Layer 1

Question 181Question →

$AB = AC$ olan bir $ABC$ ikizkenar üçgeninin $BC$ tabanı üzerinde bir $P$ noktası alınıyor. $P$ noktasından $AB$ kenarına indirilen dikmenin uzunluğu $4$ cm, $AC$ kenarına indirilen dikmenin uzunluğu $6$ cm'dir.

$m(\widehat{BAC}) = 30^\circ$ olduğuna göre, $ABC$ üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

50

75

100

100\sqrt{3}

200

Show answer & explanation

Answer: 100

Answer

İkizkenar üçgen özelliğinden yan kenara ait yükseklik 10 cm bulunur, bu değer ve tepe açısı kullanılarak alan 100 cm² olarak hesaplanır.

İkizkenar üçgenin tabanından yan kenarlara inilen dikmelerin toplamı, yan kenara ait yüksekliği verir (

h = 4+6=10

). Tepe açısı

30^\circ

olduğu için, yan kenar uzunluğu

\sin(30^\circ) = h / \text{kenar}

bağıntısından 20 cm bulunur. Alan ise

(20 \times 10) / 2 = 100

cm²'dir.

Step-by-Step Solution

1

İkizkenar üçgen özelliğini hatırla ve uygula

h_c = |PD| + |PE| = 4 + 6 = 10

cm

İkizkenar üçgenin tabanı üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara indirilen dikmelerin toplamı, eşit kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir.

2

Eşit kenar uzunluğunu (

b

) bulmak için oluşan dik üçgeni kullan

\sin(30^\circ) = \frac{h_c}{b} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{10}{b} \Rightarrow b = 20

cm

Yükseklik çizildiğinde oluşan dik üçgende,

30^\circ

'nin karşısındaki kenar (yükseklik) hipotenüsün (eşit kenar) yarısıdır.

3

Üçgenin alanını hesapla

Alan =

\frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times 20 \times 10 = 100

\text{cm}^2

Kenar uzunluğu 20 cm ve bu kenara ait yükseklik 10 cm bulunduğuna göre standart alan formülü uygulanır.

Key Concept

İkizkenar Üçgenin Yardımcı Eleman Özellikleri

Hints

1

İkizkenar bir üçgende taban üzerindeki bir noktadan eş kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, üçgenin eş kenarlarına ait yüksekliğe eşittir.

2

Yüksekliği 10 cm olarak bulduktan sonra, tepe açısı 30 derece olan dik üçgeni düşünün. 30-60-90 üçgeninde 30 derecenin karşısı hipotenüsün yarısıdır.

Practice More

Eşkenar üçgenin içindeki bir noktadan kenarlara inilen dikmelerin toplamının yüksekliğe eşit olduğu durumla ilgili bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Alan Parçalama Yöntemi: Üçgeni AP doğrusu ile ikiye ayırın. Alan(ABP) + Alan(APC) = Alan(ABC). Yani (AB*4)/2 + (AC*6)/2 = Alan. AB=AC=x derseniz, Alan = 2x + 3x = 5x olur. Sinüslü alan formülünden Alan = 1/2 * x * x * sin(30) = x^2/4. Buradan 5x = x^2/4 eşitliği ile x=20 bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 182Question →

Dik koordinat sisteminde, denklemleri

ax + 2y - 1 = 0

ve

3x - 6y + 5 = 0

olan doğrular birbirine diktir. Buna göre

a

gerçek sayısı kaçtır?

4

-4

-1

1

2

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

a

değeri 4'tür.

Verilen doğrular birbirine dik olduğundan eğimlerinin çarpımı -1 olmalıdır. Birinci doğrunun eğimi

m_1 = -a/2

, ikinci doğrunun eğimi

m_2 = 1/2

'dir. Bu iki değerin çarpımı -1'e eşitlendiğinde

a=4

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci doğrunun eğimini (

m_1

) bulmak için denklemi

y

yalnız kalacak şekilde düzenle veya

m = -A/B

formülünü kullan.

ax + 2y - 1 = 0 \implies m_1 = -\frac{a}{2}

Ax + By + C = 0

şeklindeki bir doğrunun eğimi

-\frac{A}{B}

'dir.

2

İkinci doğrunun eğimini (

m_2

) aynı yöntemle hesapla.

3x - 6y + 5 = 0 \implies m_2 = -\frac{3}{-6} = \frac{1}{2}

Eğim formülünde işaretlere dikkat edilmelidir.

3

Doğrular birbirine dik olduğu için eğimler çarpımını -1'e eşitle ve

a

değerini bul.

m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (-\frac{a}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) = -1 \implies -\frac{a}{4} = -1 \implies a = 4

Analitik geometride birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'dir (

m_1 \cdot m_2 = -1

).

Key Concept

İki doğrunun birbirine dik olması için eğimleri çarpımının -1 olması gerekir.

Question 183Question →

Bir izci kampında $A, B$ ve $C$ noktaları bir üçgensel bölge oluşturmaktadır. Yapılan ölçümlerde $A$ noktasındaki iç açının ölçüsü $45^\circ$ , $B$ noktasındaki iç açının ölçüsü ise $75^\circ$ olarak belirlenmiştir. Bu noktaları birleştiren yolların uzunlukları $|BC| = a$ , $|AC| = b$ ve $|AB| = c$ birimdir.

Buna göre; $a, b$ ve $c$ uzunlukları arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?

a > c > b

b > c > a

c > b > a

b > a > c

a = b = c

Show answer & explanation

Answer: $b > c > a$

Answer

Üçgenin iç açıları ve karşılarındaki kenarlar arasındaki ilişkiye göre doğru sıralama

b > c > a

şeklindedir.

Üçgenin iç açıları toplamı

180^\circ

olduğundan, verilmeyen

C

açısı

180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 60^\circ

olarak bulunur. Açılar büyükten küçüğe

75^\circ (B) > 60^\circ (C) > 45^\circ (A)

şeklinde sıralanır. Açı-kenar bağıntısına göre büyük açının karşısında daha uzun kenar bulunacağından sıralama

b > c > a

olur.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin verilmeyen üçüncü iç açısını hesaplayınız.

m(\widehat{C}) = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 60^\circ

Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman

180^\circ

derecedir.

2

Üçgenin tüm iç açılarını büyüklüklerine göre sıralayınız.

75^\circ > 60^\circ > 45^\circ

yani

m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{A})

Kenar uzunluklarını belirlemek için önce açıların büyüklük sıralamasını bilmemiz gerekir.

3

Açı-kenar bağıntısını uygulayarak kenarları sıralayınız.

b > c > a

Bir üçgende büyük açının karşısında uzun kenar, küçük açının karşısında ise kısa kenar bulunur.

Key Concept

Bir üçgende açılar arasındaki sıralama ile bu açıların karşısındaki kenarlar arasındaki sıralama aynıdır: Büyük açının karşısında büyük kenar bulunur.

Hints

1

Bir üçgenin iç açılarının toplamının kaç derece olduğunu hatırlayarak işe başlayabilirsiniz.

2

C

köşesindeki açıyı bulmak için

180^\circ

'den diğer iki açının toplamını çıkarın.

3

Bulduğunuz açıları sıralayın: En büyük açının karşısındaki kenar en uzun, en küçük açının karşısındaki kenar ise en kısadır.

Practice More

Farklı açılara sahip bir üçgen çizerek kenar uzunluklarını cetvelle ölçüp bu kuralı doğrulayabilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 184Question →

Bir $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi $G$ noktasıdır. $[AG]$ doğru parçası $[BC]$ kenarına diktir.

|AB| + |AC| = 34 \text{ cm}

|BC| = 16 \text{ cm}

Yukarıdaki verilere göre, $|AG|$ uzunluğu kaç santimetredir?

5

8

10

12

15

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10 cm

Verilen

[AG] \perp [BC]

bilgisi,

A

köşesinden inen kenarortayın aynı zamanda yükseklik olduğunu gösterir. Bu durum, üçgenin ikizkenar (

|AB|=|AC|

) olması demektir.

|AB|+|AC|=34

ise

|AB|=17

cm olur. Taban

16

cm olduğundan, kenarortay tabanı

8

cm ve

8

cm olarak böler.

8-15-17

özel dik üçgeninden kenarortayın tamamı

15

cm bulunur. Ağırlık merkezi kenarortayı

2:1

oranında böldüğünden,

|AG| = \frac{2}{3} \times 15 = 10

cm'dir.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezi ve diklik ilişkisini analiz et.

ABC

üçgeninde

A

köşesinden geçen ve ağırlık merkezinden (

G

) geçen doğru, kenarortaydır. Bu kenarortay aynı zamanda tabana dik (

[AG] \perp [BC]

) olduğundan, bu doğru yüksekliktir. Hem kenarortay hem yükseklik olan doğru parçası, üçgenin ikizkenar olduğunu gösterir (

|AB| = |AC|

).

Üçgende yardımcı elemanların (yükseklik ve kenarortay) çakışması ikizkenar üçgen özelliğidir.

2

Kenar uzunluklarını belirle.

|AB| + |AC| = 34

ve

|AB| = |AC|

olduğundan,

2|AB| = 34 \implies |AB| = 17

cm olur. Kenarortay tabanı iki eş parçaya böler:

|BH| = |HC| = 16 / 2 = 8

cm.

İkizkenar üçgen özellikleri ve kenarortay tanımı.

3

Kenarortay uzunluğunu Pisagor bağıntısı ile hesapla.

Oluşan dik üçgende (

ABH

), hipotenüs 17, dik kenar 8'dir. Pisagor bağıntısından (

8-15-17

özel üçgeni): Yükseklik (aynı zamanda kenarortay) uzunluğu

|AH| = 15

cm bulunur.

Dik üçgende kenar uzunluklarını bulmak için Pisagor teoremi.

4

Ağırlık merkezi özelliğini kullanarak

|AG|

uzunluğunu bul.

Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden 2 birim, kenardan 1 birim oranında böler (

k

'ya

2k

). Toplam uzunluk

3k = 15

cm ise

k=5

cm olur.

|AG| = 2k = 2 \times 5 = 10

cm.

Ağırlık merkezinin kenarortayı bölme oranı (2:1).

Key Concept

Bir üçgende kenarortay aynı zamanda yükseklik ise üçgen ikizkenardır. Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler.

Hints

1

Ağırlık merkezi (

G

), kenarortayların kesişim noktasıdır.

[AG]

doğrusunu

[BC]

kenarına kadar uzattığınızda oluşan doğru parçası bir kenarortaydır.

2

Bir üçgende çizilen kenarortay aynı zamanda tabana dik iniyorsa (yükseklikse), bu üçgenin kenar özellikleri hakkında ne söylenebilir? (İkizkenar üçgeni hatırlayın).

3

Üçgen ikizkenardır ve tabanı ikiye böler (

8-8

). Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı (

8-15-17

) ile kenarortayın tamamını bulun. Son olarak ağırlık merkezi kuralını (

k

'ya

2k

) uygulayın.

Practice More

Benzer mantıkla, açıortayın aynı zamanda yükseklik olduğu durumları inceleyen sorular çözülebilir.

Alternative Method

Muhteşem üçlü veya alan formülleri bu soruda doğrudan kullanışlı değildir; en pratik yol 8-15-17 özel üçgenini görmektir.

Estimated Time:2m 30s

Question 185Question →

Taban ayrıtları 4 cm ve 8 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kapta bir miktar su bulunmaktadır. Bu kabın içine, taban yarıçapı 2 cm ve yüksekliği 4 cm olan metal bir dik dairesel silindir atılıyor. Silindir tamamen suya battığına ve su taşmadığına göre, kaptaki su seviyesi kaç cm yükselir? ( $\pi = 3$ alınız.)

0,5

1

1,5

2

3

Show answer & explanation

Answer: 1,5

Answer

Su seviyesi 1,5 cm yükselir.

Suya tamamen batan cisim kendi hacmi kadar su yükseltir. Silindirin hacmi

48 \text{ cm}^3

, prizmanın taban alanı

32 \text{ cm}^2

'dir. Yükselme miktarı hacmin taban alanına bölünmesiyle

1,5

cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Suyun yükseleceği kap olan dikdörtgenler prizmasının taban alanını hesapla.

Alan_{prizma} = 4 \times 8 = 32 \text{ cm}^2

Su seviyesindeki yükselme miktarı, taban alanı ile ters orantılıdır.

2

Suya batan cismin (silindir) hacmini hesapla.

V_{silindir} = \pi r^2 h = 3 \times 2^2 \times 4 = 3 \times 4 \times 4 = 48 \text{ cm}^3

Suya tamamen batan bir cisim, kendi hacmi kadar su yükseltir (veya taşırır).

3

Yükselme miktarını (

h_{yükselme}

) bulmak için cismin hacmini kabın taban alanına böl.

h_{yükselme} = \frac{V_{silindir}}{Alan_{prizma}} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2} = 1,5 \text{ cm}

Yükselen suyun hacmi, batan cismin hacmine eşittir:

Alan_{prizma} \times h_{yükselme} = V_{silindir}

Key Concept

Sıvı içerisine batan katı cisimler, hacimleri kadar sıvı yer değiştirirler.

Hints

1

Suya batan bir cisim, kendi hacmi kadar suyu yerinden oynatır (yükseltir).

2

Önce silindirin hacmini (

\pi r^2 h

) ve prizmanın taban alanını hesaplayınız.

3

Yükselen suyun hacmi silindirin hacmine eşittir. Prizmanın taban alanı ile yükselme miktarının çarpımı bu hacmi vermelidir.

Practice More

Benzer mantıkla, kısmen suya batan cisimler için Arşimet prensibini içeren sorular çözülebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 186Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 24$ cm ve $|AC| = 7$ cm olarak verilmiştir. $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğu ve $BC$ kenarına ait kenarortay uzunluğunun ( $V_a$ ) santimetre cinsinden bir tam sayı olduğu bilinmektedir. Buna göre, $V_a$ 'nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

30

42

55

84

96

Show answer & explanation

Answer: 42

Answer

Kenarortayın alabileceği değerler toplamı 42'dir.

Üçgende kenarortay teoremi ve açı-kenar bağıntıları birlikte düşünüldüğünde,

V_a

değeri hem genel sınırlara (

8.5 < V_a < 15.5

) hem de geniş açı şartına (

V_a < 12.5

) uymalıdır. Bu kesişimdeki tam sayılar 9, 10, 11 ve 12'dir.

Step-by-Step Solution

1

Kenarortay uzunluğu

V_a

için genel üçgen eşitsizliği sınırlarını belirle.

\frac{|b-c|}{2} < V_a < \frac{b+c}{2} \Rightarrow \frac{24-7}{2} < V_a < \frac{24+7}{2} \Rightarrow 8.5 < V_a < 15.5

Bir üçgende kenarortay uzunluğu, komşu kenarların farkının yarısından büyük, toplamının yarısından küçüktür.

2

m(\widehat{A}) > 90^\circ

(geniş açı) şartının kenarortay üzerindeki etkisini uygula.

V_a < \frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{2} \Rightarrow V_a < \frac{\sqrt{7^2 + 24^2}}{2} \Rightarrow V_a < \frac{25}{2} \Rightarrow V_a < 12.5

A açısı

90^\circ

olsaydı

V_a = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}

(Muhteşem Üçlü) olurdu. A açısı genişledikçe kenarortay kısalır.

3

İki eşitsizliği birleştirerek ortak çözüm kümesini bul.

8.5 < V_a < 12.5

Her iki koşulu da (üçgen oluşma şartı ve geniş açı şartı) aynı anda sağlamalıdır.

4

Aralıktaki tam sayıları belirle ve topla.

Tam sayılar: 9, 10, 11, 12. Toplam:

9+10+11+12 = 42

.

Soruda kenarortayın tam sayı olduğu ve değerlerin toplamı sorulmuştur.

Key Concept

Geniş açılı üçgenlerde kenarortay uzunluğu, dik üçgen durumundaki uzunluktan (hipotenüsün yarısı) daha küçüktür.

Hints

1

Bir üçgende kenarortay uzunluğu (

V_a

), kenarlar

b

ve

c

olmak üzere,

\frac{|b-c|}{2} < V_a < \frac{b+c}{2}

aralığındadır.

2

Eğer

m(\widehat{A}) = 90^\circ

olsaydı, muhteşem üçlü gereği

V_a = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}

olurdu.

3

m(\widehat{A}) > 90^\circ

olduğu için kenarortay uzunluğu, dik üçgen durumundaki değerden daha küçük olmalıdır (

V_a < 12.5

).

Practice More

Benzer bir soruyu

m(\widehat{A}) < 90^\circ

(dar açı) şartıyla çözerek aralığın nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternative Method

Kenarortayı 2 katına uzatarak (

2V_a

) bir paralelkenar oluşturma yöntemiyle de kenar uzunlukları 7, 24 ve köşegeni

2V_a

olan bir üçgen elde edip, bu üçgende geniş açı yorumu yaparak çözüm yapılabilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 187Question →

Dik koordinat düzleminde $x^2 + y^2 = 36$ denklemiyle verilen çemberin, iç bölgesindeki $K(4, 2)$ noktasından geçen tüm kirişlerinin orta noktalarının geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0

x^2 + y^2 - 8x - 4y = 0

x^2 + y^2 = 20

2x + y - 10 = 0

x^2 + y^2 - 2x - 4y + 16 = 0

Show answer & explanation

Answer: x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0

Answer

x² + y² - 4x - 2y = 0 denklemi

Çemberde bir kirişin orta noktası ile merkezi birleştiren doğru, o kirişe diktir. Kirişler sabit bir K noktasından geçtiği için, kirişlerin orta noktaları (M), orijin (O) ve K noktası ile oluşturdukları OMK üçgeninde daima 90 derecelik bir açıya (m(OMK) = 90°) sahip olur. [OK] doğru parçasını dik açı ile gören noktaların geometrik yeri, [OK]'yı çap kabul eden çemberdir. O(0,0) ve K(4,2) olduğundan, bu yeni çemberin merkezi (2,1) ve yarıçap karesi 5 olur. Denklemi düzenlediğimizde x² + y² - 4x - 2y = 0 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kirişin orta noktası özelliği ile dikliği belirle.

Çemberin merkezi O(0,0) ile kirişin orta noktası M birleştirildiğinde, [OM] doğru parçası kirişe diktir ([OM] ⊥ [MK]).

Çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar (veya tersi).

2

Geometrik yerin tanımını yap.

M noktası değişkendir ancak her zaman OMK açısı 90° olur. [OK] doğru parçasını 90° ile gören noktaların geometrik yeri, çapı [OK] olan çemberdir.

Çapı gören çevre açı 90 derecedir kuralının tersi.

3

Yeni çemberin merkezini ve yarıçapını bul.

O(0,0) ve K(4,2) noktalarının orta noktası (yeni merkez) C(2,1)'dir. Yarıçap r = |OK|/2 = √(4²+2²)/2 = √20/2 = √5 birimdir.

Çapın orta noktası merkezdir, çap uzunluğunun yarısı yarıçaptır.

4

Çember denklemini yaz ve düzenle.

(x - 2)² + (y - 1)² = (√5)² ⇒ x² - 4x + 4 + y² - 2y + 1 = 5 ⇒ x² + y² - 4x - 2y = 0.

Merkezi (a,b) ve yarıçapı r olan çember denklemi: (x-a)² + (y-b)² = r².

Key Concept

Bir doğru parçasını dik açı altında gören noktaların geometrik yeri, o doğru parçasını çap kabul eden çemberdir.

Hints

1

Çemberin merkezi O(0,0) ile herhangi bir kirişin orta noktası M'yi birleştiren doğrunun kirişe göre açısını düşünün.

2

Kiriş K noktasından geçtiğine göre, M noktası [OK] doğru parçasını nasıl bir açıyla görür?

3

[OK] doğru parçasını 90 derece ile gören noktaların kümesi, çapı [OK] olan bir çemberdir. Bu çemberin denklemini yazın.

Practice More

Bir parabolün tepe noktalarının geometrik yeri ile ilgili benzer bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Analitik olarak, M(x,y) noktası olsun. K(4,2) ve O(0,0) olmak üzere, OM doğrusu ile MK doğrusu birbirine diktir (eğimler çarpımı -1). m_OM = y/x ve m_MK = (y-2)/(x-4). Çarpımları -1'e eşitlenerek doğrudan denklem bulunabilir.

Estimated Time:4m 0s

Question 188Question →

Dik koordinat düzleminde $A(2, 6)$ ve $B(-2, 4)$ noktalarının orta noktasından geçen ve $x - 2y + 4 = 0$ doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

2x + y - 5 = 0

2x + y + 5 = 0

x - 2y + 10 = 0

2x - y + 5 = 0

x + 2y - 10 = 0

Show answer & explanation

Answer: $2x + y - 5 = 0$

Answer

Doğrunun denklemi

2x + y - 5 = 0

olarak bulunur.

Verilen

A(2, 6)

ve

B(-2, 4)

noktalarının orta noktası

M(0, 5)

olarak bulunur.

x - 2y + 4 = 0

doğrusunun eğimi

1/2

olduğundan, bu doğruya dik olan doğrunun eğimi

-2

olmalıdır.

M(0, 5)

noktasından geçen ve eğimi

-2

olan doğru denklemi düzenlendiğinde

2x + y - 5 = 0

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

A ve B noktalarının orta noktasını hesapla.

M = (\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{6 + 4}{2}) = (0, 5)

İstenen doğru bu iki noktanın tam ortasından geçmektedir.

2

Verilen

x - 2y + 4 = 0

doğrusunun eğimini bul.

2y = x + 4 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 2

olduğundan

m_1 = \frac{1}{2}

Dik doğruların eğimleri çarpımı

-1

olduğundan, önce referans doğrunun eğimi belirlenmelidir.

3

İstenen doğrunun eğimini (

m_2

) diklik şartına göre hesapla.

m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = -2

Dik kesişen doğruların eğimleri birbirinin ters işaretlisi ve çarpmaya göre tersidir.

4

Eğimi

-2

olan ve

M(0, 5)

noktasından geçen doğrunun denklemini yaz.

y - 5 = -2(x - 0) \Rightarrow y - 5 = -2x \Rightarrow 2x + y - 5 = 0

Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü uygulanmıştır.

Key Concept

İki doğrunun diklik şartı (

m_1 \cdot m_2 = -1

) ve orta nokta koordinatları.

Hints

1

Öncelikle

A

ve

B

noktalarının aritmetik ortalamasını alarak orta noktayı bulun.

2

Doğru denkleminde

y

'yi yalnız bırakarak eğimi bulun ve dik olan doğrunun eğimiyle çarpımının

-1

olması gerektiğini hatırlayın.

3

Eğimi

m

ve bir noktası

(x_1, y_1)

olan doğru denklemi

y - y_1 = m(x - x_1)

formülü ile bulunur.

Practice More

Noktanın doğruya uzaklığı formülünü içeren soruları çözerek analitik geometri pratiğinizi artırabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 189Question →

Bir makine parçasının tasarımı için, $O$ merkezli ve yarıçapları $6$ cm ve $10$ cm olan iki çember arasındaki bölgeden, merkez açısı $135^\circ$ olan bir parça kesilip çıkarılıyor.

Buna göre, kesilip çıkarılan bu parçanın alanı kaç $\pi$ $\text{cm}^2$ 'dir?

6

8

16

24

51

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Kesilen parçanın alanı 24\pi cm²'dir.

İki daire arasında kalan bölgenin (halka) alanı, büyük dairenin alanından küçük dairenin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Burada sadece

135^\circ

'lik bir dilim sorulduğu için, tam halkanın alanını

\frac{135}{360}

oranıyla çarpmamız gerekir.

\pi(10^2 - 6^2) \cdot \frac{3}{8} = 64\pi \cdot \frac{3}{8} = 24\pi

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Şeklin bir 'halka dilimi' (annulus sector) olduğunu belirle ve ilgili alan formülünü hatırla.

Alan =

\frac{\alpha}{360} \cdot \pi (R^2 - r^2)

Büyük daire diliminin alanından küçük daire diliminin alanı çıkarılmalıdır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koy.

\alpha = 135^\circ

,

R = 10

,

r = 6

Soruda verilen dış ve iç yarıçaplar ile merkez açı kullanılır.

3

Yarıçapların kareleri farkını ve açı oranını hesapla.

R^2 - r^2 = 100 - 36 = 64

ve

\frac{135}{360} = \frac{3}{8}

İşlemi sadeleştirmek için oranları bulmak gerekir.

4

Sonucu hesapla.

Alan =

\frac{3}{8} \cdot 64\pi = 3 \cdot 8\pi = 24\pi

Çarpma işlemi yapılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Halka Diliminin Alanı

Question 190Question →

Kenar uzunlukları 6 cm ve $2\sqrt{3}$ cm olan dikdörtgen biçimindeki bir kağıttan, bir kenarı dikdörtgenin kenarı ile çakışacak biçimde, alanı en büyük olan düzgün altıgen kesilip çıkarılacaktır. Buna göre, elde edilen bu düzgün altıgenin çevresi kaç santimetredir?

12

6\sqrt{3}

18

9\sqrt{3}

24

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Elde edilen düzgün altıgenin çevresi 12 cm'dir.

Dikdörtgen içine yerleştirilebilecek en büyük düzgün altıgen belirlenirken iki farklı oryantasyon kontrol edilmelidir. Dikdörtgenin boyutları 6 ve

2\sqrt{3}

'tür. Altıgenin bir kenarı (

a

) 6 cm'lik kenara çakışık olduğunda, altıgenin yüksekliği olan

a\sqrt{3}

değeri dikdörtgenin diğer kenarı

2\sqrt{3}

'e sığmalıdır (

a\sqrt{3} \leq 2\sqrt{3} \Rightarrow a \leq 2

). Diğer boyut

2a \leq 6

zaten sağlanır. Diğer oryantasyonda ise

a

en fazla

\sqrt{3}

olabilir.

a=2

değeri daha büyük olduğundan çevre

6 \times 2 = 12

cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Dikdörtgenin kenar uzunluklarını ve düzgün altıgenin geometrik özelliklerini belirle.

Dikdörtgen boyutları: 6 cm ve

2\sqrt{3}

cm. Düzgün altıgenin bir kenarına

a

dersek; köşeden köşeye genişliği (uzun köşegen doğrultusu)

2a

, kenardan kenara yüksekliği (kısa köşegen doğrultusu)

a\sqrt{3}

olur.

Düzgün altıgenin yerleşimi için boyut sınırlarını tespit etmek gerekir.

2

Altıgenin bir kenarının, dikdörtgenin 6 cm'lik kenarı üzerinde olduğu 1. Durumu incele.

Genişlik sınırı:

2a \leq 6 \Rightarrow a \leq 3

. Yükseklik sınırı:

a\sqrt{3} \leq 2\sqrt{3} \Rightarrow a \leq 2

. Bu durumda en büyük kenar

a=2

cm olur.

Altıgenin dikdörtgenin dışına taşmaması için her iki boyuttaki kısıtlamaların en küçüğü esas alınır.

3

Altıgenin bir kenarının, dikdörtgenin

2\sqrt{3}

cm'lik kenarı üzerinde olduğu 2. Durumu incele.

Genişlik sınırı:

2a \leq 2\sqrt{3} \Rightarrow a \leq \sqrt{3}

. Yükseklik sınırı:

a\sqrt{3} \leq 6 \Rightarrow a \leq 2\sqrt{3}

. Bu durumda en büyük kenar

a=\sqrt{3}

cm olur.

Alternatif yerleşim ihtimali kontrol edilerek maksimum alan (dolayısıyla maksimum kenar) aranır.

4

İki durumu karşılaştır ve çevre hesapla.

1. durumda

a=2

, 2. durumda

a=\sqrt{3}

(

\,\approx 1,73

) bulundu. En büyük altıgen için

a=2

seçilir. Çevre =

6 \times 2 = 12

cm.

Soru 'alanı en büyük' olanı sorduğu için kenarı daha büyük olan seçenek doğrudur.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde uzunluk bağıntıları ve geometrik yerleşim optimizasyonu.

Hints

1

Düzgün altıgenin bir kenarı

a

ise, karşılıklı iki kenarı arasındaki dik uzaklık (yükseklik)

a\sqrt{3}

ve en uzak iki köşesi arasındaki mesafe

2a

'dır.

2

Altıgenin bir kenarının dikdörtgenin uzun kenarına mı yoksa kısa kenarına mı çakışık olması gerektiği olmak üzere iki ihtimali de test edin.

Alternative Method

Çizim yaparak görselleştirme:

2\sqrt{3}

yaklaşık 3.46 cm'dir. 6 cm'lik kenar üzerine

a=2

cm'lik altıgen konduğunda yükseklik

2\sqrt{3}

tam sığar. Diğer türlü konduğunda genişlik sınırlayıcı olur.

Estimated Time:2m 30s

Question 191Question →

Aşağıdaki şekilde, $[BC]$ kenarı ortak olan $ABC$ ve $DBC$ üçgenleri verilmiştir.

Üçgenlere ait kenar uzunlukları ve açı bilgileri şöyledir:
* $|AB| = 6$ cm, $|AC| = 8$ cm
* $|DB| = 9$ cm, $|DC| = 12$ cm
* $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$
* $DBC$ üçgeni çeşitkenar bir üçgendir.

Buna göre, $|BC|$ uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

13

24

25

36

48

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

|BC|

kenarının alabileceği değerler 11 ve 13 olup, toplamları 24'tür.

Soruda verilen iki üçgenin kısıtlamaları ortak çözülmelidir.

ABC

üçgeninde

A

açısı geniş (

>90^\circ

) olduğundan, Pisagor teoremine referansla

|BC| > \sqrt{6^2+8^2} = 10

olmalıdır. Üçgen eşitsizliğinden ise

|BC| < 14

bulunur.

DBC

üçgeni için

|BC|

3 ile 21 arasında olmalıdır. Kesişim kümesi

\{11, 12, 13\}

tamsayılarıdır. Ancak

DBC

çeşitkenar olduğu için

|BC| \neq 12

(

|DC|

'ye eşit olamaz) şartı sağlanmalıdır. Kalan değerler 11 ve 13 olup toplamları 24'tür.

Step-by-Step Solution

1

ABC

üçgeni için üçgen eşitsizliğini ve geniş açı şartını uygula.

Üçgen eşitsizliğinden

8-6 < |BC| < 8+6 \Rightarrow 2 < |BC| < 14

. Geniş açı (

>90^\circ

) şartından

|BC|^2 > 6^2 + 8^2 \Rightarrow |BC|^2 > 100 \Rightarrow |BC| > 10

. Kesişim:

10 < |BC| < 14

.

Bir üçgenin çizilebilmesi için üçgen eşitsizliği sağlanmalı, ayrıca açı şartı kenar uzunluğu alt sınırını belirler.

2

DBC

üçgeni için üçgen eşitsizliğini uygula.

12-9 < |BC| < 12+9 \Rightarrow 3 < |BC| < 21

.

İkinci üçgenin de oluşabilmesi için kenar uzunlukları bu aralıkta olmalıdır.

3

İki üçgenin şartlarını sağlayan ortak tamsayıları belirle.

Ortak aralık:

(10 < |BC| < 14) \cap (3 < |BC| < 21) \Rightarrow 10 < |BC| < 14

. Bu aralıktaki tamsayılar:

\{11, 12, 13\}

.

|BC|

her iki üçgenin de ortak kenarı olduğu için her iki kısıtlamayı da sağlamalıdır.

4

DBC

üçgeninin çeşitkenar olma şartını kontrol et ve değerleri topla.

DBC

kenarları: 9, 12 ve

|BC|

. Çeşitkenar olması için

|BC| \neq 9

ve

|BC| \neq 12

olmalıdır. Aday kümesinden

\{11, 12, 13\}

12 elenir. Kalanlar: 11 ve 13. Toplam:

11 + 13 = 24

.

Soruda

DBC

üçgeninin çeşitkenar olduğu belirtilmiştir, bu nedenle ikizkenar yapan değerler çıkarılmalıdır.

Key Concept

Üçgen Eşitsizliği ve Açı-Kenar Bağıntıları

Hints

1

Önce her iki üçgen için ayrı ayrı üçgen eşitsizliğini (

|b-c| < a < b+c

) yazarak

|BC|

'nin aralığını bulun.

2

m(\widehat{BAC}) > 90^\circ

şartı,

|BC|

kenarının uzunluğu için bir alt sınır belirler (

a^2 > b^2 + c^2

). Bunu

ABC

üçgeni için uygulayın.

3

Bulduğunuz tamsayı adayları arasından,

DBC

üçgenini 'ikizkenar' yapacak olan değeri eleyin (soru 'çeşitkenar' diyor).

Practice More

Benzer bir soruyu 'dar açı' şartı ile çözmeyi deneyin.

Estimated Time:2m 30s

Question 192Question →

Bir ayrıtının uzunluğu $6$ birim olan bir küpün içerisine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacmi $V_1$ birimküp; bu küpün tüm köşeleri üzerinde bulunacak şekilde dışına çizilebilecek en küçük hacimli kürenin hacmi ise $V_2$ birimküptür. Buna göre, $V_1$ hacminin $V_2$ hacmine oranı kaçtır?

\frac{1}{3}

\frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{3}}{9}

\frac{1}{9}

\frac{1}{27}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\sqrt{3}}{9}$

Answer

Küpün içindeki ve dışındaki kürelerin hacimleri oranı

\frac{\sqrt{3}}{9}

olarak bulunur.

İç teğet kürenin yarıçapı küp ayrıtının yarısı (

3

birim), dış teğet kürenin yarıçapı ise cisim köşegeninin yarısıdır (

3\sqrt{3}

birim). Bu iki küre arasındaki benzerlik oranı

k = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}

'tür. Kürelerin hacim oranı benzerlik oranının küpü olduğundan

k^3 = (\frac{1}{\sqrt{3}})^3 = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İç teğet kürenin yarıçapını (

r_1

) belirleme

r_1 = 3

birim

Küpün içine sığabilecek en büyük kürenin çapı, küpün bir ayrıt uzunluğuna (

a = 6

) eşittir. Bu durumda

2r_1 = 6

olur.

2

V_1

hacmini hesaplama

V_1 = 36\pi

birimküp

Kürenin hacim formülü

V = \frac{4}{3}\pi r^3

kullanılarak

V_1 = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36\pi

bulunur.

3

Dış teğet kürenin yarıçapını (

R

) belirleme

R = 3\sqrt{3}

birim

Küpün köşelerinden geçen en küçük kürenin çapı, küpün cisim köşegenine (

a\sqrt{3}

) eşittir.

a = 6

için çap

6\sqrt{3}

birim, dolayısıyla yarıçap

R = 3\sqrt{3}

birim olur.

4

V_2

hacmini hesaplama

V_2 = 108\sqrt{3}\pi

birimküp

V_2 = \frac{4}{3} \pi (3\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3} \pi (27 \cdot 3\sqrt{3}) = \frac{4}{3} \pi (81\sqrt{3}) = 108\sqrt{3}\pi

bulunur.

5

Hacimler oranını hesaplama

\frac{V_1}{V_2} = \frac{\sqrt{3}}{9}

\frac{36\pi}{108\sqrt{3}\pi} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{9}

işlemiyle sonuç elde edilir.

Key Concept

Küp ve küre ilişkilerinde; iç teğet kürenin çapı ayrıta, dış teğet kürenin çapı cisim köşegenine eşittir.

Hints

1

Kürenin hacmi yarıçapının küpüyle (

r^3

) orantılıdır.

2

İçteki kürenin çapı küpün bir kenarıdır. Dıştakinin çapı ise küpün en uzak iki köşesini birleştiren cisim köşegenidir.

Practice More

Aynı küpün içine sığabilecek en büyük silindir ile kürenin hacimlerini karşılaştırınız.

Alternative Method

Hacimleri ayrı ayrı hesaplamak yerine benzerlik oranından gidilebilir:

k = \frac{r_{iç}}{r_{dış}} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}

. Hacimler oranı

k^3 = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}

olur.

Estimated Time:1m 30s

Question 193Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktaları verilmiştir. $[DE] \parallel [BC]$ olmak üzere, $|AD| = 2 \text{ cm}$ ve $|DB| = 6 \text{ cm}$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, $ADE$ üçgeninin alanının $ABC$ üçgeninin alanına oranı kaçtır?

\frac{1}{16}

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{1}{9}

\frac{3}{4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{16}$

Answer

ADE üçgeninin alanının ABC üçgeninin alanına oranı 1/16'dır.

Üçgenlerde tabana paralel bir doğru çizildiğinde oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen benzerdir. Benzerlik oranı, kenar uzunluklarının oranına eşittir:

k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{2}{2+6} = \frac{1}{4}

. Benzer iki üçgenin alanları oranı ise benzerlik oranının karesine eşittir:

k^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}

.

Step-by-Step Solution

1

Benzerlik oranını (k) hesapla.

k = |AD| / |AB| = 2 / (2 + 6) = 2 / 8 = 1/4

Temel orantı teoremine (Thales) göre küçük üçgenin kenarı, büyük üçgenin tamamına oranlanır.

2

Alanlar oranını bulmak için benzerlik oranının karesini al.

Alan Oranı = k² = (1/4)² = 1/16

Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Key Concept

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi (k -> k²)

Hints

1

Önce küçük üçgenin (

ADE

) kenarının büyük üçgenin (

ABC

) kenarına oranını (benzerlik oranı) bulun.

2

Benzerlik oranı

k = \frac{|AD|}{|AD| + |DB|}

formülüyle hesaplanır.

3

Bulduğunuz benzerlik oranı

k

'nın karesini (

k^2

) alarak alanlar oranına ulaşın.

Practice More

Benzerlik oranı verilen iki üçgenin çevrelerinin oranı sorulsaydı ne yapardınız?

Estimated Time:45s

Question 194Question →

Düz bir zemin üzerine dik olarak yerleştirilmiş iki direk bulunmaktadır. Birinci direğin tepesinden ikinci direğin dibine ve ikinci direğin tepesinden birinci direğin dibine gergin ipler çekilmiştir. Bu iplerin kesişim noktasının zeminden yüksekliği 4,8 metredir. Direklerden birinin yüksekliği 8 metre olduğuna göre, diğer direğin yüksekliği kaç metredir?

10

12

16

18

24

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Diğer direğin yüksekliği 12 metredir.

Verilen geometrik yapıda, zemine dik direkler birbirine paraleldir. Temel benzerlik teoremi gereği, kesişim noktasının yüksekliği (

h

), direk boyları (

a

ve

b

) arasında

\frac{1}{h} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}

bağıntısı vardır. Verilen değerler (

h=4,8

ve

a=8

) yerine konulduğunda, diğer direğin boyu 12 metre olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Problemi geometrik olarak modelle

Zemin üzerinde birbirine paralel iki doğru parçası (direkler) ve bunları çapraz kesen iki doğru parçası (ipler) oluşur. Bu yapı 'kelebek' benzerliği ve temel benzerlik teoremi uygulamasıdır.

Paralel doğrular arasındaki çapraz bağlantılar, benzer üçgenler oluşturur.

2

Kesişim yüksekliği formülünü uygula

Paralel iki uzunluk

x

ve

y

ise ve kesişim yüksekliği

h

ise, formül:

\frac{1}{h} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}

şeklindedir.

Temel orantı teoreminden (Thales) elde edilen harmonik ortalama ilişkisidir.

3

Verilenleri formüle yerleştir

\frac{1}{4,8} = \frac{1}{8} + \frac{1}{y}

Bilinen yükseklikler (

h=4,8

ve

x=8

) yerine konur.

4

Bilinmeyen yüksekliği (

y

) çöz

\frac{1}{4,8} = \frac{10}{48} = \frac{5}{24}

. Denklem:

\frac{5}{24} = \frac{3}{24} + \frac{1}{y} \implies \frac{2}{24} = \frac{1}{y} \implies \frac{1}{12} = \frac{1}{y} \implies y = 12

.

Rasyonel sayı işlemleriyle bilinmeyen bulunur.

Key Concept

Paralel doğrular arasındaki çapraz kesişimlerde, kesişim noktasının yüksekliğinin tersi, paralel uzunlukların yüksekliklerinin tersleri toplamına eşittir.

Hints

1

Bu soruyu çözmek için 'Temel Benzerlik Teoremi'ni (Thales) kullanmalısınız. İplerin oluşturduğu üçgenlerdeki benzerlik oranlarına odaklanın.

2

Direkler birbirine paralel olduğu için, kesişim noktasının yüksekliğinin tersi, direk boylarının terslerinin toplamına eşittir (

\frac{1}{h} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}

).

3

Formülde

h = 4,8

ve

x = 8

değerlerini yerine koyarak

y

değerini hesaplayın:

\frac{1}{4,8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{y}

.

Practice More

Benzer bir mantıkla, yamukta köşegenlerin kesim noktasından tabanlara paralel çizilen doğru parçasının uzunluğunu soran soruları inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 195Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına $[AH]$ dikmesi indirilmiş ve $A$ açısına ait $[AD]$ iç açıortayı çizilmiştir. $m(\widehat{ABC}) = 74^\circ$ ve $m(\widehat{ACB}) = 38^\circ$ olduğuna göre, yükseklik ile açıortay arasında kalan $m(\widehat{DAH})$ açısı kaç derecedir?

16

18

22

34

36

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Yükseklik ile açıortay arasında kalan açı 18 derecedir.

Doğru cevap olan 18 değeri, üçgenin

A

açısının yarısı olan 34 dereceden, yükseklik ile kenar arasındaki 16 derecelik açının çıkarılmasıyla elde edilir. Ayrıca pratik kural gereği

|74-38|/2

işlemi de aynı sonucu verir.

Step-by-Step Solution

1

ABC

üçgeninin iç açıları toplamından

A

açısını bulalım.

m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - (74^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ

Üçgenin iç açıları toplamı her zaman

180^\circ

derecedir.

2

[AD]

iç açıortay olduğu için

A

açısını iki eş parçaya bölelim.

m(\widehat{BAD}) = 68^\circ / 2 = 34^\circ

Açıortay, açıyı iki eşit parçaya bölen doğrudur.

3

ABH

dik üçgeninde

\widehat{BAH}

açısını hesaplayalım.

m(\widehat{BAH}) = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ

Dik üçgende dar açıların toplamı

90^\circ

derecedir.

4

Açıortay ile yükseklik arasındaki

m(\widehat{DAH})

açısını bulmak için farkı alalım.

m(\widehat{DAH}) = m(\widehat{BAD}) - m(\widehat{BAH}) = 34^\circ - 16^\circ = 18^\circ

AD

doğrusu ile

AH

doğrusu arasındaki bölge bu farkla bulunur.

Key Concept

Bir üçgende aynı köşeden çıkan yükseklik ile iç açıortay arasındaki açı, diğer iki açının farkının mutlak değerinin yarısına eşittir:

m(\widehat{DAH}) = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{C})|}{2}

.

Hints

1

Önce

A

köşesindeki iç açının tamamını bulun.

2

Yüksekliğin oluşturduğu dik üçgeni kullanarak

\widehat{BAH}

açısını hesaplayın.

3

Açıortay açısı ile yüksekliğin açısı arasındaki farkı bulun veya doğrudan

|m(B) - m(C)| / 2

formülünü uygulayın.

Practice More

Eğer

[AD]

dış açıortay olsaydı, yükseklik ile arasındaki açının nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Pratik formül: Bir üçgende bir köşeden inen yükseklik ile o köşeye ait iç açıortay arasındaki açı, taban açılarının farkının yarısıdır. Yani

\frac{74 - 38}{2} = 18

derece.

Estimated Time:1m 30s

Question 196Question →

Konveks bir düzgün çokgenin ardışık köşeleri $A, B, C, D, E, \dots$ şeklinde isimlendirilmiştir. Bu çokgenin $[AB]$ ve $[DE]$ kenarları uzatıldığında bir $K$ noktasında kesişmekte ve $m(\widehat{BKD}) = 60^\circ$ olmaktadır. Buna göre, bu düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

8

9

10

12

15

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Düzgün çokgen 9 kenarlıdır.

Verilen soruda

AB

ve

DE

kenarları uzatıldığında, aralarında

BC

ve

CD

kenarları kalır. Bu yapı, 3 dış açılık bir dönüşe karşılık gelir. Uzantıların kesişim açısı

60^\circ

olarak verildiğinden,

180 - 3\alpha = 60

bağıntısı kurulur. Buradan bir dış açı

\alpha=40^\circ

bulunur. Dış açısı

40^\circ

olan düzgün çokgenin kenar sayısı

360/40 = 9

dur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen geometrik yapıyı ve ilgili açıları tanımla.

A, B, C, D, E ardışık köşelerdir. [AB] ve [DE] kenarlarının uzantıları K noktasında kesişmektedir. Aradaki boşlukta B, C, D köşeleri ve [BC], [CD] kenarları bulunmaktadır.

Kesişim açısını hesaplamak için çokgenin dış açıları ile oluşan geometrik şeklin (K-B-C-D dörtgeni veya eşdeğer yapı) analizi gereklidir.

2

Kesişim açısı ile dış açı arasındaki bağıntıyı kur.

Arada k=2 kenar ([BC] ve [CD]) bulunduğu için, kesişim açısı

180^\circ - 3\alpha

formülü ile ifade edilir (Burada

\alpha

bir dış açıdır).

Ardışık kenarların uzantıları arasındaki açı, aradaki 'dönüş' miktarı ile ilişkilidir. B, C ve D köşelerindeki 3 dış açının toplam dönüşü

3\alpha

'dır. K noktasındaki açı ile bu dönüşün toplamı

180^\circ

'yi tamamlar (veya çemberde açı mantığıyla:

(n-6)\gamma / 2 = 60

). Denklem:

180 - 3\alpha = 60

.

3

Denklemi çözerek dış açıyı (

\alpha

) bul.

180 - 3\alpha = 60 \Rightarrow 3\alpha = 120 \Rightarrow \alpha = 40^\circ

.

Dış açıyı bulmak, kenar sayısına geçiş yapmak için gereklidir.

4

Dış açıdan kenar sayısına (n) geçiş yap.

n = \frac{360}{\alpha} = \frac{360}{40} = 9

.

Düzgün çokgenlerde kenar sayısı

n = 360 / \text{Dış Açı}

formülü ile bulunur.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde kenar uzantılarının kesişim açısı, aradaki kenar sayısına ve dış açıya bağlıdır.

Hints

1

Düzgün çokgenin köşelerinin bir çember üzerinde olduğunu hayal edin. Kenar uzantılarının oluşturduğu açı, çemberde 'dış açı' kuralına benzer şekilde hesaplanabilir.

2

AB ve DE kenarları arasında kalan köşe ve kenarları sayın. B, C ve D köşelerindeki dış açıların toplamı, K noktasındaki açıyı etkiler.

3

Oluşan geometrik yapıda

m(\widehat{K}) = 180^\circ - (\text{Aradaki dış açı sayısı} \times \alpha)

bağıntısını kullanın. Burada arada 3 dış açı (B, C, D) etkilidir.

Alternative Method

Çember yöntemi:

K

açısı, gördüğü yayların farkının yarısıdır. Büyük yay

(n-4)\text{ kenar}

, küçük yay

2\text{ kenar}

uzunluğundadır.

\frac{(n-4)\alpha - 2\alpha}{2} = 60

denklemi de aynı sonucu verir.

Estimated Time:2m 30s

Question 197Question →

Taban yarıçapı $4$ cm ve yüksekliği $20$ cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kapta $12$ cm yüksekliğinde su bulunmaktadır. Bu kap, tabanı üzerindeki bir nokta etrafında yavaşça eğilmeye başlanıyor. Su dökülmeye başladığı anda kabın tabanının yatay düzlemle yaptığı açının tanjantı kaçtır?

1

\frac{3}{2}

2

4

\frac{1}{2}

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Kabın tabanının yatay düzlemle yaptığı açının tanjantı 2'dir.

Silindir eğildiğinde suyun dökülmemesi için hacminin sabit kalması gerekir. Bu durumda eğik silindirdeki suyun yüksekliklerinin ortalaması (

20

ve

4

), başlangıçtaki yüksekliğe (

12

) eşit olmalıdır. Oluşan geometrik yapıda yükseklik farkı (

16

) ve taban çapı (

8

) arasındaki oran doğrudan taban açısının tanjantını verir.

Step-by-Step Solution

1

Eğik durumdaki suyun hacim özelliklerini belirleme

Hacim =

\pi \cdot r^2 \cdot \frac{h_1 + h_2}{2}

Silindir eğildiğinde içindeki suyun hacmi değişmez ve eğik durumdaki suyun ortalama yüksekliği, başlangıçtaki su yüksekliğine (

h=12

) eşittir.

2

Su dökülmeye başladığı andaki uç değerleri hesaplama

h_1 = 20

cm ve

h_2 = 4

cm

Su dökülmeye başladığı anda suyun bir tarafı kabın üst ağzına (

h_1 = 20

) ulaşır.

\frac{20 + h_2}{2} = 12

denkleminden diğer tarafın yüksekliği

h_2 = 4

cm olarak bulunur.

3

Eğim açısını geometriye aktarma

Karşı kenar =

16

cm, Komşu kenar =

8

cm

Kabın dik kesitinde oluşan dik üçgende, su yüzeyi (yatay) ile taban arasındaki açı

\theta

ise; karşı dik kenar yükseklik farkıdır (

20 - 4 = 16

), komşu dik kenar ise taban çapıdır (

2 \times 4 = 8

).

4

Tanjant değerini hesaplama

\tan \theta = \frac{16}{8} = 2

Tanjant fonksiyonu karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.

Key Concept

Eğik silindirde hacim korunumu ve ortalama yükseklik prensibi

Question 198Question →

Şekilde O merkezli, $[OA]$ ve $[OB]$ yarıçaplı bir çeyrek daire ile $[OA]$ çaplı yarım daire verilmiştir. Bu çeyrek dairenin içine; $[OB]$ yarıçapına, çeyrek daire yayına ve $[OA]$ çaplı yarım daireye teğet olacak şekilde $M$ merkezli küçük bir çember çizilmiştir.

$|OA| = 12$ cm olduğuna göre, $M$ merkezli küçük çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

2

3

4

2√3

3√2

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

M merkezli çemberin yarıçapı 3 cm'dir.

Soruda verilen geometrik yapıda, çemberlerin merkezlerini birleştiren doğru parçaları oluşturulduğunda iki adet dik üçgen bağıntısı ortaya çıkar. O merkezli çeyrek dairenin yarıçapı

R=12

cm, yarım dairenin yarıçapı

6

cm ve aranan çemberin yarıçapı

r

'dir. Yarım dairenin merkezi

K

olsun.

M

merkezinden tabana inilen dikme

h

uzunluğunda olsun.

OKM

üçgeninde ve

OM

doğrusu üzerinde kurulan Pisagor bağıntıları çözüldüğünde genel kural olarak

R=4r

bağıntısı bulunur.

12 = 4r

olduğundan

r=3

cm elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Şekli analitik düzlemde veya dik üçgenler yardımıyla modelle.

O noktası (0,0), OA yarıçapı x ekseni üzerinde olsun. Büyük yarıçap R=12 cm. M merkezli çemberin yarıçapına r diyelim.

Teğet çember problemlerinde merkezleri birleştiren doğrular en temel çözüm yoludur.

2

M merkezinin koordinatlarını ve uzaklık bağıntılarını belirle.

M çemberi [OB] kenarına (y ekseni) teğet olduğundan M'nin apsisi r olur. M(r, h) diyelim. O noktasına uzaklığı (R-r), [OA] üzerindeki yarım dairenin merkezi K'ya uzaklığı (R/2 + r) olur.

İçten teğet çemberlerde merkezler arası uzaklık yarıçaplar farkı, dıştan teğetlerde ise yarıçaplar toplamıdır.

3

Merkezler arası uzaklıklar için Pisagor bağıntılarını yaz.

1. O-M uzaklığı için:

r^2 + h^2 = (R-r)^2

2. K-M uzaklığı için (K noktası (6,0) noktasındadır):

(r-6)^2 + h^2 = (6+r)^2

İki bilinmeyenli (r ve h) iki denklem elde ederek çözüme ulaşmak için.

4

İkinci denklemden h kareyi çek ve birinci denklemde yerine koy.

2. denklemden:

h^2 = (6+r)^2 - (r-6)^2 = (12)(2r) = 24r

.
1. denklemde yerine koy:

r^2 + 24r = (12-r)^2 \Rightarrow r^2 + 24r = 144 - 24r + r^2

.

Değişkenleri yok ederek r değerini bulmak için.

5

Elde edilen denklemi çöz.

24r = 144 - 24r \Rightarrow 48r = 144 \Rightarrow r = 3

.

Sonucu elde etmek için.

Key Concept

Teğet Çemberlerde Merkezlerin Birleştirilmesi

Hints

1

Teğet olan çemberlerin merkezlerini birleştiren doğru parçalarını çizmeyi deneyin.

2

Küçük çemberin merkezi M, yarım dairenin merkezi K ve çeyrek dairenin merkezi O olsun. M noktasının K ve O noktalarına olan uzaklıklarını r cinsinden yazın.

3

Küçük çemberin merkezinin O noktasına uzaklığı

(12-r)

, K noktasına uzaklığı

(6+r)

olacaktır. Bu iki uzunluğu kullanarak iki farklı Pisagor bağıntısı kurun.

Practice More

Benzer bir kurguyu, yarım daire yerine iki eş çeyrek daire arasına sıkışmış tam daire için çözün.

Alternative Method

Pratik Yol (Özel Durum): Bu geometri kalıbında (Çeyrek daire içine, bir kenarı çap kabul eden yarım daire ve araya sıkışan tam daire), büyük yarıçap daima küçük yarıçapın 4 katıdır (

R = 4r

).

Estimated Time:3m 0s

Question 199Question →

Kenar sayısı $n$ olan bir düzgün çokgenin ardışık köşeleri sırasıyla $A, B, C, D, E, \dots$ şeklinde harflendirilmiştir. Bu çokgenin $AE$ ve $BD$ köşegenleri $K$ noktasında kesişmektedir.

$m(\widehat{AKB}) = 24^\circ$ olduğuna göre, bu düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

144

150

156

160

162

Show answer & explanation

Answer: 156

Answer

Düzgün çokgenin bir iç açısı 156 derecedir.

Düzgün çokgenin çevrel çemberinde her kenar eşit ölçüde bir yay ayırır; buna

\alpha

diyelim.

A, B, C, D, E

ardışık köşeler olduğundan,

AB

yayı ve

DE

yayı birer birim yaydır (ölçüleri

\alpha

). Çemberde kesişen kirişler arasındaki açı (iç açı), gördüğü yayların toplamının yarısıdır. Verilen

m(\widehat{AKB}) = 24^\circ

açısı,

AB

ve

DE

yaylarını görür. O halde

24 = \frac{\alpha + \alpha}{2}

eşitliğinden

\alpha = 24^\circ

bulunur. Bu değer aynı zamanda çokgenin bir dış açısıdır. Bir iç açı ise

180 - 24 = 156^\circ

olur.

Step-by-Step Solution

1

Düzgün çokgenin köşelerinden geçen çevrel çemberi hayal et veya çiz.

Çevrel çemberde her bir kenar eşit uzunlukta bir yay (

\alpha

) görür.

Düzgün çokgenin köşeleri çemberseldir ve eşit kirişler eşit yaylar ayırır.

2

K

noktasında kesişen

AE

ve

BD

kirişleri arasındaki

\widehat{AKB}

açısının gördüğü yayları belirle.

Bu açı, ters açısıyla birlikte

AB

yayını ve

DE

yayını görmektedir.

Çemberde iç açı kuralı: Kesişen iki kirişin oluşturduğu açı, gördüğü yayların toplamının yarısına eşittir.

3

Açı-yay ilişkisini denkleme dök.

m(\widehat{AB}) = \alpha

ve

m(\widehat{DE}) = \alpha

(çünkü

A-B

ve

D-E

ardışık köşeler arası birer kenardır). Formül:

24^\circ = \frac{\alpha + \alpha}{2}

İç açı formülü uygulanır.

4

Bir dış açıyı (

\alpha

) ve ardından iç açıyı hesapla.

24 = \frac{2\alpha}{2} \Rightarrow \alpha = 24^\circ

. İç açı =

180^\circ - 24^\circ = 156^\circ

.

Düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü, bir kenarı gören merkez açıya (

\alpha

) eşittir.

Key Concept

Düzgün Çokgenlerde Çevrel Çember ve Açı İlişkileri

Hints

1

Düzgün çokgenin köşelerinden geçen bir çember (çevrel çember) olduğunu düşünün. Her kenar bu çemberde eşit uzunlukta bir yay ayırır.

2

Çemberde kesişen iki kirişin arasındaki açı, bu açının gördüğü yayların ölçüleri toplamının yarısına eşittir.

AKB

açısı hangi yayları görüyor?

3

A, B, C, D, E

ardışık olduğu için

AB

yayı 1 birim,

DE

yayı da 1 birimdir. Formülü uygularsanız dış açıyı bulursunuz.

Alternative Method

Üçgenlerde açı hesabı:

\triangle ABK

ve simetri ekseni kullanarak,

\widehat{KAB}

ve

\widehat{KBA}

açılarını dış açı cinsinden ifade edip üçgen iç açılar toplamından gidilebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 200Question →

Merkezi $O$ noktası ve yarıçapı $6$ cm olan bir daire verilmiştir. $\pi = 3$ alındığında, bu dairenin alanı çevresinden kaç $\text{cm}^2$ fazladır?

72

108

36

144

18

Show answer & explanation

Answer: 72

Answer

Dairenin alanı 108 cm², çevresi 36 cm olup aradaki fark 72 cm²'dir.

Dairenin alanı

\pi r^2

formülünden

3 \times 6^2 = 108

\text{cm}^2

olarak bulunur. Çevresi ise

2\pi r

formülünden

2 \times 3 \times 6 = 36

cm olarak hesaplanır. Aradaki fark olan 72 değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Dairenin çevresini hesapla

Çevre

= 2 \times \pi \times r = 2 \times 3 \times 6 = 36

cm

Çevre formülü

2\pi r

olarak tanımlanır.

2

Dairenin alanını hesapla

Alan

= \pi \times r^2 = 3 \times 6^2 = 3 \times 36 = 108

\text{cm}^2

Alan formülü

\pi r^2

olarak tanımlanır.

3

Alan ile çevre arasındaki farkı bul

108 - 36 = 72

\text{cm}^2

Soruda alanın çevreden ne kadar fazla olduğu sorulmaktadır.

Key Concept

Dairede Alan ve Çevre Hesaplama

Hints

1

Dairenin çevre ve alan formüllerini ayrı ayrı uygulayın.

2

Çevre için

2\pi r

, alan için

\pi r^2

formülünü kullanın;

\pi

yerine 3,

r

yerine 6 yazın.

3

Bulduğunuz 108 alan değerinden 36 çevre değerini çıkarın.

Practice More

Yarıçapı iki katına çıkarıldığında alanın ve çevrenin nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternative Method

Formülleri ortak paranteze alarak

\pi r(r - 2)

şeklinde de hesaplayabilirsiniz:

3 \times 6 \times (6 - 2) = 18 \times 4 = 72

.

Estimated Time:1m 30s

Geometri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More