Examkin

Çember ve Daire

42 questions

Question 21Question →

Alt ve üst taban uzunlukları sırasıyla 1515 cm ve 1010 cm olan bir ABCDABCD dik yamuğu, kenarlarına içten teğet olan OO merkezli bir çemberi çevrelemektedir. Buna göre, yamuğun alanı ile çemberin alanı arasındaki fark kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Show answer & explanation

Answer: 150−36π150 - 36\pi

Answer

Yamuğun alanı 150150, çemberin alanı 36π36\pi olduğundan fark 150−36π150 - 36\pi bulunur.
Soruda verilen şekil bir teğetler dörtgeni olduğundan, karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir. Tabanlar toplamı 10+15=2510+15=25 olduğundan, yükseklik (hh) ile eğik kenarın (xx) toplamı da 2525 olmalıdır (h+x=25⇒x=25−hh+x=25 \Rightarrow x=25-h). Dik yamuk içinde oluşturulan dik üçgende, dik kenarlar hh ve taban farkı olan 55 birimdir. Pisagor bağıntısı h2+52=(25−h)2h^2 + 5^2 = (25-h)^2 çözüldüğünde yükseklik h=12h=12 bulunur. Bu yükseklik aynı zamanda çemberin çapıdır, yani yarıçap r=6r=6'dır. Yamuğun alanı 10+152⋅12=150\frac{10+15}{2} \cdot 12 = 150, çemberin alanı π⋅62=36π\pi \cdot 6^2 = 36\pi olarak hesaplanır. Aradaki fark 150−36π150 - 36\pi olur.

Step-by-Step Solution

1
Teğetler dörtgeni özelliğini uygula.
Yamuğun paralel olmayan kenarlarının toplamı, paralel kenarlarının toplamına eşittir: h+∣BC∣=10+15=25h + |BC| = 10 + 15 = 25. Buradan ∣BC∣=25−h|BC| = 25 - h bulunur.
Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir.
2
Dik üçgen oluşturarak Pisagor bağıntısını kur.
Dik köşeden tabana dikme inildiğinde oluşan dik üçgenin kenarları: hh, (15−10)=5(15-10)=5 ve hipotenüs (25−h)(25-h) olur. Denklem: h2+52=(25−h)2h^2 + 5^2 = (25-h)^2.
Yamuğun yüksekliğini bulmak için dik üçgen yardımıyla denklem kurulmalıdır.
3
Denklemi çözerek yüksekliği ve yarıçapı bul.
h2+25=625−50h+h2⇒50h=600⇒h=12h^2 + 25 = 625 - 50h + h^2 \Rightarrow 50h = 600 \Rightarrow h = 12 cm. Çemberin çapı yüksekliğe eşit olduğundan 2r=12⇒r=62r = 12 \Rightarrow r = 6 cm.
Dik yamukta iç teğet çemberin çapı, yamuğun yüksekliğine eşittir.
4
Alanları hesapla ve farkı bul.
Yamuk Alanı: 10+152⋅12=150\frac{10+15}{2} \cdot 12 = 150. Çember Alanı: π⋅62=36π\pi \cdot 6^2 = 36\pi. Fark: 150−36π150 - 36\pi.
Sonuç için her iki geometrik şeklin alan formülleri uygulanır.

Key Concept

Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların toplamı eşittir ve dik yamukta yükseklik iç teğet çemberin çapıdır.

Hints

1
Şekil bir teğetler dörtgenidir. Teğetler dörtgeninin en önemli kenar özelliğini hatırlayın: Karşılıklı kenarların toplamı birbirine eşittir.
2
Yamuğun yüksekliğine hh deyin. Dik kenar aynı zamanda yüksekliktir. Diğer (eğik) yan kenarı hh cinsinden ifade etmek için teğetler dörtgeni özelliğini (a+c=b+da+c = b+d) kullanın.
3
Tabanların farkı 55'tir. Dik yamukta dik inerek bir dik üçgen oluşturun. Bu üçgenin kenarları hh, 55 ve hipotenüsü (25−h)(25-h) olacaktır. Pisagor bağıntısı ile hh'yi bulun.

Alternative Method

5-12-13 özel üçgenini deneyerek de bulunabilir. Taban farkı 5 olduğundan, kenarları 5, 12, 13 olan dik üçgen yamuğun kesilen kısmı olabilir. Bu durumda yükseklik 12 olur.
Estimated Time:4m 0s
Question 22Question →

Bir peyzaj mimarı, yeni bir park projesi için daire şeklinde bir süs göleti tasarlamıştır. Taslak çizimde bu göletin yarıçapı 88 metre olarak belirlenmiştir. π=3\pi = 3 alınız. Buna göre, bu süs göletinin zeminde kaplayacağı alan kaç metrekaredir?

Show answer & explanation

Answer: 192

Answer

Süs göletinin kaplayacağı alan 192 metrekaredir.
Daire şeklindeki bir yüzeyin alanı π⋅r2\pi \cdot r^2 formülü ile bulunur. Soruda yarıçap (rr) 88 metre ve π\pi değeri 33 olarak verildiğinden; alan 3⋅82=3⋅64=1923 \cdot 8^2 = 3 \cdot 64 = 192 metrekare olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen değerleri belirleme
r=8r = 8 m ve π=3\pi = 3
Soruda verilen yarıçap ve sabit değer formülde kullanılmak üzere not edilir.
2
Alan formülünü yazma
Alan=π⋅r2Alan = \pi \cdot r^2
Dairenin kapladığı alanı hesaplamak için gerekli olan temel geometrik formül budur.
3
Değerleri formülde yerine koyma
Alan=3⋅82Alan = 3 \cdot 8^2
Yarıçap ve π\pi değerleri formüldeki yerlerine yerleştirilir.
4
Kuvvet alma işlemini yapma
82=648^2 = 64
Matematiksel işlem önceliğine göre önce üslü ifade (kare alma) hesaplanır.
5
Çarpma işlemini tamamlama
3⋅64=1923 \cdot 64 = 192
Bulunan kare değeri π\pi sayısı ile çarpılarak nihai alan sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Dairenin Alanı

Hints

1
Dairenin kapladığı yeri bulmak için 'alan' formülünü kullanmalısınız.
2
Alan formülü π⋅r2\pi \cdot r^2 şeklindedir. Burada rr yarıçapı temsil eder.
3
İşlem yaparken önce 88'in karesini almayı, sonra sonucu 33 ile çarpmayı unutmayın.

Practice More

Yarıçapı bilinen bu göletin çevresine bir sıra tel çekilseydi kaç metre tel gerekirdi? (Çevre hesaplama alıştırması)
Estimated Time:45s
Question 23Question →

Şekildeki O merkezli çemberde, P, A ve O noktaları doğrusaldır. [PT] ışını, çembere T noktasında teğettir. ∣PA∣=∣AO∣|PA| = |AO| ve ∣PT∣=63|PT| = 6\sqrt{3} cm olduğuna göre, [PT] doğru parçası, [PA] doğru parçası ve TA yayı arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç cm²'dir?

Show answer & explanation

Answer: 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi

Answer

Taralı alan 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi cm² olarak bulunur.
Taralı bölge, OTP dik üçgeninin alanından OTA daire diliminin alanının çıkarılmasıyla bulunur. ∣PO∣=2∣OT∣|PO|=2|OT| ilişkisinden üçgenin 30-60-90 üçgeni olduğu ve merkez açının 60° olduğu görülür. Yarıçap 6 cm bulunduğunda, üçgen alanı 18318\sqrt{3}, daire dilimi alanı 6π6\pi olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen uzunluk ilişkilerini belirle.
Çemberin yarıçapına rr diyelim. ∣AO∣=r|AO| = r olduğundan ve ∣PA∣=∣AO∣|PA| = |AO| verildiğinden, ∣PA∣=r|PA| = r ve ∣PO∣=2r|PO| = 2r olur.
Soruda verilen eşitlikten hipotenüs ve dik kenar arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
OTP dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula ve yarıçapı bul.
Teğet yarıçapa diktir (OT⊥PTOT \perp PT). r2+(63)2=(2r)2⇒r2+108=4r2⇒3r2=108⇒r=6r^2 + (6\sqrt{3})^2 = (2r)^2 \Rightarrow r^2 + 108 = 4r^2 \Rightarrow 3r^2 = 108 \Rightarrow r = 6 cm.
Bilinmeyen yarıçap değerini bulmak için.
3
Merkez açıyı (∠TOP\angle TOP) belirle.
OTP dik üçgeninde hipotenüs (2r=122r=12) dik kenarın (r=6r=6) iki katı olduğundan, bu bir 30-60-90 üçgenidir. O açısı 60∘60^\circ'dir.
Daire diliminin alanını hesaplayabilmek için merkez açıya ihtiyaç vardır.
4
Üçgenin ve daire diliminin alanlarını hesapla.
Alan(OTP) = 6⋅632=183\frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} cm². Alan(Dilim) = π⋅62⋅60360=6π\pi \cdot 6^2 \cdot \frac{60}{360} = 6\pi cm².
Taralı alan, üçgen alanından daire dilimi alanının çıkarılmasıyla bulunur.
5
Taralı alanı bulmak için çıkarma işlemi yap.
Taralı Alan = 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi.
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Bir dış noktadan çizilen teğet ile yarıçapın oluşturduğu dik üçgen ve daire dilimi alanı hesabı.

Hints

1
Teğet noktası ile merkezi birleştiren doğru parçası (yarıçap), teğet doğrusuna diktir. Bu dik üçgeni kullanın.
2
Soruda verilen ∣PA∣=∣AO∣|PA|=|AO| eşitliği, hipotenüsün (∣PO∣|PO|) dik kenarın (∣OT∣|OT|) iki katı olduğunu gösterir. Bu hangi özel üçgendir?

Alternative Method

Trigonometri kullanarak: tan⁡(O)=PT/OT\tan(O) = PT/OT yerine sin⁡(P)=OT/PO=1/2\sin(P) = OT/PO = 1/2 yazarak ∠P=30∘\angle P = 30^\circ ve ∠O=60∘\angle O = 60^\circ olduğu doğrudan görülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 24Question →

Karayolları Genel Müdürlüğü tarafından hazırlanan dairesel bir trafik levhasının yarıçapı ∣OA∣=10|OA| = 10 cm'dir. Buna göre, bu levhanın çevre uzunluğu kaç cm'dir? (π=3\pi = 3 alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Dairenin çevre uzunluğu 60 cm'dir.
Dairenin çevre uzunluğu 2⋅π⋅r2 \cdot \pi \cdot r formülü ile hesaplanır. Verilen r=10r = 10 cm ve π=3\pi = 3 değerleri formüle yerleştirildiğinde 2⋅3⋅10=602 \cdot 3 \cdot 10 = 60 cm sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Çemberin çevre formülünü belirle.
C\cevre=2⋅π⋅rÇevre = 2 \cdot \pi \cdot r
Dairenin çevresini hesaplamak için standart çevre formülü kullanılır.
2
Soruda verilen değerleri (π=3\pi = 3 ve r=10r = 10) formülde yerine yaz.
C\cevre=2⋅3⋅10Çevre = 2 \cdot 3 \cdot 10
Yarıçap (r) 10 cm ve sabit sayı (π\pi) 3 olarak verilmiştir.
3
Çarpma işlemini gerçekleştir.
6⋅10=606 \cdot 10 = 60 cm
İşlem önceliğine göre çarpma işlemi yapılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Dairenin Çevre Hesaplaması

Hints

1
Çemberin çevresini bulmak için yarıçap (r) ve pi (π\pi) sayılarını kullanmalısın.
2
Kullanman gereken formül 2⋅π⋅r2 \cdot \pi \cdot r şeklindedir.
3
π\pi yerine 3, rr yerine 10 yazarak 2⋅3⋅102 \cdot 3 \cdot 10 işlemini yapmalısın.

Practice More

Yarıçapı 10 cm olan bu aynı levhanın yüzey alanını hesaplayarak aradaki farkı görebilirsiniz.

Alternative Method

Eğer çap verilmiş olsaydı, çevre formülünü C\c=π⋅RÇ = \pi \cdot R (burada R çaptır) şeklinde de kullanabilirdiniz. Yarıçap 10 cm ise çap 20 cm'dir, 3⋅20=603 \cdot 20 = 60 cm sonucuna yine ulaşılırdı.
Estimated Time:45s
Question 25Question →

OO merkezli ve 55 birim yarıçaplı bir çemberin dışındaki bir PP noktasından çembere [PA][PA] teğeti çizilmiştir. PP noktasının çemberin merkezine olan uzaklığı ∣OP∣=13|OP| = 13 birimdir. PP noktasından geçen bir kesen çemberi BB ve CC noktalarında kesmektedir. ∣PB∣=8|PB| = 8 birim olduğuna göre, ∣BC∣|BC| kirişinin uzunluğu kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

BC kirişinin uzunluğu 10 birimdir.
Verilen bilgilere göre önce OAPOAP dik üçgeninden teğet parçasının uzunluğu 12 birim olarak bulunur. Daha sonra teğet-kesen kuvvet özelliği (∣PA∣2=∣PB∣⋅∣PC∣|PA|^2 = |PB| \cdot |PC|) kullanılarak kesenin tamamı 18 birim hesaplanır. Kiriş uzunluğu için dışarıdaki 8 birimlik parça çıkarıldığında 10 birim sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Teğet noktasına yarıçap çizilmesi
OA⊥PAOA \perp PA ve ∣OA∣=5|OA| = 5 birimdir.
Bir çemberin teğet noktasına çizilen yarıçap, teğet doğrusuna diktir.
2
OAPOAP dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanması
∣OA∣2+∣PA∣2=∣OP∣2⇒52+∣PA∣2=132⇒∣PA∣=12|OA|^2 + |PA|^2 = |OP|^2 \Rightarrow 5^2 + |PA|^2 = 13^2 \Rightarrow |PA| = 12 birim.
Teğet parçasının uzunluğunu bulmak için merkez, teğet noktası ve dış nokta arasındaki dik üçgen kullanılır.
3
Çemberde kuvvet (teğet-kesen) bağıntısının uygulanması
∣PA∣2=∣PB∣⋅∣PC∣⇒122=8⋅∣PC∣⇒144=8⋅∣PC∣⇒∣PC∣=18|PA|^2 = |PB| \cdot |PC| \Rightarrow 12^2 = 8 \cdot |PC| \Rightarrow 144 = 8 \cdot |PC| \Rightarrow |PC| = 18 birim.
Bir dış noktadan çizilen teğetin karesi, o noktadan geçen kesenin çemberi kestiği noktaların uzaklıkları çarpımına eşittir.
4
∣BC∣|BC| kiriş uzunluğunun hesaplanması
∣BC∣=∣PC∣−∣PB∣=18−8=10|BC| = |PC| - |PB| = 18 - 8 = 10 birim.
Kesenin tamamından çemberin dışında kalan parça çıkarılarak kiriş uzunluğu bulunur.

Key Concept

Çemberde Kuvvet ve Teğet Özellikleri
Question 26Question →

Yarıçapı 30 cm30 \text{ cm} olan bir bisiklet tekerleği, düz bir yolda 55 tam tur attığında toplam kaç metre yol almış olur? (π=3\pi = 3 alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Tekerleğin aldığı toplam yol 9 metredir.
Tekerleğin bir tam turda aldığı yol çevresine (2πr2\pi r) eşittir. Yarıçapı 30 cm30 \text{ cm} olan tekerleğin çevresi 2×3×30=180 cm2 \times 3 \times 30 = 180 \text{ cm} olur. 55 tur sonunda tekerlek 180×5=900 cm180 \times 5 = 900 \text{ cm} yol alır. Bu değer metreye çevrildiğinde 9 metre9 \text{ metre} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Tekerleğin bir tam turda ne kadar yol aldığını bulmak için çevresini hesaplayın.
C=2×π×r=2×3×30=180 cmC = 2 \times \pi \times r = 2 \times 3 \times 30 = 180 \text{ cm}
Bir tekerlek bir tam tur attığında çevresi kadar yol alır.
2
Tekerleğin 55 tam turda aldığı toplam yolu santimetre cinsinden hesaplayın.
180×5=900 cm180 \times 5 = 900 \text{ cm}
Toplam yol, bir turdaki yol ile tur sayısının çarpımıdır.
3
Bulunan santimetre cinsinden değeri metreye çevirin.
900 cm=9 metre900 \text{ cm} = 9 \text{ metre}
1 metre=100 cm1 \text{ metre} = 100 \text{ cm} olduğu için değer 100'e bölünür.

Key Concept

Dairenin çevresi ve tekerlek problemlerinde alınan yol ilişkisi

Hints

1
Bir tekerleğin bir turda aldığı yol, o tekerleğin çevresine eşittir.
2
Çemberin çevresini hesaplamak için 2⋅π⋅r2 \cdot \pi \cdot r formülünü kullanın.
3
Toplam yolu bulduktan sonra santimetreyi metreye çevirmek için sonucu 100'e bölmeyi unutmayın.

Practice More

Farklı bir soruda alanı verilen bir dairenin çevresi üzerinden tekerlek tur sayısı hesabı yaparak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Önce 11 turda alınan yolu metreye çevirip sonra tur sayısıyla çarpabilirsiniz: 180 cm=1,8 metre180 \text{ cm} = 1,8 \text{ metre}. Toplam yol =1,8×5=9 metre= 1,8 \times 5 = 9 \text{ metre}.
Estimated Time:1m 15s
Question 27Question →

Bir fabrikadaki üretim bandında, yarıçapları 44 cm olan üç adet eş dairesel makara, merkezleri bir eşkenar üçgenin köşeleri olacak şekilde birbirine dıştan teğet olarak monte edilmiştir. Bu makaraları dıştan saran ve gevşeklik payı olmayan gergin bir kayışın uzunluğu en az kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 24+8π24 + 8\pi

Answer

Kayışın toplam uzunluğu 24+8π24 + 8\pi cm'dir.
Kayışın uzunluğu, çemberlerin merkezlerini birleştiren doğruların uzunlukları toplamı ile bir tam çemberin çevresinin toplamına eşittir. Yarıçap r=4r=4 cm olduğundan, düz kısımlar 3×(4+4)=243 \times (4+4) = 24 cm, eğrisel kısımlar ise 2π(4)=8π2\pi(4) = 8\pi cm eder. Toplam uzunluk 24+8π24 + 8\pi cm'dir.

Step-by-Step Solution

1
Makaraların merkezlerini birleştirerek oluşan geometrik şekli ve kenar uzunluklarını belirle.
Merkezler birleştirildiğinde, her bir kenarı 2r=4+4=82r = 4 + 4 = 8 cm olan bir eşkenar üçgen oluşur.
Makaralar birbirine teğet olduğu için merkezler arası mesafe yarıçapların toplamına eşittir.
2
Kayışın düz (doğrusal) kısımlarının toplam uzunluğunu hesapla.
3 adet düz kısım vardır ve her biri merkezler arası mesafeye eşittir. 3×8=243 \times 8 = 24 cm.
Kayışın makaralara değdiği noktalardan çizilen teğetler, merkezler arası doğru parçalarına paralel dikdörtgenler oluşturur.
3
Kayışın eğrisel (yay) kısımlarının toplam açısını ve uzunluğunu hesapla.
Her bir köşedeki yay açısı 360∘−(90∘+90∘+60∘)=120∘360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 60^\circ) = 120^\circ'dir. Toplam açı 3×120∘=360∘3 \times 120^\circ = 360^\circ (tam çember). Yay uzunluğu 2πr=2π(4)=8π2\pi r = 2\pi(4) = 8\pi cm.
Eşkenar üçgenin iç açısı 60∘60^\circ ve teğetler yarıçapa dik (90∘90^\circ) olduğu için geriye 120∘120^\circ kalır.
4
Düz ve eğrisel kısımları toplayarak sonucu bul.
24+8π24 + 8\pi cm.
Toplam çevre uzunluğu düz parçalar ve yayların toplamıdır.

Key Concept

Teğet Çemberler ve Kayış Problemleri

Hints

1
Makaraların merkezlerini birleştirerek bir eşkenar üçgen oluşturun.
2
Kayışın makaralara değdiği noktalardan merkezlere yarıçaplar çizin; oluşan dikdörtgenleri fark edin.
3
Düz kısımların toplamı üçgenin çevresine, yayların toplamı ise tam bir çemberin çevresine eşittir.

Practice More

Farklı yarıçaplı iki makara etrafına sarılan kayışın uzunluğunu soran bir soru çözebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Question 28Question →

Bir belediye parkı projesinde, çocuk oyun alanının ortasına dairesel bir kum havuzu yapılması planlanmaktadır. Taslak çizimde bu havuzun yarıçapı 55 metre olarak belirlenmiştir. Havuzun etrafına koruma şeridi çekileceğine göre, bu havuzun çevre uzunluğu kaç metredir? (π=3\pi = 3 alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 3030

Answer

Dairesel havuzun çevre uzunluğu 3030 metredir.
Dairesel bir şeklin çevresini hesaplamak için 2×π×r2 \times \pi \times r formülü kullanılır. Soruda verilen r=5r = 5 ve π=3\pi = 3 değerleri yerine yazıldığında 2×3×5=302 \times 3 \times 5 = 30 metre sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen değerleri belirleyin.
r=5r = 5 metre ve π=3\pi = 3
Soruda havuzun yarıçapının 55 metre olduğu ve π\pi değerinin 33 alınması gerektiği belirtilmiştir.
2
Dairenin çevre formülünü yazın.
Çevre = 2×π×r2 \times \pi \times r
Bir çemberin veya dairenin çevre uzunluğunu bulmak için kullanılan standart matematiksel formül budur.
3
Değerleri formülde yerine koyarak hesaplama yapın.
Çevre = 2×3×5=302 \times 3 \times 5 = 30 metre
Katsayı (22), sabit sayı (π=3\pi=3) ve yarıçap (r=5r=5) çarpılarak toplam uzunluğa ulaşılır.

Key Concept

Dairenin çevre uzunluğu, yarıçapının 2π2\pi katına eşittir.

Hints

1
Bir dairenin etrafını ölçmek için çevre formülünü kullanmalısın.
2
Dairenin çevre formülü 2×π×r2 \times \pi \times r şeklindedir. Burada rr yarıçaptır.
3
Verilen r=5r=5 ve π=3\pi=3 değerlerini 2×π×r2 \times \pi \times r formülünde yerlerine yazarak çarpmalısın.

Practice More

Aynı havuzun zeminine kum doldurulacak olsaydı, alan formülünü (πr2\pi r^2) kullanarak kaç metrekarelik bir alanı hesaplamamız gerektiğini düşünebilirsin.

Alternative Method

Eğer çapı (dd) biliyorsan, çevreyi π×d\pi \times d formülüyle de bulabilirsin. Yarıçap 55 m ise çap 1010 m'dir. 3×10=303 \times 10 = 30 m sonucuna bu şekilde de ulaşılabilir.
Estimated Time:45s
Question 29Question →

Yarıçapı 6 cm olan O merkezli bir dairede, uzunluğu 636\sqrt{3} cm olan bir AB kirişi çizilmiştir.

Buna göre, bu kiriş ile dairenin küçük yayı arasında kalan bölgenin alanı kaç cm2cm^2'dir?

Show answer & explanation

Answer: 12π−9312\pi - 9\sqrt{3}

Answer

İstenen alan 12π−9312\pi - 9\sqrt{3} cm2cm^2 olarak bulunur.
Soruda verilen kiriş uzunluğu (636\sqrt{3}) ve yarıçap (6) ilişkisi incelendiğinde, oluşan OAB üçgeninin bir 30-30-120 üçgeni olduğu görülür (r,r,r3r, r, r\sqrt{3} özelliği). Bu durumda merkez açı 120°'dir. İstenen alan, 120 derecelik daire diliminin alanından OAB üçgeninin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Dilim alanı 12π12\pi, üçgen alanı 939\sqrt{3} olduğundan doğru cevap 12π−9312\pi - 9\sqrt{3} olur.

Step-by-Step Solution

1
Merkez açıyı belirle
120°
O merkezinden AB kirişine dikme indirilirse veya kosinüs teoremi uygulanırsa, kenarları 6, 6 ve 636\sqrt{3} olan üçgenin tepe açısı (merkez açı) 120° bulunur (30-30-120 üçgeni özelliği).
2
Daire diliminin alanını hesapla
12π12\pi
Alan = πr2⋅α360=π⋅62⋅120360=36π⋅13=12π\pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360} = \pi \cdot 6^2 \cdot \frac{120}{360} = 36\pi \cdot \frac{1}{3} = 12\pi.
3
OAB üçgeninin alanını hesapla
939\sqrt{3}
Alan = 12r2sin⁡(120∘)=12⋅36⋅32=93\frac{1}{2} r^2 \sin(120^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}.
4
Daire parçasının alanını bul
12π−9312\pi - 9\sqrt{3}
Daire Parçası Alanı = Daire Dilimi Alanı - Üçgen Alanı.

Key Concept

Daire parçasının alanı, ilgili daire diliminin alanından merkezdeki üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur.

Hints

1
Önce dairenin merkezini kirişin uç noktalarına birleştirerek oluşan üçgenin kenar uzunluklarını inceleyin (6,6,636, 6, 6\sqrt{3}).
2
Bir üçgenin kenarları k,k,k3k, k, k\sqrt{3} oranındaysa, bu üçgenin tepe açısı 120° olan bir ikizkenar üçgendir.
3
Daire parçasının alanını bulmak için; 120 derecelik daire diliminin alanından, merkezdeki üçgenin alanını çıkarın.

Alternative Method

Kosinüs teoremi kullanarak açıyı bulmak: (63)2=62+62−2(6)(6)cos⁡(α)(6\sqrt{3})^2 = 6^2 + 6^2 - 2(6)(6)\cos(\alpha) denklemini çözerek cos⁡(α)=−1/2\cos(\alpha) = -1/2 ve α=120∘\alpha = 120^{\circ} bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 30Question →

[AB] // [DC] ve [AD] ⊥\perp [AB] olmak üzere, aşağıda verilen ABCD dik yamuğunun içine, yamuğun tüm kenarlarına teğet olan O merkezli bir çember çizilmiştir.

∣AB∣=12|AB| = 12 cm ve ∣DC∣=4|DC| = 4 cm olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Çemberin yarıçapı 3 cm'dir.
Dik yamuğun içine çizilen teğet çember probleminde, teğetler dörtgeni özelliği (∣AB∣+∣DC∣=∣AD∣+∣BC∣|AB|+|DC| = |AD|+|BC|) ve Pisagor bağıntısı kullanılarak yarıçap hesaplanır. Yükseklik 2r2r ve hipotenüs 16−2r16-2r alındığında, kurulan (2r)2+82=(16−2r)2(2r)^2 + 8^2 = (16-2r)^2 denkleminden r=3r=3 cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Teğetler dörtgeni özelliğini uygula.
ABCD bir teğetler dörtgeni olduğundan karşılıklı kenarların toplamı eşittir: ∣AB∣+∣DC∣=∣AD∣+∣BC∣|AB| + |DC| = |AD| + |BC|. Buradan 12+4=16=∣AD∣+∣BC∣12 + 4 = 16 = |AD| + |BC| bulunur.
Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir.
2
Yarıçap ve yükseklik ilişkisini kur.
Çember [AD] kenarına teğet olduğundan ve [AD] ⊥\perp [AB] olduğundan, yamuğun yüksekliği ∣AD∣|AD| çemberin çapına (2r2r) eşittir. Dolayısıyla ∣BC∣=16−2r|BC| = 16 - 2r olur.
Dik yamukta dik kenar uzunluğu, iç teğet çemberin çapına eşittir.
3
Dik üçgen oluştur ve Pisagor bağıntısını kullan.
C noktasından [AB] kenarına [CH] dikmesi indirilirse, ∣CH∣=∣AD∣=2r|CH| = |AD| = 2r ve ∣HB∣=∣AB∣−∣DC∣=12−4=8|HB| = |AB| - |DC| = 12 - 4 = 8 olur. CHB dik üçgeninde Pisagor bağıntısı: (2r)2+82=(16−2r)2(2r)^2 + 8^2 = (16-2r)^2.
Yamuk sorularında bilinmeyen kenarı bulmak için genellikle yükseklik indirilerek dik üçgen oluşturulur.
4
Denklemi çözerek yarıçapı bul.
4r2+64=256−64r+4r24r^2 + 64 = 256 - 64r + 4r^2 ⇒64r=192⇒r=3\Rightarrow 64r = 192 \Rightarrow r = 3.
Denklem çözümü sonucu istenen yarıçap değerine ulaşılır.

Key Concept

Teğetler Dörtgeni ve Pisagor Bağıntısı

Hints

1
Bir dörtgenin tüm kenarlarına teğet bir çember çizilebiliyorsa, bu dörtgenin karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir.
2
Yamuğun yüksekliği aynı zamanda iç teğet çemberin çapına (2r2r) eşittir. Bu bilgiyi ve teğetler dörtgeni özelliğini kullanarak yan kenar (BCBC) uzunluğunu rr cinsinden yazın.
3
CC köşesinden [AB][AB] kenarına dikme indirin. Oluşan dik üçgenin kenarları: yükseklik 2r2r, taban (12−4)=8(12-4)=8 ve hipotenüs (12+4−2r)(12+4-2r). Pisagor bağıntısını uygulayın.

Practice More

Benzer bir soruyu ikizkenar yamuk için çözerek teğet özelliklerini pekiştirin.

Alternative Method

Formül: Dik yamukta iç teğet çemberin yarıçapı r=a⋅ca+cr = \frac{a \cdot c}{a + c} formülüyle de bulunabilir (Burada aa ve cc paralel kenar uzunluklarıdır). r=12⋅412+4=4816=3r = \frac{12 \cdot 4}{12 + 4} = \frac{48}{16} = 3.
Estimated Time:2m 30s
Question 31Question →

O merkezli ve yarıçapı 44 cm olan bir çeyrek çember verilmiştir. Bu çeyrek çemberin dik kenarlarından biri olan [OA][OA] çap kabul edilerek, çeyrek çemberin içine bir yarım çember çiziliyor. Çeyrek çemberin diğer dik kenarının uç noktası olan B noktasından bu yarım çembere çizilen teğetin değme noktası T'dir.

Buna göre, ∣BT∣|BT| uzunluğu kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Teğet uzunluğu 4 cm'dir.
Soruda verilen geometrik yapıda iki adet dik üçgen oluşmaktadır. İlk olarak, yarım çemberin merkezi (KK) ile BB noktası arasındaki mesafe, OO noktasındaki diklik kullanılarak bulunur (∣BK∣=20|BK|=\sqrt{20}). İkinci olarak, merkezden teğete inilen yarıçapın dikliği (KT⊥BTKT \perp BT) kullanılarak KTBKTB dik üçgeni oluşturulur. Burada ∣KT∣=2|KT|=2 (yarım çemberin yarıçapı) ve hipotenüs ∣BK∣=20|BK|=\sqrt{20} olduğu için, ∣BT∣2+22=(20)2|BT|^2 + 2^2 = (\sqrt{20})^2 eşitliğinden ∣BT∣=4|BT|=4 bulunur. İlginç bir geometrik özellik olarak, bu özel kurguda teğet uzunluğu çeyrek çemberin yarıçapına eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Şekli zihinde canlandırın veya çizin: O merkezli çeyrek çemberin yarıçapı R=4R=4 cm'dir. Yarım çemberin çapı [OA][OA] olduğuna göre, yarım çemberin merkezi KK noktası [OA][OA]'nın orta noktasıdır ve yarıçapı r=2r=2 cm'dir.
∣OK∣=2|OK| = 2 cm, ∣OB∣=4|OB| = 4 cm (Çeyrek çemberin diğer yarıçapı).
Geometrik şeklin elemanlarını ve ölçülerini tanımlamak çözümün temelidir.
2
Yarım çemberin merkezi olan KK noktası ile BB noktasını birleştiren doğru parçasının uzunluğunu (∣BK∣|BK|) Pisagor bağıntısı ile hesaplayın. △KOB\triangle KOB dik üçgendir (OO köşesi dik).
∣BK∣2=∣OK∣2+∣OB∣2⇒∣BK∣2=22+42=4+16=20|BK|^2 = |OK|^2 + |OB|^2 \Rightarrow |BK|^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20.
Teğet uzunluğunu bulmak için oluşturulacak dik üçgenin hipotenüsünü bulmak gerekir.
3
BB noktasından yarım çembere çizilen teğetin değme noktası TT ile merkez KK birleştirilir. Merkezden teğete inen yarıçap diktir ([KT]⊥[BT][KT] \perp [BT]). △KTB\triangle KTB dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayın.
∣BK∣2=∣KT∣2+∣BT∣2⇒20=22+∣BT∣2|BK|^2 = |KT|^2 + |BT|^2 \Rightarrow 20 = 2^2 + |BT|^2.
Bir çemberde merkezden teğet noktasına çizilen yarıçapın teğete dik olması kuralı kullanılır.
4
Elde edilen denklemden ∣BT∣|BT| değerini çekin.
20=4+∣BT∣2⇒∣BT∣2=16⇒∣BT∣=420 = 4 + |BT|^2 \Rightarrow |BT|^2 = 16 \Rightarrow |BT| = 4 cm.
Sonucu bulmak için son aritmetik işlem yapılır.

Key Concept

Bir çemberde merkezden teğet noktasına çizilen yarıçap teğete diktir. Bu özellik sayesinde dik üçgenler oluşturularak uzunluk hesabı yapılabilir.

Hints

1
Yarım çemberin merkezi ile teğet noktası T'yi birleştiren bir doğru parçası çizmeyi deneyin.
2
Çember merkezinden teğet noktasına çizilen yarıçapın, teğet doğrusuna dik olduğunu hatırlayın (KT⊥BTKT \perp BT).
3
Önce B noktası ile yarım çemberin merkezini birleştirerek bir Pisagor bağıntısı uygulayın, ardından oluşan yeni dik üçgende (KTBKTB) ikinci bir Pisagor bağıntısı uygulayın.

Practice More

Benzer bir kurguda, yarım çember yerine tam çemberin karenin içine çizildiği ve köşeden teğet çizildiği soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Analitik Geometri ile çözüm: O noktasını orijin (0,0)(0,0) kabul edin. A (4,0)(4,0) ve B (0,4)(0,4) olur. Yarım çember merkezi K (2,0)(2,0) ve yarıçapı 22'dir. B noktasından K merkezli çembere çizilen teğetin uzunluğu formülü veya iki nokta arası uzaklık formülü ile yine 44 bulunur.
Estimated Time:3m 0s
Question 32Question →

Aşağıdaki şekilde, O1O_1 ve O2O_2 merkezli iki daire CC noktasında birbirine dıştan teğettir. [AB][AB] doğru parçası, bu iki daireye sırasıyla AA ve BB noktalarında teğettir.

O1O_1 merkezli dairenin yarıçapı 66 cm ve O2O_2 merkezli dairenin yarıçapı 22 cm olduğuna göre, bu daireler ile [AB][AB] doğru parçası arasında kalan boyalı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Show answer & explanation

Answer: 163−22π316\sqrt{3} - \frac{22\pi}{3}

Answer

Boyalı bölgenin alanı 163−22π316\sqrt{3} - \frac{22\pi}{3} cm2\text{cm}^2 dir.
İki daire arasındaki boyalı alan, merkezlerin ve teğet noktalarının oluşturduğu dik yamuğun alanından, yamuğun içinde kalan daire dilimlerinin alanlarının çıkarılmasıyla bulunur. Yamuğun alanı 16316\sqrt{3}, dilimlerin alanları toplamı 22π3\frac{22\pi}{3} olduğundan doğru cevap 163−22π316\sqrt{3} - \frac{22\pi}{3} tür.

Step-by-Step Solution

1
O1O_1 ve O2O_2 merkezlerini birleştiren doğruyu çiz ve merkezlerden teğet noktalarına (AA ve BB) dikmeler indir. Bu yapı bir dik yamuk oluşturur.
Merkezler arası uzaklık ∣O1O2∣=6+2=8|O_1O_2| = 6 + 2 = 8 cm dir.
Dıştan teğet dairelerde merkezler arası uzaklık yarıçaplar toplamına eşittir.
2
O2O_2 noktasından O1AO_1A kenarına bir dikme ([O2H][O_2H]) indirerek bir dik üçgen oluştur ve teğet uzunluğunu (∣AB∣|AB|) hesapla.
Oluşan dik üçgende hipotenüs 88, dik kenar ∣O1H∣=6−2=4|O_1H| = 6-2=4 cm'dir. Pisagor veya 30-60-90 üçgeni özelliğinden yükseklik ∣AB∣=43|AB| = 4\sqrt{3} cm bulunur.
Dik üçgende hipotenüs (88), dik kenarın (44) iki katı olduğu için bu bir 30-60-90 üçgenidir.
3
O1ABO2O_1ABO_2 dik yamuğunun alanını hesapla.
Alan = 6+22⋅43=4⋅43=163\frac{6+2}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Yamuk Alanı = Alt Taban+U¨st Taban2⋅Yu¨kseklik\frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot \text{Yükseklik}
4
Yamuk içindeki daire dilimlerinin merkez açılarını belirle ve alanlarını hesapla.
O1O_1 açısı 60∘60^\circ, O2O_2 açısı 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circ dir.
O1O_1 Dilim Alanı = π⋅62⋅60360=6π\pi \cdot 6^2 \cdot \frac{60}{360} = 6\pi.
O2O_2 Dilim Alanı = π⋅22⋅120360=4π3\pi \cdot 2^2 \cdot \frac{120}{360} = \frac{4\pi}{3}.
Paralel kollarda (teğetler dik olduğu için) iç açılar toplamı 180180 derecedir.
5
Yamuk alanından daire dilimlerinin alanlarını çıkararak boyalı alanı bul.
163−(6π+4π3)=163−22π316\sqrt{3} - (6\pi + \frac{4\pi}{3}) = 16\sqrt{3} - \frac{22\pi}{3}.
Boyalı Alan = Yamuk Alanı - (Büyük Dilim Alanı + Küçük Dilim Alanı)

Key Concept

Teğet Çemberler ve Alan Hesabı
Question 33Question →

Bir belediyenin altyapı çalışmaları kapsamında kullanılan dairesel kesite sahip bir atık su borusunun yarıçapı 66 birimdir. Borunun içinden geçen suyun üst yüzeyinin genişliği (kiriş uzunluğu) 636\sqrt{3} birim olarak ölçülmüştür.

Borunun yarısından azının dolu olduğu bilindiğine göre, borunun dolu kısmının kesit alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 12π−9312\pi - 9\sqrt{3}

Answer

Dolu kısmın alanı 12π−9312\pi - 9\sqrt{3} birimkaredir.
Soruda verilen su dolu kısım bir 'daire kesmesi'dir. Bu alanı bulmak için, kirişin uç noktalarını merkeze birleştirerek oluşan daire diliminin alanından, ortada kalan üçgenin alanı çıkarılmalıdır. Kenar uzunlukları 6,6,636, 6, 6\sqrt{3} olan üçgenin tepe açısı 120∘120^\circ'dir. 120∘120^\circ'lik daire diliminin alanı 12π12\pi, üçgenin alanı ise 939\sqrt{3} birimkaredir. Sonuç bu iki değerin farkıdır.

Step-by-Step Solution

1
Verilenleri geometrik şekle dök ve üçgen oluştur.
Merkez OO, yarıçap r=6r=6 ve kiriş ∣AB∣=63|AB|=6\sqrt{3}. OABOAB üçgeni oluşur.
Daire kesmesi (dolu kısım) alanını bulmak için daire dilimi ve üçgen alanına ihtiyaç vardır.
2
Merkez açıyı hesapla.
Kenarlar 66, 66 ve 636\sqrt{3} olduğundan bu bir 30−30−12030-30-120 üçgenidir. Merkez açı 120∘120^\circ'dir.
x3x\sqrt{3} özelliği, ikizkenar üçgende tepe açısının 120∘120^\circ olduğunu gösterir.
3
Daire diliminin alanını hesapla.
Alan = π⋅62⋅120360=36π⋅13=12π\pi \cdot 6^2 \cdot \frac{120}{360} = 36\pi \cdot \frac{1}{3} = 12\pi.
Daire dilimi alanı formülü: πr2α360\pi r^2 \frac{\alpha}{360}.
4
Üçgenin alanını hesapla.
Alan(OABOAB) = 12⋅6⋅6⋅sin⁡(120∘)=18⋅32=93\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(120^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}.
Sinüs alan formülü: 12a⋅b⋅sin⁡(α)\frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\alpha).
5
Dolu kısmın (daire kesmesi) alanını bul.
12π−9312\pi - 9\sqrt{3}.
Daire kesmesi alanı = Daire Dilimi Alanı - Üçgen Alanı.

Key Concept

Daire Kesmesi Alanı

Hints

1
Suyun üst yüzeyi bir kiriş oluşturur. Bu kirişin uçlarını dairenin merkeziyle birleştirerek bir üçgen ve daire dilimi elde etmeye çalışın.
2
Oluşan üçgenin kenarları yarıçap (66) ve kiriş (636\sqrt{3}) uzunluklarıdır. Bu kenar uzunlukları size merkez açının kaç derece olduğunu söyler (30−30−12030-30-120 üçgenini hatırlayın).
Estimated Time:1m 30s
Question 34Question →

Yarıçap uzunluğu r=4r = 4 cm olan üç adet eş daire, birbirlerine dıştan teğet olacak şekilde düz bir zemin üzerine yerleştiriliyor. Bu daireleri dıştan çevreleyen gergin bir ipin sınırladığı tüm kapalı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Show answer & explanation

Answer: 16(π+6+3)16(\pi + 6 + \sqrt{3})

Answer

İpin sınırladığı alan 16(π+6+3)16(\pi + 6 + \sqrt{3}) cm2\text{cm}^2 olarak bulunur.
İpin sınırladığı bölge, merkezleri birleştiren bir eşkenar üçgen, kenarlar üzerindeki üç dikdörtgen ve köşelerdeki üç daire diliminin toplamından oluşur. Bu parçaların alanları sırasıyla 16316\sqrt{3}, 9696 ve 16π16\pi'dir. Toplamı paranteze alındığında doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Şekli geometrik parçalara ayırın.
Kapalı bölge; 3 adet 120°'lik daire dilimi (toplam 1 tam daire), 3 adet dikdörtgen ve ortada kalan 1 adet eşkenar üçgenden oluşur.
Merkezleri birleştiren doğrular ve teğet noktalarına çizilen dikmeler şekli analiz etmeyi sağlar.
2
Ortadaki eşkenar üçgenin alanını hesaplayın.
Kenar uzunluğu a=2r=8a = 2r = 8 cm. Alan = a234=6434=163\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Üç daire birbirine teğet olduğunda merkezleri bir eşkenar üçgen oluşturur.
3
Dikdörtgenlerin alanlarını hesaplayın.
Her dikdörtgenin kısa kenarı r=4r=4, uzun kenarı 2r=82r=8. Alan = 3×(4×8)=3×32=963 \times (4 \times 8) = 3 \times 32 = 96 cm2\text{cm}^2.
Teğet noktaları arasındaki düz kısımlar dikdörtgen oluşturur.
4
Daire dilimlerinin alanını hesaplayın.
Köşelerdeki açıların her biri 360°−(90°+90°+60°)=120°360° - (90°+90°+60°) = 120°. 3 adet 120°'lik dilim tam bir daire eder: πr2=16π\pi r^2 = 16\pi cm2\text{cm}^2.
Dışta kalan kavisli kısımlar birleştiğinde yarıçapı r olan tam bir daire oluşturur.
5
Tüm alanları toplayın.
16π+96+163=16(π+6+3)16\pi + 96 + 16\sqrt{3} = 16(\pi + 6 + \sqrt{3}) cm2\text{cm}^2.
Toplam alan parçaların alanları toplamına eşittir.

Key Concept

Bileşik Şekillerin Alanı
Question 35Question →

Yarıçapı 1313 cm olan OO merkezli bir çemberde, merkezin farklı taraflarında bulunan ve birbirine paralel olan [AB][AB] ve [CD][CD] kirişleri çiziliyor. ∣AB∣=10|AB| = 10 cm ve ∣CD∣=24|CD| = 24 cm'dir. Buna göre, köşeleri bu kirişlerin uç noktaları olan ABDCABDC yamuğunun alanı kaç cm 2^2 dir?

Show answer & explanation

Answer: 289

Answer

Yamuğun alanı 289 cm² dir.
Çember merkezinden kirişlere indirilen dikmeler kirişleri ortalar. Yarıçap 13 cm olduğu için; uzunluğu 10 cm olan kirişin merkeze uzaklığı 5-12-13 üçgeninden 12 cm, uzunluğu 24 cm olan kirişin merkeze uzaklığı 5-12-13 üçgeninden 5 cm bulunur. Kirişler merkezin farklı taraflarında olduğundan toplam yükseklik 12+5=1712+5=17 cm olur. Yamuğun alanı 10+242×17=289\frac{10+24}{2} \times 17 = 289 cm 2^2 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Çember merkezinden kirişlere dikmeler indirilerek Pisagor bağıntısı ile merkeze olan uzaklıklar bulunur.
[AB][AB] için: 132−52=169−25=144=12\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12 cm. [CD][CD] için: 132−122=169−144=25=5\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5 cm.
Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi iki eşit parçaya böler (∣AB∣/2=5|AB|/2=5, ∣CD∣/2=12|CD|/2=12). Yarıçap hipotenüstür.
2
Yamuğun yüksekliğini (hh) bulmak için uzaklıklar toplanır (kirişler merkezin farklı taraflarında olduğu için).
h=12+5=17h = 12 + 5 = 17 cm.
Paralel kirişler arasındaki uzaklık, merkeze olan uzaklıkların toplamıdır.
3
Yamuğun alanı hesaplanır: Alt Taban+U¨st Taban2×Yu¨kseklik\frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \times \text{Yükseklik}.
Alan =10+242×17=17×17=289= \frac{10 + 24}{2} \times 17 = 17 \times 17 = 289 cm 2^2.
Yamuk alan formülü uygulanır.

Key Concept

Çemberde Kiriş Özellikleri ve Yamuk Alanı

Hints

1
Merkezden kirişlere dikmeler indirerek dik üçgenler oluşturun.
2
Yarıçapı hipotenüs olarak kullanıp, 5-12-13 özel üçgeninden faydalanarak kirişlerin merkeze uzaklıklarını bulun.
3
Kirişler merkezin farklı tarafında olduğu için bulduğunuz uzaklıkları toplayarak yamuğun yüksekliğini elde edin.

Practice More

Benzer bir soruyu kirişler merkezin aynı tarafında olacak şekilde çözmeyi deneyin.
Estimated Time:1m 30s
Question 36Question →

Kısa kenarı 4 cm ve uzun kenarı 16 cm olan bir ABCD dikdörtgeni veriliyor. Bir çember, dikdörtgenin A ve B köşelerinden geçmekte ve [DC] kenarına teğet olmaktadır.

Buna göre, bu çemberin yarıçapı kaç santimetredir?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Çemberin yarıçapı 10 cm'dir.
Çemberin merkezi, kirişin orta dikmesi üzerindedir. Merkezden teğet noktasına olan uzaklık yarıçapa (r) eşittir. Dikdörtgenin yüksekliği 4 cm olduğundan, merkezin AB kirişine uzaklığı |r-4| cm olur. AB kirişinin yarısı 8 cm'dir. Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı (r² = 8² + (r-4)²) uygulandığında r = 10 cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Çemberin merkezini (O) ve yarıçapını (r) tanımla. Merkezi, [DC] kenarına teğet olduğu noktaya (T) ve [AB] kirişinin orta noktasına (H) dik inen doğru üzerinde al.
Merkez O, [DC] kenarına r uzaklıkta, [AB] kenarına ise |r - 4| uzaklıktadır.
Çember [DC]'ye teğet olduğu için merkezden teğet noktasına uzaklık yarıçaptır. [AB] kirişi [DC]'ye paralel ve aralarındaki mesafe 4 cm'dir.
2
Merkez O ile A noktası (çember üzerinde) arasında bir yarıçap çiz ve OHA dik üçgenini oluştur.
Oluşan dik üçgende hipotenüs OA = r, dik kenarlardan biri AH = 8 (16/2), diğer dik kenar OH = r - 4 olur.
Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar (|AB|=16 ise |AH|=8). Dikdörtgenin yüksekliği 4 cm olduğundan merkezden kirişe mesafe r - 4 olur.
3
OHA üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.
r² = 8² + (r - 4)²
Dik üçgende hipotenüsün karesi dik kenarların kareleri toplamına eşittir.
4
Denklemi çöz.
r² = 64 + (r² - 8r + 16) → r² = r² - 8r + 80 → 8r = 80 → r = 10.
Cebirsel işlemlerle bilinmeyen r değeri bulunur.

Key Concept

Çemberde Kiriş ve Teğet Özellikleri

Hints

1
Çemberin merkezini belirleyin ve teğet noktası ile A köşesine yarıçaplar çizin.
2
Merkezden AB kirişine dikme indirin. Oluşan dik üçgenin kenarlarını yarıçap (r) cinsinden ifade edin.
3
Oluşan dik üçgenin kenarları: 8, |r-4| ve hipotenüs r'dir. Pisagor bağıntısını kullanın.
Estimated Time:2m 30s
Question 37Question →

Yarıçapları 33 cm ve 99 cm olan O1O_1 ve O2O_2 merkezli iki çember, bir noktada birbirine dıştan teğettir. Bu iki çemberin ortak dış teğet doğrusu çizilmiştir.

Buna göre; çemberler ve ortak dış teğet doğrusu arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Show answer & explanation

Answer: 363−33π236\sqrt{3} - \frac{33\pi}{2}

Answer

363−33π236\sqrt{3} - \frac{33\pi}{2}
İstenilen alan, merkezler ve teğet noktalarının oluşturduğu dik yamuğun alanından, yamuk içinde kalan daire dilimlerinin alanlarının çıkarılmasıyla bulunur. Yamuğun alanı 36336\sqrt{3}, daire dilimlerinin toplam alanı 33π2\frac{33\pi}{2} olduğundan doğru cevap 363−33π236\sqrt{3} - \frac{33\pi}{2} ifadesidir.

Step-by-Step Solution

1
Merkezleri birleştirin ve dik yamuğu oluşturun.
Merkezler arası uzaklık 3+9=123+9=12 cm olur. Teğet noktalarına çizilen yarıçaplar teğet doğrusuna diktir, bu da bir dik yamuk oluşturur.
Teğet çemberlerde merkezleri birleştiren doğru, teğet noktasından geçer.
2
Dik üçgen yardımıyla teğet uzunluğunu ve açıları bulun.
Küçük merkezden büyük yarıçapa dik inildiğinde; hipotenüsü 1212, dik kenarı (9−3)=6(9-3)=6 olan bir üçgen oluşur. Bu 30-60-90 üçgenidir (sin⁡α=6/12\sin \alpha = 6/12). Teğet uzunluğu 636\sqrt{3} cm bulunur.
Pisagor bağıntısı ve trigonometrik oranlar kullanılarak uzunluk ve açılar tespit edilir.
3
Yamuğun alanını hesaplayın.
Alan = 3+92⋅63=6⋅63=363\frac{3+9}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Yamuk Alanı = Alt Taban+U¨st Taban2⋅Yu¨kseklik\frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot \text{Yükseklik}.
4
Çıkarılacak daire dilimlerinin açılarını ve alanlarını belirleyin.
Büyük çemberdeki açı 60∘60^\circ, küçük çemberdeki açı 120∘120^\circ dir (bütünler açı). Büyük dilim alanı π⋅92⋅60360=27π2\pi \cdot 9^2 \cdot \frac{60}{360} = \frac{27\pi}{2}. Küçük dilim alanı π⋅32⋅120360=3π\pi \cdot 3^2 \cdot \frac{120}{360} = 3\pi. Toplam daire alanı = 27π2+6π2=33π2\frac{27\pi}{2} + \frac{6\pi}{2} = \frac{33\pi}{2}.
Yamuk içindeki açıları kullanarak çıkarılacak beyaz bölgelerin alanları bulunur.
5
Toplam alandan daire dilimlerini çıkarın.
Sonuç: 363−33π236\sqrt{3} - \frac{33\pi}{2}.
Taralı Alan = Yamuk Alanı - Daire Dilimlerinin Alanları.

Key Concept

Teğet Çemberler ve Alan Hesabı

Hints

1
Çemberlerin merkezlerini birleştirin ve teğet noktalarına yarıçaplar çizin. Oluşan şekil bir dik yamuktur.
2
Küçük çemberin merkezinden, büyük çemberin teğet yarıçapına bir dikme inerek bir dik üçgen oluşturun. Bu üçgenin kenar uzunluklarını kullanarak açıları bulun.
3
Oluşan dik üçgen bir 30-60-90 üçgenidir. Bu sayede yamuğun içindeki daire dilimlerinin açıları 60 ve 120 derece olarak bulunur.

Alternative Method

Teğet uzunluğunu doğrudan L=2r1⋅r2L = 2\sqrt{r_1 \cdot r_2} formülüyle 227=632\sqrt{27} = 6\sqrt{3} olarak bulabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 38Question →

Kısa kenar uzunluğu 22 cm, uzun kenar uzunluğu 88 cm olan bir ABCDABCD dikdörtgeni veriliyor. Bu dikdörtgenin AA ve BB köşelerinden geçen bir çember, dikdörtgenin [CD][CD] kenarına teğet olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Çemberin yarıçapı 5 cm'dir.
Çemberin merkezi, ABAB kirişinin orta dikmesi üzerinde yer alır. ABAB kenarının orta noktası ile çemberin merkezi arasındaki uzaklık hh, yarıçap RR ve dikdörtgenin kısa kenarı 22 birim olduğunda, teğetlik şartından dolayı h=∣R−2∣h = |R - 2| olur. AA köşesi, merkez ve orta nokta ile oluşturulan dik üçgende R2=42+(R−2)2R^2 = 4^2 + (R - 2)^2 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde R=5R = 5 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Dikdörtgeni koordinat düzlemine yerleştir veya simetri eksenini belirle.
ABAB kenarının orta noktası MM olsun. Çember AA ve BB noktalarından geçtiği için merkezi [AB][AB]'nin orta dikmesi üzerindedir.
Bir kirişin orta dikmesi daima merkezden geçer.
2
Yarıçap (RR) ve merkezin konumu arasındaki ilişkiyi kur.
Çember CDCD kenarına teğet olduğu için, merkezden CDCD kenarına olan uzaklık RR olur. ABAB ile CDCD arası 22 cm olduğundan, merkezin ABAB kenarına uzaklığı ∣R−2∣|R - 2| cm olur.
Teğet noktasına olan dikme yarıçaptır ve paralel kenarlar arası mesafe sabittir.
3
Merkez (OO), ABAB'nin orta noktası (MM) ve AA köşesi arasında bir dik üçgen oluştur.
∣AM∣=4|AM| = 4 cm ve ∣OM∣=∣R−2∣|OM| = |R - 2| cm olan dik üçgende hipotenüs ∣OA∣=R|OA| = R olur.
Pisagor teoremi uygulanarak bilinmeyen yarıçap hesaplanabilir.
4
Pisagor bağıntısını yaz ve denklemi çöz.
R2=42+(R−2)2⇒R2=16+R2−4R+4⇒4R=20⇒R=5R^2 = 4^2 + (R - 2)^2 \Rightarrow R^2 = 16 + R^2 - 4R + 4 \Rightarrow 4R = 20 \Rightarrow R = 5 cm bulunur.
Dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

Key Concept

Çemberde kiriş özellikleri ve merkezin teğete olan uzaklığının yarıçapa eşitliği.

Hints

1
Çemberin merkezini dikdörtgenin içinde veya dışında bir nokta olarak düşünün ve A,BA, B noktalarına olan uzaklığının yarıçap olduğunu unutmayın.
2
ABAB kenarının orta noktasından geçen dikme çemberin merkezinden geçer. Bu dikme üzerindeki merkezin, teğet olduğu CDCD kenarına uzaklığı yarıçapa (RR) eşittir.
3
Merkezin ABAB kenarına uzaklığına hh derseniz, teğetlikten dolayı R=h+2R = h + 2 olur. AA köşesi ile bir dik üçgen kurarak R2=h2+42R^2 = h^2 + 4^2 bağıntısını kullanın.

Practice More

Eğer çember CDCD kenarına değil de, dikdörtgenin merkezine teğet olsaydı yarıçap nasıl değişirdi?

Alternative Method

Koordinat düzlemi kullanarak; A(−4,0)A(-4, 0) ve B(4,0)B(4, 0) noktalarını yerleştirin. CDCD doğrusu y=2y = 2 olur. Merkezi (0,y0)(0, y_0) olan çemberin y=2y=2 doğrusuna uzaklığı ∣y0−2∣=R|y_0 - 2| = R olur. AA noktasından geçen çember denklemi 42+y02=R24^2 + y_0^2 = R^2 sistemini çözerek aynı sonuca ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 39Question →

Şekilde O merkezli ve yarıçapı 6 cm olan bir çember verilmiştir. [PT ışını çembere T noktasında teğettir. P, K ve O noktaları doğrusaldır ve K noktası çember yayı üzerindedir.

∣PT∣=63|PT| = 6\sqrt{3} cm olduğuna göre; PT doğru parçası, PK doğru parçası ve KT yayı arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Show answer & explanation

Answer: 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi

Answer

Dik üçgenin alanından daire diliminin alanı çıkarılarak sonuç 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi bulunur.
Soruda verilen bölge, OTPOTP dik üçgeninin alanından 60∘60^\circ'lik OTKOTK daire diliminin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Yarıçap teğete dik olduğu için oluşan 30-60-90 üçgeninden merkez açı 60∘60^\circ bulunur. Üçgenin alanı 18318\sqrt{3}, daire diliminin alanı ise 6π6\pi olduğundan cevap 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi'dir.

Step-by-Step Solution

1
Teğet özelliğini kullanarak üçgeni tanımla.
Merkezden teğet noktasına çizilen yarıçap teğete diktir (OT⊥PTOT \perp PT). Oluşan △OTP\triangle OTP bir dik üçgendir.
Teğet-yarıçap dikliği geometrik kuraldır.
2
Merkez açıyı (α\alpha) belirle.
△OTP\triangle OTP dik üçgeninde, tan⁡(TOP^)=∣PT∣∣OT∣=636=3\tan(\widehat{TOP}) = \frac{|PT|}{|OT|} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}. Bu durumda TOP^=60∘\widehat{TOP} = 60^\circ olur.
Trigonometrik oranlardan veya 30-60-90 üçgeni özelliğinden açı bulunur.
3
△OTP\triangle OTP üçgeninin alanını hesapla.
Alan(△OTP\triangle OTP) = ∣OT∣⋅∣PT∣2=6⋅632=183\frac{|OT| \cdot |PT|}{2} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Dik üçgen alan formülü.
4
OTK daire diliminin alanını hesapla.
Alan(Dilim) = πr2⋅α360=π⋅62⋅60360=36π⋅16=6π\pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360} = \pi \cdot 6^2 \cdot \frac{60}{360} = 36\pi \cdot \frac{1}{6} = 6\pi cm2\text{cm}^2.
Daire dilimi alan formülü.
5
Taralı alanı bulmak için çıkarma işlemi yap.
Taralı Alan = Alan(△OTP\triangle OTP) - Alan(Dilim) = 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi.
İstenen bölge, büyük üçgenden daire diliminin çıkarılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Teğet-Yarıçap Dikliği ve Daire Dilimi Alanı

Hints

1
Çemberin merkezinden teğet noktasına (T) çizilen yarıçapın, teğet doğrusuna (PT) dik olduğunu hatırlayın.
2
Oluşan OTP dik üçgeninde kenar uzunluklarını kullanarak O açısının kaç derece olduğunu bulun (∣OT∣=6,∣PT∣=63|OT|=6, |PT|=6\sqrt{3}).
3
Taralı alanı bulmak için OTP üçgeninin alanından, O merkezli daire diliminin alanını çıkarmanız gerekir.
Estimated Time:2m 30s
Question 40Question →

Şekildeki OO merkezli dairenin yarıçapı ∣OA∣=4|OA| = 4 cm'dir. Buna göre, bu dairenin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir? (π=3\pi = 3 alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Dairenin alanı 48 cm2\text{cm}^2'dir.
Dairenin alanı πr2\pi r^2 formülü ile hesaplanır. Yarıçapı 44 cm olan bir dairede, π\pi sayısı 33 olarak alındığında alan 3×42=3×16=483 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48 cm2\text{cm}^2 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Dairenin yarıçapını (rr) belirleyin.
r=4r = 4 cm
Soruda ∣OA∣|OA| uzunluğu yarıçap olarak verilmiştir.
2
Dairenin alan formülünü uygulayın.
Alan=π×r2Alan = \pi \times r^2
Dairenin yüzey büyüklüğünü bulmak için alan formülü kullanılır.
3
Verilen değerleri formülde yerine yazın.
Alan=3×42Alan = 3 \times 4^2
π=3\pi = 3 ve r=4r = 4 olarak belirtilmiştir.
4
İşlemi sonuçlandırın.
3×16=483 \times 16 = 48 cm2\text{cm}^2
Önce üslü sayı (42=164^2=16), sonra çarpma işlemi yapılır.

Key Concept

Dairenin Alanı

Hints

1
Dairenin alanını bulmak için yarıçapın karesini kullanmalısınız.
2
Alan formülü π×r2\pi \times r^2 şeklindedir. Burada π=3\pi = 3 ve r=4r = 4 cm'dir.
3
Önce 44'ün karesini (4×44 \times 4) bulun, ardından çıkan sonucu 33 ile çarpın.

Practice More

Yarıçapı iki katına çıkarılan bir dairenin alanının kaç katına çıkacağını hesaplayarak benzerlik ilişkisini pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Eğer çap verilseydi (d=8d=8), alan formülü πd24\frac{\pi d^2}{4} şeklinde de kullanılabilirdi: 3×824=3×644=3×16=48\frac{3 \times 8^2}{4} = \frac{3 \times 64}{4} = 3 \times 16 = 48.
Estimated Time:45s
PreviousPage 2 / 3Next