Özel Olasılık Dağılımları Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Bir yazılım test uzmanı, bir sistemdeki kritik bir hatayı tespit etmek için birbirlerinden bağımsız test senaryoları çalıştırmaktadır. Her bir test senaryosunun hatayı tespit etme olasılığı $p = 0,20$ ’dir. Uzmanın ilk $8$ denemesinde hatayı bulamadığı bilindiğine göre, bu noktadan itibaren hatayı bulana kadar yapması beklenen ek deneme sayısı kaçtır?

4

5

8

13

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Beklenen ek deneme sayısı 5'tir.

Geometrik dağılım, 'hafızasızlık' (memoryless) özelliğine sahip tek kesikli olasılık dağılımıdır. Bu özellik gereği,

n

kadar denemede başarı elde edilememiş olması, bundan sonraki denemelerin dağılımını etkilemez. Dolayısıyla, beklenen ek deneme sayısı, en baştaki beklenen değer olan

1/p

ifadesine eşittir.

p = 0,20

olduğu için

1 / 0,20 = 5

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım türünün belirlenmesi

Geometrik Dağılım

Bağımsız Bernoulli denemelerinde ilk başarıya kadar geçen deneme sayısı Geometrik dağılım gösterir.

2

Hafızasızlık (Memoryless) özelliğinin uygulanması

E[X - n | X > n] = E[X]

Geometrik dağılımda geçmişteki başarısız denemeler, gelecekteki başarı olasılığını ve beklenen ek deneme sayısını etkilemez.

3

Beklenen değer formülünün uygulanması

E[X] = 1/p = 1 / 0,20 = 5

Toplam deneme sayısı için beklenen değer başarı olasılığının çarpmaya göre tersidir.

Anahtar Kavram

Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliği

Soru 62Soru →

Bir nüfus müdürlüğünde yeni basılan T.C. Kimlik Kartlarının hatalı basılma olasılığı $0,10$ olarak belirlenmiştir. Bu müdürlükte basılan kartlardan rastgele seçilen $4$ kimlik kartından tam olarak $1$ tanesinin hatalı basılmış olma olasılığı kaçtır?

0,2916

0,0729

0,4000

0,0036

0,6561

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,2916

Cevap

Tam olarak bir kartın hatalı olma olasılığı

0,2916

olarak hesaplanır.

Verilen problemde

n=4

deneme ve her denemede sabit

p=0,10

başarı (hatalı kart) olasılığı bulunmaktadır. Binom formülü olan

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}

ifadesinde değerler yerine konulduğunda

P(X=1) = \binom{4}{1} (0,1)^1 (0,9)^3 = 4 \times 0,1 \times 0,729 = 0,2916

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Parametrelerin belirlenmesi

n=4, p=0,10, q=0,90, k=1

Soruda verilen deneme sayısı, başarı olasılığı ve istenen başarı sayısı tespit edilir.

2

Binom olasılık fonksiyonunun kurulması

P(X=1) = \binom{4}{1} (0,10)^1 (0,90)^3

Tam olarak k başarı olasılığı için Binom formülü uygulanır.

3

Hesaplamanın tamamlanması

4 \times 0,10 \times 0,729 = 0,2916

Kombinasyon ve üslü ifadeler çarpılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımı Olasılık Kütle Fonksiyonu

Tahmini Süre:45s

Soru 63Soru →

Bir kamu kütüphanesinde ödünç alınan kitapların iade süreçlerinde tespit edilen fiziksel hasarların sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Kütüphane yönetimi tarafından yapılan incelemelerde, rastgele seçilen her $20$ kitapta ortalama $1,5$ adet hasar tespit edildiği belirlenmiştir.

Buna göre, bu kütüphaneden iade edilen $40$ kitaplık bir gruptaki toplam hasar sayısının varyansı kaçtır?

1,5

2,25

3

4,5

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

40 kitaplık gruptaki hasar sayısının varyansı 3'tür.

Verilen problemde,

20

kitap için ortalama hasar sayısı

\lambda = 1,5

olarak belirtilmiştir. Poisson dağılımında ortalama, gözlem hacmiyle doğru orantılıdır; dolayısıyla

40

kitaplık bir grupta beklenen hasar sayısı

\lambda_{yeni} = 1,5 \times 2 = 3

olur. Poisson dağılımının karakteristik bir özelliği olarak varyans, beklenen değere eşittir (

Var(X) = \lambda

). Bu nedenle varyans değeri de 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson parametresini (

\lambda

) yeni birim aralığına göre ölçeklendirin.

\lambda_{40} = 1,5 \times \frac{40}{20} = 3

Poisson dağılımında ortalama değer, gözlem yapılan birim (zaman, alan, miktar) ile doğru orantılı olarak değişir.

2

Poisson dağılımının varyans özelliğini uygulayın.

Var(X) = \lambda = 3

Poisson dağılımının en temel özelliklerinden biri, beklenen değer (ortalama) ile varyansın birbirine eşit olmasıdır.

Anahtar Kavram

Poisson Dağılımında Parametre Ölçeklendirme ve Varyans-Ortalama Eşitliği

İpuçları

1

Poisson dağılımında ortalama değer (beklenen değer) ile varyans arasındaki ilişkiyi hatırlayın.

2

20 kitapta 1,5 hasar oluyorsa, 40 kitapta kaç hasar olması beklenir? Önce bu yeni ortalamayı hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Poisson dağılımında standart sapmanın varyansın karekökü olduğunu hatırlayarak benzer bir problemi standart sapma üzerinden çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 64Soru →

Bir kamu kurumunun envanter kontrolü sırasında, birimdeki taşınır malların $50$ ’den $110$ ’a kadar ( $50$ ve $110$ dâhil) ardışık tam sayılarla numaralandırıldığı görülmüştür. Bu mallar arasından rastgele seçilen birinin numarasını temsil eden $X$ rastgele değişkeni kesikli düzgün dağılıma sahip olduğuna göre, bu değişkenin varyansı kaçtır?

310

80

1860

300

61

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $310$

Cevap

Varyans değeri

310

olarak hesaplanır.

Değişkenin değer aralığı

50

ile

110

arasındaki tam sayılar olduğu için toplam terim sayısı

n = 61

olur. Kesikli düzgün dağılımın genel varyans formülü olan

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}

ifadesinde

n = 61

yazıldığında

\frac{3720}{12} = 310

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın destek kümesindeki toplam tam sayı adedini (

n

) belirleyiniz.

n = 110 - 50 + 1 = 61

Kesikli düzgün dağılımda

a

ile

b

arasındaki tam sayıların sayısı

n = b - a + 1

formülü ile bulunur.

2

Kesikli düzgün dağılımın varyans formülünü uygulayınız.

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}

Eş olasılıklı tam sayılardan oluşan bir dağılımın varyansı bu standart formülle hesaplanır.

3

Değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesaplayınız.

\frac{61^2 - 1}{12} = \frac{3721 - 1}{12} = \frac{3720}{12} = 310

Matematiksel işlemin sonucunda varyans elde edilir.

Anahtar Kavram

Kesikli düzgün dağılımın varyans parametresinin hesaplanması.

Tahmini Süre:45s

Soru 65Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin 'uzaktan çalışma' sistemine dahil olma durumu, başarı olasılığı $p = 0,70$ olan bir Bernoulli dağılımı ile modellenmektedir. Buna göre, personelin uzaktan çalışma durumunu temsil eden bu rastgele değişkenin varyansı kaçtır?

0,49

0,21

0,70

0,84

1,19

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,21

Cevap

Uzaktan çalışma durumunu temsil eden rastgele değişkenin varyansı 0,21'dir.

Bernoulli dağılımında başarı olasılığı

p

ise, varyans

Var(X) = p \times (1-p)

formülüyle hesaplanır. Burada

p = 0,70

ve başarısızlık olasılığı

q = 1 - 0,70 = 0,30

olduğundan, varyans

0,70 \times 0,30 = 0,21

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametresini belirleyin.

p = 0,70

Soruda uzaktan çalışma olasılığı (başarı olasılığı) doğrudan verilmiştir.

2

Varyans formülünü uygulayın.

Var(X) = p(1-p) = 0,70 \times (1 - 0,70)

Bernoulli dağılımı için varyans, başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımına eşittir.

3

Hesaplamayı tamamlayın.

0,70 \times 0,30 = 0,21

Varyans değerine ulaşmak için çarpma işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımı Parametreleri

Tahmini Süre:45s

Soru 66Soru →

Bir kamu kurumuna yapılacak personel alımı mülakatlarında komisyon üyesi adayları sırasıyla ve birbirlerinden bağımsız olarak değerlendirmektedir. Her bir adayın kurumun aranan kriterlerine uygun bulunma olasılığı $0,25$ olarak belirlenmiştir. Buna göre, komisyon üyesinin 3. uygun adayı 5. mülakatta bulma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

6 \times (0,25)^3 \times (0,75)^2

10 \times (0,25)^3 \times (0,75)^2

4 \times (0,25)^3 \times (0,75)^2

6 \times (0,25)^2 \times (0,75)^3

(0,25)^3 \times (0,75)^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6 \times (0,25)^3 \times (0,75)^2$

Cevap

6 \times (0,25)^3 \times (0,75)^2

ifadesi doğru olasılığı temsil eder.

Verilen senaryoda 3. başarının 5. denemede gerçekleşmesi istendiği için bu bir Negatif Binom problemidir. Parametreler

r=3

,

k=5

ve

p=0,25

olduğunda formül

P(X=5) = \binom{4}{2} (0,25)^3 (0,75)^2

şeklini alır ve

\binom{4}{2}=6

olduğu için doğru sonuç

6 \times (0,25)^3 \times (0,75)^2

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirle.

r = 3

(hedeflenen başarı sayısı),

k = 5

(toplam deneme sayısı),

p = 0,25

(başarı olasılığı).

Soruda 3. uygun adayın 5. denemede bulunması istendiği için Negatif Binom dağılımı kullanılır.

2

Negatif Binom olasılık fonksiyonunu uygula.

P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

Bu formül,

r

. başarının

k

. denemede elde edilme olasılığını verir.

3

Değerleri formülde yerine koy.

P(X=5) = \binom{5-1}{3-1} (0,25)^3 (1-0,25)^{5-3} = \binom{4}{2} (0,25)^3 (0,75)^2

Belirlenen parametrelerin matematiksel yerleşimi yapılır.

4

Kombinasyon değerini hesapla.

\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6

Formüldeki katsayıyı belirlemek için kombinasyon işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Negatif Binom dağılımı, bağımsız Bernoulli denemelerinde belirli bir sayıdaki başarının (r), belirli bir toplam deneme sayısında (k) elde edilmesi durumundaki olasılığı hesaplamak için kullanılır.

Soru 67Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülen dijitalleşme projesi kapsamında, rastgele seçilen bir formun sistem tarafından hatasız bir şekilde onaylanma olasılığı $p = 0,60$ olarak belirlenmiştir. Formun hatasız onaylanması durumu $X = 1$ (başarı) ve hatalı olması durumu $X = 0$ (başarısızlık) şeklinde tanımlandığına göre, bu süreci temsil eden $X$ Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı kaçtır?

0,24

0,36

0,60

0,77

0,96

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,24$

Cevap

Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı

0,24

olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan seçenekteki değer, başarı olasılığı

p=0,60

ile başarısızlık olasılığı

q=0,40

değerlerinin çarpılmasıyla (

0,60 \times 0,40 = 0,24

) elde edilmiştir. Bu, Bernoulli dağılımının varyans tanımına tam olarak uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Parametrelerin belirlenmesi

p = 0,60

ve

q = 1 - p = 0,40

Bernoulli dağılımında başarı olasılığı (

p

) verildiğinde, başarısızlık olasılığı (

q

)

1-p

ile bulunur.

2

Varyans formülünün uygulanması

Var(X) = p \times q = 0,60 \times 0,40

Bernoulli dağılımı için varyans, başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımına eşittir.

3

Sayısal hesaplamanın tamamlanması

Var(X) = 0,24

İlgili çarpma işlemi sonucunda varyans değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımında varyans

Var(X) = p(1-p)

formülü ile hesaplanır ve her zaman

E[X] = p

değerinden küçüktür (eğer

p < 1

ise).

Soru 68Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yürütülen bir saha araştırmasında, rastgele seçilen bir hanehalkının ankete katılmayı kabul etme olasılığı $p = 0,25$ olarak belirlenmiştir. Hanelerin ankete katılım kararlarının birbirinden bağımsız olduğu varsayılmaktadır. Bir anketör, ankete katılmayı kabul eden ilk haneye ulaşana kadar hane ziyaretlerine devam etmektedir. $X$ rastgele değişkeni "ilk kabulün alındığı toplam hane sayısı" olarak tanımlandığına göre, ilk 3 hanenin ankete katılmayı reddettiği bilindiği durumda, anketörün ilk kabulü toplamda 5. hanede alma olasılığı kaçtır?

0,1875

0,0791

0,1406

0,2500

0,1055

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,1875$

Cevap

İlk 3 hanenin reddettiği bilindiğinde, ilk kabulün 5. hanede gerçekleşme olasılığı

0,1875

olarak hesaplanır.

Geometrik dağılım hafızasız bir dağılımdır. Soruda ilk 3 hanenin reddettiği (

X > 3

) verilmiştir. Bu durumda toplamda 5. hanede kabul alma olasılığı, sürecin 3. haneden sonra yeniden başladığı varsayımıyla 2 deneme sonra başarı elde etme olasılığına (

P(X=2)

) eşittir.

0,75 \times 0,25 = 0,1875

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın ve parametrelerin belirlenmesi

X \sim \text{Geo}(p=0,25)

ve

q = 1 - 0,25 = 0,75

İlk başarıya kadar geçen deneme sayısı Geometrik dağılım ile modellenir.

2

Hafızasızlık (Memoryless) özelliğinin uygulanması

P(X = 5 | X > 3) = P(X = 5 - 3) = P(X = 2)

Geometrik dağılımda geçmişteki başarısız denemeler gelecek denemelerin olasılığını etkilemez.

3

Olasılık kütle fonksiyonu yardımıyla hesaplama yapılması

P(X=2) = q^{2-1} \times p = 0,75^1 \times 0,25 = 0,1875

2. denemedeki ilk başarı olasılığı, 1 başarısızlık ve 1 başarı gerektirir.

Anahtar Kavram

Geometrik dağılımın hafızasızlık özelliği gereği

P(X = n+k | X > n) = P(X = k)

eşitliği sağlanır. Ayrıca bu dağılım için

E[X] = 1/p = 4

ve

\text{Var}(X) = q/p^2 = 0,75/0,0625 = 12

değerleri hesaplanabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 69Soru →

Bir devlet hastanesinde yapılan bir incelemede, sistem üzerinden randevu alan hastaların $\%20$ 'sinin randevularına gelmediği tespit edilmiştir. MHRS üzerinden randevu alan hastalar arasından rastgele seçilen $50$ kişilik bir grupta, randevusuna gelmeyen hasta sayısının varyansı kaçtır?

2

8

10

40

2,83

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $8$

Cevap

Randevusuna gelmeyen hasta sayısının varyansı

8

olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan

8

değeri, Binom dağılımının varyans formülü olan

Var(X) = n \times p \times (1-p)

ifadesinde

n=50

ve

p=0,2

değerlerinin yerine yazılmasıyla elde edilir (

50 \times 0,2 \times 0,8 = 8

).

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirleyin.

n = 50

,

p = 0,2

ve

q = 1 - p = 0,8

Randevuya gelmeme durumu başarılı (ilgilenilen olay) kabul edildiğinde, Binom dağılımı parametreleri örneklem sayısı ve başarı olasılığıdır.

2

Varyans formülünü uygulayın.

Var(X) = n \times p \times q

Binom dağılımına sahip bir rastgele değişkenin varyansı, deneme sayısı ile başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımına eşittir.

3

Sayısal değerleri yerine koyarak hesaplamayı tamamlayın.

50 \times 0,2 \times 0,8 = 10 \times 0,8 = 8

İstenen istatistiksel ölçüyü bulmak için aritmetik işlem yapılır.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımı Varyansı

İpuçları

1

Binom dağılımında varyans hesaplamak için

n

,

p

ve

q

(başarısızlık olasılığı) değerlerini çarpmanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Aynı parametrelerle beklenen değeri hesaplayarak aradaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 70Soru →

Bir kamu kurumunda yapılan görevde yükselme sınavına katılan adaylara, $101$ ’den $151$ ’e kadar ( $101$ ve $151$ dâhil) ardışık tam sayılarla mülakat sıra numarası verilmiştir. Sınav komisyonu tarafından bu adaylar arasından rastgele bir adayın seçilmesi durumunda, seçilen adayın mülakat sıra numarasını temsil eden $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[X]$ ) kaçtır?

126

51

151

26

101

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 126

Cevap

Seçilen adayın mülakat sıra numarasının beklenen değeri

126

’dır.

Verilen problemde

X

rastgele değişkeni

[101, 151]

aralığındaki tam sayılar üzerinde tanımlı bir kesikli düzgün dağılımdır. Bu dağılımın beklenen değeri

E[X] = (a+b)/2

formülü ile hesaplanır.

101

ile

151

sayılarının toplamının yarısı

126

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele değişkenin türünü ve parametrelerini belirlemek

X

değişkeni

a=101

ve

b=151

parametrelerine sahip bir Kesikli Düzgün Dağılım gösterir.

Numaraların ardışık tam sayılar olması ve her birinin seçilme olasılığının eşit olması bu dağılıma işaret eder.

2

Kesikli düzgün dağılım için beklenen değer formülünü uygulamak

E[X] = \frac{a + b}{2} = \frac{101 + 151}{2} = \frac{252}{2} = 126

Simetrik bir kesikli düzgün dağılımda beklenen değer (ortalama), alt ve üst sınırların ortasına eşittir.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılımın Beklenen Değeri

Soru 71Soru →

Sağlık Bakanlığına bağlı bir laboratuvarda, analiz edilen her kan örneğinde belirli bir antikorun bulunma olasılığı $0,20$ olarak belirlenmiştir. Yapılan testlerin birbirinden bağımsız olduğu bilinmektedir. Buna göre, antikorun bulunduğu $2.$ örneğin $4.$ testte elde edilme olasılığı kaçtır?

0,0400

0,0768

0,1024

0,1536

0,0512

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,0768$

Cevap

0,0768

olasılık değeri doğrudur.

Verilen problemde başarı sayısı sabitlendiği ve bu başarının gerçekleştiği toplam deneme sayısı sorulduğu için Negatif Binom dağılımı kullanılır.

r=2

başarının

x=4

denemede gerçekleşmesi olasılığı, ilk

3

denemede

1

başarı elde edilmesi ve

4

. denemenin kesinlikle başarı olması durumudur. Bu da

\binom{3}{1} (0,20)^2 (0,80)^2 = 0,0768

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin parametrelerini tanımlama

r = 2

(istenen başarı sayısı),

x = 4

(toplam deneme sayısı),

p = 0,20

(başarı olasılığı),

q = 1 - 0,20 = 0,80

(başarısızlık olasılığı)

Negatif Binom dağılımı, belirli bir sayıdaki başarıya ulaşmak için gereken deneme sayısını modeller.

2

Negatif Binom dağılımı formülünü uygulama

P(X=x) = \binom{x-1}{r-1} p^r q^{x-r}

formülünden

P(X=4) = \binom{4-1}{2-1} (0,20)^2 (0,80)^{4-2}

Son denemenin mutlaka başarıyla sonuçlanması gerektiği için kombinasyon

x-1

ve

r-1

üzerinden kurulur.

3

Matematiksel hesaplamayı yapma

P(X=4) = \binom{3}{1} (0,04) (0,64) = 3 \times 0,0256 = 0,0768

Kombinasyon ve kuvvet işlemlerinin sonucunda kesin olasılık değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Negatif Binom (Pascal) Dağılımı

Tahmini Süre:45s

Soru 72Soru →

Nüfus ve Vatandaşlık İşleri Genel Müdürlüğü'nde incelenen pasaport başvurularında, biyometrik fotoğrafın standartlara uygun olmama olasılığı $0,4$ olarak hesaplanmıştır. Başvurular sırasıyla ve birbirinden bağımsız olarak kontrol edilmektedir. Buna göre, incelenen üçüncü başvurunun, biyometrik fotoğrafı standartlara uygun olmayan ikinci başvuru olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0,096

0,13824

0,144

0,192

0,288

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,192

Cevap

0,192

değeri doğru cevaptır.

Negatif Binom dağılımı kurallarına göre,

r=2

. başarının (standart dışı fotoğraf)

k=3

. denemede gerçekleşme olasılığı

\binom{2}{1} p^2 q^1

formülüyle hesaplanır.

0,4

başarı olasılığı ve

0,6

başarısızlık olasılığı ile yapılan işlem sonucunda

0,192

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Parametreleri belirleyin.

p = 0,4

(başarı/uygun olmama olasılığı),

r = 2

(hedeflenen başarı sayısı),

k = 3

(toplam deneme sayısı).

Soruda istenen durumun Negatif Binom (Pascal) dağılımına uyduğunu tespit etmek için parametrelerin belirlenmesi gerekir.

2

Negatif Binom olasılık kütle fonksiyonunu kurun.

P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

r

. başarının

k

. denemede gerçekleşmesi olasılığı bu formülle hesaplanır.

3

Değerleri yerine koyarak hesaplamayı yapın.

P(X = 3) = \binom{3-1}{2-1} (0,4)^2 (0,6)^{3-2} = \binom{2}{1} (0,16) (0,6) = 2 \times 0,096 = 0,192

Seçilen parametrelerin formülde işlenmesiyle kesin olasılık değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Negatif Binom Dağılımı

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 73Soru →

Bir kargo dağıtım merkezinde, paketlerin üzerindeki barkodların hatalı okunma olasılığı her paket için $0,04$ olarak belirlenmiştir. Barkod okuma işlemlerinin birbirinden bağımsız olduğu varsayıldığında, ilk hatalı okumanın gerçekleştiği toplam paket sayısının beklenen değeri (matematiksel umudu) kaçtır?

0,04

4

24

25

100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

İlk hatalı okumanın gerçekleştiği toplam paket sayısının beklenen değeri 25'tir.

Geometrik dağılımda ilk başarının elde edildiği toplam deneme sayısı için beklenen değer

E[X] = 1/p

olarak tanımlanır. Verilen başarı olasılığı

p = 0,04

yerine koyulduğunda, beklenen paket sayısı

1 / 0,04 = 25

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin hangi olasılık dağılımına uygun olduğunu belirleyin.

Belirli bir olasılığa sahip bir olayın (başarı) ilk kez gerçekleşene kadar yapılan bağımsız denemeler dizisi Geometrik dağılım ile modellenir. Burada başarı olasılığı

p = 0,04

olarak verilmiştir.

Soru, ilk başarının (hatalı okuma) kaçıncı denemede gerçekleşeceğine dair beklenen değeri sormaktadır.

2

Rastgele değişkenin tanımını ve uygun formülü seçin.

Rastgele değişken

X

, 'toplam paket sayısı' olarak tanımlandığı için

X \in \{1, 2, 3, \dots\}

destek kümesine sahiptir. Bu tanım için beklenen değer formülü

E[X] = \frac{1}{p}

şeklindedir.

Geometrik dağılımda eğer değişken 'ilk başarıya kadar geçen başarısızlık sayısı' (

0, 1, 2, \dots

) olarak tanımlansaydı formül

\frac{1-p}{p}

olurdu. Soru kökünde toplam paket sayısı istendiği için

1/p

kullanılır.

3

Hesaplamayı gerçekleştirin.

E[X] = \frac{1}{0,04} = \frac{100}{4} = 25

.

Beklenen değer, başarı olasılığının çarpmaya göre tersidir.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımda Beklenen Değer ve Tanım Kümesi İlişkisi

Tahmini Süre:45s

Soru 74Soru →

Bir fabrikadaki kalite kontrol birimi, üretim bandından çıkan elektronik parçaları kusurlu bir parça bulana kadar sırasıyla test etmektedir. Her bir parçanın kusurlu olma olasılığı birbirinden bağımsız ve sabittir. İlk kusurlu parçanın bulunması için gereken toplam test sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir.

Test sürecinin toplam maliyeti $M = 2X + 10$ (TL) olarak modellenmiştir ve bu maliyetin varyansı $Var(M) = 24$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kalite kontrol sürecinde test edilen ilk 3 parçanın sağlam olduğu bilindiğine göre, ilk kusurlu parçanın tam olarak 6. testte bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{4}{27}

\frac{9}{64}

\frac{8}{81}

\frac{4}{9}

\frac{32}{729}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{27}$

Cevap

Doğru yanıt, hafızasızlık özelliği kullanılarak elde edilen \frac{4}{27} olasılığını veren seçenektir.

Sorunun çözümünde iki temel istatistiksel özellik bir arada kullanılmalıdır. Öncelikle, maliyetin varyansından parça kusur olasılığı p bulunmalıdır.

Var(2X+10) = 2^2 Var(X) = 4Var(X) = 24

eşitliğinden

Var(X)=6

elde edilir. Toplam deneme sayısını modelleyen Geometrik dağılımın varyans formülü

\frac{1-p}{p^2} = 6

şeklinde kurularak

p=1/3

hesaplanır. İkinci aşamada, ilk 3 parçanın sağlam olduğu bilgisi ışığında 6. parçanın kusurlu olma koşullu olasılığı olan

P(X=6 \mid X>3)

istenmektedir. Geometrik dağılımın temel özelliği olan hafızasızlık (memoryless) kuralı uyarınca bu olasılık

P(X=3)

'e eşittir. Olasılık kütle fonksiyonu uygulanarak

(1 - 1/3)^{3-1} \cdot (1/3) = \frac{4}{27}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans özelliklerini kullanarak X'in varyansını hesaplama

Var(M) = Var(2X + 10) = 4Var(X) = 24 denkleminden Var(X) = 6 bulunur.

Maliyet fonksiyonundaki doğrusal dönüşümün varyansa etkisini doğru ayrıştırmak için Var(aX+b) = a^2Var(X) kuralı uygulanmalıdır.

2

Geometrik dağılımın varyans formülünden başarı olasılığını (p) bulma

Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = 6 denklemi çözülerek 6p^2 + p - 1 = 0 elde edilir. Köklerden pozitif olan p = 1/3 bulunur.

X, ilk başarıya (kusurlu ürün) kadar geçen toplam deneme sayısı olduğundan p parametresi varyans üzerinden hesaplanmalıdır.

3

Koşullu olasılık ifadesini basitleştirme

P(X = 6 \mid X > 3) ifadesi, Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliği gereği P(X = 6 - 3) = P(X = 3) şekline dönüşür.

Geometrik dağılım hafızasızdır; geçmişteki başarısız denemeler, gelecekteki başarı olasılığı dağılımını etkilemez.

4

İstenen olasılığı hesaplama

P(X = 3) = (1 - p)^{3-1}p = (1 - 1/3)^2(1/3) = (2/3)^2(1/3) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27} elde edilir.

Tam olarak k. denemede ilk başarının elde edilme olasılığı P(X = k) = (1-p)^{k-1}p formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımda Hafızasızlık Özelliği ve Varyans

Soru 75Soru →

Bir kalite kontrol uygulamasında incelenen bir parçanın kusurlu olma olasılığı $p$ , kusursuz olma olasılığı ise $1-p$ olarak belirlenmiştir. Parçanın kusurlu olması durumu $X=1$ (başarı), kusursuz olması durumu ise $X=0$ (başarısızlık) olarak tanımlanarak bir $X$ rastgele değişkeni oluşturulmuştur.

Buna göre, bu $X$ Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı $Var(X)$ ve moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t)$ aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

Var(X) = p(1-p)

ve

M_X(t) = (1-p) + pe^t

Var(X) = p^2

ve

M_X(t) = (1-p) + pe^t

Var(X) = \sqrt{p}

ve

M_X(t) = (1-p) + pe^t

Var(X) = p(1+p)

ve

M_X(t) = p + (1-p)e^t

Var(X) = p(1-p)

ve

M_X(t) = p + (1-p)e^t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Var(X) = p(1-p)$ ve $M_X(t) = (1-p) + pe^t$

Cevap

Bernoulli rastgele değişkeninin varyansının

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonunun

M_X(t) = (1-p) + pe^t

olarak verildiği seçenektir.

X

bir Bernoulli rastgele değişkeni olduğundan yalnızca 0 ve 1 değerlerini alabilir. Beklenen değer

E[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p

ve ikinci moment

E[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p

olarak hesaplanır. Buradan varyans

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

olarak bulunur. Moment çıkaran fonksiyon (MGF) ise tanım gereği

E[e^{tX}]

ifadesidir. Kesikli değişken için bu toplam açıldığında

e^{t(0)} \cdot P(X=0) + e^{t(1)} \cdot P(X=1) = (1-p) + pe^t

elde edilir. Bu özelliklerin doğru verildiği seçenek kesin olarak doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

X

'in beklenen değerini ve ikinci momentini hesaplamak.

E[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p

ve

E[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p

bulunur.

Varyans formülünde yerine koymak için bu temel momentlere ihtiyaç vardır.

2

Varyansı

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

formülü ile elde etmek.

Var(X) = p - p^2 = p(1-p)

sonucu elde edilir.

Değişkenin ortalaması etrafındaki yayılımını matematiksel olarak bulmak için standart varyans tanımı kullanılır.

3

Moment çıkaran fonksiyonu

M_X(t) = E[e^{tX}]

temel tanımından türetmek.

M_X(t) = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t

olarak hesaplanır.

Dağılımın tüm momentlerini teorik olarak üreten fonksiyonu kesikli değişken kurallarına göre oluşturmak için.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımının Varyansı ve Moment Çıkaran Fonksiyonu

Soru 76Soru →

Bir kamu bankasının çağrı merkezine gelen aramaların %40'ı kredi kartı işlemleriyle ilgilidir. Çağrı merkezi temsilcisi, ardışık ve bağımsız çağrıları yanıtlamaktadır.

Buna göre, temsilcinin 4. kredi kartı işlemi çağrısını tam olarak 10. görüşmesinde alma olasılığı ile bu temsilcinin 4. kredi kartı işlemi çağrısını alana kadar yanıtlaması beklenen toplam çağrı sayısı sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

\binom{9}{3} (0,4)^4 (0,6)^6

ve

10

\binom{10}{4} (0,4)^4 (0,6)^6

ve

4

\binom{13}{10} (0,4)^4 (0,6)^{10}

ve

6

\binom{9}{3} (0,4)^4 (0,6)^6

ve

15

\binom{10}{3} (0,4)^4 (0,6)^6

ve

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\binom{9}{3} (0,4)^4 (0,6)^6$ ve $10$

Cevap

\binom{9}{3} (0,4)^4 (0,6)^6

olasılığını ve beklenen değer olarak

10

sayısını içeren seçenektir.

Soruda belirli sayıdaki bir başarıya kadar devam eden bağımsız denemelerin incelenmesi söz konusu olduğundan Negatif Binom (Pascal) dağılımı kullanılmalıdır. 10. denemede (çağrıda) 4. başarının (kredi kartı işlemi) elde edilme olasılığı

P(X=10) = \binom{10-1}{4-1} (0,4)^4 (0,6)^{10-4}

formülü ile hesaplanarak

\binom{9}{3} (0,4)^4 (0,6)^6

bulunur. 4. başarıyı elde edene kadar yanıtlanması beklenen toplam çağrı sayısı ise dağılımın beklenen değer formülü olan

E(X) = \frac{r}{p} = \frac{4}{0,4} = 10

ifadesi ile tespit edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin dağılım türünü belirleme

Negatif Binom (Pascal) dağılımı olduğu tespit edilir.

Belirli bir sayıda başarıya (4. kredi kartı işlemi) ulaşana kadar yapılan bağımsız denemelerin (toplam çağrıların) sayısı sorulmaktadır.

2

Parametreleri çıkarma

p = 0,4

,

1-p = 0,6

, istenen başarı

r = 4

, toplam deneme

x = 10

.

Başarı olasılığı %40, aranan başarı 4'üncü işlem ve bu olayın 10'uncu çağrıda gerçekleşmesi istenmektedir.

3

İstenen olasılığı hesaplama

P(X=10) = \binom{10-1}{4-1} (0,4)^4 (0,6)^{10-4} = \binom{9}{3} (0,4)^4 (0,6)^6

Negatif Binom dağılımı olasılık fonksiyonu

P(X=x) = \binom{x-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r}

formülüne dayalıdır.

4

Beklenen değeri hesaplama

E(X) = \frac{r}{p} = \frac{4}{0,4} = 10

Negatif Binom dağılımında toplam deneme sayısının beklenen değeri (matematiksel umudu)

\frac{r}{p}

kuralı ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Negatif Binom (Pascal) Dağılımı Olasılık Kütle Fonksiyonu ve Beklenen Değeri

Soru 77Soru →

Bir kamu kurumunun otomasyon sisteminde, yapılan her bir veri tabanı sorgusunun başarılı olma olasılığı birbirinden bağımsız ve sabittir. İlk başarılı sorgunun elde edilmesi için yapılması gereken toplam sorgu sayısı $X$ rastgele değişkeni ile modellenmiştir ve $X$ 'in Geometrik dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Sistem analiz raporlarına göre, $X$ değişkeninin varyansı, beklenen değerinin 4 katına eşittir.

Buna göre, sisteme art arda yapılan ilk 3 sorgunun başarısız olduğu bilindiğine göre, ilk başarılı sorgunun tam olarak 6. denemede gerçekleşme olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{16}{125}

\frac{64}{625}

\frac{27}{256}

\frac{4}{125}

\frac{1024}{15625}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{16}{125}$

Cevap

İlk 3 denemenin başarısız olması koşulunda 6. denemede başarı elde edilmesi olasılığı

\frac{16}{125}

'tir.

Geometrik dağılımın toplam deneme sayısı tanımına göre

E[X] = 1/p

ve

Var(X) = (1-p)/p^2

dir. Bu eşitlikten

p = 1/5

(başarı olasılığı) bulunur. İstenen

P(X = 6 \mid X > 3)

koşullu olasılığı, dağılımın hafızasızlık özelliği (memoryless property) gereği

P(X = 3)

'e eşittir. Formülde yerine konulduğunda

q^{x-1}p = (4/5)^2 \cdot (1/5) = 16/125

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

X

'in tanımından yola çıkarak beklenen değer ve varyans formüllerini yazma

E[X] = \frac{1}{p}

ve

Var(X) = \frac{1-p}{p^2}

X

, ilk başarı için gereken toplam deneme sayısıdır (tanım kümesi

x \ge 1

).

2

Verilen varyans ve beklenen değer ilişkisini kullanarak başarı olasılığını (

p

) bulma

\frac{1-p}{p^2} = 4 \left(\frac{1}{p}\right) \implies \frac{1-p}{p} = 4 \implies 1-p = 4p \implies 5p = 1 \implies p = \frac{1}{5}

Soruda varyansın, beklenen değerin 4 katı olduğu net olarak verilmiştir.

3

İstenen koşullu olasılığı matematiksel olarak ifade etme ve hafızasızlık özelliğini (memoryless property) uygulama

P(X = 6 \mid X > 3) = P(X = 6 - 3) = P(X = 3)

Geometrik dağılım hafızasızlık özelliğine sahiptir. İlk 3 başarısızlık geçmişte kalmıştır ve sürecin baştan başlamasıyla eşdeğerdir.

4

Geometrik dağılım fonksiyonu ile

P(X = 3)

değerini hesaplama

P(X = 3) = (1-p)^{3-1} p = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \frac{1}{5} = \frac{16}{25} \cdot \frac{1}{5} = \frac{16}{125}

Toplam deneme sayısı 3 olduğunda, ilk 2 deneme başarısız (

q^2

) ve 3. deneme başarılıdır (

p

).

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılım ve Hafızasızlık Özelliği

Alternatif Yöntem

Hafızasızlık özelliğini kullanmadan genel koşullu olasılık formülü ile de çözüm yapılabilir:

P(X = 6 \mid X > 3) = \frac{P(X = 6 \cap X > 3)}{P(X > 3)} = \frac{P(X = 6)}{P(X > 3)} = \frac{q^5 \cdot p}{q^3} = q^2 \cdot p = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{16}{125}

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 78Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan bir uzman, hazırladığı raporların belirli bir denetimden geçme sürecini incelemektedir. Raporların ilk incelemede reddedilme durumları birbirinden bağımsızdır ve her bir rapor için reddedilme olasılığı sabit bir $p$ değeridir.

Uzmanın rastgele seçtiği $n$ adet raporun reddedilme sayısının beklenen değeri $1,2$ ve varyansı $0,84$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, uzmanın hazırladığı bu $n$ adet rapordan tam olarak $3$ 'ünün ilk incelemede reddedilme olasılığı kaçtır?

0,0189

0,0567

0,0756

0,1029

0,4116

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,0756

Cevap

Uzmanın hazırladığı raporlardan tam olarak 3'ünün reddedilme olasılığı 0,0756'dır.

Verilen bilgilere göre, reddedilen rapor sayısı

X

olmak üzere

X \sim Bin(n, p)

dağılımına sahiptir. Beklenen değer

E[X] = np = 1,2

ve varyans

Var(X) = np(1-p) = 0,84

eşitlikleri taraf tarafa bölündüğünde veya yerine yazıldığında

1-p = 0,7

ve dolayısıyla

p = 0,3

bulunur. Bu değer beklenen değer formülünde yerine konulduğunda

n = 4

olarak hesaplanır. Tam olarak 3 raporun reddedilme olasılığı Binom olasılık formülü ile

P(X=3) = \binom{4}{3} (0,3)^3 (0,7)^1 = 4 \cdot 0,027 \cdot 0,7 = 0,0756

şeklinde doğru olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen değer ve varyans eşitliklerini oluştur.

E[X] = np = 1,2

ve

Var(X) = np(1-p) = 0,84

Binom dağılımında parametreleri bulabilmek için dağılımın temel özelliklerini denkleme dökmek gereklidir.

2

Oluşturulan eşitlik sistemini çözerek n ve p parametrelerini hesapla.

np(1-p) = 0,84 \implies 1,2(1-p) = 0,84 \implies 1-p = 0,7 \implies p = 0,3

. Buradan

n \cdot 0,3 = 1,2 \implies n = 4

elde edilir.

Olasılık hesaplaması yapabilmek için deneme sayısına (

n

) ve başarı olasılığına (

p

) ihtiyaç vardır.

3

Elde edilen parametrelerle

P(X=3)

olasılığını hesapla.

P(X=3) = \binom{4}{3} (0,3)^3 (0,7)^1 = 4 \cdot 0,027 \cdot 0,7 = 0,0756

Tam olarak 3 raporun reddedilme olasılığını veren Binom olasılık kütle fonksiyonu uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımının Beklenen Değer, Varyans Özellikleri ve Olasılık Fonksiyonu

Soru 79Soru →

Bir siber güvenlik uzmanı, bir sunucuya yapılan izinsiz erişim denemelerini incelemektedir. Sisteme yapılan her bir denemenin başarılı olma (sisteme sızma) olasılığı $p = \frac{1}{4}$ olup, denemeler birbirinden bağımsızdır.

$X$ rastgele değişkeni, ilk başarılı sızma gerçekleşene kadar yapılan toplam deneme sayısını (başarılı sızma dâhil) ifade etmektedir.

Sistemin ilk $2$ denemede sızmaya karşı güvenliğini koruduğu (denemelerin başarısız olduğu) bilindiğine göre; ilk başarılı sızmanın gerçekleşmesi için toplamda en az $5$ deneme yapılması olasılığı, $X$ değişkeninin beklenen değeri ( $E[X]$ ) ve varyansı ( $Var[X]$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

\frac{9}{16} \quad ; \quad 3 \quad ; \quad 12

\frac{27}{64} \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 12

\frac{9}{16} \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 12

\frac{27}{64} \quad ; \quad 3 \quad ; \quad 16

\frac{81}{256} \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{16} \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 12$

Cevap

İstenilen olasılık

\frac{9}{16}

, beklenen değer

4

ve varyans

12

'dir.

Geometrik dağılımda

X

toplam deneme sayısını ifade ettiğinde beklenen değer

E[X] = \frac{1}{p} = 4

, varyans ise

Var[X] = \frac{1-p}{p^2} = 12

olarak hesaplanır. İstenilen olasılık ise, hafızasızlık özelliği kullanılarak

P(X \ge 5 \mid X > 2) = P(X > 4 \mid X > 2) = P(X > 2) = (1-p)^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}

şeklinde doğru olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele değişkenin dağılımını ve parametrelerini belirleme.

X \sim Geo(p = \frac{1}{4})

,

p

başarı (sızma) olasılığıdır.

X

, ilk başarıya kadar geçen toplam deneme sayısıdır (başarı dâhil).

2

Geometrik dağılım için beklenen değer ve varyans formüllerini uygulama.

E[X] = \frac{1}{p} = 4

ve

Var[X] = \frac{1-p}{p^2} = \frac{3/4}{(1/4)^2} = \frac{3/4}{1/16} = 12

.

Toplam deneme sayısını modelleyen geometrik dağılımın temel moment formülleri kullanılmıştır.

3

İstenen olasılığı koşullu olasılık olarak ifade etme.

Sorulan olasılık:

P(X \ge 5 \mid X > 2)

.

İlk 2 denemenin başarısız olduğu (

X > 2

) biliniyor ve toplamda en az 5 deneme yapılması (

X \ge 5

) isteniyor.

4

Hafızasızlık özelliğini veya doğrudan koşullu olasılık formülünü kullanarak hesaplama yapma.

Hafızasızlık özelliği ile:

P(X \ge 5 \mid X > 2) = P(X > 4 \mid X > 2) = P(X > 4 - 2) = P(X > 2) = (1-p)^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}

.

Geometrik dağılımın hafızasızlık özelliği

P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)

şeklindedir. Doğrudan yolla da

\frac{P(X > 4)}{P(X > 2)} = \frac{(3/4)^4}{(3/4)^2} = \frac{9}{16}

sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Özellikleri ve Hafızasızlık

Soru 80Soru →

Bir kamu kurumunda gerçekleştirilen belirli bir türdeki bağımsız $n$ adet idari işlemin her birinin yasal süre içinde tamamlanma olasılığı $p$ 'dir. Yasal süre içinde tamamlanan işlem sayısı $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir ve $X \sim \text{Bin}(n, p)$ dağılımına sahiptir.

Bu dağılıma ilişkin olarak,

E[X] = 3 \cdot \text{Var}(X)

\frac{P(X=3)}{P(X=2)} = 2

eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, incelenen $n$ adet işlemden en az 1'inin yasal süre içinde tamamlanma olasılığı ( $P(X \ge 1)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{10}{243}

\frac{26}{27}

\frac{31}{32}

\frac{211}{243}

\frac{242}{243}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{242}{243}$

Cevap

İstenen olasılık, parametreleri bulunduktan sonra tümleyen kuralı ile hesaplanan

\frac{242}{243}

değeridir.

Beklenen değer (

np

) ve varyans (

np(1-p)

) bağıntısı kurularak

p = 2/3

olduğu tespit edilir. Ardından Binom kütle fonksiyonlarının birbirine oranı açılarak deneme sayısının

n = 5

olduğu saptanır. Soruda istenen "en az 1 başarı" olasılığı, tüm olasılıklardan (1), hiç başarı olmaması durumunun (

P(X=0) = (1/3)^5

) çıkarılmasıyla hesaplanarak sonucun

242/243

olduğu kanıtlanır.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen değer ve varyans ilişkisinden

p

parametresini hesapla.

p = \frac{2}{3}

Binom dağılımında

E[X] = np

ve

\text{Var}(X) = np(1-p)

formülleri,

E[X] = 3 \cdot \text{Var}(X)

denkleminde yerine yazıldığında

np = 3np(1-p) \implies 1 = 3(1-p) \implies p = \frac{2}{3}

elde edilir.

2

Verilen olasılık oranı eşitliğini kullanarak

n

parametresini bul.

n = 5

Binom olasılık formülünde oran yazıldığında

\frac{P(X=3)}{P(X=2)} = \frac{\binom{n}{3} p^3 (1-p)^{n-3}}{\binom{n}{2} p^2 (1-p)^{n-2}} = \frac{n-2}{3} \cdot \frac{p}{1-p}

olur.

p = \frac{2}{3}

değeri yerine konulduğunda

\frac{n-2}{3} \cdot 2 = 2 \implies n-2=3 \implies n=5

bulunur.

3

P(X \ge 1)

olasılığını tümleyen kuralını kullanarak hesapla.

P(X \ge 1) = \frac{242}{243}

En az 1 işlemin başarılı olma olasılığı, 1'den hiçbir işlemin başarılı olmama olasılığının çıkarılması ile bulunur:

P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \binom{5}{0}(\frac{2}{3})^0(\frac{1}{3})^5 = 1 - \frac{1}{243} = \frac{242}{243}

.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımının Parametreleri, Beklenen Değer, Varyans ve Olasılık Fonksiyonu

Özel Olasılık Dağılımları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm