Examkin

Cebir

424 questions

Question 381Question →

Doğrusal bir ff fonksiyonu için,

f(1)=3f(1) = 3
(f∘f)(x)=4x+3(f \circ f)(x) = 4x + 3

eşitlikleri verilmiştir. Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Verilen şartları sağlayan ff fonksiyonu f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 olup, f(3)f(3) değeri 7'dir.
Doğrusal bir fonksiyon olan f(x)=ax+bf(x) = ax + b için bileşke işlemi a2x+ab+ba^2x + ab + b sonucunu verir. Verilen 4x+34x + 3 ifadesiyle eşleştirildiğinde a=2a=2 ve b=1b=1 değerleri bulunur. Bu kural altında 3'ün görüntüsü 7 olur.

Step-by-Step Solution

1
Doğrusal fonksiyonun genel formunu belirleyin.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b olsun.
Soruda fonksiyonun doğrusal olduğu belirtilmiştir.
2
f(1)=3f(1) = 3 bilgisini kullanarak bir denklem elde edin.
f(1)=a⋅(1)+b=3⇒a+b=3f(1) = a \cdot (1) + b = 3 \Rightarrow a + b = 3
Fonksiyonun x=1x=1 için değeri 3 olarak verilmiştir.
3
(f∘f)(x)(f \circ f)(x) bileşke fonksiyonunu aa ve bb cinsinden ifade edin.
f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ab+bf(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b
Bileşke fonksiyon, içteki fonksiyonun sonucunun dıştaki fonksiyona girdi olarak yazılmasıdır.
4
Bileşke fonksiyonu verilen eşitlikle karşılaştırarak aa ve bb değerlerini bulun.
a2x+ab+b=4x+3⇒a2=4a^2x + ab + b = 4x + 3 \Rightarrow a^2 = 4 ve ab+b=3ab + b = 3. a2=4a^2 = 4 ise a=2a = 2 veya a=−2a = -2 olabilir. Eğer a=2a = 2 ise 2+b=32 + b = 3 (Step 2'den) ⇒b=1\Rightarrow b = 1 olur. Bu durumda ab+b=2(1)+1=3ab + b = 2(1) + 1 = 3 şartı da sağlanır. (a=−2a = -2 durumu ab+b=3ab + b = 3 şartını sağlamaz.)
Polinom eşitliği kuralına göre aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
5
Fonksiyon kuralını yazarak f(3)f(3) değerini hesaplayın.
f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 ise f(3)=2(3)+1=7f(3) = 2(3) + 1 = 7
Bulunan aa ve bb değerleri fonksiyon kuralında yerine yazılır.

Key Concept

Doğrusal fonksiyonlarda katsayı belirleme ve bileşke fonksiyon işlemleri.

Hints

1
Doğrusal bir fonksiyonun f(x)=ax+bf(x) = ax + b şeklinde olduğunu hatırlayın.
2
(f∘f)(x)(f \circ f)(x) ifadesini elde etmek için f(x)f(x) kuralında xx gördüğünüz yere tekrar ax+bax+b yazın.
3
a2x+ab+b=4x+3a^2x + ab + b = 4x + 3 eşitliğinden a2=4a^2=4 olduğunu kullanarak aa değerine ulaşın, ardından f(1)=3f(1)=3 bilgisini kullanın.

Practice More

Benzer bir soruyu, f(x)f(x) fonksiyonunun tersinin kendisine eşit olduğu durumlar için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

f(x)f(x) doğrusal olduğu için (f∘f)(x)(f \circ f)(x) de doğrusaldır ve eğimi a2a^2'dir. a2=4a^2=4 olduğundan ff fonksiyonunun eğimi 2 veya -2 olmalıdır. xx bir birim arttığında f(x)f(x) eğim kadar artar.
Estimated Time:1m 30s
Question 382Question →
aa bir gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
2(ax−1)−3(x+2)=5x−a 2(ax - 1) - 3(x + 2) = 5x - a

denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, aa kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

4
Verilen denklem düzenlendiğinde (2a−8)x=8−a(2a - 8)x = 8 - a elde edilir. Birinci dereceden bir denklemin çözüm kümesinin boş küme olması için, bilinmeyenin katsayısı 0 olmalı, ancak eşitliğin diğer tarafı 0'dan farklı olmalıdır. 2a−8=02a - 8 = 0 eşitliğinden a=4a = 4 bulunur. Bu değer için denklem 0⋅x=40 \cdot x = 4 haline gelir ki bu ifade yanlıştır, dolayısıyla çözüm kümesi boştur.

Step-by-Step Solution

1
Parantezleri dağıtarak ifadeyi düzenle.
2ax−2−3x−6=5x−a 2ax - 2 - 3x - 6 = 5x - a
Denklemi çözülebilir en sade hale getirmek için gruplama yapmalıyız.
2
Benzer terimleri (x'li terimler ve sabitler) bir araya getir.
(2a−3)x−8=5x−a (2a - 3)x - 8 = 5x - a
Değişkeni yalnız bırakmak veya katsayılarını analiz etmek için düzenleme gerekir.
3
x'li terimleri eşitliğin bir tarafına, sabitleri diğer tarafına topla.
(2a−3)x−5x=−a+8  ⟹  (2a−8)x=8−a (2a - 3)x - 5x = -a + 8 \implies (2a - 8)x = 8 - a
ax + b = 0 formatındaki bir denklemin çözüm durumunu incelemek için x ortak parantezine alınır.
4
Çözüm kümesinin boş küme olması şartını uygula.
2a−8=0  ⟹  2a=8  ⟹  a=4 2a - 8 = 0 \implies 2a = 8 \implies a = 4
Birinci dereceden bir denklemin (mx = n) çözüm kümesinin boş olması için, x'in katsayısı (m) 0 olmalı, ancak eşitliğin diğer tarafı (n) 0'dan farklı olmalıdır. Burada 2a-8=0 iken sağ taraf 8-4=4 oluyor (0'dan farklı), şart sağlanır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli mx+n=0mx + n = 0 veya mx=nmx = n denkleminde; m=0m = 0 ve n≠0n \neq 0 ise çözüm kümesi boş kümedir (çözüm yoktur).
Question 383Question →

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesi ile 1010'dan küçük asal sayılardan oluşan BB kümesi veriliyor. Buna göre, bu iki kümenin kesişimi olan A∩BA \cap B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: {2,3,5}\{2, 3, 5\}

Answer

Ortak elemanlardan oluşan {2, 3, 5} kümesidir.
Kesişim kümesi (A∩BA \cap B), iki kümenin ortak elemanlarından oluşur. A kümesi {1,2,3,4,5,6}\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olarak verilmiştir. B kümesi ise 10'dan küçük asal sayılar olan {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} elemanlarını içerir. Her iki listede de ortak olan sayılar 2, 3 ve 5 olduğu için doğru cevap bu elemanların oluşturduğu kümedir.

Step-by-Step Solution

1
B kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirlemek
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\}
10'dan küçük asal sayılar 2, 3, 5 ve 7'dir. 1 asal sayı değildir.
2
A kümesinin elemanları ile B kümesinin elemanlarını karşılaştırmak
A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} ve B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\}
Kesişim işlemi için ortak olanları seçmemiz gerekir.
3
Her iki kümede de bulunan ortak elemanları yazmak
A∩B={2,3,5}A \cap B = \{2, 3, 5\}
2, 3 ve 5 sayıları her iki kümenin de elemanıdır.

Key Concept

Kümelerde Kesişim İşlemi

Hints

1
Kesişim sembolü (∩), her iki kümede de aynı anda bulunan elemanları bulmanızı sağlar.
2
Önce B kümesinin elemanlarını listeleyin: 10'dan küçük olan asal sayıları (2, 3, 5, 7) hatırlayın.
3
A kümesinin elemanları ile sizin oluşturduğunuz B kümesi listesini karşılaştırıp ortak olanları seçin.

Practice More

Farklı bir örnek olarak bu iki kümenin birleşimindeki eleman sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 0s
Question 384Question →
xx değişkenine bağlı
3(ax−2)+5=2(3x+1)−b 3(ax - 2) + 5 = 2(3x + 1) - b

denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, aa ve bb gerçel sayıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Show answer & explanation

Answer: a=2a=2 ve b≠3b \neq 3

Answer

a=2a=2 ve b≠3b \neq 3
Verilen denklemin düzenlenmiş hali (3a−6)x=3−b(3a - 6)x = 3 - b şeklindedir. Bir denklemin çözüm kümesinin boş küme olması için, değişkenin yok olması (0x0x) ve geriye kalan eşitliğin yanlış olması (örneğin 0=50=5) gerekir. Bu nedenle xx'in katsayısı olan 3a−63a-6 sıfıra eşitlenmeli (a=2a=2), ancak sabit terim olan 3−b3-b sıfırdan farklı olmalıdır (b≠3b \neq 3).

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin her iki tarafındaki parantezleri dağıtarak ifadeyi düzenle.
3ax−6+5=6x+2−b 3ax - 6 + 5 = 6x + 2 - b
3ax−1=6x+(2−b) 3ax - 1 = 6x + (2 - b)
Denklemi Ax+B=Cx+DAx + B = Cx + D standart formuna getirmek gerekir.
2
xx içeren terimleri eşitliğin sol tarafına, sabit sayıları sağ tarafına topla.
3ax−6x=2−b+1 3ax - 6x = 2 - b + 1
(3a−6)x=3−b (3a - 6)x = 3 - b
Çözüm kümesini analiz etmek için bilinmeyen çarpanı (xx'in katsayısı) yalnız bırakılmalıdır.
3
Çözüm kümesinin boş küme olması için gereken şartları uygula.
Şart 1: xx'in katsayısı 00 olmalı (3a−6=03a - 6 = 0).
Şart 2: Sabit kısım 00'dan farklı olmalı (3−b≠03 - b \neq 0).
Birinci dereceden bir denklemde 0⋅x=k0 \cdot x = k (k≠0k \neq 0) durumu elde edilirse eşitlik hiçbir xx değeri için sağlanamaz (çelişki).
4
aa ve bb değerlerini bul.
3a=6⇒a=23a = 6 \Rightarrow a = 2
3−b≠0⇒b≠33 - b \neq 0 \Rightarrow b \neq 3
Sonuçları seçeneklerle eşleştirmek için.

Key Concept

Birinci dereceden denklemlerde çözüm kümesinin boş küme olması durumu (ax+b=0ax + b = 0 için a=0a=0 ve b≠0b \neq 0).

Hints

1
Denklemi önce xx parantezine alarak (A)x=B(A)x = B formatına getirmelisiniz.

Practice More

Çözüm kümesinin tüm gerçel sayılar olması için aa ve bb değerlerinin ne olması gerektiği incelenmelidir.
Estimated Time:2m 0s
Question 385Question →

xx ve yy gerçel sayıları için x<0<yx < 0 < y eşitsizliği ve ∣x∣=3y|x| = 3y eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,
2(x−y)2+x∣x∣−2y \frac{2\sqrt{(x-y)^2} + x}{|x| - 2y}

ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

İfadenin değeri 5'tir.
Verilen x<0<yx < 0 < y eşitsizliği ve ∣x∣=3y|x| = 3y eşitliği kullanılarak x=−3yx = -3y dönüşümü yapılır. Köklü ifade (x−y)2=∣x−y∣\sqrt{(x-y)^2} = |x-y| şeklinde mutlak değere çevrilir. x−y=−4yx-y = -4y negatif olduğundan dışarı 4y4y olarak çıkar. Tüm terimler yy cinsinden yazılıp sadeleştirildiğinde sonuç 5 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ∣x∣=3y|x| = 3y eşitliğini ve x<0x < 0 bilgisini kullanarak xx ile yy arasındaki ilişkiyi belirle.
xx negatif olduğu için mutlak değer dışına −x-x olarak çıkar. −x=3y⇒x=−3y-x = 3y \Rightarrow x = -3y.
Mutlak değer tanımı gereği negatif sayılar işaret değiştirerek çıkar.
2
İfadede (x−y)2\sqrt{(x-y)^2} terimini düzenle.
(x−y)2=∣x−y∣\sqrt{(x-y)^2} = |x-y|. x=−3yx = -3y yazarsak ∣−3y−y∣=∣−4y∣|-3y - y| = |-4y|. yy pozitif olduğundan −4y-4y negatiftir, dışarı 4y4y olarak çıkar.
Çift dereceli kökler dışarı mutlak değer içinde çıkar.
3
Pay kısmındaki tüm terimleri yy cinsinden yaz ve topla.
Pay: 2(4y)+(−3y)=8y−3y=5y2(4y) + (-3y) = 8y - 3y = 5y.
Değişken değiştirme yöntemiyle ifade tek bilinmeyene indirgenir.
4
Payda kısmındaki terimleri yy cinsinden yaz ve düzenle.
Payda: ∣x∣−2y|x| - 2y. ∣x∣=3y|x| = 3y (soruda verilmişti). Payda: 3y−2y=y3y - 2y = y.
Verilen eşitlik doğrudan yerine yazılır.
5
Payı paydaya bölerek sonucu bul.
5yy=5\frac{5y}{y} = 5.
Sadeleştirme işlemi.

Key Concept

Mutlak Değerli İfadelerin İşaret İncelemesi ve Değişken Değiştirme

Hints

1
∣x∣=3y|x| = 3y eşitliğinde xx'in negatif olduğunu unutmayın. Bu durumda xx ile yy arasında nasıl bir eşitlik yazabilirsiniz?
2
(x−y)2\sqrt{(x-y)^2} ifadesi dışarıya mutlak değer içinde ∣x−y∣|x-y| olarak çıkar. xx yerine −3y-3y yazarak bu mutlak değerin içinin işaretini inceleyin.
3
x=−3yx = -3y dönüşümünü yapın. ∣−4y∣|-4y| ifadesi yy pozitif olduğu için 4y4y olarak çıkar. Payda ise 3y−2y3y - 2y olur.

Practice More

Mutlak değer içinde bilinmeyenli ifadelerin olduğu ve hem xx hem yy'nin işaretinin belirlenmesi gereken eşitsizlik sorularını inceleyin.

Alternative Method

Değer vererek çözme: y=1y=1 seçilirse, ∣x∣=3|x|=3 ve x<0x<0 olduğundan x=−3x=-3 olur. İfade: 2(−3−1)2+(−3)∣−3∣−2(1)=2(4)−33−2=51=5\frac{2\sqrt{(-3-1)^2} + (-3)}{|-3| - 2(1)} = \frac{2(4) - 3}{3 - 2} = \frac{5}{1} = 5.
Estimated Time:2m 0s
Question 386Question →

∣−15∣−∣−8∣+∣3∣|-15| - |-8| + |3| işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1010

Answer

İşlemin sonucu 1010 olarak bulunur.
Mutlak değer içindeki her bir terim (∣−15∣|-15|, ∣−8∣|-8|, ∣3∣|3|) sırasıyla 1515, 88 ve 33 olarak dışarı çıkar. Bu değerler arasındaki çıkarma ve toplama işlemleri yapıldığında (15−8+315 - 8 + 3) sonuç 1010 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değerli ifadelerin değerlerini belirleyin.
∣−15∣=15|-15| = 15, ∣−8∣=8|-8| = 8 ve ∣3∣=3|3| = 3.
Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve uzaklık daima pozitif veya sıfırdır.
2
Bulunan değerleri ana işlemde yerlerine yazın.
15−8+315 - 8 + 3
İşlemdeki çıkarma ve toplama işaretleri, mutlak değerin dışındaki işlem operatörleridir.
3
Matematiksel işlemi tamamlayın.
15−8=715 - 8 = 7 ve 7+3=107 + 3 = 10.
Soldan sağa doğru standart aritmetik işlemler uygulanır.

Key Concept

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerinde başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığıdır ve sonucu asla negatif olamaz.

Hints

1
Mutlak değer sembolü ∣∣| | gördüğünde, içindeki sayının sıfıra olan uzaklığını düşünmelisin.
2
Uzaklık hiçbir zaman negatif olamaz. Bu yüzden ∣−15∣|-15| ifadesini dışarıya +15+15 olarak çıkarmalısın.
3
Önce ∣−15∣|-15|, ∣−8∣|-8| ve ∣3∣|3| değerlerini bul, sonra bulduğun bu üç sayıyı işlemdeki işaretlere dikkat ederek topla ve çıkar.

Practice More

Farklı işaretlere sahip iki sayının mutlak değerleri toplamını hesaplayan sorular çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde her bir sayının sıfıra kaç birim mesafede olduğunu görselleştirerek değerleri bulabilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 387Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff doğrusal bir fonksiyon olmak üzere, her xx gerçel sayısı için
(f∘f)(x)=9x+12 (f \circ f)(x) = 9x + 12

eşitliği sağlanmaktadır.

ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenini ordinatı negatif olan bir noktada kestiğine göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -12

Answer

f(2) değeri -12'dir
Doğrusal bir fonksiyon f(x)=ax+bf(x)=ax+b formundadır. (f∘f)(x)=a2x+ab+b(f \circ f)(x) = a^2x + ab+b olur. Verilen 9x+129x+12 ile eşleştirildiğinde a2=9a^2=9 bulunur, yani a=3a=3 veya a=−3a=-3 olabilir. Soruda yy-eksenini negatif tarafta kestiği (b<0b<0) belirtildiği için, a=−3a=-3 durumu seçilmelidir (çünkü a=3a=3 için b=3b=3 pozitif çıkar, a=−3a=-3 için b=−6b=-6 negatif çıkar). Böylece fonksiyon f(x)=−3x−6f(x)=-3x-6 olarak bulunur. x=2x=2 için sonuç -12 olur.

Step-by-Step Solution

1
Doğrusal fonksiyonun genel formunu belirle.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b olsun.
Soruda ff'in doğrusal fonksiyon olduğu belirtilmiştir.
2
Bileşke fonksiyonu (f∘f)(x)(f \circ f)(x) hesapla.
(f∘f)(x)=f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(ax+b) = a(ax+b) + b = a^2x + ab + b
Verilen eşitliği kullanabilmek için sol tarafı aa ve bb cinsinden ifade etmemiz gerekir.
3
Elde edilen ifadeyi verilen eşitlikle (9x+129x + 12) karşılaştırarak katsayıları eşitle.
a2x+(ab+b)=9x+12a^2x + (ab+b) = 9x + 12. Buradan: 1) a2=9a^2 = 9, 2) ab+b=12ab + b = 12.
Polinom eşitliği gereği, xx'in katsayıları ve sabit terimler karşılıklı olarak eşit olmalıdır.
4
aa değerini bul ve olası durumları incele.
a2=9a^2 = 9 ise a=3a = 3 veya a=−3a = -3 olabilir.
Bir sayının karesi 9 ise, bu sayı 3 veya -3 olabilir.
5
yy-eksenini negatif noktada kesme şartını (f(0)=b<0f(0) = b < 0) kullanarak doğru durumu belirle.
Durum 1 (a=3a=3): 3b+b=12⇒4b=12⇒b=33b + b = 12 \Rightarrow 4b = 12 \Rightarrow b = 3 (Pozitif, elenir).
Durum 2 (a=−3a=-3): −3b+b=12⇒−2b=12⇒b=−6-3b + b = 12 \Rightarrow -2b = 12 \Rightarrow b = -6 (Negatif, şartı sağlar).
Soruda fonksiyonun yy-eksenini negatif tarafta kestiği belirtilmiştir, bu b<0b < 0 demektir.
6
Doğru fonksiyonu oluştur ve f(2)f(2) değerini hesapla.
f(x)=−3x−6f(x) = -3x - 6 olduğuna göre, f(2)=−3(2)−6=−6−6=−12f(2) = -3(2) - 6 = -6 - 6 = -12.
Belirlenen katsayılarla fonksiyon değeri bulunur.

Key Concept

Bileşke Fonksiyon ve Polinom Eşitliği

Hints

1
Doğrusal fonksiyonun genel formunu f(x)=ax+bf(x) = ax + b olarak yazıp, (f∘f)(x)(f \circ f)(x) ifadesini bu form üzerinden hesaplayın.
2
(f∘f)(x)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b(f \circ f)(x) = a(ax+b) + b = a^2x + ab + b ifadesini sorudaki 9x+129x + 12 ile eşleştirin. xx'in katsayısı olan a2a^2'nin 9 olması ne anlama gelir?
3
aa sayısı 3 veya -3 olabilir. Ancak soruda fonksiyonun y-eksenini 'negatif' tarafta kestiği (b<0b < 0) belirtilmiş. Hangi aa değeri için bb negatif çıkıyor, kontrol edin.

Practice More

Benzer bir soruyu f(x)f(x) azalan bir fonksiyon ise şartıyla çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Grafiksel yaklaşım: f(f(x))f(f(x)) fonksiyonunun eğimi 9 olduğuna göre, f(x)f(x)'in eğimi ya 3 ya da -3 olmalıdır. Eğimin karesi bileşke eğimini verir (m2=9m^2=9).
Estimated Time:3m 0s
Question 388Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı,

23(x−x−12)−x−34=x+16 \frac{2}{3} \left( x - \frac{x-1}{2} \right) - \frac{x-3}{4} = \frac{x+1}{6}


eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Verilen rasyonel denklemi sağlayan xx değeri 11 olarak bulunur.
İşlem önceliğine uyularak en içteki parantezden başlandığında, rasyonel ifadelerin ortak paydada toplanması ve ardından bilinmeyenin yalnız bırakılması sonucunda x=11x = 11 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki x−x−12x - \frac{x-1}{2} ifadesinde payda eşitleyerek çıkarma işlemini yapalım.
2x−(x−1)2=2x−x+12=x+12 \frac{2x - (x - 1)}{2} = \frac{2x - x + 1}{2} = \frac{x + 1}{2}
İç içe geçmiş ifadelerde işlem önceliği gereği en içteki parantezden başlanır.
2
Elde edilen ifadeyi ana denklemde yerine koyarak sadeleştirelim.
23⋅(x+12)−x−34=x+16⇒x+13−x−34=x+16 \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{x+1}{2} \right) - \frac{x-3}{4} = \frac{x+1}{6} \Rightarrow \frac{x+1}{3} - \frac{x-3}{4} = \frac{x+1}{6}
Çarpma işlemi yapılarak rasyonel ifadeler daha basit bir forma getirilir.
3
Paydaları 12'de eşitlemek için tüm terimleri uygun sayılarla genişletelim.
4(x+1)−3(x−3)=2(x+1) 4(x+1) - 3(x-3) = 2(x+1)
Rasyonel denklemlerde paydadan kurtulmak için en küçük ortak kat (EKOK) kullanılır.
4
Parantezleri dağıtalım ve eksi işaretine dikkat ederek ifadeyi düzenleyelim.
4x+4−3x+9=2x+2⇒x+13=2x+2 4x + 4 - 3x + 9 = 2x + 2 \Rightarrow x + 13 = 2x + 2
İşlem önceliğine ve işaret dağılımına dikkat edilerek denklem yalın hale getirilir.
5
Bilinmeyenleri bir tarafa, sabit sayıları diğer tarafa toplayarak xx değerini bulalım.
13−2=2x−x⇒11=x 13 - 2 = 2x - x \Rightarrow 11 = x
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde değişken yalnız bırakılır.

Key Concept

Birinci dereceden rasyonel denklemlerde payda eşitleme ve parantez önündeki negatif katsayıların dağıtılması master becerisidir.

Practice More

Değişkenlerin paydada yer aldığı rasyonel denklemleri çözerek çözüm kümesinin boş küme olma durumlarını inceleyin.

Alternative Method

Tüm denklemi en başta paydaların EKOK'u olan 12 ile çarparak kesirlerden doğrudan kurtulabilirsiniz.
Estimated Time:1m 20s
Question 389Question →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
a(x+1)−23=x−x−b2 \frac{a(x+1) - 2}{3} = x - \frac{x - b}{2}

denklemi her xx gerçel sayısı için sağlandığına göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 76\frac{7}{6}

Answer

Doğru cevap 7/67/6'dır.
Denklemin 'her xx gerçel sayısı için sağlanması', ifadenin bir özdeşlik olduğu anlamına gelir. Bu durumda, eşitliğin her iki tarafındaki xx'li terimlerin katsayıları birbirine, sabit terimler de birbirine eşit olmalıdır. Paydalar eşitlenip düzenlendiğinde 2a=32a = 3 ve 2a−4=3b2a - 4 = 3b eşitlikleri elde edilir. Buradan a=3/2a=3/2 ve b=−1/3b=-1/3 bulunur. Toplamları 7/67/6'dır.

Step-by-Step Solution

1
Denklemdeki paydaları yok etmek için eşitliğin her iki tarafını en küçük ortak kat olan 6 ile çarp.
2[a(x+1)−2]=6(x)−3(x−b) 2[a(x+1) - 2] = 6(x) - 3(x - b)
Kesirli ifadelerden kurtularak işlemi basitleştirmek gerekir.
2
Parantezleri dağıtarak ifadeleri düzenle.
2(ax+a−2)=6x−3x+3b 2(ax + a - 2) = 6x - 3x + 3b

2ax+2a−4=3x+3b 2ax + 2a - 4 = 3x + 3b
xx değişkenine bağlı terimleri ve sabit sayıları gruplandırmak için açılım yapılır. (Dikkat: −3(x−b)-3(x-b) dağılımında −3⋅(−b)=+3b-3 \cdot (-b) = +3b olur.)
3
xx parantezine alarak denklemi (A)x+B=0(A)x + B = 0 veya Sol Taraf = Sağ Taraf formatına getir.
(2a)x+(2a−4)=(3)x+(3b) (2a)x + (2a - 4) = (3)x + (3b)

(2a−3)x+(2a−4−3b)=0 (2a - 3)x + (2a - 4 - 3b) = 0
Denklemin her xx değeri için sağlanması (özdeşlik olması) için xx'li terimlerin katsayıları birbirine, sabit terimler de birbirine eşit olmalıdır.
4
xx'in katsayılarını eşitleyerek aa değerini bul.
2a=3⇒a=32 2a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{2}
Özdeşlik durumunda xx'in katsayısı her iki tarafta aynı olmalıdır.
5
Bulunan aa değerini kullanarak sabit terimleri eşitle ve bb'yi bul.
2a−4=3b 2a - 4 = 3b

2(32)−4=3b 2(\frac{3}{2}) - 4 = 3b

3−4=3b⇒−1=3b⇒b=−13 3 - 4 = 3b \Rightarrow -1 = 3b \Rightarrow b = -\frac{1}{3}
Sabit terimlerin eşitliği bb değerini verir.
6
a+ba + b toplamını hesapla.
a+b=32+(−13)=96−26=76 a + b = \frac{3}{2} + (-\frac{1}{3}) = \frac{9}{6} - \frac{2}{6} = \frac{7}{6}
Sonuç hesaplaması.

Key Concept

Özdeşlik (Çözüm Kümesinin Tüm Reel Sayılar Olması)
Question 390Question →

Sayı doğrusu üzerinde −9-9 sayısının başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığı ile 44 sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığının toplamı kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 1313

Answer

Sayıların başlangıç noktasına olan uzaklıklarının toplamı 1313 birimdir.
Mutlak değer kavramı bir sayının sıfıra olan uzaklığını temsil eder. −9-9 sayısının sıfıra uzaklığı 99 birim, 44 sayısının sıfıra uzaklığı ise 44 birimdir. Bu iki uzaklığın toplamı 9+4=139 + 4 = 13 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değer tanımını hatırla.
Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığıdır ve ∣x∣|x| ile gösterilir.
Uzaklık kavramı her zaman pozitif bir değer belirtir.
2
−9-9 sayısının sıfıra olan uzaklığını hesapla.
∣−9∣=9|-9| = 9 birim.
−9-9 noktası sıfırın solunda 99 birim mesafededir.
3
44 sayısının sıfıra olan uzaklığını hesapla.
∣4∣=4|4| = 4 birim.
44 noktası sıfırın sağında 44 birim mesafededir.
4
Bulunan uzaklıkları topla.
9+4=139 + 4 = 13.
Soruda her iki uzaklığın toplamı istenmektedir.

Key Concept

Mutlak değer, bir gerçek sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığıdır.

Hints

1
Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerindeki sıfır noktasına (başlangıç noktasına) olan uzaklığı demektir.
2
Bir uzaklık ölçüsü negatif olamaz. Bu yüzden −9-9 ve 44 sayılarının sıfıra uzaklıklarını pozitif değerler olarak düşünmelisin.
3
Önce ∣−9∣|-9| ve ∣4∣|4| değerlerini ayrı ayrı bul, ardından bu iki pozitif sayıyı topla.

Practice More

Mutlak değerin içindeki ifade negatif olduğunda dışarıya nasıl çıktığını (işaret değiştirerek) pekiştirmek için ∣−5∣+∣−3∣|-5| + |-3| gibi işlemleri deneyebilirsin.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde sıfırdan sola doğru 9 birim gidip −9-9'a, sağa doğru 4 birim gidip 44'e ulaştığını hayal edebilirsin. Toplam kat edilen mesafe 9+4=139 + 4 = 13 birimdir.
Estimated Time:45s
Question 391Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0

eşitliği verilmiştir.

Buna göre, x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 76

Answer

İstenen ifadenin değeri 76'dır.
Verilen ikinci dereceden denklem düzenlenerek x−1/x=4x - 1/x = 4 bulunur. Daha sonra a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) özdeşliği kullanılarak 43+3(4)=64+12=764^3 + 3(4) = 64 + 12 = 76 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 denkleminin her iki tarafını, x≠0x \neq 0 olduğu için xx'e bölelim.
x2x−4xx−1x=0  ⟹  x−4−1x=0\frac{x^2}{x} - \frac{4x}{x} - \frac{1}{x} = 0 \implies x - 4 - \frac{1}{x} = 0
Sorulan ifadede xx ve 1/x1/x terimleri olduğu için, verilen denklemden x−1/xx - 1/x formuna ulaşmamız gerekir.
2
Elde edilen denklemden x−1xx - \frac{1}{x} ifadesini yalnız bırakalım.
x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4
Özdeşlik formülünü kullanabilmek için bu temel farkın sayısal değerine ihtiyacımız vardır.
3
İki küp farkı özdeşliğini hatırlayalım: a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b). Burada a=xa=x ve b=1xb=\frac{1}{x} alalım.
x3−1x3=(x−1x)3+3⋅x⋅1x⋅(x−1x)x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(x - \frac{1}{x}\right)
Bu özdeşlik, bildiğimiz (x−1/x)(x-1/x) değeri ile aradığımız sonucu ilişkilendirir.
4
Bulduğumuz x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4 değerini formülde yerine yazalım.
=43+3⋅1⋅4=64+12=76= 4^3 + 3 \cdot 1 \cdot 4 = 64 + 12 = 76
Doğru hesaplama için işlem önceliğine dikkat edilir.

Key Concept

İki Küp Farkı Özdeşliği ve Değişken Dönüştürme

Hints

1
Sorudaki x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 ifadesini, xx'li bir terim ile 1/x1/x'li bir terim arasındaki farkı bulacak şekilde düzenlemeyi deneyin.
2
Eşitliğin her iki tarafını xx'e bölerseniz x−1xx - \frac{1}{x} değerini bulabilirsiniz.
3
a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) özdeşliğini kullanarak x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} değerini hesaplayın.

Practice More

Benzer mantıkla x2−5x+1=0x^2 - 5x + 1 = 0 verildiğinde x2+1/x2x^2 + 1/x^2 toplamını soran sorular çözülebilir.

Alternative Method

(x−1x)3(x - \frac{1}{x})^3 ifadesini doğrudan açarak: (x−1x)3=x3−3x2(1x)+3x(1x)2−1x3=x3−1x3−3(x−1x)(x - \frac{1}{x})^3 = x^3 - 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x})^2 - \frac{1}{x^3} = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3(x - \frac{1}{x}). Buradan 43=A−3(4)  ⟹  64=A−12  ⟹  A=764^3 = A - 3(4) \implies 64 = A - 12 \implies A = 76 şeklinde de çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 392Question →
xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
x+y=6 x + y = 6

x2y+y2x=18 \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18

eşitlikleri veriliyor. Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İstenen çarpımın değeri 6'dır.
Verilen rasyonel denklem düzenlendiğinde x3+y3=18xyx^3+y^3 = 18xy elde edilir. Küp toplamı özdeşliği (x+y)((x+y)2−3xy)(x+y)((x+y)^2 - 3xy) biçiminde yazılıp x+y=6x+y=6 değeri yerine konulduğunda, 6(36−3xy)=18xy6(36-3xy)=18xy denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde xy=6xy=6 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İkinci denklemde payda eşitlemesi yapılır.
x3+y3x⋅y=18  ⟹  x3+y3=18xy\frac{x^3 + y^3}{x \cdot y} = 18 \implies x^3 + y^3 = 18xy
Rasyonel ifadeleri tek bir kesir haline getirerek pay kısmında küp toplamı özdeşliğini yakalamak için.
2
İki küp toplamı özdeşliği (x3+y3x^3 + y^3) çarpanlarına ayrılır.
(x+y)(x2−xy+y2)=18xy(x+y)(x^2 - xy + y^2) = 18xy
Verilen x+yx+y değerini kullanabilmek için ifadeyi açmak gerekir.
3
Tam kare özdeşliğinden faydalanarak x2+y2x^2 + y^2 terimi x+yx+y cinsinden yazılır.
x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy

Bu ifade önceki adımda yerine konulursa:
(x+y)((x+y)2−2xy−xy)=18xy(x+y)((x+y)^2 - 2xy - xy) = 18xy

(x+y)((x+y)2−3xy)=18xy(x+y)((x+y)^2 - 3xy) = 18xy
Denklemdeki bilinmeyen sayısını azaltmak ve sadece xyxy çarpımına bağlı bir denklem elde etmek için.
4
x+y=6x+y = 6 değeri denklemde yerine yazılır ve xyxy çözülür.
6(62−3xy)=18xy6(6^2 - 3xy) = 18xy

6(36−3xy)=18xy6(36 - 3xy) = 18xy

Eşitliğin her iki tarafı 6 ile bölünür:
36−3xy=3xy36 - 3xy = 3xy

36=6xy36 = 6xy

xy=6xy = 6
Sonuca ulaşmak için gerekli cebirsel işlemlerin tamamlanması.

Key Concept

İki Küp Toplamı ve Tam Kare Özdeşlikleri
Question 393Question →

Bir belediye, "Sıfır Atık" projesi kapsamında üç farklı mahalleye (AA, BB ve CC) toplam 420420 adet geri dönüşüm kutusu dağıtacaktır. Bu dağıtımla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* AA mahallesine verilen kutu sayısı 22 ile doğru orantılıdır.
* BB mahallesine verilen kutu sayısı 33 ile doğru orantılıdır.
* CC mahallesine verilen kutu sayısı 44 ile ters orantılıdır.

Buna göre, BB mahallesine verilen kutu sayısı CC mahallesine verilenden kaç fazladır?

Show answer & explanation

Answer: 220220

Answer

B mahallesine verilen kutu sayısı ile C mahallesine verilen kutu sayısı arasındaki fark 220'dir.
B mahallesine verilen kutu sayısı 3k3k (240) ve C mahallesine verilen kutu sayısı k/4k/4 (20) olarak hesaplandığında, aradaki fark 240−20=220240 - 20 = 220 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Orantı sabitini kullanarak mahallelerin alacağı kutu sayılarını belirleyin.
A=2kA = 2k, B=3kB = 3k, C=k4C = \frac{k}{4}
Doğru orantıda bölme (veya çarpım durumu), ters orantıda ise çarpma (veya bölme durumu) kullanılarak değişkenler kk cinsinden ifade edilir.
2
Toplam kutu sayısını kullanarak orantı sabiti kk değerini hesaplayın.
2k+3k+k4=420⇒5k+k4=420⇒21k4=420⇒k=802k + 3k + \frac{k}{4} = 420 \Rightarrow 5k + \frac{k}{4} = 420 \Rightarrow \frac{21k}{4} = 420 \Rightarrow k = 80
Üç mahalleye dağıtılan toplam miktar 420'ye eşittir.
3
BB ve CC mahallelerine düşen kutu sayılarını bulun.
B=3×80=240B = 3 \times 80 = 240, C=804=20C = \frac{80}{4} = 20
kk değeri değişkenlerde yerine yazılarak gerçek miktarlar elde edilir.
4
İstenen farkı hesaplayın.
240−20=220240 - 20 = 220
Soruda B mahallesinin C mahallesinden ne kadar fazla kutu aldığı sorulmuştur.

Key Concept

Doğru ve Ters Orantı Problemleri

Hints

1
Doğru orantıda katları (2k,3k2k, 3k), ters orantıda ise bölümleri (k/4k/4) kullanın.
2
Denklemdeki kesirden kurtulmak için tüm ifadeleri 4 ile genişleterek 8m,12m8m, 12m ve mm diyebilirsiniz.
3
Toplam 21 birimin 420'ye eşit olduğunu bulun, bu durumda 1 birim 20'ye karşılık gelir.

Practice More

Karışık (doğru ve ters) orantı problemlerinde payda eşitleme yaparak işlem hızınızı artırabilirsiniz.

Alternative Method

Kesirlerle uğraşmamak için orantı sabitini 4m4m olarak seçebilirsiniz. Bu durumda A=8mA=8m, B=12mB=12m ve C=mC=m olur. 8m+12m+m=21m=4208m + 12m + m = 21m = 420 ise m=20m=20 bulunur. B−C=12m−m=11m=11×20=220B-C = 12m-m = 11m = 11 \times 20 = 220 elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 394Question →
x≠2x \neq 2 olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(2x+1)=4x+1x−2f(2x+1) = \frac{4x+1}{x-2}

biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, f−1(7)f^{-1}(7) değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

11
İstenen değer f−1(7)=af^{-1}(7) = a olsun. Bu durumda ters fonksiyon özelliğinden f(a)=7f(a) = 7 olmalıdır. Verilen fonksiyon kuralında sonucun 7 olması için 4x+1x−2=7\frac{4x+1}{x-2} = 7 denklemi çözülür. İçler dışlar çarpımı ile 4x+1=7x−144x+1 = 7x-14 bulunur, buradan 3x=153x=15 ve x=5x=5 elde edilir. Ancak fonksiyon f(2x+1)f(2x+1) şeklinde tanımlandığı için, bulduğumuz x değerini 2x+12x+1 ifadesinde yerine yazmalıyız: 2(5)+1=112(5)+1 = 11. Yani f(11)=7f(11)=7 olup, buradan f−1(7)=11f^{-1}(7)=11 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Ters fonksiyonun tanımı gereği f−1(b)=a  ⟺  f(a)=bf^{-1}(b) = a \iff f(a) = b ilişkisini kullan.
f(2x+1)=7f(2x+1) = 7 olması için fonksiyonun görüntü kümesindeki ifadenin 7'ye eşitlenmesi gerekir.
Fonksiyonun tersindeki 7 değeri, fonksiyonun düz halindeki görüntü (sonuç) değeridir.
2
Verilen eşitliğin sağ tarafını 7'ye eşitleyip x değerini bul.
4x+1x−2=7⇒4x+1=7(x−2)⇒4x+1=7x−14⇒15=3x⇒x=5\frac{4x+1}{x-2} = 7 \Rightarrow 4x+1 = 7(x-2) \Rightarrow 4x+1 = 7x-14 \Rightarrow 15 = 3x \Rightarrow x=5
Bu x değeri, görüntüsü 7 olan girdi değerini bulmamızı sağlayacak anahtardır.
3
Bulunan x değerini fonksiyonun tanım kümesindeki 2x+12x+1 ifadesinde yerine yaz.
f(2⋅5+1)=f(11)=7f(2\cdot5 + 1) = f(11) = 7 olduğu için f−1(7)=11f^{-1}(7) = 11 bulunur.
Soruda bizden istenen x değeri değil, fonksiyonun içindeki 2x+12x+1 ifadesinin değeridir.

Key Concept

Bir fonksiyonun tersinde değer bulmak için, fonksiyonun sonucunu o değere eşitleyen girdi değerini bulmak gerekir (f−1(y)=x  ⟺  f(x)=yf^{-1}(y)=x \iff f(x)=y).

Hints

1
f−1(7)f^{-1}(7) ifadesi, 'fonksiyonun sonucunu 7 yapan değer' anlamına gelir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki kesirli ifadeyi 7'ye eşitleyerek x değerini bulmalısın.
3
Bulduğun x değerini f(2x+1)f(2x+1) içindeki x yerine yazmayı unutma.

Practice More

Benzer yapıda fakat f(x)f(x) yerine f(3x−2)f(3x-2) gibi farklı bir iç ifade içeren ters fonksiyon soruları çözülebilir.

Alternative Method

Fonksiyonun tersini kural olarak bulup (f(x)f(x) formatına getirerek) sonra 7 yazmak da mümkündür, ancak bu soruda x'i bulup yerine koymak daha kısa sürer.
Estimated Time:1m 30s
Question 395Question →

aa ve bb gerçel sayıları için a≠−2ba \neq -2b olmak üzere,

a2−4b2−5a−10ba+2b=12 \frac{a^2 - 4b^2 - 5a - 10b}{a + 2b} = 12

olduğuna göre, a−2ba - 2b farkı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Verilen rasyonel ifade sadeleştirildiğinde a−2b−5=12a - 2b - 5 = 12 eşitliği elde edilir, buradan a−2b=17a - 2b = 17 bulunur.
Verilen kesrin payındaki a2−4b2a^2 - 4b^2 ifadesi iki kare farkı olarak (a−2b)(a+2b)(a-2b)(a+2b) şeklinde, −5a−10b-5a - 10b ifadesi ise −5(a+2b)-5(a+2b) şeklinde yazılır. Pay (a+2b)(a+2b) parantezine alındığında (a+2b)(a−2b−5)(a+2b)(a-2b-5) elde edilir. Paydadaki (a+2b)(a+2b) ile sadeleşen bu ifade a−2b−5a-2b-5 haline gelir. a−2b−5=12a-2b-5 = 12 denkleminden istenen a−2ba-2b farkı 17 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki terimleri gruplandırın.
(a2−4b2)−(5a+10b) (a^2 - 4b^2) - (5a + 10b)
İfadeyi çarpanlarına ayırabilmek için benzer terimleri bir araya getirmeliyiz.
2
İki kare farkı özdeşliğini ve ortak çarpan parantezi yöntemini uygulayın.
(a−2b)(a+2b)−5(a+2b) (a - 2b)(a + 2b) - 5(a + 2b)
a2−4b2=(a−2b)(a+2b)a^2 - 4b^2 = (a-2b)(a+2b) ve 5a+10b=5(a+2b)5a + 10b = 5(a+2b) olduğu için.
3
Payı (a+2b)(a + 2b) ortak parantezine alarak sadeleştirin.
(a+2b)(a−2b−5)a+2b=a−2b−5 \frac{(a + 2b)(a - 2b - 5)}{a + 2b} = a - 2b - 5
a+2b≠0a + 2b \neq 0 olduğu için pay ve paydadaki ortak çarpanlar birbirini götürür.
4
Elde edilen basit denklemi çözün.
a−2b−5=12⇒a−2b=17 a - 2b - 5 = 12 \Rightarrow a - 2b = 17
Eşitliğin sol tarafındaki -5 sayısını sağ tarafa işaretini değiştirerek (+5 olarak) geçirdiğimizde sonuca ulaşırız.

Key Concept

İki Kare Farkı ve Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

Hints

1
Pay kısmındaki terimleri ikişerli gruplandırarak başlayın.
2
İki kare farkı özdeşliğini (x2−y2x^2 - y^2) hatırlayın ve paydadaki ifadeyi çarpan olarak elde etmeye çalışın.
3
Payı (a+2b)(a+2b) parantezine aldığınızda paydadaki terimle sadeleşecektir; geriye kalan ifadeyi 12'ye eşitleyin.

Practice More

Benzer şekilde tam kare ifadeler içeren rasyonel sadeleştirme sorularını inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 396Question →

AA, BB ve CC kümeleri tam sayılar kümesi üzerinde aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∣10<x<200,x=3k,k∈Z}A = \{x \mid 10 < x < 200, x = 3k, k \in \mathbb{Z}\}

B={x∣10<x<200,x=4m,m∈Z}B = \{x \mid 10 < x < 200, x = 4m, m \in \mathbb{Z}\}

C={x∣10<x<200,x=5n,n∈Z}C = \{x \mid 10 < x < 200, x = 5n, n \in \mathbb{Z}\}

Buna göre, A∩(B∪C)A \cap (B \cup C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

İstenen kümenin eleman sayısı 26'dır.
Soru bizden AA kümesinin elemanlarından hem BB hem de CC kümesinin birleşiminde olanları istemektedir. Dağılma özelliği gereği A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) olur. Bu iki kümenin birleşimini bulmak için önce her birinin eleman sayısını, sonra da kesişimlerini bulup formülde yerine koyarız: s((A∩B)∪(A∩C))=s(A∩B)+s(A∩C)−s(A∩B∩C)s((A \cap B) \cup (A \cap C)) = s(A \cap B) + s(A \cap C) - s(A \cap B \cap C). Hesaplamalar sonucu 16+13−3=2616 + 13 - 3 = 26 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İstenen ifadeyi dağılma özelliği kullanarak sadeleştir.
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
Kümelerde işlem kolaylığı sağlamak için dağılma özelliği uygulanır.
2
Alt kümelerin eleman sayılarını bulmak için EKOK hesapla.
A∩BA \cap B için EKOK(3,4)=12; A∩CA \cap C için EKOK(3,5)=15; A∩B∩CA \cap B \cap C için EKOK(3,4,5)=60.
Kesişim kümeleri, ilgili sayıların ortak katlarından oluşur.
3
Belirtilen aralıktaki (10, 200) eleman sayılarını hesapla.
s(A∩B)=⌊19912⌋−⌊1012⌋=16s(A \cap B) = \lfloor \frac{199}{12} \rfloor - \lfloor \frac{10}{12} \rfloor = 16; s(A∩C)=⌊19915⌋−⌊1015⌋=13s(A \cap C) = \lfloor \frac{199}{15} \rfloor - \lfloor \frac{10}{15} \rfloor = 13; s(A∩B∩C)=⌊19960⌋−⌊1060⌋=3s(A \cap B \cap C) = \lfloor \frac{199}{60} \rfloor - \lfloor \frac{10}{60} \rfloor = 3.
Terim sayısı formülü veya tam sayı bölmesi ile aralıktaki katlar bulunur.
4
Birleşim kümesi formülünü uygula: s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y).
16+13−3=2616 + 13 - 3 = 26
İki kümenin birleşiminde ortak elemanlar iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılmalıdır.

Key Concept

Kümelerde Dağılma Özelliği ve Birleşim Formülü (İçerme-Dışlama Prensibi)

Hints

1
İstenen ifadeyi (A∩B)∪(A∩C)(A \cap B) \cup (A \cap C) şeklinde düşünmek işlemi kolaylaştırır.
2
A∩BA \cap B kümesi hem 3'e hem 4'e bölünen (12'nin katı) sayılardır. Benzer şekilde A∩CA \cap C kümesi 15'in katlarıdır.
3
İki kümenin birleşimini hesaplarken s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) formülünü kullanın. Buradaki X∩YX \cap Y ifadesi, üç kümenin de kesişimi olan 60'ın katlarıdır.

Alternative Method

Venn şeması çizerek sadece (A∩B)∖C(A \cap B) \setminus C, sadece (A∩C)∖B(A \cap C) \setminus B ve (A∩B∩C)(A \cap B \cap C) bölgelerinin eleman sayılarını ayrı ayrı bulup toplayabilirsiniz: (16−3)+(13−3)+3=13+10+3=26(16-3) + (13-3) + 3 = 13 + 10 + 3 = 26.
Estimated Time:2m 30s
Question 397Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı,

3x−15x+4≤1 \frac{3x - 15}{x + 4} \leq 1
∣x−2∣>4 |x - 2| > 4


eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Sistemi sağlayan tam sayıların toplamı 21'dir.
Doğru cevap, iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimindeki tüm tam sayıların (−3,7,8,9-3, 7, 8, 9) doğru tespit edilip toplanmasıyla bulunur. Toplam 2121 eder.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitsizliği düzenleyerek çözüm aralığını bul.
3x−15x+4−1≤0⇒2x−19x+4≤0\frac{3x - 15}{x + 4} - 1 \leq 0 \Rightarrow \frac{2x - 19}{x + 4} \leq 0
Kökler: x=−4x = -4 (payda, tanımsız) ve x=9,5x = 9,5 (pay, sıfır). Tablo incelendiğinde çözüm aralığı (−4,9,5](-4, 9,5] bulunur.
Rasyonel eşitsizliklerde sağ taraf sıfır yapılmalı ve işaret tablosu oluşturulmalıdır. İçler dışlar çarpımı yapmak kök kaybına veya işaret hatasına neden olabilir.
2
İkinci eşitsizliği mutlak değer kuralına göre aç.
∣x−2∣>4|x - 2| > 4 ise iki durum vardır: x−2>4⇒x>6x - 2 > 4 \Rightarrow x > 6 VEYA x−2<−4⇒x<−2x - 2 < -4 \Rightarrow x < -2. Çözüm kümesi: (−∞,−2)∪(6,∞)(-\infty, -2) \cup (6, \infty).
∣u∣>a|u| > a eşitsizliği u>au > a veya u<−au < -a şeklinde çözülür.
3
İki çözüm kümesinin kesişimini al.
1. Bölge: (−4,9,5]∩(−∞,−2)⇒(−4,−2)(-4, 9,5] \cap (-\infty, -2) \Rightarrow (-4, -2)
2. Bölge: (−4,9,5]∩(6,∞)⇒(6,9,5](-4, 9,5] \cap (6, \infty) \Rightarrow (6, 9,5]
Sistem çözümü için her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan aralıklar bulunmalıdır.
4
Kesişim aralığındaki tam sayıları belirle ve topla.
(−4,−2)(-4, -2) aralığındaki tam sayı: −3-3
(6,9,5](6, 9,5] aralığındaki tam sayılar: 7,8,97, 8, 9
Toplam: −3+7+8+9=21-3 + 7 + 8 + 9 = 21
Sınır değerlerine dikkat edilmelidir; -4 ve -2 dahil değildir (açık aralık), 6 dahil değildir, ancak 9 dahildir.

Key Concept

Eşitsizlik Sistemleri ve Mutlak Değer

Hints

1
Birinci eşitsizlikte sağ taraftaki 1'i sol tarafa atarak payda eşitlemesi yapın ve işaret tablosu oluşturun.
2
Mutlak değerli eşitsizlik ∣x−2∣>4|x-2| > 4 ifadesi, x−2x-2'nin 4'ten büyük VEYA -4'ten küçük olduğu anlamına gelir.
3
Çözüm kümesi iki parçalı olacaktır: Negatif tarafta -4 ile -2 arası, pozitif tarafta 6 ile 9,5 arası. Tam sayıları bu aralıklardan seçin.
Estimated Time:3m 0s
Question 398Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=xy−3x−3y+kx \triangle y = xy - 3x - 3y + k

eşitliği ile veriliyor. Bu işlemin etkisiz (birim) elemanı bulunduğuna göre, işlemin yutan elemanı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

İşlemin yutan elemanı 3'tür.
Verilen işlemde yutan eleman tanımı (x△z=zx \triangle z = z) uygulandığında, her xx değeri için denklemi sağlayan tek değerin 3 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Etkisiz (birim) eleman ee için x△e=xx \triangle e = x eşitliğini kur.
xe−3x−3e+k=xxe - 3x - 3e + k = x
Birim eleman tanımı gereği sonucu değiştirmemelidir.
2
Denklemi ee parantezine alıp düzenleyerek kk değerini bul.
e(x−3)=4x−k⇒e=4(x−3)+12−kx−3e(x-3) = 4x - k \Rightarrow e = \frac{4(x-3) + 12 - k}{x-3}. ee'nin sabit olması için 12−k=0⇒k=1212-k=0 \Rightarrow k=12.
Etkisiz eleman xx'e bağlı olmayan sabit bir sayı olmalıdır.
3
Bulunan k=12k=12 değeri ile yutan eleman zz için x△z=zx \triangle z = z eşitliğini kur.
xz−3x−3z+12=zxz - 3x - 3z + 12 = z
Yutan eleman tanımı gereği işlem sonucu her zaman yutan elemana eşit olmalıdır.
4
Denklemi xx parantezine alıp her xx değeri için sağlanması gereken koşulu bul.
x(z−3)−4z+12=0x(z-3) - 4z + 12 = 0. Her xx için sağlanması için xx'in katsayısı sıfır olmalıdır: z−3=0⇒z=3z-3=0 \Rightarrow z=3.
Eşitliğin her gerçel sayı için sağlanması, değişkenin katsayısının ve sabit terimin sıfır olmasını gerektirir.

Key Concept

İşlemde Yutan Eleman

Hints

1
Önce işlemin birim (etkisiz) elemanı olabilmesi için kk sayısının kaç olması gerektiğini bulunuz.
2
Etkisiz eleman ee için x△e=xx \triangle e = x eşitliğinden ee'yi yalnız bırakın ve paydanın sadeleşmesi gerektiğini düşünün.
3
k=12k=12 bulunduktan sonra, yutan eleman zz için x△z=zx \triangle z = z eşitliğini her xx için sağlayan zz değerini arayın.

Practice More

Aynı işlem için tersi kendisine eşit olan elemanları bulunuz.

Alternative Method

Pratik Yol: x△y=a(x+m)+b(y+m)+cxy+kx \triangle y = a(x+m) + b(y+m) + cxy + k formatındaki sorularda yutan eleman genellikle değişkenin katsayısını sıfırlayan değerdir.
Estimated Time:3m 0s
Question 399Question →

1<x<21 < x < 2 olduğuna göre,

x2−2x+1+x2−4x+4\sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 4x + 4}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Verilen aralıkta köklü ifadeler mutlak değerle dışarı çıkarılıp toplandığında sonuç 1 olarak bulunur.
Verilen ifadeler sırasıyla ∣x−1∣|x-1| ve ∣x−2∣|x-2| olarak dışarı çıkar. 1<x<21 < x < 2 aralığında x−1x-1 pozitif olduğu için dışarı aynen çıkar, x−2x-2 ise negatif olduğu için önüne eksi alarak 2−x2-x şeklinde çıkar. Bu iki ifadenin toplamı (x−1)+(2−x)=1(x-1) + (2-x) = 1 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Kök içindeki ifadeleri tam kare formunda yazın.
x2−2x+1=(x−1)2x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 ve x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 olduğu görülür.
İfadelerin karekök dışına çıkabilmesi için tam kare özdeşliklerini fark etmek gerekir.
2
Karekök ve kare işlemini sadeleştirerek ifadeleri mutlak değer dışına çıkarın.
(x−1)2=∣x−1∣\sqrt{(x-1)^2} = |x-1| ve (x−2)2=∣x−2∣\sqrt{(x-2)^2} = |x-2| olur.
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| kuralı gereği, derecesi çift olan köklerde içerideki ifade mutlak değerle dışarı çıkar.
3
1<x<21 < x < 2 aralığına göre mutlak değerlerin işaretini belirleyin.
x>1x > 1 olduğu için x−1>0x-1 > 0 (pozitif), x<2x < 2 olduğu için x−2<0x-2 < 0 (negatif) olur.
Mutlak değerin dışına nasıl çıkacağını belirlemek için içindeki ifadenin verilen aralıktaki işareti incelenmelidir.
4
İfadeleri mutlak değer dışına çıkarıp toplayın.
(x−1)+(−(x−2))=x−1−x+2=1(x-1) + (-(x-2)) = x - 1 - x + 2 = 1 bulunur.
Pozitif olan ifade aynen, negatif olan ifade ise önüne eksi alarak çıkar ve sadeleştirme yapılır.

Key Concept

Köklü ifadelerde ann\sqrt[n]{a^n} sadeleştirmesi yapılırken n çift ise sonucun mutlak değer içinde çıkması kuralıdır.

Hints

1
Kök içindeki ifadelerin tanıdık tam kare açılımları (a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2) olup olmadığını kontrol edin.
2
Bir sayının karesinin karekökü, o sayının mutlak değerine eşittir: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|.
3
1<x<21 < x < 2 aralığında bir değer seçerek (örneğin x=1,5x = 1,5) mutlak değer içindeki ifadelerin pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu test edin.

Practice More

Mutlak değerli ifadelerin kök dışına çıkarılmasıyla ilgili daha karmaşık değişkenli soruları inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 400Question →
x≠1x \neq 1 ve x≠0x \neq 0 olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)=11−xf(x) = \frac{1}{1-x}

kuralı ile verilmiştir.
Her nn pozitif tam sayısı için fnf_n fonksiyonu,
fn(x)=(f∘f∘⋯∘f⏟n tane)(x)f_n(x) = (\underbrace{f \circ f \circ \dots \circ f}_{n \text{ tane}})(x)

biçiminde tanımlanmaktadır.

Buna göre, f2026(2)f_{2026}(2) ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

-1
Verilen fonksiyonun ardışık bileşkeleri alındığında değerlerin belirli bir periyotla tekrar ettiği görülür. x=2x=2 için değerler sırasıyla −1,1/2,2-1, 1/2, 2 şeklinde ilerler ve her 3 adımda bir başa döner. 2026 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 olduğu için, 2026. işlemin sonucu 1. işlemin sonucuna, yani -1'e eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun değerlerini adım adım hesaplayarak bir örüntü (periyot) olup olmadığını kontrol et.
f1(2)=f(2)=11−2=1−1=−1f_1(2) = f(2) = \frac{1}{1-2} = \frac{1}{-1} = -1
İlk bileşke değerini bulmak için.
2
Bulunan sonucu tekrar fonksiyona yazarak ikinci bileşkeyi hesapla.
f2(2)=f(f(2))=f(−1)=11−(−1)=12f_2(2) = f(f(2)) = f(-1) = \frac{1}{1-(-1)} = \frac{1}{2}
Örüntünün devamını görmek için.
3
Üçüncü bileşkeyi hesapla.
f3(2)=f(1/2)=11−(1/2)=11/2=2f_3(2) = f(1/2) = \frac{1}{1-(1/2)} = \frac{1}{1/2} = 2
Başlangıç değerine (x=2) ulaşıldığını ve döngünün tamamlandığını tespit etmek için.
4
Periyodu belirle ve istenen adım sayısı için modüler aritmetik uygula.
Döngü: 2→−1→1/2→22 \to -1 \to 1/2 \to 2. Periyot 3'tür (f3(x)=xf_3(x) = x). 2026≡1(mod3)2026 \equiv 1 \pmod 3.
2026. adımın döngüdeki hangi adıma denk geldiğini bulmak için.
5
Kalan sayıya karşılık gelen fonksiyon değerini seç.
Kalan 1 olduğu için sonuç f1(2)f_1(2) değerine eşittir, yani -1.
Doğru sonucu belirlemek için.

Key Concept

Bileşke Fonksiyonların Periyodik Özellikleri

Hints

1
Fonksiyonun x=2x=2 için ilk birkaç değerini (f(2)f(2), f(f(2))f(f(2)), ...) hesaplayarak sonuçların tekrar edip etmediğini kontrol edin.
2
Hesapladığınız değerler bir döngü oluşturuyorsa, bu döngünün kaç adımda bir tekrar ettiğini (periyodunu) bulun.
3
Periyot 3'tür. Yani her 3 işlemde bir sonuç tekrar 2 olur. 2026 sayısının 3'e bölümünden kalanı kullanarak hangi adımın sonucunu aradığınızı belirleyin.

Practice More

Periyodu 4 olan f(x)=(x−1)/(x+1)f(x) = (x-1)/(x+1) fonksiyonu için benzer bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Genel kuralı bulmak için f(x)f(x), f(f(x))f(f(x)) ve f(f(f(x)))f(f(f(x))) ifadelerini cebirsel olarak sadeleştirip f3(x)=xf_3(x) = x (Birim Fonksiyon) olduğunu görebilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
PreviousPage 20 / 22Next
Cebir — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 20 | Examkin