Examkin

Cebir

424 questions

Question 361Question →
x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
x−y=4x - y = 4
y−z=6y - z = 6
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x2+y2+z2−xy−yz−zxx^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 76

Answer

İfadenin doğru değeri 76'dır.
Verilen ifade 12[(x−y)2+(y−z)2+(x−z)2]\frac{1}{2} [(x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2] özdeşliğine eşittir. Denklem sisteminden x−z=10x-z=10 bulunur. Değerler yerine yazıldığında sonuç 76 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Sorulan ifadeyi tam kare özdeşlikleri cinsinden düzenle.
x2+y2+z2−xy−yz−zx=12[(x−y)2+(y−z)2+(x−z)2]x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = \frac{1}{2} \left[ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2 \right] formülünü kullan.
Bu özdeşlik, kareler toplamı ve ikili çarpımlar farkını verilen farklar cinsinden ifade etmeyi sağlar.
2
x−zx-z değerini bulmak için verilen denklemleri taraf tarafa topla.
(x−y)+(y−z)=4+6  ⟹  x−z=10(x-y) + (y-z) = 4 + 6 \implies x - z = 10
Formüldeki üçüncü terim olan (x−z)(x-z)'yi bulmak için.
3
Bulunan değerleri formülde yerine yaz.
12[42+62+102]\frac{1}{2} \left[ 4^2 + 6^2 + 10^2 \right]
Değerleri hesaplamak için.
4
İşlemleri tamamla.
12[16+36+100]=12[152]=76\frac{1}{2} [16 + 36 + 100] = \frac{1}{2} [152] = 76
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

İki kare farkı ve tam kare özdeşliklerinin özel dönüşümleri

Hints

1
Bu ifadeyi çarpanlara ayırma formüllerinden yararlanarak (x−y)2(x-y)^2, (y−z)2(y-z)^2 ve (x−z)2(x-z)^2 terimlerini içerecek şekilde düzenlemeye çalışın.
2
İfadeyi 2 ile çarpıp 2'ye bölerseniz, 2x2+2y2+2z2−2xy−2yz−2zx2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx elde edersiniz. Bu terimleri (x2−2xy+y2)(x^2-2xy+y^2) şeklinde gruplandırın.
3
Kullanmanız gereken özdeşlik: 12[(x−y)2+(y−z)2+(x−z)2]\frac{1}{2}[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2]. Ayrıca x−z=(x−y)+(y−z)x-z = (x-y) + (y-z) eşitliğini unutmayın.

Practice More

Benzer bir soruyu x−y=y−zx-y=y-z (eşit farklar) durumu için çözerek sonucun nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternative Method

Değer Verme Yöntemi: y=0y=0 seçilirse, denklemlerden x=4x=4 ve z=−6z=-6 bulunur. Bu değerler ifadede yerine yazılırsa: 42+02+(−6)2−(4)(0)−(0)(−6)−(−6)(4)=16+36+24=764^2 + 0^2 + (-6)^2 - (4)(0) - (0)(-6) - (-6)(4) = 16 + 36 + 24 = 76.
Estimated Time:2m 30s
Question 362Question →
3x⋅5y=135 3^x \cdot 5^y = 135
5x⋅3y=375 5^x \cdot 3^y = 375

eşitlikleri veriliyor. Buna göre, x2−y2 x^2 - y^2 ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

İfadenin değeri 8'dir.
Soruda verilen iki üslü denklem, değişkenleri (xx ve yy) doğrudan bulmak yerine, sistem olarak düşünülmelidir. Denklemler taraf tarafa çarpıldığında tabanlar birleştirilerek 15x+y=15415^{x+y}=15^4 elde edilir, bu da x+y=4x+y=4 sonucunu verir. Denklemler taraf tarafa bölündüğünde ise (3/5)x−y=(3/5)2(3/5)^{x-y}=(3/5)^2 elde edilir, bu da x−y=2x-y=2 sonucunu verir. İstenen x2−y2x^2-y^2 ifadesi, iki kare farkı özdeşliği gereği (x−y)(x+y)(x-y)(x+y) çarpımına eşittir. Dolayısıyla sonuç 2⋅4=82 \cdot 4 = 8 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarpın.
(3x⋅5y)⋅(5x⋅3y)=135⋅375 (3^x \cdot 5^y) \cdot (5^x \cdot 3^y) = 135 \cdot 375
(3x⋅3y)⋅(5x⋅5y)=(27⋅5)⋅(3⋅125) (3^x \cdot 3^y) \cdot (5^x \cdot 5^y) = (27 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 125)
3x+y⋅5x+y=33⋅31⋅51⋅53 3^{x+y} \cdot 5^{x+y} = 3^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 5^3
15x+y=34⋅54=154 15^{x+y} = 3^4 \cdot 5^4 = 15^4
Buradan x+y=4 x+y = 4 bulunur.
Tabanları farklı üslü ifadelerde üsler toplamını bulmak için denklemlerin çarpılması, ortak üs parantezine almayı sağlar.
2
Verilen iki eşitliği taraf tarafa bölün (birinciyi ikinciye).
3x⋅5y5x⋅3y=135375 \frac{3^x \cdot 5^y}{5^x \cdot 3^y} = \frac{135}{375}
3x3y⋅5y5x=2775=925 \frac{3^x}{3^y} \cdot \frac{5^y}{5^x} = \frac{27}{75} = \frac{9}{25}
3x−y⋅5−(x−y)=(35)2 3^{x-y} \cdot 5^{-(x-y)} = \left(\frac{3}{5}\right)^2
(35)x−y=(35)2 \left(\frac{3}{5}\right)^{x-y} = \left(\frac{3}{5}\right)^2
Buradan x−y=2 x-y = 2 bulunur.
Üsler farkını bulmak için denklemlerin bölünmesi, aynı tabanların oranlanmasını sağlar.
3
İstenen ifadeyi iki kare farkı özdeşliği ile hesaplayın.
x2−y2=(x−y)⋅(x+y) x^2 - y^2 = (x-y) \cdot (x+y)
x2−y2=2⋅4=8 x^2 - y^2 = 2 \cdot 4 = 8
xx ve yy değerlerini ayrı ayrı bulmak yerine özdeşlik kullanmak daha kısa ve güvenilir bir yoldur.

Key Concept

Üslü Denklemlerde Sistem Çözümü ve İki Kare Farkı

Hints

1
xx ve yy değerlerini tek tek bulmaya çalışmak yerine, eşitlikleri taraf tarafa çarpmayı deneyin.
2
Eşitlikleri taraf tarafa çarptığınızda x+yx+y, böldüğünüzde ise x−yx-y ile ilgili bir bağıntı bulacaksınız.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış köklü sayı sistemleri soruları çözülebilir.

Alternative Method

x=3x=3 ve y=1y=1 değerlerini deneme-yanılma yoluyla veya 135=33⋅51135 = 3^3 \cdot 5^1 asal çarpanlarına ayırma yöntemiyle doğrudan bularak da sonuca gidilebilir: 32−12=9−1=83^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.
Estimated Time:3m 0s
Question 363Question →
Sıfırdan farklı a,ba, b ve cc gerçel sayıları için;
a⋅b<0a \cdot b < 0
b−a<0b - a < 0
a⋅c>b⋅ca \cdot c > b \cdot c

eşitsizlikleri verildiğine göre, aşağıdaki bağıntılardan hangisi her durumda sağlanır?
Show answer & explanation

Answer: ba<ba+c\frac{b}{a} < \frac{b}{a + c}

Answer

ba<ba+c\frac{b}{a} < \frac{b}{a + c} bağıntısının bulunduğu seçenek doğrudur.
Verilen eşitsizliklerden b<0b < 0, a>0a > 0 ve c>0c > 0 sonuçları elde edilir. aa ve cc pozitif olduğu için a+ca + c değeri aa'dan büyüktür. Paydası daha büyük olan pozitif kesir (1a+c\frac{1}{a+c}) daha küçüktür. Ancak bu kesir negatif olan bb sayısı ile çarpıldığında, eşitsizlik yön değiştirerek ba<ba+c\frac{b}{a} < \frac{b}{a+c} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
aa ve bb değişkenlerinin işaretlerini belirleyin.
b<0<ab < 0 < a
a⋅b<0a \cdot b < 0 olması sayıların zıt işaretli olduğunu, b−a<0⇒b<ab - a < 0 \Rightarrow b < a olması ise bb'nin negatif, aa'nın pozitif olduğunu gösterir.
2
cc değişkeninin işaretini belirleyin.
c>0c > 0
a⋅c>b⋅ca \cdot c > b \cdot c eşitsizliğinde terimler sol tarafa toplanırsa c(a−b)>0c(a - b) > 0 elde edilir. a>ba > b olduğu için (a−b)(a - b) pozitiftir; dolayısıyla cc de pozitif olmalıdır.
3
Doğru bağıntıyı kanıtlayın.
ba<ba+c\frac{b}{a} < \frac{b}{a + c}
a>0a > 0 ve c>0c > 0 olduğundan a<a+ca < a + c yazılabilir. Pozitif sayılarla kurulan rasyonel ifadede 1a>1a+c\frac{1}{a} > \frac{1}{a + c} olur. Bu eşitsizlik negatif olan bb sayısı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.

Key Concept

Basit Eşitsizliklerde Çarpma ve İşaret Analizi
Question 364Question →

AA ve BB kümeleri için;

s(A∪B)=17s(A \cup B) = 17
s(A∩B)=4s(A \cap B) = 4
s(A)=2⋅s(B)s(A) = 2 \cdot s(B)

olduğuna göre, B∖AB \setminus A kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Sadece B kümesine ait olan eleman sayısı 3'tür.
Doğru yanıt olan 3 değeri, BB kümesinin toplam eleman sayısı olan 7'den, her iki kümede ortak bulunan 4 elemanın çıkarılmasıyla elde edilir. Bu işlem B∖AB \setminus A bölgesini doğru tanımlar.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerde birleşim formülünü yazalım.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)
İki kümenin birleşimindeki eleman sayısını bulmak için temel kuraldır.
2
Verilen oranları değişken kullanarak ifade edelim.
s(B)=xs(B) = x ise s(A)=2xs(A) = 2x olur.
Soruda s(A)s(A)'nın s(B)s(B)'nin iki katı olduğu belirtilmiştir.
3
Değerleri formülde yerine koyarak denklemi çözelim.
17=2x+x−4⇒17+4=3x⇒21=3x⇒x=717 = 2x + x - 4 \Rightarrow 17 + 4 = 3x \Rightarrow 21 = 3x \Rightarrow x = 7. Yani s(B)=7s(B) = 7 ve s(A)=14s(A) = 14 bulunur.
s(B)s(B) değerini bulmak için cebirsel çözüm yapılır.
4
İstenen fark kümesinin eleman sayısını hesaplayalım.
s(B∖A)=s(B)−s(A∩B)=7−4=3s(B \setminus A) = s(B) - s(A \cap B) = 7 - 4 = 3.
B∖AB \setminus A, BB kümesinde olup AA kümesinde olmayan elemanları temsil eder.

Key Concept

Kümelerde Birleşim ve Fark İşlemi

Hints

1
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülünü hatırlayın.
2
s(B)s(B)'ye xx diyerek s(A)s(A)'yı 2x2x olarak yazın ve birleşim sayısını veren denklemde yerine koyun.
3
s(B)s(B)'yi bulduktan sonra, sadece BB kümesinde olanları bulmak için kesişimdeki 4 elemanı çıkarmayı unutmayın.

Practice More

Venn şeması çizerek her bölgeye düşen eleman sayılarını yerleştirmek, bu tür soruları görselleştirmek için en iyi yoldur.
Estimated Time:1m 30s
Question 365Question →
x≠−5,x≠−3,x≠−2x \neq -5, x \neq -3, x \neq -2 ve x≠5x \neq 5 olmak üzere,
x3−19x−30x2−25⋅x2+5xx2+5x+6 \frac{x^3 - 19x - 30}{x^2 - 25} \cdot \frac{x^2 + 5x}{x^2 + 5x + 6}
ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: x

Answer

İfadenin en sade hâli xx sonucudur.
Verilen rasyonel ifadede önce küplü terim (x−5)(x2+5x+6)(x-5)(x^2+5x+6) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Diğer terimler de çarpanlarına ayrıldığında, pay ve paydadaki (x−5)(x-5), (x+5)(x+5) ve (x2+5x+6)(x^2+5x+6) ifadelerinin tamamı birbirini sadeleştirir ve geriye sadece xx çarpanı kalır.

Step-by-Step Solution

1
İlk kesrin payındaki küp ifadeyi çarpanlarına ayır.
x3−19x−30x^3 - 19x - 30 ifadesini çarpanlarına ayırmak için, paydadaki (x2−25)(x^2-25) ipucu olarak kullanılabilir. x=5x=5 denendiğinde 125−95−30=0125 - 95 - 30 = 0 olduğu görülür. Polinom bölmesi veya Horner yöntemiyle: x3−19x−30=(x−5)(x2+5x+6)x^3 - 19x - 30 = (x-5)(x^2 + 5x + 6) elde edilir.
Üçüncü dereceden ifadelerin çarpanlarını bulmak için rasyonel kök teoremi veya verilen diğer ifadelerden ipucu alma yöntemi kullanılır.
2
Elde edilen ikinci derece ifadeyi ve diğer tüm terimleri çarpanlarına ayır.
Pay: (x−5)(x+2)(x+3)(x-5)(x+2)(x+3). Payda: x2−25=(x−5)(x+5)x^2 - 25 = (x-5)(x+5). İkinci kesir pay: x2+5x=x(x+5)x^2 + 5x = x(x+5). İkinci kesir payda: x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3).
Sadeleştirme yapabilmek için tüm ifadeler çarpım durumuna getirilmelidir.
3
Tüm çarpanları yerine yaz ve sadeleştirme işlemini uygula.
(x−5)(x+2)(x+3)(x−5)(x+5)⋅x(x+5)(x+2)(x+3) \frac{(x-5)(x+2)(x+3)}{(x-5)(x+5)} \cdot \frac{x(x+5)}{(x+2)(x+3)} Ortak çarpanlar (x−5)(x-5), (x+5)(x+5) ve (x+2)(x+3)(x+2)(x+3) birbirini götürür. Geriye sadece xx kalır.
Pay ve paydadaki aynı çarpanlar birbirini sadeleştirir.

Key Concept

Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ve üçüncü dereceden polinomların çarpanlara ayrılması.

Hints

1
İşleme başlamadan önce paydadaki (x2−25)(x^2 - 25) ifadesinin çarpanlarına (x−5x-5 ve x+5x+5) dikkat edin. Bu çarpanlardan biri pay kısmındaki x3−19x−30x^3 - 19x - 30 ifadesinin de bir çarpanı olabilir mi?
2
x=5x=5 değerini x3−19x−30x^3 - 19x - 30 ifadesinde yerine koyarak sonucun 0 olup olmadığını kontrol edin. Eğer 0 ise, (x−5)(x-5) bir çarpandır.
3
x3−19x−30x^3 - 19x - 30 ifadesini (x−5)(x-5)'e böldüğünüzde elde edeceğiniz bölüm x2+5x+6x^2 + 5x + 6 olacaktır. Bu ifade, ikinci kesrin paydasıyla aynıdır.

Practice More

Üçüncü dereceden polinomların çarpanlara ayrılması konusunda daha fazla pratik yapmak için 'Polinomlarda Bölme' konusuna göz atabilirsiniz.

Alternative Method

Polinom bölmesi yapmak yerine, şıklardan giderek veya xx yerine tanım kümesine uygun basit bir sayı (örneğin x=1x=1) vererek sonuç kontrol edilebilir. Ancak bu yöntem teorik öğrenmeyi desteklemez.
Estimated Time:2m 30s
Question 366Question →
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
x2+y2+4x−10y+29=0x^2 + y^2 + 4x - 10y + 29 = 0
olduğuna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -10

Answer

Verilen denklem tam kare ifadelere dönüştürüldüğünde x=−2x=-2 ve y=5y=5 değerlerine ulaşılır, bu değerlerin çarpımı ise -10 sonucunu verir.
Verilen denklemde x2+4xx^2+4x ve y2−10yy^2-10y ifadeleri, tam kareye tamamlanmak için sırasıyla 44 ve 2525 sayılarına ihtiyaç duyar. Sabit terim olan 2929 bu ihtiyacı tam olarak karşılar (29=4+2529 = 4 + 25). Bu durumda ifade (x+2)2+(y−5)2=0(x+2)^2 + (y-5)^2 = 0 halini alır. Gerçel sayılarda karelerin toplamı sıfır ise her bir terim sıfır olmalıdır. Buradan x=−2x = -2 ve y=5y = 5 bulunur. Çarpımları ise −10-10 eder.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi, değişkenleri kendi aralarında gruplandırarak ve sabit terimi bu gruplara uygun şekilde paylaştırarak yeniden düzenleyin.
x2+4x+4+y2−10y+25=0x^2 + 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 0
29 sayısını 4 ve 25 olarak ayırmak, ifadeyi tam kare toplamları haline getirebilmemizi sağlar.
2
xx ve yy içeren grupları tam kare özdeşliklerini kullanarak çarpanlarına ayırın.
(x+2)2+(y−5)2=0(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 0
(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 özdeşliğini uygulamak için.
3
İki tam karenin toplamı sıfır ise, her bir tam karenin içinin sıfıra eşit olması gerektiğini kullanarak xx ve yy değerlerini bulun.
x+2=0⇒x=−2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 ve y−5=0⇒y=5y - 5 = 0 \Rightarrow y = 5
Gerçel sayıların kareleri toplamı ancak her bir terim ayrı ayrı sıfır olduğunda sıfıra eşit olabilir.
4
Bulunan xx ve yy değerlerini çarparak soruda istenen sonucu elde edin.
(−2)⋅5=−10(-2) \cdot 5 = -10
Soruda bizden xx ve yy değişkenlerinin çarpımı istendiği için.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği ve Kareler Toplamı

Hints

1
Denklemi tam kare ifadelerin toplamı ((...)2+(...)2=0(...)^2 + (...)^2 = 0) şeklinde yazmaya çalışın.
2
2929 sayısını 44 ve 2525 olarak ikiye ayırarak xx ve yy terimleriyle gruplandırın.
3
(x+2)2+(y−5)2=0(x+2)^2 + (y-5)^2 = 0 eşitliğini elde ettikten sonra, her bir parantezin içini sıfıra eşitleyin.

Practice More

Benzer bir mantıkla üç değişkenli (x, y ve z) tam kare tamamlama sorularını çözerek pratik yapabilirsiniz.
Estimated Time:1m 20s
Question 367Question →

Aşağıdaki sayı doğrusunda, 22 noktasının içi boş ve 66 noktasının içi dolu olarak işaretlenmiş, bu iki nokta arasındaki bölge ise koyu renkli bir çizgiyle taranmıştır.

Bu taranan bölgedeki sayılar x−3x - 3 ifadesinin alabileceği değerleri temsil ettiğine göre, xx reel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 5<x≤95 < x \leq 9

Answer

xx reel sayısının alabileceği en geniş aralık 5<x≤95 < x \leq 9 eşitsizliği ile ifade edilir.
Sayı doğrusunda verilen aralık (2,6](2, 6] şeklindedir ve bu aralık x−3x-3 ifadesini temsil eder. Dolayısıyla kurulan eşitsizlik 2<x−3≤62 < x-3 \leq 6 olur. xx değerini bulmak için eşitsizliğin her tarafına 33 eklendiğinde 5<x≤95 < x \leq 9 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Sayı doğrusundaki görsel veriyi eşitsizlik formuna dönüştürün.
2<x−3≤62 < x - 3 \leq 6
22 noktası açık (içi boş) olduğu için 'küçüktür' (<<), 66 noktası kapalı (içi dolu) olduğu için 'küçük eşittir' (≤\leq) sembolü kullanılır.
2
xx değişkenini yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafına 33 ekleyin.
2+3<x−3+3≤6+32 + 3 < x - 3 + 3 \leq 6 + 3
Eşitsizliğin bir tarafındaki sabiti yok etmek için o sabitin toplama işlemine göre tersi her tarafa eklenmelidir.
3
İşlemleri tamamlayarak nihai aralığı belirleyin.
5<x≤95 < x \leq 9
Basit toplama işlemleri sonucunda xx değişkeninin alabileceği değer aralığına ulaşılır.

Key Concept

Basit eşitsizliklerin sayı doğrusu üzerindeki gösterimi ve eşitsizliklerde temel toplama-çıkarma işlemleri.

Hints

1
Sayı doğrusundaki içi boş ve içi dolu noktaların hangi eşitsizlik sembollerine (<<, ≤\leq) karşılık geldiğini belirleyin.
2
Taranan bölgenin xx değil, x−3x-3 olduğunu fark edin. Önce x−3x-3 için bir aralık kurun.
3
2<x−3≤62 < x - 3 \leq 6 eşitsizliğinde xx'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafına 33 ekleyin.

Practice More

Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıyla çarptığınızda veya böldüğünüzde eşitsizliğin yön değiştirmesi gerektiğini unutmayın.
Estimated Time:1m 0s
Question 368Question →
xx ve yy gerçel sayıları için,
(x+y)2=45(x+y)^2 = 45
(x−y)2=21(x-y)^2 = 21
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6
Soruda verilen (x+y)2(x+y)^2 ve (x−y)2(x-y)^2 ifadeleri arasındaki temel ilişki (x+y)2−(x−y)2=4xy(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy özdeşliğidir. Verilen sayısal değerler (45 ve 21) bu denklemde yerine konulduğunda 45−21=2445 - 21 = 24 bulunur. Bu değer 4xy4xy'ye eşittir. Her iki taraf 4'e bölündüğünde xy=6xy = 6 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen iki ifade taraf tarafa çıkarılır.
(x+y)2−(x−y)2=45−21(x+y)^2 - (x-y)^2 = 45 - 21
x⋅yx \cdot y terimini elde etmek için tam kare ifadelerin farkından yararlanılır.
2
Tam kare açılımları yazılarak işlem düzenlenir.
(x2+2xy+y2)−(x2−2xy+y2)=24(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 24
Parantez içindeki terimlerin işaretlerine dikkat edilerek çıkarma işlemi yapılır.
3
Sadeleştirme yapılır ve xyxy bulunur.
4xy=24⇒xy=64xy = 24 \Rightarrow xy = 6
x2x^2 ve y2y^2 terimleri birbirini götürür, geriye 4xy4xy kalır.

Key Concept

İki terimin toplamının ve farkının karesi özdeşlikleri arasındaki ilişki: (x+y)2−(x−y)2=4xy(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy

Hints

1
(x+y)2(x+y)^2 ve (x−y)2(x-y)^2 ifadelerini açık halleriyle (x2+2xy+y2x^2 + 2xy + y^2 ve x2−2xy+y2x^2 - 2xy + y^2) yazmayı deneyin.
2
Yazdığınız bu iki ifadeyi taraf tarafa çıkarırsanız x2x^2 ve y2y^2 terimleri yok olur.
3
Çıkarma işlemi sonucunda elinizde sadece 4xy4xy kalacaktır.

Practice More

x2+y2x^2 + y^2 toplamının sorulduğu bir soru çözerek iki yöntem arasındaki farkı pekiştirin.

Alternative Method

Alternatif olarak; birinci denklemden x2+y2=45−2xyx^2 + y^2 = 45 - 2xy, ikinci denklemden x2+y2=21+2xyx^2 + y^2 = 21 + 2xy yazıp bu iki ifade birbirine eşitlenerek de çözülebilir: 45−2xy=21+2xy⇒24=4xy45 - 2xy = 21 + 2xy \Rightarrow 24 = 4xy.
Estimated Time:1m 30s
Question 369Question →

Bir kamu kurumundaki bilgisayar sayısının çalışan sayısına oranı 35\frac{3}{5}'tir. Bu kurumda toplam 45 çalışan olduğuna göre, kurumdaki bilgisayar sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

Kurumdaki bilgisayar sayısı 27'dir.
Verilen orana göre bilgisayar sayısı 3k3k, çalışan sayısı 5k5k olarak temsil edilir. Çalışan sayısı 5k=455k = 45 olduğundan k=9k = 9 bulunur. Buradan bilgisayar sayısı 3×9=273 \times 9 = 27 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen oranı matematiksel olarak ifade etme
Bilgisayar SayısıC¸alıs¸an Sayısı=35\frac{\text{Bilgisayar Sayısı}}{\text{Çalışan Sayısı}} = \frac{3}{5}
Soruda bilgisayar sayısının çalışan sayısına oranının 3/5 olduğu belirtilmiştir.
2
Orantı sabiti (kk) belirleme
Bilgisayar Sayısı=3k\text{Bilgisayar Sayısı} = 3k, C¸alıs¸an Sayısı=5k\text{Çalışan Sayısı} = 5k
Oranlardaki pay ve payda, gerçek değerlerin ortak bir katı ile ifade edilebilir.
3
Verilen çalışan sayısı bilgisini kullanarak kk değerini bulma
5k=45⇒k=455=95k = 45 \Rightarrow k = \frac{45}{5} = 9
Kurumda 45 çalışan olduğu bilgisiyle orantı sabiti hesaplanır.
4
Bilgisayar sayısını hesaplama
Bilgisayar Sayısı=3k=3×9=27\text{Bilgisayar Sayısı} = 3k = 3 \times 9 = 27
Hesaplanan orantı sabiti bilgisayar sayısı ifadesinde yerine yazılır.

Key Concept

Oran, iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasıdır. Bir a/ba/b oranında gerçek değerleri bulmak için orantı sabiti (kk) kullanılır.

Hints

1
Oran, parçaların birbirine olan büyüklüğünü gösterir. Bilgisayarlar 3 kat iken çalışanlar 5 kattır.
2
Çalışan sayısı 45 olduğuna göre, 5 katın kaça denk geldiğini bularak bir 'kat' (birim) değerini hesaplayın.
3
5×Kat=455 \times \text{Kat} = 45 ise Kat=9\text{Kat} = 9'dur. Şimdi bilgisayar sayısı olan 3 katı bulun.

Practice More

Benzer bir soruda, bilgisayar ve çalışan sayılarının toplamı verilerek her birinin ayrı ayrı değerleri istenebilir.

Alternative Method

İçler dışlar çarpımı yöntemi: 35=x45\frac{3}{5} = \frac{x}{45} eşitliğinde 5x=3×455x = 3 \times 45 denkleminden x=27x = 27 bulunur.
Estimated Time:45s
Question 370Question →
a,ba, b ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
ab<−1 \frac{a}{b} < -1
b⋅c>0 b \cdot c > 0
a+c<0 a + c < 0
eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
Show answer & explanation

Answer: a⋅c<0a \cdot c < 0

Answer

aa ve cc sayılarının çarpımının negatif olduğu (a⋅c<0a \cdot c < 0) seçeneği daima doğrudur.
Verilen sistemde bb sayısının işareti belirsizdir, bu yüzden iki durum incelenmelidir. bb pozitifse cc pozitif ve aa negatif olur. bb negatifse cc negatif ve aa pozitif olur. Her iki durumda da aa ve cc sayıları zıt işaretlidir. Zıt işaretli iki sayının çarpımı daima negatiftir (a⋅c<0a \cdot c < 0).

Step-by-Step Solution

1
bb ve cc işaretlerini analiz et
b⋅c>0b \cdot c > 0 olduğu için bb ve cc aynı işaretlidir (+,++,+ veya −,−-,-).
İki sayının çarpımı pozitifse, sayılar aynı işaretli olmalıdır.
2
1. Durumu (b>0b > 0) incele
b>0b > 0 ise c>0c > 0 olur. ab<−1\frac{a}{b} < -1 eşitsizliğinde her iki tarafı bb (pozitif) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmez: a<−ba < -b. Bu durumda aa negatiftir. a(−),b(+),c(+)a(-), b(+), c(+).
Eşitsizliklerde pozitif sayıyla çarpma yönü korur.
3
2. Durumu (b<0b < 0) incele
b<0b < 0 ise c<0c < 0 olur. ab<−1\frac{a}{b} < -1 eşitsizliğinde her iki tarafı bb (negatif) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir: a>−ba > -b. bb negatif olduğu için −b-b pozitiftir, yani aa pozitiftir. a(+),b(−),c(−)a(+), b(-), c(-).
Eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma yönü değiştirir. Bu kritik bir ayrımdır.
4
Seçenekleri her iki durum için test et
1. Durumda: a(−),c(+)a(-), c(+) çarpımı negatiftir. 2. Durumda: a(+),c(−)a(+), c(-) çarpımı negatiftir. Her iki durumda da a⋅c<0a \cdot c < 0 kesindir.
Daima doğru olması için tüm olası senaryolarda sağlanması gerekir.

Key Concept

Eşitsizliklerde işaret analizi ve durum (vaka) incelemesi
Question 371Question →

3x2−753x^2 - 75 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 3(x−5)(x+5)3(x - 5)(x + 5)

Answer

Verilen ifade önce 3 ortak çarpan parantezine alınmalı, ardından elde edilen x2−25x^2 - 25 ifadesine iki kare farkı özdeşliği uygulanarak 3(x−5)(x+5)3(x - 5)(x + 5) sonucuna ulaşılmalıdır.
Verilen ifade 3 parantezine alındığında x2−25x^2 - 25 elde edilir. 25 sayısı 5'in karesi olduğu için bu ifade x2−52x^2 - 5^2 biçiminde bir iki kare farkıdır. Özdeşlik kuralına göre bu fark, terimlerin toplamı ile farkının çarpımına eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Ortak çarpanı belirle ve dışarı çıkar.
3(x2−25)3(x^2 - 25)
İfadedeki her iki terim de 3 sayısına tam bölünmektedir.
2
Parantez içindeki ifadeye iki kare farkı özdeşliğini uygula.
3(x−5)(x+5)3(x - 5)(x + 5)
x2−25x^2 - 25 ifadesi x2−52x^2 - 5^2 şeklinde yazılabildiğinden a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) kuralı uygulanır.

Key Concept

Ortak Çarpan Parantezine Alma ve İki Kare Farkı Özdeşliği

Hints

1
İfadedeki her iki terimin de 3 ile bölünüp bölünmediğine bakın.
2
3 parantezine aldıktan sonra parantez içinde kalan x2−25x^2 - 25 ifadesine odaklanın. 25 hangi sayının karesidir?
3
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) özdeşliğini kullanarak parantez içini çarpanlarına ayırın.

Practice More

Benzer şekilde 2x2−182x^2 - 18 ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyerek yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Şıklardaki ifadeleri tek tek dağıtarak hangisinin 3x2−753x^2 - 75 sonucunu verdiğini kontrol edebilirsiniz, ancak bu yöntem zaman alıcı olabilir.
Estimated Time:45s
Question 372Question →

Bir terazinin sol kefesinde her birinin ağırlığı xx kg olan 2 adet özdeş kutu ve 9 kg'lık bir ağırlık, sağ kefesinde ise 21 kg'lık bir ağırlık bulunmaktadır. Terazi bu haliyle dengede olduğuna göre, bir adet xx kutusunun ağırlığı kaç kg'dır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Bir adet xx kutusunun ağırlığı 6 kg'dır.
Terazi dengede olduğu için 2x+9=212x + 9 = 21 denklemi kurulur. Buradan 9 sayısı karşıya −9-9 olarak geçer ve 2x=122x = 12 elde edilir. Her iki taraf 2'ye bölündüğünde x=6x = 6 kg bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Terazinin denge durumunu matematiksel bir denklem olarak ifade edin.
2x+9=212x + 9 = 21
Sol kefedeki ağırlıkların toplamı, sağ kefedeki ağırlığa eşit olmalıdır.
2
+9+9 sayısını eşitliğin sağ tarafına geçirin.
2x=21−92x = 21 - 9
Bilinmeyeni (xx) yalnız bırakmak için sabit terimi karşı tarafa zıt işaretiyle (+9→−9+9 \rightarrow -9) göndeririz.
3
Eşitliğin sağ tarafındaki çıkarma işlemini yapın.
2x=122x = 12
Denklemi sadeleştirerek bilinmeyenin katsayısına ulaşırız.
4
Her iki tarafı xx'in katsayısı olan 2'ye bölün.
x=6x = 6
xx değerini tek başına bulmak için çarpım durumundaki katsayıyı bölü olarak karşıya göndeririz.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde terimlerin eşitliğin diğer tarafına işaret değiştirerek geçmesi ve bilinmeyenin yalnız bırakılması.

Hints

1
Terazinin dengede olması, her iki tarafın toplam ağırlığının birbirine eşit olduğu anlamına gelir.
2
Önce kutuların yanındaki 9 kg'lık fazlalığı her iki taraftan da çıkarmayı deneyin.
3
2 adet kutunun toplam ağırlığı 21−9=1221 - 9 = 12 kg ise, bir adet kutunun ağırlığını bulmak için bu değeri 2'ye bölmelisiniz.

Practice More

Bilinmeyenin katsayısının negatif olduğu (örneğin 10−2x=410 - 2x = 4) benzer bir denklem çözerek işaret değiştirme kuralını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Deneme-yanılma yoluyla seçenekleri 2x+9=212x + 9 = 21 denkleminde yerine koyabilirsiniz. Örneğin x=6x = 6 için 2(6)+9=12+9=212(6) + 9 = 12 + 9 = 21 eşitliği sağlandığı görülür.
Estimated Time:45s
Question 373Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(2x+5)2(2x + 5)^2
ifadesinin özdeşi olan açılım aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 4x2+20x+254x^2 + 20x + 25

Answer

4x2+20x+254x^2 + 20x + 25 ifadesidir.
İki terimli bir ifadenin karesi alınırken (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 kuralı uygulanır. Burada a=2xa=2x ve b=5b=5 olduğundan; (2x)2+2(2x)(5)+52(2x)^2 + 2(2x)(5) + 5^2 işlemi bizi 4x2+20x+254x^2 + 20x + 25 sonucuna götürür.

Step-by-Step Solution

1
Tam kare özdeşliği formülünü belirle.
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
İki terimli bir toplamın karesi bu temel özdeşlik kullanılarak açılır.
2
Sorudaki terimleri formülde yerlerine koy.
a=2xa = 2x ve b=5b = 5
Birinci terim 2x2x, ikinci terim ise 55 olarak tanımlanmıştır.
3
Her bir parçayı ayrı ayrı hesapla.
(2x)2=4x2(2x)^2 = 4x^2, 2⋅(2x)⋅5=20x2 \cdot (2x) \cdot 5 = 20x, 52=255^2 = 25
Katsayıların ve değişkenlerin kareleri ile çarpımlarının iki katı doğru hesaplanmalıdır.
4
Hesaplanan terimleri toplayarak ifadeyi düzenle.
4x2+20x+254x^2 + 20x + 25
Özdeşliğin en sade ve açık hali bu toplamdır.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği

Hints

1
İki terimli bir toplamın karesini açarken (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 formülünü kullanmalısın.
2
Bu soruda birinci terim (aa) 2x2x, ikinci terim (bb) ise 55'tir. Her iki terimin de karesini almayı unutma.
3
Orta terim olan 2ab2ab kısmını hesaplarken 2⋅2x⋅52 \cdot 2x \cdot 5 işlemini yapmalısın. Bu sana 20x20x sonucunu verecektir.

Practice More

Benzer şekilde (3x−2)2(3x - 2)^2 ifadesinin açılımını yaparak farkın karesi özdeşliğini pekiştirebilirsin.
Estimated Time:45s
Question 374Question →
Bir ff fonksiyonu, her bir gerçel sayıyı kendisinin 4 katının 6 fazlasının yarısı ile eşleştirmektedir. Bu durum matematiksel olarak f(x)=4x+62f(x) = \frac{4x + 6}{2} şeklinde ifade edilmektedir. Buna göre, 5 sayısının bu fonksiyon altındaki görüntüsü (f(5)f(5) değeri) kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

5 sayısının bu fonksiyon altındaki görüntüsü 13'tür.
Verilen fonksiyon kuralında xx yerine 5 yazıldığında, işlem sırasıyla (4×5)=20(4 \times 5) = 20, (20+6)=26(20 + 6) = 26 ve son olarak 26/2=1326 / 2 = 13 adımları takip edilir. Fonksiyon bir giriş değerini (5) alıp bu kuralı uygulayarak bir çıkış değerine (13) ulaşır.

Step-by-Step Solution

1
Değişken yerine değeri yazma
f(5)=4×5+62f(5) = \frac{4 \times 5 + 6}{2}
Fonksiyonda bir değerin görüntüsünü bulmak için kuraldaki xx değişkeni yerine o değer yazılır.
2
Pay kısmındaki çarpma işlemini yapma
f(5)=20+62f(5) = \frac{20 + 6}{2}
İşlem önceliğine göre önce parantez içi veya pay/payda gibi gruplandırılmış ifadelerdeki çarpma yapılır.
3
Pay kısmındaki toplama işlemini tamamlama
f(5)=262f(5) = \frac{26}{2}
Bölme işlemine geçmeden önce paydaki ifadenin tek bir sayı haline getirilmesi gerekir.
4
Sonucu paydadaki sayıya bölme
f(5)=13f(5) = 13
Kesir çizgisi tüm payın paydaya bölünmesi gerektiğini ifade eder.

Key Concept

Fonksiyonlarda Değer Bulma (Görüntü Kümesi Elemanı Hesaplama)

Hints

1
Bir sayının fonksiyondaki görüntüsünü bulmak için, o sayıyı kuraldaki xx harfinin olduğu yere yerleştirerek matematiksel işlemleri yapmalısınız.
2
Kuralda xx yerine 5 yazdığınızda, önce pay kısmındaki çarpma ve toplama işlemlerini yapıp tek bir sayı bulmaya odaklanın.
3
İşlemimiz f(5)=(4×5+6)/2f(5) = (4 \times 5 + 6) / 2 şeklindedir. Payı 26 bulduktan sonra bunu 2'ye bölerek sonuca ulaşabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir kuralı f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 şeklinde tanımlayıp farklı giriş değerleri için sonuçları hesaplayarak pratik yapabilirsiniz.

Alternative Method

Fonksiyonu sadeleştirerek de çözebilirsiniz: f(x)=4x+62=4x2+62=2x+3f(x) = \frac{4x + 6}{2} = \frac{4x}{2} + \frac{6}{2} = 2x + 3. Bu sadeleşmiş kuralda x=5x=5 yazıldığında 2(5)+3=132(5) + 3 = 13 sonucu daha hızlı elde edilebilir.
Estimated Time:45s
Question 375Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x+9+x=9 \sqrt{x+9} + \sqrt{x} = 9
eşitliğini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Denklemi sağlayan değer 16'dır.
Verilen denklemde köklü ifadenin yalnız bırakılıp karesinin alınması veya eşlenik (iki kare farkı) yönteminin kullanılmasıyla doğru sonuca ulaşılır. Bulunan değerin denklemi sağladığı görülür.

Step-by-Step Solution

1
Eşitlikteki köklü ifadelerden birini yalnız bırakın.
x+9=9−x\sqrt{x+9} = 9 - \sqrt{x}
Kare alma işlemini daha kolay uygulayabilmek için köklü ifadenin izole edilmesi gerekir.
2
Eşitliğin her iki tarafının karesini alın.
(x+9)2=(9−x)2(\sqrt{x+9})^2 = (9 - \sqrt{x})^2 ⇒x+9=81−18x+x\Rightarrow x + 9 = 81 - 18\sqrt{x} + x
Köklü ifadelerden kurtulmak için kare alma işlemi uygulanır. Sağ tarafta tam kare özdeşliği (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 kullanılır.
3
Elde edilen denklemi sadeleştirerek bilinmeyeni bulun.
9=81−18x9 = 81 - 18\sqrt{x} ⇒18x=72\Rightarrow 18\sqrt{x} = 72 ⇒x=4\Rightarrow \sqrt{x} = 4 ⇒x=16\Rightarrow x = 16
Sadeleştirme sonucunda basit bir köklü denklem elde edilir ve çözüm kümesi bulunur.
4
Bulunan değeri orijinal denklemde kontrol edin.
16+9+16=25+4=5+4=9\sqrt{16+9} + \sqrt{16} = \sqrt{25} + 4 = 5 + 4 = 9 (Doğru)
Köklü denklemlerde bulunan kökler bazen yalancı kök olabilir, bu yüzden sağlaması yapılmalıdır.

Key Concept

Köklü Denklemlerin Çözümü

Hints

1
Denklemdeki köklü ifadelerden birini eşitliğin diğer tarafına atarak işe başlayın.
2
x+9=9−x\sqrt{x+9} = 9 - \sqrt{x} yazdıktan sonra her iki tarafın karesini alarak köklerden kurtulmaya çalışın.
3
Kare alma işleminden sonra x+9=81−18x+xx + 9 = 81 - 18\sqrt{x} + x eşitliğini sadeleştirerek x\sqrt{x} değerini bulun.

Practice More

2x+5−2x=1\sqrt{2x+5} - \sqrt{2x} = 1 denklemini çözünüz.

Alternative Method

Eşlenik Yöntemi: x+9−x=A\sqrt{x+9} - \sqrt{x} = A diyelim. Verilen denklemle taraf tarafa çarparsak: (x+9+x)⋅(x+9−x)=9⋅A(\sqrt{x+9} + \sqrt{x}) \cdot (\sqrt{x+9} - \sqrt{x}) = 9 \cdot A. İki kare farkından (x+9)−x=9A⇒9=9A⇒A=1(x+9) - x = 9A \Rightarrow 9 = 9A \Rightarrow A=1. Taraf tarafa toplama ile 2x+9=10⇒x+9=5⇒x=162\sqrt{x+9} = 10 \Rightarrow \sqrt{x+9}=5 \Rightarrow x=16 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 376Question →

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi aşağıdaki tabloda verilmiştir:

⋆\star12345
134512
245123
351234
412345
523451

Buna göre, ((x⋆3)−1⋆2)=5((x \star 3)^{-1} \star 2) = 5 eşitliğini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(x−1x^{-1}, xx elemanının ⋆\star işlemine göre tersini göstermektedir.)

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Eşitliği sağlayan değer 2'dir.
İşlemin birim elemanı tablodan 4 olarak bulunur. Denklem (x⋆3)−1⋆2=5(x \star 3)^{-1} \star 2 = 5 şeklinde çözülürken, önce parantez dışındaki işlem tersine çevrilir, ardından bulunan değerin tersi alınarak xx yalnız bırakılır. Adımlar takip edildiğinde x=2x=2 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İşlemin birim (etkisiz) elemanını bul.
Birim eleman (e) = 4
Tabloda 4. satır ve 4. sütun, elemanları değiştirmemiştir (1,2,3,4,5 sırasını korumuştur). Bu nedenle etkisiz eleman 4'tür.
2
Parantez içindeki ifadeye bir değişken atayarak denklemi basitleştir: (x⋆3)−1=Y(x \star 3)^{-1} = Y olsun. Y⋆2=5Y \star 2 = 5 eşitliğini sağlayan Y değerini bul.
Y = 2
Tablonun 2. sütununda sonucu 5 olan satırı ararız. 2. satır ile 2. sütunun kesişimi 5'tir (2⋆2=52 \star 2 = 5). Demek ki Y=2Y = 2.
3
(x⋆3)−1=2(x \star 3)^{-1} = 2 bulduk. Her iki tarafın tersini alarak parantez içini yalnız bırak: x⋆3=2−1x \star 3 = 2^{-1}. Şimdi 2'nin tersini bul.
2−1=12^{-1} = 1
Bir elemanın tersi, o elemanla işleme girdiğinde birim elemanı (4) veren sayıdır. Tabloda 2. satırda sonuç 4 nerede? 1. sütunda. Yani 2⋆1=42 \star 1 = 4, dolayısıyla 2−1=12^{-1} = 1.
4
Son denklemi çöz: x⋆3=1x \star 3 = 1.
x = 2
Tablonun 3. sütununda sonucu 1 olan satırı ararız. 2. satırda 2⋆3=12 \star 3 = 1 olduğunu görürüz. Bu durumda x=2x = 2 olur.

Key Concept

İşlem tablosunda birim eleman ve ters eleman bulma, ters işlem özellikleri ile denklem çözme.
Question 377Question →
a≠1a \neq 1 olmak üzere,
a6−1(a2+1)2−a2⋅a2+a+1a3−1 \frac{a^6 - 1}{(a^2 + 1)^2 - a^2} \cdot \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1}
ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: a+1a + 1

Answer

İfadenin en sade hâli a+1a + 1 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifade incelendiğinde, a6−1a^6-1 terimi (a3−1)(a3+1)(a^3-1)(a^3+1) olarak, paydadaki (a2+1)2−a2(a^2+1)^2-a^2 terimi ise a4+a2+1=(a2+a+1)(a2−a+1)a^4+a^2+1 = (a^2+a+1)(a^2-a+1) olarak çarpanlarına ayrılır. İfadedeki ortak çarpanlar olan (a3−1)(a^3-1) ve (a2+a+1)(a^2+a+1) sadeleştirildiğinde geriye (a3+1)/(a2−a+1)(a^3+1) / (a^2-a+1) kalır. Son olarak a3+1a^3+1 ifadesi (a+1)(a2−a+1)(a+1)(a^2-a+1) şeklinde açıldığında paydadaki terimle sadeleşir ve sonuç a+1a+1 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
a6−1a^6 - 1 ifadesini iki kare farkı yardımıyla çarpanlarına ayırın.
a6−1=(a3−1)(a3+1)a^6 - 1 = (a^3 - 1)(a^3 + 1)
Yüksek dereceli terimleri daha yönetilebilir parçalara ayırmak için temel özdeşliklerden faydalanılır.
2
Paydada yer alan (a2+1)2−a2(a^2 + 1)^2 - a^2 ifadesini açın ve düzenleyin.
a4+2a2+1−a2=a4+a2+1a^4 + 2a^2 + 1 - a^2 = a^4 + a^2 + 1
İfadeyi sadeleştirebilmek için terimleri polinom formatına getirmek gerekir.
3
a4+a2+1a^4 + a^2 + 1 ifadesini, terim ekleyip çıkarma yöntemiyle (veya iki kare farkı olarak) çarpanlarına ayırın.
a4+a2+1=(a2+a+1)(a2−a+1)a^4 + a^2 + 1 = (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)
a4+a2+1a^4 + a^2 + 1 ifadesi özdeşliklerden gelen özel bir çarpan yapısına sahiptir.
4
Tüm çarpanları ana ifadede yerine koyarak sadeleştirmeleri yapın.
(a3−1)(a3+1)(a2+a+1)(a2−a+1)⋅a2+a+1a3−1=a3+1a2−a+1\frac{(a^3 - 1)(a^3 + 1)}{(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)} \cdot \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1} = \frac{a^3 + 1}{a^2 - a + 1}
Pay ve paydadaki ortak olan (a3−1)(a^3 - 1) ve (a2+a+1)(a^2 + a + 1) terimleri birbirini sadeleştirir.
5
Kalan a3+1a^3 + 1 ifadesini küpler toplamı özdeşliği ile açarak son sadeleştirmeyi gerçekleştirin.
(a+1)(a2−a+1)a2−a+1=a+1\frac{(a + 1)(a^2 - a + 1)}{a^2 - a + 1} = a + 1
a2−a+1a^2 - a + 1 çarpanları birbirini yok eder ve en sade sonuç elde edilir.

Key Concept

İki kare farkı, küp toplamı/farkı ve özel üç terimlilerin çarpanlarına ayrılması.

Practice More

Benzer bir yöntemle x4+4x^4 + 4 ifadesini tam kareye tamamlayarak çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Question 378Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−4<5−2x≤1-4 < 5 - 2x \leq 1
eşitsizliği veriliyor. Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan xx tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 9'dur.
Verilen eşitsizlik çözülürken önce her taraftan 5 çıkarılır (−9<−2x≤−4-9 < -2x \leq -4). Ardından her taraf -2'ye bölünür. Negatif sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir (4,5>x≥24,5 > x \geq 2). Bu aralıktaki tam sayılar 2, 3 ve 4'tür. Toplamları 9 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin her tarafından 5 çıkararak xx'li terimi yalnız bırakmaya başla.
−4−5<−2x≤1−5  ⟹  −9<−2x≤−4-4 - 5 < -2x \leq 1 - 5 \implies -9 < -2x \leq -4
Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bilinmeyeni yalnız bırakmak gerekir.
2
Her tarafı −2-2'ye böl ve eşitsizliğin yönünü değiştir.
−9−2>x≥−4−2  ⟹  4,5>x≥2\frac{-9}{-2} > x \geq \frac{-4}{-2} \implies 4,5 > x \geq 2
Bir eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik sembolleri yön değiştirir (< olur >, ≤\leq olur ≥\geq).
3
Elde edilen aralıktaki tam sayıları belirle.
2≤x<4,52 \leq x < 4,5 aralığındaki tam sayılar: 2,3,42, 3, 4
Alt sınır (2) dahildir, üst sınır (4,5) dahil değildir ancak tam sayı istendiği için 4'e kadar alınır.
4
Bulunan tam sayı değerlerini topla.
2+3+4=92 + 3 + 4 = 9
Soruda tam sayı değerlerinin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Basit eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma veya bölme işlemi yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir.

Hints

1
Eşitsizlikte xx'i yalnız bırakmak için önce her taraftan 5 sayısını çıkarın.
2
xx'in katsayısı negatif (−2-2) olduğu için, her tarafı bu sayıya bölerken eşitsizlik işaretlerinin yönünü değiştirmeyi unutmayın.
3
Sonuçta 2≤x<4,52 \le x < 4,5 aralığını bulmalısınız. Bu aralıktaki tam sayıları listeleyip toplayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, paydada bilinmeyen olduğu durumlar için çözmeyi deneyin.
Estimated Time:1m 0s
Question 379Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=3x+3y+xy+kx \triangle y = 3x + 3y + xy + k
eşitliği ile veriliyor.

Bu işlemin birim (etkisiz) elemanı bulunduğuna göre, △\triangle işlemine göre tersi olmayan eleman kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -3

Answer

Tersi olmayan eleman -3'tür.
Birim eleman tanımı kullanılarak önce birim eleman (e=−2e=-2) ve işlem sabiti (k=6k=6) bulunur. Ters eleman formülü y=(−3x−8)/(x+3)y = (-3x - 8)/(x + 3) olarak elde edildiğinde, paydayı sıfır yapan x=−3x=-3 değeri için ters eleman tanımsızdır.

Step-by-Step Solution

1
Birim eleman tanımını uygula
x△e=x⇒3x+3e+xe+k=xx \triangle e = x \Rightarrow 3x + 3e + xe + k = x
Birim eleman (ee), işleme girdiğinde elemanın kendisini vermelidir.
2
Eşitliği xx parantezine alarak düzenle ve katsayıları eşitle
x(3+e)+(3e+k)=x⋅1+0x(3+e) + (3e+k) = x \cdot 1 + 0
Buradan:
1) 3+e=1⇒e=−23+e = 1 \Rightarrow e = -2
2) 3e+k=0⇒3(−2)+k=0⇒k=63e+k = 0 \Rightarrow 3(-2)+k=0 \Rightarrow k=6
Polinom eşitliği ilkesi gereği xx'in katsayıları ve sabit terimler karşılıklı eşit olmalıdır.
3
Ters eleman (yy) bulma denklemini kur
x△y=e⇒3x+3y+xy+6=−2x \triangle y = e \Rightarrow 3x + 3y + xy + 6 = -2
Bir elemanın tersi ile işleme girmesi sonucu birim elemanı (e=−2e=-2) vermelidir.
4
yy'yi yalnız bırak ve tanımsız yapan değeri bul
y(3+x)+3x+6=−2y(3+x) + 3x + 6 = -2
y(3+x)=−3x−8y(3+x) = -3x - 8
y=−3x−8x+3y = \frac{-3x - 8}{x + 3}
yy'nin (ters elemanın) hesaplanabilmesi için paydanın sıfır olmaması gerekir.
5
Paydayı sıfır yapan xx değerini belirle
x+3=0⇒x=−3x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3
x=−3x = -3 için payda sıfır olur ve işlem tanımsızlaşır. Bu nedenle -3'ün tersi yoktur.

Key Concept

İşlemde Yutan Eleman ve Ters Eleman İlişkisi

Hints

1
Önce birim elemanı (ee) bulmak için x△e=xx \triangle e = x eşitliğini kullanın.
2
x(3+e)+(3e+k)=xx(3+e) + (3e+k) = x eşitliğinden ee ve kk değerlerini bulun.
3
Ters elemanı yy olarak yazıp yalnız bıraktığınızda, oluşan kesirli ifadenin paydasını sıfır yapan xx değerini arayın.

Practice More

Benzer bir işlemde tersi kendisine eşit olan elemanları soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Pratik Kural: x△y=ax+by+cxy+kx \triangle y = ax + by + cxy + k tipindeki değişmeli işlemlerde (burada a=ba=b), tersi olmayan eleman her zaman −a/c-a/c formülü ile bulunur. Burada a=3,c=1a=3, c=1 olduğundan cevap −3/1=−3-3/1 = -3 olur.
Estimated Time:3m 0s
Question 380Question →
xx değişkenine bağlı
a(x−1)3+12=4x−b6+x \frac{a(x-1)}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4x - b}{6} + x
denkleminin çözüm kümesi tüm gerçel sayılar (R\mathbb{R}) olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Doğru cevap 12'dir.
Denklemin tüm gerçel sayılar için sağlanması, eşitliğin her iki tarafındaki x'li terimlerin katsayılarının birbirine ve sabit sayıların birbirine eşit olması demektir. İşlemler doğru yapıldığında a=5a=5 ve b=7b=7 bulunur, toplamları 12'dir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemdeki paydaları eşitlemek için eşitliğin her iki tarafını 6 ile çarp.
2⋅[a(x−1)]+3⋅[1]=1⋅[4x−b]+6⋅[x] 2 \cdot [a(x-1)] + 3 \cdot [1] = 1 \cdot [4x - b] + 6 \cdot [x]
Kesirli ifadelerden kurtularak işlemi basitleştirmek için en küçük ortak kat (EKOK) kullanılır.
2
Parantezleri dağıt ve benzer terimleri düzenle.
2ax−2a+3=4x−b+6x 2ax - 2a + 3 = 4x - b + 6x
2ax+(3−2a)=10x−b 2ax + (3 - 2a) = 10x - b
x'li terimler ve sabit terimler gruplandırılarak katsayı eşitliği için hazırlanır.
3
Çözüm kümesinin tüm gerçel sayılar olması için x'in katsayılarını ve sabit terimleri eşitle.
x katsayıları: 2a=10⇒a=5 2a = 10 \Rightarrow a = 5
Sabit terimler: 3−2a=−b 3 - 2a = -b
Her x değeri için sağlanan denklemlerde (özdeşlik), eşitliğin iki tarafı tıpatıp aynı olmalıdır (0x=00x=0 durumu).
4
Bulunan a değerini yerine koyarak b'yi bul ve toplamı hesapla.
3−2(5)=−b⇒3−10=−b⇒−7=−b⇒b=7 3 - 2(5) = -b \Rightarrow 3 - 10 = -b \Rightarrow -7 = -b \Rightarrow b = 7
a+b=5+7=12 a + b = 5 + 7 = 12
a ve b değerleri bulunduktan sonra istenen toplam hesaplanır.

Key Concept

Bir denklemin çözüm kümesinin tüm gerçel sayılar olması için, düzenlenmiş halinin 0=00=0 (özdeşlik) biçiminde olması gerekir.

Hints

1
Denklemdeki kesirlerden kurtulmak için tüm terimleri paydaların en küçük ortak katı olan 6 ile çarpın.
2
Bir denklemin çözüm kümesinin 'tüm gerçel sayılar' olması, o denklemin bir özdeşlik olduğu anlamına gelir. Yani sol taraftaki x'in katsayısı sağ taraftakine, sabit terim de sabit terime eşit olmalıdır.
3
Düzenlenmiş denklem 2ax+(3−2a)=10x−b2ax + (3-2a) = 10x - b şeklindedir. Burada 2a=102a=10 eşitliğini kullanarak a'yı bulun.

Practice More

Çözüm kümesi boş küme olan parametreli denklemler (örneğin katsayılar eşit, sabitler farklı) üzerine çalışın.
Estimated Time:2m 30s
PreviousPage 19 / 22Next
Cebir Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 19 | Examkin