Basit Doğrusal Regresyon Analizi

Klasik Doğrusal Regresyon Modeli'nde, farklı gözlemlere ait hata terimleri arasında bir ilişkinin olmadığını, yani $i \neq j$ için $Cov(u_i, u_j) = 0$ olduğunu ifade eden varsayım aşağıdakilerden hangisidir?

Bir araştırmacı, $Y$ bağımlı değişkeni ile $X$ bağımsız değişkeni arasındaki ilişkiyi incelemek için $n=100$ gözlemden oluşan bir veri seti kullanmış ve $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$ basit doğrusal regresyon modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir.

Araştırma sonucunda, eğim katsayısı $\hat{\beta}_1 = 0,80$ olarak hesaplanmıştır. Ayrıca $X$ ile $Y$ değişkenleri arasındaki korelasyon katsayısı $r = 0,40$ olarak bulunmuştur.

Eğer araştırmacı, $X$ değişkenini bağımlı, $Y$ değişkenini bağımsız değişken olarak kabul edip $X_i = \alpha_0 + \alpha_1 Y_i + v_i$ modelini EKK yöntemiyle tahmin etseydi, yeni eğim katsayısı ($\hat{\alpha}_1$) aşağıdakilerden hangisi olurdu?

Türkiye İstatistik Kurumu verilerini inceleyen bir istatistikçi, illerin yıllık ihracat hacmi ($X$, milyon dolar) ile ekonomik büyüme oranları ($Y$, yüzde) arasındaki doğrusal ilişkiyi modellemek istemektedir. Kurulan sabit terimli basit doğrusal regresyon modelinde, En Küçük Kareler (EKK) yöntemi uygulanmış, $12$ ilden oluşan bir kesit verisi kullanılarak aşağıdaki özet istatistikler elde edilmiştir:

- $\bar{X} = 10$
- $\bar{Y} = 40$
- $\sum (X_i - \bar{X})^2 = 40$
- $\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 120$
- Hata Kareler Toplamı ($HKT$) $= 100$

Elde edilen bu tahmin sonuçları ve EKK yönteminin istatistiksel özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir araştırmacı, $n$ gözlemli bir veri seti kullanarak $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i$ modelini En Küçük Kareler ($EKK$) yöntemiyle tahmin etmiştir. Yapılan ön incelemelerde veri seti ve model hakkında şu bulgulara ulaşılmıştır:

I. Bağımsız değişkenler ($X_1$ ve $X_2$) arasında yüksek (fakat kusursuz olmayan) derecede çoklu doğrusal bağlantı bulunmaktadır.
II. Hata terimlerinin varyansı sabittir ($Var(u_i) = \sigma^2$) ve hata terimleri arasında ardışık bağımlılık yoktur ($Cov(u_i, u_j) = 0$).
III. Hata terimleri normal dağılıma sahip değildir.

Gauss-Markov teoremi ve EKK tahmin edicilerinin teorik özellikleri dikkate alındığında, bu modelin tahmin sonuçlarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir sağlık politikaları araştırmacısı, Türkiye'deki $n = 52$ farklı devlet hastanesinde hemşire başına düşen hasta sayısı ($X$) ile hasta memnuniyet oranları ($Y$) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla basit doğrusal regresyon modeli tahmin etmiştir.

Analiz sonucunda elde edilen ANOVA tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Tablodaki eksik bilgileri kullanarak, modelin genel anlamlılığını test etmek için hesaplanan F test istatistiğinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumunda çalışan uzman, personelin hizmet içi eğitim süreleri ($X$) ile performans değerlendirme puanları ($Y$) arasındaki ilişkiyi Klasik Doğrusal Regresyon Modeli (KDRM) kullanarak analiz etmektedir. Analiz sonucunda, hata terimlerinin sıfır ortalamaya, sabit varyansa sahip olduğu ve birbirleriyle ilişkisiz olduğu (otokorelasyon bulunmadığı) tespit edilmiştir. Ancak hata terimlerinin olasılık dağılımının şekli (örneğin normal dağılıp dağılmadığı) hakkında herhangi bir teorik varsayım yapılmamıştır.

Uzman, modelin eğim parametresini tahmin etmek için En Küçük Kareler (EKK) yöntemini uygulayarak $\hat{\beta}_{EKK}$ tahmin edicisini hesaplamıştır. Diğer taraftan, aynı parametre için doğrusal olmayan ancak sapmasız olduğu matematiksel olarak ispatlanmış alternatif bir $\tilde{\beta}_A$ tahmin edicisi de önerilmiştir.

Gauss-Markov teoremi çerçevesinde, bu tahmin ediciler ve model özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir araştırmacı, bir e-ticaret platformunda satılan bir ürünün fiyatı ($X$) ile günlük satış miktarı ($Y$) arasındaki ilişkiyi incelemek için basit doğrusal regresyon analizi yapmıştır.

Analizde $n = 18$ günlük veri kullanılmış ve Hata Kareler Toplamı ($HKT$) $144$ olarak hesaplanmıştır. Belirli bir fiyat düzeyi ($X_0$) için, günlük ortalama satış miktarının kestirimine ilişkin standart hata ($SE_{\hat{Y}_{ort}}$) $4$ birim olarak bulunmuştur.

Buna göre, aynı fiyat düzeyi ($X_0$) için bireysel bir günün satış miktarına ilişkin tahmin standart hatası ($SE_{\hat{Y}_{birey}}$) kaçtır ve bireysel tahmin aralığının genişliği ile ortalama kestirim aralığının genişliği arasındaki ilişki aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir? (Her iki aralık için de aynı güven düzeyi kullanılacaktır.)

Bir üretim bandında montaj süresi ($Y$, dakika) ile işçinin deneyim süresi ($X$, ay) arasındaki ilişki, $n = 12$ işçiden alınan verilerle basit doğrusal regresyon kullanılarak modellenmiştir.

Analiz sonucunda modelin Hata Kareler Toplamı (HKT) $360$ olarak elde edilmiştir. Deneyim süresi $X_0 = 15$ ay olan işçilerin ortalama montaj süresini tahmin etmek için kullanılan güven aralığının standart hatası ise $8$ dakikadır.

Buna göre, deneyim süresi $15$ ay olan yeni işe alınmış tek bir işçinin montaj süresine ilişkin oluşturulacak kestirim (bireysel tahmin) aralığının standart hatası ve bu aralığın ortalama güven aralığına göre genişlik durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Bir istatistik uzmanı, kurduğu basit doğrusal regresyon modeli üzerinden yapacağı $t$ ve $F$ testlerinin güvenilir sonuçlar vermesi için hata terimlerinin belirli bir dağılıma uyması gerektiğini bilmektedir. Ayrıca, elde edilen En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerinin Gauss-Markov teoremi gereğince en küçük varyansa (etkinliğe) sahip olabilmesi için hata terimlerinde değişen varyans (heteroskedastisite) ve ardışık bağımlılık (otokorelasyon) bulunmadığını kanıtlamak istemektedir.

Buna göre uzmanın, modeldeki hata terimlerine ilişkin sırasıyla;
I. Normallik varsayımının sağlanıp sağlanmadığını,
II. Değişen varyans sorunu bulunup bulunmadığını,
III. Otokorelasyon problemi olup olmadığını

sınamak amacıyla kullanması gereken testler aşağıdakilerin hangisinde doğru sırayla verilmiştir?

Bir araştırmacı, $Y$ bağımlı ve $X$ bağımsız değişkeni arasındaki ilişkiyi incelerken, teorik altyapı gereği $X=0$ iken $Y$'nin de $0$ olması gerektiği varsayımından yola çıkarak sabit terim içermeyen $Y_i = \beta X_i + u_i$ şeklinde orijinden geçen bir basit doğrusal regresyon modeli kurmuştur. Modelin En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilmesi sonucunda elde edilen istatistiksel özellikler değerlendirildiğinde, aşağıdaki ifadelerden hangisi teorik olarak kesinlikle doğrudur?

Bir makroekonomik analiz çalışmasında, istihdam oranları ($X$) ile sanayi üretim endeksi ($Y$) arasındaki ilişki $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$ doğrusal modeli ile tahmin edilmektedir. Kurulan modelin; hata terimlerinin beklenen değerinin sıfır olduğu ($E(u_i)=0$), varyansının sabit kaldığı ($Var(u_i)=\sigma^2$) ve hata terimleri arasında ardışık bağımlılık bulunmadığı ($Cov(u_i, u_j)=0$) temel varsayımlarını sağladığı saptanmıştır.

Bu koşullar altında Gauss-Markov teoremine dayanarak tercih edilen En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerine atfedilen "en iyi" (best) olma özelliği aşağıdakilerden hangisini kesin olarak ifade eder?

Yatay kesit verilerinin kullanıldığı basit doğrusal bir regresyon analizinde ($Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$), ana modelin En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilmesinin ardından tanısal bir test uygulanmıştır. Bu test aşamasında; elde edilen kalıntıların karesi ($\hat{u}_i^2$), bağımsız değişken ($X_i$) ve bağımsız değişkenin karesi ($X_i^2$) üzerine yardımcı bir regresyona tabi tutulmuştur. Bu yardımcı regresyondan hesaplanan $n \cdot R^2$ test istatistiğinin, belirlenen anlamlılık düzeyindeki kritik $\chi^2$ (ki-kare) tablo değerinden büyük olduğu tespit edilmiştir.

Ana modelin katsayı tahmin edicileri ve EKK varsayımları dikkate alındığında, ortaya çıkan bu durumun teorik sonuçlarıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir kamu politikasının kantitatif etki analizi için $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$ biçiminde basit doğrusal regresyon modeli tahmin edilmektedir. Bu analizde, Klasik Doğrusal Regresyon Modeli'nin (KDRM) tüm standart varsayımlarının (hata terimlerinin sıfır beklenen değere ve sabit varyansa sahip olması, otokorelasyon bulunmaması ve bağımsız değişkenin stokastik olmaması) eksiksiz olarak sağlandığı bilinmektedir.

Araştırmacı, $\beta_1$ parametresini tahmin etmek amacıyla En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle elde edilen $\hat{\beta}_{EKK}$ yerine, gözlemlere farklı ağırlıklar ($w_i$) atayan $\tilde{\beta}_1 = \sum_{i=1}^{n} w_i Y_i$ formunda yeni bir doğrusal tahmin edici önermiştir. İstatistiksel incelemeler sonucunda, önerilen bu yeni doğrusal tahmin edicinin varyansının, EKK tahmin edicisinin varyansından kesin olarak daha küçük olduğu ($Var(\tilde{\beta}_1) < Var(\hat{\beta}_{EKK})$) ispatlanmıştır.

Bu bilgilere ve Gauss-Markov teoremine göre, $\tilde{\beta}_1$ tahmin edicisi için aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir finansal analist, bir hisse senedinin günlük getiri oranı ($Y$) ile piyasa endeksi günlük getiri oranı ($X$) arasındaki ilişkiyi incelemek için $n = 42$ işlem gününe ait verilerle basit doğrusal regresyon modeli ($Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$) kurmuştur.

Hesaplamalar sonucunda aşağıdaki değerler elde edilmiştir:
- Toplam Kareler Toplamı (TKT): $\sum_{i=1}^{42} (Y_i - \bar{Y})^2 = 3200$
- Bağımsız değişkenin ortalamadan sapmalarının kareler toplamı: $\sum_{i=1}^{42} (X_i - \bar{X})^2 = 200$
- Eğim katsayısı tahmincisinin standart hatası: $S_{\hat{\beta}_1} = 0,2$

Buna göre, kurulan basit doğrusal regresyon modelinin genel anlamlılığını sınamak için kullanılacak F-testi istatistiğinin (F-hesap) değeri kaçtır?

Bir kamu kurumu analisti, bölgesel teşviklerin ($X$) istihdam artışı ($Y$) üzerindeki etkisini ölçmek amacıyla $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$ biçiminde bir doğrusal regresyon modeli kurmuştur. Analist, Gauss-Markov varsayımlarının tam olarak sağlandığı bu veri setinde $\beta_1$ parametresini tahmin etmek için iki farklı yöntem kullanmıştır. Birinci yöntem standart En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicisini ($\hat{\beta}_{1,EKK}$), ikinci yöntem ise EKK'dan farklı ancak yine doğrusal ve sapmasız olduğu bilinen alternatif bir tahmin ediciyi ($\tilde{\beta}_1$) temel almaktadır.

Gauss-Markov teoremi dikkate alındığında, bu iki tahmin edicinin özellikleri karşılaştırıldığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Ekonometrik bir analizde, bir istatistikçi elindeki veri seti için sabit terim içermeyen (orijinden geçen) $Y_i = \beta_1 X_i + u_i$ modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir. Analiz sonucunda, standart belirtme katsayısı formülünü ($R^2 = 1 - \frac{\sum e_i^2}{\sum (Y_i - \bar{Y})^2}$) kullanarak hesaplama yaptığında $R^2$ değerini $-0,12$ olarak bulmuştur.

Buna göre, hesaplanan bu negatif $R^2$ değerinin istatistiksel açıdan en doğru yorumu aşağıdakilerden hangisidir?