Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

301 soru

Soru 121Soru →

Matematiksel işlemlerde kullanılan sayıların ait oldukları kümelerle ilgili bir sınıflandırma yapılacaktır.

İncelenen sayılar şunlardır:
9,π,0,12,3,14 \sqrt{9}, \quad \pi, \quad 0, \quad \sqrt{12}, \quad 3,14

Buna göre, bu sayılardan kaç tanesi irrasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen listede 2 adet irrasyonel sayı bulunmaktadır.
Verilen sayılar incelendiğinde; kök 9 (3), 0 ve 3,14 sayıları rasyonel sayılar kümesinin elemanıdır. Pi sayısı ve kök 12 sayısı ise rasyonel (a/b) olarak ifade edilemedikleri için irrasyonel sayılardır. Bu nedenle doğru cevap 2 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Listedeki her bir sayının sayı kümesini belirle.
Sayılar tek tek analiz edilir.
Soruda irrasyonel (rasyonel olmayan) sayıların adedi sorulmaktadır.
2
\(\sqrt{9}\) sayısını incele.
\(\sqrt{9} = 3\) olduğundan bir Tam Sayıdır ve Rasyoneldir.
Kök dışına tam olarak çıkabilen sayılar rasyoneldir.
3
\(\pi\) (pi) sayısını incele.
\(\pi\) sayısı virgülden sonra düzensiz sonsuza gittiği için İrrasyoneldir.
Pi sayısı, irrasyonel sayıların en bilinen örneğidir.
4
\(0\) sayısını incele.
\(0\) bir Tam Sayıdır ve paydası 1 yazılabildiği için Rasyoneldir.
Sıfır sayısı rasyonel sayılar kümesine dahildir.
5
\(\sqrt{12}\) sayısını incele.
\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) olur. Kök içinde sayı kaldığı için İrrasyoneldir.
Tam kare olmayan sayıların karekökleri irrasyoneldir.
6
\(3,14\) sayısını incele.
\(3,14 = \frac{314}{100}\) şeklinde yazılabildiği için Rasyoneldir.
Sonlu ondalık sayılar rasyonel sayıdır. Pi sayısının yaklaşık değeri olması onu irrasyonel yapmaz.
7
İrrasyonel olanları say.
İrrasyonel olanlar: \(\pi\) ve \(\sqrt{12}\). Toplam 2 adet.
Sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

İrrasyonel sayılar, a/b şeklinde yazılamayan, virgülden sonrası düzensiz sonsuza giden sayılardır (örn: kök dışına çıkamayan sayılar, pi sayısı).

İpuçları

1
Her sayıyı kök dışına çıkarmayı veya rasyonel (kesirli) yazıp yazamayacağınızı deneyin.
2
Tam kare sayıların karekökleri (kök 9 gibi) tamsayıdır. 3,14 sayısı sonlu bir ondalık sayıdır.
3
İrrasyonel sayılar: Pi ve kök dışına tam çıkamayan sayılardır. 3,14 rasyoneldir çünkü 314/100 olarak yazılabilir.

Daha Fazla Pratik

Devirli ondalık sayıların rasyonel sayıya çevrilmesi ile ilgili bir soru çözerek kavramı pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 122Soru →
a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,
3a⋅b+10a−5c=2023 3a \cdot b + 10a - 5c = 2023

eşitliği veriliyor.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c

Cevap

Verilen eşitlik incelendiğinde a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı her zaman çift sayıdır.
Denklem a⋅b−c=Teka \cdot b - c = \text{Tek} şeklinde sadeleşir. Bu durum, a⋅ba \cdot b ile cc sayılarının paritelerinin (teklik-çiftlik durumlarının) birbirinden farklı olduğunu gösterir. Yani biri Tek iken diğeri Çifttir. Üç sayının çarpımı (a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c) hesaplanırken, çarpanlardan (abab veya cc) en az biri kesinlikle çift olacağından, çarpımın sonucu her zaman çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi Teklik-Çiftlik (T-Ç) açısından analiz et.
3a⋅b+10a−5c=20233a \cdot b + 10a - 5c = 2023 denkleminde katsayıların ve sabit sayıların karakterini belirle.
Tam sayılarda işlemlerin sonucunun tek mi çift mi olduğunu anlamak için katsayılar sadeleştirilebilir.
2
Terimleri T ve Ç olarak yerine koy ve sadeleştir.
10a10a her zaman Çifttir (Ç). Katsayılar (3 ve 5) teklik-çiftliği değiştirmez. Denklem: (a⋅b)+C¸−c=Tek(a \cdot b) + \text{Ç} - c = \text{Tek} haline gelir.
Çift bir sayı ile çarpılan tam sayı daima çifttir (10a10a). Tek katsayılar (3,53, 5) değişkenin karakterini değiştirmez.
3
Sonuç bağıntısını kur.
a⋅b−c=Teka \cdot b - c = \text{Tek} sonucuna ulaşılır. Bu, a⋅ba \cdot b ile cc'nin zıt karakterli olması demektir.
İki sayının farkı (veya toplamı) tek ise, sayılardan biri Tek, diğeri Çift olmak zorundadır.
4
Olası durumları tablo ile incele ve şıkları test et.
Durum 1: a⋅ba \cdot b Çift ise cc Tektir. Çarpım a⋅b⋅c=C¸⋅T=C¸ifta \cdot b \cdot c = \text{Ç} \cdot \text{T} = \text{Çift}.
Durum 2: a⋅ba \cdot b Tek ise cc Çifttir. Çarpım a⋅b⋅c=T⋅C¸=C¸ifta \cdot b \cdot c = \text{T} \cdot \text{Ç} = \text{Çift}.
Her iki durumda da çarpımın içinde en az bir çift sayı bulunduğu için sonuç daima çifttir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik-çiftlik analizinde, çarpımın tek olması için tüm çarpanların tek olması gerekir; çarpımın çift olması için en az bir çarpanın çift olması yeterlidir.

İpuçları

1
Denklemdeki 10a10a ifadesinin aa ne olursa olsun her zaman çift sayı olduğuna dikkat edin.
2
Teklik-çiftlik analizinde katsayıları sadeleştirerek a⋅b−c=Teka \cdot b - c = \text{Tek} bağıntısını elde edebilirsiniz.
3
a⋅ba \cdot b ifadesi ile cc sayısı zıt karakterlidir (Biri tek ise diğeri çifttir). Çarpımlarının ne olacağını düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla kurulan, ancak 'Her zaman tektir' ifadesini soran soruları çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: Denklemi sağlayan basit değerler (örneğin a=1,b=4,c=1a=1, b=4, c=1 için 12+10−5=17≠202312+10-5=17 \neq 2023 gibi değil, pariteyi sağlayan değerler: a=1,b=1a=1, b=1 için abab tek →c\to c çift olmalı) vererek şıkları eleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 123Soru →

xx bir pozitif tam sayı olmak üzere, x+3x+3 ve x+14x+14 sayılarının aralarında asal olduğu bilinmektedir.

Buna göre, xx aşağıdakilerden hangisi olamaz?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

19 değeri olamaz, çünkü bu durumda sayılar 11'in katı olur.
İki sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak bölenleri olmamalıdır. Verilen (x+3)(x+3) ve (x+14)(x+14) sayılarının farkı 11'dir. Öklid algoritmasına göre, bu iki sayının herhangi bir ortak böleni, farkları olan 11'i de bölmelidir. 11 asal olduğu için, bu sayılar ancak ve ancak ikisi de 11'in katı ise aralarında asal olmazlar. Seçeneklerdeki 19 değeri yerine konulduğunda sayılar 22 ve 33 olur; her ikisi de 11'e bölündüğü için aralarında asal değildirler.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıların EBOB özelliklerini incele.
EBOB(a, b) = EBOB(a, b-a) özelliğini kullanalım. Sayılarımız (x+3)(x+3) ve (x+14)(x+14).
İki sayının en büyük ortak böleni, bu sayıların farkını da bölmek zorundadır.
2
Sayıların farkını hesapla.
Fark = (x+14)−(x+3)=11(x+14) - (x+3) = 11.
Bu fark sabittir ve x değerine bağlı değildir.
3
Aralarında asallık koşulunu analiz et.
Bu iki sayının ortak böleni varsa, bu bölen 11'i de bölmelidir. 11 asal sayı olduğundan, ortak bölen sadece 1 veya 11 olabilir.
Sayıların aralarında asal olması için ortak bölenin 1 olması gerekir. Eğer sayılar 11'in katı ise aralarında asal olmazlar.
4
Seçenekleri bu kurala göre test et.
x=19 için: Sayılar (19+3)=22(19+3)=22 ve (19+14)=33(19+14)=33 olur. Her ikisi de 11'e bölünür.
22 ve 33 sayılarının EBOB'u 11'dir, yani aralarında asal değildirler. Bu yüzden x değeri 19 olamaz.

Anahtar Kavram

İki sayının en büyük ortak böleni (EBOB), bu sayıların farkını da böler. Eğer fark asal sayı ise, sayılar ya aralarında asaldır ya da o asal sayının katıdırlar.

İpuçları

1
İki sayının aralarında asal olması için ortak bölenlerinin sadece 1 olması gerekir.
2
Bu iki sayının farkını bulun: (x+14)−(x+3)(x+14) - (x+3) kaç eder? Ortak bölen bu farkı da bölmelidir.
3
Fark 11'dir. Eğer bu sayılar 11'in katı olurlarsa aralarında asal olamazlar. Hangi şık sayıları 11'in katı yapar?

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek her bir x değeri için sayı çiftlerini oluşturup EBOB'larına bakılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 124Soru →
a,ba, b ve cc pozitif tam sayıları için,
5a+7b4=c \frac{5a + 7b}{4} = c

eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a + b

Cevap

a ve b sayılarının pariteleri aynı olduğundan, a + b toplamı daima çift sayıdır.
Verilen eşitlikte içler dışlar çarpımı yapıldığında 5a+7b=4c5a + 7b = 4c elde edilir. Eşitliğin sağ tarafındaki 4c4c ifadesi daima çifttir. Dolayısıyla sol taraf olan 5a+7b5a + 7b toplamı da çift olmalıdır. İki sayının toplamının çift olabilmesi için sayıların ikisinin de tek veya ikisinin de çift olması gerekir (T+T=Ç veya Ç+Ç=Ç). 55 ve 77 katsayıları tek sayı olduğundan, 5a5a ve 7b7b'nin paritesi doğrudan aa ve bb'ye bağlıdır. Bu durumda aa ve bb ya ikisi birden tek ya da ikisi birden çifttir. Her iki durumda da a+ba + b toplamı daima çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği düzenle
5a + 7b = 4c
Kesirli ifadeden kurtulup doğrusal eşitlik elde etmek için içler dışlar çarpımı yapılır.
2
Eşitliğin sağ tarafının tek/çift durumunu incele
4c ifadesi, 4 çarpanından dolayı c ne olursa olsun daima çift sayıdır.
Çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı çifttir.
3
Eşitliğin sol tarafını analiz et
5a + 7b ifadesinin sonucu çift olmalıdır.
Eşitliğin bir tarafı çift ise diğer tarafı da çift olmalıdır.
4
a ve b sayılarının durumlarını belirle
5a ve 7b'nin toplamı çift ise, ya ikisi de tektir ya da ikisi de çifttir. Katsayılar (5 ve 7) tek olduğu için, bu durum doğrudan a ve b'nin kendilerinin aynı pariteye (ikisi de tek veya ikisi de çift) sahip olduğunu gösterir.
Tek + Tek = Çift ve Çift + Çift = Çift kuralı gereği.
5
Seçenekleri değerlendir
a ve b aynı türden (ikisi tek veya ikisi çift) olduğuna göre, a + b toplamı daima çifttir.
Tek ile Tek'in toplamı Çift, Çift ile Çift'in toplamı yine Çift eder.

Anahtar Kavram

İki sayının toplamının çift olabilmesi için, sayıların ikisinin de tek veya ikisinin de çift olması gerekir.
Soru 125Soru →

Matematik dersinde sayı kümeleri arasındaki ilişkileri inceleyen bir grup öğrenci, rasyonel sayılar (QQ) ve irrasyonel sayılar (Q′Q') ayrımı üzerine bir çalışma yapmaktadır. Öğrenciler tahtaya şu sayıları yazmışlardır:

I. 0,4\sqrt{0,4}
II. 144\sqrt{144}
III. 00
IV. 227\frac{22}{7}

Buna göre, yukarıdaki sayılardan hangileri rasyonel sayılar (QQ) kümesinin bir elemanıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II, III ve IV

Cevap

Rasyonel sayılar kümesinin elemanları II, III ve IV numaralı ifadelerdir.
Doğru olan seçenek; tam kare olduğu için 12'ye eşit olan 144\sqrt{144} ifadesini, bir tam sayı olan 0'ı ve tanım gereği iki tam sayının oranı olan 227\frac{22}{7} kesrini içermektedir. Bu üç sayı da rasyonel sayı tanımına uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadelerin değerlerini kontrol etme
144=12\sqrt{144} = 12 (tam sayı); 0,4=410=210\sqrt{0,4} = \sqrt{\frac{4}{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} (irrasyonel)
Bir sayının rasyonel olması için kök dışına tam olarak çıkabilmesi gerekir.
2
Tam sayıların ve kesirlerin durumunu değerlendirme
00 bir tam sayıdır (rasyonel); 227\frac{22}{7} iki tam sayının oranıdır (rasyonel).
Rasyonel sayılar a,b∈Za, b \in \mathbb{Z} ve b≠0b \neq 0 olmak üzere ab\frac{a}{b} şeklinde yazılabilen sayılardır.
3
Sonuçları küme üyeliğine göre gruplandırma
II, III ve IV rasyoneldir; I ise irrasyoneldir.
Tanıma uyan tüm elemanlar rasyonel sayılar (QQ) kümesine dahil edilir.

Anahtar Kavram

Rasyonel sayıların tanımı (QQ) ve irrasyonel sayılardan (Q′Q') farkı.

İpuçları

1
Bir sayının rasyonel (QQ) olması için a/ba/b (a,ba, b tam sayı) şeklinde yazılıp yazılamadığına bakmalısın.
2
Kareköklü sayıların rasyonel olması için içindeki sayının bir tam kare olması gerektiğini unutma; 0,4\sqrt{0,4} ile 0,04\sqrt{0,04} arasındaki farka dikkat et.
3
00 sayısının paydasına 11 yazarak bir rasyonel sayı oluşturabileceğini ve 227\frac{22}{7}'nin doğrudan bir kesir olduğunu hatırla.

Daha Fazla Pratik

İrrasyonel sayılarla rasyonel sayıların birleşimi hangi sayı kümesini oluşturur? (Gerçel Sayılar)

Alternatif Yöntem

Sayıları ondalık açılımlarına göre inceleyebilirsiniz. 144=12,0\sqrt{144}=12,0, 0=0,00=0,0 ve 227≈3,142857...\frac{22}{7} \approx 3,142857... (devirli) gibi ifadeler rasyoneldir. Ancak 0,4\sqrt{0,4} ifadesinin ondalık açılımı devretmez ve sonsuza gider, bu da onu irrasyonel yapar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 126Soru →

nn bir doğal sayı olmak üzere,

(n+2)!−(n+1)!−n!(n+1)!+n! \frac{(n+2)! - (n+1)! - n!}{(n+1)! + n!}


işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: n

Cevap

İşlemin sonucu n ifadesidir.
Verilen ifadede tüm terimleri en küçük faktöriyel olan n! parantezine aldığımızda, pay kısmı n!(n²+2n), payda kısmı ise n!(n+2) olur. Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında sonuç n bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm faktöriyel ifadelerini en küçük faktöriyel olan n! cinsinden yazalım.
(n+2)!=(n+2)(n+1)n! (n+2)! = (n+2)(n+1)n!

(n+1)!=(n+1)n! (n+1)! = (n+1)n!
Faktöriyel işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için terimleri ortak çarpan parantezine almamız gerekir.
2
Pay ve paydayı n! ortak parantezine alalım.
Pay:
n![(n+2)(n+1)−(n+1)−1] n! [ (n+2)(n+1) - (n+1) - 1 ]

Payda:
n![(n+1)+1] n! [ (n+1) + 1 ]
Ortak çarpanları belirginleştirerek sadeleştirmeye hazırlık yaparız.
3
Köşeli parantez içindeki ifadeleri düzenleyelim.
Pay içi:
(n2+3n+2)−n−1−1=n2+2n (n^2 + 3n + 2) - n - 1 - 1 = n^2 + 2n

Payda içi:
n+2 n + 2
Cebirsel ifadeleri toplayıp çıkararak en sade hallerini buluruz.
4
Pay kısmını çarpanlarına ayıralım ve ifadeyi yeniden yazalım.
n2+2n=n(n+2) n^2 + 2n = n(n+2)

İfade:
n!⋅n(n+2)n!⋅(n+2) \frac{n! \cdot n(n+2)}{n! \cdot (n+2)}
Pay ve paydadaki benzer terimleri görmek için çarpanlara ayırma işlemi uygulanır.
5
Ortak terimleri sadeleştirerek sonucu bulalım.
n! ve (n+2) terimleri sadeleşir, geriye sadece n kalır.
Çarpım durumundaki aynı ifadeler birbirini götürür.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapılırken, tüm terimler en küçük faktöriyel cinsinden yazılarak (genellikle n!) ortak paranteze alınır.

İpuçları

1
İfadedeki tüm faktöriyelleri, en küçük olan n! cinsinden yazmaya çalışın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 127Soru →
x,yx, y ve zz tam sayıları için,
x2⋅y−x=4z+3 x^2 \cdot y - x = 4z + 3

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3x+5y+73x + 5y + 7

Cevap

3x+5y+73x + 5y + 7 ifadesi kesinlikle çift sayıdır.
Verilen eşitlikte 4z+34z+3 daima tektir. Bu durumda x(xy−1)x(xy-1) çarpımı tek olmalıdır. İki sayının çarpımı tek ise her iki sayı da tek olmalıdır. Buradan xx sayısının tek olduğu kesinleşir. İkinci çarpan olan (xy−1)(xy-1) ifadesinin tek olması için xyxy çarpımının çift olması gerekir. xx tek olduğuna göre, çarpımın çift olması için yy kesinlikle çift olmalıdır. zz sayısı ise denklemde sadece katsayı ile bulunduğu için tek veya çift olabilir (belirsizdir). Seçenekler incelendiğinde; 3x3x (Tek) + 5y5y (Çift) + 77 (Tek) işlemi T+C\c+T=C\ciftT + Ç + T = Çift sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 4z+34z + 3 ifadesinin tek/çift durumunu analiz et.
4z4z her zaman çifttir, bu nedenle 4z+34z + 3 her zaman tek sayıdır.
Bir tam sayının 4 ile çarpımı çifttir, buna tek sayı eklenirse sonuç tek olur.
2
Sol taraftaki x2⋅y−xx^2 \cdot y - x ifadesini çarpanlarına ayırarak analiz et.
x(x⋅y−1)=Tekx(x \cdot y - 1) = \text{Tek} sonucuna ulaşılır.
Çarpım sonucunun tek olması için çarpanların her ikisinin de tek olması gerekir.
3
xx ve yy tam sayılarının tek/çift durumlarını belirle.
1. çarpan xx tek olmalıdır. 2. çarpan (x⋅y−1)(x \cdot y - 1) tek ise, x⋅yx \cdot y çift olmalıdır. xx tek olduğuna göre, yy çift olmak zorundadır.
Tek sayı ile çift sayının çarpımı çifttir (T⋅C\c=C\cT \cdot Ç = Ç). zz ise denklemde serbest değişkendir, tek veya çift olabilir.
4
Seçenekleri x=Tekx=\text{Tek}, y=C¸ifty=\text{Çift} ve z=Belirsizz=\text{Belirsiz} durumuna göre değerlendir.
3x+5y+73x + 5y + 7 seçeneği: 3(T)+5(C\c)+T=T+C\c+T=C¸ift3(T) + 5(Ç) + T = T + Ç + T = \text{Çift}.
İki tek sayının toplamı çifttir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda çarpma ve toplama işlemlerinin tek/çift sayı özelliklerinin (parite) analizi.

İpuçları

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 4z+34z + 3 ifadesinin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyerek başlayın.
2
Sağ taraf tek sayı olduğuna göre, sol taraftaki x2⋅y−xx^2 \cdot y - x ifadesini xx parantezine alarak çarpanların tek/çift durumunu inceleyin.
3
x(xy−1)x(xy-1) çarpımı tek ise xx tektir ve xy−1xy-1 tektir. Buradan yy'nin paritesini bulup seçeneklerde yerine koyun. zz'nin belirsiz olduğunu unutmayın.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme: z=0z=0 için denklem x2y−x=3x^2y - x = 3 olur. Bu eşitliği sağlayan x=1,y=4x=1, y=4 (veya x=−1,y=4x=-1, y=4) değerlerini seçeneklerde deneyerek eleme yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 128Soru →

11’den nn’ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı XX, 11’den n−2n-2’ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı YY’dir.

X−Y=37X - Y = 37

olduğuna göre, nn değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Verilen toplamlar arasındaki fark incelendiğinde nn değerinin 19 olduğu görülür.
11'den nn'ye kadar olan sayıların toplamı (XX) ile 11'den n−2n-2'ye kadar olan sayıların toplamı (YY) arasındaki fark, XX toplamında olup YY toplamında olmayan terimlerin toplamıdır. Bu terimler nn ve n−1n-1 sayılarıdır. Dolayısıyla n+(n−1)=37n + (n-1) = 37 eşitliğinden 2n=382n = 38 ve n=19n = 19 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
XX ve YY toplamlarını açık bir şekilde yazın.
X=1+2+⋯+(n−2)+(n−1)+nX = 1 + 2 + \dots + (n-2) + (n-1) + n ve Y=1+2+⋯+(n−2)Y = 1 + 2 + \dots + (n-2)
Hangi terimlerin ortak olduğunu ve hangilerinin farkı oluşturduğunu görmek için.
2
X−YX - Y farkını hesaplayın.
X−Y=(1+⋯+n)−(1+⋯+n−2)=(n−1)+nX - Y = (1 + \dots + n) - (1 + \dots + n-2) = (n-1) + n
YY toplamındaki tüm terimler XX içinde de yer aldığı için çıkarma işleminde birbirini götürür; geriye sadece XX toplamındaki son iki terim kalır.
3
nn değerini bulmak için elde edilen denklemi çözün.
(n−1)+n=37⇒2n−1=37⇒2n=38⇒n=19(n-1) + n = 37 \Rightarrow 2n - 1 = 37 \Rightarrow 2n = 38 \Rightarrow n = 19
Sözel olarak ifade edilen ilişkiyi matematiksel bir denkleme dökerek bilinmeyeni bulmak için.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı toplamları arasındaki fark, ortak olmayan terimlerin toplamına eşittir.

İpuçları

1
XX toplamını 1+2+⋯+(n−2)+(n−1)+n1 + 2 + \dots + (n-2) + (n-1) + n şeklinde yazmayı deneyin.
2
XX ve YY arasındaki farkın hangi terimlerden kaynaklandığını belirleyin. Bu fark nn ve n−1n-1 terimleridir.
3
n+(n−1)=37n + (n-1) = 37 denklemini kurun ve nn için çözün.

Daha Fazla Pratik

Ardışık tek ve çift sayıların toplam formülleri ile ilgili benzer fark sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Gauss toplam formülünü kullanarak X=n(n+1)2X = \frac{n(n+1)}{2} ve Y=(n−2)(n−1)2Y = \frac{(n-2)(n-1)}{2} yazabilirsiniz. Ardından n(n+1)−(n−2)(n−1)2=37\frac{n(n+1) - (n-2)(n-1)}{2} = 37 denklemini sadeleştirerek 2n−1=372n - 1 = 37 sonucuna ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 129Soru →

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan üç basamaklı ABCABC doğal sayısı 9 ile tam bölünebilmektedir. Bu sayının yüzler ve birler basamağındaki rakamlar yer değiştirdiğinde elde edilen sayının değeri, başlangıçtaki sayının değerinden 594 eksiktir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan ABCABC sayısının onlar basamağındaki rakam (BB) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Basamak çözümlemesi yapıldığında A−C=6A-C=6 bulunur. Olası (A,C)(A,C) ikilileri (7,1),(8,2),(9,3)(7,1), (8,2), (9,3)'tür. Sayının 9'a bölünebilmesi için rakamları toplamının 9'un katı olması gerekir. Rakamların birbirinden farklı olması koşulu sadece A=9,C=3A=9, C=3 ikilisinde B=6B=6 olduğunda sağlanır (Sayı 963).

Adım Adım Çözüm

1
Verilen azalma miktarını basamak çözümleme yöntemiyle denkleme dök.
ABC−CBA=594⇒(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=594⇒99(A−C)=594ABC - CBA = 594 \Rightarrow (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 594 \Rightarrow 99(A - C) = 594
Sayının değeri azaldığı için ilk sayı ikinci sayıdan büyüktür.
2
Elde edilen denklemden A ve C arasındaki farkı bul.
A−C=6A - C = 6
Her iki taraf 99'a bölünerek rakamlar arası ilişki bulunur.
3
Sıfırdan farklı rakam (1-9) olmaları koşuluyla olası (A, C) ikililerini belirle.
Olası ikililer: (7, 1), (8, 2), (9, 3). (Not: (6, 0) elenir çünkü rakamlar sıfırdan farklıdır.)
Rakamlar kümesi {1, 2, ..., 9} aralığındadır.
4
Her ikili için 9 ile tam bölünebilme (A+B+C=9kA+B+C = 9k) ve rakamları birbirinden farklı olma koşullarını test et.
Durum 1 (7,1): 7+B+1=8+B=9k⇒B=17+B+1 = 8+B = 9k \Rightarrow B=1. (Red: B=C=1B=C=1, farklı değil)
Durum 2 (8,2): 8+B+2=10+B=9k⇒B=88+B+2 = 10+B = 9k \Rightarrow B=8. (Red: B=A=8B=A=8, farklı değil)
Durum 3 (9,3): 9+B+3=12+B=9k⇒B=69+B+3 = 12+B = 9k \Rightarrow B=6. (Kabul: 9, 6, 3 farklı rakamlardır)
Sorudaki tüm kısıtlamaların (sıfırdan farklı, birbirinden farklı, 9'a bölünebilme) aynı anda sağlanması gerekir.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Bölünebilme Kuralları

İpuçları

1
Sayı değeri azaldığına göre ABC>CBAABC > CBA olmalıdır. Fark işlemini basamak değerlerine ayırarak (100A+...100A+...) yazmayı deneyin.
2
99(A−C)=59499(A-C) = 594 eşitliğinden AA ve CC arasındaki farkı bulun ve olası rakam ikililerini listeleyin.

Daha Fazla Pratik

Rakamları çarpımı ile ilgili benzer bir soru çözerek kısıtlamaların etkisini pekiştirin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 130Soru →
a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a2+3a+5b=7c+11 a^2 + 3a + 5b = 7c + 11

eşitliği veriliyor.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b · c

Cevap

b ve c sayılarından biri tek, diğeri çift olduğundan çarpımları daima çift sayıdır.
Verilen denklemde a2+3aa^2+3a ifadesi her zaman çifttir. Bu durumda denklem C\cift+5b=7c+TekÇift + 5b = 7c + Tek şeklini alır. Düzenlendiğinde 5b−7c=Tek5b - 7c = Tek sonucu bulunur. İki ifadenin farkının tek sayı olabilmesi için ifadelerden birinin tek, diğerinin çift olması gerekir. Bu da bb ve cc sayılarından birinin tek, diğerinin çift olduğu anlamına gelir (zıt parite). Biri tek biri çift olan iki sayının çarpımı (b⋅cb \cdot c) matematiksel olarak her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin ilk terimi olan a2+3aa^2 + 3a ifadesini çarpanlarına ayırarak incele.
a(a+3)a(a+3)
Bir sayının paritesini belirlemek için ifadeyi çarpım durumuna getirmek analizi kolaylaştırır.
2
a(a+3)a(a+3) ifadesinin tek/çift durumunu analiz et.
Daima Çift
Eğer aa tek ise (TT), a+3a+3 çift (T+T=C\cT+T=Ç) olur; çarpım T⋅C\c=C\cT \cdot Ç = Ç olur. Eğer aa çift ise (C\cÇ), çarpım zaten çifttir. Sonuç her durumda çifttir.
3
Bulunan sonucu ana denklemde yerine koy ve sadeleştir: C\cift+5b=7c+11Çift + 5b = 7c + 11.
5b−7c=Tek5b - 7c = Tek
Sabit sayı 11 tektir. Denklemi düzenlersek: 5b−7c=11−C\cift=Tek5b - 7c = 11 - Çift = Tek.
4
5b−7c5b - 7c ifadesinin tek olması durumunu yorumla.
b ve c zıt paritededir (biri Tek, biri Çift).
İki sayının farkının tek olması için, sayılardan birinin tek diğerinin çift olması gerekir. Katsayılar (5 ve 7) tek olduğu için bb ve cc'nin kendileri zıt karakterli olmalıdır.
5
Seçenekleri bu bilgiye göre kontrol et.
b⋅cb \cdot c daima çifttir.
Biri tek biri çift olan iki sayının çarpımı daima çifttir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda işlemler ve parite (tek/çift) kuralları

İpuçları

1
Denklemdeki a2+3aa^2 + 3a ifadesini aa parantezine alarak inceleyin. a(a+3)a(a+3) çarpımı aa ne olursa olsun nasıl bir sonuç verir?
2
a(a+3)a(a+3) ifadesi daima çifttir. Bunu denkleme yerleştirip bb ve cc arasındaki ilişkiyi bulmak için 5b5b ve 7c7c terimlerini bir tarafa toplayın.
3
Denklem 5b−7c=Tek5b - 7c = Tek sonucuna götürür. Farkları tek olan iki sayının (b ve c) biri mutlaka tek, diğeri çifttir. Bu durumda çarpımları ne olur?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış, değişkenlerin üslerinin pariteyi nasıl etkilediğini inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 131Soru →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

x2⋅y<0x^2 \cdot y < 0

x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0

x−z<0x - z < 0

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap:

x+yz<0\frac{x+y}{z} < 0

Cevap

İşaret incelemesi sonucunda xx ve yy'nin negatif, zz'nin pozitif olduğu bulunur. Bu durumda iki negatif sayının toplamının pozitif bir sayıya bölümü (
x+yz\frac{x+y}{z}
) kesinlikle negatiftir.
Verilen eşitsizliklerden xx ve yy'nin negatif, zz'nin pozitif olduğu tespit edilir. Doğru seçenekteki
x+yz\frac{x+y}{z}
ifadesinde, iki negatif sayının toplamı (x+yx+y) yine negatif olur. Payda (zz) ise pozitiftir. Negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü daima sıfırdan küçüktür.

Adım Adım Çözüm

1
x2⋅y<0x^2 \cdot y < 0 eşitsizliğini incele.
x2x^2 her zaman pozitiftir (sıfırdan farklı). Çarpımın negatif olması için yy negatif (−-) olmalıdır.
Bir sayının karesi ile çarpımının işaret analizi.
2
x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0 eşitsizliğinde yy'nin işaretini yerine koy.
yy negatiftir. Sonucun pozitif olması için x⋅zx \cdot z çarpımı negatif olmalıdır.
Üçlü çarpımda işaret kuralı: (−)⋅(−)=(+)(-) \cdot (-) = (+) olması gerekir.
3
x−z<0x - z < 0 ve x⋅z<0x \cdot z < 0 bilgilerini birleştir.
x⋅z<0x \cdot z < 0 olduğu için xx ve zz zıt işaretlidir. x<zx < z olduğu için negatif olan küçük, pozitif olan büyük olmalıdır. Yani xx negatif (−-), zz pozitif (++) olur.
Zıt işaretli iki sayıdan küçük olan negatiftir.
4
Bulunan işaretleri (x:−,y:−,z:+x:-, y:-, z:+) seçeneklerde test et.
x+yz\frac{x+y}{z}
ifadesinde pay (x+yx+y) iki negatif sayının toplamı olduğundan negatiftir. Payda (zz) pozitiftir. Negatifin pozitife bölümü negatiftir (<0<0).
Seçeneklerin doğruluk kontrolü.

Anahtar Kavram

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Özellikleri

İpuçları

1
Önce x2⋅y<0x^2 \cdot y < 0 eşitsizliğinden başlayarak yy'nin işaretini belirleyiniz. Bir sayının karesi (0 hariç) daima pozitiftir.
2
yy'nin işaretini bulduktan sonra, x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0 eşitsizliğini kullanarak xx ve zz'nin işaret ilişkisini (aynı mı zıt mı) bulunuz.
3
xx ve zz zıt işaretli ise ve x<zx < z ise, küçük olan negatif, büyük olan pozitif olmak zorundadır. Bulduğunuz işaretleri seçeneklerde yerine koyunuz.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer içeren eşitsizlik sorularında işaret incelemesi pratiği yapılması önerilir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: Şartları sağlayan örnek sayılar seçilebilir. Örneğin y=−1y=-1, x=−2x=-2 (negatif olmalı) ve z=3z=3 (pozitif olmalı) seçilerek şıklar test edilebilir. Ancak 'daima' sorularında tek bir örnek yanıltıcı olabilir, genel işaret analizi daha güvenilirdir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 132Soru →

a,ba, b ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere, (a+b)⋅(b+c)(a+b) \cdot (b+c) ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+ca + c

Cevap

a+ca + c ifadesi daima çifttir.
Verilen çarpımın tek sayı olması için (a+b)(a+b) ve (b+c)(b+c) çarpanlarının her ikisinin de tek sayı olması gerekir. Toplamın tek olması, toplanan sayıların zıt karakterli (biri tek, biri çift) olmasını gerektirir. Ortak değişken bb üzerinden iki durum analiz edilir: bb çift ise aa ve cc tektir; bb tek ise aa ve cc çifttir. Her iki durumda da aa ve cc aynı karakterlidir (ikisi de tek veya ikisi de çift). Aynı karakterli iki tam sayının toplamı (a+ca+c) daima çifttir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi analiz et.
(a+b)⋅(b+c)(a+b) \cdot (b+c) çarpımı tek sayı ise, çarpanların her ikisi de tek sayı olmalıdır. Yani (a+b)(a+b) TEK ve (b+c)(b+c) TEK'tir.
Çarpma işleminin sonucunun tek olabilmesi için tüm çarpanların tek olması gerekir.
2
bb sayısının durumuna göre aa ve cc sayılarının teknik/çiftlik durumlarını belirle.
İki sayının toplamı tek ise, sayılardan biri tek, diğeri çifttir. bb ortak terim olduğu için iki durum oluşur:
1. Durum: bb ÇİFT ise ⇒\Rightarrow aa TEK ve cc TEK olmalıdır.
2. Durum: bb TEK ise ⇒\Rightarrow aa ÇİFT ve cc ÇİFT olmalıdır.
Parite analizi (Tek/Çift incelemesi).
3
Seçenekleri bu iki duruma göre test et.
Doğru seçenek için her iki durumda da sonucun ÇİFT olması gerekir.

a+ca + c seçeneği:
1. Durum: Tek + Tek = Çift
2. Durum: Çift + Çift = Çift
Her iki durumda da sonuç daima ÇİFTTİR.
Daima doğruluk için tüm olası durumların sağlanması gerekir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda İşlemler (Parite Analizi)

İpuçları

1
Çarpım sonucu tek sayı ise, tüm çarpanlar tek sayı olmalıdır.
2
a+ba+b ve b+cb+c toplamlarının tek sayı olması, terimlerin zıt (biri tek, biri çift) olmasını gerektirir.
3
bb sayısı için iki ihtimal vardır: Tek veya Çift. Her iki ihtimalde de aa ve cc sayılarının birbirine göre durumunu (aynı mı farklı mı) inceleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, toplamları çift olan sayıların çarpım durumlarını inceleyen bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: 1. Durum için b=2b=2 seçilirse a=1,c=1a=1, c=1 olur. 2. Durum için b=1b=1 seçilirse a=2,c=2a=2, c=2 olur. Bu değerler seçeneklerde yerine konularak her iki seti de sağlayan (çift yapan) seçenek bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 133Soru →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x3⋅y2<0 x^3 \cdot y^2 < 0

x⋅z>0 x \cdot z > 0

x+y>0 x + y > 0

y+z<0 y + z < 0

ifadeleri veriliyor.

Buna göre x,yx, y ve zz sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: z<x<yz < x < y

Cevap

Doğru sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir.
Verilen eşitsizlikler adım adım incelendiğinde; xx ve zz'nin negatif, yy'nin pozitif olduğu anlaşılır. x+y>0x+y > 0 ve y+z<0y+z < 0 eşitsizliklerinin birlikte değerlendirilmesi, negatif sayıların mutlak büyüklüklerini karşılaştırmamızı sağlar. ∣z∣>y>∣x∣|z| > y > |x| ilişkisinden dolayı negatif sayılar arasında z<xz < x sıralaması oluşur. Pozitif yy en büyük olduğu için doğru sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
xx ve zz sayılarının işaretlerini belirle
xx negatif, zz negatiftir.
x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0 eşitsizliğinde y2y^2 daima pozitiftir, bu yüzden x3x^3 (ve dolayısıyla xx) negatif olmalıdır. x⋅z>0x \cdot z > 0 eşitsizliğinde xx negatif olduğu için sonucun pozitif olması adına zz de negatif olmalıdır.
2
yy sayısının işaretini belirle
yy pozitiftir.
x+y>0x + y > 0 eşitsizliğinde xx negatiftir. Toplamın pozitif olabilmesi için yy pozitif olmalı ve mutlak değerce xx'ten büyük olmalıdır (y>∣x∣y > |x|).
3
xx ve zz arasındaki büyüklük ilişkisini kur
z<xz < x şeklindedir.
y+z<0y + z < 0 eşitsizliğinde yy pozitiftir. Toplamın negatif olabilmesi için zz negatif olmalı ve mutlak değerce yy'den büyük olmalıdır (∣z∣>y|z| > y). Önceki adımdan y>∣x∣y > |x| olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla ∣z∣>∣x∣|z| > |x| olur. Her ikisi de negatif olduğundan, mutlak değeri büyük olan daha küçüktür (z<xz < x).
4
Tüm sıralamayı birleştir
z<x<yz < x < y
zz ve xx negatif olup z<xz < x ilişkisi vardır. yy pozitif olduğu için hepsinden büyüktür.

Anahtar Kavram

Eşitsizliklerde İşaret ve Mutlak Değer Analizi

İpuçları

1
Önce çarpma işlemlerini kullanarak sayıların işaretlerini (+ veya -) belirleyin. Çift kuvvetler (y2y^2) daima pozitiftir.
2
x+y>0x+y > 0 olması, yy'nin xx'in mutlak değerinden büyük olduğunu gösterir (y>∣x∣y > |x|).
3
y+z<0y+z < 0 ifadesini kullanarak zz'nin mutlak değerinin yy'den büyük olduğunu fark edin (∣z∣>y|z| > y). Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde deneme yöntemi: x=−2x=-2 vererek koşulları sağlayan yy ve zz değerlerini bulmaya çalışın. Örneğin x=−2x=-2 ise y>2y>2 olmalı (ör: y=3y=3). y=3y=3 ise z<−3z<-3 olmalı (ör: z=−4z=-4). Sıralama: −4<−2<3-4 < -2 < 3.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 134Soru →

Alanı 60 cm260 \text{ cm}^2 olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları, 1'den büyük aralarında asal tam sayılardır.

Buna göre, bu dikdörtgenin çevre uzunluğunun alabileceği farklı değerlerin toplamı kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 118

Cevap

Dikdörtgenin çevre uzunluklarının toplamı 118 santimetredir.
Doğru cevap, verilen koşulları sağlayan üç farklı dikdörtgenin (boyutları 3x20, 4x15, 5x12) çevrelerinin toplamıdır. Her bir çift, çarpımları 60 olan, 1'den büyük ve EBOB'ları 1 olan sayılardan oluşur.

Adım Adım Çözüm

1
60 sayısının, 1'den büyük pozitif tam sayı çarpan çiftlerini (dikdörtgenin kenar adaylarını) belirle.
Çiftler: (2,30)(2, 30), (3,20)(3, 20), (4,15)(4, 15), (5,12)(5, 12), (6,10)(6, 10)
Dikdörtgenin alanı a⋅b=60a \cdot b = 60 olduğundan tüm olası kenar çiftleri listelenmelidir.
2
Bu çiftlerden 'aralarında asal' olma şartını sağlayanları seç.
Uygun çiftler: (3,20)(3, 20), (4,15)(4, 15), (5,12)(5, 12)
Aralarında asal sayılar, 1'den başka ortak böleni olmayan sayılardır. (2,30)(2, 30) ve (6,10)(6, 10) çiftlerinin EBOB'u 2 olduğu için elenir.
3
Seçilen her bir çift için dikdörtgenin çevre uzunluğunu (C\c=2(a+b)Ç = 2(a+b)) hesapla.
1. Çift (3, 20): 2(3+20)=462(3+20) = 46 cm
2. Çift (4, 15): 2(4+15)=382(4+15) = 38 cm
3. Çift (5, 12): 2(5+12)=342(5+12) = 34 cm
Dikdörtgenin çevresi, iki kenar toplamının iki katıdır.
4
Bulunan çevre değerlerini topla.
46+38+34=11846 + 38 + 34 = 118
Soruda çevre uzunluğunun alabileceği tüm değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Aralarında asal sayılar, ortak bölenleri sadece 1 olan sayılardır. Bu sayıların asal sayı olması gerekmez; iki bileşik sayı da (örneğin 4 ve 15) aralarında asal olabilir.

İpuçları

1
Önce çarpımları 60 olan tüm sayı çiftlerini yazın, sonra aralarında asal olmayanları eleyin.
2
Aralarında asal olması için sayıların asal olması gerekmez, sadece ortak bölenleri 1 olmalıdır. (4 ve 15 gibi).

Daha Fazla Pratik

Çarpımları sabit olan iki sayının toplamının en büyük ve en küçük değerini bulma sorularını inceleyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 135Soru →

Birbirinden farklı A,BA, B ve CC pozitif tam sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:
- AA ve BB sayıları aralarında asaldır.
- BB ve CC sayıları aralarında asaldır.
- AA ve CC sayıları aralarında asal değildir.
A+B+C=20A + B + C = 20 olduğuna göre, BB sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

B sayısının alabileceği en büyük değer 11'dir.
B sayısının 11 olması durumunda, toplamları 9 olan ve aralarında asal olmayan 3 ve 6 sayıları A ve C olarak atanabilir. Bu durumda A ile B (3 ve 11) ile B ile C (11 ve 6) aralarında asal kalırken, A ile C (3 ve 6) aralarında asal olmaz. Tüm sayılar birbirinden farklı ve toplamları 20'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulların analiz edilmesi
A,B,CA, B, C farklı pozitif tam sayılar. GCD(A,B)=1GCD(A,B)=1, GCD(B,C)=1GCD(B,C)=1, GCD(A,C)>1GCD(A,C)>1 ve A+B+C=20A+B+C=20.
Soruda verilen kısıtlamaları matematiksel dile çevirmek çözümü kolaylaştırır.
2
En büyük B değerini bulmak için seçeneklerin büyükten küçüğe denenmesi
B=19→A+C=1B=19 \rightarrow A+C=1 (Pozitif tam sayılar için imkansız).
B=17→A+C=3B=17 \rightarrow A+C=3 ise (1,2)(1,2) olabilir ama GCD(1,2)=1GCD(1,2)=1 (Uygun değil).
B=15→A+C=5B=15 \rightarrow A+C=5 ise (1,4)(1,4) veya (2,3)(2,3) olabilir, her ikisi de aralarında asaldır (Uygun değil).
B=13→A+C=7B=13 \rightarrow A+C=7 ise (1,6),(2,5),(3,4)(1,6), (2,5), (3,4) çiftlerinin tamamı aralarında asaldır (Uygun değil).
B'nin en büyük değeri istendiği için denemeye en büyük sayıdan başlanır.
3
B=11 durumunun kontrol edilmesi
B=11B=11 ise A+C=9A+C=9 olur. AA ve CC aralarında asal olmasın istendiği için (3,6)(3,6) çifti seçilebilir.
A ve C'nin toplamı 9 olup aralarında asal olmayan en küçük farklı pozitif tam sayı çifti 3 ve 6'dır.
4
Tüm koşulların teyit edilmesi
A=3,B=11,C=6A=3, B=11, C=6 için:
- GCD(3,11)=1GCD(3, 11) = 1 (Doğru)
- GCD(11,6)=1GCD(11, 6) = 1 (Doğru)
- GCD(3,6)=3>1GCD(3, 6) = 3 > 1 (Doğru)
- 3+11+6=203+11+6=20 (Doğru)
Seçilen değerlerin sorudaki tüm öncülleri karşıladığından emin olunur.

Anahtar Kavram

İki sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır. Aralarında asal olmayan sayıların en az bir tane 1'den büyük ortak böleni bulunur.

İpuçları

1
B sayısını en büyük yapmak için A ve C sayılarını mümkün olduğunca küçük ama aralarında asal olmayacak şekilde seçmelisiniz.
2
A ve C aralarında asal değilse, en az bir ortak bölenleri (örneğin 2 veya 3) olmalıdır. En küçük böyle çift (2,4) veya (3,6) gibi düşünülebilir.
3
B değerini 13'ten başlayarak küçültün ve A+C toplamından elde edeceğiniz çiftleri kontrol edin. A ile C'nin 1'den büyük ortak böleni olmalı!

Daha Fazla Pratik

Toplamları verilen üç sayının aralarında asallık ilişkilerini içeren farklı senaryoları (örneğin ikişerli aralarında asal olma) çalışarak pekiştirme yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 136Soru →

AA, BB ve CC sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere;

ABC+BCA+CAB=1665ABC + BCA + CAB = 1665


eşitliği veriliyor. A<B<CA < B < C koşulunu sağlayan kaç farklı ABCABC üç basamaklı doğal sayısı yazılabilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Koşulları sağlayan 8 farklı sayı yazılabilir.
Sayıların çözümlemesi yapıldığında 111(A+B+C)=1665111(A+B+C)=1665 eşitliğinden rakamlar toplamının 15 olduğu bulunur. A<B<CA<B<C şartı ve rakamların 1-9 arasında olması gerektiği gözetilerek yapılan sistematik sayımda; A=1A=1 için 2, A=2A=2 için 3, A=3A=3 için 2 ve A=4A=4 için 1 olmak üzere toplam 8 farklı durum tespit edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üç basamaklı sayıları çözümleyerek toplama işlemini düzenle.
100A+10B+C+100B+10C+A+100C+10A+B=1665100A+10B+C + 100B+10C+A + 100C+10A+B = 1665
ifadesi
111(A+B+C)=1665111(A+B+C) = 1665
olur.
Basamak analizi yöntemiyle sayıları rakam değerlerine ayırmak gerekir.
2
Eşitliği sadeleştirerek rakamların toplamını bul.
A+B+C=1665111=15A+B+C = \frac{1665}{111} = 15
bulunur.
Rakamlar arasındaki ilişkiyi belirlemek için sadeleştirme şarttır.
3
A<B<CA < B < C koşulunu ve rakamların sınırlarını (1-9) dikkate alarak olası üçlüleri sistematik olarak listele.
Olası (A,B,C)(A, B, C) üçlüleri:
1. A=1A=1 için B+C=14B+C=14 (ve 1<B<C1<B<C): (1,5,9),(1,6,8)(1,5,9), (1,6,8) → 2 durum
2. A=2A=2 için B+C=13B+C=13 (ve 2<B<C2<B<C): (2,4,9),(2,5,8),(2,6,7)(2,4,9), (2,5,8), (2,6,7) → 3 durum
3. A=3A=3 için B+C=12B+C=12 (ve 3<B<C3<B<C): (3,4,8),(3,5,7)(3,4,8), (3,5,7) → 2 durum
4. A=4A=4 için B+C=11B+C=11 (ve 4<B<C4<B<C): (4,5,6)(4,5,6) → 1 durum
(A=5 olamaz çünkü en küçük toplam 5+6+7=185+6+7=18 eder, 15'i aşar.)
Sistemli bir şekilde en küçük basamaktan başlayarak tüm kombinasyonlar taranmalıdır.
4
Bulunan durum sayılarını topla.
2+3+2+1=82 + 3 + 2 + 1 = 8 farklı sayı vardır.
Sonuç için tüm geçerli durumların toplamı gereklidir.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

İpuçları

1
Üç basamaklı sayıları çözümleyerek (örneğin ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C) toplayın ve sadeleştirin.
2
A+B+C=15A+B+C=15 eşitliğini bulduktan sonra, AA yerine sırasıyla 1, 2, 3... vererek B+CB+C değerlerini inceleyin.
3
A=1A=1 için B+C=14B+C=14 olur. B<CB<C olduğu için BB en çok kaç olabilir? Tüm AA değerleri için bu kontrolü yapın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 137Soru →
x,yx, y ve zz birer tam sayı olmak üzere,
(x2+x+1)3+3⋅x⋅y=5z+6 (x^2 + x + 1)^3 + 3 \cdot x \cdot y = 5z + 6

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x⋅y+zx \cdot y + z toplamı tek sayıdır

Cevap

x⋅y+zx \cdot y + z ifadesi daima tek sayıdır
Verilen eşitlikte (x2+x)(x^2+x) terimi daima çift olduğu için, parantez içi tek sayı olur ve küpü de tektir. Eşitlik Tek+3xy=5z+6Tek + 3xy = 5z + 6 formuna indirgendiğinde, xyxy ve zz ifadelerinin zıt pariteye (biri tek, diğeri çift) sahip olması gerektiği görülür. Biri tek diğeri çift olan iki sayının toplamı (xy+zxy + z) ise matematiksel olarak daima tek sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin terimlerini tek-çift analizi için incele
x2+x=x(x+1)x^2 + x = x(x+1) ifadesi ardışık iki tam sayının çarpımı olduğu için daima Çift sayıdır. Dolayısıyla (x2+x+1)(x^2 + x + 1) tabanı Tek sayıdır.
Ardışık sayıların çarpım kuralı ve toplama paritesi.
2
Üslü ifadenin ve sabit sayıların paritesini belirle
Tek sayının her kuvveti tek olduğundan (x2+x+1)3(x^2 + x + 1)^3 ifadesi Tek sayıdır. Eşitliğin sağ tarafındaki 66 sayısı Çifttir.
Tek ve çift sayıların kuvvet özellikleri.
3
Eşitliği basitleştirilmiş parite denklemine dönüştür
Denklem: Tek+3xy=5z+C¸ift\text{Tek} + 3xy = 5z + \text{Çift} haline gelir. 33 ve 55 katsayıları pariteyi değiştirmediği için denklem özü itibarıyla: Tek+xy≡z(mod2)\text{Tek} + xy \equiv z \pmod 2 ilişkisindedir.
Katsayıların tek olması çarpım paritesini etkilemez.
4
Olası durumları analiz et (xyxy ve zz arasındaki ilişki)
Eşitliği düzenlersek: 3xy−5z=C¸ift−Tek=Tek3xy - 5z = \text{Çift} - \text{Tek} = \text{Tek}. Bu farkın tek olması için xyxy ve zz ifadelerinin zıt pariteli (biri tek iken diğeri çift) olması gerekir.
İki sayının farkı tek ise, sayılar zıt karakterlidir.
5
Seçenekleri bu kurala göre test et
xyxy ve zz zıt pariteli olduğu için toplamları (xy+zxy + z) daima Tek sayı olur (Tek + Çift = Tek veya Çift + Tek = Tek).
Zıt pariteli iki sayının toplamı her zaman tektir.

Anahtar Kavram

İşlem Paritesi ve Durum Analizi
Soru 138Soru →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0

x⋅z>0x \cdot z > 0

x+y=0x + y = 0

∣x∣<∣z∣|x| < |z|


eşitsizlikleri ve eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y^2 < z^2

Cevap

y² < z² ifadesi daima doğrudur.
Verilenlerden xx ve zz'nin negatif, yy'nin pozitif olduğu; ayrıca zz'nin xx'ten daha küçük (daha solda) olduğu anlaşılır. y=∣x∣y = |x| eşitliği ve ∣x∣<∣z∣|x| < |z| eşitsizliği birleştirildiğinde y<∣z∣y < |z| bulunur. Pozitif büyüklüklerin karesi sıralamayı koruduğu için y2<z2y^2 < z^2 ifadesi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ilk eşitsizlikten işaretleri belirle.
y2y^2 daima pozitiftir. x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0 olması için x3x^3 negatif olmalıdır, yani x < 0.
Bir sayının karesi (sıfır hariç) pozitiftir; çarpımın negatif olması için diğer çarpan negatif olmalıdır.
2
İkinci ve üçüncü ifadeleri kullanarak diğer değişkenlerin işaretlerini bul.
x⋅z>0x \cdot z > 0 ve xx negatif ise z < 0 olmalıdır. x+y=0x + y = 0 ise y=−xy = -x olur; xx negatif olduğu için y > 0'dır.
Aynı işaretli sayıların çarpımı pozitiftir; toplamları sıfır olan zıt işaretli sayılardan biri negatifse diğeri pozitiftir.
3
Son eşitsizliği kullanarak büyüklük sıralamasını yap.
∣x∣<∣z∣|x| < |z| ve her ikisi de negatif (z,x<0z, x < 0) olduğundan, zz sayısı xx'ten daha küçüktür (z<xz < x). y=∣x∣y = |x| olduğu için ∣y∣<∣z∣|y| < |z| bağıntısı da geçerlidir.
Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür.
4
Doğru seçeneği test et.
y=∣x∣y = |x| ve ∣x∣<∣z∣|x| < |z| olduğundan y<∣z∣y < |z| bulunur. Her iki tarafın karesi alınırsa y² < z² elde edilir.
Pozitif büyüklüklerin karesi alındığında eşitsizlik yön değiştirmez.

Anahtar Kavram

Negatif sayılarda sıralama ve mutlak değer ilişkisi

İpuçları

1
Önce verilen çarpım ve toplamları kullanarak her bir değişkenin (x,y,zx, y, z) işaretini belirleyin.
2
xx ve zz negatif, yy pozitiftir. x+y=0x+y=0 olduğu için yy, xx'in mutlak değerine eşittir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 139Soru →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+2)!+(n+1)!(n+1)!−n!=8 \frac{(n+2)! + (n+1)!}{(n+1)! - n!} = 8

eşitliğini sağlayan nn değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemi sağlayan n değerlerinin toplamı 4'tür.
Verilen eşitlikte faktöriyel tanımları kullanılarak (n+2)!=(n+2)(n+1)n!(n+2)! = (n+2)(n+1)n! ve (n+1)!=(n+1)n!(n+1)! = (n+1)n! dönüşümleri yapılır. İfade sadeleştirildiğinde (n+1)(n+3)n=8\frac{(n+1)(n+3)}{n} = 8 cebirsel denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlendiğinde n2−4n+3=0n^2 - 4n + 3 = 0 bulunur. Bu denklemi sağlayan nn değerleri 3 ve 1'dir. Her ikisi de doğal sayı olduğu için çözüm kümesine dahildir ve toplamları 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel parantezine alarak düzenle.
Pay: (n+2)!+(n+1)!=(n+1)!(n+2)+(n+1)!=(n+1)!(n+2+1)=(n+1)!(n+3)\text{Pay: } (n+2)! + (n+1)! = (n+1)!(n+2) + (n+1)! = (n+1)!(n+2+1) = (n+1)!(n+3)
Payda: (n+1)!−n!=n!(n+1)−n!=n!(n+1−1)=n!⋅n\text{Payda: } (n+1)! - n! = n!(n+1) - n! = n!(n+1-1) = n! \cdot n
Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için toplama/çıkarma durumundaki terimler çarpım durumuna getirilmelidir.
2
Elde edilen ifadeleri kesirde yerine yaz ve sadeleştir.
(n+1)!(n+3)n!⋅n \frac{(n+1)!(n+3)}{n! \cdot n}
(n+1)!=(n+1)n! oldug˘u ic¸in;(n+1)! = (n+1)n! \text{ olduğu için;}
(n+1)n!(n+3)n!⋅n=(n+1)(n+3)n \frac{(n+1)n!(n+3)}{n! \cdot n} = \frac{(n+1)(n+3)}{n}
Paydaki (n+1)!(n+1)! ifadesini n!n! cinsinden yazarak paydadaki n!n! ile sadeleştirmek işlemi basitleştirir.
3
Kalan cebirsel ifadeyi 8'e eşitle ve denklemi çöz.
(n+1)(n+3)n=8⇒n2+4n+3n=8 \frac{(n+1)(n+3)}{n} = 8 \Rightarrow \frac{n^2 + 4n + 3}{n} = 8
n2+4n+3=8n n^2 + 4n + 3 = 8n
n2−4n+3=0 n^2 - 4n + 3 = 0
İçler dışlar çarpımı yapılarak ikinci dereceden bir denklem elde edilir.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bul ve topla.
(n−3)(n−1)=0 (n-3)(n-1) = 0
n1=3,n2=1 n_1 = 3, \quad n_2 = 1
Toplam=3+1=4\text{Toplam} = 3 + 1 = 4
Bulunan köklerin doğal sayı tanımına uygunluğu kontrol edilir (her ikisi de uygundur) ve toplanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel sadeleştirmeleri ve ikinci dereceden denkleme dönüşen ifadelerin çözümü.

İpuçları

1
Pay kısmını (n+1)!(n+1)! parantezine, payda kısmını n!n! parantezine alarak sadeleştirme yapmayı deneyin.
2
Sadeleştirme sonucunda (n+1)(n+3)n=8\frac{(n+1)(n+3)}{n} = 8 denklemini elde etmelisiniz.
3
Elde edilen ifadeyi düzenleyerek n2−4n+3=0n^2 - 4n + 3 = 0 ikinci dereceden denklemini çözün.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek (n yerine değerler vererek) eşitliğin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir, ancak köklerin toplamı sorulduğu için bu yöntemle eksik kök bulma riski vardır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 140Soru →

Küçükten büyüğe doğru sıralanmış nn tane ardışık çift tam sayıdan oluşan bir sayı dizisinde; en büyük 3 terimin toplamı, en küçük 3 terimin toplamından 78 fazladır. Bu sayı dizisinin tüm terimlerinin toplamı 400 olduğuna göre, dizinin en büyük terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Dizinin en büyük terimi 40'tır.
Soruda verilen 'son 3 terim ve ilk 3 terim farkı' ilişkisinden dizinin eleman sayısı (n=16n=16) bulunur. Daha sonra ardışık sayılar toplam formülü ve terimler arası artış miktarı kullanılarak kurulan denklem sisteminin çözümünden en büyük terim 40 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini ve ilk/son 3'lü grupları genel terim cinsinden ifade et.
İlk terim xx olsun. Terimler: x,x+2,...,x+2(n−1)x, x+2, ..., x+2(n-1). En küçük 3'lü: x,x+2,x+4x, x+2, x+4. En büyük 3'lü: x+2n−2,x+2n−4,x+2n−6x+2n-2, x+2n-4, x+2n-6.
Problemi çözmek için değişkenler atanmalı ve gruplar matematiksel olarak tanımlanmalıdır.
2
Verilen fark bilgisini kullanarak terim sayısı nn'i bul.
Fark = 3x+6n−12−(3x+6)=6n−183x + 6n - 12 - (3x + 6) = 6n - 18. Denklem: 6n−18=78⇒6n=96⇒n=166n - 18 = 78 \Rightarrow 6n = 96 \Rightarrow n = 16.
İki grubun toplamları farkı, terim sayısına bağlı bir denklem oluşturur.
3
Toplam formülünü kullanarak ilk ve son terim arasındaki ilişkiyi bul.
Genel toplam = n2(ilk+son)=400\frac{n}{2}(\text{ilk} + \text{son}) = 400. n=16n=16 için: 8(x+xson)=400⇒x+xson=508(x + x_{son}) = 400 \Rightarrow x + x_{son} = 50.
Ardışık sayıların toplam formülü, uç değerlerin toplamını verir.
4
Son terim ile ilk terim arasındaki ilişkiyi kullanarak denklem sistemini çöz.
xson=x+(16−1)×2⇒xson=x+30x_{son} = x + (16-1) \times 2 \Rightarrow x_{son} = x + 30. Denklemde yerine yaz: (xson−30)+xson=50⇒2xson=80⇒xson=40(x_{son} - 30) + x_{son} = 50 \Rightarrow 2x_{son} = 80 \Rightarrow x_{son} = 40.
İki bilinmeyenli iki denklemden son terim elde edilir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde alt grupların toplamları arasındaki fark, terim sayısına bağlı doğrusal bir ilişki oluşturur.

İpuçları

1
En küçük terime xx diyerek, ilk 3 terimi (x,x+2,x+4x, x+2, x+4) ve son 3 terimi (nn cinsinden) yazmayı dene.
2
Son üç terim ile ilk üç terim arasındaki farkı yazarken terim terim çıkarma yaparsan (xson−xilkx_{son}-x_{ilk} gibi), her bir farkın 2(n−1)2(n-1) değil, grup kaymasından dolayı farklı bir sabit olduğunu göreceksin.

Daha Fazla Pratik

Ardışık tek sayılar için benzer bir fark ve toplam sorusu çözerek örüntü mantığını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Simetri Yöntemi: Verilen fark 78, 3 parça terimden geliyor. Her bir karşılıklı terim farkı (büyükten küçüğe) eşittir. (Sn−S1)+(Sn−1−S2)+(Sn−2−S3)=78(S_n - S_1) + (S_{n-1} - S_2) + (S_{n-2} - S_3) = 78. Bu farkların her biri 2(n−3)2(n-3) kadardır. Buradan 3×2(n−3)=783 \times 2(n-3) = 78 diyerek nn doğrudan bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 7 / 16Sonraki
Temel Kavramlar ve Sayılar — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 7 | Examkin