Examkin

Kosinüs Teoremi

30 soru

Tüm türler30Çoktan seçmeli15Sayısal15
Soru 21Soru →

Şekildeki ABCABC ve CDECDE üçgenlerinin CC köşesi ortaktır. A,C,EA, C, E noktaları ile B,C,DB, C, D noktaları sırasıyla doğrusaldır.

∣AC∣=4 birim|AC| = 4\text{ birim}, ∣BC∣=6 birim|BC| = 6\text{ birim}, ∣AB∣=4 birim|AB| = 4\text{ birim}, ∣CD∣=5 birim|CD| = 5\text{ birim} ve ∣CE∣=8 birim|CE| = 8\text{ birim} olduğuna göre, ∣DE∣|DE| kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29\sqrt{29}

Cevap

29\sqrt{29}
Ortak CC köşesinde oluşan ters açıların kosinüs değerleri birbirine eşittir. İlk üçgende tüm kenar uzunlukları bilindiği için Kosinüs Teoremi yardımıyla ortak açının kosinüsü 34\frac{3}{4} olarak hesaplanır. Ardından ikinci üçgende bu kosinüs değeri ve verilen kenarlar kullanılarak Kosinüs Teoremi tekrar uygulanır ve bilinmeyen kenar uzunluğu 29\sqrt{29} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak olan CC köşesindeki ters açılardan yola çıkarak m(ACB^)=m(DCE^)=αm(\widehat{ACB}) = m(\widehat{DCE}) = \alpha olduğunu belirleyelim.
İki üçgenin de tepe açısı eşittir ve kosinüs değerleri aynıdır.
Kosinüs Teoremi'ni her iki üçgende de uygulayabilmek için ortak açının belirlenmesi gerekir.
2
ABCABC üçgeninde ABAB kenarına göre Kosinüs Teoremi formülünü uygulayarak cos⁡(α)\cos(\alpha) değerini hesaplayalım.
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(α)|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos(\alpha)
42=42+62−2⋅4⋅6⋅cos⁡(α)4^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(\alpha)
16=16+36−48cos⁡(α)16 = 16 + 36 - 48\cos(\alpha)
48cos⁡(α)=36  ⟹  cos⁡(α)=3448\cos(\alpha) = 36 \implies \cos(\alpha) = \frac{3}{4}
CDECDE üçgeninde bilinmeyen kenarı bulmak için bu ortak açının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.
3
CDECDE üçgeninde DEDE kenarı için Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım.
∣DE∣2=∣CD∣2+∣CE∣2−2⋅∣CD∣⋅∣CE∣⋅cos⁡(α)|DE|^2 = |CD|^2 + |CE|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |CE| \cdot \cos(\alpha)
∣DE∣2=52+82−2⋅5⋅8⋅34|DE|^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3}{4}
∣DE∣2=25+64−80⋅34|DE|^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{3}{4}
∣DE∣2=89−60=29  ⟹  ∣DE∣=29 birim|DE|^2 = 89 - 60 = 29 \implies |DE| = \sqrt{29}\text{ birim}
Kosinüs Teoremi yardımıyla bilinmeyen kenarın uzunluğu elde edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi ve Ters Açılar
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 22Soru →

Bir kenar uzunluğu 4 birim4\text{ birim} olan düzgün ABCDEFABCDEF altıgeninde; KK noktası [AB][AB] kenarı üzerinde ∣AK∣=1 birim|AK| = 1\text{ birim} olacak şekilde, LL noktası ise [CD][CD] kenarı üzerinde ∣CL∣=3 birim|CL| = 3\text{ birim} olacak şekilde belirleniyor.

Buna göre, KK ve LL noktaları arasındaki uzaklık (∣KL∣|KL|) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

K ve L noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.
Kosinüs Teoremi önce KBCKBC üçgeninde, ardından açılar arasındaki ilişki fark formülüyle düzenlenerek KCLKCL üçgeninde uygulandığında ∣KL∣2=49|KL|^2 = 49 elde edilir. Buradan uzaklık 7 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
K noktasının B köşesine olan uzaklığını bulma.
∣KB∣=3 birim|KB| = 3\text{ birim}
Düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu 4 birim4\text{ birim} olduğundan, ∣KB∣=∣AB∣−∣AK∣=4−1=3 birim|KB| = |AB| - |AK| = 4 - 1 = 3\text{ birim} elde edilir.
2
KBCKBC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulayarak ∣KC∣2|KC|^2 değerini hesaplama.
∣KC∣2=37 birim2|KC|^2 = 37\text{ birim}^2
m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^\circ, ∣KB∣=3 birim|KB| = 3\text{ birim} ve ∣BC∣=4 birim|BC| = 4\text{ birim} değerleri için Kosinüs Teoremi uygulandığında cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 yazılır ve ∣KC∣2=37|KC|^2 = 37 bulunur.
3
KBCKBC üçgeninden cos⁡(KCB^)\cos(\widehat{KCB}) ve sin⁡(KCB^)\sin(\widehat{KCB}) değerlerini elde etme.
cos⁡(KCB^)=11237\cos(\widehat{KCB}) = \frac{11}{2\sqrt{37}} ve sin⁡(KCB^)=33237\sin(\widehat{KCB}) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}
KBCKBC üçgeninde [BC][BC] kenarına göre Kosinüs Teoremi kullanılarak açının kosinüsü çekilir, ardından sinüsü bulunur.
4
cos⁡(KCD^)\cos(\widehat{KCD}) değerini toplam-fark formülü kullanarak hesaplama.
cos⁡(KCD^)=−1237\cos(\widehat{KCD}) = -\frac{1}{2\sqrt{37}}
Altıgenin iç açısı 120∘120^\circ olduğundan KCD^=120∘−KCB^\widehat{KCD} = 120^\circ - \widehat{KCB} bağıntısı kullanılır.
5
KCLKCL üçgeninde Kosinüs Teoremi ile ∣KL∣|KL| uzunluğunu hesaplama.
∣KL∣=7 birim|KL| = 7\text{ birim}
∣KL∣2=∣KC∣2+∣CL∣2−2∣KC∣∣CL∣cos⁡(KCD^)|KL|^2 = |KC|^2 + |CL|^2 - 2|KC||CL|\cos(\widehat{KCD}) formülünde değerler yerine yazılıp karekökü alınır.

Anahtar Kavram

Düzgün altıgenin açı ve kenar özellikleri ile Kosinüs Teoreminin üçgenlerde ardışık uygulanması.
Soru 23Soru →

Bir duvar saatinin akrebinin uzunluğu 4 cm4\text{ cm}, yelkovanının uzunluğu ise 6 cm6\text{ cm} olarak ölçülmüştür.

Buna göre, saat tam 16.00'yı gösterdiğinde akrep ile yelkovanın uç noktaları arasındaki en kısa uzaklık kaç cm\text{cm} olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2192\sqrt{19}

Cevap

2192\sqrt{19}
Saat 16.00'da yelkovan 12'yi, akrep ise 4'ü gösterir. Bu iki gösterge arasındaki açı 4×30∘=120∘4 \times 30^\circ = 120^\circ olur. Kenar uzunlukları 4 cm4\text{ cm} ve 6 cm6\text{ cm} olan ve aralarındaki açı 120∘120^\circ olan üçgende Kosinüs Teoremi uygulandığında uç noktalar arasındaki uzaklık dd olmak üzere, d2=42+62−2⋅4⋅6⋅cos⁡(120∘)d^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) bağıntısı elde edilir. cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 değeri yerine yazıldığında d2=16+36+24=76d^2 = 16 + 36 + 24 = 76 bulunur. Buradan d=76=219 cmd = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}\text{ cm} hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Saat kadranı üzerinde akrep ile yelkovan arasındaki açıyı derece cinsinden belirleme.
Açı 120∘120^\circ olarak bulunur.
Saat kadranı 12 eşit parçaya bölünmüştür ve her parça 30∘30^\circ lik yayı temsil eder. Saat 16.00'da yelkovan 12'yi, akrep ise 4'ü gösterdiğinden aralarındaki açı 4×30∘=120∘4 \times 30^\circ = 120^\circ olur.
2
Akrep ve yelkovanın uzunlukları (4 cm4\text{ cm} ve 6 cm6\text{ cm}) ve aralarındaki açıyı (120∘120^\circ) kullanarak Kosinüs Teoremi formülünü kurma.
d2=42+62−2⋅4⋅6⋅cos⁡(120∘)d^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) denklemi elde edilir.
Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı biliniyorsa, karşı kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanır.
3
Açının kosinüs değerini indirgeme kurallarına göre belirleme.
cos⁡(120∘)=−12\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} bulunur.
120∘120^\circ açısı ikinci bölgededir ve bu bölgede kosinüs fonksiyonu negatiftir. cos⁡(120∘)=cos⁡(180∘−60∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} olur.
4
Kosinüs değerini ve kenar uzunluklarının karelerini denklemde yerine yazıp uzaklığı hesaplama.
d2=16+36−48⋅(−12)=52+24=76  ⟹  d=219 cmd^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76 \implies d = 2\sqrt{19}\text{ cm} elde edilir.
Denklemin çözülmesiyle uç noktalar arasındaki en kısa doğrusal uzaklık bulunmuş olur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi kullanılarak iki kenarı ve aralarındaki açısı verilen üçgenin üçüncü kenarının hesaplanması.
Soru 24Soru →

Bir dağcı grubu A noktasındaki kamp alanından doğrusal bir rota boyunca kuzey yönünde 5 km5\text{ km} yürüyerek B noktasına ulaşmıştır. Bu noktada yönünü değiştirerek kuzey doğrultusuyla saat yönünde 120∘120^\circ lik açı yapan yeni bir doğrusal rota üzerinde 8 km8\text{ km} daha yürümüş ve C noktasına varmıştır.

Buna göre, dağcı grubunun ulaştığı C noktası ile başlangıçtaki kamp alanı (A noktası) arasındaki en kısa mesafe kaç kilometredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Dağcı grubunun ulaştığı C noktası ile başlangıçtaki kamp alanı arasındaki en kısa mesafe 7 km7\text{ km}'dir.
Kuzey doğrultusundan saat yönünde 120∘120^\circ sapıldığında hareket doğrultuları arasında oluşan dış açı 120∘120^\circ derecedir. Bu doğrultuların oluşturduğu üçgenin iç açısı ise bütünler açı kuralı gereği 60∘60^\circ olur. Kenar uzunlukları 5 km5\text{ km} ve 8 km8\text{ km}, aralarındaki açı 60∘60^\circ olan üçgende Kosinüs Teoremi uygulandığında ∣AC∣2=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡(60∘)|AC|^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) işleminden en kısa mesafe 7 km7\text{ km} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Hareket rotalarını analiz ederek ABC üçgeninin iç açısını belirlemek
Üçgenin B köşesindeki iç açısının 60∘60^\circ olduğunu tespit etmek
Kuzey yönünde ilerleyen dağcının saat yönünde 120∘120^\circ sapması, iki hareket doğrultusu arasındaki dış açının 120∘120^\circ olması anlamına gelir. Bir doğru açı 180∘180^\circ olduğundan iç açı 180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ olur.
2
Kosinüs Teoremi formülünü kurmak ve değerleri yerine yazmak
∣AC∣2=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡(60∘)|AC|^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) denklemini elde etmek
Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı biliniyorsa, karşılarındaki kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanır.
3
Matematiksel işlemleri tamamlayarak bilinmeyen kenar uzunluğunu hesaplamak
∣AC∣=7 km|AC| = 7\text{ km}
∣AC∣2=25+64−2⋅40⋅0.5=89−40=49|AC|^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 40 \cdot 0.5 = 89 - 40 = 49 olur. 4949 sayısının karekökü alındığında uzunluk 7 km7\text{ km} olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla kenar uzunluğu hesaplama
Soru 25Soru →

Bir ABCDABCD yamuğunda [AB]∥[CD][AB] \parallel [CD]'dir.

∣AB∣=10 birim|AB| = 10\text{ birim}
∣BC∣=7 birim|BC| = 7\text{ birim}
∣CD∣=4 birim|CD| = 4\text{ birim}
∣AD∣=5 birim|AD| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ACAC köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

K��şegen uzunluğu 77 birimdir.
C köşesinden AD kenarına paralel çizilerek oluşturulan EBC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak B açısının kosinüsü 57\frac{5}{7} bulunur. Ardından ABC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak AC köşegen uzunluğu 77 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
C köşesinden AD kenarına paralel olacak şekilde bir CE doğru parçası çizilir.
AECD bir paralelkenar olur. Buradan ∣AE∣=4 birim|AE| = 4\text{ birim}, ∣CE∣=5 birim|CE| = 5\text{ birim} ve ∣EB∣=6 birim|EB| = 6\text{ birim} elde edilir.
Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak B açısının kosinüsünü bulabileceğimiz bir üçgen elde etmek.
2
EBC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak B açısının kosinüs değeri bulunur.
∣CE∣2=∣EB∣2+∣BC∣2−2⋅∣EB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(B^)⇒25=36+49−84cos⁡(B^)⇒cos⁡(B^)=57|CE|^2 = |EB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |EB| \cdot |BC| \cdot \cos(\widehat{B}) \Rightarrow 25 = 36 + 49 - 84 \cos(\widehat{B}) \Rightarrow \cos(\widehat{B}) = \frac{5}{7} olarak elde edilir.
ABC üçgeninde köşegen uzunluğunu hesaplarken kullanılacak ortak açının kosinüsünü bulmak.
3
ABC üçgeninde Kosinüs Teoremi kullanılarak AC köşegen uzunluğu hesaplanır.
∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(B^)⇒∣AC∣2=100+49−2⋅10⋅7⋅57=49⇒∣AC∣=7 birim|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\widehat{B}) \Rightarrow |AC|^2 = 100 + 49 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \frac{5}{7} = 49 \Rightarrow |AC| = 7\text{ birim} olarak bulunur.
İstenen köşegen uzunluğuna doğrudan ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla yamukta köşegen uzunluğu bulma
Soru 26Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=8 birim|AB| = 8\text{ birim}, ∣AC∣=5 birim|AC| = 5\text{ birim} ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ dir.

[AD][AD], BCBC kenarına ait kenarortay olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3.5

Cevap

Kenarortay uzunluğu 3.5 birimdir.
Kosinüs Teoremi yardımıyla paralelkenarın köşegeni hesaplanıp ikiye bölünerek kenarortay uzunluğu doğru şekilde 3.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AD kenarortayını kendi uzunlu��u kadar uzatarak bir E noktası seçilmesi ve ABEC paralelkenarının oluşturulması.
ABEC bir paralelkenardır, bu nedenle BE kenarı AC kenarına paralel ve eşit uzunluktadır (|BE| = 5 birim).
Kenarortay uzunluğunu paralelkenar özellikleri ve Kosinüs Teoremi yardımıyla doğrudan hesaplayabilmek için geometrik bir ek çizim yapılır.
2
Paralelkenarın ardışık açılarının toplamı 180 derece olduğundan B açısının bulunması.
m(ABE) = 180° - 120° = 60°
Kosinüs Teoremi uygulayacağımız üçgenin iç açısını belirlemek.
3
ABE üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak AE uzunluğunun bulunması.
|AE|^2 = 8^2 + 5^2 - 2 * 8 * 5 * cos(60°) = 64 + 25 - 40 = 49, buradan |AE| = 7 birim.
Paralelkenarın köşegen uzunluğunu elde etmek.
4
AE uzunluğunun yarısı alınarak AD kenarortay uzunluğunun hesaplanması.
|AD| = 7 / 2 = 3.5 birim.
E noktasını AD = DE olacak şekilde seçtiğimiz için AE köşegeninin uzunluğu, AD kenarortayının iki katına eşittir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenarortay uzunluğunu bulmak için paralelkenara tamamlama yöntemi veya kenarortay teoremi ile Kosinüs Teoremi'nin birlikte kullanılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 27Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=8 birim|AB| = 8\text{ birim}, ∣AC∣=5 birim|AC| = 5\text{ birim} ve ∣BC∣=7 birim|BC| = 7\text{ birim}'dir. BABA kenarı AA köşesi yönünde uzatılarak bir DD noktası alınıyor. ∣AD∣=3 birim|AD| = 3\text{ birim} olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7
Kosinüs teoremi yardımıyla öncelikle dar açının kosinüsü yarım bulunarak 6060 derece elde edilir. Doğrusallık nedeniyle geniş açı 120120 derece olur. İkinci üçgende kosinüs teoremi uygulandığında, geniş açının kosinüsünün negatif işareti formüldeki eksi ile çarpılarak artıya dönüşür ve kenar uzunluğunun karesi 49, kendisi ise 7 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde BCBC kenarını gören açının kosinüsünü bulmak için kosinüs teoremini yazın.
∣BC∣2=∣AB∣2+∣AC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(BAC^)  ⟹  72=82+52−2⋅8⋅5⋅cos⁡(BAC^)|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{BAC}) \implies 7^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(\widehat{BAC})
AA açısının trigonometrik oranını elde etmek için.
2
Elde edilen denklemi çözerek cos⁡(BAC^)\cos(\widehat{BAC}) değerini hesaplayın ve açının ölçüsünü bulun.
49=64+25−80⋅cos⁡(BAC^)  ⟹  80⋅cos⁡(BAC^)=40  ⟹  cos⁡(BAC^)=12  ⟹  m(BAC^)=60∘49 = 64 + 25 - 80 \cdot \cos(\widehat{BAC}) \implies 80 \cdot \cos(\widehat{BAC}) = 40 \implies \cos(\widehat{BAC}) = \frac{1}{2} \implies m(\widehat{BAC}) = 60^\circ
Komşu bütünler açıyı belirlemek üzere temel dar açıyı bulmak için.
3
B,A,DB, A, D noktalarının doğrusallığını kullanarak komşu bütünler olan DAC^\widehat{DAC} açısının ölçüsünü hesaplayın.
m(DAC^)=180∘−m(BAC^)=180∘−60∘=120∘m(\widehat{DAC}) = 180^\circ - m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
DACDAC üçgeninde kosinüs teoremini uygulayabilmek için aradaki açıyı bulmak.
4
DACDAC üçgeninde CDCD kenarına göre kosinüs teoremini uygulayın.
∣CD∣2=∣AD∣2+∣AC∣2−2⋅∣AD∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(DAC^)  ⟹  ∣CD∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(120∘)|CD|^2 = |AD|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{DAC}) \implies |CD|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)
İstenen ∣CD∣|CD| uzunluğunu formülize etmek için.
5
İkinci bölgedeki kosinüs değerini yerine yazarak ∣CD∣|CD| değerini hesaplayın.
cos⁡(120∘)=−12\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} olduğundan, ∣CD∣2=9+25−30⋅(−12)=34+15=49  ⟹  ∣CD∣=7 birim|CD|^2 = 9 + 25 - 30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 34 + 15 = 49 \implies |CD| = 7\text{ birim}
Kosinüsün işaretini doğru kullanarak nihai uzunluğu hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla üçgenlerde bilinmeyen kenar ve açıların ardışık hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 28Soru →

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir.

∣AB∣=∣AC∣=7 birim|AB| = |AC| = 7\text{ birim}
∣AD∣=3 birim|AD| = 3\text{ birim}
∣BD∣=5 birim|BD| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

CD uzunluğu 8 birimdir.
Ardışık iki üçgende Kosinüs Teoremi uygulanıp, bütünler açıların kosinüslerinin zıt işaretli olduğu bilgisi doğru bir şekilde kullanıldığında ∣CD∣|CD| uzunluğu 88 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ADB^\widehat{ADB} açısının kosinüs değeri hesaplanır.
∣AB∣2=∣AD∣2+∣BD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣BD∣⋅cos⁡(ADB^)|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |BD| \cdot \cos(\widehat{ADB})
72=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(ADB^)7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\widehat{ADB})
49=9+25−30cos⁡(ADB^)49 = 9 + 25 - 30 \cos(\widehat{ADB})
15=−30cos⁡(ADB^)  ⟹  cos⁡(ADB^)=−1215 = -30 \cos(\widehat{ADB}) \implies \cos(\widehat{ADB}) = -\frac{1}{2}
ABDABD üçgeninin tüm kenar uzunlukları bilindiği için ADB^\widehat{ADB} açısının kosinüs değeri doğrudan belirlenebilir.
2
BB, DD ve CC noktaları doğrusal olduğundan, bütünler açılar kuralı kullanılarak ADC^\widehat{ADC} açısının kosinüs değeri bulunur.
cos⁡(ADC^)=cos⁡(180∘−ADB^)=−cos⁡(ADB^)=−(−12)=12\cos(\widehat{ADC}) = \cos(180^\circ - \widehat{ADB}) = -\cos(\widehat{ADB}) = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}
ADCADC üçgeninde işlem yapabilmek için bu üçgendeki ADC^\widehat{ADC} açısının kosinüs değeri gereklidir.
3
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣CD∣=x|CD| = x uzunluğu hesaplanır.
∣AC∣2=∣AD∣2+∣CD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣CD∣⋅cos⁡(ADC^)|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |CD| \cdot \cos(\widehat{ADC})
72=32+x2−2⋅3⋅x⋅127^2 = 3^2 + x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \frac{1}{2}
49=9+x2−3x49 = 9 + x^2 - 3x
x2−3x−40=0x^2 - 3x - 40 = 0
(x−8)(x+5)=0(x - 8)(x + 5) = 0
x=8 veya x=−5x = 8 \text{ veya } x = -5
Uzunluk negatif olamayacağı için x=8x = 8 değeri çözüm olarak kabul edilir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenarlar arasındaki bağıntıyı kurmak için Kosinüs Teoremi kullanılır. Doğrusal bir çizgi üzerindeki komşu iki açının kosinüsleri birbirinin zıt işaretlisidir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 29Soru →

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir.

Bu uzunluklar arasında
a2−c2=b2+b⋅ca^2 - c^2 = b^2 + b \cdot c

bağıntısı olduğuna göre, AA açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Açının ölçüsü 120 derecedir.
Verilen bağıntı düzenlenip Kosinüs Teoremi ile karşılaştırıldığında cos⁡(A)=−1/2\cos(A) = -1/2 eşitliği elde edilir. Üçgenin iç açısı olan AA için bu değeri sağlayan tek açı 120 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bağıntıyı düzenleyerek a2a^2 ifadesini yalnız bırakın.
a2=b2+c2+b⋅ca^2 = b^2 + c^2 + b \cdot c
Kosinüs Teoremi formülü ile doğrudan karşılaştırma yapabilmek amac��yla a2a^2 terimi yalnız bırakılmıştır.
2
Elde edilen bağıntıyı Kosinüs Teoremi formülüyle (a2=b2+c2−2bccos⁡(A)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)) karşılaştırın.
b2+c2+b⋅c=b2+c2−2bccos⁡(A)  ⟹  b⋅c=−2bccos⁡(A)b^2 + c^2 + b \cdot c = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \implies b \cdot c = -2bc \cos(A)
Her iki denklem de a2a^2 değerini verdiğinden sağ taraftaki ifadeler birbirine eşitlenir.
3
b⋅cb \cdot c ifadesini sadeleştirerek cos⁡(A)\cos(A) değerini yalnız bırakın.
cos⁡(A)=−12\cos(A) = -\frac{1}{2}
Üçgenin kenar uzunlukları olan bb ve cc sıfırdan büyük olduğundan sadeleştirme yapılabilir.
4
0∘<A<180∘0^\circ < A < 180^\circ aralığında kosinüs değeri −12-\frac{1}{2} olan açıyı bulun.
m(A^)=120∘m(\widehat{A}) = 120^\circ
Kosinüsü negatif olan bir üçgen açısı geniş açıdır ve cos⁡(120∘)=−cos⁡(60∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -1/2 bağıntısı gereği AA açısı 120 derecedir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi: Bir üçgende bir kenarın uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın uzunluklarının kareleri toplamından bu kenarların uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının iki katının çıkarılmasıyla bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 30Soru →

Bir ABCDABCD paralelkenarında ∣AB∣=8 birim|AB| = 8\text{ birim}, ∣AD∣=6 birim|AD| = 6\text{ birim} ve m(BAD^)=120∘m(\widehat{BAD}) = 120^\circ dir.
[AB][AB] kenarı üzerinde ∣AE∣=3 birim|AE| = 3\text{ birim} olacak şekilde bir EE noktası, [AD][AD] kenarı üzerinde ise ∣AF∣=5 birim|AF| = 5\text{ birim} olacak şekilde bir FF noktası belirleniyor.

Buna göre, EE ve FF noktaları arasındaki uzaklık (∣EF∣|EF|) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

E ve F noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.
E ve F noktaları arasındaki uzaklık Kosinüs Teoremi kullanılarak 7 birim olarak bulunur. Geniş açının kosinüsü olan cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 değerinin işareti doğru uygulandığında ∣EF∣2=32+52−2(3)(5)(−1/2)=49|EF|^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)(-1/2) = 49 eşitliğinden doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AEFAEF üçgenindeki tepe açısının belirlenmesi
m(EAF^)=120∘m(\widehat{EAF}) = 120^\circ
EE ve FF noktaları sırasıyla [AB][AB] ve [AD][AD] kenarları üzerinde olduğundan EAF^\widehat{EAF} açısı, paralelkenarın BAD^\widehat{BAD} açısı ile aynıdır.
2
Kosinüs Teoremi formülünün yazılması ve değerlerin yerine konulması
∣EF∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(120∘)|EF|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)
Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı bilindiğinde karşı kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
3
Hesaplamanın tamamlanarak ∣EF∣|EF| değerinin bulunması
∣EF∣=7|EF| = 7
cos⁡(120∘)=−12\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} değeri yerine yazılarak ∣EF∣2=49|EF|^2 = 49 elde edilir ve karekökü alınır.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla iki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen üçgende üçüncü kenar uzunluğunun hesaplanması.
ÖncekiSayfa 2 / 2
Kosinüs Teoremi Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin