Sinüs Teoremi Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{C}) > 90^\circ$ olup bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı $R$ birimdir.

Üçgenin alanı ile çevrel çemberinin yarıçapı arasında,

\text{Alan}(ABC) = R^2 \cdot \sin A \cdot \sin B

bağıntısı sağlandığına g��re,

C

açısının ölçüsü kaç derecedir?

30

90

150

120

135

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

150

Üçgenin alan formülünde Sinüs Teoremi kullanılarak elde edilen kenar uzunlukları yerine yazıldığında

\text{Alan}(ABC) = 2R^2 \sin A \sin B \sin C

eşitliğine ulaşılır. Bu genel bağıntı soruda verilen

R^2 \sin A \sin B

ifadesine eşitlendiğinde

\sin C = \frac{1}{2}

elde edilir.

m(\widehat{C}) > 90^\circ

koşulunu sağlayan tek açı

150^\circ

olduğundan doğru cevap bu değeri içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin alan formülünü ve Sinüs Teoremi bağıntılarını yazalım.

Alan formülü:

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} a b \sin C

. Sinüs Teoremi'ne göre:

a = 2R \sin A

ve

b = 2R \sin B

.

Kenar uzunluklarını çevrel çemberin yarıçapı ve açılar cinsinden ifade etmek için.

2

Sinüs Teoremi'nden elde ettiğimiz kenar uzunluğu ifadelerini alan formülünde yerine koyalım.

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} (2R \sin A) (2R \sin B) \sin C = 2 R^2 \sin A \sin B \sin C

Alan formülünü

R

ve açıların sinüsleri cinsinden tek bir eşitlikte birleştirmek için.

3

Elde ettiğimiz genel alan bağıntısını, soruda verilen alan bağıntısıyla eşitleyelim.

2 R^2 \sin A \sin B \sin C = R^2 \sin A \sin B \implies 2 \sin C = 1 \implies \sin C = \frac{1}{2}

C

açısının sinüs değerini belirlemek için.

4

\sin C = \frac{1}{2}

denklemini

m(\widehat{C}) > 90^\circ

koşulunu göz önünde bulundurarak çözelim.

Sinüsü

\frac{1}{2}

olan açılar

30^\circ

ve

180^​​^\circ - 30^\circ = 150^\circ

derecedir. Soruda

m(\widehat{C}) > 90^\circ

(geniş açı) olduğu belirtildiğinden

C = 150^\circ

olmalıdır.

Geniş açılı üçgen tanımına uyan açıyı bulmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Üçgende Alan İlişkisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 22Soru →

Bir

ABC

üçgeninde

a

,

b

ve

c

sırasıyla

A

,

B

ve

C

açılarının karşılarındaki kenar uzunluklarıdır.
Bu üçgende,

b \cdot \cos C + c \cdot \cos B = 6\sqrt{3}

bağıntısı sağlanmaktadır.
Üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı

6

birim olduğuna göre,

A

dar açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

A dar açısının ölçüsü 60 derecedir.

Üçgende kenarlar arasındaki projeksiyon bağıntısı gereği

b \cos C + c \cos B = a

eşitliği yazılabilir. Buradan

a = 6\sqrt{3}

birim elde edilir. Sinüs teoremine göre

\frac{a}{\sin A} = 2R

olduğundan, yarıçap

R = 6

için

\frac{6\sqrt{3}}{\sin A} = 12

eşitliği kurulur. Buradan

\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}

elde edilir.

A

açısı dar açı olarak belirtildiği için ölçüsü 60 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1

Projeksiyon formülünü kullanarak a kenar uzunluğunu belirleyin.

a = 6\sqrt{3}

Bir üçgende herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın komşu açılarla olan kosinüs bileşenlerinin toplamına eşittir (

a = b \cos C + c \cos B

).

2

Sinüs teoreminde bilinen değerleri yerine yazarak sin A değerini elde edin.

\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}

Sinüs teoremine göre bir üçgenin kenar uzunluğu, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine bölündüğünde çevrel çemberin çapına (

2R

) eşit olur.

3

Sinüs değeri

\frac{\sqrt{3}}{2}

olan dar açının ölçüsün�� derece cinsinden bulun.

A = 60^\circ

0^\circ < A < 90^\circ

aralığında sinüsü

\frac{\sqrt{3}}{2}

olan açı 60 derecedir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Kenar Projeksiyon Bağıntıları

Soru 23Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $D \in [BC]$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor.

3|BD| = 2|DC|

m(\widehat{BAD}) = 30^\circ

m(\widehat{DAC}) = 45^\circ

olduğuna göre, $\frac{|AB|}{|AC|}$ oranı kaçtır?

\frac{\sqrt{2}}{3}

\frac{2\sqrt{2}}{3}

\frac{3\sqrt{2}}{4}

\sqrt{2}

\frac{3\sqrt{2}}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Cevap

\frac{2\sqrt{2}}{3}

Ortak kenara ve bütünler açılara sahip iki üçgende Sinüs Teoremi uygulandığında, kenarların oranı taban parçalarının oranı ile açıların sinüs değerlerinin oranının çarpımına eşittir. Verilen oranlar yerine yazıldığında sonuç

\frac{2\sqrt{2}}{3}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Komşu iki üçgende Sinüs Teoremi bağıntılarını yazma

ABD

üçgeninde:

\frac{|AB|}{\sin(\widehat{ADB})} = \frac{|BD|}{\sin 30^\circ} \implies \sin(\widehat{ADB}) = \frac{|AB| \cdot \sin 30^\circ}{|BD|}

ADC

üçgeninde:

\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ADC})} = \frac{|DC|}{\sin 45^\circ} \implies \sin(\widehat{ADC}) = \frac{|AC| \cdot \sin 45^\circ}{|DC|}

Her iki üçgenin ortak olan kenarı ve bütünler açılarından yararlanmak için Sinüs Teoremi uygulanır.

2

Bütünler açıların sinüs eşitliğini kullanarak bağıntıları birleştirme

\widehat{ADB} + \widehat{ADC} = 180^\circ

olduğundan

\sin(\widehat{ADB}) = \sin(\widehat{ADC})

olur. Buradan:

\frac{|AB| \cdot \sin 30^\circ}{|BD|} = \frac{|AC| \cdot \sin 45^\circ}{|DC|}

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}

Birbirini

180^\circ

ye tamamlayan açıların sinüs değerleri eşittir.

3

Verilen oranları ve trigonometrik değerleri yerine yazarak sonucu bulma

3|BD| = 2|DC| \implies \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{2}{3}

değerini ve

\sin 30^\circ = \frac{1}{2}

,

\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}

değerlerini denklemde yerine koyalım:

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

Soruda verilen sayısal veriler ve standart açıların sinüs değerleri oranlanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ortak kenara sahip komşu üçgenlerde Sinüs Teoremi uygulamaları

Soru 24Soru →

Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ birim, bu kenarların karşılarındaki açılar sırasıyla $A$ ve $B$ , üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı ise $R$ birimdir.

Bu üçgende,

a^2 - b^2 = 12

\sin^2 A - \sin^2 B = \frac{3}{16}

olduğuna göre, çevrel çemberin yarıçapı $R$ kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

çevrel çemberin yarıçapı 4 birimdir.

Çevrel çemberin yarıçapı 4 birimdir. Çünkü Sinüs Teoremi kullanılarak elde edilen karesel ilişkide kenarların kareleri farkı ile sinüslerin kareleri farkı oranlandığında yarıçapın karesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Sinüs teoremini kullanarak kenar uzunlukları ile açıların sinüs değerleri arasındaki ilişkiyi yazalım.

a = 2R \sin A

ve

b = 2R \sin B

Sinüs teoremine göre bir üçgende her kenar uzunluğu, karşı açısının sinüs değeri ve çevrel çemberin çapı (

2R

) ile orantılıdir.

2

Elde ettiğimiz eşitlikleri

\sin A

ve

\sin B

ifadelerini yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim.

\sin A = \frac{a}{2R}

ve

\sin B = \frac{b}{2R}

Soruda verilen sinüslü ifadelerin yerine kenar uzunluklarını yazabilmek için.

3

Bulduğumuz ifadelerin karesini alarak

\sin^2 A - \sin^2 B

denkleminde yerine yazalım.

\sin^2 A - \sin^2 B = \frac{a^2}{4R^2} - \frac{b^2}{4R^2} = \frac{a^2 - b^2}{4R^2} = \frac{3}{16}

Verilen iki denklem arasında ilişki kurarak

R

değerini bulabilmek için.

4

a^2 - b^2 = 12

bilgisini denklemde yerine koyup

R

değerini hesaplayalım.

\frac{12}{4R^2} = \frac{3}{16} \implies \frac{3}{R^2} = \frac{3}{16} \implies R^2 = 16 \implies R = 4

Bilinmeyen

R

değerini yalnız bırakıp çözüme ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs teoremi gereğince, bir üçgenin kenar uzunluklarının karşılarındaki açıların sinüslerine oranı sabittir ve bu oran çevrel çemberin çapına (

2R

) eşittir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 25Soru →

Bir çemberin üzerine sırasıyla $A$ , $B$ , $C$ ve $D$ noktaları işaretlenerek bir $ABCD$ kirişler dörtgeni oluşturuluyor. Bu dörtgende,
* $|AB| = 6\text{ cm}$
* $|CD| = 8\text{ cm}$
* $m(\widehat{ACB}) = \alpha$
* $m(\widehat{CAD}) = \beta$

$\alpha + \beta = 90^\circ$ olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

10

7

5

\frac{12}{5}

\frac{5}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5$

Cevap

Çemberin yar��çapı

5

cm'dir.

Çember üzerine çizilen kirişler dörtgeninde

ABC

ve

ACD

üçgenlerinin çevrel çemberi aynı çemberdir. Sinüs Teoremi yardımıyla

\sin \alpha = \frac{3}{R}

ve

\sin \beta = \frac{4}{R}

bağıntıları kurulur.

\alpha + \beta = 90^\circ

olduğundan

\sin \beta = \cos \alpha = \frac{4}{R}

yazılabilir.

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

temel özdeşliği kullanıldığında

\frac{9}{R^2} + \frac{16}{R^2} = 1 \implies R = 5

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Çemberin yarıçapını

R

kabul ederek,

ABC

ve

ACD

üçgenlerinde Sinüs Teoremi'ni uygulayalım.

ABC

��çgeninde

AB

kenarı için:

\frac{|AB|}{\sin \alpha} = 2R \implies \sin \alpha = \frac{6}{2R} = \frac{3}{R}

ACD

üçgeninde

CD

kenarı için:

\frac{|CD|}{\sin \beta} = 2R \implies \sin \beta = \frac{8}{2R} = \frac{4}{R}

elde edilir.

Sinüs Teoremi gereği, bir üçgenin kenar uzunluğunun karşı açısının sinüsüne oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına (

2R

) eşittir.

2

\alpha + \beta = 90^\circ

bilgisini kullanarak

\sin \beta

ifadesini

\alpha

açısının kosinüsü cinsinden yazalım.

\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha

olur. Buradan

\cos \alpha = \frac{4}{R}

elde edilir.

Toplamları

90^\circ

olan iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.

3

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

temel trigonometrik özdeşliğini uygulayarak

R

değerini bulalım.

\left(\frac{3}{R}\right)^2 + \left(\frac{4}{R}\right)^2 = 1 \implies \frac{9}{R^2} + \frac{16}{R^2} = 1 \implies \frac{25}{R^2} = 1 \implies R^2 = 25 \implies R = 5

cm bulunur.

Aynı açının sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamı daima 1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Çevrel Çember İlişkisi

Soru 26Soru →

Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ birim, bu kenarların karşılarındaki açılarının ölçüleri ise sırasıyla $A$ , $B$ ve $C$ 'dir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı $R$ birim olmak üzere,

\frac{a + b}{\sin A + \sin B} = R^2 - 3

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin alanı kaç $\pi$ birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Çevrel çemberin alanı

9\pi

birimkaredir, dolayısıyla aranan değer 9'dur.

Sinüs Teoremi gereği

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R

eşitliği mevcuttur. Orantı özelliklerine göre payların toplamının paydaların toplamına oranı da bu sabit orana (

2R

) eşit olacaktır. Buradan denklem

2R = R^2 - 3

biçimine dönüşür. İkinci dereceden denklemin pozitif kökü

R = 3

olarak elde edilir. Çevrel çemberin alanı

\pi R^2

formülünden

9\pi

bulunur, bu nedenle cevap 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Sinüs Teoremi bağıntılarını ifade etmek

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R

Üçgenin kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüsleri ve çevrel çemberin yarıçapı arasındaki temel ilişkiyi kurmak.

2

Orantı toplama özelliğini uygulamak

\frac{a + b}{\sin A + \sin B} = 2R

Verilen denklemdeki pay ve payda toplamını içeren kesirli ifadeyi tek bir terime indirgemek.

3

Elde edilen terimi denklemde yerine yazarak çözmek

2R = R^2 - 3 \implies R^2 - 2R - 3 = 0 \implies (R - 3)(R + 1) = 0 \implies R = 3

Çevrel çemberin yarıçapını bulmak (yarıçap uzunluğu negatif olamayacağı için pozitif kök olan 3 alınır).

4

Dairenin alan formülünü uygulamak

Alan =

\pi R^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi

Çevrel ��emberin alanını hesaplayarak soruda istenen katsayıyı bulmak.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi oranının çevrel çemberin çapına eşit olması ve orantı özelliklerinin uygulanması.

Soru 27Soru →

Ortak $[AC]$ kenarına sahip olan $ABC$ ve $ACD$ üçgenlerinde;
* $|AB| = |AD| = 6\text{ birim}$ ,
* $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ,
* $m(\widehat{ACD}) = 45^\circ$ ,
* $m(\widehat{ABC}) = \alpha$ ve
* $m(\widehat{ADC}) = 90^\circ + \alpha$
olarak veriliyor.

Buna göre, $\cot \alpha$ değeri kaçtır?

\sqrt{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

-\sqrt{2}

-\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{6}}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sqrt{2}$

Cevap

\sqrt{2}

olan seçenektir.

Sinüs Teoremi adımları doğru takip edilerek ortak olan

[AC]

kenarı her iki üçgen için ayrı ayrı ifade edilmiş ve ikinci bölgede sinüsün işareti pozitif (+) olduğu için

\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha

indirgemesi kullanılarak

\cot \alpha = \sqrt{2}

değeri elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.

\frac{|AC|}{\sin \alpha} = \frac{|AB|}{\sin 30^\circ} \implies \frac{|AC|}{\sin \alpha} = \frac{6}{1/2} = 12 \implies |AC| = 12 \sin \alpha

Ortak kenar olan

|AC|

uzunluğunu

\sin \alpha

cinsinden ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

2

ACD

üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.

\frac{|AC|}{\sin(90^\circ + \alpha)} = \frac{|AD|}{\sin 45^\circ} \implies \frac{|AC|}{\sin(90^\circ + \alpha)} = \frac{6}{\sqrt{2}/2} = 6\sqrt{2} \implies |AC| = 6\sqrt{2} \sin(90^\circ + \alpha)

Ortak kenar olan

|AC|

uzunluğunu ikinci üçgendeki açılar cinsinden ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

3

Trigonometrik indirgeme formülü kullanılarak ikinci adımdaki ifade sadeleştirilir.

\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha

olduğundan,

|AC| = 6\sqrt{2} \cos \alpha

elde edilir.

İkinci bölgedeki sinüs değerinin pozitif olduğu bilgisi kullanılarak ifade sadeleştirilir.

4

Her iki üçgenden elde edilen

|AC|

ifadeleri birbirine eşitlenerek

\cot \alpha

hesaplanır.

12 \sin \alpha = 6\sqrt{2} \cos \alpha \implies \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{12}{6\sqrt{2}} \implies \cot \alpha = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

Aynı ortak kenara ait iki farklı ifadenin eşitliğinden yararlanılarak trigonometrik oran elde edilir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve trigonometrik indirgeme formüllerinin birlikte uygulanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 28Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $D$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir.

$m(\widehat{BAD}) = 30^\circ$ ,
$m(\widehat{DAC}) = 90^\circ$ ve
$|CD| = 4|BD|$

olduğuna göre, $\frac{\sin(\widehat{ABC})}{\sin(\widehat{ACB})}$ oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen oran 2'dir.

ABD

üçgeninde Sinüs Teoremi uygulandığında

|AD| = 2|BD|\sin(\widehat{ABC})

elde edilir.

ADC

dik üçgeninde sinüs tanımından

|AD| = |CD|\sin(\widehat{ACB})

bulunur. Bu iki eşitlik birleştirilip

|CD| = 4|BD|

yazıldığında

2|BD|\sin(\widehat{ABC}) = 4|BD|\sin(\widehat{ACB})

olur. Buradan sadeleştirmeler yapıldığında oran 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

ABD

üçgeninde Sinüs Teoremi'ni uygulamak

|AD| = 2|BD|\sin(\widehat{ABC})

AD

ortak kenarını

BD

ve

B

açısı cinsinden ifade etmek için

2

ADC

dik üçgeninde sinüs oranını yazmak

|AD| = |CD|\sin(\widehat{ACB})

AD

ortak kenarını

CD

ve

C

açısı cinsinden ifade etmek için

3

İki üçgenden elde edilen

AD

uzunluklarını eşitlemek ve verilen oranı yerine yazmak

2|BD|\sin(\widehat{ABC}) = 4|BD|\sin(\widehat{ACB})

BD

ve

CD

arasındaki ilişkiyi kullanarak denklemdeki değişken sayısını azaltmak için

4

|BD|

terimlerini sadeleştirip istenen oranı bulmak

\frac{\sin(\widehat{ABC})}{\sin(\widehat{ACB})} = 2

İstenen trigonometrik oranı yalnız bırakmak için

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve dik üçgende trigonometrik oranların geometrik uygulamaları

Sinüs Teoremi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar