Temel Kavramlar ve Sayılar

$x$ ve $y$ aralarında asal pozitif tam sayılardır.

x + \frac{60}{y} = 12

olduğuna göre, $x$ 'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

18

24

35

41

53

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

x'in alabileceği değerlerin toplamı 35'tir.

Verilen denklemde x'in pozitif tam sayı olması için y'nin 5'ten büyük ve 60'ı bölen bir sayı olması gerekir. Olası (x,y) ikilileri incelendiğinde; (2,6) ve (6,10) gibi çiftlerin ortak bölenleri olduğu için aralarında asal değildir. Ancak (7,12), (8,15), (9,20) ve (11,60) çiftleri aralarında asaldır. Bu durumda x'in alabileceği değerler 7, 8, 9 ve 11 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitlikte x'i yalnız bırakarak y'nin özelliklerini belirle.

x = 12 - \frac{60}{y}

x'in tam sayı olabilmesi için y'nin 60'ı tam bölmesi gerekir.

2

x ve y'nin pozitif tam sayı olması şartını kullanarak y'nin alabileceği değer aralığını bul.

x > 0 \Rightarrow 12 - \frac{60}{y} > 0 \Rightarrow 12 > \frac{60}{y} \Rightarrow y > 5

x pozitif bir tam sayı olduğu için 0 veya negatif olamaz.

3

y için 5'ten büyük olan 60'ın bölenlerini listele ve her biri için x değerini hesapla.

y adayları: 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Buna karşılık gelen x değerleri sırasıyla: 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Tüm potansiyel (x, y) ikililerini oluşturmak için.

4

Her ikili için 'aralarında asal' olma şartını kontrol et.

Geçerli ikililer: (7, 12), (8, 15), (9, 20), (11, 60).

Soruda verilen 'aralarında asal' şartını sağlamayanları elemek için.

5

Şartı sağlayan x değerlerini topla.

7 + 8 + 9 + 11 = 35

Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Aralarında Asal Sayılar

İpuçları

1

Denklemde x'i yalnız bırakın:

x = 12 - \frac{60}{y}

. x'in pozitif tam sayı olması için y hangi değerleri alabilir?

2

y sayısı 60'ın böleni olmalıdır, ancak x > 0 olduğu için

\frac{60}{y} < 12

şartı sağlanmalıdır. Yani y > 5 olmalıdır.

3

Bulduğunuz (x, y) çiftlerinin her biri için EBOB(x, y) = 1 olup olmadığını kontrol edin. Örneğin x=2 ve y=6 için EBOB 2'dir, bu yüzden bu çözüm geçersizdir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla 'a ve b aralarında asal, a.b = 72 ise a+b kaç farklı değer alır?' sorusu çözülebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 142Soru →

n

pozitif bir tam sayı olmak üzere,

\frac{(n+2)!}{n!} - \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 30

eşitliği veriliyor. Buna göre,

n

kaçtır?

13

14

15

16

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Verilen denklem çözüldüğünde n değeri 14 olarak bulunur.

Verilen eşitlikte faktöriyeller açılıp sadeleştirildiğinde

(n+2)(n+1)

ve

(n+1)n

terimleri elde edilir. Bu iki terimin farkı alındığında

2n+2=30

denklemi bulunur ve buradan

n=14

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Faktöriyel ifadelerini sadeleştirmek için büyük olan faktöriyeli küçük olana benzeterek açalım.

\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!} - \frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!} = 30

Faktöriyel sadeleştirmelerinde temel kural, büyük ifadeyi küçüğe kadar açıp yok etmektir.

2

Sadeleşen terimleri (pay ve paydadaki ortak faktöriyelleri) yok edelim.

(n+2)(n+1) - (n+1)n = 30

Kesirli ifadelerden kurtularak cebirsel bir denklem elde etmek için.

3

Ortak çarpan parantezine alarak veya ifadeleri açarak denklemi düzenleyelim.

(n+1) \cdot [(n+2) - n] = 30 \Rightarrow (n+1) \cdot 2 = 30

Denklemi en basit haline getirerek n değişkenini yalnız bırakmak için.

4

Elde edilen birinci dereceden denklemi çözelim.

2(n+1) = 30 \Rightarrow n+1 = 15 \Rightarrow n = 14

Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel sadeleştirmelerinde

(n+2)! = (n+2)(n+1)n!

gibi açılımlar kullanılarak, kesirli ifadeler polinomlara dönüştürülür.

Soru 143Soru →

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere; $1$ 'den $n$ 'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı $A$ , $15$ 'ten $n$ 'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı $B$ ile ifade edilmektedir.

$A + B = 1535$ olduğuna göre, $n$ değeri kaçtır?

39

40

41

42

44

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Doğru cevap,

n

değerinin

40

olduğunu gösteren seçenektir.

1

'den

n

'ye kadar olan sayıların toplamı (

A

) ile

15

'ten

n

'ye kadar olanların toplamı (

B

) arasındaki fark, baştaki eksik terimlerin (

1

'den

14

'e kadar) toplamıdır. Bu fark

105

olarak bulunur. Soruda verilen

A+B=1535

eşitliği ile

A-B=105

eşitliği taraf tarafa çözüldüğünde

A=820

bulunur.

\frac{n(n+1)}{2}=820

denkleminden

n=40

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

A

ve

B

toplamlarını açık bir şekilde tanımla.

A = 1 + 2 + \dots + 14 + 15 + \dots + n

ve

B = 15 + \dots + n

Toplamlar arasındaki ilişkiyi görmek için ifadeleri açmak gerekir.

2

A

ve

B

arasındaki farkı bul.

A - B = 1 + 2 + \dots + 14

A

toplamı,

B

toplamından ilk 14 sayının toplamı kadar fazladır.

3

İlk 14 sayının toplamını hesapla.

\frac{14 \cdot 15}{2} = 105

. Yani,

A - B = 105

.

Gauss toplam formülü (

\frac{n(n+1)}{2}

) kullanılarak fark hesaplanır.

4

Elde edilen denklemleri kullanarak

A

değerini bul.

Verilen:

A + B = 1535

. Bulunan:

A - B = 105

. Taraf tarafa toplanırsa:

2A = 1640 \Rightarrow A = 820

.

İki bilinmeyenli denklem sistemi çözülerek

A

toplamına ulaşılır.

5

A = \frac{n(n+1)}{2}

formülünü kullanarak

n

'yi bul.

\frac{n(n+1)}{2} = 820 \Rightarrow n(n+1) = 1640

.

40 \cdot 41 = 1640

olduğundan

n = 40

.

Ardışık sayıların toplam formülü tersine uygulanarak son terim bulunur.

Anahtar Kavram

Sonlu Toplamlar ve Gauss Yöntemi

İpuçları

1

A

toplamı

1, 2, \dots, n

sayılarından,

B

toplamı ise

15, 16, \dots, n

sayılarından oluşur.

A

ve

B

arasındaki farkı bulmaya çalışın.

2

A - B

işlemi,

1

'den

14

'e kadar olan ardışık sayıların toplamına eşittir. Bu toplamı hesaplayıp elinizdeki

A + B

denklemiyle birlikte kullanın.

3

A - B = \frac{14 \cdot 15}{2} = 105

. Elinizde

A+B=1535

ve

A-B=105

var. Bu iki denklemi taraf tarafa toplayarak önce

A

'yı, sonra

n

'yi bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, çift sayıların toplamı üzerinden kurgulanan soruları inceleyin.

Alternatif Yöntem

A

ve

B

yerine doğrudan Gauss formülleri yazılabilir:

\frac{n(n+1)}{2} + (\frac{n(n+1)}{2} - 105) = 1535

. Buradan

n(n+1) - 105 = 1535 \Rightarrow n(n+1) = 1640

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 144Soru →

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $3n+1$ ve $5n+4$ sayıları aralarında asal değildir.

Buna göre, $n$ sayısının alabileceği iki basamaklı en küçük iki farklı değerin toplamı kaçtır?

39

53

32

25

11

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

n sayısının alabileceği en küçük iki basamaklı değerlerin toplamı 39'dur.

Verilen

3n+1

ve

5n+4

sayılarının aralarında asal olmaması, bu iki sayının ortak bir asal bölene sahip olduğu anlamına gelir. Öklid algoritması adımları (

5n+4 - (3n+1) = 2n+3

;

3n+1 - (2n+3) = n-2

;

2n+3 - 2(n-2) = 7

) takip edildiğinde bu ortak bölenin sadece 7 olabileceği görülür. Dolayısıyla

n-2

sayısı 7'nin katı olmalıdır (

n = 7k+2

). Bu şartı sağlayan iki basamaklı en küçük tam sayılar 16 ve 23 olup toplamları 39'dur.

Adım Adım Çözüm

1

İki sayının aralarında asal olmama şartını belirlemek.

EBOB(5n+4, 3n+1) > 1

Aralarında asal olmayan sayıların 1'den büyük en az bir ortak böleni olmalıdır.

2

Öklid algoritması kullanarak EBOB ifadesini sadeleştirmek.

EBOB(5n+4, 3n+1) = EBOB(3n+1, 2n+3) = EBOB(2n+3, n-2) = EBOB(n-2, 7)

Sayılar arasındaki fark veya katlar çıkarılarak EBOB'un değişmemesi kuralı uygulanmıştır.

3

Ortak bölenin sağlanması için n üzerindeki kısıtı bulmak.

n-2 = 7k \Rightarrow n = 7k+2

EBOB(n-2, 7) > 1

olması için

n-2

ifadesi 7'nin katı olmalıdır.

4

İki basamaklı en küçük n değerlerini tespit etmek.

k=1 \Rightarrow n=9

(tek basamaklı),

k=2 \Rightarrow n=16

(iki basamaklı),

k=3 \Rightarrow n=23

(iki basamaklı)

k

tam sayı değerleri verilerek iki basamaklı ilk iki değer bulunur.

5

Bulunan değerleri toplamak.

16 + 23 = 39

Soruda istenen iki basamaklı en küçük iki farklı değerin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki sayının aralarında asal olmaması, en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) 1'den büyük olması anlamına gelir. Polinom şeklindeki ifadelerin EBOB'u bulunurken Öklid algoritması (

EBOB(a, b) = EBOB(b, a-kb)

) en etkili yöntemdir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soru olarak,

2n+1

ve

3n+2

sayılarının her

n

pozitif tam sayısı için neden aralarında asal olduğunu ispatlayınız.

Alternatif Yöntem

n yerine küçük tam sayı değerleri vererek deneme yapılabilir: n=2 için (7, 14) aralarında asal değildir. n=9 için (28, 49) aralarında asal değildir. Artış miktarının 7 olduğu görülerek n=16 ve n=23 değerlerine ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 145Soru →

a, b

ve

c

sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

a^3 \cdot b^2 < 0

a \cdot b > 0

a + c = 0

eşitsizlikleri ve eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

\frac{a - c}{b} > 0

a \cdot c > 0

b + c < 0

a > b

c < 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{a - c}{b} > 0$

Cevap

\frac{a - c}{b} > 0

ifadesi kesinlikle doğrudur.

Verilen koşullardan

a

'nın negatif,

b

'nin negatif ve

c

'nin pozitif olduğu tespit edilir. Doğru seçenekteki

\frac{a-c}{b}

ifadesinde; pay kısmı

(a-c)

iki negatif terimin toplamı gibi davranarak negatif olur. Payda (

b

) zaten negatiftir. İki negatif sayının bölümü daima pozitiftir (

>0

). Bu nedenle bu seçenek kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitsizliği analiz et:

a^3 \cdot b^2 < 0

.

Bir gerçel sayının karesi (

b^2

) daima pozitiftir. Çarpımın negatif olması için

a^3 < 0

olmalıdır, bu da

a < 0

(negatif) demektir.

İşaret çarpımı kuralı.

2

İkinci eşitsizliği analiz et:

a \cdot b > 0

.

a

negatiftir. Sonucun pozitif olması için

b

de negatif (

b < 0

) olmalıdır.

Negatif ile negatifin çarpımı pozitiftir.

3

Üçüncü eşitliği analiz et:

a + c = 0

.

c = -a

olur.

a

negatif bir sayı olduğuna göre, önündeki eksi ile birlikte

c

pozitif (

c > 0

) olur.

Eşitlikten işaret tespiti.

4

Bulunan işaretleri seçeneklerdeki ifadede yerine koy.

İstenen seçenek:

\frac{a - c}{b}

. Pay:

a

(negatif) -

c

(pozitif) = Negatif. Payda:

b

(negatif). Sonuç: Negatif / Negatif = Pozitif.

Kesinlik analizi.

Anahtar Kavram

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Özellikleri

İpuçları

1

Önce

a^3 \cdot b^2 < 0

eşitsizliğinden başlayın.

b^2

ifadesinin işareti daima nedir?

2

b^2

pozitif olduğuna göre

a^3

negatif olmalıdır, bu da

a

'nın işaretini verir. Ardından

a \cdot b > 0

eşitsizliğini kullanarak

b

'yi bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

x^2 \cdot y > 0

ve

y - z < 0

gibi koşulların verildiği soruları çözün.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde tahmini değerler vererek (örneğin

a=-2

) diğer değişkenlerin alabileceği değerleri (

c=2

gibi) test edebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 146Soru →

x

ve

y

pozitif tam sayılar olmak üzere,

45! = y \cdot 12^x

eştliği veriliyor. Buna göre,

x

'in alabileceği en büyük değer kaçtır?

19

20

21

22

41

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

x'in alabileceği en büyük değer 20'dir.

Soruda 45! sayısının içinde kaç adet 12 çarpanı olduğu sorulmaktadır.

12 = 2^2 \cdot 3

olduğundan, her bir 12 çarpanı oluşturmak için iki adet 2 ve bir adet 3 çarpanına ihtiyaç vardır. 45! içinde toplam 21 adet 3 çarpanı ve 41 adet 2 çarpanı bulunur. 41 adet 2 ile en fazla 20 adet

2^2

çifti oluşturulabilir (

41/2 = 20,5

). 21 adet 3 çarpanı olsa da, 2'ler tükendiği için en fazla 20 adet 12 sayısı oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Taban sayısını asal çarpanlarına ayır.

12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1

Faktöriyel içindeki çarpanları sayabilmek için tabanın asal olması gerekir.

2

Denklemi asal çarpanlar cinsinden yeniden yaz.

45! = y \cdot (2^2 \cdot 3)^x = y \cdot 2^{2x} \cdot 3^x

Her bir asal çarpanın kaçıncı kuvvetinin gerektiğini belirlemek için.

3

45! içindeki 3 çarpanının sayısını bul (sürekli bölme yöntemi).

45/3 = 15

,

15/3 = 5

,

5/3 = 1

. Toplam:

15+5+1 = 21

adet.

3^x

ifadesi için

x \le 21

olmalıdır.

4

45! içindeki 2 çarpanının sayısını bul.

45/2 = 22

,

22/2 = 11

,

11/2 = 5

,

5/2 = 2

,

2/2 = 1

. Toplam:

22+11+5+2+1 = 41

adet.

2'nin kuvvetleri sınırlayıcı olabilir.

5

Sınırlayıcı bileşeni belirle.

Bize

2^{2x}

lazım. Elimde 41 tane 2 var.

2x \le 41 \implies x \le 20,5

. Yani

x

en çok 20 olabilir.

x değeri hem

x \le 21

hem de

x \le 20

şartını sağlamalıdır. Küçük olan değer (20) geçerlidir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel İçindeki Asal Çarpan Sayısı (Legendre Formülü)

İpuçları

1

12 sayısı asal değildir. Önce

12 = 2^2 \cdot 3

şeklinde asal çarpanlarına ayırmalısınız.

2

45! sayısının içinde kaç tane 2 ve kaç tane 3 çarpanı olduğunu 'sürekli bölme' yöntemiyle ayrı ayrı hesaplayın.

3

12^x = 2^{2x} \cdot 3^x

olduğu için, bulduğunuz 2 çarpanı sayısını 2'ye bölerek

x

'in üst sınırını kontrol edin. Küçük olan değer cevaptır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

40! = A \cdot 18^n

sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz (Burada da

18 = 2 \cdot 3^2

olduğu için 3'ün karesine dikkat etmelisiniz).

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 147Soru →

Pozitif iki tam sayının $1$ sayısından başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Bu tanıma göre, aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?

12

ve

21

20

ve

35

1

ve

63

14

ve

35

22

ve

55

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1$ ve $63$

Cevap

1

ve

63

çifti aralarında asaldır.

Doğru cevap olan

1

ve

63

çiftinde,

1

sayısı her pozitif tam sayı ile aralarında asal olma özelliğine sahiptir. Ortak bölenleri sadece

1

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Aralarında asal sayıların tanımını hatırla.

İki sayının aralarında asal olması için en büyük ortak bölenlerinin (EBOB)

1

olması gerekir.

Tanım gereği, ortak bölenlerin sadece

1

olması şarttır.

2

Seçeneklerdeki sayıların ortak bölenlerini incele.

12

ve

21

(

3

ile bölünür),

20

ve

35

(

5

ile bölünür),

14

ve

35

(

7

ile bölünür),

22

ve

55

(

11

ile bölünür).

Bu çiftlerin

1

dışında ortak bölenleri bulunduğu için aralarında asal olamazlar.

3

1

sayısının özelliğini değerlendir.

1

sayısı ile

63

sayısının tek ortak böleni

1

'dir.

1

sayısı, bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

Anahtar Kavram

Aralarında asallık kavramı, sayıların asal olmasını gerektirmez; sadece ortak bölenlerinin yalnızca 1 olmasını gerektirir.

İpuçları

1

Aralarında asal sayıların tek ortak böleni

1

olmalıdır.

2

Sayıların kendilerinin asal olması şart değildir; ortak bölenlerini kontrol edin.

3

1

sayısının bütün pozitif tam sayılarla aralarında asal olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Ardışık sayıların her zaman aralarında asal olduğunu biliyor muydunuz? Örneğin 8 ve 9'u inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayıları asal çarpanlarına ayırarak ortak çarpan olup olmadığını kontrol edebilirsiniz. Ortak asal çarpanı olmayan sayılar aralarında asaldır.

Tahmini Süre:45s

Soru 148Soru →

a, b

ve

c

pozitif tam sayılar olmak üzere,

(3a + 5b) \cdot (c^2 + c + 1) = 14! + 2024

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

a \cdot b

tek sayıdır

c

çift sayıdır

a + b

tek sayıdır

a^2 + b^2

çift sayıdır

a + c

çift sayıdır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a^2 + b^2$ çift sayıdır

Cevap

a^2 + b^2

ifadesi daima çift sayıdır.

Eşitliğin sağ tarafı çift sayıdır. Sol taraftaki

c^2+c+1

çarpanı ise daima tektir. Bu durumda

(3a+5b)

çarpanı çift olmak zorundadır. Katsayılar tek olduğu için, toplamın çift olması

a

ve

b

'nin aynı karakterde (ikisi de tek veya ikisi de çift) olmasını gerektirir. Eğer

a

ve

b

aynı karakterde ise,

a^2

ve

b^2

de aynı karakterde olur ve toplamları (

a^2+b^2

) daima çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin tek/çift durumunu (paritesini) incele.

14!

çift,

2024

çift olduğu için toplamları (Çift + Çift) daima Çift sayıdır.

Faktöriyel kavramı ve toplama işleminde parite kuralı.

2

Eşitliğin sol tarafındaki ikinci çarpanı (

c^2 + c + 1

) analiz et.

c^2 + c = c(c+1)

ifadesi ardışık iki sayının çarpımı olduğu için daima çifttir. O halde

c^2 + c + 1

(Çift + 1) daima Tek sayıdır.

Ardışık sayıların çarpım özelliği.

3

Sol tarafın çarpım sonucunun çift olması için gereken koşulu belirle.

Çarpım sonucu Çift ve ikinci çarpan Tek olduğuna göre, birinci çarpan

(3a + 5b)

mutlaka Çift olmalıdır.

Çift

\times

Tek = Çift kuralı.

4

3a + 5b

ifadesinden

a

ve

b

arasındaki ilişkiyi çıkar.

Katsayılar (3 ve 5) tek olduğu için, sonucun çift olması ancak

a

ve

b

'nin aynı pariteye (ikisi de tek veya ikisi de çift) sahip olmasıyla mümkündür.

Tek

\times

Tek + Tek

\times

Tek = Çift veya Tek

\times

Çift + Tek

\times

Çift = Çift.

5

Seçenekleri bu bilgiye göre değerlendir.

a

ve

b

aynı paritede ise kareleri toplamı (

a^2 + b^2

) daima çifttir (Tek+Tek=Çift veya Çift+Çift=Çift).

Seçenek analizi.

Anahtar Kavram

İki tam sayının katsayıları tek sayı ise ve toplamları çift ise, bu sayılar aynı pariteye (ikisi de tek veya ikisi de çift) sahiptir.

İpuçları

1

Eşitliğin sağ tarafındaki

14! + 2024

işleminin sonucunun tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyerek başlayın.

2

c^2 + c

ifadesini

c(c+1)

şeklinde düşünün. Ardışık iki tam sayının çarpımı her zaman çifttir.

3

Bir çarpma işleminin sonucu çift ve çarpanlardan biri tek (

c^2+c+1

) ise, diğer çarpan (

3a+5b

) mutlaka çift olmalıdır.

3a+5b

çift ise

a

ve

b

nasıl sayılar olmalıdır?

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 149Soru →

x

bir tam sayı olmak üzere,

\sqrt{x^2 - 8x + 48}

ifadesinin bir rasyonel sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $x$ 'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

8

16

17

19

32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

x

değerlerinin toplamı 16'dır.

Verilen köklü ifadenin rasyonel olabilmesi için kök içinin bir tam sayının karesi olması gerekir (

k^2

). İfade

(x-4)^2 + 32 = k^2

şeklinde düzenlendiğinde,

k^2 - (x-4)^2 = 32

elde edilir. Bu iki kare farkı,

(k-(x-4))(k+(x-4))=32

biçiminde yazılır. Çarpımları 32 olan ve toplamları çift sayı olan (aynı pariteli) çarpan çiftleri (2, 16) ve (4, 8)'dir. Bu çiftlerden elde edilen

x-4

değerleri

\pm 7

ve

\pm 2

olur. Buradan

x

değerleri 11, -3, 6 ve 2 bulunur. Toplamları 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1

İfadeyi tam kareye tamamlama yöntemiyle düzenle.

\sqrt{(x-4)^2 + 32} = k

(

k \in \mathbb{Q}

)

Kök içindeki ifadenin rasyonel olabilmesi için, içerideki sayının tam kare olması gerekir (çünkü

x

tam sayı, dolayısıyla kök içi tam sayıdır).

2

Eşitliği düzenleyerek iki kare farkı formatına getir.

k^2 - (x-4)^2 = 32 \Rightarrow (k - (x-4)) \cdot (k + (x-4)) = 32

Çarpanlarına ayırarak tam sayı çözümlerini bulmak için.

3

Çarpımı 32 olan ve aynı pariteye (tek-çiftlik durumuna) sahip çarpan çiftlerini belirle.

Çarpanların toplamı

2k

(çift) olduğu için her iki çarpan da çift olmalıdır:

(2, 16)

ve

(4, 8)

.

Tek ve çift sayıların toplamı tek, çarpımı çift olurdu; ancak burada toplamın

2k

olması her iki çarpanın da çift olmasını zorunlu kılar.

4

Her çarpan çifti için

x

değerlerini hesapla.

1. Durum

(2, 16)

:

2(x-4) = 16-2 \Rightarrow x=11

veya

2(x-4) = 2-16 \Rightarrow x=-3

. 2. Durum

(4, 8)

:

2(x-4) = 8-4 \Rightarrow x=6

veya

2(x-4) = 4-8 \Rightarrow x=2

.

Y = x-4

dersek, çarpanlar

k-Y

ve

k+Y

olur. Farkları

2Y

'dir.

5

Bulunan tüm

x

değerlerini topla.

11 + (-3) + 6 + 2 = 16

Soruda istenen nihai sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Tam Kareye Tamamlama ve İki Kare Farkı

İpuçları

1

Kök dışına rasyonel çıkabilmesi için, kök içindeki ifadenin bir tam sayının karesine (

k^2

) eşit olması gerekir.

2

x^2 - 8x + 48

ifadesini tam kareye tamamlayın:

(x-4)^2 + 32 = k^2

.

3

k^2 - (x-4)^2 = 32

eşitliğini iki kare farkı olarak yazıp çarpanlarına ayırın. Çarpanların ikisinin de çift sayı olması gerektiğini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

\sqrt{n^2 + 12n + 12}

ifadesini tam sayı yapan

n

değerlerini bulunuz.

Alternatif Yöntem

Denklem

x^2 - 8x + (48-k^2) = 0

olarak düşünülüp, diskriminantın tam kare olması şartından da gidilebilir ancak bu yol daha karmaşıktır.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 150Soru →

Üç basamaklı $4AB$ doğal sayısı, iki basamaklı $BA$ doğal sayısının $13$ katından $7$ fazladır.

Buna göre, $A + B$ toplamı kaçtır?

4

5

6

7

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5'tir.

Verilen eşitlik

4AB = 13 \times BA + 7

şeklinde kurulup, sayılar

100A+10B+C

mantığıyla çözümlendiğinde

131 = A + 43B

denklemi elde edilir. Bu denklemi sağlayan rakamlar

A=2

ve

B=3

'tür, toplamları 5 eder.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadeyi matematiksel denkleme dök.

4AB = 13 \times BA + 7

Sözel ifade matematiksel eşitliğe çevrilir.

2

Sayıları çözümleyerek basamak değerlerine ayır.

400 + 10A + B = 13(10B + A) + 7

4AB

sayısı

400 + 10A + B

ve

BA

sayısı

10B + A

şeklinde çözümlenir.

3

Parantezi dağıt ve denklemi düzenle.

400 + 10A + B = 130B + 13A + 7 \Rightarrow 393 = 3A + 129B

Bilinenler ve bilinmeyenler düzenlenerek sadeleştirme yapılır.

4

Denklemin her iki tarafını 3'e böl ve A, B rakamlarını bul.

131 = A + 43B

.

B=3

için

131 = A + 129 \Rightarrow A=2

.

A ve B birer rakam olduğu için

43B

ifadesi 131'e yakın olmalıdır. Bu koşulu sağlayan tek değer

B=3

'tür.

5

A ve B değerlerini topla.

A + B = 2 + 3 = 5

Soruda istenen sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Doğal sayıların basamak değerlerine göre çözümlenmesi (Örn:

ABC = 100A + 10B + C

).

Soru 151Soru →

n

bir doğal sayı olmak üzere,

\frac{n! - (n-1)!}{(n+1)!} = \frac{1}{6}

eşitliğini sağlayan farklı

n

değerlerinin toplamı kaçtır?

2

3

5

6

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitliği sağlayan değerler 2 ve 3 olup, toplamları 5'tir.

Verilen ifadede pay ve payda

(n-1)!

parantezinde düzenlendiğinde ifade

\frac{n-1}{n(n+1)} = \frac{1}{6}

haline gelir. Buradan elde edilen

n^2 - 5n + 6 = 0

denkleminin kökleri

n=2

ve

n=3

'tür. Bu değerlerin toplamı 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmındaki ifadeyi en küçük faktöriyel parantezine al.

n! - (n-1)! = n(n-1)! - 1(n-1)! = (n-1)!(n-1)

Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için terimler çarpım durumuna getirilmelidir.

2

Payda kısmındaki ifadeyi pay ile sadeleşecek şekilde aç.

(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!

Paydaki

(n-1)!

terimini yok etmek için payda benzetilir.

3

Kesri sadeleştir ve denklemi kur.

\frac{(n-1)!(n-1)}{(n+1)n(n-1)!} = \frac{n-1}{n(n+1)} = \frac{1}{6}

Ortak çarpanlar sadeleştirilerek cebirsel denklem elde edilir.

4

İçler dışlar çarpımı yaparak ikinci dereceden denklemi oluştur ve kökleri bul.

6(n-1) = n^2 + n \Rightarrow 6n - 6 = n^2 + n \Rightarrow n^2 - 5n + 6 = 0

. Kökler:

(n-3)(n-2)=0 \Rightarrow n=3

ve

n=2

.

n

değerlerini bulmak için denklem çözülür.

5

Bulunan değerlerin toplamını hesapla.

2 + 3 = 5

Soruda değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Sadeleştirme ve İkinci Dereceden Denklemler

İpuçları

1

İfadedeki tüm terimleri, en küçük faktöriyel olan

(n-1)!

cinsinden yazmaya çalışın.

2

Payı

(n-1)!

parantezine aldığınızda

(n-1)

çarpanı, paydayı açtığınızda ise

(n+1)n

çarpanı kalacaktır.

3

Sadeleştirme sonrası

\frac{n-1}{n^2+n} = \frac{1}{6}

denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer sadeleştirme mantığı içeren permütasyon formülü soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine şıklardaki veya küçük tam sayıları deneyerek de gidilebilir. Örneğin

n=2

için

\frac{2-1}{6}=\frac{1}{6}

sağlar.

n=3

için

\frac{6-2}{24}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}

sağlar.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 152Soru →

Sıfırdan farklı $x, y$ ve $z$ gerçel sayıları için aşağıdaki üç koşul sağlanmaktadır:

I. $x + y$ toplamı bir rasyonel sayıdır.
II. $y \cdot z$ çarpımı bir rasyonel sayıdır.
III. $x \cdot z$ çarpımı bir irrasyonel sayıdır.

Buna göre $x, y$ ve $z$ sayılarının ait oldukları sayı kümeleri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

x

rasyonel,

y

ve

z

irrasyonel sayıdır.

y

rasyonel,

x

ve

z

irrasyonel sayıdır.

z

rasyonel,

x

ve

y

irrasyonel sayıdır.

x, y

ve

z

irrasyonel sayılardır.

x, y

ve

z

rasyonel sayılardır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x, y$ ve $z$ irrasyonel sayılardır.

Cevap

Her üç sayı da (

x, y

ve

z

) irrasyonel olmak zorundadır.

Verilen öncüllerden yola çıkarak 'olmayana ergi' (proof by contradiction) yöntemi uygulandığında; herhangi bir sayının rasyonel olduğu varsayımı, diğer sayıların da rasyonel olmasını gerektirir. Bu durum, üçüncü öncüldeki (

x \cdot z

irrasyoneldir) koşuluyla çelişir. Dolayısıyla, bu zincirleme mantık gereği

x, y

ve

z

sayılarının tamamı irrasyonel kümesine ait olmak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1

III. öncülü analiz et.

x \cdot z

irrasyoneldir.

Bu bilgi,

x

ve

z

'nin aynı anda rasyonel olamayacağını, hatta en az birinin irrasyonel olması gerektiğini gösterir.

2

x

'in rasyonel olduğunu varsayarak çelişki ara.

Eğer

x \in \mathbb{Q}

ise, I. öncülden (

x+y \in \mathbb{Q}

) dolayı

y

de rasyonel olmak zorundadır. Eğer

y \in \mathbb{Q}

(ve

y \neq 0

) ise, II. öncülden (

y \cdot z \in \mathbb{Q}

) dolayı

z

de rasyonel olmak zorundadır.

İki rasyonel sayının toplamı ve çarpımı rasyoneldir. Bir rasyonel ile bir irrasyonelin toplamı/çarpımı (0 hariç) irrasyoneldir.

3

Varsayımın sonucunu III. öncülle karşılaştır.

Eğer

x, y, z

hepsi rasyonel olursa,

x \cdot z

rasyonel olur. Ancak III. öncül

x \cdot z

'nin irrasyonel olduğunu söylüyor.

Bu bir çelişkidir. Demek ki

x

rasyonel olamaz. Yani

x

irrasyoneldir.

4

x

'in irrasyonel olduğu bilgisini kullanarak diğerlerini bul.

x

irrasyonel ise,

x+y

'nin rasyonel olması için

y

irrasyonel olmalıdır (örneğin

y = q - x

).

y

irrasyonel ise (ve

y \neq 0

),

y \cdot z

'nin rasyonel olması için

z

irrasyonel olmalıdır (örneğin

z = p/y

).

İrrasyonel bir sayı ile rasyonel bir sayının toplamı irrasyoneldir. İrrasyonel bir sayı ile sıfırdan farklı bir rasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir.

5

Sonuçları birleştir.

x, y

ve

z

'nin hepsi irrasyonel olmak zorundadır.

Çelişki yöntemiyle tek tutarlı seçeneğin bu olduğu ispatlanmıştır.

Anahtar Kavram

İrrasyonel Sayılarla İşlemlerde Kapalılık Özellikleri ve Olmayana Ergi (Çelişki) Yöntemi

İpuçları

1

Soruyu çözmek için 'olmayana ergi' yöntemini kullanmayı deneyin. Örneğin, '

x

rasyonel bir sayı olsaydı ne olurdu?' sorusuyla başlayın.

2

Eğer

x

rasyonel ise,

x+y

'nin rasyonel olması

y

hakkında ne söyler? Ardından bu

y

bilgisiyle

y \cdot z

koşuluna bakın.

3

x

rasyonel ise

y

de rasyonel olur.

y

rasyonel ise

z

de rasyonel olur. Üçü de rasyonel olursa

x \cdot z

çarpımı irrasyonel olabilir mi?

Daha Fazla Pratik

İki irrasyonel sayının toplamının rasyonel, çarpımının irrasyonel olduğu durumlar üzerine alıştırma yapın.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (Counter-example):

x, y, z

için rasyonel değerler vererek III. öncülün sağlanmadığını görünce şıkları eleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 153Soru →

ABC ve CBA üç basamaklı doğal sayılardır.

ABC - CBA = 594

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre,

A > B > C

koşulunu sağlayan kaç farklı ABC sayısı yazılabilir?

10

12

15

18

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15

Verilen

ABC - CBA = 594

eşitliği çözümlendiğinde

A - C = 6

bulunur. CBA üç basamaklı olduğundan

C \neq 0

şartı vardır. Bu şartı sağlayan (A, C) ikilileri (9,3), (8,2) ve (7,1)'dir. Her ikili için

A > B > C

eşitsizliğini sağlayan tam 5 adet B değeri bulunur. 3 farklı durum için toplam

3 \times 5 = 15

farklı sayı yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen eşitliği çözümleyerek (basamak analizi yaparak) sadeleştirin.

(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 594

\Rightarrow 99A - 99C = 594

\Rightarrow 99(A - C) = 594

Sayıları basamak değerlerine ayırmak, rakamlar arasındaki ilişkiyi bulmayı sağlar.

2

A ve C arasındaki farkı bulun.

A - C = \frac{594}{99} = 6

Bu fark, A ve C rakamlarının alabileceği değerleri kısıtlar.

3

CBA sayısının üç basamaklı olması (C ≠ 0) koşulunu gözeterek uygun (A, C) ikililerini belirleyin.

Olası (A, C) çiftleri: (9, 3), (8, 2) ve (7, 1). Not: (6, 0) çifti C=0 olduğu için elenir.

Üç basamaklı bir sayının yüzler basamağı 0 olamaz.

4

Her çift için

A > B > C

koşuluna uyan B rakamlarını sayın.

1. Durum (9, 3):

9 > B > 3

ise B = {4, 5, 6, 7, 8} (5 değer)
2. Durum (8, 2):

8 > B > 2

ise B = {3, 4, 5, 6, 7} (5 değer)
3. Durum (7, 1):

7 > B > 1

ise B = {2, 3, 4, 5, 6} (5 değer)

B rakamı A ile C arasında değer almalıdır.

5

Tüm olası durumları toplayın.

Toplam = 5 + 5 + 5 = 15 farklı ABC sayısı vardır.

Ayrık durumların toplam sayısı çözüm kümesini verir.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

İpuçları

1

Önce

ABC

ve

CBA

sayılarını

100A + 10B + C

ve

100C + 10B + A

şeklinde çözümleyerek fark işlemini yapınız.

2

Çıkarma işlemi sonucunda

99(A - C) = 594

eşitliğini bulacaksınız. Buradan

A

ve

C

arasındaki farkı belirleyiniz.

3

A - C = 6

olacaktır.

CBA

üç basamaklı olduğu için

C

sıfır olamaz. Bu kurala uyan

(A,C)

ikililerini yazıp, her biri için aradaki

B

rakamlarını sayınız.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol:

A-C=k

olduğunda,

A>B>C

koşulunu sağlayan

B

sayısı her zaman

k-1

tanedir. Geçerli

(A,C)

çifti sayısını bulup

(k-1)

ile çarpabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 154Soru →

Bir kamu kurumunun arşivinde 1'den 60'a kadar numaralandırılmış (1 ve 60 dahil) 60 adet dosya bulunmaktadır. Bir memur, bu dosyalar arasından numarası 60 ile aralarında asal olanları ayırarak 'İncelenecekler' rafına kaldırmıştır. Daha sonra, bir başka görevli bu raftaki dosyalardan numarası 7 ile aralarında asal olmayanları tespit edip raftan indirmiştir.

Buna göre, son durumda 'İncelenecekler' rafında kaç adet dosya kalmıştır?

12

13

14

15

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Rafta kalan dosya sayısı 14'tür.

Soruda iki aşamalı bir eleme işlemi vardır. İlk olarak 60 sayısının asal çarpanları olan 2, 3 ve 5'e bölünmeyen 1-60 arasındaki sayılar bulunur. Bu sayılar toplam 16 tanedir. İkinci aşamada ise bu 16 sayı içinden 7 ile aralarında asal olmayanlar, yani 7'nin katı olanlar çıkarılır. Bu grupta 7'nin katı olan sadece 7 ve 49 sayıları vardır. Dolayısıyla 16 dosyadan 2'si çıkarıldığında geriye 14 dosya kalır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk aşamada 1'den 60'a kadar olan sayılardan 60 ile aralarında asal olanların sayısını bulmak için Euler (Phi) fonksiyonu veya eleme yöntemi kullanılır.

60 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bu çarpanlara bölünmeyen sayılar seçilmelidir.

Aralarında asallık tanımı gereği, seçilen sayıların 2, 3 ve 5 çarpanlarını içermemesi gerekir.

2

60 ile aralarında asal olan sayıların adedini hesapla.

Formül: 60 * (1 - 1/2) * (1 - 1/3) * (1 - 1/5) = 60 * (1/2) * (2/3) * (4/5) = 16 adet sayı vardır.

Bu 16 sayı 'İncelenecekler' rafına ilk konulanlardır: {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59}.

3

İkinci aşamada, bu küme içinden 7 ile aralarında asal olmayan (yani 7'nin katı olan) sayıları tespit et.

Kümedeki 7'nin katları: 7 ve 49. (Diğer 7 katları olan 14, 21, 28... zaten ilk aşamada 2, 3 veya 5'e bölündüğü için elenmişti).

Sadece 7 ve 49 sayıları 7 ile aralarında asal değildir (ikisi de 7'ye tam bölünür).

4

İlk kümedeki eleman sayısından çıkarılacak sayıların adedini düş.

16 - 2 = 14.

Toplam 16 dosyadan 2 tanesi (7 ve 49 numaralılar) indirildi.

Anahtar Kavram

Euler Phi Fonksiyonu ve İçerme-Dışlama Prensibi

İpuçları

1

Önce 60 sayısının asal çarpanlarını (2, 3, 5) bulun ve 1-60 arasında bu çarpanlara bölünmeyen sayıların adedini hesaplayın.

2

Bulduğunuz bu sayılar (60 ile aralarında asal olanlar) arasından, 7 ile aralarında asal olmayanları yani 7'nin katlarını bulup çıkarmanız gerekir.

3

60 ile aralarında asal olan 16 sayı vardır. Bu sayılar içinde 7'nin katı olanlar sadece 7 ve 49'dur.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'x sayısı 30 ile aralarında asaldır ancak 11 ile aralarında asal değildir' koşulunu sağlayan sayıların bulunması sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm sayıları tek tek yazmak yerine Euler Phi fonksiyonu ile s(A) = 60(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5) = 16 bulunur. Bu kümedeki elemanlar 2, 3, 5'e bölünmez. 7 ile aralarında asal olmayanlar 7'nin katlarıdır. 60'a kadar 7'nin katları: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56. Bunlardan 2, 3 veya 5'e bölünenleri eleyince geriye {7, 49} kalır. 16 - 2 = 14.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 155Soru →

a, b

ve

c

birer tam sayı olmak üzere,

\frac{(a^2 + a + 1) \cdot b + 5}{c^2 + c + 1} = 2

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

b² + 2b + 3

a · b + c

a + b + c

b · (a + 1)

3b + 2c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b² + 2b + 3

Cevap

b² + 2b + 3 ifadesi daima çift sayıdır.

Verilen denklemde

a^2+a

ve

c^2+c

ifadeleri ardışık sayıların çarpımı (

n(n+1)

) formunda olduğu için daima çifttir. Buna 1 eklendiğinde

(a^2+a+1)

ve

(c^2+c+1)

terimleri daima TEK sayı olur. Denklem

\frac{T \cdot b + T}{T} = Ç

formuna dönüşür. İçler dışlar çarpımıyla

T \cdot b + T = Ç

bulunur, buradan

T \cdot b = T

sonucu çıkar, yani

b

kesinlikle TEK sayıdır. Seçeneklerde

b

'nin tek olması durumunda

b^2+2b+3

ifadesi

T + Ç + T = Ç

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

a² + a ve c² + c ifadelerinin paritesini incele.

Ardışık iki tam sayının çarpımı (n·(n+1)) daima çifttir. Dolayısıyla a² + a ve c² + c ifadeleri daima ÇİFT (Ç) sayıdır.

Tam sayılar kümesinde n ve n+1'den biri mutlaka çifttir.

2

Parantez içlerinin paritesini belirle.

(a² + a) + 1 = Ç + T = TEK (T). Benzer şekilde c² + c + 1 = Ç + T = TEK (T).

Çift bir sayı ile tek sayının toplamı tektir.

3

Denklemi sadeleştirilmiş paritelerle yaz ve b'yi çöz.

(T · b + 5) / T = 2 (Ç) → T · b + 5 = T · Ç = Ç.

İçler dışlar çarpımı yaparak eşitliği düzenleriz.

4

b'nin paritesini bul.

T · b + 5 = Ç → T · b = Ç - 5 (T) → T · b = T. Bu durumda b mutlaka TEK sayı olmalıdır.

Tek sayı ile neyi çarparsak tek olur? Sadece tek sayıyı.

5

Doğru şıkkı (b² + 2b + 3) test et.

b tek ise: b² (T) + 2b (Ç) + 3 (T) = T + Ç + T = ÇİFT.

Tek + Çift + Tek toplamı çift sayı verir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayıların Çarpımı ve Parite Analizi

İpuçları

1

a ve a+1 ardışık sayılardır. Ardışık iki tam sayının çarpımı (a² + a) hakkında ne söylenebilir?

Daha Fazla Pratik

İçinde a³ - a gibi ifadeler barındıran benzer parite sorularını inceleyiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 156Soru →

$x, y$ ve $z$ birer tam sayı olmak üzere,
* $x + y \cdot z$ ifadesinin bir çift sayı,
* $x \cdot y + z$ ifadesinin bir tek sayı
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

x + y + z

x + 2y + z

x + z

x \cdot z + y

y - z

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x \cdot z + y$

Cevap

x \cdot z + y

ifadesi daima çift sayıdır.

Yapılan analiz sonucunda

x

ve

y

sayılarının çift,

z

sayısının ise tek olduğu kesinleşmiştir. Buna göre 'x çarpı z artı y' ifadesinde, çift bir sayı olan x ile herhangi bir tamsayı olan z'nin çarpımı çift olur; bu sonuca çift olan y eklendiğinde toplam yine çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1

x

sayısının tek olduğu varsayılarak denklemler kontrol edilir.

x

tek ise,

x + y \cdot z

çift olduğundan

y \cdot z

tek olmalıdır (

y

ve

z

tek).

Toplama işleminin sonucunun çift olması için her iki terimin de aynı türde (tek+tek veya çift+çift) olması gerekir.

2

Bulunan

(T, T, T)

durumu ikinci ifadede test edilir.

x \cdot y + z \rightarrow T \cdot T + T = T + T = Çift

olur.

İkinci ifadenin sonucunun tek sayı olduğu bilgisiyle çelişki oluştuğu için

x

tek olamaz.

3

x

sayısının çift olduğu varsayılarak denklemler yeniden çözülür.

x

çift ise,

x + y \cdot z

çift olduğundan

y \cdot z

çift olmalıdır. Ayrıca

x \cdot y + z

tek ise,

Çift + z

tek olacağından

z

tektir.

Bir çift sayı ile ancak bir tek sayının toplamı tek sonucu verir.

4

z

sayısının tek olduğu bilgisiyle

y

sayısı belirlenir.

y \cdot z

çift ve

z

tek ise

y

çift olmalıdır.

Çarpımın çift olması için çarpanlardan en az birinin çift olması gerekir.

5

x=Çift, y=Çift, z=Tek

değerleri seçeneklerde yerine konur.

x \cdot z + y \rightarrow Çift \cdot Tek + Çift = Çift + Çift = Çift

bulunur.

Sadece bu seçenek daima çift sonuç verir.

Anahtar Kavram

İfadelerin tek veya çiftliği belirlenirken değişkenlerin durumları varsayımlar ve çelişkiler üzerinden analiz edilir.

İpuçları

1

Birinci ifadede

x

için 'tek' ve 'çift' durumlarını ayrı ayrı varsayarak başlayın.

2

Eğer

x

tek olsaydı, çarpımları tek olan

y

ve

z

de tek olmak zorundaydı; bu durumun ikinci ifadeyi bozup bozmadığına bakın.

3

x

ve

y

sayılarının çift,

z

sayısının tek olduğunu bulduğunuzda seçenekleri test edin.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin rasyonel sayı veya pozitif tam sayı olma kısıtlarını değiştirerek sorunun çözümündeki farklılıkları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Tablo yöntemi kullanarak

x, y, z

için tüm olası (T, Ç) kombinasyonlarını deneyip verilmeyen iki kısıtı da sağlayan tek durumu tespit edebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 157Soru →

Rakamları birbirinden farklı $ABC$ üç basamaklı doğal sayısı, rakamları toplamının 21 katına eşittir.

Buna göre, $C - A$ değeri kaçtır?

3

4

5

6

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5 değeridir.

Doğru cevap,

C

ve

A

rakamlarının farkı olan 5'tir. Denklem çözüldüğünde

A=3

ve

C=8

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökün ve basamak çözümlemesi yapın.

ABC = 21 \cdot (A+B+C)

ifadesini çözümleyelim:

100A + 10B + C = 21A + 21B + 21C

Üç basamaklı sayının değeri

100A+10B+C

formundadır.

2

Benzer terimleri bir araya getirerek denklemi sadeleştirin.

79A = 11B + 20C

A, B ve C'nin katsayılarını düzenleyerek değişkenler arasındaki ilişkiyi netleştirmek gerekir.

3

A rakamı için olası değerleri belirleyin.

B

ve

C

en fazla 9 olabilir. Eşitliğin sağ tarafının maksimum değeri

11(9) + 20(9) = 99 + 180 = 279

'dur. Bu durumda

79A \le 279

olacağından

A

sadece 1, 2 veya 3 olabilir.

Katsayısı en büyük olan A değişkenini sınırlandırarak deneme sayısını azaltırız.

4

A'nın olası değerlerini deneyerek B ve C rakamlarını bulun.

A=3

için:

237 = 11B + 20C

olur. Bu eşitliği sağlayan değerleri bulmak için

11B = 237 - 20C

yazılır.

C=8

seçilirse

237 - 160 = 77

olur ve

B=7

bulunur. Sayı 378'dir.

A=1

ve

A=2

durumları için

B

ve

C

birer rakam (0-9) olacak şekilde çözüm bulunamaz.

5

Bulunan rakamların 'birbirinden farklı' olma şartını kontrol edin ve istenen değeri hesaplayın.

Rakamlar 3, 7, 8 birbirinden farklıdır. İstenen

C - A = 8 - 3 = 5

bulunur.

Sorudaki tüm kısıtlamaların sağlandığından emin olunmalıdır.

Anahtar Kavram

Basamak analizi problemlerinde katsayısı büyük olan değişkenden başlayarak değer aralığı tespiti yapmak.

İpuçları

1

Verilen sözel ifadeyi

100A + 10B + C = 21(A+B+C)

şeklinde yazarak işe başlayın.

2

Denklemi sadeleştirdiğinizde

79A = 11B + 20C

elde edeceksiniz.

B

ve

C

rakamlarının alabileceği en büyük değerleri düşünerek

A

için bir üst sınır belirleyin.

3

A

sayısı en fazla 3 olabilir.

A=3

için

11B + 20C = 237

eşitliğini sağlayan

B

ve

C

rakamlarını (tekler ve çiftler mantığıyla) arayın.

Daha Fazla Pratik

ABC = 25(A+B+C)

koşulunu sağlayan sayıları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Seçenekleri deneme şansınız olmadığından (çünkü

A, B, C

toplamı değil farkı soruluyor), A'ya sırasıyla 1, 2, 3 verip modüler aritmetik kullanabilirsiniz:

79A \equiv 20C \pmod{11}

yani

2A \equiv 9C \pmod{11}

.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 158Soru →

x

ve

y

birer doğal sayı olmak üzere,

\frac{x! - y!}{y!} = 119

eşitliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan kaç farklı $(x, y)$ sıralı ikilisi vardır?

2

3

4

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4 farklı (x,y) ikilisi vardır

Eşitlik

\frac{x!}{y!} = 120

haline getirildiğinde, bu ifadenin

x

'ten

y+1

'e kadar olan ardışık sayıların çarpımı olduğu görülür. Çarpımları 120 eden ardışık sayı grupları şunlardır:
1) Sadece 120 (

x=120, y=119

)
2)

6 \cdot 5 \cdot 4

(

x=6, y=3

)
3)

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2

(

x=5, y=1

)
4)

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

(

x=5, y=0

)
Toplamda 4 farklı ikili vardır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliği düzenle

\frac{x!}{y!} - 1 = 119 \implies \frac{x!}{y!} = 120

Faktöriyel ifadesini yalnız bırakarak sayısal karşılığını bulmak için.

2

Faktöriyel bölme işleminin anlamını yorumla

\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot ... \cdot (y+1) = 120

Bu ifade,

y+1

'den

x

'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımının 120 olduğunu gösterir.

3

Ardışık sayıların çarpımı 120 olan durumları analiz et

Durumları inceleyelim:
1. Tek sayı:

120

. Burada

x=120

,

y=119

.
2. İki ardışık sayı:

n(n+1)=120

.

10 \cdot 11 = 110

,

11 \cdot 12 = 132

. (Çözüm yok)
3. Üç ardışık sayı:

4 \cdot 5 \cdot 6 = 120

. Burada en büyük sayı

x=6

, en küçük çarpandan bir eksiği

y=3

.
4. Dört ardışık sayı:

2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

. Burada

x=5

,

y=1

.
5. Beş ardışık sayı:

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

. Burada

x=5

,

y=0

(Çünkü

0!=1

).

120 sayısını veren tüm ardışık çarpan kombinasyonlarını bulmak için.

4

Bulunan çözüm kümelerini listele

Çözüm ikilileri

(x,y)

:

(120, 119)

,

(6, 3)

,

(5, 1)

,

(5, 0)

.

Toplam çözüm sayısını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Ardışık Çarpanlar ve Faktöriyel Tanımı

İpuçları

1

Eşitliği

\frac{x!}{y!} = 120

şeklinde düzenleyerek sadeleştirme yapın.

2

\frac{x!}{y!}

ifadesi,

x

sayısından geriye doğru ardışık sayıların çarpımıdır. Hangi ardışık sayıların çarpımı 120 eder?

3

120 = 5!

olduğu için

x=5

olabilir. Ayrıca

120 = 6 \cdot 5 \cdot 4

olduğunu ve

120 = 120

olduğunu da düşünün. 0! değerini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

\frac{x!}{y!} = 24

eşitliğini sağlayan kaç ikili olduğunu araştırın.

Alternatif Yöntem

120 sayısının çarpanlarını yazıp ardışık grupları manuel olarak kontrol etmek: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12... Buradan 4-5-6 ve 2-3-4-5 grupları görülebilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 159Soru →

Ardışık $n$ tane tek tam sayı küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Bu sayıların ilk üçünün toplamı $A$ , son üçünün toplamı ise $B$ olarak ifade ediliyor.

B - A = 72

olduğuna göre, bu grupta toplam kaç sayı vardır?

11

13

15

17

27

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Verilen sayı grubunda toplam 15 adet sayı bulunmaktadır.

Dizideki ilk üç terimin toplamı ortadaki terim olan

a_2

'nin 3 katı, son üç terimin toplamı ise ortadaki terim olan

a_{n-1}

'in 3 katıdır.

3(a_{n-1} - a_2) = 72

eşitliğinden terimler arası farkın

24

olduğu görülür. Ardışık tek sayılar 2'şer arttığı için

a_{n-1} - a_2 = 2(n-1-2) = 2(n-3)

olur.

2(n-3) = 24

denkleminden

n=15

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Sayıları ve toplamları temsil eden ifadeleri belirleme

a_1, a_2, \dots, a_n

sayıları için

A = a_1 + a_2 + a_3

ve

B = a_{n-2} + a_{n-1} + a_n

Soruda verilen ilk üç ve son üç terimin toplamlarını matematiksel olarak ifade etmek gerekir.

2

Ardışık tek sayılarda grup toplamlarını orta terim cinsinden yazma

A = 3a_2

ve

B = 3a_{n-1}

Ardışık üç sayının toplamı, ortanca terimin 3 katına eşittir.

3

İki toplam arasındaki farkı tek bir terim farkına indirgeme

B - A = 3(a_{n-1} - a_2) = 72 \Rightarrow a_{n-1} - a_2 = 24

Verilen fark denkleminde terimler arasındaki ilişkiyi bulmak için sadeleştirme yapılır.

4

Terimler arasındaki indeks farkını ve değer farkını ilişkilendirme

a_{n-1} - a_2 = 2 \times ((n-1) - 2) = 2(n-3)

Ardışık tek sayılar ikişer ikişer artar;

k

. terim ile

j

. terim arasındaki fark

2 \times (k-j)

'dir.

5

Denklemi çözerek

n

değerini bulma

2(n-3) = 24 \Rightarrow n-3 = 12 \Rightarrow n = 15

Elde edilen fark değerini terim sayısı formülüne eşitleyerek toplam sayı adedine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde belirli alt grupların toplamları arasındaki fark, dizinin artış miktarı ve terim sayısı arasındaki doğrusal ilişkiye bağlıdır.

İpuçları

1

Ardışık üç sayının toplamını, bu sayıların tam ortasındaki sayıyı kullanarak ifade etmeyi deneyin.

2

İlk üç sayının ortancası olan 2. terim ile son üç sayının ortancası olan

(n-1)

. terim arasındaki farkın kaç olduğunu bulun.

3

Ardışık tek sayılar 2'şer 2'şer artar. İki terim arasındaki fark, o terimlerin sıra numaraları (indeksleri) farkının 2 katıdır.

Daha Fazla Pratik

Ardışık çift sayılarla benzer bir kurgu kurarak farkın nasıl değişeceğini analiz edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayıları

a, a+2, a+4, \dots

şeklinde yazarak da çözebilirsiniz. İlk üç terim:

a, a+2, a+4 \Rightarrow A = 3a + 6

. Son üç terim (toplam

n

sayı varsa en sonuncusu

a + 2(n-1)

'dir):

(a + 2n - 6) + (a + 2n - 4) + (a + 2n - 2) \Rightarrow B = 3a + 6n - 12

.

B - A = (3a + 6n - 12) - (3a + 6) = 6n - 18 = 72

buradan

6n = 90

ve

n = 15

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 160Soru →

Sayı kümeleri ve bu kümeler arasındaki ilişkilerle ilgili olarak aşağıda verilen ifadelerden hangisi yanlıştır?

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

kapsama ilişkisi doğrudur.

\pi

sayısı irrasyonel bir sayı iken

\frac{22}{7}

sayısı rasyonel bir sayıdır.

\sqrt{0,\overline{4}}

sayısı rasyonel bir sayıdır.

\sqrt{0,9}

sayısı rasyonel bir sayıdır.

0

sayısı rasyonel sayılar kümesinin (

\mathbb{Q}

) bir elemanıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sqrt{0,9}$ sayısı rasyonel bir sayıdır.

Cevap

\sqrt{0,9}

sayısının rasyonel olduğunu belirten ifade yanlıştır; çünkü bu sayı kök dışına tam olarak çıkamaz ve irrasyoneldir.

\sqrt{0,9}

ifadesi rasyonel sayıya çevrildiğinde

\sqrt{\frac{9}{10}}

olur.

9

sayısı kök dışına

3

olarak çıksa da paydadaki

10

tam kare bir sayı olmadığı için kök dışına tam sayı olarak çıkamaz (

\sqrt{10}

olarak kalır). Bu durum sayının irrasyonel olmasına neden olur, dolayısıyla rasyonel olduğunu iddia eden ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Seçeneklerdeki köklü ifadelerin değerlerini rasyonel sayıya çevirerek kontrol et.

\sqrt{0,\overline{4}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}

(Rasyonel).

\sqrt{0,9} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}

(İrrasyonel).

Bir sayının rasyonel olması için

a/b

formunda yazılabilmesi, köklü bir sayının rasyonel olması için ise kök dışına tam çıkabilmesi gerekir.

2

Sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkisini ve özel sayıların (0,

\pi

) yerini doğrula.

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

doğrudur.

0 \in \mathbb{Q}

ve

\pi \in \mathbb{Q}'

bilgileri doğrudur.

Doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılar hiyerarşik olarak birbirini kapsar;

\pi

gibi devretmeyen sayılar ise irrasyoneldir.

3

Bulguları karşılaştırarak yanlış olan ifadeyi seç.

\sqrt{0,9}

rasyonel değil irrasyonel bir sayıdır.

\sqrt{10}

tam kare bir sayı olmadığından irrasyoneldir, dolayısıyla

\frac{3}{\sqrt{10}}

de irrasyonel olur.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin hiyerarşik yapısı ve rasyonel/irrasyonel sayı ayrımı.

İpuçları

1

Bir sayının rasyonel olması için tam sayılar arasında bir oran (

a/b

) şeklinde yazılabilmesi gerekir.

2

Köklü ondalık sayılarda önce sayıyı kesre çevirin; örneğin

0,9 = \frac{9}{10}

ve

0,09 = \frac{9}{100}

farkına dikkat edin.

3

\sqrt{\frac{9}{10}}

ifadesinde

9

kök dışına çıkar ancak

10

çıkamaz. Bir ifadenin payda veya payında tam çıkamayan bir kök varsa o sayı irrasyoneldir.

Daha Fazla Pratik

İrrasyonel sayılarla yapılan toplama ve çarpma işlemlerinin sonuçlarının ne zaman rasyonel olabileceğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ondalık köklerin karesini alarak kontrol edebilirsiniz:

0,3

sayısının karesi

0,09

eder,

0,9

etmez. Dolayısıyla

\sqrt{0,9}

sayısı

0,3

değildir.

Tahmini Süre:1m 30s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem