Examkin

Geometri

436 questions

Question 281Question →

∣AB∣=∣AC∣=17|AB| = |AC| = 17 cm olan ABCABC ikizkenar üçgeninin [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası bulunmaktadır.

∣BD∣=9|BD| = 9 cm ve ∣DC∣=21|DC| = 21 cm olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç santimetredir?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İkizkenar üçgenin tabanına indirilen dikmenin tabanı iki eş parçaya bölmesi özelliği kullanılarak ∣AD∣=10|AD| = 10 cm bulunur.
Soruyu çözmek için ikizkenar üçgenin en temel özelliği olan 'tabana inen dikmenin tabanı ikiye bölmesi' kullanılır. Öncelikle taban uzunluğu 30 cm bulunur, yarısı 15 cm'dir. Bu sayede 8-15-17 özel üçgeninden yükseklik 8 cm bulunur. Daha sonra oluşan küçük dik üçgende (AHD) kenarlar 6 ve 8 cm olduğu için hipotenüs 10 cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
BC kenarının toplam uzunluğunu hesapla.
∣BC∣=∣BD∣+∣DC∣=9+21=30|BC| = |BD| + |DC| = 9 + 21 = 30 cm.
D noktası BC üzerinde olduğu için parçaların toplamı tabanı verir.
2
A köşesinden BC tabanına bir dikme (yükseklik) indir ve tabanı kestiği noktaya H de.
İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme aynı zamanda kenarortaydır. Bu nedenle ∣BH∣=∣HC∣=30/2=15|BH| = |HC| = 30 / 2 = 15 cm olur.
İkizkenar üçgenin temel özelliği: Tepe açısından inen dikme tabanı ikiye böler.
3
AHC (veya AHB) dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak yüksekliği (|AH|) bul.
∣AH∣2+152=172⇒∣AH∣2+225=289⇒∣AH∣2=64⇒∣AH∣=8|AH|^2 + 15^2 = 17^2 \Rightarrow |AH|^2 + 225 = 289 \Rightarrow |AH|^2 = 64 \Rightarrow |AH| = 8 cm. (8-15-17 özel üçgeni)
Yüksekliği bulmak için dik üçgen oluşturulur.
4
D ile H arasındaki mesafeyi (|HD|) hesapla.
H noktası B'den 15 cm uzaklıktadır. D noktası B'den 9 cm uzaklıktadır. ∣HD∣=∣BH∣−∣BD∣=15−9=6|HD| = |BH| - |BD| = 15 - 9 = 6 cm.
AD uzunluğunu bulmak için AHD dik üçgeninin taban kenarına ihtiyaç vardır.
5
AHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulayarak |AD|'yi bul.
∣AD∣2=∣AH∣2+∣HD∣2⇒∣AD∣2=82+62⇒∣AD∣2=64+36=100⇒∣AD∣=10|AD|^2 = |AH|^2 + |HD|^2 \Rightarrow |AD|^2 = 8^2 + 6^2 \Rightarrow |AD|^2 = 64 + 36 = 100 \Rightarrow |AD| = 10 cm. (6-8-10 özel üçgeni)
Sonuç adımı.

Key Concept

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme hem açıortay hem de kenarortaydır (Yaki Kuralı: Yükseklik-Açıortay-Kenarortay-İkizkenar).

Hints

1
İkizkenar üçgen sorularında genellikle tepe açısından tabana bir dikme indirmek çözümü kolaylaştırır.
2
Tepe açısından indirilen dikme, 30 cm uzunluğundaki BC tabanını iki eş parçaya böler.
3
Oluşan dik üçgenlerden birinde 8-15-17 özel üçgenini arayın, ardından AHD üçgeni için 6-8-10 üçgenini kullanın.
Estimated Time:2m 30s
Question 282Question →

Kenar uzunlukları tam sayı olan bir ABCABC üçgeninde, kenarlar arasında 2a=3b−c2a = 3b - c eşitliği bulunmaktadır. 10<c<1510 < c < 15 ve m(A^)>m(C^)m(\widehat{A}) > m(\widehat{C}) olduğu bilindiğine göre, bu üçgenin çevresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç santimetredir?

Show answer & explanation

Answer: 107

Answer

Üçgenin çevresinin alabileceği en büyük değer 107 santimetredir.
Verilen eşitlik ve eşitsizlikler birleştirildiğinde, üçgenin kenar uzunlukları a=53a=53, b=40b=40 ve c=14c=14 olarak bulunur. Bu değerler hem üçgen eşitsizliğini (13<14<9313 < 14 < 93), hem açı şartını (53>14  ⟹  a>c53 > 14 \implies a > c) hem de verilen aralık şartını (10<14<1510 < 14 < 15) sağlayan, çevresi en büyük üçgeni oluşturur. Çevre = 53+40+14=10753 + 40 + 14 = 107 cm'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği kullanarak cc kenarını aa ve bb cinsinden ifade etme
c=3b−2ac = 3b - 2a
Değişken sayısını azaltmak ve cc üzerindeki kısıtlamaları aa ve bb üzerine taşımak için gereklidir.
2
Açı şartından kenar sıralamasını belirleme
m(A^)>m(C^)  ⟹  a>cm(\widehat{A}) > m(\widehat{C}) \implies a > c. Buradan a>3b−2a  ⟹  3a>3b  ⟹  a>ba > 3b - 2a \implies 3a > 3b \implies a > b elde edilir.
Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralı uygulanır.
3
Üçgen eşitsizliğini (a<b+ca < b + c) kontrol etme
a<b+(3b−2a)  ⟹  a<4b−2a  ⟹  3a<4ba < b + (3b - 2a) \implies a < 4b - 2a \implies 3a < 4b veya a<43ba < \frac{4}{3}b.
Bir üçgenin oluşabilmesi için herhangi bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır.
4
cc üzerindeki aralık şartını (10<c<1510 < c < 15) aa ve bb için sınırlara dönüştürme
10<3b−2a<1510 < 3b - 2a < 15. Buradan alt sınır: 2a<3b−10  ⟹  a<1.5b−52a < 3b - 10 \implies a < 1.5b - 5. Üst sınır: 2a>3b−15  ⟹  a>1.5b−7.52a > 3b - 15 \implies a > 1.5b - 7.5.
Çevreyi maksimize etmek için bb ve aa değerlerini sınırlandırmak gerekir.
5
bb değerini büyüterek tam sayı çözümleri arama
b=40b=40 için aa aralığı: 52.5<a<53.3352.5 < a < 53.33. Tek tam sayı a=53a=53. Bu durumda c=120−106=14c = 120 - 106 = 14. Şartlar sağlanır: 10<14<1510 < 14 < 15 ve 53<160/353 < 160/3. Çevre = 53+40+14=10753 + 40 + 14 = 107. Daha büyük bb değerleri (ör. 41) için aralıkta tam sayı bulunamaz.
Çevre a+b+c=4b−aa+b+c = 4b-a olduğundan, bb arttıkça çevre artma eğilimindedir, bu yüzden büyük bb değerleri denenir.

Key Concept

Üçgen Eşitsizliği ve Açı-Kenar Bağıntıları

Hints

1
Sorudaki 2a=3b−c2a = 3b - c eşitliğinden cc'yi yalnız bırakarak diğer eşitsizliklerde yerine yazın.
2
m(A^)>m(C^)m(\widehat{A}) > m(\widehat{C}) olduğu için a>ca > c olmalıdır. Bunu c=3b−2ac = 3b - 2a ifadesiyle birleştirerek aa ve bb arasındaki ilişkiyi (a>ba > b) bulun.
3
Bir üçgenin oluşabilmesi için a<b+ca < b + c olmalıdır. Bu şartı cc yerine 3b−2a3b - 2a yazarak kontrol edin (3a<4b3a < 4b). bb'ye 40 civarında değerler vererek tam sayı çözüm arayın.

Practice More

Benzer kısıtlamalarla, açı şartının m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ olarak verildiği ve a2>b2+c2a^2 > b^2 + c^2 eşitsizliğinin kullanıldığı bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Çevre fonksiyonunu C(b)=4b−aC(b) = 4b - a olarak yazıp, aa'nın bb'ye bağlı sınırlarını (1.5b−7.5<a<1.33b1.5b - 7.5 < a < 1.33b) kullanarak bb arttıkça çevrenin arttığını fark edip üst sınırdan deneme yapmak daha hızlı sonuç verebilir.
Estimated Time:3m 0s
Question 283Question →

Bir belediye parkı projesinde, çocuk oyun alanının ortasına dairesel bir kum havuzu yapılması planlanmaktadır. Taslak çizimde bu havuzun yarıçapı 55 metre olarak belirlenmiştir. Havuzun etrafına koruma şeridi çekileceğine göre, bu havuzun çevre uzunluğu kaç metredir? (π=3\pi = 3 alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 3030

Answer

Dairesel havuzun çevre uzunluğu 3030 metredir.
Dairesel bir şeklin çevresini hesaplamak için 2×π×r2 \times \pi \times r formülü kullanılır. Soruda verilen r=5r = 5 ve π=3\pi = 3 değerleri yerine yazıldığında 2×3×5=302 \times 3 \times 5 = 30 metre sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen değerleri belirleyin.
r=5r = 5 metre ve π=3\pi = 3
Soruda havuzun yarıçapının 55 metre olduğu ve π\pi değerinin 33 alınması gerektiği belirtilmiştir.
2
Dairenin çevre formülünü yazın.
Çevre = 2×π×r2 \times \pi \times r
Bir çemberin veya dairenin çevre uzunluğunu bulmak için kullanılan standart matematiksel formül budur.
3
Değerleri formülde yerine koyarak hesaplama yapın.
Çevre = 2×3×5=302 \times 3 \times 5 = 30 metre
Katsayı (22), sabit sayı (π=3\pi=3) ve yarıçap (r=5r=5) çarpılarak toplam uzunluğa ulaşılır.

Key Concept

Dairenin çevre uzunluğu, yarıçapının 2π2\pi katına eşittir.

Hints

1
Bir dairenin etrafını ölçmek için çevre formülünü kullanmalısın.
2
Dairenin çevre formülü 2×π×r2 \times \pi \times r şeklindedir. Burada rr yarıçaptır.
3
Verilen r=5r=5 ve π=3\pi=3 değerlerini 2×π×r2 \times \pi \times r formülünde yerlerine yazarak çarpmalısın.

Practice More

Aynı havuzun zeminine kum doldurulacak olsaydı, alan formülünü (πr2\pi r^2) kullanarak kaç metrekarelik bir alanı hesaplamamız gerektiğini düşünebilirsin.

Alternative Method

Eğer çapı (dd) biliyorsan, çevreyi π×d\pi \times d formülüyle de bulabilirsin. Yarıçap 55 m ise çap 1010 m'dir. 3×10=303 \times 10 = 30 m sonucuna bu şekilde de ulaşılabilir.
Estimated Time:45s
Question 284Question →

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] olarak verilmiştir. BB açısına ait iç açıortay doğrusu, [AC][AC] kenarını NN noktasında kesmektedir. ∣AN∣=4|AN| = 4 cm ve ∣NC∣=5|NC| = 5 cm olduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç cm 2^2'dir?

Show answer & explanation

Answer: 54

Answer

Üçgenin alanı 54 cm 2^2'dir.
Verilen ABCABC dik üçgeninde iç açıortay teoremi gereği, dik kenar ∣AB∣|AB| ile hipotenüs ∣BC∣|BC| arasındaki oran, ayırdıkları parçalar olan 4 ve 5 ile orantılıdır (∣AB∣=4k,∣BC∣=5k|AB|=4k, |BC|=5k). Pisagor bağıntısı uygulandığında (4k)2+92=(5k)2(4k)^2 + 9^2 = (5k)^2 eşitliğinden k=3k=3 bulunur. Böylece dik kenarlar 9 cm ve 12 cm olur. Alan ise (9×12)/2=54(9 \times 12) / 2 = 54 cm 2^2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Açıortay teoremini uygula.
∣AB∣∣BC∣=∣AN∣∣NC∣=45\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|AN|}{|NC|} = \frac{4}{5}. Buradan ∣AB∣=4k|AB| = 4k ve ∣BC∣=5k|BC| = 5k diyebiliriz.
İç açıortay teoremi, kenarların oranının ayırdığı parçaların oranına eşit olduğunu belirtir.
2
Dik üçgende Pisagor bağıntısını kullanarak k değerini bul.
(4k)2+92=(5k)2⇒16k2+81=25k2⇒9k2=81⇒k=3(4k)^2 + 9^2 = (5k)^2 \Rightarrow 16k^2 + 81 = 25k^2 \Rightarrow 9k^2 = 81 \Rightarrow k = 3.
ABCABC üçgeni dik üçgen olduğu için ∣AB∣2+∣AC∣2=∣BC∣2|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2 bağıntısı geçerlidir. ∣AC∣=4+5=9|AC| = 4+5=9 cm'dir.
3
Kenar uzunluklarını ve alanı hesapla.
∣AB∣=4×3=12|AB| = 4 \times 3 = 12 cm. Alan (ABC)=12×92=54(ABC) = \frac{12 \times 9}{2} = 54 cm 2^2.
Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır.

Key Concept

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

Hints

1
İç açıortay teoremini hatırlayın: Bir açının açıortayı, karşı kenarı diğer iki kenarın oranına göre böler.
2
∣AB∣|AB| ve ∣BC∣|BC| kenarları için 4k4k ve 5k5k değişkenlerini kullanıp Pisagor bağıntısını kurun.
3
Üçgen 9-12-15 özel üçgenidir.

Practice More

Benzer oranlarla dış açıortay teoremi içeren bir soru çözülebilir.

Alternative Method

3-4-5 üçgeninin katlarını deneyerek de (9-12-15) çözüm bulunabilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 285Question →

Bir konveks düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı ile kenar sayısının toplamı, bu çokgenin bir dış açısının ölçüsünün (derece cinsinden) 14\frac{1}{4} katına eşittir. Buna göre, bu düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 120∘120^{\circ}

Answer

Düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü 120∘120^{\circ}'dir.
Verilen matematiksel koşullar denkleme döküldüğünde n2(n−1)=180n^2(n-1) = 180 eşitliği elde edilir. Bu eşitliği sağlayan tek pozitif tam sayı n=6n=6 değeridir. Kenar sayısı 66 olan düzgün bir çokgenin (altıgen) bir dış açısı 60∘60^{\circ}, dolayısıyla bir iç açısı 180−60=120∘180 - 60 = 120^{\circ} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Değişken tanımlama ve formüllerin yazılması
Kenar sayısı nn olsun. Toplam köşegen sayısı: n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}, Dış açı ölçüsü: 360n\frac{360}{n}
Soruda verilen sözel ifadeleri cebirsel sembollerle ifade etmek gerekir.
2
Verilen şartlara göre denklemin kurulması
n(n−3)2+n=14⋅360n\frac{n(n-3)}{2} + n = \frac{1}{4} \cdot \frac{360}{n}
Köşegen sayısı ve kenar sayısı toplamının dış açının dörtte birine eşit olduğu bilgisi kullanılmıştır.
3
Denklemin sadeleştirilmesi ve çözülmesi
n2−3n+2n2=90n⇒n2−n2=90n⇒n(n2−n)=180⇒n2(n−1)=180\frac{n^2 - 3n + 2n}{2} = \frac{90}{n} \Rightarrow \frac{n^2 - n}{2} = \frac{90}{n} \Rightarrow n(n^2 - n) = 180 \Rightarrow n^2(n-1) = 180
Payda eşitleyerek ve içler dışlar çarpımı yaparak nn değerini bulacak denkleme ulaşılır.
4
Kenar sayısının bulunması
n=6n=6 için 62(6−1)=36⋅5=1806^2(6-1) = 36 \cdot 5 = 180 olur. Dolayısıyla n=6n=6 (Altıgen).
Denklemi sağlayan tam sayı değeri tespit edilir.
5
Bir iç açının hesaplanması
I˙c¸ Ac¸ı=(6−2)⋅1806=4⋅1806=120∘\text{İç Açı} = \frac{(6-2) \cdot 180}{6} = \frac{4 \cdot 180}{6} = 120^{\circ}
Düzgün çokgenin iç açı formülü kullanılarak sonuca gidilir.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde kenar sayısı (nn), köşegen sayısı ve açı ölçüleri arasındaki cebirsel ilişkiler.
Question 286Question →

Bir ABCABC üçgeninde D∈[AC]D \in [AC] ve ∣AD∣=2∣DC∣|AD| = 2|DC| olacak şekilde bir DD noktası işaretleniyor. [BD][BD] doğru parçası üzerinde ise ∣BE∣=3∣ED∣|BE| = 3|ED| eşitliğini sağlayan bir EE noktası belirleniyor. Alan(ABEABE) = 36 cm236 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç  cm2\text{ cm}^2'dir?

Show answer & explanation

Answer: 72

Answer

Verilen oranlar doğrultusunda yapılan kademeli alan hesaplaması sonucunda ABCABC üçgeninin alanı 72  cm2\text{ cm}^2 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 72 seçeneğine ulaşmak için önce ABDABD üçgeni içindeki taban oranından (3:13:1) hareketle bu üçgenin alanı 48 olarak bulunur. Daha sonra ACAC kenarı üzerindeki 2:12:1 oranındaki taban paylaşımı kullanılarak tüm üçgenin alanı hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
ABDABD üçgeni içerisindeki alan paylaşımını belirle.
∣BE∣=3∣ED∣|BE| = 3|ED| olduğu için Alan(ABE)=3⋅Alan(AED)Alan(ABE) = 3 \cdot Alan(AED) olur. Buradan 36=3⋅Alan(AED)⇒Alan(AED)=12 cm236 = 3 \cdot Alan(AED) \Rightarrow Alan(AED) = 12 \text{ cm}^2 bulunur.
Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları tabanları ile doğru orantılıdır.
2
ABDABD üçgeninin toplam alanını hesapla.
Alan(ABD)=Alan(ABE)+Alan(AED)=36+12=48 cm2Alan(ABD) = Alan(ABE) + Alan(AED) = 36 + 12 = 48 \text{ cm}^2.
ABDABD üçgeni, ABEABE ve AEDAED üçgenlerinin birleşimidir.
3
ABCABC üçgeninin toplam alanına geçiş yap.
∣AD∣=2∣DC∣|AD| = 2|DC| olduğu için Alan(ABD)=2⋅Alan(BCD)Alan(ABD) = 2 \cdot Alan(BCD) olur. 48=2⋅Alan(BCD)⇒Alan(BCD)=24 cm248 = 2 \cdot Alan(BCD) \Rightarrow Alan(BCD) = 24 \text{ cm}^2 bulunur. Toplam alan: 48+24=72 cm248 + 24 = 72 \text{ cm}^2.
ABDABD ve BCDBCD üçgenlerinin BB köşesinden inen yükseklikleri ortaktır, bu yüzden alanlar taban oranlarına göre dağılır.

Key Concept

Üçgende alanın taban parçalarıyla orantılı paylaşımı

Hints

1
ABEABE ve AEDAED üçgenlerinin yükseklikleri aynı olduğu için alanları tabanlarıyla (BEBE ve EDED) orantılıdır.
2
∣BE∣=3∣ED∣|BE| = 3|ED| ise ABEABE üçgeninin alanı, AEDAED üçgeninin alanının 3 katıdır. Buradan ABDABD üçgeninin alanını bulabilirsiniz.
3
Alan(ABD)=48Alan(ABD) = 48 bulduktan sonra, AD=2DCAD = 2DC bilgisini kullanarak BCDBCD üçgeninin alanını hesaplayın ve ikisini toplayın.

Practice More

Benzer bir soruda alan parçalamayı yardımcı doğrular çizerek (paralel doğrular gibi) benzerlik kurarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm alanı bir değişken (SS) cinsinden ifade edebilirsiniz. Alan(ABC)=3SAlan(ABC) = 3S olsun. Alan(ABD)=2SAlan(ABD) = 2S olur. ABDABD içinde ise Alan(ABE)=34⋅Alan(ABD)=34⋅2S=32SAlan(ABE) = \frac{3}{4} \cdot Alan(ABD) = \frac{3}{4} \cdot 2S = \frac{3}{2}S olur. 32S=36⇒S=24\frac{3}{2}S = 36 \Rightarrow S = 24. Toplam alan 3S=3⋅24=72 cm23S = 3 \cdot 24 = 72 \text{ cm}^2.
Estimated Time:1m 30s
Question 287Question →

Bir kenar uzunluğu 1515 cm olan ABCABC eşkenar üçgeni şeklindeki bir kağıt, [AB][AB] kenarı üzerindeki DD ve [AC][AC] kenarı üzerindeki EE noktalarından geçen [DE][DE] doğrusu boyunca katlanıyor. Katlama işlemi sonucunda üçgenin AA köşesi, [BC][BC] kenarı üzerindeki KK noktası ile çakışmaktadır. ∣BK∣=3|BK| = 3 cm olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Aranan ∣AD∣|AD| uzunluğu 7 cm'dir.
Katlama sorularında, katlanan bölgenin simetriği alındığı için uzunluklar ve açılar korunur. AA köşesi KK noktasına geldiğinden ∣AD∣=∣DK∣|AD| = |DK| eşitliği sağlanır. ∣AD∣=x|AD| = x denilirse, ∣DK∣=x|DK| = x ve ∣DB∣=15−x|DB| = 15-x olur. ABCABC eşkenar üçgen olduğundan m(B^)=60∘m(\widehat{B}) = 60^\circ'dir. DBKDBK üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında x2=(15−x)2+32−2(15−x)(3)cos⁡(60∘)x^2 = (15-x)^2 + 3^2 - 2(15-x)(3)\cos(60^\circ) denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde x=7x=7 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Katlama özelliğini kullanarak eşit kenarları belirle.
∣AD∣=∣DK∣=x|AD| = |DK| = x olarak tanımlanır.
Katlama işlemi bir izometridir (eşlik dönüşümü), bu nedenle katlanan kenar uzunlukları korunur.
2
DD noktasının [AB][AB] üzerindeki konumuna göre ∣DB∣|DB| uzunluğunu xx cinsinden ifade et.
∣DB∣=15−x|DB| = 15 - x
Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu 15 cm verildiği için, ∣AB∣=∣AD∣+∣DB∣=15|AB| = |AD| + |DB| = 15 olmalıdır.
3
DBKDBK üçgeninde Kosinüs Teoremini uygula.
x2=(15−x)2+32−2(15−x)(3)cos⁡(60∘)x^2 = (15-x)^2 + 3^2 - 2(15-x)(3)\cos(60^\circ)
Eşkenar üçgenin BB açısı 60∘60^\circ dir. Kenar uzunlukları xx, (15−x)(15-x) ve 33 olan üçgende xx'i bulmak için bu teorem gereklidir.
4
Denklemi çöz.
x2=(225−30x+x2)+9−3(15−x)x^2 = (225 - 30x + x^2) + 9 - 3(15-x)
x2=234−30x+x2−45+3xx^2 = 234 - 30x + x^2 - 45 + 3x
0=189−27x0 = 189 - 27x
27x=189⇒x=727x = 189 \Rightarrow x = 7
Cebirsel işlemlerle bilinmeyen bulunur.

Key Concept

Katlama Sorularında Eşlik ve Kosinüs Teoremi

Hints

1
Katlama işleminde, katlanan kağıdın boyutları değişmez. ∣AD∣|AD| uzunluğu ile katlandıktan sonra oluşan ∣DK∣|DK| uzunluğu arasındaki ilişkiyi düşünün.
2
∣AD∣=x|AD| = x derseniz, ABCABC eşkenar üçgen olduğu için ∣DB∣|DB| uzunluğunu xx cinsinden yazabilirsiniz. Ayrıca m(B^)=60∘m(\widehat{B}) = 60^\circ olduğunu unutmayın.
3
DBKDBK üçgeninde kenarlar xx, 15−x15-x ve 33 birimdir. 60∘60^\circ'lik açıyı kullanarak Kosinüs Teoremini uygulayın: ∣DK∣2=∣DB∣2+∣BK∣2−2∣DB∣∣BK∣cos⁡(60∘)|DK|^2 = |DB|^2 + |BK|^2 - 2|DB||BK|\cos(60^\circ).

Practice More

Benzer bir katlama sorusunu dik üçgen üzerinde deneyerek Pisagor bağıntısını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

DD noktasından BCBC kenarına bir dikme indirerek (HH noktası), oluşan 30−60−9030-60-90 üçgeni yardımıyla pisagor bağıntısı kullanılarak da çözülebilir. Ancak bu yöntem işlem açısından daha karmaşıktır.
Estimated Time:2m 30s
Question 288Question →

Aşağıdaki şekilde ABCABC bir eşkenar üçgen, BDCBDC ise bir ikizkenar üçgendir. DD noktası, eşkenar üçgenin iç bölgesinde yer almaktadır. ∣BD∣=∣CD∣|BD| = |CD| ve m(BDC^)=100∘m(\widehat{BDC}) = 100^\circ olduğuna göre, m(ABD^)m(\widehat{ABD}) kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

İstenen açının ölçüsü 20∘20^\circ olarak bulunur.
Eşkenar üçgenin iç açılarının 60∘60^\circ olduğunu bilmek ilk adımdır. İkizkenar üçgende ise tepe açısı 100∘100^\circ verildiğinde, taban açılarının her biri (180−100)/2=40∘(180-100)/2 = 40^\circ olur. İstenen açı, eşkenar üçgenin köşesindeki 60∘60^\circ'lik açıdan bu 40∘40^\circ'lik açının çıkarılmasıyla bulunan 20∘20^\circ değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Eşkenar üçgenin temel özelliğini hatırla.
m(ABC^)=60∘m(\widehat{ABC}) = 60^\circ
ABCABC bir eşkenar üçgen olduğundan tüm iç açılarının ölçüsü 60∘60^\circ derecedir.
2
BDCBDC ikizkenar üçgeninin taban açılarını hesapla.
m(DBC^)=40∘m(\widehat{DBC}) = 40^\circ
∣BD∣=∣CD∣|BD| = |CD| olduğu için taban açıları eşittir. Üçgenin iç açıları toplamından 180∘−100∘=80∘180^\circ - 100^\circ = 80^\circ kalır. Taban açıları ise 80∘/2=40∘80^\circ / 2 = 40^\circ olur.
3
İstenen m(ABD^)m(\widehat{ABD}) açısını bulmak için çıkarma işlemi yap.
60∘−40∘=20∘60^\circ - 40^\circ = 20^\circ
BB köşesindeki toplam açı eşkenar üçgenden dolayı 60∘60^\circ olduğundan, bu değerden BDCBDC üçgeninin taban açısını çıkararak sonuca ulaşırız.

Key Concept

Eşkenar üçgenin tüm iç açılarının 60∘60^\circ olması ve ikizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açılarının birbirine eşit olması özellikleri bir arada kullanılır.

Hints

1
Eşkenar üçgenin her bir iç açısının kaç derece olduğunu hatırlayarak başlayın.
2
İçerideki BDCBDC ikizkenar üçgeninin taban açılarını, tepe açısı olan 100∘100^\circ bilgisini kullanarak hesaplayın.
3
BB köşesindeki toplam açı 60∘60^\circ olmalıdır. Bulduğunuz ikizkenar üçgen taban açısını bu toplamdan çıkarın.

Practice More

İkizkenar üçgen dışarıda verilseydi açılar nasıl değişirdi? Benzer bir soruyu bu şekilde kurgulayarak çözebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 289Question →

Dışbükey bir ABCDABCD dörtgeninde; AA ve BB köşelerine ait iç açıortaylar dörtgenin iç bölgesindeki KK noktasında, CC ve DD köşelerine ait iç açıortaylar ise LL noktasında kesişmektedir.

m(AKB^)=3α−20∘m(\widehat{AKB}) = 3\alpha - 20^{\circ} ve m(DLC^)=α+40∘m(\widehat{DLC}) = \alpha + 40^{\circ} olduğuna göre, m(DLC^)m(\widehat{DLC}) açısının ölçüsü kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

m(DLC^)m(\widehat{DLC}) açısı 80∘80^{\circ} dir.
Dörtgenlerde ardışık köşelerin (A,BA, B gibi) açıortaylarının kesiştiği noktadaki açı (KK), diğer iki açının (C,DC, D) toplamının yarısına eşittir: m(K^)=m(C^)+m(D^)2m(\widehat{K}) = \frac{m(\widehat{C}) + m(\widehat{D})}{2}. Benzer şekilde m(L^)=m(A^)+m(B^)2m(\widehat{L}) = \frac{m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})}{2}. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa, m(K^)+m(L^)=3602=180∘m(\widehat{K}) + m(\widehat{L}) = \frac{360}{2} = 180^{\circ} bulunur. Soruda verilen (3α−20)+(α+40)=180(3\alpha - 20) + (\alpha + 40) = 180 denklemi çözülerek α=40\alpha=40 bulunur ve istenen açı 80∘80^{\circ} olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
ABCDABCD dörtgeninin iç açıları toplamının 360∘360^{\circ} olduğunu ve açıortayların açıları iki eş parçaya böldüğünü hatırlayalım.
m(A^)+m(B^)+m(C^)+m(D^)=360∘m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) + m(\widehat{D}) = 360^{\circ}
Dörtgenin temel özelliği
2
Açıortayların oluşturduğu üçgenlerde (ABKABK ve DLCDLC) tepe açısı ile taban açıları arasındaki ilişkiyi yazalım.
m(AKB^)=180∘−m(A^)+m(B^)2m(\widehat{AKB}) = 180^{\circ} - \frac{m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})}{2} ve m(DLC^)=180∘−m(C^)+m(D^)2m(\widehat{DLC}) = 180^{\circ} - \frac{m(\widehat{C}) + m(\widehat{D})}{2}
Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^{\circ} dir.
3
Bu iki açının toplamının 180∘180^{\circ} olduğunu gösterelim.
m(AKB^)+m(DLC^)=360∘−m(A^)+m(B^)+m(C^)+m(D^)2=360∘−360∘2=180∘m(\widehat{AKB}) + m(\widehat{DLC}) = 360^{\circ} - \frac{m(\widehat{A})+m(\widehat{B})+m(\widehat{C})+m(\widehat{D})}{2} = 360^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}
Karşılıklı olmayan (ardışık) köşelerin açıortaylarının kesim noktalarındaki açılar bütünlerdir.
4
Verilen cebirsel ifadeleri toplayıp 180∘180^{\circ}'ye eşitleyerek α\alpha değerini bulalım.
(3α−20)+(α+40)=180⇒4α+20=180⇒4α=160⇒α=40(3\alpha - 20) + (\alpha + 40) = 180 \Rightarrow 4\alpha + 20 = 180 \Rightarrow 4\alpha = 160 \Rightarrow \alpha = 40
Denklem çözümü
5
Bulunan α\alpha değerini m(DLC^)m(\widehat{DLC}) ifadesinde yerine koyalım.
m(DLC^)=40+40=80∘m(\widehat{DLC}) = 40 + 40 = 80^{\circ}
Sonuç hesabı

Key Concept

Dörtgenlerde ardışık iki açının açıortaylarının oluşturduğu açı ile karşıdaki ardışık iki açının açıortaylarının oluşturduğu açı bütünlerdir (toplamları 180∘180^{\circ} dir).

Hints

1
Dörtgenin iç açılarının toplamının 360∘360^{\circ} olduğunu hatırlayınız.
2
Ardışık iki köşenin açıortaylarının oluşturduğu açı, diğer iki köşenin açılarının toplamının yarısıdır.
3
m(AKB^)m(\widehat{AKB}) ve m(DLC^)m(\widehat{DLC}) açılarının toplamı daima 180∘180^{\circ} dir. Bu eşitliği kullanarak α\alpha değerini bulunuz.

Practice More

Karşılıklı köşelerin (A ve C) açıortaylarının oluşturduğu dar açının, diğer iki açının farkının mutlak değerinin yarısına eşit olduğu durumla ilgili sorular çözünüz.

Alternative Method

Açılara değer vererek (örneğin A=B=C=D=90∘A=B=C=D=90^{\circ} karesi gibi) formülün doğruluğunu test edebilir ve özel durumdan genel sonuca ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 290Question →

Aşağıda verilen ABCABC üçgeninde [AH]⊥[BC][AH] \perp [BC] olarak verilmiştir.

∣BC∣=12 cm|BC| = 12\text{ cm} ve ∣AH∣=8 cm|AH| = 8\text{ cm} olduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Üçgenin alanını 48 santimetrekare olarak belirten seçenek doğrudur.
Üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana indirilen dikmenin (yükseklik) çarpımının yarısı alınarak hesaplanır. Burada taban 12 cm, yükseklik 8 cm olduğu için işlem (12 * 8) / 2 = 48 şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
Üçgende alan formülünü hatırla.
Alan = (Taban × Yükseklik) / 2
Herhangi bir üçgenin alanı, bir kenarı (taban) ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.
2
Verilen değerleri formülde yerine koy.
Alan = (12 × 8) / 2
Soruda taban (|BC|) 12 cm ve yükseklik (|AH|) 8 cm olarak belirtilmiştir.
3
İşlemleri gerçekleştir.
12 × 8 = 96, ardından 96 / 2 = 48
Önce çarpma işlemi yapılır, ardından formül gereği sonuç ikiye bölünür.

Key Concept

Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile bu tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

Hints

1
Üçgenin alanı için taban ve bu tabana ait yüksekliği kullanmalısınız.
2
Alan formülünün (Taban × Yükseklik) / 2 olduğunu hatırlayın.
3
12 ile 8'i çarptıktan sonra sonucu ikiye bölerek cevaba ulaşabilirsiniz.

Practice More

Farklı üçgen tiplerinde (geniş açılı veya dik üçgen) yüksekliğin nerede olduğunu belirleme çalışmaları yapılabilir.

Alternative Method

Dik üçgen oluşturarak parçalı alan hesabı yapılabilir ancak bu soru için doğrudan formül en hızlı ve kolay yöntemdir.
Estimated Time:45s
Question 291Question →

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC]'dir. Bu üçgenin ağırlık merkezi GG noktası, diklik merkezi ise KK noktasıdır. ∣GK∣=6|GK| = 6 cm olduğuna göre, ABCABC üçgeninin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 18 cm'dir.
Dik üçgende diklik merkezi dik açının bulunduğu köşedir. Soruda [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] verildiği için diklik merkezi AA noktasıdır. Ağırlık merkezi GG, bir kenarortayı köşeden kenara doğru 2:12:1 oranında böler. Dolayısıyla ∣AG∣=6|AG| = 6 cm ise, kenarortayın tamamı 99 cm olur. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısı olduğu için (9=BC29 = \frac{BC}{2}), hipotenüs uzunluğu 1818 cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Diklik merkezinin konumunu belirleyin.
K=AK = A
Dik üçgenlerde diklik merkezi (yüksekliklerin kesim noktası), dik açının bulunduğu köşedir.
2
Diklik merkezi (KK) ile ağırlık merkezi (GG) arasındaki mesafeyi kenarortay cinsinden ifade edin.
∣AG∣=6|AG| = 6 cm
KK noktası AA olduğu için ∣GK∣=∣AG∣|GK| = |AG| olur. AA köşesinden çizilen [AD][AD] kenarortayı üzerinde ∣AG∣=23∣AD∣|AG| = \frac{2}{3} |AD| bağıntısı vardır.
3
Kenarortay uzunluğunu (VaV_a) hesaplayın.
6=23Va⇒Va=96 = \frac{2}{3} V_a \Rightarrow V_a = 9 cm
Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren 22 birim, kenardan itibaren 11 birim olacak şekilde böler.
4
Muhteşem üçlü özelliğini kullanarak hipotenüsü bulun.
∣BC∣=2×9=18|BC| = 2 \times 9 = 18 cm
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.

Key Concept

Dik üçgende diklik merkezinin yeri, ağırlık merkezinin kenarortay üzerindeki bölme oranı ve muhteşem üçlü kuralı.

Hints

1
Dik üçgende diklik merkezinin (yüksekliklerin kesiştiği nokta) hangi köşe olduğunu hatırlayın.
2
Ağırlık merkezi, üzerinden geçtiği kenarortayı köşeden kenara doğru 2k2k ve kk şeklinde iki parçaya ayırır.
3
Dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortay uzunluğu ile hipotenüs arasındaki 'Muhteşem Üçlü' ilişkisini kurun.

Practice More

Diklik merkezi üçgenin dışında olan (geniş açılı) üçgenlerde ağırlık merkezi ile mesafeler üzerine pratik yapabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 292Question →

Şekilde [BA∥[EF[BA \parallel [EF olmak üzere, B,C,D,EB, C, D, E noktaları düzlemsel bir 'kalem ucu' (zikzak yapmayan) şekil oluşturmaktadır.

m(ABC^)=130∘m(\widehat{ABC}) = 130^\circ

m(BCD^)=3xm(\widehat{BCD}) = 3x

m(CDE^)=2xm(\widehat{CDE}) = 2x

m(DEF^)=150∘m(\widehat{DEF}) = 150^\circ

Verilen açılar şeklin iç bölgesinde ve aynı yöne baktığına göre, xx kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 52

Answer

Doğru cevap 52 derecedir.
Paralel iki doğru arasında zikzak yapmadan sıralanan n adet açının toplamı (n−1)×180∘(n-1) \times 180^\circ formülü ile hesaplanır. Soruda verilen şekilde 4 açı (130∘,3x,2x,150∘130^\circ, 3x, 2x, 150^\circ) bulunmaktadır. Buna göre toplam 3×180=540∘3 \times 180 = 540^\circ olmalıdır. Denklem 130+3x+2x+150=540130 + 3x + 2x + 150 = 540 şeklinde kurulduğunda 5x=2605x = 260 ve buradan x=52x = 52 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Problemin geometrik yapısını analiz et
Şekil, [BA ve [EF paralel ışınları arasında kalan ve hepsi aynı yöne (içe) bakan 4 açıdan oluşmaktadır (B, C, D, E köşeleri).
Bu yapı literatürde bazen 'kalem ucu' veya 'testere dişi' olarak adlandırılır ancak zikzak kuralından farklıdır çünkü açılar yön değiştirmez.
2
Uygun formülü veya yardımcı doğru yöntemini seç
Bu tür yapılarda, paralel iki doğru arasında kalan n adet açının toplamı (n-1) × 180° formülü ile bulunur. Burada n=4 köşe açısı vardır.
Alternatif olarak C ve D noktalarından [BA'ya paralel doğrular çizilerek ardışık 'U' kuralları (karşı durumlu açılar toplamı 180°) uygulanabilir.
3
Denklemi kur
Toplam Açı = (4 - 1) × 180° = 3 × 180° = 540°.
Verilen açıların toplamı: 130° + 3x + 2x + 150° = 540°
Geometrik kuralın cebirsel ifadeye dökülmesi.
4
Denklemi çöz
280° + 5x = 540°
5x = 540° - 280°
5x = 260°
x = 52°
Birinci dereceden denklem çözümü.

Key Concept

Paralel doğrular arasında kalan aynı yönlü ardışık açıların toplamı (n-1)×180° dir.

Hints

1
Şekildeki açıların hepsi aynı yöne (içeriye) bakmaktadır, bir zikzak durumu yoktur.
2
C ve D noktalarından [BA ışınına paralel yardımcı doğrular çizmeyi deneyin. Bu sayede şekli üç tane 'U' kuralına (karşı durumlu açılar) bölebilirsiniz.
3
Paralel iki doğru arasındaki n adet ardışık açının toplamı (n-1) × 180 derecedir. Burada n=4'tür.

Practice More

Benzer kuralın dış açılar veya çokgen formülleriyle ilişkisini inceleyen sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 293Question →

Bir ABCABC üçgeninde [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC]'dir. D∈[AB]D \in [AB] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları işaretlenmiş olup ∣AD∣=4 cm|AD| = 4 \text{ cm}, ∣DB∣=2 cm|DB| = 2 \text{ cm}, ∣DE∣=(x+1) cm|DE| = (x+1) \text{ cm} ve ∣BC∣=(2x−1) cm|BC| = (2x-1) \text{ cm} bilgileri verilmiştir. Buna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Uzunluğu 9 cm olan seçenek doğrudur.
Verilen paralellik bilgisi doğrultusunda ADEADE üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı, ∣AD∣|AD| uzunluğunun tüm ∣AB∣|AB| uzunluğuna oranı olan 4/6=2/34/6 = 2/3 olarak bulunur. Bu oran tabanlar arasındaki orana (∣DE∣/∣BC∣|DE|/|BC|) eşitlendiğinde x+12x−1=23\frac{x+1}{2x-1} = \frac{2}{3} denklemi kurulur. Buradan x=5x=5 değeri elde edilir ve ∣BC∣=2(5)−1=9|BC| = 2(5)-1 = 9 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Üçgenler arasındaki benzerliği ve benzerlik oranını belirle.
△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC ve benzerlik oranı k=∣AD∣∣AB∣=44+2=46=23k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}'tür.
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için yöndeş açılar birbirine eşittir ve Açı-Açı benzerlik kuralı geçerlidir.
2
Benzer kenarlar arasındaki orantıyı kur.
∣DE∣∣BC∣=23⇒x+12x−1=23\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{x+1}{2x-1} = \frac{2}{3} denklemi elde edilir.
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların uzunlukları orantılıdır.
3
İçler dışlar çarpımı yaparak xx değerini çöz.
3(x+1)=2(2x−1)⇒3x+3=4x−2⇒x=53(x+1) = 2(2x-1) \Rightarrow 3x + 3 = 4x - 2 \Rightarrow x = 5 bulunur.
Rasyonel bir denklemi doğrusal denkleme dönüştürmek için içler dışlar çarpımı yapılır.
4
Bulunan xx değerini ∣BC∣|BC| ifadesinde yerine koy.
∣BC∣=2(5)−1=9 cm|BC| = 2(5) - 1 = 9 \text{ cm} olarak hesaplanır.
Soruda istenen değer ∣BC∣|BC| uzunluğudur.

Key Concept

Temel Benzerlik Teoremi (Thales)

Hints

1
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için ADEADE ve ABCABC üçgenlerinin benzer olduğunu unutmayın.
2
Benzerlik oranını yazarken ∣AD∣|AD| uzunluğunu ∣AB∣|AB| uzunluğuna (yani 4+24+2) oranlamanız gerekir.
3
Orantıyı 46=x+12x−1\frac{4}{6} = \frac{x+1}{2x-1} şeklinde kurup içler dışlar çarpımı yaparak xx değerine ulaşabilirsiniz.

Practice More

Benzer üçgenlerde alanların oranının, benzerlik oranının karesine eşit olduğu kuralını içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Thales teoreminin parça-parça oranını (∣AD∣/∣DB∣=∣AE∣/∣EC∣|AD|/|DB| = |AE|/|EC|) kullanarak yan kenarlar arasındaki ilişkiyi bulabiliriz ancak tabanlar söz konusu olduğunda mutlaka parça-bütün (∣AD∣/∣AB∣|AD|/|AB|) oranı kullanılmalıdır.
Estimated Time:1m 30s
Question 294Question →

Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün 5 katıdır.

Buna göre, bu çokgenin herhangi bir köşesinden çizilen en kısa köşegen ile en uzun köşegen arasında kalan açının ölçüsü kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

En kısa ve en uzun köşegen arasındaki açı 60 derecedir.
İç açısı dış açısının 5 katı olan düzgün çokgen 12 kenarlıdır (dış açı 30∘30^{\circ}). Bir köşeden çizilen en kısa köşegen, yanındaki kenar ile 15∘15^{\circ}'lik açı yapar (180−150=30180-150=30, ikizkenar üçgen taban açısı 15). En uzun köşegen ise iç açıyı (150∘150^{\circ}) ortalar ve kenar ile 75∘75^{\circ}'lik açı yapar. Bu iki köşegen arasındaki açı farkı 75−15=60∘75 - 15 = 60^{\circ} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Dış açıya xx diyerek iç ve dış açı bağıntısını kur.
Dış açı =x= x, İç açı =5x= 5x. Toplamları 6x=180∘6x = 180^{\circ} olduğundan x=30∘x = 30^{\circ}.
Bir çokgenin aynı köşesindeki iç ve dış açının toplamı 180 derecedir.
2
Çokgenin kenar sayısını (nn) hesapla.
n=36030=12n = \frac{360}{30} = 12. Çokgen bir düzgün onikigendir.
Düzgün çokgenin kenar sayısı n=360Dıs¸ Ac¸ın = \frac{360}{\text{Dış Açı}} formülü ile bulunur.
3
Bir köşeden çıkan köşegenlerin ayırdığı birim açı miktarını bul.
Birim açı (çevrel çemberde bir kenarı gören çevre açı) =18012=15∘= \frac{180}{12} = 15^{\circ}.
Düzgün çokgenin bir köşesinden çizilen tüm köşegenler, o köşedeki iç açıyı n−2n-2 eşit parçaya böler. Her parça 180n\frac{180}{n} derecedir.
4
Köşegenleri tanımla ve aradaki açıyı hesapla.
En kısa köşegen 1 kenar atlar (1 birim açı = 15∘15^{\circ}). En uzun köşegen (merkezden geçen) 5 kenar atlar (5 birim açı = 5×15=75∘5 \times 15 = 75^{\circ}). Aradaki açı: 75∘−15∘=60∘75^{\circ} - 15^{\circ} = 60^{\circ}.
İstenen açı, iki köşegenin kenar ile yaptığı açıların farkıdır.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde bir köşeden çizilen köşegenlerin, o köşedeki iç açıyı eşit parçalara bölmesi ve bu parçaların her birinin 180n\frac{180}{n} derece olması.

Hints

1
Önce dış açıyı xx, iç açıyı 5x5x olarak kabul edip çokgenin kaç kenarlı olduğunu bulunuz.
2
Çokgen 12 kenarlıdır. Bir köşeden çıkan en kısa köşegen, kendisine komşu iki kenar ile bir ikizkenar üçgen oluşturur.
3
En uzun köşegen, 12 kenarlı düzgün çokgenin iç açısını (150∘150^{\circ}) tam ortadan böler. En kısa köşegen ise bu açının ucundan 15∘15^{\circ}'lik bir parça ayırır.

Alternative Method

Çevrel çember mantığı ile çözüm: Her bir kenar, merkezde 30∘30^{\circ}'lik yay görür. En kısa köşegen 1 kenarı geride bırakır, en uzun köşegen (çap) 6 kenarı geride bırakır. Aralarındaki yay farkı 4 kenardır. Çevre açı, gördüğü yayların (4 kenar ×30∘=120∘\times 30^{\circ} = 120^{\circ}) yarısına eşittir: 120/2=60∘120/2 = 60^{\circ}.
Estimated Time:2m 30s
Question 295Question →

Bir kenar uzunluğu 12 cm olan ABCABC eşkenar üçgeninin [BC][BC] kenarı üzerinde, 3∣BD∣=∣DC∣3|BD| = |DC| koşulunu sağlayan bir DD noktası işaretleniyor. Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 3133\sqrt{13}

Answer

3133\sqrt{13}
Soruda verilen eşkenar üçgenin bir kenarı 12 cm'dir. DD noktasının konumu 3∣BD∣=∣DC∣3|BD|=|DC| oranından ∣BD∣=3|BD|=3 cm olarak bulunur. AA köşesinden tabana indirilen yükseklik (AHAH), tabanı iki eş parçaya böler (∣BH∣=6|BH|=6 cm) ve uzunluğu 636\sqrt{3} cm olur. DD noktası BB ile HH arasında kaldığı için ∣HD∣=6−3=3|HD| = 6-3=3 cm olur. Oluşan AHDAHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulandığında hipotenüs 3133\sqrt{13} cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
BC kenarı üzerindeki parçaların uzunluklarını belirle.
∣BC∣=12|BC| = 12 cm ve 3∣BD∣=∣DC∣3|BD| = |DC| verildiği için, k+3k=12⇒4k=12⇒k=3k + 3k = 12 \Rightarrow 4k=12 \Rightarrow k=3. Yani ∣BD∣=3|BD| = 3 cm ve ∣DC∣=9|DC| = 9 cm bulunur.
Verilen orandan faydalanarak doğru parçalarının uzunluğunu bulmak için.
2
A köşesinden BC kenarına yükseklik indir ve H noktasını işaretle.
Eşkenar üçgende yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler. ∣BH∣=∣HC∣=122=6|BH| = |HC| = \frac{12}{2} = 6 cm.
Dik üçgen oluşturarak Pisagor bağıntısını kullanabilmek için.
3
Oluşan dik üçgenin dik kenarlarını hesapla.
Yükseklik ∣AH∣=a32=1232=63|AH| = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} cm'dir. H noktası ile D noktası arasındaki mesafe ise ∣HD∣=∣BH∣−∣BD∣=6−3=3|HD| = |BH| - |BD| = 6 - 3 = 3 cm olur.
AHD dik üçgeninin kenar uzunluklarını belirlemek için.
4
AHD üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.
∣AD∣2=∣AH∣2+∣HD∣2⇒∣AD∣2=(63)2+32=108+9=117|AD|^2 = |AH|^2 + |HD|^2 \Rightarrow |AD|^2 = (6\sqrt{3})^2 + 3^2 = 108 + 9 = 117. Buradan ∣AD∣=117=9×13=313|AD| = \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13} cm bulunur.
İstenen uzunluğu bulmak için.

Key Concept

Eşkenar üçgende yükseklik tabanı ikiye böler ve 30-60-90 üçgeni oluşturur; bilinmeyen uzunluklar için Pisagor bağıntısı kullanılır.

Alternative Method

Kosinüs Teoremi ile çözüm: △ABD\triangle ABD üçgeninde ∣AB∣=12|AB|=12, ∣BD∣=3|BD|=3 ve m(B^)=60∘m(\widehat{B})=60^\circ olduğu bilinmektedir. Kosinüs teoremi uygulanırsa: ∣AD∣2=122+32−2⋅12⋅3⋅cos⁡(60∘)=144+9−72⋅(1/2)=153−36=117|AD|^2 = 12^2 + 3^2 - 2 \cdot 12 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 144 + 9 - 72 \cdot (1/2) = 153 - 36 = 117. Buradan ∣AD∣=117=313|AD| = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Question 296Question →

Taban ayrıtlarının uzunlukları 55 cm, 1212 cm ve 1313 cm olan bir dik üçgen dik prizmanın hacmi 300 cm3300 \text{ cm}^3 tür. Buna göre, bu prizmanın toplam yüzey alanı kaç  cm2\text{ cm}^2 dir?

Show answer & explanation

Answer: 360

Answer

Dik üçgen dik prizmanın toplam yüzey alanı 360 cm2360 \text{ cm}^2 dir.
Prizmanın hacmi 300 cm3300 \text{ cm}^3 ve dik üçgen olan tabanının alanı 30 cm230 \text{ cm}^2 olduğu için yükseklik 1010 cm bulunur. Taban çevresi 3030 cm olan bu prizmanın yanal alanı 300 cm2300 \text{ cm}^2 olur. Yanal alana alt ve üst taban alanları (30+3030 + 30) eklendiğinde toplam alan 360 cm2360 \text{ cm}^2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Taban alanını hesapla
Taban Alanı (TAT_A) = 5×122=30 cm2\frac{5 \times 12}{2} = 30 \text{ cm}^2
Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır (52+122=1325^2 + 12^2 = 13^2 olduğundan kenarlar diktir).
2
Prizmanın yüksekliğini bul
Hacim (VV) = TA×h⇒300=30×h⇒h=10 cmT_A \times h \Rightarrow 300 = 30 \times h \Rightarrow h = 10 \text{ cm}
Prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
3
Taban çevresini hesapla
Çevre (C\cÇ) = 5+12+13=30 cm5 + 12 + 13 = 30 \text{ cm}
Yanal alanı bulmak için taban çevresine ihtiyaç vardır.
4
Yanal alanı hesapla
Yanal Alan (YAY_A) = C\c×h=30×10=300 cm2Ç \times h = 30 \times 10 = 300 \text{ cm}^2
Dik prizmalarda yanal alan, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır.
5
Toplam yüzey alanını hesapla
Toplam Alan (SS) = YA+2×TA=300+2×30=360 cm2Y_A + 2 \times T_A = 300 + 2 \times 30 = 360 \text{ cm}^2
Toplam alan, yanal alan ile iki adet taban alanının toplamına eşittir.

Key Concept

Dik prizmalarda hacim ve yüzey alanı bağıntıları

Hints

1
Önce prizmanın hacim formülünü (V=Taban Alanı×hV = \text{Taban Alanı} \times h) kullanarak yüksekliği bulmaya çalışın.
2
Tabandaki dik üçgenin alanını hesaplarken 5−12−135-12-13 özel üçgeninin dik kenarlarının hangileri olduğunu belirleyin.
3
Toplam alanı bulurken yanal alanın (Taban Çevresi ×\times Yükseklik) üzerine hem alt hem de üst taban alanını eklemeyi unutmayın.

Practice More

Benzer bir soruda, aynı prizmanın en uzun cisim köşegenini hesaplamayı deneyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 297Question →

Tepe noktası aşağıya gelecek şekilde, dik konumda yerleştirilmiş dairesel koni biçimindeki boş bir su deposuna sabit hızla su akıtan bir musluk açılıyor. Depodaki suyun yüksekliği, deponun toplam derinliğinin 13\frac{1}{3}'üne ulaştığında aradan 2 dakika geçtiği gözlemleniyor. Buna göre, deponun henüz dolmamış kısmının tamamen dolması için kaç dakika daha geçmesi gerekir?

Show answer & explanation

Answer: 52

Answer

Deponun kalan kısmının dolması için 52 dakika daha gerekir.
Koninin dolan kısmı ile tamamı benzer cisimlerdir ve benzerlik oranı 1/31/3'tür. Hacimler oranı bu oranın küpü, yani (1/3)3=1/27(1/3)^3 = 1/27 olur. Bu, dolan kısmın hacmi VV ise deponun tamamının hacminin 27V27V olduğu anlamına gelir. Deponun henüz dolmayan kısmı 27V−V=26V27V - V = 26V hacmindedir. VV hacmindeki su 2 dakikada dolduğuna göre, 26V26V hacmindeki boş kısım 26×2=5226 \times 2 = 52 dakikada dolar.

Step-by-Step Solution

1
Dolan kısım (küçük koni) ile deponun tamamı (büyük koni) arasındaki benzerlik oranını belirle.
Benzerlik oranı k=13k = \frac{1}{3}'tür.
Suyun yüksekliği toplam yüksekliğin 3'te 1'i kadardır.
2
Benzerlik oranını kullanarak hacimler oranını hesapla.
VsuVdepo=k3=(13)3=127\frac{V_{su}}{V_{depo}} = k^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}
Benzer cisimlerin hacimleri oranı, benzerlik oranının küpüne eşittir.
3
Dolan ve kalan kısımların hacimlerini birim cinsinden ifade et.
Dolan hacim VV ise, toplam hacim 27V27V, kalan boş hacim 27V−V=26V27V - V = 26V'dir.
Deponun tamamından dolan kısmı çıkararak kalan kısmı buluruz.
4
Orantı kurarak kalan süreyi hesapla.
VV hacim 2 dakikada doluyorsa, 26V26V hacim 26×2=5226 \times 2 = 52 dakikada dolar.
Musluk sabit hızla aktığı için süre hacimle doğru orantılıdır.

Key Concept

Katı cisimlerde hacimler oranı, benzerlik oranının küpüne eşittir (k3k^3 kuralı).

Hints

1
Bir koni tepesinden kesildiğinde oluşan küçük koni ile büyük koni benzerdir.
2
Benzer iki cismin hacimleri oranı, benzerlik oranının küpüne (k3k^3) eşittir.
3
Dolan kısmın hacmi 1 birimse, toplam hacim 33=273^3=27 birimdir. Kalan kısmı buna göre oranlayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, koni yerine yüksekliği orantılı bölünen bir kare piramit için çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Toplam süreyi TT olarak düşünürsek, (1/3)3=2/T(1/3)^3 = 2/T denkleminden T=54T=54 bulunur. Kalan süre T−2=52T - 2 = 52 dakikadır.
Estimated Time:2m 30s
Question 298Question →

Yarıçapı 6 cm olan O merkezli bir dairede, uzunluğu 636\sqrt{3} cm olan bir AB kirişi çizilmiştir.

Buna göre, bu kiriş ile dairenin küçük yayı arasında kalan bölgenin alanı kaç cm2cm^2'dir?

Show answer & explanation

Answer: 12π−9312\pi - 9\sqrt{3}

Answer

İstenen alan 12π−9312\pi - 9\sqrt{3} cm2cm^2 olarak bulunur.
Soruda verilen kiriş uzunluğu (636\sqrt{3}) ve yarıçap (6) ilişkisi incelendiğinde, oluşan OAB üçgeninin bir 30-30-120 üçgeni olduğu görülür (r,r,r3r, r, r\sqrt{3} özelliği). Bu durumda merkez açı 120°'dir. İstenen alan, 120 derecelik daire diliminin alanından OAB üçgeninin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Dilim alanı 12π12\pi, üçgen alanı 939\sqrt{3} olduğundan doğru cevap 12π−9312\pi - 9\sqrt{3} olur.

Step-by-Step Solution

1
Merkez açıyı belirle
120°
O merkezinden AB kirişine dikme indirilirse veya kosinüs teoremi uygulanırsa, kenarları 6, 6 ve 636\sqrt{3} olan üçgenin tepe açısı (merkez açı) 120° bulunur (30-30-120 üçgeni özelliği).
2
Daire diliminin alanını hesapla
12π12\pi
Alan = πr2⋅α360=π⋅62⋅120360=36π⋅13=12π\pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360} = \pi \cdot 6^2 \cdot \frac{120}{360} = 36\pi \cdot \frac{1}{3} = 12\pi.
3
OAB üçgeninin alanını hesapla
939\sqrt{3}
Alan = 12r2sin⁡(120∘)=12⋅36⋅32=93\frac{1}{2} r^2 \sin(120^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}.
4
Daire parçasının alanını bul
12π−9312\pi - 9\sqrt{3}
Daire Parçası Alanı = Daire Dilimi Alanı - Üçgen Alanı.

Key Concept

Daire parçasının alanı, ilgili daire diliminin alanından merkezdeki üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur.

Hints

1
Önce dairenin merkezini kirişin uç noktalarına birleştirerek oluşan üçgenin kenar uzunluklarını inceleyin (6,6,636, 6, 6\sqrt{3}).
2
Bir üçgenin kenarları k,k,k3k, k, k\sqrt{3} oranındaysa, bu üçgenin tepe açısı 120° olan bir ikizkenar üçgendir.
3
Daire parçasının alanını bulmak için; 120 derecelik daire diliminin alanından, merkezdeki üçgenin alanını çıkarın.

Alternative Method

Kosinüs teoremi kullanarak açıyı bulmak: (63)2=62+62−2(6)(6)cos⁡(α)(6\sqrt{3})^2 = 6^2 + 6^2 - 2(6)(6)\cos(\alpha) denklemini çözerek cos⁡(α)=−1/2\cos(\alpha) = -1/2 ve α=120∘\alpha = 120^{\circ} bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 299Question →

[AB] // [DC] ve [AD] ⊥\perp [AB] olmak üzere, aşağıda verilen ABCD dik yamuğunun içine, yamuğun tüm kenarlarına teğet olan O merkezli bir çember çizilmiştir.

∣AB∣=12|AB| = 12 cm ve ∣DC∣=4|DC| = 4 cm olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Çemberin yarıçapı 3 cm'dir.
Dik yamuğun içine çizilen teğet çember probleminde, teğetler dörtgeni özelliği (∣AB∣+∣DC∣=∣AD∣+∣BC∣|AB|+|DC| = |AD|+|BC|) ve Pisagor bağıntısı kullanılarak yarıçap hesaplanır. Yükseklik 2r2r ve hipotenüs 16−2r16-2r alındığında, kurulan (2r)2+82=(16−2r)2(2r)^2 + 8^2 = (16-2r)^2 denkleminden r=3r=3 cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Teğetler dörtgeni özelliğini uygula.
ABCD bir teğetler dörtgeni olduğundan karşılıklı kenarların toplamı eşittir: ∣AB∣+∣DC∣=∣AD∣+∣BC∣|AB| + |DC| = |AD| + |BC|. Buradan 12+4=16=∣AD∣+∣BC∣12 + 4 = 16 = |AD| + |BC| bulunur.
Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir.
2
Yarıçap ve yükseklik ilişkisini kur.
Çember [AD] kenarına teğet olduğundan ve [AD] ⊥\perp [AB] olduğundan, yamuğun yüksekliği ∣AD∣|AD| çemberin çapına (2r2r) eşittir. Dolayısıyla ∣BC∣=16−2r|BC| = 16 - 2r olur.
Dik yamukta dik kenar uzunluğu, iç teğet çemberin çapına eşittir.
3
Dik üçgen oluştur ve Pisagor bağıntısını kullan.
C noktasından [AB] kenarına [CH] dikmesi indirilirse, ∣CH∣=∣AD∣=2r|CH| = |AD| = 2r ve ∣HB∣=∣AB∣−∣DC∣=12−4=8|HB| = |AB| - |DC| = 12 - 4 = 8 olur. CHB dik üçgeninde Pisagor bağıntısı: (2r)2+82=(16−2r)2(2r)^2 + 8^2 = (16-2r)^2.
Yamuk sorularında bilinmeyen kenarı bulmak için genellikle yükseklik indirilerek dik üçgen oluşturulur.
4
Denklemi çözerek yarıçapı bul.
4r2+64=256−64r+4r24r^2 + 64 = 256 - 64r + 4r^2 ⇒64r=192⇒r=3\Rightarrow 64r = 192 \Rightarrow r = 3.
Denklem çözümü sonucu istenen yarıçap değerine ulaşılır.

Key Concept

Teğetler Dörtgeni ve Pisagor Bağıntısı

Hints

1
Bir dörtgenin tüm kenarlarına teğet bir çember çizilebiliyorsa, bu dörtgenin karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir.
2
Yamuğun yüksekliği aynı zamanda iç teğet çemberin çapına (2r2r) eşittir. Bu bilgiyi ve teğetler dörtgeni özelliğini kullanarak yan kenar (BCBC) uzunluğunu rr cinsinden yazın.
3
CC köşesinden [AB][AB] kenarına dikme indirin. Oluşan dik üçgenin kenarları: yükseklik 2r2r, taban (12−4)=8(12-4)=8 ve hipotenüs (12+4−2r)(12+4-2r). Pisagor bağıntısını uygulayın.

Practice More

Benzer bir soruyu ikizkenar yamuk için çözerek teğet özelliklerini pekiştirin.

Alternative Method

Formül: Dik yamukta iç teğet çemberin yarıçapı r=a⋅ca+cr = \frac{a \cdot c}{a + c} formülüyle de bulunabilir (Burada aa ve cc paralel kenar uzunluklarıdır). r=12⋅412+4=4816=3r = \frac{12 \cdot 4}{12 + 4} = \frac{48}{16} = 3.
Estimated Time:2m 30s
Question 300Question →

A, B, C, D... noktaları bir düzgün çokgenin ardışık köşeleridir. Bu çokgenin iç bölgesinde bir K noktası alınarak, [AB] kenarı üzerinde ABK eşkenar üçgeni oluşturuluyor.

m(KCB^)=40∘m(\widehat{KCB}) = 40^{\circ} olduğuna göre, bu düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Çokgenin 18 kenarı vardır
Soruda verilen ABK eşkenar üçgeni sayesinde ∣BK∣|BK| uzunluğunun düzgün çokgenin bir kenarı olan ∣AB∣|AB|'ye eşit olduğu bulunur. Düzgün çokgenin tüm kenarları eşit olduğundan ∣AB∣=∣BC∣|AB|=|BC|'dir. Bu iki bilgi birleştirildiğinde ∣BK∣=∣BC∣|BK|=|BC| olduğu, dolayısıyla KBC üçgeninin ikizkenar olduğu ortaya çıkar. Taban açıları 40 derece olan bu ikizkenar üçgenin tepe açısı 100 derecedir. Düzgün çokgenin bir iç açısı, eşkenar üçgenin 60 derecelik açısı ile bu 100 derecenin toplamı olan 160 derecedir. İç açısı 160 derece olan düzgün çokgenin dış açısı 20 derecedir ve kenar sayısı 360/20=18360/20=18 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
ABK üçgeni eşkenar olduğundan kenar uzunluklarını ve açılarını belirle.
∣AB∣=∣BK∣=∣AK∣|AB| = |BK| = |AK| ve m(ABK^)=60∘m(\widehat{ABK}) = 60^{\circ}
Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit ve iç açıları 60 derecedir.
2
Düzgün çokgenin kenar eşitliğini kullanarak KBC üçgeninin türünü belirle.
∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC| (düzgün çokgen) ve ∣AB∣=∣BK∣|AB| = |BK| olduğu için ∣BK∣=∣BC∣|BK| = |BC| olur. KBC ikizkenar üçgendir.
Düzgün çokgenin tüm kenar uzunlukları eşittir; geçişme özelliği ile üçgenin ikizkenar olduğu görülür.
3
KBC üçgeninin iç açılarını hesapla.
Taban açıları m(KCB^)=m(BKC^)=40∘m(\widehat{KCB}) = m(\widehat{BKC}) = 40^{\circ}. Tepe açısı m(KBC^)=180∘−(40∘+40∘)=100∘m(\widehat{KBC}) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 100^{\circ}.
İkizkenar üçgenin taban açıları eşittir ve üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
4
Düzgün çokgenin bir iç açısını (m(ABC^)m(\widehat{ABC})) bul.
m(ABC^)=m(ABK^)+m(KBC^)=60∘+100∘=160∘m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ABK}) + m(\widehat{KBC}) = 60^{\circ} + 100^{\circ} = 160^{\circ}
B köşesindeki tam iç açı, eşkenar üçgenin açısı ile yanındaki açının toplamıdır.
5
Dış açıdan yola çıkarak kenar sayısını hesapla.
Dış açı = 180∘−160∘=20∘180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ}. Kenar sayısı n=36020=18n = \frac{360}{20} = 18.
Düzgün çokgenin kenar sayısı, 360 derecenin bir dış açıya bölünmesiyle bulunur.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde kenar eşitliği ve yardımcı üçgenler (eşkenar/ikizkenar) kullanılarak açı takibi yapılması.

Hints

1
Eşkenar üçgenin kenar uzunlukları ile düzgün çokgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiye dikkat edin.
2
∣BK∣|BK| uzunluğu ile ∣BC∣|BC| uzunluğu birbirine eşittir. Bu durum KBC üçgeninin nasıl bir üçgen olduğunu gösterir?
3
KBC ikizkenar üçgendir. Tepe açısını (m(KBC^)m(\widehat{KBC})) bulup, eşkenar üçgenin açısıyla toplayarak düzgün çokgenin bir iç açısını elde edebilirsiniz.

Practice More

İçine kare yerleştirilen düzgün çokgen sorularını inceleyiniz.
Estimated Time:2m 30s
PreviousPage 15 / 22Next
Geometri — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 15 | Examkin