Examkin

Doğruda ve Üçgende Açılar

31 questions

Question 21Question →

ABC bir ikizkenar üçgen olup ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| eşitliği verilmiştir. Bu üçgenin [BC][BC] kenarı üzerinde, ∣AD∣=∣BD∣|AD| = |BD| olacak şekilde bir DD noktası işaretleniyor.

m(DAC^)=36∘m(\widehat{DAC}) = 36^\circ olduğuna göre, m(ACB^)m(\widehat{ACB}) kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

48 derece
Soruda verilen iki farklı ikizkenar üçgen ilişkisi kullanılarak bilinmeyen açılar arasında denklem kurulur. ∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC| eşitliği B^\widehat{B} ve C^\widehat{C} açılarının eşitliğini (xx), ∣AD∣=∣BD∣|AD|=|BD| eşitliği ise BAD^\widehat{BAD} ve B^\widehat{B} açılarının eşitliğini (xx) verir. Dış açı kuralı ile ADC^=2x\widehat{ADC} = 2x bulunur. ADC üçgeninde iç açılar toplamı (36+x+2x=18036+x+2x=180) çözüldüğünde sonuç 48 derece bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İkizkenar üçgen özelliklerini kullanarak açıları isimlendir.
∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olduğundan m(ABC^)=m(ACB^)=αm(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = \alpha olsun.
İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.
2
İkinci ikizkenar üçgenin (∣AD∣=∣BD∣|AD| = |BD|) açılarını belirle.
∣AD∣=∣BD∣|AD| = |BD| olduğundan △ABD\triangle ABD ikizkenardır ve m(BAD^)=m(ABD^)=αm(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ABD}) = \alpha olur.
Bir üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir.
3
Dış açı özelliğini kullanarak m(ADC^)m(\widehat{ADC}) açısını ifade et.
△ABD\triangle ABD üçgeninde iki iç açının toplamı, komşu olmayan dış açıya eşittir: m(ADC^)=α+α=2αm(\widehat{ADC}) = \alpha + \alpha = 2\alpha.
Üçgende dış açı özelliği.
4
△ADC\triangle ADC üçgeninde iç açılar toplamı bağıntısını kur ve α\alpha değerini hesapla.
36∘+2α+α=180∘⇒3α=144∘⇒α=48∘36^\circ + 2\alpha + \alpha = 180^\circ \Rightarrow 3\alpha = 144^\circ \Rightarrow \alpha = 48^\circ.
Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ dir.

Key Concept

İkizkenar Üçgen ve Dış Açı Özellikleri

Hints

1
Soruda iki farklı ikizkenar üçgen vardır. Önce ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| eşitliğinden hangi açıların eşit olduğunu belirleyip onlara bir değişken (örneğin α\alpha) verin.
2
Ardından ∣AD∣=∣BD∣|AD| = |BD| eşitliğini kullanarak bu değişkeni üçgenin başka bir açısına taşıyın.
3
△ABD\triangle ABD üçgeninin dış açısı olan ADC^\widehat{ADC} açısını α\alpha cinsinden yazın ve △ADC\triangle ADC iç açılar toplamını 180∘180^\circ'ye eşitleyin.

Practice More

İkizkenar üçgenin tabanında alınan bir noktanın oluşturduğu benzer açı sorularını çözerek pratik yapın.

Alternative Method

Açıları harflendirmek yerine C^\widehat{C} açısını şıklardan deneyerek de gidilebilir. Örneğin C^=48\widehat{C}=48 ise, B^=48\widehat{B}=48 olur. İkizkenarlıktan BAD^=48\widehat{BAD}=48 olur. ADC^\widehat{ADC} dış açısı 48+48=9648+48=96 olur. △ADC\triangle ADC iç açıları 36+48+96=18036+48+96 = 180 sağlar.
Estimated Time:2m 30s
Question 22Question →

Şekilde [BA∥[EF[BA \parallel [EF olmak üzere, B,C,D,EB, C, D, E noktaları düzlemsel bir 'kalem ucu' (zikzak yapmayan) şekil oluşturmaktadır.

m(ABC^)=130∘m(\widehat{ABC}) = 130^\circ
m(BCD^)=3xm(\widehat{BCD}) = 3x
m(CDE^)=2xm(\widehat{CDE}) = 2x
m(DEF^)=150∘m(\widehat{DEF}) = 150^\circ

Verilen açılar şeklin iç bölgesinde ve aynı yöne baktığına göre, xx kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 52

Answer

Doğru cevap 52 derecedir.
Paralel iki doğru arasında zikzak yapmadan sıralanan n adet açının toplamı (n−1)×180∘(n-1) \times 180^\circ formülü ile hesaplanır. Soruda verilen şekilde 4 açı (130∘,3x,2x,150∘130^\circ, 3x, 2x, 150^\circ) bulunmaktadır. Buna göre toplam 3×180=540∘3 \times 180 = 540^\circ olmalıdır. Denklem 130+3x+2x+150=540130 + 3x + 2x + 150 = 540 şeklinde kurulduğunda 5x=2605x = 260 ve buradan x=52x = 52 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Problemin geometrik yapısını analiz et
Şekil, [BA ve [EF paralel ışınları arasında kalan ve hepsi aynı yöne (içe) bakan 4 açıdan oluşmaktadır (B, C, D, E köşeleri).
Bu yapı literatürde bazen 'kalem ucu' veya 'testere dişi' olarak adlandırılır ancak zikzak kuralından farklıdır çünkü açılar yön değiştirmez.
2
Uygun formülü veya yardımcı doğru yöntemini seç
Bu tür yapılarda, paralel iki doğru arasında kalan n adet açının toplamı (n-1) × 180° formülü ile bulunur. Burada n=4 köşe açısı vardır.
Alternatif olarak C ve D noktalarından [BA'ya paralel doğrular çizilerek ardışık 'U' kuralları (karşı durumlu açılar toplamı 180°) uygulanabilir.
3
Denklemi kur
Toplam Açı = (4 - 1) × 180° = 3 × 180° = 540°.
Verilen açıların toplamı: 130° + 3x + 2x + 150° = 540°
Geometrik kuralın cebirsel ifadeye dökülmesi.
4
Denklemi çöz
280° + 5x = 540°
5x = 540° - 280°
5x = 260°
x = 52°
Birinci dereceden denklem çözümü.

Key Concept

Paralel doğrular arasında kalan aynı yönlü ardışık açıların toplamı (n-1)×180° dir.

Hints

1
Şekildeki açıların hepsi aynı yöne (içeriye) bakmaktadır, bir zikzak durumu yoktur.
2
C ve D noktalarından [BA ışınına paralel yardımcı doğrular çizmeyi deneyin. Bu sayede şekli üç tane 'U' kuralına (karşı durumlu açılar) bölebilirsiniz.
3
Paralel iki doğru arasındaki n adet ardışık açının toplamı (n-1) × 180 derecedir. Burada n=4'tür.

Practice More

Benzer kuralın dış açılar veya çokgen formülleriyle ilişkisini inceleyen sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 23Question →

Geometri dersinde öğretmen, tahtaya bir ABCABC ikizkenar üçgeni çizmiş ve ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olduğunu belirtmiştir. Daha sonra [AC][AC] kenarı üzerinde bir DD noktası işaretleyerek öğrencilere şu eşitlikleri vermiştir:

∣AD∣=∣BD∣=∣BC∣|AD| = |BD| = |BC|

Buna göre, üçgenin tepe açısı olan m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Üçgenin tepe açısı 36 derecedir.
Verilen eşitlikler kullanılarak açıların birbirine bağımlılığı zincirleme olarak çözülür. ∣AD∣=∣BD∣|AD|=|BD| eşitliğinden △ABD\triangle ABD'nin taban açıları xx olur. Dış açı kuralıyla BDC^=2x\widehat{BDC}=2x bulunur. ∣BD∣=∣BC∣|BD|=|BC| eşitliğinden △BCD\triangle BCD'nin taban açıları 2x2x olur. Son olarak büyük üçgenin ikizkenarlığından (∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC|) tüm taban açısının 2x2x olduğu görülür. İç açılar toplamı x+2x+2x=180x+2x+2x=180 denklemi x=36x=36 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
m(BAC^)=xm(\widehat{BAC}) = x olarak isimlendirin.
m(A^)=xm(\widehat{A}) = x
Bilinmeyen tepe açısına değişken atayarak diğer açıları bu değişken cinsinden ifade etmek için.
2
∣AD∣=∣BD∣|AD| = |BD| ikizkenar özelliğini kullanarak △ABD\triangle ABD taban açılarını belirleyin.
m(ABD^)=xm(\widehat{ABD}) = x
İkizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açıları eşittir.
3
△ABD\triangle ABD için 'iki iç açının toplamı, kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşittir' kuralını uygulayın.
m(BDC^)=x+x=2xm(\widehat{BDC}) = x + x = 2x
Üçgende dış açı özelliği.
4
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| ikizkenar özelliğini kullanarak △BCD\triangle BCD taban açılarını eşitleyin.
m(BCD^)=2xm(\widehat{BCD}) = 2x
İkizkenar üçgen özelliği.
5
∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| bilgisini kullanarak büyük üçgenin (△ABC\triangle ABC) taban açılarını eşitleyin.
m(ABC^)=m(ACB^)=2xm(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 2x
Büyük üçgenin de ikizkenar olması.
6
△ABC\triangle ABC iç açılar toplamını 180 dereceye eşitleyip denklemi çözün.
x+2x+2x=180⇒5x=180⇒x=36∘x + 2x + 2x = 180 \Rightarrow 5x = 180 \Rightarrow x = 36^\circ
Üçgenin iç açılar toplamı kuralı.

Key Concept

İkizkenar üçgen zinciri ve dış açı özelliği (Altın Üçgen yapısı)

Hints

1
Tepe açısına (m(A^)m(\widehat{A})) bir değişken (örneğin α\alpha) vererek başlayın ve ikizkenar üçgen özelliklerini kullanarak diğer açıları bu değişken cinsinden yazın.
2
∣AD∣=∣BD∣|AD|=|BD| olduğu için ABD^\widehat{ABD} açısı da α\alpha olur. İki iç açının toplamının bir dış açıya eşit olduğunu hatırlayarak BDC^\widehat{BDC} açısını bulun.

Practice More

Benzer mantıkla, m(A^)=36m(\widehat{A})=36 ve ∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC| olduğunda ∣AD∣=∣BC∣|AD|=|BC| olacak şekilde DD noktasının konumunu soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Bu üçgen 'Altın Üçgen' olarak bilinir. Kenarlar arasındaki oran Altın Oran (ϕ\phi) ile ilişkilidir, ancak KPSS kapsamında açı takibi (algebraic angle chasing) yöntemi esastır.
Estimated Time:3m 0s
Question 24Question →

d1//d2d_1 // d_2 olmak üzere, paralel iki doğru arasında alınan bir KK noktası için A∈d1A \in d_1 ve B∈d2B \in d_2 noktaları şekildeki gibi birleştirilmiştir.

KAd1^\widehat{KAd_1} açısının açıortayı ile KBd2^\widehat{KBd_2} açısının açıortayı bir LL noktasında kesişmektedir.

m(AKB^)=5x−30∘m(\widehat{AKB}) = 5x - 30^\circ
m(ALB^)=2xm(\widehat{ALB}) = 2x

Verilenlere göre, m(AKB^)m(\widehat{AKB}) kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

120 derecedir.
Paralel iki doğru arasında zikzak yapan açılarda (M kuralı), aynı yöne bakan ardışık köşelerdeki açıortayların oluşturduğu açı, ana açının yarısıdır. Yani m(ALB^)=m(AKB^)2m(\widehat{ALB}) = \frac{m(\widehat{AKB})}{2} bağıntısı vardır. Verilenler yerine koyulduğunda 2x=5x−3022x = \frac{5x-30}{2} denklemi elde edilir. Buradan 4x=5x−304x = 5x - 30 ve x=30x=30 bulunur. İstenen açı m(AKB^)=5(30)−30=120m(\widehat{AKB}) = 5(30)-30 = 120 derecedir.

Step-by-Step Solution

1
Paralel doğrular arasındaki açı özelliklerini (M kuralı) hatırla.
Sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıya eşittir.
M kuralı gereği paralel doğrular arasındaki zikzaklı açılarda yöndaşlık ilişkisi vardır.
2
Açıortayların oluşturduğu açı (LL) ile ana açı (KK) arasındaki ilişkiyi kur.
m(ALB^)=m(AKB^)2m(\widehat{ALB}) = \frac{m(\widehat{AKB})}{2}
Paralel doğrular arasında aynı yöne bakan açılarda, kolların açıortaylarının oluşturduğu açı, ana açının yarısıdır.
3
Verilen cebirsel ifadeleri formüle yerleştirerek denklemi çöz.
2x=5x−302  ⟹  4x=5x−30  ⟹  x=302x = \frac{5x - 30}{2} \implies 4x = 5x - 30 \implies x = 30
Bulunan ilişkiye göre LL açısının iki katı KK açısına eşitlenir.
4
Bulunan xx değerini m(AKB^)m(\widehat{AKB}) ifadesinde yerine koy.
5(30)−30=150−30=120∘5(30) - 30 = 150 - 30 = 120^\circ
Soruda xx değeri değil, KK açısının ölçüsü istenmektedir.

Key Concept

Paralel doğrular arasında, kolları açıortay olan açının ölçüsü, ana açının ölçüsünün yarısıdır.

Hints

1
Paralel iki doğru arasındaki zikzaklı açılarda (M kuralı), sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıya eşittir.
2
AA ve BB köşelerindeki açıların tamamına 2a2a ve 2b2b diyerek KK açısını aa ve bb cinsinden yazmayı dene.
3
Açıortayların oluşturduğu LL açısı, ana KK açısının tam olarak yarısıdır: m(L^)=m(K^)/2m(\widehat{L}) = m(\widehat{K}) / 2.

Practice More

Benzer bir soruyu, açıortay yerine açıyı 1:2 oranında bölen ışınlar için çözün.

Alternative Method

AA ve BB köşelerinden sağa doğru paralel yardımcı doğrular çizerek, her bir kırılma noktasındaki açıları parça parça taşıyarak (Z kuralı) ispat yapılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 25Question →

Şekilde d1∥d2d_1 \parallel d_2 olduğuna göre, α\alpha kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 80∘80^\circ

Answer

25∘25^\circ ve 55∘55^\circ açıların toplamı olan 80∘80^\circ doğru cevaptır.
Paralel doğrular arasında kalan ve aynı yöne (bu soruda sola) bakan 25∘25^\circ ve 55∘55^\circ açıların toplamı, zıt yöne (sağa) bakan α\alpha açısına eşittir. Bu nedenle α=25+55=80∘\alpha = 25 + 55 = 80^\circ olur.

Step-by-Step Solution

1
Paralel doğrular arasındaki M kuralını (zikzak kuralı) tanımlayın.
Sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıya eşit olmalıdır.
Geometride paralel iki doğru arasında oluşan zikzaklarda zıt yöne bakan açıların toplamı birbirine eşittir.
2
Verilen açı değerlerini toplayın.
25∘+55∘=80∘25^\circ + 55^\circ = 80^\circ
Şekilde sola bakan açılar 25∘25^\circ ve 55∘55^\circ, sağa bakan açı ise α\alpha olarak verilmiştir.

Key Concept

Paralel doğrular arasındaki M kuralı

Hints

1
Paralel doğrular arasındaki zikzak yapısına (M kuralı) odaklanın.
2
Sola bakan açıların toplamı, sağa bakan açıya eşittir.
3
25∘25^\circ ve 55∘55^\circ sola bakmaktadır. Bunları topladığınızda α\alpha değerini bulacaksınız.

Practice More

Üçten fazla açının olduğu zikzak (kalem ucu) sorularını inceleyerek kuralı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

B köşesinden d1 ve d2 doğrularına paralel üçüncü bir doğru çizerek Z kuralını iki kez uygulayabilirsiniz. Bu durumda α açısı 25 ve 55 derecelik iki parçaya bölünür.
Estimated Time:45s
Question 26Question →

ABCABC bir üçgen, ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ve D∈[BC]D \in [BC] noktası işaretlenmiştir. ∣AD∣=∣BD∣|AD| = |BD| ve m(DAC^)=36∘m(\widehat{DAC}) = 36^\circ olduğuna göre, m(ABC^)m(\widehat{ABC}) kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

ABC üçgeninde istenen ABC açısının ölçüsü 48 derecedir.
ABC üçgeninde AB=AC olduğu için B ve C açıları eşittir (ikisine de x diyelim). ABD üçgeninde AD=BD olduğu için B ve BAD açıları eşittir (ikisi de x olur). Bu durumda üçgenin tepe açısı x+36 olur. İç açılar toplamı x + x + (x+36) = 180 denkleminden 3x = 144 ve x = 48 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
m(ABC^)=αm(\widehat{ABC}) = \alpha diyelim.
m(ABC^)=αm(\widehat{ABC}) = \alpha
Bilinmeyen açıyı değişkenle ifade etmek işlemi kolaylaştırır.
2
∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| bilgisini kullanarak m(ACB^)m(\widehat{ACB}) açısını belirle.
m(ACB^)=αm(\widehat{ACB}) = \alpha
İkizkenar üçgende eşit kenarların karşılarındaki taban açıları birbirine eşittir.
3
∣AD∣=∣BD∣|AD| = |BD| bilgisini kullanarak m(BAD^)m(\widehat{BAD}) açısını belirle.
m(BAD^)=m(ABD^)=αm(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ABD}) = \alpha
ABDABD üçgeni ikizkenar olduğundan taban açıları eşit olmalıdır.
4
ABCABC üçgeninin tepe açısını (m(BAC^)m(\widehat{BAC})) ifade et.
m(BAC^)=m(BAD^)+m(DAC^)=α+36∘m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{DAC}) = \alpha + 36^\circ
Açıların birleşimi kuralı uygulanır.
5
ABCABC üçgeninin iç açılar toplamını 180∘180^\circ ye eşitle.
α+α+(α+36∘)=180∘⇒3α+36∘=180∘\alpha + \alpha + (\alpha + 36^\circ) = 180^\circ \Rightarrow 3\alpha + 36^\circ = 180^\circ
Herhangi bir üçgende iç açıların toplamı daima 180 derecedir.
6
Denklemi çözerek α\alpha değerini bul.
3α=144∘⇒α=48∘3\alpha = 144^\circ \Rightarrow \alpha = 48^\circ
Temel cebirsel işlemler uygulanır.

Key Concept

İkizkenar üçgenin taban açılarının eşitliği ve üçgenin iç açılar toplamı kuralı.

Hints

1
Üçgendeki ikizkenar kenarları belirleyip bunlara karşılık gelen eşit açıları aynı harfle (örneğin x) adlandırın.
2
AB=AC ise B açısı ile C açısı eşittir. AD=BD ise B açısı ile BAD açısı eşittir.
3
Büyük ABC üçgeninin tüm iç açılarını tek bir değişken (x) cinsinden yazıp 180'e eşitleyin: x + x + (x + 36) = 180.

Practice More

İkizkenar üçgenlerin iç içe geçtiği sorularda, dış açının kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olması kuralını kullanmak da çözümü hızlandırabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 27Question →

ABCABC bir üçgen, D∈[BC]D \in [BC], E∈[AC]E \in [AC] ve F∈[AB]F \in [AB] noktaları işaretlenmiştir. ∣BD∣=∣BF∣|BD| = |BF|, ∣CD∣=∣CE∣|CD| = |CE| ve m(BAC^)=80∘m(\widehat{BAC}) = 80^\circ olduğuna göre, m(FDE^)=αm(\widehat{FDE}) = \alpha kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 5050

Answer

İç açı toplamları ve ikizkenar üçgen özellikleri kullanıldığında α\alpha açısı 50∘50^\circ olarak bulunur.
ABCABC üçgeninde tepe açısı 80∘80^\circ ise taban açılarının toplamı 100∘100^\circ olur. DD noktasındaki doğru açı bütünlüğü kullanıldığında, α\alpha açısı bu iki taban açısı toplamının yarısına eşit çıkmaktadır (100/2=50100/2=50).

Step-by-Step Solution

1
ABCABC üçgeninin iç açılarını belirleme.
m(B^)+m(C^)=180∘−80∘=100∘m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ
Üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180∘180^\circ derecedir.
2
İkizkenar üçgenlerin taban açılarını ifade etme.
m(BDF^)=180∘−m(B^)2m(\widehat{BDF}) = \frac{180^\circ - m(\widehat{B})}{2} ve m(CDE^)=180∘−m(C^)2m(\widehat{CDE}) = \frac{180^\circ - m(\widehat{C})}{2}
∣BD∣=∣BF∣|BD| = |BF| ve ∣CD∣=∣CE∣|CD| = |CE| olduğu için bu üçgenler ikizkenardır ve taban açıları eşittir.
3
Doğru açı özelliğini kullanarak α\alpha açısını hesaplama.
α=180∘−(m(BDF^)+m(CDE^))=180∘−[180∘−m(B^)+m(C^)2]=m(B^)+m(C^)2=100∘2=50∘\alpha = 180^\circ - (m(\widehat{BDF}) + m(\widehat{CDE})) = 180^\circ - [180^\circ - \frac{m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})}{2}] = \frac{m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ
BCBC doğrusu üzerindeki DD noktasında oluşan açıların toplamı 180∘180^\circ derecedir.

Key Concept

Üçgende iç açılar toplamı ve ikizkenar üçgenin taban açılarının eşitliği.

Hints

1
BB ve CC açılarının toplamını bularak işe başlayın.
2
BD=BFBD=BF ve CD=CECD=CE eşitliklerini kullanarak DD noktası etrafındaki komşu açıları bulun.
3
DD noktasındaki üç açının toplamının 180∘180^\circ olduğunu kullanarak α\alpha'yı çekin.

Practice More

Tepe açısı 80∘80^\circ yerine farklı bir değer verildiğinde sonucun nasıl değiştiğini gözlemlemek için benzer bir soru çözülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 28Question →

Şekildeki ABCABC üçgeninde D∈[AB]D \in [AB] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları alınmıştır. [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] ve [BE][BE] doğru parçası ABC^\widehat{ABC} açısının açıortayıdır. m(BAC^)=64∘m(\widehat{BAC}) = 64^\circ ve m(DEB^)=28∘m(\widehat{DEB}) = 28^\circ olduğuna göre, m(ACB^)m(\widehat{ACB}) kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

60∘60^\circ
Soruda verilen [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] paralelliği sayesinde 'Z kuralı' (iç ters açılar) uygulanır ve m(EBC^)=28∘m(\widehat{EBC}) = 28^\circ bulunur. [BE][BE]'nin açıortay olması nedeniyle m(ABC^)m(\widehat{ABC}) açısının tamamı 2×28∘=56∘2 \times 28^\circ = 56^\circ olur. ABCABC üçgeninin iç açıları toplamı (180∘180^\circ) kullanılarak 64∘+56∘+m(ACB^)=180∘64^\circ + 56^\circ + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ denkleminden cevap 60∘60^\circ bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Paralellikten yararlanarak iç ters açıları belirle.
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için Z kuralı gereği m(EBC^)=m(DEB^)=28∘m(\widehat{EBC}) = m(\widehat{DEB}) = 28^\circ.
Paralel doğrular arasındaki iç ters açılar birbirine eşittir.
2
Açıortay özelliğini kullanarak B açısının tamamını bul.
[BE][BE] açıortay olduğundan m(ABE^)=m(EBC^)=28∘m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{EBC}) = 28^\circ. Dolayısıyla m(ABC^)=28∘+28∘=56∘m(\widehat{ABC}) = 28^\circ + 28^\circ = 56^\circ.
Açıortay bir açıyı iki eş parçaya böler.
3
Üçgenin iç açıları toplamını kullanarak C açısını hesapla.
m(ABC^)+m(BAC^)+m(ACB^)=180∘⇒56∘+64∘+m(ACB^)=180∘m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ \Rightarrow 56^\circ + 64^\circ + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ. Buradan 120∘+m(ACB^)=180∘⇒m(ACB^)=60∘120^\circ + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ \Rightarrow m(\widehat{ACB}) = 60^\circ.
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ'dir.

Key Concept

Paralel doğrularda açılar (Z kuralı) ve üçgenin iç açıları toplamı.
Question 29Question →

Şekilde birbirine paralel d1d_1 ve d2d_2 doğruları verilmiştir. ABCABC üçgeninin AA köşesi d1d_1 doğrusu üzerinde, [BC][BC] kenarı ise d2d_2 doğrusu üzerindedir. d1d_1 doğrusu ile [AB][AB] kenarı arasında oluşan dar açının ölçüsü 35∘35^\circ ve m(ACB^)=65∘m(\widehat{ACB}) = 65^\circ olduğuna göre, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

İstenen açının ölçüsü 80 derecedir.
Paralel doğrular arasındaki iç ters açılar (Z kuralı) gereği, üçgenin B köşesindeki iç açı 35 derecedir. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğu için, 35 ve 65 derecelik açıların toplamı olan 100 dereceyi 180'den çıkardığımızda 80 dereceye ulaşırız.

Step-by-Step Solution

1
Paralellik özelliğini kullanarak üçgenin bir iç açısını belirlemek.
m(ABC^)=35∘m(\widehat{ABC}) = 35^\circ
d1∥d2d_1 \parallel d_2 olduğu için iç ters açılar (Z kuralı) gereği, d1d_1 doğrusu ile [AB][AB] kenarı arasındaki açı, üçgenin BB köşesindeki iç açısına eşittir.
2
Üçgenin iç açılarının toplamını hesaplamak.
m(ABC^)+m(ACB^)+m(BAC^)=180∘m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ACB}) + m(\widehat{BAC}) = 180^\circ
Herhangi bir üçgende iç açıların ölçüleri toplamı her zaman 180∘180^\circ derecedir.
3
Bilinen değerleri yerine koyarak bilinmeyen açıyı bulmak.
35∘+65∘+m(BAC^)=180∘⇒100∘+m(BAC^)=180∘⇒m(BAC^)=80∘35^\circ + 65^\circ + m(\widehat{BAC}) = 180^\circ \Rightarrow 100^\circ + m(\widehat{BAC}) = 180^\circ \Rightarrow m(\widehat{BAC}) = 80^\circ
Toplama ve çıkarma işlemleriyle denklem çözülerek hedef açıya ulaşılır.

Key Concept

Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılar (Z kuralı) ve üçgenin iç açılar toplamı.

Hints

1
Paralel d1d_1 ve d2d_2 doğruları arasındaki 'Z kuralını' (iç ters açılar) kullanarak BB köşesindeki açıyı bulmaya çalışın.
2
d1d_1 doğrusu ile ABAB kenarı arasındaki 35 derecelik açı, üçgenin içindeki BB açısına (ABCABC) eşittir. Şimdi üçgenin iki açısını biliyorsunuz.
3
Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180 derecedir. 35 ve 65 derecelik açıları toplayıp 180'den çıkararak sonuca ulaşın.

Practice More

İki iç açının toplamının kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşit olduğu kuralını içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

A noktasından geçen ve d2d_2 doğrusuna paralel üçüncü bir doğru çizerek yöndeş ve iç ters açıları kullanarak da aynı sonucu bulabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 30Question →

Bir ABCABC üçgeninde D∈[BC]D \in [BC] noktası işaretlenmiştir. ∣AB∣=∣AD∣=∣DC∣|AB| = |AD| = |DC| ve m(BAD^)=40∘m(\widehat{BAD}) = 40^\circ olduğuna göre, m(ACB^)=αm(\widehat{ACB}) = \alpha kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

İkizkenar üçgenlerin taban açılarının eşitliği ve dış açı özelliğinden hareketle α=35∘\alpha = 35^\circ olarak bulunur.
Verilen ∣AD∣=∣DC∣|AD| = |DC| eşitliğinden ADCADC üçgeninin taban açılarının α\alpha olduğu görülür. Bu üçgenin DD köşesindeki dış açısı 2α2\alpha olur. ∣AB∣=∣AD∣|AB| = |AD| olduğu için ABDABD üçgeni de ikizkenardır ve taban açıları 2α2\alpha'dır. ABDABD üçgeninin iç açılar toplamından 4α+40=1804\alpha + 40 = 180 denklemi kurulur ve α=35\alpha = 35 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
ADCADC üçgenindeki ikizkenarlığı kullanmak
m(DAC^)=m(DCA^)=αm(\widehat{DAC}) = m(\widehat{DCA}) = \alpha
∣AD∣=∣DC∣|AD| = |DC| olduğu için ADCADC bir ikizkenar üçgendir ve taban açıları birbirine eşittir.
2
Dış açı özelliğini uygulamak
m(ADB^)=α+α=2αm(\widehat{ADB}) = \alpha + \alpha = 2\alpha
Bir üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir (ADCADC üçgeninde DD köşesindeki dış açı).
3
ABDABD üçgenindeki ikizkenarlığı kullanmak
m(ABD^)=m(ADB^)=2αm(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ADB}) = 2\alpha
∣AB∣=∣AD∣|AB| = |AD| olduğu için ABDABD bir ikizkenar üçgendir ve taban açıları eşittir.
4
ABDABD üçgeninin iç açılar toplamını yazmak ve çözmek
2α+2α+40∘=180∘⇒4α=140∘⇒α=35∘2\alpha + 2\alpha + 40^\circ = 180^\circ \Rightarrow 4\alpha = 140^\circ \Rightarrow \alpha = 35^\circ
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180∘180^\circ'dir.

Key Concept

İkizkenar üçgende taban açılarının eşitliği ve bir dış açının iki iç açının toplamına eşit olması kuralı.

Hints

1
Şekilde iki farklı ikizkenar üçgen olduğunu fark edin ve eşit kenarların karşısındaki açılara aynı ismi verin.
2
ADCADC üçgeninin iç açılarını α\alpha türünden yazdıktan sonra, DD köşesindeki dış açıyı bulun.
3
ABDABD üçgeninin taban açılarının 2α2\alpha olduğunu göreceksiniz. Bu üçgenin iç açıları toplamını 180∘180^\circ yaparak denklemi çözebilirsiniz.

Practice More

İkizkenar üçgenlerin 'zincirleme' olarak verildiği bu tip sorularda, her zaman en küçük açıdan başlayarak dış açı kuralı ile ilerlemek çözümü kolaylaştırır.
Estimated Time:1m 30s
Question 31Question →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| eşitliği bulunmaktadır. ACAC kenarı üzerinde alınan bir DD noktası için ∣BC∣=∣BD∣=∣DA∣|BC| = |BD| = |DA| eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

İstenen açının ölçüsü 36 derecedir.
Verilen eşitlikler zincirleme bir açı ilişkisi kurmamızı sağlar. Tepe açısına xx dediğimizde, ikizkenar özelliklerinden ve dış açı kuralından dolayı taban açıları 2x2x bulunur. Büyük üçgenin iç açıları toplamı x+2x+2x=5x=180∘x + 2x + 2x = 5x = 180^{\circ} denkleminden x=36∘x=36^{\circ} elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Bilinmeyen açıyı isimlendir.
m(BAC^)=xm(\widehat{BAC}) = x olsun.
Soruda istenen tepe açısına değişken atayarak diğer açıları bu değişken cinsinden ifade etmek gerekir.
2
∣DA∣=∣BD∣|DA| = |BD| eşitliğini kullanarak △ABD\triangle ABD içindeki açıları belirle.
△ABD\triangle ABD ikizkenar olduğundan m(ABD^)=m(BAC^)=xm(\widehat{ABD}) = m(\widehat{BAC}) = x olur.
İkizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açıları eşittir.
3
Dış açı özelliğini kullanarak m(BDC^)m(\widehat{BDC}) açısını bul.
△ABD\triangle ABD için dış açı: m(BDC^)=x+x=2xm(\widehat{BDC}) = x + x = 2x olur.
Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
4
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| eşitliğini kullanarak △BDC\triangle BDC açılarından △ABC\triangle ABC taban açısına geç.
△BDC\triangle BDC ikizkenar olduğundan m(BCD^)=m(BDC^)=2xm(\widehat{BCD}) = m(\widehat{BDC}) = 2x olur. Bu aynı zamanda △ABC\triangle ABC'nin taban açısıdır (m(ACB^)=2xm(\widehat{ACB}) = 2x).
Eşit kenarları gören taban açıları eşittir.
5
∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| eşitliğini kullanarak büyük üçgenin iç açılar toplamını yaz ve denklemi çöz.
△ABC\triangle ABC ikizkenar olduğundan m(ABC^)=m(ACB^)=2xm(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 2x olur. İç açılar toplamı: x+2x+2x=180∘⇒5x=180∘⇒x=36∘x + 2x + 2x = 180^{\circ} \Rightarrow 5x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 36^{\circ}.
Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

Key Concept

İkizkenar üçgenin taban açılarının eşitliği ve 'bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamıdır' kuralı.

Hints

1
Soruda verilen eşit kenarları kullanarak ikizkenar üçgenleri belirleyin. En küçük açıya xx diyerek başlayın.
2
m(BAC^)=xm(\widehat{BAC}) = x olsun. △ABD\triangle ABD ikizkenar olduğundan m(ABD^)m(\widehat{ABD}) de xx olur. DD noktasındaki dış açıyı (m(BDC^)m(\widehat{BDC})) bu iki açıyı toplayarak bulun.
3
m(BDC^)=2xm(\widehat{BDC}) = 2x bulunduktan sonra, ∣BD∣=∣BC∣|BD|=|BC| eşitliğinden m(ACB^)=2xm(\widehat{ACB}) = 2x olur. ∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC| olduğundan m(ABC^)m(\widehat{ABC}) de 2x2x olmalıdır. Şimdi △ABC\triangle ABC iç açılarını toplayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla kurulan, ancak dış açıortayların kesişimi ile ilgili sorular çözülebilir.

Alternative Method

Altın üçgen (Golden Triangle) özellikleri biliniyorsa, 36∘−72∘−72∘36^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ} üçgeninin kenar özelliklerinden doğrudan 36∘36^{\circ} olduğu hatırlanabilir.
Estimated Time:2m 30s
PreviousPage 2 / 2
Doğruda ve Üçgende Açılar Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 2 | Examkin