Layer 1

Bir $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi $G$ noktasıdır. $[AG]$ doğru parçası $[BC]$ kenarına diktir.

|AB| + |AC| = 34 \text{ cm}

|BC| = 16 \text{ cm}

Yukarıdaki verilere göre, $|AG|$ uzunluğu kaç santimetredir?

5

8

10

12

15

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10 cm

Verilen

[AG] \perp [BC]

bilgisi,

A

köşesinden inen kenarortayın aynı zamanda yükseklik olduğunu gösterir. Bu durum, üçgenin ikizkenar (

|AB|=|AC|

) olması demektir.

|AB|+|AC|=34

ise

|AB|=17

cm olur. Taban

16

cm olduğundan, kenarortay tabanı

8

cm ve

8

cm olarak böler.

8-15-17

özel dik üçgeninden kenarortayın tamamı

15

cm bulunur. Ağırlık merkezi kenarortayı

2:1

oranında böldüğünden,

|AG| = \frac{2}{3} \times 15 = 10

cm'dir.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezi ve diklik ilişkisini analiz et.

ABC

üçgeninde

A

köşesinden geçen ve ağırlık merkezinden (

G

) geçen doğru, kenarortaydır. Bu kenarortay aynı zamanda tabana dik (

[AG] \perp [BC]

) olduğundan, bu doğru yüksekliktir. Hem kenarortay hem yükseklik olan doğru parçası, üçgenin ikizkenar olduğunu gösterir (

|AB| = |AC|

).

Üçgende yardımcı elemanların (yükseklik ve kenarortay) çakışması ikizkenar üçgen özelliğidir.

2

Kenar uzunluklarını belirle.

|AB| + |AC| = 34

ve

|AB| = |AC|

olduğundan,

2|AB| = 34 \implies |AB| = 17

cm olur. Kenarortay tabanı iki eş parçaya böler:

|BH| = |HC| = 16 / 2 = 8

cm.

İkizkenar üçgen özellikleri ve kenarortay tanımı.

3

Kenarortay uzunluğunu Pisagor bağıntısı ile hesapla.

Oluşan dik üçgende (

ABH

), hipotenüs 17, dik kenar 8'dir. Pisagor bağıntısından (

8-15-17

özel üçgeni): Yükseklik (aynı zamanda kenarortay) uzunluğu

|AH| = 15

cm bulunur.

Dik üçgende kenar uzunluklarını bulmak için Pisagor teoremi.

4

Ağırlık merkezi özelliğini kullanarak

|AG|

uzunluğunu bul.

Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden 2 birim, kenardan 1 birim oranında böler (

k

'ya

2k

). Toplam uzunluk

3k = 15

cm ise

k=5

cm olur.

|AG| = 2k = 2 \times 5 = 10

cm.

Ağırlık merkezinin kenarortayı bölme oranı (2:1).

Key Concept

Bir üçgende kenarortay aynı zamanda yükseklik ise üçgen ikizkenardır. Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler.

Hints

1

Ağırlık merkezi (

G

), kenarortayların kesişim noktasıdır.

[AG]

doğrusunu

[BC]

kenarına kadar uzattığınızda oluşan doğru parçası bir kenarortaydır.

2

Bir üçgende çizilen kenarortay aynı zamanda tabana dik iniyorsa (yükseklikse), bu üçgenin kenar özellikleri hakkında ne söylenebilir? (İkizkenar üçgeni hatırlayın).

3

Üçgen ikizkenardır ve tabanı ikiye böler (

8-8

). Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı (

8-15-17

) ile kenarortayın tamamını bulun. Son olarak ağırlık merkezi kuralını (

k

'ya

2k

) uygulayın.

Practice More

Benzer mantıkla, açıortayın aynı zamanda yükseklik olduğu durumları inceleyen sorular çözülebilir.

Alternative Method

Muhteşem üçlü veya alan formülleri bu soruda doğrudan kullanışlı değildir; en pratik yol 8-15-17 özel üçgenini görmektir.

Estimated Time:2m 30s

Question 22Question →

Bir $ABC$ üçgeninde; $A$ açısının iç açıortay doğrusu $[BC]$ kenarını $D$ noktasında, dış açıortay doğrusu ise $BC$ kenarını taşıyan doğruyu $E$ noktasında kesmektedir. $|AB| = 8$ cm, $|AC| = 6$ cm ve $|BC| = 7$ cm olduğuna göre, $|DE|$ uzunluğu kaç cm'dir?

14

21

24

25

28

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Doğru cevap 24 cm'dir.

Soruda hem iç hem de dış açıortay teoremlerinin uygulanması gerekmektedir. Öncelikle iç açıortay teoremine göre

AB

ve

AC

kenarlarının oranı (

8/6=4/3

),

BD

ve

DC

parçalarının oranına eşittir.

|BC|=7

cm olduğu için bu oranla

|DC|=3

cm bulunur. Daha sonra dış açıortay teoremine göre, dış açıortayın kestiği

E

noktası için

|BE|/|CE|

oranı da kenarların oranına (

8/6

) eşittir. Buradan kurulan denklemle

|CE|=21

cm bulunur. İstenen

|DE|

uzunluğu ise

|DC| + |CE|

toplamından

3 + 21 = 24

cm olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İç açıortay teoremini uygula

|BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 8/6 = 4/3

. Toplam

|BC|=7

olduğundan,

|BD|=4

cm ve

|DC|=3

cm bulunur.

Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı diğer kenarların oranına göre böler.

2

Dış açıortay teoremini uygula

|BE|/|CE| = |AB|/|AC| = 8/6 = 4/3

.

|CE|=x

denirse,

|BE|=7+x

olur.

(7+x)/x = 4/3 \Rightarrow 21+3x=4x \Rightarrow x=21

. Yani

|CE|=21

cm bulunur.

Dış açıortay teoremi, dış açıortayın kestiği nokta ile köşe noktaları arasındaki uzaklıkların oranını verir.

3

|DE|

uzunluğunu hesapla

|DE| = |DC| + |CE| = 3 + 21 = 24

cm.

D, C, E

noktaları doğrusaldır ve

D

ile

E

arasındaki mesafe bu iki parçanın toplamıdır.

Key Concept

İç ve Dış Açıortay Teoremleri

Hints

1

Önce iç açıortay teoremini kullanarak

D

noktasının

BC

kenarını hangi oranda böldüğünü bulunuz.

2

İç açıortay teoremine göre

|AB|/|AC| = |BD|/|DC|

eşitliğini kullanın.

|BD|+|DC|=7

olduğunu unutmayın.

3

Dış açıortay teoremi için

|BE|/|CE| = |AB|/|AC|

oranını kurun. Burada

|BE| = |BC| + |CE|

olacaktır.

Practice More

İç ve dış açıortay doğrularının birbirine dik olduğu (

DA \perp AE

) özelliğini kullanan soruları inceleyiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 23Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 80^\circ$ ve $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ olarak verilmiştir. Bu üçgende $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına çizilen $[AH]$ yüksekliği ile $A$ köşesine ait $[AN]$ iç açıortayı arasındaki $m(\widehat{HAN})$ açısı kaç derecedir?

15

20

25

30

35

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

Yükseklik ile iç açıortay arasındaki açı 25 derecedir.

Üçgenin iç açıları toplamından

A

açısı

70^\circ

bulunur. İç açıortay bu açıyı

35^\circ

'lik iki parçaya ayırır. Diğer yandan

A

köşesinden inen yükseklik,

B

açısı

80^\circ

olan dik üçgende

A

köşesinde

10^\circ

'lik bir açı bırakır. Bu iki yardımcı eleman arasındaki fark

25^\circ

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

ABC

üçgeninin iç açıları toplamından

A

açısının ölçüsünü bulalım.

m(\widehat{A}) + 80^\circ + 30^\circ = 180^\circ \Rightarrow m(\widehat{A}) = 70^\circ

Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

180^\circ

dir.

2

[AN]

iç açıortayının

A

açısını nasıl böldüğünü belirleyelim.

m(\widehat{BAN}) = 35^\circ

Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya böler (

70^\circ / 2 = 35^\circ

).

3

[AH]

yüksekliğinin

ABH

dik üçgeninde oluşturduğu açıyı bulalım.

m(\widehat{BAH}) = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ

AH \perp BC

olduğundan

ABH

bir dik üçgendir ve dar açılar birbirini

90^\circ

'ye tamamlar.

4

m(\widehat{HAN})

açısını hesaplayalım.

m(\widehat{HAN}) = 35^\circ - 10^\circ = 25^\circ

[AH]

yüksekliği

[AB]

kenarına daha yakın olduğu için

m(\widehat{HAN}) = m(\widehat{BAN}) - m(\widehat{BAH})

olur.

Key Concept

Bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik ve iç açıortay arasındaki açının ölçüsü, diğer iki köşedeki açıların ölçüleri farkının yarısına eşittir:

x = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{C})|}{2}

Hints

1

Önce üçgenin verilmeyen

A

açısının ölçüsünü bulun.

2

A

köşesinden inen

[AH]

yüksekliğinin

ABH

dik üçgeninde

A

açısının ne kadarını kapladığını hesaplayın.

3

Açıortay

A

açısını iki eş parçaya (

35^\circ

) böler. Bu değer ile yüksekliğin bıraktığı

10^\circ

arasındaki farkı bulun.

Practice More

Eğer üçgen ikizkenar olsaydı ve

B

ile

C

açıları eşit olsaydı, bu iki yardımcı eleman arasındaki açının kaç derece olacağını düşünebilirsiniz.

Alternative Method

Pratik formül: Bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik ile iç açıortay arasındaki açı, diğer iki açının farkının yarısıdır.

\frac{|80 - 30|}{2} = \frac{50}{2} = 25

derecedir.

Estimated Time:1m 30s

Question 24Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 6$ cm, $|AC| = 10$ cm ve $|BC| = 12$ cm'dir. $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına çizilen kenarortay $[BC]$ kenarını $D$ noktasında, iç açıortay ise $E$ noktasında kesmektedir. Buna göre, $D$ ve $E$ noktaları arasındaki uzaklık ( $|DE|$ ) kaç cm'dir?

1,5

1

2

2,5

3

Show answer & explanation

Answer: 1,5

Answer

D ve E noktaları arasındaki uzaklık 1,5 cm'dir.

Kenarortay

12

cm'lik tabanı

6

cm ve

6

cm olarak ikiye bölerken, iç açıortay teoremi gereği

6

ve

10

cm'lik yan kenarlar tabanı

3:5

oranında parçalar. Bu oranla

12

cm'lik taban

4,5

cm ve

7,5

cm olarak ayrılır.

B

köşesinden ölçüldüğünde kenarortay

6

. cm'de, açıortay

4,5

. cm'dedir; aralarındaki mesafe

1,5

cm olur.

Step-by-Step Solution

1

Kenarortayın kestiği

D

noktasının konumunu belirle.

|BD| = |DC| = \frac{12}{2} = 6

cm

Kenarortay, indiği kenarı iki eşit parçaya böler.

2

İç açıortay teoremini kullanarak

E

noktasının konumunu (

|BE|

) hesapla.

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BE|}{|EC|} \Rightarrow \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

.

|BE| = 3k

,

|EC| = 5k

ise

8k = 12 \Rightarrow k = 1,5

. Buradan

|BE| = 3 \times 1,5 = 4,5

cm bulunur.

İç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların uzunlukları oranında böler.

3

İki nokta arasındaki uzaklığı (

|DE|

) bul.

|DE| = |BD| - |BE| = 6 - 4,5 = 1,5

cm

D

ve

E

noktaları

B

köşesinden itibaren aynı doğru üzerindedir, aradaki fark uzaklığı verir.

Key Concept

Bir üçgende kenarortay ve iç açıortayın taban üzerindeki ayırma oranları farklıdır.

Hints

1

Kenarortay her zaman tabanı tam ortadan böler. Bu soruda taban 12 cm olduğuna göre orta nokta kaçıncı cm'dedir?

2

İç açıortay teoremini hatırla:

AB/AC = BE/EC

. Yan kenarlar 6 ve 10 olduğuna göre tabandaki parçaların oranı ne olmalıdır?

3

Bulduğun parça uzunluklarını (6 cm ve 4,5 cm) birbirinden çıkararak aradaki mesafeyi bulabilirsin.

Practice More

Benzer bir soruyu dış açıortay teoremini kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 25Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden $[BC]$ kenarının orta noktasına çizilen $[AD]$ doğru parçası bu üçgenin kenarortayıdır. Bu üçgenin ağırlık merkezi $G$ noktası olarak işaretlenmiştir. $|AD| = 21$ cm olduğuna göre, $|AG|$ uzunluğu kaç cm'dir?

14

7

10,5

12

18

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Köşeye olan uzaklık olan 14 cm

Üçgenin ağırlık merkezi (

G

), kenarortayı köşeye

2

kat, kenara

1

kat uzaklıkta böler.

|AD|

uzunluğu

21

cm ise,

21 / 3 = 7

cm bir katı verir. Köşeye olan uzaklık

|AG| = 2 \times 7 = 14

cm olur.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezinin kenarortay üzerindeki bölme oranını belirle.

|AG| = 2k

ve

|GD| = k

oranları belirlenir.

Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara doğru

2:1

oranında böler.

2

Toplam uzunluğu kullanarak

k

değerini hesapla.

2k + k = 21 \Rightarrow 3k = 21 \Rightarrow k = 7

cm bulunur.

Kenarortayın tamamı (

|AD|

) bu iki parçanın toplamına eşittir.

3

İstenen

|AG|

uzunluğunu bul.

|AG| = 2k = 2 \times 7 = 14

cm olarak hesaplanır.

Soru bizden köşeye olan uzaklığı, yani

2k

olan kısmı istemektedir.

Key Concept

Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıkta olacak şekilde böler.

Hints

1

Üçgende ağırlık merkezi (

G

), kenarortayı belirli bir oranda böler.

2

Bu oran köşeye olan uzaklığın, kenara olan uzaklığın 2 katı olmasıdır (

2:1

oranı).

3

|AG| = 2x

ve

|GD| = x

diyerek

3x = 21

denklemini kurabilirsin.

Practice More

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay özelliğini (muhteşem üçlü) inceleyebilirsin.

Alternative Method

Toplam uzunluğu direkt

3

'e bölerek kenara yakın olan kısa parçayı (

7

cm) bulabilir, sonra bunu toplamdan çıkararak (

21 - 7 = 14

) köşeye olan uzunluğu elde edebilirsiniz.

Estimated Time:1m 15s

Question 26Question →

Bir $ABC$ üçgeninde, $D$ noktası $[BC]$ kenarının orta noktası olarak işaretlenmiştir. $A$ köşesini bu $D$ noktasına birleştiren $[AD]$ doğru parçası çizildiğinde, bu doğru parçası üçgenin hangi yardımcı elemanı olur?

Kenarortay

Açıortay

Yükseklik

Kenar orta dikme

Orta taban

Show answer & explanation

Answer: Kenarortay

Answer

Verilen tanıma göre bu doğru parçası kenarortaydır.

Kenarortay, bir üçgende bir köşeyi o köşenin karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır. Soruda

D

noktasının

[BC]

kenarının orta noktası olduğu ve

A

köşesiyle birleştirildiği belirtildiği için bu tanım doğrudan kenarortayı karşılar.

Step-by-Step Solution

1

D

noktasının özelliğini belirle.

D

noktası

[BC]

kenarının tam orta noktasıdır (

|BD| = |DC|

).

Soruda

D

noktasının kenar orta noktası olduğu açıkça belirtilmiştir.

2

[AD]

doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktalarını analiz et.

A

köşesi ile karşı kenar olan

[BC]

'nin orta noktası birleştirilmiştir.

Yardımcı elemanların tanımları bu uç noktalara göre yapılır.

3

Geometrik tanımı uygula.

Kenarortay tanımı: Bir üçgenin bir köşesini karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır.

Tanım ve verilen durum birebir örtüşmektedir.

Key Concept

Kenarortay Tanımı

Hints

1

Doğru parçasının bir ucu köşede, diğer ucu kenarın tam ortasındadır.

2

'Kenarı ortalayan' anlamındaki terimi düşünün.

3

Üçgenin ağırlık merkezini (G) oluşturan elemanları hatırlayın; bunlar kenarları ikiye bölen doğrulardır.

Practice More

İkizkenar üçgende bu yardımcı elemanların (kenarortay, açıortay, yükseklik) birbirinin aynısı olup olamayacağını araştırabilirsiniz.

Estimated Time:30s

Question 27Question →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ olarak verilmiştir. $B$ açısına ait iç açıortay doğrusu, $[AC]$ kenarını $N$ noktasında kesmektedir. $|AN| = 4$ cm ve $|NC| = 5$ cm olduğuna göre, $ABC$ üçgeninin alanı kaç cm $^2$ 'dir?

36

48

54

60

108

Show answer & explanation

Answer: 54

Answer

Üçgenin alanı 54 cm

^2

'dir.

Verilen

ABC

dik üçgeninde iç açıortay teoremi gereği, dik kenar

|AB|

ile hipotenüs

|BC|

arasındaki oran, ayırdıkları parçalar olan 4 ve 5 ile orantılıdır (

|AB|=4k, |BC|=5k

). Pisagor bağıntısı uygulandığında

(4k)^2 + 9^2 = (5k)^2

eşitliğinden

k=3

bulunur. Böylece dik kenarlar 9 cm ve 12 cm olur. Alan ise

(9 \times 12) / 2 = 54

cm

^2

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Açıortay teoremini uygula.

\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|AN|}{|NC|} = \frac{4}{5}

. Buradan

|AB| = 4k

ve

|BC| = 5k

diyebiliriz.

İç açıortay teoremi, kenarların oranının ayırdığı parçaların oranına eşit olduğunu belirtir.

2

Dik üçgende Pisagor bağıntısını kullanarak k değerini bul.

(4k)^2 + 9^2 = (5k)^2 \Rightarrow 16k^2 + 81 = 25k^2 \Rightarrow 9k^2 = 81 \Rightarrow k = 3

.

ABC

üçgeni dik üçgen olduğu için

|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2

bağıntısı geçerlidir.

|AC| = 4+5=9

cm'dir.

3

Kenar uzunluklarını ve alanı hesapla.

|AB| = 4 \times 3 = 12

cm. Alan

(ABC) = \frac{12 \times 9}{2} = 54

cm

^2

.

Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır.

Key Concept

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

Hints

1

İç açıortay teoremini hatırlayın: Bir açının açıortayı, karşı kenarı diğer iki kenarın oranına göre böler.

2

|AB|

ve

|BC|

kenarları için

4k

ve

5k

değişkenlerini kullanıp Pisagor bağıntısını kurun.

3

Üçgen 9-12-15 özel üçgenidir.

Practice More

Benzer oranlarla dış açıortay teoremi içeren bir soru çözülebilir.

Alternative Method

3-4-5 üçgeninin katlarını deneyerek de (9-12-15) çözüm bulunabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 28Question →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ 'dir. Bu üçgenin ağırlık merkezi $G$ noktası, diklik merkezi ise $K$ noktasıdır. $|GK| = 6$ cm olduğuna göre, $ABC$ üçgeninin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?

9

12

18

24

36

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 18 cm'dir.

Dik üçgende diklik merkezi dik açının bulunduğu köşedir. Soruda

[AB] \perp [AC]

verildiği için diklik merkezi

A

noktasıdır. Ağırlık merkezi

G

, bir kenarortayı köşeden kenara doğru

2:1

oranında böler. Dolayısıyla

|AG| = 6

cm ise, kenarortayın tamamı

9

cm olur. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısı olduğu için (

9 = \frac{BC}{2}

), hipotenüs uzunluğu

18

cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Diklik merkezinin konumunu belirleyin.

K = A

Dik üçgenlerde diklik merkezi (yüksekliklerin kesim noktası), dik açının bulunduğu köşedir.

2

Diklik merkezi (

K

) ile ağırlık merkezi (

G

) arasındaki mesafeyi kenarortay cinsinden ifade edin.

|AG| = 6

cm

K

noktası

A

olduğu için

|GK| = |AG|

olur.

A

köşesinden çizilen

[AD]

kenarortayı üzerinde

|AG| = \frac{2}{3} |AD|

bağıntısı vardır.

3

Kenarortay uzunluğunu (

V_a

) hesaplayın.

6 = \frac{2}{3} V_a \Rightarrow V_a = 9

cm

Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren

2

birim, kenardan itibaren

1

birim olacak şekilde böler.

4

Muhteşem üçlü özelliğini kullanarak hipotenüsü bulun.

|BC| = 2 \times 9 = 18

cm

Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.

Key Concept

Dik üçgende diklik merkezinin yeri, ağırlık merkezinin kenarortay üzerindeki bölme oranı ve muhteşem üçlü kuralı.

Hints

1

Dik üçgende diklik merkezinin (yüksekliklerin kesiştiği nokta) hangi köşe olduğunu hatırlayın.

2

Ağırlık merkezi, üzerinden geçtiği kenarortayı köşeden kenara doğru

2k

ve

k

şeklinde iki parçaya ayırır.

3

Dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortay uzunluğu ile hipotenüs arasındaki 'Muhteşem Üçlü' ilişkisini kurun.

Practice More

Diklik merkezi üçgenin dışında olan (geniş açılı) üçgenlerde ağırlık merkezi ile mesafeler üzerine pratik yapabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 29Question →

$[AB] \perp [AC]$ olan bir $ABC$ dik üçgeninin ağırlık merkezi $G$ noktasıdır. $|AG| = 10$ cm olduğuna göre, hipotenüsün uzunluğu ( $|BC|$ ) kaç santimetredir?

15

20

25

30

45

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Hipotenüs uzunluğu 30 santimetredir.

Doğru cevap 30 cm'dir. Ağırlık merkezi (

G

), kenarortayı (

AD

) 2:1 oranında böler.

|AG|=10

cm verildiğine göre,

|GD|=5

cm ve kenarortayın tamamı

|AD|=15

cm olur. Dik üçgenlerde hipotenüse indirilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü kuralı). Bu nedenle

|AD| = |BC| / 2

eşitliğinden

|BC| = 2 \times 15 = 30

cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezi özelliğini kullan.

|AG| = 2k

,

|GD| = k

ve toplam kenarortay

|AD| = 3k

şeklindedir.

Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden 2 birim, kenardan 1 birim olacak şekilde böler.

2

|AG|

değerinden kenarortay uzunluğunu hesapla.

2k = 10

ise

k = 5

. Kenarortay

|AD| = 10 + 5 = 15

cm.

Verilen uzunluk kullanılarak kenarortayın tamamı bulunur.

3

Dik üçgen özelliğini (Muhteşem Üçlü) uygula.

|BC| = 2 \times |AD| = 2 \times 15 = 30

cm.

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.

Key Concept

Muhteşem Üçlü ve Ağırlık Merkezi Oranı

Question 30Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $[AD]$ ve $[BE]$ kenarortayları $G$ ağırlık merkezinde dik kesişmektedir. $|AD| = 18$ cm ve $|BE| = 24$ cm olduğuna göre, $|AB|$ kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

10

15

20

25

30

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Üçgenin

|AB|

kenarının uzunluğu 20 cm'dir.

Üçgende ağırlık merkezi (

G

), kenarortayı köşeye

2

birim, kenara

1

birim olacak şekilde böler. Buna göre

|AG| = 12

cm ve

|BG| = 16

cm olur. Kenarortaylar dik kesiştiğinden

m(AGB) = 90^{\circ}

'dir.

12-16-20

özel üçgeni (

3-4-5

üçgeninin 4 katı) gereği

|AB| = 20

cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezinin kenarortay üzerindeki bölme oranını belirlemek.

|AG| = \frac{2}{3} \cdot |AD|

ve

|BG| = \frac{2}{3} \cdot |BE|

bağıntıları kullanılır.

Bir üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara doğru

2:1

oranında böler.

2

Ağırlık merkezi ile köşeler arasındaki mesafeleri hesaplamak.

|AG| = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12

cm ve

|BG| = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16

cm bulunur.

Pisagor bağıntısını uygulayabilmek için dik kesişen kenarortay parçalarının uzunlukları gereklidir.

3

ABG

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulamak.

|AB|^2 = |AG|^2 + |BG|^2 \Rightarrow |AB|^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400

cm².

Kenarortaylar dik kesiştiği için

G

noktasındaki açı

90^{\circ}

'dir.

4

|AB|

uzunluğunu kök dışına çıkarmak.

|AB| = \sqrt{400} = 20

cm olarak hesaplanır.

Karesi

400

olan pozitif uzunluk değeri

20

birimdir.

Key Concept

Ağırlık merkezinin kenarortayı

2:1

oranında bölme özelliği ve dik kesişen kenarortaylarda Pisagor bağıntısı uygulaması.

Hints

1

Ağırlık merkezinin kenarortayı köşeden itibaren hangi oranda böldüğünü hatırlayın.

2

|AG|

ve

|BG|

uzunluklarını bulduktan sonra oluşan

AGB

üçgeninin türüne dikkat edin.

3

12

ve

16

uzunluklarını kullanarak Pisagor bağıntısını uygulayın veya

3-4-5

özel üçgeninin katlarını düşünün.

Practice More

Kenarortayların dik kesiştiği durumlarda hipotenüse ait kenarortay uzunluğu ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi (Muhteşem Üçlü) inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Kenarortaylar dik kesiştiğinde

|AB|^2 + |DE|^2 = |AD|^2 + |BE|^2

gibi daha karmaşık formüller yerine, temel

2:1

kuralı ve Pisagor bağıntısı en güvenli yoldur.

Estimated Time:1m 30s

Question 31Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $[AD]$ iç açıortaydır. $|AB| = 9$ cm ve $|AC| = 12$ cm olarak verilmiştir. $G$ noktası $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi olduğuna göre, $ABD$ üçgeninin alanının $GDC$ üçgeninin alanına oranı kaçtır?

2

\frac{7}{3}

\frac{9}{4}

\frac{5}{2}

3

Show answer & explanation

Answer: $\frac{9}{4}$

Answer

Alanlar oranı

\frac{9}{4}

olarak bulunur.

İç açıortay teoremi gereği

BD

ve

DC

tabanları

9:12

(yani

3:4

) oranındadır. Bu durum

ABD

üçgeninin alanını toplam alanın

3/7

'si yapar. Ağırlık merkezi olan

G

noktası, her bir kenarla oluşturduğu üçgenin alanını ana üçgenin

1/3

'ü yapacak yükseklik özelliğine sahiptir (

GDC

alanı,

ADC

alanının üçte biridir). Dolayısıyla

(\frac{3}{7}) / (\frac{4}{21}) = \frac{9}{4}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

İç açıortay teoremini uygulayarak

BD

ve

DC

kenarları arasındaki oranı belirleyin.

|BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 9 / 12 = 3 / 4

Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların uzunlukları oranında böler.

2

ABD

ve

ADC

üçgenlerinin alanlarını

ABC

üçgeninin toplam alanı (

S

) cinsinden ifade edin.

Alan(ABD) = \frac{3}{7}S

ve

Alan(ADC) = \frac{4}{7}S

Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları, taban uzunlukları ile doğru orantılıdır.

3

Ağırlık merkezinin (

G

) özelliğini kullanarak

GDC

üçgeninin alanını bulun.

Alan(GDC) = \frac{1}{3} Alan(ADC) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}S = \frac{4}{21}S

Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı, köşeye olan uzaklığının yarısıdır (

1:2

oranı). Bu durum,

G

noktasının tabana olan yüksekliğinin,

A

noktasının tabana olan yüksekliğinin

1/3

'ü olmasına neden olur.

4

Alan(ABD)

değerini

Alan(GDC)

değerine oranlayın.

(\frac{3}{7}S) / (\frac{4}{21}S) = \frac{3}{7} \cdot \frac{21}{4} = \frac{9}{4}

İstenen oran rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılarak elde edilir.

Key Concept

İç açıortay teoremi ve ağırlık merkezinin alan üzerindeki

1/3

oranı etkisi

Hints

1

Açıortay teoremini kullanarak

BD

ve

DC

uzunlukları arasındaki oranı bulun.

2

Ağırlık merkezinden (

G

) tabana inen dikmenin, köşeden (

A

) inen dikmenin kaçta kaçı olduğunu hatırlayın.

3

Alan(GDC)

'nin

Alan(ADC)

'nin tam olarak

1/3

'ü olduğunu kullanarak oranlama yapın.

Practice More

Benzer bir soruyu dış açıortay ve ağırlık merkezi kombinasyonu için çözerek özellikleri pekiştirin.

Estimated Time:2m 30s

Question 32Question →

Aşağıdaki $ABC$ üçgeninde, $A$ köşesinden karşı kenar olan $[BC]$ üzerine indirilen ve bu kenar ile dik ( $90^\circ$ ) açı yapan $[AH]$ doğru parçası gösterilmiştir. Buna göre, $[AH]$ doğru parçası bu üçgenin hangi yardımcı elemanıdır?

Yükseklik

Kenarortay

Açıortay

Kenar Orta Dikme

Orta Taban

Show answer & explanation

Answer: Yükseklik

Answer

Verilen doğru parçası bir yüksekliktir.

Üçgenin bir köşesinden karşı kenarına indirilen ve kenarla dik açı oluşturan doğru parçasına yükseklik denir. Şekilde

[AH]

doğru parçası

[BC]

kenarına dik olarak indiği için bu kenara ait yüksekliktir.

Step-by-Step Solution

1

Doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktalarını inceleyin.

A

köşesinden başlayıp karşıdaki

[BC]

kenarındaki

H

noktasında bitmektedir.

Yardımcı elemanın hangi köşeden hangi kenara çizildiğini belirlemek için.

2

H

noktasındaki açıyı kontrol edin.

Doğru parçasının kenarla

90^\circ

'lik bir açı yaptığı (dik olduğu) görülmektedir.

Diklik, yükseklik kavramının en temel belirleyicisidir.

3

Geometrik tanımı uygulayın.

Bir köşeden karşı kenara inen dikme 'yükseklik' olarak adlandırılır.

Tanım gereği yükseklik, köşenin kenara olan en kısa (dik) mesafesidir.

Key Concept

Üçgende Yükseklik Tanımı

Hints

1

Şekildeki

[AH]

doğru parçasının

[BC]

kenarı ile yaptığı açıya dikkat edin.

2

Diklik sembolü (

90^\circ

), bu doğru parçasının

[BC]

kenarına dik indiğini gösterir.

3

Bir köşeden karşı kenara dik olarak indirilen doğru parçasına ne ad verildiğini hatırlayın.

Practice More

İkizkenar bir üçgende tepeden indirilen yüksekliğin aynı zamanda kenarortay ve açıortay olma özelliğini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Üçgenin alan formülünü (

Alan = \frac{Taban \times Y\ddot{u}kseklik}{2}

) düşünün. Bu formüldeki dik bileşen yüksekliktir.

Estimated Time:30s

Question 33Question →

Bir $ABC$ üçgeninde, $A$ köşesine ait iç açıortay $[BC]$ kenarını $D$ noktasında, dış açıortay ise $[BC]$ kenarının uzantısını $E$ noktasında kesmektedir.

$|AB| = 6$ cm, $|AC| = 4$ cm ve $|BC| = 5$ cm olduğuna göre, $|DE|$ uzunluğu kaç cm'dir?

10

12

13

15

18

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

12

Soru hem iç hem dış açıortay teoremlerinin uygulanmasını gerektirir. İç açıortay teoreminden

\frac{6}{|BD|} = \frac{4}{|DC|}

ve

|BD|+|DC|=5

olduğu için

|BD|=3

,

|DC|=2

bulunur. Dış açıortay teoreminden (dış açıortay

C

tarafında olacağından, çünkü

AC < AB

)

\frac{6}{5+|CE|} = \frac{4}{|CE|}

yazılır. Buradan

6|CE| = 20 + 4|CE| \Rightarrow 2|CE|=20 \Rightarrow |CE|=10

bulunur. İstenen uzunluk

|DE| = |DC| + |CE| = 2 + 10 = 12

cm'dir.

Step-by-Step Solution

1

İç açıortay teoremini uygulayarak

|BD|

ve

|DC|

uzunluklarını hesaplama

|BD| = 3

cm,

|DC| = 2

cm

İç açıortay teoremine göre

\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|DC|}

olmalıdır.

|BD|=x

dersek,

\frac{6}{x} = \frac{4}{5-x}

denklemi çözülür.

2

Dış açıortay teoremini uygulayarak

|CE|

uzunluğunu hesaplama

|CE| = 10

cm

Dış açıortay teoremine göre

\frac{|AB|}{|BE|} = \frac{|AC|}{|CE|}

olmalıdır.

|CE|=y

dersek,

\frac{6}{5+y} = \frac{4}{y}

denklemi çözülür.

3

|DE|

uzunluğunu bulmak için

|DC|

ve

|CE|

değerlerini toplama

|DE| = 2 + 10 = 12

cm

D, C, E

noktaları doğrusal olduğundan

|DE| = |DC| + |CE|

bağıntısı kullanılır.

Key Concept

Bir üçgende hem iç hem de dış açıortay teoremlerinin aynı doğru üzerinde uygulanması.

Hints

1

Önce iç açıortay teoremini kullanarak

D

noktasının

BC

kenarını hangi oranda böldüğünü bulun.

2

Ardından dış açıortay teoremini (

\frac{\text{Kenar}}{\text{Tamamı}} = \frac{\text{Kenar}}{\text{Dış Parça}}

) kullanarak

E

noktasının konumunu belirleyin.

3

|DE|

uzunluğu, iç açıortaydan gelen

|DC|

parçası ile dış açıortaydan gelen

|CE|

parçasının toplamıdır.

Practice More

İç ve dış açıortaylar arasındaki açının 90 derece olduğunu kullanan sorular çözülebilir.

Alternative Method

Harmonik bölüm özelliği kullanılarak da çözülebilir; iç ve dış açıortaylar tabanı harmonik olarak bölerler.

Estimated Time:2m 30s

Question 34Question →

ABC bir üçgen, [AD] iç açıortaydır.

D noktası [BC] kenarı üzerinde olmak üzere; D noktasından [AB] kenarına çizilen paralel doğru, [AC] kenarını E noktasında kesmektedir.

|AB| = 15 \text{ cm}

|AC| = 10 \text{ cm}

Yukarıdaki verilere göre, $|AE|$ uzunluğu kaç cm'dir?

4

5

6

7,5

9

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6 cm

Doğru cevap, açıortay ve paralellikten doğan ikizkenar üçgenin (

|AE|=|DE|

) fark edilmesi ve ardından Temel Benzerlik Teoremi'nin uygulanmasıyla

15(10-x)=10x

denkleminden 6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Açıortay ve paralellik özelliklerini kullanarak açıları incele.

[AD] açıortay olduğundan

m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{DAC}) = \alpha

diyelim.

[DE] // [AB]

olduğundan, iç ters açılar (Z kuralı) gereği

m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{BAD}) = \alpha

olur.

Geometrik şekil üzerindeki gizli ikizkenar üçgeni ortaya çıkarmak için açı takibi gerekir.

2

Oluşan ikizkenar üçgeni belirle.

\triangle ADE

üçgeninde

m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{ADE}) = \alpha

olduğundan, bu üçgen ikizkenardır ve

|AE| = |DE| = x

diyebiliriz.

Bilinmeyen kenar uzunluklarını birbiri cinsinden ifade etmek çözümü basitleştirir.

3

Temel Orantı (Thales) Teoremini uygula.

\triangle CDE \sim \triangle CBA

benzerliğinden (veya Thales teoreminden):

\frac{|CE|}{|CA|} = \frac{|DE|}{|AB|}

yazılır.

|CE| = 10 - x

ve

|CA| = 10

olduğu için denklem kurulur.

Paralellik verilen sorularda kenar uzunluklarını bulmak için benzerlik oranı kullanılır.

4

Denklemi çöz.

\frac{10 - x}{10} = \frac{x}{15}

15(10 - x) = 10x \Rightarrow 150 - 15x = 10x \Rightarrow 25x = 150 \Rightarrow x = 6

cm.

Kurulan matematiksel modelin çözümü istenen uzunluğu verir.

Key Concept

Açıortay doğrusuna paralel çizilen yardımcı doğrular, 'Z kuralı' sayesinde ikizkenar üçgenler oluşturur.

Hints

1

Paralel doğrularda açılar arasındaki ilişkiyi (Z kuralı) hatırlayın ve açıortay ile birleştirin.

2

m(\widehat{ADE})

açısı ile

m(\widehat{DAB})

açısı eşittir. Bu durum

\triangle ADE

üçgeni hakkında ne söyler?

3

\triangle ADE

ikizkenar üçgendir, yani

|AE| = |DE| = x

diyebilirsiniz. Şimdi

\triangle CDE \sim \triangle CBA

benzerliğini kurun.

Practice More

Benzer mantıkla, dış açıortay ve paralellik içeren sorular çözerek 'dış Z kuralı' pratiği yapabilirsiniz.

Alternative Method

Formül Yöntemi: Bu özel kalıp (açıortay + paralel kesen) için harmonik ortalamaya benzer şu bağıntı türetilebilir:

x = \frac{b \cdot c}{b + c}

. Burada

x=|AE|

,

b=|AC|=10

,

c=|AB|=15

.

x = \frac{10 \cdot 15}{10 + 15} = \frac{150}{25} = 6

.

Estimated Time:2m 30s

Question 35Question →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ olarak verilmiştir. Üçgenin ağırlık merkezi olan $G$ noktasının $[AB]$ kenarına olan en kısa uzaklığı $6$ cm, $[AC]$ kenarına olan en kısa uzaklığı ise $8$ cm'dir. Buna göre, hipotenüs olan $|BC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

10

20

25

30

40

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Dik kenarlar 18 cm ve 24 cm bulunduğundan hipotenüs 30 cm'dir.

Doğru cevap, ağırlık merkezinin koordinat mantığı veya benzerlik özelliği kullanılarak bulunur. Dik üçgende dik kenarlar aynı zamanda yüksekliktir. Ağırlık merkezinin bir dik kenara uzaklığı, diğer dik kenar uzunluğunun 1/3'üne eşittir. Verilen 6 cm ve 8 cm uzaklıkları 3 ile çarpıldığında üçgenin dik kenarları 18 cm ve 24 cm olarak bulunur. Pisagor bağıntısı (veya 3-4-5 üçgeninin 6 katı) uygulandığında hipotenüs 30 cm çıkar.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezi (

G

) özelliğini hatırla

Ağırlık merkezinin bir kenara olan uzaklığı, o kenara ait yüksekliğin 3'te 1'idir.

Kenarortaylar birbirini 1'e 2 oranında böler (köşeye 2, kenara 1 birim). Benzerlikten dolayı ağırlık merkezinin tabana uzaklığı (

h_g

), köşenin tabana uzaklığının (

h_a

) 1/3'ü olur.

2

Dik kenar uzunluklarını hesapla

|AC| = 3 \times 6 = 18

cm ve

|AB| = 3 \times 8 = 24

cm.

Dik üçgende

[AB]

kenarına ait yükseklik

[AC]

kenarının kendisidir.

G

'nin

[AB]

'ye uzaklığı 6 ise,

|AC| = 3 \times 6 = 18

'dir. Benzer şekilde

|AB| = 3 \times 8 = 24

'tür.

3

Pisagor bağıntısı ile hipotenüsü bul

|BC|^2 = 18^2 + 24^2 \Rightarrow |BC| = 30

cm.

Kenarları 18 ve 24 olan üçgen, 3-4-5 özel üçgeninin 6 katıdır (18-24-30).

Key Concept

Ağırlık merkezinin kenarlara olan dik uzaklığı, ilgili kenara ait yüksekliğin 1/3'üne eşittir.

Hints

1

Dik üçgeni koordinat sisteminde düşünün:

A

köşesi

(0,0)

noktasında olsun.

G

noktasının koordinatları

(6, 8)

gibi düşünülebilir mi?

2

Ağırlık merkezi (

G

), kenarortay üzerinde köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıktadır. Bu oran,

G

'nin kenarlara olan dik uzaklığına nasıl yansır?

3

G

noktasının tabana uzaklığı, o tabana ait yüksekliğin 3'te 1'idir. Yani dik kenarlar, verilen uzaklıkların 3 katıdır.

Practice More

Benzer bir soruyu, üçgen dik üçgen olmadığında ve sadece alan sorulduğunda çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Koordinat sistemi yöntemi:

A(0,0)

olsun.

G(x,y)

ağırlık merkezi ise ve kenarlara uzaklıkları 6 ve 8 ise,

G

noktası

(6,8)

veya

(8,6)

olabilir (hangi kenarın x ekseni olduğuna göre). Ağırlık merkezi formülü

G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})

olduğundan, dik kenar uzunlukları bu koordinatların 3 katı olur.

Estimated Time:2m 30s

Question 36Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $G$ noktası ağırlık merkezidir. $G$ noktasından geçen ve $BC$ kenarına paralel olan doğru, $AB$ kenarını $D$ , $AC$ kenarını $E$ noktasında kesmektedir. $ABC$ üçgeninde $B$ köşesine ait iç açıortay doğrusu, $[DE]$ doğru parçasını $K$ noktasında kestiğine göre; $|AB| = 12$ cm ve $|BC| = 18$ cm ise $|KE|$ uzunluğu kaç santimetredir?

4

6

8

10

12

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

8

Doğru cevap, ağırlık merkezinin sağladığı 2/3 benzerlik oranıyla tüm uzunluğun (DE) bulunması ve ardından açıortay ile paralelliğin oluşturduğu ikizkenar üçgen sayesinde sol parçanın (DK) bulunup çıkarılmasıyla elde edilir. |DE|=12 ve |DK|=4 olduğundan farkları 8'dir.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezi ve paralellik özelliğini kullanma

G ağırlık merkezi olduğundan kenarortayı 2:1 oranında böler. DE // BC olduğundan Temel Benzerlik Teoremi gereği benzerlik oranı 2/3'tür.

Ağırlık merkezi köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıktadır (2k ve k).

2

DE uzunluğunu hesaplama

|DE| / |BC| = 2/3 eşitliğinden, |DE| / 18 = 2/3 => |DE| = 12 cm bulunur.

Benzerlik oranı tabanlara da uygulanır.

3

Paralel doğrular ve açıortay ilişkisini (Z kuralı) inceleme

DE // BC olduğundan Z kuralı gereği m(DKB) = m(KBC). Açıortaydan dolayı m(DBK) = m(KBC) idi. O halde m(DBK) = m(DKB) olur.

İç ters açılar ve açıortay tanımı birleşince ikizkenar üçgen oluşur.

4

DBK üçgeninin ikizkenarlığını kullanma

DBK ikizkenar üçgen olduğundan |DK| = |DB| olur. Ağırlık merkezi oranından (2/3 benzerlik) |AD| = 2/3 |AB| ve |DB| = 1/3 |AB|'dir. |DB| = 12 / 3 = 4 cm. Dolayısıyla |DK| = 4 cm.

Paralel doğru yan kenarları da aynı oranda (2:1) böler.

5

KE uzunluğunu bulma

|KE| = |DE| - |DK| = 12 - 4 = 8 cm.

Bulunan parçaların farkı istenen sonucu verir.

Key Concept

Ağırlık merkezi, benzerlik ve açıortay-paralellik ilişkisi (Z kuralı ile gizli ikizkenar üçgen)

Hints

1

G ağırlık merkezi olduğundan, tepeden inen kenarortayı 2:1 oranında böler. Bu oran, paralel doğrular sayesinde kenarlara da (benzerlik olarak) yansır.

2

Paralel iki doğru arasında bir açıortay varsa (burada BK doğrusu), mutlaka 'Z kuralı'nı arayın. Bu size gizli bir ikizkenar üçgen verecektir.

Practice More

Benzer kurguda, açıortayın C köşesinden çizildiği ve arada kalan parçanın sorulduğu bir soru çözülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 37Question →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ 'dir. Üçgenin $G$ ağırlık merkezi, hipotenüse ait kenarortay doğrusu üzerindedir. $A$ köşesi ile $G$ noktası arasındaki uzaklık $|AG| = (3x - 4)$ cm ve $G$ noktası ile hipotenüs üzerindeki kenarortay ayağı $D$ arasındaki uzaklık $|GD| = x$ cm olarak verilmiştir. Buna göre, $ABC$ üçgeninin hipotenüs uzunluğu ( $|BC|$ ) kaç santimetredir?

12

16

20

24

36

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

24 santimetredir

Dik üçgende ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böler (

|AG|=2|GD|

) ve hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır (Muhteşem Üçlü). Denklemden

x=4

bulunur, kenarortay 12 cm olur, hipotenüs ise 24 cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezi özelliğini kullan

|AG| = 2 \cdot |GD|

bağıntısını kur:

3x - 4 = 2x

Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim oranında böler.

2

Denklemi çöz ve x değerini bul

3x - 2x = 4 \Rightarrow x = 4

Bilinmeyeni bulmak için birinci dereceden denklem çözülür.

3

Kenarortay uzunluklarını hesapla

|GD| = 4

cm,

|AG| = 3(4) - 4 = 8

cm. Toplam kenarortay

|AD| = 12

cm.

Bulunan x değeri yerine konularak parça uzunlukları toplanır.

4

Muhteşem üçlü özelliğini uygula

|BC| = 2 \cdot |AD| = 2 \cdot 12 = 24

cm

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.

Key Concept

Muhteşem Üçlü ve Ağırlık Merkezi

Hints

1

Üçgenin ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye olan uzaklığı kenara olan uzaklığının iki katı olacak şekilde böler (

k

'ya

2k

kuralı).

2

|AG| = 2 \cdot |GD|

eşitliğini kullanarak önce

x

değerini, sonra kenarortayın tamamını (

|AD|

) bulun.

3

Dik üçgende 'Muhteşem Üçlü' kuralını hatırlayın: Hipotenüse indirilen kenarortay uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir (

|BC| = 2 \cdot |AD|

).

Practice More

Benzer bir soruyu, hipotenüs uzunluğunu verip ağırlık merkezinin köşeye uzaklığını sorarak kurgulayabilirsiniz.

Alternative Method

Ağırlık merkezi kenarortayı 1/3 ve 2/3 oranında böldüğünden, doğrudan

3x-4

ve

x

değerlerini oranlayarak denklem kurmadan da oran kontrolü yapılabilir ancak denklem en kesin yoldur.

Estimated Time:1m 30s

Question 38Question →

ABC bir üçgen, $[AN]$ iç açıortaydır.

|AB| = 6 \text{ cm}

|AC| = 12 \text{ cm}

m(\widehat{BAC}) = 120^\circ

Yukarıdaki verilere göre, $|AN|$ uzunluğu kaç santimetredir?

3

4

3\sqrt{3}

2\sqrt{7}

6

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

4 santimetredir.

Soruda

120^\circ

açısının açıortayı verildiği için açı

60^\circ-60^\circ

bölünür. Bu durumda en pratik yöntem alan parçalamasıdır. Toplam Alan = Parça Alanların Toplamı prensibiyle;

6 \cdot 12 = 6x + 12x

bağıntısı elde edilir ve buradan açıortay uzunluğu 4 cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Problemi analiz et

Verilenler:

|AB|=c=6

,

|AC|=b=12

,

m(\widehat{A})=120^\circ

ve

[AN]

iç açıortaydır. Açıortay açıyı

60^\circ - 60^\circ

olarak böler. İstenen:

|AN|=x

.

Geometrik şekli ve verilen değerleri çözüm yöntemine hazırlamak için tanımlama yapılır.

2

Alan formülü yöntemini uygula (Alternatif 1 - Pratik Yol)

A(ABC) = A(ABN) + A(ANC)

eşitliği yazılır. Sinüs alan formülü kullanılır:

\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot x \cdot \sin(60^\circ) + \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot x \cdot \sin(60^\circ)

Açılar bilindiğinde (

60^\circ

ve

120^\circ

) alan yöntemi, uzun kosinüs teoremi işlemlerinden çok daha hızlı sonuç verir.

3

Denklemi sadeleştir ve çöz

\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ)

olduğundan her iki taraftaki

\frac{1}{2}\sin(60^\circ)

ifadeleri sadeleşir. Geriye kalan:

6 \cdot 12 = 6x + 12x

72 = 18x

x = 4

Matematiksel işlemi tamamlayarak bilinmeyen uzunluğu bulmak.

Key Concept

Özel açılı üçgenlerde iç açıortay uzunluğunu bulmak için Alan Yöntemi veya Cosinüs Teoremi ile Açıortay Uzunluk Formülü kombinasyonu kullanılır.

Hints

1

Verilen

120^\circ

açısı, açıortay tarafından iki adet

60^\circ

'lik açıya bölünür. Sinüs alan formülünü hatırlayın.

2

Üçgenin toplam alanını, açıortayın ayırdığı iki küçük üçgenin alanları toplamı şeklinde yazabilirsiniz:

A(ABC) = A(ABN) + A(ANC)

.

Practice More

Benzer bir soruyu

90^\circ

(dik üçgen) açıortayı için çözerek Pisagor bağıntısı ile ilişkinizi pekiştirin.

Alternative Method

Cosinüs Teoremi Yöntemi: Önce büyük üçgende Cosinüs teoremi ile

|BC|

bulunur (

|BC|=6\sqrt{7}

). Sonra Açıortay Teoremi ile taban

k

ve

2k

olarak ayrılır (

2\sqrt{7}

ve

4\sqrt{7}

). Son olarak Açıortay Uzunluk Formülü (

x^2 = b\cdot c - m \cdot n

) uygulanır:

x^2 = 6 \cdot 12 - 2\sqrt{7} \cdot 4\sqrt{7} = 72 - 56 = 16 \Rightarrow x=4

.

Estimated Time:3m 0s

Question 39Question →

Bir $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi $G$ noktasıdır. $G$ noktasından geçen ve $[BC]$ kenarına paralel olan doğru, $[AB]$ kenarını $D$ , $[AC]$ kenarını ise $E$ noktasında kesmektedir. $B$ köşesine ait iç açıortay doğrusu $[DE]$ doğru parçasını $K$ noktasında kestiğine göre; $|BD| = 4$ cm ve $|BC| = 18$ cm verileri ışığında $|KG|$ uzunluğu kaç santimetredir?

1

2

3

4

6

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Doğru cevap 2 santimetredir.

Soru, geometri bilgisini sentezlemeyi gerektirir. İlk olarak,

DE // BC

paralelliği ve

B

açısının açıortayı kullanılarak 'Z kuralı' yardımıyla

\triangle DBK

'nin ikizkenar olduğu ve

|DK|=|BD|=4

cm olduğu bulunur. İkinci olarak,

G

ağırlık merkezi olduğu için tabana paralel çizilen doğru, kenarortayı

2:1

oranında böler (köşeden ağırlık merkezine 2 birim). Bu da

\triangle ADG

ile

\triangle ABM

(M, BC'nin orta noktası) arasında

2/3

benzerlik oranı kurar.

|BM|=9

cm olduğundan,

|DG| = (2/3) \cdot 9 = 6

cm bulunur. Sonuç olarak aradaki fark

|KG| = 6 - 4 = 2

cm'dir.

Step-by-Step Solution

1

Paralellik ve açıortay özelliklerini kullanarak üçgen türünü belirle.

DE // BC

olduğu için Z kuralından

m(\widehat{DKB}) = m(\widehat{KBC})

olur. Açıortaydan

m(\widehat{DBK}) = m(\widehat{KBC})

olduğundan,

m(\widehat{DKB}) = m(\widehat{DBK})

bulunur. Bu durumda

DBK

üçgeni ikizkenardır ve

|DK| = |BD| = 4

cm olur.

Sorudaki paralellik ve açıortay bilgisi, gizli bir ikizkenar üçgeni (DBK) ortaya çıkarır.

2

Ağırlık merkezi özelliğini kullanarak benzerlik oranını belirle.

G

ağırlık merkezi olduğundan,

A

köşesinden gelen kenarortay

G

noktasında 2'ye 1 oranında bölünür. Bu oran, Tales teoremi gereği

ADE

ve

ABC

üçgenleri arasındaki benzerlik oranını

2/3

yapar.

Ağırlık merkezi köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıktadır; bu da tabanlara paralel doğrularda 2/3 benzerlik oranı sağlar.

3

DG uzunluğunu hesapla.

A

köşesinden inen kenarortayın

BC

kenarını kestiği noktaya

M

dersek,

|BM| = 18 / 2 = 9

cm olur. Benzerlikten

|DG| / |BM| = 2/3

ise,

|DG| / 9 = 2/3 \Rightarrow |DG| = 6

cm bulunur.

Paralel doğru parçasının uzunluğunu bulmak için temel benzerlik teoremi uygulanır.

4

İstenen KG uzunluğunu bul.

K

noktası

D

ile

G

arasında bir noktadır (çünkü

|DK|=4

ve

|DG|=6

). O halde

|KG| = |DG| - |DK| = 6 - 4 = 2

cm bulunur.

Bulunan parça uzunlukları farkı alınarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Üçgende ağırlık merkezi 1:2 oranı, paralel doğrularda Z kuralı ve açıortay ile oluşan ikizkenar üçgen özellikleri.

Hints

1

Paralel doğrularda açıortay gördüğünüzde 'Z kuralını' (iç ters açılar) kullanarak gizli bir ikizkenar üçgen arayın.

Estimated Time:2m 30s

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept