamukta köşelerden indirilen dikmeler, tabanda eş parçalar ayırır.

3

|AH|

uzunluğunu hesapla.

|AH| = |AB| - |HB| = 13 - 4 = 9

cm

Öklid bağıntısını uygulayabilmek için hipotenüs üzerindeki her iki parçanın uzunluğu gereklidir.

4

ACB

dik üçgeninde (

[AC] \perp [BC]

verildiği için) Öklid bağıntısını (

h^2 = p \cdot k

) uygula.

h^2 = |AH| \cdot |HB| \implies h^2 = 9 \cdot 4 = 36 \implies h = 6

cm

Dik üçgende hipotenüse indirilen dikmenin karesi, hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

5

Yamuğun alanını hesapla:

\text{Alan} = \frac{a+c}{2} \cdot h

\text{Alan} = \frac{13+5}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54

cm²

Yamuğun alanı, alt ve üst tabanların aritmetik ortalaması ile yüksekliğin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

İkizkenar Yamuk ve Öklid Bağıntısı

İpuçları

1

C köşesinden AB tabanına bir dikme indirerek ikizkenar yamuğun taban özelliklerini kullanın.

2

İkizkenar yamukta indirilen dikme, AB tabanını iki parçaya ayırır. Sağdaki küçük parça

(13-5)/2

formülüyle bulunur.

3

ACB üçgeni dik üçgendir (

AC \perp BC

). Bu üçgende hipotenüse inen dikme için Öklid bağıntısını (

h^2 = p \cdot k

) uygulayarak yamuğun yüksekliğini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, köşegenlerin birbirine dik olduğu (

AC \perp BD

) durumu inceleyiniz (Bu durumda

h = (a+c)/2

olur).

Alternatif Yöntem

Orta taban uzunluğu 9 cm'dir. İkizkenar yamukta köşegen yan kenara dik ise,

h = \sqrt{p \cdot k}

formülüyle yükseklik bulunur ve Alan = Orta Taban

\times

Yükseklik formülü uygulanabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 22Soru →

Aşağıda verilen ABCD yamuğunda $[AB] // [DC]$ paralelliği bulunmaktadır.

Verilen açılar ve uzunluklar şöyledir:
- $m(\widehat{DAB}) = 60^\circ$
- $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ$
- $|AD| = 4\sqrt{3}$ cm
- $|DC| = 2$ cm

Buna göre, ABCD yamuğunun alanı kaç $cm^2$ 'dir?

6 + 10\sqrt{3}

24 + 8\sqrt{3}

30 + 6\sqrt{3}

36

60 + 12\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $30 + 6\sqrt{3}$

Cevap

Yamuğun alanı

30 + 6\sqrt{3}

cm^2

olarak bulunur.

Verilen açılar kullanılarak oluşturulan dik üçgenler sayesinde yamuğun yüksekliği 6 cm ve alt tabanı

8 + 2\sqrt{3}

cm olarak bulunur. Alan formülü uygulandığında doğru sonuç

30 + 6\sqrt{3}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Yamuğun yüksekliğini ve taban parçalarını bulmak için D ve C köşelerinden AB kenarına dikmeler indirilir.

D'den inen dikme ayağına H, C'den inen dikme ayağına K denir. Böylece ADH ve CKB dik üçgenleri oluşur.

Yamuk sorularında taban açıları biliniyorsa, yükseklik indirerek özel üçgenler oluşturmak standart çözüm yoludur.

2

ADH (30-60-90) üçgeninde kenar uzunlukları hesaplanır.

Hipotenüs

|AD|=4\sqrt{3}

ise,

60^\circ

'nin karşısındaki dik kenar (yükseklik)

h = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6

cm, taban parçası

|AH| = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}

cm bulunur.

30-60-90 üçgeninde

60^\circ

'nin karşısı hipotenüsün

\frac{\sqrt{3}}{2}

katıdır.

3

CKB (45-45-90) üçgeninde kenar uzunlukları hesaplanır.

Yükseklik

|CK|=h=6

cm olduğundan,

45^\circ

'nin karşısındaki diğer dik kenar

|KB|=6

cm olur.

İkizkenar dik üçgende dik kenarlar birbirine eşittir.

4

Alt taban uzunluğu

|AB|

hesaplanır.

|AB| = |AH| + |HK| + |KB| = 2\sqrt{3} + 2 + 6 = 8 + 2\sqrt{3}

cm.

|HK|

uzunluğu üst taban

|DC|

'ye eşittir.

5

Yamuğun alanı hesaplanır.

Alan =

\frac{(|DC| + |AB|) \cdot h}{2} = \frac{(2 + 8 + 2\sqrt{3}) \cdot 6}{2} = (10 + 2\sqrt{3}) \cdot 3 = 30 + 6\sqrt{3}

cm^2

.

Yamuk alanı = (Alt Taban + Üst Taban) x Yükseklik / 2

Anahtar Kavram

Özel açılı yamuklarda alan hesabı için köşelerden dikme indirilerek 30-60-90 ve 45-45-90 üçgenlerinden yararlanılması.

İpuçları

1

Yamuğun alanını bulmak için alt taban uzunluğuna ve yüksekliğe ihtiyacınız var. D ve C köşelerinden tabana dikmeler indirmeyi deneyin.

2

Dikmeler indirdiğinizde oluşan üçgenlerin açılarına dikkat edin. Sol tarafta 30-60-90, sağ tarafta 45-45-90 üçgeni oluşacaktır.

3

30-60-90 üçgeninde 60 derecenin karşısı (yükseklik), hipotenüsün (

4\sqrt{3}

)

\frac{\sqrt{3}}{2}

katıdır. Bu yüksekliği sağdaki ikizkenar dik üçgende de kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen, ancak taban açılarının 30 ve 45 derece olduğu yamuk sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yamuğu bir paralelkenar ve bir üçgen olarak da bölebilirsiniz (C'den AD'ye paralel çizerek), ancak dikme indirmek bu soruda daha pratik bir çözümdür.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 23Soru →

$ABCD$ bir yamuk olmak üzere $[AB] \parallel [DC]$ dir. $A$ ve $D$ köşelerine ait iç açıortaylar $K$ noktasında; $B$ ve $C$ köşelerine ait iç açıortaylar ise $L$ noktasında kesişmektedir.

Verilen uzunluklar $|AB| = 7$ cm, $|DC| = 17$ cm, $|AD| = 8$ cm ve $|BC| = 12$ cm olduğuna göre, açıortayların kesim noktaları arasındaki mesafe ( $|KL|$ ) kaç cm'dir?

2

3

4

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Açıortayların kesim noktaları arasındaki mesafe 2 cm'dir.

Yamukta paralel olmayan kenarlara ait açıortaylar orta taban üzerinde dik kesişir. Oluşan dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortay uzunluğu hipotenüsün yarısıdır. Orta taban uzunluğu 12 cm bulunur. Sol taraftan 4 cm, sağ taraftan 6 cm içeride olan noktalar arasındaki mesafe

12 - (4+6) = 2

cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Yamukta ardışık köşelerin (A ve D; B ve C) açıortaylarının kesişim özelliklerini hatırla.

Açıortaylar dik kesişir (

m(\widehat{AKD})=90^\circ

,

m(\widehat{BLC})=90^\circ

) ve kesişim noktaları (

K, L

) yamuğun orta tabanı üzerindedir.

Yamukta yan kenarlara ait iç açıların toplamı

180^\circ

olduğundan, açıortayları toplamı

90^\circ

olur.

2

Yamuğun orta taban uzunluğunu hesapla.

Orta Taban =

\frac{|AB| + |DC|}{2} = \frac{7 + 17}{2} = \frac{24}{2} = 12

cm.

Orta taban, alt ve üst taban toplamının yarısıdır.

3

Dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortay (muhteşem üçlü) özelliğini kullanarak

K

ve

L

noktalarının yan kenar orta noktalarına uzaklığını bul.

AD

kenarı tarafında mesafe =

|AD|/2 = 8/2 = 4

cm.

BC

kenarı tarafında mesafe =

|BC|/2 = 12/2 = 6

cm.

Dik üçgende hipotenüse inen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. Bu kenarortaylar orta taban üzerindedir.

4

K

ve

L

noktaları arasındaki mesafeyi bulmak için toplam orta taban uzunluğundan kenar parçalarını çıkar.

|KL| = 12 - (4 + 6) = 12 - 10 = 2

cm.

K

ve

L

noktaları orta taban üzerinde olup, uç noktalardan hesaplanan mesafeler kadar içeridedir.

Anahtar Kavram

Yamukta Açıortaylar ve Orta Taban İlişkisi

Soru 24Soru →

ABCD bir yamuk ( $[AB] \parallel [DC]$ ) olmak üzere;
$|AB| = 14$ cm, $|DC| = 4$ cm, $|AD| = 8$ cm ve $|BC| = 12$ cm uzunlukları veriliyor.

$A$ ve $D$ açılarının açıortayları bir $K$ noktasında, $B$ ve $C$ açılarının açıortayları ise bir $L$ noktasında kesişmektedir.

Buna göre, $K$ ve $L$ noktaları arasındaki uzaklık ( $|KL|$ ) kaç cm'dir?

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

K ve L noktaları arasındaki uzaklık 1 cm'dir.

Doğru cevap 1 cm'dir. Yamukta yan kenarlara ait açıortaylar orta taban üzerinde dik kesişirler. Sol taraftaki

AD

kenarına ait üçgende muhteşem üçlüden dolayı kesişim noktasının kenar ortasına uzaklığı

8/2=4

cm'dir. Sağ taraftaki

BC

kenarı için bu uzaklık

12/2=6

cm'dir. Yamuğun orta taban uzunluğu

(14+4)/2=9

cm'dir. İki parçanın toplamı

4+6=10

cm olup, orta taban uzunluğu 9 cm olduğundan, aradaki örtüşme miktarı

10-9=1

cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Açıortayların oluşturduğu üçgenlerin özelliklerini belirle.

Yamukta paralel kollar arasındaki ardışık açıların toplamı

180^\circ

olduğundan, açıortaylar

90^\circ

ile kesişir. Yani

m(\widehat{AKD}) = 90^\circ

ve

m(\widehat{BLC}) = 90^\circ

olur.

Paralel iki doğru arasındaki karşı durumlu açıların açıortayları birbirine diktir.

2

K ve L noktalarının yamuğun orta tabanı üzerindeki konumunu tespit et.

Muhteşem üçlü kuralı gereği, dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır. Ayrıca bu kenarortaylar yamuğun orta taban doğrusu üzerindedir.

K noktasından tabanlara paralel çizilen doğru, AD kenarını ortalar (muhteşem üçlü).

3

Orta taban uzunluğunu ve açıortay kesişim noktalarının orta noktalara uzaklığını hesapla.

Yamuğun orta tabanı:

\frac{14+4}{2} = 9

cm.
AD kenarının orta noktası M olsun;

|MK| = \frac{|AD|}{2} = \frac{8}{2} = 4

cm.
BC kenarının orta noktası N olsun;

|NL| = \frac{|BC|}{2} = \frac{12}{2} = 6

cm.

Orta taban formülü:

(a+c)/2

. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay: hipotenüs/2.

4

K ve L arasındaki mesafeyi bul.

M, K, L, N noktaları doğrusaldır ve toplam uzunluk

|MN|=9

cm'dir.

|MK|=4

ve

|NL|=6

olduğuna göre, bu iki doğru parçası üst üste binmiştir.

|KL| = (|MK| + |NL|) - |MN| = (4 + 6) - 9 = 1

cm.

Parça uzunlukları toplamı bütün uzunluktan büyükse, fark kesişim (aradaki) mesafeyi verir.

Anahtar Kavram

Yamukta ardışık köşe açıortayları orta taban üzerinde dik kesişir ve oluşturdukları dik üçgenin kenarortay uzunluğu yan kenarın yarısına eşittir.

İpuçları

1

Yamukta, bir yan kenarın uçlarındaki (örneğin A ve D) açıların toplamı 180 derecedir. Açıortaylarını çizerseniz oluşan üçgenin tepe açısı kaç derece olur?

2

Oluşan dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortayı (muhteşem üçlü) düşünün. Bu kenarortay yamuğun hangi elemanı üzerinde yer alır?

3

K ve L noktaları yamuğun orta tabanı üzerindedir. Orta taban uzunluğunu

(a+c)/2

ile hesaplayın ve yan kenarların yarısı olan parçaları bu uzunluk üzerine yerleştirin.

Daha Fazla Pratik

Yamuğun alanı ve yükseklik bağıntıları ile ilgili sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Formül olarak:

|KL| = |(\frac{AD+BC}{2}) - (\frac{AB+DC}{2})|

şeklinde düşünülebilir ancak bu sadece belirli durumlarda geçerlidir. En garantisi orta taban üzerinde çizim yapmaktır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 25Soru →

Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $|AB| = 6$ cm, $|AD| = 4$ cm ve $m(\widehat{BAD}) = 60^\circ$ olarak verilmiştir. Ayrıca $|BC| = |CD|$ ve $m(\widehat{BCD}) = 60^\circ$ olduğuna göre, $ABCD$ dörtgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

10\sqrt{3}

11\sqrt{3}

12\sqrt{3}

13\sqrt{3}

14\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $13\sqrt{3}$

Cevap

13\sqrt{3}

Dörtgenin alanı, [BD] köşegeni ile iki üçgene (

ABD

ve

BCD

) ayrılarak hesaplanır.

ABD

üçgeninin alanı sinüs teoremi ile

6\sqrt{3}

bulunur.

BD

kenarı kosinüs teoremi ile

2\sqrt{7}

bulunur.

BCD

üçgeni, tepe açısı

60^\circ

olan bir ikizkenar üçgen olduğu için eşkenardır ve alanı

7\sqrt{3}

olarak hesaplanır. Toplam alan

13\sqrt{3}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Dörtgeni iki üçgene ayırmak için [BD] köşegenini çizin.

Dörtgen,

ABD

ve

BCD

olmak üzere iki üçgene ayrılır.

Verilen açı ve kenar bilgilerini kullanarak her bir parçanın alanını ayrı ayrı hesaplayabilmek için.

2

ABD

üçgeninin alanını Sinüs Alan Formülü ile hesaplayın:

\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AD| \cdot \sin(60^\circ)

.

\text{Alan}(ABD) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ cm}^2

.

İki kenar ve arasındaki açı bilindiğinde alan hesabı yapmak için.

3

BD

uzunluğunu bulmak için

ABD

üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulayın:

|BD|^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)

.

|BD|^2 = 36 + 16 - 24 = 28

olup,

|BD| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}

cm bulunur.

Diğer üçgenin (

BCD

) kenar uzunluğunu bulmak için ortak kenar olan köşegeni hesaplamak gerekir.

4

BCD

üçgeninin türünü ve alanını belirleyin.

|BC|=|CD|

ve

m(\widehat{C})=60^\circ

olduğundan

BCD

eşkenar üçgendir. Kenar uzunluğu

2\sqrt{7}

cm'dir.

Tepe açısı

60^\circ

olan ikizkenar üçgen her zaman eşkenardır.

5

BCD

eşkenar üçgeninin alanını hesaplayın:

\text{Alan} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

.

\text{Alan}(BCD) = \frac{(2\sqrt{7})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{28\sqrt{3}}{4} = 7\sqrt{3} \text{ cm}^2

.

Eşkenar üçgen alan formülü uygulanarak ikinci parçanın alanı bulunur.

6

Toplam alanı bulmak için iki üçgenin alanını toplayın.

\text{Alan}(ABCD) = 6\sqrt{3} + 7\sqrt{3} = 13\sqrt{3} \text{ cm}^2

.

Dörtgenin toplam alanı, kendisini oluşturan ayrık bölgelerin alanları toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Dörtgenlerde Alan Paylaşımı ve Kosinüs Teoremi

İpuçları

1

Dörtgeni [BD] köşegenini çizerek iki farklı üçgene ayırmayı deneyin.

2

Oluşan

ABD

üçgeninde alan hesabı için Sinüs Alan Formülünü,

|BD|

uzunluğunu bulmak için ise Kosinüs Teoremini kullanın.

3

BCD

üçgeninin tepe açısı

60^\circ

olan bir ikizkenar üçgen olduğunu fark edin. Bu, onun bir eşkenar üçgen olduğu anlamına gelir.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, açılar

90^\circ

veya

120^\circ

verildiğinde alan ve kenar ilişkilerini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Dörtgenin alanını bulmak için A ve C köşelerinden BD köşegenine dikmeler indirilerek taban ve yükseklikler üzerinden de gidilebilir, ancak bu soruda özel açılar (

60^\circ

) olduğu için üçgenlere ayırma yöntemi en pratik yoldur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 26Soru →

Köşegenleri birbirine dik olan dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde; $|AB| = 7$ cm, $|BC| = 11$ cm ve $|CD| = 9$ cm olarak verilmiştir.

Buna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

3

4

5

6

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3 cm

Köşegenleri birbirine dik olan dışbükey bir dörtgende, karşılıklı kenarların uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir. Verilen değerlerle

7^2 + 9^2 = 11^2 + x^2

eşitliği kurulur ve buradan

x=3

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dörtgenin özelliğini belirle

Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde karşılıklı kenarların kareleri toplamı birbirine eşittir.

Bu özellik Pisagor bağıntısının dört kez uygulanmasıyla elde edilir:

|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2

.

2

Verilen değerleri formüle yerleştir

7^2 + 9^2 = 11^2 + |AD|^2

Soruda verilen

|AB|=7

,

|BC|=11

ve

|CD|=9

değerleri kullanılır.

3

İşlemleri yap ve sonucu bul

49 + 81 = 121 + |AD|^2 \Rightarrow 130 = 121 + |AD|^2 \Rightarrow |AD|^2 = 9 \Rightarrow |AD| = 3

Denklem çözülerek bilinmeyen kenar uzunluğu bulunur.

Anahtar Kavram

Köşegenleri Dik Kesişen Dörtgen Özelliği

İpuçları

1

Dörtgenin köşegenlerinin dik kesişmesi, kenar uzunlukları arasında Pisagor bağıntısına dayalı özel bir ilişki oluşturur.

2

Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde, karşılıklı kenarların karelerinin toplamı birbirine eşittir.

3

|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2

formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, köşegenleri dik kesişen bir ikizkenar yamuk sorusu çözülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 27Soru →

Aşağıda verilen $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ dir. $m(\widehat{DAB}) = 60^\circ$ , $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ$ , $|AD| = 8$ cm ve $|DC| = 5$ cm olarak verilmiştir.

Buna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

12 + 14\sqrt{3}

20 + 24\sqrt{3}

24 + 28\sqrt{3}

32 + 24\sqrt{3}

48 + 56\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $24 + 28\sqrt{3}$

Cevap

Yamuğun alanı

24 + 28\sqrt{3}

\text{cm}^2

dir.

Doğru cevap, yamuğun yüksekliğinin ve alt taban parçalarının özel üçgenler (30-60-90 ve 45-45-90) yardımıyla bulunup, alan formülünde yerine konulmasıyla elde edilir. Yükseklik

4\sqrt{3}

ve alt taban

9+4\sqrt{3}

bulunduğunda, alan

(24 + 28\sqrt{3})

\text{cm}^2

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

D

ve

C

köşelerinden

[AB]

kenarına dikmeler indirilir.

D

den inilen dikme ayağı

H

,

C

den inilen dikme ayağı

K

olsun. Böylece ortada bir

HKCD

dikdörtgeni ve yanlarda

ADH

ile

CKB

dik üçgenleri oluşur.

Yamuğun alanını bulmak için yüksekliğe ve alt taban uzunluğuna ihtiyaç vardır; bu dikmeler hem yüksekliği hem de taban parçalarını bulmamızı sağlar.

2

ADH

üçgeninde (30-60-90) kenar uzunlukları hesaplanır.

Hipotenüs

|AD|=8

ise,

30^\circ

nin karşısı

|AH|=4

,

60^\circ

nin karşısı (yükseklik)

|DH|=4\sqrt{3}

olur.

30-60-90 üçgeninde hipotenüs, 30 derecenin karşısındaki kenarın 2 katıdır; 60 derecenin karşısı ise 30 derecenin karşısının

\sqrt{3}

katıdır.

3

CKB

üçgeninde (45-45-90) kenar uzunlukları hesaplanır.

Yükseklikler eşit olduğundan

|CK| = |DH| = 4\sqrt{3}

tür. İkizkenar dik üçgen olduğu için

|KB| = 4\sqrt{3}

olur.

45-45-90 üçgeninde dik kenarlar birbirine eşittir.

4

Alt taban uzunluğu

|AB|

bulunur.

|AB| = |AH| + |HK| + |KB| = 4 + 5 + 4\sqrt{3} = 9 + 4\sqrt{3}

cm. (Not:

|HK|=|DC|=5

)

Alt taban, sol üçgenin tabanı, dikdörtgenin tabanı ve sağ üçgenin tabanının toplamıdır.

5

Yamuk alan formülü uygulanır:

\frac{a+c}{2} \cdot h

.

Alan =

\frac{(9+4\sqrt{3}) + 5}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{14+4\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3} = (7+2\sqrt{3}) \cdot 4\sqrt{3}

Yamuğun alanı, alt ve üst tabanlar toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

6

Çarpma işlemi dağıtılarak sonuca ulaşılır.

(7 \cdot 4\sqrt{3}) + (2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}) = 28\sqrt{3} + (8 \cdot 3) = 28\sqrt{3} + 24

.

Köklü sayılarda dağılma özelliği uygulanır:

a(b+c) = ab + ac

.

Anahtar Kavram

Yamukta Alan Hesabı ve Özel Üçgenler

İpuçları

1

D

ve

C

köşelerinden alt tabana dikmeler indirerek özel üçgenler oluşturmayı deneyin.

2

Oluşan

ADH

üçgeni 30-60-90 üçgeni,

CKB

üçgeni ise 45-45-90 ikizkenar dik üçgenidir. Bu üçgenlerin kenar bağıntılarını hatırlayın.

3

Yükseklik

h = 4\sqrt{3}

cm'dir. Alt tabanı üç parça halinde (

|AH|

,

|HK|

,

|KB|

) hesaplayıp toplayın, sonra alan formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, taban açılarından biri 30 derece, diğeri 45 derece olan bir yamuğun alanını hesaplamayı deneyin.

Alternatif Yöntem

C

noktasından

AD

'ye paralel bir doğru çizerek yamuğu bir paralelkenar ve bir üçgene ayırabilirsiniz. Oluşan üçgenin kenar ve açı özelliklerini kullanarak yüksekliği bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 28Soru →

Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninde, $D$ köşesinden $[AB]$ kenarına indirilen $[DH]$ dikmesi, $[AB]$ kenarını iki eş parçaya bölmektedir.

Eşkenar dörtgenin çevresi $32$ cm olduğuna göre, bu eşkenar dörtgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

16\sqrt{3}

32

32\sqrt{3}

48

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $32\sqrt{3}$

Cevap

Eşkenar dörtgenin alanı

32\sqrt{3}

\text{cm}^2

dir.

Verilen çevre uzunluğundan bir kenar 8 cm bulunur. İndirilen dikmenin kenarı ikiye bölmesi, oluşan üçgenin eşkenar olmasını ve dolayısıyla taban açısının 60 derece olmasını gerektirir. Buradan yükseklik

4\sqrt{3}

cm bulunur ve alan

32\sqrt{3}

cm

^2

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu bul.

Çevre =

4a = 32

cm olduğundan, bir kenar uzunluğu

a = 8

cm'dir.

Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşittir.

2

Verilen geometrik özelliği kullanarak üçgenin yapısını belirle.

[DH]

hem yükseklik hem de kenarortay (

|AH|=|HB|=4

) olduğu için

ADB

üçgeni ikizkenardır (

|AD|=|DB|

).

|AD|=a=8

olduğundan

|DB|=8

olur. Üç kenarı da

8

cm olduğu için

ADB

eşkenar üçgendir.

Bir üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortay ise o üçgen ikizkenardır.

3

Eşkenar dörtgenin yüksekliğini (

h

) hesapla.

ADB

eşkenar üçgen olduğundan

m(\widehat{DAB}) = 60^\circ

dir.

ADH

dik üçgeninde (veya eşkenar üçgen yüksekliği formülünden):

h = |DH| = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}

cm.

30-60-90 üçgeni özellikleri veya trigonometrik oranlar.

4

Alanı hesapla.

Alan = Taban

\cdot

Yükseklik =

8 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}

\text{cm}^2

.

Paralelkenar ve eşkenar dörtgende alan formülü.

Anahtar Kavram

Eşkenar dörtgende bir köşeden inilen dikme kenarı ortalıyorsa, oluşan üçgen eşkenardır ve dar açı

60^\circ

dir.

Soru 29Soru →

Bir dışbükey dörtgenin üç iç açısının ölçüsü sırasıyla $80^\circ$ , $110^\circ$ ve $70^\circ$ olarak verilmiştir. Buna göre, bu dörtgenin dördüncü iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

100^\circ

80^\circ

90^\circ

110^\circ

120^\circ

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $100^\circ$

Cevap

Dörtgenin dördüncü iç açısının ölçüsü

100^\circ

'dir.

Dörtgenlerin iç açılarının toplamı

360^\circ

kuralına dayanarak, verilen

80^\circ

,

110^\circ

ve

70^\circ

açılarının toplamı olan

260^\circ

değeri

360^\circ

değerinden çıkarıldığında sonuç

100^\circ

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dörtgenin temel açı özelliğini hatırla.

Tüm dışbükey dörtgenlerin iç açılarının toplamı her zaman

360^\circ

'dir.

Dörtgenler, bir köşegenle iki adet üçgene ayrılabildiği için (

180^\circ + 180^\circ

) toplam

360^\circ

eder.

2

Verilen üç açının toplamını hesapla.

80^\circ + 110^\circ + 70^\circ = 260^\circ

Bilinmeyen açıyı bulmak için öncelikle bilinen açıların toplam miktarını bilmemiz gerekir.

3

Toplam açıdan bilinenleri çıkararak dördüncü açıyı bul.

360^\circ - 260^\circ = 100^\circ

Dörtgenin iç açılar toplamı kuralını tamamlamak için eksik olan parça hesaplanır.

Anahtar Kavram

Dörtgenlerin iç açılarının toplamı her zaman

360^\circ

'dir.

İpuçları

1

Bir dörtgenin iç açılarını topladığımızda elde edeceğimiz sabit bir sayı vardır.

2

Dörtgenin iç açılar toplamı, bir üçgenin iç açılar toplamının iki katıdır.

3

İç açılar toplamı olan

360^\circ

değerinden, bildiğiniz üç açının toplamını çıkarın.

Daha Fazla Pratik

İç açıları verilen bir paralelkenarda dördüncü açıyı bulma egzersizleri yaparak bu kuralı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Dörtgeni bir köşegenle iki üçgene ayırdığınızı hayal edin. Her bir üçgen

180^\circ

ise toplam

360^\circ

olur. Verilenleri toplayıp bu sayıdan çıkararak dördüncü açıyı elde edersiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 30Soru →

ABCD bir yamuktur ve $[AB] \parallel [DC]$ 'dir. $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri $K$ noktasında kesişmektedir.

$A(DKC) = 18 \text{ cm}^2$ ve $A(AKB) = 32 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

50

74

90

98

100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 98

Cevap

Yamuğun toplam alanı 98 cm²'dir.

Yamukta köşegenler çizildiğinde oluşan karşılıklı üçgenlerin (üst ve alt) alanları çarpımı, yan kanatların alanları çarpımına eşittir. Yan kanatların alanları birbirine eşit olduğundan (

S

),

S^2 = 18 \cdot 32 = 576

olur. Buradan yan alan

S = 24

bulunur. Toplam alan

18 + 32 + 24 + 24 = 98

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Yamukta köşegenlerin oluşturduğu üçgenler arasındaki benzerlik ve alan ilişkisini belirle.

DKC ve AKB üçgenleri benzerdir (kelebek benzerliği). Yan kanatlardaki ADK ve BCK üçgenlerinin alanları birbirine eşittir (

S

).

[AB] \parallel [DC]

olduğu için

\triangle DKC \sim \triangle BKA

olur.

2

Yan kanatların alanını hesapla (

S

). Yamukta yan alan, alt ve üst alanın geometrik ortalamasıdır:

S = \sqrt{A(DKC) \cdot A(AKB)}

.

S = \sqrt{18 \cdot 32} = \sqrt{576} = 24 \text{ cm}^2

.

Yamuksal bölgede karşılıklı yan alanların çarpımı, alt ve üst alanların çarpımına eşittir (

S^2 = A_{üst} \cdot A_{alt}

).

3

Tüm alanları toplayarak yamuğun toplam alanını bul.

A(ABCD) = 18 + 32 + 24 + 24 = 98 \text{ cm}^2

.

Toplam alan = Üst + Alt + Yan + Yan.

Anahtar Kavram

Yamukta Alan Özellikleri ve Benzerlik

İpuçları

1

Yamukta köşegenlerin ayırdığı dört üçgensel bölgeyi düşününüz. Alt ve üst üçgenlerin alanları verilmiştir.

2

Yanlarda kalan iki üçgenin (

ADK

ve

BCK

) alanları birbirine eşittir.

3

Yan alanların her biri, alt ve üst alanların çarpımının kareköküne eşittir (

S = \sqrt{A_1 \cdot A_2}

).

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı verilen bir yamukta alanların dağılımını inceleyen sorular çözünüz.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol: Yamuğun alanı

(\sqrt{A_{üst}} + \sqrt{A_{alt}})^2

formülüyle de bulunabilir.

(\sqrt{18} + \sqrt{32})^2 = (3\sqrt{2} + 4\sqrt{2})^2 = (7\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98

.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 31Soru →

Aşağıda verilen $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ paralelliği sağlanmaktadır. $m(\widehat{DAB}) + m(\widehat{CBA}) = 90^\circ$ olduğu bilinmektedir.

$|AD| = 6 \text{ cm}$ , $|BC| = 8 \text{ cm}$ ve $|DC| = 5 \text{ cm}$ olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

24

36

48

60

96

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

48

Verilen açı şartı (

m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 90^\circ

), yan kenarların bir noktada dik kesiştiğini gösterir.

AD

kenarını paralel kaydırarak oluşturulan 6-8-10 dik üçgeninden yamuğun yüksekliği

h=4,8

cm bulunur. Tabanlar toplamı 20 cm olduğu için alan

10 \times 4,8 = 48

cm

^2

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

D

köşesinden

[BC]

kenarına paralel bir

[DK]

doğrusu çizilir (

K \in [AB]

).

ADCD

bir paralelkenar olur.

Yamuğun taban açıları toplamı verildiğinde, yan kenarlardan birine paralel çizerek bir üçgen oluşturmak çözüm için standart bir yöntemdir.

2

Oluşan

DKB

üçgeninin açılarını ve kenarlarını incele.

m(\widehat{DKB}) = m(\widehat{DAB})

(yöndeş) olduğu için

m(\widehat{DKB}) + m(\widehat{KBA}) = 90^\circ

olur. Bu durumda

m(\widehat{KDB}) = 90^\circ

olmalıdır. Kenarlar:

|DK|=6

,

|KB|=8

.

Açıların toplamı 90 derece olduğundan, oluşan üçgenin tepe açısı dik açı olmak zorundadır. Bu bir 6-8-10 dik üçgenidir.

3

Yamuğun yüksekliğini (

h

) hesapla.

Üçgenin alanı iki yolla yazılır:

\frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{10 \cdot h}{2} \Rightarrow 24 = 5h \Rightarrow h = 4,8 \text{ cm}

.

Dik üçgende alan hem dik kenarlar çarpımının yarısı hem de hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

4

Alt taban uzunluğunu (

|AB|

) bul ve yamuk alanını hesapla.

|AB| = |AK| + |KB| = 5 + 10 = 15 \text{ cm}

. Alan =

\frac{5 + 15}{2} \cdot 4,8 = 10 \cdot 4,8 = 48 \text{ cm}^2

.

Yamuk alanı, alt ve üst tabanlar toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Yamukta Açı Özellikleri ve Alan

İpuçları

1

Yamuğun yan kenarlarından birine (

AD

veya

BC

) paralel olacak şekilde içeriden bir doğru parçası çizmeyi deneyin.

2

AD

kenarına paralel çizdiğinizde oluşan üçgenin kenar uzunlukları 6 ve 8 olacaktır. Bu üçgenin tepe açısını, verilen açı toplamı bilgisini kullanarak bulun.

3

Oluşan üçgen 6-8-10 dik üçgenidir. Bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliği, aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir. Öklid bağıntılarını veya alan eşitlemesini kullanarak yüksekliği bulun.

Daha Fazla Pratik

Aynı soru tipi için, açıların toplamı 90 derece yerine 60 veya 120 derece verilseydi hangi özel üçgen (30-60-90 veya kosinüs teoremi) kullanılırdı?

Alternatif Yöntem

Yan kenarları yukarı doğru uzatarak yamuğu büyük bir dik üçgene tamamlayabilirsiniz. Benzerlik oranlarını kullanarak büyük ve küçük üçgenlerin alanları farkından sonuca gidilebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 32Soru →

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninin kenar orta noktaları birleştirilerek elde edilen $KLMN$ dörtgeninin alanı $16\sqrt{3}$ $\text{cm}^2$ dir.

$ABCD$ dörtgeninin köşegenleri arasında $|AC| = 2|BD|$ bağıntısı bulunmaktadır ve köşegen uzunluklarının toplamı 24 cm'dir.

Buna göre, $ABCD$ dörtgeninin köşegenleri arasındaki dar açının ölçüsü kaç derecedir?

15

30

45

60

75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Dörtgenin köşegenleri arasındaki dar açı 60 derecedir.

Dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde oluşan alan, tüm alanın yarısıdır. Bu bilgiyle tüm alan

32\sqrt{3}

bulunur. Köşegenler

16

ve

8

cm olarak hesaplandıktan sonra, alan formülü

\frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot \sin(\alpha)

kullanılarak

\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}

elde edilir, bu da dar açının 60 derece olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Köşegen uzunluklarını bulmak için verilen denklemleri çöz.

|AC| = 2|BD|

ve

|AC| + |BD| = 24

ise

2|BD| + |BD| = 24 \Rightarrow 3|BD| = 24

. Buradan

|BD| = 8

cm ve

|AC| = 16

cm bulunur.

Soruda verilen uzunluk bağıntılarını kullanarak sayısal değerlere ulaşmak gerekir.

2

Orta noktalar dörtgeni (Varignon paralelkenarı) ile ana dörtgenin alanı arasındaki ilişkiyi kullan.

Alan(

ABCD

) =

2 \times

Alan(

KLMN

)

= 2 \times 16\sqrt{3} = 32\sqrt{3}

\text{cm}^2

.

Bir dörtgenin kenar orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan dörtgenin alanı, esas dörtgenin alanının yarısıdır.

3

Dörtgenin alan formülünü kullanarak aradaki açıyı hesapla.

Alan(

ABCD

) =

\frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD| \cdot \sin(\alpha)

formülünde değerleri yerine koy:

32\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 8 \cdot \sin(\alpha)

.

Köşegen uzunlukları ve aralarındaki açı bilindiğinde genel dörtgen alanı sinüs formülüyle bulunur.

4

Denklemi çözerek

\alpha

açısını bul.

32\sqrt{3} = 64 \cdot \sin(\alpha) \Rightarrow \sin(\alpha) = \frac{32\sqrt{3}}{64} = \frac{\sqrt{3}}{2}

. Sinüsü

\frac{\sqrt{3}}{2}

olan dar açı

60^\circ

dir.

Trigonometrik denklem çözümü.

Anahtar Kavram

Genel dörtgenlerde alan formülü (Sinüslü Alan) ve Kenar Orta Noktalar Dörtgeni (Varignon Teoremi) ilişkisi.

İpuçları

1

Önce verilen denklemleri kullanarak köşegen uzunluklarını (

|AC|

ve

|BD|

) hesaplayınız.

2

Kenar orta noktalarını birleştiren

KLMN

dörtgeninin alanı ile büyük

ABCD

dörtgeninin alanı arasında sabit bir oran vardır: Alan(

KLMN

) =

\frac{\text{Alan}(ABCD)}{2}

.

3

Büyük dörtgenin alanını bulduktan sonra, Alan =

\frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD| \cdot \sin(\alpha)

formülünü kullanarak açıyı bulunuz.

Daha Fazla Pratik

Köşegenleri dik kesişen bir dörtgenin orta noktalar dörtgeninin şekli ve alanı ile ilgili bir soru çözünüz.

Alternatif Yöntem

Orta noktalar dörtgeninin kenar uzunlukları, paralel oldukları köşegenlerin yarısına eşittir (

|KL| = |AC|/2

,

|LM| = |BD|/2

). Aradaki açı da köşegenler arasındaki açıya eşittir. Paralelkenar alanı formülünden (

a \cdot b \cdot \sin(\alpha)

) doğrudan sonuca gidilebilir:

(8) \cdot (4) \cdot \sin(\alpha) = 16\sqrt{3}

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 33Soru →

$ABCD$ bir ikizkenar yamuk olmak üzere, $[AB] \parallel [DC]$ ve $|AD| = |BC|$ 'dir. Verilen uzunluklara göre $|DC| = 4$ cm, $|AB| = 10$ cm ve $|AD| = 5$ cm'dir.

Buna göre, $ABCD$ ikizkenar yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

21

24

28

35

56

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

ABCD ikizkenar yamuğunun alanı 28 cm² dir.

İkizkenar yamukta köşelerden indirilen dikmeler, tabanda eş parçalar oluşturur. Taban farkının yarısı (10-4)/2 = 3 cm, dik üçgenin bir kenarıdır. Hipotenüs 5 cm olduğundan, 3-4-5 özel üçgeni gereği yükseklik 4 cm olur. Alan formülü ile (10+4)/2 * 4 = 28 cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yamuğun yüksekliğini bulmak için üst köşelerden alt tabana dikmeler indirilir.

D ve C köşelerinden [AB] kenarına indirilen dikmelerin ayaklarına H ve K diyelim. |HK| = |DC| = 4 cm olur.

İkizkenar yamukta yükseklik hesabı için dik üçgen oluşturulmalıdır.

2

Oluşan dik üçgenlerin taban kenarlarını hesapla.

Geriye kalan parça |AH| + |KB| = 10 - 4 = 6 cm'dir. İkizkenar yamuk olduğu için |AH| = |KB| = 3 cm olur.

Simetri özelliğinden dolayı kalan taban uzunluğu iki eş parçaya ayrılır.

3

Pisagor bağıntısı ile yüksekliği (h) hesapla.

AHD dik üçgeninde hipotenüs |AD| = 5 cm, dik kenar |AH| = 3 cm'dir. 3-4-5 özel üçgeninden h = |DH| = 4 cm bulunur.

Alan hesabı için yamuğun yüksekliğine ihtiyaç vardır.

4

Yamuğun alan formülünü uygula.

Alan = (Alt Taban + Üst Taban) / 2 * Yükseklik = (10 + 4) / 2 * 4 = 7 * 4 = 28 cm².

Sonucu bulmak için standart yamuk alanı formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

İkizkenar yamuğun alanı hesaplanırken köşelerden dikmeler indirilerek yükseklik bulunur ve (Alt Taban + Üst Taban)/2 * h formülü uygulanır.

Dörtgenler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm