Küme Problemleri Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir spor salonundaki $40$ üyenin tamamı pilates veya yoga derslerinden en az birine katılmaktadır. Bu salonda pilates dersine katılan üye sayısı $26$ , yoga dersine katılan üye sayısı ise $22$ 'dir.

Buna göre, bu salonda hem pilates hem de yoga dersine katılan üye sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Her iki derse de katılan üye sayısı

8

'dir.

Pilates ve yoga derslerine katılanların küme eleman sayıları toplamı

26 + 22 = 48

kişidir. Ancak salondaki toplam üye sayısı

40

olduğuna göre, aradaki

8

kişilik fark her iki derse de katılan ve iki kez sayılan kişilerden oluşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Küme birleşim formülünün kurulması.

s(P \cup Y) = s(P) + s(Y) - s(P \cap Y)

İki kümenin eleman sayıları toplanırken ortak bölgedeki elemanların iki kez sayılmasını önlemek amacıyla kesişim kümesinin eleman sayısı toplamdan çıkarılır.

2

Verilen sayısal verilerin formülde yerine yazılması.

40 = 26 + 22 - s(P \cap Y)

Soruda verilen toplam üye sayısı birleşimi, pilatese katılanlar

P

kümesini, yogaya katılanlar ise

Y

kümesini belirtmektedir.

3

Oluşan birinci dereceden denklemin çözülmesi.

s(P \cap Y) = 8

40 = 48 - s(P \cap Y)

eşitliğinde bilinmeyen terim yalnız bırakılarak her iki derse katılan kişi sayısı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde iki kümenin birleşimi ve kesişimi arasındaki ilişki

Soru 22Soru →

Bir yazılım şirketindeki $60$ yazılımcının her biri Front-end ( $F$ ), Back-end ( $B$ ) ve Mobil ( $M$ ) geliştirme alanlarının en az birinde çalışmaktadır. Bu şirketteki yazılımcıların çalışma alanlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Sadece Front-end alanında çalışanların sayısı, sadece Mobil alanında çalışanların sayısının $2$ katıdır.
* Mobil ve Front-end alanlarının her ikisinde de çalışıp Back-end alanında çalışmayan yazılımcı bulunmamaktadır.
* Hem Front-end hem Back-end alanında çalışıp Mobil alanında çalışmayanların sayısı, her üç alanda da çalışanların sayısına eşittir.
* Sadece Back-end alanında çalışanların sayısı, Mobil alanında çalışan toplam yazılımcı sayısına eşittir.
* Her üç alanda da çalışan $4$ yazılımcı vardır.
* Back-end alanında çalışan toplam yazılımcı sayısı $30$ 'dur.

Buna göre, bu yazılım şirketinde sadece Mobil alanında çalışan yazılımcı sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Sadece Mobil alanında çalışan yazılımcı sayısı 10'dur.

Denklem sistemi kurulup çözüldüğünde sadece Mobil alanında çalışan yazılımcı sayısı 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin bölgelerini harflendirerek modelleme yapılması.

Sadece Front-end

a

, sadece Back-end

b

, sadece Mobil

c

, sadece F ve B

d

, sadece B ve M

e

, sadece F ve M

f

, her üçü

g

olarak belirlendi.

Küme problemlerinde her bir ayrık bölgeyi bağımsız değişkenlerle ifade etmek denklemlerin çözümünü kolaylaştırır.

2

Soruda verilen sayısal ilişkilerin denklemlere dönüştürülmesi.

g = 4

,

d = 4

,

f = 0

,

a = 2c

,

b = c + e + 4

ve

b + e = 22

denklemleri elde edildi.

Verilen sözel ifadelerin matematiksel eşitliklere dönüştürülmesi gerekir.

3

Elde edilen denklem sisteminin çözülerek

c

değişkeninin bulunması.

b + e = 22

denkleminde

b

yerine

c + e + 4

yazılarak

c + 2e = 18

bulundu. Toplam yazılımcı sayısı olan

60

eşitliğinde tüm terimler yerine yazılarak

3c + 30 = 60

ve buradan

c = 10

elde edildi.

Değişkenler arasındaki ilişkiler yardımıyla bilinmeyenlerin değerini bulmak amaçlanır.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde Venn şeması bölgelerini harflendirerek denklem sistemi kurma ve çözme.

Soru 23Soru →

Bir sınıftaki öğrencilerin katıldığı Matematik ( $M$ ), Fizik ( $F$ ) ve Kimya ( $K$ ) sınavları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Her bir öğrenci bu üç sınavın en az birinden başarılı olmuştur.
* Fizik sınavından başarılı olan her öğrenci Matematik sınavından da başarılı olmuştur.
* Kimya sınavından başarılı olan öğrencilerin hiçbiri Fizik sınavından başarılı olamamıştır.
* Yalnız bir sınavdan başarılı olan öğrencilerin sayısı, en az iki sınavdan başarılı olan öğrencilerin sayısının $2$ katıdır.
* Matematik sınavından başarılı olan öğrencilerin sayısı, Fizik sınavından başarılı olan öğrencilerin sayısının $7$ katından $2$ fazladır.
* Sadece Kimya sınavından başarılı olan öğrencilerin sayısı, Fizik sınavından başarılı olan öğrencilerin sayısının $2$ katından $1$ fazladır.
* Sadece Matematik sınavından başarılı olan öğrenci sayısı $13$ 'tür.

Buna göre, bu sınıfta Matematik sınavından başarılı olup Kimya sınavından başarılı olamayan öğrenci sayısı kaçtır?

10

13

14

16

23

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Matematik sınavından başarılı olup Kimya sınavından başarılı olamayan öğrenci sayısı 16'dır.

Matematik sınavından başarılı olup Kimya sınavından başarılı olamayan öğrenciler, Matematik kümesinde olup Kimya kümesinde olmayan öğrencileri temsil eder. Bu bölge, sadece Matematik sınavından başarılı olanlar ile Fizik sınavından başarılı olanların toplamına eşittir (

a + b

). Denklemler çözüldüğünde sadece Matematik'ten başarılı olanların sayısı

13

ve Fizik'ten başarılı olanların sayısı

3

olarak bulunduğundan, doğru cevap

13 + 3 = 16

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Matematik (

M

), Fizik (

F

) ve Kimya (

K

) sınavlarının ilişkilerini küme sembolleriyle tanımlamak.

Fizik, Matematik'in alt kümesidir (

F \subseteq M

) ve Fizik ile Kimya ayrık kümelerdir (

F \cap K = \emptyset

). Bölge eleman sayılarını sırasıyla

a, b, c, d

olarak belirledik.

Problemi cebirsel olarak ifade edip denklem sistemine dönüştürebilmek için küme bölgelerini harflendirmeliyiz.

2

Verilen sözel ifadeleri

a, b, c, d

değişkenleri cinsinden denklemlere dökmek.

a + d = 2(b + c)

(Yalnız bir sınavdan başarılı olanlar),

a + b + c = 7b + 2

(Matematik başarısı),

d = 2b + 1

(Sadece Kimya başarısı) ve

a = 13

(Sadece Matematik başarısı) denklemleri elde edilir.

Elde edilen verileri matematiksel eşitliklere dökerek bilinmeyenleri bulmak.

3

Kurulan denklem sistemini çözerek

b, c, d

değerlerini bulmak.

a = 13

ve

d = 2b + 1

değerlerini kullanarak

c = 7

,

b = 3

ve

d = 7

olarak hesaplanır.

Her bir küme bölgesindeki öğrenci sayısını netleştirmek.

4

Matematik sınavından başarılı olup Kimya sınavından başarılı olamayan öğrencilerin kümesini belirleyip değerini bulmak.

M \setminus K = a + b = 13 + 3 = 16

bulunur.

Soruda bizden istenen küme farkı işlemini sonuca ulaştırmak.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde alt küme, ayrık küme ve kesişim ilişkilerini kullanarak denklem kurma ve çözme.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 24Soru →

Bir kütüphanedeki $80$ okuyucunun her biri roman, şiir ve tarih türündeki kitaplardan en az birini ödünç almıştır. Bu okuyucularla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Şiir kitabı alan herkes roman kitabı da almıştır.
* Tarih kitabı alan hiç kimse şiir kitabı almamıştır.
* Yalnız bir tür kitap alan okuyucu sayısı, iki tür kitap alan okuyucu sayısının $3$ katıdır.
* Sadece tarih kitabı alan okuyucu sayısı, şiir kitabı alan okuyucu sayısının $2$ katıdır.
* Şiir kitabı alan okuyucu sayısı $12$ ’dir.

Buna göre, kütüphaneden hem tarih hem de roman kitabı alan okuyucu sayısı kaçtır?

12

17

8

24

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Kümeler arasındaki alt küme ve kesişim ilişkileri kullanılarak kurulan denklem sistemi çözüldüğünde hem tarih hem de roman alan okuyucu sayısı 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Okuyucu kümelerini harflendirip alt küme ve kesişim koşullarını belirleme.

Roman alanlar

R

, şiir alanlar

Ş

, tarih alanlar

T

olsun. Şiir alan herkes roman da aldığı için Ş kümesi R k��mesinin alt kümesidir (

Ş \subseteq R

). Tarih alan hiç kimse şiir almadığı için Ş ile T kümelerinin kesişimi boştur (

Ş \cap T = \emptyset

). Bu durum aynı zamanda üç tür kitabı da alan hiç kimsenin olmadığını gösterir.

Soruda verilen küme ilişkilerini doğru matematiksel şemaya dökmek için.

2

Bölgelerdeki eleman sayılarını değişkenlerle ifade etme.

Ş kümesi R'nin içinde ve T ile kesişimi boş olduğundan bölgeler şöyledir: Hem şiir hem roman alanlar (Ş kümesi)

a

, sadece roman alanlar

b

, hem tarih hem roman alanlar

c

, sadece tarih alanlar

d

olsun. Şiir alanların sayısı 12 olarak verildiğinden

a = 12

olur. Toplam okuyucu sayısı:

a + b + c + d = 80 \implies 12 + b + c + d = 80 \implies b + c + d = 68

elde edilir.

Verilen sayısal ilişkileri denklemlere dönüştürebilmek için.

3

Yalnız bir tür kitap alanlar ile iki tür kitap alanlar arasındaki ilişkiyi kullanma.

Yalnız bir tür kitap alanlar sadece roman (

b

) veya sadece tarih (

d

) alanlardır:

b + d

. İki tür kitap alanlar ise şiir-roman (

a

) veya tarih-roman (

c

) alanlardır:

a + c

. Koşula göre

b + d = 3(a + c)

olur. Toplam denklemde yerine yazarsak:

(a+c) + (b+d) = 80 \implies (a+c) + 3(a+c) = 80 \implies 4(a+c) = 80 \implies a + c = 20

bulunur.

İki tür kitap alan okuyucuların toplam sayısını elde etmek için.

4

Şiir alan okuyucu sayısını kullanarak istenen değeri hesaplama.

a = 12

olduğundan,

12 + c = 20 \implies c = 8

olarak bulunur. Bu da hem tarih hem de roman alan okuyucu sayısıdır.

Soruda bizden istenen hedef değişkene ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde alt küme, kesişim ve ayrık küme ilişkilerini kullanarak denklem sistemleri kurma ve çözme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 25Soru →

Bir spor kulübünde okçuluk ( $O$ ), eskrim ( $E$ ) ve binicilik ( $B$ ) branşlarında eğitim verilmektedir. Bu kulüpteki her bir üye bu üç bran��tan en az birini yapmaktadır. Kulüp üyeleriyle ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Okçuluk branşını seçenlerin sayısı, sadece binicilik branşını seçenlerin sayısının 2 katıdır.
* Yalnız iki branşı seçenlerin toplam sayısı, üç branşı da seçenlerin sayısına eşittir.
* Sadece eskrim branşını seçenlerin sayısı, sadece binicilik branşını seçenlerin sayısından 3 fazladır.
* Binicilik branşını seçenlerin toplam sayısı 24'tür.
* Sadece okçuluk branşını seçenlerin sayısı, eskrim ve binicilik branşlarını seçip okçuluk seçmeyenlerin sayısına eşittir.
* Eskrim ve okçuluk branşlarını seçip binicilik seçmeyen en az bir üye bulunmaktadır.
* Eskrim branşını seçenlerin toplam sayısı 26'dır.

Buna göre, bu spor kulübündeki toplam üye sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 41

Cevap

Spor kulübündeki toplam üye sayısı 41'dir.

Spor kulübündeki tüm branşların ve bunların kesişimlerinin eleman sayıları küme problemleri kuralları ve verilen denklemler yardımıyla tek tek belirlenir. Elde edilen değerlerin toplamı kulübün toplam üye sayısı olan 41 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Küme bölgelerini ve eleman sayılarını bilinmeyenlerle ifade edelim.

Yalnızca okçuluk yapanlar

o

, yalnızca eskrim yapanlar

e

, yalnızca binicilik yapanlar

b

; yalnız okçuluk ve eskrim yapanlar

oe

, yalnız okçuluk ve binicilik yapanlar

ob

, yalnız eskrim ve binicilik yapanlar

eb

; her üçünü de yapanlar

oeb

olsun.

Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için net tanımlamalar yapmalıyız.

2

Verilen bilgileri denklemlere dökelim.

1)

o + oe + ob + oeb = 2b

2)

oe + ob + eb = oeb

3)

e = b + 3

4)

b + ob + eb + oeb = 24

5)

o = eb

6)

oe \ge 1

7)

e + oe + eb + oeb = 26

Soruda verilen sözel koşulları cebirsel olarak ifade ederek çözüm kümesini daraltmak amaçlanır.

3

Denklemleri sadeleştirelim.

5. denklemden (

o = eb

) hareketle, 1. denklemde yerine yazalım:

eb + oe + ob + oeb = 2b

. 2. denklemden

oe + ob + eb = oeb

olduğu için,

oeb + oeb = 2b \implies 2oeb = 2b \implies oeb = b

elde edilir.

Bilinmeyen sayısını azaltmak için ortak terimleri birbirleri cinsinden yazmalıyız.

4

Binicilik kümesinin eleman sayısını kullanalım.

4. denklemde

oeb = b

yazarsak:

b + ob + eb + b = 24 \implies 2b + ob + eb = 24

. Buradan

ob + eb = 24 - 2b

elde edilir. 2. denklemde yerine koyarsak:

oe + (24 - 2b) = b \implies oe = 3b - 24

olur. Üye sayıları negatif olamayacağı için

oe \ge 1 \implies 3b - 24 \ge 1 \implies b \ge 9

olmalıdır. Ayrıca

ob + eb \ge 0 \implies 24 - 2b \ge 0 \implies b \le 12

olur.

Eleman sayılarının pozitif tam sayı olma koşullarını kullanarak

b

'nin değer aralığını buluruz.

5

Eskrim kümesinin eleman sayısını kullanalım.

7. denklemde

e = b + 3

,

oe = 3b - 24

,

oeb = b

yazalım:

(b+3) + (3b-24) + eb + b = 26 \implies 5b - 21 + eb = 26 \implies 5b + eb = 47

elde edilir.

b \ge 9

ve

b \le 12

aralığında

eb \ge 0

olmasını sağlayan tek tam sayı değeri

b = 9

olur. Bu durumda

eb = 2

bulunur.

Sınırlandırılmış değer aralığındaki tam sayı çözümlerini bulmak için son denklemi değerlendiririz.

6

Tüm bilinmeyenleri ve toplam üye sayısını hesaplayalım.

b = 9

,

oeb = 9

,

e = 12

,

oe = 3

,

eb = 2

,

o = 2

,

ob = 4

olur. Toplam üye sayısı

N = o + e + b + oe + ob + eb + oeb = 2 + 12 + 9 + 3 + 4 + 2 + 9 = 41

olarak bulunur.

Tüm bölge eleman sayılarını toplayarak evrensel kümenin eleman sayısına ulaşırız.

Anahtar Kavram

Küme Problemlerinde Denklem Kurma ve Tam Sayı Çözümleri

Soru 26Soru →

Bir teknoloji şirketinde çalışan $65$ personelin her biri Jira ( $J$ ), Trello ( $T$ ) ve Asana ( $A$ ) proje yönetim programlarından en az birini kullanmaktadır. Bu çalışanlarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Sadece iki programı kullanan çalışanların sayısı, sadece bir programı kullanan çalışanların sayısının yarısıdır.
* Her üç programı da kullanan $5$ çalışan vardır.
* Trello kullanan çalışan say��sı $35$ 'tir.
* Jira kullanan çalışan sayısı, Asana kullanan çalışan sayısına eşittir.

Buna göre, bu şirkette Jira kullanan çalışan sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Jira kullanan çalışan sayısı 30'dur.

Jira kullanan çalışan sayısını bulmak için her bir çalışanın kaç kümede sayıldığını gösteren genel bağıntı kurulur. Sadece bir program kullananlar 1 kez (

S_1

), sadece iki program kullananlar 2 kez (

2S_2

) ve üç programı da kullananlar 3 kez (

3S_3

) sayıldığından

s(J) + s(A) + s(T) = S_1 + 2S_2 + 3S_3

eşitliği elde edilir. Toplam çalışan sayısı

S_1 + S_2 + S_3 = 65

ve

S_3 = 5

ise

S_1 + S_2 = 60

'tır.

S_1 = 2S_2

olduğundan

S_2 = 20

ve

S_1 = 40

bulunur. Buradan

s(J) + s(A) + s(T) = 40 + 2(20) + 3(5) = 95

bulunur.

s(J) = s(A)

ve

s(T) = 35

olduğundan

2s(J) + 35 = 95 \implies s(J) = 30

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Küme elemanları gruplandırılarak toplam çalışan sayısı denklemi kurulur.

S_1 + S_2 = 60

denklemi elde edilir.

Toplam ��alışan sayısından her üç programı da kullanan

5

kişi çıkarılarak sadece bir ve sadece iki program kullananların toplamı bulunur.

2

S_1 = 2S_2

ilişkisi kullanılarak

S_1

ve

S_2

değerleri hesaplanır.

S_2 = 20

ve

S_1 = 40

olarak bulunur.

Sadece iki program kullananların sayısı, sadece bir program kullananların yarısı olduğundan bu oran denklemde yerine yazılır.

3

Bireysel programları kullanan kişi sayılarının toplam formülü yazılır.

s(J) + s(A) + s(T) = 95

elde edilir.

Her bir elemanın kaç program kümesinde yer aldığına bağlı olarak toplam küme eleman sayıları toplamı

S_1 + 2S_2 + 3S_3

bağıntısıyla bulunur.

4

Verilen eşitlikler ve Trello kümesi eleman sayısı denklemde yerine yazılarak Jira kullanan sayısı bulunur.

s(J) = 30

olarak bulunur.

s(J) = s(A)

ve

s(T) = 35

bilgisiyle

2 \cdot s(J) + 35 = 95

denklemi çözülür.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde eleman sayıları ile kesişim bölgeleri arasındaki ilişkileri kurma ve denklem çözme.

Soru 27Soru →

Bir sinema festivalinde gösterilen Belgesel ( $B$ ), Bilim Kurgu ( $K$ ) ve Animasyon ( $A$ ) türündeki filmlerden en az birini izleyen $45$ kişilik bir seyirci grubu ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yalnızca bir türde film izleyenlerin sayısı birbirine eşittir.
* Üç türde de film izleyen seyirci sayısı $3$ 'tür.
* Belgesel ve Bilim Kurgu filmlerinin her ikisini de izleyen seyircilerin tamamı Animasyon filmini de izlemiştir.
* Belgesel izleyenlerin toplam sayısı $20$ , Bilim Kurgu izleyenlerin toplam sayısı $22$ 'dir.

Buna göre, bu grupta Animasyon izleyen seyirci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Bu grupta Animasyon izleyen seyirci sayısı 33'tür.

Verilen bilgiler doğrultusunda alt kümelerin eleman sayıları sırasıyla belirlenip

x = 6

,

b = 13

,

c = 11

ve kesişim

3

bulunarak Animasyon kümesinin toplam eleman sayısı

33

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Küme bölgelerini harflendirip değişkenleri tanımlama

Yalnızca bir tür izleyenlerin sayıları

x

, yalnızca Bilim Kurgu ve Animasyon izleyenler

b

, yaln��zca Belgesel ve Animasyon izleyenler

c

olsun.

Sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürebilmek için.

2

Koşullu ifadeyi yorumlama

Yalnızca Belgesel ve Bilim Kurgu izleyenlerin sayısı

0

'dır.

'Belgesel ve Bilim Kurgu izleyenlerin tamamı Animasyon da izlemiştir' ifadesi, bu iki kümenin kesişiminden Animasyon kümesi çıkarıldığında boş küme kaldığını belirtir.

3

Toplam seyirci sayısı denklemini yazma

3x + b + c + 3 = 45 \implies 3x + b + c = 42

Gruptaki herkesin en az bir film izlediği bilgisini denklem haline getirmek için.

4

Belgesel ve Bilim Kurgu kümelerinin eleman sayılarını yazma

x + c + 3 = 20 \implies c = 17 - x

ve

x + b + 3 = 22 \implies b = 19 - x

Belgesel izleyenlerin (

20

) ve Bilim Kurgu izleyenlerin (

22

) toplam sayısını kullanarak

b

ve

c

değerlerini

x

cinsinden ifade etmek için.

5

Değişkenleri yerine koyarak

x

değerini bulma

3x + (19 - x) + (17 - x) = 42 \implies x = 6

Tek bilinmeyenli birinci dereceden denklem elde edip

x

değerine ulaşmak için.

6

Animasyon izleyen toplam seyirci sayısını hesaplama

b = 13

,

c = 11

ve

s(A) = 6 + 13 + 11 + 3 = 33

İstenen Animasyon kümesinin eleman sayısını bulmak için tüm alt bölgeleri toplamak.

Anahtar Kavram

Küme Problemleri

Soru 28Soru →

Bir spor salonuna kayıtlı $60$ üyenin her biri pilates ( $P$ ), yoga ( $Y$ ) ve kardiyo ( $K$ ) etkinliklerinden en az birine katılmaktadır.

Bu üyelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Pilates etkinliğine katılan her üye kardiyo etkinliğine de katılmaktadır.
- Yoga etkinliğine katılan üyelerin hiçbirisi kardiyo etkinliğine katılmamaktadır.
- En az iki etkinliğe katılan üyelerin sayısı, sadece bir etkinliğe katılan üyelerin sayısının yarısından $6$ eksiktir.

Buna göre, pilates etkinliğine katılan üye sayısı kaçtır?

12

14

16

18

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Pilates etkinliğine katılan üye sayısı 16'dır.

Pilates kümesi Kardiyo kümesinin alt kümesi, Yoga kümesi ise Kardiyo kümesi ile ayrık olduğundan üyeler sadece yoga yapanlar, sadece kardiyo yapanlar ve hem pilates hem kardiyo yapanlar olarak ayrılır. Sadece bir etkinlik yapanların sayısı

44

ve en az iki etkinlik yapanların (yani pilates yapanların) sayısı

16

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeler arasındaki ilişkileri belirleme.

P \subseteq K

ve

Y \cap K = \emptyset

olduğu belirlenir. Bu durumda otomatik olarak

Y \cap P = \emptyset

olur.

Soruda verilen 'Pilatese katılan her ��yenin kardiyoya da katıldığı' ifadesi alt küme ilişkisini (

P \subseteq K

), 'Yogaya katılanların hiçbirinin kardiyoya katılmadığı' ifadesi ise ayrık küme ilişkisini (

Y \cap K = \emptyset

) belirtir.

2

Etkinlik sayılarına göre üyeleri bölgelere ayırma.

Sadece bir etkinliğe katılan üyelerin sayısı

s(Y) + s(K \setminus P)

, en az iki etkinliğe katılan üyelerin sayısı ise

s(P)

olur.

Y

kümesi

K

ile ayrık olduğundan

Y

kümesindeki elemanlar sadece 1 etkinliğe katılmıştır.

P \subseteq K

olduğundan

P

kümesindeki her eleman hem

P

hem

K

etkinliklerine katılarak en az iki etkinliğe katılmış olur.

3

Denklem kurma ve bilinmeyenleri çözme.

Sadece bir etkinliğe katılanlara

x

, en az iki etkinliğe katılanlara

y

dersek;

x + y = 60

ve

y = \frac{x}{2} - 6

denklemlerinden

x = 44

ve

y = 16

bulunur.

Toplam üye sayısı 60'tır ve en az iki etkinliğe katılanların sayısı, sadece bir etkinliğe katılanların sayısının yarısından 6 eksiktir. Pilatese katılanların sayısı en az iki etkinliğe katılanlar olan

s(P) = y = 16

değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Kümelerde alt küme ve ayrık küme ilişkilerini kullanarak sözel problemleri denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 29Soru →

Bir spor okulundaki 54 öğrencinin tamamı basketbol, voleybol ve tenis branşlarından en az birine katılmaktadır.

Bu öğrencilerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Yalnızca bir branşa katılan öğrenci sayısı, tam olarak iki branşa katılan öğrenci sayısının 2 katıdır.
* Her üç branşa da katılan öğrenci sayısı 6'dır.

Buna göre, bu spor okulunda en az iki branşa katılan öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

En az iki branşa katılan öğrenci sayısı 22'dir.

Toplam öğrenci sayısından üç branşa katılan 6 öğrenci çıkarıldığında geriye kalan 48 öğrenci, yalnızca bir branşa katılanlar ile tam olarak iki branşa katılanlardan oluşur. Yalnızca bir branşa katılanların sayısı iki branşa katılanların 2 katı olduğundan, iki branşa katılanlar 16, bir branşa katılanlar ise 32 kişi olur. En az iki branşa katılanlar ise iki branşa katılan 16 kişi ile üç branşa katılan 6 kişinin toplamı olan 22 kişidir.

Adım Adım Çözüm

1

Branş sayılarına göre gruplama değişkenlerini tanımlama.

Yalnızca bir branşa katılanlar

S_1

, tam olarak iki branşa katılanlar

S_2

, üç branşa katılanlar

S_3

olsun.

Sorudaki ifadeleri cebirsel denklemlere dönüştürmek için gruplandırma yapılması gerekir.

2

Genel toplam denklemini kurma.

S_1 + S_2 + S_3 = 54

denklemine ulaşılır.

Okuldaki tüm öğrencilerin bu branşlardan en az birine katıldığı belirtilmiştir.

3

Üç branşa katılanların sayısını yerine yazıp sadeleştirme.

S_3 = 6

olduğundan

S_1 + S_2 = 48

bulunur.

Bilinen sabit değeri kullanarak denklemdeki değişken sayısını azaltırız.

4

Gruplar arasındaki oran ilişkisini denklemde yerine koyup çözme.

S_1 = 2S_2

olduğundan

3S_2 = 48 \implies S_2 = 16

ve

S_1 = 32

bulunur.

Yalnızca bir branşa katılanların iki branşa katılanların 2 katı olduğu bilgisi kullanılarak değişkenler çözülür.

5

İstenen en az iki branşa katılan öğrenci sayısını hesaplama.

S_2 + S_3 = 16 + 6 = 22

bulunur.

En az iki branşa katılmak, tam olarak iki veya üç branşa katılmak anlamına gelir.

Anahtar Kavram

Küme Problemlerinde Bölge Analizi ve Denklem Kurma

Soru 30Soru →

Bir yemek akademisinde düzenlenen İtalyan mutfağı ( $I$ ), Fransız mutfağı ( $F$ ) ve Uzak Doğu mutfağı ( $U$ ) atölyelerine katılan toplam $48$ aşçı adayı bulunmaktadır. Bu adaylarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Her bir aday bu üç atölyeden en az birine katılmıştır.
- İtalyan mutfağı atölyesine katılanların tamamı Fransız mutfağı atölyesine de katılmıştır.
- Uzak Doğu mutfağı atölyesine katılan adayların hiçbirisi İtalyan mutfağı atölyesine katılmamıştır.
- Yalnız bir atölyeye katılan aday sayısı, en az iki atölyeye katılan aday sayısının $2$ katıdır.
- Sadece Fransız mutfağı atölyesine katılan aday sayısı, Uzak Doğu mutfağı atölyesine katılan aday sayısının yarısına eşittir.
- Sadece Uzak Doğu mutfağı atölyesine katılan aday sayısı, İtalyan mutfağı atölyesine katılan aday sayısından $8$ fazladır.

Buna göre, Fransız ve Uzak Doğu mutfağı atölyelerinin her ikisine birden katılan aday sayısı kaçtır?

2

3

4

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4$

Cevap

Fransız ve Uzak Doğu mutfağı atölyelerinin her ikisine birden katılan aday sayısı

4

'tür.

Verilen bilgiler doğrultusunda aşçı adaylarının katıldığı atölyelere göre oluşturulan ayrık bölgelerin eleman sayıları denklemlerle ifade edildiğinde, hem Fransız hem de Uzak Doğu mutfağı atölyesine katılan aşçı adayı sayısı

4

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Atölyelere katılan aşçı adaylarını temsil eden kümeleri belirleyip ayrık bölgeleri tanımlayalım.

I

(İtalyan),

F

(Fransız) ve

U

(Uzak Doğu) kümeleri olsun.

I \subseteq F

ve

U \cap I = \emptyset

olduğundan adayları şu

4

ayrık bölgeye ayırabiliriz: Yalnız

F

’ye katılanlar (

y

), Yalnız

U

’ya katılanlar (

w

), Hem

I

hem

F

’ye katılanlar (

I

kümesi,

x

), Hem

F

hem

U

’ya katılanlar (

z

).

Kümelerin birbirine göre konumlarını belirleyerek denklem kurmayı kolaylaştırmak.

2

Verilen toplam aday sayısı ve atölye sayılarına göre ilk denklemleri kuralım.

x + y + z + w = 48

. Yalnız bir atölyeye katılanlar

y + w

, en az iki atölyeye katılanlar

x + z

olduğundan

y + w = 2(x + z)

olur. Bu iki denklemin birleşiminden

3(x + z) = 48 \implies x + z = 16

ve

y + w = 32

elde edilir.

Değişken gruplarının toplam değerlerini hesaplamak.

3

Diğer koşulları denklemlere dökerek değişkenler arası ilişkileri bulalım.

Sadece Fransız mutfağına katılanlar

y

, Uzak Doğu mutfağına katılanların (

z+w

) yarısı olduğuna göre

2y = z + w

olur. Sadece Uzak Doğu mutfağına katılanlar (

w

), İtalyan mutfağına katılanlardan (

x

)

8

fazla olduğuna göre

w = x + 8

olur.

Bilinmeyenleri tek bir değişkene indirgemek.

4

Elde edilen denklemleri birleştirerek kesişim kümesinin eleman sayısı olan

z

'yi bulalım.

x = 16 - z

olduğundan

w = (16 - z) + 8 = 24 - z

olur.

y + w = 32 \implies y + 24 - z = 32 \implies y = z + 8

olur. Bunları

2y = z + w

denkleminde yazarsak

2(z + 8) = z + 24 - z \implies 2z + 16 = 24 \implies 2z = 8 \implies z = 4

elde edilir.

Kesişim bölgesinin eleman sayısını doğrudan hesaplamak.

Anahtar Kavram

Kümelerde alt küme, kesişim ve fark işlemleri ile küme problemleri çözümü

Alternatif Yöntem

Denklemleri çözmek yerine Venn şeması üzerinde bölgelere değerler verilerek deneme-yanılma yöntemiyle de doğru sonuca ulaşılabilir. Örneğin

x+z=16

olduğu bulunduktan sonra seçeneklerden yola çıkarak

z

için değerler denenebilir.

z=4

için

x=12

,

w=20

,

y=12

bulunur ve tüm koşulların sağlandığı görülür.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 31Soru →

Bir teknoloji mağazasında bir ay boyunca bilgisayar, telefon ve tablet ürünlerinden en az birini satın alan müşterilerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Mağazadan bu ürünlerden en az birini satın alan toplam müşteri sayısı $80$ 'dir.
* Yalnızca bilgisayar satın alan müşterilerin sayısı, yalnızca telefon satın alan müşterilerin sayısının $2$ katıdır.
* Telefon ve tablet satın alıp bilgisayar satın almayan müşteri sayısı, bilgisayar ve tablet satın alıp telefon satın almayan müşteri sayısına eşittir.
* Bu üç ürünün üçünü de satın alan müşteri sayısı $6$ 'dır.
* En az iki çeşit ürün satın alan müşteri sayısı $44$ 'tür.
* Tablet satın alan toplam müşteri sayısı $34$ 'tür ve yalnızca tablet satın alan müşteri bulunmamaktadır.

Buna göre, bu teknoloji mağazasından bilgisayar satın alan toplam müşteri sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Bilgisayar satın alan toplam müşteri sayısı

54

'tür.

Soruda verilen küme ilişkileri denklem sistemine dönüştürüldüğünde tüm bilinmeyen bölgeler sırasıyla belirlenmiş ve bilgisayar alanların toplam küme mevcudu

54

olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1

Tablet kümesinin eleman sayısını kullanarak ikişerli kesişim bölgelerini belirleyin.

y = 14

ve

z = 14

Tablet kümesi

A

olsun. Yalnızca tablet alan müşteri bulunmadığından

a = 0

'dır. Her üç ürünü de alan müşteri sayısı

c = 6

olarak verilmiştir. Tablet alanların toplamı

a + y + z + c = 34 \Rightarrow 0 + y + z + 6 = 34 \Rightarrow y + z = 28

olur. Telefon ve tablet alıp bilgisayar almayanlar (

y

) ile bilgisayar ve tablet alıp telefon almayanların (

z

) sayısı eşit olduğundan

y = z = 14

bulunur.

2

En az iki çeşit ürün satın alan müşteri sayısını kullanarak bilgisayar ve telefon alıp tablet almayanları (

x

) bulun.

x = 10

En az iki çeşit ürün satın alanlar, iki veya üç kümenin kesişim bölgeleridir. Bu durumda

x + y + z + c = 44

olur. Bulunan değerler yerine yazılırsa

x + 14 + 14 + 6 = 44 \Rightarrow x + 34 = 44 \Rightarrow x = 10

elde edilir.

3

Toplam müşteri sayısını kullanarak yalnızca bilgisayar (

b

) ve yalnızca telefon (

t

) alanların sayılarını bulun.

b = 24

ve

t = 12

Toplam müşteri sayısı

b + t + a + x + y + z + c = 80

olarak verilmiştir. Bilinen değerleri yerine yazarsak

b + t + 0 + 10 + 14 + 14 + 6 = 80 \Rightarrow b + t + 44 = 80 \Rightarrow b + t = 36

olur. Yalnızca bilgisayar alanlar yalnızca telefon alanların

2

katı olduğundan (

b = 2t

),

2t + t = 36 \Rightarrow 3t = 36 \Rightarrow t = 12

ve

b = 24

bulunur.

4

Bilgisayar satın alan toplam müşteri sayısını hesaplayın.

54

Bilgisayar satın alan toplam müşteri sayısı

N(B) = b + x + z + c

formülü ile hesaplanır. Buradan

N(B) = 24 + 10 + 14 + 6 = 54

olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim, kesişim ve fark işlemlerini modelleyerek sözel problemleri çözme.

Küme Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar