Examkin

Çember ve Daire

42 questions

Question 1Question →

Merkez açısının ölçüsü 60∘60^\circ olan OO merkezli bir daire diliminin içine; dilimin yayına ve her iki yarıçapına teğet olacak şekilde, MM merkezli ve rr yarıçaplı bir daire yerleştirilmiştir.

Buna göre, OO merkezli daire diliminin alanının, MM merkezli dairenin alanına oranı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 32\frac{3}{2}

Answer

Daire diliminin alanı ile içteki dairenin alanı oranı 32\frac{3}{2}'dir.
Soruda verilen teğetlik şartları, geometrik bir kurgu (açıortay ve dik üçgen) oluşturmayı gerektirir. 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeni özelliği kullanılarak daire diliminin yarıçapının (RR), içteki dairenin yarıçapının (rr) 3 katı olduğu (R=3rR=3r) bulunur. Daire alan formülü (πr2\pi r^2) ve daire dilimi alan formülü (πR2⋅α360\pi R^2 \cdot \frac{\alpha}{360}) uygulandığında oran 32\frac{3}{2} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Şekli geometrik olarak analiz et
O noktası (dilim merkezi) ile M noktasını (daire merkezi) birleştiren doğru, açıyı iki eşit parçaya böler (30∘−30∘30^\circ-30^\circ). Küçük dairenin yarıçapına rr diyelim.
Teğet çemberlerin merkezleri ve teğet noktaları doğrusal ilişkilere sahiptir; açıortay üzerinde işlem yapmak çözümün anahtarıdır.
2
Dik üçgen oluşturarak uzunlukları hesapla
M merkezinden teğet noktasına (yarıçap) inilen dikme ile oluşan OMA dik üçgeninde, sin⁡(30∘)=r∣OM∣\sin(30^\circ) = \frac{r}{|OM|} olur. Buradan ∣OM∣=r1/2=2r|OM| = \frac{r}{1/2} = 2r bulunur.
30-60-90 üçgeni veya trigonometrik oranlar kullanılarak merkezler arası uzaklık bulunur.
3
Daire diliminin yarıçapını (R) r cinsinden ifade et
Daire diliminin yarıçapı RR, merkezler arası uzaklık (∣OM∣|OM|) ile küçük dairenin yarıçapının (rr) toplamıdır. R=∣OM∣+r=2r+r=3rR = |OM| + r = 2r + r = 3r.
Küçük çember yaya da teğet olduğu için, O'dan yaya kadar olan mesafe (R), O-M mesafesi ve M yarıçapının toplamıdır.
4
Alanları hesapla ve oranla
M merkezli daire alanı: A1=πr2A_1 = \pi r^2. O merkezli daire dilimi alanı: A2=πR2⋅60360=π(3r)2⋅16=9πr2⋅16=3πr22A_2 = \pi R^2 \cdot \frac{60}{360} = \pi (3r)^2 \cdot \frac{1}{6} = 9\pi r^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3\pi r^2}{2}. Oran: A2A1=3πr2/2πr2=32\frac{A_2}{A_1} = \frac{3\pi r^2 / 2}{\pi r^2} = \frac{3}{2}.
Formüller yerine konularak sonuca gidilir.

Key Concept

Bir açı içine yerleştirilen teğet çemberin merkezi, açının açıortayı üzerindedir. Bu özellik kullanılarak yarıçaplar arasında bağ kurulur.

Hints

1
Şekli zihninizde canlandırın: Küçük dairenin merkezi (M), büyük daire diliminin merkezi (O) ve teğet noktaları arasında nasıl bir geometrik ilişki vardır? Merkezleri birleştiren doğruyu çizin.
Estimated Time:2m 30s
Question 2Question →

Şekildeki OO merkezli dairesel bir duvar saatinin yarıçapı 1515 cm'dir. Bu saatin dış çerçevesini süslemek için bir sıra tel kullanılacaktır. Buna göre, kullanılacak telin uzunluğu en az kaç cm'dir? (π=3\pi = 3 alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 90

Answer

Dairenin çevre uzunluğu 90 cm olarak hesaplanır.
Dairenin çevre uzunluğu, 2⋅π⋅r2 \cdot \pi \cdot r formülü ile bulunur. Verilen r=15r = 15 ve π=3\pi = 3 değerleri formülde yerine yazıldığında 2⋅3⋅15=902 \cdot 3 \cdot 15 = 90 cm sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Soruda verilen bilgileri ve istenen formülü belirleyelim.
Yarıçap r=15r = 15 cm, π=3\pi = 3, Çevre formülü: C=2πrC = 2\pi r
Dairenin çevresini hesaplamak için yarıçap ve sabit pi sayısının formülde yerine konulması gerekir.
2
Değerleri çevre formülünde yerine yerleştirerek çarpma işlemini yapalım.
C=2⋅3⋅15=6⋅15=90C = 2 \cdot 3 \cdot 15 = 6 \cdot 15 = 90 cm
Çevreyi bulmak için formüldeki tüm çarpanların çarpılması sonucunda toplam uzunluğa ulaşılır.

Key Concept

Dairenin Çevresi

Hints

1
Bir çemberin çevresini bulmak için yarıçap ve pi sayısını içeren 2πr2\pi r formülünü hatırlayınız.
2
Soruda yarıçap (rr) 15 cm, π\pi ise 3 olarak verilmiştir. Bu değerleri 2⋅π⋅r2 \cdot \pi \cdot r ifadesinde yerine koyun.
3
İşlem şu şekildedir: 2×3×152 \times 3 \times 15. Bu çarpımın sonucu size doğru cevabı verecektir.

Practice More

Yarıçapı verilen bir dairenin alanını πr2\pi r^2 formülü ile hesaplayarak çevre ve alan arasındaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Dairenin çevresi aynı zamanda 'Çap × π\pi' (d⋅πd \cdot \pi) formülü ile de bulunabilir. Burada yarıçap 15 cm ise çap 30 cm'dir. 30⋅3=9030 \cdot 3 = 90 cm sonucu bu yolla da elde edilir.
Estimated Time:45s
Question 3Question →

Bir belediyenin park düzenleme çalışmaları kapsamında, merkezine dairesel bir çiçek tarhı yapılması planlanmaktadır. Bu çiçek tarhının yarıçapı r=6r = 6 metre olarak belirlenmiştir. Buna göre, yapılacak olan bu çiçek tarhının toplam alanı kaç metrekaredir? (π=3\pi = 3 alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 108

Answer

Dairesel çiçek tarhının alanı 108 metrekaredir.
Dairenin alanı hesaplanırken πr2\pi r^2 formülü kullanılır. Soruda verilen yarıçap r=6r = 6 ve π=3\pi = 3 değerleri yerine konulduğunda; 3×(62)=3×36=1083 \times (6^2) = 3 \times 36 = 108 sonucuna ulaşılır. Bu nedenle 108 metrekare olan seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Dairenin alan formülünü hatırlayalım.
Alan = π×r2\pi \times r^2
Bir dairenin düzlemde kapladığı bölgenin büyüklüğü yarıçapın karesi ile sabit bir sayı olan pi sayısının çarpımına eşittir.
2
Soruda verilen yarıçap (r=6r = 6) ve π=3\pi = 3 değerlerini formülde yerine yazalım.
Alan = 3×623 \times 6^2
Problemi çözmek için verilen sayısal verileri standart formüle yerleştirmemiz gerekir.
3
İşlem önceliğine uyarak önce yarıçapın karesini hesaplayalım.
62=366^2 = 36
Matematiksel işlemlerde üslü ifadeler, çarpma işleminden önce gerçekleştirilir.
4
Elde edilen kare sonucunu π\pi değeri ile çarparak nihai alanı bulalım.
3×36=1083 \times 36 = 108
Formülün son aşaması olan çarpma işlemi ile çiçek tarhının toplam alanına ulaşılır.

Key Concept

Dairenin Alanı

Hints

1
Bir dairenin iç bölgesinin büyüklüğünü bulmak için alan formülünü kullanmalısınız.
2
Alan formülü π×r2\pi \times r^2 şeklindedir. Burada rr yarıçapı temsil eder.
3
Önce 626^2 işlemini yapın, ardından bulduğunuz sonucu soruda verilen π=3\pi = 3 değeriyle çarpın.

Practice More

Yarıçapı verilen başka bir dairenin çevresini hesaplayarak çevre ve alan formülleri arasındaki farkı pekiştirebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 4Question →

Kenar uzunlukları 44 metre ve 66 metre olan dikdörtgen biçimindeki bir yapının AA köşesine, uzunluğu 1212 metre olan bir ip ile bir cisim bağlanmıştır. Cisim, yapının içine girmeden ve ip gergin olacak şekilde yapının etrafında hareket ettirilmektedir.

Buna göre, bu cismin tarayabileceği bölgenin alanı en çok kaç π\pi metrekaredir?

Show answer & explanation

Answer: 134

Answer

Cismin taradığı toplam alan 134π134\pi metrekaredir.
İp AA köşesine bağlıdır ve dikdörtgenin çevresine sarıldıkça hareket yarıçapı azalır. Toplam alan 4 parçadan oluşur:
1. AA merkezli, 1212 br yarıçaplı, 270∘270^\circ lik dilim: 34π(122)=108π\frac{3}{4}\pi(12^2) = 108\pi
2. BB merkezli, (12−6)=6(12-6)=6 br yarıçaplı, 90∘90^\circ lik dilim: 14π(62)=9π\frac{1}{4}\pi(6^2) = 9\pi
3. DD merkezli, (12−4)=8(12-4)=8 br yarıçaplı, 90∘90^\circ lik dilim: 14π(82)=16π\frac{1}{4}\pi(8^2) = 16\pi
4. CC merkezli, (12−10)=2(12-10)=2 br yarıçaplı, 90∘90^\circ lik dilim: 14π(22)=1π\frac{1}{4}\pi(2^2) = 1\pi
Toplam: 134π134\pi.

Step-by-Step Solution

1
Problemi parçalara ayır
İpin hareketi, engellere takıldıkça yarıçapı değişen daire dilimleri oluşturur. Alan 4 ana bölgeye ayrılır.
İp her köşeyi döndüğünde dönme merkezi değişir ve yarıçap o kenar uzunluğu kadar kısalır.
2
Ana daire diliminin alanını hesapla (Merkez A)
Alan = 270360⋅π⋅122=34⋅144π=108π\frac{270}{360} \cdot \pi \cdot 12^2 = \frac{3}{4} \cdot 144\pi = 108\pi
Dikdörtgenin iç açısı 90∘90^\circ olduğundan, ipin dışarıda taradığı açı 360∘−90∘=270∘360^\circ - 90^\circ = 270^\circ olur.
3
İkinci daire diliminin alanını hesapla (Merkez B, Kenar 6m tarafı)
Yarıçap r2=12−6=6r_2 = 12 - 6 = 6 m. Alan = 90360⋅π⋅62=14⋅36π=9π\frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{1}{4} \cdot 36\pi = 9\pi
İp B köşesini döndüğünde yarıçap 6 metre kısalır ve 90∘90^\circ lik bir dönüş yapar.
4
Üçüncü daire diliminin alanını hesapla (Merkez D, Kenar 4m tarafı)
Yarıçap r3=12−4=8r_3 = 12 - 4 = 8 m. Alan = 90360⋅π⋅82=14⋅64π=16π\frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 8^2 = \frac{1}{4} \cdot 64\pi = 16\pi
İp D köşesini döndüğünde yarıçap 4 metre kısalır ve 90∘90^\circ lik bir dönüş yapar.
5
Son köşe C'deki küçük daire dilimini hesapla
Yarıçap r4=12−(6+4)=2r_4 = 12 - (6+4) = 2 m. Alan = 90360⋅π⋅22=14⋅4π=1π\frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 2^2 = \frac{1}{4} \cdot 4\pi = 1\pi
İp her iki taraftan da C köşesine ulaştığında elinde 22 metre pay kalır (12>6+412 > 6+4). Bu kısım C köşesinde 90∘90^\circ lik son bir alan tarar.
6
Tüm alanları topla
Toplam Alan = 108π+9π+16π+1π=134π108\pi + 9\pi + 16\pi + 1\pi = 134\pi
Ayrık bölgelerin alanları toplanarak sonuç bulunur.

Key Concept

Dairede Alan ve Yay Uzunluğu (İpin sarılması problemi)

Hints

1
İp dikdörtgenin köşelerine takıldıkça, dönme merkezi o köşe olur ve hareketin yarıçapı kısalır.
2
Toplam alan 4 farklı daire diliminden oluşur: A merkezli büyük dilim, B ve D merkezli orta dilimler ve C merkezli en küçük dilim.
3
C köşesindeki en küçük daire diliminin yarıçapını bulmak için ipin toplam uzunluğundan (12), kenar uzunluklarının toplamını (6+4) çıkarın.

Practice More

İpin uzunluğu dikdörtgenin çevresine eşit olsaydı taralı alan nasıl değişirdi?
Estimated Time:3m 0s
Question 5Question →

Yarıçapı 1212 cm olan OO merkezli dairesel bir kağıt, bir kiriş boyunca katlanıyor. Katlama sonucunda, kağıdın katlanan yayı dairenin merkezi olan OO noktasından geçmektedir.

Buna göre, katlanan bu daire kesmesinin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Show answer & explanation

Answer: 48π−36348\pi - 36\sqrt{3}

Answer

Katlanan daire kesmesinin alanı 48π−36348\pi - 36\sqrt{3} cm2\text{cm}^2'dir.
Katlanan yayın merkeze değmesi, katlama kirişinin merkeze uzaklığının yarıçapın yarısı (r/2r/2) olduğunu gösterir. Bu durumda oluşan merkez açı 120∘120^\circ olur. İstenen alan, 120∘120^\circ'lik daire diliminin alanından, ilgili ikizkenar üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur: 48π−36348\pi - 36\sqrt{3}.

Step-by-Step Solution

1
Katlama geometrisini analiz et
Katlanan yay OO noktasından geçtiğine göre, katlama çizgisi (kiriş) ile yay arasındaki en uzak mesafe yarıçapın yarısıdır (r/2r/2). Kirişin merkeze uzaklığı h=r/2=6h = r/2 = 6 cm olur.
Katlama simetrisinden dolayı, yayın tepe noktası merkeze değiyorsa, kiriş bu mesafeyi ortalar.
2
Merkez açıyı hesapla
Oluşan dik üçgende hipotenüs r=12r=12, dik kenar 66 olduğundan, bu bir 30-60-90 üçgenidir. Merkez açının yarısı 60∘60^\circ, tamamı α=120∘\alpha = 120^\circ olur.
cos⁡(θ)=612=12  ⟹  θ=60∘\cos(\theta) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ. Merkez açı 2θ=120∘2\theta = 120^\circ.
3
Daire diliminin alanını bul
Alan dilim=πr2⋅120360=π(144)⋅13=48π_{dilim} = \pi r^2 \cdot \frac{120}{360} = \pi (144) \cdot \frac{1}{3} = 48\pi cm2\text{cm}^2.
Daire alanı formülü πr2\pi r^2 ve açı oranı kullanılır.
4
Üçgenin alanını hesapla
Alan u¨c\cgen=12r2sin⁡(120∘)=12⋅144⋅32=363_{üçgen} = \frac{1}{2} r^2 \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
İkizkenar üçgenin alan formülü: 12absin⁡(α)\frac{1}{2} a b \sin(\alpha).
5
Daire kesmesinin alanını bul
Alan kesme=Alandilim−Alanu¨c\cgen=48π−363_{kesme} = \text{Alan}_{dilim} - \text{Alan}_{üçgen} = 48\pi - 36\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Katlanan parça (daire kesmesi), daire diliminden üçgenin çıkarılmasıyla bulunur.

Key Concept

Daire Kesmesinin Alanı ve Katlama Problemleri
Question 6Question →

Kenar uzunlukları 66 cm, 88 cm ve 1010 cm olan bir dik üçgenin iç teğet çemberi (O1O_1 merkezli) çiziliyor. Daha sonra, üçgenin dik köşesi ile bu iç teğet çember arasına; hem dik kenarlara hem de iç teğet çembere teğet olacak şekilde O2O_2 merkezli daha küçük bir çember yerleştiriliyor.

Buna göre, yerleştirilen bu küçük çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 6−426 - 4\sqrt{2}

Answer

Küçük çemberin yarıçapı 6−426 - 4\sqrt{2} cm'dir.
Büyük çemberin yarıçapı 2 cm olarak bulunur. Köşedeki küçük çember ile büyük çember arasındaki teğetlik ilişkisi ve köşeye olan uzaklıklar kullanılarak denklem kurulduğunda yarıçap 6−426 - 4\sqrt{2} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapını (r1r_1) hesapla.
r1=6+8−102=2r_1 = \frac{6+8-10}{2} = 2 cm.
Dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı r=a+b−c2r = \frac{a+b-c}{2} formülüyle veya Alan = u⋅ru \cdot r bağıntısıyla bulunur.
2
Çember merkezlerinin dik köşeye olan uzaklıklarını ifade et.
∣BO1∣=r12=22|B O_1| = r_1\sqrt{2} = 2\sqrt{2} ve ∣BO2∣=r22|B O_2| = r_2\sqrt{2}.
Çemberler eksenlere teğet olduğunda merkezler açıortay (45°) üzerindedir ve köşeye uzaklık r2r\sqrt{2} olur.
3
Merkezler arası uzaklık bağıntısını kur ve denklemi oluştur.
∣BO1∣=∣BO2∣+∣O2O1∣⇒22=r22+(2+r2)|B O_1| = |B O_2| + |O_2 O_1| \Rightarrow 2\sqrt{2} = r_2\sqrt{2} + (2 + r_2).
Çemberler birbirine dıştan teğet olduğundan merkezler arası uzaklık yarıçaplar toplamına (r1+r2r_1 + r_2) eşittir.
4
Oluşan denklemden r2r_2 değerini çöz.
22−2=r2(2+1)⇒r2=2(2−1)2+12\sqrt{2} - 2 = r_2(\sqrt{2} + 1) \Rightarrow r_2 = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}+1}.
r2r_2 parantezine alıp yalnız bırakma işlemi.
5
Paydayı rasyonel yaparak sonucu sadeleştir.
r2=2(2−1)22−1=2(3−22)=6−42r_2 = \frac{2(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} = 2(3 - 2\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2}.
Köklü ifadelerde paydayı eşlenik ile çarparak sadeleştirme.

Key Concept

İç Teğet Çember ve Teğet Çemberler Geometrisi

Hints

1
Önce 6-8-10 üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapını (r1r_1) bulunuz. Dik üçgenler için r=(a+b−c)/2r = (a+b-c)/2 formülünü hatırlayın.
2
Çemberlerin merkezleri ile üçgenin dik köşesi aynı doğru üzerindedir (açıortay). Bu doğru üzerinde uzaklıkları yazarak bir eşitlik kurmayı deneyin.
3
Dik köşeye BB dersek, ∣BO1∣=∣BO2∣+∣O1O2∣|BO_1| = |BO_2| + |O_1O_2| olmalıdır. ∣BO∣=r2|BO| = r\sqrt{2} ve ∣O1O2∣=r1+r2|O_1O_2| = r_1 + r_2 bağıntılarını kullanın.

Practice More

Benzer bir kurguyu kare içine yerleştirilen sonsuz çember serisi için çalışarak geometrik dizi toplamlarını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Benzerlik oranı kullanarak da çözülebilir. Köşeye olan uzaklıkların oranı yarıçapların oranına eşittir: r2r1=r22r12\frac{r_2}{r_1} = \frac{r_2\sqrt{2}}{r_1\sqrt{2}}. Bu yöntem daha karmaşık olabilir, uzaklık denklemi daha doğrudandır.
Estimated Time:4m 0s
Question 7Question →

Dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgenin, çevrel çemberinin merkezi ile iç teğet çemberinin merkezi arasındaki uzaklık kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 5\sqrt{5}

Answer

İki merkez arasındaki uzaklık \sqrt{5} cm'dir.
Dik kenarları 6 ve 8 olan üçgenin hipotenüsü 10'dur. Çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır (R=5). İç teğet çemberin merkezi ise dik köşeden (r, r) yani (2, 2) koordinatındadır. Koordinat sisteminde dik köşeyi (0,0) kabul edersek, İç Merkez I(2,2) ve Çevrel Merkez O(4,3) olur. İki nokta arası uzaklık formülünden: \sqrt{(4-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Hipotenüs uzunluğunu ve çevrel çemberin yarıçapını (R) belirle.
Hipotenüs = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 cm. Çevrel çemberin yarıçapı R = 5 cm (hipotenüsün yarısı).
Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır ve yarıçap hipotenüsün yarısıdır.
2
İç teğet çemberin yarıçapını (r) hesapla.
r = (a + b - c) / 2 formülünden, r = (6 + 8 - 10) / 2 = 2 cm.
Dik üçgenlerde iç teğet çemberin yarıçapı, dik kenarların toplamından hipotenüsün çıkarılıp ikiye bölünmesiyle bulunur.
3
Merkezler arası uzaklığı (d) hesapla. (Yöntem 1: Euler Teoremi)
d² = R(R - 2r) formülünde yerine koyarsak: d² = 5(5 - 2(2)) = 5(1) = 5. Buradan d = \sqrt{5} cm.
Üçgenlerde çevrel çember merkezi ile iç teğet çember merkezi arasındaki uzaklık Euler teoremi ile hesaplanabilir.

Key Concept

Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi ile iç teğet çemberinin merkezi arasındaki ilişki ve Euler teoremi.

Hints

1
Önce 6-8-10 üçgeninin hipotenüsünü bulun. Çevrel çemberin merkezi dik üçgende nerede bulunur?
2
Çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır (R=5). İç teğet çemberin yarıçapını r = (a+b-c)/2 formülüyle bulabilirsiniz.
3
Dik köşeyi orijin (0,0) kabul edin. İç teğet çemberin merkezi (r, r), çevrel çemberin merkezi ise (a/2, b/2) değildir; hipotenüsün ortasıdır. Koordinatları belirleyip uzaklık formülünü kullanın.

Practice More

Benzer bir soruyu çeşitkenar bir üçgen için Euler teoremini kullanarak çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Koordinat sistemi yerine doğrudan Euler Teoremi kullanılabilir: d² = R(R - 2r). Burada R=5 ve r=2 değerleri yerine konularak d² = 5(5-4) = 5 bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Question 8Question →

O merkezli bir çemberin dışındaki bir P noktasından çembere çizilen teğetin değme noktası T'dir. Çemberin yarıçapı 55 cm ve ∣PT∣=12|PT| = 12 cm olarak verilmiştir. Buna göre, P noktasının çembere olan en kısa uzaklığı kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

P noktasının çembere olan en kısa uzaklığı 8 cm'dir.
Soruda verilenler bir dik üçgen oluşturur. Yarıçap (r=5r=5) ve teğet uzunluğu (1212) dik kenarlardır. Pisagor bağıntısı veya 5-12-13 özel üçgeni yardımıyla P noktasının merkeze uzaklığı 13 cm bulunur. Çembere olan en kısa uzaklık ise merkeze olan uzaklıktan yarıçapın farkıdır (13−5=813 - 5 = 8).

Step-by-Step Solution

1
Teğet özelliğini kullanarak dik üçgeni oluşturma
Çemberin merkezini O olarak alırsak, yarıçap teğete değme noktasında diktir (OT⊥PTOT \perp PT). Böylece OPT dik üçgeni oluşur.
Bir çemberde yarıçap, teğet noktasına diktir.
2
Pisagor bağıntısını uygulama
∣OT∣2+∣PT∣2=∣PO∣2|OT|^2 + |PT|^2 = |PO|^2 formülünden 52+122=∣PO∣2⇒25+144=1695^2 + 12^2 = |PO|^2 \Rightarrow 25 + 144 = 169. Buradan ∣PO∣=13|PO| = 13 cm bulunur.
Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir.
3
En kısa uzaklığı hesaplama
P noktasının çembere en kısa uzaklığı, merkeze olan uzaklıktan yarıçapın çıkarılmasıyla bulunur: ∣PO∣−r=13−5=8|PO| - r = 13 - 5 = 8 cm.
Bir noktanın çembere en kısa uzaklığı, o noktayı merkeze birleştiren doğrunun çemberi kestiği nokta ile o nokta arasındaki mesafedir.

Key Concept

Bir noktadan çembere çizilen teğet, değme noktasında yarıçapa diktir ve oluşan dik üçgen (genellikle özel üçgenler) kullanılarak uzunluk hesaplanır.

Hints

1
Çemberin merkezi ile teğet noktasını birleştiren yarıçapın, teğet doğrusuna dik olduğunu hatırlayınız.
2
Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını kullanarak P noktasının merkeze olan uzaklığını (∣PO∣|PO|) bulunuz.
3
Merkeze olan uzaklık 13 cm'dir. Çembere olan en kısa uzaklığı bulmak için bu mesafeden yarıçapı çıkarmanız gerekir.

Practice More

Benzer bir kurguda P noktasının çembere olan en uzak mesafesinin sorulduğu bir soru çözülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 9Question →

Bir çemberin içinde, birbirini dik kesen [AB][AB] ve [CD][CD] kirişleri PP noktasında kesişmektedir. ∣AP∣=2|AP| = 2 cm, ∣PB∣=6|PB| = 6 cm ve ∣CP∣=3|CP| = 3 cm olduğuna göre, bu çemberin alanı kaç π\pi cm 2^2'dir?

Show answer & explanation

Answer: 654\frac{65}{4}

Answer

Çemberin alanı 654π\frac{65}{4}\pi cm 2^2'dir.
Çemberde kesişen kirişler için kuvvet bağıntısı (2⋅6=3⋅∣PD∣2 \cdot 6 = 3 \cdot |PD|) kullanılarak ∣PD∣=4|PD|=4 bulunur. Kirişler birbirine dik olduğundan, yarıçap hesabı için 4R2=a2+b2+c2+d24R^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 formülü veya koordinat düzlemi mantığıyla merkez uzaklıkları kullanılabilir. R2=16.25R^2 = 16.25 bulunur, alan 654π\frac{65}{4}\pi olur.

Step-by-Step Solution

1
Çemberde kuvvet bağıntısını kullanarak bilinmeyen parça uzunluğunu bul.
∣AP∣⋅∣PB∣=∣CP∣⋅∣PD∣⇒2⋅6=3⋅∣PD∣⇒∣PD∣=4|AP| \cdot |PB| = |CP| \cdot |PD| \Rightarrow 2 \cdot 6 = 3 \cdot |PD| \Rightarrow |PD| = 4 cm.
Kesişen kirişlerin parçalarının çarpımı birbirine eşittir.
2
Çemberin merkezinin kirişlere olan uzaklıklarını ve yarıçapı hesapla.
∣AB∣=8|AB| = 8 cm (orta nokta M, AM=4AM=4), ∣CD∣=7|CD|=7 cm (orta nokta N, CN=3.5CN=3.5). Merkezden kirişlere inilen dikmeler kirişleri ortalar. ∣MP∣=∣4−2∣=2|MP| = |4-2| = 2 ve ∣NP∣=∣3.5−3∣=0.5|NP| = |3.5-3| = 0.5.
Yarıçapı bulmak için merkezden kiriş uç noktasına pisagor uygulanır.
3
Pisagor bağıntısı ile yarıçapın karesini (R2R^2) hesapla.
Merkez OO, [AB][AB] kirişinin orta noktası MM olsun. OMBOMB dik üçgeninde: R2=∣OM∣2+∣MB∣2R^2 = |OM|^2 + |MB|^2. ∣OM∣|OM| mesafesi, PP noktasının diğer kirişe göre konumundan 0.50.5 cm bulunur. R2=(0.5)2+42=0.25+16=16.25=654R^2 = (0.5)^2 + 4^2 = 0.25 + 16 = 16.25 = \frac{65}{4}.
Çemberin alanı formülü için R2R^2 değeri gereklidir.
4
Alan formülünü uygula.
Alan = πR2=654π\pi R^2 = \frac{65}{4}\pi.
Dairenin alanı πR2\pi R^2 formülü ile bulunur.

Key Concept

Çemberde Kiriş Özellikleri ve Kuvvet Bağıntısı

Alternative Method

Pratik Yol: Birbirini dik kesen kirişler için 4R2=a2+b2+c2+d24R^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 formülü kullanılabilir. a=2,b=6,c=3,d=4a=2, b=6, c=3, d=4 için 4R2=4+36+9+16=65⇒R2=65/44R^2 = 4 + 36 + 9 + 16 = 65 \Rightarrow R^2 = 65/4.
Estimated Time:2m 30s
Question 10Question →

Bir kenar uzunluğu 66 cm olan bir ABCDABCD karesinin içine; AA ve BB köşeleri merkez kabul edilerek 66 cm yarıçaplı iki çeyrek çember çiziliyor. Buna göre, kare içerisinde bu iki çember yayının kesişmesiyle oluşan kapalı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Show answer & explanation

Answer: 12π−9312\pi - 9\sqrt{3}

Answer

12π−9312\pi - 9\sqrt{3} ifadesi, iki adet 60∘60^\circ'lik daire diliminin alanından bir eşkenar üçgenin alanının çıkarılmasıyla elde edilen doğru alandır.
Kare içinde oluşturulan ABEABE eşkenar üçgeninin açısı 60∘60^\circ olduğu için, her iki merkezden çizilen yaylar 60∘60^\circ'lik daire dilimleri oluşturur. Bu iki dilimin alanları toplamı (6π+6π=12π6\pi + 6\pi = 12\pi), ortak olan ABEABE eşkenar üçgeninin alanını (939\sqrt{3}) iki kez içerir. Bu nedenle toplam alandan bir kez üçgenin alanı çıkarılarak 12π−9312\pi - 9\sqrt{3} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kesişim noktasını belirleme
Kesişim noktası EE olsun. ∣AE∣=6|AE| = 6 cm ve ∣BE∣=6|BE| = 6 cm (yarıçaplar).
Her iki çemberin yarıçapı karenin bir kenarına (66 cm) eşittir.
2
Eşkenar üçgeni tanımlama
∣AB∣=∣AE∣=∣BE∣=6|AB| = |AE| = |BE| = 6 cm olduğundan ABEABE üçgeni bir eşkenar üçgendir.
Üç kenarı da yarıçap uzunluğuna eşit olan bir üçgen oluşur.
3
Merkez açıları hesaplama
m(EAB^)=60∘m(\widehat{EAB}) = 60^\circ ve m(EBA^)=60∘m(\widehat{EBA}) = 60^\circ olur.
Eşkenar üçgenin iç açıları 60∘60^\circ'dir.
4
Daire dilimi ve üçgen alanlarını hesaplama
60∘60^\circ'lik dilim alanı =60360⋅π⋅62=6π= \frac{60}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = 6\pi. Eşkenar üçgen alanı =6234=93= \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}.
Daire dilimi alanı α360πr2\frac{\alpha}{360} \pi r^2 ve eşkenar üçgen alanı a234\frac{a^2\sqrt{3}}{4} formülleriyle bulunur.
5
Toplam taralı alanı bulma
Alan =Alan(A-BE dilimi)+Alan(B-AE dilimi)−Alan(ABE u¨c¸geni)=6π+6π−93=12π−93= \text{Alan}(A\text{-}BE \text{ dilimi}) + \text{Alan}(B\text{-}AE \text{ dilimi}) - \text{Alan}(ABE \text{ üçgeni}) = 6\pi + 6\pi - 9\sqrt{3} = 12\pi - 9\sqrt{3}.
İki dilim toplandığında ortadaki eşkenar üçgen iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılmalıdır.

Key Concept

Daire dilimlerinin kesişim bölgesinin alanı, kapsayıcı geometrik şekillerin alan farkları ve trigonometrik oranlar kullanılarak hesaplanır.

Hints

1
Karenin kenarı ile çemberlerin yarıçapları arasındaki ilişkiye dikkat edin.
2
Yayların kesişim noktasını köşelerle birleştirdiğinizde oluşan üçgenin türünü belirleyin.
3
Oluşan eşkenar üçgenin açısının 60∘60^\circ olduğunu kullanarak dilim alanlarını toplayın ve ortak bölgeyi çıkarın.

Practice More

Bu soruyu, çeyrek çemberlerin merkezlerini karşı köşeler (CC ve DD) olarak değiştirerek tekrar çözmeyi deneyin.
Estimated Time:1m 30s
Question 11Question →

Bir ABCDABCD ikizkenar yamuğunun içine, tüm kenarlarına teğet olan OO merkezli bir çember çizilmiştir. Çemberin yarıçapı 66 cm ve yamuğun yan kenarlarından (paralel olmayan kenarlar) birinin uzunluğu 1313 cm'dir.

Buna göre, bu yamuğun alanı kaç cm 2^2 dir?

Show answer & explanation

Answer: 156

Answer

Yamuğun alanı 156 cm 2^2 dir.
Soruda verilen şekil hem bir ikizkenar yamuk hem de bir teğetler dörtgenidir. Teğetler dörtgeni özelliğine göre, karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir (Alt taban + Üst taban = Yan kenar + Yan kenar). Yan kenar 1313 cm verildiğinden, tabanların toplamı 13+13=2613 + 13 = 26 cm olur. Çember tabanlara teğet olduğu için yamuğun yüksekliği çemberin çapına (2r=122r = 12 cm) eşittir. Alan formülü uygulandığında sonuç 156156 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Yamuğun yüksekliğini belirle.
Çember yamuğun tabanlarına teğet olduğu için, yamuğun yüksekliği (hh) çemberin çapına eşittir. h=2r=2×6=12h = 2r = 2 \times 6 = 12 cm.
İç teğet çemberin çapı, paralel kenarlar arasındaki dik uzaklığa eşittir.
2
Teğetler dörtgeni özelliğini kullanarak taban uzunlukları toplamını bul.
Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı birbirine eşittir. Yan kenarlar b=13b=13 ve d=13d=13 olduğuna göre, tabanlar toplamı a+c=13+13=26a+c = 13+13 = 26 cm'dir.
Tüm kenarlara teğet olma şartı (teğetler dörtgeni), karşılıklı kenar toplamlarının eşitliğini gerektirir.
3
Yamuğun alanını hesapla.
Alan = a+c2⋅h=262⋅12=13⋅12=156\frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{26}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156 cm 2^2.
Yamuk alan formülü: (Alt taban + Üst taban) / 2 x Yükseklik.

Key Concept

Teğetler Dörtgeni ve Yamuk Alanı İlişkisi

Hints

1
Şeklin bir 'teğetler dörtgeni' olduğunu hatırlayınız. Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların toplamı hakkında ne söylenebilir?
2
Yamuğun içine çizilen çember tabanlara teğet olduğu için, yamuğun yüksekliği çemberin çapına eşittir.

Practice More

Bir dik yamuğun içine çizilen çemberin yarıçapı ve ayırdığı parçalar verildiğinde alan bulma sorularını inceleyiniz.

Alternative Method

Pisagor bağıntısı ile tabanlar tek tek bulunabilir: Yükseklik 1212, yan kenar 1313 ise dik üçgenden taban farkının yarısı 55 bulunur. x−y=10x-y=10, x+y=26x+y=26 denklemleri kurulabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 12Question →

O merkezli ve yarıçapı 6 cm olan bir çembere, dışındaki P noktasından çizilen teğetler çembere A ve B noktalarında değmektedir. m(APB) = 60° olduğuna göre, teğetler (PA, PB) ve çemberin küçük yayı arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç cm²'dir?

Show answer & explanation

Answer: 36√3 - 12π

Answer

36√3 - 12π
Taralı alan, merkez ile teğet değme noktalarının oluşturduğu PAOB dörtgeninin alanından, 120 derecelik daire diliminin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Dörtgenin alanı iki adet 30-60-90 üçgeninden oluşur ve 36√3 cm²'dir. Daire diliminin alanı ise 12π cm²'dir. Sonuç 36√3 - 12π olur.

Step-by-Step Solution

1
Merkez açı m(AOB)'nin bulunması
PAOB dörtgeninde A ve B açıları 90°'dir. Dörtgenin iç açıları toplamı 360° olduğundan, m(AOB) = 360° - (90° + 90° + 60°) = 120° bulunur.
Teğetler yarıçapa diktir ve dörtgenin iç açıları toplamı sabittir.
2
PAOB dörtgeninin alanının hesaplanması
PO çizildiğinde açıortay olur ve m(APO)=30° olur. PAO üçgeni 30-60-90 üçgenidir. |OA|=6 ise |PA|=6√3 olur. Alan(PAO) = (6.6√3)/2 = 18√3. Dörtgen alanı = 2 . 18√3 = 36√3 cm².
Deltoid alanı iki eş dik üçgenin alanları toplamıdır.
3
Daire diliminin alanının hesaplanması
Alan = π.r² . (α/360) = π.6² . (120/360) = 36π . (1/3) = 12π cm².
120 derecelik daire dilimi tam dairenin üçte biridir.
4
Taralı alanın bulunması
Taralı Alan = Alan(PAOB) - Alan(Daire Dilimi) = 36√3 - 12π.
Toplam alandan daire dilimi çıkarılarak aradaki bölge bulunur.

Key Concept

Teğet Özellikleri ve Dairede Alan

Hints

1
Teğetler değme noktalarında yarıçapa diktir (90°). Bu özellik sayesinde merkezdeki O açısını bulabilirsiniz.
2
Şekilde oluşan PAOB dörtgeninin alanını bulmak için P ile O noktasını birleştirerek iki eş dik üçgen oluşturun.
3
PAO üçgeni bir 30-60-90 üçgenidir. Üçgenlerin toplam alanından, O merkezli daire diliminin alanını çıkarın.

Practice More

Benzer bir soruyu, teğetler arasındaki açı 90 derece veya 120 derece olacak şekilde çözmeyi deneyin.
Estimated Time:2m 30s
Question 13Question →

Yarıçapı 1212 cm olan daire biçimindeki bir kağıt, bir kiriş boyunca şekildeki gibi katlanıyor. Katlama sonucunda, daire yayının en uç noktası dairenin merkezi olan OO noktası ile çakışmaktadır. Buna göre, katlanan bu daire parçasının (daire kesmesinin) alanı kaç cm²'dir?

Show answer & explanation

Answer: 48π−36348\pi - 36\sqrt{3}

Answer

Katlanan parçanın alanı 48π−36348\pi - 36\sqrt{3} cm²'dir.
Katlanan yayın daire merkezine değmesi, katlama çizgisinin (kirişin) merkeze olan uzaklığının yarıçapın yarısı (r/2r/2) olduğunu gösterir. Yarıçap 1212 cm olduğundan kirişin merkeze uzaklığı 66 cm'dir. Bu durumda oluşan dik üçgende hipotenüs 1212, dik kenar 66 olduğundan merkez açı 2×60∘=120∘2 \times 60^\circ = 120^\circ bulunur. İstenen alan, 120∘120^\circ'lik daire diliminin alanından (48π48\pi), ilgili ikizkenar üçgenin alanının (36336\sqrt{3}) çıkarılmasıyla 48π−36348\pi - 36\sqrt{3} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Katlama geometrisini analiz et
Katlanan yayın tepe noktası merkeze değdiği için, kirişin merkeze olan uzaklığı yarıçapın yarısıdır: h=r/2=12/2=6h = r/2 = 12/2 = 6 cm.
Katlama simetrisinden dolayı, yayın tepe noktasının kirişe uzaklığı ile merkezin kirişe uzaklığı eşittir.
2
Merkez açıyı hesapla
Merkezden kirişe inilen dikme, yarıçap ve kiriş ucu arasında oluşan dik üçgende cos⁡(α)=6/12=1/2\cos(\alpha) = 6/12 = 1/2 olduğundan yarı açı α=60∘\alpha = 60^\circ, toplam merkez açı 120∘120^\circ olur.
Daire diliminin alanını bulmak için merkez açının bilinmesi gerekir.
3
Daire diliminin alanını hesapla
Alan = πr2⋅120360=144π⋅13=48π\pi r^2 \cdot \frac{120}{360} = 144\pi \cdot \frac{1}{3} = 48\pi cm².
Daire kesmesinin alanı, daire dilimi alanından üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur.
4
Üçgenin alanını hesapla
Kiriş uzunluğu 2⋅12⋅sin⁡(60∘)=1232 \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12\sqrt{3} cm. Üçgen Alanı = 12⋅123⋅6=363\frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6 = 36\sqrt{3} cm².
Merkez açısı 120∘120^\circ olan ikizkenar üçgenin alanı.
5
Sonucu bul
Kesme Alanı = Dilim Alanı - Üçgen Alanı = 48π−36348\pi - 36\sqrt{3} cm².
Boyalı bölge bir daire kesmesidir.

Key Concept

Bir dairede kiriş boyunca katlama yapıldığında yay merkeze değiyorsa, kirişin merkeze uzaklığı yarıçapın yarısıdır ve merkez açı 120∘120^\circ olur.

Hints

1
Kağıt katlandığında yayın merkeze değmesi, kirişin merkeze olan uzaklığı hakkında size ne söyler? Şekli açtığınızı düşünün.
2
Kirişin merkeze olan uzaklığı yarıçapın yarısıdır (r/2r/2). Bu bilgiyi kullanarak merkezde oluşan üçgenin açılarını bulun.
3
Merkezden kirişe dik indiğinizde oluşan dik üçgen bir 30-60-90 üçgenidir. Merkez açı 120∘120^\circ olacaktır. Daire kesmesinin alanı = Daire Dilimi Alanı - Üçgen Alanı.

Practice More

Yarıçapı verilen bir dairede, 60∘60^\circ'lik yayı gören kirişin ayırdığı parçanın alanını hesaplayınız.
Estimated Time:2m 30s
Question 14Question →

Yarıçapı 1212 birim olan OO merkezli bir daireden, merkez açısının ölçüsü 60∘60^{\circ} olan bir daire dilimi kesilip çıkarılıyor. Elde edilen bu daire diliminin içine; dilimin her iki yarıçapına ve yayına teğet olacak şekilde MM merkezli en büyük çember yerleştiriliyor. Buna göre, MM merkezli çemberin alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 16π16\pi

Answer

16π16\pi birimkare
Çemberin merkezi ile dilimin merkezi birleştirildiğinde oluşan 30−60−9030-60-90 üçgeninden çemberin yarıçapı (rr), dilimin yarıçapının (RR) üçte biri (r=R/3r = R/3) olarak bulunur. R=12R=12 ise r=4r=4 olur ve alan 16π16\pi hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Şekli zihinde canlandırarak merkezleri birleştiren doğruyu çiz.
OO noktası (dilim merkezi), MM noktası (çember merkezi) ve TT noktası (yay üzerindeki teğet noktası) doğrusaldır.
Teğet çemberlerin merkezleri ve teğet noktaları aynı doğru üzerindedir.
2
MM merkezinden teğet noktasına dik indirerek oluşan dik üçgeni incele.
OMOM doğrusu açıortaydır, dolayısıyla 60∘60^{\circ}'lik açıyı 30∘−30∘30^{\circ}-30^{\circ} böler. Oluşan dik üçgende hipotenüs ∣OM∣=2r|OM| = 2r olur (sin⁡(30∘)=r∣OM∣\sin(30^{\circ}) = \frac{r}{|OM|} olduğu için).
30−60−9030-60-90 üçgeninde hipotenüs, 30∘30^{\circ}'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır.
3
Büyük dairenin yarıçapı (RR) ile küçük çemberin yarıçapı (rr) arasındaki bağıntıyı kur.
R=∣OM∣+r=2r+r=3rR = |OM| + r = 2r + r = 3r. Soruda R=12R=12 verildiğinden, 12=3r12 = 3r ise r=4r = 4 birim bulunur.
Dilimin yarıçapı, merkezden yaya kadar olan toplam mesafedir.
4
Çemberin alanını hesapla.
Alan =πr2=π(42)=16π= \pi r^2 = \pi (4^2) = 16\pi birimkare.
Dairenin alanı πr2\pi r^2 formülü ile bulunur.

Key Concept

Bir açıya ve bir yaya teğet olan çember problemlerinde, merkezleri birleştiren doğrunun açıortay olduğu ve oluşan dik üçgen özelliklerinin kullanılması gerekir.

Hints

1
Dilimin merkezi OO ile çemberin merkezi MM'yi birleştiren bir doğru çizmeyi dene. Bu doğru açıortaydır.
2
Oluşan dik üçgende 30∘30^{\circ}'nin karşısındaki kenar rr ise, hipotenüs (OMOM uzunluğu) kaç rr olur?
3
Dilimin yarıçapı R=12R=12, aynı zamanda ∣OM∣+r|OM| + r toplamına eşittir. ∣OM∣=2r|OM|=2r olduğuna göre 3r=123r=12 eşitliğini kullanabilirsin.

Practice More

Benzer bir soruyu 90∘90^{\circ}'lik çeyrek daire dilimi için çözerek RR ve rr arasındaki ilişkinin nasıl değiştiğini (R=r(1+2)R = r(1+\sqrt{2})) inceleyiniz.

Alternative Method

Benzerlik oranı kullanarak da çözülebilir ancak dik üçgen yöntemi en pratik olanıdır.
Estimated Time:2m 30s
Question 15Question →

OO merkezli ve yarıçapı 66 cm olan bir çembere, çemberin dışındaki bir PP noktasından [PA][PA] ve [PB][PB] teğetleri çiziliyor. ∣PA∣=63|PA| = 6\sqrt{3} cm olduğuna göre; [PA][PA], [PB][PB] doğru parçaları ve çemberin ABAB küçük yayı arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2’dir?

Show answer & explanation

Answer: 363−12π36\sqrt{3} - 12\pi

Answer

363−12π36\sqrt{3} - 12\pi
Çember dışındaki bir noktadan çizilen teğetler yarıçapa diktir. OAPOAP dik üçgeninde 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ bağıntısı kullanılarak merkez açının 120∘120^\circ olduğu bulunur. Dörtgenin alanından (36336\sqrt{3}) bu merkez açıya sahip daire diliminin alanı (12π12\pi) çıkarıldığında istenen bölge elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Teğet özelliklerini belirleme
OA⊥APOA \perp AP ve OB⊥BPOB \perp BP
Çemberin teğet noktasına çizilen yarıçaplar teğet doğrusuna diktir.
2
OAPOAP dik üçgeninde açıları bulma
tan⁡(∠APO)=663=13⇒∠APO=30∘,∠AOP=60∘\tan(\angle APO) = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \angle APO = 30^\circ, \angle AOP = 60^\circ
Dik üçgende karşı kenarın komşu kenara oranı tanjant değerini verir.
3
Dörtgenin merkez açısını ve toplam alanını hesaplama
∠AOB=120∘\angle AOB = 120^\circ, Alan(OAPB)=2×(12×6×63)=363\text{Alan}(OAPB) = 2 \times (\frac{1}{2} \times 6 \times 6\sqrt{3}) = 36\sqrt{3} cm2\text{cm}^2
Simetri nedeniyle OAPBOAPB dörtgeni iki eş dik üçgenden oluşur.
4
Daire diliminin alanını hesaplama
Alan(Dilim)=π×62×120360=12π\text{Alan(Dilim)} = \pi \times 6^2 \times \frac{120}{360} = 12\pi cm2\text{cm}^2
120∘120^\circ’lik merkez açıya sahip daire diliminin alanı πr2α360\pi r^2 \frac{\alpha}{360} formülüyle bulunur.
5
Taralı alanı bulma
363−12π36\sqrt{3} - 12\pi
Sınırlı bölgenin alanı, dıştaki dörtgenin alanından içteki daire diliminin çıkarılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Teğet-yarıçap dikliği ve daire dilimi alanı
Estimated Time:2m 30s
Question 16Question →

Alanı 48 cm248 \text{ cm}^2 olan bir daire verilmiştir. π=3\pi = 3 olduğuna göre, bu dairenin çevresi kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Dairenin çevresi 24 cm'dir.
Verilen alan bilgisi kullanılarak 3⋅r2=483 \cdot r^2 = 48 eşitliğinden yarıçap r=4 cmr = 4 \text{ cm} olarak hesaplanır. Bu yarıçap değeri çevre formülünde yerine yazıldığında (2⋅3⋅42 \cdot 3 \cdot 4) sonuç 24 cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Dairenin alan formülünü (A=πr2A = \pi r^2) kullanarak yarıçapı (rr) bulunuz.
48=3⋅r2⇒r2=16⇒r=4 cm48 = 3 \cdot r^2 \Rightarrow r^2 = 16 \Rightarrow r = 4 \text{ cm}
Çevreyi hesaplayabilmek için öncelikle dairenin temel ölçüsü olan yarıçapı belirlemek gerekir.
2
Bulunan yarıçap değerini çevre formülünde (C\c=2πrÇ = 2\pi r) yerine koyunuz.
C\c=2⋅3⋅4=24 cmÇ = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \text{ cm}
Yarıçapı bilinen bir dairenin çevresi, yarıçapın 2π2\pi katına eşittir.

Key Concept

Dairede alan ve çevre formülleri arasındaki geçiş

Hints

1
Dairenin alanı π⋅r2\pi \cdot r^2 ve çevresi 2⋅π⋅r2 \cdot \pi \cdot r formülleri ile hesaplanır. Burada rr yarıçapı temsil eder.
2
Önce 3⋅r2=483 \cdot r^2 = 48 denklemini çözerek yarıçapı (rr) bulunuz.
3
Yarıçapı 4 cm olarak bulduktan sonra, çevre formülünde π\pi yerine 3 ve rr yerine 4 yazarak işlemi tamamlayınız.

Practice More

Yarıçapı 5 cm olan bir dairenin çevresi ile alanı arasındaki sayısal farkın ne kadar olduğunu hesaplamayı deneyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 0s
Question 17Question →

Kenar uzunlukları 8 cm, 15 cm ve 17 cm olan üçgensel bir metal levhadan, bu levhanın içine sığabilecek en büyük alana sahip dairesel parça kesilip çıkarılacaktır. Buna göre, elde edilecek bu dairesel parçanın alanı kaç π\pi cm 2^2 dir?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

9
Verilen kenar uzunlukları (8, 15, 17) bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin içine çizilebilecek en büyük daire, iç teğet çemberidir. Üçgenin alanı A(ABC)=u⋅rA(ABC) = u \cdot r formülüyle ilişkilidir. Üçgenin alanı 6060 cm 2^2 ve yarı çevresi u=20u=20 cm olduğundan, iç teğet çemberin yarıçapı r=3r=3 cm bulunur. Dairenin alanı ise πr2=9π\pi r^2 = 9\pi cm 2^2 dir.

Step-by-Step Solution

1
Üçgenin türünü belirle.
Kenarlar 8-15-17 olduğu için, 82+152=64+225=289=1728^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 sağlar. Bu bir dik üçgendir.
Pisagor teoreminin tersi gereği kenar uzunlukları bu bağıntıyı sağlayan üçgen dik üçgendir.
2
Üçgenin alanını hesapla.
Alan = 8×152=60\frac{8 \times 15}{2} = 60 cm 2^2.
Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır.
3
Üçgenin çevresini ve yarı çevresini (u) bul.
Çevre = 8+15+17=408 + 15 + 17 = 40 cm. Yarı çevre u=402=20u = \frac{40}{2} = 20 cm.
İç teğet çemberin yarıçapı formülü için yarı çevreye ihtiyaç vardır.
4
İç teğet çemberin yarıçapını (r) bul.
Alan = u⋅r⇒60=20⋅r⇒r=3u \cdot r \Rightarrow 60 = 20 \cdot r \Rightarrow r = 3 cm.
Bir üçgenin alanı, yarı çevresi ile iç teğet çemberinin yarıçapının çarpımına eşittir.
5
Dairesel parçanın (dairenin) alanını hesapla.
Alan = πr2=π⋅32=9π\pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi cm 2^2.
Dairenin alanı πr2\pi r^2 formülü ile bulunur.

Key Concept

İç Teğet Çember ve Alan Bağıntısı

Hints

1
Üçgenin kenar uzunluklarına dikkat edin (8-15-17). Bu özel bir üçgen türü olabilir mi?
Estimated Time:2m 30s
Question 18Question →

Bir makine parçasının tasarımı için, OO merkezli ve yarıçapları 66 cm ve 1010 cm olan iki çember arasındaki bölgeden, merkez açısı 135∘135^\circ olan bir parça kesilip çıkarılıyor.

Buna göre, kesilip çıkarılan bu parçanın alanı kaç π\pi cm2\text{cm}^2'dir?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Kesilen parçanın alanı 24\pi cm²'dir.
İki daire arasında kalan bölgenin (halka) alanı, büyük dairenin alanından küçük dairenin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Burada sadece 135∘135^\circ'lik bir dilim sorulduğu için, tam halkanın alanını 135360\frac{135}{360} oranıyla çarpmamız gerekir. π(102−62)⋅38=64π⋅38=24π\pi(10^2 - 6^2) \cdot \frac{3}{8} = 64\pi \cdot \frac{3}{8} = 24\pi sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Şeklin bir 'halka dilimi' (annulus sector) olduğunu belirle ve ilgili alan formülünü hatırla.
Alan = α360⋅π(R2−r2)\frac{\alpha}{360} \cdot \pi (R^2 - r^2)
Büyük daire diliminin alanından küçük daire diliminin alanı çıkarılmalıdır.
2
Verilen değerleri formülde yerine koy.
α=135∘\alpha = 135^\circ, R=10R = 10, r=6r = 6
Soruda verilen dış ve iç yarıçaplar ile merkez açı kullanılır.
3
Yarıçapların kareleri farkını ve açı oranını hesapla.
R2−r2=100−36=64R^2 - r^2 = 100 - 36 = 64 ve 135360=38\frac{135}{360} = \frac{3}{8}
İşlemi sadeleştirmek için oranları bulmak gerekir.
4
Sonucu hesapla.
Alan = 38⋅64π=3⋅8π=24π\frac{3}{8} \cdot 64\pi = 3 \cdot 8\pi = 24\pi
Çarpma işlemi yapılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Halka Diliminin Alanı
Question 19Question →

Şekilde O merkezli, [OA][OA] ve [OB][OB] yarıçaplı bir çeyrek daire ile [OA][OA] çaplı yarım daire verilmiştir. Bu çeyrek dairenin içine; [OB][OB] yarıçapına, çeyrek daire yayına ve [OA][OA] çaplı yarım daireye teğet olacak şekilde MM merkezli küçük bir çember çizilmiştir.

∣OA∣=12|OA| = 12 cm olduğuna göre, MM merkezli küçük çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

M merkezli çemberin yarıçapı 3 cm'dir.
Soruda verilen geometrik yapıda, çemberlerin merkezlerini birleştiren doğru parçaları oluşturulduğunda iki adet dik üçgen bağıntısı ortaya çıkar. O merkezli çeyrek dairenin yarıçapı R=12R=12 cm, yarım dairenin yarıçapı 66 cm ve aranan çemberin yarıçapı rr'dir. Yarım dairenin merkezi KK olsun. MM merkezinden tabana inilen dikme hh uzunluğunda olsun. OKMOKM üçgeninde ve OMOM doğrusu üzerinde kurulan Pisagor bağıntıları çözüldüğünde genel kural olarak R=4rR=4r bağıntısı bulunur. 12=4r12 = 4r olduğundan r=3r=3 cm elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Şekli analitik düzlemde veya dik üçgenler yardımıyla modelle.
O noktası (0,0), OA yarıçapı x ekseni üzerinde olsun. Büyük yarıçap R=12 cm. M merkezli çemberin yarıçapına r diyelim.
Teğet çember problemlerinde merkezleri birleştiren doğrular en temel çözüm yoludur.
2
M merkezinin koordinatlarını ve uzaklık bağıntılarını belirle.
M çemberi [OB] kenarına (y ekseni) teğet olduğundan M'nin apsisi r olur. M(r, h) diyelim. O noktasına uzaklığı (R-r), [OA] üzerindeki yarım dairenin merkezi K'ya uzaklığı (R/2 + r) olur.
İçten teğet çemberlerde merkezler arası uzaklık yarıçaplar farkı, dıştan teğetlerde ise yarıçaplar toplamıdır.
3
Merkezler arası uzaklıklar için Pisagor bağıntılarını yaz.
1. O-M uzaklığı için: r2+h2=(R−r)2r^2 + h^2 = (R-r)^2
2. K-M uzaklığı için (K noktası (6,0) noktasındadır): (r−6)2+h2=(6+r)2(r-6)^2 + h^2 = (6+r)^2
İki bilinmeyenli (r ve h) iki denklem elde ederek çözüme ulaşmak için.
4
İkinci denklemden h kareyi çek ve birinci denklemde yerine koy.
2. denklemden: h2=(6+r)2−(r−6)2=(12)(2r)=24rh^2 = (6+r)^2 - (r-6)^2 = (12)(2r) = 24r.
1. denklemde yerine koy: r2+24r=(12−r)2⇒r2+24r=144−24r+r2r^2 + 24r = (12-r)^2 \Rightarrow r^2 + 24r = 144 - 24r + r^2.
Değişkenleri yok ederek r değerini bulmak için.
5
Elde edilen denklemi çöz.
24r=144−24r⇒48r=144⇒r=324r = 144 - 24r \Rightarrow 48r = 144 \Rightarrow r = 3.
Sonucu elde etmek için.

Key Concept

Teğet Çemberlerde Merkezlerin Birleştirilmesi

Hints

1
Teğet olan çemberlerin merkezlerini birleştiren doğru parçalarını çizmeyi deneyin.
2
Küçük çemberin merkezi M, yarım dairenin merkezi K ve çeyrek dairenin merkezi O olsun. M noktasının K ve O noktalarına olan uzaklıklarını r cinsinden yazın.
3
Küçük çemberin merkezinin O noktasına uzaklığı (12−r)(12-r), K noktasına uzaklığı (6+r)(6+r) olacaktır. Bu iki uzunluğu kullanarak iki farklı Pisagor bağıntısı kurun.

Practice More

Benzer bir kurguyu, yarım daire yerine iki eş çeyrek daire arasına sıkışmış tam daire için çözün.

Alternative Method

Pratik Yol (Özel Durum): Bu geometri kalıbında (Çeyrek daire içine, bir kenarı çap kabul eden yarım daire ve araya sıkışan tam daire), büyük yarıçap daima küçük yarıçapın 4 katıdır (R=4rR = 4r).
Estimated Time:3m 0s
Question 20Question →

Merkezi OO noktası ve yarıçapı 66 cm olan bir daire verilmiştir. π=3\pi = 3 alındığında, bu dairenin alanı çevresinden kaç cm2\text{cm}^2 fazladır?

Show answer & explanation

Answer: 72

Answer

Dairenin alanı 108 cm², çevresi 36 cm olup aradaki fark 72 cm²'dir.
Dairenin alanı πr2\pi r^2 formülünden 3×62=1083 \times 6^2 = 108 cm2\text{cm}^2 olarak bulunur. Çevresi ise 2πr2\pi r formülünden 2×3×6=362 \times 3 \times 6 = 36 cm olarak hesaplanır. Aradaki fark olan 72 değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Dairenin çevresini hesapla
Çevre =2×π×r=2×3×6=36= 2 \times \pi \times r = 2 \times 3 \times 6 = 36 cm
Çevre formülü 2πr2\pi r olarak tanımlanır.
2
Dairenin alanını hesapla
Alan =π×r2=3×62=3×36=108= \pi \times r^2 = 3 \times 6^2 = 3 \times 36 = 108 cm2\text{cm}^2
Alan formülü πr2\pi r^2 olarak tanımlanır.
3
Alan ile çevre arasındaki farkı bul
108−36=72108 - 36 = 72 cm2\text{cm}^2
Soruda alanın çevreden ne kadar fazla olduğu sorulmaktadır.

Key Concept

Dairede Alan ve Çevre Hesaplama

Hints

1
Dairenin çevre ve alan formüllerini ayrı ayrı uygulayın.
2
Çevre için 2πr2\pi r, alan için πr2\pi r^2 formülünü kullanın; π\pi yerine 3, rr yerine 6 yazın.
3
Bulduğunuz 108 alan değerinden 36 çevre değerini çıkarın.

Practice More

Yarıçapı iki katına çıkarıldığında alanın ve çevrenin nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternative Method

Formülleri ortak paranteze alarak πr(r−2)\pi r(r - 2) şeklinde de hesaplayabilirsiniz: 3×6×(6−2)=18×4=723 \times 6 \times (6 - 2) = 18 \times 4 = 72.
Estimated Time:1m 30s
Page 1 / 3Next