Analitik Geometri Practice Questions — ALES

Question 1Question →

Dik koordinat düzleminde, $A(a - 5, 2a + 2)$ noktası koordinat eksenlerine eşit uzaklıktadır.

Bu nokta II. bölgede olduğuna göre, $a$ kaçtır?

-7

-3

1

3

5

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

1

İkinci bölgedeki noktaların apsisleri negatif, ordinatları ise pozitiftir. Bir noktanın eksenlere olan uzaklıkları koordinatlarının mutlak değerlerine eşit olduğundan, uzaklıklar sırasıyla

|a-5| = 5-a

ve

|2a+2| = 2a+2

olur. Bu uzaklıkların eşitliğinden

5-a = 2a+2

denklemi kurulur ve buradan

a=1

değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Noktanın bulunduğu ikinci bölgenin işaret özelliklerini belirlemek

İkinci bölgedeki bir noktanın apsisi negatif (

x < 0

), ordinatı ise pozitiftir (

y > 0

). Buna göre

a - 5 < 0 \Rightarrow a < 5

ve

2a + 2 > 0 \Rightarrow a > -1

olmalıdır. Dolayısıyla

-1 < a < 5

aralığı elde edilir.

Noktanın koordinatlarının işaretlerini tespit etmek ve mutlak değer dışına nasıl çıkacaklarını belirlemek için bölge analizi yapılır.

2

Eksenlere eşit uzaklıkta olma koşulunu mutlak değerle ifade etmek

Bir noktanın

x

eksenine uzaklığı ordinatının mutlak değerine (

|y|

),

y

eksenine uzaklığı ise apsisinin mutlak değerine (

|x|

) eşittir. Eksenlere eşit uzaklık koşulu:

|a - 5| = |2a + 2|

Geometrik uzaklık kavramını analitik düzlemde mutlak değer bağıntısına dönüştürmek gerekir.

3

Bölge şartına göre mutlak değerleri açmak

-1 < a < 5

aralığında

a - 5

negatif bir değer alacağından

|a - 5| = 5 - a

olarak çıkar.

2a + 2

ise pozitif olacağından

|2a + 2| = 2a + 2

olarak çıkar. Denklemimiz:

5 - a = 2a + 2

halini alır.

Mutlak değerli denklemi çözebilmek için ifadelerin işaretlerine göre mutlak değer işaretinden kurtarılması gerekir.

4

Denklemi çözerek a değerini bulmak

5 - a = 2a + 2 \Rightarrow 3 = 3a \Rightarrow a = 1

bulunur. Bulunan bu değer

-1 < a < 5

şartını sa��ladığı için geçerlidir.

Bilinmeyen a değişkeninin değerine ulaşmak için cebirsel işlemler tamamlanır.

Key Concept

Analitik düzlemde bölgeler, koordinat işaretleri ve noktanın koordinat eksenlerine olan uzaklıkları

Hints

1

İkinci bölgedeki bir noktanın koordinatlarının işaretlerinin sırasıyla

(-, +)

olduğunu hatırlayın.

2

Bir noktanın koordinat eksenlerine uzaklıkları koordinatlarının mutlak değerlerine eşittir. Bu durumda

|a - 5| = |2a + 2|

eşitliğini kurmalısınız.

3

Nokta ikinci bölgede olduğundan

a - 5 < 0

ve

2a + 2 > 0

koşullarını kullanarak mutlak değerleri dışarı çıkarın ve

5 - a = 2a + 2

denklemini çözün.

Practice More

Benzer şekilde, noktaların koordinat eksenlerine olan uzaklıkları toplamı verildiğinde mutlak değerlerin toplamını inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Noktanın ikinci bölgede olduğu bilindiğinden koordinatları

A(-x_0, y_0)

formatında olmalıdır (burada

x_0, y_0 > 0

). Eksenlere eşit uzaklıkta olduğuna göre

x_0 = y_0

olmalıdır. Buradan

-(a-5) = 2a+2

yazılarak doğrudan

5-a = 2a+2 \Rightarrow a=1

sonucuna ulaşılabilir.

Estimated Time:1m 0s

Question 2Question →

Analitik düzlemin ikinci bölgesinde bulunan bir $P(a, 4)$ noktasının, $3x - 4y + 28 = 0$ doğrusuna olan uzaklığı $3$ birimdir.

Buna göre, $P$ noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

-25

-7

-5

5

7

Show answer & explanation

Answer: -5

Answer

Koordinatlar�� toplamı

-5

olan değer doğrudur.

Doğru cevap, koordinatları toplamı

-5

olan seçenektir.

P(a, 4)

noktası analitik düzlemin ikinci bölgesinde olduğundan apsisi negatif olmalıdır (

a < 0

). Noktanın doğruya uzaklığı formülü olan

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

bağıntısı uygulandığında, uzaklık

3 = \frac{|3a - 4(4) + 28|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}

olarak ifade edilir. Paydadaki köklü ifade

\sqrt{9+16}=5

değerini aldığından, denklem

|3a + 12| = 15

halini alır. Buradan iki durum ortaya çıkar:

3a+12 = 15 \implies a = 1

(bu değer birinci bölgededir,

a < 0

şartını sağlamaz) veya

3a+12 = -15 \implies a = -9

olur. Bu durumda ikinci bölgedeki nokta

P(-9, 4)

olarak bulunur ve koordinatları toplamı

-9 + 4 = -5

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Noktanın doğruya olan uzaklık formülünü yazıp verilen koordinatları ve doğru denklemini yerine yerleştirin.

d = \frac{|3(a) - 4(4) + 28|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 3

P(a, 4)

noktasının

3x - 4y + 28 = 0

doğrusuna olan uzaklığını cebirsel olarak ifade etmek için.

2

Denklemin paydasını hesaplayıp mutlak değerli ifadeyi sadeleştirin.

\frac{|3a - 16 + 28|}{\sqrt{9 + 16}} = 3 \implies \frac{|3a + 12|}{5} = 3 \implies |3a + 12| = 15

Paydadaki dik kenarların kareleri toplamının karekökünü hesaplayarak mutlak değerli denklemi yalnız bırakmak için.

3

Mutlak değerli denklemi açarak

a

için olası iki değeri hesaplayın.

3a + 12 = 15 \implies 3a = 3 \implies a = 1

veya

3a + 12 = -15 \implies 3a = -27 \implies a = -9

Mutlak değerin içindeki ifadenin pozitif veya negatif olma durumlarını ayrı ayrı değerlendirmek için.

4

Noktanın bulunduğu bölge koşulunu kontrol ederek uygun olan

a

değerini seçin ve koordinatlar toplamını bulun.

P(a, 4)

noktası ikinci bölgede olduğundan apsisi negatif olmalıdır (

a < 0

). Bu nedenle

a = -9

seçilir. Koordinatlar toplamı:

-9 + 4 = -5

olur.

İkinci bölgede apsis değerinin negatif olması gerektiğinden

a = 1

elenir ve doğru nokta

P(-9, 4)

olarak belirlenip koordinatları toplanır.

Key Concept

Noktanın Doğruya Uzaklığı ve Bölge Koordinat İşaretleri İlişkisi

Estimated Time:2m 0s

Question 3Question →

Analitik düzlemde, köşegenlerinin kesim noktası $K(2, -1)$ olan bir karenin bir kenarı $5x + 12y - 11 = 0$ doğrusu üzerindedir.

Buna göre, bu karenin çevresi kaç birimdir?

4

6

8

12

16

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Karenin çevresi 8 birimdir.

Bir noktanın bir doğruya olan dik uzaklığı formülü kullanılarak karenin köşegenlerinin kesim noktasının karenin kenarını taşıyan doğruya olan uzaklığı

1

birim olarak bulunur. Karenin geometrik özellikleri gereği, merkez noktasının herhangi bir kenara olan dik uzaklığı kenar uzunluğunun yarısıdır. Dolayısıyla karenin bir kenar uzunluğu

2

birim olur. Çevresi ise

4 \times 2 = 8

birim olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Karenin köşegenlerinin kesim noktası olan

K(2, -1)

noktasının, karenin kenarını taşıyan

5x + 12y - 11 = 0

doğrusuna olan dik uzaklığı (

d

) hesaplanır.

d = \frac{|5 \cdot 2 + 12 \cdot (-1) - 11|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|10 - 12 - 11|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|-13|}{13} = 1

birim.

Bir noktanın bir doğruya olan en kısa (dik) uzaklığı formülü yardımıyla karenin merkezinin kenara olan uzaklığı bulunur.

2

Karenin ağırlık merkezinden (köşegenlerin kesim noktasından) kenarlarına olan dik uzaklık (

d

), karenin bir kenar uzunluğunun yarısına (

a/2

) eşittir. Bu ilişkiden kenar uzunluğu (

a

) elde edilir.

d = \frac{a}{2} \Rightarrow 1 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 2

birim.

Karenin simetri özelliğinden dolayı, ağırlık merkezinin herhangi bir kenara olan dik uzaklığı, o kenarın uzunluğunun yarısı kadardır.

3

Kenar uzunluğu

a = 2

birim olan karenin çevresi hesaplanır.

\text{Çevre} = 4a = 4 \cdot 2 = 8

birim.

Karenin çevre uzunluğu, dört kenar uzunluğunun toplamına eşittir.

Key Concept

Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı formülü ve karenin simetri özellikleri

Estimated Time:1m 30s

Question 4Question →

Analitik düzlemde,

d_1: y = 3x - 5

d_2: ax + 6y - 12 = 0

doğruları verilmektedir.

Bu doğrular birbirine dik olduğuna göre, $a$ kaçtır?

-2

2

-18

18

9

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Doğruların birbirine dik olması için

a

değeri

2

olmalıdır.

Doğruların birbirine dik olması için eğimleri çarpımının

-1

olması gerekir. Birinci doğrunun eğimi

3

, ikinci doğrunun eğimi ise

-\frac{a}{6}

'dır. Bu iki değer çarpılıp

-1

'e eşitlendiğinde

a

değeri

2

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci doğrunun eğimini (

m_1

) bulmak

y = 3x - 5

doğrusunun eğimi

m_1 = 3

olarak belirlenir.

y = mx + n

biçimindeki bir doğrunun eğimi,

x

değişkeninin katsayısı olan

m

değerine eşittir.

2

İkinci doğrunun eğimini (

m_2

)

a

cinsinden belirlemek

ax + 6y - 12 = 0 \implies 6y = -ax + 12 \implies y = -\frac{a}{6}x + 2

yazılır. Buradan eğim

m_2 = -\frac{a}{6}

olarak bulunur.

Ax + By + C = 0

biçimindeki doğruların eğimi

-\frac{A}{B}

formülü ile hesaplanır.

3

Doğruların diklik koşulunu uygulayarak

a

değerini hesaplamak

m_1 \times m_2 = -1 \implies 3 \times \left(-\frac{a}{6}\right) = -1 \implies -\frac{a}{2} = -1 \implies a = 2

elde edilir.

Analitik düzlemde birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı

-1

olmak zorundadır.

Key Concept

Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'dir.

Question 5Question →

Analitik düzlemde $A(-1, 2)$ ve $B(3, -1)$ noktaları verilmektedir. Buna göre, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

\sqrt{13}

7

5

\sqrt{7}

\sqrt{5}

Show answer & explanation

Answer: $5$

Answer

İki nokta arasındaki uzaklık 5 birimdir.

Verilen

A(-1, 2)

ve

B(3, -1)

noktaları arasındaki uzaklık

d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2}

formülüyle hesaplanır. Buradan

d = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5

birim olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Noktaların koordinatları arasındaki farklar hesaplanır.

\Delta x = 3 - (-1) = 4

ve

\Delta y = -1 - 2 = -3

olarak bulunur.

Uzaklık formülündeki yatay ve dikey bileşenleri elde etmek için koordinat farkları bulunur.

2

Koordinat farklarının kareleri toplanarak karekökü alınır.

d = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

birim bulunur.

Pisagor bağıntısını kullanarak iki nokta arasındaki en kısa doğrusal uzaklığı hesaplamak için.

Key Concept

Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık, bu noktaların apsisleri farkının karesi ile ordinatları farkının karesinin toplamının karekökü alınarak hesaplanır.

Hints

1

İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için analitik düzlemde bu noktaları köşe kabul eden bir dik üçgen çizebilirsiniz.

Practice More

Benzer şekilde koordinatları pozitif olan iki nokta seçerek uzaklık formülünü pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Noktalar koordinat düzlemine yerleştirildiğinde, aralarındaki yatay mesafe 4 birim, dikey mesafe ise 3 birim olan bir dik üçgen oluşur. 3-4-5 özel dik üçgeni kuralından hipotenüs uzunluğu (yani iki nokta arasındaki uzaklık) doğrudan 5 birim olarak bulunur.

Estimated Time:45s

Question 6Question →

Analitik düzlemde $A(1, 2)$ ve $B(7, 10)$ noktaları veriliyor. Koordinatları tam sayılar olan bir $C(x, y)$ noktası için $AC \perp BC$ ko��ulu sağlandığına göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı $C$ noktası vardır?

6

8

10

12

4

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Koşulları sağlayan 10 farklı C noktası vardır.

Verilen iki nokta arasındaki orta nokta çemberin merkezini, uzaklığın yarısı ise yarıçapını verir. Çember denklemini sağlayan 12 tam sayı ikilisinden, başlangıçta verilen iki nokta (A ve B) çıkartıldığında aranan koşulları sağlayan 10 farklı nokta elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

[AB] doğru parçasının orta noktasını ve uzunluğunu hesaplayalım.

Orta nokta

M(4, 6)

ve çap uzunluğu

|AB| = 10

birim olarak bulunur. Buradan yarıçap

R = 5

birim elde edilir.

AC \perp BC

koşulu, C noktasının çapı [AB] olan çember üzerinde yer aldığını gösterir. Orta nokta çemberin merkezini, çapın yarısı ise yarıçapını verir.

2

Çemberin denklemini oluşturarak tam sayı koordinatlı çözümleri belirleyelim.

Çember denklemi

(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25

şeklindedir. Bu denklemde

x - 4

ve

y - 6

tam sayı olmalıdır. Karesel toplamları 25 olan tam sayı çiftleri

(\pm 5, 0)

,

(0, \pm 5)

,

(\pm 3, \pm 4)

ve

(\pm 4, \pm 3)

olmak üzere 12 tanedir.

Yarıçapı 5 birim olan çember üzerindeki tam sayı koordinatlı noktaları tespit etmek amacıyla karesel toplamı 25 olan tüm tam sayı ikilileri bulunur.

3

Bulunan noktalar için sınır koşullarını kontrol ederek nihai sayıyı bulalım.

Bulunan 12 nokta çiftinden

(x, y) = (1, 2)

noktası A noktasına,

(x, y) = (7, 10)

noktası ise B noktasına karşılık gelmektedir. C noktası bu noktalardan farklı olması gerektiğinden bu iki nokta elenir ve geriye

12 - 2 = 10

nokta kalır.

AC \perp BC

ifadesinin ve dikliğin tanımlı olabilmesi için C noktasının A ve B noktalarıyla çakışmaması gerekir.

Key Concept

İki Nokta Arasındaki Uzaklık, Orta Nokta Koordinatları ve Çember Denklemi İlişkisi

Question 7Question →

Analitik düzlemde, ikinci bölgede bulunan bir $A(a, 6)$ noktası ile $y$ ekseni üzerinde bulunan bir $B(0, b)$ noktası verilmektedir. $AB$ doğru parçasının orta noktası $C(-3, 2)$ olduğuna göre, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

5

8

10

12

14

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

A ve B noktaları arasındaki uzaklık 10 birimdir.

Orta nokta formülünden A noktasının apsisi -6, B noktasının ordinatı -2 olarak bulunur. Böylece elde edilen A(-6, 6) ve B(0, -2) noktaları arasındaki uzaklık Pisagor bağıntısı temelli uzaklık formülüyle 10 birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Orta nokta formülünü kullanarak a ve b değerlerini bulma

a = -6

ve

b = -2

C(-3, 2)

noktası

AB

doğru parçasının orta noktası olduğundan, koordinatları

A(a, 6)

ve

B(0, b)

noktalarının koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır. Buradan,

\frac{a + 0}{2} = -3 \Rightarrow a = -6

ve

\frac{6 + b}{2} = 2 \Rightarrow 6 + b = 4 \Rightarrow b = -2

bulunur.

2

Bulunan koordinatların bölge ve eksen şartlarına uygunluğunu denetleme

A(-6, 6)

noktası ikinci bölgede,

B(0, -2)

noktası ise y ekseni üzerindedir.

A(a, 6) = A(-6, 6)

noktasının apsisi negatif, ordinatı pozitif olduğu için ikinci bölgededir.

B(0, b) = B(0, -2)

noktasının apsisi sıfır olduğundan y ekseni üzerindedir. Verilen koşullar tam olarak sağlanmaktadır.

3

İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle AB uzunluğunu hesaplama

|AB| = 10

birim

A(-6, 6)

ve

B(0, -2)

noktaları arasındaki uzaklık:

|AB| = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (-2 - 6)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

birimdir.

Key Concept

Orta nokta koordinatları ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü

Question 8Question →

Analitik düzlemde $A(2, -1)$ ve $B(-6, 5)$ noktaları veriliyor.

Buna göre, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

10

14

2\sqrt{7}

4\sqrt{2}

100

Show answer & explanation

Answer: $10$

Answer

İki nokta arasındaki uzaklık

10

birimdir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak apsisler farkının karesi (

(-8)^2 = 64

) ile ordinatlar farkının karesinin (

6^2 = 36

) toplamı

100

bulunur. Bu değerin karekökü alındığında doğru uzaklık

10

birim olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İki nokta arasındaki uzaklık formülü yazılır.

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Analitik düzlemde verilen iki noktanın birbirine olan uzaklığını hesaplamak için bu formül kullanılır.

2

A(2, -1)

ve

B(-6, 5)

noktalarının koordinatları formülde yerine yazılır.

d = \sqrt{(-6 - 2)^2 + (5 - (-1))^2}

Noktaların apsis ve ordinat değerlerini doğru şekilde eşleştirmek gerekir.

3

Koordinat farkları hesaplanır.

Apsisler farkı

-8

ve ordinatlar farkı

6

olarak bulunur.

Çıkarma işlemlerinde negatif işaretlerin çarpımına dikkat edilir (

5 - (-1) = 6

).

4

Farkların kareleri toplamı alınarak karekök dışına çıkarılır.

d = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10

birim.

Negatif sayıların kareleri pozitif olacağından, elde edilen değerlerin toplamının karekökü alınarak nihai uzaklığa ulaşılır.

Key Concept

İki nokta arasındaki uzaklık

Estimated Time:1m 0s

Question 9Question →

Analitik düzlemde, eksenlere eşit uzaklıkta bulunan ve $P(3, 6)$ noktasına olan uzaklığı $5$ birim olan tüm noktaların apsisleri toplamı kaçtır?

5

6

9

12

18

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Eksenlere eşit uzaklıktaki noktaların apsisleri toplamı 9'dur.

Eksenlere eşit uzaklıktaki noktalar ya

y = x

ya da

y = -x

doğrusu üzerindedir.

P(3, 6)

noktasına olan uzaklıkları 5 birim olan noktalar için denklem kurulduğunda sadece

y = x

doğrusu üzerindeki noktalardan reel çözümler elde edilir. Bu denklemin kökler toplamı bize bu noktaların apsisleri toplamını verir ve bu değer 9'dur.

Step-by-Step Solution

1

Eksenlere eşit uzaklıkta olan noktaların koordinat özelliklerini belirleme.

Eksenlere eşit uzaklıkta olan bir

A(x, y)

noktası için

|x| = |y|

bağıntısı geçerlidir. Bu durumda noktalar ya

y = x

doğrusu üzerinde (yani

(a, a)

biçiminde) ya da

y = -x

doğrusu üzerinde (yani

(b, -b)

biçiminde) bulunmalıdır.

Eksenlere uzaklık sıras��yla

|y|

ve

|x|

ile ifade edilir ve bu uzaklıklar birbirine eşit verilmiştir.

2

y = x

doğrusu üzerindeki

(a, a)

noktalarının

P(3, 6)

noktasına olan uzaklık formülünü yazıp çözme.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünden:

\sqrt{(a - 3)^2 + (a - 6)^2} = 5

yazılır. Her iki tarafın karesi alınarak

(a - 3)^2 + (a - 6)^2 = 25

elde edilir. Bu ifade açıldığında

a^2 - 6a + 9 + a^2 - 12a + 36 = 25 \implies 2a^2 - 18a + 20 = 0

bulunur. Denklem 2 ile sadeleştirildiğinde

a^2 - 9a + 10 = 0

elde edilir.

Noktanın

P(3, 6)

noktasına uzaklığının 5 birim olduğu bilgisi kullanılarak denklem kurulur.

3

a^2 - 9a + 10 = 0

denkleminin köklerinin varlığını kontrol etme ve kökler toplamını bulma.

Diskriminant

\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 81 - 40 = 41 > 0

olduğundan iki farklı reel kök (yani iki farklı nokta) vardır. Kökler toplamı formülünden:

a_1 + a_2 = -\frac{-9}{1} = 9

bulunur. Bu noktaların apsisleri

a_1

ve

a_2

olduğundan apsisleri toplamı 9 olur.

İkinci dereceden denklemin köklerinin varlığı onaylandıktan sonra kökleri tek tek bulmadan toplamları doğrudan elde edilebilir.

4

y = -x

doğrusu üzerindeki

(b, -b)

noktalarının durumunu inceleme.

Uzaklık formülünden:

\sqrt{(b - 3)^2 + (-b - 6)^2} = 5

yazılır. Karesi alınarak

(b - 3)^2 + (b + 6)^2 = 25

elde edilir. İfade açıldığında

b^2 - 6b + 9 + b^2 + 12b + 36 = 25 \implies 2b^2 + 6b + 20 = 0

bulunur. Denklem 2 ile sadeleştirildiğinde

b^2 + 3b + 10 = 0

elde edilir. Bu denklemin diskriminantı

\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31 < 0

olduğundan reel kökü yoktur. Dolayısıyla

y = -x

doğrusu üzerinde koşulu sağlayan bir nokta bulunmaz.

Olası t��m durumları incelemek adına ikinci doğru üzerindeki noktaların varlığı kontrol edilmelidir.

5

Tüm geçerli noktaların apsisler toplamını belirleme.

Koşulu sağlayan noktalar yalnızca

y = x

doğrusu üzerinde olup bu noktaların apsisleri toplamı 9 olarak bulunur.

Sadece

y = x

doğrusundan reel çözümler geldiği için toplam sonuç 9 olur.

Key Concept

Noktanın Analitik İncelenmesi ve İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Hints

1

Eksenlere eşit uzaklıkta olan bir noktanın koordinatları

(a, a)

veya

(b, -b)

biçimindedir.

2

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak bu noktaların

P(3, 6)

noktasına olan uzaklıklarını 5'e eşitleyin.

3

Oluşan ikinci dereceden denklemlerin diskriminantlarını (

\Delta

) kontrol ederek hangi doğrunun çemberle kesiştiğini belirleyin ve kökler toplamı formülünü uygulayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, eksenlere eşit uzaklıkta olan ve başka bir noktaya belirli bir uzaklıktaki noktaların oluşturduğu şeklin çevre veya alan özelliklerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Geometrik olarak,

P(3, 6)

merkezli ve 5 birim yarıçaplı çember ile

y = x

ve

y = -x

doğrularının kesişim noktaları aranmaktadır.

P(3, 6)

noktasının

y = -x

doğrusuna olan uzaklığı

\frac{|3 + 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{9}{\sqrt{2}} \approx 6.36

birimdir. Bu uzaklık yarıçap olan 5 birimden büyük olduğundan çember

y = -x

doğrusunu kesmez.

P(3, 6)

noktasının

y = x

doğrusuna uzaklığı ise

\frac{|3 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \approx 2.12

birimdir. Bu değer 5'ten küçük olduğu için çember

y = x

doğrusunu iki farklı noktada keser. Bu noktaların apsisleri toplamı,

P

noktasının

y=x

doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün koordinatlarının iki katına eşittir. İzdüşüm noktası

H(4.5, 4.5)

olduğundan apsisler toplamı

2 \times 4.5 = 9

olarak pratik şekilde bulunabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 10Question →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede bulunan ve birer kenarı koordinat eksenleri üzerinde olan bir $OABC$ dikdörtgeni veriliyor. Bu dikdörtgenin köşegenlerinin kesim noktası $K(3, 9)$ 'dur.

Dikdörtgenin $B$ köşesinden geçen ve orijine uzaklığı en büyük olan doğru $d$ doğrusudur.

Buna göre, $d$ doğrusu üzerinde bulunan ve $A$ ile $C$ noktalarına eşit uzaklıkta olan noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

12

16

32

30

36

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Doğru cevap 32'dir.

B(6,18) noktasından geçen ve orijine en uzak olan doğru, OB'ye dik olan doğrudur. Bu doğrunun denklemi x + 3y = 60'tır. A(6,0) ve C(0,18) noktalarına eşit uzaklıktaki noktalar ise AC'nin orta dikme doğrusu olan 3y - x = 24 üzerindedir. Bu iki doğrunun kesişim noktası P(18,14) olup koordinatları toplamı 32'dir.

Step-by-Step Solution

1

Dikdörtgenin köşelerinin koordinatlarını belirleme

O(0,0) orijin, A(6,0), C(0,18) ve B(6,18) olarak bulunur.

Dikdörtgenin kenarları eksenler üzerinde olduğundan A noktası x-ekseni, C noktası y-ekseni üzerindedir. Köşegenlerin kesim noktası K(3,9) orta nokta olduğundan, koordinatlar ikişer katına çıkarılarak köşeler belirlenir.

2

B noktasından geçen ve orijine uzaklığı en büyük olan doğrunun eğimini bulma

d doğrusunun eğimi m_d = -1/3 olarak bulunur.

Bir noktadan geçen ve orijine en uzak olan doğru, orijin ile bu noktayı birleştiren doğru parçasına (OB) dik olan doğrudur. OB doğrusunun eğimi m_OB = 18/6 = 3 olduğundan, d doğrusunun eğimi m_d = -1/m_OB = -1/3 olur.

3

d doğrusunun denklemini yazma

d doğrusunun denklemi x + 3y = 60 şeklindedir.

B(6,18) noktasından geçen ve eğimi -1/3 olan doğrunun denklemi y - 18 = -1/3(x - 6) formülüyle elde edilir.

4

A ve C noktalarına eşit uzaklıktaki P(x,y) noktasının denklemini kurma

3y - x = 24 denklemi elde edilir.

PA = PC koşulundan (x - 6)^2 + y^2 = x^2 + (y - 18)^2 yazılır. Bu denklem açılıp sadeleştirildiğinde -12x + 36 = -36y + 324 bağıntısı, yani 3y - x = 24 elde edilir.

5

Denklem sistemini çözerek P noktasının koordinatlarını bulma ve toplama

P(18,14) bulunur. Koordinatlar toplamı 18 + 14 = 32'dir.

x + 3y = 60 ve 3y - x = 24 denklemleri taraf tarafa toplandığında 6y = 84 ve y = 14 bulunur. x değeri ise 18 olarak elde edilir.

Key Concept

Noktanın analitik incelenmesi, iki nokta arasındaki uzaklık ve dik doğruların eğimleri ilişkisi.

Hints

1

Dikdörtgenin köşelerinin koordinatlarını bulmak için K(3,9) noktasının köşegenlerin kesim noktası (orta noktası) olduğunu kullanın.

2

B(6,18) noktasından geçen ve orijine uzaklığı en büyük olan doğrunun, OB doğrusuna dik olduğunu hatırlayın ve eğimini bulun.

3

P(x,y) noktasının A(6,0) ve C(0,18) noktalarına olan uzaklıklarının karesini eşitleyerek x ve y arasındaki doğrusal ilişkiyi elde edip d doğrusunun denklemi ile ortak çözün.

Practice More

Benzer şekilde, verilen bir doğrunun eksenleri kestiği noktalar ile orijinin oluşturduğu üçgenin iç teğet çemberinin merkezinin koordinatlarını bulmaya yönelik soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

P(x,y) noktasının A ve C noktalarına eşit uzaklıkta olması, P noktasının [AC] doğru parçasının orta dikme doğrusu üzerinde olduğunu gösterir. [AC]'nin orta noktası M(3,9) ve AC'nin eğimi m_AC = (18-0)/(0-6) = -3'tür. Bu durumda orta dikme doğrusunun eğimi 1/3 olur. M(3,9) noktasından geçen ve eğimi 1/3 olan doğrunun denklemi y - 9 = 1/3(x - 3) yani 3y - x = 24 olarak hızlıca bulunabilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 11Question →

Dik koordinat düzleminde, $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktaları veriliyor. Bu noktaların koordinatlarını oluşturan $\{x_1, y_1, x_2, y_2\}$ kümesi ardışık dört pozitif tek sayıdan oluşmaktadır.

$A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık $2\sqrt{10}$ birim olduğuna göre, $AB$ doğru parçasının orta noktasının koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

6

8

10

12

14

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Orta noktanın koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer 8'dir.

Orta noktanın koordinatları toplamı olan formül, noktaların koordinatları toplamının yarısına eşittir. Kümenin elemanları ardışık dört pozitif tek sayı olduğundan, en küçük toplamı elde etmek için bu küme {1, 3, 5, 7} olarak seçilmelidir. Bu durumda koordinatlar toplamı 16 olur ve bu toplamın yarısı olan 8 değeri orta noktanın koordinatları toplamını verir.

Step-by-Step Solution

1

Koordinat kümesini tanımlama

\\{x_1, y_1, x_2, y_2\\} = \\{2k-1, 2k+1, 2k+3, 2k+5\\}

(burada

k

bir pozitif tam sayıdır).

Koordinatların ardışık dört pozitif tek sayı olduğu belirtilmiştir.

2

Uzaklık formülünü uygulama

(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = (2\sqrt{10})^2 = 40

.

A

ve

B

noktaları arasındaki uzaklığın

2\sqrt{10}

birim olduğu verilmiştir.

3

Koordinat farklarını belirleme

Farkların karesi toplamı 40 olan tam sayı ikilisi ancak

6^2 + 2^2 = 40

olabilir. Dolayısıyla apsisler farkı ile ordinatlar farkından biri 6, diğeri ise 2 olmalıdır.

Ardışık tek sayılar kümesindeki elemanlar arasındaki farklar 2, 4 veya 6 olabilir. Toplamları 40 eden kareler sadece 36 ve 4'tür.

4

Orta noktanın koordinatlarını hesaplama

AB

doğru parçasının orta noktası

M(x_M, y_M)

olmak üzere,

x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}

ve

y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}

'dir. Koordinatların toplamı ise

x_M + y_M = \frac{x_1 + y_1 + x_2 + y_2}{2}

olur.

Orta noktanın koordinatları toplamı, tüm koordinatların toplamının yarısına eşittir.

5

Koordinatlar toplamının en küçük değerini bulma

x_M + y_M = \frac{(2k-1) + (2k+1) + (2k+3) + (2k+5)}{2} = \frac{8k+8}{2} = 4k+4

. En küçük değer için

k = 1

seçilir ve sonuç

4(1) + 4 = 8

bulunur.

Koordinatların pozitif olması gerektiğinden en küçük tek sayı 1'dir, bu da

2k-1 = 1 \implies k = 1

olmasını gerektirir.

Key Concept

İki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta koordinatları ve koordinat düzleminde bölgeler.

Question 12Question →

Dik koordinat düzleminde, ikinci bölgede bulunan bir $A(a, b)$ noktasının eksenlere olan uzaklıkları toplamı $8$ birimdir. Bu noktanın $y$ -eksenine olan uzaklığı, $x$ -eksenine olan uzaklığından daha azdır. $A$ noktasının orijine olan uzaklığı $2\sqrt{10}$ birim olduğuna göre, $A$ noktasının $B(2, 3)$ noktasına olan uzaklığı kaç birimdir?

3

5

7

8

9

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

A noktasının B noktasına olan uzaklığı 5 birimdir.

A noktasının koordinatları ikinci bölge özellikleri, eksenlere uzaklık ilişkileri ve orijine olan uzaklık denklemi birlikte çözülerek

A(-2, 6)

olarak belirlenir. Bu noktanın

B(2, 3)

noktasına olan uzaklığı iki nokta arası uzaklık formülü yardımıyla 5 birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İkinci bölgedeki A(a,b) noktasının koordinat işaretlerini belirleme ve eksenlere uzaklık bağıntısını yazma.

a < 0

ve

b > 0

olduğu için

A(a, b)

noktas��nın

y

-eksenine olan uzaklığı

|a| = -a

birim,

x

-eksenine olan uzaklığı ise

|b| = b

birimdir. Eksenlere olan uzaklıkları toplam��

8

birim olduğundan

-a + b = 8 \implies b = a + 8

bağıntısı elde edilir.

Noktanın bulunduğu bölgeye göre eksenlere olan uzaklık denklemini doğru kurabilmek için.

2

Eksenlere olan uzaklıkların karşılaştırma koşulunu belirleme.

Noktanın

y

-eksenine olan uzaklığı (

|a|

),

x

-eksenine olan uzaklığından (

|b|

) daha az olduğundan

|a| < |b| \implies -a < b

olmalıdır.

İki farklı olası noktadan doğru olanını seçebilmek için sınır şartını belirlemek.

3

Orijine olan uzaklık denkleminden A noktasının koordinatlarını bulma.

Orijine olan uzaklık formülünden

a^2 + b^2 = (2\sqrt{10})^2 \implies a^2 + b^2 = 40

olur. Burada

b = a + 8

yazılarak

a^2 + (a+8)^2 = 40 \implies 2a^2 + 16a + 24 = 0 \implies a^2 + 8a + 12 = 0 \implies (a+6)(a+2) = 0

elde edilir. Kökler

a = -6

veya

a = -2

olarak bulunur. Eğer

a = -6

ise

b = 2

olur fakat bu durumda

|-6| < |2|

(

6 < 2

) şartı sağlanmaz. Eğer

a = -2

ise

b = 6

olur ve

|-2| < |6|

(

2 < 6

) şartı sağlanır. Dolayısıyla

A

noktası

A(-2, 6)

olarak bulunur.

Verilen iki uzaklık bilgisini ortak çözerek A noktasının koordinatlarını kesinleştirmek için.

4

A ve B noktaları arasındaki uzaklığı hesaplama.

A(-2, 6)

ve

B(2, 3)

noktaları arasındaki uzaklık

|AB| = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

birim olarak hesaplanır.

İki nokta arasındaki en kısa mesafeyi bulmak için mesafe formülünü uygulamak.

Key Concept

Analitik düzlemde noktanın eksenlere ve orijine olan uzaklığı ile iki nokta arasındaki uzaklık formülü.

Alternative Method

Denklemleri çözüp olası

A(-2, 6)

ve

A(-6, 2)

noktalarını bulduktan sonra, koordinat düzleminde bu noktaları ve eksenleri çizerek uzaklık ilişkisi görsel olarak kıyaslanabilir.

A

ve

B

noktalarından eksenlere paraleller çizilerek oluşturulan dik üçgende Pisagor teoremi uygulanarak da uzaklık bulunabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 13Question →

Dik koordinat düzleminde, II. bölgede bulunan bir $A(a, b)$ noktası ile IV. bölgede bulunan bir $B(c, d)$ noktası veriliyor. $A$ ve $B$ noktalarının orta noktası $y$ -ekseninin pozitif kısmında olup orijine olan uzaklığı $2$ birimdir. $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık $10$ birim ve bu noktaların tüm koordinatları birer tam sayı olduğuna göre, $A$ noktasının koordinatları toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

1

2

4

6

8

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

A noktasının koordinatları toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 4'tür.

Doğru seçenekte belirtilen değer, A noktasının koordinatları toplamının alabileceği olası değerler olan 3 ve 1 sayılarının toplamıdır. Analitik düzlemdeki bölge koşulları ve uzaklık denklemi tam sayılar kümesinde çözüldüğünde yalnızca bu iki durumun geçerli olduğu görülmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Orta noktanın koordinatlarını belirleme

Orta nokta

M(0, 2)

olarak bulunur.

Orta nokta

y

-ekseninin pozitif kısmında ve orijine

2

birim uzaklıkta olduğundan apsisi

0

, ordinatı ise

2

olmalıdır.

2

A(a, b)

ve

B(c, d)

koordinatları arasındaki ilişkileri yazma

c = -a

ve

d = 4-b

bağıntıları elde edilir.

Orta nokta formülünden,

\frac{a+c}{2} = 0 \implies c = -a

ve

\frac{b+d}{2} = 2 \implies d = 4-b

eşitlikleri yazılır.

3

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulama

a^2 + (b-2)^2 = 25

denklemi elde edilir.

A

ve

B

noktaları arasındaki uzaklık

10

birim olduğundan

AB = \sqrt{(c-a)^2 + (d-b)^2} = 10 \implies (c-a)^2 + (d-b)^2 = 100

olur.

c = -a

ve

d = 4-b

değerleri yerine yazıldığında

(-2a)^2 + (4-2b)^2 = 100 \implies 4a^2 + 4(2-b)^2 = 100 \implies a^2 + (b-2)^2 = 25

elde edilir.

4

Bölge sınırlandırmalarını ve tam sayı çözümlerini analiz etme

A(-3, 6)

ve

A(-4, 5)

noktaları bulunur.

A(a, b)

II. bölgede olduğundan

a < 0

ve

b > 0

olmalıdır.

B(c, d)

IV. bölgede olduğundan

c > 0

ve

d < 0

olmalıdır.

c = -a

olduğundan

a < 0

ise

c > 0

şartı kendiliğinden sağlanır.

d = 4-b < 0

olması için

b > 4

şart�� sağlanmalıdır.

a^2 + (b-2)^2 = 25

denkleminde

a < 0

ve

b > 4

olan tam sayı çözümleri incelendiğinde:
-

a = -3

için

(b-2)^2 = 16 \implies b-2 = 4 \implies b = 6

(

A(-3, 6)

ve

B(3, -2)

noktaları oluşur, koşullara uygundur).
-

a = -4

için

(b-2)^2 = 9 \implies b-2 = 3 \implies b = 5

(

A(-4, 5)

ve

B(4, -1)

noktaları oluşur, koşullara uygundur).
-

a = -5

için

(b-2)^2 = 0 \implies b = 2

olur fakat

b > 4

şartı sağlanmaz.

5

A

noktasının koordinatları toplamını hesaplama

Koordinat toplamlarının alabileceği farklı değerlerin toplamı

3 + 1 = 4

olarak hesaplanır.

A(-3, 6)

noktası için koordinatlar toplamı

-3 + 6 = 3

olur.

A(-4, 5)

noktası için koordinatlar toplamı

-4 + 5 = 1

olur. Bu iki değerin toplamı

3 + 1 = 4

'tür.

Key Concept

İki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta koordinatları ve bölgelere göre koordinat işaretlerinin belirlenmesi.

Question 14Question →

Analitik düzlemde $A(-3, 2)$ ve $B(5, -6)$ noktaları veriliyor. $[AB]$ doğru parçasını dıştan $\frac{|CA|}{|CB|} = \frac{3}{5}$ oranında bölen $C$ noktası ile $[AB]$ doğru parçasını içten $\frac{|DA|}{|DB|} = \frac{1}{3}$ oranında bölen $D$ noktası arasındaki uzaklık kaç birimdir?

8\sqrt{2}

12\sqrt{2}

14\sqrt{2}

18\sqrt{2}

\sqrt{2}

Show answer & explanation

Answer: $14\sqrt{2}$

Answer

İki nokta arasındaki uzaklık

14\sqrt{2}

birimdir.

Doğru cevap olan

14\sqrt{2}

ifadesi, dıştan bölen

C

noktasının koordinatlarının

C(-15, 14)

ve içten bölen

D

noktasının koordinatlarının

D(-1, 0)

olarak doğru bir şekilde tespit edilip, iki nokta arasındaki uzaklık formülü olan

\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

bağıntısının hatasız uygulanması sonucu elde edilmektedir.

Step-by-Step Solution

1

C noktasının konumunu ve koordinat değişim oranını belirlemek.

|CA| / |CB| = 3/5 < 1

olduğundan

C

noktası

[AB]

doğru parçasının dışındadır ve

A

noktasına daha yakındır. Bu durumda noktalar doğrusal olarak

C

-

A

-

B

sırasında yer alır.

|CA| = 3k

ve

|CB| = 5k

dersek,

|AB| = 5k - 3k = 2k

olur.

Dıştan bölme oranını kullanarak doğru üzerindeki parçaların birbirine olan oranını belirlemek.

2

C noktasının koordinatlarını hesaplamak.

A(-3, 2)

ve

B(5, -6)

noktaları arasındaki değişim:

x

koordinatı için

5 - (-3) = 8

artış (

2k = 8 \implies k = 4

),

y

koordinatı için

-6 - 2 = -8

azalış (

2k = -8 \implies k = -4

) olmaktadır.

C

noktası,

A

'dan

3k

kadar geride olduğundan koordinatları;

x_C = -3 - 3(4) = -15

ve

y_C = 2 - 3(-4) = 14

olarak bulunur. Yani

C(-15, 14)

noktası elde edilir.

Artış ve azalış oranlarını kullanarak bilinmeyen dış noktanın koordinatlarına ulaşmak.

3

D noktasının koordinatlarını hesaplamak.

D

noktası

[AB]

doğru parçasını içten

\frac{|DA|}{|DB|} = \frac{1}{3}

oranında böldüğü için

D

noktası

A

ile

B

arasındadır.

|DA| = m

ve

|DB| = 3m

dersek,

|AB| = 4m

olur.

x

koordinatındaki

8

birimlik artış

4m

'ye karşılık gelirse

m = 2

olur.

y

koordinatındaki

-8

birimlik azalış

4m

'ye karşılık gelirse

m = -2

olur.

A

noktasından

D

noktasına giderken

x

koordinatı

2

artar,

y

koordinatı

2

azalır:

D(-3 + 2, 2 - 2) = D(-1, 0)

bulunur.

İçten bölen noktanın koordinatlarını oran yöntemiyle hesaplamak.

4

C ve D noktaları arasındaki uzaklığı hesaplamak.

|CD| = \sqrt{(-1 - (-15))^2 + (0 - 14)^2} = \sqrt{14^2 + (-14)^2} = \sqrt{196 + 196} = 14\sqrt{2}

birim olarak hesaplanır.

Koordinatları bilinen iki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayarak nihai sonuca ulaşmak.

Key Concept

Doğru parçasını belirli bir oranda içten ve dıştan bölen noktaların koordinatlarının doğrusal artış/azalış miktarları ile bulunması.

Question 15Question →

Analitik düzlemde $A(-3, 5)$ ve $B(5, -3)$ noktaları veriliyor. $[AB]$ doğru parçasını $\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5}$ oranında içten bölen nokta $C$ , $AB$ doğrusunu $\frac{|AD|}{|BD|} = 3$ oranında d��ştan bölen nokta $D$ olduğuna göre, $C$ ve $D$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

3\sqrt{2}

7\sqrt{2}

8\sqrt{2}

9\sqrt{2}

\sqrt{106}

Show answer & explanation

Answer: $9\sqrt{2}$

Answer

C ve D noktaları arasındaki uzaklık

9\sqrt{2}

birimdir.

Doğru olan

9\sqrt{2}

seçeneği, içten bölme kurallarına göre doğru tespit edilen

C(0, 2)

noktası ile dıştan bölme kurallarına göre doğru tespit edilen

D(9, -7)

noktası arasındaki geometrik mesafeyi vermektedir.

Step-by-Step Solution

1

C noktasının koordinatlarını bulmak için içten bölme oranını uygulayalım.

C(0, 2)

C

noktası

[AB]

üzerinde olup oranı

\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5}

'tir.

A

ile

B

arasındaki mesafe

8k

parça kabul edilirse;

x

koordinatındaki toplam değişim

5 - (-3) = 8

birim artış yönündedir (

8k = 8 \implies k = 1

).

C

noktası

A

'dan

3k

uzaklıkta olduğundan

x_C = -3 + 3(1) = 0

olur.

y

koordinatındaki toplam değişim

-3 - 5 = -8

birim azalış yönündedir (

8k = -8 \implies k = -1

).

C

noktası

A

'dan

3k

uzaklıkta olduğundan

y_C = 5 + 3(-1) = 2

olur.

2

D noktasının koordinatlarını bulmak için dıştan bölme oranını uygulayalım.

D(9, -7)

D

noktası

AB

doğrusu üzerinde ve dışında olup oranı

\frac{|AD|}{|BD|} = 3

'tür.

|AD| = 3|BD|

olduğundan

D

noktası

B

tarafına daha yakındır (

A - B - D

sırası).

|BD| = p

dersek,

|AD| = 3p

ve

|AB| = 2p

olur.

2p

uzunluktaki

[AB]

üzerinde

x

koordinatı

5 - (-3) = 8

artmıştır (

2p = 8 \implies p = 4

artış).

B

'den

D

'ye

p

kadar gidildiğinde

x_D = 5 + 4 = 9

olur.

2p

üzerinde

y

koordinatı

-3 - 5 = -8

azalmıştır (

2p = -8 \implies p = -4

azalış).

B

'den

D

'ye gidildiğinde

y_D = -3 - 4 = -7

olur.

3

Bulunan C ve D noktaları arasındaki uzaklığı iki nokta arası uzaklık formülüyle hesaplayalım.

|CD| = 9\sqrt{2}

İki nokta arasındaki uzaklık formülü

|CD| = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}

şeklindedir. Değerleri yerine yazarsak:

|CD| = \sqrt{(9 - 0)^2 + (-7 - 2)^2} = \sqrt{9^2 + (-9)^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}

birim olarak hesaplanır.

Key Concept

Analitik düzlemde bir doğru parçasını belirli bir oranda içten ve dıştan bölen noktaların koordinatlarının hesaplanması.

Hints

1

C noktasının koordinatlarını bulmak için x ve y koordinatlarındaki değişim miktarlarını [AB] üzerindeki 3:5 oranına göre paylaştırın.

2

D noktası dıştan bölen bir nokta olduğu için A-B-D sıralamasını kullanarak, [AB] üzerindeki değişim hızını B ile D arasına taşıyın.

Practice More

Benzer şekilde koordinatları bilinen bir üçgende köşe koordinatları ve kenarortay oranlarını kullanarak ağırlık merkezi bulma sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

Vektörel yöntemle veya koordinat artış/azalış miktarlarını doğrudan doğrusal oran kurarak (örneğin x koordinatı için: 8 birimlik mesafede 8 artış varsa, 3 birimde 3 artış olur mantığıyla) formülsüz şekilde çözebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 16Question →

Dik koordinat düzleminde, üçüncü bölgede bulunan bir $A(a, -3)$ noktası ile birinci bölgede bulunan bir $B(8, b)$ noktası veriliyor.

$A$ ve $B$ noktalarının orta noktası $y$ -ekseni üzerinde olup bu iki nokta arasındaki uzaklık $20$ birimdir.

Buna göre, $a \cdot b$ çarpımının değeri kaçtır?

-120

-8

-72

72

120

Show answer & explanation

Answer: -72

Answer

İki noktanın koordinat değerleri belirlendikten sonra yapılan çarpım işleminin sonucu olan -72 sayısı doğru cevaptır.

Orta noktanın y-ekseni üzerinde olması apsisinin 0 olmasını gerektirir, buradan a = -8 bulunur. A ve B noktaları arasındaki uzaklık formülüyle (20 birim) kurulan denklem çözüldüğünde ve B noktasının birinci bölgede olmasından kaynaklı b > 0 şartı uygulandığında b = 9 bulunur. Bu iki değerin çarpımı ise -72 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Orta noktanın y-ekseni üzerinde olma özelliğini kullanarak a değerini bulma

a = -8

elde edilir.

Bir noktanın y-ekseni üzerinde olması için apsisinin sıfır olması gerekir.

A(a, -3)

ve

B(8, b)

noktalarının orta noktasının apsisi

\frac{a + 8}{2}

formülüyle hesaplanır. Bu değerin sıfır olması gerektiğinden

a + 8 = 0 \implies a = -8

bulunur. Bulunan bu değer,

A

noktasının üçüncü bölgede yer alması (

a < 0

) şartıyla da uyumludur.

2

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayarak b değerini bulma

b = 9

elde edilir.

A(-8, -3)

ve

B(8, b)

noktaları arasındaki uzaklık

20

birim olarak verilmiştir. Uzaklık formülü uygulandığında:

\sqrt{(8 - (-8))^2 + (b - (-3))^2} = 20 \implies 16^2 + (b + 3)^2 = 20^2 \implies 256 + (b + 3)^2 = 400 \implies (b + 3)^2 = 144

elde edilir. Buradan

b + 3 = 12

veya

b + 3 = -12

olur.

B(8, b)

noktası birinci bölgede yer aldığından ordinatı pozitif olmalıdır (

b > 0

). Dolayısıyla

b + 3 = 12 \implies b = 9

olarak seçilir.

3

Bulunan a ve b değerlerinin çarpımını hesaplama

a \cdot b = -72

olarak bulunur.

Soruda bizden istenen

a \cdot b

çarpımıdır.

a = -8

ve

b = 9

değerleri çarpıldığında

-8 \cdot 9 = -72

sonucu elde edilir.

Key Concept

Noktanın Analitik İncelenmesi ve İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü

Question 17Question →

Dik koordinat düzleminde, koordinatları tam sayılardan oluşan ve orijine uzaklığı $5$ birim olan tüm noktaların oluşturduğu küme $K$ olarak tanımlanıyor.

$K$ kümesinden seçilen farklı $A$ ve $B$ noktalarının orta noktasının koordinatları da tam sayılardan oluşmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı $\{A, B\}$ noktalar çifti seçilebilir?

15

24

30

36

66

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

30

Orijine uzaklığı 5 birim olan tam sayı koordinatlı noktalar koordinatlarının teklik-çiftlik durumuna göre (çift, tek) ve (tek, çift) olmak üzere altışar elemanlı iki gruba ayrılır. İki noktanın orta noktasının koordinatlarının tam sayı olabilmesi için her iki noktanın da aynı gruptan seçilmesi gerekir. Bu seçimlerin kombinasyonları hesaplandığında toplamda 30 farklı çift elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Orijine uzaklığı

5

birim olan tam sayı koordinatlı noktaları belirlemek.

x^2 + y^2 = 25

denklemini sağlayan tam sayı ikilileri bulunur. Eksenler üzerindeki

(5, 0)

,

(-5, 0)

,

(0, 5)

,

(0, -5)

noktaları ile bölgelerde yer alan

(\pm 3, \pm 4)

ve

(\pm 4, \pm 3)

noktaları olmak üzere toplam

12

nokta tespit edilir.

K

kümesinin tüm elemanlar��nı belirlemek.

2

İki noktanın orta noktasının tam sayı koordinatlı olma koşulunu analiz etmek.

A(x_1, y_1)

ve

B(x_2, y_2)

noktalarının orta noktası olan

M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)

noktasının koordinatlarının tam sayı olması için

x_1+x_2

ve

y_1+y_2

toplamlarının çift sayı olması gerekir. Bu durum,

x_1

ile

x_2

koordinatlarının aynı teklik-çiftlik karakterine,

y_1

ile

y_2

koordinatlarının da aynı teklik-çiftlik karakterine sahip olmasını gerektirir.

Orta nokta formülünü kullanarak koordinatların paritesini (teklik-çiftlik durumunu) belirlemek.

3

Belirlenen

12

noktayı teklik-çiftlik durumlarına göre sınıflandırmak.

x^2 + y^2 = 25

denkleminde her iki değişkenin karesinin toplamı tek sayı (

25

) olduğundan, değişkenlerden biri çift diğeri tek olmalıdır. Dolayısıyla noktalar iki gruba ayrılır:
1. Grup (Apsisi çift, ordinatı tek olanlar):

(0, 5)

,

(0, -5)

,

(4, 3)

,

(4, -3)

,

(-4, 3)

,

(-4, -3)

olmak üzere

6

nokta vardır.
2. Grup (Apsisi tek, ordinatı çift olanlar):

(5, 0)

,

(-5, 0)

,

(3, 4)

,

(3, -4)

,

(-3, 4)

,

(-3, -4)

olmak üzere

6

nokta vardır.

Orta nokta koşuluna uygun seçim gruplarını oluşturmak.

4

Gruplardan ikili seçimler yaparak toplam geçerli çift sayısını bulmak.

Orta noktanın tam sayı olması için seçilen iki noktanın da aynı gruptan olması gerekir. Bu nedenle:
1. Gruptan

2

nokta seçimi:

\binom{6}{2} = 15

farklı şekilde yapılır.
2. Gruptan

2

nokta seçimi:

\binom{6}{2} = 15

farklı şekilde yapılır.
Toplam durum sayısı:

15 + 15 = 30

olur.

Geçerli tüm nokta çiftlerinin sayısını hesaplamak.

Key Concept

Noktanın Analitik İncelenmesi, İki Noktanın Orta Noktası, İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Estimated Time:3m 0s

Question 18Question →

Analitik düzlemde $3x - 4y + 7 = 0$ ve $3x - 4y - 8 = 0$ paralel doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

3

15

\frac{3}{5}

1

5

Show answer & explanation

Answer: $3$

Answer

Paralel doğrular arasındaki uzaklık 3 birimdir.

Verilen iki doğrunun katsayıları eşit olduğundan (

A=3

,

B=-4

), doğrular arasındaki uzaklık formülü olan

d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

doğrudan uygulanır. Formülde değerler yerine yazıldığında

d = \frac{|7 - (-8)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{15}{5} = 3

birim bulunur. Bu nedenle doğru cevap 3'tür.

Step-by-Step Solution

1

Paralel doğruların denklemlerindeki katsayıları belirleme.

A = 3

,

B = -4

,

C_1 = 7

ve

C_2 = -8

Paralel doğrular arası uzaklık formülünü uygulayabilmek için katsayıların doğru tespit edilmesi gerekir.

2

Paralel doğrular arası uzaklık formülünü yazma.

d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Paralel iki doğrunun birbirine olan dik uzaklığını veren genel formül budur.

3

Belirlenen katsayıları formülde yerine yazarak hesaplama yapma.

d = \frac{|7 - (-8)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{15}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3

Formülün sonucunda elde edilen değer iki doğru arasındaki en kısa (dik) uzaklığı verir.

Key Concept

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, doğruların sabit terimlerinin farkının mutlak değerinin, değişkenlerin katsayılarının kareleri toplamının kareköküne bölünmesiyle bulunur.

Hints

1

Paralel iki doğru arasındaki uzaklığı bulmak için öncelikle iki doğrunun

x

ve

y

katsayılarının eşit olduğundan emin olun.

2

Denklemlerde

A=3

ve

B=-4

'tür. Sabit terimler ise

C_1 = 7

ve

C_2 = -8

'dir. Uzaklık formülü

d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

şeklindedir.

Estimated Time:45s

Question 19Question →

Analitik düzlemde, köşelerinin koordinatları $A(2, 9)$ , $B(-1, 5)$ ve $C(-6, 3)$ olan bir $ABC$ üçgeni verilmiştir.

Buna göre, bu üçgenin $A$ köşesinden geçen iç açıortay doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

x - y + 11 = 0

x + y - 11 = 0

x - y + 7 = 0

4x - 3y + 19 = 0

16x - 19y + 139 = 0

Show answer & explanation

Answer: $x - y + 7 = 0$

Answer

A köşesinden geçen iç açıortay doğrusunun denklemi

x - y + 7 = 0

şeklindedir.

İç açıortay teoremi kullanılarak

BC

kenarı üzerindeki kesim noktası olan

D

noktasının koordinatları

D\left(-\frac{8}{3}, \frac{13}{3}\right)

olarak bulunur.

A(2,9)

ve

D

noktalarından geçen doğrunun eğimi

m=1

olarak hesaplanır. Bu eğim ve

A

noktası kullanılarak yazılan doğru denklemi

x - y + 7 = 0

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin

AB

ve

AC

kenar uzunluklarını iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplayın.

AB = 5

birim ve

AC = 10

birim olarak bulunur.

İç açıortay teoremi gereği, açıortayın karşı kenarı böldüğü oran, komşu kenarların uzunlukları oranına eşittir.

2

Açıortayın

BC

kenarını kestiği

D(x_D, y_D)

noktasının koordinatlarını içten bölen nokta formülüyle bulun.

D

noktasının koordinatları

D\left(-\frac{8}{3}, \frac{13}{3}\right)

olarak elde edilir.

AB/AC = 5/10 = 1/2

olduğundan,

D

noktası

BC

segmentini

BD/DC = 1/2

oranında böler.

3

A(2, 9)

ve

D\left(-\frac{8}{3}, \frac{13}{3}\right)

noktalarından geçen doğrunun eğimini (

m

) hesaplayın.

Doğrunun eğimi

m = 1

olarak hesaplanır.

Doğru denklemini yazmak için öncelikle doğrunun eğimini belirlemek gerekir.

4

Eğimi

m = 1

olan ve

A(2, 9)

noktasından geçen doğrunun denklemini

y - y_1 = m(x - x_1)

formülüyle yazın.

y - 9 = 1(x - 2) \implies x - y + 7 = 0

denklemi elde edilir.

Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemini oluşturmak için standart formül uygulanır.

Key Concept

İç açıortay teoremi yardımıyla oran tespiti, doğru parçasını belirli oranda bölen nokta koordinatları ve eğimi ile bir noktası bilinen doğru denkleminin oluşturulması.

Hints

1

Öncelikle üçgenin

AB

ve

AC

kenar uzunluklarını iki nokta arasındaki uzaklık formülü yardımıyla hesaplayın.

2

İç açıortay teoremini kullanarak açıortayın

BC

kenarını kestiği

D

noktasının bu kenarı hangi oranda (

BD/DC

) böldüğünü bulun ve

D

noktasının koordinatlarını belirleyin.

3

A(2,9)

ve bulduğunuz

D

noktasının koordinatlarını kullanarak iki noktası bilinen doğrunun eğimini hesaplayın ve ardından doğru denklemi formülünü uygulayın.

Practice More

Benzer analitik yöntemleri kullanarak bir üçgenin dış açıortay doğrusunun denklemini bulma alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternative Method

Açıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir noktanın üçgenin

AB

ve

AC

kenarlarını taşıyan doğrulara olan dik uzaklıkları birbirine eşittir.

AB

ve

AC

doğrularının denklemleri yazılıp, noktaların doğrulara olan uzaklık formülleri eşitlenerek de açıortay denklemi elde edilebilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 20Question →

Bir grafik tasarım programında, koordinatları $A(2, -1)$ ve $B(14, 8)$ olan iki nokta bir doğru parçasıyla birleştirilmiştir. Bu doğru parçası üzerinde, $A$ noktasına olan uzaklığı $B$ noktasına olan uzaklığının yarısı olacak şekilde bir $C$ noktası belirleniyor. Buna göre, $C$ noktasının koordinatları toplamı kaçt��r?

8

15

-6

11

-20

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

C noktasının koordinatları toplamı 8'dir.

Koordinatları belirlenen C noktası, A ve B noktalarını birleştiren doğru parçası üzerinde olup A'ya olan uzaklığı k ise B'ye olan uzaklığı 2k'dir. Toplam 3k mesafede x bileşeni 12 birim arttığından k kadar mesafede 4 birim artarak 6 olur; y bileşeni 9 birim arttığından k kadar mesafede 3 birim artarak 2 olur. Koordinatları (6, 2) olan C noktasının koordinatları toplamı 8 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Doğru parçası üzerindeki oran ilişkisini belirleme

C

noktası

[AB]

üzerinde olduğundan içten bölen bir noktadır.

|AC| = k

ve

|BC| = 2k

alınırsa

|AB| = 3k

olur.

Soruda

C

'nin

A

'ya uzaklığının

B

'ye uzaklığının yarısı olduğu belirtilmiştir.

2

x-koordinatındaki artış miktarını hesaplama

x

koordinatı

A(2)

'den

B(14)

'e

3k

mesafede

12

birim artmıştır. Buradan

k

mesafedeki artış

12 / 3 = 4

birim olarak bulunur.

C

'nin x-koordinatı:

x_C = 2 + 4 = 6

olur.

Doğru parçası üzerindeki koordinat değişimi doğrusal ve mesafe ile orantılıdır.

3

y-koordinatındaki artış miktarını hesaplama

y

koordinatı

A(-1)

'den

B(8)

'e

3k

mesafede

9

birim artmıştır. Buradan

k

mesafedeki artış

9 / 3 = 3

birim olarak bulunur.

C

'nin y-koordinatı:

y_C = -1 + 3 = 2

olur.

y-koordinatı da benzer şekilde doğrusal ve orantılı olarak değişir.

4

C noktasının koordinatları toplamını bulma

C(6, 2)

noktasının koordinatları toplamı

6 + 2 = 8

olur.

Soruda bizden istenen değer

C

noktasının koordinatları toplamıdır.

Key Concept

Analitik düzlemde bir doğru parçasını belirli bir oranda içten bölen noktanın koordinatlarının bulunması.

Analitik Geometri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept