Özel Olasılık Dağılımları Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 5

Soru 81Soru →

Bir tarım il müdürlüğü ekipleri, bölgedeki seralarda belirli bir bitki hastalığının yaygınlığını araştırmaktadır. Yapılan ön çalışmalara göre, rastgele seçilen herhangi bir serada bu hastalığa rastlanma olasılığı $\frac{1}{3}$ 'tür. Seraların hastalık taşıma durumlarının birbirinden bağımsız olduğu varsayılmaktadır.

Denetim için bölgeden rastgele $5$ sera seçen bir ziraat mühendisinin, bu seraların en fazla $1$ 'inde söz konusu hastalığa rastlama olasılığı kaçtır?

\frac{11}{243}

\frac{48}{243}

\frac{80}{243}

\frac{112}{243}

\frac{211}{243}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{112}{243}$

Cevap

İstenen olasılık,

X=0

ve

X=1

durumlarının olasılıklarının toplamı olan

\frac{112}{243}

değeridir.

Verilen senaryoda seraların hastalık taşıma durumları birbirinden bağımsızdır ve sabit bir olasılığa (

p=\frac{1}{3}

) sahiptir. Bu, deneme sayısının

n=5

olduğu bir Binom dağılımını gösterir. Soru bizden 'en fazla 1' serada hastalığa rastlanma olasılığını (

P(X \le 1)

) istemektedir. Bu ifade

P(X=0)

ve

P(X=1)

olasılıklarının toplamını ifade eder. Formül uygulandığında

P(X=0) = \frac{32}{243}

ve

P(X=1) = \frac{80}{243}

bulunur. Toplamları olan

\frac{112}{243}

doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen problemi uygun bir olasılık dağılımı ile modelleyin.

Bağımsız denemeler (seralar) yapıldığı ve her denemede hastalığa rastlanma olasılığı sabit (

p=\frac{1}{3}

) olduğu için,

X

(hastalıklı sera sayısı) rastgele değişkeni

Binom(n=5, p=\frac{1}{3})

dağılımına uyar.

İki sonuçlu (hastalık var/yok) ve sabit olasılıklı, birbirinden bağımsız ardışık deneyler Binom dağılımı ile incelenir.

2

Soruda istenen 'en fazla 1' durumunu matematiksel olarak ifade edin.

İstenen durum

X \le 1

eşitsizliğidir. Bu durum

X=0

ve

X=1

olasılıklarının toplamına eşittir:

P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)

.

Kesikli olasılık dağılımlarında kümülatif olasılıklar, ilgili sınır içindeki ayrık nokta olasılıklarının toplamı ile bulunur.

3

Binom olasılık formülünü kullanarak

P(X=0)

değerini hesaplayın.

P(X=0) = \binom{5}{0} \left(\frac{1}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{32}{243} = \frac{32}{243}

Hiçbir serada hastalık görülmemesi için tüm denemelerin başarısız (

1-p = \frac{2}{3}

) sonuçlanması gerekir.

4

Binom olasılık formülünü kullanarak

P(X=1)

değerini hesaplayın.

P(X=1) = \binom{5}{1} \left(\frac{1}{3}\right)^1 \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{81} = \frac{80}{243}

Sadece 1 serada hastalık görülmesi için

n

denemeden

1

'inin seçilmesi ve ilgili başarısızlık durumlarının çarpılması gerekir.

5

Bulunan olasılıkları toplayarak nihai sonuca ulaşın.

P(X \le 1) = \frac{32}{243} + \frac{80}{243} = \frac{112}{243}

olarak bulunur.

Ayrık durumların toplam olasılığı, parçaların olasılıklarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Binom dağılımında kümülatif olasılık (Birikimli dağılım) hesaplama

Soru 82Soru →

Bir araştırma merkezinde, laboratuvar ortamındaki bir sensörün kalibrasyon testleri sırasında, referans sinyali olarak $20$ ile $50$ arasındaki ( $20$ ve $50$ dâhil) tam sayılardan biri eşit olasılıkla rastgele seçilerek cihaza gönderilmektedir.

Gönderilen referans sinyalinin değerini $X$ rastgele değişkeni ile gösterelim.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

35

ve

80

35

ve

75

15

ve

80

15

ve

75

35

ve

450

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $35$ ve $80$

Cevap

Beklenen değerin

35

ve varyansın

80

olduğunu gösteren seçenektir.

Doğru seçenek, kesikli düzgün dağılım gösteren

X

değişkeninin beklenen değerinin

(20+50)/2 = 35

formülüyle hesaplandığı ve

n = 50-20+1 = 31

terim üzerinden varyansının

(31^2 - 1)/12 = 80

olarak hatasız bulunduğu seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele değişkenin dağılımını ve sınır parametrelerini belirleme.

X

rastgele değişkeni, alt sınırı

a = 20

ve üst sınırı

b = 50

olan kesikli düzgün dağılıma (discrete uniform distribution) sahiptir.

Değişken, belirli bir aralıktaki ardışık tam sayıları eşit olasılıkla aldığı için kesikli düzgün dağılım kuralları uygulanmalıdır.

2

Kesikli düzgün dağılım için beklenen değer (aritmetik ortalama) hesabı yapma.

E(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{20 + 50}{2} = \frac{70}{2} = 35

olarak elde edilir.

Kesikli düzgün dağılımın beklenen değeri, aldığı en küçük ve en büyük değerlerin ortalamasına eşittir.

3

Olası sonuçların terim sayısını (

n

) bulma.

Terim sayısı

n = b - a + 1

formülünden

n = 50 - 20 + 1 = 31

olarak hesaplanır.

Varyans formülünde kullanılacak olan parametre, sınır değerleri farkı değil, aralıktaki toplam nokta sayısıdır.

4

Kesikli düzgün dağılım varyans formülü ile hesaplama yapma.

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{31^2 - 1}{12} = \frac{961 - 1}{12} = \frac{960}{12} = 80

olarak bulunur.

Kesikli düzgün dağılımda varyansın formülü

n

(toplam değer sayısı) üzerinden

\frac{n^2-1}{12}

şeklinde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılımın Beklenen Değeri ve Varyansı

Soru 83Soru →

Bir üniversite kütüphanesinde, final haftalarında öğrencilere geçici olarak tahsis edilmek üzere ayrılmış kilitli dolaplar, $a$ ve $b$ ( $a, b \in \mathbb{Z}^+$ ve $a < b$ ) dâhil olmak üzere bu iki değer arasındaki ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır.

Sistemden dolap talep eden bir öğrenciye bu dolaplardan herhangi biri eşit olasılıkla rastgele atanmaktadır. Öğrenciye atanan dolap numarasını temsil eden $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri $45$ ve varyansı $24$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, öğrencilere tahsis edilebilecek en büyük kilitli dolap numarası ( $b$ ) kaçtır?

37

48

53

57

89

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 53

Cevap

En büyük kilitli dolap numarası 53'tür.

Kesikli düzgün dağılımda terim sayısı

n = b - a + 1

olmak üzere varyans

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}

formülü ile hesaplanır. Varyansın

24

olması formülde yerine konulduğunda

n = 17

olduğu bulunur. Beklenen değer ise uç noktaların ortalaması olan

E(X) = \frac{a + b}{2}

formülüyle hesaplanır ve

45

değeri

a + b = 90

eşitliğini verir. Toplam eleman sayısı üzerinden

b - a = 16

olduğu bilinmektedir. Bu iki denklem (

b - a = 16

ve

a + b = 90

) taraf tarafa toplandığında doğru yanıtı temsil eden üst sınır (

b

) değeri

53

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım türünü ve terim sayısını belirleme

Dolap numaraları ardışık tam sayılar olduğundan

X

kesikli düzgün dağılıma sahiptir ve terim sayısı

n = b - a + 1

olarak ifade edilir.

Varyans ve beklenen değer formüllerini doğru uygulayabilmek için dağılımın temel parametrelerini tanımlamak gerekir.

2

Varyans bilgisini kullanarak terim sayısını (

n

) hesaplama

Kesikli düzgün dağılım varyans formülü

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = 24

olarak eşitlendiğinde

n^2 = 289

ve buradan

n = 17

bulunur.

Kesikli düzgün dağılımda varyans sadece toplam terim sayısına (

n

) bağlıdır.

3

Beklenen değer formülü ile sınırların toplamını elde etme

Beklenen değer formülü

E(X) = \frac{a + b}{2} = 45

kullanıldığında

a + b = 90

denklemi elde edilir.

Kesikli düzgün dağılımın beklenen değeri, dağılımın alt ve üst sınırlarının aritmetik ortalamasıdır.

4

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek

b

değerini bulma

n = b - a + 1 = 17

eşitliğinden

b - a = 16

bulunur.

a + b = 90

ile ortak çözüldüğünde taraf tarafa toplama yapılarak

2b = 106

ve nihayetinde

b = 53

sonucuna ulaşılır.

Soruda bizden istenen en büyük kilitli dolap numarası, sistemin üst sınırı olan

b

değeridir.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılımda Beklenen Değer ve Varyans

Soru 84Soru →

Bir siber güvenlik sisteminde, ağa yapılan rastgele bir bağlantı isteğinin 'kötü niyetli (saldırı)' olma olasılığı $p \in (0,1)$ olarak modellenmiştir. Sisteme gelen tek bir bağlantı isteği incelendiğinde, isteğin kötü niyetli olması durumu $X = 1$ , normal (zararsız) olması durumu ise $X = 0$ olarak tanımlanan bir $X$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri $E(X)$ , varyansı $Var(X)$ ve moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t)$ sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

p \quad , \quad p(1-p) \quad , \quad (1-p) + p e^t

p \quad , \quad p^2 \quad , \quad (1-p) + p e^t

p \quad , \quad p(1+p) \quad , \quad p(1-p) e^t

p \quad , \quad \sqrt{p} \quad , \quad \frac{p}{1-(1-p)e^t}

1-p \quad , \quad p(1-p) \quad , \quad p + (1-p) e^t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p \quad , \quad p(1-p) \quad , \quad (1-p) + p e^t$

Cevap

Beklenen değerin

p

, varyansın

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonun

(1-p) + p e^t

olduğu seçenektir.

Bernoulli dağılımında değişken yalnızca 1 (başarı) ve 0 (başarısızlık) değerlerini alır. Tanım gereği beklenen değer

E(X)=p

ve varyans

Var(X)=p(1-p)

olarak hesaplanır. Moment çıkaran fonksiyon ise

E(e^{tX})

tanımından yola çıkılarak ardışık işlemler sonucunda

(1-p) + p e^t

formunda bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonunu (PMF) belirlemek.

P(X=1) = p

ve

P(X=0) = 1-p

olur.

Tanımlanan rastgele değişken yalnızca 0 ve 1 değerlerini alan tek bir denemeyi temsil ettiğinden Bernoulli dağılımına sahiptir.

2

Beklenen değeri hesaplamak.

E(X) = \sum x P(X=x) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p

elde edilir.

Beklenen değer, rastgele değişkenin alabileceği değerler ile bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

3

Varyansı hesaplamak.

E(X^2) = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p

bulunur. Buradan

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = p - p^2 = p(1-p)

sonucuna ulaşılır.

Varyans formülü genel özellikleri kullanılarak hesaplanmalıdır.

4

Moment çıkaran fonksiyonu (MGF) bulmak.

M_X(t) = E(e^{tX}) = \sum e^{tx} P(X=x) = e^{t \cdot 1} \cdot p + e^{t \cdot 0} \cdot (1-p) = (1-p) + p e^t

elde edilir.

MGF'nin temel tanımı beklenen değer operatörü üzerinden

E(e^{tX})

eşitliği ile bulunur.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımının Temel Parametreleri

Soru 85Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) müfettişi, işletmelerin iş kazası bildirim dosyalarını incelemektedir. Yapılan istatistiksel analizlere göre, kuruma sunulan herhangi bir iş kazası dosyasının eksik evrak içerme olasılığı $\frac{1}{5}$ 'tir ve dosyalar birbirinden bağımsız olarak değerlendirilmektedir.

Müfettişin rastgele seçip incelediği 4 dosyadan en az 3'ünün eksik evrak içerme olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{625}

\frac{1}{125}

\frac{16}{625}

\frac{17}{625}

\frac{512}{625}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{17}{625}$

Cevap

Rastgele seçilen 4 dosyadan en az 3'ünün eksik evrak içerme olasılığı

\frac{17}{625}

'tir.

İstenen durum, 4 dosyadan en az 3'ünün eksik evrak içermesidir. Bu, tam olarak 3 dosyanın veya tam olarak 4 dosyanın eksik evrak içermesi durumlarının toplamıdır. Binom olasılık fonksiyonu kullanılarak

P(X=3) = \frac{16}{625}

ve

P(X=4) = \frac{1}{625}

bulunur. Bu iki değer toplandığında doğru cevap

\frac{17}{625}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi tanımlama ve dağılımı belirleme

X

rastgele değişkeni 'eksik evrak içeren dosya sayısı' olsun.

X

,

n=4

ve

p=\frac{1}{5}

parametreli Binom dağılımına uyar.

Dosyalar birbirinden bağımsızdır ve her birinin eksik evrak içerme olasılığı sabittir.

2

İstenen olasılık ifadesini yazma

P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4)

'En az 3' ifadesi, tam olarak 3 veya tam olarak 4 dosyanın eksik evrak içermesi durumlarını kapsar.

3

P(X=3) değerini hesaplama

P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^1 = 4 \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{625}

Tam olarak 3 dosyanın eksik evrak içerme olasılığı Binom olasılık kütle fonksiyonu ile hesaplanır.

4

P(X=4) değerini hesaplama

P(X=4) = \binom{4}{4} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^4 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{625} \cdot 1 = \frac{1}{625}

Tam olarak 4 dosyanın eksik evrak içerme olasılığı Binom olasılık kütle fonksiyonu ile hesaplanır.

5

Olasılıkları toplama

P(X \geq 3) = \frac{16}{625} + \frac{1}{625} = \frac{17}{625}

Ayrık olaylar oldukları için her iki durumun olasılıkları toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom olasılık dağılımı kullanılarak birikimli olasılık hesabı

Soru 86Soru →

Bir vergi müfettişi, rastgele seçilen kurumlar vergisi beyannamelerini sırasıyla incelemektedir. İncelediği her bir beyannamenin usulsüz (hatalı) olma olasılığı $\frac{1}{6}$ 'dır ve her inceleme birbirinden bağımsızdır.

Müfettişin ilk usulsüz beyannameyi bulana kadar incelediği toplam beyanname sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir.

Müfettişin incelediği ilk 3 beyannamede herhangi bir usulsüzlük bulamadığı bilindiğine göre, ilk usulsüz beyannameyi tam olarak 6. incelemesinde bulma olasılığı ile $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{125}{216}

ve

36

\frac{25}{216}

ve

30

\frac{5}{36}

ve

30

\frac{125}{216}

ve

30

\frac{25}{216}

ve

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{25}{216}$ ve $30$

Cevap

İlk usulsüz beyannamenin 6. incelemede bulunma olasılığı

\frac{25}{216}

ve varyans değeri

30

'dur.

Geometrik dağılımda

X

, ilk başarıya kadar gerçekleştirilen toplam deneme sayısıdır. Dağılımın parametresi

p = \frac{1}{6}

'dır. Geometrik dağılımın temel özelliklerinden biri olan hafızasızlık (memoryless) özelliği gereği, geçmişte yaşanan başarısızlıklar geleceği etkilemez:

P(X > x+y \mid X > x) = P(X > y)

. Soruda ilk 3 denemede başarı olmadığı (

X > 3

) bilindiğinde, ilk başarının 6. denemede gelme olasılığı

P(X=6 \mid X>3) = P(X=3)

'e eşittir. Bu değer formülde yerine konulduğunda

P(X=3) = (1 - \frac{1}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}

olarak bulunur. Toplam deneme sayısını ifade eden geometrik dağılımın varyans formülü ise

Var(X) = \frac{1-p}{p^2}

'dir. Değerler yerine yazıldığında varyans

\frac{5/6}{(1/6)^2} = 30

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin dağılımını ve parametresini belirleme

X \sim Geo(p)

olup

p = \frac{1}{6}

'dır.

İlk başarıya (usulsüzlük bulmaya) kadar yapılan toplam deneme sayısı geometrik dağılıma uyar.

2

İstenen olasılığı hafızasızlık (memoryless) özelliğini kullanarak basitleştirme

P(X=6 \mid X>3) = P(X = 6-3) = P(X=3)

Geometrik dağılım hafızasızlık özelliğine sahiptir, yani geçmiş başarısızlıklar gelecekteki başarı olasılığını etkilemez.

3

P(X=3)

olasılığını hesaplama

P(X=3) = (1 - \frac{1}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}

Geometrik dağılımda

k

. denemede ilk başarının elde edilme olasılığı

(1-p)^{k-1} \cdot p

'dir.

4

X

rastgele değişkeninin varyansını hesaplama

Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{5/6}{(1/6)^2} = \frac{5/6}{1/36} = 30

Toplam deneme sayısını modelleyen geometrik dağılımın varyans formülü

\frac{1-p}{p^2}

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği ve Varyansı

Soru 87Soru →

Bir Tapu ve Kadastro Müdürlüğünde yapılan işlem başvurularının sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Bu müdürlüğe saatte ortalama $12$ başvuru yapıldığı bilindiğine göre, $15$ dakikalık bir süre zarfında yapılan başvuru sayısının varyansı kaçtır?

12

3

48

\sqrt{3}

144

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3$

Cevap

On beş dakikalık süre için hesaplanan varyans

3

değeridir.

Poisson dağılımında bir aralık için tanımlanan parametre

\lambda

, hem o aralıktaki beklenen değeri hem de varyansı temsil eder. Saatte

12

başvuru geliyorsa,

15

dakikalık (

1/4

saat) bir aralık için yeni parametre

12/4 = 3

olur. Bu durumda varyans da doğrudan

3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen birim zaman için ortalama oranı (

\lambda

) belirleyin.

\lambda_{\text{saat}} = 12

.

Soruda saatlik ortalama başvuru sayısı

12

olarak verilmiştir.

2

İstenen zaman aralığına göre oran parametresini ölçekleyin.

\lambda_{15\text{dk}} = 12 \times \frac{15}{60} = 3

.

Poisson süreci zamanla doğru orantılıdır;

15

dakika, bir saatin dörtte biridir (

0,25

saat).

3

Poisson dağılımının varyans özelliğini uygulayın.

\text{Varyans} = \lambda_{15\text{dk}} = 3

.

Poisson dağılımının temel özelliği gereği, beklenen değer (ortalama) ve varyans birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Poisson dağılımında ortalama ve varyans parametresinin (

\lambda

) eşitliği ve zaman ölçeklemesi.

Tahmini Süre:45s

Özel Olasılık Dağılımları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar