Examkin

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

55 soru

Tüm türler55Çoktan seçmeli30Sıralama25
Soru 41Soru →

Aşağıda verilen xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe sıralanışı z<y<xz < y < x şeklindedir.
Pozitif olan x değeri en büyüktür. Negatif olan y ve z değerlerinden mutlak değerce daha büyük olan z en küçük değerdir, dolayısıyla doğru sıralama z < y < x şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
xx değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.
760∘760^\circ açısının esas ölçüsü, 760∘=2⋅360∘+40∘760^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 40^\circ eşitliğinden 40∘40^\circ olarak bulunur. Dolayısıyla x=sin⁡(40∘)x = \sin(40^\circ) olur. Bu değer birinci bölgede olduğundan pozitiftir.
Bölgelere göre indirgeme yapabilmek için öncelikle açıların esas ölçülerini bulmamız gerekir.
2
yy değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.
y=cos⁡(−13π5)=cos⁡(13π5)y = \cos\left(-\frac{13\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{13\pi}{5}\right) olur. 13π5=2π+3π5\frac{13\pi}{5} = 2\pi + \frac{3\pi}{5} olduğundan esas ölçü 3π5\frac{3\pi}{5} radyandır. Derece cinsinden 3⋅180∘5=108∘\frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ olur. İkinci bölgede kosinüs negatif olduğundan y=cos⁡(108∘)=−cos⁡(72∘)y = \cos(108^\circ) = -\cos(72^\circ) olarak elde edilir.
Kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini ve ikinci bölgedeki işaret durumunu kullanırız.
3
zz değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.
17π6=2π+5π6\frac{17\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6} olduğundan esas ölçü 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır. Derece cinsinden 5⋅180∘6=150∘\frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 150^\circ olur. İkinci bölgede kotanjant negatif olduğundan z=cot⁡(150∘)=−cot⁡(30∘)=−3z = \cot(150^\circ) = -\cot(30^\circ) = -\sqrt{3} olarak elde edilir.
Kotanjant fonksiyonunun ikinci bölgedeki işaretini ve indirgeme kuralını kullanırız.
4
Elde edilen ifadeleri işaretlerine ve mutlak değer büyüklüklerine göre sıralayın.
x=sin⁡(40∘)>0x = \sin(40^\circ) > 0, y=−cos⁡(72∘)<0y = -\cos(72^\circ) < 0 ve z=−3≈−1,73<0z = -\sqrt{3} \approx -1,73 < 0 bulunur. Negatif değerler karşılaştırıldığında, cos⁡(72∘)<1<3\cos(72^\circ) < 1 < \sqrt{3} olduğundan −3<−cos⁡(72∘)-\sqrt{3} < -\cos(72^\circ) olur. Buradan z<y<xz < y < x sıralamasına ulaşılır.
Pozitif sayılar negatif sayılardan büyüktür. Negatif sayılarda ise mutlak değerce daha büyük olan sayı daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların esas ölçülerinin bulunması, bölgelere göre işaret analizi ve indirgeme formüllerinin uygulanması.
Soru 42Soru →

π<x<3π2\pi < x < \frac{3\pi}{2} olmak üzere,

sin⁡(5π−x)+cos⁡(7π2+x)tan⁡(x−5π2)⋅sin⁡(x−3π)−sin⁡x⋅sec⁡2(x−7π) \frac{\sin(5\pi - x) + \cos\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)}{\tan\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) \cdot \sin(x - 3\pi)} - \sin x \cdot \sqrt{\sec^2(x - 7\pi)}

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3tan⁡x3\tan x

Cevap

3tan⁡x3\tan x ifadesi
İfadenin birinci bölümünde pay 2sin⁡x2\sin x ve payda cos⁡x\cos x olarak sadeleşir, bu da 2tan⁡x2\tan x sonucunu verir. İkinci bölümde yer alan kareköklü ifade, sec⁡2(x−7π)=∣sec⁡x∣\sqrt{\sec^2(x - 7\pi)} = |\sec x| şeklinde mutlak değer olarak dışarı çıkar. xx açısı üçüncü bölgede olduğundan sekant negatiftir ve ∣sec⁡x∣=−sec⁡x|\sec x| = -\sec x olur. Bu terim önündeki −sin⁡x-\sin x ile çarpıldığında tan⁡x\tan x değerini üretir. İki kısım birleştirildiğinde 2tan⁡x+tan⁡x=3tan⁡x2\tan x + \tan x = 3\tan x elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin birinci kısmındaki payı oluşturan terimleri indirgeyelim.
sin⁡(5π−x)=sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(5\pi - x) = \sin(\pi - x) = \sin x ve cos⁡(7π2+x)=cos⁡(3π2+x)=sin⁡x\cos\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x olur. Dolayısıyla pay kısmı sin⁡x+sin⁡x=2sin⁡x\sin x + \sin x = 2\sin x olarak bulunur.
Büyük açıların esas ölçülerini alarak dar açı cinsinden sadeleştirmek.
2
İfadenin birinci kısmındaki paydayı oluşturan terimleri indirgeyelim.
tan⁡(x−5π2)=−tan⁡(5π2−x)=−tan⁡(π2−x)=−cot⁡x\tan\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) = -\tan\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\cot x ve sin⁡(x−3π)=sin⁡(x−π)=−sin⁡x\sin(x - 3\pi) = \sin(x - \pi) = -\sin x olur. Bu durumda payda çarpımı (−cot⁡x)⋅(−sin⁡x)=cot⁡x⋅sin⁡x=cos⁡xsin⁡x⋅sin⁡x=cos⁡x(-\cot x) \cdot (-\sin x) = \cot x \cdot \sin x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x elde edilir.
Paydadaki ifadelerin periyodik özelliklerini ve özdeşliklerini kullanarak sade halini bulmak.
3
Bulduğumuz pay ve payda değerlerini oranlayarak birinci kısmın en sade halini yazalım.
2sin⁡xcos⁡x=2tan⁡x\frac{2\sin x}{\cos x} = 2\tan x elde edilir.
Kesirli kısmı tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek.
4
İkinci kısmı oluşturan −sin⁡x⋅sec⁡2(x−7π)- \sin x \cdot \sqrt{\sec^2(x - 7\pi)} ifadesini xx açısının bölgesine göre analiz edelim.
sec⁡(x−7π)=sec⁡(x−π)=−sec⁡x\sec(x - 7\pi) = \sec(x - \pi) = -\sec x olur. Buradan sec⁡2(x−7π)=∣−sec⁡x∣=∣sec⁡x∣\sqrt{\sec^2(x - 7\pi)} = |-\sec x| = |\sec x| elde edilir. xx açısı üçüncü bölgede (π<x<3π2\pi < x < \frac{3\pi}{2}) olduğundan cos⁡x<0  ⟹  sec⁡x<0\cos x < 0 \implies \sec x < 0 olur. Dolayısıyla mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkar: ∣sec⁡x∣=−sec⁡x|\sec x| = -\sec x. İkinci kısım ise −sin⁡x⋅(−sec⁡x)=sin⁡xsec⁡x=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x- \sin x \cdot (-\sec x) = \sin x \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x olarak bulunur.
Karekök dışına çıkarma işleminde açının bölgesine göre mutlak değerin işaretini doğru belirlemek.
5
Elde ettiğimiz iki kısmı birleştirerek sonuca ulaşalım.
2tan⁡x+tan⁡x=3tan⁡x2\tan x + \tan x = 3\tan x bulunur.
Bulunan sadeleşmiş terimler arasındaki çıkarma ve toplama işlemlerini tamamlamak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretlerinin analizi ve indirgeme formüllerinde karekök/mutlak değer ilişkisi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 43Soru →

α,β∈(0,π2)\alpha, \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere, α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,
cos⁡(3α+2β)−sin⁡(4α+5β)sin⁡(α+2β)\frac{\cos(3\alpha + 2\beta) - \sin(4\alpha + 5\beta)}{\sin(\alpha + 2\beta)}
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2cot⁡α-2\cot\alpha

Cevap

−2cot⁡α-2\cot\alpha
Doğru cevap −2cot⁡α-2\cot\alpha ifadesidir. α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} ilişkisini kullanarak paydaki cos⁡(3α+2β)\cos(3\alpha + 2\beta) ifadesi cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha şeklinde, sin⁡(4α+5β)\sin(4\alpha + 5\beta) ifadesi ise sin⁡(2π+β)=sin⁡β=cos⁡α\sin(2\pi + \beta) = \sin\beta = \cos\alpha şeklinde indirgenir. Böylece pay kısmı −2cos⁡α-2\cos\alpha olur. Paydadaki sin⁡(α+2β)\sin(\alpha + 2\beta) ifadesi ise sin⁡(π2+β)=cos⁡β=sin⁡α\sin(\frac{\pi}{2} + \beta) = \cos\beta = \sin\alpha olarak sadeleşir. Bu iki ifadenin oranı −2cot⁡α-2\cot\alpha sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki cos⁡(3α+2β)\cos(3\alpha + 2\beta) ve sin⁡(4α+5β)\sin(4\alpha + 5\beta) ifadelerini α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} ilişkisini kullanarak α\alpha cinsinden yazmak.
cos⁡(3α+2β)=−cos⁡α\cos(3\alpha + 2\beta) = -\cos\alpha ve sin⁡(4α+5β)=cos⁡α\sin(4\alpha + 5\beta) = \cos\alpha bulunur. Buradan pay ifadesi −cos⁡α−cos⁡α=−2cos⁡α-\cos\alpha - \cos\alpha = -2\cos\alpha olur.
3α+2β=2(α+β)+α=π+α3\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) + \alpha = \pi + \alpha olur. Bu açı 3. bölgede olduğundan kosinüs negatiftir ve isim değişmez. 4α+5β=4(α+β)+β=2π+β4\alpha + 5\beta = 4(\alpha + \beta) + \beta = 2\pi + \beta olur. Esas ölçüsü β\beta olup sin⁡(2π+β)=sin⁡β\sin(2\pi + \beta) = \sin\beta elde edilir. Tümler açılardan sin⁡β=cos⁡α\sin\beta = \cos\alpha yazılır.
2
Payda kısmındaki sin⁡(α+2β)\sin(\alpha + 2\beta) ifadesini indirgemek.
sin⁡(α+2β)=sin⁡α\sin(\alpha + 2\beta) = \sin\alpha elde edilir.
α+2β=(α+β)+β=π2+β\alpha + 2\beta = (\alpha + \beta) + \beta = \frac{\pi}{2} + \beta olur. Bu açı 2. bölgede olduğundan sinüs pozitiftir, ancak π2\frac{\pi}{2} nedeniyle isim değiştirerek cos⁡β\cos\beta olur. Tümler açılardan cos⁡β=sin⁡α\cos\beta = \sin\alpha yazılır.
3
Bulunan pay ve payda değerlerini oranlayarak ifadenin en sade halini elde etmek.
−2cos⁡αsin⁡α=−2cot⁡α\frac{-2\cos\alpha}{\sin\alpha} = -2\cot\alpha elde edilir.
Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların π±x\pi \pm x, 2π±x2\pi \pm x ve π2±x\frac{\pi}{2} \pm x durumlarında bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve isim değiştirme kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 44Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta α\alpha ve β\beta gerçel sayıları için,
α−β=3π2\alpha - \beta = \frac{3\pi}{2}
eşitliği veriliyor.
Buna göre,
sin⁡(3π−α)+cos⁡(β−π)sin⁡(α+π2)−cos⁡(3π2−β)\frac{\sin(3\pi - \alpha) + \cos(\beta - \pi)}{\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \beta\right)}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan⁡(α)\tan(\alpha)

Cevap

İfadenin sadeleştirilmiş hali tan⁡(α)\tan(\alpha) olarak bulunur.
İfadenin pay kısmı −2cos⁡(β)-2\cos(\beta), payda kısmı ise 2sin⁡(β)2\sin(\beta) olarak indirgenir. Oranlandığında −cot⁡(β)-\cot(\beta) ifadesi elde edilir. β=α−3π2\beta = \alpha - \frac{3\pi}{2} ilişkisi yerine yazılıp cotangent fonksiyonunun tekliği ve üçüncü bölgedeki indirgeme kuralı uygulandığında sonuç tan⁡(α)\tan(\alpha) olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikten açılar arasındaki geçiş bağıntısını elde etme
α=β+3π2\alpha = \beta + \frac{3\pi}{2} veya β=α−3π2\beta = \alpha - \frac{3\pi}{2}
İfadedeki farklı açılı trigonometrik fonksiyonları tek bir değişken cinsinden yazabilmek için.
2
Pay kısmında yer alan terimleri indirgeme formülleriyle β\beta cinsinden yazma
sin⁡(3π−α)=sin⁡(π−α)=sin⁡(α)=sin⁡(β+3π2)=−cos⁡(β)\sin(3\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) = \sin\left(\beta + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos(\beta) ve cos⁡(β−π)=cos⁡(π−β)=−cos⁡(β)\cos(\beta - \pi) = \cos(\pi - \beta) = -\cos(\beta) olup, Pay = −2cos⁡(β)-2\cos(\beta)
Pay kısmını sadeleştirmek amacıyla esas ölçü ve bölge işaret kurallarını uygulamak için.
3
Payda kısmında yer alan terimleri indirgeme formülleriyle β\beta cinsinden yazma
sin⁡(α+π2)=sin⁡(β+3π2+π2)=sin⁡(β+2π)=sin⁡(β)\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\beta + \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\beta + 2\pi) = \sin(\beta) ve cos⁡(3π2−β)=−sin⁡(β)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \beta\right) = -\sin(\beta) olup, Payda = sin⁡(β)−(−sin⁡(β))=2sin⁡(β)\sin(\beta) - (-\sin(\beta)) = 2\sin(\beta)
Payda kısmını sadeleştirmek amacıyla esas ölçü ve bölge işaret kurallarını uygulamak için.
4
Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayıp α\alpha cinsinden karşılığını bulma
Oran: −2cos⁡(β)2sin⁡(β)=−cot⁡(β)\frac{-2\cos(\beta)}{2\sin(\beta)} = -\cot(\beta). β=α−3π2\beta = \alpha - \frac{3\pi}{2} yazılırsa: −cot⁡(α−3π2)=cot⁡(3π2−α)=tan⁡(α)-\cot\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \cot\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \tan(\alpha)
Sonucu seçeneklerde verilen α\alpha değişkeni türünden ifade etmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretlerinin analizi, co-fonksiyon (isim değiştirme) kuralları ve periyodik özellikler kullanılarak indirgenmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 45Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Negatif değere sahip olan b=tan⁡(−27π/8)b = \tan(-27\pi/8) ifadesi en küçüktür. Pozitif olan aa ve cc değerleri indirgendiğinde sırasıyla a=cos⁡(36∘)a = \cos(36^\circ) ve c=cos⁡(18∘)c = \cos(18^\circ) elde edilir. 1. bölgede kosinüs fonksiyonunun azalan karakteri nedeniyle cos⁡(18∘)>cos⁡(36∘)\cos(18^\circ) > \cos(36^\circ) olduğundan c>ac > a sıralaması bulunur. Böylece en küçükten büyüğe sıralama b<a<cb < a < c olur.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların esas ölçülerini bulunuz.
aa için 19π5−2π=9π5\frac{19\pi}{5} - 2\pi = \frac{9\pi}{5}, bb için −27π8+4π=5π8-\frac{27\pi}{8} + 4\pi = \frac{5\pi}{8} ve cc için 12π5−2π=2π5\frac{12\pi}{5} - 2\pi = \frac{2\pi}{5} esas ölçüleri elde edilir.
Trigonometrik oranları karşılaştırmak için öncelikle açıların [0,2π)[0, 2\pi) aralığındaki karşılıklarını bulmamız gerekir.
2
Esas ölçüsü bulunan açıların bölgelerini ve işaretlerini belirleyiniz.
9π5\frac{9\pi}{5} açısı 4. bölgededir ve kosinüs bu bölgede pozitiftir (a>0a > 0). 5π8\frac{5\pi}{8} açısı 2. bölgededir ve tanjant bu bölgede negatiftir (b<0b < 0). 2π5\frac{2\pi}{5} açısı 1. bölgededir ve sinüs bu bölgede pozitiftir (c>0c > 0). Bu durumda bb en küçük değerdir.
Bölgelere göre işaret analizi yapmak, negatif ve pozitif değerleri birbirinden ayırarak sıralamayı kolaylaştırır.
3
Pozitif olan aa ve cc değerlerini aynı cinsten ifade ederek karşılaştırınız.
a=cos⁡(36∘)a = \cos(36^\circ) ve c=sin⁡(72∘)=cos⁡(18∘)c = \sin(72^\circ) = \cos(18^\circ) olarak yazılır. 1. bölgede açı büyüdükçe kosinüs değeri küçüldüğünden (azalan fonksiyon) cos⁡(18∘)>cos⁡(36∘)\cos(18^\circ) > \cos(36^\circ) yani c>ac > a olur.
1. bölgeye indirgenen pozitif trigonometrik değerler, aynı fonksiyon türüne dönüştürülerek açı büyüklüklerine göre sıralanabilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin esas ölçü yardımıyla bölgelere göre indirgenmesi ve 1. bölgedeki değişim aralıklarına göre sıralanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 46Soru →

Aşağıda üç farklı trigonometrik ifade verilmiştir:

x=cos⁡(17π6)x = \cos\left(\frac{17\pi}{6}\right)
y=sin⁡(−675∘)y = \sin\left(-675^\circ\right)
z=cot⁡(1020∘)z = \cot\left(1020^\circ\right)

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama x<z<yx < z < y şeklindedir.
Verilen ifadelerin esas ölçüleri bulunup indirgeme kuralları uygulandığında x=−32x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, y=22y = \frac{\sqrt{2}}{2} ve z=−33z = -\frac{\sqrt{3}}{3} değerleri elde edilir. Bu değerler karşılaştırıldığında en küçük değer xx, sonra zz, en büyük değer ise yy olur.

Adım Adım Çözüm

1
x=cos⁡(17π6)x = \cos\left(\frac{17\pi}{6}\right) ifadesinin değerini hesaplayın.
x=−32x = -\frac{\sqrt{3}}{2}
17π6\frac{17\pi}{6} açısının esas ölçüsü 17π6−2π=5π6\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6} radyandır. İkinci bölgedeki kosinüsün işareti negatif olduğundan cos⁡(5π6)=−cos⁡(π6)=−32\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
2
y=sin⁡(−675∘)y = \sin\left(-675^\circ\right) ifadesinin değerini hesaplayın.
y=22y = \frac{\sqrt{2}}{2}
−675∘-675^\circ açısına 2×360∘=720∘2 \times 360^\circ = 720^\circ eklendiğinde esas ölçü 45∘45^\circ bulunur. Birinci bölgede sinüsün işareti pozitif olduğundan sin⁡(45∘)=22\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} elde edilir.
3
z=cot⁡(1020∘)z = \cot\left(1020^\circ\right) ifadesinin değerini hesaplayın.
z=−33z = -\frac{\sqrt{3}}{3}
1020∘1020^\circ açısının 360∘360^\circ ile bölümünden kalan (esas ölçü) 300∘300^\circ derecedir. Dördüncü bölgedeki kotanjantın işareti negatif olduğundan cot⁡(300∘)=−cot⁡(60∘)=−33\cot(300^\circ) = -\cot(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} elde edilir.
4
Elde edilen değerleri sayı doğrusunda karşılaştırın.
x<z<yx < z < y
−32≈−0.866-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866, −33≈−0.577-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577 ve 22≈0.707\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 olduğundan küçükten büyüğe sıralama x<z<yx < z < y olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların esas ölçü kullanılarak birinci bölgeye indirgenmesi ve bölgelere göre işaret analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 47Soru →
Dik koordinat düzleminde, merkezi orijin olan birim çember üzerindeki bir PP noktası üçüncü bölgededir. Bu PP noktasının koordinatları P(x,−53)P\left(x, -\frac{\sqrt{5}}{3}\right) olarak verilmiştir. PP noktasını orijine birleştiren doğrunun pozitif yönlü xx ekseniyle yaptığı açı θ\theta olmak üzere, cos⁡(π+θ)−tan⁡(3π2−θ)\cos(\pi + \theta) - \tan\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10−6515\frac{10 - 6\sqrt{5}}{15}

Cevap

İfadenin değeri \frac{10 - 6\sqrt{5}}{15} olarak bulunur.
İndirgeme formüllerine göre cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta ve tan⁡(3π2−θ)=cot⁡θ\tan\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta eşitlikleri geçerlidir. Birim çember üzerinde üçüncü bölgede koordinatları P(−23,−53)P\left(-\frac{2}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3}\right) olan nokta için cos⁡θ=−23\cos\theta = -\frac{2}{3} ve cot⁡θ=255\cot\theta = \frac{2\sqrt{5}}{5} değerleri hesaplanır. Bu değerler −cos⁡θ−cot⁡θ-\cos\theta - \cot\theta ifadesinde yerine yazıldığında 10−6515\frac{10 - 6\sqrt{5}}{15} değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P noktasının apsisini bulmak için birim çember denklemini uygulayın.
P(x,y)P(x, y) noktası birim çember üzerinde olduğundan x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 eşitliği sağlan��r. Buradan x2+(−53)2=1  ⟹  x2+59=1  ⟹  x2=49x^2 + \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 \implies x^2 + \frac{5}{9} = 1 \implies x^2 = \frac{4}{9} elde edilir. PP noktası üçüncü bölgede olduğundan apsisi negatif olmalıdır, yani x=−23x = -\frac{2}{3} olur.
Trigonometrik değerlerin hesaplanabilmesi için birim çember üzerindeki noktanın eksik olan koordinatını belirlemek gerekir.
2
Açının kosinüs ve kotanjant değerlerini belirleyin.
PP noktasının koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) olduğundan cos⁡θ=−23\cos\theta = -\frac{2}{3} ve sin⁡θ=−53\sin\theta = -\frac{\sqrt{5}}{3} bulunur. Buradan kotanjant değeri cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=−2/3−5/3=25=255\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{-2/3}{-\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} olarak hesaplanır.
İndirgenmiş ifadede yerlerine yazılacak olan temel trigonometrik değerleri elde etmek için.
3
İfadeyi indirgeme formülleriyle sadeleştirip değerleri yerlerine yazın.
cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta ve tan⁡(3π2−θ)=cot⁡θ\tan\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta eşitlikleri kullanılarak ifade −cos⁡θ−cot⁡θ-\cos\theta - \cot\theta haline getirilir. Değerler yerine yazıldığında −(−23)−255=23−255=10−6515-\left(-\frac{2}{3}\right) - \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2}{3} - \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{10 - 6\sqrt{5}}{15} elde edilir.
İndirgeme formüllerini doğru uygulayarak ifadenin en sade halinin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik oranlar arasındaki ilişki ve trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi.
Soru 48Soru →

Aşağıda verilen xx, yy, zz ve ww trigonometrik ifadelerini en küçük değerden en büyük değere do��ru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen ifadelerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı z, w, y, x şeklindedir.
İfadelerin doğru sıralanışı en küçük değerden en büyük değere doğru sırasıyla z, w, y, x şeklindedir. İndirgeme formüllerine göre z ifadesi en küçük negatif değer olan -sin(15) değerine eşitken, w ifadesi -tan(10) değerine eşittir. Pozitif değerlerden y ifadesi sin(15) değerine, x ifadesi ise en büyük değer olan tan(25) değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların bulundukları bölgeleri belirleyip indirgeme formüllerini uygulayarak ifadeleri birinci bölgeye taşıyın.
z=sin⁡(195∘)=sin⁡(180∘+15∘)=−sin⁡(15∘)z = \sin(195^\circ) = \sin(180^\circ + 15^\circ) = -\sin(15^\circ)
w=cot⁡(100∘)=cot⁡(90∘+10∘)=−tan⁡(10∘)w = \cot(100^\circ) = \cot(90^\circ + 10^\circ) = -\tan(10^\circ)
y=cos⁡(285∘)=cos⁡(270∘+15∘)=sin⁡(15∘)y = \cos(285^\circ) = \cos(270^\circ + 15^\circ) = \sin(15^\circ)
x=tan⁡(205∘)=tan⁡(180∘+25∘)=tan⁡(25∘)x = \tan(205^\circ) = \tan(180^\circ + 25^\circ) = \tan(25^\circ)
İfadelerin işaretlerini belirlemek ve büyüklüklerini birinci bölgedeki bilinen dar açılar cinsinden karşılaştırabilmek için indirgeme yapılır.
2
Negatif değerleri kendi aralarında karşılaştırın.
Birinci bölgede 15∘>10∘15^\circ > 10^\circ olduğundan sin⁡(15∘)>tan⁡(10∘)\sin(15^\circ) > \tan(10^\circ) olur. Bu değerler negatif işaretle çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir: −sin⁡(15∘)<−tan⁡(10∘)-\sin(15^\circ) < -\tan(10^\circ). Dolayısıyla z<wz < w elde edilir.
Negatif sayıların mutlak değerce büyük olanı daha küçüktür.
3
Pozitif değerleri kendi aralarında karşılaştırın.
Birinci bölgede her α\alpha dar açısı için tan⁡α>sin⁡α\tan\alpha > \sin\alpha bağıntısı geçerlidir. Ayrıca sinüs ve tanjant fonksiyonları birinci bölgede artan olduğundan tan⁡(25∘)>sin⁡(25∘)>sin⁡(15∘)\tan(25^\circ) > \sin(25^\circ) > \sin(15^\circ) sıralaması bulunur. Dolayısıyla y<xy < x elde edilir.
Pozitif trigonometrik değerlerin büyüklük sıralaması fonksiyonların birinci bölgedeki davranışlarına göre belirlenir.
4
Bulunan tüm sonuçları birleştirerek nihai sıralamayı oluşturun.
Negatif değerler pozitif değerlerden her zaman küçük olacağı için genel sıralama z<w<y<xz < w < y < x şeklindedir.
Tüm ifadelerin büyüklük ilişkisini tek bir eşitsizlik zincirinde toplamak için gruplar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve birinci bölgedeki değerlerin karşılaştırılması.
Soru 49Soru →

Tanımlı olduğu aralıkta xx gerçel sayısı için,

sin⁡(5π2−x)−cos⁡(3π+x)tan⁡(7π2−x)⋅sin⁡(π−x)\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \cos(3\pi + x)}{\tan\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) \cdot \sin(\pi - x)}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

En sade biçimi 2 olan ifade
İndirgeme formülleri doğru bir şekilde uygulandığında pay kısmındaki ifade 2cos⁡x2\cos x, payda kısmındaki ifade ise cos⁡x\cos x olarak sadeleşir. Bu iki ifadenin birbirine bölünmesiyle en sade biçim 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların esas ölçülerini belirleme
5π2\frac{5\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2}, 3π3\pi açısının esas ölçüsü π\pi ve 7π2\frac{7\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} olarak bulunur.
2π2\pi değerinden büyük olan radyan cinsinden açıları indirgeyebilmek için öncelikle 2π2\pi katlarını çıkararak esas ölçülerini bulmamız gerekir.
2
Bölgelere göre indirgeme formüllerini uygulama
sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x (1. bölge, sinüs pozitif, isim değişir)
cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi + x) = -\cos x (3. bölge, kosinüs negatif, isim değişmez)
tan⁡(3π2−x)=cot⁡x\tan\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \cot x (3. bölge, tanjant pozitif, isim değişir)
sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x (2. bölge, sinüs pozitif, isim değişmez)
Her bir trigonometrik fonksiyonun hangi bölgeye düştüğünü belirleyip o bölgedeki işaretine göre indirgeme kurallarını uygularız. Açı π2\frac{\pi}{2} veya 3π2\frac{3\pi}{2} cinsinden yazıldığında fonksiyon isim değiştirir (sin ↔\leftrightarrow cos, tan ↔\leftrightarrow cot); π\pi cinsinden yazıldığında ise isim değişmez.
3
İfadeleri yerine yazarak sadeleştirme yapma
Pay kısmı: cos⁡x−(−cos⁡x)=2cos⁡x\cos x - (-\cos x) = 2\cos x
Payda kısmı: cot⁡x⋅sin⁡x=cos⁡xsin⁡x⋅sin⁡x=cos⁡x\cot x \cdot \sin x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x
Sonuç: 2cos⁡xcos⁡x=2\frac{2\cos x}{\cos x} = 2
Bulunan indirgenmiş ifadeler kesirde yerlerine yazılır ve cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} özdeşliği kullanılarak gerekli sadeleştirmeler yapılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve indirgeme formüllerinin uygulanması
Soru 50Soru →

Bir xx dar açısı için,

cos⁡(13π2−x)−sin⁡(7π+x)sin⁡(x−9π2)+cos⁡(5π−x)\frac{\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) - \sin(7\pi + x)}{\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right) + \cos(5\pi - x)}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −tan⁡(x)-\tan(x)

Cevap

İfadenin en sade biçimi −tan⁡(x)-\tan(x) olarak bulunur.
Verilen ifadede pay kısmındaki cos⁡(13π/2−x)=sin⁡(x)\cos(13\pi/2 - x) = \sin(x) ve sin⁡(7π+x)=−sin⁡(x)\sin(7\pi + x) = -\sin(x) olarak sadeleşir. Buradan pay sin⁡(x)−(−sin⁡(x))=2sin⁡(x)\sin(x) - (-\sin(x)) = 2\sin(x) bulunur. Paydada ise sin⁡(x−9π/2)=sin⁡(3π/2+x)=−cos⁡(x)\sin(x - 9\pi/2) = \sin(3\pi/2 + x) = -\cos(x) ve cos⁡(5π−x)=−cos⁡(x)\cos(5\pi - x) = -\cos(x) olur. Buradan payda −cos⁡(x)+(−cos⁡(x))=−2cos⁡(x)-\cos(x) + (-\cos(x)) = -2\cos(x) elde edilir. Bu iki ifadenin birbirine oranı olan 2sin⁡(x)−2cos⁡(x)\frac{2\sin(x)}{-2\cos(x)} ifadesi sadeleştiğinde −tan⁡(x)-\tan(x) değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki ilk terim olan cos⁡(13π2−x)\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) ifadesini indirgeyelim.
cos⁡(13π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) = \sin(x)
13π2\frac{13\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2} radyandır. Birinci bölgede kosinüs pozitif değer alır ve açı π2\frac{\pi}{2} cinsinden yazıldığı için fonksiyon sinüse dönüşür.
2
Paydaki ikinci terim olan sin⁡(7π+x)\sin(7\pi + x) ifadesini indirgeyelim.
sin⁡(7π+x)=−sin⁡(x)\sin(7\pi + x) = -\sin(x)
7π7\pi açısının esas ölçüsü π\pi radyandır. Üçüncü bölgede sinüs negatif değer alır ve açı π\pi cinsinden yazıldığı için fonksiyon ismi değişmez.
3
Paydadaki ilk terim olan sin⁡(x−9π2)\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right) ifadesini indirgeyelim.
sin⁡(x−9π2)=−cos⁡(x)\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right) = -\cos(x)
Açıya 6π6\pi eklenerek esas ölçü bulunur: x−9π2+12π2=3π2+xx - \frac{9\pi}{2} + \frac{12\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + x. Dördüncü bölgede sinüs negatif değer alır ve açı 3π2\frac{3\pi}{2} cinsinden yazıldığı için fonksiyon kosinüse dönüşür.
4
Paydadaki ikinci terim olan cos⁡(5π−x)\cos(5\pi - x) ifadesini indirgeyelim.
cos⁡(5π−x)=−cos⁡(x)\cos(5\pi - x) = -\cos(x)
5π5\pi açısının esas ölçüsü π\pi radyandır. İkinci bölgede kosinüs negatif değer alır ve açı π\pi cinsinden yazıldığı için fonksiyon ismi değişmez.
5
Elde edilen sonuçları ana kesirde yerine koyup sadeleştirelim.
sin⁡(x)−(−sin⁡(x))−cos⁡(x)+(−cos⁡(x))=2sin⁡(x)−2cos⁡(x)=−tan⁡(x)\frac{\sin(x) - (-\sin(x))}{-\cos(x) + (-\cos(x))} = \frac{2\sin(x)}{-2\cos(x)} = -\tan(x)
Pay kısmında sin⁡(x)−(−sin⁡(x))=2sin⁡(x)\sin(x) - (-\sin(x)) = 2\sin(x) ve paydada −cos⁡(x)−cos⁡(x)=−2cos⁡(x)-\cos(x) - \cos(x) = -2\cos(x) işlemleri yapılır. Sadeleştirme sonucunda oran −tan⁡(x)-\tan(x) olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçüleri, bölgelere göre işaretleri ve eksen dönüşüm kuralları.
Soru 51Soru →

Tanımlı olduğu aralıkta xx gerçel sayısı için,

sin⁡(15π2+x)+cos⁡(1260∘−x)tan⁡(810∘+x)+cot⁡(7π−x)\frac{\sin\left(\frac{15\pi}{2} + x\right) + \cos(1260^\circ - x)}{\tan(810^\circ + x) + \cot(7\pi - x)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: sin⁡x\sin x

Cevap

sin⁡x\sin x
Verilen ifadedeki tüm açıların esas ölçüleri bulunduğunda; 15π/215\pi/2 açısı 3π/23\pi/2 radyana, 1260∘1260^\circ açısı 180∘180^\circ ye, 810∘810^\circ açısı 90∘90^\circ ye ve 7π7\pi açısı π\pi radyana denk gelir. Bu açılara göre indirgeme yapıldığında paydaki terimler sırasıyla −cos⁡x-\cos x ve −cos⁡x-\cos x olarak sadeleşir ve toplamları −2cos⁡x-2\cos x olur. Paydadaki terimler ise sırasıyla −cot⁡x-\cot x ve −cot⁡x-\cot x olur ve toplamları −2cot⁡x-2\cot x yapar. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise sin⁡x\sin x sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadelerdeki büyük açıların esas ölçülerini radyan ve derece cinsinden belirleme
15π2=6π+3π2≡3π2(mod2π)\frac{15\pi}{2} = 6\pi + \frac{3\pi}{2} \equiv \frac{3\pi}{2} \pmod{2\pi}
1260∘=3⋅360∘+180∘≡180∘(mod360∘)1260^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 180^\circ \equiv 180^\circ \pmod{360^\circ}
810∘=2⋅360∘+90∘≡90∘(mod360∘)810^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 90^\circ \equiv 90^\circ \pmod{360^\circ}
7π=6π+π≡π(mod2π)7\pi = 6\pi + \pi \equiv \pi \pmod{2\pi}
Bölgelere göre indirgeme yapabilmek için öncelikle açıların 00 ile 2π2\pi (veya 0∘0^\circ ile 360∘360^\circ) aralığındaki esas öl��ülerini bulmamız gerekir.
2
Esas ölçüleri yerlerine yazarak trigonometrik fonksiyonları bölgelerine göre indirgeme
sin⁡(3π2+x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x
cos⁡(180∘−x)=−cos⁡x\cos(180^\circ - x) = -\cos x
tan⁡(90∘+x)=−cot⁡x\tan(90^\circ + x) = -\cot x
cot⁡(π−x)=−cot⁡x\cot(\pi - x) = -\cot x
Her bir ifadenin yer aldığı bölgedeki işaretini belirlemek ve açı eksenine göre (x veya y ekseni) fonksiyon adının değişip değişmeyeceğine karar vermek gerekir.
3
Bulunan indirgenmiş değerleri ana kesir ifadesinde yerine koyarak sadeleştirme yapma
Pay: (−cos⁡x)+(−cos⁡x)=−2cos⁡x(-\cos x) + (-\cos x) = -2\cos x
Payda: (−cot⁡x)+(−cot⁡x)=−2cot⁡x(-\cot x) + (-\cot x) = -2\cot x
Kesir: −2cos⁡x−2cot⁡x=cos⁡xcot⁡x=cos⁡xcos⁡xsin⁡x=sin⁡x\frac{-2\cos x}{-2\cot x} = \frac{\cos x}{\cot x} = \frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \sin x
Elde edilen indirgenmiş terimleri toplayıp oranlayarak ifadenin en sade halini bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre indirgenmesi (isim ve işaret değişimi kuralları)
Soru 52Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezi orijin olan birim çember üzerindeki bir P(−513,1213)P\left(-\frac{5}{13}, \frac{12}{13}\right) noktası verilmiştir.

Başlangıç kenarı xx-ekseninin pozitif yönü, bitiş kenarı ise [OP[OP yarıdoğrusu olan yönlü açının ölçüsü α\alpha olduğuna göre,

13⋅sin⁡(3π2−α)+12⋅cot⁡(π−α)13 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) + 12 \cdot \cot\left(\pi - \alpha\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İfadenin doğru değeri 10'dur.
İndirgeme kuralları uygulandığında, sin⁡(3π2−α)=−cos⁡α\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha ve cot⁡(π−α)=−cot⁡α\cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha eşitlikleri elde edilir. Birim çemberdeki PP noktasının koordinatları kullanılarak cos⁡α=−513\cos\alpha = -\frac{5}{13} ve cot⁡α=−512\cot\alpha = -\frac{5}{12} değerleri yerine yazıldığında, ifadenin değeri 13⋅(−(−513))+12⋅(−(−512))=5+5=1013 \cdot \left(-\left(-\frac{5}{13}\right)\right) + 12 \cdot \left(-\left(-\frac{5}{12}\right)\right) = 5 + 5 = 10 olarak bulunur. Dolayısıyla doğru değer 10 seçeneğidir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki P(−513,1213)P\left(-\frac{5}{13}, \frac{12}{13}\right) noktası yardımıyla α\alpha açısının trigonometrik oranlarını belirleyin.
cos⁡α=−513\cos\alpha = -\frac{5}{13}, sin⁡α=1213\sin\alpha = \frac{12}{13} ve cot⁡α=−512\cot\alpha = -\frac{5}{12} elde edilir.
Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi açının kosinüs değerini, ordinatı ise sinüs değerini verir.
2
Verilen ifadelerdeki indirgeme formüllerini uygulayın.
sin⁡(3π2−α)=−cos⁡α\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha ve cot⁡(π−α)=−cot⁡α\cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha bulunur.
Düşey eksene (3pi/2) göre yapılan indirgemelerde fonksiyon isim değiştirir ve üçüncü bölgede sinüs fonksiyonu negatiftir. Yatay eksene (pi) göre yapılan indirgemelerde fonksiyon isim değiştirmez ve ikinci bölgede kotanjant fonksiyonu negatiftir.
3
Bulunan değerleri ifadede yerine yazıp toplamı hesaplayın.
13⋅(−cos⁡α)+12⋅(−cot⁡α)=13⋅(513)+12⋅(512)=5+5=1013 \cdot (-\cos\alpha) + 12 \cdot (-\cot\alpha) = 13 \cdot \left(\frac{5}{13}\right) + 12 \cdot \left(\frac{5}{12}\right) = 5 + 5 = 10 bulunur.
Elde edilen trigonometrik oranlar indirgenmiş ifadede yerine yazılarak cebirsel işlemler tamamlanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Soru 53Soru →
x=cos⁡(17π5)x = \cos\left(\frac{17\pi}{5}\right)
y=sin⁡(−23π10)y = \sin\left(-\frac{23\pi}{10}\right)
z=tan⁡(32π5)z = \tan\left(\frac{32\pi}{5}\right)
w=cot⁡(−13π5)w = \cot\left(-\frac{13\pi}{5}\right)

Yukarıda tanımlanan xx, yy, zz ve ww değerlerini artan sırada olacak şekilde sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik ifadeler indirgendiğinde oluşan sıralama y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.
Verilen ifadelerin esas ölçüleri bulunup trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri uygulandığında y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ) ve x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ) negatif; w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) ve z=tan⁡(72∘)z = \tan(72^\circ) pozitif olmaktadır. Negatif değerler kendi aralarında kıyaslandığında mutlak değerce büyük olan yy en küçük olup y<xy < x elde edilir. Pozitif değerlerde ise tan⁡(72∘)>1\tan(72^\circ) > 1 iken tan⁡(18∘)<1\tan(18^\circ) < 1 olduğundan w<zw < z olur. Bu durumda artan sırada dizilim y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
xx ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme
x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ)
17π5\frac{17\pi}{5} açısının esas ölçüsü 17π5−2π=7π5\frac{17\pi}{5} - 2\pi = \frac{7\pi}{5} (252∘252^\circ) olur. Bu açı 3. bölgede yer alır. 3. bölgede kosinüs negatif değer alır. İndirgeme formülüyle: cos⁡(180∘+72∘)=−cos⁡(72∘)=−sin⁡(18∘)\cos(180^\circ + 72^\circ) = -\cos(72^\circ) = -\sin(18^\circ) elde edilir.
2
yy ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme
y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ)
−23π10-\frac{23\pi}{10} açısının üzerine 4π4\pi eklenerek esas ölçüsü 17π10\frac{17\pi}{10} (306∘306^\circ) olarak bulunur. 4. bölgede yer alan bu açının sinüsü negatiftir. İndirgeme formülüyle: sin⁡(360∘−54∘)=−sin⁡(54∘)\sin(360^\circ - 54^\circ) = -\sin(54^\circ) elde edilir.
3
zz ifadesinin esas ölçüsünü bulup değer aralığını belirleme
z=tan⁡(72∘)>1z = \tan(72^\circ) > 1
32π5\frac{32\pi}{5} açısının esas ölçüsü 32π5−6π=2π5\frac{32\pi}{5} - 6\pi = \frac{2\pi}{5} (72∘72^\circ) olur. 1. bölgede tanjant pozitiftir. 72∘>45∘72^\circ > 45^\circ olduğundan tan⁡(72∘)>tan⁡(45∘)=1\tan(72^\circ) > \tan(45^\circ) = 1 elde edilir.
4
ww ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme ve değer aralığını belirleme
w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) (0<w<10 < w < 1)
−13π5-\frac{13\pi}{5} açısının üzerine 4π4\pi eklenerek esas ölçüsü 7π5\frac{7\pi}{5} (252∘252^\circ) olarak bulunur. 3. bölgede kotanjant pozitiftir. İndirgeme formülüyle: cot⁡(180∘+72∘)=cot⁡(72∘)=tan⁡(18∘)\cot(180^\circ + 72^\circ) = \cot(72^\circ) = \tan(18^\circ) elde edilir. 0∘<18∘<45∘0^\circ < 18^\circ < 45^\circ olduğundan 0<tan⁡(18∘)<10 < \tan(18^\circ) < 1 olur.
5
Elde edilen değerleri karşılaştırarak nihai sıralamayı oluşturma
y<x<w<zy < x < w < z
Negatif sayılardan y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ) ve x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ) kıyaslandığında; sin⁡(54∘)>sin⁡(18∘)\sin(54^\circ) > \sin(18^\circ) olduğundan −sin⁡(54∘)<−sin⁡(18∘)-\sin(54^\circ) < -\sin(18^\circ), yani y<xy < x bulunur. Pozitif sayılardan w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) ve z=tan⁡(72∘)z = \tan(72^\circ) kıyaslandığında; w<1<zw < 1 < z olduğu için w<zw < z olur. Negatif sayılar pozitif sayılardan küçük olduğundan genel sıralama y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Soru 54Soru →
0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} olmak üzere,
cos⁡(11π2+x)⋅tan⁡(900∘−x)sin⁡(270∘+x)⋅cot⁡(15π2−x)\frac{\cos\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) \cdot \tan(900^\circ - x)}{\sin(270^\circ + x) \cdot \cot\left(\frac{15\pi}{2} - x\right)}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan⁡(x)\tan(x)

Cevap

İfadenin en sade biçimi tan⁡(x)\tan(x) ifadesidir.
Verilen ifadelerin her biri esas ölçüleri bulunarak indirgendiğinde pay sin⁡(x)⋅(−tan⁡(x))\sin(x) \cdot (-\tan(x)), payda ise −cos⁡(x)⋅tan⁡(x)-\cos(x) \cdot \tan(x) olur. Bölme işleminde ortak çarpanlar sadeleştirildiğinde geriye tan⁡(x)\tan(x) kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki birinci ifadenin esas ölçüsünü bulup indirgemesini yapmak
cos⁡(11π2+x)=cos⁡(3π2+x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin(x)
11π2\frac{11\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. 3π2+x\frac{3\pi}{2} + x açısı 4. bölgede yer alır ve bu bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitif (+) değerdedir. Dikey eksen referans alındığı için fonksiyonun ismi sinüse dönüşür.
2
Paydaki ikinci ifadenin esas ölçüsünü bulup indirgemesini yapmak
tan⁡(900∘−x)=tan⁡(180∘−x)=−tan⁡(x)\tan(900^\circ - x) = \tan(180^\circ - x) = -\tan(x)
900∘900^\circ açısının esas ölçüsü 180∘180^\circ derecedir. 180∘−x180^\circ - x açısı 2. bölgede yer alır ve bu bölgede tanjant fonksiyonu negatif (-) işaretlidir. Yatay eksen referans alındığı için fonksiyonun ismi değişmez.
3
Paydadaki birinci ifadenin indirgemesini yapmak
sin⁡(270∘+x)=−cos⁡(x)\sin(270^\circ + x) = -\cos(x)
270∘+x270^\circ + x açısı 4. bölgede yer alır ve bu bölgede sinüs fonksiyonu negatif (-) işaretlidir. Dikey eksen referans alındığı için fonksiyonun ismi kosinüse dönüşür.
4
Paydadaki ikinci ifadenin esas ölçüsünü bulup indirgemesini yapmak
cot⁡(15π2−x)=cot⁡(3π2−x)=tan⁡(x)\cot\left(\frac{15\pi}{2} - x\right) = \cot\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \tan(x)
15π2\frac{15\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. 3π2−x\frac{3\pi}{2} - x açısı 3. bölgede yer alır ve bu bölgede kotanjant fonksiyonu pozitif (+) işaretlidir. Dikey eksen referans alındığı için fonksiyonun ismi tanjanta dönüşür.
5
Elde edilen indirgenmiş değerleri ana kesirde yerine koyup sadeleştirmek
sin⁡(x)⋅(−tan⁡(x))−cos⁡(x)⋅tan⁡(x)=−sin⁡(x)tan⁡(x)−cos⁡(x)tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)=tan⁡(x)\frac{\sin(x) \cdot (-\tan(x))}{-\cos(x) \cdot \tan(x)} = \frac{-\sin(x)\tan(x)}{-\cos(x)\tan(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)
Pay ve paydada ortak olan −tan⁡(x)-\tan(x) çarpanları sadeleşir. Kalan sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} oranı tanjant fonksiyonunun tanımı gereği tan⁡(x)\tan(x) değerine eşit olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve dikey/yatay eksenlere göre bölge dönüşümlerinde işaret ve isim değiştirme kurallarının uygulanması.
Soru 55Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin doğru sıralanışı b<c<ab < c < a şeklindedir.
Verilen trigonometrik ifadeler indirgendiğinde a=−cos⁡(40∘)a = -\cos(40^\circ), b=−cos⁡(20∘)b = -\cos(20^\circ) ve c=−tan⁡(40∘)c = -\tan(40^\circ) elde edilir. Birinci bölgede cos⁡(20∘)>tan⁡(40∘)>cos⁡(40∘)>0\cos(20^\circ) > \tan(40^\circ) > \cos(40^\circ) > 0 olduğu bilinmektedir. Negatif işaretli bu değerlerin sıralaması tersine döneceğinden en küçük değer bb, ortanca değer cc ve en büyük değer aa olur.

Adım Adım Çözüm

1
a=cos⁡(220∘)a = \cos(220^\circ) ifadesinin bölgesini belirleyip birinci bölgedeki karşılığını bulunuz.
220∘220^\circ açısı III. bölgededir. Bu bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif olduğundan a=cos⁡(180∘+40∘)=−cos⁡(40∘)a = \cos(180^\circ + 40^\circ) = -\cos(40^\circ) elde edilir.
Karşılaştırma yapabilmek amacıyla tüm açıları birinci bölgedeki dar açı cinsinden ifade etmek gerekir.
2
b=sin⁡(−7π18)b = \sin\left(-\frac{7\pi}{18}\right) ifadesinin esas ölçüsünü bularak veya tek fonksiyon özelliğini kullanarak birinci bölgeye indirgeyiniz.
−7π18=−70∘-\frac{7\pi}{18} = -70^\circ açısı için sinüs fonksiyonunun tekliği kullanıldığında sin⁡(−70∘)=−sin⁡(70∘)\sin(-70^\circ) = -\sin(70^\circ) olur. Birbirini 90∘90^\circ'ye tamamlayan açıların sinüs ve kosinüs değerleri eşit olduğundan b=−cos⁡(20∘)b = -\cos(20^\circ) bulunur.
Farklı trigonometrik fonksiyonları kıyaslarken aynı cinsten (örneğin kosinüs cinsinden) yazmak sıralamayı kolaylaştırır.
3
c=tan⁡(1220∘)c = \tan(1220^\circ) ifadesinin esas ölçüsünü bulup birinci bölgeye indirgeyiniz.
1220∘1220^\circ açısının 360∘360^\circ ile bölümünden kalan 140∘140^\circ'dir. 140∘140^\circ açısı II. bölgede yer alır ve bu bölgede tanjant negatiftir. Buradan c=tan⁡(140∘)=tan⁡(180∘−40∘)=−tan⁡(40∘)c = \tan(140^\circ) = \tan(180^\circ - 40^\circ) = -\tan(40^\circ) elde edilir.
360∘360^\circ'den büyük açıların birim çember üzerindeki konumunu belirlemek için esas ölçü kullanılır.
4
Elde edilen birinci bölgedeki değerleri mutlak değerlerine göre karşılaştırıp ardından negatif sıralamasını yapınız.
Birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalandır, dolayısıyla cos⁡(20∘)>cos⁡(40∘)\cos(20^\circ) > \cos(40^\circ) olur.
Tanjant değeri için tan⁡(40∘)=sin⁡(40∘)cos⁡(40∘)\tan(40^\circ) = \frac{\sin(40^\circ)}{\cos(40^\circ)} ifadesinde sin⁡(40∘)>cos⁡2(40∘)\sin(40^\circ) > \cos^2(40^\circ) olduğundan tan⁡(40∘)>cos⁡(40∘)\tan(40^\circ) > \cos(40^\circ) bulunur. Ayrıca cos⁡(20∘)>tan⁡(40∘)\cos(20^\circ) > \tan(40^\circ)'dir.
Böylece mutlak değerce sıralama 0<cos⁡(40∘)<tan⁡(40∘)<cos⁡(20∘)0 < \cos(40^\circ) < \tan(40^\circ) < \cos(20^\circ) şeklindedir.
İfadeler negatif olduğundan sıralama yön değiştirir: −cos⁡(20∘)<−tan⁡(40∘)<−cos⁡(40∘)-\cos(20^\circ) < -\tan(40^\circ) < -\cos(40^\circ) yani b<c<ab < c < a bulunur.
Negatif gerçel sayılarda mutlak değerce büyük olan sayı sıfırdan daha uzak olduğundan daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelerine göre indirgenmesi ve sıralanması
ÖncekiSayfa 3 / 3
Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin