Problemler Practice Questions — ALES — Page 13

Question 241Question →

Bir dijital yayın platformunun başlangıçtaki üyelerinin $\%60$ 'ı aylık abonelik, kalanları ise yıllık abonelik paketini kullanmaktadır. Bir ay sonra; aylık abonelerin $\%20$ 'si aboneliğini iptal etmiş, yıllık abonelerin ise $\%10$ 'u yıllık aboneliğini iptal ederek aylık aboneliğe geçiş yapmıştır. Bu geçiş ve iptaller dışında platforma yeni üye katılımı olmamıştır. Buna göre, son durumda platformdaki aylık abonelerin sayısının yıllık abonelerin sayısına oranı kaçtır?

\frac{13}{9}

\frac{4}{3}

\frac{13}{10}

\frac{11}{9}

\frac{9}{13}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{13}{9}$

Answer

Son durumda aylık abonelerin sayısının yıllık abonelerin sayısına oranı

\frac{13}{9}

'dur.

Platformdaki toplam üye sayısı

100x

alındığında, aylık abonelerin sayısı

60x

ve yıllık abonelerin sayısı

40x

olur. Aylık abonelerin

\%20

'si yani

12x

kadarı iptal ettiğinde

48x

aylık abone kalır. Yıllık abonelerin

\%10

'u yani

4x

kadarı aylık aboneliğe geçtiğinde yıllık abone sayısı

36x

'e düşer. Bu

4x

üye aylık abonelere katıldığı için son durumda aylık abone sayısı

48x + 4x = 52x

olur. Aylık abonelerin yıllık abonelere oranı ise

\frac{52x}{36x} = \frac{13}{9}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçtaki üye sayılarını belirleme

Toplam üye sayısı

100x

olsun. Bu durumda aylık aboneler

60x

, yıllık aboneler

40x

olur.

Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için toplam üye sayısına

100x

denilmiştir.

2

Bir ay sonraki üye değişimlerini hesaplama

Aylık abonelerden iptal edenler:

60x \times \%20 = 12x

. Kalan aylık aboneler:

60x - 12x = 48x

. Yıllık abonelerden aylık aboneliğe geçenler:

40x \times \%10 = 4x

. Kalan yıllık aboneler:

40x - 4x = 36x

.

Belirtilen yüzde oranlarına göre azalan ve yön değiştiren abone miktarlarını bulmak gerekir.

3

Son durumdaki abone sayılarını ve oranı bulma

Son durumda aylık abone sayısı:

48x + 4x = 52x

. Son durumda yıllık abone sayısı:

36x

. İstenen oran:

\frac{52x}{36x} = \frac{13}{9}

.

Yıllık abonelikten aylık aboneliğe geçenlerin aylık abonelere eklenip yıllık abonelerden çıkarılmasıyla elde edilen son değerlerin birbirine oranlanması gerekir.

Key Concept

Yüzde problemleri çözülürken temel alınan (payda) değerlerin doğru belirlenmesi ve miktarlar arasındaki geçişlerin denkleme doğru yansıtılması.

Question 242Question →

Bir restoranda iki kişilik ve dört kişilik olmak üzere toplam $36$ masa bulunmaktadır. Bu restorandaki tüm masalar tam kapasite dolu olduğunda toplam sandalye sayısı $112$ 'dir. Bir akşam bu restorandaki iki kişilik masaların bazılarından birer sandalye, dört kişilik masaların bazılarından ise ikişer sandalye kaldırılmıştır.

Son durumda restorandaki toplam sandalye sayısı $86$ 'ya düştüğüne göre, hiçbir sandalyesi kaldırılmayan masa sayısı en fazla kaç olabilir?

13

15

21

23

26

Show answer & explanation

Answer: $23$

Answer

Sandalyesi kald��rılmayan masa sayısının en fazla olabileceği değer

23

'tür.

Denklem sistemi çözüldüğünde restoranda

16

tane iki kişilik,

20

tane dört kişilik masa olduğu görülür. Kaldırılan

26

sandalyenin minimum sayıda masadan gelmesi için ikişer sandalye kaldırılan dört kişilik masa sayısı (

b

) olabildiğince büyük seçilmelidir. İki kişilik masa sayısının sınırlı olması ve masalardan kaldırılan sandalyelerin negatif olamaması (

a \geq 0

) şartıyla

b

en fazla

13

olabilir. Bu durumda

13

masadan sandalye kaldırılmış olur ve geriye sandalyesi kaldırılmayan en fazla

36 - 13 = 23

masa kalır.

Step-by-Step Solution

1

İki kişilik ve dört kişilik masa sayılarını bulmak için denklem sistemini kurun.

İki kişilik masa sayısı

x

, dört kişilik masa sayısı

y

olsun.

x + y = 36

ve

2x + 4y = 112

denklemleri elde edilir. Buradan

x = 16

ve

y = 20

bulunur.

Başlangıçtaki masa türlerinin sayılarını belirlemek için.

2

Kaldırılan sandalye sayısını hesaplayın.

Toplam kaldırılan sandalye sayısı

112 - 86 = 26

'dır.

Sandalyeleri kaldırılan masa sayıları arasındaki ilişkiyi bulmak için.

3

Sandalyeleri kaldırılan masalar için değişkenler tanımlayıp denklemi ve sınırları yazın.

Birer sandalyesi kaldırılan iki kişilik masa sayısı

a

, ikişer sandalyesi kaldırılan dört kişilik masa sayısı

b

olsun.

a + 2b = 26

denklemi kurulur. Sınırlar:

0 \leq a \leq 16

ve

0 \leq b \leq 20

olmalıdır.

Her masa türünden en fazla kaç tanesinden sandalye kaldırıldığını sınırlamak için.

4

Sandalyesi kaldırılmayan masa sayısını en fazla yapmak için kaldırılan masa sayısını en aza indirin.

Hiçbir sandalyesi kaldırılmayan masa sayısı

36 - (a + b)

ifadesi ile bulunur. Bu değerin en büyük olması için

a + b

toplamı en küçük olmalıdır.

a = 26 - 2b

yazılıp

a + b = 26 - b

elde edilir. Bu toplamı en küçük yapmak için

b

en büyük seçilmelidir.

a \geq 0 \implies 26 - 2b \geq 0 \implies b \leq 13

bulunur. En büyük

b = 13

için

a = 0

olur. Minimum

a + b = 13

bulunur.

Maksimum sandalyesi kaldırılmayan masa sayısına ulaşmak için.

5

Sandalyesi kaldırılmayan masa sayısını hesaplayın.

36 - 13 = 23

masa bulunur.

İstenen en büyük değere ulaşmak için.

Key Concept

Sayı problemlerinde çok değişkenli denklem kurma ve eşitsizlik sınırlarına göre en büyük/en küçük değer analizi yapma.

Alternative Method

Toplam sandalye sayısı

112

iken

86

'ya düştüğünden

26

sandalye kaldırılmıştır. Dört kişilik masalardan ikişer, iki kişilik masalardan ise birer sandalye kaldırıldığı için, her ikişer sandalye kaldırılan dört kişilik masa, iki kişilik masalardan birer sandalye kaldırılmasına kıyasla toplam kaldırılan masa sayısını azaltır. En az sayıda masadan sandalye kaldırmak için öncelikle dört kişilik masalardan ikişer sandalye kaldırırız.

26 / 2 = 13

tane dört kişilik masadan ikişer sandalye kaldırılırsa tam olarak

26

sandalye elde edilir ve bu durumda iki kişilik masalardan hiç sandalye kaldırılmamış olur (

a=0

). Böylece toplamda sadece

13

masadan sandalye kaldırılmış olur. Sandalyesi kaldırılmayan masa sayısı da en fazla

36 - 13 = 23

olur.

Estimated Time:2m 30s

Question 243Question →

Bir anne ile iki çocuğunun bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* İki çocuğun yaşları farkı $4$ 'tür.
* Annenin bugünkü yaşı, çocuklarının bugünkü yaşları toplamının $2$ katına eşittir.
* $6$ yıl sonra annenin yaşı, çocuklarının yaşları toplamından $10$ fazla olacaktır.

Buna göre, büyük çocuğun bugünkü yaşı kaçtır?

6

7

8

10

13

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Büyük çocuğun bugünkü yaşı 10'dur.

Büyük çocuğun bugünkü yaşı 10'dur. Küçük çocuğun yaşına

x

dersek, büyük çocuğun yaşı

x+4

olur. Çocukların bugünkü yaşları toplamı

2x+4

ve annenin bugünkü yaşı

4x+8

olarak bulunur. 6 yıl sonra annenin yaşı

4x+14

, çocukların yaşları toplamı ise

2x+16

olur. Bu durumda kurulan

4x+14 = 2x+16+10

denkleminden

x=6

elde edilir. Büyük çocuğun yaşı da

6+4=10

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Çocukların yaşlarını ve yaşları toplamını değişkenler cinsinden ifade edin.

Küçük çocuğun yaşı

x

ise, aralarındaki yaş farkı

4

olduğundan büyük çocuğun yaşı

x + 4

olur. Çocukların bugünkü yaşları toplamı

T = x + (x + 4) = 2x + 4

şeklinde yazılır.

Çocukların yaşlarını tek bir bilinmeyen cinsinden yazarak denklemi basitleştirmek gerekir.

2

Annenin bugünkü yaşını belirleyin.

Annenin bugünkü yaşı çocukların yaşları toplamının

2

katı olduğuna göre,

A = 2 \times (2x + 4) = 4x + 8

olur.

Annenin yaşını çocukların yaşları cinsinden ifade ederek denklem kurmaya hazır hale getirmek gerekir.

3

6

yıl sonraki yaş durumlarını belirleyin.

Annenin

6

yıl sonraki yaşı

4x + 8 + 6 = 4x + 14

olur. İki çocuğun her biri

6

yıl yaşlanacağı için, çocukların yaşları toplamı

2x + 4 + 12 = 2x + 16

olur.

Zaman geçtikçe gruptaki her bireyin yaşının geçen yıl sayısı kadar artacağını dikkate almak gerekir.

4

6

yıl sonraki yaş ilişkisini veren denklemi kurup çözün.

4x + 14 = (2x + 16) + 10 4x + 14 = 2x + 26 2x = 12 x = 6

(Küçük çocuğun bugünkü yaşı).

6

yıl sonra annenin yaşının, çocukların yaşları toplamından

10

fazla olması koşulunu matematiksel olarak ifade etmek gerekir.

5

Büyük çocuğun bugünkü yaşını hesaplayın.

Büyük çocuğun yaşı

x + 4 = 6 + 4 = 10

olarak bulunur.

Soru kökünde bizden büyük çocuğun bugünkü yaşı istendiği için bulduğumuz

x

değerine

4

eklememiz gerekir.

Key Concept

İleri zamanlardaki yaş hesaplamalarında gruptaki kişi sayısı kadar yaş artışının toplam yaşa yansıtılması ve sözel ifadelerin doğru denkleme dönüştürülmesi.

Question 244Question →

Bir çevrim içi eğitim platformunda, bir öğrenci izlediği her bir ders videosu için $20$ puan kazanmakta, izlemeden geçtiği her bir ders videosu için ise hesabından $5$ puan düşülmektedir.

Toplam $40$ videonun bulunduğu bu eğitim setindeki tüm videoları inceleyen bir öğrencinin hesabında dönem sonunda $500$ puan biriktiğine göre, bu öğrenci kaç ders videosunu izlemiştir?

12

20

25

28

30

Show answer & explanation

Answer: 28

Answer

Öğrenci 28 ders videosunu izlemiştir.

İzlenen video sayısına

x

ve izlenmeden geçilen video sayısına

y

dediğimizde,

x + y = 40

ve

20x - 5y = 500

denklemleri elde edilir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde

x = 28

olarak bulunur. Dolayısıyla doğru cevap 28'dir.

Step-by-Step Solution

1

İzlenen video sayısına

x

, izlenmeden geçilen video sayısına

y

diyerek toplam video sayısı üzerinden ilk denklemi kurun.

x + y = 40

Toplam video sayısı 40 olarak verilmiştir ve her video ya izlenmiş ya da izlenmeden geçilmiştir.

2

Kazanılan ve kaybedilen puanları kullanarak ikinci denklemi kurun.

20x - 5y = 500

Her izlenen video için 20 puan kazanılırken, her izlenmeden geçilen video için 5 puan kaybedilmektedir ve toplam puan 500'dür.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün. İkinci denklemi 5 ile sadeleştirip taraf tarafa toplayın.

4x - y = 100

elde edilir. Bu denklemi

x + y = 40

denklemi ile taraf tarafa toplarsak:

(4x - y) + (x + y) = 100 + 40 \implies 5x = 140 \implies x = 28

bulunur.

İzlenen video sayısını (

x

) bulmak için

y

değişkenini yok etme yöntemi uygulanır.

Key Concept

İki bilinmeyenli denklem kurma ve yok etme yöntemiyle çözme

Alternative Method

Tüm videoların izlendiği varsayılırsa

40 \times 20 = 800

puan kazanılırdı. Gerçekte kazanılan puan

500

olduğuna göre kaybedilen fark

800 - 500 = 300

puandır. İzlenen bir video yerine izlenmeyen bir video tercih edildiğinde

20 - (-5) = 25

puanlık bir azalma olacağından, izlenmeyen video sayısı

300 / 25 = 12

olur. Buradan izlenen video sayısı

40 - 12 = 28

olarak bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 245Question →

Bir elektrikli otomobil test sürüşünde, batarya verimliliğini ölçmek için iki aşamalı doğrusal bir pistte hareket etmektedir. Otomobil, pistin ilk $\frac{1}{3}$ 'lük kısmını saatte ortalama $v \text{ km}$ sabit hızla, kalan kısmını ise saatte ortalama $3v \text{ km}$ sabit hızla tamamlamıştır.

Bu test sürüşünün tamamında otomobilin ortalama hızı saatte $90 \text{ km}$ olduğuna göre, $v$ kaçtır?

30

45

50

60

75

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

Otomobilin ilk aşamadaki hızı olan v değeri 50'dir.

Toplam yol

3x

olarak belirlendiğinde, ilk bölüm

x

uzunluğunda ve seyahat süresi

\frac{x}{v}

olur. İkinci bölüm

2x

uzunluğunda ve seyahat süresi

\frac{2x}{3v}

olur. Toplam süre

t = \frac{5x}{3v}

olarak hesaplanır. Ortalama hız formülünden

90 = \frac{3x}{5x/3v} = \frac{9v}{5}

elde edilir ve buradan

v = 50

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Yolun bölümlerini belirleme

Pistin tamamına

3x

dersek, ilk bölüm

x

ve kalan bölüm

2x

uzunluğundadır.

Yolun

\frac{1}{3}

'ü gidildiğinde kalan kısmı bulmak ve işlemleri kolaylaştırmak için.

2

Aşamaların geçilme sürelerini yazma

İlk aşama için süre

t_1 = \frac{x}{v}

saat, ikinci aşama için süre

t_2 = \frac{2x}{3v}

saattir.

Zaman = Yol / Hız formülünü uygulayarak toplam süreyi bulmak amacıyla.

3

Toplam süreyi hesaplama

t_{\text{toplam}} = \frac{x}{v} + \frac{2x}{3v} = \frac{3x + 2x}{3v} = \frac{5x}{3v}

saattir.

Rasyonel ifadelerde paydaları

3v

paydasında eşitleyerek toplam zamanı tek bir ifadeyle göstermek için.

4

Ortalama hız formülünü kurma ve eşitleme

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} \Rightarrow 90 = \frac{3x}{\frac{5x}{3v}} \Rightarrow 90 = \frac{9v}{5}

elde edilir.

Ortalama hızın formüldeki tanımını uygulayıp verilen ortalama hıza eşitleyerek denklem elde etmek için.

5

Bilinmeyen v değerini çözme

90 = \frac{9v}{5} \Rightarrow 10 = \frac{v}{5} \Rightarrow v = 50

bulunur.

Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek aranan hız değerine ulaşmak için.

Key Concept

Ortalama hız, toplam gidilen yolun toplam geçen süreye bölünmesiyle hesaplanır (

V_{\text{ort}} = \frac{X_{\text{toplam}}}{t_{\text{toplam}}}

). Hızların aritmetik ortalaması genel olarak ortalama hızı vermez.

Question 246Question →

Bir e-ticaret sitesi, müşterilerine yapacakları alışverişlerde kullanmak üzere iki farklı indirim seçeneği sunmaktad��r:

* 1. Seçenek: Tüm alışveriş tutarına $\%15$ indirim uygulanacaktır.
* 2. Seçenek: $600\text{ TL}$ ve üzeri alışverişlerde, alışveriş tutarının sadece $600\text{ TL}$ 'yi aşan kısmına $\%45$ indirim uygulanacaktır.

Bu e-ticaret sitesinden alışveriş yapan bir müşterinin sepetindeki ürünlerin toplam tutarı $X\text{ TL}$ 'dir. Bu müşteri hangi seçeneği seçerse seçsin alacağı indirim tutarının aynı olacağını hesaplamıştır.

Buna göre, müşterinin sepetindeki ürünlerin toplam tutarı olan $X$ kaçtır?

450

750

900

1200

1800

Show answer & explanation

Answer: 900

Answer

Sepetteki ürünlerin toplam tutarı 900 TL'dir.

Müşterinin sepetindeki ürünlerin toplam tutarı olan

X\text{ TL}

için birinci seçenekte

\%15

indirim uygulandığında indirim miktarı

0{}15X

olur. İkinci seçenekte ise

600\text{ TL}

'nin üzerindeki kısım olan

(X - 600)\text{ TL}

için

\%45

indirim uygulanarak

0{}45(X - 600)

indirim elde edilir. Bu iki indirim miktarı birbirine eşitlendiğinde

0{}15X = 0{}45(X - 600)

denklemi elde edilir. Her iki taraf

0{}15

ile sadeleştirildiğinde

X = 3(X - 600) \implies X = 3X - 1800 \implies 2X = 1800 \implies X = 900

sonucuna ulaşılır. Bu nedenle, sepetin toplam tutarı 900 TL'dir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci seçenekten elde edilecek indirim miktarını belirten cebirsel ifadeyi yazın.

İndirim tutarı =

0{}15X

Birinci seçenekte tüm alışveriş tutarı olan

X\text{ TL}

üzerinden

\%15

indirim yapılmaktadır.

2

İkinci seçenekten elde edilecek indirim miktarını belirten cebirsel ifadeyi yazın.

İndirim tutarı =

0{}45(X - 600)

İkinci seçenekte yalnızca

600\text{ TL}

'yi aşan kısım olan

(X - 600)\text{ TL}

üzerinden

\%45

indirim yapılmaktadır.

3

Her iki seçenekten elde edilen indirim miktarlarını birbirine eşitleyerek denklemi kurun.

0{}15X = 0{}45(X - 600)

Müşterinin her iki seçenekte de alacağı indirim tutarının aynı olacağı belirtilmiştir.

4

Kurulan denklemi sadeleştirerek çözün.

X = 900

Denklemin her iki tarafı

0{}15

'e bölündüğünde

X = 3(X - 600) \implies X = 3X - 1800 \implies 2X = 1800 \implies X = 900

elde edilir.

Key Concept

Yüzde problemlerinde belirli bir eşik değeri aşan kısım üzerinden yüzde hesaplama ve cebirsel denklemler kurarak çözme.

Hints

1

İki seçenek arasındaki indirim miktarlarını ayrı ayrı

X

cinsinden ifade etmeye çalışın.

2

Birinci seçenekteki indirim

0{}15X

iken ikinci seçenekte indirim sadece

600\text{ TL}

'yi aşan kısma, yani

(X - 600)

tutarına uygulanacaktır.

Practice More

Benzer bir mantıkla, bu kez indirim oranları ve eşik değerleri farklı olan bir kâr-zarar veya indirim sorusu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternative Method

İndirim tutarlarını eşitlemek yerine, her iki durumda ödenecek net tutarları birbirine eşitleyerek de sonuca ulaşabilirsiniz:

X - 0{}15X = X - 0{}45(X - 600) \implies 0{}85X = 0{}55X + 270 \implies 0{}30X = 270 \implies X = 900\text{ TL}

.

Estimated Time:1m 30s

Question 247Question →

$A$ ve $B$ kentlerinden sırasıyla $V_A$ ve $V_B$ sabit hızlarıyla aynı anda birbirlerine doğru harekete başlayan iki araç, bir süre sonra $C$ noktasında karşılaşıyorlar.

Karşılaşma anından sonra;
- $A$ kentinden yola çıkan araç hızını %50 artırarak $C$ noktasından $B$ kentine 4 saatte ulaşıyor.
- $B$ kentinden yola çıkan araç hızını %50 artırarak $C$ noktasından $A$ kentine 9 saatte ulaşıyor.

Buna göre, bu iki araç harekete başladıktan kaç saat sonra karşılaşmıştır?

6

7,5

8

9

12

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

İki aracın harekete başladıktan sonra karşılaştığı süre 9 saattir.

Karşılaşma süresi olan

t_m

saat boyunca araçlar sırasıyla

d_1 = V_A \cdot t_m

ve

d_2 = V_B \cdot t_m

yollarını alırlar. Karşılaşmadan sonra hızlarını %50 artırdıklarında yeni hızları

1,5 V_A

ve

1,5 V_B

olur. Bu hızlarla kalan yolları sırasıyla 4 ve 9 saatte aldıklarına göre

d_2 = 1,5 V_A \cdot 4 = 6 V_A

ve

d_1 = 1,5 V_B \cdot 9 = 13,5 V_B

denklemleri elde edilir. Yol denklemlerini oranladığımızda

\frac{d_1}{d_2} = \frac{V_A}{V_B} = \frac{13,5 V_B}{6 V_A}

eşitliğinden hızların oranı

\frac{V_A}{V_B} = \frac{3}{2}

olarak bulunur. Bu oran ilk yol denkleminde yerine yazıldığında karşılaşma süresi

t_m = 9

saat olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Karşılaşma noktasına kadar olan hareketin modellenmesi

AC = d_1 = V_A \cdot t_m

ve

CB = d_2 = V_B \cdot t_m

yolları bulunur. Buradan yol oranları

\frac{d_1}{d_2} = \frac{V_A}{V_B}

eşitliğini verir.

Karşılaşma anına kadar geçen süre her iki araç için de ortaktır.

2

Karşılaşma sonrasındaki hareketin modellenmesi

Araçların yeni hızları

1,5 V_A

ve

1,5 V_B

olur. Kalan yollar için mesafeler sırasıyla

d_2 = 1,5 V_A \cdot 4 = 6 V_A

ve

d_1 = 1,5 V_B \cdot 9 = 13,5 V_B

şeklinde ifade edilir.

Hız %50 artırıldığında yeni hız eski hızın 1,5 katı olur.

3

Hız oranlar��nın belirlenmesi

\frac{d_1}{d_2} = \frac{V_A}{V_B} = \frac{13,5 V_B}{6 V_A}

denkleminden

6 V_A^2 = 13,5 V_B^2 \implies \frac{V_A^2}{V_B^2} = \frac{13,5}{6} = \frac{9}{4} \implies \frac{V_A}{V_B} = \frac{3}{2}

elde edilir.

Yol oranlarının eşitliği kullanılarak başlangıç hızlarının oranı bulunur.

4

Karşılaşma süresinin hesaplanması

d_1 = V_A \cdot t_m = 13,5 V_B \implies t_m = 13,5 \cdot \frac{V_B}{V_A} = 13,5 \cdot \frac{2}{3} = 9

saat olarak hesaplanır.

Bulunan hız oranı zaman denkleminde yerine yazılmıştır.

Key Concept

Hız, zaman ve yol arasındaki doğrusal ilişki ile hız değişimlerinin hareket sürelerine etkisi.

Alternative Method

Geometrik ortalama yöntemi kullanılabilir. Eğer araçlar hızlarını değiştirmeseydi, karşılaşma süresi kalan sürelerin geometrik ortalaması olurdu. Her iki araç da hızını eşit oranda (%50) artırdığı için süreler aynı oranda kısalmıştır. Dolayısıyla hızları artırılmasaydı yolları tamamlama süreleri

4 \times 1,5 = 6

saat ve

9 \times 1,5 = 13,5

saat olacaktı. Buradan karşılaşma süresi

t_m = \sqrt{6 \times 13,5} = \sqrt{81} = 9

saat olarak doğrudan bulunabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 248Question →

Bir lojistik firması A, B ve C tipi toplam $70$ adet konteyneri bir kargo gemisine yükleyecektir. Bu konteynerlerin ağırlıkları ve sayılarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A, B ve C tipi konteynerlerin her birinin ağırlığı sırasıyla $10$ ton, $15$ ton ve $25$ tondur.
* Gemideki A ve B tipi konteynerlerin toplam ağırlığı, C tipi konteynerlerin toplam ağırlığına eşittir.
* Gemideki B tipi konteynerlerin sayısı, A tipi konteynerlerin sayısının $3$ katından $5$ fazladır.

Buna göre, gemiye yüklenen C tipi konteynerlerin sayısı kaçtır?

15

20

25

30

35

Show answer & explanation

Answer: $25$

Answer

Gemiye yüklenen C tipi konteynerlerin sayısı 25'tir.

Doğru yanıt olan 25 değerine ulaşmak için konteyner adetleri

a

,

b

ve

c

olarak tanımlanır. Toplam adet denklemi

a + b + c = 70

ve adetler arası ilişki

b = 3a + 5

kullanılarak

c = 65 - 4a

elde edilir. Ağırlıkların dengede olması koşulu olan

10a + 15b = 25c

ifadesi

2a + 3b = 5c

şeklinde sadeleştirilir. Bu denklemde

b

ve

c

değerleri

a

türünden yazılarak

a = 10

bulunur. Buradan da C tipi konteyner sayısı

c = 65 - 4(10) = 25

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Konteyner sayılarını değişkenlerle ifade ederek toplam konteyner sayısı denklemini kurmak.

A, B ve C tipi konteynerlerin sayıları sırasıyla

a

,

b

ve

c

olsun. Toplam konteyner sayısı:

a + b + c = 70

olur.

Soruda verilen toplam konteyner sayısını matematiksel olarak ifade etmek amacıyla bu adım uygulanır.

2

B tipi konteyner sayısı ile A tipi konteyner sayısı arasındaki ilişkiyi yazmak ve toplam sayısı denkleminde yerine koymak.

b = 3a + 5

eşitliği elde edilir. Bu ifadeyi toplam konteyner sayısı denkleminde yerine yazarsak:

a + (3a + 5) + c = 70 \implies 4a + c = 65 \implies c = 65 - 4a

elde edilir.

Değişken sayısını azaltarak tek bir değişken türünden (örneğin

a

cinsinden) ifadeler bulmak için bu işlem yapılır.

3

Konteynerlerin ağırlık ilişkisini kullanarak ikinci denklemi kurmak.

A, B ve C tipi konteynerlerin toplam ağırlıkları sırasıyla

10a

,

15b

ve

25c

tondur. Ağırlık eşitliği:

10a + 15b = 25c

olur. Her iki tarafı

5

ile sadeleştirirsek

2a + 3b = 5c

denklemi elde edilir.

Soruda verilen ağırlık dengesi koşulunu matematiksel modele dönüştürmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

4

Elde edilen

b = 3a + 5

ve

c = 65 - 4a

ifadelerini ağırlık denkleminde yerine yazarak

a

değerini çözmek.

2a + 3(3a + 5) = 5(65 - 4a) \implies 2a + 9a + 15 = 325 - 20a \implies 11a + 15 = 325 - 20a \implies 31a = 310 \implies a = 10

bulunur.

Bilinmeyen katsayıları bulup konteyner sayılarına ulaşmak için bu denklem çözülür.

5

Bulunan

a

değerini kullanarak C tipi konteyner sayısını (

c

) hesaplamak.

c = 65 - 4a

denkleminde

a = 10

yazılırsa,

c = 65 - 4(10) = 65 - 40 = 25

adet C tipi konteyner olduğu bulunur.

Soruda bizden istenen C tipi konteyner sayısına ulaşmak amacıyla bu hesaplama yapılır.

Key Concept

Sayı Problemlerinde Denklem Kurma ve Çok Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözümü

Question 249Question →

Deniz ve Eylül adındaki iki çalışma arkadaşının bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Deniz'in bugünkü yaşı, Eylül'ün bugünkü yaşından $6$ fazladır.
* $4$ yıl sonra Deniz'in yaşı, Eylül'ün $2$ yıl önceki yaşının $2$ katı olacaktır.

Buna göre, Deniz'in bugünkü yaşı kaçtır?

12

14

20

16

18

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Deniz'in bugünkü yaşı 20'dir.

Deniz'in bugünkü yaşı

D

ve Eylül'ün bugünkü yaşı

E

olsun. Soruda verilen bilgilere göre

D = E + 6

olur.

4

yıl sonra Deniz'in yaşı

D+4

, Eylül'ün

2

yıl önceki yaşı ise

E-2

olacaktır. Bu durumda kurulan

D+4 = 2(E-2)

denkleminde

D

yerine

E+6

yazılırsa,

E+10 = 2E-4

elde edilir. Buradan Eylül'ün bugünkü yaşı

E = 14

ve Deniz'in bugünkü yaşı

D = 14 + 6 = 20

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin tanımlanması ve ilk denklemin kurulması

Deniz'in bugünkü yaşı

D

, Eylül'ün bugünkü yaşı

E

olsun. Yaşları farkı 6 olduğuna ve Deniz daha büyük olduğuna göre

D = E + 6

yazılır.

Kişilerin bugünkü yaşları arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade etmek için.

2

Zaman geçişine göre yaşların ifade edilmesi ve ana denklemin kurulması

Deniz'in 4 yıl sonraki yaşı

D + 4

, Eylül'ün 2 yıl önceki yaşı

E - 2

olur. Verilen koşula göre

D + 4 = 2(E - 2)

denklemi elde edilir.

Soruda verilen zaman geçişli yaş ilişkisini denkleme dökmek için.

3

Denklemin çözülmesi ve Eylül'ün yaşının bulunması

Birinci denklem ikinci denklemde yerine yazılırsa:

(E + 6) + 4 = 2(E - 2) \implies E + 10 = 2E - 4 \implies E = 14

bulunur.

Eylül'ün bugünkü yaşını hesaplamak için.

4

Deniz'in yaşının hesaplanması

D = 14 + 6 = 20

elde edilir.

Soruda istenen Deniz'in bugünkü yaşını bulmak için.

Key Concept

Yaş problemlerinde zaman geçişinin (

n

yıl önce/

n

yıl sonra) tüm kişilerin yaşlarına aynı şekilde etki etmesi ve iki kişinin yaş farkının zamanla değişmemesi kuralı.

Question 250Question →

Bir ilaç araştırma laboratuvarı, yeni sentezlediği bir etken maddenin $\frac{1}{3}$ 'ini birinci aşama klinik testleri için ayırmıştır. Kalan etken maddenin $\frac{3}{5}$ 'ünü ikinci aşama klinik testleri için, geriye kalan etken maddenin ise $\frac{1}{4}$ 'ini kalite kontrol testleri için harcamıştır. Laboratuvarın elinde kalite kontrol testlerinden sonra $90$ gram etken madde kaldığına göre, birinci aşama klinik testleri için ayrılan etken madde miktarı kaç gramdır?

90

100

150

300

450

Show answer & explanation

Answer: 150

Answer

Birinci aşama klinik testleri için ayrılan etken madde miktarı 150 gramdır.

Sorudaki aşamalar sırasıyla uygulandığında, birinci aşamadan sonra kalan miktar

\frac{2}{3}X

, ikinci aşamadan sonra kalan miktar

\frac{4}{15}X

ve kalite kontrol testinden sonra kalan miktar

\frac{1}{5}X

olarak elde edilir. Son kalan miktar 90 grama eşitlendiğinde toplam etken madde miktarı 450 gram bulunur. Birinci aşama için bu miktarın

\frac{1}{3}

'i ayrıldığından, doğru cevap 150 gramdır.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçtaki toplam etken madde miktarını temsil edecek bir değişken belirlenir.

Toplam etken madde miktarı

X

olsun.

Hesaplamaları kolaylaştırmak için bilinmeyene bir değişken atanmalıdır.

2

Birinci aşama klinik testleri için ayrılan miktar ve kalan miktar hesaplanır.

Birinci aşama için ayrılan:

\frac{1}{3}X

, kalan:

X - \frac{1}{3}X = \frac{2}{3}X

.

Sonraki aşamalar kalan miktar üzerinden hesaplanacaktır.

3

İkinci aşama klinik testleri için ayrılan miktar ve kalan miktar hesaplanır.

İkinci aşama için ayrılan:

\frac{3}{5} \times \frac{2}{3}X = \frac{2}{5}X

, kalan:

\frac{2}{3}X - \frac{2}{5}X = \frac{4}{15}X

.

İkinci aşamada harcanan miktar kalan miktarın

\frac{3}{5}

'üdür.

4

Kalite kontrol testleri için ayrılan miktar ve en son kalan miktar hesaplanır.

Kalite kontrol için ayrılan:

\frac{1}{4} \times \frac{4}{15}X = \frac{1}{15}X

, en son kalan:

\frac{4}{15}X - \frac{1}{15}X = \frac{3}{15}X = \frac{1}{5}X

.

Kalite kontrol testi için kalan miktarın

\frac{1}{4}

'i kullanılmıştır.

5

En son kalan miktar 90 grama eşitlenerek toplam etken madde miktarı (

X

) bulunur.

\frac{1}{5}X = 90 \implies X = 450

gram.

Soruda son kalan miktarın 90 gram olduğu belirtilmiştir.

6

Birinci aşama klinik testleri için ayrılan etken madde miktarı hesaplanır.

\frac{1}{3}X = \frac{1}{3} \times 450 = 150

gram.

Soruda birinci aşama testleri için ayrılan miktar istenmektedir.

Key Concept

Kesir Problemleri

Question 251Question →

Bir kargo firması, hasarsız teslim ettiği her bir küçük paket için $15$ TL, her bir büyük paket için ise $25$ TL taşıma ücreti almaktadır. Taşıma sırasında hasar gören her bir küçük paket için müşteriye $10$ TL, hasar gören her bir büyük paket için ise $20$ TL tazminat ödemekte ve bu hasarlı paketler için taşıma ücreti almamaktadır.

Bu kargo firmasının toplam $60$ paket taşıdığı bir günde; $5$ küçük paket ve $3$ büyük paket hasar görmüş, firmanın gün sonundaki toplam geliri ise $900$ TL olmuştur.

Buna göre, kargo firmasının hasarsız teslim ettiği küçük paket sayısı kaçtır?

23

26

29

34

44

Show answer & explanation

Answer: 29

Answer

Hasarsız teslim edilen küçük paket sayısı

29

'dur.

Hasarsız küçük paket sayısına

x - 5

, hasarsız büyük paket sayısına

57 - x

denildiğinde; hasarsız paketlerden kazanılan toplam tutardan hasarlı paketler için ödenen tazminatlar çıkarılarak kurulan denklem çözüldüğünde toplam küçük paket sayısı

34

bulunur. Buradan hasarsız teslim edilen küçük paket sayısı

34 - 5 = 29

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Taşınan toplam küçük paket sayısına

x

diyelim. Toplam paket sayısı

60

olduğuna göre, taşınan büyük paket sayısı

60 - x

olur.

Küçük paket sayısı:

x

, Büyük paket sayısı:

60 - x

Bilinmeyenleri tek bir değişken cinsinden ifade ederek denklem kurmayı kolaylaştırmak.

2

Hasarlı paket sayılarını kullanarak hasarsız teslim edilen paket sayılarını belirleyelim.

5

küçük paket ve

3

büyük paket hasar gördüğüne göre, hasarsız teslim edilen küçük paket sayısı

x - 5

, hasarsız teslim edilen büyük paket sayısı ise

(60 - x) - 3 = 57 - x

olur.

Hasarsız küçük paket:

x - 5

, Hasarsız büyük paket:

57 - x

Gelir hesaplamasında sadece hasarsız paketlerden taşıma ücreti alınacağını dikkate almak.

3

Firmanın elde ettiği toplam geliri ifade eden denklemi kuralım. Hasarsız paketlerden alınan ücretlerden, hasarlı paketler için ödenen tazminatları çıkaralım:

15(x - 5) - 10 \times 5 + 25(57 - x) - 20 \times 3 = 900

15x - 75 - 50 + 1425 - 25x - 60 = 900

Soruda verilen toplam gelirin

900

TL olduğu bilgisini matematiksel olarak eşitlemek.

4

Denklemi düzenleyerek

x

değerini bulalım.

-10x + 1240 = 900 \implies 10x = 340 \implies x = 34

Toplam küçük paket sayısını elde etmek.

5

Bizden hasarsız teslim edilen küçük paket sayısı istendiği için

x - 5

ifadesinin değerini hesaplayalım.

34 - 5 = 29

Soruda sorulan nihai değer olan hasarsız küçük paket sayısını bulmak.

Key Concept

Sözel bir problemi doğrusal denklem kurarak ve çözerek modelleme.

Question 252Question →

Bir metro istasyonundaki bilet otomatı yalnızca $5$ TL, $10$ TL ve $20$ TL'lik kâğıt paraları kabul etmektedir. Bu otomattan bilet alan $45$ yolcunun her biri otomata yalnızca birer adet kâğıt para atmıştır. Otomata atılan paraların toplam tutarı $475$ TL'dir. Otomata $10$ TL'lik para atan yolcu sayısı, $20$ TL'lik para atan yolcu sayısının $2$ katı olduğuna göre, otomata $5$ TL'lik para atan yolcu sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

10

20

15

25

30

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

5 TL'lik banknot atan yolcu sayısı 15'tir.

Doğru cevap olan 15 değeri, yolcu sayısı (

x + y + z = 45

) ve toplam tutar (

5x + 10y + 20z = 475

) denklemleri ile

y = 2z

ilişkisinin ortak çözülmesiyle elde edilir. Bu çözüm sonucunda

z = 10

,

y = 20

ve

x = 15

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Bilinmeyenleri tanımlayarak yolcu sayısı ve toplam tutar denklemlerini yazın.

5 TL atan yolcu sayısı

x

, 10 TL atan yolcu sayısı

y

ve 20 TL atan yolcu sayısı

z

olsun. Bu durumda

x + y + z = 45

ve

5x + 10y + 20z = 475

olur.

Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel eşitliklere dönüştürmek için.

2

Tutar denklemini sadeleştirin.

5x + 10y + 20z = 475

denkleminin her iki tarafı 5'e bölündüğünde

x + 2y + 4z = 95

denklemi elde edilir.

Daha küçük sayılarla işlem yaparak hata yapma olasılığını azaltmak için.

3

10 TL'lik ve 20 TL'lik banknot atan yolcu sayıları arasındaki ilişkiyi denklemlere uygulayın.

y = 2z

olduğu verilmiştir. Yolcu sayısı denkleminde

y

yerine

2z

yazılırsa

x + 3z = 45

elde edilir. Sadeleştirilmiş tutar denkleminde

y

yerine

2z

yazılırsa

x + 2(2z) + 4z = 95 \implies x + 8z = 95

elde edilir.

Değişken sayısını azaltarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak için.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün.

x + 8z = 95

denkleminden

x + 3z = 45

denklemi taraf tarafa çıkarılırsa

5z = 50 \implies z = 10

bulunur. Buradan

y = 2z = 20

elde edilir.

Değişkenlerden birinin değerini bulmak ve diğer ilişkili değişkeni hesaplamak için.

5

5 TL'lik banknot atan yolcu sayısını hesaplayın.

x + y + z = 45 \implies x + 20 + 10 = 45 \implies x = 15

olarak bulunur.

Soruda bizden istenen hedef değişkene ulaşmak için.

Key Concept

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri doğrusal denklem sistemlerine dönüştürme ve yok etme/yerine koyma yöntemleriyle çözme.

Question 253Question →

Bir tarihi eserin restorasyon projesinde çalışan Ahmet, Bülent ve Cengiz isimli üç ustanın çalışma hızları ve çalışma düzenleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Ahmet'in çalışma hızı Bülent'in çalışma hızının $2$ katı, Bülent'in çalışma hızı ise Cengiz'in çalışma hızının $3$ katıdır.
* Ustaların her biri $3$ saat kesintisiz çalıştıktan sonra $1$ saat mola vermektedir.
* Bu üç usta birlikte işe başladıktan sonra, her birinin fiilen çalıştığı süre (molalar hariç) $18$ saat olduğunda restorasyon işi tamamlanmıştır.

Buna göre, aynı restorasyon işini Bülent tek başına yapmaya başlasaydı, molalar dahil olmak üzere bu işi toplam kaç saatte bitirirdi?

60

71

79

80

143

Show answer & explanation

Answer: $79$

Answer

Bülent aynı işi molalar dahil olmak üzere toplam

79

saatte bitirirdi.

Bülent'in işi tek başına tamamlaması için gereken aktif çalışma süresi

60

saattir. Bülent, her

3

saatlik çalışmanın ardından

1

saat mola verdiğinden, bu çalışma düzeni

4

saatlik periyotlardan oluşur.

60

saatlik aktif çalışma

20

periyoda denk gelir. İlk

19

periyotta hem çalışma hem mola süreleri tam olarak yaşanır ve

19 \times 4 = 76

saat geçer.

20

. periyotta ise Bülent

3

saat çalışarak işi tamamlar ve iş bittiği için son mola süresi olan

1

saat toplam süreye eklenmez. Böylece iş toplam

79

saatte biter.

Step-by-Step Solution

1

Ustaların çalışma hızlarını ortak bir değişken (

v

) cinsinden belirleme.

Cengiz'in çalışma hızı

v

ise Bülent'in hızı

3v

, Ahmet'in hızı ise

2 \times 3v = 6v

olur.

Hızlar arasındaki oranları tek bir bilinmeyenle ifade etmek için.

2

Üç ustanın birlikte çalıştıkları

1

saatlik fiili sürede yaptıkları toplam iş miktarını ve restorasyon işinin tamamını bulma.

1

saatte yapılan iş

6v + 3v + v = 10v

birimdir. Her bir usta

18

saat fiilen çalıştığı için toplam iş miktarı

18 \times 10v = 180v

birim olur.

İ��in tamamının miktarını belirlemek için.

3

Bülent'in bu işi tek başına bitirmesi için gereken fiili (aktif) çalışma süresini hesaplama.

Fiili çalışma süresi

\frac{180v}{3v} = 60

saat olarak bulunur.

Bülent'in kendi hızıyla toplam işi tamamlamak için ihtiyaç duyduğu aktif süreyi bulmak için.

4

Bülent'in çalışma ve mola düzenine göre molalar dahil toplam süresini hesaplama.

60

saat aktif çalışma için

\frac{60}{3} = 20

çalışma periyodu gerekir. İlk

19

periyot (çalışma + mola)

19 \times 4 = 76

saat sürer.

20

. periyotta sadece

3

saat çalışılarak iş bitirileceği için son mola verilmez. Toplam süre

76 + 3 = 79

saattir.

İş tamamlandığı an son mola süresinin hesaba katılmaması gerektiğini fark ederek gerçek süreyi bulmak için.

Key Concept

İşçi problemlerinde birim zamanda yapılan iş miktarlarının oranlanması ve periyodik çalışma düzenlerinde son mola süresinin hesaba katılmaması.

Question 254Question →

Çevre uzunluğu $600\text{ metre}$ olan dairesel bir parkurda, aynı noktadan aynı anda ve aynı yönde bir koşucu ile bir bisikletli harekete başlıyor. Koşucu saniyede sabit $4\text{ metre}$ hızla koşmaktadır. Bisikletli ise ilk $10\text{ saniye}$ boyunca saniyede sabit $8\text{ metre}$ hızla gitmekte, sonraki her $10\text{ saniyelik}$ zaman diliminde ise hızını saniyede $2\text{ metre}$ artırarak yoluna devam etmektedir.

Buna göre, bisikletli ile koşucu ilk kez karşılaştıklarında bisikletli toplam kaç metre yol almıştır?

600

780

840

855

860

Show answer & explanation

Answer: 855

Answer

Bisikletli ile koşucu ilk kez karşılaştıklarında bisikletli toplam 855 metre yol almıştır.

Dairesel pist üzerinde aynı noktadan aynı yönde harekete başlayan iki aracın karşılaşması için hızlı olanın yavaş olana tam bir tur (600 metre) fark atması gerekir. Kümülatif farklar hesaplandığında 60. saniyede fark 540 metreye ulaşır. Kalan 60 metrelik fark, bu aralıktaki hız farkı olan saniyede 16 metre ile 3,75 saniyede kapatılır. Böylece bisikletli toplam 63,75 saniye hareket ederek 855 metre yol almış olur.

Step-by-Step Solution

1

Koşucu ve bisikletlinin zamana göre aldıkları yolları ve aralarındaki mesafe farkını belirlemek amacıyla 10 saniyelik periyotları inceleyelim.

10'ar saniyelik aralıklarla hızlar ve mesafeler belirlenir.

Dairesel pistte aynı yöne giden iki aracın ilk kez karşılaşması için aralarındaki yol farkının pistin çevresine (600 metre) eşit olması gerekir.

2

Her periyotta bisikletlinin ve koşucunun aldığı yolları ve oluşan net yol farkını hesaplayalım:
- 0-10 sn: Bisikletli

10 \times 8 = 80\text{ m}

, Koşucu

10 \times 4 = 40\text{ m}

, Fark =

40\text{ m}

.
- 10-20 sn: Bisikletli hızı

10\text{ m/sn}

. Alınan yol

100\text{ m}

, Koşucu

40\text{ m}

, Fark =

60\text{ m}

(Toplam fark:

100\text{ m}

).
- 20-30 sn: Bisikletli hızı

12\text{ m/sn}

. Alınan yol

120\text{ m}

, Koşucu

40\text{ m}

, Fark =

80\text{ m}

(Toplam fark:

180\text{ m}

).
- 30-40 sn: Bisikletli hızı

14\text{ m/sn}

. Alınan yol

140\text{ m}

, Koşucu

40\text{ m}

, Fark =

100\text{ m}

(Toplam fark:

280\text{ m}

).
- 40-50 sn: Bisikletli hızı

16\text{ m/sn}

. Alınan yol

160\text{ m}

, Koşucu

40\text{ m}

, Fark =

120\text{ m}

(Toplam fark:

400\text{ m}

).
- 50-60 sn: Bisikletli hızı

18\text{ m/sn}

. Alınan yol

180\text{ m}

, Koşucu

40\text{ m}

, Fark =

140\text{ m}

(Toplam fark:

540\text{ m}

)

60. saniye sonunda bisikletli toplam

780\text{ m}

yol almış ve koşucu ile arasındaki mesafe farkı

540\text{ metre}

olmuştur.

Kümülatif farkın hangi 10 saniyelik dilimde 600 metreye ulaşacağını bulmak.

3

Hedeflenen 600 metrelik farka ulaşmak için kalan 60 metrelik farkın 60. saniyeden sonra ka�� saniyede tamamlanacağını bulalım. 60-70 saniye aralığında bisikletlinin hızı

20\text{ m/sn}

, koşucunun hızı ise sabit

4\text{ m/sn}

'dir. Bu aralıktaki saniyelik fark açma hızı (ba��ıl hız)

20 - 4 = 16\text{ m/sn}

olur. Kalan 60 metrelik fark için gereken süre:

t_0 = 60 / 16 = 3,75\text{ saniye}

.

Karşılaşma toplam

60 + 3,75 = 63,75\text{ saniye}

sonra gerçekleşir.

Buluşma anındaki toplam süreyi belirlemek.

4

Bisikletlinin bu sürede aldığı toplam yolu hesaplayalım: İlk 60 saniyede alınan yol

780\text{ metre}

idi. Son 3,75 saniyede saniyede

20\text{ metre}

hızla alınan yol:

20 \times 3,75 = 75\text{ metre}

. Toplam yol:

780 + 75 = 855\text{ metre}

.

Bisikletlinin aldığı toplam yol 855 metredir.

Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak.

Key Concept

Dairesel pist hareket problemlerinde bağıl hız ve kümülatif mesafe farkı hesabı.

Hints

1

İki hareketlinin dairesel bir pistte aynı noktadan aynı yöne doğru giderek karşılaşması için hızlı olanın yavaş olana 1 tur fark atması (mesafe farkının 600 metre olması) gerekir.

2

İlk 60 saniyedeki 10'ar saniyelik periyotları ayrı ayrı hesaplayarak 60. saniye sonundaki toplam mesafe farkını bulun. Bu değerin 600 metreden az ama 600'e çok yakın olduğunu göreceksiniz.

3

60. saniyede fark 540 metredir. Kalan 60 metrelik farkı kapatmak için 60-70 saniye aralığındaki bağıl hızı (20 - 4 = 16 m/sn) kullanarak ek süreyi bulun.

Practice More

Hızların zıt yönlü olması veya dairesel pist yerine doğrusal bir hatta belirli sürelerle hız artırma senaryoları içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Her 10 saniyelik periyot için bağıl hızları doğrudan yazabiliriz: Hız farkları sırasıyla 4, 6, 8, 10, 12, 14 m/sn'dir. Her periyotta açılan farklar sırasıyla 40, 60, 80, 100, 120, 140 metredir. Toplam fark 540 metredir. 60. saniyeden sonraki hız farkı 16 m/sn olduğundan, kalan 60 metrelik fark 60/16 = 3,75 saniyede kapanır. Buradan bisikletlinin toplam aldığı yol 780 + 3,75 * 20 = 855 metre olarak pratikçe bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 255Question →

Bir anne ile oğlunun doğum yılları sırasıyla $19ab$ ve $20ba$ olmak üzere, $2026$ yılında annenin yaşı oğlunun yaşının $4$ katından $7$ fazladır. Buna göre, oğlu doğduğunda anne kaç yaşındaydı?

20

24

28

30

35

Show answer & explanation

Answer: 28

Answer

Oğlu doğduğunda annenin yaşı 28'dir.

Doğru cevap olan yaş farkı seçeneği, annenin ve oğlunun doğum yıllarının basamak analizinden elde edilen denklemin çözülmesiyle bulunur. Bulunan rakamlar

a=9

ve

b=1

olduğundan, anne 1991, oğlu 2019 doğumludur. Oğlu doğduğunda annenin yaşı

2019 - 1991 = 28

olur.

Step-by-Step Solution

1

Annenin ve oğlunun doğum yılları sırasıyla

19ab

ve

20ba

olarak verilmiştir.

2026

yılındaki yaşlarını belirlemek için doğum yıllarını basamaklarına çözümleyerek çıkarma işlemi yaparız.

Annenin yaşı:

2026 - (1900 + 10a + b) = 126 - 10a - b

Oğlunun yaşı:

2026 - (2000 + 10b + a) = 26 - a - 10b

olarak bulunur.

Kişilerin belirli bir yıldaki yaşları, o yıldan doğum yıllarının çıkarılmasıyla elde edilir.

2

2026

yılında annenin yaşının, oğlunun yaşının

4

katından

7

fazla olduğunu belirten denklemi kurup düzenleriz.

126 - 10a - b = 4(26 - a - 10b) + 7 \implies 15 + 39b = 6a

denklemi elde edilir.

Soruda verilen yaş ilişkisini cebirsel olarak ifade etmek için denklem kurulur.

3

a

ve

b

birer rakam olduğu için

15 + 39b = 6a

denklemini sağlayan rakam değerlerini buluruz.

b = 1

için

15 + 39 = 54 = 6a \implies a = 9

bulunur.

b \ge 2

için

6a \le 54

koşulu sağlanamaz. Dolayısıyla tek çözüm

a = 9

ve

b = 1

dir.

Bilinmeyenlerin rakam olma özelliğinden yararlanarak denklemin tekil çözümünü buluruz.

4

Bulduğumuz rakamlarla doğum yıllarını belirler ve oğlu doğduğunda annenin kaç yaşında olduğunu hesaplarız.

Annenin doğum yılı

1991

, oğlunun doğum yılı

2019

'dur. Oğlu doğduğunda annenin yaşı

2019 - 1991 = 28

olarak hesaplanır.

İki kişinin doğum yılları arasındaki fark, birinin doğduğu andaki diğerinin yaşını verir.

Key Concept

Yaş Problemleri ve Basamak Çözümleme

Estimated Time:2m 30s

Question 256Question →

Bir tüccar, elindeki ürünlerin $\%40$ 'ını $\%50$ kârla satmıştır. Daha sonra kalan ürünlerin $\%50$ 'sini $\%10$ zararla satan bu tüccar, geriye kalan tüm ürünleri ilk satış fiyatı üzerinden yüzde kaç indirimle satarsa tüm satıştan elde ettiği toplam kâr $\%23$ olur?

15

20

25

30

35

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Geriye kalan tüm ürünlerin ilk satış fiyatı üzerinden %20 indirimle satılması durumunda toplam kâr %23 olur.

Toplam ciro hedefi olan 12300 TL'ye ulaşmak için son 30 ürünün tanesi 120 TL'den satılmalıdır. İlk satış fiyatı 150 TL olduğuna göre, yapılan indirim miktarı 30 TL'dir. Bu indirim miktarının ilk satış fiyatına (150 TL) oranı %20 olduğundan doğru cevaba ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kolay hesaplama yapmak için toplam ürün miktarını ve birim maliyeti belirleyin.

Toplam ürün miktarı

100

adet ve birim maliyet

100\text{ TL}

kabul edilirse, toplam maliyet

100 \times 100 = 10000\text{ TL}

olur.

Yüzdelik hesaplamaları kolayca tam sayılara dönüştürerek işlem hatası riskini azaltmak amaçlanmıştır.

2

İlk iki satış aşamasındaki ürün adetlerini ve bu satışlardan elde edilen gelirleri bulun.

İlk satış:

\%40

'ı (

40

adet)

\%50

kârla (

150\text{ TL}

'den) satılır:

40 \times 150 = 6000\text{ TL}

. İkinci satış: Kalan

60

ürünün

\%50

'si (

30

adet)

\%10

zararla (

90\text{ TL}

'den) satılır:

30 \times 90 = 2700\text{ TL}

. Toplam elde edilen ara gelir:

6000 + 2700 = 8700\text{ TL}

olur.

Son aşamadaki ürünlerin satışından elde edilmesi gereken net geliri bulmak için ön aşamalardaki toplam geliri hesaplamak gerekir.

3

Toplam kâr hedefi doğrultusunda geriye kalan ürünlerin satılması gereken birim fiyatı hesaplayın.

Tüm satıştan hedeflenen toplam kâr

\%23

olduğundan, toplam ciro

10000 \times 1,23 = 12300\text{ TL}

olmalıdır. Son satıştan elde edilmesi gereken gelir

12300 - 8700 = 3600\text{ TL}

'dir. Geriye kalan

30

ürünün birim satış fiyatı ise

3600 / 30 = 120\text{ TL}

olmalıdır.

Genel kâr hedefini tutturmak için kalan ürünlerin satılması gereken fiyatı bulmak gerekir.

4

Son satış fiyatındaki indirim oranını ilk satış fiyatı üzerinden hesaplayın.

İlk satış fiyatı

150\text{ TL}

, son satış fiyatı ise

120\text{ TL}

'dir. Yapılan indirim miktarı

150 - 120 = 30\text{ TL}

'dir. İndirim oranı ise

\frac{30}{150} \times 100 = \%20

olarak bulunur.

Soruda indirim oranının ilk satış fiyatı temel alınarak hesaplanması istendiği için oranlama ilk fiyata göre yapılır.

Key Concept

Kar ve Zarar Problemleri

Alternative Method

Soruyu oranlar üzerinden de çözebiliriz. Ürünlerin %40'ı 0,4; kalan 0,6'nın %50'si 0,3; geriye kalan ise 0,3 ağırlığa sahiptir. Denklem:

0,4 \times 1,5 + 0,3 \times 0,9 + 0,3 \times x = 1,23

şeklinde kurulur. Buradan

0,6 + 0,27 + 0,3x = 1,23 \implies 0,87 + 0,3x = 1,23 \implies 0,3x = 0,36 \implies x = 1,20

bulunur. İlk satış fiyatı 1,5 olduğuna göre indirim oranı:

\frac{1,5 - 1,2}{1,5} = \frac{0,3}{1,5} = \%20

olur.

Estimated Time:2m 30s

Question 257Question →

Bir atölyede çalışan usta, kalfa ve çırağın bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Kalfanın bugünkü yaşı, çırağın bugünkü yaşının $2$ katıdır.
* Ustanın $5$ yıl sonraki yaşı, kalfanın $5$ yıl önceki yaşının $3$ katına eşit olacaktır.
* Çırak kalfanın bugünkü yaşına geldiğinde ustanın yaşı, çırağın o günkü yaşının $2$ katından $10$ fazla olacaktır.

Buna göre, ustanın bugünkü yaşı kaçtır?

25

40

50

55

70

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Soruda verilen bilgilerin doğru denklemlerle çözülmesiyle ustanın bugünkü yaşı 40 olarak bulunur.

Ustanın bugünkü yaşının 40 olması, soruda verilen tüm koşulları doğrulamaktadır. Kalfa 20 ve çırak 10 yaşındayken, 5 yıl sonra usta 45, kalfa 5 yıl önce 15 yaşında olur ve 45 sayısı 15'in 3 katıdır. Ayrıca çırak kalfanın yaşına (20 yaşına) geldiğinde 10 yıl geçer ve usta 50 yaşında olur; bu da çırağın yaşının (20) 2 katından 10 fazladır.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin tanımlanması ve ilk oranın belirlenmesi

Çırağın bugünkü yaşına

C

, kalfanın bugünkü yaşına

K

, ustanın bugünkü yaşına

U

diyelim. Birinci koşula göre

K = 2C

olur.

Kişilerin yaşları arasındaki matematiksel ilişkileri kurabilmek amacıyla değişken ataması yapılır.

2

İkinci koşula ait denklemin kurulması

U + 5 = 3(K - 5) \implies U + 5 = 3(2C - 5) \implies U = 6C - 20

elde edilir.

Usta ile kalfanın geçmiş ve gelecekteki yaş ilişkisi çırak değişkeni (

C

) cinsinden ifade edilir.

3

Üçüncü koşula ait denklemin kurulması

Çırağın kalfanın yaşına gelmesi için

K - C = 2C - C = C

yıl geçmelidir. Bu süre sonunda çırağın yaşı

2C

olurken ustanın yaşı

U + C

olacaktır. Koşula göre

U + C = 2(2C) + 10 \implies U = 3C + 10

elde edilir.

Çırağın yaşının kalfanın bugünkü yaşına ulaştığı andaki usta ve çırak yaş ilişkisi modellenir.

4

Denklemlerin eşitlenmesi ve ustanın yaşının bulunması

6C - 20 = 3C + 10 \implies 3C = 30 \implies C = 10

bulunur. Buradan ustanın bugünkü yaşı

U = 3(10) + 10 = 40

olarak hesaplanır.

Ustanın yaşı için elde edilen iki farklı ifade birbirine eşitlenerek çırağın ve ardından ustanın bugünkü yaşı tespit edilir.

Key Concept

Yaş problemlerinde zaman geçişlerinin tüm kişilerin yaşlarına eşit miktarda yansıtılması ve doğru denklem sistemlerinin kurulması.

Estimated Time:2m 30s

Question 258Question →

İki araç, A kentinden B kentine gitmek üzere aynı anda yola çıkıyor. Birinci araç, yolun ilk yarısını saatte $60\text{ km}$ hızla, kalan yarısını ise saatte $90\text{ km}$ hızla giderek B kentine ulaşıyor. İkinci araç ise tüm yolculuk süresinin ilk yarısını saatte $60\text{ km}$ hızla, kalan yarısını ise saatte $90\text{ km}$ hızla giderek B kentine ulaşıyor. İkinci araç, B kentine birinci araçtan $10$ dakika önce ulaştığına göre, A ile B kentleri arasındaki uzaklık kaç kilometredir?

120

180

300

450

720

Show answer & explanation

Answer: $300$

Answer

A ile B kentleri arasındaki uzaklık

300\text{ km}

'dir.

Birinci aracın toplam yolculuk süresi

T_1 = \frac{x}{72}

saat, ikinci aracın toplam yolculuk süresi

T_2 = \frac{x}{75}

saattir. İki araç arasındaki

10

dakikalık (yani

\frac{1}{6}

saat) zaman farkı denklemine döküldüğünde

\frac{x}{72} - \frac{x}{75} = \frac{1}{6}

eşitliğinden yolun uzunluğu

300\text{ km}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci aracın B kentine ulaşma süresini (

T_1

) belirlemek için yolun her iki yarısında geçen süreleri ayrı ayrı yazarak toplam süreyi bulalım.

Yolun tamamına

x

km dersek; yolun ilk yarısı için geçen süre

t_1 = \frac{x/2}{60} = \frac{x}{120}

saat, ikinci yarısı için geçen süre

t_2 = \frac{x/2}{90} = \frac{x}{180}

saattir. Buradan toplam süre

T_1 = \frac{x}{120} + \frac{x}{180} = \frac{5x}{360} = \frac{x}{72}

saat olur.

Hızlar yolun farklı bölümlerine (mesafeye) göre tanımlandığı için süre, her bir bölümün uzunluğunun o bölümdeki hıza bölünmesiyle hesaplanır.

2

İkinci aracın B kentine ulaşma süresini (

T_2

) belirlemek için yolculuk süresinin yarısında alınan mesafeleri toplayıp toplam mesafeye eşitleyelim.

Toplam yolculuk süresine

T_2

saat dersek; ilk yarıda (

T_2/2

saat) alınan yol

60 \times \frac{T_2}{2} = 30T_2

km, ikinci yarıda (

T_2/2

saat) alınan yol

90 \times \frac{T_2}{2} = 45T_2

km'dir. Toplam yol

x = 30T_2 + 45T_2 = 75T_2

km olur. Buradan

T_2 = \frac{x}{75}

saat olarak bulunur.

Hızlar zamana göre tanımlandığı için her bir zaman diliminde alınan yolların toplamı toplam mesafeyi verir.

3

İki aracın varış süreleri arasındaki farkı saat cinsine çevirerek mesafeyi bulalım.

İkinci araç birinci araçtan

10

dakika önce ulaştığına göre süre farkı

T_1 - T_2 = 10\text{ dakika} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}

saattir. Denklemimizi kuralım:

\frac{x}{72} - \frac{x}{75} = \frac{1}{6}

. Paydaları

1800

değerinde eşitleyelim:

\frac{25x - 24x}{1800} = \frac{1}{6} \implies \frac{x}{1800} = \frac{1}{6} \implies x = 300\text{ km}

.

Hızlar km/saat cinsinden olduğundan, verilen sürenin de saate çevrilerek denklemde yerine yazılması gerekir.

Key Concept

Ortalama Hız ve Hareket Denklemleri

Hints

1

Birinci aracın hızları yolun farklı bölümlerine (mesafeye) göre belirlenmiştir. Bu durumda ortalama hızın harmonik ortalamayla ilişkili olduğunu unutmayın.

2

İkinci aracın hızları zaman dilimlerine göre belirlenmiştir. Bu durumda ortalama hız aritmetik ortalama ile hesaplanır. İki aracın varış sürelerini

x

cinsinden yazın.

3

Birinci aracın toplam süresi

T_1 = \frac{x}{72}

saat, ikinci aracın toplam süresi

T_2 = \frac{x}{75}

saattir. Aralarındaki farkın

10\text{ dakika} = \frac{1}{6}\text{ saat}

olduğunu kullanarak denklemi çözün.

Practice More

Benzer mantıkla, hızların ve sürelerin farklı oranlarda bölündüğü durumları içeren ortalama hız problemlerini çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Ortalama hız formüllerini doğrudan kullanabiliriz. Birinci araç eşit mesafeleri farklı hızlarla gittiği için ortalama hızı:

V_{ort1} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 90}{60 + 90} = 72\text{ km/sa}

olur. İkinci araç eşit zaman sürelerinde bu hızlarla gittiği için ortalama hızı:

V_{ort2} = \frac{60 + 90}{2} = 75\text{ km/sa}

olur. Birinci aracın süresi

T_1 = \frac{x}{72}

, ikinci aracın süresi

T_2 = \frac{x}{75}

'tir.

T_1 - T_2 = \frac{1}{6}

saat denklemi çözüldüğünde

x = 300\text{ km}

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 259Question →

Bir kütüphanedeki kitapların $\%60$ ’ı Türkçe, geri kalanı ise yabancı dilde yazılmıştır. Bu kütüphaneye yeni kitaplar satın alınarak kütüphanedeki toplam kitap sayısı $\%25$ oranında artırılmıştır. Satın alınan bu yeni kitapların $\%36$ ’sı Türkçe olduğuna göre, son durumda küt��phanedeki Türkçe kitapların sayısı başlangıçtaki Türkçe kitapların sayısına göre yüzde kaç artmıştır?

9

12

15

20

25

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Türkçe kitapların sayısı başlangıçtakine göre yüzde 15 artmıştır.

Kütüphanedeki başlangıçtaki kitap sayısı 100 kabul edildiğinde, Türkçe kitap sayısı 60 olur. Toplam kitap sayısı %25 artarak 125'e yükselmiş, yani 25 yeni kitap gelmiştir. Bu yeni kitapların %36'sı (9 kitap) Türkçe'dir. Türkçe kitap sayısındaki 9 adetlik artış, başlangıçtaki 60 Türkçe kitabın %15'ine karşılık gelmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçtaki kitap sayılarını belirleme

Kütüphanedeki başlangıçtaki toplam kitap sayısına

100x

diyelim. Bu durumda Türkçe kitap sayısı

60x

, yabancı dildeki kitap sayısı ise

40x

olur.

Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için başlangıç değerini 100 cinsinden seçmek kolaylık sağlar.

2

Yeni eklenen kitapların sayısını ve bu kitaplar arasındaki Türkçe olanları hesaplama

Toplam kitap sayısı

\%25

arttığı için eklenen yeni kitap sayısı

100x \times \%25 = 25x

olur. Bu yeni kitapların

\%36

’sı Türkçe olduğundan, yeni eklenen Türkçe kitap sayısı

25x \times \%36 = 9x

olarak bulunur.

Son durumdaki artış miktarını belirlemek için eklenen Türkçe kitap sayısını bulmamız gerekir.

3

Türkçe kitap sayısındaki yüzdesel artışı hesaplama

Türkçe kitap sayısı

9x

artmıştır. Başlangıçtaki Türkçe kitap sayısı

60x

olduğuna göre, artış oranı

\frac{9x}{60x} = \frac{3}{20} = \frac{15}{100} = \%15

olarak hesaplanır.

Soruda artışın başlangıçtaki Türkçe kitap sayısına göre yüzdesi sorulduğu için artış miktarı başlangıçtaki Türkçe kitap sayısına bölünür.

Key Concept

Yüzde problemlerinde artış miktarının doğru temel (referans) değer üzerinden hesaplanması.

Estimated Time:1m 30s

Question 260Question →

Bir kırtasiyeci, tanesini $10\text{ TL}$ 'den satın aldığı kalemleri $\%60$ kârla fiyatlandırarak etiketlemiştir. Bu kırtasiyeci, düzenlediği bir kampanya kapsamında müşterilerine '3 kalem alana 4. kalem bedava' fırsatı sunmaktad��r. Bu kampanyadan yararlanarak 4 adet kalem alan bir müşterinin yaptığı bu alışverişten kırtasiyecinin elde ettiği kâr oranı yüzde kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Kırtasiyecinin bu satıştan elde ettiği kâr oranı %20'dir.

Kırtasiyeci müşteriye 4 kalem vermiş olup bu kalemlerin toplam maliyeti

40\text{ TL}

'dir. Müşteri ise 3 kalemin fiyatını ödemiştir, yani toplam gelir

48\text{ TL}

'dir. Bu durumda kırtasiyeci

8\text{ TL}

kâr elde etmiştir.

8\text{ TL}

kârın

40\text{ TL}

maliyete oranı

\frac{8}{40} = \%20

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Bir adet kalemin etiket fiyatını hesaplama

Etiket fiyatı =

10 \times 1{}60 = 16\text{ TL}

Kalemlerin etiket fiyatı maliyet üzerinden %60 kâr payı eklenerek belirlenmiştir.

2

Kampanyalı satıştan elde edilen toplam geliri (ciroyu) hesaplama

Toplam Gelir =

3 \times 16 = 48\text{ TL}

Müşteri 4 kalem alıp sadece 3 kalemin ücretini ödemektedir.

3

Satılan 4 kalemin toplam maliyetini hesaplama

Toplam Maliyet =

4 \times 10 = 40\text{ TL}

Hediye edilen kalem de dahil olmak üzere toplamda 4 kalem verilmiştir ve her birinin maliyeti 10 TL'dir.

4

Kâr oranını yüzde olarak hesaplama

Kâr Oranı =

\frac{48 - 40}{40} \times 100 = \%20

Elde edilen net kâr tutarının toplam maliyete oranı kâr yüzdesini verir.

Key Concept

Kampanyalı ve hediyeli satışlarda toplam maliyet ve toplam gelir üzerinden net kâr yüzdesi hesaplama

Problemler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer