Examkin

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

55 soru

Tüm türler55Çoktan seçmeli30Sıralama25
Soru 21Soru →
Tanımlı olduğu xx değerleri için,
sin⁡(3π2−x)+cos⁡(π+x)cos⁡(π2+x)\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \cos(\pi + x)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2cot⁡x2\cot x

Cevap

İfadenin en sade şekli 2cot⁡x2\cot x olur.
Verilen rasyonel ifadedeki terimler tek tek indirgendiğinde; pay kısmında sin⁡(3π2−x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x ve cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi + x) = -\cos x elde edilir, böylece pay −2cos⁡x-2\cos x olur. Paydadaki cos⁡(π2+x)\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) ise −sin⁡x-\sin x olarak indirgenir. Bu iki ifadenin birbirine bölünmesiyle −2cos⁡x−sin⁡x=2cot⁡x\frac{-2\cos x}{-\sin x} = 2\cot x cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki sin⁡(3π2−x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) ifadesinin indirgenmesi
−cos⁡x-\cos x
Açı 3. bölgededir. 3. bölgede sinüsün işareti negatif (−-) olduğundan ve 3π2\frac{3\pi}{2} kullanıldığı için fonksiyon isim değiştirerek kosinüse döner.
2
Pay kısmındaki cos⁡(π+x)\cos(\pi + x) ifadesinin indirgenmesi
−cos⁡x-\cos x
Açı 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüsün işareti negatif (−-) olduğundan ve π\pi kullanıldığı için fonksiyonun ismi değişmez.
3
Payda kısmındaki cos⁡(π2+x)\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) ifadesinin indirgenmesi
−sin⁡x-\sin x
Açı 2. bölgededir. 2. bölgede kosinüsün işareti negatif (−-) olduğundan ve π2\frac{\pi}{2} kullanıldığı için fonksiyon isim değiştirerek sinüse döner.
4
Elde edilen ifadelerin ana kesirde yerine yazılarak sadeleştirilmesi
2cot⁡x2\cot x
Pay kısmı −cos⁡x+(−cos⁡x)=−2cos⁡x-\cos x + (-\cos x) = -2\cos x olur. Payda ise −sin⁡x-\sin x olduğundan, ifadenin oranı −2cos⁡x−sin⁡x=2cot⁡x\frac{-2\cos x}{-\sin x} = 2\cot x olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesinde işaret tayini ve isim değiştirme kuralları.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 22Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

a<c<ba < c < b
Verilen ifadelerin esas ölçüleri ve bölge analizleri yapıldığında; bb değeri birinci bölgede pozitif bir sinüs değerine (b=sin⁡(20∘)>0b = \sin(20^\circ) > 0), aa ve cc değerleri ise sırasıyla ikinci ve dördüncü bölgelerde negatif değerlere (a=−cos⁡(20∘)<0a = -\cos(20^\circ) < 0 ve c=−tan⁡(20∘)<0c = -\tan(20^\circ) < 0) eşittir. Negatif değerler karşılaştırılırken, 0<20∘<45∘0 < 20^\circ < 45^\circ aralığında tan⁡(20∘)<cos⁡(20∘)\tan(20^\circ) < \cos(20^\circ) eşitsizliği geçerlidir. Negatif işaretli hallerinde ise eşitsizlik yön değiştirerek −cos⁡(20∘)<−tan⁡(20∘)-\cos(20^\circ) < -\tan(20^\circ) yani a<ca < c olur. Pozitif olan bb değeri ise en büyüktür. Bu durumda doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların esas ölçülerini bulma
1240∘1240^\circ açısın��n esas ölçüsü 160∘160^\circ, −340∘-340^\circ açısının esas ölçüsü 20∘20^\circ ve 700∘700^\circ açısının esas ölçüsü 340∘340^\circ olarak bulunur.
Bölgelere göre indirgeme ve karşılaştırma yapabilmek için öncelikle açıların [0,360∘)[0, 360^\circ) aralığındaki esas ölçülerinin bulunması gerekir.
2
Trigonometrik ifadelerin bölgelerine göre işaretlerini belirleme ve dar açı cinsinden yazma
a=cos⁡(160∘)=−cos⁡(20∘)a = \cos(160^\circ) = -\cos(20^\circ) (negatif), b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ) (pozitif) ve c=tan⁡(340∘)=−tan⁡(20∘)c = \tan(340^\circ) = -\tan(20^\circ) (negatif) olarak belirlenir.
İfadelerin hangi bölgede yer aldığını saptayarak işaretlerini ve birinci bölgedeki karşılıklarını belirlemek sıralamayı kolaylaştırır.
3
Bulunan değerleri büyüklüklerine göre karşılaştırma
bb pozitif olduğu için en büyüktür. aa ve cc negatif değerlerdir. 0<20∘<45∘0 < 20^\circ < 45^\circ aralığında tan⁡(20∘)<cos⁡(20∘)\tan(20^\circ) < \cos(20^\circ) olduğundan, her iki tarafı −1-1 ile çarptığımızda −cos⁡(20∘)<−tan⁡(20∘)-\cos(20^\circ) < -\tan(20^\circ) yani a<ca < c elde edilir. Sonuç olarak a<c<ba < c < b sıralaması bulunur.
Birinci bölgedeki dar açılı trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerini kullanarak nihai sıralamaya ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması, bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 23Soru →
θ∈(5π6,π)\theta \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) olmak üzere,
x=cos⁡(θ−7π2)x = \cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right)
y=tan⁡(θ−3π)y = \tan\left(\theta - 3\pi\right)
z=sin⁡(9π2+θ)z = \sin\left(\frac{9\pi}{2} + \theta\right)

olarak tanımlanıyor.

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen ifadeler indirgendiğinde ve aralık analizi yapıldığında doğru sıralama z < y < x şeklindedir.
Verilen açılar esas ölçülerine getirilip indirgeme formülleriyle sadeleştirildiğinde x=−sin⁡θx = -\sin\theta, y=tan⁡θy = \tan\theta ve z=cos⁡θz = \cos\theta elde edilir. θ\theta açısı ikinci bölgede olduğundan bu üç değer de negatiftir. θ=π−α\theta = \pi - \alpha dönüşümüyle dar açıya geçildiğinde x=−sin⁡αx = -\sin\alpha, y=−tan⁡αy = -\tan\alpha ve z=−cos⁡αz = -\cos\alpha olur. 0<α<30∘0 < \alpha < 30^\circ aralığında mutlak değerce en büyük olan cos⁡α\cos\alpha, en küçük olan ise sin⁡α\sin\alpha olduğundan, negatif işaretliler sıralandığında en küçük değer z, en büyük değer ise x olur.

Adım Adım Çözüm

1
x, y ve z ifadelerine indirgeme formüllerini uygulayarak en sade trigonometrik biçimlerini bulalım.
x=cos⁡(θ−7π2+4π)=cos⁡(θ+π2)=−sin⁡θx = \cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2} + 4\pi\right) = \cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta

y=tan⁡(θ−3π)=tan⁡θy = \tan\left(\theta - 3\pi\right) = \tan\theta (tanjant fonksiyonunun periyodu π\pi olduğundan)

z=sin⁡(9π2+θ−4π)=sin⁡(π2+θ)=cos⁡θz = \sin\left(\frac{9\pi}{2} + \theta - 4\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta
Bölgelere göre indirgeme kurallarını ve esas ölçü kavramını uygulamak için.
2
Açı aralığını ve bu aralıktaki işaretleri belirleyelim.
θ∈(5π6,π)\theta \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) aralığı ikinci bölgededir (150° ile 180° arası). İkinci bölgede:
- sin⁡θ>0⇒x=−sin⁡θ<0\sin\theta > 0 \Rightarrow x = -\sin\theta < 0
- tan⁡θ<0⇒y=tan⁡θ<0\tan\theta < 0 \Rightarrow y = \tan\theta < 0
- cos⁡θ<0⇒z=cos⁡θ<0\cos\theta < 0 \Rightarrow z = \cos\theta < 0
Her üç değer de negatiftir.
Değerlerin hangi bölgede yer aldığını belirleyip işaret analizi yapmak için.
3
İfadeleri kıyaslamak için dar açı cinsinden yazalım.
θ=π−α\theta = \pi - \alpha dönüşümü yapalım. Buradan α∈(0,π6)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) olur (yani 0° ile 30° arası). Bu durumda:
- x=−sin⁡(π−α)=−sin⁡αx = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha
- y=tan⁡(π−α)=−tan⁡αy = \tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha
- z=cos⁡(π−α)=−cos⁡αz = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha
Dar açılarda büyüklük kıyaslaması daha kolay yapıldığı için.
4
Dar açı aralığı olan (0, 30°) için fonksiyonların mutlak büyüklüklerini kıyaslayalım.
α∈(0,π6)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) için:
- 0<sin⁡α<tan⁡α0 < \sin\alpha < \tan\alpha her zaman doğrudur çünkü bu aralıkta cos⁡α<1\cos\alpha < 1 olduğundan tan⁡α=sin⁡αcos⁡α>sin⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} > \sin\alpha olur.
- α<30∘\alpha < 30^\circ iken tan⁡α<tan⁡(30∘)=33≈0.577\tan\alpha < \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 ve cos⁡α>cos⁡(30∘)=32≈0.866\cos\alpha > \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 olduğundan tan⁡α<cos⁡α\tan\alpha < \cos\alpha olur.
- Buradan 0<sin⁡α<tan⁡α<cos⁡α0 < \sin\alpha < \tan\alpha < \cos\alpha elde edilir.
Fonksiyonların dar açı değer aralıklarını netleştirerek kıyaslamak için.
5
Elde edilen eşitsizliği negatif işaretlerle çarparak x, y ve z değerlerini sıralayalım.
0<sin⁡α<tan⁡α<cos⁡α0 < \sin\alpha < \tan\alpha < \cos\alpha eşitsizliği −1-1 ile çarpılırsa yön değiştirir:

−cos⁡α<−tan⁡α<−sin⁡α-\cos\alpha < -\tan\alpha < -\sin\alpha

Bu da bizi doğrudan z<y<xz < y < x sıralamasına götürür.
Negatif sayılarda mutlak değerce büyük olan sayının daha küçük olması kuralını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi ve Sıralanması
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 24Soru →
x,y∈(0,π2)x, y \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ve x>yx > y olmak üzere,
sin⁡(x−3π)⋅cos⁡(y−7π2)−cos⁡(5π−x)⋅sin⁡(9π2+y)=32\sin(x - 3\pi) \cdot \cos\left(y - \frac{7\pi}{2}\right) - \cos(5\pi - x) \cdot \sin\left(\frac{9\pi}{2} + y\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
tan⁡(11π2−(x+y))=33\tan\left(\frac{11\pi}{2} - (x + y)\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

cos⁡(5x+9y−29π4)\cos\left(5x + 9y - \frac{29\pi}{4}\right)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −22-\frac{\sqrt{2}}{2}

Cevap

−22-\frac{\sqrt{2}}{2}
Verilen iki trigonometrik denklem indirgeme formülleriyle sadeleştirildiğinde, x−y=π6x - y = \frac{\pi}{6} ve x+y=π3x + y = \frac{\pi}{3} doğrusal denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde x=π4x = \frac{\pi}{4} ve y=π12y = \frac{\pi}{12} değerlerine ulaşılır. Bu değerler sorulan cos⁡(5x+9y−29π4)\cos\left(5x + 9y - \frac{29\pi}{4}\right) ifadesinde yerine yazıldığında, açı 2π−29π4=−21π42\pi - \frac{29\pi}{4} = -\frac{21\pi}{4} olur. Kosinüs fonksiyonunun çift fonksiyon olmasından dolayı bu ifade cos⁡(21π4)\cos\left(\frac{21\pi}{4}\right) değerine eşittir. Bu açının esas ölçüsü 5π4\frac{5\pi}{4} olup, üçüncü bölgede kosinüsün işareti negatif olduğundan sonuç −cos⁡(π4)=−22-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemde verilen trigonometrik ifadeleri bölgelere göre indirgeyerek sadeleştirin.
sin⁡(x−3π)=−sin⁡(3π−x)=−sin⁡(π−x)=−sin⁡(x)\sin(x - 3\pi) = -\sin(3\pi - x) = -\sin(\pi - x) = -\sin(x)

cos⁡(y−7π2)=cos⁡(7π2−y)=−sin⁡(y)\cos\left(y - \frac{7\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{2} - y\right) = -\sin(y)

cos⁡(5π−x)=cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)\cos(5\pi - x) = \cos(\pi - x) = -\cos(x)

sin⁡(9π2+y)=sin⁡(π2+y)=cos⁡(y)\sin\left(\frac{9\pi}{2} + y\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = \cos(y)

Bu değerler denklemde yerine yazıldığında:

(−sin⁡(x))⋅(−sin⁡(y))−(−cos⁡(x))⋅cos⁡(y)=sin⁡(x)sin⁡(y)+cos⁡(x)cos⁡(y)=cos⁡(x−y)=32(-\sin(x)) \cdot (-\sin(y)) - (-\cos(x)) \cdot \cos(y) = \sin(x)\sin(y) + \cos(x)\cos(y) = \cos(x - y) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
Negatif ve büyük açıları indirgeme formülleriyle basitleştirip toplam-fark formülüne ulaştırmak için.
2
İkinci denklemdeki tanjant ifadesini indirgeme formülüyle sadeleştirin.
tan⁡(11π2−(x+y))=tan⁡(3π2−(x+y))=cot⁡(x+y)=33\tan\left(\frac{11\pi}{2} - (x + y)\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{2} - (x + y)\right) = \cot(x + y) = \frac{\sqrt{3}}{3} elde edilir.
Açıyı 3π2\frac{3\pi}{2} katı cinsinden yazarak fonksiyon adını değiştirmek ve sade bir ifadeye ulaşmak için.
3
xx ve yy değerlerinin dar açı olması ve x>yx > y koşulunu kullanarak elde edilen doğrusal denklem sistemini çözün.
cos⁡(x−y)=32  ⟹  x−y=π6\cos(x - y) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x - y = \frac{\pi}{6}

cot⁡(x+y)=33  ⟹  x+y=π3\cot(x + y) = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x + y = \frac{\pi}{3}

Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 2x=π2  ⟹  x=π42x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} ve y=π12y = \frac{\pi}{12} bulunur.
xx ve yy bilinmeyenlerini tek tek bularak hedef ifadede yerine koyabilmek için.
4
Bulunan xx ve yy değerlerini hedef kosinüs ifadesinde yerine yazarak sonucu hesaplayın.
5x+9y=5(π4)+9(π12)=5π4+3π4=2π5x + 9y = 5\left(\frac{\pi}{4}\right) + 9\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{5\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 2\pi

Buradan hedef ifade:

cos⁡(2π−29π4)=cos⁡(−21π4)=cos⁡(21π4)\cos\left(2\pi - \frac{29\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{21\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{21\pi}{4}\right)

Esas ölçü alındığında:

21π4=4π+5π4  ⟹  cos⁡(21π4)=cos⁡(5π4)=cos⁡(π+π4)=−cos⁡(π4)=−22\frac{21\pi}{4} = 4\pi + \frac{5\pi}{4} \implies \cos\left(\frac{21\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} bulunur.
Bulunan açıları yerine koyup esas ölçü ve bölge indirgeme kuralları ile nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 25Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(x−π2)=35\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{5}

olduğuna göre,

sin⁡(3π+x)+cos⁡(5π2−x)−tan⁡(x−7π2)\sin(3\pi + x) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \tan\left(x - \frac{7\pi}{2}\right)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34\frac{3}{4}

Cevap

Üç bölü dört
İfade indirgeme formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde birinci ve ikinci terim birbirini götürür. Üçüncü terim ise kotanjant fonksiyonuna dönüşür. Başlangıçta verilen eşitlikten açının kosinüs değeri negatif olarak elde edilir. Açının üçüncü bölgede olduğu bilgisi kullanılarak hesaplanan kotanjant değeri pozitif olup üç bölü dört sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde sin⁡(x−π2)=35\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{5} ifadesini indirgeme formülü kullanarak sadeleştirip cos⁡(x)\cos(x) değerini bulunuz.
sin⁡(x−π2)=−sin⁡(π2−x)=−cos⁡(x)=35  ⟹  cos⁡(x)=−35\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\cos(x) = \frac{3}{5} \implies \cos(x) = -\frac{3}{5} olarak bulunur.
Açının esas bölgesindeki trigonometrik değerini belirlemek ve diğer trigonometrik oranları hesaplayabilmek için.
2
Açının üçüncü bölgede (x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)) olduğunu dikkate alarak sin⁡(x)\sin(x) ve cot⁡(x)\cot(x) değerlerini hesaplayınız.
Üçüncü bölgede sinüs negatif olduğundan sin⁡(x)=−1−cos⁡2(x)=−45\sin(x) = -\sqrt{1 - \cos^2(x)} = -\frac{4}{5} olur. Cotangent ise pozitif olup cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)=−3/5−4/5=34\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4} olarak bulunur.
İstenen ifadedeki terimleri sayısal olarak hesaplamak için gerekli olan temel trigonometrik değerleri elde etmek amacıyla.
3
İstenen sin⁡(3π+x)+cos⁡(5π2−x)−tan⁡(x−7π2)\sin(3\pi + x) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \tan\left(x - \frac{7\pi}{2}\right) ifadesindeki her bir terimi indirgeme formülleriyle sadeleştiriniz.
sin⁡(3π+x)=sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin(3\pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin(x)

cos⁡(5π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)

−tan⁡(x−7π2)=−tan⁡(x+π2)=−(−cot⁡(x))=cot⁡(x)-\tan\left(x - \frac{7\pi}{2}\right) = -\tan\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -(-\cot(x)) = \cot(x) elde edilir.
İfadeyi en sade haline getirerek hesaplamayı kolaylaştırmak için.
4
Sadeleştirilmiş terimleri toplayıp elde edilen sonucu hesaplayınız.
A=−sin⁡(x)+sin⁡(x)+cot⁡(x)=cot⁡(x)=34A = -\sin(x) + \sin(x) + \cot(x) = \cot(x) = \frac{3}{4} bulunur.
İfadenin nihai değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçüleri bulunduktan sonra eksenlere göre indirgenmesi ve bölgelerine göre işaret analizi yapılması.

Alternatif Yöntem

İndirgeme formüllerini uygulamak yerine birim çember üzerinde açıların bitim kenarlarının koordinat eksenlerindeki izdüşümleri düşünülerek de bölgelere göre işaret ve isim değişiklikleri belirlenebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 26Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız:

a=cos⁡(310∘)a = \cos(310^\circ)
b=sin⁡(200∘)b = \sin(200^\circ)
c=tan⁡(220∘)c = \tan(220^\circ)

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin küçükten büyü��e doğru sıralanışı b<a<cb < a < c şeklindedir.
Verilen ifadeler birinci bölgeye indirgendiğinde b=−sin⁡(20∘)<0b = -\sin(20^\circ) < 0 en küçük değer olur. Pozitif olan a=sin⁡(40∘)a = \sin(40^\circ) ve c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) değerlerinden ise tanjant değeri sinüs değerinden büyük olduğu için a<ca < c sıralaması elde edilir. Böylelikle doğru sıralama b<a<cb < a < c olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen açıların hangi bölgede olduğunu belirleyip trigonometrik değerleri dar açı cinsinden yazınız.
a=cos⁡(310∘)=cos⁡(360∘−50∘)=cos⁡(50∘)>0a = \cos(310^\circ) = \cos(360^\circ - 50^\circ) = \cos(50^\circ) > 0
b=sin⁡(200∘)=sin⁡(180∘+20∘)=−sin⁡(20∘)<0b = \sin(200^\circ) = \sin(180^\circ + 20^\circ) = -\sin(20^\circ) < 0
c=tan⁡(220∘)=tan⁡(180∘+40∘)=tan⁡(40∘)>0c = \tan(220^\circ) = \tan(180^\circ + 40^\circ) = \tan(40^\circ) > 0
Trigonometrik fonksiyonların büyüklüklerini karşılaştırabilmek için değerleri birinci bölgedeki dar açılara indirgemek ve işaretlerini belirlemek gerekir.
2
Negatif olan değeri en küçük değer olarak belirleyiniz.
b<0b < 0 ve a,c>0a, c > 0 olduğundan en küçük değer bb olarak bulunur.
Negatif reel sayılar daima pozitif reel sayılardan küçüktür.
3
Pozitif olan aa ve cc değerlerini karşılaştırınız.
a=cos⁡(50∘)=sin⁡(40∘)a = \cos(50^\circ) = \sin(40^\circ) ve c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) değerleri karşılaştırıldığında, birinci bölgedeki her θ∈(0,90∘)\theta \in (0, 90^\circ) açısı için tan⁡θ>sin⁡θ\tan\theta > \sin\theta eşitsizliği geçerlidir. Dolayısıyla tan⁡(40∘)>sin⁡(40∘)\tan(40^\circ) > \sin(40^\circ) olduğundan c>ac > a olur.
Birinci bölgedeki bir dar açının tanjantı, aynı açının sinüs değerinden büyüktür.
4
Tüm adımlardaki sonuçları birleştirerek sıralamayı tamamlayınız.
b<a<cb < a < c
bb negatif, aa ve cc pozitif olup cc değeri aa'dan büyük olduğu için küçükten büyüğe sıralama bu şekildedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 27Soru →

θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,

a=cos⁡(11π2+θ)a = \cos\left(\frac{11\pi}{2} + \theta\right)
b=sin⁡(7π2−θ)b = \sin\left(\frac{7\pi}{2} - \theta\right)
c=cot⁡(9π2−θ)c = \cot\left(\frac{9\pi}{2} - \theta\right)

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir. İkinci bölgedeki θ\theta açısı için tanjant değeri negatif olduğundan c=tan⁡θc = \tan\theta en küçük değerdir. Pozitif olan a=sin⁡θa = \sin\theta ve b=−cos⁡θb = -\cos\theta değerleri karşılaştırıldığında, θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡θ>−cos⁡θ\sin\theta > -\cos\theta olduğu görülür, bu nedenle en büyük değer aa olur.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların esas ölçülerini bulup indirgeme formüllerini uygulayarak aa, bb ve cc ifadelerini θ\theta cinsinden yazalım.
a=cos⁡(3π2+θ)=sin⁡θa = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = \sin\theta, b=sin⁡(3π2−θ)=−cos⁡θb = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\cos\theta ve c=cot⁡(π2−θ)=tan⁡θc = \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta elde edilir.
İfadeleri tek bir açı cinsinden yazarak karşılaştırmayı kolaylaştırmak amacıyla indirgeme kuralları uygulanır.
2
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığına göre (yani 90∘<θ<135∘90^\circ < \theta < 135^\circ aralığı) elde ettiğimiz trigonometrik değerlerin işaretlerini inceleyelim.
a=sin⁡θ>0a = \sin\theta > 0, b=−cos⁡θ>0b = -\cos\theta > 0 ve c=tan⁡θ<0c = \tan\theta < 0 olur.
İkinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs negatif ve tanjant negatif olduğu için işaret analiziyle negatif olan cc değerinin en küçük olduğu belirlenir.
3
Pozitif olan aa ve bb değerlerini karşılaştıralım. θ=90∘+x\theta = 90^\circ + x (burada 0∘<x<45∘0^\circ < x < 45^\circ) dönüşümü yapalım.
a=sin⁡(90∘+x)=cos⁡xa = \sin(90^\circ + x) = \cos x ve b=−cos⁡(90∘+x)=sin⁡xb = -\cos(90^\circ + x) = \sin x olur. 0∘<x<45∘0^\circ < x < 45^\circ aralığında cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x olduğundan a>ba > b sonucuna ulaşılır.
Aynı bölgede yer alan pozitif değerli trigonometrik büyüklükleri birbirleriyle kıyaslamak için dar açı dönüşümünden yararlanılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin indirgeme formülleri yardımıyla birinci bölgedeki karşılıklarının bulunması ve belirli bir aralıkta işaret/büyüklük analizi yapılarak sıralanması.
Soru 28Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen trigonometrik ifadelerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen ifadeler dar açıya indirgendiğinde aa pozitif çıkarken, bb ve cc negatif çıkmaktadır. Negatif değerler karşılaştırıldığında, dar açılarda tanjant değeri sinüsten büyük olduğu için negatifleri alındığında tanjantlı terim en küçük olur. Bu da c<b<ac < b < a sıralamasını verir.

Adım Adım Çözüm

1
a=sin⁡(160∘)a = \sin(160^\circ) değerini dar açı cinsinden yazma.
a=sin⁡(180∘−20∘)=sin⁡(20∘)a = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin(20^\circ) (Pozitif)
160∘160^\circ açısı ikinci bölgede olup sinüs fonksiyonu bu bölgede artı işaretlidir.
2
b=cos⁡(250∘)b = \cos(250^\circ) değerini dar açı cinsinden yazma.
b=cos⁡(180∘+70∘)=−cos⁡(70∘)=−sin⁡(20∘)b = \cos(180^\circ + 70^\circ) = -\cos(70^\circ) = -\sin(20^\circ) (Negatif)
250∘250^\circ açısı üçüncü bölgede olup kosin��s fonksiyonu bu bölgede eksi işaretlidir.
3
c=tan⁡(340∘)c = \tan(340^\circ) değerini dar açı cinsinden yazma.
c=tan⁡(360∘−20∘)=−tan⁡(20∘)c = \tan(360^\circ - 20^\circ) = -\tan(20^\circ) (Negatif)
340∘340^\circ açısı dördüncü bölgede olup tanjant fonksiyonu bu bölgede eksi işaretlidir.
4
Elde edilen değerleri işaret ve büyüklüklerine göre sıralama.
c<b<ac < b < a
aa değeri pozitif olduğundan en büyüktür. Negatif olan bb ve cc değerleri için, 20∘20^\circ dar açısında tan⁡(20∘)>sin⁡(20∘)\tan(20^\circ) > \sin(20^\circ) olduğu bilindiğinden, negatif işaretle çarpıldığında −tan⁡(20∘)<−sin⁡(20∘)-\tan(20^\circ) < -\sin(20^\circ) olur. Bu durumda c<bc < b elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açı cinsinden yazılması (indirgeme formülleri).
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 29Soru →
xx bir dar açı olmak üzere,
\frac{\cos(x - 5\pi) \cdot \sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) + \sin(3\pi + x) \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right)}{\cot\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) \cdot \cot(11\pi + x)} + \cos^2\left\(\frac{13\pi}{2} - x\right) + \cos^2(x - 7\pi)

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin en sade şekli 2'dir.
İfade adım adım indirgendiğinde rasyonel kısmın payı cos^2(x) + sin^2(x) = 1, paydası tan(x) * cot(x) = 1 olarak bulunur. Böylece rasyonel kısım 1 değerine eşit olur. Yan taraftaki kareli terimlerin toplamı da sin^2(x) + cos^2(x) = 1 olduğundan, tüm ifadenin en sade şekli 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel ifadenin payındaki terimleri esas ölçü ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirelim.
cos⁡(x−5π)=cos⁡(5π−x)=−cos⁡(x)\cos(x - 5\pi) = \cos(5\pi - x) = -\cos(x)
sin⁡(7π2+x)=sin⁡(3π2+x)=−cos⁡(x)\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos(x)
Çarpımları: (−cos⁡(x))⋅(−cos⁡(x))=cos⁡2(x)(-\cos(x)) \cdot (-\cos(x)) = \cos^2(x)

sin⁡(3π+x)=sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin(3\pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin(x)
cos⁡(5π2+x)=cos⁡(π2+x)=−sin⁡(x)\cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)
Çarpımları: (−sin⁡(x))⋅(−sin⁡(x))=sin⁡2(x)(-\sin(x)) \cdot (-\sin(x)) = \sin^2(x)

Payın toplamı: cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 olur.
Pay kısmındaki her bir trigonometrik fonksiyonun hangi bölgede yer aldığını belirleyip işaretlerini ve isim değiştirip değiştirmeyeceklerini saptamak için.
2
Rasyonel ifadenin paydasındaki terimleri esas ölçü ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirelim.
cot⁡(9π2−x)=cot⁡(π2−x)=tan⁡(x)\cot\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(x)
cot⁡(11π+x)=cot⁡(π+x)=cot⁡(x)\cot(11\pi + x) = \cot(\pi + x) = \cot(x)
Çarpımları: tan⁡(x)⋅cot⁡(x)=1\tan(x) \cdot \cot(x) = 1 olur.

Böylece rasyonel ifade: 11=1\frac{1}{1} = 1 bulunur.
Payda kısmındaki trigonometrik çarpımın sade halini bulmak ve rasyonel ifadenin değerini belirlemek için.
3
Rasyonel ifadenin sağında bulunan kareli terimleri indirgeyip toplam ifadenin sonucunu hesaplayalım.
cos⁡(13π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)  ⟹  cos⁡2(13π2−x)=sin⁡2(x)\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) \implies \cos^2\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) = \sin^2(x)
cos⁡(x−7π)=cos⁡(7π−x)=−cos⁡(x)  ⟹  cos⁡2(x−7π)=(−cos⁡(x))2=cos⁡2(x)\cos(x - 7\pi) = \cos(7\pi - x) = -\cos(x) \implies \cos^2(x - 7\pi) = (-\cos(x))^2 = \cos^2(x)
Kareleri toplamı: sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 olur.

Tüm ifadenin değeri: 1+1=21 + 1 = 2 olarak bulunur.
Kalan terimlerin değerlerini esas ölçü ve trigonometrik kimlikler yardımıyla bulup rasyonel ifadenin sonucuna eklemek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 30Soru →

Bir matematik öğretmeni, trigonometrik indirgeme formülleri ve esas ��lçü kavramlarını pekiştirmek amacıyla tahtaya aşağıdaki xx, yy ve zz değerlerini yazmıştır:

x=sin⁡(25π6)x = \sin\left(\frac{25\pi}{6}\right)
y=cos⁡(−16π3)y = \cos\left(-\frac{16\pi}{3}\right)
z=tan⁡(29π4)z = \tan\left(\frac{29\pi}{4}\right)

Buna göre; xx, yy ve zz sayılarını en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

y<x<zy < x < z (en küçük yy, sonra xx, en büyük zz)
Verilen ifadelerin esas ölçüleri ve bölgelere göre indirgenmiş değerleri hesaplandığında y=−12y = -\frac{1}{2} ile en küçük, x=12x = \frac{1}{2} ile ortanca ve z=1z = 1 ile en büyük değer olur.

Adım Adım Çözüm

1
xx sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama
x=12x = \frac{1}{2}
25π6\frac{25\pi}{6} açısının esas ölçüsü, payın paydanın iki katına bölünmesiyle (25'in 12'ye bölümünden kalan 1) π6\frac{\pi}{6} radyandır. Birinci bölgede sinüs pozitif olup sin⁡(π6)=sin⁡(30∘)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} elde edilir.
2
yy sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama
y=−12y = -\frac{1}{2}
−16π3-\frac{16\pi}{3} negatif açısına esas ölçüyü bulmak için 2π2\pi'nin en küçük pozitif katı olan 6π6\pi eklenir: −16π3+6π=2π3-\frac{16\pi}{3} + 6\pi = \frac{2\pi}{3} radyan olur. İkinci bölgede kosinüs negatif değer alır. İndirgeme formülüyle cos⁡(2π3)=cos⁡(120∘)=cos⁡(180∘−60∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} bulunur.
3
zz sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama
z=1z = 1
29π4\frac{29\pi}{4} açısının esas ölçüsü, payın paydanın iki katına bölünmesiyle (29'un 8'e bölümünden kalan 5) 5π4\frac{5\pi}{4} radyandır. Üçüncü bölgede tanjant pozitif değer alır. İndirgeme formülüyle tan⁡(5π4)=tan⁡(225∘)=tan⁡(180∘+45∘)=tan⁡(45∘)=1\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \tan(225^\circ) = \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan(45^\circ) = 1 elde edilir.
4
Elde edilen değerleri sayı doğrusu üzerindeki büyüklüklerine göre sıralama
y<x<zy < x < z
−12<12<1-\frac{1}{2} < \frac{1}{2} < 1 olduğundan doğru sıralama y<x<zy < x < z şeklindedir.

Anahtar Kavram

Radyan cinsinden verilen açıların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre trigonometrik fonksiyon değerlerinin indirgeme formülleriyle hesaplanması.
Soru 31Soru →

Tanımlı olduğu xx gerçel sayı değerleri için,

f(x)=sin⁡(5π2−x)−cos⁡(x−1260∘)sin⁡(11π−x)⋅tan⁡(810∘+x)f(x) = \frac{\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \cos(x - 1260^\circ)}{\sin(11\pi - x) \cdot \tan(810^\circ + x)}

ifadesi veriliyor.

Buna göre, f(x)f(x) ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2-2

Cevap

−2-2
İfadedeki pay kısmında yer alan terimler indirgendiğinde 2cos⁡(x)2\cos(x), payda kısmında yer alan çarpım durumundaki terimler indirgenip sadeleştirildiğinde −cos⁡(x)-\cos(x) elde edilir. Bu iki değer birbirine oranlandığında değişkenler sadeleşir ve sonuç −2-2 olarak bulunur. Dolayısıyla doğru cevap −2-2 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Payda yer alan sin⁡(5π2−x)\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) ifadesini indirgeyiniz.
sin⁡(5π2−x)=sin⁡(π2−x)=cos⁡(x)\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)
5π2\frac{5\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2}'dir. Birinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir ve π2\frac{\pi}{2} açısına göre indirgeme yapıldığından fonksiyon isim değiştirerek kosinüse dönüşür.
2
Payda yer alan cos⁡(x−1260∘)\cos(x - 1260^\circ) ifadesini indirgeyiniz.
cos⁡(x−1260∘)=cos⁡(1260∘−x)=cos⁡(180∘−x)=−cos⁡(x)\cos(x - 1260^\circ) = \cos(1260^\circ - x) = \cos(180^\circ - x) = -\cos(x)
Kosinüs çift fonksiyon olduğundan cos⁡(x−1260∘)=cos⁡(1260∘−x)\cos(x - 1260^\circ) = \cos(1260^\circ - x) olur. 1260∘1260^\circ açısının esas ölçüsü 1260∘−3⋅360∘=180∘1260^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 180^\circ olarak bulunur. İkinci bölgede kosinüs negatif işaretlidir ve isim değiştirmez.
3
Pay kısmının toplam değerini hesaplayınız.
Pay=cos⁡(x)−(−cos⁡(x))=2cos⁡(x)\text{Pay} = \cos(x) - (-\cos(x)) = 2\cos(x)
Bulunan sadeleşmiş terimler pay kısmındaki çıkarma işleminde yerine yazılarak ifade düzenlenir.
4
Paydadaki sin⁡(11π−x)\sin(11\pi - x) ve tan⁡(810∘+x)\tan(810^\circ + x) ifadelerini ayrı ayrı indirgeyiniz.
sin⁡(11π−x)=sin⁡(π−x)=sin⁡(x)\sin(11\pi - x) = \sin(\pi - x) = \sin(x) ve tan⁡(810∘+x)=tan⁡(90∘+x)=−cot⁡(x)\tan(810^\circ + x) = \tan(90^\circ + x) = -\cot(x)
11π11\pi açısının esas ölçüsü π\pi'dir. İkinci bölgede sinüs pozitif olup isim değiştirmez. 810∘810^\circ açısının esas ölçüsü 90∘90^\circ'dir. İkinci bölgede tanjant negatif işaretlidir ve 90∘90^\circ açısına göre indirgendiğinden ismi kotanjanta dönüşür.
5
Payda kısmını çarpım olarak hesaplayınız ve tüm ifadeyi oranlayınız.
Payda=sin⁡(x)⋅(−cot⁡(x))=sin⁡(x)⋅(−cos⁡(x)sin⁡(x))=−cos⁡(x)\text{Payda} = \sin(x) \cdot (-\cot(x)) = \sin(x) \cdot \left(-\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right) = -\cos(x). Buradan f(x)=2cos⁡(x)−cos⁡(x)=−2f(x) = \frac{2\cos(x)}{-\cos(x)} = -2 bulunur.
Kotanjantın cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} eşitliği kullanılarak payda basitleştirilir, ardından pay paydaya bölünerek en sade biçim elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Soru 32Soru →

Tanımlı olduğu xx gerçel sayı değerleri için,

cos⁡(7π2−x)+sin⁡(x−5π)sin⁡(11π2+x)+cos⁡(3π−x)\frac{\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) + \sin(x - 5\pi)}{\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) + \cos(3\pi - x)}

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan⁡(x)\tan(x)

Cevap

tan⁡(x)\tan(x)
İfadenin payı sadeleştirildiğinde −2sin⁡(x)-2\sin(x), paydası ise −2cos⁡(x)-2\cos(x) olarak elde edilir. Bu iki değerin birbirine bölünmesiyle −2sin⁡(x)−2cos⁡(x)=tan⁡(x)\frac{-2\sin(x)}{-2\cos(x)} = \tan(x) sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki cos⁡(7π2−x)\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) ve sin⁡(x−5π)\sin(x - 5\pi) ifadelerini indirgeyiniz.
cos⁡(7π2−x)=−sin⁡(x)\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = -\sin(x) ve sin⁡(x−5π)=−sin⁡(x)\sin(x - 5\pi) = -\sin(x) olur. Buradan pay kısmı −sin⁡(x)+(−sin⁡(x))=−2sin⁡(x)-\sin(x) + (-\sin(x)) = -2\sin(x) olarak bulunur.
7π2\frac{7\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2}'dir. Açı üçüncü bölgede olduğundan kosinüsün işareti negatif olur ve π2\frac{\pi}{2}'nin tek katı kullanıldığı için fonksiyon sinüse dönüşür. x−5πx - 5\pi açısı ise esas ölç��süne tamamlandığında x+πx + \pi olur; bu üçüncü bölgede sinüs negatiftir ve fonksiyon ismi değişmez.
2
Payda kısmındaki sin⁡(11π2+x)\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) ve cos⁡(3π−x)\cos(3\pi - x) ifadelerini indirgeyiniz.
sin⁡(11π2+x)=−cos⁡(x)\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) = -\cos(x) ve cos⁡(3π−x)=−cos⁡(x)\cos(3\pi - x) = -\cos(x) olur. Buradan payda kısmı −cos⁡(x)+(−cos⁡(x))=−2cos⁡(x)-\cos(x) + (-\cos(x)) = -2\cos(x) olarak bulunur.
11π2\frac{11\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2}'dir. Açı dördüncü bölgede olduğundan sinüsün işareti negatif olur ve π2\frac{\pi}{2}'nin tek katı kullanıldığı için fonksiyon kosinüse dönüşür. 3π−x3\pi - x açısının esas ölçüsü π−x\pi - x olup ikinci bölgede kosinüs negatiftir ve fonksiyon ismi değişmez.
3
Bulunan pay ve payda değerlerini oranlayarak ifadeyi sadeleştiriniz.
−2sin⁡(x)−2cos⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)=tan⁡(x)\frac{-2\sin(x)}{-2\cos(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x) olarak elde edilir.
Pay ve paydadaki −2-2 katsayıları sadeleşir. Kalan sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} oranı tanım gereği tanjant fonksiyonuna eşittir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların π\pi ve π2\frac{\pi}{2}'nin katları kullanılarak bölgelere göre indirgenmesi ve bu işlemlerde işaret ve isim değişikliği kurallarının uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 33Soru →
Her xx açısı için,
sin⁡(3π2+x)+cos⁡(π−x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \cos(\pi - x)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2cos⁡(x)-2\cos(x)

Cevap

−2cos⁡(x)-2\cos(x)
Doğru cevap olan −2cos⁡(x)-2\cos(x) ifadesi, trigonometrik indirgeme kurallarının her iki terim için de hatasız uygulanmasıyla bulunur. IV. bölgedeki sinüs değerinin işareti negatif olup isim değişir ve −cos⁡(x)-\cos(x) elde edilir; II. bölgedeki kosinüs değerinin işareti negatif olup isim değişmez ve −cos⁡(x)-\cos(x) elde edilir. Toplamları −2cos⁡(x)-2\cos(x) sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡(3π2+x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) ifadesi sadeleştirilir.
sin⁡(3π2+x)=−cos⁡(x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos(x)
3π2+x\frac{3\pi}{2} + x açısı koordinat düzleminin IV. bölgesindedir. IV. bölgede sinüsün işareti negatif (−-) olup, açı 3π2\frac{3\pi}{2} referansıyla yazıldığı i��in fonksiyon isim değiştirerek kosinüse dönüşür.
2
cos⁡(π−x)\cos(\pi - x) ifadesi sadeleştirilir.
cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)\cos(\pi - x) = -\cos(x)
π−x\pi - x açısı II. bölgededir. II. bölgede kosinüsün işareti negatif (−-) olup, açı π\pi referansıyla yazıldığı için fonksiyon isim değiştirmez.
3
Elde edilen indirgenmiş ifadeler toplanır.
−cos⁡(x)+(−cos⁡(x))=−2cos⁡(x)-\cos(x) + (-\cos(x)) = -2\cos(x)
Toplama işlemiyle ifadenin en sade hali elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 34Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡(810∘−x)a = \sin(810^\circ - x)
b=cos⁡(7π+x)b = \cos(7\pi + x)
c=tan⁡(x−270∘)c = \tan(x - 270^\circ)

olarak veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe do��ru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

c < a < b
Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde a=cos⁡(x)a = \cos(x), b=−cos⁡(x)b = -\cos(x) ve c=−cot⁡(x)c = -\cot(x) elde edilir. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında kosinüs değeri −1-1 ile −0.707-0.707 arasındadır. Dolayısıyla aa negatif bir değerdir. bb ise negatif bir değerin eksiyle çarpımı olduğundan pozitif bir değerdir. Bu aralıkta kotanjant değeri 11'den büyüktür, dolayısıyla c=−cot⁡(x)c = -\cot(x) değeri −1-1'den küçüktür. Bu durumda en küçük değer −1-1'den küçük olan c, ardından sıfıra daha yakın negatif değer olan a ve en büyük değer ise pozitif olan b'dir.

Adım Adım Çözüm

1
a ifadesini sadeleştirin.
a=sin⁡(810∘−x)=sin⁡(90∘−x)=cos⁡(x)a = \sin(810^\circ - x) = \sin(90^\circ - x) = \cos(x)
810∘810^\circ açısının esas ölçüsü 90∘90^\circ'dir (810∘−2⋅360∘=90∘810^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 90^\circ). Birinci bölgede sinüs fonksiyonu kosinüse dönüşür.
2
b ifadesini sadeleştirin.
b=cos⁡(7π+x)=cos⁡(π+x)=−cos⁡(x)b = \cos(7\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos(x)
7π7\pi açısının esas ölçüsü π\pi'dir. Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonu negatif işaretlidir.
3
c ifadesini sadeleştirin.
c=tan⁡(x−270∘)=tan⁡(x+90∘)=−cot⁡(x)c = \tan(x - 270^\circ) = \tan(x + 90^\circ) = -\cot(x)
x−270∘x - 270^\circ açısına 360∘360^\circ eklenerek esas ölçüsü x+90∘x + 90^\circ bulunur. İkinci bölgede tanjant fonksiyonu negatif işaretlidir ve isim değiştirerek kotanjanta dönüşür.
4
Verilen aralığa göre değerleri karşılaştırın.
c<a<bc < a < b
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığı üçüncü bölgededir (180∘<x<225∘180^\circ < x < 225^\circ). Bu aralıkta cos⁡(x)∈(−1,−22)\cos(x) \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) olduğundan a∈(−1,−0.707)a \in (-1, -0.707) olur. b=−cos⁡(x)b = -\cos(x) olduğundan b∈(0.707,1)b \in (0.707, 1) pozitif aralığındadır. Bu aralıkta cot⁡(x)>1\cot(x) > 1 olduğundan c=−cot⁡(x)<−1c = -\cot(x) < -1 olur. Bu durumda aralıklar c<−1<a<0<bc < -1 < a < 0 < b şeklinde sıralanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması
Soru 35Soru →

Aşağıdaki trigonometrik ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
İfadelerin dar açı cinsinden karşılıkları ve işaretleri incelendiğinde; a=−cos⁡(40∘)a = -\cos(40^\circ) negatif, b=sin⁡(50∘)b = \sin(50^\circ) ve c=tan⁡(20∘)c = \tan(20^\circ) pozitif bulunur. Pozitif değerlerden tan⁡(20∘)\tan(20^\circ) değeri sin⁡(50∘)\sin(50^\circ) değerinden küçük olduğu için en küçükten büyüğe sıralama a<c<ba < c < b şeklinde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların esas ölçülerini bulma ve birim çember üzerindeki bölgelerini belirleme.
220∘220^\circ açısı 3. bölgededir. −310∘-310^\circ açısının esas ölçüsü −310∘+360∘=50∘-310^\circ + 360^\circ = 50^\circ olup 1. bölgededir. 200∘200^\circ açısı ise 3. bölgededir.
Trigonometrik oranların işaretlerini doğru saptayabilmek için açıların birim çemberdeki bölgelerini belirlemek gerekir.
2
İfadeleri dar açı cinsinden indirgeme formülleriyle yazma.
a=cos⁡(220∘)=cos⁡(180∘+40∘)=−cos⁡(40∘)a = \cos(220^\circ) = \cos(180^\circ + 40^\circ) = -\cos(40^\circ), b=sin⁡(−310∘)=sin⁡(50∘)b = \sin(-310^\circ) = \sin(50^\circ) ve c=tan⁡(200∘)=tan⁡(180∘+20∘)=tan⁡(20∘)c = \tan(200^\circ) = \tan(180^\circ + 20^\circ) = \tan(20^\circ) olarak elde edilir.
Farklı bölgelerdeki açıların büyüklüklerini karşılaştırabilmek amacıyla dar açı cinsinden karşılıkları bulunur.
3
İşaret ve değer analizi yaparak sıralamayı gerçekleştirme.
a<0a < 0 olduğundan en küçük değerdir. Pozitif olan bb ve cc değerleri için; tan⁡(20∘)<tan⁡(30∘)≈0.577\tan(20^\circ) < \tan(30^\circ) \approx 0.577 ve sin⁡(50∘)>sin⁡(45∘)≈0.707\sin(50^\circ) > \sin(45^\circ) \approx 0.707 olduğundan c<bc < b eşitsizliği geçerlidir. Buradan genel sıralama a<c<ba < c < b olarak bulunur.
Negatif sayıların pozitif sayılardan küçük olması ve pozitif dar açıların bilinen referans değerlerle kıyaslanması sıralamayı belirler.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret analizi ve dar açı cinsinden indirgenmesi
Soru 36Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(11π2−x)+cos⁡(900∘+x)cos⁡(9π2+x)−sin⁡(540∘−x)\frac{\sin\left(\frac{11\pi}{2} - x\right) + \cos(900^\circ + x)}{\cos\left(\frac{9\pi}{2} + x\right) - \sin(540^\circ - x)}

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \cot(x)

Cevap

İfadenin en sade hâli cot(x) değeridir.
Verilen trigonometrik ifadelerin esas ölçüleri bulunup indirgeme formülleri doğru bir şekilde uygulandığında, pay kısmında -2cos(x) ve payda kısmında -2sin(x) ifadeleri elde edilir. Bu iki ifadenin birbirine oranı cos(x)/sin(x) olup, bu da cot(x) ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki terimlerin esas ölçülerini bularak indirgeme formüllerini uygulayın.
sin(11pi/2 - x) = sin(3pi/2 - x) = -cos(x) ve cos(900° + x) = cos(180° + x) = -cos(x) elde edilir.
Büyük açıların esas ölçülerini belirlemek ve bölgelere göre işaret analizi yapmak için.
2
Payda kısmındaki terimlerin esas ölçülerini bularak indirgeme formüllerini uygulayın.
cos(9pi/2 + x) = cos(pi/2 + x) = -sin(x) ve sin(540° - x) = sin(180° - x) = sin(x) elde edilir.
Payda kısmındaki trigonometrik oranları en sade hâle getirmek için.
3
Bulunan ifadeleri ana kesirde yerine yerleştirip sadeleştirme işlemini tamamlayın.
[-cos(x) - cos(x)] / [-sin(x) - sin(x)] = -2cos(x) / -2sin(x) = cos(x)/sin(x) = cot(x) bulunur.
İfadenin en sade biçimini bulmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi sürecinde açıların esas ölçüleri bulunur. Açı, yatay eksene (pi veya 180 derece) göre yazıldığında fonksiyonun ismi değişmez; düşey eksene (pi/2 veya 3pi/2) göre yazıldığında ise fonksiyon eş fonksiyonuna (sinüs-kosinüs, tanjant-kotanjant) dönüşür. Her iki durumda da elde edilen yeni terimin işareti, orijinal fonksiyonun o bölgedeki işaretine göre belirlenir.
Soru 37Soru →

Bir xx dar açısı 0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} eşitsizliğini sağlamaktadır. Buna göre, aşağıda tanımlanan trigonometrik değerleri en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama d < a < b < c şeklindedir.
İfadeler en sade hallerine indirgendiğinde a=−sin⁡xa = -\sin x, b=sin⁡xb = \sin x, c=tan⁡xc = \tan x ve d=−tan⁡xd = -\tan x olarak bulunur. 0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} aralığında tüm değerler pozitif olup sin⁡x<tan⁡x\sin x < \tan x ilişkisi vardır. Buradan hareketle pozitif değerler için b<cb < c ve negatif değerler için eşitsizlik yön değiştireceğinden d<ad < a sıralaması bulunur. Negatif değerler pozitiflerden her zaman küçük olduğundan genel sıralama d<a<b<cd < a < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Derece cinsinden verilen aa ve cc ifadelerinin açılarını indirgeyiniz.
900∘=2⋅360∘+180∘900^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 180^\circ olduğundan esas ölçü 180∘180^\circ’dir. Buradan a=sin⁡(180∘+x)=−sin⁡xa = \sin(180^\circ + x) = -\sin x bulunur.
c=tan⁡(x−540∘)c = \tan(x - 540^\circ) ifadesinde tanjantın periyodu 180∘180^\circ (veya π\pi) olduğundan c=tan⁡(x−3⋅180∘)=tan⁡xc = \tan(x - 3 \cdot 180^\circ) = \tan x elde edilir.
Bölgelere göre indirgeme yapabilmek için öncelikle açıların esas ölçülerini veya periyodik karşılıklarını belirlemek gerekir.
2
Radyan cinsinden verilen bb ve dd ifadelerinin açılarını indirgeyiniz.
13π2=6π+π2=3⋅2π+π2\frac{13\pi}{2} = 6\pi + \frac{\pi}{2} = 3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2} olduğundan esas ölçü π2\frac{\pi}{2}’dir. Dolayısıyla b=cos⁡(π2−x)=sin⁡xb = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x olur.
7π2=2π+3π2\frac{7\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2} olduğundan esas ölçü 3π2\frac{3\pi}{2}’dir. Dolayısıyla d = \cot\left(\frac{3\pi}{2} + x \right) = -\tan x$ olur.
Radyan cinsinden açıların π2\frac{\pi}{2} veya 3π2\frac{3\pi}{2} katlarına göre indirgenmesinde fonksiyonların isim değiştireceğini ve açının bulunduğu bölgedeki işaretini belirlemek gerekir.
3
Elde edilen ifadeleri 0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} aralığındaki değerlerine göre sıralayınız.
0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} aralığında sin⁡x\sin x ve tan⁡x\tan x değerleri pozitiftir ve sin⁡x<tan⁡x\sin x < \tan x eşitsizliği geçerlidir.
Pozitif olan terimler karşılaştırıldığında: 0<b<c0 < b < c yani 0<sin⁡x<tan⁡x0 < \sin x < \tan x elde edilir.
Negatif olan terimler karşılaştırıldığında: sin⁡x<tan⁡x\sin x < \tan x eşitsizliği −1-1 ile çarpıldığında yön değiştirir ve −tan⁡x<−sin⁡x-\tan x < -\sin x yani d<a<0d < a < 0 elde edilir.
Tüm değerler birleştirildiğinde doğru sıralama d<a<b<cd < a < b < c olur.
Dar açılarda farklı trigonometrik fonksiyonların büyüklük ilişkilerini ve negatif sayıların sıralama kurallarını uygulayarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi ve dar açılarda sıralama
Soru 38Soru →

θ\theta bir dar açı olmak üzere,

cos⁡(θ−7π2)⋅tan⁡(13π+θ)sin⁡(5π−θ)⋅cot⁡(9π2−θ)\frac{\cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right) \cdot \tan(13\pi + \theta)}{\sin(5\pi - \theta) \cdot \cot\left(\frac{9\pi}{2} - \theta\right)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1-1

Cevap

İfadenin en sade şekli −1-1 olarak bulunur.
Verilen ifadeyi sadeleştirmek için her bir trigonometrik fonksiyon ayrı ayrı indirgenir. Kosinüs çift fonksiyon olduğundan cos⁡(θ−7π/2)=cos⁡(7π/2−θ)\cos(\theta - 7\pi/2) = \cos(7\pi/2 - \theta) yazılabilir. 7π/27\pi/2 açısının esas ölçüsü 3π/23\pi/2 olup, üçüncü bölgede kosinüs negatif işaretlidir ve isim değiştirerek −sin⁡θ-\sin\theta olur. Tanjantın periyodu π\pi olduğundan tan⁡(13π+θ)=tan⁡θ\tan(13\pi + \theta) = \tan\theta olur. Paydadaki 5π5\pi açısının esas ölçüsü π\pi olup, ikinci bölgede sinüs pozitif olduğundan sin⁡(5π−θ)=sin⁡θ\sin(5\pi - \theta) = \sin\theta olur. Son olarak 9π/29\pi/2 açısının esas ölçüsü π/2\pi/2 olup, birinci bölgede kotanjant pozitif ve isim değiştirerek tan⁡θ\tan\theta olur. Değerler kesirde yerine yazıldığında pay (−sin⁡θ)⋅tan⁡θ(-\sin\theta) \cdot \tan\theta, payda ise sin⁡θ⋅tan⁡θ\sin\theta \cdot \tan\theta olur ve sadeleştirme sonucunda −1-1 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki kosinüs terimini esas ölçü ve indirgeme kuralları ile sadeleştirmek.
cos⁡(θ−7π2)=−sin⁡θ\cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right) = -\sin\theta
Kosinüs fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan cos⁡(x)=cos⁡(−x)\cos(x) = \cos(-x) eşitliği geçerlidir. Buradan cos⁡(θ−7π2)=cos⁡(7π2−θ)\cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{2} - \theta\right) elde edilir. 7π2\frac{7\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. 3π2−θ\frac{3\pi}{2} - \theta açısı üçüncü bölgede yer alır. Üçüncü bölgede kosinüsün işareti negatif olduğundan ve 3π2\frac{3\pi}{2} referans alındığından isim değişerek −sin⁡θ-\sin\theta olur.
2
Pay kısmındaki tanjant teriminin esas ölçüsünü bularak sadeleştirmek.
tan⁡(13π+θ)=tan⁡θ\tan(13\pi + \theta) = \tan\theta
Tanjant fonksiyonunun periyodu π\pi radyandır. Dolayısıyla 13π13\pi açısının içindeki tüm π\pi katları atıldığında ifadenin değeri değişmez ve doğrudan tan⁡θ\tan\theta olarak sadeleşir.
3
Payda kısmındaki sinüs ve kotanjant terimlerini indirgeme kuralları ile sadeleştirmek.
sin⁡(5π−θ)=sin⁡θ\sin(5\pi - \theta) = \sin\theta ve cot⁡(9π2−θ)=tan⁡θ\cot\left(\frac{9\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta
5π5\pi açısının esas ölçüsü π\pi radyandır. π−θ\pi - \theta açısı ikinci bölgede yer alır. İkinci bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitif olduğundan sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta olur. 9π2\frac{9\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2} radyandır. π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta açısı birinci bölgede yer alır. Birinci bölgede tüm fonksiyonlar pozitif olup π2\frac{\pi}{2} referans alındığından isim değişerek tan⁡θ\tan\theta olur.
4
Elde edilen sadeleşmiş terimleri ana kesirde yerine yazarak sadeleştirme işlemini tamamlamak.
(−sin⁡θ)⋅tan⁡θsin⁡θ⋅tan⁡θ=−1\frac{(-\sin\theta) \cdot \tan\theta}{\sin\theta \cdot \tan\theta} = -1
Payda ve pay kısmında yer alan sin⁡θ\sin\theta ve tan⁡θ\tan\theta terimleri birbirini sadeleştirir. Geriye yalnızca pay kısmından gelen eksi işareti kalır, böylece sonuç −1-1 olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçüleri bulunduktan sonra, açının bölgesine göre fonksiyonun işaretinin belirlenmesi ve eksen referansına (π\pi veya π2\frac{\pi}{2}) göre isim değiştirip değiştirmeyeceğine karar verilmesi.
Soru 39Soru →

Analitik düzlemdeki birim çember üzerinde, koordinatları P(−35,45)P\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) olan bir PP noktası veriliyor. PP noktasını orijine birleştiren ışının, xx ekseninin pozitif yön��yle yaptığı açı α\alpha dır.

Buna göre,
cos⁡(3π2−α)⋅tan⁡(π+α)sin⁡(3π−α)\frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \tan(\pi + \alpha)}{\sin(3\pi - \alpha)}
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

İfadenin değeri dört bölü üçtür.
Birim çember üzerindeki P(−35,45)P\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) noktası koordinat düzleminin 2. bölgesindedir. Burada cos⁡α=−35\cos\alpha = -\frac{3}{5} ve sin⁡α=45\sin\alpha = \frac{4}{5} olup tan⁡α=−43\tan\alpha = -\frac{4}{3} değerine ulaşılır. Soruda verilen ifadedeki terimler indirgendiğinde: cos⁡(3π2−α)=−sin⁡α\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha, tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha ve sin⁡(3π−α)=sin⁡α\sin(3\pi - \alpha) = \sin\alpha elde edilir. Bu değerler kesirde yerine koyulduğunda sinüs terimleri sadeleşir ve geriye −tan⁡α-\tan\alpha kalır. Tanımlanan tan⁡α=−43\tan\alpha = -\frac{4}{3} değeri yerine yazıldığında sonuç dört bölü üç olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki noktanın koordinatlarından trigonometrik oranları belirlemek
cos⁡α=−35\cos\alpha = -\frac{3}{5}, sin⁡α=45\sin\alpha = \frac{4}{5} ve buradan tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=4/5−3/5=−43\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3} bulunur.
Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.
2
Pay ve paydadaki ifadeleri bölgelere göre indirgemek
cos⁡(3π2−α)=−sin⁡α\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha, tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha ve sin⁡(3π−α)=sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(3\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha elde edilir.
3π2\frac{3\pi}{2} kullanıldığında isim değişir ve 3. bölgede kosinüs negatiftir. π\pi ve 3π3\pi kullanıldığında isim değişmez; bölgelere göre işaret tespiti yapılır.
3
İndirgenen ifadeleri yerine yazarak sadeleştirme yapmak
(−sin⁡α)⋅tan⁡αsin⁡α=−tan⁡α\frac{(-\sin\alpha) \cdot \tan\alpha}{\sin\alpha} = -\tan\alpha elde edilir.
Pay ve paydadaki sin⁡α\sin\alpha ifadeleri birbirini sadeleştirir.
4
Sayısal değeri yerine koyarak nihai sonucu hesaplamak
−tan⁡α=−(−43)=43-\tan\alpha = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} bulunur.
İlk adımda elde edilen tan⁡α\tan\alpha değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Soru 40Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız:

a=cos⁡(2026∘)a = \cos(2026^\circ)
b=sin⁡(43π6)b = \sin\left(\frac{43\pi}{6}\right)
c=tan⁡(−17π5)c = \tan\left(-\frac{17\pi}{5}\right)

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

K��çükten büyüğe doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Doğru sıralama küçükten büyüğe doğru c<a<bc < a < b şeklindedir. İndirgeme formülleri uygulandığında c=−tan⁡(72∘)<−1c = -\tan(72^\circ) < -1, a=−cos⁡(46∘)≈−0,69a = -\cos(46^\circ) \approx -0,69 ve b=−0,5b = -0,5 değerleri elde edilir. Sayı doğrusu üzerinde bu değerler soldan sağa sırasıyla cc, aa ve bb olarak sıralanır.

Adım Adım Çözüm

1
2026∘2026^\circ açısının esas ölçüsünü bulup indirgeyiniz.
2026∘=5×360∘+226∘2026^\circ = 5 \times 360^\circ + 226^\circ olduğundan esas ölçü 226∘226^\circ olur. III. bölgede kosinüs negatif olduğundan a=cos⁡(226∘)=cos⁡(180∘+46∘)=−cos⁡(46∘)a = \cos(226^\circ) = \cos(180^\circ + 46^\circ) = -\cos(46^\circ) elde edilir.
Büyük açların trigonometrik değerlerini karşılaştırmak için öncelikle esas ölçülerini bulup dar açı cinsinden ifade etmeliyiz.
2
43π6\frac{43\pi}{6} açısının esas ölçüsünü bulup indirgeyiniz.
43π6=6π+7π6=3×2π+7π6\frac{43\pi}{6} = 6\pi + \frac{7\pi}{6} = 3 \times 2\pi + \frac{7\pi}{6} olduğundan esas ölçü 7π6\frac{7\pi}{6} radyandır. III. bölgede sinüs negatif olduğundan b=sin⁡(7π6)=sin⁡(π+π6)=−sin⁡(π6)=−0,5b = \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -0,5 elde edilir.
Radyan cinsinden verilen açıyı dar açı cinsinden yazarak değerini doğrudan bulabiliriz.
3
−17π5-\frac{17\pi}{5} açısının esas ölçüsünü bulup indirgeyiniz.
−17π5+4π=3π5-\frac{17\pi}{5} + 4\pi = \frac{3\pi}{5} (108∘108^\circ) olup esas ölçü II. bölgededir. II. bölgede tanjant negatif olduğundan c=tan⁡(108∘)=tan⁡(180∘−72∘)=−tan⁡(72∘)c = \tan(108^\circ) = \tan(180^\circ - 72^\circ) = -\tan(72^\circ) elde edilir.
Negatif radyanlı açıların üzerine 2π2\pi'nin katları eklenerek esas ölçü bulunur ve ardından dar açıya indirgenir.
4
Bulunan aa, bb ve cc değerlerini karşılaştırınız.
tan⁡(72∘)>tan⁡(45∘)=1\tan(72^\circ) > \tan(45^\circ) = 1 olduğundan c=−tan⁡(72∘)<−1c = -\tan(72^\circ) < -1 olur. cos⁡(46∘)\cos(46^\circ) değeri ise 0,50,5 ile 0,7070,707 arasındadır, bu yüzden a=−cos⁡(46∘)a = -\cos(46^\circ) değeri −0,707-0,707 ile −0,5-0,5 arasındadır. b=−0,5b = -0,5 olduğundan, sıralama c<a<bc < a < b şeklinde olur.
Negatif sayıların sıralanmasında mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 3Sonraki
Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin